fisica

RESUMEN: El artculo indaga la concepcin axiomtica temprana de la geo-metra de Hilbert. Especialmente, sus notas para cursos sobre geometra entre1891 y 1905 son analizadas. Se sostendr que, aunque Hilbert privilegi desdeel inicio una presentacin axiomtica abstracta de la geometra, tambin man-tuvo en este perodo temprano tesis ms tradicionales, como por ejemplo, laafirmacin de que la geometra es la ms perfecta de las ciencias naturales, quese ocupa de las propiedades o formas de los cuerpos en el espacio. Entre estastesis, a primera vista contradictorias, Hilbert remarc adems a lo largo de suscursos la importancia de la intuicin espacial o geomtrica en la axiomatiza-cin de la geometra. La nocin y el papel de la intuicin espacial en el abor-daje axiomtico de Hilbert son discutidos. Por ltimo, este nfasis en la nocinde intuicin ser utilizado para criticar la interpretacin formalista estndar,que ser considerada como errnea, o al menos como inadecuada, a la luz delas fuentes antes mencionadas.

PALABRAS CLAVE: Hilbert, mtodo axiomtico, geometra, concepcin tem-prana, intuicin

Revista Latinoamericana de Filosofa, Vol. XXXVII N 1 (Otoo 2011) 35-65

Revista Latinoamericana de Filosofa, Vol. XXXVII N 1 (Otoo 2011)

INTUICIN YMTODO AXIOMTICO EN LACONCEPCIN TEMPRANADE LAGEOMETRA

DE DAVID HILBERT*

Eduardo N. GiovanniniConsejo Nacional de Investigaciones Cientficas y Tcnicas

Universidad Nacional del Litoral

* Agradezco a la Niederschsische Staats- und Universittsbibliothek Gt-tingen por el permiso para citar los manuscritos de Hilbert; especialmenteal Dr. Helmut Rohlfing, de la Handschriftenabteilung. Gran parte de lainvestigacin que dio origen a este trabajo fue desarrollada en el Institutfr Philosophie, Universitt Paderborn, Alemania, gracias al generoso apoyodel DAAD. Agradezco adems a Volker Peckhaus, Alejandro Cassini yJavier Legris por sus comentarios a versiones previas de este escrito. Qui-siera expresar tambin mi reconocimiento al referee annimo de la RLF porsus valiosas sugerencias y sus instructivos comentarios.

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Ahora bien, esta presentacin de la geometra como un sistemaaxiomtico formal, sumada al programa desarrollado posterior-mente por Hilbert para la fundamentacin de la matemtica el lla-mado programa de Hilbert, han contribuido a formar una ima-gen excesivamente formalista de su concepcin de la geometra. Esdecir, por lo general suele afirmarse que y un claro ejemplo es eldifundido artculo de Jean Dieudonn (1906-1992) la idea detrsdel mtodo axiomtico tal como lo entiende Hilbert es que los sig-nos o smbolos grficos con los que la matemtica opera se vuelvena su vez su objeto de estudio. En ese sentido, la matemtica sevuelve un juego, cuyas piezas son los signos grficos que se distin-guen unos de otros por sus formas (Dieudonn 1971, p. 261). Msan, junto a la idea de la matemtica como un mero inventario defrmulas, esta interpretacin que denominaremos estndar, sos-tiene adems que el objetivo central del mtodo axiomtico de Hil-bert aplicado a la geometra, y en continuidad con lo que ms tardesern sus ideas respecto de los fundamentos de la aritmtica, esdefender una imagen de toda la matemtica como una coleccin desistemas deductivos abstractos, construidos a partir de un conjuntode principios o axiomas arbitrariamente escogidos y sin un signifi-cado intrnseco.

Sin embargo, al menos en el caso de la geometra, esta inter-pretacin se muestra visiblemente inadecuada cuando se indaganlas fuentes utilizadas por Hilbert para la elaboracin de su nota-ble monografa de 1899. Contrariamente a la impresin de Her-mann Weyl, para quien Los fundamentos de la geometra significuna novedad absoluta respecto de los intereses exhibidos en sustrabajos anteriores,1 esta obra es el producto de una preocupacinde Hilbert por los fundamentos de la geometra por casi diezaos. Prueba de ello son los cursos que imparti desde 1891 sobrela temtica, los cuales han sido publicados en el primer volumende la Hilbert Edition (Majer y Hallett 2004). Estos cursos constitu-yen una fuente imprescindible para comprender la concepcinhilbertiana de la geometra, principalmente en su etapa inicial.Ello se debe a que a diferencia de la monografa de 1899, Hilbertno se limita all a presentar meramente los resultados de sus in-

INTUICIN Y MTODO AXIOMTICO EN LA CONCEPCIN 37


ABSTRACT: The paper discusses Hilberts early axiomatic approach togeometry, particularly his notes for lecture courses between 1891 and 1905 areanalyzed. It is argued that, although Hilbert privileged from early on anabstract axiomatic presentation of geometry, he also maintained in this earlyperiod more traditional theses, like the claim that geometry is the most perfectof all natural sciences, which deals with the properties or shapes of things inspace. Among these, at a first glance, contradictory theses, Hilbert alsostresses throughout the lecture courses the importance of spatial orgeometrical intuition for the axiomatization of geometry. The role andnotion of spatial intuition in Hilberts early axiomatic approach are discussed.Finally, this emphasis on the notion of intuition will be used to criticize thestandard, formalist view of Hilberts axiomatic approach to geometry, whichwill be considered as misleading, or at least inadequate, when his notes forlectures courses are taken into account.

KEYWORDS: Hilbert, axiomatic method, geometry, early view, intuition

1. Introduccin

Es una afirmacin relativamente compartida por los historiado-res de la lgica y la matemtica que la clebre obra de David Hil-bert (1862-1943), Los fundamentos de la geometra (1899), constituyun hito fundamental para la concepcin moderna del mtodo axio-mtico. En este trabajo Hilbert logra presentar una lista completade axiomas a partir de los cuales es posible construir, por mediospuramente lgicos, la geometra eucldea elemental y deducir to-dos sus teoremas fundamentales. Junto a este notable logro mate-mtico, el enorme impacto de la obra se debi mayormente a lasnovedades metodolgicas all introducidas. En la nueva presenta-cin axiomtica de la geometra desarrollada por Hilbert, los axio-mas dejan de ser vistos como verdades inmediatas acerca de undominio intuitivo fijo. Asimismo, Hilbert renuncia a dar una defi-nicin descriptiva de los elementos bsicos, como por ejemplopunto, recta y plano, afirmando que stos se encuentran total-mente caracterizados por aquello que es establecido en los axio-mas. El sistema de axiomas de Hilbert no slo permiti remediarlas distintas lagunas en las deducciones que caracterizaban a lasdemostraciones de Euclides, sino que su renovado tratamientoaxiomtico de la geometra llev a concebirla como una disciplinams de la matemtica pura.

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35-65 Revista Latinoamericana de Filosofa, Vol. XXXVII N 1 (Otoo 2011)

1. Vase Weyl 1945, p. 635.

una construccin puramente geomtrica que no requiere de lamedida.2

Ahora bien, junto a esta especial atencin en torno a la introduc-cin del nmero en la geometra, Hilbert defiende una tesis filos-fica fundamental respecto de la diferencia epistemolgica entreaquellas ramas de la matemtica cuyos resultados pueden ser al-canzados apoyndose exclusivamente en el pensamiento puro(aritmtica, anlisis, lgebra) y aquellas ramas que, como la geome-tra, necesitan de algo ms que el pensamiento puro para su cons-truccin:

La geometra es la ciencia de las propiedades del espacio, y se diferenciasubstancialmente de las ramas matemticas puras, como la teora de nme-ros, el lgebra, la teora de funciones. Los resultados de estas disciplinas pue-den ser alcanzados a travs del pensamiento puro, en tanto que loshechos afirmados son reducidos por medio de claras inferencias lgicasa hechos ms simples, hasta que finalmente slo se vuelve necesario elconcepto de nmero entero. () Al concepto de nmero entero podemosarribar a travs del pensamiento puro. () Mtodos y fundamentos de lamatemtica pertenecen al pensamiento puro. No necesito nada ms queel pensamiento lgico puro, cuando me ocupo de la teora de nmeros odel lgebra. (Hilbert 1891a, p. 22).

Sin embargo, en la geometra sucede algo completamente dis-tinto:

No puedo nunca fundar las propiedades del espacio en la mera reflexin,tanto como no puedo reconocer de ese modo las leyes bsicas de la mec-nica, las leyes de la gravitacin o cualquier otra ley fsica. El espacio no esun producto de mi pensamiento, sino que me es dado slo a travs delos sentidos [Sinne]. Para representarme sus propiedades necesito por ellode mis sentidos. Necesito de la intuicin y el experimento, tanto como selos requiere para fundar las leyes fsicas, donde tambin la materia debesernos dada a travs de los sentidos. (Hilbert 1891a, p. 22-3).

Con esta diferencia trazada entre aritmtica y geometra Hilbertest haciendo alusin a la clsica distincin establecida por Gauss,distingo que hasta cierto punto era un lugar comn en la poca,



vestigaciones matemticas, sino que por el contrario nos hace par-tcipes del proceso que condujo a tales descubrimientos, acompa-ado en muchas ocasiones de reflexiones de un carcter ms bienfilosfico.

Mi objetivo en las pginas que siguen es examinar la concep-cin temprana de la geometra de Hilbert, principalmente en basea las fuentes anteriormente mencionadas. Intentar mostrar cmola imagen de la geometra y del mtodo axiomtico presentada allpor Hilbert es ms compleja que la pergeada por la interpretacinestndar, y en ocasiones contradictoria a ella. Asimismo, se presta-r particular atencin al rol atribuido a la difcil nocin de intui-cin. Esta nocin, que ms tarde se convertir en un conceptocentral en la justificacin epistemolgica del conocimiento meta-matemtico en el programa de Hilbert, est presente constante-mente a lo largo de estas notas. Sostendr entonces que una ade-cuada explicacin de la relacin entre la intuicin y el mtodoaxiomtico es fundamental para obtener una mirada ms com-prensiva de la concepcin hilbertiana de la geometra, particular-mente en su perodo inicial. Finalmente, argumentar que, a pesarde ciertos cambios propios de la evolucin de su pensamiento, Hil-bert mantiene las tesis principales que caracterizan a su concepcinaxiomtica de la geometra hasta prcticamente el final de su pro-duccin cientfica.

2. Un abordaje sinttico: Geometra Proyectiva (1891)

La presentacin axiomtica de la geometra exhibida por Hil-bert en 1899 se construy sobre la base de la tradicin de la geo-metra sinttica, que tom un gran impulso a mediados del sigloXIX con los trabajos de Gaspard Monge (1746-1818), Karl G. C.von Staudt (1798-1867) y Jakob Steiner (1796-1863). Esencial paraesta tradicin era evitar donde fuera posible la introduccin deelementos numricos. Este hecho es particularmente evidente enel primer curso que Hilbert dedic a la geometra en el semestrede verano de 1891, en Knigsberg, titulado Geometra proyecti-va. En la introduccin, tras unas breves consideraciones histri-cas, Hilbert elogia a von Staudt por haber llevado a la geometraproyectiva al rango de una ciencia autnoma, por medio de

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2. Cf. Hilbert 1891a, p. 25.

su valor es ms bien pedaggico y esttico. La geometra de laintuicin se identifica, por ejemplo, con la geometra proyectivacuando es desarrollada de un modo sinttico puro, como en los tra-bajos de Reye (1886) y von Staudt (1847), citados por Hilbert. Lageometra axiomtica, en cambio, investiga cules de los axiomasganados en la geometra intuitiva son necesarios para su construc-cin, y a ello le contrapone sistemticamente geometras en las quealgunos de aquellos axiomas son omitidos. Su significado es funda-mentalmente epistemolgico. Un ejemplo de la geometra proyecti-va axiomtica sera Las lecciones de geometra moderna (1882) deMoritz Pasch. Por ltimo, Hilbert seala que la geometra analticacoordina de antemano los puntos de una lnea con los nmeros yreduce de ese modo la geometra al anlisis. Esta geometra esesencial para el empleo de la matemtica en las ciencias naturales.Un desarrollo analtico de la geometra proyectiva puede verse enlos trabajos de Plcker, Clebsh y Klein.3

El abordaje elegido por Hilbert en este curso es exclusivamentesinttico, hasta el punto de que los principios de la geometra pro-yectiva son presentados como leyes fundamentales de la intuiciny no como axiomas (Hilbert 1891a, p. 28). Sin embargo, es intere-sante notar que a lo hora de referirse al valor o al rol de la intuicinen geometra, Hilbert siempre lo hace contraponindola a la geo-metra analtica:

En lugar de operar con la intuicin geomtrica pura, [la geometra analtica]emplea el clculo y la frmula como herramienta de un significado esencial. Lageometra analtica se conduce de tal manera que introduce desde el prin-cipio el concepto de magnitud variable y de ese modo para cada intui-cin geomtrica exhibe de inmediato la expresin analtica, proporcionan-do por medio de esta ltima la demostracin. De este modo se consigueobtener rpidamente mayor generalidad en los teoremas, respecto de loque era posible con la intuicin geomtrica pura. (Hilbert 1891a, p. 55).

A pesar de la neutralidad proclamada en lo que respecta al esta-tus de la intuicin, el uso de la expresin intuicin pura, junto conla definicin de la geometra como la ciencia que estudia las pro-



sobre todo entre gemetras alemanes. Hilbert sostiene as, en estaetapa bien inicial, que la geometra es el estudio de las propiedadesdel espacio fsico, y que la base para su indagacin es proporciona-da por la experiencia y por un cierto tipo de intuicin. Empero, yquizs contradictoriamente, que la geometra sea la ciencia delespacio fsico no implica para Hilbert que sus axiomas sean verda-des evidentes del espacio fsico. Es decir, en cursos posteriores, yen la medida en que vaya desarrollando y perfeccionando su abor-daje axiomtico, Hilbert abandonar la idea de que los axiomas sonverdaderos en el sentido de que su verdad est garantizada por elmodo en que el mundo exterior espacial es. Sin embargo, ms ade-lante en estas notas que estamos analizando, Hilbert afirma losiguiente respecto del carcter del controvertido axioma de lasparalelas: Este axioma de las paralelas es proporcionado por laintuicin. Si esta ltima es innata o adquirida, si aquel axiomaexpresa una verdad, si debe ser corroborado por la experiencia, o siello es innecesario, es algo que aqu no nos ocupa. Slo nos intere-samos por la intuicin y ella requiere de aquel axioma (Hilbert1891, p. 27). Como veremos, el punto es que la intuicin nos pro-porciona un conjunto de hechos [Tatsachen], que debemos conside-rar como dados y que deben ser tomados seriamente, pero de losque la geometra, en tanto ciencia desarrollada, es independiente.Hilbert no ser nunca suficientemente claro al respecto, sin embar-go la tesis que se conserva explcitamente hasta en sus ltimos tra-bajos sobre la temtica, es la de que la geometra, en lo que respectaa su origen, es una ciencia natural, o ms precisamente, la ms per-fecta de las ciencias naturales. Asimismo, la posibilidad de inter-pretar esta intuicin geomtrica ya sea como una intuicin a priorio como una intuicin emprica, es algo que Hilbert repetir sucesi-vamente a lo largo de estas notas.

Otro elemento interesante aqu es el contexto en el que la nocinde intuicin es introducida. Hilbert comienza sealando que puedeconcebirse que la geometra, en tanto disciplina nica, consiste entres ramas separadas, o ms precisamente, en tres abordajes dife-rentes. En primer lugar tenemos a la geometra de la intuicin.Esta geometra se caracteriza por conducir todas sus afirmaciones alos hechos bsicos de la intuicin, sin investigar su origen y legali-dad. La geometra intuitiva est conformada por la geometraescolar, la geometra proyectiva (sinttica) y el anlisis situs, y

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3. Cf. Hilbert 1891a, p. 21-22.

que para hacer de la geometra una ciencia abstracta, pero que sinembargo se desarrolle paso a paso en paralelo con los teoremas dela geometra, es necesario asumir nicamente ciertas premisas queconsisten en la existencia de ciertos objetos y ciertas relaciones,por medio de las cuales estos objetos estn conectados (Wiener1891, p. 460). La conferencia de Wiener parece haberle transmitidoa Hilbert una de las ideas que ms tarde se volvern centrales en sumtodo axiomtico, a saber: que es posible utilizar a los axiomas dela geometra de tal modo que slo expresen relaciones entre objetosno definidos cuyas nicas propiedades son aquellas expresadaspor los mismos axiomas.5 Por otra parte, la lectura del libro dePasch sobre geometra proyectiva (Pasch 1882) y de Los principios dela mecnica (1894) de Hertz, fueron tambin factores relevantes paraque en el curso siguiente Hilbert adopte un acercamiento decidida-mente axiomtico.6



piedades del espacio, puede dar la impresin de que Hilbert favo-rece una suerte de kantismo. Sin embargo, es posible sealar otrafuente para el uso de este trmino, que resulta quizs ms plausi-ble. Como hemos sealado, Hilbert adopta en este primer curso unabordaje sinttico o intuitivo a la geometra proyectiva. En ese sen-tido, el modo en que el curso est estructurado y las referenciasexplcitas all mencionadas, muestran que la Geometra de la posicin(1867) de Theodor Reye (Cf. Reye 1886), que a su vez se basa en eltexto homnimo de von Staudt (von Staudt 1847), sirvi de guapara la elaboracin de su curso. Luego, en la introduccin de sutexto, von Staudt seala que cada leccin de geometra debe partirde consideraciones generales que se hacen conocidas a los estu-diantes por medio de distintos tipos de figuras geomtricas y queejercitan su facultad de la intuicin (von Staudt 1847, p. III). Laexpresin facultad de la intuicin [Anschauungsvermgen] es utili-zada constantemente por Hilbert a lo largo de estas notas. La intui-cin geomtrica pura es as cierta capacidad, que de hecho puedeser instruida y desarrollada, de percibir las relaciones geomtricasfundamentales exhibidas generalmente en las construcciones geo-mtricas e independientes de consideraciones numricas. Precisa-mente, el carcter puro de esta intuicin no hace as referencia a uncarcter a priori aunque no es incompatible con l sino que serelaciona con el carcter puramente sinttico de este modo de pre-sentar a la geometra, en oposicin a una presentacin analticabasada en la introduccin de elementos numricos, es decir, en laexpresin algebraica de las relaciones geomtricas. Es precisamen-te en este sentido en el que Hilbert habla de la intuicin geomtricaen un breve artculo tambin de 1891, en donde presenta una cons-truccin puramente geomtrica de una curva anteriormente defini-da por Peano, que a su vez es un ejemplo de una funcin continuapero no diferenciable (Cf. Hilbert 1891b).

En septiembre del mismo ao Hilbert asisti en Halle a la confe-rencia de H. Wiener (1857-1939) Sobre fundamentos y construc-cin de la geometra (Wiener 1891). Segn sus bigrafos esta pre-sentacin signific una motivacin importante para su arribo a unabordaje axiomtico abstracto de la geometra.4 Wiener seala all

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4. Vase Blumenthal 1922, p. 68.

5. Ms detalles sobre la conferencia de Wiener pueden verse en Toepell1986.

6. No slo el sistema de axiomas de 1899, sino adems la concepcinaxiomtica de la geometra de Hilbert, le debe mucho al trabajo pionero dePasch. En efecto, Pasch fue quizs el primero en intentar presentar a lageometra como un sistema axiomtico formal. En ese sentido, sostuvoexplcitamente que, si la geometra haba de ser construida realmente co-mo una ciencia deductiva, entonces era necesario que sus demostracionessean ejecutadas tanto con independencia del significado o interpretacinde los trminos geomtricos, como de los diagramas o construcciones geo-mtricas. Prueba de ello es el siguiente pasaje, a menudo citado:

En efecto, si la geometra ha de ser realmente deductiva, el proceso de inferen-cia debe ser siempre independiente del significado de los conceptos geomtricos,al igual que debe ser independiente de los diagramas [Figuren]; slo las relacio-nes fijadas entre los conceptos geomtricos segn aparecen en las proposicionesutilizadas, por ejemplo en las definiciones, pueden ser tomadas en considera-cin. Durante la deduccin es til y legtimo, pero de ningn modo necesario,pensar en el significado de los conceptos geomtricos; de hecho, cuando se vuel-ve verdaderamente necesario hacerlo, ello demuestra que hay una laguna [Lc-kenhaftigkeit] en la deduccin, y que (si esta laguna no puede ser eliminadamodificando el razonamiento), las premisas son demasiado dbiles para apo-yarlo. (Pasch 1882, p. 98)

Como cada ciencia busca ordenar el grupo bsico de hechos de su pro-pio mbito, o describir los fenmenos, como dice Kirchhoff, as haceexactamente la geometra con aquellos hechos geomtricos. Esta organi-zacin o descripcin acontece por medio de ciertos conceptos, que estnconectados entre s a travs de las leyes de la lgica. Una ciencia seencuentra ms avanzada, esto es, el andamiaje de conceptos [Fachwerkder Begriffe] es ms completo, cuanto ms fcilmente cada fenmeno ohecho es acomodado. (Hilbert 1894, p. 72).

La identificacin de la geometra con una ciencia natural haceque la definicin que aqu da Hilbert resulte hasta cierto puntocontradictoria, o incompatible, con lo que de acuerdo a una con-cepcin axiomtica formal debe ser tenido por el objeto de estudiode la geometra. Siguiendo la comparacin entre la geometra y lasciencias fsicas, en especial con la mecnica, Hilbert emplea el tr-mino descripcin para caracterizar al tipo de conocimiento al queapunta la geometra.8 Hilbert no aclara nunca completamente quees lo que entiende por hecho geomtrico, aunque su empleo sucesivolleva a pensar que con ello se refiere no slo a hechos empricos,sino ms bien a un conjunto de conocimientos o verdades geom-tricas que han llegado a ser generalmente aceptadas o reconocidasa travs del tiempo por medio de la acumulacin de pruebas(demostraciones) e incluso, podra decirse, de observaciones.9 Esprecisamente este punto, es decir, la precisin o certeza que posee-mos de los hechos bsicos, lo que distingue a la geometra de otrasciencias fsicas, o siguiendo el ejemplo de Hilbert, de la mecnica:

La geometra es una ciencia que bsicamente est tan desarrollada, quetodos sus hechos pueden ser ya deducidos por medio de inferencias lgi-cas a partir de hechos previos; algo completamente distinto ocurre en,por ejemplo, la teora de la electricidad o la ptica, donde todava hoynuevos hechos son descubiertos. Empero, respecto de su origen, la geo-metra es una ciencia natural (). (Hilbert 1894, p. 72).



3. El primer acercamiento axiomtico

El curso de 1894 titulado Fundamentos de la geometra es dehecho el primer tratamiento axiomtico de cualquier rama de lamatemtica realizado por Hilbert. El mtodo axiomtico, en el sen-tido que ms tarde adquirir en sus trabajos, no est aqu obvia-mente desarrollado como en los cursos de 1898/99 y en la mono-grafa de 1899. Es decir, por un lado, Hilbert no lleva a cabo unainvestigacin axiomtica tal como es definida en la introduccin desu curso de 1891, a saber: una investigacin sistemtica de aque-llas geometras que surgen cuando uno o ms axiomas [de la intui-cin] son dejados de lado (Hilbert 1891a, p. 22) o reemplazadospor su negacin. Tampoco el mtodo de proporcionar distintasinterpretaciones o modelos est presente en el grado en el que esdesarrollado posteriormente. Sin embargo, las notas elaboradas porHilbert para este curso constituyen un inicio del anlisis axiomtico,y en este sentido es posible afirmar que este texto prepara el cami-no para los posteriores tratamientos meta-geomtricos (i.e. estudiode la independencia y consistencia de un sistema axiomtico geo-mtrico).7

A pesar de la novedad acarreada por el estilo axiomtico deestas nuevas investigaciones, en la introduccin Hilbert repite, yprofundiza, la concepcin general de la geometra y del conoci-miento geomtrico expresada anteriormente:

Entre los fenmenos o hechos de la experiencia que se nos ofrecen en laobservacin de la naturaleza, existe un grupo particularmente destacado,es decir, el grupo de aquellos hechos que determinan la forma externade las cosas [die ussere Gestalt der Dinge]. De estos hechos se ocupala geometra. (Hilbert 1894, p. 72).

Hilbert repite as la definicin tradicional de la geometra comola ciencia dedicada a estudiar las propiedades o formas de las cosasen el espacio. Sin embargo, a continuacin agrega:

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7. Sobre este punto puede verse la introduccin del captulo 2 de Majery Hallett 2004.

8. Acerca de la influencia de las discusiones entre fsicos alemanessobre los principios de la mecnica en la concepcin temprana del mtodoaxiomtico de Hilbert, vase Corry 2004.

9. Cf. Hallett 2008, p. 204.

gaciones parece indicar es que, ya en este primer acercamiento,Hilbert se aleja de una posicin formalista. Es decir, el objetivo deun anlisis axiomtico de la geometra es inicialmente obtener unconocimiento lgicamente ms perspicuo y exacto de un acervo dehechos fundamentales, fundados en la intuicin, que son identifi-cados con el conocimiento geomtrico obtenido en una etapa msbien intuitiva o acrtica de la disciplina. En ese sentido, la tareaaqu definida para el mtodo axiomtico nada tiene que ver con laidea de que ste consiste exclusivamente en el estudio de las conse-cuencias que pueden derivarse lgicamente de un conjunto com-pletamente arbitrario de principios o axiomas.

Ahora bien, Hilbert reconoce tambin inicialmente que la mane-ra de llevar a cabo esta tarea implica un nuevo modo de emprenderlos estudios axiomticos, que significa una suerte de superacinrespecto del mtodo axiomtico tal como aparece en los Elementosde Euclides. En efecto, Hilbert afirma explcitamente que el siste-ma de cosas que se supone debe presentar una imagen de la reali-dad geomtrica, consiste en un esquema de conceptos en donde losconceptos bsicos no tienen su referencia intuitiva habitual, sinoque por el contrario pueden recibir diversas interpretaciones:

En general debe afirmarse: nuestra teora proporciona slo un esquema[Schema] de conceptos, conectados entre s por las invariables leyes dela lgica. Queda librado al entendimiento humano [menschlicher Vers-tand] cmo aplicar este esquema a los fenmenos, cmo llenarlo dematerial [Stoff]. Ello puede ocurrir de diversas maneras: pero siempreque los axiomas sean satisfechos, entonces los teoremas son vlidos.Cuanto ms fcil y ms variadas son las aplicaciones, tanto mejor* es lateora.* Cada sistema de unidades12 y axiomas que describe completamente alos fenmenos est tan justificado como cualquier otro. Mostrar sinembargo que el sistema axiomtico aqu especificado es, respecto decierto punto de vista, el ms simple posible. (Hilbert 1894, p. 104).

En la medida en que su posicin axiomtica vaya evolucionan-do, Hilbert ir ganando claridad en este punto. Sin embargo, pasa-



Con esta imagen de la base epistemolgica de la geometra defondo, Hilbert introduce el objeto de su estudio axiomtico delsiguiente modo:

El problema de nuestro curso versa as: cules son las condiciones nece-sarias, suficientes e independientes entre s, que deben establecerse enun sistema de cosas, para que a cada propiedad de estas cosas lecorresponda un hecho geomtrico, e inversamente, para que por mediodel mencionado sistema de cosas sea posible una descripcin completa uorganizacin de todos los hechos geomtricos; o para que nuestro siste-ma se convierta en una imagen [Bild] de la realidad geomtrica. (Hil-bert 1894, p. 73).

Una serie de aclaraciones es aqu necesaria. En primer lugar, esevidente que el uso del trmino cosas [Dinge] es muy vago. Posi-blemente Hilbert adopt esta terminologa a partir del importantetrabajo de Dedekind: Qu son y para qu sirven los nmeros? (1888).Esta obra ejerci una reconocible influencia en Hilbert, principal-mente en este perodo temprano.10 En efecto, Dedekind define enla introduccin al trmino cosa como todo objeto de nuestropensamiento (Dedekind 1888, p. 105). En la medida en que suconcepcin axiomtica vaya evolucionando, Hilbert comenzar aemplear el trmino cosas del pensamiento [Gedankendinge], paraaclarar que aquellos elementos que tomamos como bsicos en unapresentacin axiomtica pertenecen exclusivamente a un nivelconceptual.11 Algo similar parece adems sugerir Hilbert al sea-lar, refirindose a los Principios de la mecnica de Hertz publicadopstumamente en 1894, que los axiomas son imgenes [Bilder] osmbolos en nuestra mente [Geist] (Hilbert 1894, p. 74). En segun-do lugar, lo que esta caracterizacin de los objetivos de sus investi-

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10. Acerca de la influencia de Dedekind en la concepcin axiomticatemprana de Hilbert vase Ferreirs 2009.

11. Hilbert emplea por primera vez el trmino Gedankendinge, aun-que en relacin a los objetos de la aritmtica, en 1905 (Cf. Hilbert 1905c).Asimismo, una referencia muy clara, aunque probablemente un poco pos-terior, se encuentra en sus Wissenschafliche Tagebcher: Los puntos, lneasy planos de mi geometra no son sino cosas del pensamiento [Gedanken-dinge], y en cuanto tales nada tienen que ver con los puntos, lneas y pla-nos reales (Citado en Hallett 1994, p. 167).

12. Hilbert equipara el significado del trmino unidad [Einheit] al decosa [Ding].

el propio Hilbert (Hilbert 1898a), y en ese sentido, similares a losdos cursos que hemos visto anteriormente. La otra es una redac-cin o elaboracin [Ausarbeitung] de un estudiante de doctorado deHilbert, Hans von Schaper, bajo el ttulo Elementos de la geome-tra eucldea (Hilbert 1898b). Este ltimo texto, del cual se sabefueron elaboradas setenta copias,15 fue conocido por Frege y Haus-dorff, entre otros.16 Luego, este curso de Hilbert, en sus dos versio-nes, posee un notable inters para comprender cules fueron susintenciones en la elaboracin de su presentacin axiomtica de lageometra. Por un lado, la concepcin axiomtica tal como es pre-sentada en (Hilbert 1899) se halla aqu plenamente desarrollada;incluso en ocasiones las investigaciones meta-geomtricas sondesarrolladas ms extensamente que en aquel trabajo. Por otrolado, y a diferencia del escrito celebratorio (Hilbert 1899), Hilbertpresenta muchas veces en este curso las diversas pruebas y demos-traciones acompaadas de importantes, aunque breves, reflexionesfilosficas. Paradigmtico es el caso de la nocin de existenciamatemtica y el rol de las pruebas relativas de consistencia.

Hilbert inicia sus notas repitiendo la tesis segn la cual la geo-metra debe ser considerada como una ciencia natural:

Vamos a reconocer que la geometra es una ciencia natural, pero unaciencia tal, cuya teora debe ser llamada completa, y que al mismo tiem-po constituye un modelo para el tratamiento terico de otras cienciasnaturales. (Hilbert 1898a, p. 221).

Claramente se puede reconocer aqu lo que ser ms tarde elsexto problema enunciado por Hilbert en su clebre conferencia dePars en 1900.17 Por otra parte, el calificativo de completa, que yafue mencionado anteriormente, merece una aclaracin. Al calificara la geometra de una ciencia completa, y principalmente, al soste-ner que su sistema axiomtico debe ser capaz de ofrecer una des-



jes como ste sugieren que ya en 1894 una de las ideas centrales desu mtodo axiomtico, en su aplicacin a la geometra, estaba sufi-cientemente definida. Hilbert reconoce que la axiomatizacin arrojaun esquema de conceptos que se halla separado, por decirlo dealgn modo, de la realidad [Wirklichkeit]. Ninguna interpretacinpuede ser por tanto privilegiada por sobre las otras. En otras pala-bras, la realidad no determina a la teora geomtrica, en el sentidoen que la limita a lo que est justificado intuitiva y empricamente.La geometra puede aprender as mucho de la intuicin, pero nodebe ser su esclava, incluso cuando haya desempeado un rol fun-damental en el establecimiento del conjunto de hechos, y por lotanto, en la axiomatizacin. Como resultado de ello, las teoras nopueden ser directamente verdaderas o falsas por representar, o porfallar en representar, correctamente cierto objeto o dominio deter-minado.13

4. Hacia la concepcin axiomtica de los Fundamentos de la geometra(1899).

Luego del curso de 1894, Hilbert interrumpi sus investigacio-nes sobre los fundamentos de la geometra para enfocarse exclusi-vamente en la elaboracin de su reporte sobre cuerpos algebraicosnumricos, que concluira con la publicacin del trabajo que lo con-solid como uno de los matemticos ms importantes de la poca:La teora de los cuerpos numricos algebraicos (1897). M. Toepell hasealado que fue una carta de F. Schur a F. Klein, en donde el pri-mero declara haber demostrado el teorema de Pascal en el planoutilizando slo los teoremas de congruencia en el espacio y no elaxioma de Arqumedes, lo que trajo a Hilbert de vuelta en las dis-cusiones sobre los fundamentos de la geometra.14 El resultado deesta nueva incursin es el curso dictado en el semestre de inviernode 1898/99, Fundamentos de la geometra eucldea.

Este curso, que sirvi de base para la clebre monografa de1899, posee dos versiones. Una consiste en las notas elaboradas por

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13. Vase Hallett 2008, p. 214.14. Cf. Toepell 1986.

15. Hilbert 1898b, p. 302.16. Acerca de las dos versiones del curso de Hilbert y de su relacin

con el Festschrift vase la introduccin del captulo cuatro de Majer yHallett 2004.

17. Cf. Hilbert 1900a, p. 306.

tura i.e. las propiedades lgicas de los axiomas y su relacin conlos teoremas fundamentales de, en este caso, la geometra ele-mental eucldea. En este sentido, el sistema axiomtico obtenidopor medio de la axiomatizacin proporciona un entramado de con-ceptos que no posee una relacin inmediata con un dominio fcticointuitivo. Sin embargo, en lo que respecta al lugar de la geometradentro de las disciplinas matemticas fundamentales, sta siguesiendo una ciencia que en su base est esencialmente ligada a laexperiencia y a nuestra intuicin espacial.

Hilbert explicita aun ms este punto en un curso sobre mecni-ca, tambin dictado en el semestre de invierno de 1898/99. En laintroduccin de estas notas, Hilbert define a la mecnica como laciencia que estudia el movimiento de la materia, y cuya finalidades describir este movimiento del modo ms completo y simpleposible. Mas para conocer el lugar que sta ocupa entre la matem-tica y las ciencias naturales, es necesario observar el caso de la geo-metra:

Tambin la geometra surge [como la mecnica] de la observacin de lanaturaleza, de la experiencia, y en ese sentido es una ciencia experimen-tal. En mi curso sobre geometra eucldea me introducir en este temams de cerca. Pero sus fundamentos experimentales son tan irrefuta-bles y tan generalmente reconocidos, han sido confirmados en ungrado tal, que no se requiere de ninguna prueba ulterior. Todo lo quese necesita es derivar estos fundamentos de un conjunto mnimo deaxiomas independientes y as construir todo el edificio de la geometrapor medios puramente lgicos. De este modo [i.e. por medio del trata-miento axiomtico], la geometra se vuelve una ciencia matemtica pura.(Hilbert 1898c, 1-2).

Es precisamente el grado de avance alcanzado por la geometralo que vuelve imprescindible su anlisis axiomtico, en el modo enque ahora es reformulado por Hilbert. En un pasaje con un tonomuy similar a la conferencia que casi veinte aos ms tarde pro-nunciara en Zurich, titulada El pensamiento axiomtico (Hilbert1918), Hilbert da cuenta de esta necesidad:

Cuanto ms se acerca una ciencia natural a su objetivo: la deduccinlgica de todos los hechos que pertenecen a su campo a partir de cier-tas proposiciones fundamentales, tanto ms necesario se vuelve inves-



cripcin completa de los hechos geomtricos, Hilbert tiene en mentealgo distinto de lo que ms tarde habr de entenderse como lanocin modelo-terica de completitud. Por el contrario, Hilbertest utilizando aqu una nocin ms bien pragmtica de completi-tud, similar al criterio de correccin de Hertz, a quien Hilbert serefiere breve pero constantemente a lo largo de estas notas. Este cri-terio indica que el sistema axiomtico propuesto debe permitir laderivacin de todos los teoremas conocidos de la disciplina en cues-tin. De ese modo, los axiomas presentados en (Hilbert 1899) per-miten obtener, afirma Hilbert, todos los resultados conocidos de lageometra eucldea, o incluso de la geometra absoluta (i.e. la geo-metra que se obtiene a partir de todos los axiomas de la geometraeucldea menos el axioma de las paralelas).18

Ahora bien, este curso tambin se halla claramente bajo el esp-ritu de los Fundamentos de geometra (1899), y por consiguiente, Hil-bert defiende una presentacin axiomtica formal o abstracta, quepuede resumirse en las famosas palabras iniciales de aquel texto:Pensamos tres sistemas distintos de cosas: las cosas del primer sis-tema las llamamos puntos y las designamos con A, B, C; las cosasdel segundo sistemas las llamamos lneas y las designamos cona,b,c; y las cosas del tercer sistema las llamamos planos y lasdesignamos con , , (Hilbert 1899, p. 2). Sin embargo, es inte-resante notar cmo Hilbert conjuga estos dos elementos de su abor-daje a la geometra posicin axiomtica abstracta y concepcin dela geometra como una ciencia natural:

La geometra elemental (eucldea) tiene como objeto los hechos y leyesque el comportamiento [Verhalten] espacial de las cosas nos presenta.Segn su estructura, es un sistema de proposiciones [Stzen] que enmayor o menor medida pueden ser deducidas de un modo puramen-te lgico a partir de ciertas proposiciones indemostrables, los axiomas.Esta conducta, que en menor completitud encontramos, por ejemplo,en la fsica matemtica, puede expresarse brevemente en la sentencia:la geometra es la ciencia natural ms completa. (Hilbert 1898b, p. 302).

La posicin de Hilbert parece ser que un estudio axiomticoabstracto nos proporciona un conocimiento ms claro de la estruc-

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18. Cf. Corry 2004, pp. 94-96.

5. Un anlisis lgico de la intuicin

En la introduccin de las notas que estamos analizando, Hilbertvuelve a repetir la definicin de la tarea del mtodo axiomtico, ins-pirada al igual que en cursos anteriores en la Bildtheorie de Hertz: elsistema axiomtico propuesto debe servir como una imagen simpley completa de la realidad geomtrica. Sin embargo, inmediatamen-te despus seala lo siguiente: Finalmente podemos referirnos anuestra tarea como a un anlisis lgico de nuestra facultad de la intui-cin [Anschauungsvermgen]; la cuestin, de si nuestra intuicinespacial es a priori o tiene un origen emprico, permanecer aqusin discutir (Hilbert 1898b, p. 303). El papel atribuido por Hilbert ala intuicin en la prctica del mtodo axiomtico, hace que la pre-gunta filosfica acerca del estatus de esta intuicin quede fuera decuestionamiento. Sin embargo, a continuacin aade:

A partir de lo dicho queda en claro la relacin de este curso con aquellossobre geometra analtica y geometra proyectiva (sinttica). En ambas disci-plinas las preguntas fundamentales no son tratadas. En la geometraanaltica se comienza con la introduccin del nmero; por el contrarionosotros habremos de investigar con precisin la justificacin para ello,de modo que en nuestro caso la introduccin del nmero se produciral final. En la geometra proyectiva se apela desde el principio a laintuicin, mientras que nosotros queremos analizar a la intuicin, parareconstruirla, por decir de algn modo, en sus componentes particula-res [einzelne Bestandteile]. (Hilbert 1898b, p. 303).

En el prrafo siguiente Hilbert asocia a esta intuicin propia dela geometra proyectiva, y de la geometra sinttica en general, alempleo de figuras geomtricas. Y aclara que aunque en lo quesigue la utilizacin de figuras ser algo relativamente usual, nuncase deber confiar en ellas (Hilbert 1898b, p. 303). El anlisis de laintuicin significa luego que, aunque sta nos proporciona loshechos bsicos a partir de los cuales debemos construir la geome-tra, no asumiremos de antemano su validez y buscaremos precisarcon claridad los distintos componentes de nuestra intuicin geom-trica por medio de un anlisis axiomtico formal que nos permitaconocer las propiedades lgicas, como por ejemplo la independen-cia, de los diversos axiomas. Hilbert aclara esta idea en un intere-sante ejemplo.



tigar estos mismos axiomas con precisin, indagar sus relacionesmutuas, reducir su nmero tanto como sea posible, etc. (Hilbert 1898b,p. 302).

Siguiendo las afirmaciones de Hilbert, una investigacin exactade los axiomas consiste en determinar en qu caso cada uno deellos constituye una condicin necesaria, suficiente e independien-te para la construccin, por ejemplo, de la geometra eucldea ele-mental, o incluso de un dominio ms acotado de sta, como lo serala geometra absoluta. Ahora bien, para la consecucin de estatarea es esencial que los axiomas no sean considerados como afir-maciones evidentes o verdades acerca de un dominio fijo determi-nado, y que por lo tanto sus conceptos bsicos puedan recibir libre-mente distintas interpretaciones. Ello es evidente en uno de lostpicos ms desarrollados en el Fundamentos de la geometra y en lasnotas para sus cursos, a saber: las preguntas por la indemostrabi-lidad de cierta proposicin a partir de un conjunto de principios, osea, las cuestiones de independencia. La tcnica bsica desarrolladapor Hilbert a los efectos de desarrollar investigaciones de indepen-dencia consisti en modelar, que en este contexto especfico equi-vale a traducir la teora que se pretende investigar dentro de otrateora matemtica. Mas para ello es necesario que los conceptos pri-mitivos no estn atados a su significado (intuitivo) fijo habitual,sino que por el contrario, deben poder ser reinterpretados.19 El an-lisis axiomtico se realiza sobre sistemas axiomticos formales que,como dijimos, Hilbert reconoce desde 1894 como esquemas concep-tuales cuyas proposiciones no afirman nada acerca de un dominiointuitivo concreto. Sin embargo, Hilbert aclara aqu anticipndosea la afirmacin tan problemtica de la introduccin de Hilbert1899 que todava este anlisis puede ensearnos algo acerca denuestra intuicin del espacio, y por ello, en cierto sentido su anli-sis axiomtico puede ser considerado como un anlisis lgico denuestra facultad de la intuicin (Hilbert 1898b, p. 303). Afortuna-damente, Hilbert proporciona en estas notas ms indicios de cmointerpretar esta afirmacin.

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19. Acerca de las ideas modelo-tericas presentes en Hilbert 1899,vanse Hallett 1994 y Demopoulos 1994.

De este modo los axiomas 1-4 son satisfechos.21 En cuanto a laindependencia, los axiomas 1-4 son independientes del grupo deaxiomas I (los axiomas de incidencia), porque este ltimo grupo noafirma nada acerca de la relacin de los puntos de una lnea entres. Asimismo, Hilbert seala que es posible demostrar que el axio-ma 4 no es una consecuencia de los axiomas 1-3, o sea, que el axio-ma 4 es independiente respecto de los axiomas 1-3. La demostra-cin que propone es la siguiente: Representemos los puntos A, B,C, a travs de los nmeros reales , , respectivamente. Ademsafirmamos que: C se encuentra entre A y B, s y slo s > y > (en otras palabras, el punto C se encuentra detrs o a la derechade A y B). Luego, es evidente que dada est definicin, los axiomas1-3 son vlidos pero el axioma 4 no. Pues si tomamos una ordena-cin de cuatro puntos en el sentido del axioma 4, entonces debecumplirse que:

> , > , >

y al mismo tiempo que:

> , > , >

lo que sin embargo es contradictorio.22Hilbert ilustra aqu con un simple ejemplo el procedimiento

tpico utilizado para realizar las pruebas de independencia. Mas laconclusin que de all extrae es sumamente interesante:

Entre es antes que nada una relacin de un punto con otros dos, yrecibe un contenido a travs de los axiomas. Si se quiere recin enton-ces se puede utilizar la palabra entre. Pero no por ello debe pensarseque nuestras investigaciones son superfluas. Ms bien ellas son un an-lisis lgico de nuestra facultad de la intuicin. (Hilbert 1898a, p. 230. Elnfasis es mo).

En un sentido estricto, estas investigaciones son ms bien unanlisis lgico de los axiomas, no de la intuicin. Sin embargo, lo



En la seccin II de (Hilbert 1898a) y (Hilbert 1898b), Hilbertintroduce el grupo de axiomas de orden, formado por cuatro axio-mas lineales y por el llamado axioma de Pasch, que determina lasrelaciones de orden en el plano.20 Estos cinco axiomas coincidencon el grupo de axiomas de orden de (Hilbert 1899). Luego dedemostrar una serie de teoremas bsicos, Hilbert indaga las propie-dades meta-geomtricas de los axiomas, a saber: consistencia eindependencia. Este punto es una diferencia importante respectode (Hilbert 1899), en tanto que all Hilbert se limita a demostraruna serie de teoremas, consecuencias de este grupo de axiomas, ycontina inmediatamente con el grupo de axiomas de congruencia,obviando las investigaciones meta-geomtricas. El grupo de losaxiomas de orden sirve para caracterizar con exactitud el conceptoentre. Hilbert afirma entonces que el grupo formado por los cua-tro primeros axiomas los axiomas lineales es consistente, esdecir, que los axiomas no se contradicen entre s. Una demostra-cin de dicha afirmacin es posible si interpretamos a los puntosde una lnea como nmeros reales positivos y negativos, y afirma-mos que el punto se encuentra entre y en el caso de que:

< < > > .

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20. Los axiomas lineales de orden presentados en (Hilbert 1898a, p.227-241) y (Hilbert 1898b, p. 307-319) son:

1. Si A, B, C son puntos de una lnea, y C se encuentra entre A y B,entonces C se encuentra tambin entre B y A.

2. Si A, B son puntos de una lnea, entonces existe siempre almenos un punto C, que est entre A y B, y al menos un punto D,de modo que B est entre A y D.

3. Dados tres puntos cualesquiera de una lnea, siempre hay uno yslo uno de ellos que se encuentra entre los otros dos.

4. Cuatro puntos A, B, C, D cualesquiera de una lnea pueden sersiempre ordenados de tal modo, que B se encuentra entre A, C yentre A, D; y adems C est entre A, D y entre B, D.

A C B D

A B C D 21. Hilbert 1898a, p. 229.22. Hilbert 1898a, p. 229 y Hilbert 1898b, p. 310.

En cierto modo hemos dado en este curso una teora de la geometra;deseamos ahora hacer una observacin acerca de la aplicacin de estateora a la realidad. Las proposiciones geomtricas nunca son vlidas en lanaturaleza con completa exactitud, porque los axiomas nunca son satisfechos[erfllt] por los objetos. Esta carencia en la correspondencia reside en laesencia de toda teora, pues una teora, que se corresponda hasta endetalle con la realidad, sera slo una descripcin exacta del objeto.(Hilbert 1898b, p. 391)23

Las distintas interpretaciones que puedan darse del sistemaaxiomtico formal slo pueden tener, segn Hilbert, un carcteraproximativo. La geometra ya no puede ser concebida como unadescripcin del espacio fsico, lo que sin embargo significa paraHilbert que la relacin entre geometra e intuicin debe ser repen-sada, no simplemente eliminada.

6. Consideraciones finales: la concepcin madura

El objetivo de este trabajo ha sido mostrar una serie de tesis quecomponen la concepcin axiomtica temprana de la geometra deHilbert, principalmente presentadas en sus notas para un conjuntode cursos sobre geometra a lo largo de la dcada de 1890, con elobjetivo de separarla o diferenciarla de una concepcin radical-mente formalista o modernista de las matemticas. Hemos vistoque la posicin de Hilbert experimenta una suerte de evolucin,desde el primer curso de 1891, hasta el curso de 1898/99, antece-dente inmediato de los Fundamentos de la geometra (Hilbert 1899).En efecto, Hilbert comienza afirmando que la geometra es la cien-cia que estudia las propiedades o formas de las cosas en el espacio,y que por lo tanto est fundada en la intuicin y en la experiencia.Los cursos posteriores exhiben, sin embargo, una concepcin axio-mtica abstracta relativamente consolidada, en donde se afirmaque el anlisis axiomtico se ocupa nicamente de un esquema oentramado de conceptos, cuya aplicacin o relacin con la realidadse da por medio de interpretaciones, que sin embargo slo puedentener un carcter aproximativo. Esta concepcin axiomtica abs-



que sugieren estos ejemplos, en mi opinin, es una clara posicinanti-formalista de Hilbert en su anlisis axiomtico de la geometra,que debe ser entendida del siguiente modo: el inters de realizarun anlisis axiomtico de la geometra, y en particular de la geome-tra sinttica elemental, es ofrecer una descripcin lgicamente msprecisa y completa de la estructura de esta disciplina matemtica.Ello significa que, en tanto que para Hilbert la geometra elementalse funda en gran parte en nuestra intuicin espacial, el examenaxiomtico formal proporciona un conocimiento de las propieda-des lgicas de los hechos intuitivos fundamentales que estn en labase de esta geometra, y en ese sentido, de la intuicin. El anlisisaxiomtico puede ser as visto como una reconstruccin racional oconceptual, que por medio de la axiomatizacin proporciona unsistema axiomtico formal cuyas propiedades lgicas son conoci-das principalmente por medio del procedimiento de modelar oreinterpretar, que per se supone el abandono de toda interpretacinintuitiva fija. En breve, para analizar a la intuicin geomtrica de-bemos ir ms all de ella o abandonarla. El mtodo axiomticocomo un anlisis lgico de la intuicin no es entonces incompatiblecon la idea, sino que ms bien la implica, de que diversos axiomascuya certeza intuitiva no es evidente pueden ser postulados. Sinembargo, el modo en que Hilbert entiende explcitamente aqu elobjetivo del mtodo axiomtico hace que la interpretacin formalis-ta estndar resulte inadecuada. Particularmente, la interpretacinsegn la cual la finalidad de un anlisis axiomtico es el estudio delas consecuencias que pueden obtenerse deductivamente de unconjunto de principios arbitrariamente elegidos, y sin ningn sentidointrnseco, oculta casi por completo el inters y el provecho queHilbert vislumbra en este perodo en un abordaje axiomtico a lageometra.

Por otra parte, que el examen axiomtico nos proporcione unanlisis lgico de la intuicin, por ejemplo, que pueda mostrarnosque el grupo de axiomas de orden, que expresan hechos bsicosde nuestra intuicin (Hilbert 1899, p.437) est conformado por unconjunto de axiomas independientes entre s, no significa de nin-gn modo que el sistema axiomtico propuesto sea una descrip-cin directa o inmediata de un determinado dominio intuitivodado:

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23. Vase tambin Hilbert 1898b, p. 401 y 1898a, p. 283.

El problema central que se plantea el abordaje axiomtico a lageometra es aqu exactamente igual que en 1894 y 1898. Asimismo,en el reverso de la pgina Hilbert aade en lpiz la siguiente obser-vacin:

Ahora bien, lo que no puede ser obtenido a travs del pensamientosino que slo proviene de la experiencia (experimento), son los axio-mas de la geometra, i.e. los hechos que la intuicin constituye, al igualtambin que en la fsica.Esta investigacin y este conocimiento no slo tienen un valor primor-dial, sino que tambin sirven para asegurar la verdad.

No es fcil determinar qu es lo que Hilbert quiere significarcon asegurar la verdad. Sin embargo, lo que s es posible afirmarcon seguridad es que su idea de que un anlisis axiomtico de lageometra constituye aunque quizs deba decirse, indirectamen-te un examen del contenido de un conjunto de axiomas fundadosen la intuicin, todava sigue operando:

La geometra es una ciencia muy expandida y ramificada y tambinsus fundamentos pueden ser tratados de diversos modos. No quierodedicarme aqu ni a la geometra analtica ni a la sinttica, sino quenuestro objetivo es ms bien un anlisis lgico de nuestra facultad de laintuicin. () A partir del mencionado problema la relacin de estecurso con la geometra analtica y la sinttica queda determinada. Lageometra analtica parte de la introduccin del concepto de nmero enla geometra, cuya justificacin habremos de demostrar primero aqu.En la geometra sinttica se apela a la intuicin, es decir, se aceptan loms posible las figuras de los fenmenos [Erscheinungsbilder], tal comose ofrecen y se busca a partir de all deducir nuevos fenmenos. Por elcontrario nosotros evitaremos a la intuicin, porque aqu se trata de unanlisis de la intuicin. (Hilbert 1927, p. 2).

Esta cita muestra claramente la continuidad de las tesis que,como hemos visto, caracterizan a la concepcin temprana de lageometra, con lo que podra denominarse su posicin madura.Ahora bien, en mi opinin, lo que de estas afirmaciones puedeaprenderse es cul fue la posicin de Hilbert respecto de qu estiloaxiomtico en geometra resulta beneficioso, a la vez que culeseran el inters y la utilidad que l vea en la prctica de tal mto-do. A pesar de la insistencia constante en el vnculo entre la intui-



tracta, sin embargo, no quita para Hilbert que todava la geometrasiga manteniendo una vinculacin importante con la intuicin. Noslo sta es esencial para el establecimiento de los axiomas, sinoque incluso se afirma que, por medio del estudio axiomtico, toda-va podemos obtener un conocimiento de la estructura, o de laspropiedades lgicas, de esta suerte de intuicin que se halla detrsnuestro conocimiento geomtrico, cuando la geometra es desarro-llada de un modo ms bien impreciso e informal. Ahora bien, esinteresante notar que estas ltimas ideas, que podran resultar msbien inadecuadas para una concepcin axiomtica abstracta, sonrepetidas por Hilbert prcticamente hasta el final de su produccincientfica.

En el semestre de verano de 1927, Hilbert dict su ltimo cursosobre fundamentos de la geometra. La redaccin [Ausarbeitung]del curso fue encargada a Arnold Schmidt, y luego fue completadacon anotaciones de Hilbert. Estas notas revisten un gran inters, entanto que en ellas se bas claramente la sptima edicin de los Fun-damentos de la geometra, que no slo fue la ltima edicin en vidade Hilbert, sino que adems fue la que introdujo los cambios mssignificativos respecto de la edicin original.24 En la introduccinde estas notas, Hilbert se refiere al objetivo de un estudio axiomti-co de la geometra en trminos muy similares a los que hemosvisto:

Aplicaremos el mtodo axiomtico a la ciencia natural ms completa, ala geometra, en donde ste tambin se construy en primer lugar demodo clsico. El problema es: cules son las condiciones necesarias eindependientes entre s, a las que debemos someter a un sistema decosas, para que a cada propiedad de estas cosas le corresponda unhecho geomtrico e inversamente. De qu modo debemos disponer-las, para que estas cosas sean una imagen completa de la realidad geo-mtrica? (Hilbert 1927, p. 1).

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24. En un interesante trabajo von Plato (1997) ha analizado cmo en lassucesivas ediciones de los Fundamentos de la geometra Hilbert modifica laformulacin de los axiomas, pasando de postulados de carcter ms bienconstructivo a axiomas existenciales. ste es un aspecto importante quecomnmente suele ser pasado por alto, ya que por lo general los axiomastal como fueron presentados originalmente en 1899 no suelen ser citados.

origin (Frege 1903 y 1906). Frege equipara all a la posicin de Hil-bert con la de un formalista radical, al estilo de la aritmtica deThomae y Heine, segn los cuales toda teora formal matemticaen principio no es ms que un juego vaco de signos, carente designificado (Frege 1906, p. 317). Ms an, en su crtica a la nuevanocin de axioma, Frege advierte que un axioma hilbertiano omoderno constituye una proposicin sin sentido, al igual queuna construccin arbitraria de palabras como: Todo anej bacea,por lo menos dos helas (Frege 1906, p. 284). Sin embargo, y msall de las declaraciones que hemos visto, es interesante mostrarque el mismo Hilbert se opuso explcitamente y de inmediato a estetipo de interpretacin de su concepcin axiomtica. En las notaspara un curso titulado Los principios lgicos del pensamiento matem-tico (1905), Hilbert anticipa y critica esta lectura de Frege. El pasajees ms bien largo, pero merece ser citado in extenso:

Cuando uno se pregunta por el lugar, dentro de todo el sistema, de unteorema conocido desde antao como el de la igualdad de los ngulosde la base de un tringulo, entonces naturalmente se debe apartar delas creencias tradicionales y de la intuicin, y aplicar solamente las con-secuencias lgicas de los axiomas presupuestos. Para asegurarse deello, a menudo se ha hecho la sugerencia de evitar los nombres usualesde las cosas, ya que stos pueden desviarnos, a travs de las numerosasasociaciones con los hechos de la intuicin, de la rigurosidad lgica. Seha sugerido as introducir en el sistema axiomtico nuevos nombrespara puntos, lneas, planos, etc.; nombres que recuerden solamentelo que ha sido establecido en los axiomas. Se ha propuesto incluso quepalabras como igual, mayor, menor, sean reemplazadas por forma-ciones arbitrarias de palabras, como a-rig, b-rig, a-rung, be-rung.Ello es de hecho un buen medio pedaggico para mostrar que un siste-ma axiomtico slo se ocupa de las propiedades establecidas en losaxiomas y de nada ms. Sin embargo, en la prctica este procedimientono es ventajoso, e incluso no est realmente justificado. En efecto, unosiempre debe guiarse por la intuicin al formular un sistema axiomti-co y uno siempre tiene a la intuicin como un objetivo [Zielpunkt]. Porlo tanto, no es defecto alguno si los nombres nos recuerdan siempre, eincluso hacen ms fcil recordar, el contenido de los axiomas, puestoque se puede evitar fcilmente la intromisin de la intuicin en lasinvestigaciones lgicas, al menos con un poco de cuidado y prctica.(Hilbert 1905a, pp. 87-8).



cin y la geometra, es evidente a partir de una rpida lectura desus trabajos, que la intuicin no juega un papel directo o inmedia-to en sus investigaciones geomtricas. Por el contrario, su anlisisaxiomtico es ms bien un anlisis lgico de los axiomas, que porotra parte no pueden ser tomados como verdades inmediatas acer-ca de un dominio fijo determinado. Esta idea fue, segn Bernays,la razn del enorme xito de la monografa de Hilbert: la estrictaseparacin entre la esfera espacial-intuitiva y la esfera matemtica-lgica, y con ella la separacin respecto de los fundamentos gno-seolgicos de la geometra.25 Sin embargo, esta separacin estrictaentre la esfera intuitiva y la esfera matemtica, y consecuentemen-te, la nueva forma de considerar a los axiomas que sta trae apare-jada, puede llevar a pensar que una suerte de arbitrariedad esintroducida en la geometra. En tanto que Hilbert abandona laconcepcin eucldea clsica, en su teora cualquier principio arbi-trariamente escogido puede ser postulado como un axioma, con lacondicin de que pueda probarse que el sistema axiomtico resul-tante es consistente. Ms an, si los trminos bsicos como pun-to, lnea, plano no poseen ms su referencia fija intuitiva,entonces deben ser ahora considerados como meros signos o sm-bolos vacos, sin significado. En definitiva, es esta aparente arbi-trariedad lo que llevara a pensar que la idea central detrs de lateora axiomtica formal de Hilbert es que la matemtica podraser entendida como un juego, cuyas piezas son los signos grficossin significado, y cuyas relaciones estn fijadas por los axiomas oreglas para el uso de los signos.26

En efecto, sta no solo ha sido una lectura relativamente habi-tual de la imagen de la geometra presentada por Hilbert en 1899,sino que adems fue la interpretacin ms inmediata que se hizode su posicin. Basta slo con ver algunas de las reseas que apare-cieron tempranamente, por ejemplo, la de Poincar (Cf. Poincar1903). Pero quizs ms paradigmticamente aun, sta fue la lecturaimpulsada por Frege, no slo en su clebre controversia epistolarcon Hilbert, sino principalmente en la serie de artculos que sta

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25. Vase Bernays 1922, p. 192.26. Entre otros, esta interpretacin clsica puede encontrarse en Dieu-

donn 1971, vocero del grupo de matemticos franceses Bourbaki.

ture of Model Theory, History and Philosophy of Logic, 15:211-225.

DIEUDONN, J. (1971), Modern Axiomatic Method and the Founda-tions of Mathematics, en: Le Lionnais, F. (ed.), Great Currents ofMathematical Thought, New York, Dover Publications, 2 edi-cin, pp. 251-266.

FERREIRS, J. (2009), Hilbert, Logicism, and Mathematical Exis-tence, Synthese, 170:33-70.

FREGE, G. (1903), ber die Grundlagen der Geometrie, Jahres-bericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 12:319-324; 368-375.

FREGE, G. (1906), ber die Grundlagen der Geometrie, Jahres-bericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 15:293-309; 377-404; 423-430.

FREUDENTHAL, H. (1957), Zur Geschichte der Grundlagen derGeometrie. Zugleich einer Besprechung der 8. Auflage vonHilberts Grundlagen der Geometrie, Nieuw Archief voorWiskunde, 4:105-142.

HALLETT, M. (1994), Hilberts Axiomatic Method and the Laws ofThought, en: George, A. (ed.), Mathematics and Mind, Oxford,Oxford University Press, pp. 158-200.

HALLETT, M. (2008), Reflections on the Purity of Method inHilberts Grundlagen der Geometrie, en: Mancosu, P. (ed.), ThePhilosophy of Mathematical Practice, New York, Oxford Universi-ty Press, pp. 198-255.

HERZT, H. (1894),Die Prinzipien der Mechanik, Leipzig, Arthur Meiner.HILBERT, D. (1891a), Projektive Geometrie; (MS. Vorlesung, SS

1891), en: Mayer y Hallett (2004).HILBERT, D. (1891b), ber die stetige Abbildung einer Linie auf ein

Flchenstck, Mathematische Annalen, 38:459-460.HILBERT, D. (1894), Die Grundlagen der Geometrie; (MS. Vor-

lesung, WS 1893-4), en: Mayer y Hallett (2004).HILBERT, D. (1897), Die Theorie der algebraischen Zahlkrper,

Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 4: 175-546.(Reimpreso en Hilbert 1932, vol. 1, pp. 63-363)

HILBERT, D. (1898a), Grundlagen der Euklidischen Geometrie,(MS. Vorlesung, WS 1898-9), en: Mayer y Hallett (2004).

HILBERT, D. (1898b), Elemente der Euklidischen Geometrie, en:Mayer y Hallett (2004).



Quizs esta importancia atribuida a la intuicin permita mos-trar que la posicin de Hilbert no es tan modernista o formalistacomo la de otros partidarios de una concepcin axiomtica abstrac-ta de la matemtica, como por ejemplo sus contemporneos Peanoy Hausdorff. Ms an, en base a estas afirmaciones es posible vercmo, en el caso de la interpretacin de su concepcin de la geome-tra, a menudo se ha incurrido en un error similar al de la interpre-tacin de su concepcin de la matemtica en general. Es decir, talcomo es ahora ampliamente reconocido, resulta claramente err-neo identificar al programa formalista desarrollado por Hilbertdurante la dcada de 1920, y principalmente en respuesta a lasamenazas planteadas por el intuicionismo de Brouwer, con su filo-sofa o su concepcin general de la matemtica. Del mismo modo,parece igualmente injustificado reducir a la concepcin filosficatemprana de la geometra de Hilbert con su presentacin axiomti-ca formal de 1899, o ms precisamente, con la aparente motivacinformalista que de all parece seguirse. Hasta cierto punto, dichainterpretacin resulta comprensible, en tanto la totalidad de lasideas que hemos analizado fueron presentadas por Hilbert en escri-tos no publicados. Sin embargo, a la luz de estas fuentes, se vuelveevidente que su concepcin axiomtica de la geometra es mscompleja que lo que la persistente imagen estndar de su posicinnos ha enseado.

BIBLIOGRAFA

BERNAYS, P. (1922), Hilberts Significance for the Philosophy ofMathematics, en: Mancosu, P. (ed.), From Brouwer to Hilbert.The Debate on the Foundations of Mathematics in the 1920s, NewYork, Oxford University Press, pp. 189-197, 1998.

BLUMENTHAL, O. (1922), David Hilbert, Die Naturwissenschaften,4:67-72

CORRY, L. (2004), David Hilbert and the Axiomatization of Physics(1898-1918): From Grundlagen der Geometrie to Grundlagen derPhysik, Dordrecht, Kluwer Academic Publishers.

DEDEKIND, R. (1888), Qu son y para qu sirven los nmeros?,Madrid, Alianza Editorial, 1998. Trad. Jos Ferreirs.

DEMOPOULOS, W. (1994), Frege, Hilbert, and the Conceptual Struc-

62 E. N. GIOVANNINI


von PLATO, J. (1997), Formalization of Hilberts Geometry of Inci-dence and Parallelism, Synthese, 110:127-141.

von STAUDT, F. (1847), Geometrie der Lage, Nrnberg, Verlag vonBauer und Raspe.

TOEPELL, M. (1986), ber die Entstehung von David Hilberts Grundla-gen der Geometrie, Gttingen, Vandenhoeck & Ruprecht.

WEYL, H. (1944), David Hilbert and his Mathematical Work, Bu-lletin of Symbolic Logic, 50:612-654.

WIENER, H. (1891), ber Grundlagen und Aufbau der Geometrie,Jahresbericht der Deutschen Mathematikern-Vereinigung, 1:45-48.

Recibido: 12-2010; aceptado: 03-2011



HILBERT, D. (1898c), Mechanik, (MS. Vorlesung, WS 1898/9),Niederschsische Staats- und Universittsbibliothek Gttingen,Handschriftenabteilung, Cod. Ms. D. Hilbert 553.

HILBERT, D. (1899), Grundlagen der Geometrie. Festschrift zur Feier derEnthllung des Gauss-Weber Denkmals in Gttingen, en: Majer yHallett (2004).

HILBERT, D. (1900a), Mathematische Probleme, en: Hilbert (1935),pp. 290-329.

HILBERT, D. (1900b), ber den Zahlbegriff, Jahresbericht derDeutschen Mathematischen Vereinigung, 8: 180-184.

HILBERT, D. (1905a), Logische Principien des mathematischen Denkens;(MS. Vorlesung, SS 1905). Ausgearbeitet von E. Hellinger.Georg-August-Universitt Gttingen, Mathematisches Institut,Lesesaal.

HILBERT, D. (1905b), Logische Principien des mathematischen Denkens;(MS. Vorlesung, SS 1905). Ausgearbeitet von M. Born.Niederschsische Staats und Universittsbibliothek Gttingen,Handschriftenabteilung, Cod. Ms. D. Hilbert 558a.

HILBERT, D. (1905c), On the Foundations of Logic and Arithmetic,The Monist, 15:338-352.

HILBERT, D. (1918), Axiomatisches Denken, MathematischeAnnalen, 78:405-415.

HILBERT, D. (1927), Grundlagen der Geometrie; (MS. Vorlesung, SS1927). Ausgearbeitet von A. Schmidt. Georg-August-UniversittGttingen, Mathematisches Institut, Lesesaal.

HILBERT, D. (1935), Gesammelte Abhandlungen, vol. 3, Berlin,Springer Verlag.

MAJER, U. Y HALLETT, M. (EDS.) (2004), David Hilberts Lectures on theFoundations of Geometry, 1891-1902, Berlin, Springer Verlag.

PASCH, M. (1882), Vorlesungen ber neuere Geometrie, Leipzig,Teubner.

POINCAR, H. (1903), Review of Hilberts Foundation of Geome-try, Bulletin of the American Mathematical Society, 2:1-23.

REYE, T. (1886), Die Geometrie der Lage, Leipzig, Baumgrtner, 3 edi-cin.

ROWE, D. (2000), The Calm before the Storm: Hilberts Early Viewof the Foundations, en: Hendriks, V. et al. (eds.), Proof Theory.History and Philosophical Significance, Dordrecht, Kluwer Aca-demic Publishers, pp. 55-93.

64 E. N. GIOVANNINI


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