Física 3-07
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1
Prof. A.F.Guimares Fsica 3 Questes 7
Questo 1
A corrente que passa atravs de uma
associao de resistores conectados em srie
igual a 2 A. Liga-se, em srie com este conjunto,
um novo resistor cuja resistncia vale . Verifica-se que a corrente que passa atravs dos
resistores torna-se igual a 1,5 A. Encontre o valor
inicial da resistncia total, antes da introduo da
resistncia de . Resoluo:
A intensidade de corrente (ou simplesmente
corrente) que passa atravs da associao ser: (1.1)
Com a associao (em srie) do resistor de , a nova corrente do circuito ser:
(1.2)
Utilizando as equaes (1.1) e (1.2), teremos: (1.3)
Questo 2
Uma bateria possui f.e.m. e resistncia interna . A bateria est ligada a um motor que levanta um peso com velocidade constante . Suponha que no haja perda de potncia por efeito Joule. Ache
(a) a corrente i no circuito, (b) a diferena de
potencial nos terminais do motor.
Resoluo:
a) A potncia fornecida pela bateria dada por:
(2.1)
Porm, como no h perdas por efeito Joule, a
equao (2.1), se torna:
(2.2)
A potncia mdia relacionada ao trabalho do
motor dada por:
(2.3)
Assim, utilizando (2.2) e (2.3), teremos:
(2.4)
b) Desprezando as perdas na resistncia interna
da bateria, podemos concluir que a d.d.p. nos
terminais do motor vale:
(2.5)
No entanto, se considerarmos a queda de tenso
na resistncia interna da bateria (porm
desprezando as perdas por efeito Joule), teremos
para o motor uma d.d.p. dada por:
(2.6)
Questo 3
Considere os mesmos dados do problema
anterior. Suponha, no entanto, que exista perda de
potncia por efeito Joule. (a) Escreva a equao
para o balano da potncia (conservao da
potncia). (b) Suponha que a potncia dissipada
por efeito Joule na resistncia interna da bateria e
na resistncia interna do motor seja igual a 2 W;
calcule a corrente que flui no circuito; determine,
tambm, para este caso, (c) a resistncia interna
do motor, (d) a diferena de potencial nos
terminais do motor.
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Resoluo:
a) A potncia fornecida pela bateria dada pela
expresso (2.1), a potncia consumida pelo motor
ser:
(3.1)
Assim, utilizando a conservao de potncia,
teremos:
(3.2)
Em que a resistncia equivalente da associao da resistncia da bateria com a
resistncia do motor.
b) Utilizando o resultado de (3.2), teremos: (3.3)
c) Utilizando o fato de que as potncias dissipadas
pelas resistncias internas juntas totalizam em
2W, teremos: (3.4)
d) A d.d.p. nos terminais do motor dada por:
(3.5)
Questo 4
Generalize a lei das malhas para um nmero N
qualquer de baterias e de resistores em srie.
Resoluo:
Seja o circuito de malha nica representado na
figura a seguir.
Figura 4.1
Utilizando a lei das malhas, teremos:
(4.1)
Questo 5
(a) Mostre que a potncia dissipada pelo efeito
Joule na resistncia R do circuito representado na
figura 5.1 mxima quando R igual resistncia
interna r da bateria. (b) Mostre que o valor P
dessa potncia mxima dado por . Resoluo:
Figura 5.1
a) A potncia fornecida pela bateria dada pela
expresso (2.1). Para obtermos o ponto de
mxima potncia, efetuamos a derivada e
posteriormente determinaremos o ponto cuja
derivada se anula. Logo:
(5.1)
A corrente no circuito dada por:
(5.2)
Assim, utilizando o resultado de (5.1) em (5.2),
teremos:
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(5.3)
b) Agora, substituindo o resultado de (5.1) em
(2.1), temos:
(5.4)
Obs.: O resultado de (5.1), tambm pode ser
encontrado se analisarmos a equao do 2 grau
em um grfico por exemplo.
Questo 6
Um fio de resistncia igual a ligada aos terminais de uma bateria de 1,5 V de f.e.m. e cuja
resistncia interna vale . Supondo a corrente constante, estimar, para um intervalo de
tempo de 30 s, as seguintes grandezas: (a) a
energia qumica fornecida pela bateria, (b) a
energia dissipada por efeito Joule no fio, (c) a
energia dissipada por efeito Joule na bateria. (d)
Verifique a validade da lei de conservao da
energia.
Resoluo:
a) Previamente, vamos encontrar a corrente que
percorre o circuito: (6.1)
Utilizando o resultado de (6.1), teremos para a
taxa de energia gerada (potncia gerada) pela
bateria:
(6.2)
Logo, a energia qumica gerada pela bateria ser: (6.3)
b) A energia dissipada no fio ser:
(6.4)
c) A energia dissipada no interior da bateria ser:
(6.5)
d) Utilizando os resultados de (6.3), (6.4) e (6.5),
teremos:
(6.6)
Questo 7
Introduz no circuito da figura 7.1 um
ampermetro de de resistncia. Qual ser a variao percentual da corrente devida
presena do ampermetro?
Figura 7.1
Resoluo:
A intensidade de corrente neste circuito vale:
(7.1)
Com a presena do ampermetro (obviamente
ligado em srie com a resistncia de ) a corrente ento:
(7.2)
Assim, a variao percentual ser:
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(7.3)
Questo 8
O trecho do circuito AB da figura 8.1 absorve
uma potncia , sendo percorrido por uma corrente , no sentido indicado. (a) Qual a diferena de potencial A e B? (b) Se o
elemento C no tem resistncia interna, qual
ento a sua f.e.m.? (c) Qual a sua polaridade?
Figura 8.1
Resoluo:
a) A potncia transferida ao circuito dada por: (8.1)
Assim, substituindo os valores fornecidos teremos
para a d.d.p. entre A e B:
(8.2)
b) A d.d.p. total dada por:
(8.3)
Com o resultado de (8.2), teremos: (8.4)
c) A polaridade de B negativa.
Questo 9
Calcule a diferena de potencial entre os pontos c
e d do circuito da figura 9.1, utilizando para isso o
maio nmero de percursos diferentes. Considere .
Figura 9.1
Resoluo:
Previamente se faz necessrio conhecer as
correntes que percorrem o referido circuito.
Assim, vamos aplicar as leis das Malhas e tambm
a lei dos ns. Utilizando a lei dos ns, teremos:
(9.1)
Agora, utilizando a lei das malhas para a malha da
direita, percorrendo-a no sentido adba:
(9.2)
E para a malha da esquerda, sentido cbdc:
(9.3)
Substituindo os valores nas equaes (9.2) e (9.3)
e tambm utilizando (9.1), teremos o seguinte
sistema:
(9.4)
Resolvendo (9.4), teremos:
(9.5)
Substituindo os resultados de (9.5) em (9.1),
teremos:
A B C i
a b c
d
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(9.6)
O sinal negativo em (9.6), indica que a corrente
est invertida. Agora, podemos determinar a d.d.p.
entre os pontos c e d. O primeiro percurso
fornece:
(9.7)
O segundo percurso:
(9.8)
O terceiro percurso:
(9.9)
Questo 10
A potncia dissipada por duas resistncias
ligadas em srie n vezes menor do que a
potncia dissipada pelas mesmas resistncias
quando elas so ligadas em paralelo (com a
mesma fonte). Conhecendo-se uma das
resistncias obtenha uma equao para a determinao da outra resistncia . Despreze a resistncia interna da fonte.
Resoluo:
Para a associao em srie, a tenso eltrica
dada por: (10.1)
E a potncia dissipada:
(10.2)
Para a associao em paralelo, a potncia
dissipada vale:
(10.3)
De acordo com a questo, temos a seguinte
relao entre as potncias:
(10.4)
Utilizando (10.1), (10.2) e (10.3) em (10.4),
teremos:
(10.5)
A equao final de (10.5), pode ser resolvida pela
frmula de Bhaskara. Assim, temos:
(10.6)
Em que .
Questo 11
Um fio de cobre macio possui raio . Este fio encapado por uma camada cilndrica de alumnio de raio externo . Na seo reta deste fio composto passa uma corrente . O fio ligado a uma fonte cuja tenso de sada constante e igual a V.
Determine: (a) a expresso das correntes que
passam na seo reta de cada metal, (b) os valores
de e , (c) o valor de V supondo que o comprimento total do fio seja igual 400 m e que as
correntes sejam aquelas calculadas no item
anterior, (d) a resistncia equivalente e a
resistncia de cada metal nas condies do item
(c).
Resoluo:
a) Tanto o fio de cobre como a capa cilndrica de
alumnio, formam uma associao em paralelo de
resistores. Assim, teremos:
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(11.1)
b) Previamente, determinaremos as resistncias
do fio de cobre e da capa de alumnio. Assim,
teremos: (11.2)
Como se trata de uma associao em paralelo,
temos: (11.3)
E, alm disso, ainda temos: (11.4)
As resistividades so respectivamente: e . Assim, utilizando os valores das resistividades, os
respectivos raios juntamente com (11.2), ento
(11.3) se torna: (11.5)
Utilizando o resultado de (11.5) em (11.4),
teremos: (11.6)
Utilizando o resultado de (11.6) em (11.5),
teremos: (11.7)
c) Vamos determinar pelo menos uma das
resistncias. Por exemplo, a resistncia do fio de
cobre. Logo, de (11.2):
(11.8)
Logo, utilizando os resultados de (11.7) e (11.8), a
d.d.p. para o fio de cobre ser:
(11.9)
d) A resistncia do cilindro de alumnio pode ser
obtida por meio de (11.2) ou como se segue:
(11.10)
Como os resultados de (11.6) e (11.9), teremos
para (11.10):
(11.11)
A resistncia equivalente ser:
(11.12)
Questo 12
Usando somente dois resistores,
separadamente, em srie ou em paralelo,
desejamos obter resistncias de 3, 4, 12 e 16 .
Que valores devem ter as resistncias desses dois
resistores?
Resoluo:
Quando dois resistores so associados, para
obter o maio valor da resistncia equivalente os
resistores devem estar associados em srie. Logo:
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(12.1)
Para se obter um valor para a resistncia
equivalente menor do que o menor valor das
resistncias associadas, deve-se efetuar uma
associao em parelo. Logo: (12.2)
Utilizando (12.1) em (12.2), teremos: (12.3)
Agora achar dois nmeros que somados
resultam em 16 e multiplicados resultam em 48.
Os canditados so 12 e 4. Mas podemos encontrar
uma equao para isso. Utilizando (12.1) em
(12.3), teremos: (12.4)
Agora s resolver com auxlio da frmula de
Bhaskara.
Questo 13
Tome como referncia a figura 13.1. Considere
os valores: . Calcule: (a) a potncia consumida em cada resistor, (b) a potncia total consumida no
circuito, (c) a potncia total fornecida ao circuito.
(d) Verifique qual das duas baterias fornece e qual
das duas consome energia; verifique se existe
conservao da potncia total.
Figura 13.1
Resoluo:
a) Para calcular a potncia em cada resistor,
devemos conhecer previamente as intensidades
de correntes para cada resistor. Assim,
utilizaremos as leis de Kirchhoff. Da lei dos ns,
temos:
(13.1)
Da lei das malhas:
Malha da esquerda
(13.2)
Malha da direita
(13.3)
Substituindo os dados numricos nas equaes
(13.2) e (13.3), teremos respectivamente:
(13.4)
(13.5)
Utilizando (13.1) em (13.4) e (13.5), teremos o
seguinte sistema de equaes:
(13.6)
Temos como solues de (13.6):
(13.7)
De (13.1) teremos:
(13.8)
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Assim, a potncia em cada resistor ser:
(13.9)
b) A bateria 1 recebe energia, pois a corrente 3
est invertida. A potncia da bateria 1 vale:
(13.10)
Assim, juntando os resultados de (13.9) e (13.10),
temos para a potncia total consumida:
(13.11)
c) Ento, a bateria 2 fornece energia para o
circuito, a uma taxa dada por:
(13.12)
d) Vide itens b e c.
Questo 14
Considere os seguintes valores na figura 14.1. . (a) Calcule o valor da potncia de cada bateria,
indicando se a bateria fornece ou se consome
energia. (b) Ache a potncia dissipada por efeito
Joule em cada resistor. (c) Verifique se existe
conservao da potncia total.
Figura 14.1
Resoluo:
a) Vamos previamente determinar os valores das
intensidades das correntes do circuito. E para isso
vamos recorrer s leis de Kirchhoff. Da lei dos ns
teremos:
(14.1)
Da lei das malhas:
Malha maior
(14.2)
Malha menor
(14.3)
Substituindo os dados numricos em (14.2) e
(14.3), teremos:
(14.4)
Como as correntes 2 e 3 esto invertidas, ento as
baterias 2 e 3 fornecem energias e a bateria 1
consome. Assim, teremos:
(14.5)
b) As potncias dissipadas:
(14.6)
c) Para conferir se houve conservao da
potncia, tomamos a soma das potncias
fornecidas e das potncias consumidas:
(14.7)
Questo 15
Um ampermetro introduzido no ramo do
circuito da figura 15.1 que contm o resistor .
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(a) Qual o valor indicado pelo aparelho se ? (b) Suponha, agora que trocamos de posio o
ampermetro e a fonte de f.e.m., de modo que o
primeiro passa a ocupar o lugar do segundo e
vice-versa. Mostre que o ampermetro ainda
marca o mesmo valor da corrente. Esta relao de
reciprocidade vlida para qualquer circuito que
contenha uma nica fonte de f.e.m.
Figura 15.1
Resoluo:
a) Previamente vamos determinar a corrente do
circuito. Para isso, vamos determinar a resistncia
equivalente do circuito. Os resistores esto associados em paralelo (considerando que o
ampermetro ideal, ). Assim, para essa associao teremos:
(15.1)
O resistor est associado em srie com . Assim, para o circuito a resistncia equivalente
ser: (15.2)
A corrente na bateria vale ento: (15.3)
A d.d.p. para a associao dos resistores vale:
(15.4)
Assim, a corrente no ampermetro ser:
(15.5)
b) Trocando a posio do ampermetro com a
posio da fonte, os resistores estaro associados em paralelo. A resistncia equivalente
para essa associao ser:
(15.6)
O resistor est associado em srie com . Assim, a resistncia equivalente do circuito ser:
(15.7)
A corrente do circuito ser:
(15.8)
Em que dado por (15.7). A d.d.p. para a associao dos resistores , ser:
(15.9)
Logo, a corrente no ampermetro ser:
(15.10)
Questo 16
A Ponte de Wheatstone. A resistncia varivel
da figura 16.1 pode ser ajustada de modo que os
pontos a e b tenham exatamente o mesmo
potencial. (Verifique essa situao ligando
momentaneamente um medidor sensvel entre os
pontos a e b. No havendo diferena de potencial,
no haver deslocamento no ponteiro do
medidor.) Mostre que, aps essa ajustagem, a
seguinte relao torna-se verdadeira
A
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.
A resistncia de um resistor pode ser medida por este processo (chamado de Ponte de
Wheatstone), em funo das resistncias de outros resistores calibrados anteriormente.
Figura 16.1
Resoluo:
A d.d.p. entre x e a dada por:
(16.1)
A d.d.p. entre x e b dada por:
(16.2)
Supondo que , temos:
(16.3)
De forma semelhante teremos:
(16.4)
E
(16.5)
Como :
(16.6)
De (16.3) e (16.6), teremos:
(16.7)
Questo 17
Mostre que se os pontos a e b da figura 16.1
forem ligados por um fio de resistncia r, este ser
percorrido por uma corrente igual a
,
onde fizemos e o valor da f.e.m. da bateria.
Resoluo:
Figura 17.1
Aplicando a lei das malhas no circuito da figura
17.1, teremos:
Malha xbyx:
(17.1)
Malha xabx:
(17.2)
Malha ayba:
a
b
x y
a
b
x y
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(17.3)
Malha xayx: (17.4)
Da equao (17.1), temos: (17.5)
E da equao (17.4): (17.6)
Em que . Agora, utilizando (17.5) e (17.6) em (17.2), teremos:
(17.7)
Aps algumas manipulaes algbricas teremos: (17.8)
Questo 18
Considere a questo 17. Suponha que todas as
cinco resistncias sejam desiguais. Considere e calcule a resistncia equivalente entre os pontos x e y da figura 17.1.
Resoluo:
Vamos aproveitar as equaes da questo anterior
sendo que os resultados (17.5) e (17.6) sero
dados respectivamente por: (18.1)
E
(18.2)
Em que e . Assim, a expresso (17.8) toma a seguinte forma:
(18.3)
Desta forma, podemos obter a corrente total do
circuito :
(18.4)
Chamamos de resistncia equivalente, aquela que
ao ser conectada a bateria a mesma corrente total
se estabelece no circuito:
(18.5)
Assim, utilizando (18.1), (18.2), (18.3) e (18.4) em
(18.5), teremos:
(18.6)
Em que
(18.7)
Questo 19
Medida da resistncia. Um voltmetro
(resistncia interna ) e um ampermetro (resistncia interna ) so ligados a um resistor a fim de medir o valor R da sua resistncia como
mostra a figura 19.1. O valor da resistncia
obtido de , onde V dado pela leitura do voltmetro e i o valor da corrente que atravessa
o resistor R. Uma frao da corrente i registrada
pelo ampermetro passa atravs do voltmetro, de
modo que o quociente entre as leituras d
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12
apenas um valor aparente R para a resistncia.
Mostre que R e R esto relacionados por
Note-se que se , ento .
Figura 19.1
Resoluo:
A corrente que percorre o ampermetro dada
por: (19.1)
Em que a corrente que atravessa o resistor e a corrente que atravessa o voltmetro. O resistor e o voltmetro esto associados em
paralelo, portanto, esto sob a mesma d.d.p., a
saber, V. Assim, definimos a resistncia R por: (19.2)
No entanto, a resistncia R deve ser dada por: (19.3)
Substituindo (19.2) e (19.3) em (19.1), teremos: (19.4)
Em que .
Questo 20
Medida da resistncia. Numa medida de
resistncia, o ampermetro e o voltmetro tambm
podem ser ligados na forma indicada pela figura
20.1. Aqui, novamente, o quociente entre as
leituras dos instrumentos d apenas o valor de R
da resistncia. Mostre que, agora,
Onde a resistncia do ampermetro. Note-se que temos, outra vez, , quando .
Figura 20.1
Resoluo:
A d.d.p. medida pelo voltmetro dada por:
(20.1)
Em que a d.d.p. no resistor, dada por:
(20.2)
A d.d.p. no ampermetro, dada por:
(20.3)
A resistncia R definida de acordo com (19.2).
Assim, substituindo (19.2), (20.2) e (20.3) em
(20.1), teremos:
(20.4)
A V V
A V V
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Questo 21
Um resistor de e um capacitor esto ligados em srie, sendo-lhes subitamente aplicado
um potencial de 12 V. Sabendo-se que o potencial
atravs do capacitor sobe a 5 V em , qual a capacitncia do capacitor?
Resoluo:
Com a soluo da equao diferencial (veja, por
exemplo, Fsica III Sears e Zemansky 10
edio), temos para a d.d.p. nos terminais do
capacitor: (21.1)
Substituindo os dados teremos: (21.2)
Questo 22
Tome como referncia a figura 22.1. Suponha
que o capacitor esteja carregado com uma carga
mxima ; no instante t = 0 a chave S movida do terminal a para o terminal b. Mostre que toda
energia eltrica inicial transformada em calor por efeito Joule.
Figura 22.1
Resoluo:
Na descarga do capacitor, a expresso da carga
armazenada nele dada por:
(22.1)
A expresso da energia armazenada no capacitor
dada por:
(22.2)
Assim, utilizando (22.2) em (22.1), teremos:
(22.3)
Em que .
Assim, tomando o limite de (22.3), quando o
tempo tende ao infinito, teremos:
(22.4)
A energia cedida pelo capacitor foi aproveitada
pelo resistor em seu prprio aquecimento.
Podemos tambm encontrar a potncia dissipada
pelo resistor. De (22.1), teremos para a corrente
no resistor:
(22.5)
Utilizando (22.5), teremos para a potncia
dissipada:
(22.6)
Tomando o limite de (22.6), utilizando (22.4),
teremos:
(22.7)
a
b
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Questo 23
Sejam , respectivamente, as correntes e diferenas de potencial atravs dos
resistores do circuito da figura 23.1. Seja tambm a diferena de potencia entre as placas do capacitor C. (a) Faa um grfico que
descreva, qualitativamente, a dependncia com o
tempo das grandezas acima, a partir do momento
em que ligada a chave S. (b) Depois de
permanecer ligada durante vrias constantes de
tempo, a chave S desligada. Faa um novo grfico
qualitativo da variao com o tempo das mesmas
grandezas, a partir do momento em que S
desligada.
Figura 23.1
Resoluo:
a) Imediatamente aps a ligao, podemos
considerar o capacitor como um condutor comum.
Assim, teremos uma resistncia equivalente dada
por: (23.1)
Com isso, a corrente fornecida pela bateria ser: (23.2)
Depois de certo tempo, vrias vezes a constante
de tempo capacitiva, o capacitor est
praticamente carregado e a corrente no resistor 3
praticamente nula. Assim a resistncia
equivalente do circuito ser: (23.3)
E desta forma, a corrente fornecida pela bateria
ser:
(23.4)
Em que . Logo, teremos para os grficos do resistor 1:
Para o resistor 2, imediatamente aps a ligao,
teremos:
(23.5)
E
(23.6)
Utilizando (23.6) em (23.5), teremos:
S
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(23.7)
E (23.8)
Em que dada por (23.2). Pode-se observar que . Aps o intervalo de tempo de carga do capacitor supracitado, teremos:
(23.9)
Ento teremos para os resistores 2 e 3:
E para o capacitor, temos que inicialmente a
tenso nula. E para o intervalo de tempo vrias
vezes a constante de tempo capacitiva, a tenso
tende para a tenso do resistor 2. Assim, teremos:
b) Desligando a chave, teremos para o resistor 1, . Agora, levando em considerao que o capacitor se encontra carregado, a corrente
fornecida por ele ser:
(23.10)
Em que . O sinal negativo indica que a corrente fornecida pelo capacitor tem o
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sentido invertido. Assim, para os resistores 2 e 3
teremos:
Obs.: S por uma questo de coerncia com o sinal
da corrente, construiu-se o grfico com a curva
abaixo do eixo dos tempos.
Agora, para a tenso (d.d.p.) para os resistores 2 e
3, teremos:
Tambm aqui foram construdos os grficos com
as curvas abaixo do eixo dos tempos.
Questo 24
No circuito da figura 24.1, temos . Com o capacitor C completamente descarregado, a
chave S fechada, repentinamente (t = 0). (a)
Determinar, para t = 0 e t = , as correntes
atravs de cada resistor. (b) Representar
qualitativamente num grfico a queda de
potencial atravs de desde t = 0 at t = . (c) Quais so os valores numricos de em t = 0 e t = ? (d) Dar o significado fsico de t = e
estabelecer um limite inferior aproximado, mas
significativo (em segundos), para t = , neste
caso.
Figura 24.1
Resoluo:
a) Essa questo semelhante questo anterior.
Para t = 0, o capacitor, estando descarregado,
funciona como um condutor comum. Sendo assim,
a resistncia equivalente dada por (23.1).
Substituindo os valores, teremos para a
resistncia equivalente do circuito:
(24.1)
Com isso, a corrente fornecida pela bateria ser:
(24.2)
Que a corrente que percorre o resistor 1. Para os
resistores 2 e 3, como so idnticos:
(24.3)
S
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Agora para t = , a resistncia equivalente ser
dada por (23.3), ou seja: (24.4)
Logo, a corrente fornecida pela bateria ser: (24.5)
Que tambm ser a corrente do resistor 2. Como o
capacitor estar carregado, a corrente no resistor
3 ser nula.
b) e c)Utilizando os resultados de (24.3) e (24.5),
teremos:
(24.6)
d) Esse tempo o esperado para uma carga total
do capacitor. O limite inferior ser a constante de
tempo capacitiva RC. Sabemos que a equao para
a carga desse capacitor dada por: (24.7)
Ento a corrente no resistor 3 dada por: (24.8)
Para t = 0, teremos:
(24.9)
Assim, de (24.8), utilizando (24.6) e (24.9),
teremos:
(24.10)
Questo 25
Malha infinita. A rede com os resistores e indicados na figura 25.1 se estende at o infinito
pelo lado direito. Prove que a resistncia total dessa rede infinita dada por:
.
(Dica: Uma vez que a rede se estende at o
infinito, a resistncia da rede situada direita dos
pontos c e d tambm igual a )
Figura 25.1
Resoluo:
Um problema semelhante foi resolvido em:
Questes de eletricidade 6 em ensino mdio
exerccios resolvidos. A resoluo idntica ao
referido caso.
Seja a resistncia equivalente entre os
terminais c e d igual a . O fato de se adicionar aos terminais c e d um ramo esquerda com os
terminais a e b, no deve oferecer nenhuma
mudana significativa, ou seja, a resistncia
equivalente entre os terminais a e b tambm ser . Assim poderemos escrever:
a
b
c
d
. . .
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(25.1)
Resolvendo a equao (25.1), teremos: (25.2)
Resolvendo a ltima equao de (25.2), por
Bhaskara, teremos: (25.3)
No entanto, devemos tomar o sinal positivo, pois . Logo: (25.4)
Questo 26
Axnios e cadeia atenuadora. A rede que se
estende at o infinito da figura 25.1 denomina-se
cadeia atenuadora, uma vez que nessa cadeia de
resistores a diferena de potencial entre o fio
superior e o fio inferior diminui, ou se atenua, ao
longo do comprimento da cadeia. A) Mostre que,
se a diferena de potencial entre os pontos a e b
indicados na figura 25.1 , ento a diferena de potencial entre os pontos c e d dada por , onde e , a resistncia total da rede, foi obtida na questo anterior (eq. (25.4)). B) Se a diferena de
potencial entre os terminais a e b da extremidade
esquerda da rede na figura 25.1 for , mostre que a diferena de potencial entre pontos do fio
superior e os pontos do fio inferior situados a uma
distncia igual a n segmentos da rede contados a
partir da extremidade esquerda dada por . Considerando , quantos segmentos sero necessrios para produzir uma
reduo da diferena de potencial at um valor menor do que 1% do valor de ? C) Uma cadeia atenuadora infinita fornece um modelo para
propagao de um pulso de voltagem ao longo de
uma fibra nervosa conhecida como axnio. Cada
segmento da rede na figura 25.1 representa um
pequeno segmento do axnio com um
comprimento . A resistncia representa a resistncia do fluido dentro e fora da parede da
membrana do axnio. A resistncia da membrana
para uma corrente que flui atravs da parede
representada por . Para um segmento de axnio com um comprimento (a parede da membrana um bom isolante). Calcule e para um axnio infinitamente comprido. (Essa afirmao boa,
visto que o comprimento do axnio muito maior
do que sua largura; o maior axnio no sistema
nervoso humano possui cerca de de comprimento, porm seu raio aproximadamente
igual a .) D) Qual a frao da diminuio da diferena de potencial entre a parte interna e a
parte externa do axnio depois de uma distncia
igual a 2,0 mm? A atenuao da diferena de
potencial mostra que o axnio no pode ser
simplesmente um cabo passivo conduzindo a
corrente eltrica; a diferena de potencial deve ser
periodicamente reforada ao longo do
comprimento do axnio pelo mecanismo do
potencial de ao. E) O mecanismo do potencial de
ao lento, de modo que o sinal se propaga ao
longo do axnio com uma velocidade de apenas . Quando se torna necessria uma resposta mais rpida, o axnio revestido com
uma camada de material gorduroso denominado
mielina. Os segmentos possuem comprimento
aproximado de 2 mm e so separados por lacunas
chamadas de nodos de Ranvier; os potenciais de
ao so gerados somente nesses nodos. A mielina
produz um aumento da resistncia de um
segmento de da membrana para . Para esse axnio revestido com a camada de mielina, qual a frao da diminuio
da diferena de potencial entre a parte interna e
parte externa do axnio depois de uma distncia
compreendida entre dois nodos de Ranvier
consecutivos? Essa atenuao menor permite que
o pulso chegue ao nodo seguinte com intensidade
suficiente para gerar um novo potencial de ao; a
velocidade de propagao aumenta porque o
pulso se desloca como um sinal eltrico
convencional nos segmentos que contm mielina.
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Resoluo:
a) A diferena de potencial entre a e b dada por:
(26.1)
A diferena de potencial entre c e d dada por:
(26.2)
Utilizando (26.1) em (26.2), teremos:
(26.3)
Agora, utilizando a primeira equao de (25.2),
teremos:
(26.4)
b) Observa-se que para o primeiro segmento,
temos de (26.4):
(26.5)
Para o segundo segmento:
(26.6)
E claro, considerando a rede infinita:
(26.7)
Agora, seja . Teremos: (26.8)
Logo:
(26.9)
Utilizando (26.7) e (26.9), para ,
teremos:
(26.10)
Ou seja, cerca de 4 segmentos.
c) Substituindo os dados, teremos:
(26.11)
Um segmento possui um comprimento de ento 2,0 mm possui 2000 segmentos. Utilizando
(26.7) e (26.11), teremos:
(26.12)
d) Utilizando o novo valor para , teremos:
(26.13)
Ento:
(26.14)
Questo 27
Um capacitor de alarme contra ladres. A
capacitncia de um capacitor pode ser alterada
por um material dieltrico que, embora fora do
capacitor, esteja suficientemente prximo do
capacitor para ser polarizado pelo campo eltrico
existente nas bordas de um capacitor carregado.
Esse efeito da ordem de picofarads (pF), porm
ele pode ser usado com um circuito eletrnico
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apropriado para detectar uma variao do
material dieltrico que est na vizinhana do
capacitor. Tal material dieltrico poderia ser o
corpo humano, e esse efeito poderia ser usado
para projetar um alarme contra ladres.
Considere o circuito simples indicado na figura
27.1. A fonte de tenso possui fem e o capacitor apresenta capacitncia . O circuito eletrnico para detectar a corrente,
representado por um ampermetro no diagrama,
possui resistncia desprezvel, sendo capaz de
detectar uma corrente da ordem de pelo menos e que persista por um tempo de pelo menos depois que a capacitncia mudar repentinamente de C para C. O alarme contra
ladres projetado para ser ativado quando a
capacitncia varia de 10%. A) Determine a carga
no capacitor de quando ele est plenamente carregado. B) Supondo que o
capacitor esteja plenamente carregado antes de o
intruso ser detectado e desprezando o tempo
necessrio para produzir a variao de
capacitncia de 10%, deduza uma equao que
fornea a corrente que passa em R em funo do
tempo t desde o momento em que a capacitncia
foi alterada. C) Determine o intervalo de valores
para os quais a resistncia R satisfaa as condies
especificadas do alarme contra ladres. O que
ocorreria se o valor de R fosse demasiadamente
pequeno? E se fosse muito grande? (Dica: No h
como resolver analiticamente o problema, porm
possvel usar um mtodo numrico. Expresse o
valor de R como uma funo logartmica de R mais
grandezas conhecidas. Comece com um valor
estimado de R e calcule pela expresso um novo
valor. Continue esse procedimento at obter um
valor de R com trs algarismos significativos.)
Figura 27.1
Resoluo:
a) A carga plena dada por:
(27.1)
b) Alterando o dieltrico, altera-se a capacitncia
e consequentemente altera-se a carga do
capacitor. Assim, aplicando a lei das malhas
teremos:
(27.2)
Em que q e C so respectivamente a nova carga e
a nova capacitncia. Resolvendo a equao
diferencial (27.2), com , teremos:
(27.3)
Em que dada por (27.1) e . Logo, para a corrente, teremos:
(27.4)
c) Utilizando os valores fornecidos, teremos, para
(27.4):
(27.5)
Para satisfazer a equao (27.5), temos que:
(27.6)
E de forma um tanto bvia, R > 0. Podemos
determinar os valores de R que satisfaam a
equao (27.5) construindo os grficos das duas
funes.
A
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Sejam . Para os grficos, teremos:
As curvas se cruzam nos pontos em que . O grfico foi construindo a partir de uma planilha. Esse
processo no muito preciso. No entanto nos
fornece uma boa aproximao.
Agora, utilizando o seguinte algoritmo em C++,
possvel encontrar os valores aproximados
acima citados com maior preciso.
//
// Programa para calcular o valor da resistncia para o alarme de presena
//
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
int main(int nNumberofArgs, char* pszArgs[])
{
double nL = 1.0;
double Delta = 1.0e-8;
while (nL < 9.0e+7)
{
double A = (1.1e-8)*nL;
double B = -2.0e+7/(1.1*nL);
double Dif = log(A) - B;
if (Dif < Delta && Dif > -Delta)
{
cout