Física 1 Capítulo 6 Rotação de corpos rígidos Prof. Dr. Cláudio....

Física 1 – Capítulo 6 – Rotação de corpos rígidos – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.

1

Introdução:

Em algumas situações em física, não há a

possibilidade de estudar o movimento como se a

partícula fosse um ponto material. Citamos o

movimento de um CD/DVD, o movimento de uma serra

elétrica ou de uma roda gigante. Cada um deles envolve

um corpo que gira em torno de um eixo que permanece

estacionário em relação a algum sistema de referência

inercial. A rotação ocorre em todas as escalas, desde o

movimento de elétrons em torno de átomos até o

movimento de galáxias inteiras.

Desenvolveremos métodos especiais que

analisam o movimento de corpos que giram.

No mundo real, as forças que atuam nos corpos

podem ainda deformá-los, esticando-os, torcendo ou

comprimindo-os. Desprezaremos essas deformações,

supondo que o corpo mantenha sua forma definida e

imutável, cujo modelo denominamos de corpo rígido.

Velocidade angular e aceleração angular

Designamos por eixo fixo aquele que

permanece em repouso em relação a algum referencial

inercial e que não muda de direção.

Ângulo θ:

ss r

r

Unidades:

Radiano:

Grau:

Grado:100 gr – 90°

180

rad

Velocidade angular:

Velocidade angular média:

t

2 1

2 1t t

Unidade: Radiano por segundo: rad/s.

Velocidade angular instantânea:

0limt t

d

dt

Aceleração angular:

Aceleração angular média:

t

2 1

2 1t t

Unidade: Radiano por segundo ao

quadrado: rad/s².

Aceleração angular instantânea:

0limt t

d

dt

Observações: No MCU:

22 f

T

f: Freqüência. Unidade: Hertz (Hz)

1 Hz = 1/s ou rpm=(1/60)Hz

T: período. r

Exemplo 1 – A figura mostra o volante de um

carro que está sendo testado. A posição angular dessa

roda é:

3

32 rad

st

O diâmetro do volante é igual a 0.36m. Ache:

(a) o ângulo θ, em radianos e em graus, nos

instantes t1 = 2.0 s e t2 = 5.0 s.

(b) Ache a distância percorrida por uma

partícula na periferia do volante nesse intervalo de

tempo.


2

(c) Calcule a velocidade angular média, em

rad/s e em rev/min (rpm) entre t1 = 2.0 s e t2 = 5.0 s.

(d) Ache a velocidade angular instantânea para

t = 3.0 s.

Solução:

(a) 3 3

1 1 1 12 2 2 16t rad

180180

rad

1

16180 920

3 3

2 2 2 22 2 5 250t rad

180

2

250180 14000

(b) 0.18 250 16s r s

42s m

(c) 2 1

2 1

250 16

5 2t t

78 78 60 740min

rad rad rev

s s

(d) 26

dt

dt

26 3 54rad s

Exemplo 2 – Calcule a aceleração angular do

instantânea e a aceleração angular média entre os

instantes t1 = 2.0 s e t2 = 5.0 s do exemplo anterior:

3

32 rad

st

Solução: 2

2

d d d d

dt dt dt dt

212

radt

s

2 1

2 1t t

2

150 2442

5 2

rad

s

Rotação com aceleração angular constante:

0 t

2

0 02

t t

2 2

0 02

Exemplo 3 – Rotação com velocidade

angular constante. Uma roda de bicicleta está sendo

testada em uma oficina de reparos. A velocidade

angular da roda é 4.00 rad/s no instante t = 0s e sua

aceleração angular é constante e igual a 1.20 rad/s2. Um

raio OP da roda coincide com o eixo Ox no instante t =

0s. (a) Qual a velocidade angular da roda no instante t =

3.00 s? (b) Qual é o ângulo formado pelo raio OP e o

eixo +Ox nesse instante?


3

Solução:

(a) 0 t

4 1.2 3 0.40rad

s

(b) 2

0 02

t t

21.20

0 4 3 3 6.62

rad

Aceleração tangencial, centrípeta e resultante

Aceleração tangencial:

Ta r

Aceleração centrípeta ou normal: 2

2

cp cp

va a r

r

Aceleração resultante:

2 2

cp Ta a a

Exemplo 4 – Movimento de um disco. O

lançador de um disco gira com aceleração angular =

50 rad/s², fazendo o disco se mover ao longo de uma

circunferência de raio 0.8m. Vamos supor que o braço

do lançador possa ser tratado como um corpo rígido,

logo, r é constante. Determine o componente vertical e

o componente horizontal da aceleração no instante em

que a velocidade angular é 10 rad/s.

Solução:

250 0.8 40T T T

ma r a a

s

2 2

210 0.8 80cp cp cp

ma r a a

s

2 2

cp Ta a a

2 280 40a

289

ma

s

Exemplo 5 – Projeto de uma hélice. Você foi

solicitado para projetar a hélice de um avião que deve

girar a 2400 rpm. A velocidade do avião deve ser de

75.0 m/s (270 km/h), e a velocidade da extremidade da

lâmina da hélice não pode superar 270 m/s. (Isso é cerca

de 0.8 vezes a velocidade do som no ar. Se as

extremidades das lâminas se deslocassem com a

velocidade do som, elas poderiam produzir uma enorme

quantidade de ruído. Mantendo a velocidade menor que

a velocidade do som obtém-se um nível de ruído

aceitável.)

(a) Qual é o raio máximo que a hélice pode ter?

(b) Com esse raio, qual é a aceleração da

extremidade da hélice?

Solução:

24002400

60f rpm f Hz

40f Hz


4

2 2 40 251.3rad

fs

(a) Velocidade tangencial de um ponto P na

extremidade da hélice::

Pv r

Velocidade do avião em relação ao ar: vA.

Velocidade total:

2 2 2 2 2

A P Av v v v v r

2 2 2 22

2 2

270 75

251

Av vr r

1.03r m

(b) A velocidade angular da hélice é constante: 2 2251 1.03cp cpa r a

4

26.5 10cp

ma

s

Força que a hélice exerce:

46.5 10cp

F NF m a

m kg

As hélices são fabricadas de materiais leves e

duros, como ligas de alumínio.

Exemplo 6 – Engrenagem de uma bicicleta. Como relacionar as velocidades angulares das duas

rodas dentadas de uma bicicleta com o número de

dentes de cada roda?

Solução:

1 2 1 1 2 2v v r r

2 1

1 2

r

r

A condição de que o espaçamento entre os

dentes é o mesmo nas duas rodas dentadas é dado por:

1 2 1 1

1 2 2 2

2 2r r r N

N N r N

2 1

1 2

N

N

A velocidade angular de cada roda dentada é

inversamente proporcional ao número de dentes. Em

uma bicicleta com várias marchas, você obtém a

velocidade angular mais elevada 2 da roda traseira

pedalando com uma taxa 1 quando a razão N1/N2 é

máxima; isso significa que você deve usar a roda

dentada dianteira com maior raio (maior valor de N1) e a

roda traseira com menor raio (menor valor de N2).

Energia do movimento de rotação

Um corpo girando constitui-se de massas em

movimento. Podemos escrever a energia dese

movimento em termos da velocidade angular do corpo:

A energia cinética total do corpo é a soma das

energias cinéticas de todas as partículas do corpo:

22

1 1

1 1

2 2

N N

i i i i

i i

K m v K m r

2 2

1

1

2

N

i i

i

K m r

Momento de Inércia Definimos como momento de inércia, o

produto pela massa com o quadrado de sua distância ao

eixo de rotação. A palavra momento dá a idéia de que I

depende da maneira como que a massa do corpo é

distribuída no espaço.

2

1

N

i i

i

I m r

Unidade: kg.m2.

21

2K I

Exemplos associados a momento de inércia:


5

Exemplo 7 – Momento de inércia em relação

a diferentes eixos de rotação. Um engenheiro está

projetando uma parte de uma certa máquina que

consiste em três conectores pesados ligados por suportes

leves,. Os conectores podem ser considerados como

partículas pesadas conectadas por hastes com massas

desprezíveis.

(a) Qual é o momento de inércia desse corpo em

relação a um eixo perpendicular ao plano do desenho

passando no ponto A?

(b) Qual é o momento de inércia desse em torno de

um eixo que coincide com a haste BC?

(c) Se o corpo gira em torno de um eixo

perpendicular ao plano do desenho e passa por A, com

velocidade angular = 4.0 rad/s, qual é a sua energia

cinética?

Solução: (a) A partícula no ponto A está sobre o eixo.

Sua distância r é 0. Assim:

2

1

N

i i

i

I m r

2 20.1 0.5 0.2 0.4I 20.057I kg m

(b) As partículas em B e em C estão sobre o

eixo. Para elas, r = 0. Assim:

2

1

N

i i

i

I m r

20.3 0.4I 20.048I kg m

(c)

2 21 10.057 4 0.46

2 2K I K K J

Observação: O momento de inércia de um

corpo depende da localização e da orientação do eixo.

Momento de inércia de figuras:

Teorema dos eixos paralelos

2

P CMI I M d


6

Exemplo 9 – Desenrolando um cabo. Um

cabo leve, flexível e não deformável, é enrolado várias

vezes em torno da periferia de um tambor, um cilindro

sólido com um diâmetro de 0.120m e massa igual a 50

kg, que pode girar em torno de um eixo estacionário

horizontal mantido por mancais sem atrito. A

extremidade livre do cabo é puxada por uma força

constante de módulo igual a 9.0 N deslocando-se uma

distância de 2.0 m. Ele se desenrola sem deslizar

fazendo o cilindro girar. Se o cilindro inicialmente está

em repouso, calcule sua velocidade angular e a

velocidade escalar final do cabo.

Solução:

Existe atrito entre o cabo e o cilindro: é isso

que faz o cilindro girar assim que puxamos o cabo.

Porém, como o cabo não desliza, não existe nenhuma

velocidade relativa de deslizamento entre o cabo e o

cilindro, e nenhuma energia mecânica é perdida em

virtude do atrito. A variação de energia cinética do

cilindro é igual ao trabalho W = F s realizado pela força

F = 9.0 N que atua em um deslocamento s = 2.0 m;

portanto, W = 9.2 = 18J. De acordo com a tabela de

momentos de inércia:

21

2I M R

2 2150 0.6 0.090

2I I kg m

Como o cilindro está inicialmente em repouso,

pelo teorema trabalho-energia:

2 2

2 1 0

1 1

2 2W K K W I I

Como o corpo está em repouso:

0 0

2 2 18

0.090

W

I

20rad s

20 0.06v r v

1.2m

vs

Exemplo 10 – Desenrolando um cabo II. Em

uma experiência de laboratório para testar a

conservação da energia mecânica de rotação, enrolamos

um cabo leve e flexível em torno de um cilindro maciço

de massa M e raio R. O cilindro gira com atrito

desprezível em torno do eixo horizontal estacionário.

Amarramos a extremidade livre do cabo a um

objeto de massa m e libertamos o objeto sem velocidade

inicial a uma distância h acima do solo. À medida que o

objeto cai, o cabo se desenrola sem deslizar nem se

esticar, fazendo o cilindro girar. Calcule a velocidade do

objeto que cai e a velocidade angular do cilindro no

instante que o objeto atinge o solo.

Solução:

Inicialmente, o sistema não possui nenhuma

energia cinética (K1 = 0). Consideramos a energia

potencial igual a zero quando o objeto está no nível do

solo. Logo, U1 = m.g.h e U2=0. (Podemos ignorar a

energia potencial gravitacional do cilindro, visto que sua

altura não varia). Assim, o atrito não realiza trabalho,

logo:

2 2 1 1 0FW U K U K

O cabo não realiza trabalho total, porque em

uma extremidade a força e o deslocamento estão no

mesmo sentido, e na outra extremidade a força possui

sentido contrário ao do deslocamento. Logo, o trabalho

total do cabo é igual a zero. Imediatamente antes de o

objeto colidir com o solo, tanto o objeto quanto o

cilindro possuem energia cinética. A energia cinética

total K2 nesse instante é:

2 2

2

1 1

2 2K m v I

21cilindro

2I M R

v R

A velocidade da massa que cai deve ser igual à

velocidade tangencial de um corpo na periferia do

cilindro. Usando essas relações e igualando a energia

total inicial com a energia total final, teremos:


7

2 2 1 1U K U K

2

2 21 1 10

2 2 2

vm g h m v M R

R

21 1

2 2m g h m M v

2

12

g hv

M

m

Velocidade angular final:

v

R

Observe que:

0M m v

2M m v g h

Veja que v não depende do raio do cilindro!

Exemplo 11 – Uso do teorema dos eixos

paralelos. Uma das partes de uma articulação mecânica

possui massa igual a 3.6 kg. Medimos seu momento de

inércia em relação a um eixo situado a uma distância de

0.15 m do seu centro de massa e encontramos o valor IP

= 0.132 kg.m2. Qual o momento de inércia em relação a

um eixo que passa pelo seu centro de massa Icm?

Solução: 2

P cmI I M d

2

cm PI I M d

20.132 3.6 0.15cmI

20.051cmI kg m

Cálculos de momento de inércia.

Quando um corpo rígido não pode ser

representado por massas puntiformes, podemos escrever

a relação integral: 2

corpo

I r dm

Dependendo de como a massa está distribuída,

podemos definir as densidades:

Densidade Símbolo Definição Unidade

Linear

M

L

kg

m

Superficial

M

A

2

kg

m

Volumétrica

M

V

3

kg

m

Para o caso unidimensional, podemos definir:

dmdm dl

dl

2

corpo

I r dl


8

Para corpos bi e tridimensionais, veja a tabela a

seguir.

Tabela - Definições de Momentos, Momentos de

inércia e centro de massa.

Corpos

Bidimensionais

(Figuras Planas)

Corpos tridimensionais

Centro de

Massa

),( mm yx

),,( mmm zyx

Rm

R

x dA

xdA

Rm

R

x dV

xdV

Rm

R

y dA

ydA

Rm

R

y dV

ydV

Rm

R

z dV

zdV

Momentos

Lâmina Sólido

mxM y mzM xy

myM x myMxz

mxM yz

Momentos de

Inércia

Figuras Planas Corpos Tridimensionais

Ix 2

R

y dA

2 2( )R

y z dV

Iy 2

R

x dA

2 2( )R

x z dV

Io, Iz

2 2( )R

x y dA

2 2( )

R

y x dV

Exemplo 12 – Barra delgada uniforme, eixo

ortogonal ao seu comprimento. A figura mostra uma

barra ou vara delgada uniforme de massa M e

comprimento L. Determine seu momento de inércia em

relação a um eixo passando pelo ponto O, a uma

distância arbitrária h de uma de suas extremidades.

Solução: Escolhendo um elemento de massa de uma

seção reta da barra com comprimento dx situado a uma

distância x do ponto O. Assim, se a densidade linear é

uniforme:

dm M Mdm dx

dx L L

2

corpo

I r dm

2 2

L h L h

h h

M MI x dx I x dx

L L

3

3

x L h

x h

M xI

L

2 213 3

3I M L L h h

o Se o eixo passar pela extremidade esquerda: h = 0:

21

3I M L

o Se o eixo passar pela extremidade direita: h = L:

21

3I M L

o Se o eixo passar pelo centro: h=L/2:

21

12I M L

Exemplo 13 – Cilindro maciço ou oco

girando em torno de seu eixo. A figura mostra um

cilindro oco e uniforme com comprimento L, raio

interno R1 e externo R2 e massa M. Calcule o momento

de inércia em relação ao eixo de simetria do cilindro.

Solução:

2dm dV dm r L dr

2

corpo

I r dm


9

2

1

2 2

R

R

I r r L dr

2

1

32

R

R

I L r dr

4 4

2 14

LI R R

Exemplo 14 – Esfera homogênea de raio R e

eixo passando pelo centro. A esfera abaixo poderia ser

uma bola de bilhar. Determine seu momento de inércia.

Solução:

2 2r R x

2dm dV dm r dx

2

corpo

I r dm

2 2dm R x dx

Para um disco:

21

2dI r dm

2

2 2 2 21

2dI R x R x dx

2

2 2

2dI R x dx

2

2 2

0

22

R

I R x dx

58

15I R

34

3

M M

VR

3

3

4

M

R

58

15I R

5

3

8 3

15 4

MI R

R

22

5I M R

Exemplo 15 – Movimento de um CD/DVD.

Em um compact disc ou digital video disc, as

informações são gravadas digitalmente em uma série de

pits (“buracos”) e flats (regiões de áreas planas) sobre a

superfície do disco, representando uma série de binários

0 ou 1, que serão lidos pelo compact disc player e

convertidos em ondas sonoras. Os pits e as flat areas

são detetados por um sistema de um laser e lentes. O

comprimento de um certo número de zeros e uns

gravados é o mesmo ao longo de todo o disco, próxima

a borda ou próximo ao seu centro. Para que o

comprimento da região gravada de “0s” e “1s” sempre

passe pelo sistema de leitura lentes e laser no mesmo

período, a velocidade linear da superfície do disco na

região de leitura deve ser constante. Em um aparelho de

CD típico, a velocidade de leitura é da ordem de 1.3

m/s. Encontre a velocidade angular do disco quando a

informação está sendo lida do interior (first track) em r

= 23 mm e no exterior (final track) r = 58 mm.

Solução:


10

2

2

1.356.5

2.3 10

1.322.4

5.8 10

i i

i

ie e

rad

v s

radr

s

56.58.99

2

22.423.565

2

i ii

i

e e

f f Hz

f

f f Hz

( ) ( ) 60if rpm f Hz

539.4

213.9

i

e

f rpm

f rpm

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