FISBIO16' Teoria cinetica dei gas - scienze.uniroma2.it · Teoria cinetica dei Gas Gas Ideali...
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Definizione di Gas Perfetto 1. Un gas perfetto è un “grand ensemble” di particelle indistinguibili, identiche e puntiformi (sistema statisticamente significativo di particelle).
2. Le particelle si muovono in modo caotico (tutte le direzioni sono equiprobabili);
3. Le particelle interagiscono tra loro e con le pareti del recipiente mediante urti perfettamente elastici (ovvero non vi è dispersione di energia durante gli urti);
4. Le particelle non hanno forze di interazione a distanza (le traiettorie del moto dopo l’urto sono rettilinee).
pV = NkT pV = n R0T
N = numero di molecole k = costante di Boltzmann R = costante dei gas n = numero di moli
Gas Perfetto l Si può osservare che qualunque tipo di gas, confinato in un
recipiente a bassa densità, segue la legge dei gas perfetti: pV = nRT.
l n è il numero di moli l R è la costante dei gas è vale R = 8,31 [J/mol K]
L’equazione di stato dei gas si può esprimere anche in funzione del numero di particelle N e diventa:
pV = NkT con k = R/NA ed NA numero di Avogadro
l L’importanza dell’equazione dei gas perfetti sta nella sua semplicità e nel fatto che per basse densità è indipendente dalla specie atomica.
l Anche l’aria che respiriamo soddisfa le condizioni dei gas perfetti.
Pressione di un gas perfetto
Lmv
vLmv
tP
F x
x
xqx2
/22
==Δ
Δ=
( )22232
222
2 .../...//
21
21
N
Nxxx
xxxxp vvv
Lm
LLmvLmvLmv
LFP +++⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛=+++
==
• La variazione della quantità di moto lungo l’asse x è: ΔPx = (-mvx) – (mvx) = -2mvx
• il tempo che intercorre per andare e tornare da parete a parete lungo un cubo di lato L, è 2L = Δtvx Δt = 2L/vx • la forza trasferita sulla parete è:
Questa è la forza impressa da una particella su una parete di lato L. (ATTENZIONE: Pp rappresenta la pressione e la lettera Px la quantità di moto).
Con N il numero di particelle e vx2 velocità quadratica media nella direzione x
223 xxp v
VnMv
LmNP ==
A causa del moto caotico dovremo dividere per 3 la velocità quadratica media Pp = (nMv2
qm)/3V
Velocità quadratica media l dalla formula
P = (nMv2qm)/3V
si vede che la pressione P, dipende dalla velocità v delle singole particelle. l Utilizzando l’equazione PV = nRT ed evidenziando la vqm , per una mole, si avrà:
3MRTvqm =
La velocità quadratica media, a R.T. , è molto alta (c.a. 520 m/s), dipende dalla radice della temperatura, espressa in K, e dall’inverso della specie atomica.
Domanda: Se ipotizzare che le molecole siano equamente distribuite in tutte le direzioni è plausibile ed è verificato dall’esperienza quotidiana, la velocità quadratica media non ci dice quante molecole hanno velocità v in un certo istante. Per fare ciò serve conoscere la distribuzione delle velocità di Maxwell
Energia cinetica traslazionale Sempre considerando una scatola cubica di lato L, l’energia cinetica media sarà
MRTmK
mvvmmvK qm
321
21
21
21 222
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
===
dove M è la massa molare ed m la massa della singola molecola. Ovvero M/n = NA (numero di Avogadro)
kTKNRTKA 2
3 ovvero 23
==
La misura della temperatura di un gas non è altro che la misura della energia cinetica media del gas.
Cammino libero medio
2
121
dNV
πλ =
Il camino fra due urti successivi è il cammino libero. La somma dei cammini divisa per il numero delle collisioni è il cammino libero medio di un N molecole in un volume V:
l’aria ha un cammino libero medio che è:
Al l.m. λ = 10-7 m. A 100 km λ = 1,6 10-2 m. A 300 km λ = 2,0 103 m.
VNtvdtv
rel
m
Δ
Δ== 2collisioni di numero
cammino dellunghezza π
λ
e considerando che vrel = √2 vm avremo
Velocità di Maxwell La legge della distribuzione delle velocità fu trovata da Maxwell nel 1852
La vm, la vp, e la vqm non coincidono a causa della forma asimmetrica della curva. Il massimo della curva cambia se cambia la temperatura del gas.
€
P(v) = 4πM
2πRT
3 2
v2exp[−(Mv 2 2RT)]
Distribuzione delle velocità
∫∫ ==∞ 2
1
)( 1)(0
v
vdvvPfrazdvvP
MRTdvvvPv
π8)(
0== ∫
∞
MRTv
MRTdvvPvv qm
33)(0
22 =→== ∫∞
La curva ci da la probabilità di trovare un certo numero di particelle, P(v) dv, nell’intorno di una definita velocità. L’area sottesa dalla curva è il numero delle particelle costituenti il gas. Pertanto:
La velocità media sarà dato dalla soluzione:
Allo stesso modo si può trovare la media della velocità quadratica
La velocità più probabile si trova ponendo uguale a zero la derivata di P(v) M
RTvp2
=