FIRAT ÜNĐVERSĐTESĐ ĐMÜ 413 DERSNOTLARI...

M 413 Bilgisayar Destekli Boyutlandrma

Yrd.Do.Dr. Fatih Cetili

1

FIRAT NVERSTES

MHENDSLK FAKLTES

NAAT MHENDSL BLM

M 413

BLGSAYAR DESTEKL BOYUTLANDIRMA

DERS NOTLARI (TEORK)

Yrd. Do. Dr. Fatih CETL

(Prof. Dr. Mehmet LKERin nceki yllarda hazrlam olduu ders notlar dzenlenmitir)

2008-2009 Gz



2

NDEKLER

NDEKLER ________________________________________________________2

A. Notasyon ve aret Kural___________________________________________3

B. Eleman Kuvvet ve Deplasmanlar ____________________________________3

I. Kafes sistemler iin bantlar ___________________________________________ 4

II. Dm noktalar rijit sistemler -EREVELER- iin bantlar ____________ 7

C. Dm Noktas Deplasman ve Koordinatlar ___________________________8

D. Deplasmanlarn Geometrik Uygunluk art ___________________________11

I. Deplasman dnm matrisinin kurulmas________________________________ 11

II. Kafes sistemler iin deplasman dnm matrisi_________________________ 12

III. Dm noktas rijit (ereve) Sistemler ________________________________ 15

E. Analizin Sonulandrlmas ________________________________________19

F. ubuk Kuvvetlerinin ve Rijitlik Matrisinin Dorudan Elde Edilmesi _______25

I. Rijitlik matrisinin dorudan elde edilmesi ________________________________ 25

II. ubuk Kuvvetlerinin Dorudan Elde Edilmesi __________________________ 30



3

MATRSLERN YAPI SSTEMLERNE UYGULANMASI

MATRS DEPLASMAN YNTEM

A. NOTASYON VE ARET KURALI

Pozitif deplasmanlar ve dnmeler

saat ynnn tersinde, X ekseninden Y eksenine doru alnr.

Pozitif kuvvetler ve momentler

M Pden Qya doru alnr.

Aada bir kiriin ularndaki eksenel kuvvet, kesme kuvveti ve eilme momentleri pozitif ynleriyle grlmektedir.

B. ELEMAN KUVVET VE DEPLASMANLARI

Elemanlarda i kuvvetler ve i deplasmanlar arasndaki banty incelemek iin basit bir yay gz nne alnabilir.

Q

P

M

Q

P

M

Y

X

Q

P

M



4

Lineer elastik yay iin, uygulanan d kuvvet P ile deplasman x arasndaki bant ise grafik olarak aada verildii ekildedir.

P = k.x olarak yazlabilir.

k = yaya bal, sertlikle ilgili bir faktr, = rijitlik

f = 1/k olmak zere x= f.P olarak da yazilabilir. Bu durumda,

f = fleksibilite, yayn yumuakl ile ilgili bir katsay

I. Kafes sistemler iin bantlar

Yay haline en yakn olan durumdur.

e = uzama

ekme (+)

basn (-)

Pi

x

L+e

i

y

Pj

j L

Koordinat sisteminde kafes ubuun

deforme olmu ve

deforme olmam hali

P

x

k

1

k

x

Yklenmemi hal

Yklenmi hal



5

exL

AEk

xkP

eL

AEP

L

eE

L

LeLE

A

P

E

=

=

=

=

=+

=

=

ise

)(

ndanKanunu' Hooke

Herbir ubuk iin elde edilen

Pg=kg*ug

eitlii (kg=EA/L olmak zere)sistem iin elde edilen

P=K*Z

matrisinde yerine yazlr.

=

nnn u

u

u

k

k

k

P

P

P

2

1

2

1

2

1

0000

0000

0000

0000

0000

rnek:

ekildeki kafes sistemin P=K*Z denkleminin genel formu

1

2 3

4



6

=

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

000

000

000

000

u

u

u

u

k

k

k

k

P

P

P

P

rnek:

ekildeki kafes sistemin P=K*Z denklemini kurunuz.

= 45, A = 5000 mm2, E = 200 kN/mm2.

2504000

5000200

414.12502828

5000200

)(

2828)45cos(4000

4000

765

4321

4321

765

=

===

=

====

=

=====

===

kkk

kkkk

L

EAk

mmLLLL

mmLLL

gg

olarak elde edilir. Matris formunda sistemin denklemi yazlrsa,

=

7

6

5

4

3

2

1

7

6

5

4

3

2

1

0.1000000

00.100000

000.10000

000414.1000

0000414.100

00000414.10

000000414.1

250

u

u

u

u

u

u

u

P

P

P

P

P

P

P

4 m. 4 m.

1

5

2 3 4

6 7



7

II. Dm noktalar rijit sistemler -EREVELER- iin bantlar

AB

BB

AA

VVVL

VL

V

=

+=

+=

Bu ekil iin snr artlar kullanlarak (veya yap statii bilgileriyle)

=

=

=

B

A

B

A

ABB

BAA

M

M

EI

L

MMEI

L

MMEI

L

21

12

6

formunda matris aolarak vey

)2(6

)2(6

bu denklemden

A A

x A

y

B L

ereve sistemde ubuk elemann

deforme olmu ve

deforme olmam hali

VB

V

VA

B B

Q

P

MB

Q

P

MA

A

B



8

=

B

A

B

A

L

EI

M

M

42

24 elde edilir.

Bir ereve ubuk iin en genel haldeki bant,

=

B

A

B

A

v

u

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EIL

EA

M

M

Q

P

4260

2460

66120

000

2

2

223

Herbir ubuk iin Pg = Kg*Zg stteki matris formunda elde edilir.

C. DM NOKTASI DEPLASMAN VE KOORDNATLARI

X

Y

x1

y1

x2

1

2

(0,0)

(4,3)

(4,0)

(8,3)

(8,0)

(0,3)

X

Y

4 m. 4 m.

3 m.

y2



9

Deplasman bileenleri x, y, ve ile gsterilir. Bunlar dm noktasnnserbestlik derecesi olarak adlandrlr. x-y dzlemindeki mesnet trleri iin serbestlik dereceleri aada belirtilmitir.

Serbestlik Derecesi Mesnet Tr

x y

Ankastre 0 0 0

Sabit 0 0 1

Kayc 1 0 1

rnek: ereve Sistem (x-y dzleminde)

Serbestlik Derecesi Dm Noktas x y

1 0 0 0

2 1 1 1

3 1 1 1

4 1 1 1

5 0 0 1



10

=

5

4

4

4

3

3

3

2

2

2

y

x

y

x

y

x

X (deplasman vektr) sistemin serbestlik derecesi = 10

rnek: Kafes Sistem (x-y dzleminde)

Serbestlik Derecesi Dm Noktas x y

1 0 0

2 1 1

3 1 1

4 1 0

5 1 1

6 1 1

7 1 1

Kafes sistemlerde dnme

yok



11

=

7

7

6

6

5

5

4

3

3

2

2

y

x

y

x

y

x

x

y

x

y

x

X (deplasman vektr) sistemin serbestlik derecesi = 11

D. DEPLASMANLARIN GEOMETRK UYGUNLUK ARTI

Matris deplasman ynteminde kuvvetler deplasmanlara balanr. lemler neticesinde elde edilen matris rijitlik matrisidir.

K*X=L K=rijitlik matrisi

X=deplasman vektr

L=d kuvvetler vektr

D deplasmanlar LX D ykler

Bir yap analizi probleminde u artlara baklr;

Denge artlar

Geometrik uygunluk artlar

Konstittif bantlar (gerilme-ekil deitirme, malzeme ellikleri)

Ama: deplasmanlar (Z) ile d deplasmanlar (X) arasnda bir bant geometrik uygunluk art kurmak.

Z=A*X A= i deplasmanlarla d deplasmanlar birbirine

bantlayan deplasman dnm matrisi.

I. Deplasman dnm matrisinin kurulmas

Deplasman dnm matrisi kurulurken, aagda gsterilen eksenler arasndaki alarn bants kabul edilir.



12

as u vektrnn X ekseni ile yapm olduu a, as u vektrnn Y ekseni ile yapm olduu a.

rnek: ekildeki kafes sistemin elemanlar iin ve alarn belirleyiniz.

Noktalar Alar Eleman

i j

1 3 4 135 135

2 2 3 30 60

3 3 1 180 90

II. Kafes sistemler iin deplasman dnm matrisi

ubuk deformasyonlar arasndaki bant en genel haliyle 3 boyutlu sistemde aada eildedir

X

X

X

Y

Y

Y

u u

u

Y

X

3

2

1

1

2 3

4

15

30

1

2

3

=90

=180

=135 =135

=30 =60



13

=

j

j

j

i

i

i

i

z

y

x

z

y

x

u coscoscoscoscoscos

ui ubuk i deplasman vetrne

i ucunun katks coscoscos iii zyx

j ucunun katks coscoscos ++ jjj zyx

cos , cos , ve cos dorultu kosinsleri olup, (L ubuk boyu olmak zere)

L

xx ij =cos , L

yy ij =cos , L

zz ij =cos eklinde tanmlanr.

X-Y dzlemindeki bir ubuk eleman iin,

coscoscoscos ++= jjiii yxyxu ile elde edilir

rnek:

Y

X

4

3

3

1

4

2

30

2

3

1 ve 4

=0, =90

=90, =0

=30 =60

2

1



14

Eleman cos cos i j

1 0 90 1 0 1 2

2 90 0 0 1 2 4

3 30 60 0.87 0.5 1 4

4 0 90 1 0 3 4

121211111 coscoscoscos ++= yxyxu 1 nolu ubuk i deplasman vektr




Bu denklemlerin matris formu;

=

4

4

3

3

2

2

1

1

4444

3333

2222

1111

4

3

2

1

coscoscoscos0000

coscos0000coscos

coscos00coscos00

0000coscoscoscos

y

x

y

x

y

x

y

x

u

u

u

u

Bu matris formu genel formdur. Her noktann serbeste hareket edecei durumu ifade. rnekte verilen sistemde 1 ve 3 nolu dm noktalarnda sabit mesnet vardr. Yani 1 ve 3 nolu mesnette x ve y ynnde telenmeler engellenmitir Baka bir deyile,

olur ve bunlara A dnm matrisinde bunlara kar gelen deerler elimine edilir

Bu rnek iin yukardaki matrisin sadeletirilmi hali

=

4

4

2

2

44

33

2222

11

4

3

2

1

coscos00

coscos00

coscoscoscos

00coscos

y

x

y

x

u

u

u

u

Deerler yerine yazlrsa, A dnm matrisi

=

4

4

2

2

4

3

2

1

0100

5.087.000

1010

0001

y

x

y

x

u

u

u

u

olacak ekilde elde edilir XAZ = .

03311 ==== yxyx



15

III. Dm noktas rijit (ereve) Sistemler

ereveler iin ubuk deformasyonlar ile d deplasmanlar birbirine balayan ifade aadaki gibidir.

coscoscoscos ++== jjiiij yxyxuuu

olarak kafes sistemlerde ubuk elemanlar iin elde edilmiti. Benzer ekilde

coscoscoscos ++== jjiiij yxyxvvv

olarak elde edilir. Burada geometriden

coscos

cos)90cos(cos

=

=+=

ve deerleri elde edilir ve formlde yerine yazlrsa,

coscoscoscos +== jjiiij yxyxvvv olarak ve cinsinden elde edilmi olur.

Bu durumda dm noktalar rijit bir eleman iin en genel haliyle i deplasmanlar ile d deplasmanlar arasndaki bant;

=

j

j

j

i

i

i

B

A

y

x

y

x

v

u

100000

000100

0coscos0coscos

0coscos0coscos

olarak veya

X

Y

=++=90+

=

u v



16

=

j

j

j

i

i

i

B

A

y

x

y

x

v

u

100000

000100

0coscos0coscos

0coscos0coscos

olarak yazlr. XAZ =

rnek: ekildeki erevenin A deplasman dnm matrisini kurunuz.

Sistemin d deplasman vektr

A

x A

y

B L

ereve sistemde ubuk elemann

deforme olmu ve

deforme olmam hali

VB

V

VA

B

45 X

Y

1

2 3

4

1

2

3



17

=

4

3

3

3

2

2

2

y

x

y

x

X

olarak elde edilir. (1 nolu dm noktasnda ankastre mesnet, 4 nolu d.n.da da sabit mesnet olduu iin)

D.N. Eleman cos cos cos cos

i j

1 90 180 0 -1 1 0 1 2

2 0 90 1 0 0 1 2 3

3 45 45 0.71 0.71 -0.71 0.71 3 4

3

2

=0, =90 =45, =45

1

=90, =180



18

=

4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

3333

3333

2222

2222

1111

1111

3

3

3

3

2

2

2

2

1

1

1

1

100000000000

000100000000

0coscos0coscos000000


000100000000

000000100000



000000100000

000000000100

0000000coscos0coscos

0000000coscos0coscos

y

x

y

x

y

x

y

x

v

u

v

u

v

u

B

A

B

A

B

A



19

mesnet koullarndan tr A dnm ve X d deplasman vektr gncellenir ve kosins deerleri yerine yazlrsa. (A dnm matrisinde 1, 2, 3, 10, ve 11. kolonlar elimine edilir, kar arpmlar x1 = y1 = 1 = x4 = y4 = 0 olduu iin) )( XAZ =

=

4

3

3

3

2

2

2

3

3

3

3

2

2

2

2

1

1

1

1

1000000

0100000

0071.071.0000

0071.071.0000

0100000

0000100

0010010

0001001

0000100

0000000

0000001

0000010

y

x

y

x

v

u

v

u

v

u

B

A

B

A

B

A

olarak elde edilmi olur.

E. ANALZN SONULANDIRILMASI

Analizin sonu durumunda, dm noktas deplasmanlar

L=S*X

denkleminin zlmesiyle elde edilir. Bu denklemde L= d ykler vektr, S= sistem rijitlik matrisi, ve X= sistem dm noktalar deplasman vektrdr.

L=S*X denkleminin kurulumu

D ykler tarafndan yaplan toplam i, sistemin ubuk elemanlar tarafndan absorbe edilen (karlanan) ie eittir. Yani

ZPXL TT = olacaktr. XAZ = eitlii yerine yazlrsa

XAPXL TT = eitlii elde edilir. Buradan APL TT = elde edilir. Bu eitliin transpozu alnrsa,

PAL T = elde edilir. Bununla birlikte ZKP = ve XAZ = eitlikleri yerine yazlrsa

XAKAL T = denklemi elde edilir. Bu denklemi yukarda yazm olduumuz XSL = formatnda dusunursek,

S sistem rijitlik matrisi AKAS T = denklemi ile elde edilir.

XSL = denklemi ile zlen X d deplasman vektr XAKP = denkleminde yerine yazlarak ubuk i kuvvetleri elde edilir.



20

rnek: ekildeki sistemin X ve L vektrlerini oluturunuz

=

4

4

4

3

3

3

2

y

x

y

x

X L

W

W

M

V

H

=

0

60sin

60cos

0

rnek: ekildeki sistemin X ve L vektrlerini oluturunuz

Y

X

1 4

3 2

L3

50 L2

Y

X

1 2

4 3

W

60

V

H M



21

=

4

3

3

2

2

y

y

x

y

x

X L

L

L

L

=

0

50sin

40sin

0

3

3

2

rnek: ekildeki sistemi znz

23

22

231

/10200

100

50

mmNE

mmA

mmAA

=

=

==

ADIM 1

ZKP =

ubuk rijitlikleri

54000

100200

25000

50200

2

222

13

1

111

=

=

=

=

=

=

=

L

AEk

kk

L

AEk

kN/mm olarak elde edilir.

=

=

3

2

1

3

2

1

200

050

002

u

u

u

P

P

P

ZKP

elde edilir.

Y

X

1

2 4 3

4 m

2.88 kN

1 2 3

3 m 3 m

7.56 kN



22

ADIM 2

XAZ =

D.N. ubuk cos cos

i j

1 53 37 0,6 0,8 2 1

2 90 0 0 1 3 1

3 127 37 -0,6 0,8 4 1

En genel haliyle XAZ = eitlii

=

4

4

3

3

2

2

1

1

333

222

1111

3

2

1

coscos00000cos

00coscos000cos

0000coscoscoscos

y

x

y

x

y

x

y

x

u

u

u

2, 3, ve 4 nolu D.N. sabit mesnetlerden tr

0443322 ====== yxxxyx deerini alr. O halde XAZ = eitliinin sadeletirilmi hali.

=

=

1

1

3

2

1

1

1

33

22

11

3

2

1

8,06,0

10

8,06,0

coscos

coscos

coscos

y

x

u

u

u

y

x

u

u

u

3 2

=90, =0 =127,=37

1

=53, =37



23

ADIM 3

=

==

=

=

=

56,70

044,1

6,12,1

0,50

6,12,1

8,018,0

6,006,0

6,12,1

0,50

6,12,1

8,06,0

10

8,06,0

200

050

002

AKAS

AK

AKAS

T

T

S matrisinin zellikleri

1. Yapnn serbestlik dercesi n ise, S matrisinin boyutu nxn olacaktr. Bu rnekte serbestlik dercesi 2 dir (x1, y1). Bu nedenle S nin boyutu 2x2 olarak elde edilmitir.

2. S rijitlik matrisi daima simetrikdir.

3. S-1 kmad takdirde yap stabil deildir.

ADIM 4

mmLSy

xX

S

LSX

XSL

=

==

=

=

=

=

1

2

56,7

88,2

132,00

0694,0

132,00

0694,0

1

1

1

1

1

ADIM 5

kNP

XAKP

=

=

=

8,0

5

4

1

2

6,12,1

0,50

6,12,1 olarak ubuk kuvvetleri elde edilir.

Sonucun salamas iin



24

kNL

PAL T

=

=

=

56,7

88,2

8,0

5

4

8,018,0

6,006,0 ykleme deerleri elde edilmesi gerekir.



25

F. UBUK KUVVETLERNN VE RJTLK MATRSNN DORUDAN ELDE EDLMES

I. Rijitlik matrisinin dorudan elde edilmesi

Bir ereve ubuk elaman iin AKAS T = sistem rijitlik matrisi

=

=

=

=

jjji

ijii

T

SS

SS

eTCfTC

TFBTFB

CBACBA

fTCeTC

TFBTFB

CBACBA

S

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EIL

EA

AKAS

100000

000100

0cossin0cossin

0sincos0sincos

4260

2460

66120

000

1000

00cossin

00sincos

0100

00cossin

00sincos

2

2

223

L

EIf

L

EIe

L

EId

L

EIb

L

EAa

2

4

6

12

2

3

=

=

=

=

=

cos

sincos

sin

sincos)(

sincos

22

22

=

+=

=

=

+=

dT

abF

dC

baB

baA



26

=

=

=

=

eTC

TFB

CBA

S

fTC

TFB

CBA

S

fTC

TFB

CBA

S

eTC

TFB

CBA

S

jj

ji

ij

ii

rnek: ekildeki erevenin sistem rijitlik matrisini oluturulmas

=

1

1

1

1

y

x

X

=

2

2

2

2

y

x

X

=

3

3

3

3

y

x

X

=

4

4

4

4

y

x

X

Dm Noktas Eleman

i j

1 1 3

2 2 3

3 2 1

4 3 4

3

1 4

3 2

4

2

1



27

1nci Elemann katk matrisi

4

3

2

1

11

11

0000

0)(0)(

0000

0)(0)(

X

X

X

X

SS

SS

jjji

ijii

2nci Elemann katk matrisi

4

3

2

1

22

22

0000

0)()(0

0)()(0

0000

X

X

X

X

SS

SS

jjii

iiii

3nc Elemann katk matrisi

4

3

2

1

33

33

0000

0000

00)()(

00)()(

X

X

X

X

SS

SS

iiij

jijj

4nc Elemann katk matrisi

4

3

2

1

44

44

)()(00

)()(00

0000

0000

X

X

X

X

SS

SS

jjji

ijii

++

+

+

4

3

2

1

44

442121

2323

1331

)()(00

)()()()()()(

0)()()()(

0)()()()(

X

X

X

X

SS

SSSSSS

SSSS

SSSS

jjji

ijiijjjjjiji

ijiiiiij

ijjijjii

rnek: Aada verilen erevenin rijitlik matrisini kurunuz

ubuk cos cos cos cos i j

1 90 0 0 1 -1 0 2 1

2 0 90 1 0 0 1 2 3

Y

X

1

3 2

30

100 br

EA=100,000 br

EI=10,000 br

L=10 br

1

2



28

+=

3

2

1

22

2211

11

)()(0

)()()()(

0)()(

X

X

X

SS

SSSS

SS

SX

jjji

ijiiiiij

jijj

1 nolu eleman iin

0cos

10000)(cos)(sin

600sin

0sincos)(

120)(sin)(cos

20002

40004

6006

12012

10000

111

12

112

11

111

11111

12

112

11

1

1

21

31

1

==

=+=

==

==

=+=

==

==

==

==

==

dT

baF

dC

baB

baA

L

EIf

L

EIe

L

EId

L

EIb

L

EAa

2 nolu eleman iin

600cos

120)(cos)(sin

0sin

0sincos)(

10000)(sin)(cos

20002

40004

6006

12012

10000

222

22

222

22

222

22222

22

222

22

2

2

22

32

2

==

=+=

==

==

=+=

==

==

==

==

==

dT

baF

dC

baB

baA

L

EIf

L

EIe

L

EId

L

EIb

L

EAa



29

=

+++

+++

+++

=

3

3

2

2

2

1

3

3

3

2

2

2

1

1

1

40000200060000

01000000100000

2000080006006002000

60006001012000

010000600010120600

00200006004000

0

0

0

6.86

50

0

4000600020006000000

60012006001200000

00100000010000000

20006000400040006000060020000600

6001200600012010000000100000

0010000060000100001206000120

0002000060040000600

0000100000010000600

00060001206000120

x

y

x

y

x

y

x

y

x

SX



30

II. ubuk kuvvetlerinin dorudan elde edilmesi

ubuk kuvvetleri XAKP = denklemi ile elde edilir.

=

=

j

j

j

i

i

i

B

A

y

x

y

x

v

u

XAZ

100000

000100

0cossin0cossin

0sincos0sincos

=

eddfdd

fddedd

dbbdbb

aaaa

AK

cossincossin

cossincossin

cossincossin

0sincos0sincos

L

IEf

L

IEe

L

IEd

L

IEb

L

AEa

=

=

=

=

=

2

4

6

12

2

3

FIRAT ÜNĐVERSĐTESĐ ĐMÜ 413 DERSNOTLARI...

Documents

Transcript of FIRAT ÜNĐVERSĐTESĐ ĐMÜ 413 DERSNOTLARI...