高等学校研究生教材

Ｆｉｎｉｔｅ Ｅｌｅｍｅｎｔ Ｍｅｔｈｏｄ

有 限 单 元 法

薛守义 编 著

图书在版编目（ＣＩＰ）数据

有限单元法 ／薛守义编著．—北京：中国建材工业出

版社，２００５．２ＩＳＢＮ７?８０１５９?８５３?９

Ⅰ有⋯ Ⅱ薛⋯ Ⅲ有限元法－研究生－教材

Ⅳ０２４１８２

中国版本图书馆ＣＩＰ数据核字（２００５）第０１６８６８号

内 容 提 要

本书系统地阐述了有限单元法的基本概念、原理和方法，内容涉及结构

有限元分析的各个领域，包括平面问题、空间问题、杆系结构、平板结构、壳

体结构以及结构动力学问题、材料非线性问题、几何非线性问题、边界非线

性问题。此外，还简要介绍了结构物中的热传导、流体与固体相互作用，以

及在吸收有限元技术的基础上发展起来的边界单元法、有限条法、有限元线

法、无网格法。

本书适宜用于工程力学、结构工程、机械工程、道路与桥梁工程、岩土工

程等专业的研究生教材和继续学习的材料，也可作为其他相关专业科技人

员的参考书。

有限单元法

薛守义 编著

出版发行：

地 址：北京市西城区车公庄大街６号

邮 编：１０００４４经 销：全国各地新华书店

印 刷：北京鑫正大印刷有限公司

开 本：７８７ｍｍ×９６０ｍｍ １／１６印 张：２１５字 数：４１６千字

版 次：２００５年２月第一版

印 次：２００５年２月第一次

定 价：３６００元

网上书店：ｗｗｗ．ｅｃｏｏｌ１００．ｃｏｍ本书如出现印装质量问题，由我社发行部负责调换。联系电话：（０１０）８８３８６９０４

前 言

有限单元法（ＦｉｎｉｔｅＥｌｅｍｅｎｔＭｅｔｈｏｄ，简称ＦＥＭ）起源于２０世纪４０年代至５０年代发展起来的杆系结构矩阵位移法。１９５６年，Ｔｕｒｎｅｒ等人将这一思想加以推

广，用来求解弹性力学平面问题。１９６０年，Ｃｌｏｕｇｈ把这种解决弹性力学问题的

方法命名为“有限单元法”。此后，有限单元法获得迅速发展，逐渐趋于成熟，并

以其理论基础坚实、通用性和实用性极强等突出优点，被公认为最有效的数值方

法。目前，它已成为科学探索的有力工具；计算机辅助设计（ＣＡＤ）和计算机辅助

制造（ＣＡＭ）的基本组成部分；而且被普遍列为工程力学、结构工程、机械工程、岩

土工程等专业的研究生学位课程。

从学科发展上看，有限单元法在２０世纪７０年代初期，原理上已基本成熟，

方法也逐步趋于完善。不过，到目前为止，在深化理论基础、构造优质单元、扩展

应用范围、提高计算效率与精度等方面仍有发展的余地。特别是对于复杂系统

行为的过程模拟或仿真计算，有限单元法仍面临巨大挑战，例如空间飞行系统响

应的模拟、核反应堆在事故工况下响应的模拟、多场耦合作用分析等。在各种复

杂问题中，有些实质性的东西（例如本构方程）并不属于有限单元法的范围，但其

发展仍需有限元技术的提高与适时参与。

从应用技术上看，到目前为止，已开发出很多商业化的有限元分析软件。一

般结构分析问题均可采取通用程序或专用程序求解，不必花费过多精力和时间

另编计算程序。即使如此，为了合理地使用或开发通用程序、准备数据以及恰当

地分析计算结果，必须对有限单元法的基本原理与方法有相当程度的理解，否

则，现成的有限元程序就只能是一个黑箱，使用者将面临很多困难的选择而处于

非常不利的地位。

从本质上讲，有限单元法是求解微分方程的一种近似方法，因此不仅能成功

地处理结构分析中的各种复杂问题，而且还被有效地用于求解热传导、流体力学

以及电磁场等领域的计算问题。本书以结构有限元分析为主，同时介绍与结构

分析有关的热传导问题以及流体与固体相互作用问题。

编写本书的意图是全面而系统地阐述有限单元法的概念、原理和方法，目的

在于使读者能够清晰地表达各种结构分析理论，深刻地理解有限单元法的数学

力学基础，正确地构造单元并建立有限元公式，比较全面地掌握各种单元的性

能，从而能够有效地利用现有成果和程序进行结构分析，并为改进现有分析理

论、方法和计算程序（例如将新型单元或材料模型接入通用程序）打下坚实的基

础。

本书旨在为两方面的读者提供服务。其一是作为工程力学、结构工程、机械

工程、道路与桥梁工程、岩土工程等专业的研究生教材；其二是作为科技人员和

教师的参考书。作为硕士研究生教材时，建议授课内容（根据课时的多少）从前

１４章中选取，难度较大的第１５章和第１６章可作为研究生继续学习的内容。第

１７章简要介绍了在吸收有限元技术的基础上发展起来的边界单元法、有限条

法、有限元线法、无网格法，它有助于读者纵向地了解各种方法的特点，以便必要

时做出合适的选择。

本书编写过程中参考了大量文献资料，在此向他们表示衷心感谢。同时恳

请读者对本书提出批评指正。

编 者

２００４年１０月

２ 有限单元法

目 录

主要符号

第１章 有限单元法基本程式 （１）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１１ 弹性力学平面问题 （１）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１２ 结构离散 （４）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１３ 单元分析 （５）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１４ 整体分析 （１２）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１５ 数值求解 （１６）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１６ 结语 （１９）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

习 题 （１９）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第２章 有限单元法基本原理 （２１）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

２１ 微分方程提法 （２１）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

２２ 泛函变分提法 （２６）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

２３ 位移有限单元法 （３３）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

２４ 应力有限单元法 （３７）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

２５ 结语 （４０）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

习 题 （４１）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第３章 平面问题 （４２）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

３１ 单元构造原则与方法 （４２）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

３２ 矩形单元 （４５）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

３３ 高次三角形单元 （４９）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

３４ Ｔ６单元计算 （５４）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

３５ 结语 （５７）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

习 题 （５７）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第４章 空间问题 （５８）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

４１ 环状单元 （５８）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

４２ 线性四面体单元 （６３）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

４３ 高次四面体单元 （６８）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

４４ 结语 （６９）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

习 题 （７０）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第５章 等参单元 （７１）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

５１ 等参单元的基本思想 （７１）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

５２ 平面四边形等参单元 （７４）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

５３ 空间六面体等参单元 （７９）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

５４ 高次三角形等参单元 （８４）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

５５ 高次四面体等参单元 （８５）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

５６ 数值积分 （８６）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

５７ 结语 （９０）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

习 题 （９１）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第６章 杆系结构 （９２）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

６１ 工程梁单元 （９２）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

６２ 剪切梁单元 （１０１）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

６３ 通用梁单元 （１０６）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

６４ 空间梁单元 （１０９）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

６５ 结语 （１１２）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

习 题 （１１３）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第７章 平板结构 （１１４）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

７１ 薄板单元 （１１４）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

７２ 厚板单元 （１２６）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

７３ ＤＫＴ单元 （１３０）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

７４ 通用板单元 （１３３）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

７５ 结语 （１３４）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

习 题 （１３４）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第８章 壳体结构 （１３６）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

８１ 平板型壳单元 （１３６）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

８２ 曲面型壳单元 （１４４）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

８３ 退化型壳单元 （１５０）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

８４ 结语 （１５７）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

习 题 （１５７）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第９章 若干实际考虑 （１５８）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

９１ 单元与网格 （１５８）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

９２ 自由度减缩 （１５９）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

９３ 结果的处理 （１６２）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

９４ 自适应分析 （１６６）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

９５ 单元的连接 （１７０）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

９６ 初应变和初应力 （１７３）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

９７ 复杂结构材料 （１７４）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

２ 有限单元法

９８ 结语 （１７６）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

习 题 （１７６）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第１０章 动力分析 （１７７）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１０１ 动力有限元方程 （１７７）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１０２ 结构固有特性 （１８２）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１０３ 结构动力响应 （１８４）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１０４ 解的稳定性 （１９０）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１０５ 结语 （１９２）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

习 题 （１９２）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第１１章 多场问题 （１９４）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１１１ 热传导与变温应力 （１９４）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１１２ 流体与结构相互作用 （２００）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１１３ 结语 （２０４）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

习 题 （２０４）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第１２章 有限元原理进阶与单元构造 （２０５）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１２１ 修正泛函及其构造方法 （２０５）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１２２ 广义变分原理与混合单元 （２０７）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１２３ 修正变分原理与杂交单元 （２１３）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１２４ 加权余量法与单元构造 （２２１）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１２５ 小片试验与非协调元 （２２５）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１２６ 结语 （２３２）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

习 题 （２３２）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第１３章 非线性方程求解 （２３４）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１３１ 迭代法 （２３４）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１３２ 增量法 （２４２）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１３３ 若干实际考虑 （２４４）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１３４ 结语 （２４７）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

习 题 （２４７）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第１４章 材料非线性问题 （２４８）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１４１ 材料本构方程 （２４８）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１４２ 弹塑性有限元方程 （２６３）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１４３ 流变有限元方程 （２６５）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１４４ 若干实际考虑 （２６７）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１４５ 结语 （２６８）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

习 题 （２６９）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

３目 录

第１５章 几何非线性问题 （２７０）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１５１ 变形和位移 （２７０）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１５２ 应变度量 （２７６）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１５３ 应力度量 （２８０）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１５４ 本构方程 （２８３）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１５５ 平衡方程 （２８６）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１５６ 微分方程弱形式 （２８６）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１５７ 有限元离散方程 （２８９）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１５８ 结语 （２９６）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

习 题 （２９６）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第１６章 边界非线性问题 （２９８）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１６１ 接触问题定义 （２９８）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１６２ 接触分析原理 （３０３）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１６３ 接触问题算法 （３０４）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１６４ 结语 （３０８）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

习 题 （３０９）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第１７章 有限单元法旁系发展 （３１０）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１７１ 边界单元法 （３１０）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１７２ 有限条法 （３１４）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１７３ 有限元线法 （３１９）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１７４ 无网格法 （３２２）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

１７５ 结语 （３２６）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

习 题 （３２６）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

参考文献 （３２７）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

４ 有限单元法

主 要 符 号

Ａ 单元面积

Ａｅ 平面问题或板弯曲问题中的单元面积域

ａｅ 单元节点位移向量

ａ 整体节点位移向量

Ｂ，Ｂｉ 单元应变矩阵及其子矩阵

Ｂｂ，Ｂｂｉ 板单元弯曲应变矩阵及其子矩阵

Ｂｓ，Ｂｓｉ 板单元剪切应变矩阵及其子矩阵

Ｃ 阻尼矩阵或柔度矩阵

Ｄ 弹性矩阵

Ｅ 弹性模量

ｆ 体力向量

Ｇ 剪切模量

Ｊ，Ｊ Ｊａｃｏｂｉ矩阵及其行列式

Ｋｅ，Ｋ 单元刚度矩阵，整体刚度矩阵

Ｌｉ 三角形单元的面积坐标

Ｍ 弯矩

Ｍ 质量矩阵或薄板弯曲中力矩组成的广义应力向量

Ｍｘ，Ｍｙ，Ｍｘｙ 板弯曲问题中垂直ｘ轴和ｙ轴的截面上单位长度

的弯矩及扭矩

Ｎ，Ｎｉ 单元形函数矩阵，节点ｉ的形函数

Ｐ，Ｐｅ 整体荷载向量，单元等效节点荷载向量

ｐ 面力向量

Ｔ 转换矩阵

ｔ 单元厚度

ｕ 单元位移向量

ｕ，ｖ，ｗ 位移向量的分量，表示ｘ，ｙ，ｚ方向的位移

ε 应变向量

σ 应力向量

方向余弦矩阵

１主要符号

θ，θｘｉ，θｙｉ 梁、板、壳法线转角

ξ，η，ζ 单元局部坐标或等参坐标

Πｃ，Πｍｃ 余能泛函及修正余能泛函

Πｐ，Πｍｐ 势能泛函及修正势能泛函

Ω，Γ 求解域及其边界

２ 有限单元法

第１

章

有限单元法基本程式

有限单元法（ＦｉｎｉｔｅＥｌｅｍｅｎｔＭｅｔｈｏｄ，简称ＦＥＭ）是一种求解微分方程的近

似方法，起点自然是针对物理或工程问题建立起来的微分方程，包括控制方程和

边界条件；而有限元分析程式早已标准化，典型步骤包括结构或区域离散、单元

分析、整体分析和数值求解。

本章以弹性力学平面问题为例，阐述有限单元法的基本概念与程式。采用

有限单元法求解平面问题不仅简单，而且具有典型性。掌握了平面问题的有限

元分析方法，就可以很容易地推广到其他问题中去。

１１ 弹性力学平面问题

１１１ 基本概念

平面问题是指这样一些问题，其结构尺寸及荷载分布沿某个方向（通常取为

ｚ轴）不变，且具有特殊的边界条件。这样，结构内部的应力和应变就与ｚ坐标

无关，而只是ｘ，ｙ坐标的函数。平面问题分为两种，即平面应力问题和平面应

变问题。

（１）平面应力问题

如果在结构内部只存在ｘｙ平面内的三个应力分量σｘ，σｙ，τｘｙ，而另外三个

应力分量σｚ＝τｚｘ＝τｚｙ＝０，则称为平面应力问题。例如，只承受纵向面内荷载

的薄板就可近似地视为这种问题（图１１ａ）：由于板很薄，故可认为应力和应变

与ｚ坐标无关。再注意到平板两面上的σｚ＝τｚｘ＝τｚｙ＝０，便可近似地认为这些

应力分量在板内也为零。对于各向同性线性弹性介质，根据广义Ｈｏｏｋｅ定律，

平面应力问题中的γｚｘ和γｚｙ显然为零，而εｚ由下式确定

εｚ＝－νＥ σｘ＋σ（ ）ｙ （１１）

其中，Ｅ为弹性模量；ν为泊松比。

图１１ 平面问题

（２）平面应变问题

如果在结构内部只存在ｘｙ平面内的三个应变分量εｘ，εｙ，γｘｙ，而另外三个

应变分量εｚ＝γｚｘ＝γｚｙ＝０，则称为平面应变问题。很多结构分析问题都可简化

为平面应变问题，例如水坝、挡土墙、边坡、厚壁圆筒、隧道等。对于各向同性线

性弹性介质，根据广义Ｈｏｏｋｅ定律，平面应变问题中的τｚｘ和τｚｙ显然也为零，而

σｚ由下式确定

σｚ＝ν（σｘ＋σｙ） （１２）

在平面问题（无论平面应力还是平面应变）中，非零或独立的应力和应变只

有三个，即σｘ，σｙ，τｘｙ和εｘ，εｙ，γｘｙ，其向量式分别为

σ＝

σｘσｙτｘ

烅烄

烆烍烌

烎ｙ

＝ σｘ σｙ τｘ［ ］ｙ Ｔ， ε＝

εｘεｙγｘ

烅烄

烆烍烌

烎ｙ

＝ εｘ εｙ γｘ［ ］ｙ Ｔ

非零或独立的位移分量有两个，即沿坐标轴ｘ，ｙ方向的位移ｕ，ｖ，记为

ｕ＝ｕ烅烄

烆烍烌

烎ｖ＝［ ］ｕ ｖ Ｔ

１１２ 控制方程

（１）平衡方程

平衡微分方程简称平衡方程，它所描述的是物体或结构内部应力与外部体

积力之间的关系。在平面问题中，平衡方程为

σｘｘ＋

τｙｘｙ＋Ｘ＝０

τｘｙｘ＋

σｙｙ＋Ｙ

烍

烌

烎＝０（１３）

２ 第１章 有限单元法基本程式

其中Ｘ，Ｙ分别为体力沿ｘ，ｙ方向的分量。ｆ为体力向量，即

ｆ＝Ｘ｛ ｝Ｙ ＝［ ］Ｘ Ｙ Ｔ

（２）几何方程

几何方程表达应变分量与位移分量之间的关系。平面问题几何方程的表达

式为

εｘ＝ｕｘ

εｙ＝ｖｙ

γｘｙ＝ｖｘ＋

ｕ

烍

烌

烎ｙ

（１４）

（３）本构方程

材料的本构方程表达应力与应变之间的关系。对于各向同性线性弹性介

质，有

σ＝Ｄε （１５）

根据广义Ｈｏｏｋｅ定律，不难得到平面问题的弹性矩阵Ｄ。例如，对于平面应力

问题

Ｄ＝ Ｅ１－ν２

１ ν ０ν １ ００ ０ （１－ν）／

熿

燀

燄

燅２

（１６）

对于平面应变问题，只要把上述各式中的Ｅ换成Ｅ／（１－ν２），把ν换成ν／（１－ν）

即可。

１１３ 边界条件

边界条件是指求解域Ω的边界Γ上所受到的外加约束或作用。通常Γ可

以分为两个部分，即面力边界Γσ和位移边界Γｕ；在Γσ 上给定面力，在Γｕ 上给

定位移。有时在同一边界上，同时给定一部分面力和一部分位移，这种边界称为

混合边界。

（１）应力边界条件

在Γσ附近取微元体，面力与应力之间的平衡条件就是应力边界条件。在

平面问题中，有

３１１ 弹性力学平面问题

ｌσｘ＋ｍτｙｘ＝珚Ｘｌτｘｙ＋ｍσｙ＝珡

烍烌

烎Ｙ（１７）

其中，珚Ｘ，珡Ｙ 为已知的边界面力沿ｘ，ｙ方向的分量，面力向量珔ｐ记为

珔ｐ＝珚Ｘ珡｛ ｝Ｙ ＝ 珚Ｘ 珡［ ］Ｙ Ｔ

ｌ，ｍ 为边界外法线Ｎ的方向余弦，ｌ＝ｎｘ＝ｃｏｓ（Ｎ，ｘ），ｍ＝ｎｙ＝ｃｏｓ（Ｎ，ｙ）。

（２）位移边界条件

位移边界条件是指结构在位移边界Γｕ 上所受到的约束。在平面问题中，

可表示为

ｕ＝珔ｕ， ｖ＝珔ｖ （１８）

其中，珔ｕ，珔ｖ为已知的边界位移分量。

１１４ 问题解法

（１）解析方法

求解上述问题可以采用解析方法，即在给出的边界条件下直接求解控制微

分方程，得出解析函数形式的解答。在具体求解时，可选择某些未知量作为基本

未知量，从而简化控制方程组。根据基本未知量的选取，可将求解方法分为位移

法、应力法和混合法，它们分别以位移分量、应力分量、一部分位移分量和一部分

应力分量为基本未知量。

（２）近似方法

对于很多实际问题，要获得解析解是不可能的。为了克服数学上的困难，学

者们提出了多种近似求解方法，例如有限差分法、变分法、有限单元法等，其中有

限单元法以其理论基础坚实、实用性极强等突出优点而被公认为最有效的数值

方法。

在有限单元法中，位移法应用最为广泛，其基本思想可简述如下：将结构离

散成有限个单元，每个单元设定若干个节点；选取节点位移作为基本未知量，并

在每个单元区域内选用某种插值函数以近似地表示单元内位移的分布；利用某

种原理（例如虚位移原理）建立求解基本未知量的方程组。

１２ 结 构 离 散

结构有限元分析的第一步是将结构离散化，即用假想的线或面将连续体分

割成数目有限的单元，并在其上设定有限个节点；用这些单元组成的单元集合体

４ 第１章 有限单元法基本程式

代替原来的连续体，而场函数的节点值将成为问题的基本未知量。在位移法中，

位移是场变量，节点位移为基本未知量。

对于平面问题，可采用３节点三角形单元（Ｔ３）离散结构，这些单元通过节点

互相连接（图１２）。

图１２ 结构离散化

结构离散后，要对所有节点和单元从１开始按序进行编号。Ｔ３单元的节点

局部码为１，２，３，单元节点位移向量表示为

ａｅ＝

ａ１ａ２ａ烅烄

烆烍烌

烎３

， ａｉ＝ｕｉｖ烅烄

烆烍烌

烎ｉ（ｉ＝１，２，３）

１３ 单 元 分 析

在结构有限元中，单元分析的基本任务是建立单元节点力与节点位移之间

的关系即单元刚度方程，从而确定单元刚度矩阵。此外，还须将外部荷载转化为

单元等效节点荷载。

１３１ 位移函数

给每个单元选择合适的位移函数或称位移模式来近似地表示单元内位移分

布规律，即通过插值以单元节点位移表示单元内任意点的位移。因节点位移个

数是有限的，故无限自由度问题被转变成了有限自由度问题。

在有限单元法中，普遍地选择多项式作为位移函数，其原因是多项式的数学

运算比较简单；其理论根据则在于精确解总是能够在任一点的邻域内由多项式

逼近。

既然单元内任意点的位移由单元节点位移参数完全确定，因此选择单元位

移函数的一个基本原则就是，位移函数中的待定常数（也称为广义坐标）与单元

５１３ 单 元 分 析

节点位移参数相等。Ｔ３单元共有６个节点位移分量，故位移函数应包含６个待

定常数。为此，可假设单元内的位移为ｘ，ｙ的线性函数，即

ｕ＝α１＋α２ｘ＋α３ｙｖ＝α４＋α５ｘ＋α６

烍烌

烎ｙ（ａ）

设节点１，２，３的坐标分别为（ｘ１，ｙ１），（ｘ２，ｙ２），（ｘ３，ｙ３）。将节点位移分量

和节点坐标代入式（ａ）

ｕ１＝α１＋α２ｘ１＋α３ｙ１ｕ２＝α１＋α２ｘ２＋α３ｙ２ｕ３＝α１＋α２ｘ３＋α３ｙ

烍烌

烎３

，

ｖ１＝α４＋α５ｘ１＋α６ｙ１ｖ２＝α４＋α５ｘ２＋α６ｙ２ｖ３＝α４＋α５ｘ３＋α６ｙ

烍烌

烎３

（ｂ）

可求得待定系数；再将求得的系数代入式（ａ），整理后得

ｕ＝Ｎ１ｕ１＋Ｎ２ｕ２＋Ｎ３ｕ３ｖ＝Ｎ１ｖ１＋Ｎ２ｖ２＋Ｎ３ｖ

烍烌

烎３（１９ａ）

或

ｕ＝ｕ｛ ｝ｖ ＝ Ｎ１Ｉ Ｎ２Ｉ Ｎ３［ ］Ｉａｅ＝Ｎａｅ （１９ｂ）

其中，Ｉ是二阶单位矩阵，即

Ｉ＝１ ０［ ］０ １

Ｎｉ是插值函数，它们决定单元位移场的基本形态，且只与单元的形状、节点的配

置及插值方式有关，故通常称为形函数；Ｎ称为形函数矩阵。Ｎ的元素为

Ｎｉ＝１２Ａ

（ａｉ＋ｂｉｘ＋ｃｉｙ） （ｉ＝１，２，３） （１１０）

其中的常数为

ａｉ＝ｘｊ ｙｊｘｍ ｙｍ

＝ｘｊｙｍ－ｘｍｙｊ

ｂｉ＝－１ ｙｊ１ ｙｍ

＝ｙｊ－ｙｍ

ｃｉ＝１ ｘｊ１ ｘｍ

＝－ｘｊ＋ｘｍ

（ｉ，ｊ，ｍ＝１，２，→← ３

烍

烌

烎）

（１１１）

６ 第１章 有限单元法基本程式

２Ａ＝

１ ｘ１ ｙ１１ ｘ２ ｙ２１ ｘ３ ｙ３

（１１２）

根据解析几何，式（１１２）中的Ａ等于三角形单元的面积。为使求得面积的

值不致成为负值，节点１，２，３的次序必须是逆时针转向（图１２）。此外，ａｉ，ｂｉ和ｃｉ是行列式２Ａ第ｉ行各元素的代数余子式。

１３２ 应变和应力

单元位移函数确定以后，未知量就归结为节点位移。将单元位移函数（１９）

代入几何方程（１４），可得以单元节点位移表示的单元应变

ε＝

εｘεｙγｘ

烅烄

烆烍烌

烎ｙ

＝１２Ａ

ｂ１ ０ ｂ２ ０ ｃ３ ００ ｃ１ ０ ｃ２ ０ ｃ３ｃ１ ｂ１ ｃ２ ｂ２ ｃ３ ｂ

熿

燀

燄

燅３

ａｅ （１１３ａ）

或

ε＝ Ｂ１ Ｂ２ Ｂ［ ］３ａｅ＝Ｂａｅ （１１３ｂ）

其中

Ｂｉ＝１２Ａ

ｂｉ ００ ｃｉｃｉ ｂ

熿

燀

燄

燅ｉ

（ｉ＝１，２，３） （１１４）

可见，应变矩阵的元素为常数，单元应变自然也是常数。因此，Ｔ３单元称为

常应变三角形单元，简称ＣＳＴ单元。将式（１１３）代入本构方程（１５）得到用节

点位移表示的单元应力

σ＝Ｄε＝ＤＢａｅ （１１５ａ）

或

σ＝Ｓａｅ＝ Ｓ１ Ｓ２ Ｓ［ ］３ａｅ （１１５ｂ）

对于平面应力问题，应力矩阵Ｓ的子矩阵为

Ｓｉ＝Ｅ

２（１－ν２）Ａ

ｂｉ νｃｉνｂｉ ｃｉ１－ν２ ｃｉ

１－ν２ ｂ

熿

燀

燄

燅ｉ

（ｉ＝１，２，３） （１１６）

７１３ 单 元 分 析

对于平面应变问题，只要把上述各式中的Ｅ换成Ｅ／（１－ν２），把ν换成ν／（１－ν）

即可。

１３３ 单元刚度矩阵

从平衡结构中取出的单元也是平衡的。显然，在与其相邻单元的公共边界面

上作用有分布力。此外，单元上就不再有其他力了（因为在有限单元法中，作用于

单元上的全部荷载都要按照等效的原则转化为作用于节点上的等效节点荷载）。

对于平衡的单元来讲，上述边界上的分布力显然是平衡的外力系，并与单元

的内部应力相对应。为方便起见，用等效的单元节点力来代替这些分布力。图

１３所示为Ｔ３单元边界上的分布力和节点力。这样，单元节点力就与单元内部

应力相对应。节点力可理解为节点对单元的作用力。显然，对于单元而言，节点

力是外力；而对于整体结构来说，节点力则是内力。

图１３ 单元节点力

根据虚位移原理，可建立单元节点力与节点位移之间的关系即单元刚度方

程，从而得单元刚度矩阵。虚位移就是任意的、微小的可能位移，虚位移原理可

表述如下：如果在虚位移发生之前物体处于平衡状态，那么在虚位移发生时，外

力所做虚功等于物体的虚应变能。现假定单元ｅ发生虚位移，根据式（１９）有

δｕ＝Ｎδａｅ （ａ）

其中，δａｅ为单元节点虚位移向量。按式（１１３），单元的虚应变为

δε＝Ｂδａｅ （ｂ）

将虚位移原理应用于该单元，则单元节点力所做虚功等于单元的虚应变能，即

δａｅＴＦｅ＝∫ΩｅδεＴσｄΩ （ｃ）

其中，Ωｅ为单元体积域；Ｆｅ为单元节点力向量。例如，对于Ｔ３单元有

Ｆｅ＝

Ｆ１Ｆ２Ｆ烅烄

烆烍烌

烎３

， Ｆｉ＝ＵｉＶ烅烄

烆烍烌

烎ｉ（ｉ＝１，２，３）

８ 第１章 有限单元法基本程式

将式（ａ）和（ｂ）代入式（ｃ），得

δａｅＴＦｅ＝δａｅＴ∫ΩｅＢＴσｄΩ＝δａｅＴ∫ΩｅＢＴＤＢａｅｄΩ由于虚位移是任意的，等式两边与δａｅＴ相乘的矩阵应当相等，从而得到单元刚

度方程

Ｆｅ＝∫ΩｅＢＴσｄΩ 或 Ｆｅ＝Ｋｅａｅ （１１７）

其中，Ｋｅ称为单元刚度矩阵，其表达式为

Ｋｅ＝∫ΩｅＢＴＤＢｄΩ （１１８）

在平面问题中，被积函数与ｚ坐标无关，故有

Ｋｅ＝ΩｅＢＴＤＢｔｄｘｄｙｄｚ＝ＡｅＢＴＤＢｔｄｘｄｙ其中，Ａｅ为单元面积域；ｔ为单元厚度。如果单元的材料是均质的，则矩阵Ｄ中

的元素是常量；如果单元厚度也是常量，再注意到Ａｅｄｘｄｙ＝Ａ，则有

Ｋｅ＝ＢＴＤＢｔＡ＝

ｋ１１ ｋ１２ ｋ１３ｋ２１ ｋ２２ ｋ２３ｋ３１ ｋ３２ ｋ

熿

燀

燄

燅３３

对于平面应力问题，子矩阵为

ｋｉｊ＝ＢＴｉＤＢｊｔＡ＝Ｅｔ

４（１－ν２）Ａ

ｂｉｂｊ＋１－ν２ ｃｉｃｊ νｂｉｃｊ＋

１－ν２ ｃｉｂｊ

νｃｉｂｊ＋１－ν２ ｂｉｃｊ ｃｉｃｊ＋

１－ν２ ｂｉｂ

熿

燀

燄

燅ｊ

（ｉ＝１，２，３；ｊ＝１，２，３）

单元刚度矩阵是６×６阶矩阵。为研究其性质，将单元刚度方程（１１７）写成

下述形式

Ｕ１Ｖ１Ｕ２Ｖ２Ｕ３Ｖ

烅

烄

烆

烍

烌

烎３

＝

ｋ１１ ｋ１２ ｋ１３ ｋ１４ ｋ１５ ｋ１６ｋ２１ ｋ２２ ｋ２３ ｋ２４ ｋ２５ ｋ２６ｋ３１ ｋ３２ ｋ３３ ｋ３４ ｋ３５ ｋ３６ｋ４１ ｋ４２ ｋ４３ ｋ４４ ｋ４５ ｋ４６ｋ５１ ｋ５２ ｋ５３ ｋ５４ ｋ５５ ｋ５６ｋ６１ ｋ６２ ｋ６３ ｋ６４ ｋ６５ ｋ

熿

燀

燄

燅６６

ｕ１ｖ１ｕ２ｖ２ｕ３ｖ

烅

烄

烆

烍

烌

烎３

（ｄ）

９１３ 单 元 分 析

（１）ｋｉｊ的物理意义

ｋｉｊ即单元节点位移向量中第ｊ个自由度发生单位位移而其他位移分量为零

时，在第ｉ个自由度方向引起的节点力。

（２）Ｋｅ的对称性

根据功的互等定理，ｕ１＝１时产生的节点力Ｖ１等于ｖ１＝１时产生的节点

力Ｕ１，即ｋ２１＝ｋ１２。更一般地，有ｋｉｊ＝ｋｊｉ。故Ｋｅ 是对称矩阵。事实上，从式

（１１８）很容易看出Ｋｅ的对称性。

（３）Ｋｅ的奇异性

当单元所有节点位移分量均发生单位位移时，由式（ｄ）得

Ｕ１＝ｋ１１＋ｋ１２＋ｋ１３＋ｋ１４＋ｋ１５＋ｋ１６…

Ｖ３＝ｋ６１＋ｋ６２＋ｋ６３＋ｋ６４＋ｋ６５＋ｋ烍烌

烎６６

由于上述位移属于单元刚体移动，故所有节点力分量应均为零。于是，单元刚度

矩阵中任何一行元素的代数和等于零。由对称性可知，任何一列元素的代数和

也等于零。可见，单元刚度矩阵的行列式为零，即是奇异的。

１３４ 等效节点荷载

离散体系的平衡分析是在节点上进行的，因此需要把作用在单元体上的非

节点荷载化成等效节点荷载。集中力作用点通常都被取做节点，因此荷载移置

的任务是将体力和面力按照静力等效的原则化成节点荷载。所谓静力等效就

是，原荷载与移置后的节点荷载在虚位移上的虚功相等。

当单元发生虚位移时，体力所做的虚功应当等于其等效节点荷载所做的虚

功，即

δａｅＴＰｅｆ＝∫ΩｅδｕＴｆｄΩ其中，Ｐｅｆ为单元的体力等效节点荷载。将δｕ＝Ｎδａｅ 代入上式，并注意到虚节

点位移的任意性，得

Ｐｅｆ＝∫ΩｅＮＴｆｄΩ （１１９）

在平面问题中，有

Ｐｅｆ＝ＡｅＮＴｆｔｄｘｄｙ （ａ）

当单元发生虚位移时，面力所做的虚功应当等于其等效节点荷载所做的虚

功，即

０１ 第１章 有限单元法基本程式

δａｅＴＰｅｐ＝∫ΓｅσδｕＴ珔ｐｄΓ

其中，Ｐｅｐ 为单元的面力等效节点荷载。将δｕ＝Ｎδａｅ代入上式得

Ｐｅｐ＝∫ΓｅσＮＴ珔ｐｄΓ （１２０）

在平面问题中，有

Ｐｅｐ＝∫ｌ

０ＮＴ珔ｐｔｄｓ （ｂ）

对于Ｔ３单元，根据图１４所示的几何意义（参见习题１６），不难看出

图１４ Ｎｉ的几何意义

ＡｅＮｉｄｘｄｙ＝Ａ／３ （ｉ＝１，２，３） （ｃ）

∫ｌＮｉｄｓ＝ｌ／２ （ｉ＝１，２，３） （ｄ）

【例题１１】 求常体力的等效节点荷载。

解 当体力为常数时，式（ａ）中的体力向量可提到积分号外。注意到式（ｃ）有

Ｐｅｆ＝ｔＡｅＮ１ ０ Ｎ２ ０ Ｎ３ ００ Ｎ１ ０ Ｎ２ ０ Ｎ

［ ］３

Ｔ

ｄｘｄｙＸ｛ ｝Ｙ

＝ｔＡ３１ ０ １ ０ １ ０［ ］０ １ ０ １ ０ １

Ｔ Ｘ｛ ｝Ｙ＝ｔＡ３

［Ｘ Ｙ Ｘ Ｙ Ｘ Ｙ］Ｔ

当体力为重力，即ｆ＝［０ －ρｇ］Ｔ（图１５ａ）时，其等效节点荷载为

Ｐｅｆ＝－１３ρｇｔＡ

［０ １ ０ １ ０ １］Ｔ

图１５ 外力

１１１３ 单 元 分 析

【例题１２】 设３１边的长度为ｌ，其上作用沿ｘ方向的均布荷载ｐｘ＝ｐ（图

１５ｂ），求其等效节点荷载。

解 在３１边上，Ｎ２＝０。注意到式（ｄ），珔ｐ＝［ｐ ０］Ｔ的等效节点荷载为

Ｐｅｐ＝∫ｌ

０

Ｎ１ ０ Ｎ２ ０ Ｎ３ ００ Ｎ１ ０ Ｎ２ ０ Ｎ

［ ］３

Ｔ ｐ｛ ｝０ｔｄｓ＝ｐｌｔ２

［１ ０ ０ ０ １ ０］Ｔ

１４ 整 体 分 析

整体分析的基本任务是建立整体刚度方程，形成整体刚度矩阵和整体节点

荷载向量。

１４１ 节点平衡

根据每个节点处力（各相关单元的节点力和节点荷载）的平衡条件，可得到一

组以节点位移分量为未知量的代数方程组。从结构中取出一个节点ｉ，环绕节点ｉ有若干个单元，节点ｉ承受的节点荷载为Ｘｉ，Ｙｉ（图１６），记为Ｐｉ＝［Ｘｉ Ｙｉ］Ｔ。

单元作用于节点上的力与节点作用于单元上的节点力大小相等方向相反。

取节点ｉ为脱离体，那么该节点在节点荷载和各单元所施加的节点力之间保持

平衡，即

∑ｅＵｉｅ＝Ｘｉ， ∑

ｅＶｉｅ＝Ｙｉ

显然，与节点ｉ无关的单元不进入上述求和式。如果把单元ｅ对节点ｉ的作用

力记为Ｆｉｅ＝ Ｕｉｅ Ｖ［ ］ｉｅ Ｔ，则上式可用矩阵表示为

∑ｅＦｉｅ＝Ｐｉ

图１６ 节点ｉ的平衡

２１ 第１章 有限单元法基本程式

每个节点都可列出如上所述的一组平衡方程。如果有限元计算模型共有

Ｎ个节点，则可得到２Ｎ阶线性方程组

Ｋａ＝Ｐ （１２１）

此即整体刚度方程。其中Ｋ为整体刚度矩阵；ａ和Ｐ分别为整体节点位移向量

和整体节点荷载向量，即

ａ＝ａ１…

ａ烅烄

烆烍烌

烎Ｎ

， Ｐ＝Ｐ１…

Ｐ烅烄

烆烍烌

烎Ｎ

１４２ 虚功原理

也可以采用虚位移原理来建立整体刚度方程。为此，将虚位移原理应用于

整个结构，则整体节点荷载所做虚功等于所有单元的虚应变能之和，即

∑ｅ∫ΩｅδεＴσｄΩ＝∑ｅ∫Ωｅδｕ

ＴｆｄΩ＋∫ΓｅσδｕＴ珔ｐｄ（ ）Γ

将虚位移以及虚应变与虚节点位移之间的关系代入上式得

∑ｅ∫ΩｅδａｅＴＢＴσｄΩ＝∑ｅδａｅＴ∫ΩｅＮ

ＴｆｄΩ＋∫ΓｅσＮＴ珔ｐｄ（ ）Γ

将单元节点位移向量ａｅ用整体节点位移向量ａ来表示，即

ａｅ＝Ａｅａ

其中，Ａｅ为单元连接矩阵。于是，得到整体平衡方程

∑ｅＡｅＴ∫ΩｅＢＴσｄΩ＝∑ｅＡｅＴ（Ｐｅｆ＋Ｐｅｐ） （１２２ａ）

将式（１１５）代入上式，可得到式（１２１），且

Ｋ＝∑ｅＡｅＴＫｅＡｅ， Ｐ＝∑

ｅＡｅＴ（Ｐｅｆ＋Ｐｅｐ） （１２２ｂ）

为简便起见，上式通常写成

Ｋ ＝∑ｅＫｅ， Ｐ＝∑

ｅ（Ｐｅｆ＋Ｐｅｐ） （１２２ｃ）

此时的求和号表示集成，而非简单相加。

必须指出，在前面的分析中引入节点力并不意味着近似，因为在应用虚位移

原理进行整体分析时，根本涉及不到单元节点力问题。仅从整体分析考虑，内部

３１１４ 整 体 分 析

等效节点力的概念似乎可以放弃。但是，在有限单元法中，定义节点力是有意义

的，因为从功的意义上它们与节点位移共轭。为使节点力与节点位移之积给出

功的正确表达式，规定节点力的正向与节点位移的正向一致。

１４３ 直接集成

在实际有限元分析中，建立整体刚度矩阵最常用的方法是直接集成法或直

接刚度法，即直接由单元刚度矩阵集合而成，其关键是把所有单元刚度矩阵的各

元素安放到Ｋ中的适当位置。具体地说，就是将单元刚度矩阵Ｋｅ扩大成单元

的贡献矩阵Ｋｅｃ；然后将各单元的Ｋｅｃ直接相加得出Ｋ。

（１）分块集成

对于三角形单元，分块集成时需把Ｋｅ中的６个元素搬家，按照整体码的顺

序在扩大后的矩阵中重新排列，并在空白处用零元素填补起来。一般地说，若单

元ｅ的局部码１，２，３分别对应于整体码Ｉ，Ｊ，Ｍ，且设Ｉ＜Ｊ＜Ｍ，则该单元的贡

献矩阵如式（１２３）所示。

整体码 １ ⋯ Ｉ ⋯ Ｊ ⋯ Ｍ ⋯ Ｎ

Ｋｅｃ＝

１…

Ｉ…

Ｊ…

Ｍ…

Ｎ

０ ⋯ ０ ⋯ ０ ⋯ ０ ⋯ ０… … … … …

０ ⋯ ｋ１１ ⋯ ｋ１２ ⋯ ｋ１３ ⋯ ０… … … … …

０ ⋯ ｋ２１ ⋯ ｋ２２ ⋯ ｋ２３ ⋯ ０… … … … …

０ ⋯ ｋ３１ ⋯ ｋ３２ ⋯ ｋ３３ ⋯ ０… … … … …

０ ⋯ ０ ⋯ ０ ⋯ ０ ⋯

熿

燀

燄

燅０

１

２

３

（１２３）

１ ２ ３ 局部码

（２）元素集成

在实际计算中，需要按元素形式集成整体刚度矩阵。如果单元ｅ的局部码

１，２，３分别对应于整体码Ｉ，Ｊ，Ｍ，则该单元节点自由度编码如表１１所示。

表１１ 自由度局部码与整体码

节点自由度 ｕ１ ｖ１ ｕ２ ｖ２ ｕ３ ｖ３

自由度局部码 １ ２ ３ ４ ５ ６

自由度整体码 ２Ｉ－１ ２Ｉ ２Ｊ－１ ２Ｊ ２Ｍ－１ ２Ｍ

４１ 第１章 有限单元法基本程式

利用上述编码表，不难确定单元刚度系数与整体刚度系数的对应关系。例如对

于单元刚度系数ｋ２５，从编码表第２格取出２Ｉ，从第５格取出２Ｍ－１，则对应的

整体刚度系数为Ｋ２Ｉ，２Ｍ－１，即

ｋ２５→Ｋ２Ｉ，２Ｍ－１

同理

ｋ１１→Ｋ２Ｉ－１，２Ｉ－１

…

把全部单元的刚度系数都按照编码表叠加到相应的整体刚度系数中去，就

可得到整体刚度矩阵。

（３）荷载集成

荷载集成的任务是形成整体节点荷载向量Ｐ。总的节点荷载包括集中力和

体力、面力移置而成的等效荷载。集中力作用点通常都被取做节点，因此只要将

给定的集中力直接送入Ｐ中的适当位置即可。例如在整体码为Ｉ的节点上沿ｘ方向作用集中力Ｑ，则该集中力在Ｐ中的位置为２Ｉ－１。

体力和面力按照等效的原则化成节点荷载。一般是先按单元移置，以后按

节点叠加。例如，设单元ｅ的体力等效节点荷载向量已经得到，记为

Ｐｅｆ＝ Ｆ１ｘ Ｆ１ｙ Ｆ２ｘ Ｆ２ｙ Ｆ３ｘ Ｆ３［ ］ｙ Ｔ

若该单元节点局部码１，２，３对应的整体码为Ｉ，Ｊ，Ｍ，则Ｆ２ｘ在Ｐ中的位置为

２Ｊ－１。

１４４ Ｋ的性质

（１）Ｋｉｊ的意义

整体刚度矩阵Ｋ中每一列元素的物理意义是：要迫使结构的某节点位移自

由度发生单位位移，而其他节点位移都保持为零的变形状态，在所有各节点上需

要施加的节点荷载。例如，令ｕ１＝１，其余的节点位移均为零，则式（１２１）的节

点荷载向量显然等于Ｋ 的第一列元素的列阵。从物理上说，Ｋ 之对角线上的

主元素Ｋｉｉ总是正的，否则作用力的方向将与它引起的对应位移的方向相反。

（２）对称性

根据功的互等定理，可知Ｋ是对称矩阵。由于Ｋ是对称的，故在实际计算

中只形成并存贮上三角阵或下三角阵即可。

（３）奇异性

从物理上讲，当结构的几何约束尚未设置、刚体位移未被排除之前，不可能

有唯一的位移解。这个物理事实在数学上表现为Ｋ的奇异性，即其行列式的值

５１１４ 整 体 分 析

等于零。

（４）稀疏性

Ｋ是稀疏矩阵，且划分的单元越多越稀疏。如果节点编号恰当，那些非零

元素都将集中于刚度矩阵的对角线附近，呈斜带状（图１７）。显然，带外的零元

素不必存贮，也不参加运算，这是有限元整体刚度矩阵的优良数值特性。

图１７ 半带宽

在整体刚度矩阵的各行中，由对角线到带边界所包

含最多的元素数目称为半带宽（Ｓｅｍｉ?ｂａｎｄｗｉｄｔｈ），用Ｂ表示。若单元各节点的整体码Ｉ，Ｊ，Ｍ 等非常接近，则

该单元的刚度系数便集中在Ｋ 的对角线附近。不难发

现，半带宽决定于各单元中节点整体码的最大差值Ｄ。

如果每个节点的自由度为ｎ，则有

Ｂ＝ｎ（Ｄ＋１） （１２４）

在平面问题中，ｎ＝２。

１５ 数 值 求 解

１５１ 边界条件的引入

如前所述，整体刚度矩阵Ｋ 是奇异的，只有引入位移边界条件对刚度矩阵

加以修改，即消除刚体位移后才能求解整体刚度方程。对于平面问题来说，要消

除刚体位移，至少要有三个位移约束条件。

（１）零位移的实现

对于具有Ｎ个节点的平面结构，其平衡方程为

Ｋ１，１ Ｋ１，２ Ｋ１，３ Ｋ１，４ ⋯ Ｋ１，２Ｎ

Ｋ２，１ Ｋ２，２ Ｋ２，３ Ｋ２，４ ⋯ Ｋ２，２Ｎ

Ｋ３，１ Ｋ３，２ Ｋ３，３ Ｋ３，４ ⋯ Ｋ３，２Ｎ

Ｋ４，１ Ｋ４，２ Ｋ４，３ Ｋ４，４ ⋯ Ｋ４，２Ｎ

… … … … … …

Ｋ２Ｎ，１ Ｋ２Ｎ，２ Ｋ２Ｎ，３ Ｋ２Ｎ，４ ⋯ Ｋ２Ｎ，２

熿

燀

燄

燅Ｎ

ｕ１ｖ１ｕ２ｖ２…

ｖ

烅

烄

烆

烍

烌

烎Ｎ

＝

Ｘ１Ｙ１Ｘ２Ｙ２…

Ｙ

烅

烄

烆

烍

烌

烎Ｎ

（１２５）

例如，为实现ｕ１＝０的条件，在式（１２５）中可作如下变化：在整体刚度矩阵Ｋ中，除了保留与ｕ１相对应的并在主对角线上的系数Ｋ１，１外，第一行和第一列的

其余系数均改为零；在荷载列阵中，令ｕ１对应的Ｘ１＝０，从而有

６１ 第１章 有限单元法基本程式

Ｋ１，１ ０ ０ ０ ⋯ ００ Ｋ２，２ Ｋ２，３ Ｋ２，４ ⋯ Ｋ２，２Ｎ

０ Ｋ３，２ Ｋ３，３ Ｋ３，４ ⋯ Ｋ３，２Ｎ

０ Ｋ４，２ Ｋ４，３ Ｋ４，４ ⋯ Ｋ４，２Ｎ

… … … … ⋯ …

０ Ｋ２Ｎ，２Ｋ２Ｎ，３Ｋ２Ｎ，４ ⋯ Ｋ２Ｎ，２

熿

燀

燄

燅Ｎ

ｕ１ｖ１ｕ２ｖ２…

ｖ

烅

烄

烆

烍

烌

烎Ｎ

＝

０Ｙ１Ｘ２Ｙ２…

Ｙ

烅

烄

烆

烍

烌

烎Ｎ

（１２６）

按式（１２６）求解就能实现ｕ１＝０的条件，其他零位移条件的实现可类推。

（２）有限位移的实现

例如，为实现ｕ２＝ｂ，可仿照上述做法将式（１２５）改为

Ｋ１，１ Ｋ１，２ ０ Ｋ１，４ ⋯ Ｋ１，２Ｎ

Ｋ２，１ Ｋ２，２ ０ Ｋ２，４ ⋯ Ｋ２，２Ｎ

０ ０ Ｋ３，３ ０ ⋯ ０Ｋ４，１ Ｋ４，２ ０ Ｋ４，４ ⋯ Ｋ４，２Ｎ

… … … … ⋯ …

Ｋ２Ｎ，１ Ｋ２Ｎ，２ ０ Ｋ２Ｎ，４ ⋯ Ｋ２Ｎ，２

熿

燀

燄

燅Ｎ

ｕ１ｖ１ｕ２ｖ２…

ｖ

烅

烄

烆

烍

烌

烎Ｎ

＝

Ｘ１－Ｋ１，３ｂＹ１－Ｋ２，３ｂＫ３，３ｂ

Ｙ２－Ｋ４，３ｂ…

ＹＮ－Ｋ２Ｎ，３

烅

烄

烆

烍

烌

烎ｂ（１２７）

不难发现，按（１２７）求解就能实现ｕ２＝ｂ的条件。

然而，为程序设计方便起见，通常采用如下近似方法：把与ｕ２对应的对角

线上的刚度系数Ｋ３，３乘以一个大数α（例如１０１０）；把ｕ２对应的节点荷载换成

αｂＫ３，３，其余均保持不变，即把平衡方程改为

Ｋ１，１ Ｋ１，２ Ｋ１，３ Ｋ１，４ ⋯ Ｋ１，２Ｎ

Ｋ２，１ Ｋ２，２ Ｋ２，３ Ｋ２，４ ⋯ Ｋ２，２Ｎ

Ｋ３，１ Ｋ３，２ αＫ３，３ Ｋ３，４ ⋯ Ｋ３，２Ｎ

Ｋ４，１ Ｋ４，２ Ｋ４，３ Ｋ４，４ ⋯ Ｋ４，２Ｎ

… … … … … ⋯

Ｋ２Ｎ，１ Ｋ２Ｎ，２ Ｋ２Ｎ，３ Ｋ２Ｎ，４ ⋯ Ｋ２Ｎ，２

熿

燀

燄

燅Ｎ

ｕ１ｖ１ｕ２ｖ２…

ｖ

烅

烄

烆

烍

烌

烎Ｎ

＝

Ｘ１Ｙ１

αｂＫ３，３

Ｙ２…

Ｙ

烅

烄

烆

烍

烌

烎Ｎ

（１２８）

显然，由于αＫ３，３比其他刚度系数大得多，故第三个方程实际上可写成

αＫ３，３ｕ２≈αｂＫ３，３

从而近似地实现了规定的边界条件ｕ２＝ｂ。

１５２ 未知量的求解

引入边界条件消除奇异性后，便可求解整体刚度方程。线性代数方程组的

７１１５ 数 值 求 解

求解方法可分为两类，即直接解法（例如高斯消去法、三角分解法、波前法等）和

迭代解法（例如超松弛迭代法、共轭梯度法等）。目前直接解法占主导地位，但在

大型问题中，更多采用的则是迭代解法。必须指出，代数方程组求解的效率在很

大程度上决定着有限元计算的效率，因此方程组解法备受重视。然而，本书不打

算介绍这方面的内容，因为它们是线性代数课程中介绍的基本部分。

求出节点位移后，计算单元应变、单元应力非常简单。事实上，只要按照前

图１８ 弹性薄板

述分析的步骤回代求解即可。

【例题１３】 图１８所示为一厚度为ｔ的

弹性薄 板，其 材 料 的 弹 性 模 量 为Ｅ，泊 松 比

ν＝０２。单位长荷载ｑ，不考虑重力。试计算

弹性体的位移和应力。

解 ①结构离散化

将结构化分为三个单元，共５个节点，其

中节点３，４，５为固定边界点。

单元节点局部码与整体码的对应关系

单元号 １ ２ ３局部码 １ ２ ３ １ ２ ３ １ ２ ３整体码 １ ３ ４ ２ ４ ５ ４ ２ １

②单元刚度矩阵

对于单元（１），可求得Ａ＝０５，ｂ１＝０，ｂ２＝－１，ｂ３＝１，ｃ１＝１，ｃ２＝－１，

ｃ３＝０。计算结果表明，三个单元的刚度矩阵相同，即

Ｋｅ＝ Ｅｔ１９２×

０４ ０ －０４ －０４ ０ ０４０ １ －０２ －１ ０２ ０－０４ －０２ １４ ０６ －１ －０４－０４ －１ ０６ １４ －０２ －０４０ ０２ －１ －０２ １ ０

熿

燀

燄

燅０４ ０ －０４ －０４ ０ ０４③整体刚度方程

Ｋ＝

ｋ（１）１１＋ｋ

（３）３３ ｋ（３）

３２ ｋ（１）１２ ｋ（１）

１３＋ｋ（３）３１ ０

ｋ（３）２３ ｋ（２）

１１＋ｋ（３）２２ ０ ｋ（２）

１２＋ｋ（３）２１ ｋ（２）

１３

ｋ（１）２１ ０ ｋ（１）

２２ ｋ（１）２３ ０

ｋ（１）３１＋ｋ

（３）１３ ｋ

（２）２１＋ｋ

（３）１２ ｋ（１）

３２ ｋ（１）３３＋ｋ

（２）２２＋ｋ

（３）１１ ｋ（２）

２３

０ ｋ（２）３１ ０ ｋ（２）

３２ ｋ（２）

熿

燀

燄

燅３３

８１ 第１章 有限单元法基本程式

由于节点３，４，５固定，因此只需给出与节点１，２有关的整体刚度矩阵。

Ｅｔ１９２×

１４ ０ －１ －０２０ １４ －０４ ０４－１ －０４ １８ ０６

熿

燀

燄

燅－０２ ０４ ０６ ２４

ｕ１ｖ１ｕ２ｖ

烅

烄

烆

烍

烌

烎２

＝ｑｔ烅

烄

烆

烍

烌

烎

１０００

④未知量计算

ａ＝［ｕ１ ｖ１ ｕ２ ｖ２］Ｔ＝ｑＥ

［２５３５９ ０５２９２ １５７４８ －０２７７２］Ｔ

为求解单元应力，需据此形成单元节点位移向量。例如，对于单元（１），有

ａ（１）＝［ｕ１ ｖ１ ０ ０ ０ ０］Ｔ＝ｑＥ

［２５３５９ ０５２９２ ０ ０ ０ ０］Ｔ

单元应力为

σ（１）＝ｑ［０１１０３ ０５５１３ １０５６６］Ｔ

１６ 结 语

从物理角度看，有限单元法将连续体问题转化成了离散体问题；从数学角度

看，有限单元法将微分方程问题转化为代数方程问题。结果，无限自由度问题变

成了有限自由度问题。

本章基于虚位移原理推导了位移法有限元公式，关于虚位移原理的证明见

第２章。必须指出，单元刚度方程（１１７）、单元刚度矩阵（１１８）、体力等效节点

荷载（１１９）、面力等效节点荷载（１２０）以及整体刚度方程（１２１）均具有普遍性。

在第２章中，将根据势能变分原理重新推导它们，以加深对有限单元法基本原理

的理解。

习 题

１１ 有限单元法中“离散”的含义是什么？有限单元法是如何将具有无限自由

度的连续介质问题转变成有限自由度问题的？位移有限单元法的标准化

程式是怎样的？

１２ 什么叫做节点力和节点荷载？两者有什么不同？为什么应该保留节点力

的概念？

１３ 单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有哪些性质？单元刚度系数和整体刚度

系数的物理意义是什么？两者有何区别？

１４ 如图所示的有限元网格中，节点应如何编号，以使得整体刚度矩阵的半带

９１习 题

宽最小？

题１４图 题１５图

１５ 如图所示，某单元１２边上作用均布压力ｐ。该边长为ｌ，与ｘ轴的夹角为

α，单元厚度为ｔ。试计算单元等效节点荷载向量Ｐｅｐ。

答案：Ｐｅｐ＝（ｐｌｔ／２）［ｓｉｎα －ｃｏｓα ｓｉｎα －ｃｏｓα ０ ０］Ｔ

＝（ｐｔ／２）［ｙ３－ｙ１ ｘ１－ｘ３ ｙ３－ｙ１ ｘ１－ｘ３ ０ ０］Ｔ

１６ 什么是形函数？试证明Ｔ３单元的形函数满足

Ｎｉ（ｘｊ，ｙｊ）＝１ ｉ＝ｊ０ ｉ≠｛ ｊ

， Ｎ１＋Ｎ２＋Ｎ３＝１

１７ 试证明直角坐标可用形函数表示为

ｘ＝∑３

ｉ＝１Ｎｉｘｉ， ｙ＝∑

３

ｉ＝１Ｎｉｙｉ

１８ 图示为一固端深梁受集中力Ｐ 作用。材料的弹性模量为Ｅ，泊松比

ν＝１／６，梁的厚度ｔ＝１。试用Ｔ３单元求节点位移。

答案：ｖ１＝－１３６７８Ｐ／Ｅ，

ｖ２＝－０９６５５Ｐ／Ｅ。

题１８图

０２ 第１章 有限单元法基本程式

第２

章

有限单元法基本原理

结构分析是有限单元法最早、也是最广泛应用的领域。第１章以弹性力学

平面问题为例，阐释了有限单元法的基本内容。这样的介绍具有直观性，但缺乏

系统性和深刻性。为加深对有限单元法的理解，本章将系统而深入地阐述有限

单元法的基本原理，内容包括：（１）介绍定解问题的微分方程提法；（２）根据微分

方程的等效积分形式，推导第１章中未加证明而应用的虚位移原理及势能变分

原理，从而建立定解问题的泛函变分提法；（３）基于势能变分原理推导位移有限

单元法的普遍公式，并对位移有限元解的性质和收敛性作简要说明；（４）基于余

能变分原理推导应力有限单元法的基本公式。

在本章的阐述中，仍以结构分析课题为例，但所有方面的论述均以一般性说

明为先导。

２１ 微分方程提法

在物理或工程问题中，位移、应力、温度、电流等物理量称为场变量，它们在

一定区域内满足某些控制方程；在域边界上满足给定的边界条件，有时还有初始

条件，它们统称为定解条件；控制方程和定解条件构成所谓定解问题的微分方程

或数学模型，这种以微分方程形式提出问题的方法称为定解问题的微分方程提

法。

为了获得数学模型，必须引入某些前提假设以建构几何模型、物理模型或力

学模型等，它们统称为分析模型。本节首先简要介绍分析模型的概念，然后给出

定解问题微分方程提法的一般形式，最后列出弹性力学问题的微分方程。

２１１ 结构分析模型

对任何复杂事物的研究，出发点都是对事物进行逼真而又可行的理想化以

建构分析模型；而结果的可靠性和实用价值主要取决于确立模型时对各种控制

条件和参数的正确反映。

何谓模型？待分析的事物称为原型，其理想化的替代物就是模型。任何模

型都是为了某种特定目的而将原型的某些特征信息简缩、提炼而构造出来的。

原型有各方面的因素和各种层次的特征，而模型只要求反映与某种目的有关的

那些因素和层次。模型成功的关键是必须反映原型事物的主要属性和特征，而

什么是主要属性和特征则与我们所关注的问题有关（文献８３）。

从本质上讲，有限单元法是求解微分方程的数值方法，即在物理或工程问题

的数学模型之基础上进行近似计算。因此，有限元计算的精度并不意味着实际

问题求解的精度。在采用有限单元法解题时，必须时刻牢记：问题的分析模型具

有根本的重要性。

现以结构分析问题为例，说明分析模型的基本概念。结构设计的核心任务

在于求解结构在外部荷载作用下产生的应力和变形。这些荷载效应取决于结构

类型、几何特征、材料性能、荷载条件等因素。在结构分析中，用于代替实际结构

并能反映结构主要受力和变形特点的理想模型称为结构分析模型，主要有几何

模型、力学模型、数学模型等。

从广义上理解，“结构”包括各种建筑结构、车身骨架、飞机机身、船舶结构、

机械设备、堤坝边坡、建筑地基、洞室围岩等各种物体。任何结构及其构件都是

三维实体，但是在结构分析中，对某些特殊结构可以做出简化处理，并使得分析

更加有效。根据这种原则，人们将常见的结构分为杆系结构、薄壁结构和实体结

构（图２１）。杆系结构就是若干个杆件通过若干个节点相互联结而组成的结构

体系。杆件的特点是横截面尺寸远比其杆长小得多。薄壁结构是厚度远小于其

他两个尺度的结构。如果结构的三个方向上尺度大约为同一量级，则称为实体

结构。在结构的几何与力学模型中，还需对结构的空间形式（平面结构、轴对称

结构、空间结构）、构件之间的连接形式（铰接、刚接或半刚接）、构件力学作用形

式（拉压、弯曲、扭转）等做出抽象。

图２１ 结构模型

数学模型主要是指基于力学模型得到的控制方程，其是否符合实际关键在

于力学模型中引入的基本假定。例如，结构变形属于小变形还是大变形；材料是

线性弹性的还是非线性的。这些力学假定将反映到控制方程中，例如在线性弹

性小变形假设下，几何方程和本构方程都将是线性的。

２２ 第２章 有限单元法基本原理

２１２ 微分方程的形式

连续介质问题的分析方法是：首先从介质中取微元进行分析，建立控制方

程；然后结合具体的定解条件（边界条件和初始条件）求解控制方程。显然，问题

的物理实质不同，控制方程和定解条件也就不同。然而，它们可被一般地表示为

图２２ 定解问题

（图２２）

Ａ（ｕ）＝Ａ１（ｕ）

Ａ２（ｕ）烅烄

烆烍烌

烎…

＝０ 在Ω内 （２１）

Ｂ（ｕ）＝Ｂ１（ｕ）

Ｂ２（ｕ）烅烄

烆烍烌

烎…

＝０ 在Γ上 （２２）

待求解的未知函数ｕ可以是标量场（例如温度），也可以是若干变量组成的向量

场（例如位移、应力）。Ａ和Ｂ为对于独立变量（例如空间坐标）的微分算子。上

述微分方程可以是单个方程，也可以是一组方程。

下面给出直角坐标系下弹性静力问题的控制方程和边界条件，其建立方法

可参考弹性力学教科书（文献２２，５１，８４）。

２１３ 弹性力学方程

（１）平衡方程

σｘｘ＋

τｙｘｙ＋

τｚｘｚ＋Ｘ＝０

τｘｙｘ＋

σｙｙ＋

τｚｙｚ＋Ｙ＝０

τｘｚｘ＋

τｙｚｙ＋

σｚｚ＋Ｚ

烍

烌

烎＝０

（２３ａ）

σｉｊ，ｊ＋ｆｉ＝０ （ｉ，ｊ＝１，２，３） （２３ｂ）

其中，Ｘ，Ｙ，Ｚ分别为体力向量ｆ沿ｘ，ｙ，ｚ方向的分量，即

ｆ＝ｆ１ｆ２ｆ烅烄

烆烍烌

烎３

＝ＸＹ烅烄

烆烍烌

烎Ｚ＝［Ｘ Ｙ Ｚ］Ｔ

３２２１ 微分方程提法

而应力张量σｉｊ为具有６个独立分量的对称张量，常写成如下向量形式

σ＝［σｘ σｙ σｚ τｘｙ τｙｚ τｚｘ］Ｔ

式（２３ｂ）为平衡方程的指标记法。不重复出现的指标称为自由指标，重复出现

的指标称为哑标。按照爱因斯坦求和约定，哑标要取完指标域中所有的值，然后

将所得的各项加起来。

（２）几何方程

εｘ＝ｕｘ

， ２εｘｙ＝γｘｙ＝ｖｘ＋

ｕｙ

εｙ＝ｖｙ

， ２εｙｚ＝γｙｚ＝ｗｙ＋

ｖｚ

εｚ＝ｗｚ

， ２εｚｘ＝γｚｘ＝ｕｚ＋

ｗ

烍

烌

烎ｘ

（２４ａ）

εｉｊ＝１２

（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ） （ｉ，ｊ＝１，２，３） （２４ｂ）

其中，ｕ，ｖ，ｗ 分别为位移向量ｕ沿坐标轴ｘ，ｙ，ｚ方向的分量，即

ｕ＝

ｕ１ｕ２ｕ烅烄

烆烍烌

烎３

＝ｕｖ烅烄

烆烍烌

烎ｗ＝［ｕ ｖ ｗ］Ｔ

应变张量εｉｊ也是对称张量，其向量形式为

ε＝ εｘ εｙ εｚ γｘｙ γｙｚ γ［ ］ｚｘＴ

（３）本构方程

对于各向同性的线性弹性材料，本构方程就是广义Ｈｏｏｋｅ定律，即

εｘ＝１Ｅ

［σｘ－ν（σｙ＋σｚ）］， γｘｙ＝１Ｇτｘｙ

εｙ＝１Ｅ

［σｙ－ν（σｚ＋σｘ）］， γｙｚ＝１Ｇτｙｚ

εｚ＝１Ｅ

［σｚ－ν（σｘ＋σｙ）］， γｚｘ＝１Ｇτ

烍

烌

烎ｚｘ

（２５ａ）

或

σｉｊ＝λθδｉｊ＋２Ｇεｉｊ （ｉ，ｊ＝１，２，３） （２５ｂ）

或

σｉｊ＝Ｄｉｊｋｌεｋｌ （２５ｃ）

４２ 第２章 有限单元法基本原理

其中，Ｅ为材料的弹性模量；ν为泊松比；Ｇ为剪切模量；θ＝εｘ＋εｙ＋εｚ 为体积

应变；而

λ＝ νＥ（１＋ν）（１－２ν）， Ｇ＝ Ｅ

２（１＋ν）

在有限单元法中，本构方程常写成矩阵形式，即

ε＝Ｃσ 或 σ＝Ｄε （２６）

其中，Ｃ为柔度矩阵；Ｄ为弹性矩阵，可写成下列形式

Ｄ＝ Ｅ（１＋ν）（１－２ν）

１－ν ν ν ０ ０ ０１－ν ν ０ ０ ０

１－ν ０ ０ ０

对 １－２ν２ ０ ０

称 １－２ν２ ０

１－２ν

熿

燀

燄

燅２

（２７）

（４）边界条件

在给定面力的边界Γσ上，应力边界条件表示为

ｌσｘ＋ｍτｙｘ＋ｎτｚｘ＝珚Ｘｌτｘｙ＋ｍσｙ＋ｎτｚｙ＝珡Ｙｌτｘｚ＋ｍτｙｚ＋ｎσｚ＝珔

烍烌

烎Ｚ

（２８ａ）

ｎｊσｊｉ≡ｐｉ＝珔ｐｉ （ｉ，ｊ＝１，２，３） （２８ｂ）

ｎσ＝珔ｐ （２８ｃ）

其中，珚Ｘ，珡Ｙ，珔Ｚ为已知的边界面力沿ｘ，ｙ，ｚ方向的分量，边界面力向量珔ｐ记为

珔ｐ＝

珔ｐ１珔ｐ２珔ｐ烅烄

烆烍烌

烎３

＝

珚Ｘ珡Ｙ珔烅烄

烆烍烌

烎Ｚ＝［珚Ｘ 珡Ｙ 珔Ｚ］

ｌ，ｍ，ｎ为边界外法线Ｎ的方向余弦，即

ｌ＝ｎｘ＝ｃｏｓ（Ｎ，ｘ）， ｍ＝ｎｙ＝ｃｏｓ（Ｎ，ｙ）， ｎ＝ｎｚ＝ｃｏｓ（Ｎ，ｚ）

而

５２２１ 微分方程提法

ｎ＝

ｎｘ ０ ０ ｎｙ ０ ｎｚ０ ｎｙ ０ ｎｘ ｎｚ ００ ０ ｎｚ ｎｙ ０ ｎ

熿

燀

燄

燅ｘ

＝ｌ ０ ０ ｍ ０ ｎ０ ｍ ０ ｌ ｎ ００ ０ ｎ ｍ ０

熿

燀

燄

燅ｌ

在位移有限单元法中，边界上的作用力将被转化成等效节点荷载。因此边

界条件是指结构在边界上所受到的位移约束，可表示为

ｕ＝珔ｕ， ｖ＝珔ｖ， ｗ＝珡ｗ （２９ａ）

或

ｕｉ＝珔ｕｉ （ｉ＝１，２，３） （２９ｂ）

其中，珔ｕ，珔ｖ，珡ｗ 为已知的边界位移分量。

２２ 泛函变分提法

２２１ 等效积分形式

现在来研究微分方程的等效积分形式。由于控制方程在域内每一点都必须

为零，因此有

∫ΩｖＴＡ（ｕ）ｄΩ＝∫Ω［ｖ１Ａ１（ｕ）＋ｖ２Ａ２（ｕ）＋⋯］ｄΩ＝０ （ａ）

其中，ｖ＝［ｖ１ ｖ２ ⋯］Ｔ是函数向量，它是一组同微分方程个数相等的任意可

积（在Ω内）函数。

不难证明，式（ａ）是与微分方程组（２１）完全等效的积分形式，即式（ａ）成立，

则式（２１）成立。假设Ａ（ｕ）在Ω内不处处为零，则由于ｖ可以任意选择，我们

选ｖ为处处与Ａ（ｕ）同号的函数，于是ｖＴＡ（ｕ）在域内恒正。可见，要满足式

（ａ），必须Ａ（ｕ）≡０。

同理，假如边界条件（２２）在边界上每点都得到满足，对于一组任意可积（在

Γ上）函数珔ｖ应当成立

∫Γ珔ｖＴＢ（ｕ）ｄΓ＝∫Γ 珔ｖ１Ｂ１（ｕ）＋珔ｖ２Ｂ２（ｕ）＋［ ］⋯ ｄΓ＝０ （ｂ）

这样，就可得到与控制方程（２１）和边界条件（２２）等效的积分形式

∫ΩｖＴＡ（ｕ）ｄΩ＋∫Γ珔ｖＴＢ（ｕ）ｄΓ＝０ （２１０）

统称为微分方程的等效积分形式。

６２ 第２章 有限单元法基本原理

２２２ 微分方程弱形式

（１）一般形式

通常情况下，可以对式（２１０）进行分部积分，从而得到

∫ΩＣＴ（ｖ）Ｄ（ｕ）ｄΩ＋∫ΓＥＴ（珔ｖ）Ｆ（ｕ）ｄΓ≡０ （２１１）

其中，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ 是微分算子。通常式（２１１）称为微分方程的弱形式（ｗｅａｋｆｏｒｍ），相对而言，定解问题的微分方程称为强形式（ｓｔｒｏｎｇｆｏｒｍ）。

由于分部积分的缘故，场函数ｕ的导数的阶次在弱形式（２１１）中比在等效

积分形式（２１０）中为低。这样，使用弱形式时对场函数便只要求较低阶的连续

性。当然，降低对ｕ的连续性要求是以提高ｖ和珔ｖ的连续性要求为代价的。不

过，由于原来对ｖ和珔ｖ并无连续性要求，故适当提高其连续性并不困难。

（２）虚位移原理

在弹性力学问题中，微分方程包括３组控制方程和２组边界条件。假设位

移函数事先已经满足位移边界条件，且应变根据几何方程由位移确定，应力根据

本构方程由应变确定，则此位移仍需满足的条件只剩下平衡微分方程和应力边

界条件。将它们写成等效积分形式，并通过分部积分推导其弱形式。我们将发

现，弱形式就是熟知的虚位移原理。

注意到虚位移或位移变分（虚位移是指任意的、微小的可能位移，位移变分

也是这样定义的，以后在两者之间不作区分）的任意性，可不失一般性地以虚位

移δｕ＝［δｕ δｖ δｗ］Ｔ为任意函数珔ｖ，而ｖ＝－珔ｖ。这样，平衡微分方程和应力

边界条件的等效积分形式为

－∫Ω（σｉｊ，ｊ＋ｆｉ）δｕｉｄΩ＋∫Γσ（ｎｊσｊｉ－珔ｐｉ）δｕｉｄΓ＝０ （ａ）

对上式中的第一项进行分部积分

∫Ωσｉｊ，ｊδｕｉｄΩ＝∫Ω（σｉｊδｕｉ），ｊｄΩ－∫Ωσｉｊδｕｉ，ｊｄΩ （ｂ）

根据散度定理（Ｇｒｅｅｎ公式），即

∫ΩＵｉ，ｉｄΩ＝∫ΓＵｉｎｉｄΓ有

∫Ω（σｉｊδｕｉ），ｊｄΩ＝∫ΓｎｊσｉｊδｕｉｄΓ＝∫ΓσｎｊσｉｊδｕｉｄΓ＋∫ΓｕｎｊσｉｊδｕｉｄΓ （ｃ）

７２２２ 泛函变分提法

如前所述，虚位移是可能位移，故在满足给定位移的位移边界Γｕ 上，虚位

移为零，因为它不再有任何变化的可能。这样，上式中的最后一项为零。由于应

变与位移满足几何方程，故有

δεｉｊ＝１２

（δｕｉ，ｊ＋δｕｊ，ｉ）

考虑到应力张量的对称性，式（ｂ）中最后一项为

∫Ωσｉｊδｕｉ，ｊｄΩ＝∫Ω１２（σｉｊδｕｉ，ｊ＋σｊｉδｕｊ，ｉ）ｄΩ＝∫ΩσｉｊδεｉｊｄΩ （ｄ）

将式（ｃ），（ｄ）代入式（ｂ）得

∫Ωσｉｊ，ｊδｕｉｄΩ＝∫ΓσｎｊσｉｊδｕｉｄΓ－∫ΩσｉｊδεｉｊｄΩ （ｅ）

再代入式（ａ）得

∫ΩσｉｊδεｉｊｄΩ－∫ΩｆｉδｕｉｄΩ－∫Γσ珔ｐｉδｕｉｄΓ＝０ （２１２ａ）

或

∫ΩδεＴσｄΩ＝∫ΩδｕＴｆｄΩ＋∫ΓσδｕＴ珔ｐｄΓ （２１２ｂ）

显然，上式的右边是外力在虚位移上所做的虚功δＷ，而左边则是物体内应

力在虚应变上的虚应变能δＵ。可见，式（２１２）即虚功方程，与其相对应的虚位

移原理可表述如下：如果物体在外力作用下处于平衡状态，那么在虚位移发生

时，物体的虚应变能等于外力所做虚功，即

δＵ＝δＷ （２１３）

（３）附加条件

根据前面的分析，在事先或自动满足几何方程、位移边界条件和本构方程这

３个附加条件的前提下，虚功方程将与弹性力学全部微分方程等价。其中的本

构方程是否为线性，在推导过程中并没有提出任何要求。因此，不论材料是线性

的还是非线性的，虚位移原理都成立。此外，要求事先满足的位移边界条件称为

强制边界条件。

２２３ 势能变分原理

（１）一般形式

变分原理涉及到泛函的概念。简单地说，若把自变量（例如坐标）的函数称

８２ 第２章 有限单元法基本原理

为自变函数，则泛函就是自变函数的函数。例如，应力和应变是坐标的函数，故

为自变函数；而应变能是应变和应力的函数，因而是泛函。

采用变分原理求解连续介质问题，首先需要建立一个标量泛函Π，它是未

知场函数ｕ（例如位移场、应力场、温度场、水头场等）及其导数的函数，即

Π＝∫ΩＦ ｕ，ｕｘ（ ），⋯ ｄΩ＋∫ΓＥ ｕ，ｕ

ｘ（ ），⋯ ｄΓ

问题的真实解ｕ使Π对于自变函数的微小变化δｕ取驻值，即泛函的变分（变分

运算法则与微分运算法则基本相同）等于零

δΠ＝０ （２１４）

这就是变分原理。相对于问题的微分方程提法，变分原理称为问题的泛函变分

提法。问题的泛函可通过弱形式或其他方式得到，但有些问题至今未能建立起

泛函及变分原理。现介绍固体力学中的势能变分原理，并在虚位移原理的基础

上加以证明。

（２）系统总势能

在外力作用下，物体内部将产生应力σ和应变ε，外力所做的功将以变形能

的形式储存起来，这种能量称为应变能。单位体积内储存的应变能称为应变能

密度。通常以物体无变形状态作为计算应变能的零点。假定外力是从零开始逐

渐增加的，应力和应变也将从零开始逐渐增加，则应变能密度Ｗε为

Ｗε＝∫ε

０σＴｄε＝∫

εｉｊ

０σｉｊｄεｉｊ （２１５）

整个物体的应变能为

Ｕε＝∫ΩＷεｄΩ （２１６）

对于线弹性体，σ＝Ｄε并注意到Ｄ的对称性，有

Ｗε＝∫ε

０εＴＤｄε＝１２ε

ＴＤε＝１２Ｄｉｊｋｌεｉｊεｋｌ（２１７）

Ｕε＝∫ΩＷεｄΩ＝１２∫ΩεＴＤεｄΩ＝１２∫ΩＤｉｊｋｌεｉｊεｋｌｄΩ （２１８）

通常也是以物体无变形状态作为计算外力势能的零点。外力场通过力做功

释放一部分势能，故外力做功将使势能降低。因此，外力势能就是外力功的负

值。功是力与力的作用点在力作用方向上的位移之积，即力矢量与相应位移矢

量的标量积。于是，外力势能由下式计算

９２２２ 泛函变分提法

Ｖ＝－∫ΩｕＴｆｄΩ－∫ΓσｕＴ珔ｐｄΓ＝－∫ΩｆｉｕｉｄΩ－∫Γσ珔ｐｉｕｉｄΓ （２１９）

物体的总势能Πｐ 定义为物体的应变能Ｕε与外力势能Ｖ之和

Πｐ＝Ｕε＋Ｖ （２２０）

即

Πｐ＝∫ΩＷεｄΩ－∫ΩｕＴｆｄΩ－∫ΓσｕＴ珔ｐｄΓ （２２１ａ）

或

Πｐ＝∫ΩＷεｄΩ－∫ΩｆｉｕｉｄΩ－∫Γσ珔ｐｉｕｉｄΓ （２２１ｂ）

在线性弹性条件下，注意到式（２１７），有

Πｐ＝１２∫ΩεＴＤεｄΩ－∫ΩｕＴｆｄΩ－∫Γσｕ

Ｔ珔ｐｄΓ （２２２ａ）

或

Πｐ＝１２∫ΩＤｉｊｋｌεｉｊεｋｌｄΩ－∫ΩｆｉｕｉｄΩ－∫Γσ珔ｐｉｕｉｄГ （２２２ｂ）

（３）势能变分原理

总势能Πｐ 是一种泛函。势能变分原理可叙述如下：在所有满足边界条件

的协调位移中，那些满足静力平衡条件的位移使物体势能泛函取驻值，即势能的

变分为零

δΠｐ＝δＵε＋δＶ＝０ （２２３）

此即变分方程。对于线性弹性体，势能取最小值，即

δ２Πｐ＝δ２Ｕε＋δ２Ｖ≥０ （２２４）

此时的势能变分原理就是著名的最小势能原理。对这一原理可做如下通俗的理

解：在自然状态下，水总是从高处向低处流，边坡总是有向下滑动的趋势。这类

现象揭示出一种普遍的自然规律，即势能总有最小化的趋向。

首先，在虚位移原理的基础上证明势能泛函的变分为零，即泛函驻值条件

（２２３）。为此，对式（２２１）求变分

δΠｐ＝∫ΩδＷεｄΩ－∫ΩδｕＴｆｄΩ－∫ΓσδｕＴ珔ｐｄΓ （ａ）

０３ 第２章 有限单元法基本原理

＝∫ΩδεＴＷεεｄΩ－∫ΩδｕＴｆｄΩ－∫Γσδｕ

Ｔ珔ｐｄΓ

根据应变能密度的定义（２１５），有Ｗεε ＝σ

，即本构方程（２５）。将其代入式（ａ）

得

δΠｐ＝∫ΩδεＴσｄΩ－∫ΩδｕＴｆｄΩ－∫ΓσδｕＴ珔ｐｄΓ

将上式与虚功方程（２１３）比较，可证式（２２３）。

现证明线性弹性情况下势能取最小值。以ｕ表示真实位移，ｕ表示可能

位移，并令

ｕ＝ｕ＋δｕ （ｂ）

代入几何方程，有

ε＝ε＋δε （ｃ）

将式（ｂ），（ｃ）代入式（２２１），可得

Πｐ ＝１２∫ΩεＴＤεｄΩ－∫ΩｕＴｆｄΩ－∫Γσｕ

Ｔ珔ｐｄΓ

＝Πｐ＋δΠｐ＋１２∫ΩδεＴＤδεｄΩ （ｄ）

根据泛函驻值条件，一阶变分δΠｐ＝０。考虑到应变能的非负性，由式（ｄ）知

Πｐ－Πｐ≥０

即可能位移对应的势能总是不小于真实位移对应的势能，从而最小势能原理得

证。

（４）附加条件

根据前面的分析，将本构方程（２５）代入虚功方程（２１２），便立即得到势能

变分原理。可见，势能变分原理与虚位移原理等价，只是本来作为附加条件的本

构方程已引入变分方程。因此，势能变分原理的附加条件就剩下几何方程和位

移边界条件。也就是说，变分方程（２２３）连同附加条件与弹性力学全部微分方

程等价。

在势能泛函中独立变量只有位移ｕｉ，而应变通过几何方程由位移确定，故

势能变分原理称为一类变量变分原理。此外，由于对泛函实施变分后的变分原

理就是弱形式，故弱形式也称为变分形式。然而，并非所有的弱形式都有相应的

公式化泛函及变分原理。

１３２２ 泛函变分提法

２２４ 变分法及其困境

简单地说，变分法就是利用变分原理来求解定解问题的方法。变分原理具

有普遍性，而且它本身并不包含近似。然而，通常人们总是将变分法与近似解联

系在一起，原因何在？现以直接求泛函极值的Ｒｉｔｚ法为例，说明用变分法求近

似解的基本思想及其遭遇的困境。

（１）Ｒｉｔｚ法

在整个求解区域内，将待求解的场函数ｕ表示为含有一族待定参数的试探

函数（ｔｒｉａｌｆｕｎｃｔｉｏｎ），即

ｕ＝ｕ０＋∑ｎ

ｉ＝１Ｎｉａｉ＝ｕ０＋Ｎａ （２２５）

其中，ａ是待定参数向量；ｕ０是满足非齐次边界条件的已知函数向量；Ｎ是满足

齐次边界条件的已知函数矩阵（即假设的试探函数要满足给定的边界条件）。例

如对于空间问题，位移试探函数具有如下形式

ｕ＝ｕ０＋∑ｎ

ｉ＝１Ｎ１ｉａ１ｉ， ｖ＝ｖ０＋∑

ｎ

ｉ＝１Ｎ２ｉａ２ｉ， ｗ ＝ｗ０＋∑

ｎ

ｉ＝１Ｎ３ｉａ３ｉ

其中，ｕ０，ｖ０，ｗ０为边界上已知的位移；Ｎ１ｉ，Ｎ２ｉ，Ｎ３ｉ为在边界上等于零的设定

函数；而ａｉｊ是３ｎ个待定参数。要保证数值方法的收敛性，Ｎ 中的函数应取自

完全系列。若将上式写成式（２２５）的形式，则

ｕ＝ｕｖ烅烄

烆烍烌

烎ｗ

， ｕ０＝

ｕ０ｖ０ｗ烅烄

烆烍烌

烎０

， ａｉ＝

ａ１ｉａ２ｉａ３

烅烄

烆烍烌

烎ｉ

， ａ＝ａ１…

ａ烅烄

烆烍烌

烎ｎ

Ｎｉ＝

Ｎ１ｉ ０ ００ Ｎ２ｉ ００ ０ Ｎ３

熿

燀

燄

燅ｉ

， Ｎ＝ Ｎ１ Ｎ２ ⋯ Ｎ［ ］ｎ

将式（２２５）代入泛函表达式，可得用待定参数表示的泛函。调整试探函数

中的待定参数，使其满足泛函的驻值或极值条件，即

δΠ＝δａＴｉΠａｉ＝δａＴ１

Πａ１＋δａＴ２

Πａ２＋⋯＋δａＴｎ

Πａｎ＝０ （２２６）

因δａｉ是任意的，故有

Πａｉ＝０ （ｉ＝１，２，⋯，ｎ） （２２７）

２３ 第２章 有限单元法基本原理

这是与待定参数ａ的个数相等的方程组，可以求得ａ。

如果泛函Π中ｕ及其导数的最高方次为二次，则称泛函Π 为二次泛函。

显然，对于二次泛函，Πａ

可化为如下一组线性方程

Πａ＝Ｋａ－Ｐ＝０

（２２８）

（２）困境

在Ｒｉｔｚ法中，Ｎ决定了试探函数的基本形态，待定参数使得场函数具有一

定的任意性。如果真实场函数包含在试探函数之内，则变分法得到的解答是精

确的；如果试探函数取自完全的函数序列，则当项数不断增加时，近似解将趋近

于精确解。

然而，通常情况下试探函数不会将真实场函数完全包含在内，实际计算时也

不可能取无穷多项。因此，试探函数只能是真实场函数的近似。可见，变分法就

是在某个假定的范围内找出最佳解答，近似性就源于此。

采用变分法近似求解，要求在整个求解区域内预先给出满足边界条件的场

函数。通常情况下这是不可能的，因而变分法的应用受到了限制。摆脱困境的

绝妙思想是分割近似，即把整个区域分割成若干子域，在子域内假设场函数并用

分片连续的场函数来代替整个域内的场函数。这就是有限单元法的基本思想。

２３ 位移有限单元法

有限单元法的数学基础可以追溯到古老的分割近似原理。例如，为了求得

曲线围成的面积，可以采用分段以直代曲的方法来求其近似值；分割越细，结果

越精确。有限单元法把连续体分割成许多小单元，尽管整个物体的场函数可能

非常复杂，但在这种小单元范围内却可选用简单的位移函数加以近似。

２３１ 有限元公式

（１）单元刚度矩阵

结构离散以后，选择单元位移函数，以单元节点位移表示单元内任意点的位

移，即

ｕ＝Ｎａｅ （２２９）

将上式代入几何方程（２４），可得以单元节点位移表示的单元应变

ε＝Ｂａｅ （２３０）

再代入本构方程（２５）得

３３２３ 位移有限单元法

σ＝Ｄε＝ＤＢａｅ （２３１）

于是，单元的势能为

Πｅｐ＝１２∫ΩｅεＴＤεｄΩ－ａｅＴＦｅ＝１２ａｅＴＫｅａｅ－ａｅＴＦｅ

其中，Ｆｅ是与单元边界上的面力相等效的单元节点力向量。对上式进行变分，

并注意到Ｋｅ的对称性，有

δΠｅｐ＝１２δａ

ｅＴＫｅａｅ＋１２ａｅＴＫｅδａｅ－δａｅＴＦｅ＝δａｅＴＫｅａｅ－δａｅＴＦｅ

对单元应用最小势能原理

δΠｅｐ＝δａｅＴ（Ｋｅａｅ－Ｆｅ）＝０

由于δａｅ是任意的，从而得到单元刚度方程

Ｋｅａｅ＝Ｆｅ （２３２）

其中，Ｋｅ为单元刚度矩阵，即

Ｋｅ＝∫ΩｅＢＴＤＢｄΩ （２３３ａ）

其子块为

ｋｉｊ＝∫ΩｅＢＴｉＤＢｊｄΩ （２３３ｂ）

（２）整体刚度方程

对于离散结构系统，总势能为所有单元势能之和，即

Πｐ＝∑ｅΠｅｐ＝∑

ｅ

１２∫ΩｅεＴＤεｄΩ－∑ｅ∫ΩｅｕＴｆｄΩ－∑ｅ∫Γｅσｕ

Ｔ珔ｐｄΓ

将ｕ＝Ｎａｅ，ε＝Ｂａｅ代入上式得

Πｐ＝ａＴ∑ｅ

１２Ａ

ｅＴＫｅＡ（ ）ｅａ－ａＴ∑ｅ

（ＡｅＴＰｅ）＝１２ａＴＫａ－ａＴＰ （ａ）

其中

Ｋ＝∑ｅＡｅＴＫｅＡｅ， ａｅ＝Ａｅａ （ｂ）

Ｐ＝∑ｅＡｅＴＰｅ， Ｐｅ＝Ｐｅｆ＋Ｐｅｐ （ｃ）

４３ 第２章 有限单元法基本原理

Ｐｅｆ＝∫ΩｅＮＴｆｄΩ （２３４）

Ｐｅｐ＝∫ΓｅσＮＴ珔ｐｄΓ （２３５）

对式（ａ）进行变分，并注意到Ｋ的对称性，有

δΠｐ＝１２δａ

ＴＫａ＋１２ａＴＫδａ－δａＴＰ＝δａＴＫａ－δａＴＰ

于是，根据最小势能原理有

δΠｐ＝δａＴ（Ｋａ－Ｐ）＝０

注意到δａ是任意的，可得整体刚度方程

Ｋａ＝Ｐ （２３６）

实际上，由于位移场已经离散化，故泛函可看成以节点位移为变量的多元函

数。这样，泛函的变分问题转化为多元函数求极值的问题，极值条件为

Πｐａ＝０

将泛函Πｐ 代入此式，可得式（２３６）。

与第１章 中 根 据 虚 位 移 原 理 推 导 出 的 普 遍 公 式 相 比，可 知 式（２３２），

（２３３ａ），（２３４），（２３５），（２３６）分别与式（１１７），（１１８），（１１９），（１２０），

（１２１）相同。

２３２ 解的下限性

位移有限单元法求得的近似解将小于问题的精确解或真实值，故位移解称

为下限解。这是因为在假定单元位移函数以后，本来具有无限个自由度的结构

变成了有限个自由度的结构，这就意味着位移函数对结构的变形能力有所限制，

从而结构刚度随之增大、计算的位移较小。上述结论不难证明。如果采用真实

的位移函数计算离散系统的总势能，则有

Πｐ＝１２ａ

ＴＫａ－ａＴＰ （ａ）

根据最小势能原理，有

Ｋａ＝Ｐ （ｂ）

代入式（ａ）得

５３２３ 位移有限单元法

Πｐ＝－１２ａ

ＴＰ （ｃ）

通常情况下，有限元分析中假设的单元位移函数与真实的有差别，因此与上

述公式相应地有

珟Πｐ＝１２珘ａＴ珦Ｋ珘ａ－珘ａＴＰ， 珦Ｋ珘ａ＝Ｐ， 珟Πｐ＝－

１２珘ａＴＰ

其中，珘ａ，珦Ｋ，珟Πｐ 分别为近似的有限元系统的整体节点位移向量、整体刚度矩阵

和总势能。

根据最小势能原理，真实位移使Πｐ 取最小值。因此，势能的近似值珟Πｐ 必

定不小于Πｐ，即

珟Πｐ＝－１２珘ａＴＰ≥－１２ａ

ＴＰ＝Πｐ

上式表明

珘ａ≤ａ

从而位移近似解的下限性质得证。

２３３ 解的收敛性

连续体本来具有无限个自由度，代以有限个单元的集合以后，便只有有限个

自由度了。人们自然会提出这样的问题：计算结果的收敛性如何？即：随网格的

逐步细分，有限元解是否收敛于精确解？研究表明，只要位移函数满足两个基本

要求，即完备性和协调性，计算结果便收敛于精确解。

（１）完备性要求

完备性要求包括两个条件，即刚体位移条件和常应变条件。首先，位移函数

必须包含单元的刚体位移。结构中的单元不仅产生与该单元本身变形相应的位

移，还可能因其他单元变形而通过节点位移产生单元刚体位移。因此，为了正确

反映单元的实际位移形态，位移函数必须具有反映刚体位移的能力。

位移函数必须反映单元的常应变。从物理上讲，当单元尺寸无限缩小时，单

元应变应趋近于常量。因此，单元位移函数中应该包括常应变项，否则就没有可

能收敛于正确解。

从泛函的角度讲，如果泛函中位移函数的最高阶导数是ｍ 阶，则完备性要

求意味着单元位移函数至少是ｍ 次完全多项式。换句话说，单元位移函数中必

须包括０至ｍ 阶导数为常数的项。

（２）协调性要求

协调性要求意味着位移的某种连续性。由于单元位移函数采用多项式，故

６３ 第２章 有限单元法基本原理

在单元内部协调条件总是能够满足，协调性要求只反映在相邻单元之间。实质

上说来，要求相邻单元间协调是为了保证在单元交界面上应变有限。

在有限元公式的推导中，只计算了各单元内部的应变能，没有计算单元交界

面上的功。这显然隐含着如下假定：单元交界面处不贡献功或能。由于交界面

的厚度是零，故当应变有限时功等于零。反之，若交界面处的应变无限，那么此

处的功就不等于零，忽略它将产生误差。

如果一个函数的第ｎ阶导数是连续函数，则该函数称为Ｃｎ 连续。如果泛

函中位移函数的最高阶导数是ｍ 阶，则单元位移函数在交界处必须Ｃｍ－１连续，

从而保证ｍ 阶导数的存在，也即保证应变有限。在实体结构中，几何方程表明

应变是位移的一阶导数，势能泛函仅包含位移函数的一阶导数。因此，只要求在

单元交界处位移连续，即要求单元间Ｃ０连续，这个条件很容易满足。在板壳结

构中，应变是位移的二阶导数，势能泛函包含位移的二阶导数。因此，在单元交

界处，要求位移函数的一阶导数连续，即满足Ｃ１连续性。我们将发现，Ｃ１连续

不容易实现。

作为例子，对第１章中介绍的３节点三角形单元的收敛性进行讨论。在平

面问题中，泛函中位移函数的最高阶导数是一阶。因此，完备性要求单元位移函

数包含完全的一次多项式。由于该单元的位移函数就是完全的一次多项式，故

满足完备性要求。在单元边界上，位移是线性变化的。既然两个相邻单元在其

公共节点上具有相同的节点位移（两点唯一地确定一条直线），那么在公共边界

上也将具有相同的位移。可见，协调性要求也得到了满足。

单元既完备又协调是有限元解收敛的充分条件。在这两个条件中，完备性

要求是必要条件，通常也容易得到满足。

２４ 应力有限单元法

２４１ 虚应力原理

前述位移法以位移为基本未知量，在满足附加条件下，位移试探函数需满足

的基本方程是平衡方程。求解弹性力学问题的应力法以应力为基本未知量，试

探函数为应力函数。

假设应力事先已满足平衡微分方程和应力边界条件，且应变根据本构方程

由应力确定，则此真实应力仍需满足的条件只剩下几何方程和位移边界条件。

以应力变分δσｉｊ和面力变分δｐｉ（其中ｐｉ≡σｉｊｎｊ）为任意函数，几何方程和位移边

界条件的等效积分形式为

７３２４ 应力有限单元法

∫Ω εｉｊ－１２（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ［ ］）δσｉｊｄΩ＋∫Γｕ（ｕｉ－珔ｕｉ）δｐｉｄΓ＝０ （２３７）

对上式进行分部积分可得

∫Ω（εｉｊδσｉｊ＋ｕｉδσｉｊ，ｊ）ｄΩ－∫ΓｕｉδσｉｊｎｊｄΓ＋∫Γｕ（ｕｉ－珔ｕｉ）δｐｉｄΓ＝０根据前提条件，平衡微分方程和应力边界条件已得到满足。对其变分，可知在

Ω内δσｉｊ，ｊ＝０，在Γσ上δｐｉ＝０。于是，上式可简化为

∫ΩεｉｊδσｉｊｄΩ－∫Γｕ珔ｕｉδｐｉｄΓ＝０ （２３８ａ）

或

∫ΩδσＴεｄΩ－∫ΓｕδｐＴ珔ｕｄΓ＝０ （２３８ｂ）

这就是虚应力原理的虚功方程，该原理可叙述如下：虚反力在位移边界处给定位

移上所做的余虚功，等于应变在虚应力上所做的余虚功。

可见，虚功方程（２３８）连同附加条件（平衡微分方程、应力边界条件和本构

方程）等价于弹性力学全部方程。

２４２ 余能变分原理

物体的余能Πｃ定义为物体的余应变能Ｕσ与给定位移边界Γｕ 上的边界反

力（包括支座反力）的余势Ｖｃ之和

Πｃ＝Ｕσ＋Ｖｃ （２３９）

现给出Ｕσ和Ｖｃ的计算方法。余应变能密度Ｗσ定义为

Ｗσ＝∫σ

０εＴｄσ＝∫

σｉｊ

０εｉｊｄσｉｊ （２４０）

整个物体的余应变能为

Ｕσ＝∫ΩＷσｄΩ （２４１）

对于线性弹性体

ε＝Ｄ－１σ＝Ｃσ （２４２）

注意到Ｄ和Ｃ的对称性，有

８３ 第２章 有限单元法基本原理

Ｗσ＝１２σ

ＴＤ－１σ＝１２σＴＣσ＝１２Ｃｉｊｋｌσｉｊσｋｌ

（２４３）

Ｕσ＝∫ΩＷσｄΩ＝１２∫ΩσＴＤ－１σｄΩ＝１２∫ΩＣｉｊｋｌσｉｊσｋｌｄΩ （２４４）

在边界Γｕ 上给定了位移珔ｕ，作用在Γｕ 上的边界反力为ｐ，则边界反力的势

由下式计算

Ｖｃ＝－∫ΓｕｐＴ珔ｕｄΓ＝－∫Γｕｐｉ珔ｕｉｄΓ （２４５）

物体总余能为

Πｃ＝∫ΩＷσｄΩ－∫ΓｕｐＴ珔ｕｄΓ （２４６ａ）

或

Πｃ＝∫ΩＷσｄΩ－∫Γｕｐｉ珔ｕｉｄΓ （２４６ｂ）

余能变分原理可叙述如下：在一切静力可能状态中，真实状态使物体的余能

取驻值，即

δΠｃ＝δＵσ＋δＶｃ＝０ （２４７）

对于线性弹性体，余能取最小值，即

δ２Πｃ＝δ２Ｕσ＋δ２Ｖｃ≥０ （２４８）

此时的余能变分原理称为最小余能原理。采用证明最小势能原理的方法，不难

证明最小余能原理。

事实上，将本构方程εｉｊ＝Ｗσσｉｊ

代入虚功方程（２３８），便立即得到余能变分

方程。可见，余能变分原理与虚应力原理是等价的，只是余能变分方程中引入了

本构方程。这样，余能变分原理的附加条件为平衡微分方程和应力边界条件。

此外，在 余 能 泛 函 中 只 有 应 力σｉｊ是 独 立 变 量（作 用 在Γｕ 上 的 边 界 反 力

ｐｉ≡σｉｊｎｊ），故余能变分原理也属于一类变量变分原理。

２４３ 平衡模型

前面介绍的有限单元法以势能变分原理为基础，从假定位移出发、满足协调

条件，故称为位移有限单元法或协调模型。如果假定单元的应力状态，根据余能

变分原理来建立有限元方程，则称为应力有限单元法或平衡模型，这是因为假定

９３２４ 应力有限单元法

的应力状态必须满足平衡条件。在平衡模型中，基本未知量为节点力或节点应

力函数值，而单元应力表示为基本未知量的函数。

将结构离散后，有限元系统的余能可写成

Πｃ＝∑ｅ

１２∫ΩｅσＴＣσｄΩ－∫Γｅｕｐ

Ｔ珔ｕｄ（ ）Γ （２４９）

为说明问题简便起见，不考虑体力。此时，满足齐次平衡微分方程的应力可用待

定参数Ｆｅ表示为

σ＝ＥＦｅ （２５０）

其中，Ｅ为已知函数矩阵。根据应力边界条件式，单元边界力ｐ与应力的关系

为

ｐ＝ｎσ （２５１）

将式（２５０）代入式（２５１）得

ｐ＝ｎＥＦｅ （２５２）

将式（２５０），（２５２）代入式（２４９）得

Πｃ＝∑ｅ

１２Ｆ

ｅＴＨｅＦｅ＋ＦｅＴＢ（ ）ｅ （２５３）

其中

Ｈｅ＝∫ΩｅＥＴＣＥｄΩ （２５４）

Ｂｅ＝∫ΓｅｕＥＴｎＴ珔ｕｄΓ （２５５）

应力法有限元分析的其余步骤与位移有限单元法相似，不再赘述。需要指

出的是，除了杆单元和梁单元，用待定参数表示单元内部应力是很困难的，因此

应力有限单元法很少被采用。不过，余能经过修正后，在应力杂交单元中得到了

实际应用（参见第１２章）。

２５ 结 语

在连续介质问题中，通过微元分析可推导出控制方程和边界条件，从而构成

微分方程提法。泛函变分提法可以通过微分方程等效积分形式的分部积分而得

到，也可以采用其他方式加以建立。本质上讲，两种提法是等价的，然而基于不

０４ 第２章 有限单元法基本原理

同提法将导致不同的求解方法：通过直接求解微分方程发展了解析法；基于泛函

变分提法发展了有限单元法。

根据本章的讨论可知，微分方程的等效积分形式是最基本的；通过分部积分

可以得到弱形式（例如虚功原理、虚应力原理）。在泛函存在的情况下，通常可由

弱形式推导出变分原理，就像本章所做的那样。泛函实施变分后的变分原理就

是弱形式，然而并非所有的弱形式都有对应的公式化泛函。因此，尽管弱形式和

变分原理均可作为建立有限元公式的基础，但从弱形式入手建立有限元离散方

程更具普遍性。在第１章中，采用这种方法建立了位移有限单元法的普遍公式。

本章基于势能变分原理，重新推导了某些基本公式。采用变分原理的优点在于

能够说明解的性质，但这样做并不总是可行的；因为正如刚才所说，复杂问题的

泛函不易得到，甚至可能根本就不存在。

本章的内容属于整体框架性质的东西，具有一定的抽象性，还须在以后的具

体化中加深理解。这些内容对于深入理解有限单元法的实质至关重要，在学习

过程中时时加以回顾是极为有益的。

习 题

２１ 在有限单元法诞生之前，求解弹性力学定解问题的基本方法有哪些？简要

说明每种方法的局限性，并叙述有限单元法的基本思路。

２２ 什么叫应变能？什么叫外力势能？试叙述势能变分原理和最小势能原理，

并回答下述问题：势能变分原理代表什么控制方程和边界条件？其中附加

了哪些条件？

２３ 什么是强形式？什么是弱形式？两者有何区别？建立弱形式的关键步骤

是什么？

２４ 为了使计算结果能够收敛于精确解，位移函数需要满足哪些条件？为什

么？

２５ 试证明Ｒｉｔｚ法中的Ｋ 是对称矩阵。（提示：对方程Πａ＝Ｋａ－Ｐ

求变分）

２６ 为什么采用变分法求解通常只能得到近似解？变分法的应用常遇到什么

困难？Ｒｉｔｚ法收敛的条件是什么？

２７ 试从虚应力原理出发证明最小余能原理。

１４习 题

第３

章

平面问题

在结构有限元分析中，关键在于选择单元类型和位移函数。单元位移函数

确定后，其余计算均可容易地按标准化步骤与公式进行。第１章介绍的３节点

三角形单元Ｔ３是最早提出的单元之一，用其划分网格比较灵活、适用性较强，因

而得到广泛采用。但是，由于单元中的应变和应力都是常量，因而当结构的应力

场随坐标而急剧变化时，只有布置密集的单元才能得到比较好的计算精度，从而

使得节点数量多、方程组庞大。本章将介绍平面问题有限元分析中的高次单元。

在此之前，先阐述构造单元的基本原则以及较为简单的几何方法。

３１ 单元构造原则与方法

３１１ 基本原则

通常单元位移函数采用多项式，其中的待定常数由节点位移参数确定，因此

其个数应与单元节点自由度数相等。根据实体结构的几何方程，单元的应变是

位移的一次导数。为了反映单元刚体位移和常应变即满足完备性要求，位移函

数中必须包含常数项和一次项，即完全一次多项式。

多项式的选取应由低阶到高阶，尽量选择完全多项式以提高单元的精度。

一般地说，单元每边具有２个节点时应取一次多项式；每边有３个节点时应取二

次多项式。若由于项数限制而不能选取完全多项式时，也应使所选多项式具有

坐标的对称性，并且一个坐标方向的次数不应超过完全多项式的次数。有时为

了使位移函数保持一定阶次的完全多项式，可在单元内部配置节点。然而，这种

节点的存在将增加有限元格式和计算上的复杂性，除非不得已才加以采用。

３１２ 单元形函数

（１）形函数的性质

位移函数取决于插值函数即形函数。形函数是定义于单元内坐标的连续函

数。设单元具有ｍ 个节点，则用形函数确定的单元位移可表示为

ｕ＝∑ｍ

ｉ＝１Ｎｉｕｉ， ｖ＝∑

ｍ

ｉ＝１Ｎｉｖｉ （３１）

不难证明，形函数具备如下基本性质

Ｎｉ（ｘｊ，ｙｊ）＝δｉｊ＝１ ｉ＝ｊ０ ｉ≠｛ ｊ

（３２）

其中，δ称为Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒｄｅｌｔａ。

（２）收敛性的要求

形函数应保证用它定义的位移函数满足收敛要求，即满足完备性条件和协

调性条件。现以整体坐标系中的形函数为例讨论完备性条件（这种讨论及结果

对局部坐标表示的形函数完全适用），至于协调性条件，则需具体单元具体分析。

单元完备的充分必要条件可归结为

∑ｍ

ｉ＝１Ｎｉ（ｘ，ｙ）＝１ （３３）

∑ｍ

ｉ＝１Ｎｉ（ｘ，ｙ）ｘｉ＝ｘ （３４）

∑ｍ

ｉ＝１Ｎｉ（ｘ，ｙ）ｙｉ＝ｙ （３５）

为说明上述等式的充分性，可不失一般性地设单元产生单位水平刚体移动

ｕ＝１，即所有节点及单元内任一点都将产生单位水平移动。由式（３１）可得式

（３３），即

ｕ＝∑ｍ

ｉ＝１Ｎｉ×１＝１

这说明只要式（３３）成立，位移函数便包含刚体位移。此外，对式（３４）和（３５）

分别就ｘ，ｙ求偏导数，可得

∑ｍ

ｉ＝１

Ｎｉｘｘｉ＝１

， ∑ｍ

ｉ＝１

Ｎｉｙｙｉ＝１

上式说明形函数中必然包含坐标的线性项，这样也就能满足常数应变条件。

下面说明式（３３），（３４），（３５）的必要性。根据完备性要求，位移（仅以ｕ为例）必须具下列形式

ｕ＝Ａ＋Ｂｘ＋Ｃｙ＋⋯ （ａ）

３４３１ 单元构造原则与方法

故

ｕｉ＝Ａ＋Ｂｘｉ＋Ｃｙｉ＋⋯ （ｉ＝１，２，⋯，ｍ） （ｂ）

将式（ａ），（ｂ）代入式（３１），有

Ａ＋Ｂｘ＋Ｃｙ＋⋯＝Ａ∑ｍ

ｉ＝１Ｎｉ＋Ｂ∑

ｍ

ｉ＝１Ｎｉｘｉ＋Ｃ∑

ｍ

ｉ＝１Ｎｉｙｉ＋⋯

显然，为使Ａ，Ｂ，Ｃ是任意常数时上式都能成立，则条件（３３），（３４），（３５）是

必要的。

３１３ 形函数构造方法

选择位移函数的方法是首先将单元位移表示为多项式，然后利用单元的几

何参数和节点位移来确定多项式中的待定常数，从而用单元形函数和节点位移

表示位移函数。这是第１章中构造Ｔ３单元时采用的方法，称为广义坐标法。此

法涉及到矩阵求逆，因此在单元形状复杂或某些特殊情况下（逆矩阵不存在）难

以实行。

现介绍一种简便而通用的形函数构造方法。首先根据形函数在节点上的性

质，利用几何方法将其构造出来；然后再用位移函数的完备性和协调性要求进行

校核。

设形函数是整体坐标（ｘ，ｙ）的函数。为确定Ｎｉ，可先做一组（ｍ 条）不通过

节点ｉ但通过单元其他所有节点的不可约曲线Ｆｋ＝０，然后按下式计算

Ｎｉ（ｘ，ｙ）＝∏ｍ

ｋ＝１Ｆｋ（ｘ，ｙ）

∏ｍ

ｋ＝１Ｆｋ（ｘｉ，ｙｉ）

（３６）

很显然，这样确定的Ｎｉ在节点ｉ的值为１。而当ｊ≠ｉ时，节点ｊ必位于上述某

条曲线ｋ上，故有Ｆｋ＝０，进而式（３６）的分子为零；由于节点ｉ不通过上述任何

曲线，故式（３６）的分母不为零。可见，Ｎｉ在非ｉ的节点上均为零。

求得Ｎｉ（ｉ＝１，２，⋯，ｎ）后，就要检验由它们确定的位移函数是否满足完备

性和协调性要求。为此，把Ｎｉ展成坐标的多项式

Ｎｉ（ｘ，ｙ）＝Ａｉ＋Ｂｉｘ＋Ｃｉｙ＋Ｄｉｘ２＋Ｅｉｘｙ＋Ｆｉｙ２＋⋯ （３７）

则完备性条件（３３），（３４），（３５）等价于

４４ 第３章 平面问题

∑ｎ

ｉ＝１Ａｉ＝１， ∑

ｎ

ｉ＝１Ａｉｘｉ＝０， ∑

ｎ

ｉ＝１Ａｉｙｉ＝０

∑ｎ

ｉ＝１Ｂｉ＝０， ∑

ｎ

ｉ＝１Ｂｉｘｉ＝１， ∑

ｎ

ｉ＝１Ｂｉｙｉ＝０

∑ｎ

ｉ＝１Ｃｉ＝０， ∑

ｎ

ｉ＝１Ｃｉｘｉ＝０， ∑

ｎ

ｉ＝１Ｃｉｙｉ＝１

∑ｎ

ｉ＝１Ｄｉ＝０， ∑

ｎ

ｉ＝１Ｄｉｘｉ＝０， ∑

ｎ

ｉ＝１Ｄｉｙｉ＝０

∑ｎ

ｉ＝１Ｅｉ＝０， ∑

ｎ

ｉ＝１Ｅｉｘｉ＝０， ∑

ｎ

ｉ＝１Ｅｉｙｉ＝０

∑ｎ

ｉ＝１Ｆｉ＝０， ∑

ｎ

ｉ＝１Ｆｉｘｉ＝０， ∑

ｎ

ｉ＝１Ｆｉｙｉ＝０

烍

烌

烎⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

（３８）

３２ 矩 形 单 元

３２１ 位移函数

（１）广义坐标法

矩形单元（简称Ｒ４单元）的两边分别平行于ｘ，ｙ轴，边长分别为２ａ，２ｂ（图

３１）。单元有８个位移自由度，故位移函数可取为

ｕ＝α１＋α２ｘ＋α３ｙ＋α４ｘｙｖ＝α５＋α６ｘ＋α７ｙ＋α８ｘ

烍烌

烎ｙ（ａ）

显然，位移函数中包含着刚体位移和常应变项，故满足完备性要求。在单元交界

处，总是有ｘ＝常数或ｙ＝常数，故边界上的位移线性变化。这样，每条边界上

的两点便唯一地确定变形后的边界线。既然两个单元在交界处具有公共节点，

故变形后的边界线是重合的，即单元交界处的位移是连续的。可见，矩形单元的

位移函数满足协调性要求。

图３１ 矩形单元

５４３２ 矩 形 单 元

将节点位移分量和节点坐标代入式（ａ），可求得待定系数；再将求得的系数

代回式（ａ），整理后可得

ｕ＝∑４

ｉ＝１Ｎｉｕｉ， ｖ＝∑

４

ｉ＝１Ｎｉｖｉ （３９ａ）

或

ｕ＝Ｎａｅ （３９ｂ）

其中

ａｅ＝［ｕ１ ｖ１ ｕ２ ｖ２ ｕ３ ｖ３ ｕ４ ｖ４］Ｔ

Ｎ＝［ＩＮ１ ＩＮ２ ＩＮ３ ＩＮ４］

Ｉ是二阶单位矩阵。

（２）几何方法

现采用前面介绍的几何方法来构造形函数。为构造Ｎ１，需做两条直线，即

Ｆ１＝ｘ０＋ａ－ｘ＝０和Ｆ２＝ｙ０＋ｂ－ｙ＝０，它们通过节点２，３，４，但不通过节点

１。将上述直线和节点１的坐标（ｘ０－ａ，ｙ０－ｂ）代入式（３６），可得

Ｎ１＝（ｘ０＋ａ－ｘ）（ｙ０＋ｂ－ｙ）

［ｘ０＋ａ－（ｘ０－ａ）］［ｙ０＋ｂ－（ｙ０－ｂ）］

＝ １４ａｂ（ｘ０＋ａ－ｘ）（ｙ０＋ｂ－ｙ） （ｂ）

为使公式简洁起见，设定单元局部坐标系，将其原点放在矩形的形心，ξ轴

和η轴分别平行于整体坐标系ｘ轴和ｙ轴（图３１）。在整体坐标系和局部坐标

系中，节点ｉ的坐标分别为（ｘｉ，ｙｉ）和（ξｉ，ηｉ）。如果采用经归一化的无量纲局部

坐标，则节点坐标值分别为±１（如ξ１＝－１，η１＝－１）。显然，坐标变换的关系

式为

ｘ＝ｘ０＋ａξ， ｙ＝ｙ０＋ｂη （３１０）

其中

ｘ０＝（ｘ１＋ｘ２）／２＝（ｘ３＋ｘ４）／２

ｙ０＝（ｙ２＋ｙ３）／２＝（ｙ１＋ｙ４）／２ａ＝（ｘ２－ｘ１）／２＝（ｘ３－ｘ４）／２ｂ＝（ｙ３－ｙ２）／２＝（ｙ４－ｙ１）／

烍

烌

烎２

（３１１）

将式（３１０）代入式（ｂ），可得

６４ 第３章 平面问题

Ｎ１＝１４ａｂ

［ｘ０＋ａ－（ｘ０＋ａξ）］［ｙ０＋ｂ－（ｙ０＋ｂη）］＝１４（１－ξ）（１－η）

同理可构造出Ｎ２，Ｎ３，Ｎ４，从而有

Ｎ１＝（１－ξ）（１－η）／４Ｎ２＝（１＋ξ）（１－η）／４Ｎ３＝（１＋ξ）（１＋η）／４Ｎ４＝（１－ξ）（１＋η）／

烍

烌

烎４

（３１２）

引用新变量

ξ０＝ξｉξ， η０＝ηｉη （３１３）

其中，ξｉ，ηｉ为节点ｉ的坐标，于是式（３１２）所示的形函数可合并表示为

Ｎｉ＝（１＋ξ０）（１＋η０）／４ （ｉ＝１，２，３，４） （３１４）

上述形函数可表示为

Ｎｉ＝Ａｉ＋Ｂｉξ＋Ｃｉη＋Ｄｉξη （３１５）

按式（３８）进行完备性检验，结果表明满足要求。例如

∑４

ｉ＝１Ａｉ＝

１４＋

１４＋

１４＋

１４＝１

∑４

ｉ＝１Ａｉξｉ＝

１４×

（－１）＋１４×１＋１４×

（－１）＋１４×１＝０

３２２ 应变和应力

将式（３９）代入平面问题的几何方程，可求得单元的应变

ε＝

εｘ

εｙ

γｘ

烅

烄

烆

烍

烌

烎ｙ

＝

ｕｘｖｙ

ｕｙ＋

ｖ

烅

烄

烆

烍

烌

烎ｘ

＝

１ａｕξ１ｂｖη

１ｂｕη＋１ａｖ

烅

烄

烆

烍

烌

烎ξ

（３１６ａ）

即

ε＝Ｂａｅ＝［Ｂ１ Ｂ２ Ｂ３ Ｂ４］ａｅ （３１６ｂ）

７４３２ 矩 形 单 元

其中

Ｂｉ＝１ａｂ

ｂＮｉξ

０

０ ａＮｉη

ａＮｉη

ｂＮｉ

熿

燀

燄

燅ξ

＝ １４ａｂ

ｂξｉ（１＋η０） ００ ａηｉ（１＋ξ０）

ａηｉ（１＋ξ０） ｂξｉ（１＋η０

熿

燀

燄

燅）

（ｉ＝１，２，３，４

烍

烌

烎）

（３１７）

用节点位移表示的单元应力为

σ＝Ｄε＝ＤＢａｅ＝Ｓａｅ＝［Ｓ１ Ｓ２ Ｓ３ Ｓ４］ａｅ （３１８）

其中

Ｓｉ＝ＤＢｉ （ｉ＝１，２，３，４） （３１９）

对于平面应力问题

Ｓｉ＝Ｅ

４ａｂ（１－ν２）

ｂξｉ（１＋η０） νａηｉ（１＋ξ０）

νｂξｉ（１＋η０） ａηｉ（１＋ξ０）（１－ν）ａηｉ（１＋ξ０）／２ （１－ν）ｂξｉ（１＋η０）／

熿

燀

燄

燅２（ｉ＝１，２，３，４

烍

烌

烎）

（３２０）

３２３ 单元刚度矩阵

将单元刚度矩阵写成分块形式

Ｋｅ＝

ｋ１１ ｋ１２ ｋ１３ ｋ１４ｋ２１ ｋ２２ ｋ２３ ｋ２４ｋ３１ ｋ３２ ｋ３３ ｋ３４ｋ４１ ｋ４２ ｋ４３ ｋ

熿

燀

燄

燅４４

（３２１）

对于平面应力问题，其中的子矩阵可由下式计算

ｋｉｊ＝ＡｅＢＴｉＤＢｊｔｄｘｄｙ＝ｔａｂ∫

１

－１∫１

－１ＢＴｉＳｊｄξｄη

＝ Ｅｔ４（１－ν２）

ｂａξｉξｊ

（１＋１３ηｉηｊ）＋１－ν２

ａｂηｉηｊ

（１＋１３ξｉξｊ） νξｉηｊ＋

１－ν２ηｉξｊ

νηｉξｊ＋１－ν２ξｉηｊ

ａｂηｉηｊ

（１＋１３ξｉξｊ）＋１－ν２

ｂａξｉξｊ

（１＋１３ηｉηｊ

熿

燀

燄

燅）

（ｉ＝１，２，３，４） （３２２）

８４ 第３章 平面问题

３２４ 等效节点荷载

根据普遍公式（１１９），（１２０），不难求出矩形单元的等效节点荷载向量。当

体力为常数时，有

Ｐｅｆ＝∫ΩｅＮＴｆｄΩ＝ＡｅＮＴｆｔｄｘｄｙ

＝ｔＡｅＮ１ ０ Ｎ２ ０ Ｎ３ ０ Ｎ４ ００ Ｎ１ ０ Ｎ２ ０ Ｎ３ ０ Ｎ

［ ］４

Ｔ

ｄｘｄｙＸ｛ ｝Ｙ

注意到

ＡｅＮｉｄｘｄｙ＝ａｂ∫

１

－１∫１

－１Ｎｉｄξｄη＝ａｂ （ｉ＝１，２，３，４）

有

Ｐｅｆ＝ｔａｂ１ ０ １ ０ １ ０ １ ０［ ］０ １ ０ １ ０ １ ０ １

Ｔ Ｘ｛ ｝Ｙ＝ｔａｂ［Ｘ Ｙ Ｘ Ｙ Ｘ Ｙ Ｘ Ｙ］Ｔ

例如，当体力为重力即ｆ＝［０ －ρｇ］Ｔ时，其等效节点荷载为

Ｐｅｆ＝－ρｇｔａｂ［０ １ ０ １ ０ １ ０ １］Ｔ

当单元的一个边界承受三角形分布的面力时，可把合力的三分之一移置到

面力强度为零的节点上，三分之二移置到另一节点上。

３３ 高次三角形单元

３３１ 面积坐标

对于Ｔ３单元，在第１章中已推导出直角坐标表示的形函数。对于高次三角

形单元，若仍用直角坐标定义形函数，计算刚度矩阵将十分复杂；而改用面积坐

标以后，公式可大为简化且积分运算非常简单。

图３２ 面积坐标

９４３３ 高次三角形单元

（１）面积坐标的定义

在图３２所示的三角形单元中，任一点Ｐ（ｘ，ｙ）与其３个角点相连形成３个子三角形，其位置可以用下述称为面积坐标的三个比值来确定

Ｌ１＝Ａ１Ａ

， Ｌ２＝Ａ２Ａ

， Ｌ３＝Ａ３Ａ

（３２３）

其中，Ａ１，Ａ２，Ａ３分别为三角形Ｐ２３，Ｐ３１，Ｐ１２的面积。根据解析几何，各三角

形的面积为

Ａｉ＝１２

１ ｘ ｙ１ ｘｊ ｙｊ１ ｘｍ ｙｍ

＝１２（ａｉ＋ｂｉｘ＋ｃｉｙ） （ｉ，ｊ，ｍ＝１，２，→

← ３）

显然，三个面积坐标并不全是独立的，由于

Ａ１＋Ａ２＋Ａ３＝Ａ

故有

Ｌ１＋Ｌ２＋Ｌ３＝１ （３２４）

于是，面积坐标为

Ｌｉ＝１２Ａ

（ａｉ＋ｂｉｘ＋ｃｉｙ） （ｉ＝１，２，３） （３２５ａ）

或

Ｌ１Ｌ２Ｌ烅烄

烆烍烌

烎３

＝１２Ａ

ａ１ ｂ１ ｃ１ａ２ ｂ２ ｃ２ａ３ ｂ３ ｃ

熿

燀

燄

燅３

１ｘ烅烄

烆烍烌

烎ｙ

（３２５ｂ）

（２）面积坐标的特点

①Ｔ３单元的形函数Ｎｉ就是面积坐标Ｌｉ，见式（３２５）。

②面积坐标与三角形在整体坐标系中的位置无关，故称为局部坐标或自然

坐标。

③三个节点的面积坐标分别为节点１（１，０，０）、节点２（０，１，０）、节点３（０，０，

１），形心的面积坐标为（１／３，１／３，１／３）。

④单元边界方程为Ｌｉ＝０（ｉ＝１，２，３）。

⑤在平行于２３边的一条直线上，所有点都有相同的面积坐标Ｌ１（Ｌ１对应

的三角形具有相同的高和底边），而且Ｌ１就等于此直线至２３边的距离与节点１至２３边的距离之比值。

０５ 第３章 平面问题

⑥面积坐标与直角坐标互为线性关系。式（３２５）是用直角坐标表示的面积

坐标，而直角坐标可用面积坐标表示为

ｘ＝Ｌ１ｘ１＋Ｌ２ｘ２＋Ｌ３ｘ３＝∑３

ｉ＝１Ｌｉｘｉ

ｙ＝Ｌ１ｙ１＋Ｌ２ｙ２＋Ｌ３ｙ３＝∑３

ｉ＝１Ｌｉｙ

烍烌

烎ｉ

（３２６）

（３）求导与积分

利用复合函数求导法则，有

ｘ＝

１２Ａ ｂ１

Ｌ１

＋ｂ２Ｌ２

＋ｂ３Ｌ（ ）

３

ｙ＝

１２Ａ ｃ１

Ｌ１

＋ｃ２Ｌ２

＋ｃ３Ｌ（ ）

烍

烌

烎３

（３２７）

式（３２５）和（３２６）建立了直角坐标与面积坐标之间的相互映射关系：将ｘｙ平面上的一般三角形映射为Ｌ１Ｌ２平面上的直角三角形；或将Ｌ１Ｌ２平面上的直

角三角形映射为ｘｙ平面上的一般三角形（图３３）。

图３３ 单元映射

在计算单元刚度矩阵和等效节点荷载时，若被积函数用面积坐标表示，则积

分将变得非常简单。例如

Ａｅｆ（Ｌ１，Ｌ２，Ｌ３）ｄｘｄｙ＝∫１

０ｄＬ１∫

１－Ｌ１

０ｆ（Ｌ１，Ｌ２，１－Ｌ１－Ｌ２）ＪｄＬ２

其中，Ｊａｃｏｂｉ行列式为

Ｊ＝

ｘＬ１

ｙＬ１

ｘＬ２

ｙＬ２

＝ｘ１－ｘ３ ｙ１－ｙ３ｘ２－ｘ３ ｙ２－ｙ３

＝２Ａ

例如，对于面积坐标的密函数积分

ＡｅＬα１Ｌβ２Ｌγ３ｄｘｄｙ＝２Ａ∫

１

０ｄＬ１∫

１－Ｌ１

０Ｌα１Ｌβ２（１－Ｌ１－Ｌ２）γｄＬ２

１５３３ 高次三角形单元

根据下述Ｅｕｌｅｒ公式

∫１

０ｔｍ（１－ｔ）ｎｄｔ＝ ｍ！ｎ！

（ｍ＋ｎ＋１）！

∫ｄ

０ｔｍ（ｄ－ｔ）ｎｄｔ＝ ｍ！ｎ！

（ｍ＋ｎ＋１）！ｄｍ＋ｎ＋１

可得积分公式

ＡｅＬα１Ｌβ２Ｌγ３ｄｘｄｙ＝

α！β！γ！（α＋β＋γ＋２）！２Ａ （３２８）

同理，可导出面积坐标的密函数在三角形某一边上的积分公式

∫ｌＬαｉＬβｊｄｓ＝ α！β！（α＋β＋１）！ｌ （ｉ，ｊ＝１，２，→

← ３） （３２９）

３３２ 单元形函数

图３４所示为节点数目不同的三角形单元。若用ｍ 表示各种三角形单元

的节点数，则单元位移函数可写成

ｕ＝∑ｍ

ｉ＝１Ｎｉｕｉ， ｖ＝∑

ｍ

ｉ＝１Ｎｉｖｉ （３３０）

形函数是局部坐标（Ｌ１，Ｌ２，Ｌ３）的函数，构造公式为

Ｎｉ（Ｌ１，Ｌ２，Ｌ３）＝∏ｍ

ｋ＝１Ｆｋ（Ｌ１，Ｌ２，Ｌ３）

∏ｍ

ｋ＝１Ｆｋ（Ｌ１，Ｌ２，Ｌ３）ｉ

（３３１）

图３４ 三角形单元

下面讨论单元形函数的构造及收敛性问题。为完整起见，３节点三角形单

元也包括在内。

２５ 第３章 平面问题

（１）３节点线性单元（Ｔ３）图３４ａ所示为Ｔ３单元。为求Ｎ１，可作一条通过节点２和３而不通过节点

１的直线Ｌ１＝０。将其代入式（３３１），得

Ｎ１＝Ｌ１／（Ｌ１）１＝Ｌ１同理有

Ｎ２＝Ｌ２， Ｎ３＝Ｌ３上述各式可统一写成

Ｎｉ＝Ｌｉ （ｉ＝１，２，３） （３３２）

（２）６节点二次单元（Ｔ６）图３４ｂ所示为二次三角形单元，３个角点和３边中点为其６个节点。为了

求解Ｎ１，可作两条通过所有其他节点２，３，４，５，６而不通过节点１的直线，即

Ｌ１＝０和Ｌ１＝１／２。将其代入式（３３１），得

Ｎ１＝Ｌ１（２Ｌ１－１）

（Ｌ１）１（２Ｌ１－１）１＝（２Ｌ１－１）Ｌ１

同理得

Ｎ２＝（２Ｌ２－１）Ｌ２， Ｎ３＝（２Ｌ３－１）Ｌ３为了求解Ｎ４，可作两条通过所有其他１，２，３，５，６而不通过节点４的直线，

即Ｌ１＝０和Ｌ２＝０。将其代入式（３３１），得

Ｎ４＝Ｌ１Ｌ２

（Ｌ１Ｌ２）４＝

Ｌ１Ｌ２（１／２）（１／２）＝４Ｌ１Ｌ２

同理得

Ｎ５＝４Ｌ２Ｌ３， Ｎ６＝４Ｌ３Ｌ１以上各式可统一写成

Ｎｉ＝（２Ｌｉ－１）Ｌｉ （ｉ＝１，２，３） （３３３ａ）

Ｎ４＝４Ｌ１Ｌ２， Ｎ５＝４Ｌ２Ｌ３， Ｎ６＝４Ｌ３Ｌ１ （３３３ｂ）

现对收敛性进行检验，首先检验

∑６

ｉ＝１Ｎｉ＝∑

３

ｉ＝１（２Ｌｉ－１）Ｌｉ＋４（Ｌ１Ｌ２＋Ｌ２Ｌ３＋Ｌ３Ｌ１）

＝２（Ｌ１＋Ｌ２＋Ｌ３）２－（Ｌ１＋Ｌ２＋Ｌ３）＝１

式（３３）得到满足。其次检验式（３４）。注意到

３５３３ 高次三角形单元

ｘ４＝ｘ１＋ｘ２２

， ｘ５＝ｘ２＋ｘ３２

， ｘ６＝ｘ３＋ｘ１２

有

∑６

ｉ＝１Ｎｉｘｉ＝∑

３

ｉ＝１

（２Ｌｉ－１）Ｌｉｘｉ＋４Ｌ１Ｌ２ｘ４＋４Ｌ２Ｌ３ｘ５＋４Ｌ３Ｌ１ｘ６

＝∑３

ｉ＝１Ｌｉｘｉ＝ｘ

可见，式（３４）满足。类似地可推出式（３５），故满足完备性要求。

再来考察单元的协调性。由于位移函数是二次的，而每个边界上的三个公

共节点可唯一的确定二次曲线，故协调性也能够满足。因此，上述Ｔ６单元的形

函数满足全部收敛性条件。

（３）１０节点三次单元（Ｔ１０）如果三次单元的位移函数采用完全的三次多项式，则其中共包含２０个待定

常数。确定这些常数需要２０个节点位移，故需１０个节点。图３４ｃ所示为１０节点三角形单元，其中设在单元形心的内部节点是为了使位移函数可表示为完

全的三次多项式。

完全三次多项式中的常数项和一次项反映了刚体位移和常应变。在单元边

界上，位移按三次曲线分布，现每边有４个节点，可以保证相邻单元之间位移的

连续性。因此，完全三次多项式的位移函数可以满足解的收敛性要求。采用前

述几何方法，不难构造以面积坐标表示的形函数

Ｎｉ＝１２

（３Ｌｉ－１）（３Ｌｉ－２）Ｌｉ （ｉ＝１，２，３） （３３４ａ）

Ｎ４＝９２Ｌ１Ｌ２

（３Ｌ１－１）， Ｎ５＝９２Ｌ１Ｌ２

（３Ｌ２－１） （３３４ｂ）

Ｎ６＝９２Ｌ２Ｌ３

（３Ｌ２－１）， Ｎ７＝９２Ｌ２Ｌ３

（３Ｌ３－１） （３３４ｃ）

Ｎ８＝９２Ｌ３Ｌ１

（３Ｌ３－１）， Ｎ９＝９２Ｌ３Ｌ１

（３Ｌ１－１） （３３４ｄ）

Ｎ１０＝Ｌ１Ｌ２Ｌ３

（１／３）（１／３）（１／３）＝２７Ｌ１Ｌ２Ｌ３ （３３４ｅ）

３４ Ｔ６单元计算

３４１ 单元刚度矩阵

利用式（３２７），（３２８）和（３２９），可以很方便地求出高次三角形单元的应变

４５ 第３章 平面问题

矩阵、刚度矩阵和等效节点荷载向量。现以Ｔ６单元为例，给出有关计算公式。

单元位移函数为

ｕ＝∑６

ｉ＝１Ｎｉｕｉ， ｖ＝∑

６

ｉ＝１Ｎｉｖｉ （３３５）

其中形函数见式（３３３）。将式（３３５）代入平面问题的几何方程，可求得单元的

应变

ε＝Ｂａｅ＝［Ｂ１ Ｂ２ Ｂ３ Ｂ４ Ｂ５ Ｂ６］ａｅ （３３６）

其中

Ｂｉ＝

Ｎｉｘ ０

０Ｎｉｙ

Ｎｉｙ

Ｎｉ

熿

燀

燄

燅ｘ

（ｉ＝１，２，３，４，５，６） （３３７）

例如

Ｂ１＝

Ｎ１ｘ ０

０Ｎ１ｙ

Ｎ１ｙ

Ｎ１

熿

燀

燄

燅ｘ

＝１２Ａ

ｂ１（４Ｌ１－１） ００ ｃ１（４Ｌ１－１）

ｃ１（４Ｌ１－１） ｂ１（４Ｌ１－１

熿

燀

燄

燅）（３３８）

Ｂ４＝

Ｎ４ｘ ０

０Ｎ４ｙ

Ｎ４ｙ

Ｎ４

熿

燀

燄

燅ｘ

＝１２Ａ

４（Ｌ２ｂ１－Ｌ１ｂ２） ００ ４（Ｌ２ｃ１－Ｌ１ｃ２）

４（Ｌ２ｃ１－Ｌ１ｃ２） ４（Ｌ２ｂ１－Ｌ１ｂ２

熿

燀

燄

燅）（３３９）

可见，应变矩阵的元素是面积坐标的一次式，从而也是直角坐标的一次式。这说

明Ｔ６单元内的应变按线性变化，故称为线性应变三角形单元，简称ＬＳＴ单元。

单元刚度矩阵按普遍公式（１１８）计算

Ｋｅ＝∫ΩｅＢＴＤＢｄΩ＝ＡｅＢＴＤＢｔｄｘｄｙ （３４０）

显然，被积函数均为面积坐标的幂函数，故可以很方便地利用式（３２７），（３２８）

和（３２９）进行积分。

５５３４ Ｔ６单元计算

３４２ 等效节点荷载

根据普遍公式（１１９），（１２０），不难求出单元的等效节点荷载向量。当体力

为常数时，有

Ｐｅｆ＝∫ΩｅＮＴｆｄΩ＝ＡｅＮＴｆｔｄｘｄｙ＝ｔＡｅ［Ｎ１Ｉ Ｎ２Ｉ Ｎ３Ｉ Ｎ４Ｉ Ｎ５Ｉ Ｎ６Ｉ］Ｔｄｘｄｙ

Ｘ｛ ｝Ｙ注意到

ＡｅＮｉｄｘｄｙ＝ＡｅＬｉ（２Ｌｉ－１）ｄｘｄｙ＝０ （ｉ＝１，２，３）

ＡｅＮ４ｄｘｄｙ＝ＡｅＮ５ｄｘｄｙ＝ＡｅＮ６ｄｘｄｙ＝Ａ／３

有

Ｐｅｆ＝Ａｔ３０ ０ ０ ０ ０ ０ １ ０ １ ０ １ ０［ ］０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ １ ０ １ ０ １

Ｔ Ｘ｛ ｝Ｙ

图３５ 分布面力

当单元的一个边界承受分布的面力时，其等效

节点荷载的计算也没有任何困难。例如（图３５），

３１边界上（Ｎ２，Ｎ４，Ｎ５，Ｌ２均为零）作用沿ｘ方向

的三角形分布荷载，此时面力向量可写成

珔ｐ＝［ｐｔＬ１ ０］Ｔ

其等效节点荷载为

Ｐｅｐ＝∫ｌ

０

Ｎ１ ０ ０ ０ Ｎ３ ０ ０ ０ ０ ０ Ｎ６ ００ Ｎ１ ０ ０ ０ Ｎ３ ０ ０ ０ ０ ０ Ｎ

［ ］６

ＴｐｔＬ１烅烄烆

烍烌烎０ｔｄｓ

＝ｐｔｔ∫ｌ

０［Ｎ１ ０ ０ ０ Ｎ３ ０ ０ ０ ０ ０ Ｎ６ ０］ＴＬ１ｄｓ

根据公式（３２９），即

∫ｌＬαｉＬβｊｄｓ＝ α！β！（α＋β＋１）！ｌ （ｉ，ｊ＝１，２，→

← ３）

有

∫ｌ

０Ｎ１Ｌ１ｄｓ＝∫

ｌ

０（２Ｌ１－１）Ｌ２１ｄｓ＝２×

３！０！（３＋０＋１）！ｌ－

２！０！（２＋０＋１）！ｌ＝

ｌ６

６５ 第３章 平面问题

∫ｌ

０Ｎ３Ｌ１ｄｓ＝∫

ｌ

０（２Ｌ３－１）Ｌ３Ｌ１ｄｓ＝０， ∫

ｌ

０Ｎ６Ｌ１ｄｓ＝∫

ｌ

０４Ｌ３Ｌ２１ｄｓ＝

ｌ３

故

Ｐｅｐ＝ｐｔｔｌ２１３ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ２

３［ ］０Ｔ

３５ 结 语

本章论述了构造单元形函数的基本原则和几何方法，并构造出了矩形单元

和高次三角形单元的形函数。其中，矩形单元采用比常应变三角形单元更高次

的位移模式，故可更好地逼近实际位移和应力，但这种单元在离散结构方面适应

性较差。对于高次三角形单元，采用面积坐标构造形函数非常简单；而且借助面

积坐标积分公式，单元刚度矩阵和等效节点荷载的计算也非常容易。

习 题

３１ 构造单元形函数有哪些基本原则？试采用构造单元的几何方法，构造Ｔ１０单元的形函数，并对其收敛性进行讨论。

３２ 试通过矩形单元说明单元刚度矩阵的计算与坐标原点位置无关。

３３ 何谓面积坐标？其特点是什么？为什么称其为自然坐标或局部坐标？

３４ 计算体力为重力即ｆ＝［０ －ρｇ］Ｔ时，Ｔ６单元的等效节点荷载。

答案：Ｐｅｆ＝－ρｇｔＡ３

［０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ １ ０ １ ０ １］Ｔ。

３５ 试写出式（３３７）中Ｂ５，Ｂ６的表达式。

３６ 设Ｔ３单元的３１边界上作用三角形分布荷载，最大强度为ｐｔ（如图所示）。

试计算单元等效节点荷载。

答案：Ｐｅｐ＝ｐｔｌｔ２２３ ０ ０ ０ １

３［ ］０Ｔ

题３６图

７５习 题

第４

章

空间问题

任何结构都是三维的，很多情况下难以简化为平面问题，必须按空间问题求

解。轴对称问题是空间问题的一种特殊情况。如果结构的几何形状、约束条件

及荷载分布都对称于某个轴（例如ｚ轴），则其位移、应变、应力等也对称于此轴

而与环向坐标无关，这就是轴对称问题。实际中的矿山井筒、圆形面积荷载下的

路基路面、高压容器、炮筒、旋转圆盘等，通常都可以看作轴对称问题。

本章首先介绍用于分析空间轴对称问题的环状单元；然后介绍用于一般空

间问题的常应变四面体单元和高次四面体单元。

４１ 环 状 单 元

４１１ 基本方程

图４１所示为圆面积上加载的地基问题（上部结构通过圆形基础向地基施

加荷载）。在这类轴对称问题中，采用圆柱坐标比较方便，即以对称轴为ｚ轴，

任一对称面为ｒｚ面。因只有径向位移ｕ和轴向位移ｗ，而且它们仅与坐标ｒ和ｚ有关而与环向坐标θ无关，故只需考虑坐标平面ｒｚ上的截面部分。这样，

轴对称问题的有限元分析与平面问题基本上相同。

图４１ 圆形基础均布压力下的地基

（１）几何方程

轴对称情况下只发生径向位移ｕ和轴向位移ｗ，而切向位移ｖ＝０，而且ｕ和ｗ 与θ无关。在６个应变分量中，有２个剪应变分量γｒθ和γθｚ等于零。几何

方程为

ε＝

εｒεθεｚγ

烅

烄

烆

烍

烌

烎ｒｚ

＝

ｕｒｕｒｗｚ

ｗｒ＋

ｕ

烅

烄

烆

烍

烌

烎ｚ

（４１）

其中，εｒ是沿ｒ方向的径向正应变；εθ是沿θ方向的环向正应变；εｚ 是沿ｚ方向

的轴向正应变；γｒｚ是ｒｚ平面中的剪应变。

（２）本构方程

轴对称问题中的４个非零应力分量为径向正应力σｒ、环向正应力σθ、轴向

正应力σｚ以及剪应力τｒｚ，应力向量记为

σ＝［σｒ σθ σｚ τｒｚ］Ｔ

由于柱坐标系是正交坐标系，故本构方程为广义Ｈｏｏｋｅ定律

σ＝Ｄε （４２）

对于各相同性的线弹性介质，式（４２）中的弹性矩阵为

Ｄ＝ Ｅ（１＋ν）（１－２ν）

１－ν 对

ν １－ν 称

ν ν １－ν０ ０ ０ （１－２ν）／

熿

燀

燄

燅２

（４３）

４１２ 结构离散

在轴对称问题中（图４２），通常采用的单元是截面为三角形的圆环状单元，它

是由ｒｚ面的三角形环绕对称轴ｚ回转一周而得到的。在相邻单元之间通过圆环

形的铰链互相连接。单元的棱边都是圆，称为节圆；节圆与ｒｚ平面的交点就是节

点。这样，各单元将在ｒｚ平面上形成三角形网络，就像平面问题中各三角形单元

在ｘｙ平面上形成的网络一样。但是，在轴对称问题中，单元体积是圆环的体积，

节点力和节点荷载都施加在圆环形的铰上，这些方面显然与平面问题不同。

设单元ｅ的节点局部码为１，２，３，节点位移为

ａｉ＝ｕｉｗ烅烄

烆烍烌

烎ｉ（ｉ＝１，２，３）

９５４１ 环 状 单 元

图４２ 轴对称单元

单元节点位移向量为

ａｅ＝

ａ１ａ２ａ烅烄

烆烍烌

烎３＝［ｕ１ ｗ１ ｕ２ ｗ２ ｕ３ ｗ３］Ｔ

４１３ 位移函数

仿照平面问题，取线性位移函数，可得与平面问题类似的结果，即

ｕ＝Ｎ１ｕ１＋Ｎ２ｕ２＋Ｎ３ｕ３ｗ ＝Ｎ１ｗ１＋Ｎ２ｗ２＋Ｎ３ｗ

烍烌

烎３（４４ａ）

ｕ＝ｕ｛ ｝ｗ ＝［Ｎ１Ｉ Ｎ２Ｉ Ｎ３Ｉ］ａｅ＝Ｎａｅ （４４ｂ）

其中

Ｎｉ＝１２Ａ

（ａｉ＋ｂｉｒ＋ｃｉｚ） （ｉ＝１，２，３） （４５）

ａｉ＝ｒｊ ｚｊｒｍ ｚｍ

＝ｒｊｚｍ－ｒｍｚｊ

ｂｉ＝－１ ｚｊ１ ｚｍ

＝ｚｊ－ｚｍ

ｃｉ＝１ ｒｊ１ ｒｍ

＝－ｒｊ＋ｒｍ （ｉ，ｊ，ｍ ＝１，２，→← ３

烍

烌

烎）

（４６）

２Ａ＝

１ ｒｉ ｚｉ１ ｒｊ ｚｊ１ ｒｍ ｚｍ

（４７）

０６ 第４章 空间问题

４１４ 应变和应力

将式（４４）代入几何方程（４１），得

ε＝ １２Ａ

ｂ１ ０ ｂ２ ０ ｂ３ ０

ｆ１ ０ ｆ２ ０ ｆ３ ００ ｃ１ ０ ｃ２ ０ ｃ３ｃ１ ｂ１ ｃ２ ｂ２ ｃ３ ｂ

熿

燀

燄

燅３

ａｅ＝Ｂａｅ （４８）

其中

ｆｉ＝ａｉｒ ＋ｂｉ＋

ｃｉｚｒ

（ｉ＝１，２，３） （４９）

根据本构方程，用节点位移表示的单元应力如下

σ＝ＤＢａｅ＝Ｓａｅ＝［Ｓ１ Ｓ２ Ｓ３］ａｅ （４１０）

对于各相同性的线弹性介质，分块形式的应力矩阵为

Ｓｉ＝２Ａ３Ａ

ｂｉ＋Ａ１ｆｉ Ａ１ｃｉＡ１ｂｉ＋ｆｉ ＡｉｃｉＡ１（ｂｉ＋ｆｉ） ｃｉＡ２ｃｉ Ａ２ｂ

熿

燀

燄

燅ｉ

（ｉ＝１，２，３） （４１１）

其中

Ａ１＝ν１－ν

， Ａ２＝１－２ν２（１－ν）， Ａ３＝

（１－ν）Ｅ４（１＋ν）（１－２ν）（４１２）

４１５ 单元刚度矩阵

单元刚度矩阵可由普遍公式（１１８）给出。沿着整个圆环求体积积分，可得

Ｋｅ＝２πＡｅＢＴＤＢｒｄｒｄｚ （４１３）

由于被积函数中包含了坐标ｒ和ｚ，故上述积分不能简单地求出。为了避免复

杂的积分运算，可把每个单元中的ｒ和ｚ近似地当作常量，取为

珋ｒ＝（ｒ１＋ｒ２＋ｒ３）／３， 珔ｚ＝（ｚ１＋ｚ２＋ｚ３）／３ （４１４）

只要网格不太稀疏，这样处理引起的误差并不大。积分结果可表示为如下分块

形式

１６４１ 环 状 单 元

Ｋｅ＝２π珋ｒＡＢＴＤＢ＝

ｋ１１ ｋ１２ ｋ１３ｋ２１ ｋ２２ ｋ２３ｋ３１ ｋ３２ ｋ

熿

燀

燄

燅３３

（４１５）

其中的子矩阵为

ｋｉｊ＝２π珋ｒＡＢＴｉＤＢｊ

＝２πｒＡ３Ａ

ｂｉｂｊ＋ｆｉｆｊ＋Ａ１（ｂｉｆｊ＋ｆｉｂｊ）＋Ａ２ｃｉｃｊ Ａ１（ｂｉｃｊ＋ｆｉｃｊ）＋Ａ２ｃｉｂｊＡ１（ｃｉｂｊ＋ｃｉｆｊ）＋Ａ２ｂｉｃｊ ｃｉｃｊ＋Ａ２ｂｉｂ

［ ］ｊ

（ｉ，ｊ＝１，２，３） （４１６）

其中的Ａ１，Ａ２，Ａ３见式（４１２）。

４１６ 等效节点荷载

在轴对称问题中，单元为具有一定截面积的圆环状体，因此节点荷载应理解

为作用在节点所在的圆周上。

（１）体力

设体力为ｆ＝［Ｒ Ｚ］Ｔ。根据普遍公式（１１９），其等效节点荷载为

Ｐｅｆ＝２πＡｅＮＴｆｒｄｒｄｚ （ａ）

若体力为常量，则

Ｐｅｆｉ＝２πＡｅＮｉｒｄｒｄｚ

Ｒ｛ ｝Ｚ （ｂ）

注意到面积坐标的积分公式（２２７）及

ｒ＝ｒ１Ｌ１＋ｒ２Ｌ２＋ｒ３Ｌ３则有

ＡｅＮｉｒｄｒｄｚ＝Ａｅ

Ｌｉ（ｒ１Ｌ１＋ｒ２Ｌ２＋ｒ３Ｌ３）ｄｒｄｚ＝Ａ１２

（３珋ｒ＋ｒｉ）

（ｉ＝１，２，３烍烌

烎）（ｃ）

代入式（ｂ）得

Ｐｅｆｉ＝πＡ６

（３珋ｒ＋ｒｉ）Ｒ｛ ｝Ｚ （４１７ａ）

若式（ｂ）中的ｒ近似地取式（４１４），则

Ｐｅｆｉ＝ＰｒｉＰ烅烄

烆烍烌

烎ｚｉ

ｅ

＝２πＡ珋ｒ３Ｒ｛ ｝Ｚ （４１７ｂ）

２６ 第４章 空间问题

（２）面力

如图４３所示，单元１２边上作用均布压力ｐ。该边长为ｌ，与ｒ轴的夹角

图４３ 均布压力

为α。面力为

珔ｐ＝珚Ｒ珔｛ ｝Ｚ ＝

ｐｓｉｎα－ｐｃｏｓ｛ ｝α

根据普遍公式（１２０）

Ｐｅｐ＝

Ｐｅｐ１Ｐｅｐ２Ｐｅｐ

烅烄

烆烍烌

烎３

＝２π∫ｌＮＴ珔ｐｒｄｓ

Ｐｅｐｉ＝ＰｒｉＰ烅烄

烆烍烌

烎ｚｉ

ｅ

＝２π珔ｐ∫ｌＮｉｒｄｓ （ｉ＝１，２，３） （ｄ）

其中积分

∫ｌＮｉｒｄｓ＝∫ｌＬｉ（ｒ１Ｌ１＋ｒ２Ｌ２＋ｒ３Ｌ３）ｄｓ注意到沿１２边积分时，Ｌ３＝０，则

∫ｌＮｉｒｄｓ＝１６（２ｒｉ＋ｒ２）ｌ （ｉ＝１，２） （ｅ）

代入式（ｄ）得

Ｐｅｐｉ＝π３ｐｌ

（２ｒｉ＋ｒ２）ｓｉｎα－ｃｏｓ｛ ｝α （ｉ＝１，２） （４１８）

图４４ 四面体单元

由于沿１２边Ｌ３＝０，故Ｐｅｐ３＝０。

４２ 线性四面体单元

图４４所示为一四面体单元，以４个角点１，２，３，４为节点。为使四面体体

积Ｖ 不致成为负值，单元节点的局部编码１，２，

３，４必须依照下述顺序：在右手坐标系中，当按

照１→２→３的方向转动时，右手螺旋应向４的方

向前进。

４２１ 位移函数

每个单元共有１２个节点位移分量，其中每

３６４２ 线性四面体单元

个节点有３个位移分量，即

ａｅ＝ａ１…

ａ烅烄

烆烍烌

烎４

， ａｉ＝

ｕｉｖｉｗ烅烄

烆烍烌

烎ｉ

（ｉ＝１，２，３，４） （４１９）

假定单元内任一点的位移分量是坐标的线性函数

ｕ＝β１＋β２ｘ＋β３ｙ＋β４ｚｖ＝β５＋β６ｘ＋β７ｙ＋β８ｚｗ ＝β９＋β１０ｘ＋β１１ｙ＋β１２

烍烌

烎ｚ

（４２０）

把４个节点的坐标代入上式，求出系数βｉ，再将其代回得到

ｕ＝∑４

ｉ＝１Ｎｉｕｉ， ｖ＝∑

４

ｉ＝１Ｎｉｖｉ ｗ ＝∑

４

ｉ＝１Ｎｉｗｉ （４２１）

或

ｕ＝ｕｖ烅烄

烆烍烌

烎ｗ＝Ｎａｅ＝［ＩＮ１ ＩＮ２ ＩＮ３ ＩＮ４］ａｅ （４２２）

其中，Ｉ为三阶单位矩阵，即

Ｉ＝１ ０ ００ １ ０熿

燀

燄

燅０ ０ １

而

Ｎｉ＝１６Ｖ

（ａｉ＋ｂｉｘ＋ｃｉｙ＋ｄｉｚ） （ｉ＝１，２，３，４） （４２３）

Ｖ＝１６

１ ｘ１ ｙ１ ｚ１１ ｘ２ ｙ２ ｚ２１ ｘ３ ｙ３ ｚ３１ ｘ４ ｙ４ ｚ４

（４２４）

其他系数由下式计算

４６ 第４章 空间问题

ａｉ＝

ｘｊ ｙｊ ｚｊｘｍ ｙｍ ｚｍｘｐ ｙｐ ｚｐ

ｂｉ＝－

１ ｙｊ ｚｊ１ ｙｍ ｚｍ１ ｙｐ ｚｐ

ｃｉ＝

１ ｘｊ ｚｊ１ ｘｍ ｚｍ１ ｘｐ ｚｐ

ｄｉ＝－

１ ｘｊ ｙｊ１ ｘｍ ｙｍ１ ｘｐ ｙｐ

（ｉ，ｊ，ｍ，ｐ＝１，２，３，→← ４

烍

烌

烎）

（４２５）

４２２ 体积坐标

如图４５所示四面体内任一点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）可用体积坐标（Ｌ１，Ｌ２，Ｌ３，Ｌ４）表示。体积坐标是三角形面积坐标在三维问题中的推广，定义为Ｐ点与四面体

图４５ 四面体单元

四个面围成的四个子四面体的体积与原四面体体积的比

值，即

Ｌ１＝Ｖ１Ｖ

， Ｌ２＝Ｖ２Ｖ

Ｌ３＝Ｖ３Ｖ

， Ｌ４＝Ｖ４烍

烌

烎Ｖ

（４２６）

其中，Ｖ１，Ｖ２，Ｖ３，Ｖ４ 分别是四面体Ｐ２３４，Ｐ３４１，Ｐ４１２，

Ｐ１２３的体积。因

Ｖ１＋Ｖ２＋Ｖ３＋Ｖ４＝Ｖ

故

Ｌ１＋Ｌ２＋Ｌ３＋Ｌ４＝１ （４２７）

根据解析几何，体积坐标为

Ｌｉ＝１６Ｖ

（ａｉ＋ｂｉｘ＋ｃｉｙ＋ｄｉｚ） （ｉ＝１，２，３，４） （４２８）

可见

Ｎｉ＝Ｌｉ （ｉ＝１，２，３，４） （４２９）

体积坐标的密函数对直角坐标求导数时，可利用下列公式

５６４２ 线性四面体单元

ｘ＝∑

４

ｉ＝１

Ｌｉｘ

Ｌｉ＝

１６Ｖ ａ１

Ｌ１＋

ａ２Ｌ２＋

ａ３Ｌ３＋

ａ４Ｌ（ ）

４

ｙ＝∑

４

ｉ＝１

Ｌｉｙ

Ｌｉ＝

１６Ｖ ｂ１

Ｌ１＋

ｂ２Ｌ２＋

ｂ３Ｌ３＋

ｂ４Ｌ（ ）

４

ｚ＝∑

４

ｉ＝１

Ｌｉｚ

Ｌｉ＝

１６Ｖ ｃ１

Ｌ１＋

ｃ２Ｌ２＋

ｃ３Ｌ３＋

ｃ４Ｌ（ ）

烍

烌

烎４

（４３０）

求体积坐标的密函数在四面体单元上的积分时，可应用下列公式

∫ΩｅＬａ１Ｌｂ２Ｌｃ３Ｌｄ４ｄΩ＝６Ｖ ａ！ｂ！ｃ！ｄ！（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋３）！ （４３１）

４２３ 应变和应力

将式（４２１）代入空间问题的几何方程（２４），得

ε＝Ｂａｅ＝［Ｂ１ Ｂ２ Ｂ３ Ｂ４］ａｅ （４３２）

其中的各个子矩阵为

Ｂｉ＝１６Ｖ

ｂｉ ０ ００ ｃｉ ００ ０ ｄｉｃｉ ｂｉ ００ ｄｉ ｃｉｄｉ ０ ｂ

熿

燀

燄

燅ｉ

（ｉ＝１，２，３，４） （４３３）

显然，矩阵Ｂ中的元素都是常量，故４节点四面体单元是常应变单元。根

据几何方程，式（４２０）中的系数β１，β５，β９代表刚体移动；系数β２，β７，β１２代表常

量正应变；其余６个系数反映了常量剪应变和刚体转动。可见，所选位移函数充

分反映了单元的刚体位移和常量应变。另外，由于位移函数是线性的，可以保证

相邻单元之间位移的连续性。这样，位移函数（４２０）满足了收敛条件。

根据空间问题的物理方程，有

σ＝Ｄε＝ＤＢａｅ （４３４）

对于各向同性介质，弹性矩阵Ｄ见式（２７）。

４２４ 单元刚度矩阵

根据普遍公式（１１８），并注意到应变矩阵和弹性矩阵的元素都是常量，可求

６６ 第４章 空间问题

出单元刚度矩阵为

Ｋｅ＝ＢＴＤＢＶ （４３５）

其分块形式为

Ｋｅ＝

ｋ１１ －ｋ１２ ｋ１３ －ｋ１４－ｋ２１ ｋ２２ －ｋ２３ ｋ２４ｋ３１ －ｋ３２ ｋ３３ －ｋ３４－ｋ４１ ｋ４２ －ｋ４３ ｋ

熿

燀

燄

燅４４

（４３６）

其中的子矩阵ｋｉｊ由下式计算

ｋｉｊ＝ＢＴｉＤＢｊＶ （４３７）

对于各向同性弹性体，有

ｋｉｊ＝Ａ３

ｂｉｂｊ＋Ａ２（ｃｉｃｊ＋ｄｉｄｊ） Ａ１ｂｉｃｊ＋Ａ２ｃｉｂｊ Ａ１ｂｉｄｊ＋Ａ２ｄｉｂｊＡ１ｃｉｂｊ＋Ａ２ｂｉｃｊ ｃｉｃｊ＋Ａ２（ｄｉｄｊ＋ｂｉｂｊ） Ａ１ｃｉｄｊ＋Ａ２ｄｉｃｊＡ１ｄｉｂｊ＋Ａ２ｂｉｄｊ Ａ１ｄｉｃｊ＋Ａ２ｃｉｄｊ ｄｉｄｊ＋Ａ２（ｂｉｂｊ＋ｃｉｃｊ

熿

燀

燄

燅）（ｉ＝１，２，３，４； ｊ＝１，２，３，４） （４３８）

其中

Ａ１＝ν１－ν

， Ａ２＝１－２ν２（１－ν）， Ａ３＝

Ｅ（１－ν）３６（１＋ν）（１－２ν）Ｖ

（４３９）

４２５ 等效节点荷载

（１）体力

设体力ｆ＝［Ｘ Ｙ Ｚ］Ｔ是常量，根据普遍公式（１１９），有

Ｐｅｆ＝∫ΩｅＮＴｆｄΩ＝∫Ωｅ［Ｎ１Ｉ Ｎ２Ｉ Ｎ３Ｉ Ｎ４Ｉ］ＴｆｄΩ

注意到公式（４２９）和（４３１），则节点ｉ的等效节点荷载为

Ｐｅｆｉ＝∫ΩｅＮｉＩｆｄΩ＝ｆ∫ΩｅＮｉｄΩ＝Ｖ４ｆ （ｉ＝１，２，３，４）

（２）面力

设边界表面ｉｊｍ 承受线性分布的面力珔ｐ＝［珚Ｘ 珡Ｙ 珔Ｚ］Ｔ，在节点ｉ上的集

度分别为［珚Ｘｉ 珡Ｙｉ 珔Ｚｉ］Ｔ 等等。对于那些不相关的节点ｐ，在表面ｉｊｍ 上有

Ｎｐ＝０。根据普遍公式（１２０），有

７６４２ 线性四面体单元

Ｐｅｐｉ＝∫ΓｅσＮｉ珔ｐｄΓ＝１６Ａｉｊｍ×

（珚Ｘｉ＋１２珚Ｘｊ＋

１２珚Ｘｍ）

（珡Ｙｉ＋１２珡Ｙｊ＋

１２珡Ｙｍ）

（珔Ｚｉ＋１２珔Ｚｊ＋

１２珔Ｚｍ

烅

烄

烆

烍

烌

烎）

（ｉ，ｊ，ｍ）

其中，Ａｉｊｍ为边界表面ｉｊｍ 的面积。

４３ 高次四面体单元

从前面的介绍可知，４节点四面体单元是常应变单元，这种单元难以适应急

剧变化的应力场，此时可考虑采用高次四面体单元。图４６所示分别为１０节点

四面体单元和２０节点四面体单元。引入体积坐标以后，可采用与二维三角形单

元形函数构造相似的方法得到各次四面体单元的形函数。

将形函数表示为体积坐标（Ｌ１，Ｌ２，Ｌ３，Ｌ４）的函数，其构造公式为

Ｎｉ（Ｌ１，Ｌ２，Ｌ３，Ｌ４）＝∏ｍ

ｋ＝１Ｆｋ（Ｌ１，Ｌ２，Ｌ３，Ｌ４）

∏ｍ

ｋ＝１Ｆｋ（Ｌ１，Ｌ２，Ｌ３，Ｌ４）ｉ

（４４０）

４３１ １０节点四面体单元

在空间问题中，完全二次多项式共有１０项，即

图４６ 四面体单元

１， ｘ，ｙ，ｚ， ｘ２，ｙ２，ｚ２， ｘｙ，ｙｚ，ｚｘ

若位移函数取二次多项式，则二次单元应有１０个节点。１０节点四面体单元的

节点取４个角点和６个边内中点（图４６ａ）。对于角点，例如节点１，可作通过节

８６ 第４章 空间问题

点２，３，４，８，９，１０的平面Ｌ１＝０；通过节点５，６，７的平面Ｌ１＝１／２。代入式

（４４０）得

Ｎ１＝Ｌ１１

·Ｌ１－１／２

１－１／２ ＝（２Ｌ１－１）Ｌ１

同理可得其他角点的形函数，并可统一表示为

Ｎｉ＝（２Ｌｉ－１）Ｌｉ （ｉ＝１，２，３，４） （４４１ａ）

对于边中节点，例如节点５，可作平面Ｌ１＝０和Ｌ２＝０，代入式（４４０）得

Ｎ５＝Ｌ１１／２

·Ｌ２１／２＝４Ｌ１Ｌ２

同理可得其他边内节点的形函数，即

Ｎ５＝４Ｌ１Ｌ２， Ｎ６＝４Ｌ１Ｌ３， Ｎ７＝４Ｌ１Ｌ４ （４４１ｂ）

Ｎ８＝４Ｌ２Ｌ３， Ｎ９＝４Ｌ３Ｌ４， Ｎ１０＝４Ｌ２Ｌ４ （４４１ｃ）

４３２ ２０节点四面体单元

在空间问题中，完全三次多项式共有２０项。若位移函数取三次完全式，则

三次单元应有２０个节点。可取４个角点、６条棱边的三分点及４个表面的形心

（图４６ｂ）。其中，表面与节点号的对应关系为

表面１２３———１７， 表面１２４———１８， 表面１３４———１９， 表面２３４———２０按照前面所述的方法，不难构造出２０节点四面体单元的形函数。例如，对

于角点

Ｎｉ＝１２

（３Ｌｉ－１）（３Ｌｉ－２）Ｌｉ （ｉ＝１，２，３，４） （４４２ａ）

对于棱边三分点和表面形心节点，这里只列出节点５和节点１７的形函数，不难

发现其中的规律性。

Ｎ５＝９２Ｌ１Ｌ２

（３Ｌ１－１） （４４２ｂ）

Ｎ１７＝２７Ｌ１Ｌ２Ｌ３ （４４２ｃ）

４４ 结 语

在空间问题的有限元分析中，最简单的单元是四面体单元，任何空间结构都

可以用这种单元灵活地加以离散；而应用最广泛的是六面体等参单元，它将在第

９６４４ 结 语

５章中介绍。此外，还有规则六面体单元（其构造方法类似平面问题中的矩形单

元，留给读者作练习）。实际上，仅采用规则单元难以贴合外形复杂的结构，故其

应用受到了限制。

习 题

４１ 与平面问题相比，轴对称问题有何特点？在有限元表达格式上有何区别？

４２ 试用体积坐标构造１０节点四面体单元的形函数并讨论收敛性。

４３ 试构造规则六面体单元的形函数，并推导单元刚度矩阵。

答案：Ｎｉ＝１８

（１＋ξｉξ）（１＋ηｉη）（１＋ζｉζ） （ｉ＝１，２，⋯，８）

０７ 第４章 空间问题

第５

章

等参单元

在前面各章介绍的平面问题和空间问题中，采用了形状比较简单或规则的

实体单元。用规则单元离散形状比较复杂的结构常会遇到困难，即不能很好地

拟合结构边界。解决问题的一种办法是采用较多的简单单元，而这样做会增加

节点数目或平衡方程组的阶次。另一种办法（通常也是较好的办法）是采用形状

比较复杂的等参单元。这种单元是２０世纪６０年代末期提出来的，它可以很方

便地用来离散具有复杂形体的结构。

本章内容包括：（１）等参单元的基本思想；（２）平面四边形等参单元；（３）空间

六面体等参单元；（４）用面积坐标和体积坐标表示的等参单元；（５）数值积分方法

与积分方案的选择。

５１ 等参单元的基本思想

５１１ 真实单元

对于几何形状比较复杂的结构，可以采用形状较复杂的单元加以离散。例

如，在平面问题中，可以采用４节点直边单元（简称Ｑ４）、８节点曲边单元（简称

Ｑ８）、１２节点曲边单元（简称Ｑ１２）等（图５１）。

图５１ 真实单元

用二维形函数表示单元位移

ｕ＝∑ｍ

ｉ＝１

珡Ｎｉ（ｘ，ｙ）ｕｉ， ｖ＝∑ｍ

ｉ＝１

珡Ｎｉ（ｘ，ｙ）ｖｉ （５１）

其中，珡Ｎｉ（ｘ，ｙ）是整体坐标表示的形函数；ｍ 是单元的节点个数。形函数珡Ｎｉ可

按第３章中介绍的几何方法加以构造，即

珡Ｎｉ（ｘ，ｙ）＝∏ｍ

ｋ＝１Ｆｋ（ｘ，ｙ）

∏ｍ

ｋ＝１Ｆｋ（ｘｉ，ｙｉ）

（５２）

为满足完备性要求，形函数必须满足下列３个条件

∑ｍ

ｉ＝１

珡Ｎｉ（ｘ，ｙ）＝１ （５３）

∑ｍ

ｉ＝１

珡Ｎｉ（ｘ，ｙ）ｘｉ＝ｘ， ∑ｍ

ｉ＝１

珡Ｎｉ（ｘ，ｙ）ｙｉ＝ｙ （５４）

显然，在整体坐标系中直接构造形函数是比较困难的。为此，可考虑进行坐

标变换，将整体坐标系ｘｙ中形状较复杂的真实单元变换成局部坐标系ξη中规

则的标准单元（例如２×２的正方形单元），然后在标准单元中构造形函数。

５１２ 标准单元

图５２所示为局部坐标系ξη平面上与上述真实单元对应的标准单元，它们

都是２×２的正方形，即，－１≤ξ≤＋１，－１≤η≤＋１。局部坐标系的原点放在

单元形心上。单元边界是四条直线，其方程为ξ＝±１，η＝±１。

图５２ 标准单元

通过坐标变换，节点数目相同的全部真实单元仅对应于具有该节点数目的

一个标准单元。因此，标准单元被称为母单元，真实单元称为子单元。

显然，在局部坐标系中构造母单元的形函数非常简单（见下节），而且将表明

构造形函数时只需满足下述条件

２７ 第５章 等参单元

Ｎｉ（ξｊ，ηｊ）＝δｉｊ， ∑ｍ

ｉ＝１Ｎｉ（ξ，η）＝１ （５５）

５１３ 坐标变换

采用形函数Ｎｉ（ξ，η）形成坐标变换式，即

ｘ＝∑ｍ

ｉ＝１Ｎｉ（ξ，η）ｘｉ， ｙ＝∑

ｍ

ｉ＝１Ｎｉ（ξ，η）ｙｉ （５６）

注意到形函数的性质，通过上述坐标变换，可将正方形母单元变换成任意四边形

子单元：将母单元的节点（ξｉ，ηｉ）变换成子单元中对应的节点（ｘｉ，ｙｉ），将母单元

的直线边界变换成子单元的曲线边界。例如，当ｍ＝８时，式（５６）是局部坐标

的二次函数式，它将８节点正方形变换成８节点二次任意四边形；将母单元的直

线边界变换成子单元的二次抛物线边界。

５１４ 位移函数

为了说明问题，求式（５６）的逆变换式（实际中并不需要这样做）

ξ＝ξ（ｘ，ｙ）， η＝η（ｘ，ｙ）

并将其代入形函数Ｎｉ（ξ，η）中，得到整体坐标表示的形函数珡Ｎｉ（ｘ，ｙ），即

Ｎｉ（ξ，η）＝Ｎｉ［ξ（ｘ，ｙ），η（ｘ，ｙ）］＝珡Ｎｉ（ｘ，ｙ） （５７）

采用形函数珡Ｎｉ（ｘ，ｙ），可将单元位移函数表示为

ｕ＝∑ｍ

ｉ＝１

珡Ｎｉ（ｘ，ｙ）ｕｉ＝∑ｍ

ｉ＝１Ｎｉ（ξ，η）ｕｉ

ｖ＝∑ｍ

ｉ＝１

珡Ｎｉ（ｘ，ｙ）ｖｉ＝∑ｍ

ｉ＝１Ｎｉ（ξ，η）ｖ

烍烌

烎ｉ

（５８）

显然，只要式（５５）得到满足，再注意到式（５６），（５７），下列各式自然成立

珡Ｎｉ（ｘｊ，ｙｊ）＝Ｎｉ（ξｊ，ηｊ）＝δｉｊ

∑ｍ

ｉ＝１

珡Ｎｉ（ｘ，ｙ）＝∑ｍ

ｉ＝１Ｎｉ（ξ，η）＝

烍烌

烎１（５９）

∑ｍ

ｉ＝１

珡Ｎｉ（ｘ，ｙ）ｘｉ＝∑ｍ

ｉ＝１Ｎｉ（ξ，η）ｘｉ＝ｘ

∑ｍ

ｉ＝１

珡Ｎｉ（ｘ，ｙ）ｙｉ＝∑ｍ

ｉ＝１Ｎｉ（ξ，η）ｙｉ＝

烍烌

烎ｙ

（５１０）

即单元完备性条件（５３），（５４）均得到了满足。由于坐标变换式（５６）和单元位

３７５１ 等参单元的基本思想

移函数（５８）中用了相同的形函数Ｎｉ（ξ，η），故称这种变换为等参变换，相应的

单元称为等参单元。

５２ 平面四边形等参单元

５２１ 单元形函数

如前所述，在等参单元形函数的构造中，只要式（５５）成立，便可满足单元完

备性要求。对于母单元这种简单的规则单元，边界线方程很容易写出，因此采用

几何方法构造单元形函数非常方便，其构造公式为

Ｎｉ（ξ，η）＝∏ｍ

ｋ＝１Ｆｋ（ξ，η）

∏ｍ

ｋ＝１Ｆｋ（ξｉ，ηｉ）

（５１１）

母单元的节点数目与形函数的阶次相适应，以保证用形函数定义的未知量

在相邻单元之间的连续性。因此，对于线性、二次和三次形函数，单元每边应分

别有２个、３个、４个节点（图５２）。

（１）线性单元（Ｑ４单元）

线性单元以４个角点为节点。为构造Ｎ１，需做如下两条直线：Ｆ１＝１－ξ＝０和Ｆ２＝１－η＝０，它们通过节点２，３，４，但不通过节点１。将上述直线和节点１的坐标代入式（５１１）得

Ｎ１＝（１－ξ）（１－η）

（１－ξ１）（１－η１）＝１４

（１－ξ）（１－η）

同理可构造出Ｎ２，Ｎ３，Ｎ４，从而有

Ｎ１＝（１－ξ）（１－η）／４Ｎ２＝（１＋ξ）（１－η）／４Ｎ３＝（１＋ξ）（１＋η）／４Ｎ４＝（１－ξ）（１＋η）／

烍

烌

烎４

（５１２ａ）

或

Ｎｉ＝（１＋ξ０）（１＋η０）／４ （ｉ＝１，２，３，４） （５１２ｂ）

其中，ξ０＝ξｉξ，η０＝ηｉη，而ξｉ，ηｉ为节点ｉ的坐标。

（２）二次单元（Ｑ８单元）

在二次单元中，除４个角点外，其他节点放在各边的中点。为构造Ｎ１，我们

需做三条直线Ｆ１＝１－ξ＝０，Ｆ２＝１－η＝０和Ｆ３＝ξ＋η＋１＝０，它们通过节点

４７ 第５章 等参单元

２，３，４，５，６，７，８，但不通过节点１。将上述直线和节点１的坐标代入式（５１１），

可得

Ｎ１＝（１－ξ）（１－η）（ξ＋η＋１）

（１－ξ１）（１－η１）（ξ１＋η１＋１）＝－１４

（１－ξ）（１－η）（ξ＋η＋１）

同理可构造出其他形函数，并可统一表示为

Ｎｉ＝１４

（１＋ξ０）（１＋η０）（ξ０＋η０－１） （ｉ＝１，２，３，４）（５１３ａ）

Ｎｉ＝１２

（１－ξ２）（１＋η０） （ｉ＝５，７） （５１３ｂ）

Ｎｉ＝１２

（１－η２）（１＋ξ０） （ｉ＝６，８） （５１３ｃ）

（３）三次单元（Ｑ１２单元）

除４个角点外，三次单元的其他节点放在各边的三分点上。按上述方法不

难构造出这种单元的形函数。

Ｎｉ＝１３２

（１＋ξ０）（１＋η０）［９（ξ２＋η２）－１０］ （ｉ＝１，２，３，４） （５１４ａ）

Ｎｉ＝９３２

（１＋ξ０）（１－η２）（１＋９η０） （ｉ＝５，６，７，８） （５１４ｂ）

Ｎｉ＝９３２

（１＋η０）（１－ξ２）（１＋９ξ０） （ｉ＝９，１０，１１，１２） （５１４ｃ）

图５３ 线性单元的坐标变换

５２２ 坐标变换

在进行等参坐标变换时，母单元都是２×２的正方形，而子单元则可随母单

元阶次而不同。线性母单元映射成的子单元是直边四边形（图５３）；二次和三

次母单元映射成的子单元可分别是二次曲线和三次曲线组成的四边形（图

５４）。显然，母单元的直线正交坐标ξη，可看成子单元的曲线坐标。

不难验证，以上各种形函数都满足式（５５）的要求，从而也就满足了完备性

５７５２ 平面四边形等参单元

图５４ 二次单元的坐标变换

要求。现在考察相邻子单元在公共边界上坐标及位移的连续性。以二次单元为

例，两个相邻子单元的公共边界都是二次曲线，既然它们在三个公共节点上具有

相同坐标，必然沿整个公共边界都有相同坐标，因而变换后的坐标是连续的。由

于等参变换的缘故，两个相邻子单元在公共边界上的位移也都是二次曲线，既然

它们在三个公共节点上具有相同位移，必然沿整个公共边界都有相同位移，从而

满足了协调性要求。

５２３ 应变和应力

对于具有ｍ 个节点的平面等参单元，位移函数可写成

ｕ＝ｕ｛ ｝ｖ ＝［Ｎ１Ｉ Ｎ２Ｉ ⋯ ＮｍＩ］ａｅ＝Ｎａｅ （ａ）

其中，Ｉ为二阶单位矩阵；而单元节点位移向量为

ａｅ＝ａ１…

ａ烅烄

烆烍烌

烎ｍ

， ａｉ＝ｕｉｖ烅烄

烆烍烌

烎ｉ（ｉ＝１，２，⋯，ｍ） （ｂ）

将位移函数（ａ）代入平面问题的几何方程得单元应变

ε＝Ｂａｅ＝［Ｂ１ Ｂ２ ⋯ Ｂｍ］ａｅ （５１５）

其中的子矩阵为

Ｂｉ＝

Ｎｉｘ ０

０Ｎｉｙ

Ｎｉｙ

Ｎｉ

熿

燀

燄

燅ｘ

（ｉ＝１，２，⋯，ｍ） （５１６）

６７ 第５章 等参单元

Ｎｉ（ξ，η）是用局部坐标给出的，根据复合函数求导法则，可知

ＮｉξＮｉ

烅

烄

烆

烍

烌

烎η

＝

ｘξ

ｙξ

ｘη

ｙ

熿

燀

燄

燅η

ＮｉｘＮｉ

烅

烄

烆

烍

烌

烎ｙ

＝Ｊ

ＮｉｘＮｉ

烅

烄

烆

烍

烌

烎ｙ

（ｃ）

其中，Ｊ称为Ｊａｃｏｂｉ矩阵，即

Ｊ＝

ｘξ

ｙξ

ｘη

ｙ

熿

燀

燄

燅η

＝∑Ｎｉξｘｉ ∑Ｎｉ

ξｙｉ

∑Ｎｉηｘｉ ∑Ｎｉ

ηｙ

熿

燀

燄

燅ｉ

（５１７）

由式（ｃ）可得形函数对整体坐标的导数

ＮｉｘＮｉ

烅

烄

烆

烍

烌

烎ｙ

＝Ｊ－１ＮｉξＮｉ

烅

烄

烆

烍

烌

烎η

（５１８）

将上式代入式（５１６），即可求出单元应变矩阵。

将单元应变（５１５）代入平面问题的本构方程，可得到用节点位移表示的单

元应力

σ＝Ｄε＝ＤＢａｅ （５１９）

５２４ 单元刚度矩阵

根据普遍公式（１１８），并设单元的厚度为ｔ，则单元刚度矩阵为

Ｋｅ＝∫ΩｅＢＴＤＢｄΩ＝∫ＡｅＢＴＤＢｔｄＡ （５２０）

图５５ 微元面积

一般情况下，Ｎｉξ

，Ｎｉη

，Ｊ都是ξ和η的函数，从而Ｂ也是ξ和η的函数，因

此上述积分应在局部坐标系内进行。这样，

面积元素ｄＡ也应表示成ｄξｄη。图５５所示

为子单元中任一点ａ（ｘ，ｙ）处的微小四边形。

显然，ａ 点 在 母 单 元 中 对 应 点 的 坐 标 为

（ξ，η），而微小四边形ａｂｄｃ对应于（ξ，η）的微

元面ｄξｄη（亦即是由局部坐标系中的微元面

ｄξｄη变换而成），ａｂ，ａｃ分别由ｄξ，ｄη变换

７７５２ 平面四边形等参单元

而成，即

ａｂ＝ ｘξｉ＋ｙξ（ ）ｊｄξ， ａｃ＝ ｘ

ηｉ＋ｙη（ ）ｊｄη

其中，ｉ，ｊ表示ｘ，ｙ轴的单位基矢量，而微元面积ｄＡ应等于微小四边形相邻边

矢量积的模，即

ｄＡ＝｜ａｂ×ａｃ｜

注意到，ｉ×ｉ＝ｊ×ｊ＝０，ｉ×ｊ＝－ｊ×ｉ＝ｋ，有

ｄＡ＝ ｘξｉ＋ｙξ（ ）ｊ × ｘ

ηｉ＋ｙη（ ）ｊｄξｄη ＝

ｘξ

ｙξ

ｘη

ｙη

＝Ｊｄξｄη

于是

Ｋｅ＝∫１

－１∫１

－１ＢＴＤＢＪｔｄξｄη （５２１）

５２５ 等效节点荷载

根据普遍公式（１１９），体力的等效节点荷载为

Ｐｅｆ＝∫ΩｅＮＴｆｄΩ＝ＡｅＮＴｆｔｄｘｄｙ

将上式右端的Ｎ及ｄｘｄｙ用局部坐标（ξ，η）表示，则有

Ｐｅｆ＝∫１

－１∫１

－１ＮＴｆＪｔｄξｄη （５２２）

根据普遍公式（１２０），面力的等效节点荷载为

Ｐｅｐ＝∫ΓｅσＮＴ珔ｐｄΓ＝∫ｓＮＴ珔ｐｔｄｓ

例如，设珔ｐ所作用的表面是η＝１面，在坐标变换公式中令η＝１，可得到Γｅσ 的

方程如下

ｘ＝∑ｍ

ｉ＝１Ｎｉ（η＝１）ｘｉ， ｙ＝∑

ｍ

ｉ＝１Ｎｉ（η＝１）ｙｉ

因

ｄｓ＝ （ｄｘ）２＋（ｄｙ）槡 ２＝ （ｄｘｄξ

）２＋（ｄｙｄξ

）槡 ２ｄξ＝Ａｄξ

于是有

８７ 第５章 等参单元

Ｐｅｐ＝∫１

－１ＮＴ珔ｐＡｔｄξ （５２３）

５３ 空间六面体等参单元

５３１ 单元形函数

在概念与分析方法上，空间等参单元与平面等参单元相似。空间等参单元

的母单元是２×２×２的立方体，常用的母单元为８节点线性立方体单元和２０节

点二次立方体单元（图５６）。形函数构造方法与平面问题的相同，公式为

Ｎｉ（ξ，η，ζ）＝∏ｍ

ｋ＝１Ｆｋ（ξ，η，ζ）

∏ｍ

ｋ＝１Ｆｋ（ξｉ，ηｉ，ζｉ）

（５２４）

图５６ 立方体母单元

（１）８节点单元

８节点六面体单元以六面体的８个角点作为节点。为构造Ｎ１，可做３个平

面，即Ｆ１＝１－ξ＝０，Ｆ２＝１－η＝０和Ｆ３＝１－ζ＝０，它们通过节点２，３，４，５，６，

７，８，但不通过节点１。将上述平面和节点１的坐标代入式（５２４），可得

Ｎ１＝（１－ξ）（１－η）（１－ζ）

（１－ξ１）（１－η１）（１－ζ１）＝１８

（１－ξ）（１－η）（１－ζ）

同理可构造出其他形函数，并可统一表示为

Ｎｉ＝（１＋ξ０）（１＋η０）（１＋ζ０）／８ （ｉ＝１，２，⋯，８） （５２５）

其中

ξ０＝ξｉξ， η０＝ηｉη， ζ０＝ζｉζ （ｉ＝１，２，⋯，８）

９７５３ 空间六面体等参单元

而ξｉ，ηｉ，ζｉ是节点ｉ的局部坐标，例如节点１的坐标为（－１，－１，－１）。

（２）２０节点单元

２０节点六面体单元的节点除六面体的８个角点外，还有每边的中点。为构

造Ｎ１，可做４个平面，即Ｆ１＝１－ξ＝０，Ｆ２＝１－η＝０，Ｆ３＝１－ζ＝０和

Ｆ４＝ξ＋η＋ζ＋２＝０，它们通过除节点１以外的所有节点。将上述平面和节点

１的坐标代入式（５２４），可得

Ｎ１＝（１－ξ）（１－η）（１－ζ）（ξ＋η＋ζ＋２）

（１－ξ１）（１－η１）（１－ζ１）（ξ１＋η１＋ζ１＋２）

＝１８（１－ξ）（１－η）（１－ζ）（－ξ－η－ζ－２）

同理可构造出其他形函数，并可统一表示为

Ｎｉ＝（１＋ξ０）（１＋η０）（１＋ζ０）（ξ０＋η０＋ζ０－２）ξ２ｉη２ｉζ２ｉ／８

＋（１－ξ２）（１＋η０）（１＋ζ０）（１－ξ２ｉ）η２ｉζ２ｉ／４

＋（１－η２）（１＋ζ０）（１＋ξ０）（１－η２ｉ）ζ２ｉξ２ｉ／４

＋（１－ζ２）（１＋ξ０）（１＋η０）（１－ζ２ｉ）ξ２ｉη２ｉ／４

（５２６）

其中

ξ０＝ξｉξ， η０＝ηｉη， ζ０＝ζｉζ （ｉ＝１，２，⋯，２０）

而ξｉ，ηｉ，ζｉ是节点ｉ的局部坐标。

图５７ ２０节点单元

５３２ 坐标变换

通过坐标变换，８节点母单元可映射为任意形状的８节点子单元，单元边界

面为平面；２０节点母单元可映射为任意形状的２０节点子单元，单元边界面为二

次曲面（图５７）。

０８ 第５章 等参单元

在整体坐标系中，等参单元内任一点的坐标可用上述母单元形函数表示如下

ｘ＝∑ｍ

ｉ＝１Ｎｉｘｉ， ｙ＝∑

ｍ

ｉ＝１Ｎｉｙｉ， ｚ＝∑

ｍ

ｉ＝１Ｎｉｚｉ （５２７）

其中，ｘｉ，ｙｉ，ｚｉ是节点ｉ的整体坐标；ｍ 是单元节点数。

５３３ 位移函数

等参单元的位移函数为

ｕ＝∑ｍ

ｉ＝１Ｎｉｕｉ， ｖ＝∑

ｍ

ｉ＝１Ｎｉｖｉ， ｗ ＝∑

ｍ

ｉ＝１Ｎｉｗｉ （５２８ａ）

或

ｕ＝［Ｎ１Ｉ Ｎ２Ｉ ⋯ ＮｍＩ］ａｅ＝Ｎａｅ （５２８ｂ）

其中，Ｉ为三阶单位矩阵；而单元节点位移向量为

ａｅ＝ａ１…

ａ烅烄

烆烍烌

烎ｍ

， ａｉ＝

ｕｉｖｉｗ烅烄

烆烍烌

烎ｉ

（ｉ＝１，２，⋯，ｍ）

５３４ 单元应变

根据空间问题的几何方程，单元应变可用节点位移表示如下

ε＝Ｂａｅ＝［Ｂ１ Ｂ２ ⋯ Ｂｍ］ａｅ （５２９）

其中

Ｂｉ＝

Ｎｉｘ ０ ０

Ｎｉｙ ０

Ｎｉｚ

０Ｎｉｙ ０

Ｎｉｘ

Ｎｉｚ ０

０ ０Ｎｉｚ ０

Ｎｉｙ

Ｎｉ

熿

燀

燄

燅ｘ

Ｔ

（５３０）

根据复合函数求导法则，可知

ＮｉξＮｉηＮｉ

烅

烄

烆

烍

烌

烎ζ

＝

ｘξ

ｙξ

ｚξ

ｘη

ｙη

ｚη

ｘζ

ｙζ

ｚ

熿

燀

燄

燅ζ

ＮｉｘＮｉｙＮｉ

烅

烄

烆

烍

烌

烎ｚ

＝Ｊ

ＮｉｘＮｉｙＮｉ

烅

烄

烆

烍

烌

烎ｚ

（５３１）

１８５３ 空间六面体等参单元

其中，Ｊ为三维Ｊａｃｏｂｉ矩阵，即

Ｊ＝

ｘξ

ｙξ

ｚξ

ｘη

ｙη

ｚη

ｘζ

ｙζ

ｚ

熿

燀

燄

燅ζ

（５３２）

其元素计算式为

ｘξ＝∑

ｍ

ｉ＝１

Ｎｉξｘｉ，⋯，ｚ

ζ＝∑

ｍ

ｉ＝１

Ｎｉζｚｉ （５３３）

根据式（５３１），有

ＮｉｘＮｉｙＮｉ

烅

烄

烆

烍

烌

烎ｚ

＝Ｊ－１

ＮｉξＮｉηＮｉ

烅

烄

烆

烍

烌

烎ζ

（５３４）

５３５ 单元刚度矩阵

单元刚度矩阵按普遍公式（１１８）计算，即

Ｋｅ＝∫ΩｅＢＴＤＢｄΩ （５３５）

图５８ 微元体积

上述积分应在局部坐标系内进行，因此体积元素ｄΩ需表示成ｄξｄηｄζ。图５８所示为子单元内任一点ａ（ｘ，ｙ，ｚ）处的微小六面体，它是由局部坐标系中点

（ξ，η，ζ）处的微元体ｄξｄηｄζ变换而成的。以ｉ，ｊ，ｋ表示ｘ，ｙ，ｚ轴的单位基

矢量，ａｂ，ａｃ，ａｄ分别由ｄξ，ｄη，ｄζ变换而成，则

ａｂ＝ ｘξｉ＋ｙξｊ

＋ｚξ（ ）ｋｄξａｃ＝ ｘ

ηｉ＋ｙηｊ

＋ｚη（ ）ｋｄηａｄ＝ ｘ

ζｉ＋ｙζｊ

＋ｚζ（ ）ｋｄζ上述３个矢量构成右手系，其混合积表示它们所构

成的平行六面体体积，故

２８ 第５章 等参单元

ｄΩ＝ａｂ·（ａｃ×ａｄ）＝Ｊｄξｄηｄζ其中，Ｊ为矩阵Ｊ的行列式。将上式代入式（５３５），并写成分块形式

Ｋｅ＝

ｋ１１ ｋ１２ ⋯ ｋ１ｍｋ２１ ｋ２２ ⋯ ｋ２ｍ

… … …

ｋｍ１ ｋｍ２ ⋯ ｋ

熿

燀

燄

燅ｍｍ

（５３６）

其中子矩阵的计算公式为

ｋｉｊ＝∫ΩｅＢＴｉＤＢｊｄΩ＝∫１

－１∫１

－１∫１

－１ＢＴｉＤＢｊＪｄξｄηｄζ （５３７）

５３６ 等效节点荷载

对于体力ｆ，根据普遍公式（１１９），有

Ｐｅｆ＝∫ΩｅＮＴｆｄΩ＝∫１

－１∫１

－１∫１

－１ＮＴｆＪｄξｄηｄζ （５３８）

根据普遍公式（１２０），面力珔ｐ的等效节点荷载为

Ｐｅｐ＝∫ΓｅσＮＴ珔ｐｄΓ （５３９）

设面力作用在ζ＝１面上。在坐标变换公式中令ζ＝１，可得到边界面Γｅσ 的方

程如下

ｘ＝∑ｍ

ｉ＝１Ｎｉ（ζ＝１）ｘｉ， ｙ＝∑

ｍ

ｉ＝１Ｎｉ（ζ＝１）ｙｉ， ｚ＝∑

ｍ

ｉ＝１Ｎｉ（ζ＝１）ｚｉ

而微元面积ｄΓ为ｄξ，ｄη对应的面积元素，故有

ｄΓ＝ ａｂ×ａｃ ＝

ｉ ｊ ｋｘξ

ｙξ

ｚξ

ｘη

ｙη

ｚη

＝Ａｄξｄη

其中

Ａ＝ （ｘξｙη－ｘη

ｙξ

）２＋（ｙξｚη－ｙη

ｚξ

）２＋（ｚξｘη－ｚη

ｘξ

）槡 ２

（５４０）

从而得到

３８５３ 空间六面体等参单元

Ｐｅｐｉ＝∫１

－１∫１

－１Ｎｉ珔ｐＡｄξｄη （５４１）

５４ 高次三角形等参单元

５４１ 坐标变换

在第３章中，构造了用面积坐标表示的高次三角形单元Ｔ６和Ｔ１０，它们都

是具有直线边界的单元。可将这些形状规则的三角形单元作为母单元，通过等

参变换将其映射成曲边三角形单元。例如，直线边界的６节点三角形单元被映

射成二次曲线边界的６节点曲边三角形单元（图５９）。

图５９ 三角形等参单元

对于等参三角形单元，坐标变换式为

ｘ＝∑ｍ

ｉ＝１Ｎｉ（Ｌ１，Ｌ２，Ｌ３）ｘｉ， ｙ＝∑

ｍ

ｉ＝１Ｎｉ（Ｌ１，Ｌ２，Ｌ３）ｙｉ （５４２）

其中，ｍ 为单元节点数；形函数Ｎｉ见第３章中的公式（３３３），（３３４）。

５４２ 单元计算

根据面积坐标的特点，选Ｌ１，Ｌ２为独立自然坐标，而Ｌ３＝１－Ｌ１－Ｌ２。单

元刚度矩阵可表示为

Ｋｅ＝∫ＡｅＢＴＤＢｔｄＡ＝∫１

０∫１－Ｌ１

０ＢＴＤＢｔＪｄＬ１ｄＬ２ （５４３）

其元素可一般地写成

∫ＡｅｆｄＡ＝∫１

０∫１－Ｌ１

０ｆ（Ｌ１，Ｌ２，Ｌ３）ｄＬ１ｄＬ２

＝∫１

０∫１－Ｌ１

０ｆ（Ｌ１，Ｌ２，１－Ｌ１－Ｌ２）ｄＬ１ｄＬ２

（５４４）

４８ 第５章 等参单元

需要注意的是，在普通三角形单元中，直角坐标与面积坐标之间的关系比较

简单，即

ｘ＝∑３

ｉ＝１Ｌｉｘｉ， ｙ＝∑

３

ｉ＝１Ｌｉｙｉ （ａ）

因而可非常简单地完成单元计算。而在等参单元中，坐标变换式（５４２）使问题

变复杂了。例如，在普通三角形单元中，有

Ｊ＝

ｘＬ１

ｙＬ１

ｘＬ２

ｙＬ２

＝ｘ１－ｘ３ ｙ１－ｙ３ｘ２－ｘ３ ｙ２－ｙ３

＝２Ａ （ｂ）

而在等参三角形单元中，Ｊ就没有这么简单了，其中的元素具有下述形式

ｘＬ１＝∑

ｍ

ｉ＝１

ＮｉＬ１＋

ＮｉＬ３

Ｌ３Ｌ（ ）

１ｘｉ＝∑

ｍ

ｉ＝１

ＮｉＬ１－

ＮｉＬ（ ）

３ｘｉ （５４５）

因此，单元计算需要用Ｈａｍｍｅｒ数值积分。

５５ 高次四面体等参单元

在第４章中，构造了用体积坐标表示的１０节点四面体单元和２０节点四面

体单元。与平面三角形等参单元的情形相似，它们都可作为四面体母单元。通

过下述等参变换，将平面边界的四面体映射成曲面边界的四面体

ｘ＝∑ｍ

ｉ＝１Ｎｉｘｉ， ｙ＝∑

ｍ

ｉ＝１Ｎｉｙｉ， ｚ＝∑

ｍ

ｉ＝１Ｎｉｚｉ （５４６）

其中，ｍ 为单元节点数；形函数Ｎｉ（Ｌ１，Ｌ２，Ｌ３，Ｌ４）见第４章中的公式（４４１）和

（４４２）。

以Ｌ１，Ｌ２，Ｌ３为独立自然坐标，而Ｌ４＝１－Ｌ１－Ｌ２－Ｌ３。单元刚度矩阵可

表示为

Ｋｅ＝∫ΩｅＢＴＤＢｄΩ＝∫１

０∫１－Ｌ１

０∫１－Ｌ１－Ｌ２

０ＢＴＤＢＪｄＬ１ｄＬ２ｄＬ３ （５４７）

其元素可一般地写成

∫ΩｅｆｄΩ＝∫１

０∫１－Ｌ１

０∫１－Ｌ１－Ｌ２

０ｆ（Ｌ１，Ｌ２，Ｌ３，Ｌ４）ｄＬ１ｄＬ２ｄＬ３

＝∫１

０∫１－Ｌ１

０∫１－Ｌ１－Ｌ２

０ｆ（Ｌ１，Ｌ２，Ｌ３，１－Ｌ１－Ｌ２－Ｌ３）ｄＬ１ｄＬ２ｄＬ３

（５４８）

５８５５ 高次四面体等参单元

可采用Ｈａｍｍｅｒ数值积分计算。

５６ 数 值 积 分

采用等参单元时，单元刚度矩阵和等效节点荷载算式中的被积函数通常很

复杂，难以用显式表示其积分。因此，一般都用数值积分方法计算积分值，即在

单元内选出某些点作为积分点，求出被积函数在这些积分点的数值，然后对这些

数值与合适权重的积求和作为近似积分值。已发展的数值积分法有多种，常用

的有Ｇａｕｓｓ积分和Ｈａｍｍｅｒ积分。

５５１ Ｇａｕｓｓ积分

（１）一维Ｇａｕｓｓ积分

对于一维Ｇａｕｓｓ积分，在区间［－１，１］中选定积分点ξ１，ξ２，⋯，ξＮ，然后由下

式计算积分值

Ｉ＝∫１

－１ｆ（ξ）ｄξ＝∑

Ｎ

ｉ＝１ωｉｆ（ξｉ） （５４９）

其中，ωｉ是权重。ωｉ和ξｉ是根据计算精度最高而选定的，常用数值列于表５１。

表５１ Ｇａｕｓｓ积分数值

积 分 点 数 积 分 点 坐 标 权 重

１ ξ１＝０ ω１＝２

２ ξ１，２＝０５７７３５０２６９２ ω１，２＝１００００００００００

３ ξ１，２＝０７７４５９６６６９２ξ３＝０

ω１，２＝０５５５５５５５５５６ω３＝０８８８８８８８８８９

４ ξ１，２＝０８６１１３６３１１６ξ３，４＝０３３９９８１０４３６

ω１，２＝０３４７８５４８４５１ω３，４＝０６５２１４５１５４９

Ｎ点Ｇａｕｓｓ积分实际上是用一个ξ的２Ｎ－１次多项式近似代替被积函数

ｆ（ξ），再计算这个近似多项式的积分结果。如果被积函数本身就是多项式，则

对于２Ｎ－１次及其以下的多项式，Ｎ 点积分给出其准确结果。如果被积函数

为高于２Ｎ－１次的多项式或不是多项式，Ｇａｕｓｓ积分给出近似结果，且积分点数

越多，数值积分的精度就越高。为验证上述说法，并弄清积分点坐标和权重的确

定方法，取Ｎ＝２，则

Ｉ＝∫１

－１ｆ（ξ）ｄξ＝ω１ｆ（ξ１）＋ω２ｆ（ξ２） （ａ）

６８ 第５章 等参单元

设被积函数为三次多项式

ｆ（ξ）＝ｃ０＋ｃ１ξ＋ｃ２ξ２＋ｃ３ξ３ （ｂ）

其积分值为

Ｉ＝∫１

－１（ｃ０＋ｃ１ξ＋ｃ２ξ２＋ｃ３ξ３）ｄξ＝２ｃ０＋

２３ｃ２

（ｃ）

由式（ａ），（ｂ）和（ｃ），有

ω１（ｃ０＋ｃ１ξ１＋ｃ２ξ１２＋ｃ３ξ１３）＋ω２（ｃ０＋ｃ１ξ２＋ｃ２ξ２２＋ｃ３ξ２３）＝２ｃ０＋２３ｃ２

注意到上式对于任何三次多项式被积函数都成立，可求得

ξ１＝－ξ２＝－１／槡３＝－０５７７３５０２６９２ω１＝ω２＝１００００００００００

很显然，如果采用上述积分点及权重的Ｇａｕｓｓ积分，那么当被积函数为三次

或三次以下的多项式时，积分将给出精确结果。

（２）二维Ｇａｕｓｓ积分

对于二维Ｇａｕｓｓ积分，可以先令η保持常数而沿ξ方向积分

∫１

－１ｆ（ξ，η）ｄξ＝∑

Ｎ

ｉ＝１ωｉｆ（ξｉ，η）＝（η） （５５０）

再沿η方向积分，得到

∫１

－１∫１

－１ｆ（ξ，η）ｄξｄη＝∫

１

－１（η）ｄη＝∑

Ｍ

ｊ＝１ωｊ（ηｊ）＝∑

Ｍ

ｊ＝１∑Ｎ

ｉ＝１ωｉωｊｆ（ξｉ，ηｊ）

（５５１）

（３）三维Ｇａｕｓｓ积分

类似地，对于三维Ｇａｕｓｓ积分有

∫１

－１∫１

－１∫１

－１ｆ（ξ，η，ζ）ｄξｄηｄζ＝∑

Ｌ

ｋ＝１∑Ｍ

ｊ＝１∑Ｎ

ｉ＝１ωｉωｊωｋｆ（ξｉ，ηｊ，ζｋ） （５５２）

根据需要，沿不同方向可取不同的积分点数，对应的坐标位置及权重仍可由

表５１确定。

５５２ Ｈａｍｍｅｒ积分

（１）二维Ｈａｍｍｅｒ积分

对于被积函数以面积坐标或体积坐标为自变量的积分，Ｈａｍｍｅｒ等人推导

出了有效的积分方案。二维Ｈａｍｍｅｒ积分可表示为

７８５６ 数 值 积 分

∫１

０∫１－Ｌ１

０ｆ（Ｌ１，Ｌ２，Ｌ３）ｄＬ１ｄＬ２＝Ａ１ｆ（１／３，１／３，１／３）

＋Ｂ３［ｆ（ａ，ａ，ｂ）＋ｆ（ａ，ｂ，ａ）＋ｆ（ｂ，ａ，ａ）］

＋Ｃ３［ｆ（ｃ，ｃ，ｄ）＋ｆ（ｃ，ｄ，ｃ）＋ｆ（ｄ，ｃ，ｃ）］ （５５３）

其中，Ａ１，Ｂ３，Ｃ３为权重；ａ，ｂ，ｃ，ｄ及１／３都是积分点坐标。在三角形域上积

分，权重之和应等于１／２，故表５２中所列权重应乘以１／２。

表５２ 二维Ｈａｍｍｅｒ积分表

积分点数 精确积分的多项式次数 积 分 点 坐 标 权 重

１ １ １／３，１／３，１／３ Ａ１＝１

３ ２ ａ＝１／６，ｂ＝２／３ Ｂ３＝１／３

４ ３ ａ＝１／５，ｂ＝３／５Ａ１＝－２７／４８Ｂ３＝２５／４８

７ ５

ａ＝０１０１２８６５０７３ｂ＝０７９７４２６９８５３ｃ＝０４７０１４２０６４１ｄ＝００５９７１５８７１７

Ａ１＝０２２５０００００００Ｂ３＝０１２５９３９１８０５Ｃ３＝０１３２３９４１５２７

注：未标出的权重为零。

（２）三维Ｈａｍｍｅｒ积分

三维Ｈａｍｍｅｒ积分公式为

∫１

０∫１－Ｌ１

０∫１－Ｌ１－Ｌ２

０ｆ（Ｌ１，Ｌ２，Ｌ３，Ｌ４）ｄＬ１ｄＬ２ｄＬ３＝Ａ１ｆ（１／４，１／４，１／４，１／４）＋

＋Ｂ４［ｆ（ａ，ｂ，ｂ，ｂ）＋ｆ（ｂ，ａ，ｂ，ｂ）＋ｆ（ｂ，ｂ，ａ，ｂ）＋ｆ（ｂ，ｂ，ｂ，ａ）］

（５５４）

其中，Ａ１，Ｂ４为权重；ａ，ｂ及１／４都是积分点坐标。在四面体上积分，权重之和

应等于１／６，故表５３中所列权重应乘以１／６。

表５３ 三维Ｈａｍｍｅｒ积分表

积分点数 精确积分的多项式次数 积 分 点 坐 标 权 重

１ １ １／４，１／４，１／４，１／４ Ａ１＝１

４ ２ ａ＝０５８５４１０２０ｂ＝０１３８１９６６０

Ｂ４＝１／４

５ ３ ａ＝１／３，ｂ＝１／６Ａ１＝－４／５Ｂ４＝９／２０

注：未标出的权重为零。

５５３ 数值积分阶次

（１）单元精度要求

数值积分的阶次就是某个方向所选取的积分点数目，它直接影响计算精度

和计算量。对于Ｎ 点积分，当被积函数为ｍ 次多项式且ｍ≤２Ｎ－１时，可得精

８８ 第５章 等参单元

确积分值。反之，对于 ｍ 次多项式的被积函数，精确积分要求的积分点数

Ｎ≥（ｍ＋１）／２。

等参单元有关计算中的被积函数通常不能化为多项式，因而难以精确确定

积分点数。但是，如果单元很小，以致ε和σ中的元素可视为常量，则被积函数

的幂次取决于Ｊ的幂次。对于２０节点空间单元，一般Ｎｉ是每个局部坐标的二

次式，整体坐标对局部坐标的导数为该坐标的一次式，因而在Ｊ中每个局部坐

标可能以５次幂出现，即ｍ＝５。此时，一维积分点数为Ｎ＝（ｍ＋１）／２＝３，空

间问题则可用３×３×３阶积分。对于平面８节点等参单元，可采用３×３阶积

分。经类似的分析可知，对于８节点空间单元和４节点平面单元，可分别采用

２×２×２和２×２阶积分。

由于单元内部的应力和应变不是常量，故上述积分点数少于精确积分所需

的数目。阶次低于精确积分所需阶次的高斯积分称为减缩积分，这种积分方案

对于提高有限元位移解的精度常常是有益的。因为减缩积分较精确积分得到的

积分值偏小；而位移有限单元法中对位移模式的限制使得单元刚度被夸大了，从

而上述两种因素引起的误差被部分地抵消了。此外，精确积分通常由插值函数

中非完全项的最高方次所要求，而决定有限元精度的通常是完全多项式的方次。

非完全项往往不能提高精度，反而可能带来不好的影响。采用减缩积分可能使

积分精度正好保证完全多项式方次的要求，从而改善精度。

现在来看等效节点荷载积分。如上所述，对于２０节点空间单元，一般Ｎｉ是每个局部坐标的二次式，而在Ｊ中每个局部坐标可能以５次幂出现。因此，当

体力为常数时，被积函数中每个局部坐标的幂次可能为ｍ＝２＋５＝７。此时，一

维积分点数为Ｎ＝（ｍ＋１）／２＝４，空间问题则为４×４×４。

（２）Ｋ非奇异性要求

为使求解方程组Ｋａ＝Ｐ成为可能，引入强制边界条件后的Ｋ 必须是非奇

异的。Ｋ非奇异的条件是｜Ｋ｜≠０，或者说Ｋ是满秩的，即其所有行（列）都是相

互独立的。

如果采用精确积分方案计算Ｋ，则其非奇异性要求总是能够得到满足，因

为任何非刚体位移模式对应的精确应变能ａＴＫａ总是大于零的，这就意味着Ｋ必然是正定的。然而，当采用减缩积分时，Ｋ 的非奇异性并不是必然的。例如

有些情况下，对应于某种非刚体位移模式，减缩积分时高斯点上的应变正好等于

零，此时的应变能当然也为零，这种非刚体位移模式称为零能模式。因此，采用

减缩积分时，必须检查Ｋ 的非奇异性是否能满足。

为了讨论Ｋ的非奇异性，先让我们考虑矩阵秩的问题。所谓矩阵的秩就是

矩阵中独立的行（列）数。根据矩阵理论

若Ｃ＝ＡＢ，则秩Ｃ≤ｍｉｎ（秩Ａ，秩Ｂ）

９８５６ 数 值 积 分

若Ｃ＝Ａ＋Ｂ，则秩Ｃ≤秩Ａ＋秩Ｂ我们知道，Ｋ＝∑

ｅＫｅ，而单元刚度矩阵可表示为

Ｋｅ＝∑ｎｇ

ｉ＝１ＨｉＢＴｉＤＢｉＪｉ

其中，ｎｇ为Ｇａｕｓｓ积分点数；Ｈｉ为权重之积。不难发现，Ｄｄ×ｄ和Ｂｄ×ｎｆ（ｄ与维

数有关，二维问题为３，三维问题为６；ｎｆ为单元自由度数）的秩均为ｄ。如果单

元总数为Ｍ，则

秩Ｋ≤Ｍ·ｎｇ·ｄ若Ｋ的阶数即ａ中未知量的数目为Ｎ，则Ｋ非奇异的必要条件是

Ｍ·ｎｇ·ｄ≥Ｎ事实上，在刚度矩阵的数值积分中，我们是用节点参数ａ之间独立线性关

系的加权和来代替积分。因此，如果ａ中未知量的数目超过了所有积分点处提

供的独立关系的数目，则矩阵Ｋ必定奇异。具体分析时还要考虑约束情况。例

如平面问题中，每个积分点处采用３个独立关系，独立关系的总数为３ｎｇＭ。如

果系统自由度总数为Ｎ，被约束的自由度数为Ｎｃ，则未知量的总数为Ｎ－Ｎｃ。

图５１０所示为两个单元的平面结构，其中３个自由度被约束以便消除刚体

位移。采用减缩积分方案，Ｑ４单元用单点积分，而Ｑ８单元用４点积分。计算表

明（表５４），Ｑ４单元的Ｋ是奇异的，而Ｑ８单元则无奇异性。

图５１０ 积分方案

表５４ Ｇａｕｓｓ积分数值

单 元 自 由 度 数 独 立 关 系 数 奇 异 性

Ｑ４ ２×６－３＝９ ３×１×２＝６ 奇异

Ｑ８ ２×１３－３＝２３ ３×４×２＝２４ 非奇异

５７ 结 语

等参单元的提出是有限单元法极为重要的实质性进展之一。采用等参单元

有三方面的优越性。其一，有些工程结构的形状比较复杂，例如拱坝、汽轮机的

０９ 第５章 等参单元

叶片等具有曲面边界。如果用直边单元离散这些结构将需要大量的单元才能得

到较好的近似，而曲边的等参单元可非常方便地离散复杂结构。其二，如果在单

元内多取些节点，单元便具有较多的位移自由度，从而就能够插值表示较复杂的

单元内部位移场，这样也就提高了单元本身的精度。第三，等参单元刚度矩阵、

荷载矩阵的计算是在规则单元域内进行的，因此不管被积函数多么复杂都可方

便地采用标准化数值积分。

习 题

５１ 何谓等参单元？等参单元具有哪些优越性？在等参单元计算中，数值积分

的阶次是否越高越好？为什么？

５２ 在实际问题中，一维构件可能与多维构件同时出现在结构中。例如钢筋混

凝土结构中的钢筋、孔口边缘的加劲环等等。这样，在结构有限元分析中，

需同时采用一维单元和多维单元。试分别构造２节点、３节点一维等参单

元（母单元如图所示）的形函数，并指出通过等参变换后相应的子单元的曲

线类型。

答案：２节点单元 Ｎ１＝（１－ξ）， Ｎ２＝（１＋ξ）；

３节点单元 Ｎ１＝－ξ（１－ξ）／２， Ｎ２＝ξ（１＋ξ）／２， Ｎ３＝１－ξ２。

题５２图

５３ 试求２０节点六面体等参单元的Ｎｉξ

。

答案：Ｎｉξ＝ξｉ（１＋η０）（１＋ζ０）（２ξ０＋η０＋ζ０－１）ξ２ｉη２ｉζ２ｉ／８

－ξ（１＋η０）（１＋ζ０）（１－ξ２ｉ）η２ｉζ２ｉ／２＋ξｉ（１－η２）（１＋ζ０）（１－η２ｉ）ζ２ｉξ２ｉ／４＋ξｉ（１－ζ２）（１＋η０）（１－ζ２ｉ）ξ２ｉη２ｉ／４

５４ 试计算Ｑ４单元的Ｊ及其单元中心处的值。

答案：Ｊ｜ξ＝０，η＝０＝Ａ／４， Ａ是单元的面积。

５５ 试回答下列问题并说明理由：Ｑ４单元能否用和Ｒ４单元相同的位移函数，即

ｕ＝α１＋α２ｘ＋α３ｙ＋α４ｘｙｖ＝α５＋α６ｘ＋α７ｙ＋α８ｘ

烍烌

烎ｙ

答案：不能，因为上述位移函数不能满足协调性要求。

５６ 何谓位移的零能模式？在什么条件下会发生零能模式？

１９习 题

第６

章

杆系结构

杆系结构就是若干个杆件通过节点相互联结而成的结构体系。杆件在节点

处铰接时称为桁架，刚接时称为刚架；全部杆件在同一平面内且杆件截面主轴以

及所承受的荷载也在该平面内时称为平面杆系结构；否则称为空间杆系结构。

通常将承受轴力或扭矩的杆件称为杆，而将承受横向力和弯矩的杆件称为

梁。在有限单元法中，桁架采用杆单元离散，刚架采用梁单元离散。杆单元公式

推导比较简单，也可通过梁单元凝聚而成，对此不予讨论而是留作练习。本章包

括下述内容：（１）基于工程梁理论构造平面工程梁单元；（２）基于剪切梁理论构造

平面剪切梁单元；（３）假设剪应变场构造通用梁单元；（４）基于工程梁理论构造空

间梁单元。

６１ 工程梁单元

６１１ 工程梁理论

梁弯曲理论（包括工程梁理论和剪切梁理论）在弹性力学基本假定的基础上

引入了某些附加假定，将问题归结为求解中性轴位移，而梁内任一点的位移都可

以通过中性轴位移来表示。

图６１ 工程梁理论假设

（１）基本假设

图６１ａ所示为平面梁。工程梁理论（也称为Ｅｕｌｅｒ?Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ梁理论）引入了

两个基本假设，即平截面假设和横向纤维无挤压假设。前者认为梁的横截面变

形后仍为平面，且垂直于变形后的中性轴（图６１ｂ）。该假设意味着横向剪切应

变γｘｙ＝０；后者认为梁的横向纤维无挤压，即εｙ＝０。

（２）梁内位移

根据上述假设，可以用中性轴的轴向位移ｕ、横向位移即挠度ｖ、截面转角

θ表示梁内任一点的位移珔ｕ，珔ｖ。应该指出，角位移并非节点的实际位移，而是代

表通过节点的杆件横截面绕ｚ坐标轴的转角。

线位移分量以沿坐标轴正向为正，截面转角θ以逆时针为正。显然，转角θ引起的轴向位移为－θｙ，轴力引起的轴向位移只与ｘ有关，并以ｆｕ（ｘ）表示。

这样，梁内任一点的轴向位移为

珔ｕ＝ｕ－θｙ＝ｆｕ（ｘ）－θｙ （６１）

根据横向纤维无挤压假设，有

εｙ＝珔ｖｙ＝０

（６２）

故

珔ｖ＝ｖ＝ｆｖ（ｘ） （６３）

根据平截面假设，挠度与转角不是相互独立的变量，而是满足下述关系

θ＝ｖｘ＝ｄｖｄｘ

（６４）

（３）应变和应力

由于横向线应变εｙ和横向剪应变γｘｙ均为零，故梁内应变仅有一个分量不

为零，即

εｘ＝珔ｕｘ＝

ｕｘ－ｙ

θｘ＝

ｄｕｄｘ－ｙ

ｄ２ｖｄｘ２

（６５）

梁内横向应力σｙ和横向剪应力τｘｙ实际上并不为零，因为它们是平衡所必

需的。但因εｙ和γｘｙ为零，故计算应变能时涉及不到σｙ 和τｘｙ。这样，梁内便仅

有一个不为零的独立分量，即σｘ。此外，σｙ为次要应力，在本构方程中可忽略它

的影响，故有

σｘ＝Ｅεｘ （６６）

６１２ 结构离散

（１）单元和节点

在杆系结构有限元分析中，通常以自然杆件为单元，杆件交汇点为节点。但

３９６１ 工程梁单元

当杆件截面变化、杆件中间作用有集中荷载或为了提高计算精度时，可适当分割

杆件或增设中间节点。例如，变截面杆件可用若干直梁单元离散处理。结构离

散化以后，对节点和单元进行编号，如图６２ａ所示。

图６２ 刚架与单元

（２）坐标系

在杆系结构有限元分析中，需采用整体坐标系珔ｘ珔ｙ和局部坐标系ｘｙ。前者

是为整个结构建立的统一坐标系；而后者则是为各个单元建立的。如果单元的

两个端点采用局部码１和２，那么由节点１到节点２的方向规定为杆轴正方向。

杆轴的正方向取为ｘ轴的正方向，杆轴逆时针旋转９０°后的方向取为ｙ轴的正

方向。

（３）节点位移和节点力

图６２ｂ所示为刚架结构中的一个典型单元。杆长为ｌ，截面面积为Ａ，截

面惯性矩为Ｉ，弹性模量为Ｅ。在平面刚架中，每个节点的节点位移和节点力各

有３个分量，在局部坐标系中分别表示为

ａｉ＝

ｕｉｖｉθ烅烄

烆烍烌

烎ｉ

， Ｆｉ＝

ＵｉＶｉＭ烅烄

烆烍烌

烎ｉ

（ｉ＝１，２）

其中，ｕ为轴向位移，Ｕ 为轴力，沿ｘ轴正方向为正；ｖ为横向位移，Ｖ 为剪力，

沿ｙ轴正方向为正；θ为角位移，Ｍ 为弯矩，逆时针旋转为正。单元节点位移向

量和单元节点力向量各有６个分量，即

ａｅ＝ａ１ａ烅烄

烆烍烌

烎２， Ｆｅ＝

Ｆ１Ｆ烅烄

烆烍烌

烎２

整体坐标系中的单元节点位移向量和单元节点力向量分别表示为

ａｅ＝ａ１ａ烅烄

烆烍烌

烎２， Ｆｅ＝

Ｆ１Ｆ烅烄

烆烍烌

烎２

４９ 第６章 杆系结构

６１３ 单元分析

首先建立局部坐标系中的单元刚度矩阵Ｋｅ，然后通过坐标变换将其转换成

整体坐标系中的单元刚度矩阵Ｋｅ。

（１）位移函数

由于梁单元共有６个节点位移自由度，故位移函数应包含６个待定系数。

在小变形条件下，根据材料力学，梁单元在均布荷载作用下，横向位移即挠度的

精确解是三次多项式；横向位移和转角都不影响轴向力。因此，工程梁单元的中

性轴位移可假设为

ｕ＝α１＋α２ｘ

ｖ＝α３＋α４ｘ＋α５ｘ２＋α６ｘ烍烌

烎３

而

θ＝ｄｖｄｘ＝α４＋２α５ｘ＋３α６ｘ２

将两端点的位移分量和坐标代入上式，求解方程组可得待定系数；再将求得的系

数代入上式，可得

ｕｖ烅烄

烆烍烌

烎θ＝

Ｎ１ ０ ０ Ｎ２ ０ ００ Ｎ３ Ｎ４ ０ Ｎ５ Ｎ６０ ０ Ｎ１ ０ ０ Ｎ

熿

燀

燄

燅２

ａｅ （６７）

其中

Ｎ１＝１－ξ， Ｎ２＝ξＮ３＝１－３ξ２＋２ξ３， Ｎ４＝（ξ－２ξ２＋ξ３）ｌ

Ｎ５＝３ξ２－２ξ３， Ｎ６＝（－ξ２＋ξ３）烍烌

烎ｌ

（６８）

而ξ为归一化坐标，即

ｘ＝ｌξ （６９）

梁单元的位移场为

珔ｕ＝珔ｕ珔｛ ｝ｖ ＝

ｕ－ｙｄｖｄｘ烅烄

烆烍烌

烎ｖ＝Ｎａｅ （６１０）

其中

５９６１ 工程梁单元

Ｎ＝Ｎ１ －ｙＮ′３ －ｙＮ′４ Ｎ２ －ｙＮ′５ －ｙＮ′６０ Ｎ３ Ｎ４ ０ Ｎ５ Ｎ

［ ］６

（６１１）

（２）应变和应力

将式（６１０）代入平面问题的几何方程，只有εｘ 不为零，且

ε＝ ε｛ ｝ｘ ＝ 珔ｕ｛ ｝ｘ ＝ ｄｕ

ｄｘ－ｙｄ２ｖｄｘ｛ ｝２ ＝Ｂａｅ （６１２）

其中几何矩阵为

Ｂ＝［Ｎ′１ －ｙＮ″３ －ｙＮ″４ Ｎ′２ －ｙＮ″５ －ｙＮ″６］ （６１３）

根据Ｈｏｏｋｅ定律，可得到用节点位移表示的单元应力

σ＝｛σｘ｝＝Ｄε＝ＤＢａｅ （６１４）

其中弹性矩阵为

Ｄ＝［Ｅ］ （６１５）

（３）局部坐标系Ｋｅ

根据普遍公式（１１８），单元刚度矩阵为

Ｋｅ＝∫ΩｅＢＴＤＢｄΩ＝∫ＡｄＡ∫ｌ

０ＢＴＤＢｄｘ＝ｌ∫ＡｄＡ∫

１

０ＢＴＤＢｄξ （６１６）

其中，Ａ是梁的横截面面积。

将式（６１３），（６１５）代入上式，经运算得到

Ｋｅ＝

ＥＡｌ ０ ０ －ＥＡｌ ０ ０

１２ＥＩｌ３

６ＥＩｌ２ ０ －１２ＥＩｌ３

６ＥＩｌ２

４ＥＩｌ ０ －６ＥＩｌ２

２ＥＩｌ

对 ＥＡｌ ０ ０

称 １２ＥＩｌ３ －６ＥＩｌ２

４ＥＩ

熿

燀

燄

燅ｌ

（６１７）

其中，Ｉ＝∫Ａｙ２ｄＡ是截面对主轴的惯性矩。

６９ 第６章 杆系结构

（４）铰节点的处理

在刚架结构中有时会遇到铰节点，例如一端刚接而另一端铰接，或两端均为

铰接。因铰接端弯矩为零，故只有位移自由度参加整体集成，而转动自由度不参

加集成。这样的自由度属于内部自由度，在整体集成前应在单元层次上将其凝

聚掉。为此，将该单元的刚度方程表示如下

Ｋ０ Ｋ０ｃＫｃ０ Ｋ

［ ］ｃｃ

ｅ ａ０ａ烅烄

烆烍烌

烎ｃ

ｅ

＝Ｆ０Ｆ烅烄

烆烍烌

烎ｃ

ｅ（ａ）

其中，ａｃ是需凝聚掉的自由度；ａ０是需保留的自由度。单元刚度矩阵和节点力

向量也表示成了相应的分块形式。

从式（ａ）的第二式可解得

ａｃ＝Ｋ－１ｃｃ（Ｆｃ－Ｋｃ０ａ０） （ｂ）

将上式代入式（ａ）的第一式，可得凝聚后的单元方程

Ｋａ０＝Ｆ０ （６１８）

其中

Ｋ ＝Ｋ０－Ｋ０ｃＫ－１ｃｃＫｃ０ （６１９）

Ｆ０ ＝Ｆ０－Ｋ０ｃＫ－１ｃｃＦｃ （６２０）

对于节点ｉ刚接、节点ｊ铰接的单元，凝聚后的单元刚度矩阵为

Ｋ ＝

ＥＡｌ ０ ０ －ＥＡｌ ０

３ＥＩｌ３

３ＥＩｌ２ ０ －３ＥＩｌ３

对 ３ＥＩｌ ０ －３ＥＩｌ２

ＥＡｌ ０

称 ３ＥＩｌ

熿

燀

燄

燅３

为统一起见，Ｋ可通过增加零元素的行和列而恢复原来的阶数。例如，上式增

加零元素的第６行和第６列得

７９６１ 工程梁单元

Ｋｅ＝

ＥＡｌ ０ ０ －ＥＡｌ ０ ０

３ＥＩｌ３

３ＥＩｌ２ ０ －３ＥＩｌ３ ０

３ＥＩｌ ０ －３ＥＩｌ２ ０

对 ＥＡｌ ０ ０

称 ３ＥＩｌ３

熿

燀

燄

燅

０

０

（６２１）

如果两端均为铰接，则梁单元退化为杆单元，凝聚后的刚度矩阵为

Ｋｅ＝

ＥＡｌ ０ ０ －ＥＡｌ ０ ０

０ ０ ０ ０ ００ ０ ０ ０

对 ＥＡｌ ０ ０

称 ０ ０

熿

燀

燄

燅０

（６２２）

（５）坐标变换

在整体分析中，对所有单元都应采用同一个坐标系即整体坐标系珔ｘ珔ｙ，否则

围绕同一节点的不同单元对节点施加的节点力不能直接相加。因此，在进行整

体分析之前，还需要进行坐标转换工作，把局部坐标系中得出的单元刚度方程转

换成整体坐标系中的单元刚度方程，从而得出整体坐标系中的单元刚度矩阵。

从图６３可知，整体坐标系中的节点力与局部坐标中的节点力具有如下转

换关系

图６３ 坐标转换

Ｕ１＝Ｕ１ｃｏｓα＋Ｖ１ｓｉｎα

Ｖ１＝－Ｕ１ｓｉｎα＋Ｖ１ｃｏｓα

Ｍ１＝Ｍ１Ｕ２＝Ｕ２ｃｏｓα＋Ｖ２ｓｉｎα

Ｖ２＝－Ｕ２ｓｉｎα＋Ｖ２ｃｏｓα

Ｍ２＝Ｍ２

上述各式可简写成

８９ 第６章 杆系结构

Ｆｅ＝ＴＦｅ （６２３）

其中，Ｔ为转换矩阵，即

Ｔ＝λ ００

［ ］λ＝

ｃｏｓα ｓｉｎα ０ ０ ０ ０－ｓｉｎα ｃｏｓα ０ ０ ０ ００ ０ １ ０ ０ ００ ０ ０ ｃｏｓα ｓｉｎα ００ ０ ０ －ｓｉｎα ｃｏｓα ０

熿

燀

燄

燅０ ０ ０ ０ ０ １

（６２４）

单元节点位移向量之间也存在着类似的关系

ａｅ＝Ｔａｅ （６２５）

（６）整体坐标系Ｋｅ

根据普遍公式（１１７），局部坐标系下的单元刚度方程为

Ｆｅ＝Ｋｅａｅ （６２６）

将式（６２３）和（６２５）代入上式，可得

ＴＦｅ＝ＫｅＴａｅ

两边各乘以Ｔ－１，得到

Ｆｅ＝Ｔ－１ＫｅＴａｅ

不难证明Ｔ是正交矩阵，即Ｔ－１＝ＴＴ，故

Ｆｅ＝Ｋｅａｅ （６２７）

其中，Ｋｅ为整体坐标系中的单元刚度矩阵，即

Ｋｅ＝ＴＴＫｅＴ （６２８）

式（６２７）可写成分块矩阵形式如下

Ｆ１Ｆ烅烄

烆烍烌

烎２

ｅ

＝ｋ１１ ｋ１２ｋ２１ ｋ

［ ］２２

ｅ ａ１ａ烅烄

烆烍烌

烎２

ｅ

（６２９）

式中的子块ｋｉｊ是３×３阶矩阵，它是联系节点位移ａｊ与节点力Ｆｉ的刚度子矩

阵。

（７）等效节点荷载

根据普遍公式（１２０），对于作用在梁上的面力ｐ，局部坐标系下的等效节点

荷载为

９９６１ 工程梁单元

Ｐｅｐ＝∫ΓσＮＴ珔ｐｄΓ＝∫ｌＮＴ珔ｐｂｄｘ＝ｌ∫

１

０ＮＴ珔ｐｂｄξ

通常，梁上的分布荷载以线荷载的形式给出，即珔ｑ＝珔ｐｂ。于是，上式可写成

Ｐｅｐ＝∫ｌＮＴ珔ｑｄｓ＝ｌ∫１

０ＮＴ珔ｑｄξ （６３０）

此外，节点荷载在局部坐标系与整体坐标系之间的转换关系与节点力的完

全相同，即

Ｐｅｐ＝ＴＰｅｐ （６３１）

图６４所示为一平面刚架，在其中的水平杆件上作用有均布线荷载ｑ。为

求其等效节点荷载，将珔ｑ＝［０ －ｑ］Ｔ及式（６１７）代入式（６３１），有

Ｐｅｐ＝－ｑｌ∫１

０［０ Ｎ３ Ｎ４ ０ Ｎ５ Ｎ６］Ｔｄξ

＝［０－ｑｌ２

－ｑｌ２

１２０－ｑｌ２

ｑｌ２

１２］Ｔ

图６４ 等效节点荷载

６１４ 整体分析与数值求解

（１）整体分析

采用直接刚度法，将整体坐标系下的单元刚度矩阵Ｋｅ 和单元节点荷载向

量Ｐｅ集成为整体刚度矩阵Ｋ和整体节点荷载向量Ｐ，并得到整体刚度方程

Ｋａ＝Ｐ （６３２）

其中，ａ为整体节点位移向量。

（２）数值求解

引入边界条件，由式（６３２）解得整体节点位移向量ａ。为计算单元ｅ的杆

件内力，从ａ中抽取出该单元的整体坐标系下单元节点位移向量ａｅ。根据式

（６２３），节点位移引起的杆端力为

００１ 第６章 杆系结构

Ｆｅ＝ＴＦｅ＝ＴＫｅａｅ

再考虑到荷载引起的固端力，则杆端力为

Ｆｅ＝ＴＫｅａｅ－Ｐｅｑ （６３３）

如果需要计算支座反力，只要将支座处的杆端内力转换成整体坐标系中的分量

即可。

６２ 剪切梁单元

６２１ 剪切梁理论

（１）基本假设

在工程梁理论中，假设截面转角为挠度的导数，故两变量并不相互独立，横

向剪应变为零。这个假设只在梁的跨高比ｌ／ｔ较大时成立，而当ｌ／ｔ＜５时需考

虑剪切的影响。于是，提出了剪切梁理论（也称为Ｔｉｅｍｏｓｈｅｎｋｏ梁理论）。该理

论也假设横向纤维无挤压，这一点与工程梁理论相同。另一个假设认为法平面

变形后仍为平面，但不再垂直于变形后的中性轴（图６５）。

图６５ 剪切梁理论假设

（２）基本方程

对于剪切梁，根据横向纤维无挤压假设，仍然有εｙ＝０及

珔ｖ＝ｖ＝ｆｖ（ｘ） （６３４）

梁内任一点的轴向位移也还具有下述形式

珔ｕ＝ｕ－θｙ＝ｆｕ（ｘ）－θｙ （６３５）

只是转角θ不再是挠度的导数，而且（根据几何方程）

γｘｙ＝珔ｖｘ＋

珔ｕｙ＝

ｄｖｄｘ－θ

（６３６）

应变分量εｘ 为

１０１６２ 剪切梁单元

εｘ＝珔ｕｘ＝

ｄｕｄｘ－ｙ

ｄθｄｘ

（６３７）

同前面工程梁的分析，梁内应力σｘ 为

σｘ＝Ｅεｘ （６３８）

此外，还需考虑剪应力

τｘｙ＝Ｇγｘｙ （６３９）

在结构有限元分析中，可在工程梁单元的基础上考虑剪切变形的影响；也可

以通过挠度和转角各自独立插值直接构造剪切梁单元。现分别加以介绍。

６２２ 考虑剪切影响

（１）应变和应力

根据前面的分析，不考虑横向剪切变形影响时，应变及应变矩阵分别为式

（６１２）和（６１３）。现以Ｂｂ表示其中的Ｂ，ａｂ表示其中的ａｅ，则

εｘ＝Ｂｂａｂ （ａ）

设横向剪切变形仅对挠度产生影响，附加位移场及附加的梁端挠度表示为

ｕｓ＝０ｖ烅烄烆烍烌烎ｓ

， ａｓ＝ｖｓ１ｖ烅烄

烆烍烌

烎ｓ２（ｂ）

则ｖｓ可按下式插值

ｖｓ＝Ｎ１ｖｓ１＋Ｎ２ｖｓ２ （６４０）

将式（ｂ）表示的位移场代入平面几何方程，仅产生剪应变

γｘｙ＝ Ｎ′１ Ｎ′［ ］２ｖｓ１ｖ烅烄

烆烍烌

烎ｓ２＝Ｂｓａｓ （ｃ）

注意到式（ａ）和（ｃ），梁单元的应变为

ε＝εｘγｘ烅烄

烆烍烌

烎ｙ＝ＢｂａｂＢｓａ烅烄

烆烍烌

烎ｓ（６４１）

单元应力为

σ＝Ｄε＝Ｅ ００ Ｇ／［ ］

ｋＢｂａｂＢｓａ烅烄

烆烍烌

烎ｓ＝

ＥＢｂａｂ（Ｇ／ｋ）Ｂｓａ烅烄

烆烍烌

烎ｓ（６４２）

其中，Ｇ为剪切模量；ｋ为考虑剪应力不均匀分布的系数。由式（ｃ）可知，剪应变

２０１ 第６章 杆系结构

和剪应力在截面上均匀分布，而实际上是抛物线分布，因此需要加以修正。根据

修正后的剪切应变能等于真实应变能的原则，可计算出校正因子。例如，对于矩

形截面梁，ｋ＝６／５；圆形截面时，ｋ＝１０／９。

（２）单元刚度矩阵

将虚位移原理应用到单元上，有

∫ΩｅδεＴσｄΩ＝δａｅＦｅ （６４３）

其中，ａｅ和Ｆｅ分别为同时考虑弯曲和剪切时的单元节点位移向量和单元节点

力向量，且ａｅ可表示为

ａｅ＝ａｂ＋Ａａｓ （６４４）

Ａ＝０ １ ０ ０ ０ ０［ ］０ ０ ０ ０ １ ０

Ｔ（６４５）

将式（６４１），（６４２），（６４４）代入式（６４３）得

δａｅＴ（Ｋｂａｅ－ＫｂＡａｓ）＋δａＴｓ（Ｋｓａｓ＋ＡＴＫｂＡａｓ－ＡＴＫｂａｅ）＝δａｅＴＦｅ

其中

Ｋｂ＝∫ΩｅＥＢＴｂＢｂｄΩ， Ｋｓ＝∫Ωｅ（Ｇ／ｋ）ＢＴｓＢｓｄΩ （６４６）

注意到δａｅ和δａｓ的任意性，有

Ｋｂａｅ－ＫｂＡａｓ＝Ｆｅ （６４７）

（Ｋｓ＋ＡＴＫｂＡ）ａｓ＝ＡＴＫｂａｅ （６４８）

为确定联系ａｅ和Ｆｅ的单元刚度矩阵，须求出ａｓ。不难证明，根据式（６４８）

无法求得ａｓ，因为其系数矩阵为奇异矩阵。根据下述平衡关系

Ｑ＝ＧＡｋγｘｙ＝ＧＡｋｄｖｓｄｘ ＝

ＧＡｋｌ

（ｖｓ２－ｖｓ１）

Ｑ＝ｄＭｄｘ ＝ｄｄｘ －ＥＩ

ｄ２ｖｄｘ（ ）２ ＝－ＥＩｄ

３ｖｂｄｘ３ ＝

６ＥＩｌ３

［２（ｖｂ２－ｖｂ１）－ｌ（θ１＋θ２）］

可得

ｖｓ２－ｖｓ１＝２ｂ（ｖｂ２－ｖｂ１）－ｌｂ（θ１＋θ２） （６４９）

其中

ｂ＝１２ｋＥＩＧＡｌ２（６５０）

３０１６２ 剪切梁单元

因

ｖ２－ｖ１＝ｖｂ２－ｖｂ１＋ｖｓ２－ｖｓ１ （６５１）

由式（６４９）和（６５１）可得

ｖｓ２－ｖｓ１＝ｂ１＋ｂ

（ｖ２－ｖ１）－ｌｂ

２（１＋ｂ）（θ１＋θ２） （６５２）

将上式代入式（６４７），可得考虑横向剪切变形后的单元刚度矩阵为

Ｋｅ＝

ＥＡｌ ０ ０ －ＥＡｌ ０ ０

１２ＥＩ（１＋ｂ）ｌ３

６ＥＩ（１＋ｂ）ｌ２ ０ － １２ＥＩ

（１＋ｂ）ｌ３６ＥＩ

（１＋ｂ）ｌ２

（４＋ｂ）ＥＩ（１＋ｂ）ｌ ０ － ６ＥＩ

（１＋ｂ）ｌ２（２－ｂ）ＥＩ（１＋ｂ）ｌ

对 ＥＡｌ ０ ０

称 １２ＥＩ（１＋ｂ）ｌ３ － ６ＥＩ

（１＋ｂ）ｌ２

（４＋ｂ）ＥＩ（１＋ｂ）

熿

燀

燄

燅ｌ（６５３）

（３）等效节点荷载

弯曲变形和剪切变形引起的挠度分别见式（６７）和（６４０），即

ｖｂ＝［０ Ｎ３ Ｎ４ ０ Ｎ５ Ｎ６］ａｂ＝Ｎｂａｂ （ａ）

ｖｓ＝［Ｎ１ Ｎ２］ａｓ＝Ｎｓａｓ （ｂ）

假设梁上分布线荷载垂直于梁轴线，大小为ｑ。根据虚功等效原则，有

δａｅＴＰｅｐ＝ｌ∫１

０δｖＴｂｑｄξ＋ｌ∫

１

０δｖＴｓｑｄξ （ｃ）

将式（ａ），（ｂ）代入式（ｃ）

δａｅＴＰｅｐ＝ｌ∫１

０δａＴｂＮＴｂｑｄξ＋ｌ∫

１

０δａＴｓＮＴｓｑｄξ

再考虑到式（６４４），得

δａｅＴＰｅｐ＝δａｅＴｌ∫１

０ＮＴｂｑｄ（ ）ξ ＋δａＴｓｌ∫

１

０ＮＴｓｑｄξ－ｌＡＴ∫

１

０ＮＴｂｑｄ（ ）ξ

经计算不难验证，上式中

４０１ 第６章 杆系结构

ｌ∫１

０ＮＴｓｑｄξ－ｌＡＴ∫

１

０ＮＴｂｑｄξ＝０ （６５４）

从而有

Ｐｅｐ＝ｌ∫１

０ＮＴｂｑｄξ （６５５）

可见，横向剪切变形对等效节点荷载没有影响。

６２３ 挠度和转角独立插值

为说明问题简洁清晰起见，不考虑轴向力引起的轴向位移。对于具有ｍ 个

节点的等参梁单元（图６６），挠度和转角各自独立插值，即

ｖ＝∑ｍ

ｉ＝１Ｎｉｖｉ， θ＝∑

ｍ

ｉ＝１Ｎｉθｉ （６５６）

其中，Ｎｉ为形函数。例如，对于２节点等参梁单元

Ｎ１＝１２

（１－ξ）， Ｎ２＝１２

（１＋ξ）

图６６ 梁单元的母单元

根据梁理论的基本假设，单元位移场为

珔ｕ＝－ｙθ＝－ｙ∑ｍ

ｉ＝１Ｎｉθｉ， 珔ｖ＝ｖ＝∑

ｍ

ｉ＝１Ｎｉｖｉ

或

珔ｕ＝珔ｕ珔｛ ｝ｖ ＝ Ｎ１ Ｎ２ ⋯ Ｎ［ ］ｍａｅ＝Ｎａｅ

其中

Ｎｉ＝０ －ｙＮｉＮｉ烅烄

烆烍烌

烎０， ａｅ＝

ａ１…

ａ烅烄

烆烍烌

烎ｍ

， ａｉ＝ｖｉθ烅烄

烆烍烌

烎ｉ

其余的步骤将进入标准程序。例如，将位移函数代入平面几何方程，可得单元应变

ε＝εｘγｘ烅烄

烆烍烌

烎ｙ＝ｙＢｂ１ ｙＢｂ２ ⋯ ｙＢｂｍＢｓ１ Ｂｓ２ ⋯ Ｂｓ

［ ］ｍａｅ＝

ｙＢｂＢ

［ ］ｓａｅ＝Ｂａｅ

５０１６２ 剪切梁单元

其中

Ｂｂｉ＝ ０ －ｄＮｉｄ［ ］ｘ ， Ｂｓｉ＝

ｄＮｉｄｘ －Ｎ［ ］ｉ

在本构方程中，不考虑次要应力σｙ的影响，故单元应力为

σ＝σｘτｘ烅烄

烆烍烌

烎ｙ＝Ｅ ００ Ｇ／［ ］

ｋεｘγｘ烅烄

烆烍烌

烎ｙ＝ＤＢａｅ

单元刚度矩阵为

Ｋｅ＝∫ΩｅＢＴＤＢｄΩ＝Ｋｅｂ＋Ｋｅｓ （６５７）

其中

Ｋｅｂ＝ＥＩｌ２∫

１

－１ＢＴｂＢｂｄξ， Ｋｅｓ＝

ＧＡｌ２ｋ∫

１

－１ＢＴｓＢｓｄξ

分别为弯曲和横向剪切对应的刚度。

单元刚度方程经集成，得整体刚度方程

Ｋａ＝Ｐ （６５８）

其中

Ｋ＝Ｋｂ＋Ｋｓ＝∑ｅＫｅｂ＋∑

ｅＫｅｓ

６３ 通用梁单元

６３１ 剪切闭锁现象

在工程梁单元中，应变为挠度的二阶导数。为保证收敛，要求位移函数的一

阶导数在单元交界处连续，即Ｃ１连续。可见，工程梁单元是Ｃ１型单元。由于

单元交界是节点处的截面，而节点处的线位移和转角（即挠度的一阶导数）均为

节点位移参数，故梁单元的协调性总是能够满足。然而，工程梁单元未考虑横向

剪切变形的影响，故不适用于高度较大的梁。

在工程梁单元基础上考虑剪切变形对挠度影响而构造出来的梁单元仍属于

Ｃ１型单元；而挠度和转角各自独立插值构造的等参梁单元则属于Ｃ０型单元，

因为应变表达式中不再包含位移的二阶导数。人们期望这种格式简单的Ｃ０型

单元能够适用于各种高度的梁。然而计算表明，当梁的高度与梁的长度之比ｔ／ｌ趋于零时，这种单元将出现剪切闭锁现象，即算得的挠度趋于零。对此做如下简

要说明：

６０１ 第６章 杆系结构

经过对式（６５７）的分析可知，当ｔ／ｌ＜＜１时，刚度矩阵中的剪切项与弯曲项

的量级之比为α＝（ｌ／ｔ）２。可见，当ｔ／ｌ→０时，α→∞，从而弯曲项可忽略不计。

若令Ｋｓ＝αＫ′ｓ，则根据式（６５８），有

Ｋ′ｓａ≈Ｐ／α≈０

根据线性代数方程组的性质可知，除非Ｋｓ是奇异的，否则只能有零解，即

出现剪切闭锁。之所以出现这种现象，是因为构造单元时假设挠度和转角是相

互独立的。实际上，当梁的高度很小时，ｖ与θ并不相互独立；此时采用同阶插

值会引起虚假剪应变。

为克服剪切闭锁，以使Ｃ０型单元适用于各种高度的梁，可采用减缩积分方

案；也可通过其他方式构造通用单元。以下先讨论减缩积分方案，然后介绍通过

假设剪应变场来构造通用梁单元的方法，这种方法将给构造通用板单元以重要

启示（文献４８）。

６３２ 减缩积分方案

当ｔ／ｌ＜＜１时，如果Ｋｓ奇异而Ｋ非奇异，则式（６５８）有非零解。采用减缩

积分方案，就是为了实现这一设想。现以２节点等参梁单元为例加以说明。

对于２节点单元，欲对Ｋｅｓ精确积分，需采用２点Ｇａｕｓｓ积分。减缩积分则

为１点积分，此时可得

Ｋｅｓ＝ＧＡｋｌ

１ ｌ／２ －１ ｌ／２ｌ／２ ｌ２／４ －ｌ／２ ｌ２／４－１ －ｌ／２ １ －ｌ／２ｌ／２ ｌ２／４ －ｌ／２ ｌ２／

熿

燀

燄

燅４

可以检验，上述Ｋｅｓ中的任何一个二阶子行列式都等于零，故其秩为１。若共有

Ｍ 个单元，则秩Ｋｓ≤Ｍ。通常情况下，引入位移约束后的自由度数Ｎ 大于单

元数Ｍ，且秩Ｋｓ＜Ｎ，即Ｋｓ是奇异的。

可以检验，当采用１点积分方案（对于Ｋｅｂ是精确积分）时，Ｋｅｂ的秩也是１。

这样，Ｋｅ的秩为２，而秩Ｋ≤２Ｍ，Ｋ 的非奇异性通常是有保证的。

图６７ 梁单元

６３３ 假设剪应变法

对于图６７所示的梁单元，设挠度ｖ、

转角θ和横向剪应变γ分别为轴向坐标的

三次式、二次式和常数，表达式为（不考虑轴

向力引起的轴向位移）

７０１６３ 通用梁单元

ｖ＝ｖ１（１－ξ）＋ｖ２ξ＋α１ｌξ（１－ξ）＋α２ｌξ（１－ξ）（１－２ξ）

θ＝θ１（１－ξ）＋θ２ξ＋α３ξ（１－ξ）

γ＝γ烍烌

烎０

（ａ）

其中，α１，α２，α３，γ０为待定常数。显然，上式中已引入端部条件，还应满足几何

方程

γ＝ｄｖｄｘ－θ＝１ｌｄｖｄξ－θ （ｂ）

将式（ａ）代入上式得

α１＝１２

（θ１－θ２），α２＝γ０－１２γ１

，α３＝－６γ０－１２γ（ ）１ （ｃ）

其中

γ１＝２ｌ

（－ｖ１－ｖ２）－θ１－θ２ （ｄ）

而γ０为一内部参数，可由梁的应变能驻值条件求得

γ０＝βγ１ （６５９）

其中

β＝６λ

１＋１２λ， λ＝

ＤｂＤｓｌ２

， Ｄｂ＝Ｅｔ３１２

， Ｄｓ＝５Ｇｔ６

（６６０）

Ｄｂ，Ｄｓ分别为梁的抗弯刚度、抗剪刚度。

将式（ｃ）和式（６５９）代入式（ａ）得

ｖ＝ｖ１（１－ξ）＋ｖ２ξ＋ｌ（θ１－θ２）ξ（１－ξ）／２

－ｌγ１（１－２β）ξ（１－ξ）（１－２ξ）／２θ＝θ１（１－ξ）＋θ２ξ＋３（１－２β）γ１ξ（１－ξ）

γ＝βγ

烍

烌

烎１

（６６１）

有了单元位移函数，其余步骤将进入标准程序。须进一步说明，根据式

（６６０）可得

β＝６λ

１＋１２λ＝（ｔ／ｌ）２

（５／６）（１－ν）＋２（ｔ／ｌ）２（６６２）

可见，当ｔ→０时，有β→０，即γ→０，从而不会出现剪切闭锁现象。

８０１ 第６章 杆系结构

６４ 空间梁单元

６４１ 结构离散

空间刚架单元的每个节点有６个位移自由度。在局部坐标系中，它们分别

是沿坐标轴方向的线位移ｕｉ，ｖｉ，ｗｉ；绕ｘ轴的扭角θｘｉ，绕ｙ轴的转角θｙｉ，绕ｚ轴的转角θｚｉ。相应的节点力也有６个分量，即轴力Ｕｉ，横向剪力Ｖｉ，竖向剪力

Ｗｉ，扭矩Ｍｘｉ，纵向弯矩Ｍｙｉ，横向弯矩Ｍｚｉ。在图６８中，角位移和力矩用双箭

头表示，并以按右手螺旋法则标出的矢量沿坐标轴正向时为正。单元节点位移

向量为

ａｅ＝ａ１ａ烅烄

烆烍烌

烎２， ａｉ＝ ｕｉ ｖｉ ｗｉ θｘｉ θｙｉ θ［ ］ｚｉ

Ｔ （ｉ＝１，２）

单元节点力向量为

Ｆｅ＝Ｆ１Ｆ烅烄

烆烍烌

烎２， Ｆｉ＝ Ｕｉ Ｖｉ Ｗｉ Ｍｘｉ Ｍｙｉ Ｍ［ ］ｚｉ

Ｔ （ｉ＝１，２）

图６８ 空间刚架

６４２ 位移函数

空间梁单元的节点位移共１２个，位移函数中应包含１２个待定系数。根据

工程梁理论并参照平面梁的分析，中性轴位移函数为

ｕ＝Ｎ１ｕ１＋Ｎ２ｕ２ｖ＝Ｎ３ｖ１＋Ｎ４θｚ１＋Ｎ５ｖ２＋Ｎ６θｚ２ｗ ＝Ｎ３ｗ１－Ｎ４θｙ１＋Ｎ５ｗ２－Ｎ６θｙ２θｘ＝Ｎ１θｘ１＋Ｎ２θｘ

烍

烌

烎２

（６６３）

其中形函数见式（６８），而

９０１６４ 空间梁单元

θｙ＝－ｄｗｄｘ

， θｚ＝ｄｖｄｘ

（６６４）

单元位移场为

珔ｕ＝

珔ｕ珔ｖ珡烅烄

烆烍烌

烎ｗ＝

ｕ－ｙθｚ＋ｚθｙｖ－ｚθｘｗ＋ｙθ烅烄

烆烍烌

烎ｘ

＝Ｎａｅ （６６５）

其中，Ｎ为形函数矩阵。

６４３ 应变和应力

将单元位移函数（６６５）代入空间几何方程，只有εｘ，γｘｙ，γｘｚ不为零，其表达

式为

ε＝

εｘ

γｘｙ

γ

烅

烄

烆

烍

烌

烎ｘｚ

＝

ｄｕｄｘ－ｙ

ｄ２ｖｄｘ２－ｚ

ｄ２ｗｄｘ２

－ｚｄθｘｄｘ

ｙｄθｘｄ

烅

烄

烆

烍

烌

烎ｘ

＝［Ｂ１ Ｂ２］ａｅ＝Ｂａｅ （６６６）

其中

Ｂ１＝

Ｎ′１ －ｙＮ″３ －ｚＮ″３ ０ ｚＮ″４ －ｙＮ″４０ ０ ０ －ｚＮ′１ ０ ００ ０ ０ ｙＮ′１

熿

燀

燄

燅０ ０

Ｂ２＝

Ｎ′２ －ｙＮ″５ －ｚＮ″５ ０ ｚＮ″６ －ｙＮ″６０ ０ ０ －ｚＮ′２ ０ ００ ０ ０ ｙＮ′２

熿

燀

燄

燅０ ０

在本构关系中不考虑次要应力σｙ，σｚ的影响，则根据广义Ｈｏｏｋｅ定律，有

σ＝

σｘτｘｙτ烅烄

烆烍烌

烎ｘｚ＝Ｅ ０ ００ Ｇ ００ ０

熿

燀

燄

燅Ｇ

εｘγｘｙγ烅烄

烆烍烌

烎ｘｚ＝ＤＢａｅ （６６７）

６４４ 局部坐标系Ｋｅ

根据普遍公式（１１８），局部坐标系中的单元刚度矩阵为

０１１ 第６章 杆系结构

Ｋｅ＝∫ΩｅＢＴＤＢｄΩ＝ｋ１１ ｋ１２ｋ２１ ｋ

［ ］２２

（６６８）

其中

ｋｉｊ＝∫ΩｅＢＴｉＤＢｊｄΩ各子矩阵的显式为

ｋ１１＝

珚Ａ ０ ０ ０ ０ ０Ｊ″ｚ ０ ０ ０ Ｊ′ｚＪ″ｙ ０ －Ｊ′ｙ ０

对 Ｊｋ ０ ０２Ｊｙ ０

称 ２Ｊ

熿

燀

燄

燅ｚ

ｋ２２＝

珚Ａ ０ ０ ０ ０ ０Ｊ″ｚ ０ ０ ０ －Ｊ′ｚＪ″ｙ ０ Ｊ′ｙ ０

对 Ｊｋ ０ ０２Ｊｙ ０

称 ２Ｊ

熿

燀

燄

燅ｚ

ｋ１２＝ｋＴ２１＝

珚Ａ ０ ０ ０ ０ ００ －Ｊ″ｚ ０ ０ ０ Ｊ′ｚ０ ０ －Ｊ″ｙ ０ －Ｊ′ｙ ００ ０ ０ －Ｊｋ ０ ００ ０ Ｊ′ｙ ０ Ｊｙ ００ －Ｊ′ｚ ０ ０ ０ Ｊ

熿

燀

燄

燅ｚ

其中

珚Ａ＝ＥＡｌ， Ｊｙ＝

２ＥＩｙｌ

， Ｊ′ｙ＝６ＥＩｙｌ２

， Ｊ″ｙ＝１２ＥＩｙｌ３

Ｊｋ＝ＧＩｋｌ

， Ｊｚ＝２ＥＩｚｌ

， Ｊ′ｚ＝６ＥＩｚｌ２

， Ｊ″ｚ＝１２ＥＩｚｌ

烍

烌

烎３

而Ｉｚ为梁截面对ｚ的抗弯惯矩；Ｉｙ为截面对ｙ的抗弯惯矩；Ｉｋ为截面抗扭惯矩。

若考虑横向剪切变形的影响，则

１１１６４ 空间梁单元

珚Ａ＝ＥＡｌ， Ｊｙ＝

（２－ｂｙ）ＥＩｙ（１＋ｂｙ）ｌ

， Ｊ′ｙ＝６ＥＩｙ

（１＋ｂｙ）ｌ２， Ｊ″ｙ＝

１２ＥＩｙ（１＋ｂｙ）ｌ３

Ｊｋ＝ＧＩｋｌ

， Ｊｚ＝（２－ｂｚ）ＥＩｚ（１＋ｂｚ）ｌ

， Ｊ′ｚ＝６ＥＩｚ

（１＋ｂｚ）ｌ２， Ｊ″ｚ＝

１２ＥＩｚ（１＋ｂｚ）ｌ３

ｂｙ＝１２ｋＥＩｙＧＡｚｌ２

， ｂｚ＝１２ｋＥＩｚＧＡｙｌ２

其中，Ａｙ，Ａｚ分别是梁在ｙ，ｚ方向承受剪力的面积。

６４５ 整体坐标系Ｋｅ

类似平面刚架的分析，不难得到整体坐标系下的单元刚度矩阵

Ｋｅ＝ＴＴＫｅＴ （６６９）

其中转换矩阵Ｔ为

Ｔ＝

０

０

熿

燀

燄

燅

（６７０）

而局部坐标系对整体坐标系的方向余弦矩阵为

＝ｃｏｓ（ｘ，珔ｘ） ｃｏｓ（ｘ，珔ｙ） ｃｏｓ（ｘ，珔ｚ）

ｃｏｓ（ｙ，珔ｘ） ｃｏｓ（ｙ，珔ｙ） ｃｏｓ（ｙ，珔ｚ）

ｃｏｓ（ｚ，珔ｘ） ｃｏｓ（ｚ，珔ｙ） ｃｏｓ（ｚ，珔ｚ

熿

燀

燄

燅）（６７１）

６５ 结 语

为了表明结构有限元分析的统一性，本章没有直接采用杆系结构矩阵位移

分析中的现成公式，而是使用有限单元法的术语、记号以及标准化的程式，基于

弹性力学控制方程推导了有限元公式。

梁单元不同于前几章讨论的实体单元，因为在推导公式时引入了某些附加

假设。实际上，也可以利用实体单元来分析杆系结构以及后两章将要介绍的板

壳结构，从而避免引入附加假设。然而，这样做会遇到困难：当用实体单元对杆

系或板壳结构进行离散时，若网格适应结构的几何特点，将使单元不同方向的刚

度系数相差过大，从而导致求解方程的病态或奇异，最后可能使解丧失精度或根

本失败；若为避免上述问题而保持单元在各个方向尺度相近，则单元总数将过

大，从而影响分析的经济实用甚至使分析无法进行。

２１１ 第６章 杆系结构

习 题

６１ 对于杆系结构单元，为什么要在局部坐标系内建立单元刚度矩阵？为什么

还要坐标变换？

６２ 有哪几种梁弯曲理论？如何用中性轴位移确定梁内任一点的位移？

６３ 试推导梁的挠度和截面转角各自独立插值时的单元刚度矩阵和单元等效

节点荷载向量（假设梁上只作用分布线荷载ｑ）。

６４ 设空间桁架结构的典型单元ｅ长为ｌ，截面积为Ａ，弹性模量为Ｅ。试推

导局部坐标系中的单元刚度矩阵Ｋｅ和整体坐标系中的单元刚度矩阵珡Ｋｅ。

答案：Ｋｅ＝ＥＡｌ１ －１［ ］－１ １

， Ｋｅ＝ＴＴＫｅＴ，

Ｔ＝ｌ ｍ ｎ ０ ０ ００ ０ ０

［ ］ｌ ｍ ｎ

。

３１１习 题

第７

章

平板结构

结构中的平板构件在几何上具有一个显著特点，即一个方向的尺寸比另外

两个方向的尺寸要小得多。通常把平板分为薄板和厚板（或称中厚板）。定量地

说，当厚度ｔ与另两个方向的最小尺度ｌ之比ｔ／ｌ＜１／１５时，可视为薄板；否则就

属于厚板。

针对板的特殊性，弹性力学中的平板弯曲理论引入了某些附加假定，将问题

简化为二维问题。结果，求解平板位移归结为求解中面位移，而中面以外任一点

的位移都可以通过中面位移来表示。

引入附加假定后，薄板应变表现为位移的二阶导数。因此，为保证应变有

限，位移函数必须Ｃ１连续。这给板单元的构造带来很大困难，因而平板有限元

分析一直吸引着很多研究者，也构造了各种类型的单元。本章将分别介绍薄板

单元、厚板单元、ＤＫＴ板单元及通用板单元。

７１ 薄 板 单 元

７１１ 薄板理论

采用右手坐标系ｏｘｙｚ，以未变形的中面为ｘｙ坐标面，中面各点沿ｚ轴的横

图７１ 薄板

向位移即挠度ｗ（图７１）。

（１）基本假定

当受到垂直于板面的横向荷载作用时，薄板将产生弯曲变形。如果板的挠

度与其厚度相比很小，则可采用经典薄板

理论，构造板单元也以该理论为基础。经

典薄板理论的附加假设包括：

第一条：板厚度方向的挤压变形可忽

略不计，即εｚ＝０。这项假设类似于梁的横

向纤维间无挤压假设。

第二条：在板弯曲变形中，中面法线保持为直线且仍为弹性曲面（挠度曲面）

的法线。这就是著名的Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ直法线假设，它类似于梁弯曲理论中的平截

面假设。

第三条：薄板中面只发生弯曲变形，没有面内的伸缩变形，即中面水平位移

（ｕ）ｚ＝０＝（ｖ）ｚ＝０＝０。

利用上述假设，薄板的全部位移、应力和应变分量都可以用板的挠度ｗ 来

表示。

（２）位移分量

首先，根据第一条假设

εｚ＝ｗｚ＝０

可知

ｗ＝ｗ（ｘ，ｙ） （７１）

根据第二条假设，薄板弯曲后，板的法线与弹性曲面在ｘ方向和ｙ方向的切线

都保持互相垂直，因而没有剪应变，即

γｙｚ＝ｖｚ＋

ｗｙ＝０

， γｚｘ＝ｗｘ＋

ｕｚ＝０

由上式可知

ｖｚ＝－

ｗｙ

， ｕｚ＝－

ｗｘ

上式对ｚ积分，注意到ｗ 与ｚ无关，得

ｖ＝－ｚｗｙ＋ｆ１（ｘ，ｙ）， ｕ＝－ｚｗｘ＋ｆ２

（ｘ，ｙ）

其中，ｆ１（ｘ，ｙ）和ｆ２（ｘ，ｙ）是任意函数。根据第三条假设，即

（ｕ）ｚ＝０＝（ｖ）ｚ＝０＝０

有ｆ１（ｘ，ｙ）＝ｆ２（ｘ，ｙ）＝０，从而

ｖ＝－ｚｗｙ， ｕ＝－ｚｗｘ

（７２）

可见，薄板小挠度弯曲被简化为中面的弯曲问题。只要中面挠度ｗ 确定，任何

点的位移都可确定。

（３）应变分量

根据上述分析，薄板内不等于零的应变分量有如下三个

５１１７１ 薄 板 单 元

εｘ＝ｕｘ＝－ｚ

２ｗｘ２

εｙ＝ｖｙ＝－ｚ

２ｗｙ２

γｘｙ＝ｕｙ＋

ｖｘ＝－２ｚ

２ｗｘ

烍

烌

烎ｙ

（７３ａ）

或 ε＝ｚκ （７３ｂ）

κ＝

κｘ

κｙ

κｘ

烅

烄

烆

烍

烌

烎ｙ

＝

－２ｗｘ２

－２ｗｙ２

－２２ｗｘ

烅

烄

烆

烍

烌

烎ｙ

（７４）

其中，κ称为广义应变。在小变形的情况下，－２ｗｘ２

和－２ｗｙ２

分别代表薄板弹性

曲面在ｘ方向和ｙ方向的曲率，而－２ｗｘｙ

代表在ｘ方向和ｙ方向的扭曲率。

（４）应力分量

注意到εｚ＝０，而且在本构方程中不考虑次要应力τｘｚ，τｙｚ和σｚ，因此薄板弯

曲问题的本构方程与平面应力问题完全相同，即

σｘσｙτｘ

烅烄

烆烍烌

烎ｙ

＝ Ｅ１－ν

熿

燀２

１ ν ０ν １ ００ ０ （１－ν）／

燄

燅２

εｘεｙγｘ

烅烄

烆烍烌

烎ｙ

（７５）

将式（７４）代入上式得

σ＝Ｄε＝ｚＤκ （７６）

其中，Ｄ为平面应力问题的弹性矩阵。

（５）薄板内力

在ｘ＝常数的横截面上，单位宽度板上正应力σｘ 合成的弯矩Ｍｘ，剪应力

τｘｙ合成的扭矩Ｍｘｙ分别为

Ｍｘ＝∫ｔ／２

－ｔ／２σｘｚｄｚ， Ｍｘｙ＝∫

ｔ／２

－ｔ／２τｘｙｚｄｚ （ａ）

在ｙ＝常数的横截面上，单位宽度板上正应力σｙ 合成的弯矩Ｍｙ，剪应力τｙｘ合

成的扭矩Ｍｙｘ分别为

６１１ 第７章 平板结构

Ｍｙ＝∫ｔ／２

－ｔ／２σｙｚｄｚ， Ｍｙｘ＝∫

ｔ／２

－ｔ／２τｙｘｚｄｚ （ｂ）

根据剪应力互等定律，有Ｍｘｙ＝Ｍｙｘ。将式（７６）代入式（ａ）和（ｂ）得

Ｍ＝

ＭｘＭｙＭｘ

烅烄

烆烍烌

烎ｙ

＝ｔ３

１２Ｄκ＝Ｄｂκ（７７）

其中，Ｄｂ为弯曲弹性矩阵。对于各向同性材料，有

Ｄｂ＝

熿

燀

Ｄ１ ν ０ν １ ００ ０ （１－ν）／

燄

燅２

（７８）

而Ｄ称为板的抗弯刚度，其表达式为

Ｄ＝ Ｅｔ３１２（１－ν２）

（７９）

比较式（７６）和（７７），可以得到用内力矩表示的平板应力

σ＝１２ｚｔ３ Ｍ（７１０）

根据上述薄板理论，平板中面的挠度ｗ 可以作为基本未知量。如果求得挠

度，则板的位移、内力和应力均可按照上述公式计算。

（６）边界条件

除在板面上给定面力ｑ或集中荷载Ｐ外，薄板边界通常分为三种，即几何

边界Γ１，混合边界Γ２，静力边界Γ３。在Γ１上给定挠度和转角，即

ｗ｜Γ１＝ｗ， ｗｎ Γ１

＝θｎ （７１１）

其中，ｎ为边界的法向。固支边是几何边界的特例，此时ｗ＝０，θｎ＝０。

在Γ２上给定挠度和力矩，边界条件的表达式为

ｗ｜Γ２＝ｗ， Ｍｎ｜Γ２＝Ｍｎ （７１２）

其中

Ｍｎ＝－Ｄ２ｗｎ２＋ν

２ｗｓ ）（ ２

Γ２

（７１３）

７１１７１ 薄 板 单 元

而ｓ为边界的切向。简支边是混合边界的特例，此时ｗ＝０，Ｍｎ＝０。

在Γ３上给定力矩和横向荷载，即

Ｍｎ｜Γ３＝Ｍｎ， Ｖｎ｜Γ３＝Ｑｎ＋Ｍｎｓｓ Γ３

＝Ｖｎ （７１４）

其中

Ｍｎｓ＝－Ｄ（１－ν）２ｗｎｓ

Ｑｎ＝Ｍｎｎ ＋

Ｍｎｓｓ ＝－Ｄ ｎ

２ｗｎ２＋

２ｗｓ（ ）

烍

烌

烎２

（７１５）

当为自由边界时，Ｍｎ＝０，Ｖｎ＝０。

也可用Γσ和Γｕ 分别笼统地表示上述给定力的边界和给定位移的边界。按

前述定义的内力及边界上力矩的正方向示于图７２中。

图７２ 力矩矢量

７１２ 矩形板单元

（１）结构离散

对于矩形薄板构件，可以很方便地用矩形单元加以离散。若以矩形的４个

角点为节点，则得到一种简单的矩形板单元（图７３）。

图７３ 矩形板单元

板弯曲时各单元间有力矩传递，其节点为刚性连接。单元面上的一点实际

上代表着一个长度为板厚的法线段。根据假设，此法线段长度不变，且薄板中面

各点不产生ｘ和ｙ方向的位移，故薄板节点所可能产生的位移就只有沿ｚ方向

８１１ 第７章 平板结构

的挠度以及法线绕ｘ和ｙ轴的转角。把挠度ｗｉ及法线绕ｘ轴的转角θｘ，绕ｙ轴的转角θｙ指定为节点位移，并以按右手螺旋法则标出的矢量沿坐标轴正向时

为正（图７３）。显然

θｘ＝ｗｙ

， θｙ＝－ｗｘ

（７１６）

矩形板单元的节点位移向量和节点ｉ的位移向量分别为

ａｅ＝ａ１…

ａ烅烄

烆烍烌

烎４

， ａｉ＝

ｗｉθｘｉθｙ

烅烄

烆烍烌

烎ｉ

（ｉ＝１，２，３，４） （７１７）

与转角相应的力矩为Ｍｘｉ，Ｍｙｉ。角位移和力矩以按右手螺旋法则标出的矢量沿

坐标轴正向时为正（图７３）。

必须注意，节点力矩 Ｍｘｉ，Ｍｙｉ是集中力矩，而板内力矩 Ｍｘ，Ｍｙ 是分布力

矩。此外，两者的正负号规定也不同，因为Ｍｘ，Ｍｙ与应力正负号的规定相应。

（２）位移函数

设板的平面尺寸为２ａ×２ｂ。仿照平面问题矩形单元的分析，引入局部坐标

系ξη，坐标变换公式为

ｘ＝ｘｃ＋ａξ， ｙ＝ｙｃ＋ｂη （７１８）

其中，（ｘｃ，ｙｃ）为单元中心的整体坐标。由于矩形板单元共有１２个自由度，故挠

度表达式应包含１２个参数。可取局部坐标系中挠度的四次多项式

ｗ＝α１＋α２ξ＋α３η＋α４ξ２＋α５ξη＋α６η２

＋α７ξ３＋α８ξ２η＋α９ξη２＋α１０η３＋α１１ξ３η＋α１２ξη３ （ａ）

转角为

θｘ＝ｗｙ＝

ｗｂη＝１ｂ

（α３＋α５ξ＋２α６η＋α８ξ２＋２α９ξη＋３α１０η２＋α１１ξ３＋３α１２ξη２）

θｙ＝－ｗｘ＝－

ｗａξ＝－１ａ

（α２＋２α４ξ＋α５η＋３α７ξ２＋２α８ξη＋α９η２＋３α１１ξ２η＋α１２η３烍

烌

烎）

（７１９）

将节点位移分量和节点坐标代入上式，可求得待定系数；将求得的系数代回

式（ａ），整理后得到

ｗ＝Ｎａｅ （７２０）

形函数为

９１１７１ 薄 板 单 元

Ｎ＝［Ｎ１ Ｎ２ Ｎ３ Ｎ４］ （７２１ａ）

其中

Ｎｉ＝［Ｎｉ Ｎｘｉ Ｎｙｉ］ （ｉ＝１，２，３，４） （７２１ｂ）

Ｎｉ＝（１＋ξ０）（１＋η０）（２＋ξ０＋η０－ξ２－η２）／８

Ｎｘｉ＝－ｂηｉ（１＋ξ０）（１＋η０）（１－η２）／８

Ｎｙｉ＝ａξｉ（１＋ξ０）（１＋η０）（１－ξ２）／

烍烌

烎８

（７２１ｃ）

其中，ξ０＝ξｉξ，η０＝ηｉη。

（３）单元刚度矩阵

将式（７２０）代入几何方程（７３），可得

ε＝Ｂａｅ＝［Ｂ１ Ｂ２ Ｂ３ Ｂ４］ａｅ （７２２）

其中

Ｂｉ＝－ｚ

２Ｎｉｘ２

２Ｎｉｙ２

２２Ｎｉｘ

熿

燀

燄

燅ｙ

＝－ｚ

１ａ２２Ｎｉξ２

１ｂ２２Ｎｉη２

２ａｂ２Ｎｉξ

熿

燀

燄

燅η

＝－ｚａｂ

ｂａ２Ｎｉξ２

ａｂ２Ｎｉη２

２２Ｎｉξ

熿

燀

燄

燅η

（７２３）

单元刚度矩阵写成分块形式

Ｋｅ＝

ｋ１１ ｋ１２ ｋ１３ ｋ１４

ｋ２１ ｋ２２ ｋ２３ ｋ２４

ｋ３１ ｋ３２ ｋ３３ ｋ３４

ｋ４１ ｋ４２ ｋ４３ ｋ

熿

燀

燄

燅４４

（７２４）

根据普遍公式（１１８），其中子矩阵的计算公式为

ｋｉｊ＝∫ΩｅＢＴｉＤＢｊｄΩ＝∫ｔ／２

－ｔ／２∫１

－１∫１

－１ＢＴｉＤＢｊａｂｄξｄηｄｚ （７２５）

其中，Ｄ为平面应力问题的弹性矩阵。

（４）等效节点荷载

在板的有限元分析中，因挠度和转角已经作为节点参数，故边界上的已知挠

度和转角作为强制边界条件引入没有什么问题。让我们来看面力引起的等效节

０２１ 第７章 平板结构

点荷载。

设薄板表面上作用有横向分布荷载ｑ、在Γ３上横向剪力为Ｖｎ，在Γ２和Γ３

上弯矩为Ｍｎ，考虑到Ｍｎ 与ｗｎ

符号相反，则外力虚功为

δＶ＝∫ＡｑδｗｄＡ＋∫Γ３ＶｎδｗｄΓ－∫Γ２＋Γ３Ｍｎ（δｗ）ｎ ｄΓ

注意到式（７２０），对于单元ｅ有

δＶｅ＝δａｅＴ∫ＡｅｑＮＴｄＡ＋∫Γｅ３ＶｎＮＴｄΓ－∫Γｅ２＋Γｅ３Ｍｎ

ＮＴｎｄ（ ）Γ

根据虚功等效原则，等效节点荷载所做虚功δａｅＴＰｅ应等于δＶｅ，于是有

Ｐｅ＝∫ＡｅｑＮＴｄＡ＋∫Γｅ３ＶｎＮＴｄΓ－∫Γｅ２＋Γｅ３Ｍｎ

ＮＴｎｄΓ

（７２６）

例如，当仅有均布荷载ｑ作用时，有

Ｐｅ＝∫∫ＡｅｑＮＴｄｘｄｙ＝ｑａｂ∫１

－１∫１

－１ＮＴｄξｄη

＝４ｑａｂ １４ｂ１２

－ａ１２

１４ｂ１２

ａ１２

１４

－ｂ１２

ａ１２

１４

－ｂ１２

－ａ［ ］１２Ｔ

（５）解的收敛性

在薄板问题中，应变为挠度的二阶导数。因此，为满足完备性要求，单元位

移函数中应包含完全的二次多项式。由式（ａ）可知，完备性得到了满足。

先看挠度的连续性。由式（ａ）可知，沿ξ＝±１或η＝±１的单元边界上，挠

度均为完全的三次曲线，因此只研究其中一种边界即可。例如，在ξ＝１的边界

ｉｊ上，挠度曲线可写成

ｗ＝Ａ＋Ｂη＋Ｃη２＋Ｄη３

转角θｘ 为

θｘ＝ｗｙ＝

１ｂｗη＝１ｂ

（Ｂ＋２Ｃη＋３Ｄη２）

曲线两端的挠度值为ｗｉ，ｗｊ，转角为θｘｉ，θｘｊ。可见，该边界的挠度曲线联系着４个节点位移分量，而这４个参数可唯一地确定挠度三次多项式。既然两个单元

在交界处有公共的节点位移参数，故单元交界处的挠度ｗ 是连续的。

再看在单元交界处斜率的连续性。显然，上述边界的ｗη

或ｗｙ

在单元交界

处也是连续的，即挠度沿单元交界线切线方向的导数是连续的。然而，挠度沿单

１２１７１ 薄 板 单 元

元交界线法线方向的导数ｗξ

或ｗｘ

不再连续，因为在ξ＝１的边界ｉｊ上，ｗξ

或

ｗｘ

也是η的三次多项式，即

θｙ＝－ｗｘ＝－

１ａｗξ＝Ａ′＋Ｂ′η＋Ｃ′η２＋Ｄ′η３

而此时只有两个转角位移分量θｙｉ，θｙｊ，它们显然不能唯一地决定一个三次式。

可见，现在所讨论的板单元是非协调元，或称为不完全协调元。单元交界处

法向导数不连续，意味着变形后出现棱而不再光滑，而这种非协调性可能导致解

答不收敛。不过，研究表明矩形板单元是收敛的，实际计算也表明了这一点。

７１３ 三角形板单元

当薄板的几何形状复杂时，可方便地采用三角形板单元进行离散，因而三角

形单元适用性更强。

（１）位移函数

因３节点三角形板单元共有９个自由度（每个节点有３个位移自由度），故

位移函数中应包含９个参数。我们知道，一个完全三次多项式包含１０项，即

α１＋α２ｘ＋α３ｙ＋α４ｘ２＋α５ｘｙ＋α６ｙ２＋α７ｘ３＋α８ｘ２ｙ＋α９ｘｙ２＋α１０ｙ３

因此，必须从其中去掉一项。前６项代表刚体位移和常应变，是保证收敛的必要

条件；而去掉三次方项的任何一个，都不能保持对于ｘ和ｙ的对称性。如果令

α８＝α９，可保持式子的对称性，但在某些情况下（例如当三角形的两边平行于ｘ轴和ｙ轴时）求解式中系数将成为不可能。还有人建议增加形心挠度而采用完

全三次多项式，但这样的单元不能保证收敛。

为克服上述困难，人们采用了面积坐标。注意到

１＝Ｌ１＋Ｌ２＋Ｌ３ｘ＝ｘ１Ｌ１＋ｘ２Ｌ２＋ｘ３Ｌ３ｙ＝ｙ１Ｌ１＋ｙ２Ｌ２＋ｙ３Ｌ

烍烌

烎３

（ａ）

那么，完全一次多项式必定可以表示为三个面积坐标的线性组合，即

Ｐ１＝α１＋α２ｘ＋α３ｙ＝λ１Ｌ１＋λ２Ｌ２＋λ３Ｌ３ （ｂ）

显然，完全二次多项式可表示如下

Ｐ２＝α１＋α２ｘ＋α３ｙ＋α４ｘ２＋α５ｘｙ＋α６ｙ２

＝β１Ｌ１＋β２Ｌ２＋β３Ｌ３＋β４Ｌ２１＋β５Ｌ２２＋β６Ｌ２３＋β７Ｌ１Ｌ２＋β８Ｌ２Ｌ３＋β９Ｌ３Ｌ１

２２１ 第７章 平板结构

由于

Ｌ１＝Ｌ１（Ｌ１＋Ｌ２＋Ｌ３）

Ｌ２＝Ｌ２（Ｌ１＋Ｌ２＋Ｌ３）

Ｌ３＝Ｌ３（Ｌ１＋Ｌ２＋Ｌ３

烍烌

烎）

因此Ｌ２１，Ｌ２２，Ｌ２３的线性组合可表示为Ｌ１，Ｌ２，Ｌ３，Ｌ１Ｌ２，Ｌ２Ｌ３，Ｌ３Ｌ１的线性组

合。综合起来，可以得到如下完全二次多项式

Ｐ２＝λ１Ｌ１＋λ２Ｌ２＋λ３Ｌ３＋λ４Ｌ１Ｌ２＋λ５Ｌ２Ｌ３＋λ６Ｌ３Ｌ１ （ｃ）

注意到

ＬｉＬｊ＝ＬｉＬｊ（Ｌ１＋Ｌ２＋Ｌ３）＝（Ｌ２ｉＬｊ＋Ｌ１Ｌ２Ｌ３／２）＋（ＬｉＬ２ｊ＋Ｌ１Ｌ２Ｌ３／２）

式（ｃ）可写成

Ｐ２＝λ１Ｌ１＋λ２Ｌ２＋λ３Ｌ３＋λ４（Ｌ２１Ｌ２＋Ｌ１Ｌ２Ｌ３／２）＋λ５（Ｌ２２Ｌ３＋Ｌ１Ｌ２Ｌ３／２）＋λ６（Ｌ２３Ｌ１＋Ｌ１Ｌ２Ｌ３／２）

＋λ４（Ｌ１Ｌ２２＋Ｌ１Ｌ２Ｌ３／２）＋λ５（Ｌ２Ｌ２３＋Ｌ１Ｌ２Ｌ３／２）＋λ６（Ｌ３Ｌ２１＋Ｌ１Ｌ２Ｌ３／２）

根据收敛准则的完备性要求，三角形薄板单元的位移模式必须包含上述完全的

二次式。此外，还应补充３个独立的三次项并保持Ｌ１，Ｌ２，Ｌ３之间的对称性（轮

换性）。为此，可将上式中后三项的系数变成独立系数，即

ｗ＝λ１Ｌ１＋λ２Ｌ２＋λ３Ｌ３＋λ４（Ｌ２１Ｌ２＋Ｌ１Ｌ２Ｌ３／２）＋λ５（Ｌ２２Ｌ３＋Ｌ１Ｌ２Ｌ３／２）＋λ６（Ｌ２３Ｌ１＋Ｌ１Ｌ２Ｌ３／２）

＋λ７（Ｌ１Ｌ２２＋Ｌ１Ｌ２Ｌ３／２）＋λ８（Ｌ２Ｌ２３＋Ｌ１Ｌ２Ｌ３／２）＋λ９（Ｌ３Ｌ２１＋Ｌ１Ｌ２Ｌ３／２）

（７２７）

可以证明，上式满足常应变的要求。

在式（７２７）中代入相应的节点位移，可确定其中的９个系数。再将其回代

入式中整理后得到

ｗ＝［Ｎ１ Ｎｘ１ Ｎｙ１ Ｎ２ Ｎｘ２ Ｎｙ２ Ｎ３ Ｎｘ３ Ｎｙ３］ａｅ＝Ｎａｅ（７２８）

Ｎｉ＝Ｌｉ＋Ｌ２ｉＬｊ＋Ｌ２ｉＬｍ－ＬｉＬ２ｊ－ＬｉＬ２ｍ

Ｎｘｉ＝ｂｊＬ２ｉＬｍ－ｂｍＬ２ｉＬｊ＋（ｂｊ－ｂｍ）ＬｉＬｊＬｍ／２ （ｉ，ｊ，ｍ＝１，２，→← ３）

Ｎｙｉ＝ｃｊＬ２ｉＬｍ－ｃｍＬ２ｉＬｊ＋（ｃｊ－ｃｍ）ＬｉＬｊＬｍ／

烍

烌

烎２

（７２９）

３２１７１ 薄 板 单 元

（２）单元刚度矩阵

将式（７２８）代入几何方程（７３）可得

ε＝Ｂａｅ＝［Ｂ１ Ｂ２ Ｂ３］ａｅ （７３０）

其中

Ｂｉ＝－ｚ

２Ｎｉｘ２

２Ｎｘｉｘ２

２Ｎｙｉｘ２

２Ｎｉｙ２

２Ｎｘｉｙ２

２Ｎｙｉｙ２

２２Ｎｉｘｙ ２

２Ｎｘｉｘｙ ２

２Ｎｙｉｘ

熿

燀

燄

燅ｙ

（ｉ＝１，２，３） （７３１）

单元刚度矩阵写成分块形式

Ｋｅ＝

ｋ１１ ｋ１２ ｋ１３ｋ２１ ｋ２２ ｋ２３ｋ３１ ｋ３２ ｋ

熿

燀

燄

燅３３

（７３２）

根据普遍公式（１１８），其中子矩阵的计算公式为

ｋｉｊ＝∫ΩｅＢＴｉＤＢｊｄΩ （７３３）

（３）等效节点荷载

利用等效节点荷载计算的普遍公式和面积坐标的积分公式，不难得出单元

的等效节点荷载。例如，当薄板单元承受均布法向荷载ｑ时，等效节点荷载为

Ｐｅ＝∫ΓｅσｑＮＴｄΓ＝∫∫ＡｅｑＮＴｄｘｄｙ

＝ｑＡ １３ｂ２－ｂ３２４

ｃ２－ｃ３２４

１３ｂ３－ｂ１２４

ｃ３－ｃ１２４

１３ｂ１－ｂ２２４

ｃ１－ｃ２［ ］２４

Ｔ

其中，Ａ为三角形面积。

（４）解的收敛性

在前述位移函数的构造中，包含了完全的二次多项式，因此该单元满足了完

备性要求。在单元的任何一条边界上，例如１２边，有Ｌ３＝０，而ｗ 将是面积坐

标的三次式，其中的４个系数可由两端点（即节点）的ｗ 及ｗｓ

（共４个节点位

移）唯一地决定，因此可保证相邻单元沿着公共边界上具有相同的位移。单元边

界上的法向斜率ｗｎ

也是三次式，但只在两个节点上有相同的斜率，不能完全保

证法向斜率的连续。因此，所讨论的三角形板单元是非协调元。

４２１ 第７章 平板结构

这里简要提及另一种薄板单元，即６节点三角形板单元。在这种单元中，规

定单元的６个自由度为角点处的ｗ 及边中节点处的法向斜率ｗｎ

。由此，可采

用完全二次多项式为单元位移函数

ｗ＝α１＋α２ｘ＋α３ｙ＋α４ｘ２＋α５ｘｙ＋α６ｙ２

这将使整个单元中的力矩及曲率为常量。这种单元的刚度矩阵很容易推导，在

此不予介绍。推导了这种单元的Ｍｏｒｌｅｙ指出，尽管单元的不连续性看起来相当

严重，但它是收敛单元，并且它给出的近似与前述三角形单元的差不多。

７１４ 协调板单元

（１）单元构造

采用增加节点位移参数的方法，可以构造协调薄板单元。除了挠度和转角

以外，可把节点的曲率和扭曲率也作为节点参数。例如，对于４节点矩形单元，

可以把节点ｉ的挠度ｗｉ，转角θｘｉ和θｙｉ，扭曲率 ２ｗｘ（ ）ｙｉ

作为节点参数（文献

１２）。这样，单元共有１６个自由度，可以假设挠度函数为包含完全二次多项式

（因而能满足完备性要求）的更高次形式

ｗ＝α１＋α２ｘ＋α３ｙ＋α４ｘ２＋α５ｘｙ＋α６ｙ２＋α７ｘ３＋α８ｘ２ｙ＋α９ｘｙ２＋α１０ｙ３

＋α１１ｘ３ｙ＋α１２ｘ２ｙ２＋α１３ｘｙ３＋α１４ｘ３ｙ２＋α１５ｘ２ｙ３＋α１６ｘ３ｙ３

在这种矩形单元的边界上，例如ｘ＝常数的边界ｉｊ上，挠度为ｙ三次曲线，故

可由此边上两个节点的４个位移参数ｗｉ，ｗｊ，θｘｉ和θｘｊ唯一地确定，故这种单

元间挠度及其沿切向的导数是连续的。在单元边界ｉｊ上，法向导数ｗｘ

也是ｙ

的三次曲 线，可 由 此 边 界 上 两 个 节 点 的４个 位 移 参 数θｙｉ，θｙｊ， ２ｗｘ（ ）ｙｉ

和

２ｗｘ（ ）ｙｊ

唯一地确定。可见，单元间法向导数也是连续的，从而协调性要求得

到了满足。

还可以把节点的挠度、转角、曲率和扭曲率都作为节点位移参数（文献５７）。

这样，一个节点就有６个自由度，４节点矩形单元共有２４个自由度、３节点三角

形单元共有１８个自由度。显然，可以假设挠度函数为更高阶的多项式，并构造

出完备的协调单元。

（２）单元性能

在薄板弯曲理论中，应变为挠度的二阶导数。因此，基于薄板理论构造单元

时，在相邻单元的公共边界上不但要求挠度连续，而且还要求挠度的一阶导数连

５２１７１ 薄 板 单 元

续（即Ｃ１连续性）。这种要求为单元的构造带来了相当大的困难。尽管可以构

造出上述协调板单元，但这些高阶协调板单元存在多方面的缺陷：（１）计算公式

比较复杂；（２）高阶导数自由度的边界条件不易确定；（３）当相邻单元的厚度有突

变或材料性质不同时，单元交界处的曲率、扭曲率可能发生突变，而协调板单元

强令这些高阶自由度连续便不符合实际情况。

７２ 厚 板 单 元

７２１ 厚板理论

（１）基本假定

对于中厚板，直法线假设不再成立，实际中多基于Ｍｉｎｄｌｉｎ?Ｒｅｉｓｓｎｅｒ中厚板

理论（文献５３，６０）构造单元，称为Ｍｉｎｄｌｉｎ板单元。中厚板理论认为板的中面法

线变形后仍基本保持为直线，但因横向变形的缘故，该直线不再垂直于变形后的

中面。因此，法线绕坐标轴的转角θｘ，θｙ不再是挠度的导数，而是独立变量。此

外，与薄板相类似，对于中厚板弯曲问题，中面内的线位移和板厚度方向的挤压

变形也可以忽略。

图７４ 转角规定

（２）板位移场

在上述假定下，只需研究板的中面位移即可。参照薄板的分析，挠度ｗ 仍

然只是ｘ，ｙ的函数。与薄板不同，这里规定θｘ，θｙ 分别与ｗｘ

，ｗｙ

一致（图

７４）。于是，板的位移场为

ｕ＝－ｚθｘ， ｖ＝－ｚθｙ， ｗ＝ｗ（ｘ，ｙ） （７３４）

（３）应变分量

将式（７３４）代入空间问题的几何方程（２４），并去掉为零的εｚ得

ε＝ｚκ｛ ｝γ （７３５）

其中弯曲引起的广义应变κ和横向剪切应变γ分别为

６２１ 第７章 平板结构

κ＝

κｘ

κｙ

κｘ

烅

烄

烆

烍

烌

烎ｙ

＝

－θｘｘ

－θｙｙ

－θｘｙ－

θｙ

烅

烄

烆

烍

烌

烎ｘ

（７３６）

γ＝γｘｚγｙ｛ ｝ｚ＝γｘγ｛ ｝ｙ＝

ｗｘ－θｘｗｙ－θ烅烄

烆烍烌

烎ｙ（７３７）

（４）应力分量

考虑到εｚ＝０，且忽略厚度方向的次要应力σｚ，空间问题的本构方程（２７）

变为

σ＝［σｘ σｙ τｘｙ τｙｚ τｚｘ］Ｔ＝Ｄε （７３８）

其中

Ｄ＝ Ｅ１－ν２

１ ν ０ ０ ０１ ０ ０ ０

对 １－ν２ ０ ０

１－ν２ｋ ０

称 １－ν２

熿

燀

燄

燅ｋ

（７３９）

Ｅ和ν分别为弹性模量和泊松比；ｋ为考虑剪应力分布不均匀影响的系数，可取

为１２０。根据前面所述的位移函数，剪应力沿厚度方向接近均匀分布，实际上

是抛物线分布，１２０就是两种应变能的比值。弹性矩阵（７３９）可写成

Ｄ＝Ｄ１００Ｄ［ ］２

（７４０）

其中

Ｄ１＝Ｅ１－ν２

１ ν ０ν １ ００ ０ （１－ν

熿

燀

燄

燅）， Ｄ２＝

Ｇｋ１０

［ ］０１

（７４１）

（５）边界条件

在厚板理论中，ｗ，θｘ，θｙ 是相互独立的变量，边界上每点应有３个边界条

７２１７２ 厚 板 单 元

件。因此，除了在板面上给定面力ｑ外，其他３种类型的边界条件可表示为

ｗ＝ｗ， θｎ＝θｎ θｓ＝θｓ 在Γ１上

ｗ＝ｗ， Ｍｎ＝Ｍｎ Ｍｓ＝Ｍｓ 在Γ２上

Ｑｎ＝Ｑｎ Ｍｎ＝Ｍｎ Ｍｓ＝Ｍｓ 在Γ３

烍烌

烎上

（７４２）

其中，ｎ，ｓ分别表示法向和切向。当然，也可用Γσ和Γｕ 分别笼统地表示上述给

定力的边界和给定位移的边界。

（６）势能泛函

考虑到位移边界条件作为强制性条件，板的总势能为

Πｐ＝∫Ω１２εＴＤεｄΩ－∫ＡｑｗｄＡ－∫Γ３ＱｎｗｄΓ－∫Γ２＋Γ３（Ｍｎθｎ＋Ｍｓθｓ）ｄΓ＝∫Ω１２εＴＤεｄΩ－∫ＡｑｗｄＡ－∫Γσ（Ｑｎｗ＋Ｍｎθｎ＋Ｍｓθｓ）ｄΓ （７４３）

将式（７３５）代入上式，沿厚度积分可得

Πｐ＝１２∫ＡκＴＤｂκｄＡ＋１２∫ＡγＴＤｓγｄＡ－∫ＡｑｗｄＡ－∫Γσ（Ｑｎｗ＋Ｍｎθｎ＋Ｍｓθｓ）ｄΓ （７４４）

其中，Ａ为板的面积；Ｄｂ，Ｄｓ分别为弯曲弹性矩阵、剪切弹性矩阵

Ｄｂ＝ｔ３１２Ｄ１＝

Ｅｔ３１２（１－ν２）

１ ν ０ν １ ００ ０ （１－ν

熿

燀

燄

燅）（７４５）

Ｄｓ＝ｔＤ２＝Ｇｔｋ１０

［ ］０１

（７４６）

７２２ 单元分析

（１）单元形函数

图７５所示为８节点曲边单元及其母单元。ｚ＝０是子单元的中面。ξ，η是单元中面内的局部坐标，而ζ是在厚度方向的局部坐标。ζ＝＋１及ζ＝－１代表单元的上下表面。

厚板单元的中面可以是四边形，也可以是三角形。相应单元的形函数在讨

论平面问题的有关章节中已经构造出来了。例如，对于８节点四边形单元，其形

函数见第５章的式（５５），（５６）和（５７），即

８２１ 第７章 平板结构

Ｎｉ＝１４

（１＋ξ０）（１＋η０）（ξ０＋η０－１） （ｉ＝１，２，３，４）

Ｎｉ＝１２

（１－ξ２）（１＋η０） （ｉ＝５，７）

Ｎｉ＝１２

（１－η２）（１＋ξ０） （ｉ＝６，８

烍

烌

烎）

（７４７）

其中，ξ０＝ξｉξ，η０＝ηｉη，而ξｉ，ηｉ为节点ｉ的局部坐标。

图７５ 厚板单元中面

（２）坐标变换

与平面问题中等参单元的坐标变换相似，单元中面内任一点的整体坐标可

用局部坐标表示为

ｘ＝∑ｍ

ｉ＝１Ｎｉ（ξ，η）ｘｉ， ｙ＝∑

ｍ

ｉ＝１Ｎｉ（ξ，η）ｙｉ

其中，（ｘｉ，ｙｉ）为节点ｉ的整体坐标；ｍ 为单元的节点数。对于板来讲，ζ面（即

距离中面为ζ的面）上各点的整体坐标（ｘｉ，ｙｉ）显然与中面的相同。

设板的厚度为ｔ，则单元内任一点的ｚ坐标为ｚ＝ｔζ／２。于是，单元坐标变

换公式为

ｘ＝∑ｍ

ｉ＝１Ｎｉ（ξ，η）ｘｉ， ｙ＝∑

ｍ

ｉ＝１Ｎｉ（ξ，η）ｙｉ， ｚ＝ｔζ／２ （７４８）

（３）位移函数

挠度和转角各自独立插值，单元中面内任一点（ξ，η）的位移分量为

ｗ ＝∑ｍ

ｉ＝１Ｎｉｗｉ， θｘ＝∑

ｍ

ｉ＝１Ｎｉθｘｉ， θｙ＝∑

ｍ

ｉ＝１Ｎｉθｙｉ （７４９ａ）

或

ｕ＝ｗθｘθ烅烄

烆烍烌

烎ｙ

＝［Ｎ１Ｉ Ｎ２Ｉ ⋯ ＮｍＩ］ａｅ＝Ｎａｅ （７４９ｂ）

９２１７２ 厚 板 单 元

其中，Ｉ是三阶单位矩阵；而

ａｅ＝ａ１…

ａ烅烄

烆烍烌

烎ｍ

， ａｉ＝

ｗｉθｘｉθｙ

烅烄

烆烍烌

烎ｉ

（ｉ＝１，２，⋯，ｍ） （７５０）

将式（７４９）代入式（７３６），（７３７）得

κ＝Ｂｂａｅ， γ＝Ｂｓａｅ （７５１）

其中，Ｂｂ为弯曲应变矩阵；Ｂｓ为剪切应变矩阵，它们分别为

Ｂｂ＝［Ｂｂ１ Ｂｂ２ ⋯ Ｂｂｍ］， Ｂｓ＝［Ｂｓ１ Ｂｓ２ ⋯ Ｂｓｍ］（７５２ａ）

Ｂｂｉ＝

０ －Ｎｉｘ ０

０ ０ －Ｎｉｙ

０ －Ｎｉｙ －

Ｎｉ

熿

燀

燄

燅ｘ

， Ｂｓｉ＝

Ｎｉｘ －Ｎｉ ０

Ｎｉｙ ０ －Ｎ

熿

燀

燄

燅ｉ

（７５２ｂ）

将泛函（７４４）离散，再将式（７５１）代入，则由泛函的变分为零得

Ｋａ＝（Ｋｂ＋Ｋｓ）ａ＝Ｐ （７５３）

其中

Ｋｂ＝∑ｅＫｅｂ， Ｋｓ＝∑

ｅＫｅｓ， Ｐ＝∑

ｅＰｅ （７５４）

Ｋｅｂ＝∫ＡｅＢＴｂＤｂＢｂｄＡ， Ｋｅｓ＝∫ＡｅＢＴｓＤｓＢｓｄＡ （７５５）

若仅有板面分布荷载作用，则单元等效节点荷载向量为

Ｐｅ＝∫ＡｅＮＴｑ烅烄

烆烍烌

烎００ｄＡ （７５６）

７３ ＤＫＴ单元

７３１ 基本思想

离散Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ理论的基本思想是在若干离散点上满足Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ直法线假

设。基于这种理论构造薄板单元时，ｗ，θｘ，θｙ 也各自独立插值；然后在若干离

０３１ 第７章 平板结构

散点上引入直法线假设。例如，对于三角形ＤＫＴ单元（图７６），在单元节点处

强迫下述条件实现（文献６）

ｗ（ ）ｘ ｉ

－θｘｉ＝０， ｗ（ ）ｙ ｉ

－θｙｉ＝０， （ｉ＝１，２，３） （７５７）

ｗ（ ）ｓ ｋ

－θｘｋ＝０ （ｋ＝４，５，６） （７５８）

这样，从厚板出发的ＤＫＴ单元便只能适用于薄板。当然，问题的泛函也恢复为

经典薄板理论的泛函表达式

Πｐ＝∫Ａ１２κＴＤｂκｄＡ－∫ＡｑｗｄＡ （７５９）

图７６ 三角形ＤＫＴ单元

取ｗｉ，θｘｉ，θｙｉ为角节点参数；θｘｉ，θｙｉ为边中节点

参数。根据所选的节点参数，可假设单元内θｘ，

θｙ二次变化

θｘ＝∑６

ｉ＝１Ｎｉθｘｉ， θｙ＝∑

６

ｉ＝１Ｎｉθｙｉ （７６０）

其中，Ｎｉ 就是平面６节点三角形单元的形函

数，见第３章式（３３３）。通过假设单元边界上

转角的分布，可以从上式中消去边中节点的转

角，从而使单元节点位移向量仅包含９个角点参数。

７３２ 边界转角

单元边界上法向和切向转角θｎ，θｓ与θｘ，θｙ之间的关系为

θｎθ烅烄

烆烍烌

烎ｓ＝ｎｘ ｎｙ－ｎｙ ｎ

［ ］ｘ

θｘθ烅烄

烆烍烌

烎ｙ，

θｘθ烅烄

烆烍烌

烎ｙ＝ｎｘ －ｎｙｎｙ ｎ

［ ］ｘ

θｎθ烅烄

烆烍烌

烎ｓ（７６１）

（１）法向转角

每条边界的两端有两个法向转角θｎｉ，θｎｊ，故可假设θｎ 法向转角沿边界线性

分布，从而边中节点的θｎｋ为

θｎｋ＝１２

（θｎｉ＋θｎｊ） （ｋ＝４，５，６；ｉ＝１，２，３；ｊ＝２，３，１） （７６２）

（２）切向转角

每条边界的两端有两个挠度ｗｉ，ｗｊ，两个切向转角θｓｉ＝ｗ（ ）ｓ ｉ

，θｓｊ＝ｗ（ ）ｓ ｊ

，

故可假设挠度是边界线坐标ｓ的三次式，从而可确定边中节点的切向转角

１３１７３ ＤＫＴ单元

θｓｋ＝－３２ｌｉｊ

（ｗｉ－ｗｊ）－１４

（θｓｉ＋θｓｊ） （７６３）

其中，ｌｉｊ为单元的ｉｊ边界线长。

７３３ 单元计算

将式（７６２），（７６３）代入式（７６１），可得各边中节点的θｋｘ，θｋｙ；再代入式

（７６０）得

θｘ＝Ｈｘａｅ， θｙ＝Ｈｙａｅ （７６４）

其中

ａｅ＝［ｗ１ θｘ１ θｙ１ ｗ２ θｘ２ θｙ２ ｗ３ θｘ３ θｙ３］Ｔ

单元的广义应变为

κ＝

κｘ

κｙ

κｘ

烅

烄

烆

烍

烌

烎ｙ

＝

－θｘｘ

－θｙｙ

－θｘｙ－

θｙ

烅

烄

烆

烍

烌

烎ｘ

＝Ｂａｅ （７６５）

单元刚度矩阵为

Ｋｅ＝∫ＡｅＢＴＤｂＢｄＡ＝２Ａ∫１

０∫１－Ｌ１

０ＢＴＤｂＢｄＬ１ｄＬ２ （７６６）

在构造ＤＫＴ单元的过程中，挠度场ｗ 并没有出现。为了计算单元等效节

点荷载，可假设单元挠度场

ｗ ＝∑３

ｉ＝１Ｎｉｗｉ＝Ｎｗａｅ （７６７）

其中

Ｎｗ＝［Ｎ１ ０ ０ Ｎ２ ０ ０ Ｎ３ ０ ０］

而Ｎｉ为３节点三角形单元的形函数，见第１章式（１１０）。若板面上作用分布荷

载ｑ，则

Ｐｅ＝∫ＡｅｑＮＴｗｄＡ （７６８）

若为均布荷载，则

２３１ 第７章 平板结构

Ｐｅｉ＝∫Ａｅｑ［Ｎｉ ０ ０］ＴｄＡ＝ｑＡ３

［１ ０ ０］Ｔ （ｉ＝１，２，３）

７４ 通用板单元

７４１ 板单元的通用性

薄板单元是基于薄板理论构造的，当然只适用于薄板。ＤＫＴ板单元在单元

节点处强制性地引入了薄板条件，故也只适用于薄板。在中厚板理论中，应变是

位移的一阶导数，因此基于这种理论构造单元只要求位移Ｃ０连续。我们已经

看到这种Ｃ０型单元的表达格式简单、便于应用，故很受工程界欢迎。然而，与

Ｃ０型梁单元相似，当板逐渐变薄时，Ｇａｕｓｓ点处的横向剪应变太大，而板的弯曲

变形则远小于实际变形；当板厚趋于零时，挠度趋于零，即出现剪切闭锁现象。

问题的根源与等参梁单元相似，即当板较厚时，挠度和转角是相互独立的变量，

故可分别独立插值；而当板很薄时，转角为挠度的导数而不再是独立的，分别独

立插值自然会出问题。

为了避免剪切闭锁现象，可采用减缩积分方案（文献９９）。然而，这种方法

并不总是有效，因为减缩积分可能造成零能模式，即采用非刚体位移模式时系统

的变形能为零（这在实际上是不可能的，之所以出现是因为减缩积分的缘故）。

７４２ 通用板单元的构造

鉴于上述厚板单元用于薄板时产生的困难，构造厚薄板通用的单元受到重

视。在前述构造通用梁单元时，通过假设剪应变场避免了剪切闭锁。用假设的

剪应变场代替式（７４４）中右边的第２项，同样成功地构造了无剪切闭锁的通用

板单元。构造通用单元的过程较复杂，这里仅以３节点三角形单元为例简要介

绍这种方法的基本思路，细节请参见文献５０。

（１）剪应变场

构造剪应变场的过程是：确定单元边线上的剪应变确定单元角点处的剪

应变确定单元剪应变场。

参照通用梁单元的做法，假设三角形单元各边的剪应变γｓ为常数，且当板厚

ｔ趋于零时，γｓ也趋于零；由γｓ确定单元各角点处的剪应变γｘｉ，γｙｉ，显然它们也将

随着γｓ而趋于零；同样地，由γｘｉ，γｙｉ插值而得到的剪应变场γｘ，γｙ也必将随γｘｉ，

γｙｉ而趋于零。这样，也就不会出现剪切闭锁现象。最后，剪应变场可表示为

γ＝Ｂｓａｅ （７６９）

３３１７４ 通用板单元

其中

ａｅ＝［ｗ１ θｘ１ θｙ１ ｗ２ θｘ２ θｙ２ ｗ３ θｘ３ θｙ３］Ｔ

（２）转角场

设三角形单元各边的法向转角θｎ 线性分布；而切向转角θｓ参照通用梁单

元的转角确定，参见式（６６１）。通过θｘ，θｙ 与θｎ，θｓ之间的关系，求得各边的转

角θｘ，θｙ。根据各边的转角θｘ，θｙ，通过插值确定单元内的转角场。

将转角场θｘ，θｙ代入式（７３６）得

κ＝Ｂｂａｅ （７７０）

（３）单元计算

将式（７６９），（７７０）代入离散后的势能泛函，由泛函变分为零可得有限元公

式。例如，单元刚度矩阵Ｋｅ为

Ｋｅ＝Ｋｅｂ＋Ｋｅｓ （７７１）

其中，Ｋｅｂ，Ｋｅｓ的算式在形式上与式（７５５）相同。

与ＤＫＴ单元相似，在上述构造单元的过程中，挠度场ｗ 也没有出现，可采

用类似的方法假设单元挠度，用于计算单元等效节点荷载。

７５ 结 语

在平板弯曲问题的有限元分析领域，学者们投入了大量精力，并提出了多种

板单元。由于完全协调的薄板单元难以构造，而且这种协调单元显得过刚，因此

非协调单元得到广泛应用。在厚板有限元分析中，基于中厚板理论构造的Ｃ０

型单元很受工程界欢迎。然而，由于Ｃ０型板单元用于薄板时出现剪切闭锁，故

构造优质通用板单元是有价值的。

此外，杂交板单元、混合板单元、拟协调板单元以及广义协调板单元颇受重

视（文献４０，６７，４６，１０）。这些内容将在第１２章中介绍。

习 题

７１ 在薄板弯曲理论中做了哪些假设？如何用中面位移确定板内任一点的位

移？

７２ 薄板单元和厚板单元的基本假设有什么不同？各自是怎样选择节点位移

参数的？

７３ 在薄板单元中，节点力矩与薄板内力有何区别？

７４ 设矩形薄板单元中心处作用法向集中力Ｐ。试按照静力等效原则计算其

４３１ 第７章 平板结构

等效节点荷载。

７４ 答案：Ｐｅ＝Ｐ １４ｂ８－ａ８１４ｂ８ａ８１４－ｂ８ａ８１４－ｂ８－ａ［ ］８

Ｔ

７５ 设弹性薄板位于弹性地基之上（例如水泥混凝土路面、建筑物的筏板基础

等）。试采用Ｗｉｎｋｌｅｒ地基模型（即地基反力ｐ＝－ｋｗ，其中ｋ为基床系

数），推导有限元方程。（提示：将地基反力作为分布荷载，计算其等效节点

荷载。）

７４ 答案：（Ｋ１＋Ｋ２）ａ＝Ｐ，其中Ｋ１为通常情况下的整体刚度矩阵；Ｋ２是因

地基反力的存在而形成的整体刚度矩阵，由单元刚度矩阵Ｋｅ２集合而成，

而Ｋｅ２为

Ｋｅ２＝ｋＡＮＴＮｄｘｄｙ

７６ 试计算薄板弯曲时的弹性应变能。

７４ 答案：Ｕε＝１２∫Ω（σｘεｘ＋σｙεｙ＋τｘｙγｘｙ）ｄΩ＝１２∫ΩσＴεｄΩ

＝１２∫Ａ（Ｍｘκｘ＋Ｍｙκｙ＋Ｍｘｙκｘｙ）ｄＡ＝１２∫ＡＭＴκｄΩ７４ 其中，Ａ是板面积；Ｍ 是广义应力；κ是广义应变。

５３１习 题

第８

章

壳体结构

壳体结构的几何形状和变形现象都很复杂，控制方程的求解相当困难。事

实上，只有在很特殊的情况下才能得到解析解，而且解的形式通常相当复杂，不

便于实际应用。在这种情况下，有限单元法自然成为壳体结构分析的有力工

具。

采用有限单元法分析壳体时，主要有三种类型的单元和模拟形式：（１）用平

板型壳单元组成的折板系统去代替原来的壳体，由平面应力状态和平板弯曲应

力状态加以组合而得壳体的应力状态；（２）采用曲面型壳单元离散壳体，根据壳

体理论推导单元刚度矩阵；（３）采用由三维实体单元退化而成的退化型壳单元，

基于空间弹性理论建立有限元公式。本章将分别介绍这三种类型的壳单元。

８１ 平板型壳单元

８１１ 基本假设

壳体两曲面之间的距离ｔ称为壳体的厚度，平分壳体厚度的曲面称为中曲

面或中 面。当 壳 体 的 厚 度 比 最 小 曲 率 半 径ｒｍｉｎ等 其 他 尺 寸 小 得 多（例 如

ｔ／ｒｍｉｎ≤１／２０）时，称为薄壳，否则称为厚壳。实际壳体的ｔ／ｒｍｉｎ多在１／１０００和

１／５０之间，故大都可以按薄壳进行计算。

（１）理论假设

与薄板问题相似，薄壳发生微小变形时，也可以忽略沿壳体厚度方向的挤压

变形，且认为直法线假设成立，即变形后中面法线保持为直线且仍为中面的法

线。与薄板不同的是，壳体变形时中面不但发生弯曲，而且也将产生面内伸缩变

形。

（２）折板假设

将壳体划分为有限个单元，它们都是曲面单元。但是，当网格足够小时，壳

块将足够扁平，可近似地视为平板单元，它们拼成的折板体系可近似代替原来的

光滑壳体结构（文献２９）。常用的平板型壳单元有矩形壳单元和三角形壳单元

（文献９７，９８），其中矩形单元可用于离散柱壳；三角形单元适用于一般形状的壳

体。

（３）非耦合假设

壳体承受弯矩和面内力，而且它们将引起互相关联的变形，即耦合作用。但

在小变形情况下，就单元而言，可以认为横向弯曲与面内位移互不相关。这就是

非耦合假设。这样一来，就可以分别研究两者各自的单元特性，然后加以简单组

合。也就是说，薄壳的应力状态可以认为是平面应力状态和板弯曲应力状态的

简单组合，平板型壳单元的刚度矩阵可由平面应力单元（也称为平面膜元）和平

板弯曲单元的刚度矩阵组合而成。当然，面内变形与弯曲变形不耦合只是在局

部坐标系下的单元内部成立，而单元组装时两者的耦合效应将会出现。

在薄壳的直法线假设下，只需分析壳体中面的位移即可。这意味着位移只

是中面内两个坐标的函数，因此薄壳问题是一种准二维问题。局部坐标系的ｘ轴和ｙ轴取在单元所在平面内，以板面的法线方向作为ｚ轴。板单元的任一节

点ｉ有３个线位移分量，即板平面内的位移ｕｉ，ｖｉ和横向位移ｗｉ；还有２个法线

角位移分量θｘｉ和θｙｉ。这样每个节点有５个自由度，前两个对应于平面应力问

题，后３个对应于平板弯曲问题。

８１２ 矩形单元

具有正交边界的柱形壳体结构，可沿其母线方向及垂直于母线的方向把柱

壳划分成一些矩形单元。建立局部坐标系，原点放在矩形的形心，图８１中标出

了节点２的５个自由度。

图８１ 柱壳与矩形单元

（１）局部坐标系Ｋｅ

在局部坐标系下，与面内变形有关的情况同平面问题４节点矩形单元完全

一样，其单元刚度方程可写为

Ｆｐ＝Ｋｐａｐ （８１）

其中，节点力向量Ｆｐ和节点位移向量ａｐ分别为

７３１８１ 平板型壳单元

Ｆｐ＝

Ｆｐ１Ｆｐ２Ｆｐ３Ｆｐ

烅

烄

烆

烍

烌

烎４

， Ｆｐｉ＝ＵｉＶ烅烄

烆烍烌

烎ｉ； ａｐ＝

ａｐ１ａｐ２ａｐ３ａｐ

烅

烄

烆

烍

烌

烎４

， ａｐｉ＝ｕｉｖ烅烄

烆烍烌

烎ｉ

单元刚度矩阵Ｋｐ由式（３２１）给出，这里可改写为

Ｋｐ＝

ｋｐ１１ ｋｐ１２ ｋｐ１３ ｋｐ１４ｋｐ２１ ｋｐ２２ ｋｐ２３ ｋｐ２４ｋｐ３１ ｋｐ３２ ｋｐ３３ ｋｐ３４ｋｐ４１ ｋｐ４２ ｋｐ４３ ｋｐ

熿

燀

燄

燅４４

（８２）

在局部坐标系下，与弯曲变形有关的情况同４节点矩形薄板弯曲单元完全

一样，其单元刚度方程可写为

Ｆｂ＝Ｋｂａｂ （８３）

其中，节点力向量Ｆｂ和节点位移向量ａｂ分别为

Ｆｂ＝

Ｆｂ１Ｆｂ２Ｆｂ３Ｆｂ

烅

烄

烆

烍

烌

烎４

， Ｆｂｉ＝

ＷｉＭｘｉＭｙ

烅烄

烆烍烌

烎ｉ

； ａｂ＝

ａｂ１ａｂ２ａｂ３ａｂ

烅

烄

烆

烍

烌

烎４

， ａｂｉ＝

ｗｉθｘｉθｙ

烅烄

烆烍烌

烎ｉ

单元刚度矩阵Ｋｂ由式（７２４）给出，这里可改写为

Ｋｂ＝

ｋｂ１１ ｋｂ１２ ｋｂ１３ ｋｂ１４ｋｂ２１ ｋｂ２２ ｋｂ２３ ｋｂ２４ｋｂ３１ ｋｂ３２ ｋｂ３３ ｋｂ３４ｋｂ４１ ｋｂ４２ ｋｂ４３ ｋｂ

熿

燀

燄

燅４４

（８４）

根据前述假定，平面应力状态下的节点力与弯曲应力状态下的节点位移互

不影响；弯曲应力状态下的节点力与平面应力状态下的节点位移也互不影响，因

此很容易把两部分单元刚度方程和矩阵拼合起来得到矩形壳单元的刚度方程和

矩阵。矩形单元有２０个自由度，其单元刚度矩阵为２０×２０的方阵。然而，在整

体坐标系中，壳体单元每个节点有６个自由度。为了便于从局部坐标系到整体

坐标系的转换，在单元局部坐标系中可增加节点角位移θｚｉ，即单元平面内的转

角或法线绕ｚ轴的转角。这样，每个节点有６个自由度，节点ｉ的位移向量及对

应的节点力向量分别为

８３１ 第８章 壳体结构

ａｉ＝

ａｐｉａｂｉθ烅烄

烆烍烌

烎ｚｉ

， Ｆｉ＝

ＦｐｉＦｂｉＭ烅烄

烆烍烌

烎ｚｉ

， （ｉ＝１，２，３，４）

单元刚度矩阵被扩大成为２４×２４阶方阵。壳体方程中并没有涉及到θｚｉ，故对

应于θｚｉ的行和列皆为零元素。这样，平板壳单元刚度方程为

Ｆｅ＝Ｋｅａｅ （８５）

若将单元刚度矩阵写成分块形式

Ｋｅ＝

ｋ１１ ｋ１２ ｋ１３ ｋ１４ｋ２１ ｋ２２ ｋ２３ ｋ２４ｋ３１ ｋ３２ ｋ３３ ｋ３４ｋ４１ ｋ４２ ｋ４３ ｋ

熿

燀

燄

燅４４

（８６）

则其中的子块为

ｋｉｊ＝

ｋｐｉｊ ０ ０ ０ ００ ０ ０ ０

０ ０ ００ ０ ｋｂｉｊ ００ ０ ０

熿

燀

燄

燅０ ０ ０ ０ ０ ０

（８７

帿帿帿

帿帿帿 帿帿帿帿帿帿

帿帿帿帿帿

帿帿帿帿帿 帿帿帿帿帿帿帿帿帿帿

）

（２）整体坐标系Ｋｅ

在列节点平衡方程时，不同局部坐标系下得到的各相关单元节点力不能直

接叠加，从而单元刚度矩阵不能直接集成为整体刚度矩阵。这就需要将单元刚

度方程变换到统一的整体坐标系之中。局部坐标与整体坐标之间的关系为

图８２ 坐标轴

ｘ

烅烄

烆烍烌

烎

ｙｚ＝

ｃｏｓ（ｘ，ｘ） ｃｏｓ（ｘ，ｙ） ｃｏｓ（ｘ，ｚ）

ｃｏｓ（ｙ，ｘ） ｃｏｓ（ｙ，ｙ） ｃｏｓ（ｙ，ｚ）

ｃｏｓ（ｚ，ｘ） ｃｏｓ（ｚ，ｙ） ｃｏｓ（ｚ，ｚ

熿

燀

燄

燅）

ｘ

烅

烄

烆

烍

烌

烎

ｙｚ＝

ｘ

烅

烄

烆

烍

烌

烎

ｙｚ

（８８）

其中，为局部坐标系ｘｙｚ对整体坐标系ｘｙｚ的方向余

弦矩阵。

柱壳的母线是相互平行的，若取整体坐标系的ｙ轴

与母线方向一致，则各单元的局部坐标轴ｙ均可取与ｙ轴

一致。从ｙ轴向看去，其他坐标轴之间的关系如图８２所

示。设单元的ｚ轴与ｚ轴间的夹角为φ（从ｚ轴逆时针旋

９３１８１ 平板型壳单元

转到ｚ轴时为正），则有

＝ｃｏｓφ ０ －ｓｉｎφ０ １ ０ｓｉｎφ ０ ｃｏｓ

熿

燀

燄

燅φ

（８９）

显然，节点ｉ的位移分量在不同坐标系中具有如下关系

ｕｉｖｉｗｉθｘｉθｙｉθ

烅

烄

烆

烍

烌

烎ｚｉ

＝

ｃｏｓφ ０ －ｓｉｎφ ０ ０ ００ １ ０ ０ ０ ０ｓｉｎφ ０ ｃｏｓφ ０ ０ ００ ０ ０ ｃｏｓφ ０ －ｓｉｎφ０ ０ ０ ０ １ ００ ０ ０ ｓｉｎφ ０ ｃｏｓ

熿

燀

燄

燅φ

ｕｉｖｉｗｉθｘｉθｙｉθ

烅

烄

烆

烍

烌

烎ｚｉ

＝λ

ｕｉｖｉｗｉθｘｉθｙｉθ

烅

烄

烆

烍

烌

烎ｚｉ

或

ａｉ＝λａｉ （ｉ＝１，２，３，４） （８１０）

式中

λ＝００［ ］

（８１１）

不难看出，４节点单元的节点位移变换公式为

ａｅ＝Ｔａｅ （８１２）

其中，Ｔ为变换矩阵，表达式为

Ｔ＝

λ ０ ０ ００ λ ０ ００ ０ λ ００ ０ ０

熿

燀

燄

燅λ

（８１３）

同理有单元节点力变换公式

Ｆｅ＝ＴＦｅ （８１４）

将式（８１２），（８１４）代入式（８５），可得整体坐标系下的单元刚度方程

Ｆｅ＝Ｋｅａｅ （８１５）

其中，整体坐标系下单元刚度矩阵为

Ｋｅ＝ＴＴＫｅＴ （８１６）

０４１ 第８章 壳体结构

８１３ 三角形单元

具有３个节点的三角形单元应用较广，使用价值较大，因为它可以适应壳体

的复杂外形。把平面应力问题和薄板弯曲问题中的三角形单元刚度矩阵结合起

来，即可得到组合应力状态下三角形单元的刚度矩阵，其组合方法与矩形单元相

似，只是单元刚度矩阵是１８×１８阶的。

（１）局部坐标系Ｋｅ

在三角形板上建立局部坐标系（方法见后）。局部坐标系下的单元刚度矩阵

经组合而成，其分块形式为

Ｋｅ＝

ｋ１１ ｋ１２ ｋ１３ｋ２１ ｋ２２ ｋ２３ｋ３１ ｋ３２ ｋ

熿

燀

燄

燅３３

（８１７）

其中，子块ｋｉｊ的形式见式（８７）。

（２）整体坐标系Ｋｅ

经坐标变换，不难得到整体坐标系下的单元刚度矩阵

Ｋｅ＝ＴＴＫｅＴ （８１８）

其中，变换矩阵为

Ｔ＝λ ０ ００ λ ００ ０

熿

燀

燄

燅λ

（８１９）

图８３ 坐标轴

而λ见式（８１１）。

（３）坐标变换矩阵Ｔ现说明三角形单元局部坐标系的建立及变换矩阵

的确定。以节点１为局部坐标系的原点，并取１２边为

ｘ轴，中面内与ｘ轴垂直的轴为ｙ轴，与ｘｙ面垂直且

符合右手法则的方向为ｚ轴（图８３）。根据３个节点

的整体坐标，可以确定方向余弦矩阵。

ｘ轴的方向余弦：单元１２边的长度用ｓ表示，则

ｓ＝ （ｘ２－ｘ１）２＋（ｙ２－ｙ１）２＋（ｚ２－ｚ１）槡 ２

ｓ在整体坐标ｘ，ｙ，ｚ轴上的投影分别为ｘ２－ｘ１，ｙ２－ｙ１，ｚ２－ｚ１，故ｘ轴的方向

余弦为

１４１８１ 平板型壳单元

α１＝ｃｏｓ（ｘ，ｘ）＝（ｘ２－ｘ１）／ｓ

α２＝ｃｏｓ（ｘ，ｙ）＝（ｙ２－ｙ１）／ｓ

α３＝ｃｏｓ（ｘ，ｚ）＝（ｚ２－ｚ１）／

烍烌

烎ｓ

（８２０）

ｚ轴的方向余弦：从节点１到节点２的矢量用ｖ１２表示，从节点１到节点３的矢量用ｖ１３表示。显然，ｖ１２与ｖ１３矢量积的方向为ｚ轴正向，其模为三角形单

元面积的２倍，即

｜ｖ１２×ｖ１３｜＝２Ａ

若，ｘ，ｙ，ｚ，轴的单位矢量分别为ｉ，ｊ，ｋ，则

ｖ１２＝（ｘ２－ｘ１）ｉ＋（ｙ２－ｙ１）ｊ＋（ｚ２－ｚ１）ｋｖ１３＝（ｘ３－ｘ１）ｉ＋（ｙ３－ｙ１）ｊ＋（ｚ３－ｚ１）ｋ

ｖ１２×ｖ１３＝

ｉ ｊ ｋｘ２－ｘ１ ｙ２－ｙ１ ｚ２－ｚ１ｘ３－ｘ１ ｙ３－ｙ１ ｚ３－ｚ１

由此可得ｚ轴的方向余弦为

γ１＝ｃｏｓ（ｚ，ｘ）＝［（ｙ２－ｙ１）（ｚ３－ｚ１）－（ｚ２－ｚ１）（ｙ３－ｙ１）］／（２Ａ）

γ２＝ｃｏｓ（ｚ，ｙ）＝［（ｚ２－ｚ１）（ｘ３－ｘ１）－（ｘ２－ｘ１）（ｚ３－ｚ１）］／（２Ａ）

γ３＝ｃｏｓ（ｚ，ｚ）＝［（ｘ２－ｘ１）（ｙ３－ｙ１）－（ｙ２－ｙ１）（ｘ３－ｘ１）］／（２Ａ

烍烌

烎）

（８２１）

ｙ轴的方向余弦：根据式（８２０）和（８２１），ｘ轴和ｚ轴的单位矢量分别为

α１ｉ＋α２ｊ＋α３ｋ和γ１ｉ＋γ２ｊ＋γ３ｋ，故ｙ轴的单位矢量为

β１ｉ＋β２ｊ＋β３ｋ＝（γ１ｉ＋γ２ｊ＋γ３ｋ）×（α１ｉ＋α２ｊ＋α３ｋ）

＝（γ２α３－γ３α２）ｉ＋（γ３α１－γ１α３）ｊ＋（γ１α２－γ２α１）ｋ

可见，ｙ轴的方向余弦为

β１＝ｃｏｓ（ｙ，ｘ）＝γ２α３－γ３α２

β２＝ｃｏｓ（ｙ，ｙ）＝γ３α１－γ１α３

β３＝ｃｏｓ（ｙ，ｚ）＝γ１α２－γ２α

烍烌

烎１

（８２２）

从而

＝

α１ α２ α３β１ β２ β３γ１ γ２ γ

熿

燀

燄

燅３

（８２３）

２４１ 第８章 壳体结构

单元组装和数值计算与标准程序完全相同。需要指出的是，计算所得节点

位移是相对于整体坐标系的。因此，计算应力和应变（设计所需为局部坐标系下

的数值）时，必须把整体坐标下的单元节点位移转换为局部坐标系下的单元节点

位移。

８１４ 等效节点荷载

对于每个单元，壳体上作用的荷载可分解成两组，即一组作用在平面内，另

一组则垂直于平面。首先分别按平面应力问题和薄板弯曲问题，计算上述两组

荷载的单元等效节点荷载；其次将算得的节点荷载加以简单组合，并在与θｚｉ相

应的位置补充零，从而得到局部坐标系中的单元等效节点荷载向量Ｐｅ；再次通

过坐标转换求出整体坐标系中的单元等效节点荷载向量Ｐｅ；最后集合成整体节

点荷载列阵Ｐ。

一般地说，在分布荷载作用下，单元的等效节点荷载包括力和力矩分量。当

单元比较小时，可忽略力矩分量，并把单元承受的外载合力平均分摊到单元的各

节点上。例如，设壳面承受法向分布荷载ｐ（与局部坐标ｚ轴同相时为正），它在

三角形单元３个节点上的强度分别为ｐ１，ｐ２，ｐ３，则作用于单元上的荷载之合力

为

Ｒ＝Ａ３（ｐ１＋ｐ２＋ｐ３）

其中，Ａ为单元面积。把上述合力平均分摊到３个节点上，并转换到整体坐标

系中，得到整体坐标系中的节点荷载

ＸｉＹｉＺ烅烄

烆烍烌

烎ｉ

＝Ｒ３

ｃｏｓ（ｘ，ｚ）

ｃｏｓ（ｙ，ｚ）

ｃｏｓ（ｚ，ｚ烅烄

烆烍烌

烎）（８２４）

８１５ 特殊情况的处理

（１）单元共面问题

把各单元的刚度矩阵、节点荷载向量加以集成，得到整体刚度矩阵Ｋ 和整

体节点荷载向量Ｐ，以及整体刚度方程

Ｋａ＝Ｐ （８２５）

通常情况下，引入位移边界条件便可求解上述方程组。但有一种特殊情况

需要注意。如果交汇于某节点的所有单元都位于同一个平面内，则由于Ｋｅ 中

θｚ方向的刚度系数均为零，局部坐标系中该节点的第６个平衡方程将是

３４１８１ 平板型壳单元

０＝０ （８２６）

如果整体坐标与上述单元局部坐标一致，则整体刚度矩阵的行列式｜Ｋ｜＝０；如

果整体坐标与局部坐标不一致，经过变换后在该节点处得到６个表面上独立的

６个平衡方程。然而，由于式（８２６），行列式｜Ｋ｜的行向量是线性相关的，从而

仍有｜Ｋ｜＝０。

（２）虚拟旋转刚度

为排除｜Ｋ｜＝０而无法求解的困难，可以在局部坐标系内建立上述特殊节

点的平衡方程，并删去θｚ方向的平衡方程０＝０。于是，剩下的方程组满足有唯

一解的条件。

上述方法在程序设计上实施起来比较麻烦。可采用下述方法处理：在这些

特殊节点上给以任意的虚拟刚度系数ｋθｚθｚ，这样局部坐标系中θｚ 方向的平衡方

程为

ｋθｚθｚθｚｉ＝０ （８２７）

经过坐标变换，整体坐标系中的该节点平衡方程将满足有唯一解的条件。由于

θｚ并不影响应力，而且与其他节点平衡方程无关，故可赋予ｋθｚθｚ任何值。

（３）新型平面膜元

采用虚拟旋转刚度，需要判断是否有单元共面，故增加了编程的复杂性。一

种较好的替代方案是在平面膜元角点上增加旋转自由度θｚ，使其有对应的刚度

（文献９，４９）。这样不仅能自动处理相邻节点单元共面所产生的问题，而且还可

以非常方便地与平板单元、曲壳单元及梁单元相连接。

８２ 曲面型壳单元

平板型壳单元概念直观、公式简单，只要单元划分足够密集，用折板系统代

替实际壳体所得解答可以满足工程要求。但是平板壳单元也存在一些缺点。例

如，在单元水平上，位移和应变关系没有体现薄膜和弯曲变形的耦合，只有通过

单元组合在总体结构中实现这种耦合作用；由于几何上的近似，在单元交界处会

出现不连续的弯矩，而这在连续的壳体结构中是不出现的。

为克服平板型壳单元的缺陷，人们自然试图开发能反映壳体的真实几何形

状曲面壳单元。采用这种曲面单元，在单元尺寸和形状相同时，可以得到更好的

计算结果。在各种壳体中，扁壳的描述和几何方程都比较简单，基于扁壳理论的

扁壳单元得到深入研究；而由于深壳理论的复杂性，要构造一种既满足完备性要

求又满足协调性要求的深壳单元是很困难的。本节首先介绍用于轴对称壳体分

４４１ 第８章 壳体结构

析的截锥单元，然后讨论基于扁壳理论的曲面壳单元。

８２１ 截锥单元

（１）基本方程

轴对称壳体中面上任一点的位置由φ和θ确定（图８４），其位移沿经（子

图８４ 轴对称薄壳

午）向、周向和法向的分量分别为ｕ，ｖ和ｗ。如

果轴对称壳体承受的荷载及支承条件为轴对称，

则壳体的变形也将是轴对称的。在轴对称问题

中，ｖ＝０，ｕ和ｗ 仅是经向弧长ｓ的函数，而与周

向角θ或周向弧长无关。根据薄壳理论中的直法

线假设和法向纤维无挤压假设，仅有经向应变εｓ和周向应变εθ不为零，此外还有中面经向和周向

的曲率变化κｓ和κθ。它们与中面位移的关系即

中面几何方程为

εｓ＝ｄｕｄｓ＋

ｗＲｓ

εθ＝１ｒ

（ｕｓｉｎφ＋ｗｃｏｓφ）

κｓ＝－ｄｄｓｄｗｄｓ－

ｕＲ（ ）ｓ

κθ＝－ｓｉｎφｒ

ｄｗｄｓ－

ｕＲ（ ）

烍

烌

烎ｓ

（８２８）

其中，φ为子午线与对称轴的夹角；Ｒｓ是经向的曲率半径；ｒ是平行圆半径。

壳体内任一点的应变可以用中面应变表示为

ε＝ε（ｚ）ｓ

ε（ｚ）烅烄

烆烍烌

烎θ＝εｓ＋ｚκｓεθ＋ｚκ烅烄

烆烍烌

烎θ（８２９）

其中，ｚ是该点至中面的距离，沿法向测量。

忽略次要的法向应力σｚ，则本构方程与平面应力问题的相同；再注意到剪

应变γｓθ＝０，则

σ＝σｓσ烅烄

烆烍烌

烎θ＝ Ｅ１－ν２

１νν［ ］１

ε（ｚ）ｓ

ε（ｚ）烅烄

烆烍烌

烎θ＝Ｄε （８３０）

（２）位移模式

基于薄壳理论的轴对称壳体单元实质上是一维单元，其中最早提出的是在

５４１８２ 曲面型壳单元

子午线方向为直线的截锥单元，其形状如图８５所示。单元中面上任一点在局

部坐标系中的经向位移ｕ和法向位移ｗ 可以分别表示为坐标ｘ的线性和三次

函数

ｕ＝α１＋α２ｘ

ｗ＝α３＋α４ｘ＋α５ｘ２＋α６ｘ烍烌

烎３（ａ）

其中的６个待定系数可由节点位移分量及其导数加以确定，它们满足的方程为

α１＝ｕ１， α３＝ｗ１， α４＝θ１， α１＋α２ｌ＝ｕ２α３＋α４ｌ＋α５ｌ２＋α６ｌ３＝ｗ２， α４＋２α５ｌ＋３α６ｌ２＝θ

烍烌

烎２（ｂ）

由式（ｂ）解出待定系数，然后将其代入式（ａ）得

ｕ＝ｕ｛ ｝ｗ ＝［Ｎ１ Ｎ２］

ａ１ａ烅烄

烆烍烌

烎２＝Ｎａｅ （８３１）

其中

Ｎ１＝１－ξ ０ ００ １－３ξ２＋２ξ３ ｌ（ξ－２ξ２＋ξ３

［ ］）

Ｎ２＝ξ ０ ００ ３ξ２－２ξ３ ｌ（－ξ２＋ξ３

［ ］烍

烌

烎）

（８３２）

而ξ＝ｘ／ｌ。ｌ为截锥单元经线的长度；ａｅ为局部坐标系中单元节点位移向量

ａｅ＝ａ１ａ烅烄

烆烍烌

烎２＝［ｕ１ ｗ１ θ１ ｕ２ ｗ２ θ２］Ｔ

图８５ 截锥单元

（３）局部坐标系Ｋｅ

在局部坐标系中，轴对称薄壳几何方程中的ｓ可用ｘ代替，而且因单元为直

线有曲率１／Ｒｓ＝０。将式（８３１）代入几何方程得

ε＝Ｂａｅ （８３３）

６４１ 第８章 壳体结构

单元刚度矩阵为

Ｋｅ＝∫ΩｅＢＴＤＢｄΩ＝２π∫ｌ

０ＢＴＤＢｒｄｘ＝２πｌ∫

１

０ＢＴＤＢｒｄξ （８３４）

（４）整体坐标系Ｋｅ

整体坐标系中的单元节点位移向量为

ａｅ＝ａ１ａ烅烄

烆烍烌

烎２＝［ｕ１ ｗ１ θ１ ｕ２ ｗ２ θ２］Ｔ

注意到ａｉ与ａｉ具有如下关系

ａｉ＝

ｕｉｗｉθ烅烄

烆烍烌

烎ｉ

＝ｃｏｓφ ｓｉｎφ ０－ｓｉｎφ ｃｏｓφ ０熿

燀

燄

燅０ ０ １

ｕｉｗｉθ

烅烄

烆烍烌

烎ｉ

＝λ珔ａｉ （ｉ＝１，２） （８３５）

整体坐标系中的单元刚度矩阵为

Ｋｅ＝ＴＴＫｅＴ （８３６）

其中转换矩阵为

Ｔ＝λ ００

［ ］λ

（８３７）

若令φ＝０，则截锥单元成为圆柱筒壳单元；若令φ＝９０°，则得到圆环板单

元。

为了更好地模拟轴对称壳体，可以采用曲边单元。此时，单元内的φ不再

是常数，单元的曲率１／Ｒｓ也不再是零。不过，这种单元的构造比较困难，也存

在一些难以克服的问题。此外，为考虑横向剪切变形的影响，可以构造位移和转

角各自独立插值的轴对称壳单元。这种单元在本质上与Ｍｉｎｄｌｉｎ板单元相似。

８２２ 扁壳单元

（１）扁壳定义

在直角坐标系中，壳体中面的方程可表示为

ｚ＝ｚ（ｘ，ｙ） （８３８）

曲面沿坐标轴向的曲率半径由下式计算

１Ｒｘ＝－

２ｚｘ２

， １Ｒｙ＝－

２ｚｙ２

， １Ｒｘｙ＝－

２ｚｘｙ

（８３９）

７４１８２ 曲面型壳单元

当 ｚ（ ）ｘ

２１，ｚ

（ ）ｙ２１时，曲面ｚ＝ｚ（ｘ，ｙ）称为扁曲面，以其为中面的壳

体称为扁壳。实际中，当壳体的矢高小于平面最小尺寸的１／５时即可按扁壳计

算。

（２）曲线坐标

分析壳体需建立便于描述壳体的正交曲线坐标系。对于扁壳，这项工作比

较简单。作平行于坐标面ｘｚ和ｙｚ的两组竖直面与中面相交，以交线作为坐标

曲线。其中ｙ＝常数的坐标线称为ｘ坐标线；ｘ＝常数的坐标线称为ｙ坐标线。

由于扁壳中面上的点与其在直角坐标系ｘｙ平面上的投影点一一对应，故（ｘ，ｙ）

既可看作中面上点的投影点的直角坐标，也可视为中面上点的曲线坐标。

显然，上述坐标线在中面上并非正交曲线，坐标线分割而成的网格也不是矩

形。但是，对于扁壳，可近似地将坐标线看作是正交的，网格也可视为矩形（图

８６）。现说明如下：设两坐标线的切线之间的夹角为β，则其余弦为

ｃｏｓβ＝ｚ（ ）ｘ ｚ

（ ）ｙ１＋ ｚ

（ ）ｘ槡２１＋ ｚ（ ）ｙ槡

２（８４０）

根据扁壳的定义，ｃｏｓβ≈０，即β≈π／２。这样，两坐标线及中面法线所组成的流

动坐标系可看作正交坐标系。

图８６ 扁壳单元

（３）基本方程

壳体中面上任一点（ｘ，ｙ，０）沿流动坐标轴的位移分量用ｕ，ｖ，ｗ 表示，壳

体内任一点（ｘ，ｙ，ｚ）的位移分量用ｕ，ｖ，ｗ 表示。采用薄壳理论中的直法线假

设和法向纤维无挤压假设，则

ｕ＝ｕ＋ｚθｙ， ｖ＝ｖ－ｚθｘ， ｗ＝ｗ （８４１）

其中

８４１ 第８章 壳体结构

θｘ＝ｗｙ

， θｙ＝－ｗｘ

（８４２）

根据扁壳理论，壳体内任一点的应变为

εｘ＝ｕｘ＋

ｗＲｘ

εｙ＝ｖｙ＋

ｗＲｙ

γｘｙ＝ｕｙ＋

ｖｘ＋

ｗＲｘ

烍

烌

烎ｙ

（８４３）

将式（８４１），（８４２）代入上式，可得壳体内部应变与中面位移之间的关系，即

εｘ＝ｕｘ＋

ｗＲｘ－ｚ

２ｗｘ２

εｙ＝ｖｙ＋

ｗＲｙ－ｚ

２ｗｙ２

γｘｙ＝ｕｙ＋

ｖｘ＋

ｗＲｘｙ－２ｚ

２ｗｘ

烍

烌

烎ｙ

（８４４）

由于上述曲线坐标系是正交的，故应力与应变之间仍服从广义Ｈｏｏｋｅ定律

σ＝Ｄε （８４５）

因次要应力σｚ的影响可忽略不计，故其中的弹性矩阵与平面应力条件下的完全

相同。

（４）单元计算

把坐标线分割成的网格看作４节点矩形单元，局部坐标取在单元的中心。

扁壳单元的位移函数可根据平面矩形单元和薄板弯曲矩形单元的位移函数组合

而成。根据平面问题中矩形单元的公式，扁壳中面切向位移可表示为

ｕ｛ ｝ｖ ＝Ｎｐ１ ０ Ｎｐ２ ０ Ｎｐ３ ０ Ｎｐ４ ０

０ Ｎｐ１ ０ Ｎｐ２ ０ Ｎｐ３ ０ Ｎｐ熿

燀

燄

燅４ａｅｐ （８４６）

其中

ａｅｐ＝［ｕ１ ｖ１ ｕ２ ｖ２ ｕ３ ｖ３ ｕ４ ｖ４］Ｔ

Ｎｐｉ＝（１＋ξ０）（１＋η０）／４ （ｉ＝１，２，３，４） （８４７）

其中，ξ０＝ξｉξ，η０＝ηｉη。

根据薄板弯曲问题中矩形单元的公式，扁壳中面法向位移可表示为

９４１８２ 曲面型壳单元

ｗ＝［Ｎｂ１ Ｎｂ２ Ｎｂ３ Ｎｂ４］ａｅｂ （８４８）

其中

ａｅｂ＝［ｗ１ θｘ１ θｙ１ ｗ２ θｘ２ θｙ２ ｗ３ θｘ３ θｙ３ ｗ４ θｘ４ θｙ４］Ｔ

Ｎｂｉ＝［Ｎｂｉ Ｎｂｘｉ Ｎｂｙｉ］ （ｉ＝１，２，３，４） （８４９）

Ｎｂｉ＝（１＋ξ０）（１＋η０）（２＋ξ０＋η０－ξ２－η２）／８

Ｎｂｘｉ＝－ｂηｉ（１＋ξ０）（１＋η０）（１－η２）／８

Ｎｂｙｉ＝ａξｉ（１＋ξ０）（１＋η０）（１－ξ２）／

烍烌

烎８

（８５０）

经简单组合，可得扁壳单元的位移函数

ｕ＝［Ｎ１ Ｎ２ Ｎ３ Ｎ４］ａｅ＝Ｎａｅ （８５１）

其中

ｕ＝ｕｖ烅烄

烆烍烌

烎ｗ

， Ｎｉ＝

Ｎｐｉ ０ ０ ０ ０

０ Ｎｐｉ ０ ０ ０

０ ０ Ｎｂｉ Ｎｂｘｉ Ｎｂｙ

熿

燀

燄

燅ｉ

， ａｅ＝ａ１…

ａ烅烄

烆烍烌

烎４

（８５２）

ａｉ＝［ｕｉ ｖｉ ｗｉ θｘｉ θｙｉ］Ｔ （ｉ＝１，２，３，４）

确定单元位移函数后，单元计算的其他步骤便进入标准程序。例如，将式

（８５１）代入几何方程（８４４）得

ε＝Ｂａｅ （８５３）

再代入本构方程（８４５）得

σ＝Ｄε＝ＤＢａｅ （８５４）

根据普遍公式（１１８），单元刚度矩阵为

Ｋｅ＝∫ΩｅＢＴＤＢｄΩ （８５５）

当壳体不满足扁壳条件时，前述基本方程不再成立。但是，由于每个单元的

尺寸比较小，总可以对每个单元分别选择坐标系ｘｙｚ，使扁壳条件成立，从而可

按上述方法进行分析。当然，在这种情况下，回到整体坐标系时应进行变换。可

见，即使对于深壳，壳体有限元分析通常也可以不涉及复杂的壳体理论。

８３ 退化型壳单元

为了避免壳体理论和有限元公式的复杂性，提出了两种由实体单元退化而

成的Ｃ０型壳体单元，即超参数壳体单元和相对自由度壳体单元。这里仅介绍

０５１ 第８章 壳体结构

前者（文献１），而关于后者可参见文献８１，７３。

８３１ 单元定义

类似空间等参单元，在整体直角坐标系下描述单元的几何形状、计算位移和

应变；引入母单元和相应的局部坐标系ξηζ，在该坐标系下进行单元位移插值并

计算单元刚度矩阵。

壳体母单元是２×２×２的立方体，可以映射成复杂形状的子单元。ζ＝０为

单元的中面，ζ＝±１分别为单元的顶面和底面，它们均为曲面。壳体单元的节

点取在中面上，母单元和子单元的中面如图８７所示。

图８７ 壳体中面

过节点ｉ作中面的法线，与顶面和底面交点的整体坐标值分别记为

ｘｉｙｉｚ烅烄

烆烍烌

烎ｉ 顶

，

ｘｉｙｉｚ烅烄

烆烍烌

烎ｉ 底

于是，中面上节点ｉ的整体坐标（ｘｉ，ｙｉ，ｚｉ）为

ｘｉｙｉｚ烅烄

烆烍烌

烎ｉ

＝１２

ｘｉｙｉｚ烅烄

烆烍烌

烎ｉ 顶

＋１２

ｘｉｙｉｚ烅烄

烆烍烌

烎ｉ 底

（８５６）

中面上任一点的整体坐标可用局部坐标表示为

ｘ烅烄

烆烍烌

烎ｙｚ 中面

＝∑ｍ

ｉ＝１Ｎｉ

ｘｉｙｉｚ烅烄

烆烍烌

烎ｉ 中面

（８５７）

其中，Ｎｉ（ξ，η）为平面８节点等参单元的形函数，见式（５１３）。进一步，单元内

任一点的整体坐标可用局部坐标表示为

１５１８３ 退化型壳单元

ｘ烅烄

烆烍烌

烎ｙｚ＝∑

ｍ

ｉ＝１Ｎｉ

ｘｉｙｉｚ烅烄

烆烍烌

烎ｉ 中面

＋∑ｍ

ｉ＝１Ｎｉζ２

ΔｘｉΔｙｉΔｚ烅烄

烆烍烌

烎ｉ

（８５８）

其中，Δｘｉ，Δｙｉ，Δｚｉ分别为节点ｉ在中面法线方向的坐标差值，即

ΔｘｉΔｙｉΔｚ烅烄

烆烍烌

烎ｉ

＝

ｘｉｙｉｚ烅烄

烆烍烌

烎ｉ 顶

－

ｘｉｙｉｚ烅烄

烆烍烌

烎ｉ 底

（８５９）

８３２ 位移函数

与厚板类似，厚壳结构变形前的中曲面法线变形后仍基本保持为直线，但因

图８８ 节点局部坐标系

横向剪切变形的缘故，该直线不再垂直于变形后

的中曲面。此外，壳体厚度方向的挤压变形也可

以忽略。这样，厚壳的位移场可用中面位移表

示，且退化型壳单元每个节点有５个自由度，即

沿整体坐标轴的３个线位移ｕｉ，ｖｉ，ｗｉ，中面法

线的２个转角位移αｉ，βｉ。为定义节点ｉ的角位

移，作３个正交向量Ｖ１ｉ，Ｖ２ｉ和Ｖ３ｉ，构成流动的

局部坐标系（图８８）。

（１）中面法线向量

过节点ｉ的中面法线向量用Ｖ３ｉ表示。显然

Ｖ３ｉ＝Δｘｉｉ＋Δｙｉｊ＋Δｚｉｋ （８６０）

其中，ｉ，ｊ，ｋ是整体坐标轴的单位基向量。Ｖ３ｉ的方向余弦为

ｌ３ｉ＝Δｘｉ／ｔｉｍ３ｉ＝Δｙｉ／ｔｉｎ３ｉ＝Δｚｉ／ｔ

烍烌

烎ｉ

（８６１）

其中，ｔｉ＝ （Δｘｉ）２＋（Δｙｉ）２＋（Δｚｉ）槡 ２为节点ｉ处的壳体厚度。

（２）中面切线向量

在节点ｉ处作向量Ｖ１ｉ和Ｖ２ｉ，均切于中面并正交于Ｖ３ｉ。为使局部坐标轴

与整体坐标轴大体一致，以利于成果的整理和边界条件的处理，令

Ｖ２ｉ＝Ｖ３ｉ×ｉ， Ｖ１ｉ＝Ｖ２ｉ×Ｖ３ｉ （８６２）

２５１ 第８章 壳体结构

即Ｖ２ｉ正交于Ｖ３ｉ和ｘ轴，Ｖ１ｉ正交于Ｖ２ｉ和Ｖ３ｉ。根据向量运算法则，不难由上

式求出Ｖ１ｉ的方向余弦（ｌ１ｉ，ｍ１ｉ，ｎ１ｉ）和Ｖ２ｉ的方向余弦（ｌ２ｉ，ｍ２ｉ，ｎ２ｉ）。

（３）位移函数

定义αｉ和βｉ分别为过节点ｉ的中面法线绕Ｖ２ｉ和Ｖ１ｉ的转角，以右手螺旋法

则标出的矢量沿坐标轴正向时为正。转角αｉ将引起Ｖ１ｉ方向的线位移，其大小

为ｔｉζαｉ／２，它在ｘ，ｙ，ｚ方向的分量分别为

ｔｉζαｉ２ｌ１ｉ

， ｔｉζαｉ２ ｍ１ｉ

， ｔｉζαｉ２ ｎ１ｉ

转角βｉ将在Ｖ２ｉ方向产生线位移，大小为ｔｉζβｉ／２，它在ｘ，ｙ，ｚ方向的分量分

别为

－ｔｉζβｉ２ｌ２ｉ

， －ｔｉζβｉ２ ｍ２ｉ

， －ｔｉζβｉ２ｎ２ｉ

利用形函数Ｎｉ（ξ，η），单元内任一点的位移可用中面节点位移表示如下

ｕｖ烅烄

烆烍烌

烎ｗ＝∑

ｍ

ｉ＝１Ｎｉ

ｕｉｖｉｗ烅烄

烆烍烌

烎ｉ＋∑

ｍ

ｉ＝１

Ｎｉｔｉζ２

ｌ１ｉ －ｌ２ｉｍ１ｉ －ｍ２ｉｎ１ｉ －ｎ２

熿

燀

燄

燅ｉ

αｉβ烅烄

烆烍烌

烎ｉ（８６３）

我们知道，在等参单元中，用于规定单元形状的自由度数与用于规定单元位

移的自由度数相等。如果用于规定单元形状的自由度数大于规定单元位移的自

由度数，则这种单元称为超参数单元。比较式（８５９），（８６３）可知，退化型壳单

元属于超参数单元。

８３３ 单元计算

（１）整体坐标系中的应变

将式（８６３）代入空间问题的几何方程，很容易得出整体坐标系中的单元应

变

ε＝Ｂａｅ＝［Ｂ１ Ｂ２ ⋯ Ｂｍ］ａｅ＝∑ｍ

ｉ＝１Ｂｉａｉ （８６４）

其中

ａｉ＝［ｕｉ ｖｉ ｗｉ αｉ βｉ］Ｔ

显然，应变取决于下列矩阵

３５１８３ 退化型壳单元

ｕｘ

ｖｘ

ｗｘ

ｕｙ

ｖｙ

ｗｙ

ｕｚ

ｖｚ

ｗ

熿

燀

燄

燅ｚ

（８６５）

其中的元素不难写出，例如

ｕｘ＝∑

ｍ

ｉ＝１

Ｎｉｘｕｉ＋

１２∑

ｍ

ｉ＝１

（Ｎｉζ）

ｘ ｔｉ（ｌ１ｉαｉ－ｌ２ｉβｉ） （８６６）

而形函数的导数为

ＮｉｘＮｉｙＮｉ

烅

烄

烆

烍

烌

烎ｚ

＝Ｊ－１

ＮｉξＮｉηＮｉ

烅

烄

烆

烍

烌

烎ζ

＝Ｊ－１

ＮｉξＮｉη烅

烄

烆

烍

烌

烎０

（８６７）

这里，Ｊ是Ｊｏｃｏｂｉ矩阵。

（２）流动坐标系中的应变

壳体中面法线方向与ｚ轴并不一致，而且随着点的位置不同而变化。在壳

体分析中，假定垂直于壳体中面的正应变等于零，因此须求出与此相应的单元应

力和应变。这样，便需要在单元内任一点建立局部坐标系ｘｙｚ（这显然是逐点

流动坐标系），在该坐标系下定义弹性矩阵、计算转角位移。

在流动坐标系中，以中面法线方向为ｚ轴正向。设ｘ，ｙ，ｚ轴的单位基矢

量分别为ｅ１，ｅ２，ｅ３。建立局部坐标系的关键是确定中面法线方向余弦，其对应

的基矢量为ｅ３。

对于单元内任一点，整体坐标为（ｘ，ｙ，ｚ），在母单元内的局部坐标和子单元

的曲线坐标为（ξ，η，ζ），该点位于ζ曲面上。以ｉ，ｊ，ｋ表示ｘ，ｙ，ｚ轴的单位基

矢量，则由ｄξ和ｄη引起的增量切线矢量分别为

ａｂ＝ ｘξｉ＋ｙξｊ

＋ｚξ（ ）ｋｄξａｃ＝ ｘη

ｉ＋ｙηｊ＋ｚη（ ）ｋｄη

这两个切线矢量必然正交于该点的法线，于是

ｅ３＝ａｂ×ａｃ｜ａｂ×ａｃ｜＝ｌ３ｉ＋ｍ３ｊ＋ｎ３ｋ

（８６８）

４５１ 第８章 壳体结构

选取其他两个流动坐标轴单位矢量如下

ｅ２＝ｅ３×ｉ＝ｌ２ｉ＋ｍ２ｊ＋ｎ２ｋ （８６９）

ｅ１＝ｅ２×ｅ３＝ｌ１ｉ＋ｍ１ｊ＋ｎ１ｋ （８７０）

这样，流动坐标轴的方向余弦矩阵为

＝

ｌ１ ｌ２ ｌ３ｍ１ ｍ２ ｍ３ｎ１ ｎ２ ｎ

熿

燀

燄

燅３

（８７１）

根据张量转换规则，有

ｕｘ

ｖｘ

ｗｘ

ｕｙ

ｖｙ

ｗｙ

ｕｚ

ｖｚ

ｗ

熿

燀

燄

燅ｚ

＝Ｔ

ｕｘ

ｖｘ

ｗｘ

ｕｙ

ｖｙ

ｗｙ

ｕｚ

ｖｚ

ｗ

熿

燀

燄

燅ｚ

（８７２）

流动坐标系中的应变为

ε＝

εｘεｙγｘｙγｙｚγ

烅

烄

烆

烍

烌

烎ｚｘ

＝

ｕｘｖｙ

ｕｙ＋ｖｘ

ｖｚ＋ｗｙ

ｗｘ＋ｕ

烅

烄

烆

烍

烌

烎ｚ

＝Ｂａｅ （８７３）

或

ε＝［Ｂ１ ⋯ Ｂｍ］

ａ１…

ａ烅烄

烆烍烌

烎ｍ＝∑

ｍ

ｉ＝１Ｂｉａｉ （８７４）

（３）流动坐标系中的应力

流动坐标系中的应力为

５５１８３ 退化型壳单元

σ＝［σｘ σｙ τｘｙ τｙｚ τｚｘ］Ｔ＝Ｄε＝ＤＢａｅ （８７５）

因流动坐标系也是正交坐标系，故上式中的弹性矩阵Ｄ与厚板单元的弹性矩阵

相同。

在输出计算结果时，还可包括整体坐标系中的应力，即

σｘ τｘｙ τｘｚτｙｘ σｙ τｙｚτｚｘ τｚｙ σ

熿

燀

燄

燅ｚ

＝

σｘ τｘｙ τｘｚτｙｘ σｙ τｙｚτｚｘ τｚｙ

熿

燀

燄

燅０

Ｔ （８７６）

（４）单元刚度矩阵

对单元应用虚位移原理，注意到功是客观量即与坐标系选择无关，则虚功方

程为

δａｅＴＦｅ＝∫ΩｅδεＴσｄΩ＝∫ΩｅδεＴσｄΩ

将式（８７３），（８７５）代入上式，可得整体坐标系中的单元刚度矩阵

Ｋｅ＝∫ΩｅＢＴＤＢｄΩ＝∫１

－１∫１

－１∫１

－１ＢＴＤＢＪｄξｄηｄζ （８７７）

整体刚度矩阵Ｋ由Ｋｅ集成。

（５）等效节点荷载

设壳体中面承受分布荷载ｐ。在节点ｉ，分布荷载沿ｘ，ｙ，ｚ方向的分量分

别为ｐｘｉ，ｐｙｉ，ｐｚｉ，则中面上任一点的分布荷载可表示为

ｐ＝

ｐｘ

ｐｙｐ

烅烄

烆烍烌

烎ｚ

＝ ∑ｍ

ｉ＝１Ｎｉｐｘｉ ∑

ｍ

ｉ＝１Ｎｉｐｙｉ ∑

ｍ

ｉ＝１Ｎｉｐ

熿

燀

燄

燅ｚｉ

Ｔ

（８７８）

在等效节点荷载计算中，虚功仅由中面线位移和中面荷载产生。根据等效

节点荷载的普遍公式（１２０），有

Ｘｉ＝∫ΓｅσＮｉｐｘｄΓ＝∫１

－１∫１

－１ＮｉｐｘＡｄξｄη

Ｙｉ＝∫ΓｅσＮｉｐｙｄΓ＝∫１

－１∫１

－１ＮｉｐｙＡｄξｄη

Ｚｉ＝∫ΓｅσＮｉｐｚｄΓ＝∫１

－１∫１

－１ＮｉｐｚＡｄξｄη

Ｍαｉ＝０， Ｍβｉ

烍

烌

烎＝０

（８７９）

６５１ 第８章 壳体结构

其中

Ａ＝ ｘξｙη－ｘη

ｙ（ ）ξ

２

＋ｙξｚη－ｙηｚ（ ）ξ

２

＋ ｚξｘη－ｚηｘ（ ）ξ槡

２（８８０）

８４ 结 语

学者们对退化型壳单元非常感兴趣，进行了大量研究，关玉璞等（文献２７）

对此做过简单评述。这种单元具有很多优点，但也存在某些缺陷，即用于薄壳时

会出现剪切闭锁和薄膜闭锁（薄壳中面变形为无拉伸弯曲，而退化型壳单元描述

这种变形模式的能力不足，因而产生薄膜闭锁）。解决这一问题的常用方法是采

用减缩积分方案。不过，减缩积分有可能引起零能模式，因此至今人们还在寻找

更加合理的方法，采用多变量壳单元便是其中的一种。在这种单元中，剪切闭锁

和薄膜闭锁等现象通常不会出现。

习 题

８１ 薄壳理论有哪些假设？与薄板理论的假设有何异同？厚壳分析中引入了

何种假定？与厚板理论的假定有何异同？

８２ 何谓平板型壳单元？在分析这种单元时都做了哪些假设？应用平板型壳

单元可能会出现什么问题，如何解决？简述形成平板型壳单元刚度矩阵的

基本思路。

８３ 面内变形与弯曲变形之间非耦合的假设是针对什么提出的？试说明单元

组装时，面内效应与弯曲效应两者的耦合将会出现。

８４ 轴对称薄壳截锥单元的位移函数是否满足收敛性要求？试推导截锥单元

的应变矩阵Ｂ。

８５ 建立退化型超参数壳单元公式用了几套坐标系？各有什么用处？

７５１习 题

第９

章

若干实际考虑

前面各章介绍了各种结构有限元分析的基本思想和方法步骤。将其用于实

际问题时，需要考虑计算精度和效率问题。本章将讨论与此有关的３个主要问

题，即单元与网格划分、结构对称性的利用及结果的整理与检验。

此外，本章还将介绍初应力和初应变问题，以及非均质性和各向异性问题的

处理方法。

９１ 单元与网格

９１１ 单元的类型

单元的选择与网格方案取决于结构的几何形状、荷载作用及边界条件。对

给定的具体问题，通常很难确定哪种单元最为合适。一般地说，采用高次单元，

可望用较少的单元获得所需精度的解答。例如，在节点数相同时，用６节点三角

形单元计算的结果要好于３节点三角形单元的结果（图９１）。

图９１ 单元划分方案

单元形函数的阶次越高，单元的适应能力也就越强。但是，形函数阶次的提

高将使刚度矩阵的计算变得复杂，从而增加计算时间。可见，并非形函数阶次越

高就越好，特定情况下最合适的形函数阶次需要根据计算经验来确定。单元阶

次的选择与域内应力变化情况有关，应力梯度大的区域可采用较高阶的单元，否

则即使网格很密也难以达到理想的结果。此外，计算表明，对于以弯曲为主的单

薄结构（例如，地基中的混凝土防渗墙、隧道衬砌、挡土墙翼板等），不宜采用常应

变三角形单元，最好采用８节点等参单元或高次三角形单元。同理，对于以弯曲

为主的空间单薄结构，不宜采用常应变四面体单元，最好采用２０节点等参单元

或高次四面体单元。

９１２ 单元的形状

通常情况下，单元的形状越紧凑、规则，解的精度越好。定义长宽比为四边

形单元最长尺度与最短尺度之比。在很多情况下，随着长宽比的增加，解的精度

将会下降（文献４５）。

在有限元分析中有这样一种做法，即为了采用统一的表达格式，将某些不符

合常规等参单元形式的单元看作是等参单元的退化，例如四边形单元退化成三

角形单元、空间六面体单元退化为五面体单元或四面体单元。如图９２所示。

然而，退化单元的形态不好，故精度较差。因此不能大量使用，在结构的重要位

置也不宜使用。

图９２ 形状不良的单元

９１３ 网格的疏密

网格疏密布局取决于精度要求和效率，一般原则是在应力集中区域或高应

力梯度区域细分网格；精度要求较高时应减小单元的尺寸。

９２ 自由度减缩

对于大型复杂结构，如果直接对整个结构进行离散，将得到规模非常庞大

的方程组，从而导致过大的计算量。若能恰当地利用结构的对称性、采用子结构

技术等，可以使求解方程组的自由度数大为降低。

９５１９２ 自由度减缩

９２１ 结构的对称性

假想地将结构沿其中的某平面对折，若两部分的形状、材料性质和约束条件

完全重合，则称该平面为对称面，称该结构为对称结构。若荷载随结构对折后相

互重合，则称为对称荷载；若须将对称面某一边的荷载改变正负号后才与另一边

的荷载重合，则称为反对称荷载。

利用结构的对称性，可取结构的一部分建立有限元模型。这里的关键问题

是根据荷载对称情况，分析对称面上的位移状态，从而确定对称面上节点的位移

边界条件。例如，在对称面处，垂直于该面方向的位移必然为零。一般地说，对

图９３ 对称结构、对称荷载

称荷载作用在对称结构上，将

产生对称效应；反对称荷载作

用在对称结构上，将产生反对

称效应。

（１）对称荷载

图９３ａ所示为一具有中

心圆孔的矩形薄板，在上、下边

界上作用有均布荷载。显然，

ｘ＝０和ｙ＝０既是结构的对称

面，也是荷载的对称面。可取

结构在第一象限的部分进行离散化。ｙ轴上的节点没有水平位移即ｕ＝０，可放置

竖向滚动的铰支座；ｘ轴上的节点没有竖向位移即ｖ＝０，可放置水平滚动的铰支

座。图９３ｂ为离散化以后得到的有限元计算模型。

图９４ 对称结构、反对称荷载

（２）反对称荷载

图９４ａ所示为一具有中 心 圆 孔 的 矩 形 薄 板，在 边 界 上 作 用 均 布 剪 力。

ｘ＝０和ｙ＝０是结构的对称面，而荷载是反对称的。可取结构在第一象限的部

分进行离散化。ｙ轴上的节点没有竖向位移即ｖ＝０，可放置水平滚动的铰支

０６１ 第９章 若干实际考虑

座；ｘ轴上的节点没有水平位移即ｕ＝０，可放置竖向滚动的铰支座。图９４ｂ为

离散化以后得到的有限元计算模型。

９２２ 子结构技术

（１）基本思想

在大型复杂结构的有限元分析中，可将原结构分成若干区域，每个区域作为

一个子结构，这些子结构在其公共边界上互相连接起来。结构计算可分几步进

行：首先逐个分析各子结构，并凝聚掉各自的内部自由度；然后把全部子结构组

合起来进行整体分析，从而得到总体求解方程。在整体分析中，已不再需要考虑

各子结构的内部自由度，只需考虑结构边界及相邻子结构公共边界上的自由度，

这样自由度总数当然会大为缩减。

（２）自由度凝聚

采用子结构法的关键之处在于，内部节点的自由度在子结构的刚度矩阵形

成以后可以凝聚掉，因此子结构实质上是具有内部自由度的超单元。现对内部

自由度的凝聚过程加以说明。

通过适当的节点编号，使子结构的刚度方程可以写成如下分块形式

Ｋｂｂ ＫｂｉＫｉｂ Ｋ

［ ］ｉｉ

ａｂａ烅烄

烆烍烌

烎ｉ＝ＦｂＰ烅烄

烆烍烌

烎ｉ（９１）

其中，ａｂ为子结构的边界自由度；ａｉ为子结构的内部自由度；Ｆｂ是子结构的边

界节点力；Ｐｉ是子结构的内部节点荷载（这是因为子结构内部的单元集成后，

作为内力的内部节点力将不再出现，代之出现的是节点荷载）。将上式展开后

得

Ｋｂｂａｂ＋Ｋｂｉａｉ＝Ｆｂ （ａ）

Ｋｉｂａｂ＋Ｋｉｉａｉ＝Ｐｉ （ｂ）

由式（ｂ）求得ａｉ

ａｉ＝Ｋ－１ｉｉ（Ｐｉ－Ｋｉｂａｂ）

将其代入式（ａ），便得到子结构凝聚后的方程

Ｋｂｂａｂ＝Ｆｂ （９２）

其中

Ｋｂｂ＝Ｋｂｂ－ＫｂｉＫ－１ｉｉ ＫｉｂＦｂ＝Ｆｂ－ＫｂｉＫ－１ｉｉＰ

烍烌

烎ｉ

（９３）

１６１９２ 自由度减缩

子结构的刚度方程（９２）可以理解为超单元的单元刚度方程。将所有子结

构的刚度方程加以集成，可得减缩了的整体刚度方程

Ｋａ＝Ｐ （９４）

其中，ａ为原结构边界及各子结构公共边界上的节点位移向量；而Ｋ 为减缩了

的整体刚度矩阵，即

Ｋ＝∑Ｋｂｂ （９５）

式（９４）中Ｐ的算式为

Ｐ＝∑（Ｐｂ－ＫｂｉＫ－１ｉｉＰｉ）＝∑Ｐｂ－∑ＫｂｉＫ－１ｉｉＰｉ （９６）

其中，第一项是原结构边界及各子结构公共边界上的节点荷载向量，子结构集成

时它代替了作为内力的边界节点力；第二项是子结构内部荷载引起的边界节点

荷载。

（３）并行算法

有限元子结构并行算法的基本思想是，首先将大问题分解为若干小问题；然

后由每个处理机负责一个或多个小问题的计算，计算过程中处理机之间进行必

要的数据交换；最后由各个处理机协调工作得出整体解。

并行算法的基本步骤如下（文献９１）：将结构划分为子结构，按照先内部后

界面的顺序进行节点编号；各处理机同时生成各子结构的单元刚度矩阵和组集

子结构刚度矩阵；各处理机同时对子结构的非界面自由度进行凝聚消元；组集凝

聚后的整体界面方程；求解整体界面方程；各处理机接收根节点处理机发送的相

应界面位移，同时回代求解内部节点位移；最后各处理机同时求各子结构的应

力。

９３ 结果的处理

９３１ 应力解的性质

在位移有限单元法中，位移沿单元边界是连续的，而位移的导数通常是不

连续的，因此在单元边界上应力是不连续的；基本未知量是位移，而单元应变和

应力是由位移求导得到的，因此应力的精度要比位移的精度低；对于利用Ｇａｕｓｓ积分的单元，经验表明在积分点上算得的应力具有最好的精度，而在节点上应力

的精度最差。然而，通常工程上感兴趣的却是某些边缘或节点上的应力。对应

力怎样处理才能够获得用于设计的最佳结果？让我们先看一看应力解的性质。

２６１ 第９章 若干实际考虑

设精确解为ｕ，ε，σ，近似解为珘ｕ，珘ε，珘σ，则

珘ｕ＝ｕ＋δｕ珘ε＝ε＋δε珘σ＝σ＋δσ

注意到δΠｐ（ｕ）＝０，近似解的势能泛函可表示为

Πｐ（珘ｕ）＝Πｐ（ｕ）＋１２∫ΩδεＴＤδεｄΩ＝Πｐ（ｕ）＋１２∫Ω（珘ε－ε）ＴＤ（珘ε－ε）ｄΩ （９７）

＝Πｐ（ｕ）＋∑ｅ

１２∫Ωｅ（珘ε－ε）ＴＤ（珘ε－ε）ｄΩ

根据最小势能原理，近似解的泛函Πｐ（珘ｕ）越小，说明近似解越好。对于给定的

具体问题，真实泛函Πｐ（ｕ）是固定的。于是，可以断言

χ（珘ε，ε）＝∑ｅ

１２∫Ωｅ（珘ε－ε）ＴＤ（珘ε－ε）ｄΩ （９８ａ）

或

χ（珘σ，σ）＝∑ｅ

１２∫Ωｅ（珘σ－σ）ＴＣ（珘σ－σ）ｄΩ （９８ｂ）

越小越好。这说明珘σ是精确解σ在加权最小二乘意义上的近似解。分析与计

算表明，对于高次单元，有限元分析获得的应力必然在精确解的上下振荡，并在

某些点上正好等于精确解，也即单元内存在最佳应力点。

９３２ 应力解的处理

（１）应力修匀

现在反过来考虑问题，即已经得到了近似解珘σ，希望获得改善的应力解σ

以使其更加接近精确解σ。既然有限元应力解在精确解的上下振荡，人们自然

想到要进行某种平均，例如使

χ（珘σ，σ）＝∑ｅ

１２∫Ωｅ（珘σ－σ）ＴＣ（珘σ－σ）ｄΩ （９９）

取最小值，即用加权最小二乘法改善应力解，这就是应力修匀。其中近似解为

珘σ（ξ，η）＝ＤＢａｅ

而单元内任一点修匀后的应力用形函数表示如下

３６１９３ 结果的处理

σ（ξ，η）＝∑ｍ

ｉ＝１Ｎｉσｉ （９１０）

其中，ｍ 为单元的角点数；Ｎｉ 是用于修匀应力的形函数，与位移函数中的形函

数Ｎｉ可以是不同阶次的（例如比Ｎｉ低一阶）。修匀后的节点应力σｉ 是未知

量。于是，根据驻值条件

χσｉ

＝０ （ｉ＝１，２，⋯，Ｎ）

得

∑ｅ∫Ωｅ（珘σ－σ）ＴＣＮｉｄΩ＝０ （ｉ＝１，２，⋯，Ｎ） （９１１ａ）

由此可解出Ｎ（即进行修匀时节点总数）个修匀节点应力σｉ 。

修匀可在整个区域内进行，以得到全域内连续的应力场。然而，这样做时计

算量太大，且效果也不一定很好。比较实用的方法是进行单元内应力修匀或分

片应力修匀（例如在感兴趣的某个区域内修匀），而在节点上取有关单元应力的

平均值。对于单元应力修匀，当单元尺寸不断减小时，加权与否影响不大，故不

考虑加权即令权函数Ｃ＝Ｉ（单位矩阵）。于是，式（９１１ａ）成为

∫Ωｅ（珘σ－σ）ＮｉｄΩ＝０ （ｉ＝１，２，⋯，ｍ） （９１１ｂ）

由此可解出ｍ 个修匀节点应力σｉ 。

例如，对于二维等参单元Ｑ８（图９５），以４个角点修匀后的应力σ１ ，σ２ ，

σ３，σ４（任何一个应力分量）作为未知量，用下列双线性形函数（即Ｑ４单元形函

图９５ Ｇａｕｓｓ积分点

数）进行修匀

Ｎ１＝（１－ξ）（１－η）／４

Ｎ２＝（１＋ξ）（１－η）／４

Ｎ３＝（１＋ξ）（１＋η）／４

Ｎ４＝（１－ξ）（１＋η）／

烍

烌

烎４

（ａ）

修匀应力可表示为

σ（ξ，η）＝Ｎ１σ１＋Ｎ２σ２＋Ｎ３σ３＋Ｎ４σ４ （ｂ）

将式（ａ），（ｂ）代入式（９１１ｂ），得到

∫∫Ａ（珘σ－σ）ＮｉＪｄξｄη＝０ （ｉ＝１，２，３，４） （ｃ）

４６１ 第９章 若干实际考虑

这是以σ１，σ２，σ３，σ４ 为未知量的代数方程组，积分后可以解出这些未知量。

如果考虑到Ｇａｕｓｓ积分点处的应力精度最高（文献３），修匀应力还可以采

用一种更为方便的方法。由于Ｎｉ 是线性函数，故可采用２×２阶Ｇａｕｓｓ积分，

得４个积分点的应力σ′１，σ′２，σ′３，σ′４。在积分点上，让修匀应力σ等于未修匀应

力σ′，即

σ（－１／槡３，－１／槡３）＝σ′１

σ（＋１／槡３，－１／槡３）＝σ′２

σ（＋１／槡３，＋１／槡３）＝σ′３

σ（－１／槡３，＋１／槡３）＝σ′

烍

烌

烎４

（ｄ）

这样，在４个积分点上均有 σ～－σ＝０，也即式（ｃ）与式（ｄ）等价。由（ｄ）可得

σ１σ２σ３σ

烅

烄

烆

烍

烌

烎４

＝

ａ ｂ ｃ ｂｂ ａ ｂ ｃｃ ｂ ａ ｂ

熿

燀

燄

燅ｂ ｃ ｂ ａ

σ′１σ′２σ′３σ′

烅

烄

烆

烍

烌

烎４

（９１２）

其中

ａ＝１＋槡３２， ｂ＝－１２

， ｃ＝１－槡３２（９１３）

在单元公共节点上，取有关单元节点应力的平均值作为该节点的应力；各边

中点的应力取相邻节点应力的平均值。

（２）应力平均

对于三角形常应变单元，通常采用应力平均的方法处理计算结果。例如，为

求某节点ｉ的应力，可采用绕节点平均的方法，即将围绕该节点的相关单元应力

进行平均

σｉ＝１ｍ∑

ｍ

ｅ＝１σｅ （９１４）

其中，ｍ 为围绕节点ｉ的单元数；σｅ为单元ｅ的应力。

另外一种常用的方法是把相邻两个单元的应力加以平均，作为单元公共边

中点，即此两单元合成的较大四边形单元形心处的应力

σｉ＝１２

（σ１＋σ２） （９１５）

５６１９３ 结果的处理

也可以采用面积加权平均，即

σｉ＝Ａ１σ１＋Ａ２σ２

Ａ１＋Ａ２（９１６）

其中，Ａ１，Ａ２分别为两个单元的面积。

９３３ 结果的验证

如何检验有限元分析结果的正确性？对于已获得解析解的问题进行有限元

分析，以检验数值方法的可行性与计算精度。对于无法获得解析解的问题，通过

试验结果进行检验可能是最好的方法，但这种方法比较昂贵且费时。

此外，计算结果的自身校核也是有益的。例如，计算出的应力与外力应该满

足平衡条件。例如，线弹性计算的局部应力超过了材料的屈服极限甚至强度，说

明线性分析不符合实际。

９４ 自适应分析

我们知道，在科学研究与工程计算中，为了满足某种需要，对有限元近似解

常提出一定的精度要求。因此，仅仅在初始网格上进行一次有限元计算往往是

不够的，还应该将下述步骤包含在计算过程之中：对计算结果的误差进行估计，

以判断是否满足特定精度的要求；根据上述估计控制计算过程，以最小的代价获

得满足要求的结果。这就是自适应有限元分析的基本思想，其实施依赖于可靠

的误差估计和网格自动细分技术（文献７０）。

９４１ 误差的估计

有限元解的误差估计方法主要有残值法和后处理法，这里仅介绍获得广泛

应用的后处理法。

（１）误差范数

设精确解和有限元近似解分别为σ，σ～，则定义误差为

ｅσ＝σ－σ～ （９１７）

误差的能量范数为

‖ｅ‖＝∫ΩｅＴσＣｅσｄ（ ）Ω ＝ ∑ｅ∫Ωｅ（σ－σ～）ＴＣ（σ－σ～）ｄ［ ］Ω

１／２（９１８）

对于单元，有

６６１ 第９章 若干实际考虑

‖ｅ‖ｅ＝∫Ωｅ（σ－σ～）ＴＣ（σ－σ～）ｄ［ ］Ω１／２

（９１９）

结构的总体能量范数为

‖ｕ‖＝∫ΩσＴＣσｄ（ ）Ω ＝ ∑ｅ∫ΩｅσＴＣσｄ［ ］Ω

１／２（９２０）

由于无法获得精确解，故一般是以修匀后的改进值σ作为“精确解”来进

行误差估计。通过与精确值误差范数对比，发现这样做是非常有效的（文献

４１）。于是

ｅσ＝σ－σ～ （９２１）

‖^ｅ‖＝∫ΩｅＴσＣｅσｄ（ ）Ω ＝ ∑ｅ∫Ωｅ（σ－σ～）ＴＣ（σ－σ～［ ］）

１／２（９２２）

‖^ｅ‖ｅ＝∫Ωｅ（σ－σ～）ＴＣ（σ－σ～［ ］）１／２

（９２３）

而结构的总体能量范数用下式近似

‖ｕ‖＝ ‖珘ｕ‖２＋‖^ｅ‖（ ）２ １／２ （９２４）

其中

‖珘ｕ‖＝ ∑ｅ∫Ωｅ珘σＴＣ珘σｄ［ ］Ω

１／２（９２５）

（２）误差指标

总体误差指标以η表示，则

η＝‖^ｅ‖‖ｕ‖≤

珔η （９２６）

其中，珔η是规定的允许值（通常规定为５％）。对于单元，误差指标

ξｅ＝‖^ｅ‖ｅ‖ｅ‖ａ

≤１ （９２７）

其中，‖ｅ‖ａ是单元应力误差能量范数‖ｅ‖ｅ的允许值。显然，总的允许误差

为

珔η ‖珘ｕ‖２＋‖^ｅ‖（ ）２ １／２

若单元总数为ｍ，则

‖ｅ‖ａ＝珔η ‖珘ｕ‖２＋‖^ｅ‖（ ）２ １／２ ｍ１／２ （９２８）

７６１９４ 自适应分析

９４２ 网格自动细分

对于给定网格进行有限元分析，检查系统和单元的误差指标，看其是否满足

精度要求。若不满足，则进行网格自动细分，然后重新计算，直到满足精度要求

为止。可见，在自适应分析中，只需定义一种描述问题几何特性的初始网格和可

接受的误差水平。计算机将自动实现达成目的的过程。

网格细分可采用Ｂａｂｕｓｋａ提出的ｈ型，ｐ型及ｈ?ｐ型等三种方式。在ｈ型方

法中，单元的阶次（即单元插值多项式的阶次）ｐ是固定的，仅通过细分网格即减

小ｈ来达到提高计算精度的目的。ｐ型方法则保持固定的网格即ｈ不变，而提

高插值多项式的阶次ｐ以改善计算结果。ｈ?ｐ型方法则是两者的结合。

在ｐ型方法中，采用阶谱单元是必要的。为了说明阶谱单元的概念，先介绍

变节点单元。

（１）变节点单元

对于４节点母单元（图９６），已经构造出形函数即式（５１２），它们满足下述

基本要求

图９６ 母单元

Ｎｉ＝δｉｊ＝１ ｉ＝ｊ０ ｉ≠｛ ｊ

（ａ）

∑ｍ

ｉ＝１Ｎｉ（ｘ，ｙ）＝１ （ｂ）

现将式（５１２）作为构造４至８变节点单元的基础，并记为

Ｎ^ｉ＝（１＋ξｉξ）（１＋ηｉη）／４ （ｉ＝１，２，３，４）

如果增加边内节点５，则得５节点单元。按照第３章构造单元的基本方法，不难

得到

Ｎ５＝１２

（１－ξ２）（１－η）

８６１ 第９章 若干实际考虑

然而，这样形成的５个形函数不再满足式（ａ）和（ｂ）的要求。为此，可对Ｎ１和

Ｎ２做出如下修正

Ｎ１＝Ｎ^１－１２Ｎ５

， Ｎ２＝Ｎ^２－１２Ｎ５

可以类似地讨论边内节点６，７，８，从而得到４至８节点单元的形函数为

Ｎ１＝Ｎ^１－１２Ｎ５－

１２Ｎ８

， Ｎ２＝Ｎ^２－１２Ｎ５－

１２Ｎ６

Ｎ３＝Ｎ^３－１２Ｎ６－

１２Ｎ７

， Ｎ４＝Ｎ^４－１２Ｎ７－

１２Ｎ８

Ｎ５＝１２

（１－ξ２）（１－η）， Ｎ６＝１２

（１－η２）（１＋ξ）

Ｎ７＝１２

（１－ξ２）（１＋η）， Ｎ８＝１２

（１－η２）（１－ξ

烍

烌

烎）

（ｃ）

若５，６，７，８节点中的任何一个不存在，则相应的形函数为０。

（２）阶谱单元

前面构造的变节点单元是可行的，但应用起来并不方便，因为当低阶单元升

为高阶单元时，低阶单元的形函数也都随之变化。在自适应有限元分析中，若发

现较低阶单元的精度不满足要求时，需在单元网格不变的情况下提高单元的阶

次。这时自然希望原单元的形函数保持不变，已有的单元计算结果可以被接下

来的分析所利用，从而达到编程和运算的节省。

简单地说，阶谱单元（ｈｉｅｒａｒｃｈｉｃａｌｅｌｅｍｅｎｔ）就是在低阶单元形函数不变的情

况下，构造新增节点的形函数，从而增加形函数的阶次。这就使得原有低阶形函

数成为增加后高阶形函数的一个子集；前面形成的单元刚度矩阵成为阶次增加

后单元刚度矩阵的一个子块。

现以平面四边形等参单元为例说明阶谱单元的概念。设在４节点等参单元

的基础上增加第５个节点，前面已经按普通单元构造方法给出了形函数，相应的

位移函数为

ｕ＝∑５

ｉ＝１Ｎｉｕｉ＝∑

４

ｉ＝１Ｎ^ｉｕｉ＋Ｎ５（ｕ５－

ｕ１＋ｕ２２

） （９２９）

在阶谱单元构造中，分别定义阶谱函数和节点参数如下

Ｈ１＝Ｎ^１， Ｈ２＝Ｎ^２， Ｈ３＝Ｎ^３， Ｈ４＝Ｎ^４， Ｈ５＝Ｎ^５

ａ１＝ｕ１， ａ２＝ｕ２， ａ３＝ｕ３， ａ４＝ｕ４， ａ５＝ｕ５－ｕ１＋ｕ２２

９６１９４ 自适应分析

则位移函数（９２９）成为

ｕ＝∑５

ｐ＝１Ｈｐａｐ （９３０）

其中，Ｈ１，Ｈ２，Ｈ３，Ｈ４仍保持线性单元的形式。同理，可以构造８节点阶谱单

元，阶谱函数Ｈ５，Ｈ６，Ｈ７，Ｈ８与８节点等参单元的Ｎ５，Ｎ６，Ｎ７，Ｎ８相同。

可见，阶谱单元的形函数即阶谱函数不再满足∑Ｈｉ＝１，新的节点参数也

不再是节点的函数值。但是，阶谱单元的收敛性质并未改变，因为单元位移模式

没有发生任何变化，只是重新定义了若干节点参数。显然，我们可以构造不同的

阶谱函数，即阶普函数不是唯一的。当然，采用不同的阶谱函数时，节点参数的

定义也将不同。

９５ 单元的连接

很多复杂结构是由不同类型的构件组合而成的，例如梁与板组合结构、壳

体与实体组合结构等等。进行有限元分析时，需要用不同类型的单元剖分结构。

只要相连接单元的节点重合、节点自由度相同，单元集成就没有问题。但是，不

同类型的单元连接时，节点可能不重合，节点自由度也可能不一致，此时需要特

别处理。

基本要求是保证单元交界面上位移的协调性，关键是正确地建立交界面上

的约束方程。一般把主要承载构件上的单元节点作为主要节点，而把该节点周

围其他构件上的节点作为从属节点。此外，通常假定主从节点之间为刚性连接。

９５１ 梁单元与实体单元

（１）节点不重合

如果梁单元与实体单元的节点不重合（图９７），则处理问题的基本思路是

对梁单元的刚度矩阵进行修正，然后参与实体单元刚度集成。

图９７ 梁单元与实体单元

假设梁发生位移时，１４边和２３边仍然保持为直线。按几何关系容易确定

梁单元节点位移与１，２，３，４节点线位移之间的关系。例如，设梁单元节点ｉ，ｊ

０７１ 第９章 若干实际考虑

分别位于矩形单元１４边、２３边的中点，则

ｕｉｖｉθｉｕｊｖｊθ

烅

烄

烆

烍

烌

烎ｊ

＝

１／２ ０ ０ ０ ０ ０ １／２ ００ １／２ ０ ０ ０ ０ ０ １／２１／ｔｉ ０ ０ ０ ０ ０ －１／ｔｉ ００ ０ １／２ ０ １／２ ０ ０ ００ ０ ０ １／２ ０ １／２ ０ ００ ０ １／ｔｊ ０ －１／ｔｊ

熿

燀

燄

燅０ ０ ０

ｕ１ｖ１ｕ２ｖ２ｕ３ｖ３ｕ４ｖ

烅

烄

烆

烍

烌

烎４

或

ａｅ＝Ｔａ′ｅ （９３１）

其中，ｔｉ，ｔｊ分别为梁ｉ，ｊ两端的厚度；ａ′ｅ是梁单元的新节点位移向量；Ｔ是转

换矩阵。

如果与ａｅ对应的节点力为Ｆｅ，与ａ′ｅ对应的节点力为Ｆ′ｅ，则根据功等效的

原则，有

ａ′ｅＴＦ′ｅ＝ａｅＴＦｅ

将式（９３１）代入上式得

ａ′ｅＴＦ′ｅ＝ａ′ｅＴＴＴＦｅ

上式对任何ａ′ｅ都是成立的，故有

Ｆ′ｅ＝ＴＴＦｅ （９３２）

梁单元的原刚度方程为

Ｋｅａｅ＝Ｆｅ （９３３）

将式（９３１），（９３２）代入上式，可得修正后的梁单元刚度方程和单元刚度矩阵

Ｋ′ｅａ′ｅ＝Ｆ′ｅ （９３４）

Ｋ′ｅ＝ＴＴＫｅＴ （９３５）

上述单元修正或变换具有普遍意义，关键是建立变换前后单元节点位移间

的关系（９３１）。

（２）节点重合

当梁单元与实体单元的节点重合时，可通过一种过渡梁单元来实现。这种

梁单元的一端（例如节点１）有６个自由度，而与实体结构相连接的一端（节点２）

１７１９５ 单元的连接

有３个自由度。将一般空间梁单元的３个转角自由度凝聚掉。

设需将节点２的３个转角凝聚掉，可把梁单元刚度方程写成如下分块形式

Ｆｅ

Ｆ烅烄

烆烍烌

烎０＝Ｋｅｅ Ｋｅ０Ｋ０ｅ Ｋ

［ ］００

ａｅ

ａ烅烄

烆烍烌

烎０（９３６）

其中

ａｅ＝ ｕ１ ｖ１ ｗ１ θｘ１ θｙ１ θｚ１ ｕ２ ｖ２ ｗ［ ］２ Ｔ

ａ０＝ θｘ２ θｙ２ θｚ［ ］２ Ｔ

Ｆ０＝ Ｍｘ２ Ｍｙ２ Ｍｚ［ ］２ Ｔ ［ ］＝ ０ ０ ０

烍烌

烎Ｔ

于是有

Ｆｅ＝Ｋｅａｅ （９３７）

Ｋｅ＝Ｋｅｅ－Ｋｅ０Ｋ－１００Ｋ０ｅ （９３８）

９５２ 梁单元与板壳单元

实际中梁与板的组合很常见。通常情况下，板只承受横向弯曲，中面不发生

伸缩。如果梁的中性层与板的中面重合，则板中面仍然无伸缩变形；而且因梁单元

图９８ 板梁组合

和板单元的节点重合，连接时没有什么困难。

在实际结构中，板的加强梁通常只安排在

板的一侧。此时，梁的中性层与板的中面不重

合，梁单元的节点与板单元的节点间有偏心距

ｅ，同时需考虑板中面的伸缩变形，故这样的板

单元相当于壳单元。如果以板为主体，则计算

时需把梁单元原来的节点位移变换到板的节

点位移。

对于考虑面内变形的板单元（图９８），节点Ｏ的位移为

ａＯ＝ ｕＯ ｖＯ ｗＯ θｘＯ θｙ［ ］Ｏ Ｔ

对于梁单元，节点Ｃ的位移为

ａＣ＝ ｕＣ ｗＣ θｙ［ ］Ｃ Ｔ

假设板梁组合构件变形后，ＯＣ仍为直线且垂直于板面，则

θｙＣ＝θｙＯ， ｗＣ＝ｗＯ， ｕＣ＝ｕＯ＋ｅθｙＯ （９３９）

其中，ｅ为ＯＣ距离。于是，板、梁节点位移之间有如下关系

２７１ 第９章 若干实际考虑

ｕＣｗＣθｙ

烅烄

烆烍烌

烎Ｃ

＝１ ０ ０ ０ ｅ０ ０ １ ０ ０熿

燀

燄

燅０ ０ ０ ０ １

ｕＯｖＯｗＯθｘＯθｙ

烅

烄

烆

烍

烌

烎Ｏ

或

ａＣ＝λａＯ （９４０）

显然，梁单元的两个节点与板单元中的两个节点相对应。以ａｅ表示梁单元

的节点位移向量，以ａ′ｅ表示板单元中相应节点的位移向量，则

ａｅ＝Ｔａ′ｅ （９４１）

其中变换矩阵为

Ｔ＝λ ００

［ ］λ

（９４２）

若变换以前梁单元刚度矩阵为Ｋｅ，则变换后的梁单元刚度矩阵为

Ｋ′ｅ＝ＴＴＫｅＴ （９４３）

并与板单元中的两个节点相对应。

９６ 初应变和初应力

９６１ 初应变和初应力

初应变指与应力无关而由温度变化、收缩、晶体生长等因素引起的应变。当

物体内存在初应变ε０时，总应变ε应为同应力相关联的应变ε－ε０与初应变

ε０之和，从而本构方程可写成

σ＝Ｄ（ε－ε０） （９４４）

其中的弹性矩阵Ｄ见式（２７）。

当物体内存在初应力时，总应力应为同应变相关联的应力与初应力之和，即

σ＝Ｄε＋σ０ （９４５）

若初应变和初应力同时存在，则本构方程为

３７１９６ 初应变和初应力

σ＝Ｄ（ε－ε０）＋σ０ （９４６）

９６２ 等效节点荷载

将虚位移原理应用于整个结构，即外部荷载转换成的整体节点荷载Ｐ所做

虚功等于所有单元体的虚应变能之和

∑ｅ∫ΩｅδεＴσｄΩ＝δａＴＰ

将式（９４６）代入上式，并按单元集成后得

Ｋａ＝Ｐ＋Ｐσ０＋Ｐε０ （９４７）

其中

Ｋ＝∑ｅＫｅ， Ｐσ０＝∑ｅ Ｐ

ｅσ０

， Ｐε０＝∑ｅ Ｐｅε０

（９４８）

Ｋｅ＝∫ΩｅＢＴＤＢｄΩ （９４９）

Ｐｅσ０＝－∫ΩｅＢＴσ０ｄΩ （９５０）

Ｐｅε０＝∫ΩｅＢＴＤε０ｄΩ （９５１）

而Ｐｅσ０，Ｐｅε０分别为初应力和初应变引起的单元等效节点荷载向量。

可见，当物体内存在初应变、初应力时，可先将它们转化为等效节点荷载，类

似体力或面力的等效节点荷载那样叠加到整体节点荷载向量之中，然后按没有

初应变或初应力的情况进行分析。

９７ 复杂结构材料

在有限元分析中，各单元的弹性常数可以不同，各向异性材料的弹性矩阵

也只是比各向同性材料的复杂一些而已。也就是说，材料的非均质性和各向异

性并不会造成任何困难。

在实际工程中，常常遇到层状弹性体，且在层面内是各向同性的。因此除了

各向同性材料以外，人们特别感兴趣的还有横观各向同性材料，这种材料只有５个独立的弹性常数。

９７１ 局部坐标系

图９９所示为一层状弹性体。若局部坐标系珋ｙ轴垂直于层面，则本构关系为

４７１ 第９章 若干实际考虑

珋εｘ＝珋σｘＥ１－ν２珋σｙＥ２－ν１珋σｚＥ１

， 珔γｘｙ＝珋τｘｙＧ２

珋εｙ＝－ν２珋σｘＥ２＋珋σｙＥ２－ν２珋σｚＥ２

， 珔γｙｚ＝珋τｙｚＧ２

珋εｚ＝－ν１珋σｘＥ１－ν２珋σｙＥ２＋珋σｚＥ１

， 珔γｚｘ＝珋τｚｘＧ

烍

烌

烎１

（９５２）

图９９ 层状弹性体

其中Ｅ２，ν２，Ｇ２是垂直于层面方向的弹性常

数；Ｅ１，ν１，Ｇ１是层面内的弹性常数，且有

Ｇ１＝Ｅ１

２（１＋ν１）

记

ｎ＝Ｅ１Ｅ２

， ｍ＝Ｇ２Ｅ２

（９５３）

则局部坐标系中的本构方程为

珔σ＝珚Ｄ珔ε （９５４）

对于平面应力问题，有

珚Ｄ＝Ｅ２

（１－ｎν２２）

ｎ ｎν２ ０ｎν２ １ ０

０ ０ ｍ（１－ｎν２２

熿

燀

燄

燅）（９５５）

对于平面应变问题，有

珚Ｄ＝Ａ

ｎ（１－ｎν２２） ｎν２（１＋ν１） ０对 （１－ν２１） ０

称 ｍ（１＋ν１）（１－ν１－２ｎν２２

熿

燀

燄

燅）

（９５６）

其中

Ａ＝Ｅ２

（１＋ν１）（１－ν１－２ｎν２２）（９５７）

９７２ 整体坐标系

设局部坐标系珔ｘ轴与整体坐标系ｘ轴之间的夹角为α，则整体坐标系中的

应力或应变与局部坐标系中的应力或应变具有如下关系

５７１９７ 复杂结构材料

珔σ＝ＴＴσ， 珔ε＝ＴＴε （９５８）

其中，Ｔ为变换矩阵，即

Ｔ＝ｃｏｓ２α ｓｉｎ２α －２ｓｉｎαｃｏｓαｓｉｎ２α ｃｏｓ２α ２ｓｉｎαｃｏｓαｓｉｎαｃｏｓα －ｓｉｎαｃｏｓα ｃｏｓ２α－ｓｉｎ２

熿

燀

燄

燅α

（９５９）

将式（９５８）代入式（９５４）得

σ＝Ｔ珚ＤＴＴε＝Ｄε

从而可得整体坐标系中的弹性矩阵

Ｄ＝Ｔ珚ＤＴＴ （９６０）

９８ 结 语

采用有限单元法进行结构分析，可能会遇到很多实际问题，本章仅介绍了几

个比较重要的方面。最核心的问题也许是计算的效率与结果的精度，理想的目

标自然是高效地获得满足精度要求的结果。显然，误差的可靠估计以及在此基

础上实施自适应有限元分析具有突出的重要性。

习 题

９１ 减少问题自由度的措施有哪些？各自的基本概念如何？

９２ 试写出子结构法的计算步骤。

９３ 为什么说位移法中应力解的精度低于位移解？如何改善等参单元的应力

结果？如何改善常应变三角形单元的应力结果？

９４ 在无法获得精确解的条件下，如何进行误差估计？试说明这样做的合理

性。

９５ 如何构造连接实体单元和壳体单元的过渡单元？在形成其刚度矩阵时应

注意什么问题？

９６ 什么是阶谱单元？其节点参数和插值函数与通常的单元有何区别？

６７１ 第９章 若干实际考虑

第１０

章

动力分析

有些情况下，结构物可能受强烈地震、机械振动或海浪冲击等动荷载作用而

发生不允许的变形甚至破坏。此时，结构设计必须考虑动荷载效应，进而要求进

行动力学分析。

本章以实体结构动力学问题为例，阐明如何应用有限单元法进行结构动力

分析，内容包括：（１）动力有限元方程及系数矩阵；（２）结构固有特性计算；（３）结

构动力响应计算；（４）解的稳定性。

１０１ 动力有限元方程

１０１１ 有限元方程

（１）一般方程

任何振动系统都具有一定的质量和刚度。质量意味着趋于保持运动继续下

去的惯性，而刚度则是扰动因变形而传播的前提。动荷引起变形，而刚度则通过

产生复原力而起反作用。此外，一般振动系统均为非保守系统，即振动过程中要

伴随能量的损耗，这种损耗表现为系统的阻尼特性（文献８２）。

考虑到振动系统中由质量、阻尼和刚度所引起的三种力以及外荷载，将振动

系统离散后，便可得到有限元动力平衡方程组（文献４）

Ｍ̈ａ＋Ｃａ＋Ｋａ＝Ｐ （１０１）

其中，Ｍ，Ｃ，Ｋ 分别为整体质量矩阵，阻尼矩阵和刚度矩阵；̈ａ，ａ，ａ，Ｐ分别为

整体节点加速度，速度，位移和动荷载向量。变量上面的符号“·”表示对时间求

导数。

在动力分析中，由于惯性力和阻尼力出现在平衡方程中，因此得到的求解方

程不是代数方程组，而是常微分方程组。

（２）地震问题

对于地震反应问题，直接作用在结构上的荷载Ｐ＝０，且阻尼力和弹性恢复

力分别只与相对速度和相对位移（相对于有限元系统的基底而言）有关，而惯性

力则与绝对加速度有关。现仍以ａ̈，ａ，ａ分别表示相对加速度、相对速度和相对

位移，̈ａｇ 表示地震牵连加速度（即地面加速度），则式（１０１）变为

Ｍ̈ａ＋Ｃａ＋Ｋａ＝－Ｍ̈ａｇ （１０２）

其中

ａ̈ｇ＝

１ ０ ０ １ ０ ０ ⋯

０ １ ０ ０ １ ０ ⋯

０ ０ １ ０ ０ １

熿

燀

燄

燅⋯

Ｔ ａ̈ｇｘ（ｔ）

ａ̈ｇｙ（ｔ）

ａ̈ｇｚ（ｔ

烅

烄

烆

烍

烌

烎）

（１０３）

而ａ̈ｇｘ，̈ａｇｙ和̈ａｇｚ分别为地震时在ｘ，ｙ，ｚ方向上的加速度分量。

１０１２ 方程的推导

为简便地推导动力有限元方程式（１０１），我们可以首先把动力问题化成静

力问题，即将惯性力和阻尼力看作体积力施加在结构物上，这样就可以按照静力

问题的有限元分析推导有关方程。显然，问题的关键在于将惯性力和阻尼力转

化成单元等效节点荷载。

（１）位移、速度、加速度

在动力分析中，首先对空间进行离散，其步骤与静力分析相同。将结构离散

以后，单元位移函数为

ｕ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）＝ｍ

ｉ＝１Ｎｉ（ｘ，ｙ，ｚ）ｕｉ（ｔ）

ｖ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）＝ｍ

ｉ＝１Ｎｉ（ｘ，ｙ，ｚ）ｖｉ（ｔ）

ｗ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）＝ｍ

ｉ＝１Ｎｉ（ｘ，ｙ，ｚ）ｗｉ（ｔ

烍

烌

烎）

或

ｕ＝Ｎａｅ （ａ）

其中单元节点位移向量为

８７１ 第１０章 动力分析

ａｅ＝ａ１…

ａ烅烄

烆烍烌

烎ｍ

， ａｉ＝

ｕｉ（ｔ）

ｖｉ（ｔ）

ｗｉ（ｔ烅烄

烆烍烌

烎）（ｉ＝１，２，⋯，ｍ）

形函数矩阵为

Ｎ＝ Ｎ１Ｉ Ｎ２Ｉ ⋯ Ｎｍ［ ］Ｉ

而Ｉ为三阶单位矩阵。

显然，单元内部各点的速度和加速度分别可以用单元节点的速度和加速度

表示为

ｕ＝Ｎａｅ （ｂ）

ｕ̈＝Ｎ̈ａｅ （ｃ）

（２）惯性力的等效节点荷载

若材料的质量密度为ρ，则根据Ｄ’Ａｌｅｍｂｅｒｔ原理，单元内单位体积上作用

的惯性力为

ｆｉ＝－ρ̈ｕ＝－ρＮ̈ａｅ （ｄ）

其中的下标ｉ表示惯性。利用体力等效节点荷载公式（１１９），可求得惯性力的

等效节点荷载

Ｐｅｉ＝∫ΩｅＮＴｆｉｄΩ＝－∫ΩｅρＮＴＮｄΩ̈ａｅ （ｅ）

或

Ｐｅｉ＝－Ｍｅ̈ａｅ （１０４）

其中，Ｍｅ为单元质量矩阵，即

Ｍｅ＝∫ΩｅρＮＴＮｄΩ （１０５）

（３）阻尼力的等效节点荷载

假设阻尼力正比于运动速度，比例常数为α，则单元内单位体积上作用的阻

尼力可表示为

ｆｄ＝－αρｕ＝－αρＮａｅ （ｆ）

其中的下标ｄ表示阻尼。阻尼力的等效节点荷载为

Ｐｅｄ＝∫ΩｅＮＴｆｄｄΩ＝－∫ΩｅαρＮＴＮｄΩａｅ （ｇ）

９７１１０１ 动力有限元方程

或

Ｐｅｄ＝－Ｃｅａｅ （１０６）

其中，Ｃｅ为单元阻尼矩阵，即

Ｃｅ＝α∫ΩｅρＮＴＮｄΩ＝αＭｅ （１０７）

（４）动力有限元方程的建立

对作用于单元上的动荷载（体力和面力），可采用式（１１９）和（１２０）将其转

化成等效节点荷载，即Ｐｅｆ和Ｐｅｐ。采用直接集成法，可将上述三种单元等效节点

荷载列阵集合成整体节点荷载向量。如果存在直接作用于节点上的集中动荷

载，则可将其直接叠加到相应的节点自由度上。若仍用Ｐ表示外部动荷载产生

的整体节点荷载向量，则总的整体节点荷载向量为－Ｍ̈ａ－Ｃａ＋Ｐ。将虚位移

原理应用于整个结构，便可得到如下方程

Ｋａ＝－Ｍ̈ａ－Ｃａ＋Ｐ （１０８）

此即动力有限元方程式（１０１）。

１０１３ 系数矩阵

由上可见，采用有限单元法进行结构动力计算，必须建立结构系统的整体质

量矩阵Ｍ、阻尼矩阵Ｃ和刚度矩阵Ｋ。它们均由相应的单元矩阵按照通用的

方法直接集合而成。由于动力问题中Ｋ的形式与静力问题完全相同，只是采用

动力本构参数即可，故不再介绍。

（１）质量矩阵

整体质量矩阵Ｍ 的元素ｍｉｊ称为质量影响系数，其物理意义是自由度ｊ的

单位加速度在自由度ｉ方向引起的力。在对结构进行离散化处理时，分配单元

质量的常用方法有两种，即一致质量法和集中质量法。

一致质量法按式（１０５）计算单元质量矩阵。此时，使用了与推导单元刚度

矩阵相同的位移函数，故称其为一致质量矩阵。又因为单元的动能和势能是相

互协调的，故也称为协调质量矩阵。采用一致质量法求出的整体质量矩阵是与

整体刚度矩阵相仿的带状对称方阵。对于平面问题常应变三角形单元，一致质

量矩阵为

Ｍｅ＝∫ΩｅρＮＴＮｄΩ＝ρｔＡｅ

ＩＮ１Ｎ１ ＩＮ１Ｎ２ ＩＮ１Ｎ３ＩＮ２Ｎ１ ＩＮ２Ｎ２ ＩＮ２Ｎ３ＩＮ３Ｎ１ ＩＮ３Ｎ２ ＩＮ３Ｎ

熿

燀

燄

燅３

ｄｘｄｙ

０８１ 第１０章 动力分析

＝ρｔＡ３

０５ ０ ０２５ ０ ０２５ ００５ ０ ０２５ ０ ０２５

０５ ０ ０２５ ０对 ０５ ０ ０２５

称 ０５ ０

熿

燀

燄

燅０５

（１０９）

其中，Ａ是三角形面积。

集中质量法简单地将单元的质量集中分配于单元的节点，形成集中质量矩

阵。每个节点所分配到的质量视该节点所管辖的范围而定。通常假定质量集中

在点上，一般不考虑转动惯量，所以与转动自由度相关的质量系数为零。此外，

任一节点的加速度仅在这一点上产生惯性力，对其他点没有作用，即质量矩阵中

的非对角线元素为零。因此，集中质量矩阵是对角矩阵，其对角线上与转动自由

度对应的元素为零。

关于质量矩阵的对角化，目前还没有理论可循。最常用的方法是对一致质

量矩阵的行求和，即

ｍＤｉｉ＝ｊｍＣｉｊ＝

ｊ∫ΩｅρＮＴＮｄΩ＝∫ΩｅρＮｉ ｊ Ｎ（ ）ｊｄΩ＝∫ΩｅρＮｉｄΩ

其中，ｍＤｉｉ是集中质量矩阵的对角元素；ｍＣｉｊ是一致质量矩阵的元素。对于平面问

题常应变三角形单元，集中质量矩阵为

Ｍｅ＝ρｔＡ３

１ ０ ０ ０ ０ ００ １ ０ ０ ０ ００ ０ １ ０ ０ ００ ０ ０ １ ０ ００ ０ ０ ０ １ ０

熿

燀

燄

燅０ ０ ０ ０ ０ １

（１０１０）

集中质量矩阵是对角线矩阵，形式简单、计算方便。困难是对于高次单元如

何将单元的质量分配到各个节点上。分配方法可能有多种，不易把握。一致质

量矩阵是非对角线的，所以采用这种方法计算时，工作量要比采用集中质量法大

得多。研究表明，采用一致质量矩阵将高估系统的最高自振频率；而采用集中质

量矩阵则以同样量级低估最高自振频率。因此，有学者建议在实际应用中采用

混合质量矩阵，即这两种矩阵的平均值。

（２）阻尼矩阵

动力学方程中的阻尼项代表系统在运动中所耗散的能量。产生阻尼的原因

是多方面的，例如滑动摩擦、空气阻力、材料内摩擦等。完全考虑这些因素来确

１８１１０１ 动力有限元方程

定阻尼力是不可能的，通常是用等效黏滞阻尼来代替，即认为固体材料的阻尼与

黏滞流体中的黏滞阻尼相似，阻尼力与运动速度或应变速度呈线性关系。所谓

等效是指假定的黏滞阻尼在振动一周所产生的能量耗散与实际阻尼相同。

若假设阻尼力正比于运动速度，则单元阻尼矩阵按式（１０７）计算。此时的

单元阻尼矩阵正比于单元质量矩阵。如果假定阻尼应力正比于应变速度（由于

材料内摩擦引起的结构阻尼通常可以简化为这种情况），则可表示为

σＣ＝βＤε

于是，根据初应力的等效节点荷载公式（９５０），可以得到单元阻尼矩阵

Ｃｅ＝β∫ΩｅＢＴＤＢｄΩ＝βＫｅ （１０１１）

可见，此单元阻尼矩阵正比于单元刚度矩阵。

求出单元阻尼矩阵后，采用直接集成方法可得到整体阻尼矩阵。但是，阻尼

系数一般依赖于频率，而且事先并不知道。可见，要精确地确定阻尼矩阵相当困

难。通常将实际结构的阻尼矩阵简化为质量矩阵和刚度矩阵的线性组合，即采

用Ｒａｙｌｅｉｇｈ阻尼

Ｃ＝αＭ＋βＫ （１０１２）

其中，α，β为不依赖于频率的常数，可以通过试验来确定。

１０２ 结构固有特性

计算结构的固有频率和固有振型称为特征值问题。它是结构动力分析的基

本内容，而且也是采用振型叠加法计算结构动力响应的前提。

１０２１ 广义特征值问题

在式（１０１）中令Ｐ＝０，得到自由振动方程。在实际工程中，阻尼对结构自

振频率和振型的影响不大，因此可忽略阻尼力，从而得到无阻尼自由振动的运动

方程

Ｍ̈ａ＋Ｋａ＝０ （１０１３）

式（１０１３）为常系数线性齐次常微分方程组，其解的形式为

ａ＝ｃｏｓωｔ （１０１４）

将其代入式（１０１３），可得齐次方程

２８１ 第１０章 动力分析

（Ｋ－ω２Ｍ）＝０ （１０１５）

在自由振动时，因结构中各节点的振幅不全为零，故其系数行列式必为零，

即

Ｋ－ω２Ｍ ＝０ （１０１６）

求解方程组（１０１５）的问题称为广义特征值问题。结构的刚度矩阵Ｋ 和质

量矩阵Ｍ 都 是ｎ 阶 方 阵，其 中ｎ 是 结 构 的 节 点 自 由 度 的 数 目。可 见，式

（１０１６）是关于ω２的ｎ次代数方程，称为式（１０１３）的特征方程，其解ω２ｉ（ｉ＝１，２，⋯，ｎ）称为特征值。对应于每个特征值ω２ｉ，由式（１０１５）可确定一组相应

的振幅值ｉ（ｉ＝１，２，⋯，ｎ），称为特征向量，在工程上通常称为结构的振型。

１０２２ 特征值和特征向量

在结构有限元分析中，刚度矩阵和质量矩阵都是实对称矩阵。消除刚体位

移后的刚度矩阵是正定的；采用一致质量矩阵时，质量矩阵是正定的。数学上可

以证明，当质量矩阵为对称正定、刚度矩阵为对称正定或半正定时，所有特征值

为非负的实数，特征向量也是实向量。因此，对于广义特征值问题，可将其ｎ个

实的特征值顺次排列为

０≤ω２１≤ω２２≤⋯≤ω２ｎ－１≤ω２ｎ （１０１７）

其中，ωｉ称为结构的第ｉ阶固有频率，对应的特征向量ｉ称为第ｉ阶固有振型。

它们满足方程

Ｋｉ＝ω２ｉＭｉ （ｉ＝１，２，⋯，ｎ） （１０１８）

显然，如果ｉ是广义特征值问题的特征向量，乘以不等于零的常数后仍为

特征向量。为了确定起见，通常使特征向量满足

ＴｉＭｉ＝１ （ｉ＝１，２，⋯，ｎ） （１０１９）

这样规定的特征向量或振型称为正则振型。

将特征解（ω２ｉ，ｉ）和（ω２ｊ，ｊ）分别代回方程（１０１５）得到

Ｋｉ＝ω２ｉＭｉ （１０２０）

Ｋｊ＝ω２ｊＭｊ （１０２１）

式（１０２０）两端前乘以Ｔｊ，式（１０２１）两端前乘以Ｔｉ，并注意到Ｋ 和Ｍ 的对称

性，可以得到

（ω２ｉ－ω２ｊ）ＴｊＭｉ＝０

３８１１０２ 结构固有特性

可见，当ωｉ≠ωｊ时，必有

ＴｊＭｉ＝０ （１０２２）

上式表明特征向量关于矩阵Ｍ 是正交的。式（１０１９）和（１０２２）结合在一起可

表示为

ＴｉＭｊ＝δｉｊ＝１ ｉ＝ｊ０ ｉ≠｛ ｊ

（１０２３）

由式（１０１８）、式（１０２３），可得

ＴｉＫｊ＝δｉｊω２ｉ＝ω２ｉ ｉ＝ｊ０ ｉ≠烅烄

烆 ｊ（１０２４）

如果定义特征矩阵

Φ＝ １ ２ ⋯ ［ ］ｎ （１０２５）

则特征解的性质可表示成

ΦＴＭΦ＝ＩΦＴＫΦ＝Ω

烍烌烎２

（１０２６）

其中

Ω２＝

ω２１ ０

ω２２

０ ω２

熿

燀

燄

燅ｎ

（１０２７）

求解特征值问题的现成方法很多，例如逆迭代法、子空间迭代法和Ｌａｎｃｚｏｓ向量法等。由于特征值问题在数值计算中已做了详细介绍，这里就不再赘述。

１０３ 结构动力响应

动力有限元方程组的解法主要有两类，即振型迭加法和直接积分法。关于

直接积分法，我们将着重研究不同数值积分方案的特点和步骤，并适当讨论解的

稳定性问题。

１０３１ 振型迭加法

一般情况下，方程组（１０１）是耦合的。振型迭加法的基本思想是先将方程

４８１ 第１０章 动力分析

组非耦合化，然后再积分求解非耦合方程组。Ｍ 和Ｋ 是振型正交的，而且在采

用系统比例阻尼假设下，Ｃ将也是振型正交的。所以借助振型向量所构成的位

移变换矩阵，便可实现方程组的非耦合化。

在求出结构无阻尼自由振动的频率和振型以后，可用振型的线性组合来表

示结构的节点位移

ａ＝１ｘ１（ｔ）＋２ｘ２（ｔ）＋⋯＋ｎｘｎ（ｔ）

＝ １ ２ ⋯ ［ ］ｎｘ＝Φｘ （１０２８）

其中，ｘｉ（ｔ）是时间的函数，这样便有

ａ＝Φｘ， ａ̈＝Φ̈ｘ （１０２９）

代入方程式（１０１），并各项前乘ΦＴ，得

ΦＴＭΦ̈ｘ＋ΦＴＣΦｘ＋ΦＴＫΦｘ＝ΦＴＰ （１０３０）

注意到式（１０２６），并设阻尼矩阵为质量矩阵与刚度矩阵的线性组合，即

Ｃ＝αＭ＋βＫ （１０３１）

于是

ΦＴＣΦ＝

２ω１λ１ ０ ⋯ ００ ２ω２λ２ ⋯ ０… … … …

０ ０ ⋯ ２ωｎλ

熿

燀

燄

燅ｎ

（１０３２）

其中

２ωｉλｉ＝α＋βωｉ （１０３３）

显然，如果已知结构的两个频率ωｉ，ωｊ以及相应的阻尼比λｉ，λｊ，则阻尼常数为

α＝２（λｉωｊ－λｊωｉ）

（ωｊ＋ωｉ）（ωｊ－ωｉ）ωｉωｊ， β＝

２（λｉωｊ－λｊωｉ）（ωｊ＋ωｉ）（ωｊ－ωｉ）

将式（１０２６），（１０３２）代入式（１０３０），可得一组相互独立的微分方程

ｄ２ｘ１ｄｔ２ ＋２ω１λ１

ｄｘ１ｄｔ＋ω

２１ｘ１＝Ｔ１Ｐ＝ｒ１（ｔ）

ｄ２ｘ２ｄｔ２ ＋２ω２λ２

ｄｘ２ｄｔ＋ω

２２ｘ２＝Ｔ２Ｐ＝ｒ２（ｔ）

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

ｄ２ｘｎｄｔ２ ＋２ωｎλｎ

ｄｘｎｄｔ＋ω

２ｎｘｎ＝ＴｎＰ＝ｒｎ（ｔ

烍

烌

烎）

（１０３４）

５８１１０３ 结构动力响应

由于高阶振型对结构动力响应的贡献一般都很小，通常只计算最低的３到

５个振型即可。振型叠加法的缺点是必须求解特征值问题。另外，由于该法应

用了叠加原理，故只适用于线性问题。

单自由度微分方程（１０３４）可用后面将要介绍的直接积分法计算，但通常采

用Ｄｕｈａｍｅｌ积分，其基本思想是：将激振力ｒｉ（ｔ）分解为一系列微冲量的连续作

用，分别求出每个微冲量的响应，然后将所有微冲量的响应叠加起来。

ｘｉ（ｔ）＝ １ωｉ∫ｔ

０ｒｉ（τ）ｅ－λｉωｉ（ｔ－τ）ｓｉｎωｉ（ｔ－τ）ｄτ＋ｅ－λｉωｉｔ（ａｉｓｉｎωｉｔ＋ｂｉｃｏｓωｉｔ）

（１０３５）

其中，ωｉ＝ωｉ １－λ２槡 ｉ；常数ａｉ，ｂｉ由初始条件确定。

１０３２ 直接积分法

直接积分法是指直接对方程（１０１）进行逐步积分，而不进行任何形式的变

换。求解的基本思路基于如下两个概念：（１）将在求解时域０＜ｔ＜Ｔ内任何时

刻都应满足运动方程的要求，代之以仅在相隔Δｔ的离散时间点上满足运动方

程；（２）在某时域内假定运动状态变量的时变规律或采用某种差分格式就时间变

量ｔ离散方程组。在此基础上，可以建立由ｔ时刻运动状态̈ａｔ，ａｔ，ａｔ计算ｔ＋Δｔ时刻运动状态ａ̈ｔ＋Δｔ，ａｔ＋Δｔ，ａｔ＋Δｔ的公式。

假设的时变规律或采用的差分格式不同，对ｔ的离散方法就不同，从而也就

得到不同的数值积分方法。目前主要有中心差分法、线性加速度法、Ｎｅｗｍａｒｋ法和Ｗｉｌｓｏｎ法。在以下讨论中，假定求解域被等分为ｎ个时段（Δｔ＝Ｔ／ｎ），且

在０，Δｔ，２Δｔ，⋯，ｔ时刻的解已经求得，计算的任务是求ｔ＋Δｔ时刻的解。

（１）中心差分法

在中心差分法中，加速度和速度可以用位移表示为（文献８８）

ａ̈ｔ＝１Δｔ２

（ａｔ－Δｔ－２ａｔ＋ａｔ＋Δｔ） （ａ）

ａｔ＝１２Δｔ

（ａｔ＋Δｔ－ａｔ－Δｔ） （ｂ）

为了求得ｔ＋Δｔ时刻的位移解答ａｔ＋Δｔ，可在ｔ时刻建立运动方程，即

Ｍ̈ａｔ＋Ｃａｔ＋Ｋａｔ＝Ｐｔ （１０３６）

将式（ａ）和（ｂ）代入上式，得到

珡Ｋａｔ＋Δｔ＝珚Ｐｔ＋Δｔ （１０３７）

其中，珡Ｋ 称为有效刚度矩阵；珚Ｐｔ＋Δｔ称为有效节点荷载，它们的表达式分别为

６８１ 第１０章 动力分析

珡Ｋ＝ １Δｔ２Ｍ＋

１２ΔｔＣ

（１０３８）

珚Ｐｔ＋Δｔ＝Ｐｔ－ Ｋ－ ２Δｔ２（ ）Ｍ ａｔ－ １

Δｔ２Ｍ－１２Δｔ（ ）Ｃａｔ－Δｔ （１０３９）

当ｔ＝０时，为了计算ａΔｔ，除了初始条件已知的ａ０外，还需要知道ａ－Δｔ。

为此，利用式（ａ）和（ｂ）可以得到

ａ－Δｔ＝ａ０－Δｔａ０＋Δｔ２２ａ̈０

（１０４０）

式（１０３７）是用相邻时刻的位移表示的代数方程组，由此可解出ａｔ＋Δｔ。因

ａｔ＋Δｔ是利用ｔ时刻的运动方程得到的，Ｋ 不出现在有效刚度矩阵Ｋ中，因此中

心差分法被称为显式积分法。这种方法的优点是计算简单，缺点则在于它是有

条件稳定的，即当时间步长Δｔ过大时，积分是不稳定的（见１０４节）。

（２）线性加速度法

假定在时段［ｔ，ｔ＋Δｔ］内加速度呈线性变化，即

ａ̈ｔ＋τ＝̈ａｔ＋τΔｔ

（̈ａｔ＋Δｔ－̈ａｔ） （ａ）

于是，ｔ＋τ时刻的速度和位移可积分求得

ａｔ＋τ＝ａｔ＋∫τ

０ａ̈ｔ＋τｄτ

ａｔ＋τ＝ａｔ＋∫τ

０ａｔ＋τｄτ

将式（ａ）代入以上二式，并令τ＝Δｔ，得到

ａｔ＋Δｔ＝ａｔ＋Δｔ２ａ̈ｔ＋

Δｔ２ａ̈ｔ＋Δｔ

（ｂ）

ａｔ＋Δｔ＝ａｔ＋Δｔａｔ＋Δｔ２３ａ̈ｔ＋

Δｔ２６ａ̈ｔ＋Δｔ

（ｃ）

由式（ｃ）得到

ａ̈ｔ＋Δｔ＝６Δｔ２

（ａｔ＋Δｔ－ａｔ）－６Δｔａｔ－２̈ａｔ （ｄ）

将式（ｄ）代入式（ｂ）得到

ａｔ＋Δｔ＝３Δｔａｔ＋Δｔ－

３Δｔａｔ－２

ａｔ－Δｔ２ａ̈ｔ

（ｅ）

ｔ＋Δｔ时刻的位移解答ａｔ＋Δｔ可通过满足ｔ＋Δｔ时刻的动力学方程

７８１１０３ 结构动力响应

Ｍ̈ａｔ＋Δｔ＋Ｃａｔ＋Δｔ＋Ｋａｔ＋Δｔ＝Ｐｔ＋Δｔ （１０４１）

得到。将式（ｄ）和（ｅ）代入式（１０４１），得到由ａｔ，ａｔ，̈ａｔ计算ａｔ＋Δｔ的公式

珡Ｋａｔ＋Δｔ＝珚Ｐｔ＋Δｔ （１０４２）

其中，珡Ｋ，珚Ｐｔ＋Δｔ分别为

珡Ｋ＝Ｋ＋ ６Δｔ２Ｍ＋

３ΔｔＣ

（１０４３）

珚Ｐｔ＋Δｔ＝Ｐｔ＋Δｔ＋Ｍ６Δｔ２ａｔ＋

６Δｔａｔ＋２̈ａ（ ）ｔ （１０４４）

在线性加速度法中，ａｔ＋Δｔ是利用ｔ＋Δｔ时刻的运动方程得到的，Ｋ 出现在

有效刚度矩阵珡Ｋ 中，因此称为隐式积分法。可以证明，线性加速度法也是有条

件稳定的，故其应用受到了限制。下面将要介绍的Ｎｅｗｍａｒｋ法和 Ｗｉｌｓｏｎ法都

是无条件稳定的，它们都可以看作线性加速度法的推广。

（３）Ｎｅｗｍａｒｋ法

Ｎｅｗｍａｒｋ（１９５９）假设

ａｔ＋Δｔ＝ａｔ＋（１－γ）̈ａｔΔｔ＋γ̈ａｔ＋ΔｔΔｔ （ａ）

ａｔ＋Δｔ＝ａｔ＋ａｔΔｔ＋（１／２－β）̈ａｔΔｔ２＋β̈ａｔ＋ΔｔΔｔ２ （ｂ）

其中，γ和β是按积分精度和稳定性要求而决定的参数。当γ＝１／２和β＝１／６时，式（ａ）和（ｂ）相应于线性加速度法。

在Ｎｅｗｍａｒｋ法中，ｔ＋Δｔ时刻的位移解答ａｔ＋Δｔ也是通过满足ｔ＋Δｔ时刻

的运动方程

Ｍ̈ａｔ＋Δｔ＋Ｃａｔ＋Δｔ＋Ｋａｔ＋Δｔ＝Ｐｔ＋Δｔ （１０４５）

而得到的。首先从式（ｂ）中解得

ａ̈ｔ＋Δｔ＝１βΔｔ２

（ａｔ＋Δｔ－ａｔ）－ １βΔｔａｔ－

１２β（ ）－１ａ̈ｔ

代入式（ａ），然后再一并代入式（１０４５），从而得到由ａｔ，ａｔ，̈ａｔ计算ａｔ＋Δｔ的公式

珡Ｋａｔ＋Δｔ＝珚Ｐｔ＋Δｔ （１０４６）

其中，珡Ｋ，珚Ｐｔ＋Δｔ分别为

珡Ｋ＝Ｋ＋ １βΔｔ２

Ｍ＋γβΔｔＣ （１０４７）

珚Ｐｔ＋Δｔ＝Ｐｔ＋Δｔ＋Ｍ１βΔｔ２

ａｔ＋１βΔｔａｔ＋

１２β（ ）－１ ａ̈［ ］ｔ

８８１ 第１０章 动力分析

＋Ｃ γβΔｔａｔ＋

γβ（ ）－１ａｔ＋

γ２β（ ）－１Δｔ̈ａ［ ］ｔ （１０４８）

（４）Ｗｉｌｓｏｎ法

Ｗｉｌｓｏｎ法假定加速度ａ̈在［ｔ，ｔ＋θΔｔ］内呈线性变化，这里θ是≥１０的参

数。以τ表示时间增量，０≤τ≤θΔｔ，则在［ｔ，ｔ＋θΔｔ］内有

ａ̈ｔ＋τ＝̈ａｔ＋τθΔｔ

（̈ａｔ＋θΔｔ－̈ａｔ） （ａ）

积分上式可得

ａｔ＋τ＝ａｔ＋τ̈ａｔ＋τ２２θΔｔ

（̈ａｔ＋θΔｔ－̈ａｔ） （ｂ）

ａｔ＋τ＝ａｔ＋τａｔ＋τ２２ａ̈ｔ＋

τ３６θΔｔ

（̈ａｔ＋θΔｔ－̈ａｔ） （ｃ）

在式（ｂ）和（ｃ）中令τ＝θΔｔ，得

ａｔ＋θΔｔ＝ａｔ＋θΔｔ２

（̈ａｔ＋θΔｔ＋̈ａｔ） （ｄ）

ａｔ＋θΔｔ＝ａｔ＋θΔｔａｔ＋θ２Δｔ２６

（̈ａｔ＋θΔｔ＋２̈ａｔ） （ｅ）

由此可得到用ａｔ＋θΔｔ表示的̈ａｔ＋θΔｔ和ａｔ＋θΔｔ

ａ̈ｔ＋θΔｔ＝６

θ２Δｔ２（ａｔ＋θΔｔ－ａｔ）－ ６θΔｔ

ａｔ－２̈ａｔ （ｆ）

ａｔ＋θΔｔ＝３θΔｔ

（ａｔ＋θΔｔ－ａｔ）－２ａｔ－θΔｔ２ ａ̈ｔ

（ｇ）

ｔ＋θΔｔ时刻的动力学方程为

Ｍ̈ａｔ＋θΔｔ＋Ｃａｔ＋θΔｔ＋Ｋａｔ＋θΔｔ＝Ｐｔ＋θΔｔ （１０４９）

将式（ｆ）和（ｇ）代入上式，得到

珡Ｋａｔ＋θΔｔ＝珚Ｐｔ＋θΔｔ （１０５０）

其中，珡Ｋ，珚Ｐｔ＋θΔｔ分别为

珡Ｋ＝Ｋ＋ ６θ２Δｔ２Ｍ＋

３θΔｔＣ

（１０５１）

珚Ｐｔ＋θΔｔ＝Ｐｔ＋θΔｔ＋Ｍ６

θ２Δｔ２ａｔ＋６θΔｔａｔ＋２̈ａ［ ］ｔ ＋Ｃ ３

θΔｔａｔ＋２ａｔ＋

θΔｔ２ ａ̈（ ）ｔ

（１０５２）

由式（１０５０）解出位移ａｔ＋θΔｔ，由式（ｆ）确定ａ̈ｔ＋θΔｔ。在式（ａ），（ｂ），（ｃ）中令

９８１１０３ 结构动力响应

τ＝Δｔ，可得

ａ̈ｔ＋Δｔ＝ １－１（ ）θ ａ̈ｔ＋１θａ̈ｔ＋θΔｔ

ａｔ＋Δｔ＝ａｔ＋Δｔ̈ａｔ＋Δｔ２θ

（̈ａｔ＋θΔｔ－̈ａｔ）

ａｔ＋Δｔ＝ａｔ＋Δｔａｔ＋Δｔ２２ａ̈ｔ＋

Δｔ２６θ

（̈ａｔ＋θΔｔ－̈ａｔ

烍

烌

烎）

（１０５３）

由此式计算ｔ＋Δｔ时刻的加速度̈ａｔ＋Δｔ，速度ａｔ＋Δｔ和位移ａｔ＋Δｔ。

１０４ 解的稳定性

１０４１ 基本概念

在选择时间步长Δｔ时，必须考虑两个因素，即解的稳定性和精度。如果在

任何时间步长Δｔ下，对于任何初始条件，方程的解不无限制地增长，则称此算

法是无条件稳定的；如果Δｔ必须小于某个临界值Δｔｃｒ时上述性质才能保持，则

称此算法是有条件稳定的。

运动方程解耦后，其性质不变，因此可以方便地用非耦合微分方程讨论解的

稳定性。由于各振型的运动是相互独立的，方程是相似的，故只须从中取出典型

振型的运动方程来分析即可

ｘ̈ｉ＋２ωｉλｉｘｉ＋ω２ｉｘｉ＝ｒｉ （１０５４）

解的稳定性实质上是误差的响应问题，因此可令上式的ｒｉ＝０。由于阻尼对解

的稳定性是有利的，故可令阻尼项为零。为简洁起见，推导过程中略去下标ｉ。

于是，可用下式讨论解的稳定性

ｘ̈＋ω２ｘ＝０ （１０５５）

１０４２ 稳定性条件

为保证解的稳定性，对于中心差分法，必须满足

Δｔ≤Δｔｃｒ＝Ｔｎπ

（１０５６）

其中，Δｔｃｒ为临界时间步长；Ｔｎ 为系统的最小固有周期。

对于Ｎｅｗｍａｒｋ法，如果

０９１ 第１０章 动力分析

γ≥１２， β≥

１４１２＋（ ）γ

２（１０５７）

则无条件稳定，一般取γ＝０５，β＝０２５即可；如果不满足上述条件，要得到稳

定的解，时间步长必须满足

Δｔ＜Δｔｃｒ （１０５８）

其中临界时间步长根据下式确定

Δｔｃｒ＝Ｔｎπ

１（１／２＋γ）２－４槡 β

（１０５９）

对于Ｗｉｌｓｏｎ法，为保证积分无条件稳定，需θ≥１３７。通常采用θ＝１４０可得到较好的结果。

１０４３ 条件的推导

（１）特征方程

现以中心差分法为例，说明稳定性条件的推导过程。在ｔ时刻，式（１０５５）为

ｘ̈ｔ＋ω２ｘｔ＝０ （１０６０）

采用中心差分法对式（１０６０）进行积分，其差分格式为

ｘ̈ｔ＝１Δｔ２

（ｘｔ－Δｔ－２ｘｔ＋ｘｔ＋Δｔ）

将上式代入式（１０６０）可得

ｘｔ＋Δｔ＝－（Δｔ２ω２－２）ｘｔ－ｘｔ－Δｔ （１０６１）

假定解的形式为

ｘｔ＋Δｔ＝λｘｔ， ｘｔ＝λｘｔ－Δｔ （１０６２）

将其代入式（１０６１），得特征方程

λ２＋（ｐ－２）λ＋１＝０ （１０６３）

其中，ｐ＝Δｔ２ω２。方程（１０６３）的根为

λ１，２＝２－ｐ± （ｐ－２）２槡 －４

２（１０６４）

（２）解的性质

λ关系到解的性质。首先为使在小阻尼情况下的解具有震荡特性，λ必须是

１９１１０４ 解的稳定性

复数，即要求

（ｐ－２）２－４＜０

亦即ｐ＜４。由于ｐ＝Δｔ２ω２，并注意到ω＝２π／Ｔ，故有

Δｔ＜Ｔπ（１０６５）

其次，为使解不会无限地增长，还要求｜λ｜≤１。根据式（１０６４），｜λ１｜＝｜λ２｜＝１，故上述要求自动满足。

前面已经说明，直接积分法相当于采用同样的时间步长对所有ｎ个振型的

单自由度方程同时进行积分。因此，中心差分法的时间步长由系统的最小自振

周期所决定。为保证解的稳定性，根据式（１０６５），必须满足式（１０５６）。

１０４４ 简单讨论

采用直接积分法时，高阶振型的动力响应是被自动积分的。也就是说，运动

方程（１０１）的 直 接 积 分 等 价 于 用 一 个 统 一 的 时 间 步 长Δｔ去 积 分 方 程 组

（１０３４）的每个方程。如果采用的算法是有条件稳定的，那么为了保证解的稳定

性，时间步长必须小于临界时间步长Δｔｃｒ。根据前面的分析，Δｔｃｒ取决于系统的

最小自振周期Ｔｎ。在有限单元法中，由Ｔｎ 决定的临界时间步长是非常小的时

段。

然而，在结构动力反应中，高频分量的贡献是很小的，只要考虑结构的低频

部分即可，从而可采用较大的时间步长。如果算法是无条件稳定的，那就意味着

当采用较大的Δｔ时，不会因高阶振型的误差使低阶振型的解失去意义，因此无

条件稳定的算法显示出优越性。

１０５ 结 语

进行动力分析时，结构的离散、位移函数的选择、荷载的移置等与静力问题

完全相似，但也有其特殊性。例如在进行动力响应分析时，一般应选择较为均匀

的网格布局。这是因为结构的固有频率和振型只与质量分布和刚度分布有关，

不存在类似应力集中问题；均布网格使结构刚度矩阵、质量矩阵中各元素的大小

相差不大，可以减少数值计算误差。

习 题

１０１ 试推导动力问题的弱形式（即虚位移原理）和势能变分原理，并根据它们

建立动力有限元方程组（提示：动力平衡微分方程为σｉｊ，ｊ＋ｆｉ＝ρ̈ｕｉ）：

２９１ 第１０章 动力分析

Ｍ̈ａ＋Ｋａ＝Ｐ

１０２ 说明振型叠加法的基本思路，并根据动力有限元方程组推导振型叠加法

的非耦合微分方程组。

１０３ 各种直接积分法的基本假设是什么？

１０４ 什么是解的稳定性？什么是无条件稳定？什么是有条件稳定？

３９１习 题

第１１

章

多场问题

从本质上讲，有限单元法是一种求解微分方程的方法，因此适用于任何已经

建立起微分方程的物理或工程问题。对于那些不同于结构分析的问题，推导有

限元公式仍然基于弱形式或变分原理；而弱形式或变分原理的建立同样基于微

分方程的等效积分形式。作为例子，本章将介绍热传导与变温应力、流体与结构

相互作用问题的有限元分析方法。

１１１ 热传导与变温应力

结构在变温条件下运行，可能会因温度变化产生显著的应力。此时进行结

构设计必须考虑变温应力；而要计算变温应力，首先需要确定温度场。这就是热

传导与变温应力问题，其中温度场的改变影响应力场，而应力场对温度场的影响

则可以忽略不计。

１１１１ 基本方程

（１）热传导方程

在固体热传导问题中，通常可假定热流密度与温度梯度成正比，即

ｑｘ＝－λｘＴｘ

， ｑｙ＝－λｙＴｙ

， ｑｚ＝－λｚＴｚ

（１１１）

其中，ｑｘ，ｑｙ，ｑｚ分别为ｘ，ｙ，ｚ方向的热流密度，即单位时间内通过单位面积所

流过的热量；λｘ，λｙ，λｚ分别为ｘ，ｙ，ｚ方向的导热系数。由于热量是从高温处向

低温处流动，故上式取负号。

从固体中取微元体进行分析，根据热平衡原理可以得到热传导方程

ｘ λｘ

Ｔ（ ）ｘ ＋ ｙλｙ

Ｔ（ ）ｙ ＋ ｚλｚ

Ｔ（ ）ｚ ＋ｑｖ＝ｃρ

Ｔｔ

（１１２）

其中，ｃ为比热；ρ为材料质量密度；ｑｖ为内部热源，即在单位时间内单位体积放

出的热量。

（２）边界条件

热传导问题可能遇到三类边界条件。在第一类边界Γ１上已知温度，即

Ｔ｜Γ１＝Ｔ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ） （１１３）

在第二类边界Γ２上已知热流密度ｑ，即

λｘＴｘｌ＋λｙ

Ｔｙｍ＋λｚ

Ｔｚｎ Γ２

＝－ｑ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ） （１１４）

对于热流各向同性介质，上式成为

λＴｎ Γ２＝－ｑ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ） （１１５）

热流方向是边界外法线方向，亦即热流量从物体向外流出时ｑ为正。

第二类边界上的热流密度是人工供给的，而在第三类边界Γ３上，固体与

流体因温度差而发生热对流。此时，通过固体表面的热流密度与温度差成正

比

λｘＴｘｌ＋λｙ

Ｔｙｍ＋λｚ

Ｔｚｎ Γ３

＝－β（Ｔ－Ｔｃ） （１１６）

其中，β为换热系数；Ｔ为固体表面温度；Ｔｃ为流体温度。

（３）初始条件

在稳态热传导中，温度将不随时间变化，此时的温度场称为稳态温度场，这

种问题不需要初始条件。当需要考虑一个系统的加热或冷却过程时，我们将面

对瞬态热传导问题，需求解瞬态温度场，初始条件可表示为

Ｔ ｔ＝０＝Ｔ０（ｘ，ｙ，ｚ） （１１７）

１１１２ 变分原理

现在推导稳态热传导的变分原理。将第一类边界条件作为强制边界条件，

取温度变分δＴ为任意函数，则该问题的等效积分形式为

－∫Ω ｘ λｘ

Ｔ（ ）ｘ ＋ ｙλｙ

Ｔ（ ）ｙ ＋ ｚλｚ

Ｔ（ ）ｚ ＋ｑ［ ］ｖδＴｄΩ

＋∫Γ２ λｘＴｘｌ＋λｙ

Ｔｙｍ＋λｚ

Ｔｚｎ＋（ ）ｑδＴｄΓ

＋∫Γ３ λｘＴｘｌ＋λｙ

Ｔｙｍ＋λｚ

Ｔｚｎ＋β

（Ｔ－Ｔｃ［ ］）δＴｄΓ＝０

５９１１１１ 热传导与变温应力

即

－３

ｉ＝１∫Ω（λｉＴ，ｉ），ｉδＴｄΩ＋３

ｉ＝１∫Γ２λｉＴ，ｉｎｉδＴｄΓ＋３

ｉ＝１∫Γ３λｉＴ，ｉｎｉδＴｄΓ

－∫ΩｑｖδＴｄΩ＋∫Γ２ｑδＴｄΓ＋∫Γ３β（Ｔ－Ｔｃ）δＴｄΓ＝０ （ａ）

上式中的指标ｉ出现三次，按求和约定需要加求和号。考虑上式中的第一项积

分

３

ｉ＝１∫Ω（λｉＴ，ｉ），ｉδＴｄΩ＝３

ｉ＝１∫Ω（λｉＴ，ｉδＴ），ｉｄΩ－３

ｉ＝１∫ΩλｉＴ，ｉδＴ，ｉｄΩ （ｂ）

根据散度定理，并注意到边界Γ１上的温度变分为零，上式右边第一项可化为面

积积分

３

ｉ＝１∫Ω（λｉＴ，ｉδＴ），ｉｄΩ＝３

ｉ＝１∫ΓλｉＴ，ｉｎｉδＴｄΓ

＝３

ｉ＝１∫Γ２λｉＴ，ｉｎｉδＴｄΓ＋３

ｉ＝１∫Γ３λｉＴ，ｉｎｉδＴｄΓ （ｃ）

将式（ｃ）代入式（ｂ），再代入式（ａ）得

３

ｉ＝１∫ΩλｉＴ，ｉδＴ，ｉｄΩ－∫ΩｑｖδＴｄΩ＋∫Γ２ｑδＴｄΓ＋∫Γ３β（Ｔ－Ｔｃ）δＴｄΓ＝０

（１１８）

这就是热传导问题的弱形式。上式中的第一项为

３

ｉ＝１∫ΩλｉＴ，ｉδＴ，ｉｄΩ＝δ∫Ω１２λｉ（Ｔ，ｉ）２ｄΩ （ｄ）

于是，式（１１８）可写成

δ∫Ω １２λｉ（Ｔ，ｉ）２－ｑｖ［ ］Ｔ ｄΩ＋∫Γ２ｑＴｄΓ＋∫Γ３β

１２Ｔ

２－Ｔｃ（ ）Ｔ ｄ｛ ｝Γ ＝０

即

δΠ＝０ （１１９）

这就是热传导变分原理，而泛函Π为

Π（Ｔ）＝∫Ω １２ λｘ Ｔ（ ）ｘ２＋λｙ

Ｔ（ ）ｙ

２＋λｚ

Ｔ（ ）ｚ［ ］

２－ｑｖ｛ ｝Ｔ ｄΩ

＋∫Γ２ｑＴｄΓ＋∫Γ３β（Ｔ２／２－ＴｃＴ）ｄΓ （１１１０）

６９１ 第１１章 多场问题

１１１３ 离散方程

（１）稳态温度场

将结构离散后，总体泛函等于所有单元的泛函之和，即

Π（Ｔ）＝ｅΠｅ

单元泛函为

Πｅ＝∫Ωｅ １２ λｘ Ｔ（ ）ｘ２＋λｙ

Ｔ（ ）ｙ

２＋λｚ

Ｔ（ ）ｚ［ ］

２－ｑｖ｛ ｝Ｔ ｄΩ

＋∫Γｅ２ｑＴｄΓ＋∫Γｅ３β（Ｔ２／２－ＴｃＴ）ｄΓ

单元内温度可用形函数表示为

Ｔ＝ Ｎ１ ⋯ Ｎ［ ］ｍ

Ｔ１…

Ｔ烅烄

烆烍烌

烎ｍ＝ＮＴｅ （１１１１）

其中，ｍ为单元的节点数；Ｔｅ为单元节点温度向量。根据变分原理

δΠ＝ｅδＴｅＴΠ

ｅ

Ｔｅ ＝０（１１１２）

其中

ΠｅＴｅ＝

ΠｅＴ１

ΠｅＴ２

⋯ ΠｅＴ［ ］

ｍ

Ｔ＝ＫｅＴＴｅ－ＰｅＴ （１１１３）

ＰｅＴ ＝∫ΩｅｑｖＮＴｄΩ－∫Γｅ２ｑＮＴｄΓ＋∫Γｅ３βＴｃＮ

ＴｄΓ （１１１４）

ＫｅＴ ＝Ｋｅ１＋Ｋｅ２ （１１１５）

这里，ＰｅＴ 相当于等效节点荷载向量，ＫｅＴ 相当于结构计算中的单元刚度矩阵。

其中Ｋｅ１的元素为

ｋｉｊ＝∫Ωｅ λｘＮｉｘＮｊｘ ＋λｙＮｉｙＮｊｙ ＋λｚ

ＮｉｚＮｊ［ ］ｚ ｄΩ （１１１６）

而Ｋｅ２与下述项有关

Ｔｉ∫Γｅ３

βＴ２２ｄΓ＝∫Γｅ３βＴ

ＴＴｉｄΓ＝∫Γｅ３βＮｉＮＴ

ｅｄΓ

７９１１１１ 热传导与变温应力

或

Ｔｅ∫Γｅ３

βＴ２２ｄΓ＝∫Γｅ３βＮ

ＴＮＴｅｄΓ＝Ｋｅ２Ｔｅ

其中

Ｋｅ２＝∫Γｅ３βＮＴＮｄΓ （１１１７）

将式（１１１３）代入式（１１１２）并进行单元集成，可得

δΠ＝ｅ

（δＴｅＴＫｅＴＴｅ－δＴｅＴＰｅＴ）＝δＴＴ（ＫＴＴ－ＰＴ）＝０

注意到变分δＴ的任意性，有

ＫＴＴ＝ＰＴ （１１１８）

其中，Ｔ为整体节点温度向量（相当于结构计算中的整体节点位移向量）；ＫＴ（相

当于整体刚度矩阵）和ＰＴ（相当于整体节点荷载向量）分别由单元的ＫｅＴ 和ＰｅＴ集合而成，集成方式与刚度矩阵及荷载向量的集成方式完全相同。

（２）瞬态温度场

求解瞬态温度场时，要求在空间域内用有限单元法，而在时间域内用有限差

分法。从初始温度场开始，每隔一个时间步长求解下一时刻的温度场。

假定时间变量ｔ暂时固定，即先考虑在一具体时刻（Ｔｔ

仅是位置坐标的函

数）下对泛函的变分，然后再考虑ｔ的变化而把Ｔｔ

离散化。这样，瞬态温度场问

题的泛函为

Π＝∫Ω １２ λｘ Ｔ（ ）ｘ２＋λｙ

Ｔ（ ）ｙ

２＋λｚ

Ｔ（ ）ｚ［ ］

２－ｑｖＴ＋ρｃ

Ｔｔ｛ ｝Ｔ ｄΩ

＋∫Γ２ｑＴｄΓ＋∫Γ３β１２Ｔ

２－Ｔｃ（ ）Ｔ ｄΓ （１１１９）

类似前面的方法，空间离散化后得到

ＫＴＴ＋ＭＴ·

＝ＰＴ （１１２０）

与方程（１１１８）相比，上式左边多出了第二项，其余相同。这里的 Ｍ 为瞬态变

温矩阵，其计算公式为

Ｍ ＝ｅＭｅ （１１２１）

Ｍｅ＝∫ΩｅＮＴρｃＮｄΩ （１１２２）

８９１ 第１１章 多场问题

式（１１２０）为以时间为变量的常微分方程组。对时间的离散可以采用多种

差分格式（文献３８）。例如

αＴ·

ｔ＋（１－α）Ｔ·

ｔ－Δｔ＝１Δｔ

（Ｔｔ－Ｔｔ－Δｔ） （１１２３）

其中，０≤α≤１，而α＝０时为向前差分格式；α＝１时为向后差分格式；α＝１／２时

为Ｃｒａｎｋ?Ｎｉｃｏｌｓｏｎ差分格式。计算表明，Ｃｒａｎｋ?Ｎｉｃｏｌｓｏｎ格式精度较高且无条件

稳定，故得到较为广泛的应用。此时

１２

（Ｔ·

ｔ＋Ｔ·

ｔ－Δｔ）＝１Δｔ（Ｔｔ－Ｔｔ－Δｔ） （１１２４）

在ｔ时刻满足方程（１１２０），即

ＫＴＴｔ＋ＭＴ·

ｔ＝ＰＴｔ （ａ）

从式（１１２４）中解出Ｔ·

ｔ后代入上式得

（ＫＴ＋２Ｍ／Δｔ）Ｔｔ＝ＰＴｔ＋（２Ｍ／Δｔ）Ｔｔ－Δｔ＋ＭＴ·

ｔ－Δｔ （ｂ）

为了消去上式中的ＭＴ·

ｔ－Δｔ，可在ｔ－Δｔ时刻满足方程（１１２０）

ＫＴＴｔ－Δｔ＋ＭＴ·

ｔ－Δｔ＝ＰＴｔ－Δｔ （ｃ）

从中解出ＭＴ·

ｔ－Δｔ，代入式（ｂ）得

（ＫＴ＋２Ｍ／Δｔ）Ｔｔ＝ＰＴｔ＋ＰＴｔ－Δｔ＋（２Ｍ／Δｔ－ＫＴ）Ｔｔ－Δｔ （１１２５）

其中，Ｔｔ－Δｔ为初始时刻或前一时刻的节点温度向量。由此可解得任意时刻ｔ的

节点温度向量。

１１１４ 变温应力

变温应力计算属于初应变问题。变温Ｔ 引起的初应变就是没有任何约束

时由自由膨胀或收缩产生的应变，这种应变与应力无关。对于各向同性弹性介

质，温度变化不引起剪应变。例如，对于空间问题，初应变为

ε０＝ αＴ αＴ αＴ［ ］０ ０ ０ Ｔ

其中，α为线膨胀系数。

实际结构物总是受到约束，因此变温将引起弹性体内的变温应力。为计算

变温引起的位移和应力，只要将变温造成的初应变转化成等效节点荷载，再进行

通常的有限元计算即可；而初应变引起的单元等效节点荷载向量则按式（９５１）

计算，即

９９１１１１ 热传导与变温应力

Ｐｅε０＝∫ΩｅＢＴＤε０ｄΩ （１１２６）

１１２ 流体与结构相互作用

当流体与结构共同构成的体系受到动荷载（例如地震）作用时，流体与固体

之间发生相互作用，即固体在流体作用下产生变形或运动，而这变形和运动又反

过来影响流体的运动。这就是流体与固体的耦合问题，其中流体域或固体域均

无法单独求解。

１１２１ 基本方程

（１）控制方程

我们这里研究的重点在结构，故可对流体做出适当的简化。首先，假设流体

小幅度运动，从而在分析中可以忽略高阶小量。取微元体，考虑质量守恒，不难

得出连续方程

ρｖｘｘ ＋

ｖｙｙ＋

ｖｚ（ ）ｚ ＝－

ρｔ

或

ρｖｉ，ｉ＝－ρ （ａ）

其中，ρ为流体的质量密度；ｖｉ为流体速度分量。

其次，假设流体无黏性，因而微元体上无黏性力作用。考虑微元体的动态平

衡，可得运动方程

ρｖｉ＝－ｐ，ｉ （ｂ）

流体密度的相对变化取决于压力的变化，故状态方程（也即本构方程）可写

为

ｄρ＝ρｄｐＫ

或 ρ＝ρＫｐ （ｃ）

其中，Ｋ为流体的体积模量。

在流体动力学分析中，以压力为基本场变量比较简单。从上述控制方程中

消去速度，可得

ｐ，ｉｉ－ｃ－２̈ｐ＝０ （１１２７ａ）

即

００２ 第１１章 多场问题

２ｐｘ２

＋２ｐｙ２

＋２ｐｚ２

－１ｃ２２ｐｔ２

＝０ （１１２７ｂ）

这就是小幅度流体波动方程。其中ｃ＝ Ｋ／槡 ρ为声波速度。

（２）边界条件

流体边界条件有三种。第一种是已知压力的边界Γｐ，边界条件为

ｐ＝珔ｐ 在Γｐ 上 （１１２８）

其中，珔ｐ为Γｐ 上给定的动水压力，在自由面边界上可简单地假设压力为零。

第二种边界为流固交界处的接触边界Γｕ，该处的法向速度应保持连续，即

ｖｎｆ＝ｖｆ·ｎｆ＝ｖｓ·ｎｆ＝－ｖｓ·ｎｓ＝－ｕｎ （ｄ）

其中，ｖｆ，ｖｓ分别为交界面处流体和固体的速度；ｎｆ，ｎｓ分别为交界处流体表面和固

图１１１ 流固耦合

体表面的单位外法向矢量，显然ｎｆ＝－ｎｓ（图１１１）；ｕｎ 为交界处结构表面位移的

法向分量。式（ｄ）对时间求导得

ｖｎｆ＝－ｕ̈ｎ

根据运动方程（ｂ），有

ρｖｎｆ＝－ｐ，ｎ

从上述两式不难得到

ｐ，ｎ＝ρ̈ｕｎ 或 ｐｎ＝ρ

２ｕｎｔ２

在Γｕ 上 （１１２９）

第三种边界是刚性固定边界Γｂ，它可视为第二种边界的特例，即法向位移

为零时的特例，此时ｐ，ｎ＝０。

１１２２ 离散方程

（１）流体平衡

将第一种边界条件作为强制边界条件，任意函数取压力的变分δｐ，则类似

热传导问题，不难推导出流体运动的变分原理

δΠ＝０

泛函Π为

１０２１１２ 流体与结构相互作用

Π＝∫Ω １２ｐ（ ）ｘ

２

＋ｐ（ ）ｙ

２

＋ｐ（ ）ｚ［ ］

２

＋１ｃ２２ｐｔ２｛ ｝ｐ ｄΩ－∫Γｕρ

２ｕｎｔ２ｐｄΓ

（１１３０）

流体离散以后，总体泛函等于所有单元的泛函之和，即Π＝ｅΠｅ，而单元

泛函为

Πｅ＝∫Ωｅ １２ｐ（ ）ｘ

２

＋ｐ（ ）ｙ

２

＋ｐ（ ）ｚ［ ］

２

＋１ｃ２２ｐｔ２｛ ｝ｐ ｄΩ－∫Γｅｕρ

２ｕｎｔ２ｐｄΓ

（１１３１）

单元内压力场函数可表示为

ｐ＝ Ｎ１ ⋯ Ｎ［ ］ｍ

ｐ１…

ｐ烅烄

烆烍烌

烎ｍ＝Ｎｐｅ （１１３２）

其中，ｍ 为单元的节点数；ｐｅ为单元节点压力向量。

Πｅｐｅ

＝Ｈｅｐｐｅ－Ｐｅｐ （１１３３）

Ｈｅｐ 的元素和Ｐｅｐ 的表达式分别为

ｈｉｊ＝∫Ωｅ ＮｉｘＮｊｘ ＋ＮｉｙＮｊｙ ＋

ＮｉｚＮｊ［ ］ｚ ｄΩ （１１３４）

Ｐｅｐ＝－∫ΩｅＮＴ１ｃ２２ｐｔ２ｄΩ＋∫Γｅ２ρＮ

Ｔ２ｕｎｔ２ｄΓ＝－Ｇ

ｅ̈ｐｅ＋Ｓｅ̈ａｅ （１１３５）

其中

Ｇｅ＝∫ΩｅＮＴｃ－２ＮｄΩ， Ｓｅ＝∫ΓｅｕρＮＴ珚ＮｄΓ （１１３６）

而珚Ｎ 为流体与固体交界处固体边界位移法向分量ｕｎ 的插值函数，即

ｕｎ＝珚Ｎａｅ （１１３７）

进行单元集成得

Ｈｐ＋Ｇ̈ｐ－Ｓ̈ａ＝０ （１１３８）

其中

Ｈ ＝ｅＨｅ， Ｇ＝

ｅＧｅ， Ｓ＝

ｎｉ

ｉ＝１∫ΓｅｕρＮＴ珚ＮｄΓ （１１３９）

２０２ 第１１章 多场问题

其中，ｎｉ为流固交界处结构边界上的单元数。

（２）固体平衡

除需要考虑流固接触边界力以外，结构的控制方程及边界条件与通常情况

没有什么不同。因此，结构离散后的动力方程可表示为

Ｍ̈ａ＋Ｃａ＋Ｋａ＝Ｐ＋Ｐｐ （１１４０）

其中，Ｐｐ 是流固接触边界上流体压力的等效节点荷载。显然，作用在结构表面

上的流体压力为－ｐｎｓ。设接触边界处的单元发生虚位移δｕ，则根据虚功等效

原则，该单元上流体压力的等效节点荷载Ｐｅｐ 满足下述方程

δａｅＴＰｅｐ＝－∫Γｅｕｐｎｓ·δｕｄΓ＝－∫ΓｅｕｐδｕｎｄΓ＝－δａｅＴ∫Γｅｕ珚Ｎ

ＴｐｄΓ

从而

Ｐｐ＝－ｎｉ

ｉ＝１∫Γｅｕ珚ＮＴｐｄΓ＝－ＳＴｐ／ρ （１１４１）

于是，有联立方程

Ｈｐ＋Ｇ̈ｐ－Ｓ̈ａ＝０ （１１４２）

Ｍ̈ａ＋Ｃａ＋Ｋａ＋ＳＴｐ／ρ＝Ｐ （１１４３）

可求解流体压力、固体位移、速度和加速度。

如果流体不可压缩，即ｃ→∞，则Ｇ＝０。由式（１１４２）得

ｐ＝Ｈ－１Ｓ̈ａ （１１４４）

代入式（１１４３）得

（Ｍ＋Ｍｐ）̈ａ＋Ｃａ＋Ｋａ＝Ｐ （１１４５）

其中

Ｍｐ＝ＳＴＨ－１Ｓ／ρ （１１４６）

可见，在流体不可压缩的情况下，结构运动方程的形式与无流固耦合时的相

同，只是在质量矩阵Ｍ 上增加了一个附加矩阵Ｍｐ。Ｍｐ 反映了流体对固体运

动的影响，故称为附加质量矩阵。如果仅研究结构在流固耦合中的动力问题，可

以不必求解流体压力，只在结构上增加附加质量即可。

流固耦合问题的具体解法有两种，即整体求解方法和交替求解方法。前者

是将流体和固体的动力学方程联立求解。由于描述流体和固体的方程在性质上

有很大不同，故给求解过程带来很大困难。在交替求解方法中，将流体和固体分

３０２１１２ 流体与结构相互作用

成两个单独的求解域，在数值计算过程中交替地求解这两个域，并在交替过程中

通过界面耦合进行有关物理量的传递，从而达到不同求解域的耦合。

１１３ 结 语

本章讨论的问题与结构分析课题密切相关，实际上它们可以看作结构分析

问题的组成部分。就不同的问题类型，演示了下述普遍方法：从控制方程和边界

条件的等效积分形式入手，通过分部积分推导弱形式或变分原理；在此基础上建

立有限元离散方程。

对于正交各向异性热传导问题，通常只知道关于主轴（或对称轴）的材料性

质。只要在单元中建立局部坐标系，使其坐标轴与材料主轴一致，便可方便地在

局部坐标系内进行单元计算。由于温度场函数在空间点的值为标量，因此在集

成整体矩阵之前，不需要对在局部坐标系中计算的单元矩阵进行变换。

习 题

１１１ 试根据二维热传导方程和第二类、第三类边界条件的等效积分形式推导

问题的弱形式和变分原理。

ｘ λｘ

Ｔ（ ）ｘ ＋ ｙλｙ

Ｔ（ ）ｙ ＋ｑｖ＝ｃρ

Ｔｔ

Ｔ Γ１＝Ｔ（ｘ，ｙ，ｔ）

λｘＴｘｌ＋λｙ

Ｔｙｍ Γ２

＝－ｑ（ｘ，ｙ，ｔ）

λｘＴｘｌ＋λｙ

Ｔｙｍ Γ３

＝－β（Ｔ－Ｔｃ）

１１２ 试根据本章列出的基本方程推导小幅度流体波动方程（１１２７）。

４０２ 第１１章 多场问题

第１２

章

有限元原理进阶与单元构造

在结构有限元分析中，第２章介绍的势能变分原理具有突出的地位，基于该

原理构造的位移型单元也是应用最为普遍的单元。本章将要介绍的广义变分原

理和修正变分原理为有限单元法提供了更为广泛的理论基础，基于它们分别构

造出了混合单元和杂交单元。此外，从２０世纪６０年代后期开始，加权余量法被

用来确定单元特性和建立有限元方程。这种方法的独特价值在于可用来处理已

知问题的微分方程，但泛函尚未找到或者根本不存在的情况。

本章除给出上述原理与单元构造方法外，还将简要介绍非协调单元和广义

协调单元的基本原理及构造方法。

１２１ 修正泛函及其构造方法

１２１１ 多变量泛函

第２章介绍的变分原理具有变分的附加条件：势能变分原理要求事先满足

几何方程和位移边界条件；余能变分原理要求事先满足平衡微分方程和应力边

界条件。在有些情况下，要求假定的场函数事先满足全部附加条件不容易做到。

此外，经典泛函中仅包含一类变量（例如势能泛函中的位移）也并不总是有利于

问题的求解。因为控制方程或泛函中某类变量的消失，会提高对其他场函数光

滑性的要求，即提高控制方程中场函数导数的阶次，有时这会给单元构造带来困

难（例如Ｃ１型的板壳单元）。位移、应力等变量本来同时出现在控制方程中，因

此保留多类变量的混合解法也许更为自然（文献９３）。

于是，提出了各种多变量泛函及广义变分原理，其基本思想是：利用适当的

方法，将场函数事先满足的附加条件引入修正泛函，使具有附加条件的经典变分

原理变成无附加条件的广义变分原理。这样，假设场函数时就不必再事先满足

附加条件，从而变得容易些。

在有限单元法中，除经典变分原理中变分的附加条件以外，还提出了场函数

在单元交界面上的连续性或平衡性要求。如果将这种条件也引入修正泛函，则

可以建立修正变分原理。显然，修正变分原理也可以理解为广义变分原理的特

殊形式。

引入附加条件构造修正泛函的常用方法有Ｌａｇｒａｎｇｅ乘子法和罚函数法，现

分别加以介绍。

１２１２ Ｌａｇｒａｎｇｅ乘子法

设场函数ｕ使泛函Π取驻值，且还需满足下列附加条件

Ｃ（ｕ）＝Ｃ１（ｕ）

Ｃ２（ｕ）烅烄

烆烍烌

烎…

＝０ 在Ω内 （１２１）

其中，Ｃ是微分算子。通过定义在Ω中的未知函数向量λ＝［λ１ λ２ ⋯］Ｔ，将

上述附加条件引入原泛函，从而构造出修正泛函

Π ＝Π＋∫ΩλＴＣ（ｕ）ｄΩ＝Π＋∫ΩλｉＣｉ（ｕ）ｄΩ （１２２）

λｉ是独立坐标的函数，也是修正泛函Π的自变函数，称为Ｌａｇｒａｎｇｅ乘子。通

常情况下，Ｌａｇｒａｎｇｅ乘子的物理意义能够识别出来。

如果式（１２１）事先得到满足，则修正泛函Π将退化成原泛函Π；否则附加

条件通过Π的驻值条件

δΠ ＝δΠ＋∫ΩδλｉＣｉ（ｕ）ｄΩ＋∫ΩλｉδＣｉ（ｕ）ｄΩ＝０ （１２３）

加以实现。注意到δλｉ的任意性，必有Ｃｉ（ｕ）＝０，进而有δＣｉ（ｕ）＝０。可见，

Π取驻值时Π也取驻值，而且还包括了附加条件。应该指出，修正泛函不一定

保持原泛函在驻值点的极值性质。也就是说，使Π取极值的场函数将使Π取

驻值，但不一定取极值。此外，自变函数λｉ的增加使得修正泛函Π比原来的泛

函Π要复杂。

用类似的方法也可以引入边界上的附加条件。例如，若要求ｕ满足下述条

件

Ｅ（ｕ）＝

Ｅ１（ｕ）

Ｅ２（ｕ）烅烄

烆烍烌

烎…＝０ 在Γ上 （１２４）

其中，Ｅ是微分算子。可以将积分

６０２ 第１２章 有限元原理进阶与单元构造

∫ΓμＴＥ（ｕ）ｄΓ＝∫ΓμｉＥｉ（ｕ）ｄΓ （１２５）

引入原来的泛函。其中μ＝［μ１ μ２ ⋯ ］Ｔ是定义在边界Γ上的Ｌａｇｒａｎｇｅ乘子。

１２１３ 罚函数法

仍然考虑上述泛函Π的驻值问题。显然，ＣＴＣ＝Ｃｉ（ｕ）Ｃｉ（ｕ）总是取正值

或零，故可以利用罚参数α将附加条件以乘积的形式引入原泛函

Π ＝Π＋α∫ΩＣｉ（ｕ）Ｃｉ（ｕ）ｄΩ （１２６）

如果真实解使Π取极小值，α应取正数；而且α值越大，附加条件满足得就越好。

不难发现，利用罚函数求解条件驻值问题不增加未知量的个数，且不改变驻值的性

质。也就是说，若原泛函取极值，则用罚函数法构造的修正泛函仍取极值。

很多情况下，罚函数法是非常有效的，实际上第１章中引入边界条件的大数

法就是罚函数法。但在实际计算中，α不能取值过大，否则方程将呈现病态甚至

使求解失败。显然，采用罚函数法只能得到近似解。此外，将罚函数法用于有限

元分析有时会遇到困难。例如，δΠ＝０将导致下列形式的离散方程

（Ｋ１＋αＫ２）ａ＝Ｐ （１２７）

其中，Ｋ１是由原始泛函导出的，而Ｋ２是由附加条件导出的。随着α增大，上述

方程将退化为

Ｋ２ａ≈Ｐ／α→０ （１２８）

可见，结果将是ａ＝０，除非矩阵Ｋ２是奇异的，而Ｋ２的奇异性并非总是能够得

到保证。

１２２ 广义变分原理与混合单元

１２２１ Ｈ?Ｒ变分原理

用Ｌａｇｒａｎｇｅ乘子法将余能变分原理中的两个变分附加条件解除，即把修正

泛函表示为

ΠＨ?Ｒ＝∫ΩＷσｄΩ＋∫Ω（σｉｊ，ｊ＋ｆｉ）λｉｄΩ－∫Γｕ珔ｕｉｐｉｄΓ－∫Γσ（σｉｊｎｊ－珔ｐｉ）γｉｄΓ（１２９）

７０２１２２ 广义变分原理与混合单元

其中，λｉ和γｉ分别是Ω域内和Γσ 边界上的Ｌａｇｒａｎｇｅ乘子，它们是独立坐标ｘｉ的任意函数。把σｉｊ，λｉ，γｉ作为独立变量，修正泛函ΠＨ?Ｒ的变分为

δΠＨ?Ｒ＝∫ΩＷσσｉｊδσｉｊｄΩ＋∫Ω（σｉｊ，ｊ＋ｆｉ）δλｉｄΩ＋∫Ωλｉδσｉｊ，ｊｄΩ

－∫Γｕ珔ｕｉδｐｉｄΓ－∫Γσ（σｉｊｎｊ－珔ｐｉ）δγｉｄΓ－∫ΓσγｉδσｉｊｎｊｄΓ （ａ）

上式中右边第三项为

∫Ωλｉδσｉｊ，ｊｄΩ＝∫Ω（λｉδσｉｊ），ｊｄΩ－∫Ωλｉ，ｊδσｉｊｄΩ （ｂ）

根据散度定理，上式右边的第一项为

∫Ω（λｉδσｉｊ），ｊｄΩ＝∫ΓλｉδσｉｊｎｊｄΓ＝∫ΓｕλｉδσｉｊｎｊｄΓ＋∫ΓσλｉδσｉｊｎｊｄΓ （ｃ）

将式（ｃ）代入式（ｂ），再代入式（ａ），并注意到ｐｉ≡σｉｊｎｊ，有

δΠＨ?Ｒ＝∫Ω（Ｗσσｉｊ

－λｉ，ｊ）δσｉｊｄΩ＋∫Ω（σｉｊ，ｊ＋ｆｉ）δλｉｄΩ

＋∫Γｕ（λｉ－珔ｕｉ）δσｉｊｎｊｄΓ＋∫Γσ（λｉ－γｉ）δσｉｊｎｊｄΓ－∫Γσ（σｉｊｎｊ－珔ｐｉ）δγｉｄΓ （１２１０）

由于变分δσｉｊ，δλｉ，δγｉ都是相互独立的任意函数，且

λｉ，ｊδσｉｊ＝１２

（λｉ，ｊδσｉｊ＋λｊ，ｉδσｊｉ）＝１２

（λｉ，ｊ＋λｊ，ｉ）δσｉｊ

故ΠＨ?Ｒ的驻值条件是

Ｗσσｉｊ

－（λｉ，ｊ＋λｊ，ｉ）／２＝０ 在Ω内

σｉｊ，ｊ＋ｆｉ＝０ 在Ω内

λｉ－珔ｕｉ＝０ 在Γｕ 上

λｉ－γｉ＝０ 在Γσ上

σｉｊｎｊ－珔ｐｉ＝０ 在Γσ

烍

烌

烎上

（１２１１）

可见，Ｌａｇｒａｎｇｅ乘子的力学意义为λｉ＝γｉ＝ｕｉ。将其代入式（１２１１），可得

下述４个方程

８０２ 第１２章 有限元原理进阶与单元构造

Ｗσσｉｊ

－（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ）／２＝０ 在Ω内

σｉｊ，ｊ＋ｆｉ＝０ 在Ω内

ｕｉ－珔ｕｉ＝０ 在Γｕ 上

σｉｊｎｊ－珔ｐｉ＝０ 在Γσ

烍

烌

烎上

（１２１２）

关于上式中的第一个方程，有两种解释。如果附加本构方程

εｉｊ＝Ｗσσｉｊ

（１２１３）

则该式代表几何方程；如果附加几何方程

εｉｊ＝１２

（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ） （１２１４）

则该式代表本构方程。可见，Ｈ?Ｒ变分原理仍需附加某种条件才能完全等价于

弹性力学的全部控制方程和边界条件。

将λｉ＝γｉ＝ｕｉ代入式（１２９）得到泛函

ΠＨ?Ｒ＝∫ΩＷσｄΩ＋∫Ω（σｉｊ，ｊ＋ｆｉ）ｕｉｄΩ－∫Γｕ珔ｕｉｐｉｄΓ－∫Γσ（σｉｊｎｊ－珔ｐｉ）ｕｉｄΓ（１２１５）

由于其中

∫Ωσｉｊ，ｊｕｉｄΩ＝∫Ω（σｉｊｕｉ），ｊｄΩ－∫Ωσｉｊｕｉ，ｊｄΩ

＝∫ΓσｉｊｎｊｕｉｄΓ－∫Ω［σｉｊ（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ）／２］ｄΩ

故将上式代入式（１２１５），并在方程前冠以负号，可得其等价泛函

ΠＨ?Ｒ＝∫Ω［－Ｗσ－ｆｉｕｉ＋σｉｊ（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ）／２］ｄΩ－∫Γｕ（ｕｉ－珔ｕｉ）ｐｉｄΓ－∫Γσ珔ｐｉｕｉｄΓ（１２１６）

在线性弹性条件下，注意到

Ｗσ＝１２σ

ＴＤ－１σ

式（１２１６）可写成矩阵形式

ΠＨ?Ｒ＝∫Ω －１２σＴＤ－１σ－ｕＴｆ＋σＴ（ ）εｄΩ－∫ΓｕｐＴ（ｕ－珔ｕ）ｄΓ－∫Γσｕ

Ｔ珔ｐｄΓ

（１２１７）

９０２１２２ 广义变分原理与混合单元

上述泛函中包含两类变量σｉｊ和ｕｉ，故称为两类变量变分原理，也称为混合

变分原理。该原理最早由Ｈｅｌｌｉｎｇｅｒ于１９１４年提出，后经Ｒｅｉｓｓｎｅｒ（１９５０）加以完

善，因此通常称为Ｈｅｌｌｉｎｇｅｒ?Ｒｅｉｓｓｎｅｒ变分原理，简称Ｈ?Ｒ变分原理。

１２２２ Ｈ?Ｗ变分原理

利用Ｌａｇｒａｎｇｅ乘子将几何方程和位移边界条件引入势能泛函，修正泛函可

以表示为

ΠＨ?Ｗ＝∫ΩＷεｄΩ－∫ΩｆｉｕｉｄΩ＋∫Ω［εｉｊ－（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ）／２］λｉｊｄΩ

－∫Γσ珔ｐｉｕｉｄΓ＋∫Γｕ（ｕｉ－珔ｕｉ）γｉｄΓ （１２１８）

其中，λｉｊ和γｉ分别是Ω域内和Γｕ 边界上的Ｌａｇｒａｎｇｅ乘子，它们是独立坐标ｘｉ的任意函数。把ｕｉ，εｉｊ，λｉｊ，γｉ作为独立变量，修正泛函ΠＨ?Ｗ的变分为

δΠＨ?Ｗ＝∫ΩＷεεｉ（ ）ｊδεｉｊ－ｆｉδｕｉ＋［εｉｊ－（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ）／２］δλｉ｛ ｊ

＋λｉｊ［δεｉｊ－（δｕｉ，ｊ＋δｕｊ，ｉ）／２｝］ｄΩ－∫Γσ珔ｐｉδｕｉｄΓ＋∫Γｕ［（ｕｉ－珔ｕｉ）δγｉ＋γｉδｕｉ］ｄΓ

对上式体积分中λｉｊ（δｕｉ，ｊ＋δｕｊ，ｉ）进行分部积分，则上式可改写为

δΠＨ?Ｗ＝∫ΩＷεεｉｊ

＋λｉ（ ）ｊδεｉｊ＋（λｉｊ，ｊ－ｆｉ）δｕ｛ ｉ

＋［εｉｊ－（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ）／２］δλｉ｝ｊｄΩ－∫Γσ（λｉｊｎｊ＋珔ｐｉ）δｕｉｄΓ＋∫Γｕ［（ｕｉ－珔ｕｉ）δγｉ＋（γｉ－λｉｊｎｊ）δｕｉ］ｄΓ （１２１９）

注意到所有变分δεｉｊ，δｕｉ，δλｉｊ，δγｉ都是相互独立的，因此ΠＨ?Ｗ的驻值条件是

Ｗεεｉｊ

＋λｉｊ＝０ 在Ω内

λｉｊ，ｊ－ｆｉ＝０ 在Ω内

εｉｊ－（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ）／２＝０ 在Ω内

λｉｊｎｊ＋珔ｐｉ＝０ 在Γσ上

γｉ－λｉｊｎｊ＝０ 在Γσ上

ｕｉ－珔ｕｉ＝０ 在Γｕ

烍

烌

烎上

（１２２０）

可见，Ｌａｇｒａｎｇｅ乘子的力学意义为

０１２ 第１２章 有限元原理进阶与单元构造

λｉｊ＝－σｉｊ， γｉ＝－珔ｐｉ （１２２１）

代入式（１２２０），可得弹性力学全部控制方程和边界条件；代入式（１２１８）得

ΠＨ?Ｗ＝∫Ω Ｗε－ｆｉｕｉ＋σｉｊ［εｉｊ－（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ）／２｛ ｝］ｄΩ

－∫Γσ珔ｐｉｕｉｄΓ＋∫Γｕσｉｊｎｊ（ｕｉ－珔ｕｉ）ｄΓ （１２２２）

可见，ΠＨ?Ｗ中包含σｉｊ，εｉｊ，ｕｉ三类独立变量，故相应的变分原理属于三类变

量变分原理。该原理由胡海昌和ＫＷａｓｈｉｚｕ提出，称为Ｈ?Ｗ变分原理。

１２２３ 参数变分原理

为使已有的各种变分原理获得统一的形式，并希望导出新的变分原理，

Ｌｏｎｇ（１９８６）、Ｌｉｕ等（１９８８）、Ｒｏｎｇ（１９８８）、Ｆｅｌｉｐｐａ（１９９４）先后提出了参数变分原

理。各种参数变分原理，在基本思想上大同小异，即在泛函中引入参数，通过调

整参数得到各种变分原理。

现从弹性力学控制方程和边界条件的等效积分形式入手，推导参数变分原

理。将各种方程列出如下

σｉｊ，ｊ＋ｆｉ＝０ 在Ω内

εｉｊ＝（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ）／２ 在Ω内

σｉｊ－Ｗεεｉｊ

＝０ 在Ω内

εｉｊ－Ｗσεｉｊ

＝０ 在Ω内

ｕｉ－珔ｕｉ＝０ 在Γｕ 上

σｉｊｎｊ－珔ｐｉ＝０ 在Γσ

烍

烌

烎上

（ａ）

引入６个参数并以场函数的变分为任意函数，上述各式的等效积分形式为

Ｃ１∫Ω（σｉｊ，ｊ＋ｆｉ）δｕｉｄΩ＋Ｃ２∫Ω σｉｊ－Ｗεεｉ（ ）ｊδεｉｊｄΩ

＋Ｃ３∫Ω εｉｊ－Ｗσσｉ（ ）ｊδσｉｊｄΩ＋Ｃ４∫Ω［εｉｊ－（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ）／２］δσｉｊｄΩ

＋Ｃ５∫Γｕ（ｕｉ－珔ｕｉ）δｐｉｄΓ＋Ｃ６∫Γσ（ｐｉ－珔ｐｉ）δｕｉｄΓ＝０ （ｂ）

对式（ｂ）中的第一项进 行 分 部 积 分，并 令Ｃ４＝Ｃ１，Ｃ３＋Ｃ４＝Ｃ２，Ｃ５＝Ｃ１，

Ｃ６＝－Ｃ１，则

δΠ＝０ （１２２３）

１１２１２２ 广义变分原理与混合单元

其中

Π（Ｃ１，Ｃ２）＝∫Ω［Ｃ１（σｉｊ，ｊ＋ｆｉ）ｕｉ＋Ｃ２σｉｊεｉｊ－Ｃ２Ｗε－（Ｃ２－Ｃ１）Ｗσ］ｄΩ

－∫ΓｕＣ１珔ｕｉｐｉｄΓ－∫ΓσＣ１（ｐｉ－珔ｐｉ）ｕｉｄΓ （１２２４）

通过调整 参 数，可 以 得 到 各 种 泛 函 及 变 分 原 理。例 如，令Ｃ１＝－１和

Ｃ２＝－１，式（１２２４）变成

ΠＨ?Ｗ＝Π（－１，－１）

＝∫Ω［－σｉｊεｉｊ＋σｉｊ（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ）／２＋Ｗε－ｆｉｕｉ］－∫Γｕ（ｕｉ－珔ｕｉ）ｐｉｄΓ－∫Γσ珔ｐｉｕｉｄΓ即Ｈ?Ｗ泛函。

令Ｃ１＝１和Ｃ２＝０，式（１２２４）简化成Ｈ?Ｒ泛函

ΠＨ?Ｒ＝Π（１，０）

＝∫Ω［（σｉｊ，ｊ＋ｆｉ）ｕｉ＋Ｗσ］ｄΩ－∫Γｕ珔ｕｉｐｉｄΓ－∫Γσ（ｐｉ－珔ｐｉ）ｕｉｄΓ实际上，由于参数Ｃ１和Ｃ２可以任意选取，故可以得到其他变分原理。探

讨不同参数对有限元计算结果的影响是一个值得研究的问题（文献１９，７６）。

１２２４ 混合单元

广义变分原理在有限单元法中的应用导致多类变量的混合模型。现基于

Ｈ?Ｒ变分原理建立有限元方程。结构离散化以后，假定单元应力场，将单元内部

应力σ表示为广义节点力Ｆｅ的函数

σ＝ＥＦｅ （１２２５）

边界Γｕ 上的边界面力与应力的关系为

ｐ＝ｎσ

将式（１２２５）代入上式得

ｐ＝ｎＥＦｅ＝ＲＦｅ （１２２６）

再假定单元位移场，单元内部位移ｕ用节点位移ａｅ来插值

ｕ＝Ｎａｅ （１２２７）

将上式代入几何方程得

ε＝Ｂａｅ （１２２８）

对于有限元系统，整体泛函式（１２１７）为

２１２ 第１２章 有限元原理进阶与单元构造

ΠＨ?Ｒ＝∑ｅ∫Ωｅ －１２σＴＤ－１σ－ｕＴｆ＋σＴ（ ）εｄ［ Ω－∫Γｅｕｐ

Ｔ（ｕ－珔ｕ）ｄΓ－∫ΓｅσｕＴ珔ｐｄ ］Γ

将式（１２２５）至（１２２８）代入上式得

ΠＨ?Ｒ＝∑ｅ－１２Ｆ

ｅＴα１ｅＦｅ－ａｅＴ珚Ｆｅ＋ＦｅＴαｅ２ａｅ＋ＦｅＴ珔（ ）ａ＝－１２Ｆ

Ｔα１Ｆ－ａＴ珚Ｆ＋ＦＴα２ａ＋ＦＴ珔ａ （１２２９）

其中

αｅ１＝∫ΩｅＥＴＤ－１ＥｄΩ， αｅ２＝∫ΩｅＥＴＢｄΩ－∫ΓｅｕＲＴＮｄΓ （１２３０）

珚Ｆｅ＝∫ΩｅＮＴｆｄΩ＋∫ΓｅσＮＴ珔ｐｄΓ， 珔ａｅ＝∫ΓｅｕＲ

Ｔ珔ｕｄΓ （１２３１）

泛函式（１２２９）取驻值，有

－α１Ｆ＋α２ａ＋珔ａ＝０

αＴ２Ｆ－珚Ｆ烍烌

烎＝０（１２３２ａ）

写成矩阵形式

－α１ α２αＴ２

熿

燀

燄

燅０Ｆ｛ ｝ａ ＝

－珔ａ珚｛ ｝Ｆ

（１２３２ｂ）

１２３ 修正变分原理与杂交单元

１２３１ 修正余能原理

在第２章中用最小余能原理建立有限元公式时，认为系统总余能等于所有

单元的余能之和。实际上，这里除了要求假设的应力场在单元内部满足平衡微

分方程、在单元的应力边界上满足应力边界条件外，还要求在单元交界面Γａｂｉｎｔ上

按ｐｉ＝σｉｊｎｊ定义的面力保持平衡，即

图１２１ 单元交界

ｐａｉ＋ｐｂｉ＝０ （ａ）

其中，ｐａｉ＝σａｉｊｎａｊ，ｐｂｉ＝σｂｉｊｎｂｊ 分别为交界面处单元ａ和ｂ的侧面边界Γａｉｎｔ，Γｂｉｎｔ上的面力（图１２１）；交

界处两 侧 面 的 外 法 线 方 向 相 反，故 方 向 余 弦

ｎａｊ＝－ｎｂｊ。

３１２１２３ 修正变分原理与杂交单元

在选择单元应力函数时，可以先不考虑单元交界面上的平衡条件，而是用

Ｌａｇｒａｎｇｅ乘子将其引入修正泛函

Πｍｃ＝Πｃ－∑ａｂＧａｂ （ｂ）

其中，Πｃ为原来意义上的余能泛函，即

Πｃ＝∑ｅ∫Ωｅ１２ＣｉｊｋｌσｉｊσｋｌｄΩ－∫Γｅｕ珔ｕｉｐｉｄ（ ）Γ

而等式右边的第二项表示对所有单元交界面求和，其中

Ｇａｂ＝∫Γａｂｉｎｔλｉ（ｐａｉ＋ｐｂｉ）ｄΓ＝∫Γａｉｎｔλｉｐ

ａｉｄΓ＋∫Γｂｉｎｔλｉｐ

ｂｉｄΓ

其中，λｉ是定义在单元交界面上的Ｌａｇｒａｎｇｅ乘子。若式（ｂ）均对单元求和，则可

以写成

Πｍｃ＝∑ｅ∫Ωｅ１２ＣｉｊｋｌσｉｊσｋｌｄΩ－∫ΓｅｉｎｔλｉｐｉｄΓ－∫Γｅｕ珔ｕｉｐｉｄ（ ）Γ （ｃ）

其中，Γｅｉｎｔ为单元ｅ与其他单元的交界面。由于最小余能原理要求满足平衡微

分方程、应力边界条件和本构方程，故

εｉｊ＝Ｃｉｊｋｌσｋｌ， δσｉｊ，ｊ＝０

考虑到ｐｉ≡σｉｊｎｊ，单元ｅ的全部边界Γｅ＝Γｅσ＋Γｅｕ＋Γｅｉｎｔ，式（ｃ）的变分为

δΠｍｃ＝∑ｅ∫Ωｅ［εｉｊ－（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ）／２］δσｉｊｄΩ＋∫Γｅｕｉδｐｉｄ｛ Γ

＋∫ΓｅｉｎｔλｉδｐｉｄΓ＋∫ΓｅｉｎｔｐｉδλｉｄΓ－∫Γｅｕ珔ｕｉδｐｉｄ ｝Γ

＝∑ｅ∫Ωｅ［εｉｊ－（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ）／２］δσｉｊｄΩ＋∫Γｅｉｎｔ（λｉ＋ｕｉ）δｐｉｄ｛ Γ

－∫Γｅｕ（ｕｉ－珔ｕｉ）δｐｉｄΓ＋∫Γｅｉｎｔｐｉδλｉｄ ｝Γ

＝∑ｅ∫Ωｅ［εｉｊ－（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ）／２］δσｉｊｄΩ－∫Γｅｕ（ｕｉ－珔ｕｉ）δｐｉｄ｛ ｝Γ

＋∑ａｂ∫Γａｂｉｎｔ２（λｉ＋ｕｉ）δｐｉｄΓ＋∫Γａｂｉｎｔ（ｐ

ａｉ＋ｐｂｉ）δλｉｄ［ ］Γ

由修正泛函的驻值条件可知，λｉ＝ｕｉ。代入式（ｃ）得

Πｍｃ＝∑ｅ∫Ωｅ１２ＣｉｊｋｌσｉｊσｋｌｄΩ－∫ΓｅｉｎｔｕｉｐｉｄΓ－∫Γｅｕ珔ｕｉｐｉｄ（ ）Γ （１２３３）

在最小余能原理中，要求假定的应力事先满足给定的应力边界条件。若将

４１２ 第１２章 有限元原理进阶与单元构造

其也引入余能泛函，则有

Πｍｃ＝∑ｅ

１２∫ΩｅσＴＣσｄΩ－∫Γｅσ（ｐ

Ｔ－珔ｐＴ）ｕｄΓ－∫ΓｅｉｎｔｐＴｕｄΓ－∫Γｅｕｐ

Ｔ珔ｕｄ（ ）Γ＝∑

ｅ

１２∫ΩｅσＴＣσｄΩ－∫ΓｅｐＴｕｄΓ＋∫Γｅσ珔ｐ

Ｔｕｄ（ ）Γ （１２３４）

上述修正余能泛函的变分等于零称为修正余能原理，或称为修正Ｈ?Ｒ变分

原理。在修正泛函中，独立变分的场函数有单元内的应力σ和单元边界上的位

移ｕ。需要指出，修正余能原理不再是极值原理，而只是驻值原理。

１２３２ 修正势能原理

在基于经典势能变分原理的位移有限单元法中，要求假设的单元位移函数

在单元交界处连续，即

ｕａｉ－ｕｂｉ＝０ 在Γａｂｉｎｔ处 （１２３５）

在假设单元位移函数时，此条件可先不考虑，而是用Ｌａｇｒａｎｇｅ乘子法将其引入

修正泛函

Πｍｐ＝Πｐ－∑ａｂＨａｂ （１２３６）

其中，Πｐ 为原来意义上的势能泛函，即

Πｐ＝∑ｅ∫Ωｅ１２ＤｉｊｋｌεｉｊεｋｌｄΩ－∫ΩｅｆｉｕｉｄΩ－∫Γｅσ珔ｐｉｕｉｄ（ ）Γ

而泛函的修正项为

Ｈａｂ＝∫Γａｂｉｎｔλｉ（ｕａｉ－ｕｂｉ）ｄΓ

根据修正泛函的驻值条件δΠｍｐ＝０，可得

λｉ＝ｐａｉ ＝σａｉｊｎａｊ ＝－ｐｂｉ

代入式（１２３６）得

Πｍｐ＝∑ｅ∫Ωｅ１２ＤｉｊｋｌεｉｊεｋｌｄΩ－∫ΩｅｆｉｕｉｄΩ－∫Γｅσ珔ｐｉｕｉｄ（ ）Γ －∑

ａｂ∫Γａｂｉｎｔｐａｉ（ｕａｉ－ｕｂｉ）ｄΓ

＝∑ｅ∫Ωｅ１２ＤｉｊｋｌεｉｊεｋｌｄΩ－∫ΩｅｆｉｕｉｄΩ－∫Γｅσ珔ｐｕｉｄΓ－∫Γｅｉｎｔｐｉｕｉｄ（ ）Γ （１２３７）

５１２１２３ 修正变分原理与杂交单元

如果将需要事先满足的位移边界条件也引入修正势能泛函，则有

Πｍｐ＝∑ｅ∫Ωｅ１２ＤｉｊｋｌεｉｊεｋｌｄΩ－∫ΩｅｆｉｕｉｄΩ－∫ΓｅｐｉｕｉｄΓ＋∫Γｅｕｐｉ珔ｕｉｄ（ ）Γ

＝∑ｅ∫Ωｅ１２εＴＤεｄΩ－∫ΩｅｕＴｆｄΩ－∫ΓｅｕＴｐｄΓ＋∫Γｅｕｕ

Ｔ珔ｐｄ（ ）Γ（１２３８）

由上式可知，修正势能原理的独立变量为单元内的位移ｕｉ以及单元交界处

的边界面力ｐｉ。

１２３３ 杂交平面单元

采用修正势能原理和修正余能原理，可以分别构造位移杂交单元和应力杂

交单元。这里仅介绍具有较大使用价值的应力杂交单元。采用这种单元时，在

单元内部假定满足平衡条件的应力场，而在单元边界上假定协调的位移场，利用

修正余能原理建立有限元方程（图１２２）。

图１２２ 应力杂交单元

（１）边界面力和位移

为说明问题简单起见，不考虑体力。此时，假定的应力应满足齐次平衡微分

方程，可表示为

σ＝ＥＦ （１２３９）

其中广义参数Ｆ是未知量。单元边界力ｐ与应力的关系为

ｐ＝ｎσ （１２４０）

将式（１２３９）代入上式得

ｐ＝ｎＥＦ＝ＲＦ （１２４１）

单元边界上的位移用节点位移表示如下

ｕ＝Ｌａｅ （１２４２）

因为只是在每段边界上构造插值函数Ｌ，故要保证单元之间的协调性是比较容

易的。这是杂交单元与协调单元之间的重要差别。

６１２ 第１２章 有限元原理进阶与单元构造

（２）有限元公式

将式（１２３９），（１２４１），（１２４２）代入式（１２３４），可得

Πｍｃ＝∑ｅ

１２Ｆ

ＴＨＦ－ＦＴＧａｅ＋ＰｅＴａ（ ）ｅ （１２４３）

其中

Ｈ＝∫ΩｅＥＴＣＥｄΩ， Ｇ＝∫ΓｅＲＬｄΓ， ＰｅＴ＝∫Γｅσ珔ｐＴＬｄΓ （１２４４）

式（１２４３）对Ｆ的变分为零，给出泛函的驻值条件

ＨＦ－Ｇａｅ＝０

从而可得

Ｆ＝Ｈ－１Ｇａｅ

代入式（１２４３），可消去广义参数Ｆ

Πｍｃ＝∑ｅ

１２ａ

ｅＴＫｅａｅ－ａｅＴＰ（ ）ｅ （１２４５）

其中

Ｋｅ＝ＧＴＨ－１Ｇ （１２４６）

经过集成，式（１２４５）变为

Πｍｃ＝１２ａ

ＴＫａ－ａＴＰ （１２４７）

令上述泛函变分为零，可得有限元系统方程

Ｋａ＝Ｐ （１２４８）

图１２３ 矩形单元

可见，最终的有限元方程只以节点位移作为

未知量，而假定应力场中的广义参数Ｆ在单元水

平上就被凝聚掉了。因此杂交单元仍是一类变

量的单元，这与混合单元不同。为加深对杂交单

元的理解，下面以平面问题矩形单元为例进行说

明（图１２３）。

首先，假定单元内部应力场如下

σ＝

σｘ＝β１＋β２ｙσｙ＝β３＋β４ｘτｘｙ＝β

烅烄

烆烍烌

烎５

＝１ ｙ ０ ０ ００ ０ １ ｘ ０熿

燀

燄

燅０ ０ ０ ０ １

β１…

β

烅烄

烆烍烌

烎５＝ＥＦ （ａ）

７１２１２３ 修正变分原理与杂交单元

不难验证，上述应力场满足平面问题的（无体力）平衡微分方程。由上式可求出

单元各边界上的边界力。例如，在边界１２上，ｌ＝０，ｍ＝－１，故

ｐ１２ｘ ＝ｌσｘ＋ｍτｘｙ＝－β５ｐ１２ｙ ＝ｌτｘｙ＋ｍσｙ＝－β３－β４ｘ

同理可得其他边界力，从而

ｐ＝

ｐ１２ｘｐ１２ｙｐ２３ｘｐ２３ｙｐ３４ｘｐ３４ｙｐ４１ｘｐ４１

烅

烄

烆

烍

烌

烎ｙ

＝

０ ０ ０ ０ －１０ ０ －１ －ｘ ０１ ｙ ０ ０ ００ ０ ０ ０ １０ ０ ０ ０ １０ ０ １ ｘ ０－１ －ｙ ０ ０ ００ ０ ０ ０ －

熿

燀

燄

燅１

β１β２β３β４β

烅

烄

烆

烍

烌

烎５

＝ＲＦ

假定单元边界位移沿边界线性变化，从而可用节点位移表示边界位移。例

如，在边界２３上，位移为

ｕ２３＝ １－ｙ（ ）ｂ ｕ２＋ｙｂｕ３

， ｖ２３＝ １－ｙ（ ）ｂ ｖ２＋ｙｂｖ３

同理可得其他边界位移，从而

ｕ＝

ｕ１２ｖ１２ｕ２３ｖ２３ｕ３４ｖ３４ｕ４１ｖ

烅

烄

烆

烍

烌

烎４１

＝

１－ξ ０ ξ ０ ０ ０ ０ ０

０ １－ξ ０ ξ ０ ０ ０ ０

０ ０ １－η ０ η ０ ０ ０

０ ０ ０ １－η ０ η ０ ０

０ ０ ０ ０ ξ ０ １－ξ ０

０ ０ ０ ０ ０ ξ ０ １－ξ１－η ０ ０ ０ ０ ０ η ０

０ １－η ０ ０ ０ ０ ０

熿

燀

燄

燅η

ｕ１ｖ１ｕ２ｖ２ｕ３ｖ３ｕ４ｖ

烅

烄

烆

烍

烌

烎４

＝Ｌａｅ

其中

ξ＝ｘａ

， η＝ｙｂ

将上面计算出的Ｅ，Ｒ，Ｌ代入式（１２４４）得Ｈ，Ｇ，再代入式（１２４６）得单元

刚度矩阵Ｋｅ。经过单元集成，可得整体刚度矩阵Ｋ。

８１２ 第１２章 有限元原理进阶与单元构造

１２３４ 杂交薄板单元

（１）修正泛函

在薄板弯曲问题中，由于挠度在单元交界处法向导数的连续性难以实现，因

此那些只要求挠度连续的变分原理受到重视。例如，将式（１２３４）所示的修正余

能泛函用于薄板问题，并注意到Ｍｎ 与ｗｎ

符号相反，有

Πｍｃ＝∑ｅ

１２∫ＡｅＭＴＣＭｄＡ－∫Γｅ Ｖｎｗ－Ｍｎｗ（ ）ｎ ｄΓ＋∫Γｅσ 珚Ｖｎｗ－珡Ｍｎ

ｗ（ ）ｎ ｄ［ ］Γ

＝∑ｅ

１２∫ＡｅＭＴＣＭｄＡ－∫ΓｅｐＴｕｄΓ＋∫Γｅσ珔ｐ

Ｔｕｄ［ ］Γ （１２４９）

其中

ｕ＝ｗ

－ｗ烅烄

烆烍烌

烎ｎ， ｐ＝

ＶｎＭ烅烄

烆烍烌

烎ｎ， 珔ｐ＝

珡Ｖｎ珨Ｍ烅烄

烆烍烌

烎ｎ

Ｍ ＝［Ｍｘ Ｍｙ Ｍｘｙ］Ｔ， Ｖｎ＝Ｑｎ＋Ｍｎｓｓ

Ｃ＝Ｄ－１＝ １２Ｅｔ３

１ －ν ０－ν １ ００ ０ ２（１＋ν

熿

燀

燄

燅

烍

烌

烎）

（１２５０）

图１２４ 矩形板单元

上述泛函中的独立变量为单元内力、单元边界

上的挠度及其法向导数，而且只要求单元交界处挠

度连续。同时假定单元内力和边界位移，将构造出

杂交薄板单元。

（２）边界位移

对于矩形单元（图１２４），取４个角点的ｗｉ，

θｘｉ＝ｗ（ ）ｘ ｉ

，θｙｉ＝ｗ（ ）ｙ ｉ

为 节 点 位 移 参 数。与

ＤＫＴ单元类似，每条边界ｉｊ的两端有两个挠度

ｗｉ，ｗｊ，两个切向转角θｓｉ＝ｗ（ ）ｓ ｉ

，θｓｊ＝ｗ（ ）ｓ ｊ

，故

可假设挠度ｗ 是边界线坐标ｓ的三次多项式，从而

ｗｉｊ＝Ｈ（０）ｉ ｗｉ＋Ｈ

（０）ｊ ｗｊ＋Ｈ

（１）ｉθｓｉ＋Ｈ

（１）ｊθｓｊ （１２５１）

其中

９１２１２３ 修正变分原理与杂交单元

Ｈ（０）ｉ ＝１－３ξ２＋２ξ３

Ｈ（０）ｊ ＝３ξ２－２ξ３

Ｈ（１）ｉ ＝ｌｉｊ（ξ－２ξ２＋ξ３）

Ｈ（１）ｊ ＝－ｌｉｊ（ξ２－ξ３）

（ξ＝ｓ／ｌｉｊ烍

烌

烎

）

每条边界的两端有两个法向转角，即θｎｉ＝ｗ（ ）ｎ ｉ

，θｎｊ＝ｗ（ ）ｎ ｊ

，故可假设θｎ沿边界线性分布，从而

θｉｊｎ ＝（１－ξ）θｎｉ＋ξθｎｊ （１２５２）

单元边界位移表示为

ｕ＝Ｌａｅ （１２５３）

其中

ａｅ＝ａ１…

ａ烅烄

烆烍烌

烎４

， ａｉ＝

ｗｉθｘｉθｙ

烅烄

烆烍烌

烎ｉ

（ｉ＝１，２，３，４）

ｕ＝［ｗ１２ θ１２ｙ ｗ２３ －θ２３ｘ ｗ３４ －θ３４ｙ ｗ４１ θ４１ｘ］Ｔ

可见，用杂交应力元法建立薄板单元时，很容易保证边界上法向斜率的连续

性，这是一般的位移元难以完成的（文献１０）。

（３）单元内力

假设单元内力场时，必须满足作为变分附加条件的平衡方程，即

２Ｍｘｘ２ ＋２

２Ｍｘｙｘｙ＋

２Ｍｙｙ２

＋ｑ＝０ （１２５４）

可假设为线性的（ｍ＝９）、二次的（ｍ＝１５）或三次的（ｍ＝２３）。例如，取三次式

Ｍｘ＝β１＋β４ｙ＋β６ｘ＋β１０ｙ２＋β１２ｘ２＋β１４ｘｙ＋β１６ｙ３＋β１８ｘ３＋β２０ｘ２ｙ＋β２２ｘｙ３

Ｍｙ＝β２＋β５ｙ＋β７ｘ＋β１１ｙ２＋β１３ｘ２＋β１５ｘｙ＋β１７ｙ３＋β１９ｘ３＋β２１ｘ２ｙ＋β２３ｘｙ３

Ｍｘｙ＝β３＋β８ｙ＋β９ｘ－（β１２＋β１３）ｘｙ－１２

（３β１８＋β２３）ｘ２ｙ－１２

（３β１９＋β２０）ｘｙ２

写成矩阵形式为

Ｍ＝ＥＦ （１２５５）

其中

Ｆ＝［β１ β２ ⋯ β２３］Ｔ （１２５６）

０２２ 第１２章 有限元原理进阶与单元构造

（４）边界力

边界力矩阵为

ｐ＝［－Ｖ１２ｙ Ｍ１２ｙ Ｖ２３ｘ Ｍ２３ｘ Ｖ３４ｙ Ｍ３４ｙ －Ｖ４１ｘ Ｍ４１ｘ］

考虑到

Ｖｘ＝Ｑｘ＋Ｍｘｙｙ

， Ｖｙ＝Ｑｙ＋Ｍｘｙｘ

及式（１２５５），边界力可表示为

ｐ＝ＲＦ （１２５７）

（５）单元计算

将Ｅ，Ｒ，Ｌ代入式（１２４４）得Ｈ，Ｇ 以及单元等效荷载向量；再将Ｈ 和Ｇ代入式（１２４６）得单元刚度矩阵Ｋｅ。

１２４ 加权余量法与单元构造

１２４１ 基本概念

第２章及本章前面的讨论表明，运用微分方程的弱形式或变分原理求解连

续介质问题，前提是推导出弱形式或构造出问题的泛函。然而，并非所有以微分

方程表达的连续介质问题都能做到这一点。此时，可以采用加权余量法建立有

限元公式。

加权余量法是一种以微分方程的等效积分形式为基础来求解微分方程近似

解的方法。在第２章中已经指出，场函数ｕ必须满足的微分方程和边界条件可

以被一般地表示如下

Ａ（ｕ）＝０ 在Ω内 （１２５８）

Ｂ（ｕ）＝０ 在Γ上 （１２５９）

如果场函数ｕ是精确解，则严格满足上述微分方程和边界条件，或严格满足它

们的等效积分形式，即

∫ΩｖＴＡ（ｕ）ｄΩ＋∫Γ珔ｖＴＢ（ｕ）ｄΓ≡０ （１２６０）

其中，ｖ，珔ｖ为任意函数向量。

显然，对于复杂问题，这样的精确解是很难找到的，因此人们便设法寻求具

有一定精度的近似解。选取近似解ｕ为一族含有待定参数的已知函数，其一般

１２２１２４ 加权余量法与单元构造

形式为

ｕ＝Ｎａ （１２６１）

其中，ａ是具有ｎ 个待定参数的向量；Ｎ 称为试探函数矩阵。显然 近 似 解

（１２６１）将不能精确满足式（１２５８）和（１２５９），即出现相应的残差或余量

Ａ（Ｎａ）＝Ｒ， Ｂ（Ｎａ）＝珚Ｒ （１２６２）

如果用规定的ｎ个函数来代替式（１２６０）中的任意函数ｖ和珔ｖ，即

ｗｊ＝ｖ， 珚ｗｊ＝珔ｖ， （ｊ＝１，２，⋯，ｎ） （１２６３）

则可以得到近似的等效积分形式

∫ΩｗＴｊＲｄΩ＋∫Γ珚ｗＴｊ珚ＲｄΓ＝０ （ｊ＝１，２，⋯，ｎ） （１２６４）

其中，ｗｊ和珚ｗｊ称为权函数。如果微分方程个数为ｍ１，边界条件个数为ｍ２，则

ｗｊ和珚ｗｊ分别为ｍ１阶、ｍ２阶的函数列阵。

式（１２６４）为一组方程，可用以求解待定参数。这就是加权余量法（ＷｅｉｇｈｔｅｄＲｅｓｉｄｕａｌＭｅｔｈｏｄ，简称ＷＲＭ），其实质是余量的加权积分为零，即通过选择待定

参数ａ，强迫余量在某种平均意义上等于零。很显然，加权余量法的权余方程就

是微分方程的等效积分形式。

１２４２ 简明阐释

为清晰起见，现以单变量标量场问题为例阐释加权余量法。设在区域Ω内

ｕ满足微分方程

Ａ（ｕ）＝０ （ａ）

在边界上满足

Ｂ（ｕ）＝０ （ｂ）

其中，Ａ和Ｂ是微分算子。选取近似解ｕ为

ｕ＝α１Ｎ１＋α２Ｎ２＋⋯＋αｎＮｎ＝∑ｎ

ｉ＝１αｉＮｉ （ｃ）

其中，αｉ是待定系数；Ｎｉ为满足边界条件（ｂ）的线性独立函数，并取自完备函数

集合（即任一函数都可用此集合表示）。

近似解（ｃ）不能精确满足式（ａ），出现相应的残差或余量Ｒ

Ａ（ｕ）＝Ｒ （ｄ）

２２２ 第１２章 有限元原理进阶与单元构造

可以选择系数αｉ，使得在某种平均意义上余量Ｒ等于零。例如，令余量的加权

积分值等于零

∫ΩｗｉＲｄΩ＝０ （ｉ＝１，２，⋯，ｎ） （ｅ）

其中，ｗｉ是权函数。上述ｎ个方程可用来求解式（ｃ）中的ｎ个待定系数αｉ。选

用不同的权函数，将得到不同的近似计算方法。常用的方法有最小二乘法、

Ｇａｌｅｒｋｉｎ法、配点法、子域法、矩法等，这里只介绍前面两种。

（１）最小二乘法

在最小二乘法（ｌｅａｓｔｓｑｕａｒｅｍｅｔｈｏｄ）中，选取满足边界条件的近似解（ｃ）并将

余量的平方在区域Ω内积分，即

Ｉ＝∫ΩＲ２ｄΩ （ｆ）

选择系数αｉ，使积分Ｉ取极小值，即

Ｉαｉ＝∫ΩＲＲαｉｄΩ＝０ （ｉ＝１，２，⋯，ｎ） （ｇ）

由此得到ｎ个方程，可求得ｎ个系数αｉ。比较式（ｅ）和（ｇ），可知此时的权函数

为

ｗｉ＝Ｒαｉ

（ｈ）

（２）Ｇａｌｅｒｋｉｎ法

在Ｇａｌｅｒｋｉｎ法中，选取满足强制边界条件的近似解（ｃ），并取权函数为

ｗｉ＝Ｎｉ （ｉ＝１，２，⋯，ｎ） （ｉ）

代入式（ｅ）得

∫ΩＮｉＲｄΩ＝０ （ｉ＝１，２，⋯，ｎ） （ｊ）

由此ｎ个方程，可求得ｎ个系数αｉ。

１２４３ 有限元方程

在各种加权余量法中，Ｇａｌｅｒｋｉｎ法的计算精度较高，而且当存在泛函时，将

导致与变分原理相同的结果。因此，用加权余量法建立有限元公式时，几乎无例

外地采用Ｇａｌｅｒｋｉｎ法。作为例子，现用这种方法建立热传导问题的有限元公式。

对于稳态热传导问题，基本方程和边界条件的余量加权形式为

３２２１２４ 加权余量法与单元构造

∫Ω ｘ λｘ

Ｔ（ ）ｘ ＋ ｙλｙ

Ｔ（ ）ｙ ＋ ｚλｚ

Ｔ（ ）ｚ ＋ｑ［ ］ｖ ｗｄΩ

＋∫Γ２ λｘＴｘｌ＋λｙ

Ｔｙｍ＋λｚ

Ｔｚｎ＋（ ）ｑ珡ｗ１ｄΓ

＋∫Γ３ λｘＴｘｌ＋λｙ

Ｔｙｍ＋λｚ

Ｔｚｎ＋β

（Ｔ－Ｔｃ（ ））珡ｗ２ｄΓ＝０

上式进行分部积分，令珡ｗ１＝珡ｗ２＝－ｗ，并注意到在Γ１上余量为零，有

∫Ω ｗｘ λｘＴ（ ）ｘ ＋ｗｙ λｙＴ（ ）ｙ ＋ｗｚ λｚ

Ｔ（ ）［ ］ｚ ｄΩ

－∫ΩｑｖｗｄΩ＋∫Γ２ｑｗｄΓ＋∫Γ３β（Ｔ－Ｔｃ）ｗｄΓ＝０ （１２６５）

将结构离散后，单元内温度可用形函数表示如下

Ｔ＝［Ｎ１ Ｎ２ ⋯ Ｎｍ］

Ｔ１…

Ｔ烅烄

烆烍烌

烎ｍ＝ＮＴｅ （１２６６）

其中，ｍ 为单元的节点数；Ｔｅ为单元节点温度向量。整个系统的加权余量形式

为

∑ｅ∫Ωｅ

ｗｉｘ λｘ

Ｔ（ ）ｘ ＋

ｗｉｙ λｙ

Ｔ（ ）ｙ ＋

ｗｉｚ λｚ

Ｔ（ ）［ ］ｚ ｄΩ

－∑ｅ∫ΩｑｖｗｉｄΩ－∫Γ２ｑｗｉｄΓ－∫Γ３β（Ｔ－Ｔｃ）ｗｉｄ［ ］Γ ＝０

（１２６７）

采用Ｇａｌｅｒｋｉｎ法，上式中

ｗｉ＝Ｎｉ （ｉ＝１，２，⋯，ｍ）

代入式（１２６７）得

∑ｅ

（ＫｅＴＴｅ－ＰｅＴ）＝０ （１２６８）

ＰｅＴ ＝∫ΩｅｑｖＮＴｄΩ－∫Γｅ２ｑＮＴｄΓ＋∫Γｅ３βＴｃＮ

ＴｄΓ

ＫｅＴ＝Ｋｅ１＋Ｋｅ２ （１２６９）

其中，Ｋｅ１的元素为

ｋｉｊ＝∫Ωｅ λｘＮｉｘＮｊｘ ＋λｙＮｉｙＮｊｙ ＋λｚ

ＮｉｚＮｊ［ ］ｚ ｄΩ

４２２ 第１２章 有限元原理进阶与单元构造

而Ｋｅ２与下述项有关

∫Γｅ３βＴｗｉｄΓ＝∫Γｅ３βＮｉＮＴｅｄΓ （ｉ＝１，２，⋯，ｍ）

即 ∫Γｅ３βＮＴＮＴｅｄΓ＝Ｋｅ２Ｔｅ

其中

Ｋｅ２＝∫Γｅ３βＮＴＮｄΓ （１２７０）

将式（１２６８）按单元集成，可得

ＫＴＴ＝ＰＴ （１２７１）

１２５ 小片试验与非协调元

位移型单元包括协调元和非协调元。例如，以前各章介绍的实体单元均为

协调元，而在薄板弯曲问题的有限元分析中，已经遇到过非协调元。非协调元因

单元间不连续性而不能保证收敛。不过，在实际计算中发现，有时采用非协调元

比协调元还要好。为什么会出现这种现象呢？

我们知道，假设位移函数相当于给单元施加了约束，从而使结构模型比实际

结构更刚一些；采用非协调单元意味着允许单元分离或重叠，从而使结构的刚度

变小了。上述两种效应有可能使误差相互抵消，自然会得到较好的结果。

非协调元比协调元可以更好这一事实促使人们有意地引入非协调性，以改

进位移型单元。构造非协调元的基本思想是在单元中引入内参位移，以获得较

高次数的完备插值多项式，而内部参数可在单元水平上凝聚掉。本节介绍

Ｗｉｌｓｏｎ提出的非协调元和龙驭球等人提出的广义协调元。

１２５１ Ｗｉｌｓｏｎ非协调元

（１）平面单元

为了改善双线性单元Ｑ４，Ｗｉｌｓｏｎ提出在满足协调条件的单元位移函数中附

加引起非协调的位移项，即

ｕ＝∑４

ｉ＝１Ｎｉｕｉ＋α１（１－ξ２）＋α２（１－η２）

ｖ＝∑４

ｉ＝１Ｎｉｖｉ＋α３（１－ξ２）＋α４（１－η２

烍烌

烎）（１２７２）

５２２１２５ 小片试验与非协调元

其中

Ｎｉ＝（１＋ξｉξ）（１＋ηｉη）／４ （ｉ＝１，２，３，４）

而α１，α２，α３，α４是内部自由度。

在双线性单元的形函数中，包含１，ξ，η，ξη等４项，其中有非完全的二次

项。显然，从数学上看，Ｗｉｌｓｏｎ非协调元通过引入ξ２，η２，使形函数中的二次多

项式趋于完全，从而达到提高计算精度的目的。将式（１２７２）写成矩阵形式

ｕ＝Ｎａｅ＋珚Ｎαｅ （１２７３）

其中

ｕ＝ｕ｛ ｝ｖ ， ａｅ＝

ｕ１ｖ１…

ｖ

烅

烄

烆

烍

烌

烎４

， αｅ＝

α１α２α３α

烅

烄

烆

烍

烌

烎４

Ｎ＝Ｎ１ ０ Ｎ２ ０ Ｎ３ ０ Ｎ４ ００ Ｎ１ ０ Ｎ２ ０ Ｎ３ ０ Ｎ

［ ］４

珚Ｎ＝１－ξ２ １－η２ ０ ００ ０ １－ξ２ １－η

［ ］

烍

烌

烎２

将式（１２７３）代入几何方程得

ε＝Ｂａｅ＋珚Ｂαｅ （１２７４）

再代入本构方程得

σ＝Ｄε＝Ｄ（Ｂａｅ＋珚Ｂαｅ） （１２７５）

将虚位移原理应用于有限元系统

∑ｅ∫ΩｅδεＴσｄΩ＝∑ｅ∫ΩｅδｕＴｆｄΩ＋∑ｅ∫Γｅσδｕ

Ｔ珔ｐｄΩ （ａ）

将式（１２７５）及

δｕ＝Ｎδａｅ＋珚Ｎδαｅ

δε＝Ｂδａｅ＋珚Ｂδαｅ

代入式（ａ）得

∑ｅ

［δａｅＴ（Ｋｅｕｕａｅ＋Ｋｅｕααｅ－Ｐｅｕ）＋δαｅＴ（Ｋｅαｕａｅ＋Ｋｅαααｅ－Ｐｅα）］＝０ （ｂ）

６２２ 第１２章 有限元原理进阶与单元构造

其中

Ｋｅｕｕ＝∫ΩｅＢＴＤＢｄΩＫｅｕα＝ＫｅＴαｕ＝∫ΩｅＢＴＤ珚ＢｄΩＫｅαα＝∫Ωｅ珚ＢＴＤ珚ＢｄΩＰｅｕ＝∫ΩｅＮＴｆｄΩ＋∫ΓｅσＮ

Ｔ珔ｐｄΓ

Ｐｅα＝∫Ωｅ珚ＮＴｆｄΩ＋∫Γｅσ珚ＮＴ珔ｐｄ

烍

烌

烎Γ

根据式（ｂ），考虑到虚位移δａｅ，δαｅ的任意性，有

Ｋｅｕｕａｅ＋Ｋｅｕααｅ＝Ｐｅｕ （ｃ）

Ｋｅαｕａｅ＋Ｋｅαααｅ＝Ｐｅα （ｄ）

先由式（ｄ）解得αｅ，再代入式（ｃ）得

Ｋｅａｅ＝Ｐｅ （１２７６）

其中

Ｋｅ＝Ｋｅｕｕ－Ｋｅｕα（Ｋｅαα）－１Ｋｅαｕ （１２７７）

Ｐｅ＝Ｐｅｕ－Ｋｅｕα（Ｋｅαα）－１Ｐｅα （１２７８）

可见，消去内部自由度以及修正刚度矩阵和荷载向量都是在单元水平上进

行的，此过程称为内部自由度的凝聚。以后分析的步骤与通常单元的相同。

（２）空间单元

此外，Ｗｉｌｓｏｎ还将上述平面非协调元的思想推广到空间等参单元上，效果

更加显著。例如，８节点空间非协调元的位移函数可表示为

ｕ＝∑８

ｉ＝１Ｎｉｕｉ＋α１珡Ｎ１＋α２珡Ｎ２＋α３珡Ｎ３

ｖ＝∑８

ｉ＝１Ｎｉｖｉ＋α４珡Ｎ１＋α５珡Ｎ２＋α６珡Ｎ３

ｗ ＝∑８

ｉ＝１Ｎｉｗｉ＋α７珡Ｎ１＋α８珡Ｎ２＋α９珡Ｎ

烍

烌

烎３

（１２７９）

其中

７２２１２５ 小片试验与非协调元

Ｎｉ＝１８

（１＋ξｉξ）（１＋ηｉη）（１＋ζｉζ） （ｉ＝１，２，⋯，８）

珡Ｎ１＝１－ξ２， 珡Ｎ２＝１－η２， 珡Ｎ３＝１－ζ烍烌

烎２

（３）小片试验

单元交界处的非协调意味着该处存在无限大的应变，从而引起交界处的附

加能量。根据虚位移原理或最小势能原理推导有限元方程时并没有考虑这部分

能量，从而引入误差甚至造成解答不收敛。学者们指出，通过Ｉｒｏｎｓ等（１９７２）提

出的小片试验，是保证非协调元收敛的充分条件。计算实践也表明，通过小片试

验的单元使用起来是令人放心的（文献６８）。

图１２５ 单元片

图１２５所示为一单元小片，其中节点ｉ完全被若干

个单元所包围，其平衡方程为

∑ｍ

ｅ＝１

（Ｋｅｉｊａｊ－Ｐｅｉ）＝０ （１２８０）

其中，ｍ 是单元片包含的单元数目，节点ｊ代表单元片

除节点ｉ以外的所有节点。将与常应变状态相应的位移

值及荷载值赋予单元片各个节点。如果式（１２８０）能够

满足，则认为通过小片试验。

例如，在平面问题中，与常应变相应的位移是线性位移。由平面问题的平衡

微分方程可知，与常应变也即常应力状态相应的荷载条件是体力为零，同时在节

点ｉ上也不能作用集中力。因此，式（１２８０）中的Ｐｅｉ必须为零。这样，通过小片

试验的要求变为

∑ｍ

ｅ＝１Ｋｅｉｊａｊ＝０ （ｅ）

其中，ａｊ是与任意线性单元位移场相应的节点位移向量，因而它也具有任意性。

现在来看Ｗｉｌｓｏｎ非协调元能否通过小片试验，或者说在什么条件下能够通

过小片试验。当单元位移函数不包含非协调项时，自然是满足收敛条件的，当然

也必定能通过小片试验，因此有

∑ｍ

ｅ＝１（Ｋｅｕｕ）ｉｊａｊ＝０

将式（１２７７）代入式（ｅ）并注意到上式，有

∑ｍ

ｅ＝１（Ｋｅｕα）ｉｐ（Ｋｅαα）－１ｐｍ（Ｋｅαｕ）ｍｊａｊ＝０ （ｆ）

由于Ｋｅαα是非奇异的（因附加位移不存在刚体移动），注意到Ｋｅｕα＝ＫｅＴαｕ及ａｊ的任

８２２ 第１２章 有限元原理进阶与单元构造

意性，故上式成立的条件是

Ｋｅαｕ＝０即

∫Ωｅ珚ＢＴＤＢｄΩ＝０ （１２８１）

注意到ＤＢ是相应于任一常应力的应力矩阵，具有任意性，故通过小片试验的条

件简化为

∫Ωｅ珚ＢＴｄΩ＝∫１

－１∫１

－１珚ＢＴＪｄξｄη＝０ （１２８２）

由于珚Ｂ的元素是ξ或η的一次齐函数，故当Ｊａｃｏｂｉ行列式Ｊ为常数时，上式恒成

立。可以证明，当单元为平行四边形时Ｊ为常数，故此时非协调元能通过小片

试验，而任意四边形单元则不能。为使非协调元在任意四边形单元时也能通过

小片试验，Ｗｉｌｓｏｎ建议在计算Ｋｅαｕ时，对相关项取单元中心的数值以使Ｊ为常

数。

１２５２ 广义协调元

不难发现，构造非协调元的难点在于如何合理地引入或确定非协调位移项

（文献７４）。龙驭球等人提出的广义协调元法，为此提供了一条可行的途径。这

里仅以平面单元为例加以说明，关于薄板广义协调元请参见文献４９。

（１）非协调位移

在平面４节点等参单元Ｑ４中，节点自由度为

ａｅ＝［ｕ１ ｖ１ ｕ２ ｖ２ ｕ３ ｖ３ ｕ４ ｖ４］Ｔ

单元内位移为

ｕ＝∑４

ｉ＝１Ｎｉｕｉ， ｖ＝∑

４

ｉ＝１Ｎｉｖｉ （ａ）

其中的形函数见第５章的式（５１２）。我们知道，上述位移函数在单元交界处满

足协调性要求。

为了改进该单元，将单元位移表示成如下两部分之和

ｕ＝ｕａ＋ｕλ （１２８３）

其中，ｕａ采用式（ａ），它在单元边界Γｅ（包括单元交界）上满足协调性要求；而ｕλ在Γｅ上引起非协调。显然，系统总势能泛函为

９２２１２５ 小片试验与非协调元

Πｍｐ＝∑ｅ

（Πｅｐ＋Ｈｅｐ） （ｂ）

其中，Πｅｐ 为单元的势能；Ｈｅｐ 为单元周边非协调位移引起的附加能量，即

Ｈｅｐ＝∫ΓｅｐＴ（ｕ－ｕａ）ｄΓ＝∫ΓｅｐＴｕλｄΓ （ｃ）

其中，ｐ为单元边界面力。

（２）广义协调条件

广义协调元不要求精确满足单元交界处的协调条件，而是要求至少在网格

无限细分、单元位移场趋近于常应变和刚体位移场时，附加能量Ｈｅｐ 趋于零。于

是，得到保证单元收敛的广义协调条件为

Ｈｅｐ＝∫ΓｅｐＴｕλｄΓ＝０ （１２８４）

对应于常应变和刚体位移场的广义协调条件称为基本广义协调条件。

从加权余量法看，式（１２８４）是单元间位移协调的权余方程，其中ｐ为权函

数。如果权函数取为任意函数，则由上式得出ｕλ＝０，此时单元间位移协调条件

得到精确满足。选用不同的权函数，可得不同的广义协调条件。例如，对于Ｑ４单元，当取权函数对应于自平衡的应力场（为了保证收敛性，设定的内力场必须

包括对应于常内力状态的常数项）

σｘ＝β１＋β４ησｙ＝β２＋β５ξτｘｙ＝β

烍烌

烎３

时，边界力与应力的关系为

ｐ＝ｐｘｐ烅烄

烆烍烌

烎ｙ＝ｎσ＝

ｎｘ ０ ｎｙ０ ｎｙ ｎ

［ ］ｘ

σｘσｙτｘ

烅烄

烆烍烌

烎ｙ

＝ｎｘβ１＋ｎｙβ３＋ｎｘηβ４ｎｙβ２＋ｎｘβ３＋ｎｙξβ烅烄

烆烍烌

烎５

将上式代入式（１２８４）得

∫Γｅ［β１ｎｘｕλ＋β２ｎｙｖλ＋β３（ｎｙｕλ＋ｎｘｖλ）＋β４ｎｘηｕλ＋β５ｎｙξｖλ］ｄΓ＝０

其中，ｕλ和ｖλ为非协调的位移分量。由于参数βｉ是任意的，故得５个广义协调

条件如下

０３２ 第１２章 有限元原理进阶与单元构造

∫ΓｅｎｘｕλｄΓ＝０∫ΓｅｎｙｖλｄΓ＝０∫Γｅ（ｎｙｕλ＋ｎｘｖλ）ｄΓ＝０

∫ΓｅｎｘηｕλｄΓ＝０∫ΓｅｎｙξｖλｄΓ＝

烍

烌

烎０

（１２８５）

满足上述条件的位移ｕλ称为广义协调位移。

（３）广义协调位移

构造广义协调元时，单元自由度仍由ｎ个常规的单元节点位移来定义，而

单元内部的位移场设为含ｋ个待定系数的多项式，且ｋ≥ｎ。然后，灵活选取ｋ个广义协调条件，用于确定ｋ个待定系数。

例如，对于４节点四边形单元，将广义协调位移表示为完整二次式

ｕλ＝λ１＋λ２ξ＋λ３η＋λ４ξ２＋λ５ξη＋λ６η２

ｖλ＝λ′１＋λ′２ξ＋λ′３η＋λ′４ξ２＋λ′５ξη＋λ′６η烍烌

烎２（ｄ）

由此可求出单元中心ｃ（ξ＝０，η＝０）处的位移ｕｃ，ｖｃ及转角ωｃ如下

ｕｃ＝λ１， ｖｃ＝λ′１， ωｃ＝１２Ｊｃ

（ａ３λ２－ａ１λ３＋ｂ３λ′２－ｂ１λ′３） （ｅ）

其中，ａｉ，ｂｉ，Ｊｃ与节点坐标有关。将式（ｄ）代入广义协调条件（１２７４），得到包含

待定系数的５个方程。与式（ｅ）联立，共８个方程，可用λ４，λ６，λ′４，λ′６，ｕｃ，ｖｃ和

ωｃ来表示８个参数λ１，λ２，λ３，λ５，λ′１，λ′２，λ′３和λ′５。若单元中心位移取为

ｕｃ＝－λ４－λ６， ｖｃ＝－λ′４－λ′６， ωｃ＝０ （ｆ）

则

ｕλ＝珚Ｎλｅ （１２８６）

其中

λｅ＝［λ４ λ６ λ′４ λ′６］Ｔ

（４）单元刚度矩阵

单元位移为

ｕ＝ｕａ＋ｕλ＝Ｎａｅ＋珚Ｎλｅ （１２８７）

１３２１２５ 小片试验与非协调元

应变可表示为

ε＝Ｂａｅ＋Ｂλλｅ

应变能为

Ｕ ＝ｔ２∫ＡｅεＴＤεｄＡ＝１２ａｅＴＫａａａｅ＋１２λｅＴＫλλλｅ＋λｅＴＫλａａｅ其中

Ｋａａ＝ｔ∫１

－１∫１

－１ＢＴＤＢＪｄξｄη

Ｋλλ＝ｔ∫１

－１∫１

－１ＢＴλＤＢλＪｄξｄη

Ｋλａ＝ｔ∫１

－１∫１

－１ＢＴλＤＢＪｄξｄ

烍

烌

烎η

（１２８８）

由Ｕλｅ＝０

，得

λｅ＝－Ｋ－１λλＫλａａｅ

最后，单元刚度矩阵为

Ｋｅ＝Ｋａａ－ＫＴλａＫ－１λλＫλａ （１２８９）

综上所述，广义协调元以修正势能原理为出发点，而仍以最小势能原理为归

宿。它要求在单元尺寸逐渐减小的极限情况下，连续性得到恢复。因此，从本质

上讲，广义协调元也是非协调元。然而，它既能保证收敛，又能克服协调元刚度

过硬的缺点。

１２６ 结 语

对给定的定解问题建立有限元方程时，可以考虑采用经典变分原理、广义变

分原理、弱形式或加权余量法，这些原理均基于定解问题的等效积分形式，从而

为有限单元法提供了一个精致而统一的基础和框架。在各种原理中，弱形式应

用最为普遍。

习 题

１２１ 在泛函中引入附加条件的方法有哪几种？简述各自的基本概念。

１２２ 什么是Ｈ?Ｗ变分原理和Ｈ?Ｒ变分原理？它们各自有哪几类独立的场变

２３２ 第１２章 有限元原理进阶与单元构造

量？

１２３ 试将位移边界条件和单元交界面上的位移协调条件用Ｌａｇｒａｎｇｅ乘子引

入势能泛函，推导下述修正泛函算式

Πｍｐ＝∑ｅ∫Ωｅ１２εＴＤεｄΩ－∫ΩｅｕＴｆｄΩ－∫ΓｅｕＴｐｄΓ＋∫Γｅｕｕ

Ｔ珔ｐｄ（ ）Γ１２４ 混合单元、杂交单元之间有什么区别？

３３２习 题

第１３

章

非线性方程求解

到目前为止，我们所讨论的均属于小变形条件下的线性弹性问题。所谓小

变形是指应变和转动都很小，因此几何方程是线性的，列平衡条件时也不必考虑

物体形状和尺寸的变化。此外，材料的本构方程是线性的，即采用广义Ｈｏｏｋｅ定律。用有限单元法分析这种问题，最后均归结为求解线性代数方程组。这种

分析在很多情况下是合适的，因此在实际问题中被广泛采用。

然而，有些材料在小变形条件下就表现出塑性、黏性等非线性性质，计算时

须考虑为材料非线性问题；在大变形情况下的几何非线性问题中，必须采用非线

性的几何方程并在变形后的物体形状与位置上列出平衡方程；在接触和碰撞问

题中，接触边界是变动的、接触条件是高度非线性的，因而被称为边界非线性问

题。

无论何种非线性问题，最后都归结为求解非线性方程组。解法可分为两

种基本类型，即迭代法和增量法；而当同时应用这两种方法时，称为混合法。本

章将介绍这些方法，以及非线性计算中的迭代收敛判据、荷载增量步长。至于建

立各种非线性有限元方程组的原理与方法，将在接下来的３章中分别加以介

绍。

１３１ 迭 代 法

１３１１ 直接迭代法

对于非线性弹性问题和简单加载条件下的弹塑性问题等，有限元方程组可

写成全量形式，即

Ｋ（ａ）ａ＝Ｐ （１３１）

其中，Ｐ为独立于节点位移向量ａ的已知节点荷载向量。如果将ａ理解为节点

位移增量，Ｐ理解为节点荷载增量，则上式为增量非线性方程。此外，可用下式

表示实际结构的荷载位移曲线

Ｑ＝Ｋ（ａ）ａ （１３２）

即Ｑ（ａ）表示与变量位移ａ对应的荷载。

方程组（１３１）可采用迭代法求解，其特点是在每次迭代过程中都施加全部

荷载，但逐步修改位移和应变，使之满足非线性本构方程或荷载位移曲线。为

此，可首先令位移ａ０＝０，或者通过求解线弹性问题得到ａ０，并根据本构方程求

出刚度矩阵

Ｋ（ａ０）＝Ｋ０Ｔ由

ａ１＝（Ｋ０Ｔ）－１Ｐ

求出位移第一次近似值；然后由ａ１求割线刚度矩阵

Ｋ（ａ１）＝Ｋ１ｓ由Ｋ１ｓ求出位移第二次近似值

ａ２＝Ｋ－１ｓＰ

重复上述步骤，每次由下式求位移近似值

ａｎ＝Ｋ－（ｎ－１）

ｓ Ｐ （１３３）

直到ａｎ 和ａｎ－１充分接近时为止，即两者之差的某种范数小于某个规定的允许

小量

‖ａｎ－ａｎ－１‖≤ｅｒ （１３４）

图１３１ 直接迭代法

通常情况下，ｅｒ 取１０－３～１０－４即可得到较为

满意的结果。上述方法称为直接迭代法，也称为变

刚度法（图１３１）。其特点有二：一是每次迭代都

施加全部荷载；二是Ｋ１ｓ，Ｋ２ｓ，⋯，Ｋｎ－１ｓ 为割线刚度

矩阵。该法的重大缺点在于，每步计算都要重新计

算刚度矩阵。

１３１２ Ｎｅｗｔｏｎ?Ｒａｐｈｓｏｎ法

（１）Ｎ?Ｒ法

牛顿?拉弗森法（Ｎｅｗｔｏｎ?Ｒａｐｈｓｏｎ法，简称Ｎ?Ｒ法）是一种求解非线性方程

组非常著名的方法。将方程组（１３１）改写为

Ψ（ａ）≡Ｋ（ａ）ａ－Ｐ≡Ｑ（ａ）－Ｐ＝０ （１３５）

５３２１３１ 迭 代 法

设上述方程组的第ｎ次近似解ａｎ 已经得到。显然，ａｎ 不能精确满足式（１３５），

即Ψ（ａｎ）≠０。为求得进一步的近似解ａｎ＋１，可将Ψ（ａ）在ａｎ 处作Ｔａｙｌｏｒ展

开，并仅保留线性项

Ψ（ａ）＝Ψ（ａｎ）＋ ｄΨｄ（ ）ａ ｎ（ａ－ａｎ） （１３６）

设ａｎ＋１近似满足式（１３５），并令

Δａｎ＝ａｎ＋１－ａｎ （１３７）

则得线性方程组

Ψ（ａｎ）＋ ｄΨｄ（ ）ａ ｎΔａｎ＝０ （１３８）

其中，ｄΨｄａ

是切线矩阵，且显然有

ｄΨｄａ＝

ｄＱｄａ＝ＫＴ

（ａ） （１３９）

于是，由式（１３８）和（１３５）得

Δａｎ＝－Ｋ－ｎＴ Ψ（ａｎ）＝Ｋ－ｎＴ （Ｐ－Ｑｎ） （１３１０）

ａｎ＋１＝ａｎ＋Δａｎ （１３１１）

其中

ＫｎＴ＝ＫＴ（ａｎ）， Ｑｎ＝Ｑ（ａｎ） （１３１２）

图１３２ Ｎｅｗｔｏｎ?Ｒａｐｈｓｏｎ法

图１３２显示出Ｎ?Ｒ法的求解步骤。重复上

述迭代过程，直到满足收敛要求为止。

（２）ｍＮ?Ｒ法

为了更有效地进行迭代，最好在每步计算中都用

相同的刚度矩阵。在Ｎ?Ｒ法中，每次迭代都需要形成

新的切线刚度矩阵并求其逆，从而花费较多机时。为

克服这一缺陷，常采用修正牛顿?拉弗森法（ｍｏｄｉｆｉｅｄＮｅｗｔｏｎ?Ｒａｐｈｓｏｎ法，简称ｍＮ?Ｒ法）。在ｍＮ?Ｒ法中，

切线刚度矩阵总是采用其初始矩阵（图１３３），即

ＫｎＴ＝Ｋ０Ｔ （１３１３）

因此式（１３１０）修正为

Δａｎ＝（Ｋ０Ｔ）－１（Ｐ－Ｑｎ） （１３１４）

６３２ 第１３章 非线性方程求解

图１３３ 修正Ｎｅｗｔｏｎ?Ｒａｐｈｓｏｎ法 图１３４ Ａｉｔｋｅｎ加速

显然，在ｍＮ?Ｒ方法中，系数矩阵只需要分解一次，而每次迭代只进行一次

回代即可。当然，这种方法降低了收敛速度，特别当Ｑ?ａ曲线突然趋于平坦时，

收敛速度会很慢。通常是采用某种加速收敛的措施来提高效率，其中Ａｉｔｋｅｎ加

速法是一种简单而有效的方法（图１３４）。

（３）ｑＮ?Ｒ法

拟牛顿?拉弗森法（ｑｕａｓｉＮｅｗｔｏｎ?Ｒａｐｈｓｏｎ法，简称ｑＮ?Ｒ法）的基本思想是

在每次迭代后用一种简单方式修改刚度矩阵Ｋ，既不像Ｎ?Ｒ法那样每次迭代都

要计算新的矩阵，也不像ｍＮ?Ｒ法那样不改变矩阵。也就是说，用某个矩阵Ｇｎ代替式（１３１０）中的ＫｎＴ 或式（１３１４）中的Ｋ０Ｔ。显然，ｑＮ?Ｒ法的迭代公式与

Ｎ?Ｒ法的形式相同，可写成

Δａｎ＝Ｇ－１ｎ（ａｎ）（Ｐ－Ｑｎ）＝Ｇ－１ｎ ΔＲｎ （１３１５）

现在的问题是如何利用Ｇｎ，Δａｎ，ΔＲｎ 去计算Ｇｎ＋１。已经提出了几种计算

方法和公式，下面给出Ｂｒｏｙｄｅｎ?Ｆｌｅｔｃｈｅｒ?Ｇｏｌｄｆａｒｄ?Ｓｈａｎｎｏ提出的ＢＦＧＳ公式和

Ｄａｖｉｄｏｎ?Ｆｌｅｔｃｈｅｒ?Ｐｏｗｅｌｌ提出的ＤＦＰ公式。

ＢＦＧＳ公式

Ｇ－１ｎ＋１＝Ｇ－１ｎ ＋（Δａｎ－Ｇ－１ｎ ΔＲｎ）ΔａＴｎＧ－１ｎ

ΔａＴｎＧ－１ｎ ΔＲｎ（１３１６）

ＤＦＰ公式

Ｇ－１ｎ＋１＝Ｇ－１ｎ ＋（Δａｎ－Ｇ－１ｎ ΔＲｎ）（Δａｎ－Ｇ－１ｎ ΔＲｎ）Ｔ

（Δａｎ－Ｇ－１ｎ ΔＲｎ）ＴΔＲｎ（１３１７）

它们可统一写成

Ｇ－１ｎ＋１＝Ｇ－１０ ＋∑ｎ

ｋ＝０βｋｖｋｗＴｋ

ｖｋ＝Δａｋ－Ｇ－１ｋΔＲ烍烌

烎ｋ

（１３１８）

７３２１３１ 迭 代 法

对于ＢＦＧＳ法

βｋ＝１

ΔａＴｋＧ－１ｋΔＲｋ， ｗＴｋ ＝ΔａＴｋＧ－１ｋ （１３１９）

对于ＤＦＰ法

βｋ＝１

（Δａｋ－Ｇ－１ｋΔＲｋ）ＴΔＲｋ， ｗｋ＝ｖｋ （１３２０）

按照ｑＮ?Ｒ法的上述算法，Ｇ０只需分解一次，故可大量节省机时。该法因

收敛性好、效率高而受到重视。不过，每次迭代的βｋ和ｖｋ必须保存，故ｑＮ?Ｒ法

占用较多的存储空间。

（４）Ａｉｔｋｅｎ加速

在连续两次迭代之后，对后一次计算结果进行修正，可以加速迭代过程（图

１３４）。例如，在求得Δａ１和Δａ２之后，作图中虚线所示的割线，于是

Ｋ０Ｔ（Δａ１－Δａ２）＝Ｋ１ｓΔａ１ （ａ）

从而有

（Ｋ１ｓ）－１＝α１（Ｋ０Ｔ）－１ （ｂ）

其中

α１＝Δａ１

Δａ１－Δａ２（ｃ）

是对角矩阵，称为加速因子矩阵。根据图１３４，并注意到式（ｂ），可知

Δａ′２＝ａ′２－ａ１＝（Ｋ１ｓ）－１（Ｐ－Ｑ１）＝α１（Ｋ０Ｔ）－１（Ｐ－Ｑ１） （ｄ）

因

Δａ１＝（Ｋ０Ｔ）－１（Ｐ－Ｑ１） （ｅ）

代入式（ｄ）得

Δａ′２＝α１Δａ１ａ′２＝ａ１＋α１Δａ１

一般地有

Δａ′ｎ＋１＝αｎΔａｎ （１３２１）

ａ′ｎ＋１＝ａｎ＋αｎΔａｎ （１３２２）

αｎ＝Δａｎ

Δａｎ－Δａｎ＋１（１３２３）

８３２ 第１３章 非线性方程求解

对于具有Ｎ个自由度的系统，加速因子矩阵为

αｎ＝

α（１）ｎ ０

α（２）ｎ

０ α（Ｎ）

熿

燀

燄

燅ｎ

（１３２４）

其中

α（ｉ）ｎ ＝

Δａｎ，ｉΔａｎ，ｉ－Δａｎ＋１，ｉ

（ｉ＝１，２，⋯，Ｎ） （１３２５）

由上式可见，如果对于某个自由度ｉ，Δａｎ，ｉ－Δａｎ＋１，ｉ很小，则α（ｉ）ｎ 将很大甚

至大到使计算发生困难。为避免此种情况，又提出了修正的Ａｉｔｋｅｎ方法，即用

一个标量αｎ 代替对角矩阵αｎ

αｎ＝（Δａｎ－Δａｎ＋１）ＴΔａｎ

（Δａｎ－Δａｎ＋１）Ｔ（Δａｎ－Δａｎ＋１）（１３２６）

图１３５ 初应力

１３１３ 初应力法

当应力显式地表达为应变的函数时，可采用

初应力法进行迭代求解。因为在此情况下，任何非

线性本构方程都可以用弹性本构方程叠加适当的

初应力来实现（图１３５），即

σ＝ｆ（ε）＝Ｄ０ε＋σ０ （１３２７）

其中，Ｄ０为初始切线弹性矩阵；σ０为初应力，应按

下式计算

σ０＝ｆ（ε）－Ｄ０ε （１３２８）

这样，非线性单元就可以看成具有初应力的线性弹性单元。根据第９章中的公

式（９５０），初应力引起的等效节点荷载为

Ｐｅσ０＝－∫ΩｅＢＴσ０ｄΩ （１３２９）

若记

Ｋｅ０＝∫ΩｅＢＴＤ０ＢｄΩ

９３２１３１ 迭 代 法

则按单元集成，可得整体刚度方程

Ｋ０ａ＝Ｐ＋Ｐσ０ （１３３０）

其中，Ｐ为外荷载引起的整体节点荷载向量；Ｐσ０为初应力产生的整体节点荷载

向量，即

Ｐσ０＝∑ｅＰｅσ０＝－∑ｅ∫ΩｅＢＴσ０ｄΩ （１３３１）

上述方法称为 初应力法，其计算步骤如下：首先根据原始荷载Ｐ（即令

Ｐσ００＝０）及刚度矩阵Ｋ０，计算第一次近似位移ａ１（即线性弹性解）

ａ１＝Ｋ－１０ Ｐ （１３３２）

由ａ１求出应变ε１，根据式（１３２８）计算初应力

σ０１＝ｆ（ε１）－Ｄ０ε１ （１３３３）

根据式（１３３１），可求出初应力产生的节点荷载

Ｐσ０１＝－∑ｅ∫ΩｅＢＴσ０１ｄΩ （１３３４）

于是，由下式计算第一次位移增量

Δａ１＝Ｋ－１０ Ｐσ０１ （１３３５）

位移的第二次近似值为

ａ２＝ａ１＋Δａ１ （１３３６）

由ａ２求出应变ε２；根据式（１３２８）计算第二次初应力σ０２；根据式（１３３１）

求第二次初应力产生的节点荷载；计算第二次位移增量Δａ２。重复上述步骤，直

到Δａｎ 充分小时为止。

图１３６ 初应力迭代

初应力法迭代（图１３６）是以线性弹性解为基

础的，因此当本构方程偏离线性弹性规律较大时，迭

代次数将明显增加。

１３１４ 初应变法

对于蠕变等问题，应力不能用应变显式地表示，

即无法给出σ＝ｆ（ε）。但是，可以显示地以应力表

示应变，即

０４２ 第１３章 非线性方程求解

ε＝ｆ（σ） （１３３７）

此时可采用初应变法。该法的基本思想是，非线性本构方程可以用弹性本构方

程叠加适当的初应变来实现，即（图１３７）

ε＝Ｄ－１０ σ＋ε０ （１３３８）

其中，ε０为初应变，即

ε０＝ε－Ｄ－１０ σ＝ｆ（σ）－Ｄ－１０ σ （１３３９）

这样，非线性单元就可以看成具有初应变的线性弹性单元。根据第９章中的公

式（９５１），初应变引起的等效节点荷载为

Ｐｅε０＝∫ΩｅＢＴＤε０ｄΩ （１３４０）

整体刚度方程为

Ｋ０ａ＝Ｐ＋Ｐε０ （１３４１）

其中，Ｐε０为初应变产生的整体节点荷载向量，即

Ｐε０＝∑ｅＰｅε０＝∑ｅ∫ΩｅＢＴＤε０ｄΩ （１３４２）

图１３７ 初应变

用初应变法分析非线性问题的步骤与初应力法

类似（图１３７）。首先根据原始荷载Ｐ 及刚度矩阵

Ｋ０，计算第一次近似位移ａ１ａ１＝Ｋ－１０ Ｐ （１３４３）

由ａ１求出应力σ１，根据式（１３３９）计算初应变

ε０１＝ｆ（σ１）－Ｄ－１０ σ１ （１３４４）

根据式（１３４２），可求出初应变产生的节点荷载

Ｐε０１＝∑ｅ∫ΩｅＢＴＤε０１ｄΩ （１３４５）

于是，由下式计算第一次位移增量

Δａ１＝Ｋ－１０ Ｐε０１ （１３４６）

位移的第二次近似值为

ａ２＝ａ１＋Δａ１ （１３４７）

１４２１３１ 迭 代 法

重复上述步骤，直到Δａｎ 充分小时为止。

根据本节的讨论可知，迭代法就是用总荷载作用下不平衡的线性解去逼近

平衡的非线性解，迭代过程就是消除失衡力的过程。

１３２ 增 量 法

１３２１ 基本思想

增量法的基本思想是将荷载划分为若干个增量，每次施加一个增量。在每

个增量步内，假定刚度矩阵是常数；而对于不同的增量步，刚度矩阵具有不同的

数值，并与本构方程相对应。

可见，增量法是用一系列线性问题去近似非线性问题，实质上是用分段线性

的折线去替代非线性曲线。只要荷载增量选得足够小，增量法就能保证得到收

敛解，且通常总是合理的。此外，计算得到的中间结果提供了“加载”过程中的有

用信息。

设把总荷载分为ｍ 个增量。施加第ｉ个荷载增量之前，荷载累加到

Ｐｉ－１＝∑ｉ－１

ｊ＝１ΔＰｊ （１３４８）

相应的位移和应力分别为

ａｉ－１＝∑ｉ－１

ｊ＝１Δａｊ， σｉ－１＝∑

ｉ－１

ｊ＝１Δσｊ （１３４９）

施加第ｉ个荷载增量ΔＰｉ，将产生位移增量Δａｉ和应力增量Δσｉ。因此，在施加

第ｉ个荷载增量后，位移和应力分别为

ａｉ＝ａｉ－１＋Δａｉ， σｉ＝σｉ－１＋Δσｉ （１３５０）

在施加荷载增量时，通常引入不变的参考荷载Ｐ０和标量参数λ来描述荷

载的变化。令

Ｐ＝λＰ０ （１３５１）

则整体刚度方程（１３５）成为

Ψ（ａ）≡Ｋ（ａ）ａ－Ｐ≡Ｑ（ａ）－λＰ０＝０

对λ求导得

ｄＱｄａｄａｄλ－Ｐ０＝０

（１３５２）

２４２ 第１３章 非线性方程求解

注意到

ｄＱｄａ＝ＫＴ

（ａ）， ｄλＰ０＝ｄＰ （１３５３）

式（１３５２）成为

ＫＴｄａ＝ｄＰ （１３５４）

将上式写成有限增量形式

ＫＴΔａ＝ΔＰ （１３５５）

至于如何由荷载增量ΔＰ计算位移增量Δａ和应力增量Δσ，取决于增量步

刚度的选择。

１３２２ 增量步的刚度

（１）始点刚度法

设第ｉ－１步末的应力σｉ－１已求出，根据σｉ－１及本构方程可以确定第ｉ－１步末的切线刚度矩阵Ｋｉ－１。假定在第ｉ步内刚度矩阵保持不变且近似等于

Ｋｉ－１，于是由下列方程可计算第ｉ步的位移增量Δａｉ

图１３８ 始点刚度法

Ｋｉ－１Δａｉ＝ΔＰｉ （ｉ＝１，２，⋯，ｍ）（１３５６）

其中，Ｋｉ－１＝Ｋｉ－１（ａｉ－１），而初始刚度矩阵Ｋ０是根

据本构关系曲线在开始加荷时计算的。这种方法称

为始点刚度法，也称为Ｅｕｌｅｒ法（图１３８）。

（２）中点刚度法

始点刚度法计算简单，但比较粗糙，计算精度较

低。为了提高精度，可在每步计算中采用平均刚度：

先用Ｋｉ－１根据式（１３５６）计算初步的Δａｉ 和ａｉ ，然

后根据ａｉ 和本构方程计算第ｉ步的Ｋｉ，由此可计算

第ｉ步的平均刚度矩阵和位移增量

图１３９ 中点刚度法

珡Ｋｉ＝１２

（Ｋｉ－１＋Ｋｉ） （ａ）

珡ＫｉΔａｉ＝ΔＰｉ （ｂ）

其中，“”表示临时用的量。

如上计算虽然提高了精度，但式（ａ）表明增加了

存储量。因此，采用下述中点刚度法（图１３９）更为

合适：首先施加荷载增量的一半ΔＰｉ／２，用Ｋｉ－１计算

３４２１３２ 增 量 法

相应的位移增量Δａｉ－１／２

珡Ｋｉ－１Δａｉ－１／２＝ΔＰｉ／２ （ｃ）

因此，中点位移为

ａｉ－１／２＝ａｉ－１＋Δａｉ－１／２ （ｄ）

根据ａｉ－１／２及本构方程求得中点刚度矩阵Ｋｉ－１／２，再由下式计算第ｉ步的位移

增量

Ｋｉ－１／２Δａｉ＝ΔＰｉ （１３５７）

１３３ 若干实际考虑

１３３１ 迭代法与增量法

迭代法的计算量比增量法小些，对计算精度也能加以控制。但是，这种方法

的适用范围较小，且不能给出荷载?位移过程线。在直接迭代法、Ｎ?Ｒ法及其修

正方法中，要求Ｋ可以显式地表示为ａ的函数，故它只适用于与应力历史无关

的非线性问题，例如非线性弹性问题和可以应用全量理论的弹塑性问题。对于

必须用增量理论进行分析的弹塑性问题，只能采用增量法求解。此外，初应力法

要求本构方程可以写成σ＝ｆ（ε），初应变法要求写成ε＝ｆ（σ）。

增量法的适用范围广，且可提供荷载?位移过程线。如果采用足够小的荷载

增量，可以得到足够精确的解。不过，这种方法也有其缺点。其一是比迭代法通

常要消耗更多的计算时间，而且不知道近似解与真实解相差多少。其二是单纯

的增量计算不可避免地随着每个荷载增量积累误差，最终有可能导致结果失去

平衡，即所谓解的漂移现象（图１３１０）。因此，在单纯使用增量法时，必须利用

全量方程定期检查整体的平衡。

图１３１０ 增量解的漂移

４４２ 第１３章 非线性方程求解

图１３１１ 混合法

１３３２ 混合法的使用

为了改进增量法的精度，可以采用混合法。所谓混

合法就是同时采用增量法和迭代法，即荷载被分为较少

的几个荷载增量，在每个荷载增量段内进行迭代计算（图

１３１１）。混合法在一定程度上包含了增量法和迭代法的

优点，并减少了两者的缺点，但该法的计算量较大。

１３３３ 迭代收敛判据

用迭代法或混合法解题时，必须给出迭代收敛判据，

以适时终止迭代。常用的收敛判据有位移判据、失衡力判据和能量判据。

（１）位移判据

当相邻两次迭代位移差即位移增量的范数满足

‖Δａｎ‖≤αＤ‖ａｎ‖ （１３５８）

时，可终止迭代。其中范数通常取Ｅｕｃｌｉｄ范数‖·‖２，即

‖Δａｎ‖２＝ ∑Ｎ

ｉ＝１

（Δａｎｉ）槡 ２ （１３５９）

位移收敛容差常取０．１％≤αＤ≤５％。

当材料硬化严重时，位移增量的微小变化将引起失衡力的较大偏差，此时不

能用位移判据，而用失衡力判据比较合理。

（２）失衡力判据

失衡力判据要求失衡力

ΔＱｎ＝Ｐ－Ｑ（ａｎ） （１３６０）

满足下述条件

‖ΔＱｎ‖≤αＱ‖Ｐ‖ （１３６１）

其中，αＱ 为力收敛容差。

显然，当材料接近理想塑性时，失衡力的微小变化将引起位移增量的较大偏

差，此时不能用失衡力判据。

（３）能量判据

能量判据是把内能增量（即失衡力在位移增量上所做的功）与初始内能增量

相比较，即

５４２１３３ 若干实际考虑

ΔａＴｎ［Ｐ－Ｑ（ａｎ）］≤αΔＥΔａＴ１［Ｐ－Ｑ（ａ１）］ （１３６２）

其中，αΔＥ为能量收敛容差。

失衡力判据同时控制位移增量和失衡力，提供了收敛的绝对度量；而以位移

为基础的判据仅提供了收敛的相对度量，因此使用前者常更为合理。

１３３４ 荷载增量步长

用增量法或混合法求解时，可事先将荷载分为若干个增量。例如，把结构不

发生塑性变形的弹性极限荷载作为第一个增量，其余的荷载再细分为若干增量。

然而，有些情况下这种方法并不可行，例如求结构极限荷载问题。对于理想弹塑

性材料，当接近极限荷载时，事先规定的步长可能使总荷载超过极限荷载而使分

析无法进行。此外，若步长过大，计算结果可能不可靠；步长过小，则耗时较大。

可见，如何合理地选择荷载增量步长是个重要问题。最好是程序根据具体

情况自动选择。根据荷载?位移曲线，凭直观可断定：结构非线性程度越大，步长

应越小。因此，根据结构刚度的变化选择步长大小是合理的，基本思想是：对于

每个增量步，结构刚度的变化差不多。主要方法有特征刚度法、当前刚度参数

法，下面仅介绍后者。

（１）刚度参数

Ｂｅｒｇａｎ等人提出第ｉ增量步的刚度Ｓｉ 用下式度量

Ｓｉ＝ΔＰＴｉΔＰｉΔａＴｉΔＰｉ

（１３６３）

初始（线性弹性）刚度Ｓ０ 用下式度量

Ｓ０＝ＰＴｅＰｅａＴｅＰｅ

（１３６４）

其中，Ｐｅ，ａｅ分别为弹性极限荷载、弹性极限位移。于是，第ｉ增量步的刚度参

数定义为

Ｓｉ＝Ｓｉ／Ｓ０ （１３６５）

注意到

Ｐｅ＝λｅＰ０， ΔＰｉ＝ΔλｉＰ０

有

Ｓｉ＝Δλｉλ（ ）ｅ

ａＴｅＰ０ΔａＴｉＰ０

（１３６６）

６４２ 第１３章 非线性方程求解

如果给定进入非线性状态后的第一个增量因子Δλ１和刚度参数的变化值

Δ珔Ｓ（可在００５～０２之间选取），则可按下式选择步长

Δλｉ＝Δλｉ－１Δ珔Ｓ

｜Ｓｉ－２－Ｓｉ－１｜（１３６７）

（２）弹性因子

为了确定弹性极限荷载因子λｅ，先施加任意荷载λＰ０，求解结构内最大等效

应力珋σｍａｘ，则

λｅ＝λσｓ０珋σｍａｘ

（１３６８）

其中，σｓ０是材料的初始屈服应力。

然后，给定第一步荷载增量因子Δλ１，用λ１＝λｅ＋Δλ１求解进入非线性状态

后的第一增量步。

１３４ 结 语

在线性问题中，解总是唯一的；而在非线性问题中，情况就不这样了。非线

性有限元分析对很多参数是敏感的，分析者必须对有可能导致错误的因素有非

常清醒的认识。而且，为了得到有意义的解答，经常需要依靠基于物理本质考虑

的直观判断。

非线性有限元分析的计算量相当大，因此人们非常关注求解的效率。经验

表明，采用低阶单元运算速度快，精度也不错。因此，４节点四边形等参单元和８节点六面体等参单元得到广泛应用。此外，常用的板壳单元是由三维实体单元

退化而成的Ｃ０型单元。

习 题

１３１ 求解非线性方程组的方法主要有哪几种？各种方法的基本特点是什么？

１３２ 迭代收敛判据有哪几种？

１３３ 程序根据什么原则自动选择荷载增量步长？

７４２１３４ 结 语

第１４

章

材料非线性问题

结构分析中的材料非线性问题通常是指这样的小变形问题，即除本构方程

非线性外，其余的控制方程和边界条件与线性弹性条件下的完全相同。第２章

中曾指出，在满足几何方程和位移边界条件的情况下，平衡微分方程和应力边界

条件的弱形式即虚功方程，它与材料特性无关。因此，线性弹性问题中有限单元

法的基本表达格式同样适用于材料非线性问题，只需将本构方程表达成合适的

形式并引入求解过程即可。

本章首先给出小变形条件下的各种本构方程；然后导出各种材料非线性问

题的有限元公式，并简要讨论典型问题的基本算法。

１４１ 材料本构方程

１４１１ 材料变形与本构方程

（１）基本概念

材料变形特性的研究基于试验资料。在截面为Ａ０的圆柱形试件上施加轴

向拉力Ｆ，试件将处于单向拉伸应力状态，其名义应力为

σ＝Ｆ／Ａ０ （１４１）

还可以测量在荷载作用下试件变形后的直径或面积，从而求出真实应力，即用实

际受力面积计算出的应力

σＴ＝Ｆ／Ａ （１４２）

其中，Ａ为该瞬时试件的实际截面积。在小变形条件下，真实应力与名义应力

相差很小，可以忽略不计。

在加载的同时测量试件的轴向伸长，相对伸长即轴向应变ε。小变形时，可

采用原始尺寸定义应变

ε＝Δｌ／ｌ０ （１４３）

称为工程应变。大变形时，须采用真实应变，即

ε＝∫ｌ

０

ｄｌｌ ＝ｌｎ

（ｌ／ｌ０） （１４４）

（２）基本特征

对于大多数固体材料，单向拉伸试验曲线具有某些共性。图１４１ａ是低碳

钢试件的简单拉伸试验曲线，其中Ａ点所对应的应力σＡ 称为比例极限，Ｂ点的

应力称为弹性极限σｅ或屈服应力σｓ。一般材料的比例极限、弹性极限或屈服应

力相差不大，故为简便起见通常不加区分。有些材料（例如铝合金）没有明显的

屈服阶段（图１４１ｂ）。常以残余应变达０２％时作为塑性变形的开始，其相应的

应力σ０２作为屈服应力。

ＢＣ段称为塑性平台，在应力不变的情况下可继续发生变形，通常称为塑性

流动。如果应力达到σＤ 时卸载，则可以认为应力应变关系自Ｄ点沿ＤＥ到达Ｅ点，ＯＥ为塑性应变部分εｐ，ＥＤ′为弹性应变部分εｅ，总应变为

ε＝εｅ＋εｐ （１４５）

若在Ｄ点卸载后重新加载，则在σ＜σＤ 以前，材料呈弹性变形；当σ＞σＤ以后才重新进入塑性变形阶段。这就相当于提高了屈服应力，这种现象称为应

变硬化或强化。材料由初始弹性阶段进入塑性阶段称为初始屈服，而再度屈服

则称为后继屈服。Ｆ点是材料所能承受的最大应力，称为强度极限。

图１４１ 单向拉伸试验

对于一般金属材料，通常可以认为拉伸与压缩时的应力应变曲线相同，如图

１４２所示。对于应变硬化材料，若加载至硬化阶段后卸载，卸载至零后再反向

加载，则拉伸屈服应力σ＋ｓ 与压缩屈服应力σ－ｓ 之间的关系可分为两种情况（图

１４３）：（１）σ＋ｓ ＝σ－ｓ ，σ＋ｓ ＋σ－ｓ ＞２σｓ（ＢＢ′）时 称 为 等 向 硬 化；（２）σ＋ｓ ＞σ－ｓ ，

σ＋ｓ＋σ－ｓ＝２σｓ（ＢＢ″）时称为随动硬化。这种拉伸时硬化影响到压缩时弱化的现

象称为Ｂａｕｓｃｈｉｎｇｅｒ效应。

Ｐ．Ｗ．Ｂｒｉｄｇｍａｎ（１９４５）对金属材料进行了静水压力试验，结果表明，当压力

不太大时，体积应变θ与压力ｐ呈线性关系

θ＝ｐ／Ｋ （１４６）

９４２１４１ 材料本构方程

而且，静水压力卸除后，体积变形基本上可以完全恢复。因此，可以认为，对于一

般金属材料，体积变形是线性弹性的。式（１４６）中Ｋ为体积模量。

图１４２ 拉伸与压缩 图１４３ Ｂａｕｓｃｈｉｎｇｅｒ效应

试验还表明，通常压力下金属材料的体积变形不仅可被视为弹性的，而且这

种体积变化很小，很多情况下可以忽略不计；对于金属材料来说，静水压力不影

响屈服。

（３）本构方程

随着计算机技术和数值方法的迅速发展，结构应力变形分析越来越普及，这

种需要极大地推动了材料本构理论的研究。到目前为止，已经发展了多种试验

方法来描述材料的变形特性，并建立了数以百计的本构方程。

本构方程也称为本构关系或数学模型。描述和说明材料变形特性的理论称

为本构理论，它涉及到材料变形机理的说明、基本假定、本构方程的建立和特性

参数规律性的研究（文献８３）。一般说来，材料应力不只与应变有关，还与加载

历史、加载方式、温度和时间等多种因素有关。在建立本构方程时，需要测定试

件上的应力、应变、温度等可以观测的物理量随时间的变化，并可一般地表示

为

σｉｊ＝ｆ（εｉｊ，ｔ，Ｔ，Ｐ，⋯） （１４７）

其中，ｔ为时间；Ｔ为温度；Ｐ为应力路径；等等。

在影响材料变形特性的因素当中，温度和加载速率特别重要。当温度超过

一定数值后，温度升高将使材料屈服应力降低而塑性变形能力提高，且表现出蠕

变现象即应力不变而应变随时间不断增长。当加载速率（即荷载对时间的变化

率）比通常静力试验时的速率高几个数量级时，会发现屈服应力提高而塑性变形

能力降低。然而，在温度不高、时间不长的情况下，可以忽略蠕变效应；在加载速

率不大的情况下，可以忽略其对变形的影响。这样的问题就是所谓静力问题，此

时研究材料变形可忽略时间因素的影响，建立与时间无关的静力本构方程。当

材料变形的稳定时间较长时，需要考虑时间因素。对于这种流变问题，必须建立

材料的流变本构方程。

０５２ 第１４章 材料非线性问题

本构特性研究的基本思路是根据某些试验数据，寻找某种函数表达式，并确

定相关的参数。通常是根据简单试验获取材料在简单应力状态下的本构关系，

然后通过某种理论把这些试验结果推广应用到复杂应力状态上去，求取普遍形

式的本构关系（文献７１，７２，８６，８５）。

１４１２ 非线性弹性本构方程

根据非线性弹性理论，非线性弹性材料的本构方程虽为非线性，加载卸载却

仍然沿着同一条曲线进行，而与应力历史和应力路径无关。此时，必然有弹性势

函数ω（εｉｊ）存在，且应力分量为势函数对应变的导数

σｉｊ＝ωεｉｊ

（１４８ａ）

写成向量形式

σ＝ｄωｄε（１４８ｂ）

其中应力向量和应变向量为

σ＝［σｘ σｙ σｚ τｘｙ τｙｚ τｚｘ］Ｔ

ε＝［εｘ εｙ εｚ γｘｙ γｙｚ γｚｘ］Ｔ

在增量分析中，采用切线弹性张量Ｄτｉｊｋｌ或切线弹性矩阵Ｄτ，其表达式为

Ｄτｉｊｋｌ＝σｉｊεｋｌ＝

２ωεｉｊεｋｌ

或 Ｄτ＝ｄσｄε＝ｄ２ωｄε２

（１４９）

１４１３ 弹塑性增量本构方程

弹塑性增量理论假定，当材料变形进入塑性状态且在加载条件下，应变增量

为弹性应变增量与塑性应变增量之和，即

ｄε＝ｄεｅ＋ｄεｐ

增量本构方程为

ｄσ＝Ｄｅｐｄε 或 Δσ＝ＤｅｐΔε （１４１０）

其中，Ｄｅｐ为弹塑性矩阵，其计算式为

Ｄｅｐ＝Ｄ－Ｄｇσ

ｆ（ ）σ

Ｔ

Ｄ Ａ＋ ｆ（ ）σ

Ｔ

Ｄｇ［ ］σ （１４１１）

其中，Ｄ为弹性矩阵，见式（２７）；ｇ和ｆ分别为塑性势函数和屈服函数；Ａ 是与

１５２１４１ 材料本构方程

硬化规律有关的硬化函数，其表达式为

Ａ＝－ ｆε（ ）ｐ

Ｔ＋ｆＨ

Ｈε（ ）ｐ［ ］

Ｔ ｇσ

（１４１２）

其中，Ｈ为硬化参数。

塑性势理论假设在塑性状态存在着某种塑性势函数ｇ，塑性应变的方向与

塑性势函数的梯度或外法线方向相同。当ｇ＝ｆ时，称为相关联的流动法则，这

时式（１４１１）成为

Ｄｅｐ＝Ｄ－Ｄｆσ

ｆ（ ）σ

ＴＤ Ａ＋ ｆ

（ ）σＴＤｆ［ ］σ ＝Ｄ－Ｄｐ （１４１３）

采用不同的屈服条件和硬化规律，将得到不同的本构矩阵。

（１）屈服条件

材料初始屈服时的条件称为初始屈服条件，其一般形式为

ｆ（σｉｊ）＝０ 或 ｆ（σ）＝０ （１４１４）

其中，ｆ（σ）称为屈服函数，屈服条件在空间形成的曲面称为屈服面。

进入塑性阶段后，卸载并不产生塑性变形，只有加载时才会出现后继屈服问

题，故后继屈服条件也称为加载条件。后继屈服条件不仅与应力状态有关，而且

还取决于塑性应变和反映加载历史的硬化参数Ｈ，故后继屈服条件可写成

ｆ（σｉｊ，εｐｉｊ，Ｈ）＝０ 或 ｆ（σ，εｐ，Ｈ）＝０ （１４１５）

其中，ｆ（σ，εｐ，Ｈ）称为后继屈服函数或加载函数。

当塑性应变为零时，硬化还未发生，故Ｈ＝０，式（１４１５）退化为初始屈服条

件。在分析问题时，可将初始屈服视为后继屈服的特殊情况。此外，由于理想塑

性材料不存在硬化问题，故其屈服面的大小、形状和位置均保持不变。换句话

说，理想塑性材料的后继屈服面与初始屈服面重合。

（２）硬化规律

对于理想弹塑性材料，屈服函数与塑性应变无关，也没有硬化问题，故Ａ为

零。对于硬化材料，为确定后继屈服条件的具体形式，提出了多种模型。其中最

常用的是等向硬化模型和随动硬化模型。等向硬化模型假设拉伸时的硬化屈服

极限和压缩时的硬化屈服极限相等。这样，在塑性变形过程中，后继屈服面均匀

扩大。从数学上看，后继屈服函数只与应力σ和硬化参数Ｈ 有关，式（１４１５）可

写成

ｆ（σ，Ｈ）＝０ （１４１６）

式（１４１２）变成

２５２ 第１４章 材料非线性问题

Ａ＝－ｆＨ

Ｈε（ ）ｐ

Ｔｆσ

（１４１７）

其中，Ｈ通常可取为塑性功

Ｈ＝Ｗｐ＝∫εｐｉｊ

０σｉｊｄεｐｉｊ＝∫

εｐ

０σＴｄεｐ （１４１８）

或假定Ｈ是塑性应变的函数，即

Ｈ＝Ｈ（εｐ） （１４１９）

例如，当假定Ｈ＝Ｗｐ时，有ｆＨ＝

ｆＷｐ

，Ｈεｐ＝σ

，故式（１４１７）成为

Ａ＝－ｆＷｐ

σＴｆσ

（１４２０）

可根据单向拉伸实验确定。

随动硬化模型假设在塑性变形过程中，后继屈服面只在空间作平动，而不改

变其大小和形状。从数学上看，后继屈服函数ｆ只与应力σｉｊ和决定平动量大小

的塑性应变εｐｉｊ有关，即

ｆ（σｉｊ，εｐｉｊ）＝０ （１４２１）

若为线性硬化，则在单向拉伸条件下，上式可写成

σ－ｃεｐ＝σｓ该式与初始屈服条件的区别就是用σ－ｃεｐ 代替σ。若初始屈服条件写成

ｆ（σｉｊ）＝０，则推广到复杂应力状态

ｆσｉｊ－ｃεｐｉ（ ）ｊ ＝０ （１４２２）

其中的常数ｃ可根据单向拉伸实验确定。

对于给定的任何屈服准则和硬化规律，都可以确定相应的弹塑性本构矩阵

Ｄｅｐ，以下将推导几种常用的模型。

（３）等向硬化Ｍｉｓｅｓ模型

Ｍｉｓｅｓ屈服条件：对于金属材料，Ｍｉｓｅｓ屈服条件得到了广泛应用。该条件

初始屈服时的表达式为

ｆ＝ ３Ｊ槡 ２－σｓ＝０ （１４２３ａ）

或

ｆ＝珋σ－σｓ＝０ （１４２３ｂ）

３５２１４１ 材料本构方程

首先假定材料等向硬化，则Ｍｉｓｅｓ屈服条件为

ｆ＝ ３Ｊ槡 ２－σｓ（Ｈ）＝０

其中，σｓ为单向拉伸屈服应力，与硬化参数有关；Ｊ２，珋σ分别为应力偏量第二不变

量和等效应力，其计算式分别为

Ｊ２＝１２ｓｉｊｓｉｊ＝

１６

［（σｘ－σｙ）２＋（σｙ－σｚ）２＋（σｚ－σｘ）２＋６（τ２ｘｙ＋τ２ｙｚ＋τ２ｚｘ）］

珋σ＝ ３Ｊ槡 ２ （ａ）

弹塑性矩阵：根据上述各式，不难求得

ｆσ＝

３２ ３Ｊ槡 ２

Ｊ２σ＝

３２σ

［ｓｘ ｓｙ ｓｚ ２ｓｘｙ ２ｓｙｚ ２ｓｚｘ］Ｔ （ｂ）

注意到上式、弹性矩阵（２７）以及ｓｘ＋ｓｙ＋ｓｚ＝０，可得

Ｄｆσ＝３Ｇσ

［ｓｘ ｓｙ ｓｚ ｓｘｙ ｓｙｚ ｓｚｘ］Ｔ＝３ＧσＳ （ｃ）

其中

Ｓ＝［ｓｘ ｓｙ ｓｚ ｓｘｙ ｓｙｚ ｓｚｘ］Ｔ

由式（ｃ）得

Ｄｆσｆ（ ）σ

ＴＤ＝ ３Ｇ（ ）σ

２ＳＳＴ （ｄ）

由式（ｂ），（ｃ）并注意到式（ａ），可得

ｆ（ ）σ

ＴＤｆσ＝

９Ｇ２珋σ２

［ｓｘ ｓｙ ｓｚ ２ｓｘｙ ２ｓｙｚ ２ｓｚｘ］ＳＴ （ｅ）

＝９Ｇ２珋σ２×ｓｉｊｓｉｊ＝３Ｇ

将式（ｄ），（ｅ）代入式（１４１３）中得

Ｄｐ＝１

Ａ＋３Ｇ３Ｇ（ ）σ

２ＳＳＴ

＝ ９Ｇ２（Ａ＋３Ｇ）珋σ２

ｓ２ｘ ｓｘｓｙ ｓｘｓｚ ｓｘｓｘｙ ｓｘｓｙｚ ｓｘｓｚｘｓ２ｙ ｓｙｓｚ ｓｙｓｘｙ ｓｙｓｙｚ ｓｙｓｚｘ

ｓ２ｚ ｓｚｓｘｙ ｓｚｓｙｚ ｓｚｓｚｘ对 ｓ２ｘｙ ｓｘｙｓｙｚ ｓｘｙｓｚｘ

称 ｓ２ｙｚ ｓｙｚｓｚｘｓ２

熿

燀

燄

燅ｚｘ

（１４２４）

４５２ 第１４章 材料非线性问题

硬化函数计算：假定材料等向硬化，且硬化函数取为塑性功。在单向拉伸条件

下，加载应力与塑性应变之间的关系如图１４４所示。此时有ｆ＝σ－σｓ（Ｗｐ）＝０，且

式（１４１８）成为

Ｈ＝Ｗｐ＝∫εｐ

０σｄεｐ

代入式（１４２０）得

Ａ＝ｄσｓ（Ｗｐ）ｄεｐ

（１４２５）

图１４４ 单向塑性加载 图１４５ 单向拉伸曲线

（４）随动硬化Ｍｉｓｅｓ模型

Ｍｉｓｅｓ屈服条件：假定材料随动硬化，则根据式（１４２１）和（１４２２），Ｍｉｓｅｓ屈

服条件可写为

ｆ＝珋σ（σｉｊ－ｃεｐｉｊ）－σｓ＝０ （１４２６）

在单向拉伸实验中，σ１＝σ，σ２＝σ３＝０；εｐ１＝εｐ，εｐ２＝εｐ３＝－εｐ／２，代入上式得

σ＝σｓ＋３ｃ２ε

ｐ （ａ）

线性硬化材料单向拉伸时的曲线为（图１４５）

σ＝σｓ＋Ｅ１１－λε

ｐ （ｂ）

其中，λ＝Ｅ１／Ｅ。式（ａ）与式（ｂ）比较，可得

ｃ＝２Ｅ１３（１－λ） （１４２７）

考虑到工程应变分量与应变张量分量之间的关系，引入对角矩阵

ｃ＝ｃ·ｄｉａｇ［１ １ １ １／２ １／２ １／２］ （１４２８）

５５２１４１ 材料本构方程

则式（１４２６）可写成

ｆ＝珋σ（σ－ｃεｐ）－σｓ＝０ （１４２９）

令

珘σ＝σ－ｃεｐ （１４３０）

则式（１４２９）可写成

ｆ＝珋σ（珘σ）－σｓ＝０ （１４３１ａ）

或

ｆ＝ ３Ｊ槡 ２－σｓ＝０ （１４３１ｂ）

弹塑性矩阵：仿照上节的推导，不难得出

ｆσ＝

ｆσ＝ ３

２ ３Ｊ槡 ２

珓Ｊ２σ＝３２σｓ

［珓ｓｘ 珓ｓｙ 珓ｓｚ ２珓ｓｘｙ ２珓ｓｙｚ ２珓ｓｚｘ］Ｔ （１４３２）

Ｄｆσ＝Ｄ

ｆ珘σ＝

３Ｇ

３Ｊ槡 ２

珘Ｓ＝３Ｇσｓ珘Ｓ （ａ）

其中

珘Ｓ＝［珓ｓｘ 珓ｓｙ 珓ｓｚ 珓ｓｘｙ 珓ｓｙｚ 珓ｓｚｘ］Ｔ （１４３３）

由式（ａ）得

Ｄｆσ

ｆ（ ）σ

Ｔ

Ｄ＝Ｄｆ珘σ

ｆ珘（ ）σ

Ｔ

Ｄ＝ ３Ｇσ（ ）ｓ

２珘Ｓ珘ＳＴ （ｂ）

由式（１４３２）和式（ａ），并注意到珓Ｊ２＝珓ｓｉｊ珓ｓｉｊ／２和σ２ｓ＝３珓Ｊ２，可得

ｆ（ ）σ

ＴＤｆσ＝

９Ｇ２σ２ｓ

［珓ｓｘ 珓ｓｙ 珓ｓｚ ２珓ｓｘｙ ２珓ｓｙｚ ２珓ｓｚｘ］珘ＳＴ＝３Ｇ （ｃ）

将式（ｂ），（ｃ）代入式（１４１３）中得

Ｄｐ＝１

Ａ＋３Ｇ３Ｇσ（ ）ｓ

２珘Ｓ珘ＳＴ （１４３４）

硬化函数计算：当材料随动硬化时，屈服函数中不含硬化参数，式（１４１２）变

为

Ａ＝－ ｆε（ ）ｐ

Ｔｆσ

（１４３５）

６５２ 第１４章 材料非线性问题

由式（１４２９）可得

ｆεｐ＝－ｃ

ｆσ

代入式（１４３５）得

Ａ＝－ ｆ（ ）σ

Ｔｃｆσ

将式（１４３２）代入上式得

Ａ＝３ｃ／２ （１４３６）

（４）Ｄｒｕｃｋｅｒ?Ｐｒａｇｅｒ模型

Ｄ?Ｐ屈服条件：对于混凝土、岩土等材料，静水应力或第一应力不变量Ｉ１对

屈服的影响不可忽略。因此针对金属材料发展的经典屈服条件不再适用，而

Ｍｏｈｒ?Ｃｏｕｌｏｍｂ屈服条件比较符合实际。不过，由于Ｍｏｈｒ?Ｃｏｕｌｏｍｂ屈服条件不

光滑，应用起来不方便，故Ｄｒｕｃｋｅｒ等人在其基础上进行简化，提出了Ｄｒｕｃｋｅｒ?Ｐｒａｇｅｒ屈服条件

ｆ＝βＩ１＋ Ｊ槡 ２－ｋ＝０ （１４３７）

其中，β和ｋ如表１４１所示。

表１４１ Ｄ?Ｐ屈服条件的参数

问 题 类 型 β ｋ

空间问题 槡３ｓｉｎφ３ ３＋ｓｉｎ２槡 φ

槡３ｃｃｏｓφ３ ３＋ｓｉｎ２槡 φ

轴对称问题 ２ｓｉｎφ槡３（３－ｓｉｎφ）

６ｃｃｏｓφ槡３（３－ｓｉｎφ）

平面应变问题 ｔａｎφ９＋１２ｔａｎ２槡 φ

３ｃ９＋１２ｔａｎ２槡 φ

注：表中ｃ为黏聚力，φ为内摩擦角。

弹塑性矩阵：采用上述屈服条件，不难推导出弹塑性矩阵。例如

ｆσ＝βδ－

１２ Ｊ槡 ２

Ｊ２σ＝βδ－

１２ Ｊ槡 ２

［ｓｘ ｓｙ ｓｚ ２ｓｘｙ ２ｓｙｚ ２ｓｚｘ］Ｔ （ａ）

其中

δ＝［１ １ １ ０ ０ ０］Ｔ （１４３８）

仿照前面的推导，并注意到体积模量公式

７５２１４１ 材料本构方程

Ｋ＝ Ｅ３（１－２ν） （１４３９）

可得

Ｄｆσ＝３Ｋβδ＋ＧＪ槡２Ｓ （ｂ）

其中

Ｓ＝［ｓｘ ｓｙ ｓｚ ｓｘｙ ｓｙｚ ｓｚｘ］Ｔ

对于理想塑性材料，Ａ＝０，于是

Ｄｐ＝Ｄｆσ

ｆ（ ）σ

ＴＤ ｆ

（ ）σＴＤｆσ

（１４４０）

将式（ａ），（ｂ）代入上式得

Ｄｐ＝１

９Ｋβ２＋Ｇ９Ｋ２β２δδＴ＋

３ＫβＧＪ槡２

δＳＴ＋Ｓδ（ ）Ｔ ＋Ｇ２

Ｊ２ＳＳ［ ］Ｔ （１４４１）

１４１４ 弹塑性全量本构方程

（１）全量本构方程

在简单加载条件下，增量本构方程可以沿加载路径积分，从而得到如下全量

本构方程

ｓｉｊ＝２珋σ３珋εｅｉｊ

， σｍ＝Ｅ１－２νεｍ

（１４４２）

其中，珋σ和珋ε分别为等效应力和等效应变；ｓｉｊ为应力偏量，ｅｉｊ为应变偏量，即

ｓｉｊ＝σｉｊ－σｍδｉｊ （ａ）

ｅｉｊ＝εｉｊ－εｍδｉｊ （ｂ）

而平均应力σｍ和平均应变εｍ分别为

σｍ＝（σｘ＋σｙ＋σｚ）／３， εｍ＝（εｘ＋εｙ＋εｚ）／３ （ｃ）

（２）单一曲线假设

通常情况下，假设简单加载条件下材料的珋σ与珋ε关系与应力状态无关，而

只与材料特性有关，可表示为

珋σ＝（珋ε）＝３Ｇ珋ε［１－ω（珋ε）］ （１４４３）

这就是所谓的单一曲线假设（图１４６）。试验表明，对于金属材料来说，这一假

８５２ 第１４章 材料非线性问题

设相当符合实际。有了这假设，（珋ε）可根据单向拉伸试验曲线来确定。在单向

拉伸条件下，有珋σ＝σ及珋ε＝ε，故σ?ε曲线就是珋σ＝（珋ε）。

图１４６ 单一曲线假设

（３）割线弹塑性矩阵

根据以上各式，可将本构方程（１４４２）变换成矩阵形式。例如，容易推导出

σｘ＝ｓｘ＋σｍ＝Ｅ

３（１－２ν）［（１＋２α）εｘ＋（１－α）εｙ＋（１－α）εｚ］

τｘｙ＝ｓｘｙ＝２３珋σεεｘｙ＝

１３珋σεγｘｙ＝

Ｅ３（１－２ν）

３２αγｘｙ

其中

α＝２（１－２ν）珋σ３Ｅε

（ａ）

同理，不难得到其他应力分量的表达式。从而有

σｘ＝Ｅ

３（１－２ν）［（１＋２α）εｘ＋（１－α）εｙ＋（１－α）εｚ］

σｙ＝Ｅ

３（１－２ν）［（１－α）εｘ＋（１＋２α）εｙ＋（１－α）εｚ］

σｚ＝Ｅ

３（１－２ν）［（１－α）εｘ＋（１－α）εｙ＋（１＋２α）εｚ］

τｘｙ＝Ｅ

３（１－２ν）３２αγｘｙ

τｙｚ＝Ｅ

３（１－２ν）３２αγｙｚ

τｚｘ＝Ｅ

３（１－２ν）３２αγ

烍

烌

烎ｚｘ

（１４４４ａ）

写成矩阵形式

σ＝Ｄｓｅｐε＝ｆ（ε） （１４４４ｂ）

其中，割线弹塑性矩阵Ｄｓｅｐ为

９５２１４１ 材料本构方程

Ｄｓｅｐ＝Ｅ

３（１－２ν）

１＋２α １－α １－α ０ ０ ０１＋２α １－α ０ ０ ０

１＋２α ０ ０ ０对 ３α／２ ０ ０

称 ３α／２ ０３α／

熿

燀

燄

燅２

（１４４５）

（４）切线弹塑性矩阵

全量理论的本构方程也可写成增量形式。若把上述各式中的ｓｉｊ，ｅｉｊ，σｍ，

εｍ，σ，ε等改写为增量形式，本构方程将变为

ｄσ＝Ｄτｅｐｄε 或 Δσ＝ＤτｅｐΔε （１４４６）

其中，Ｄτｅｐ为切线弹塑性矩阵，即

Ｄτｅｐ＝Ｅ

３（１－２ν）

１＋２α′ １－α′ １－α′ ０ ０ ０１＋２α′ １－α′ ０ ０ ０

对 １＋２α′ ０ ０ ０３α′／２ ０ ０

称 ３α′／２ ０３α′／

熿

燀

燄

燅２（１４４７）

α′＝２（１－２ν）ｄ珋σ３Ｅｄ珋ε

（５）弹塑性矩阵特例

平面问题：在平面应变条件下，非零应变分量有εｘ，εｙ，γｘｙ。此时的应力向

量和应变向量分别为

σ＝［σｘ σｙ τｘｙ］Ｔ， ε＝［εｘ εｙ γｘｙ］Ｔ

Ｄｓｅｐ不难退化为

Ｄｓｅｐ＝Ｅ

３（１－２ν）

１＋２α １－α ０对 １＋２α ０

称 ３α／

熿

燀

燄

燅２

（１４４８）

在平面应力条件下，非零应变分量有εｘ，εｙ，εｚ，γｘｙ，但εｚ 并不独立。根据

σｚ＝０，考虑式（１４４４）得

εｚ＝－１－α１＋２α

（εｘ＋εｙ）

０６２ 第１４章 材料非线性问题

代入式（１４４４），可得

Ｄｓｅｐ＝αＥ

（１－２ν）（１＋２α）

２＋α １－α ０对 ２＋α ０

称 α＋１／

熿

燀

燄

燅２

（１４４９）

轴对称问题：在轴对称情况下，非零应力向量和应变向量分别为

σ＝［σｒ σθ σｚ τｒｚ］Ｔ， ε＝［εｒ εθ εｚ γｒｚ］Ｔ

为了得到轴对称情况下的Ｄｓｅｐ，只要将空间问题Ｄｓｅｐ式（１４４５）中的最后两行和

两列划去即可，即

Ｄｓｅｐ＝Ｅ

３（１－２ν）

１＋２α １－α １－α ０１＋２α １－α ０

对 １＋２α ０称 ３α／

熿

燀

燄

燅２

（１４５０）

１４１５ 流变本构方程

通常将流变问题分为黏弹性问题（蠕变问题）和黏塑性问题。从微观机理上

讲，蠕变与黏塑性基本相似，主要区别在于与两种行为相关的时间不同：蠕变一

般以小时为测量单位，而黏塑性以秒或分为测量单位。

（１）黏弹性

假设应变率为弹性应变率与蠕变应变率之和，即

εｉｊ＝εｅｉｊ＋εｃｉｊ （１４５１）

其中应力率与弹性应变率之间符合Ｈｏｏｋｅ定律，即

σｉｊ＝Ｄｉｊｋｌεｅｋｌ 或 εｉｊ＝Ｃｉｊｋｌσｋｌ （１４５２）

蠕变应变的确定则有不同的方法。

在流变问题中，温度的影响比较显著。但是，在流变方程中通常并不显含温

度变量，而是通过测量不同温度下的材料常数来考虑温度对蠕变的影响。具体

分析时可假定参数在时段开始时突然变化，而在时段中间保持为常量。根据单

轴蠕变试验资料，蠕变应变通常可表示为

εｃ＝Ａσｍｔｎ （ａ）

其中，Ａ，ｍ，ｎ是与温度有关的材料常数。上述规律适合于描述初始阶段的蠕

变。若σ不变，则

１６２１４１ 材料本构方程

εｃ＝Ａｎσｍｔｎ－１ （ｂ）

将单轴试验中观察到的规律推广到多轴状态。例如，用等效蠕变应变珋εｃ和等效

应力珋σ代替单轴蠕变方程中的应力和应变，有

珋εｃ＝Ａ珋σｍｔｎ （ｃ）

此外，还常将蠕变应变率表示为应力和蠕变应变的某个函数，即

εｃ＝ｆ（σ，εｃ） （１４５３）

例如，对于蠕变应变与应力之间的关系，可假定流动法则依然成立

εｃｉｊ＝λｃｆσｉｊ

（ｄ）

其中，ｆ是与塑形理论相似的加载函数。将上式代入式（１４５３），再根据等效应

力公式，可以推出

λｃ＝３εｃ

２σ（ｅ）

（２）黏塑性

如果材料只在塑性阶段才呈现明显的黏性，且蠕变与塑性耦合，则假设应变

可以分解为弹性应变与黏塑性应变εηｐｉｊ两部分，应变率可表示为

εｉｊ＝εｅｉｊ＋εηｐｉｊ （１４５４）

其中应力率与弹性应变率之间符合Ｈｏｏｋｅ定律。

为确定黏塑性应变率，通常假设黏塑性应变的出现由黏塑性屈服函数ｆ控

制，屈服条件为

ｆ（σ，εηｐ，κ）＝０ （１４５５）

其中，κ为硬化参数。黏塑性流动法则为

εηｐｉｊ＝γ＜（ｆ）＞ｇσｉｊ

（１４５６）

其中，ｇ（σｉｊ）是黏塑性势函数，上式表明塑性应变率的方向就是黏塑性势面的外

法线方向。当ｇ＝ｆ时，为相关联的黏塑性流动；γ是控制塑性流动速率的流动

参数。对于ｘ＞０，（ｘ）是一个正的单调增函数。为保证在屈服面内部（ｆ＜０）

的应力状态不引起黏塑性流动，使用了符号＜ ＞，其含义是

＜（ｘ）＞＝（ｘ） ｘ≥００ ｘ＜｛ ０

（ａ）

２６２ 第１４章 材料非线性问题

若采用相关联的黏塑性流动法则，以及Ｍｉｓｅｓ屈服准则，则黏塑性应变率表

述为

εηｐｉｊ＝γ＜（珋σ－σｓ）＞ｆσｉｊ

（ｂ）

如果σｓ＝０，为指数函数，则上式可写成下列形式

εηｐｉｊ＝εｃｉｊ＝γ珋σｍｓｉｊ （１４５７）

这就是著名的Ｎｏｒｔｏｎ?Ｓｏｄｅｒｂｅｒｇ蠕变定律。

１４２ 弹塑性有限元方程

１４２１ 全量离散方程

（１）全量形式

当本构方程为全量形式时，可建立全量有限元方程。由于虚位移原理并不

要求材料为线性弹性，因此可将由割线矩阵表达的应力代入平衡方程（１２２ａ），

即

∑ｅＡｅＴ∫ΩｅＢＴσｄΩ＝Ｐ （ａ）

从而可得

Ｋｓａ＝Ｐ （１４５８）

其中

Ｋｓ＝∑ｅＡｅＴＫｅｓＡｅ， Ｋｅｓ＝∫ΩｅＢＴＤｓｅｐＢｄΩ （１４５９）

可见，割线刚度矩阵Ｋｓ与材料割线弹塑性矩阵Ｄｓｅｐ有关；而Ｄｓｅｐ取决于等

效应变珋ε，不再是常数矩阵。由于珋ε是由应变ε计算的，而ε与节点位移ａ有

关，故Ｋｓ是ａ的函数，即

Ｋｓ（ａ）ａ＝Ｐ （１４６０）

（２）增量计算

即使是非线性弹性或简单加载问题，通常也采用增量法计算。对平衡方程

（ａ）微分得

３６２１４２ 弹塑性有限元方程

∑ｅＡｅＴ∫ΩｅＢＴｄσｄεｄεｄａｅｄａ

ｅ

ｄａｄａｄΩ＝ｄＰ（ｂ）

由于

ｄσｄε＝Ｄ

τｅｐ， ｄε

ｄａｅ＝Ｂ， ｄａｅ

ｄａ＝Ａｅ

故式（ａ）可写成

ＫＴｄａ＝ｄＰ （１４６１）

其中

ＫＴ ＝∑ｅＡｅＴＫｅＴＡｅ， ＫｅＴ ＝∫ΩｅＢＴＤτｅｐＢｄΩ （１４６２）

将式（１４６１）写成有限增量形式

ＫＴΔａ＝ΔＰ （１４６３）

１４２２ 增量离散方程

采用增量本构方程进行弹塑性分析时，须将荷载分成若干增量。对于每个

荷载增量，将弹塑性方程线性化，从而把弹塑性分析分解为一系列线性问题。

设ｔ时刻的荷载为Ｐｔ，在Ｐｔ作用下的节点位移ａｔ、应力σｔ等已经求得。现

在的问题是求解ｔ＋Δｔ时刻的解答，此时的荷载水平为Ｐｔ＋Δｔ＝Ｐｔ＋ΔＰ。若

ｔ＋Δｔ时刻与外荷载平衡的应力为σｔ＋Δｔ＝σｔ＋Δσ，则虚位移原理可表述为：在

虚位移发生时，外力所做虚功等于物体的虚应变能，即

∑ｅ∫ΩｅδεＴ（σｔ＋Δσ）ｄΩ＝δａＴ（Ｐｔ＋ΔＰ） （ａ）

由于ｔ时刻的位移和应变是已知量，故

δε＝δ（εｔ＋Δε）＝δΔε， δａ＝δ（ａｔ＋Δａ）＝δΔａ （ｂ）

将单元位移和位移增量表示成节点位移和位移增量的形式

ｕ＝Ｎａｅ， Δｕ＝ＮΔａｅ （ｃ）

则

Δε＝ＢΔａｅ， δΔε＝ＢδΔａｅ， Δσ＝ＤｅｐΔε＝ＤｅｐＢΔａｅ （ｄ）

将式（ｂ），（ｃ），（ｄ）代入式（ａ），并进行单元集成得

４６２ 第１４章 材料非线性问题

ＫΔａ＝ΔＰ＋Ｑ （１４６４）

其中

Ｋ＝∑ｅＫｅ， Ｋｅ＝∫ΩｅＢＴＤｅｐＢｄΩ （１４６５）

而

Ｑ＝Ｐｔ－∑ｅ∫ΩｅＢＴσｔｄΩ

是ｔ时刻的不平衡力。如果荷载Ｐｔ及其对应的应力σｔ精确满足平衡条件，则

Ｑ＝０。在近似计算中，做不到这一点。不过，可将Ｑ 保留下来作为荷载校正

项。

１４３ 流变有限元方程

１４３１ 黏塑性问题

（１）应变增量

设已求得ｔ时刻的节点位移ａｔ，应力σｔ，黏塑性应变率εηｐｔ 和应变εηｐｔ ，现在

问题是求ｔ＋Δｔ时刻的解答。从ｔ到ｔ＋Δｔ所产生的黏塑性应变增量为

Δεηｐ＝Δｔ［（１－θ）εηｐｔ＋θεηｐｔ＋Δｔ］ （ａ）

当θ＝０时，上式为向前差分法；当θ＝１时，为向后差分法。

将黏塑性本构方程（１４５６）写成向量形式

εηｐ＝γ＜（珋σ－σｓ）＞ｆσ

（１４６６）

对εηｐ在ｔ时刻作Ｔａｙｌｏｒ展开并取线性项，则

εηｐｔ＋Δｔ＝εηｐｔ＋ＨｔΔσ （ｂ）

其中

Ｈｔ＝ｄεｄ（ ）σ ｔ

＝Ｈｔ（σｔ）

而Δσ是在Δｔ内产生的应力增量。将式（ｂ）代入式（ａ）得

Δεηｐ＝Δｔεηｐｔ＋ＣｔΔσ （１４６７）

其中

５６２１４３ 流变有限元方程

Ｃｔ＝θΔｔＨｔ （１４６８）

（２）应力增量

弹性应变增量与应力增量服从广义Ｈｏｏｋｅ定律，即

Δσ＝ＤΔεｅ＝Ｄ（Δε－Δεηｐ） （ｃ）

注意到单元应变与单元节点位移向量之间的关系

Δε＝ＢΔａｅ （ｄ）

将式（１４６７）代入式（ｃ）得

Δσ＝^Ｄ（ＢΔａｅ－εηｐｔΔｔ） （１４６９）

其中

Ｄ^＝（Ｉ＋ＤＣｔ）－１Ｄ＝（Ｄ－１＋Ｃ）－１ （１４７０）

（３）平衡方程

增量平衡方程为

∑ｅ∫ΩｅＢＴΔσｄΩ＝ΔＰ

将式（１４６９）代入上式得

ＫΔａ＝ΔＰ＋Ｒ （１４７１）

其中

Ｋ＝∑ｅＫｅ， Ｋｅ＝∫ΩｅＢＴ^ＤＢｄΩ （１４７２）

Ｒ＝∫ΩｅＢＴ^ＤεηｐｔΔｔｄΩ （１４７３）

（４）回代求解

由平衡方程（１４７１）解得节点位移增量Δａ，由式（１４６９）求得单元的应力

增量Δσ。于是

ａｔ＋Δｔ＝ａｔ＋Δａ， σｔ＋Δｔ＝σｔ＋Δσ （１４７４）

由式（ｃ），（ｄ）可得

Δεηｐ＝ＢΔａｅ－Ｄ－１Δσ

于是

εηｐｔ＋Δｔ＝εηｐｔ＋Δεηｐ （１４７５）

６６２ 第１４章 材料非线性问题

１４３２ 蠕变问题

蠕变应变率不仅取决于当时的应力应变状态，而且一般说与整个应力应变

历史有关。因此，为了确定某个时间段内的蠕变增量Δεｃ，必须知道以前所有时

段的应力应变状态。在计算过程中实际上可以获得这些数据，所以在原则上没

有什么困难。然而，实际执行起来便显露出难题，因为要存储全部应力应变史的

数据是不现实的。

如果不考虑蠕变应变εｃ对蠕变应变率εｃ的影响，则式（１４５３）成为

εｃ＝ｆ（σ） （１４７６）

将此式与黏塑性本构方程（１４６６）加以比较，可知两者在形式上完全一致。因

此，只要将上述公式中的εηｐｔ 换成εｃｔ，Δεηｐ换成Δεｃ，并令

Ｈ＝ ｆ（σ）［ ］σ ｔ

（１４７７）

即可得到蠕变分析的各种公式。

１４４ 若干实际考虑

１４４１ 弹塑性计算

（１）增量计算

在增量形式的有限元分析中，每步都要确定Ｄｅｐ和ΔＰ，而它们基于上一增

量步的计算结果，例如ｔ时刻的应力σｔ以及反映历史的等效塑性应变珔εｐｔ等。因

此，为了进行下一增量步的计算，需要根据本步算得的位移增量确定Δσ，Δ珔εｐ

等，从而得到本步结束时的弹塑性状态。

（２）特性矩阵

在弹塑性分析中，首先要判断材料是处于弹性阶段还是已进入塑性阶段。

如果处于弹性阶段，本构方程采用Ｈｏｏｋｅ定律。如果材料已进入塑性阶段，则

必须判断是加载还是卸载。如果处于卸载状态，应力减小量与应变减小量之间

服从Ｈｏｏｋｅ定律；如果材料处于塑性阶段的加载状态，则采用塑性本构方程。

可见，弹塑性增量本构方程仅在进入塑性阶段后的加载情况下成立，而在弹

性阶段或进入塑性阶段的卸载情况下要用弹性本构方程。为此，本构方程可写

成如下形式

Δσ＝ＤｔΔε （１４７８）

７６２１４４ 若干实际考虑

其中

Ｄｔ＝Ｄ ｆ＜０或ｆ＝０，Δｆ＜０Ｄｅｐ ｆ＝０，Δｆ≥烅烄烆 ０

（１４７９）

根据已求出的εｔ和σｔ可计算出物体内各点的屈服函数值ｆ，从而知道哪些

点处在弹性区，哪些点处在塑性区（当某点的ｆ＜０时，处在弹性区；ｆ＝０时处在

塑性区）。Δｆ用于判断施加下一个荷载增量时，某点是卸载还是加载。显然，

Δｆ只能在σｔ＋Δｔ求出后才能计算，而σｔ＋Δｔ现时还未求出，故无法计算Δｆ，也就

无法判断是卸载还是加载。作为第一次近似，在弹性区令Ｄｔ＝Ｄ，在塑性区

Ｄｔ＝Ｄｅｐ；σｔ＋Δｔ求出后再作修正。

１４４２ 平衡的修正

在增量分析中，求得ｔ＋Δｔ的解以后应进行平衡修正，因为σｔ＋Δｔ不是精确

值，下述平衡方程不能精确满足

∑ｅ∫ΩｅＢＴｔ＋Δｔσｔ＋ΔｔｄΩ＝Ｐｔ＋Δｔ （１４８０）

有几种方法可用来进行修正，其中最简单的方法是计算下述不平衡力，并将其叠

加到下一增量步的外荷载上去

Ψ ＝∑ｅ∫ΩｅＢＴｔ＋Δｔσｔ＋ΔｔｄΩ－Ｐｔ＋Δｔ （１４８１）

１４４３ 塑性问题求解

黏塑性模型也可方便地用来求解纯塑性问题，而且比按弹塑性问题的算法

计算更为简单。在这种算法中，施加常荷载并对时间进行积分，直至所有的应变

率均为零，此时的解即为静力塑性解。这样求解塑性问题时，时间因素并不重

要，它实际上只起着形式上的作用。

１４５ 结 语

在各种非线性问题中，材料非线性问题是最简单的。除了通常采用增量形

式外，材料非线性问题的有限元公式与线性弹性问题的没有什么不同。因此，本

章用相当的篇幅介绍了非线性的本构方程以及引入有限元方程的形式。

８６２ 第１４章 材料非线性问题

习 题

１４１ 材料非线性问题与线性弹性问题的不同点在什么地方？有限元分析中应

注意哪些问题？

１４２ 弹塑性本构理论包括哪些内容？如何推导弹塑性本构矩阵？

１４３ 简述各种流变本构理论的基本思想。

１４４ 怎样用黏塑性分析求解与时间无关的弹塑性问题？

９６２习 题

第１５

章

几何非线性问题

此前各章处理的均为小变形问题。在这种问题中，应变与位移之间的关系

式即几何方程是线性的，列平衡方程时也无需考虑物体位置和形状（简称构形）

的变化。这种小变形分析在很多情况下能够满足精度要求。然而，对于大变形

问题，要想较为精确地确定位移与应力，就必须考虑变形对平衡的影响，同时几

何方程中也应包括位移的二次项（故大变形问题也称为几何非线性问题）（文献

８７，３７，５２，８）。

在实际工程中，可能会遇到两类几何非线性问题。一种是尽管应变很小甚

至未超过弹性极限而位移却较大，例如在平板大挠度问题中，应变很小时材料线

元素可有较大的转动。这就是所谓大位移小应变问题，此时材料的本构方程可

以是线性弹性的或非线性的。另一种是大应变问题，即大应变引起大变形，属于

几何和材料双重非线性问题。

本章首先阐述大变形理论，然后介绍有限元分析方法。内容包括：（１）变形

和位移；（２）应变度量；（３）应力度量；（４）本构方程；（５）平衡方程；（６）虚功（率）原

理；（７）有限元方程。

１５１ 变形和位移

１５１１ 物体状态描述

（１）物质坐标与空间坐标

物体占有的区域称为该物体的构形。物体在ｔ＝０时刻占有的区域Ω０称

为初始构形，在当前研究的时刻占有的区域ω称为现时构形。为了描述物体的

运动或变形，需要选择某特定时刻的构形Ω作为参考构形，以确定每时刻每个

物质点的位置，据此来判断流动构形的变形程度。参考构形的意义在于运动或

变形是参考这个构形而定义的。

如何标记物质点Ｘ？简单的办法是用物质点Ｘ在参考构形中的位置Ｘ来

命名它。为此，需要建立一个物质坐标系Ｘ１Ｘ２Ｘ３。也就是说，每个物质点Ｘ都有其在参考构形中的位置Ｘ（Ｘ１，Ｘ２，Ｘ３），或说Ｘ（Ｘ１，Ｘ２，Ｘ３）标记了物质点

Ｘ。为了描述物质点的运动，需要建立一个空间坐标系ｘ１ｘ２ｘ３，物质点Ｘ在任

图１５１ 参考构形与现时构形

一时刻ｔ的空间位置由ｘ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）确定。可见，物质坐标系用于参考构形，空

间坐标系用于现时构形。为简单起见，通常是选择两个完全重合的直角坐标系

（图１５１）。于是，物质点的运动轨迹可用下列方程来描述

ｘ＝ｘ（Ｘ，ｔ）， ｘｉ＝ｘｉ（Ｘ１，Ｘ２，Ｘ３，ｔ） （ｉ＝１，２，３）

就特定的物质点Ｘ而言，上式表示该物质点的运动轨迹；而当时间ｔ固定时，上

式表示ｔ时刻物体的构形。在连续性假设下，函数ｘｉ（Ｘ１，Ｘ２，Ｘ３，ｔ）是单值、连

续的且Ｊａｃｏｂｉ行列式不等于零，即

Ｊ＝ｘｉＸｊ

＝

ｘ１Ｘ１

ｘ１Ｘ２

ｘ１Ｘ３

ｘ２Ｘ１

ｘ２Ｘ２

ｘ２Ｘ３

ｘ３Ｘ１

ｘ３Ｘ２

ｘ３Ｘ３

≠０ （１５１）

坐标Ｘｉ（ｉ＝１，２，３）是识别物质点的标志，某一特定物质点在运动中保持同

样的Ｘｉ值，故Ｘｉ称为物质坐标，也称为Ｌａｇｒａｎｇｅ坐标；坐标ｘｉ（ｉ＝１，２，３）是识

别空间点的标志，同一物质点在不同时刻可以占据不同的空间点，同一空间点在

不同时刻可以由不同的物质点所占据，故ｘｉ称为空间坐标，也称为Ｅｕｌｅｒ坐标。

若以空间坐标表示物质坐标，则有

Ｘ＝Ｘ（ｘ，ｔ）， Ｘｉ＝Ｘｉ（ｘ１，ｘ２，ｘ３，ｔ） （ｉ＝１，２，３） （１５２）

对于特定的空间点ｘ，上式表示ｔ时刻占据该空间位置的是物质点Ｘ。

（２）两种描述方式

在连续介质力学中，把以物质坐标Ｘｉ和时间ｔ作为独立自变量的描述方法

称为Ｌａｇｒａｎｇｅ描述；把以空间坐标ｘｉ和时间ｔ作为独立自变量的描述方法称为

１７２１５１ 变形和位移

Ｅｕｌｅｒ描述。Ｌａｇｒａｎｇｅ描述以物质点作为观察对象，Ｅｕｌｅｒ描述则是在介质所占

据的固定的空间点上来研究问题。

在固体力学中，Ｌａｇｒａｎｇｅ描述应用最为普遍，因为它能够很容易地处理复杂

的边界条件。在物体变形过程中，只要参考构形是已知的，就可以按Ｌａｇｒａｎｇｅ描述并在现时构形上建立基本方程。

１５１２ 变形梯度张量

（１）线元的变换

参考构形Ω中两个相邻物质点Ｘ和Ｘ＋ｄＸ，它们之间的距离为ｄＸ。到了

ｔ时刻，这两个物质点在现时构形ω中的距离是ｄｘ（图１５１）。现在，让我们研

究参考构形中微小线元ｄＸ与现时构形中相应线元ｄｘ之间的变换。显然

ｄｘ＝ｘ（Ｘ＋ｄＸ，ｔ）－ｘ（Ｘ，ｔ）＝ｘＸｄＸ＝ＦｄＸ（１５３ａ）

ｄｘｉ＝ｘｉＸｊｄＸｊ＝ＦｉｊｄＸｊ （１５３ｂ）

其中

Ｆｉｊ＝ｘｉＸｊ＝

ｘ１Ｘ１

ｘ１Ｘ２

ｘ１Ｘ３

ｘ２Ｘ１

ｘ２Ｘ２

ｘ２Ｘ３

ｘ３Ｘ１

ｘ３Ｘ２

ｘ３Ｘ

熿

燀

燄

燅３

（１５４）

可见，Ｆ反映了微小线元的变形和运动情况，故把它称为变形梯度张量，一般是

非对称的。Ｆ是一个线性变换，它把初始微元ｄＸ 变换成现时微元ｄｘ；一方面

使ｄＸ伸长，另一方面又使它旋转一个角度。此外，显然有

ｄＸ＝Ｘｘｄｘ＝Ｆ－１ｄｘ （１５５）

（２）体元的变换

在参考构形Ω中取微小长方体元，其边长分别为ｄＸ１，ｄＸ２，ｄＸ３，微元体积为

ｄΩ＝ｄＸ１ｄＸ２ｄＸ３在现时构形ω中，该微元体变为由ａ，ｂ，ｃ三个有向线元组成的微小平行六面体

元ｄω（图１５２）

２７２ 第１５章 几何非线性问题

图１５２ 体元变换

ａ＝ｘ１Ｘ１ｄＸ１ｅ１＋

ｘ２Ｘ１ｄＸ１ｅ２＋

ｘ３Ｘ１ｄＸ１ｅ３

ｂ＝ｘ１Ｘ２ｄＸ２ｅ１＋

ｘ２Ｘ２ｄＸ２ｅ２＋

ｘ３Ｘ２ｄＸ２ｅ３

ｃ＝ｘ１Ｘ３ｄＸ３ｅ１＋

ｘ２Ｘ３ｄＸ３ｅ２＋

ｘ３Ｘ３ｄＸ３ｅ

烍

烌

烎３

于是

ｄω＝ａ·ｂ×ｃ＝

ｘ１Ｘ１ｄＸ１

ｘ２Ｘ１ｄＸ１

ｘ３Ｘ１ｄＸ１

ｘ１Ｘ２ｄＸ２

ｘ２Ｘ２ｄＸ２

ｘ３Ｘ２ｄＸ２

ｘ１Ｘ３ｄＸ３

ｘ２Ｘ３ｄＸ３

ｘ３Ｘ３ｄＸ３

＝ＪｄＸ１ｄＸ２ｄＸ３

即

ｄω＝ＪｄΩ （１５６）

（３）面元的变换

现时构形ω中的微小面元用ｄａ表示，其法线方向余弦为ｎｉ；在参考构形

Ω中与ｎｉｄａ相应的有向面元用ＮｉｄＡ 表示，Ｎｉ为面元的法线方向余弦。这里

不加证明地给出

ｎｉｄａ＝ＪＮｌＦ－１ｌｉｄＡ 或 ｎｄａ＝ＪＦ－ＴＮｄＡ （１５７）

１５１３ 位移梯度张量

（１）Ｌａｇｒａｎｇｅ描述

若一物质点在参考构形Ω 中的位置为Ｘ，在现时构形ω中的位置为ｘ，则

３７２１５１ 变形和位移

物质点Ｘ的位移为（图１５３）

ｕ＝ｘ－Ｘ， ｘ＝Ｘ＋ｕ （１５８）

代入式（１５３）得

ｄｘ＝（Ｉ＋Ｈ）ｄＸ， ｄｘｉ＝ δｉｊ＋ｕｉＸ（ ）ｊｄＸｊ （１５９）

其中，Ｉ为单位张量；而

Ｈｉｊ＝ｕｉＸｊ＝

ｕ１Ｘ１

ｕ１Ｘ２

ｕ１Ｘ３

ｕ２Ｘ１

ｕ２Ｘ２

ｕ２Ｘ３

ｕ３Ｘ１

ｕ３Ｘ２

ｕ３Ｘ

熿

燀

燄

燅３

（１５１０）

Ｈ称为位移梯度张量。比较式（１５３）与（１５９），可知

Ｆ＝Ｉ＋Ｈ （１５１１）

图１５３ 物质点的位移

（２）Ｅｕｌｅｒ描述

式（１５８）可写成

Ｘ＝ｘ－ｕ

代入式（１５５）得

ｄＸ＝（Ｉ－ｈ）ｄｘ， ｄＸｉ＝ δｉｊ－ｕｉｘ（ ）ｊｄｘｊ （１５１２）

其中

４７２ 第１５章 几何非线性问题

ｈｉｊ＝ｕｉｘｊ＝

ｕ１ｘ１

ｕ１ｘ２

ｕ１ｘ３

ｕ２ｘ１

ｕ２ｘ２

ｕ２ｘ３

ｕ３ｘ１

ｕ３ｘ２

ｕ３ｘ

熿

燀

燄

燅３

（１５１３）

ｈ也称为位移梯度张量。比较式（１５５）与（１５１２），可知

Ｆ－１＝Ｉ－ｈ （１５１４）

１５１４ 刚体运动描述

任何刚体运动都可以表示为平动ｘＴ（ｔ）和绕原点的转动，即

ｘ（Ｘ，ｔ）＝Ｒ（ｔ）Ｘ＋ｘＴ（ｔ） （１５１５）

其中，Ｒ（ｔ）是转动张量或转动矩阵，它是一个正交矩阵，即它的转置矩阵等于其

逆矩阵。现证明如下：

对式（１５１５）求微分，注意到平动的微分为零，有

ｄｘ＝ＲｄＸ （ａ）

因而

ｄｘＴｄｘ＝ｄＸＴＲＴＲｄＸ （ｂ）

由于刚体转动不改变长度，故对于任意ｄＸ，应有

ｄｘＴｄｘ＝ｄＸＴｄＸ

故由式（ｂ）可知

ＲＴＲ＝Ｉ （１５１６）

可见，转动矩阵Ｒ（ｔ）是正交矩阵。

１５１５ 物理量的导数

当物质坐标固定时，对时间的导数称为物质时间导数，简称物质导数。按定

义，物理量Ｇ的物质导数为

Ｇ＝Ｇｔ＋

Ｇｘｉｘｉｔ＝

Ｇｔ＋ｖｉ

Ｇｘｉ

（１）速度

速度ｖ（Ｘ，ｔ）是物质点Ｘ的位置矢量的变化率，即当Ｘ保持不变时，位置

５７２１５１ 变形和位移

矢量ｘ对时间的导数

ｖ（Ｘ，ｔ）＝ｘｔ＝（Ｘ＋ｕ）ｔ ＝ｕｔ≡

ｕ （１５１７）

（２）加速度

物质点的加速度即速度的物质导数，其表达式为

ａ（Ｘ，ｔ）＝ｖ（Ｘ，ｔ）ｔ ＝

２ｕｔ２≡̈ｕ

（１５１８）

１５２ 应 变 度 量

１５２１ Ｇｒｅｅｎ应变

（１）定义

考察在参考构形Ω和现时构形ω中任意微元线元ｄＳ和ｄｓ，有

（ｄＳ）２＝（ｄＸ１）２＋（ｄＸ２）２＋（ｄＸ３）２＝ｄＸＴｄＸ （ａ）

（ｄｓ）２＝（ｄｘ１）２＋（ｄｘ２）２＋（ｄｘ３）２＝ｄｘＴｄｘ （ｂ）

注意到式（１５３），有

（ｄｓ）２＝ｄＸＴＦＴＦｄＸ

线元长度平方的改变量为

（ｄｓ）２－（ｄＳ）２＝ｄＸＴＦＴＦｄＸ－ｄＸＴＩｄＸ＝ｄＸＴ（ＦＴＦ－Ｉ）ｄＸ

Ｇｒｅｅｎ应变张量定义为

Ｅ＝１２（ＦＴＦ－Ｉ）＝１２

（Ｃ－Ｉ） （１５１９）

其中

Ｃ＝ＦＴＦ （１５２０）

称为右Ｃａｕｃｈｙ?Ｇｒｅｅｎ变形张量。将式（１５１１）代入式（１５１９）得

Ｅ＝１２（Ｈ＋ＨＴ＋ＨＴＨ） （１５２１ａ）

Ｅｉｊ＝１２

（Ｈｉｊ＋Ｈｊｉ＋ＨｋｉＨｋｊ）＝１２ｕｉＸｊ＋ｕｊＸｉ＋ｕｋＸｉｕｋＸ（ ）ｊ

（１５２１ｂ）

分析表明（文献３７），Ｇｒｅｅｎ应变分量虽然没有明显的几何意义，但把它们应

６７２ 第１５章 几何非线性问题

用于小变形情况时，与无限小应变分量的几何意义完全一样。

（２）客观性

对应于任何刚体运动，与形变有关的物理量（例如应变、应力等）的度量必须

为零，这就是所谓客观性要求。小变形问题中采用的无限小应变不能消除刚体

运动的影响，因而无法度量大变形物体的变形状态（例题１５２）；而Ｇｒｅｅｎ应变

张量是客观张量，适用于描述大变形物体（例题１５１）。

【例题１５１】 试证明Ｇｒｅｅｎ应变张量是客观张量。

解 设物体发生刚体运动，即

ｘ（Ｘ，ｔ）＝Ｒ（ｔ）Ｘ＋ｘＴ（ｔ）

则

Ｆ＝ｘＸ＝Ｒ

Ｅ＝１２（ＦＴＦ－Ｉ）＝１２

（ＲＴＲ－Ｉ）＝０

可见，刚体运动情况下的Ｇｒｅｅｎ应变为零，因此可用来度量大转动时物体的变形

状态。

图１５４ 单元转动

【例题１５２】 设一平面单元绕原点发生刚

体转动，转角为θ（图１５４）。试计算小变形条件

下定义的工程应变。

解 这里发生的纯转动可表示为

ｘ＝ＲＸ

或

ｘ｛ ｝ｙ ＝ｃｏｓθ －ｓｉｎθｓｉｎθ ｃｏｓ

［ ］θ

Ｘ｛ ｝Ｙ位移为

ｕｘｕ烅烄

烆烍烌

烎ｙ＝ｃｏｓθ－１ －ｓｉｎθｓｉｎθ ｃｏｓθ

［ ］－１

Ｘ｛ ｝Ｙ代入线性几何方程得

７７２１５２ 应 变 度 量

εｘ＝ｕｘＸ＝ｃｏｓθ－１

εｙ＝ｕｙＹ＝ｃｏｓθ－１

γｘｙ＝ｕｘＹ＋

ｕｙＸ

烍

烌

烎＝０

根据上式，如果θ较大，刚体转动时的正应变不能视为零。可见，此时线性

几何方程不能采用，需要按几何非线性考虑。显然，上式暗示了转动多大才需按

几何非线性问题对待，因为它表达了存在转动时按小变形分析带来的误差。将

ｃｏｓθ展开成Ｔａｙｌｏｒ级数，代入应变算式

εｘ＝ｃｏｓθ－１＝１－θ２２＋Ｏ

（θ４）－１≈－θ２

２

可见，按小变形计算时，应变误差是二阶的。若转动量级为１０－２弧度，则应

变误差量级为１０－４。若感兴趣的应变量级是１０－２，能够接受的误差为１％，则

转动量级不超过１０－２弧度时可按小变形分析。若感兴趣的应变量级是１０－４，那

么为满足１％的误差，转动量级不超过１０－３弧度时才可按小变形分析。

１５２２ Ａｌｍａｎｓｉ应变张量

根据式（１５５），有

（ｄＳ）２＝ｄＸＴｄＸ＝ｄｘＴＦ－ＴＦ－１ｄｘ

于是，线元长度平方的改变量为

（ｄｓ）２－（ｄＳ）２＝ｄｘＴＩｄｘ－ｄｘＴＦ－ＴＦ－１ｄｘ＝ｄｘＴ（Ｉ－Ｆ－ＴＦ－１）ｄｘ

Ａｌｍａｎｓｉ应变张量定义为

ｅ＝１２（Ｉ－Ｆ－ＴＦ－１） （１５２２）

将式（１５１４）代入上式得

ｅ＝１２（ｈ＋ｈＴ＋ｈＴｈ） （１５２３ａ）

ｅｉｊ＝１２

（ｈｉｊ＋ｈｊｉ＋ｈｋｉｈｋｊ）＝１２ｕｉｘｊ＋ｕｊｘｉ＋ｕｋｘｉｕｋｘ（ ）ｊ

（１５２３ｂ）

不难证 明 Ａｌｍａｎｓｉ应 变 张 量 也 是 客 观 张 量。此 外，Ｇｒｅｅｎ应 变 张 量 和

Ａｌｍａｎｓｉ应变张量之间存在如下关系

８７２ 第１５章 几何非线性问题

Ｅ＝ＦＴｅＦ， ｅ＝Ｆ－ＴＥＦ－１ （１５２４）

如果位移分量ｕｉ及其一阶偏导数是小量，则一阶偏导数的乘积可忽略，变

形前后坐标的差别也不需考虑。此时，Ｇｒｅｅｎ应变式（１５２１）和Ａｌｍａｎｓｉ应变式

（１５２３）均退化成小变形情况下的无限小应变，即

εｉｊ＝１２ｕｉｘｊ＋ｕｊｘ（ ）ｉ

１５２３ 变形率与应变率

（１）变形率ｄ定义速度梯度张量ｌ

ｌ＝ｖｘ， ｌｉｊ＝

ｖｉｘｊ

（１５２５）

ｌ可以分解为对称部分和反对称部分

ｌ＝１２（ｌＴ＋ｌ）－１２

（ｌＴ－ｌ）＝ｄ－ω （１５２６）

其中的对称部分定义为变形率张量ｄ，反对称部分定义为旋转率张量ω，即

ｄ＝１２（ｌＴ＋ｌ） 或 ｄｉｊ＝

１２ｖｊｘｉ＋ｖｉｘ（ ）ｊ

（１５２７）

ω＝１２（ｌＴ－ｌ） 或 ωｉｊ＝

１２ｖｊｘｉ－ｖｉｘ（ ）ｊ

（１５２８）

ｄ可写成

ｄｉｊ＝１２ｕｊｘｉ＋ｕｉｘ（ ）ｊ＝１２

ｔｕｊｘｉ＋ｕｉｘ（ ）ｊ

（１５２９）

在物理上，它所代表的是真应变的瞬时变化率。

（２）应变率Ｅ·

根据式（１５１９），Ｇｒｅｅｎ应变率张量为

Ｅ·

＝１２（ＦＴＦ

·

－Ｆ·ＴＦ） （１５３０）

为推导变形率ｄ与Ｇｒｅｅｎ应变率Ｅ·

之间的关系，对式（１５２５）作如下变化

ｌ＝ｖｘ＝ｖＸＸｘ＝

ｔｕ（ ）Ｘ Ｘｘ＝Ｆ

·

Ｆ－１ （１５３１）

９７２１５２ 应 变 度 量

故

ｄ＝１２（ｌＴ＋ｌ）＝１２

（Ｆ－ＴＦ·Ｔ＋Ｆ

·

Ｆ－１） （１５３２）

根据式（１５３０）和（１５３２），不难推导如下关系式

Ｅ·

＝ＦＴｄＦ， Ｅ·

ｉｊ＝ｘｋＸｉｘｌＸｊｄｋｌ （１５３３）

ｄ＝Ｆ－ＴＥ·

Ｆ－１， ｄｉｊ＝ＸｋｘｉＸｌｘｊＥ

·

ｋｌ （１５３４）

１５３ 应 力 度 量

１５３１ Ｃａｕｃｈｙ应力

外力是在变形后的物体上与其引起的内力达到平衡的。因此，应该以变形

后物体内的面元定义应力，并从变形后物体内取微元体来建立平衡微分方程和

应力边界条件。在小变形条件下，物体变形前后的构形没有明显的差别，因此无

论是应力的定义还是平衡方程的建立，均不考虑物体变形的影响。然而，在大变

形问题中就不能在忽略变形的影响了。

设物体的现时构形中有一微小面元向量ｎｄａ，面元上作用着面力ｄｔ，其分

量为ｄｔｉ。Ｃａｕｃｈｙ应力定义为

ｔ（ｎ）ｉ ＝ｌｉｍ

ｄａ→０

ｄｔｉｄａ

（１５３５）

若该面元与３个平行于坐标面的微小面元ｎｊｄａ构成一微小四面体，则由该四

面体的平衡条件可得

ｄｔｉ＝σｊｉｎｊｄａ， ｄｔ＝σＴｎｄａ

σｉｊ＝σｊｉ， σ＝σ烍烌

烎Ｔ（１５３６）

故面元ｎｄａ上的应力为

ｔ（ｎ）ｉ ＝σｊｉｎｊ， ｔ（ｎ）＝σＴｎ （１５３７）

其中

σｉｊ＝

σ１１ σ１２ σ１３σ２１ σ２２ σ２３σ３１ σ３２ σ

熿

燀

燄

燅３３

（１５３８）

０８２ 第１５章 几何非线性问题

这就是Ｃａｕｃｈｙ应力张量。Ｃａｕｃｈｙ应力是一种基于现时构形中变形后单位面积

的应力，因此称为真应力。

１５３２ ＰＫ１应力

尽管Ｃａｕｃｈｙ应力是真应力，但应用起来比较困难，因为求解问题需要给出

边界条件，而现时构形的边界事先并不知道。实际中，采用Ｌａｇｒａｎｇｅ描述的工

程应力比较方便。为此，用ｄＴ＝ｄｔ和ＮｄＡ定义新的应力，即仍用现时构形中

面元ｎｄａ上的作用力，而ＮｄＡ则是参考构形中与ｎｄａ相应的面元（图１５５）。

仿照Ｃａｕｃｈｙ应力，可得

ｄＴｉ＝ｄｔｉ＝ＰｊｉＮｊｄＡ， ｄＴ＝ｄｔ＝ＰＴＮｄＡ （１５３９）

Ｐｉｊ＝

Ｐ１１ Ｐ１２ Ｐ１３Ｐ２１ Ｐ２２ Ｐ２３Ｐ３１ Ｐ３２ Ｐ

熿

燀

燄

燅３３

（１５４０）

Ｐ称为第一Ｐｉｏｌａ?Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ应力张量，简称ＰＫ１应力张量。

根据式（１５７）即ｎｄａ＝ＪＦ－ＴＮｄＡ，有

ｄｔ＝σＴｎｄａ＝ＪσＴＦ－ＴＮｄＡ （１５４１）

比较式（１５３９）和（１５４１），并注意到σ的对称性，有

Ｐ＝ＪＦ－１σ， Ｐｉｊ＝ＪＦ－１ｉｋσｋｊ （１５４２）

注意到σ是对称张量，Ｆ－１是非对称张量，故ＰＫ１应力张量Ｐ是非对称张

量。这种应力张量不适用于描述本构方程，因为应变张量总是对称的。此外，当

物体发生刚体转动时，ｄｔｉ将发生变化而ｄＡ，Ｎｊ不变，故根据式（１５３９），Ｐ将

随刚体转动而发生变化，这表明Ｐ不是客观张量。

图１５５ 二维ＰＫ１应力的定义 １５６ 二维ＰＫ２应力的定义

１５３３ ＰＫ２应力

Ｐ是非对称、非客观张量，不能用于本构方程。为此，可用参考构形中的面

１８２１５３ 应 力 度 量

元ＮｄＡ和作用力ｄＴ来定义应力张量，而ｄＴ就是像微小线元那样“伸长和旋

转”了的ｄｔ，即（图１５６）

ｄＴｉ＝Ｘｉｘｊｄｔｊ， ｄＴ＝Ｆ－１ｄｔ （１５４３）

于是，仿照Ｃａｕｃｈｙ应力，可得

ｄＴｉ＝ＳｊｉＮｊｄＡ， ｄＴ＝ＳＴＮｄＡ （１５４４）

Ｓｉｊ＝

Ｓ１１ Ｓ１２ Ｓ１３Ｓ２１ Ｓ２２ Ｓ２３Ｓ３１ Ｓ３２ Ｓ

熿

燀

燄

燅３３

（１５４５）

Ｓ称为第二Ｐｉｏｌａ?Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ应力张量，简称ＰＫ２应力张量。

根据上述定义，不难推导出Ｓ与σ，Ｓ与Ｐ之间的下述关系式

Ｓ＝ＪＦ－１σＦ－Ｔ， Ｓｉｊ＝ＪＸｉｘｋＸｊｘｌσｋｌ （１５４６）

Ｓ＝ＰＦ－Ｔ， Ｓｉｊ＝ＰｉｋＸｊｘｋ

（１５４７）

在ＰＫ２应力的定义中，联系变形前后面元ｄＡ和ｄａ上作用力ｄＴｉ和ｄｔｉ的

关系式，与联系变形前后线段微元ｄＸｉ和ｄｘｉ的关系是相同的。这样，当物体发

生刚体位移时，ｄｔｉ 将发生变化而ｄＴｉ 总是不变。因参考构形中的ｄＡ，Ｎｊ 不

变，故根据式（１５４４），Ｓｉｊ也不随刚体位移而变，即为客观张量。

１５３４ 应力速率张量

为了建立率形式的本构方程，在连续介质力学中，定义了多种不随刚体转动

而改变的速率型对称应力张量，例如Ｊａｕｍａｎｎ率、Ｔｒｕｅｓｄｅｌｌ率和Ｇｒｅｅｎ?Ｎａｇｈｄｉ率。这里仅给出Ｊａｕｍａｎｎ应力速率张量的定义式

σＪｉｊ＝σｉｊ－σｉｋωｋｊ－σｋｊωｋｉ （１５４８ａ）

σＪ＝σ－σω－ωＴσ （１５４８ｂ）

其中，ωｉｊ是转动张量。

可以证明，Ｊａｕｍａｎｎ应力速率张量是客观的对称张量，在物理上所代表的是

真应力的瞬时变化率。

２８２ 第１５章 几何非线性问题

１５４ 本 构 方 程

１５４１ 客观性原理

当物体发生大变形时，用于度量小变形情况的应力和应变不再适合于描述

本构关系，须基于前面定义的应力和应变建立大变形本构方程。在现代连续介

质力学中，特别重视建立本构方程所应遵循的客观性原理。该原理也称为标架

无关性原理，是指本构方程与参考标架的任意变动无关，或者说与持有不同时钟

和进行不同运动的观察者无关。

关于张量的客观性，有两种不同的观点。设对物体施加刚性转动，转动张量

为Ｒ。如果转动前后的张量Ｔ，Ｔ^具有如下关系

Ｔ^＝ＲＴＲＴ

则Ｔｒｕｅｓｄｅｌｌ学派称Ｔ是客观的。

然而，Ｈｉｌｌ认为在刚性转动后形式不变的物理量才是客观的。Ｇｒｅｅｎ应变张

量Ｅ，ＰＫ２应力张量Ｓ就是在这种意义上具有客观性。例如，施加刚性转动Ｒ

后，Ｆ^＝ＲＦ，于是有

Ｅ^＝１２（Ｆ^ＴＦ^－Ｉ）＝１２

（ＦＴＲＴＲＦ－Ｉ）＝１２（ＦＴＦ－Ｉ）＝Ｅ

不过，这两种观点应用到本构方程客观性问题上，结论是一致的。

此外，由于固体材料的应力应变关系取决于变形历史，故本构方程通常以物

质坐标表示，以便能够追踪物质点的运动和材料单元的变形历史。

１５４２ 大位移小应变

Ｓ与Ｅ都是客观的对称张量，而且在小应变情况下，它们在数值上就等于

工程应力和工程应变。这样，大转动小应变时的本构方程与小变形情况下的本

构方程具有相同的形式和材料常数，只是要用Ｓ和Ｅ代替小变形时的应力和应

变即可。

（１）线性弹性

在大转动小应变条件下表现为线性弹性的材料称为Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ材料，其本构

方程为

Ｓｉｊ＝ＤｉｊｋｌＥｋｌ （１５４９）

其中，Ｄｉｊｋｌ为弹性本构张量。对于各向同性材料，有

３８２１５４ 本 构 方 程

Ｓｉｊ＝λＥｋｋδｉｊ＋２ＧＥｉｊ （１５５０）

λ＝ νＥ（１＋ν）（１－２ν）， Ｇ＝ Ｅ

２（１＋ν）

弹性常数Ｅ，Ｇ，ν由通常小变形条件下的材料试验确定。式（１５５０）可写成矩

阵形式

Ｓ＝ＤＥ （１５５１）

其中，Ｄ为弹性矩阵，见第２章式（２７）；Ｓ，Ｅ分别为ＰＫ２应力向量和Ｇｒｅｅｎ应

变向量（符号与相应的张量相同，但具体场合下不难区分张量与向量）

Ｓ＝［Ｓ１１ Ｓ２２ Ｓ３３ Ｓ１２ Ｓ２３ Ｓ３１］Ｔ

Ｅ＝［Ｅ１１ Ｅ２２ Ｅ３３ ２Ｅ１２ ２Ｅ２３ ２Ｅ３１］Ｔ

由于几何非线性分析采用增量形式，故本构方程也写成增量形式，即

ΔＳｉｊ＝ＤτｉｊｋｌΔＥｋｌ 或 ΔＳ＝ＤτΔＥ （１５５２）

显然，线性弹性情况下的切线本构张量Ｄτｉｊｋｌ恒等于Ｄｉｊｋｌ。

（２）非线性弹性

对于非线性弹性材料，应力Ｓｉｊ与应变能密度函数ＷＥ（Ｅｉｊ）（其函数形式与

小变形情况下的完全相同）之间存在下述关系

Ｓｉｊ＝ＷＥＥｉｊ

（１５５３）

切线本构张量为

Ｄτｉｊｋｌ＝ＳｉｊＥｋｌ

＝２ＷＥＥｉｊＥｋｌ

（１５５４）

（３）弹塑性

对于弹塑性材料，本构方程以增量形式给出

ΔＳｉｊ＝ＤｅｐｉｊｋｌΔＥｉｊ 或 ΔＳ＝ＤｅｐΔＥ （１５５５）

其中，Ｄｅｐｉｊｋｌ是弹塑性本构张量；Ｄｅｐ是弹塑性本构矩阵（见第１４章）。需要注意的

是，本构矩阵与应力向量有关，其中须用Ｓ代替小应变情况下的工程应力向量。

１５４３ 大位移大应变

（１）非线性弹性

对于大应变下的非线性弹性材料，假定存在应变能密度函数ω（是Ｅｉｊ的解

析函数），且ＰＫ２应力Ｓ与Ｇｒｅｅｎ应变Ｅ具有如下关系

４８２ 第１５章 几何非线性问题

Ｓｉｊ＝ωＥｉｊ

＝２ωＣｉｊ（１５５６）

切线本构张量为

Ｄτｉｊｋｌ＝ＳｉｊＥｋｌ

＝ ２ωＥｉｊＥｋｌ

（１５５７）

通常称具有上述性质的材料为超弹性材料。其中的ω可用右Ｃａｕｃｈｙ?Ｇｒｅｅｎ变

形张量Ｃ的不变量Ｉ１，Ｉ２，Ｉ３表示。例如，适用于橡胶材料的Ｍｏｏｎｅｙ?Ｒｉｖｌｉｎ模

型表示为

ω＝Ａ（Ｉ１－３）＋Ｂ（Ｉ２－３）＋Ｃ（１／Ｉ２３－１）＋Ｄ（Ｉ３－１） （１５５８）

其中

Ｃ＝１２Ａ＋Ｂ， Ｄ＝Ａ

（５ν－２）＋Ｂ（１１ν－５）２（１－２ν）

超弹性材料（例如橡胶类材料）大多是几乎不可压缩材料，其泊松比ν一般在

０４８～０５之间（不包含０５）。

（２）弹塑性

在大应变情况下，为了反映与加载历史的相关性，通常采用速率型弹塑性本

构方程。我们知道，Ｃａｕｃｈｙ应力的Ｊａｕｍａｎｎ导数σＪｉｊ和变形率ｄｉｊ分别代表真实

应力和真实应变的瞬时速率，因此弹塑性本构方程可表示为

σＪｉｊ＝Ｄｅｐｉｊｋｌｄｋｌ （１５５９）

写成矩阵形式

σＪ＝Ｄｅｐｄ （１５６０）

其中

σＪ＝［σＪ１１ σＪ２２ σＪ３３ σＪ１２ σＪ２３ σＪ３１］Ｔ

ｄ＝［ｄ１１ ｄ２２ ｄ３３ ２ｄ１２ ２ｄ２３ ２ｄ３１］烍烌

烎Ｔ

其中弹塑性本构矩阵在形式上与小应变的完全相同（见第１４章），只要把其中的

应力偏量和等效应力分别改用Ｃａｕｃｈｙ应力偏量和等效的Ｃａｕｃｈｙ应力即可。此

外，为确定本构矩阵中的硬化函数Ａ，须进行大应变单向拉伸试验，用真实应力

和真实应变（对数应变）描述材料行为。

必须指出，不能用Ｃａｕｃｈｙ应力的物质导数σｉｊ和变形率ｄｉｊ来建立率形式的

本构方程，因为ｄｉｊ是客观张量而σｉｊ不是客观率。例如，受初应力σ０ｉｊ作用的物体

发生转动时，变形率ｄｉｊ为零；而应力分量在转动中将发生变化，即应力的物质导

５８２１５４ 本 构 方 程

数σｉｊ非零，故σｉｊ＝Ｄｅｐｉｊｋｌｄｋｌ无效。

１５５ 平 衡 方 程

荷载作用下的物体是在变形后的现时构形ω上达到平衡的。因此，平衡方

程（包括平衡微分方程和应力边界条件）应该在现时构形中列出。在小变形情况

下之所以在初始构形上给出平衡方程，是因为此时可忽略初始构形和现时构形

的差别；而在大变形情况下，忽略这种差别是不允许的。

如果在现时构形中任取一微小六面体单元，其面与坐标面平行，那么与小变

形问题类似，有限变形问题的平衡微分方程表示Ｃａｕｃｈｙ应力分量与体力分量之

间的关系。在边界处取微小四面体，则应力边界条件表示Ｃａｕｃｈｙ应力分量与面

力分量之间的关系。在现时构形中，物体的全部边界、面力边界和位移边界分别

为ａ，ａσ和ａｕ。根据平衡原理可得

σｊｉｘｊ＋ｆｉ＝ρｖｉ 在ω内 （１５６１）

σｊｉｎｊ＝珔ｐｉ 在ａσ上 （１５６２）

其中，ｆｉ，珔ｐｉ分别为现时构形中的体力分量、面力分量；ρ是现时构形的质量密

度；ｖｉ是加速度分量。

１５６ 微分方程弱形式

在几何非线性问题中，建立有限元方程的步骤和形式与线性问题或材料非

线性问题是相似的，即从平衡微分方程和应力边界条件的等效积分形式出发，通

过分部积分建立弱形式（虚功原理或虚功率原理）；然后在弱形式的基础上推导

有限元离散方程。

１５６１ 虚功率原理

设几何方程、位移边界条件和本构方程事先得到满足，现研究定解问题的弱

形式。取虚速度即速度的变分δｖｉ为任意函数，则式（１５６１），（１５６２）的等效积

分形式为

－∫ωσｊｉｘｊ＋ｆｉ－ρｖ（ ）ｉδｖｉｄω＋∫ａσ（ｎｊσｊｉ－珔ｐｉ）δｖｉｄａ＝０ （ａ）

对上式中的第一项进行分部积分

６８２ 第１５章 几何非线性问题

∫ωσｊｉｘｊδｖｉｄω＝∫ω

ｘｊ（σｊｉδｖｉ）－σｊｉ

（δｖｉ）ｘ［ ］ｊｄω （ｂ）

根据散度定理，有

∫ω ｘｊ（σｊｉδｖｉ）ｄω＝∫ａｎｊσｊｉδｖｉｄａ （ｃ）

由于δｖｉ在速度或位移边界上为零，因此上式可写成

∫ω ｘｊ（σｊｉδｖｉ）ｄω＝∫ａσｎｊσｊｉδｖｉｄａ （ｄ）

将上式代入式（ｂ），再代入式（ａ）得

∫ωσｊｉ（δｖｉ）ｘｊ

ｄω＋∫ωρｖｉδｖｉｄω－∫ωｆｉδｖｉｄω－∫ａσ珔ｐｉδｖｉｄａ＝０ （ｅ）

注意到σｉｊ的对称性以及变形率ｄｉｊ＝１２ｖｉｘｊ＋ｖｊｘ（ ）ｉ

，不难推得上式第一项为

∫ωσｊｉ（δｖｉ）ｘｊ

ｄω＝∫ωσｉｊδｄｉｊｄω于是，式（ｅ）成为用Ｃａｕｃｈｙ应力和变形率表示的虚功率方程

∫ωσｊｉδｄｉｊｄω＋∫ωρｖｉδｖｉｄω－∫ωｆｉδｖｉｄω－∫ａσ珔ｐｉδｖｉｄａ＝０ （１５６３ａ）

对于静力学问题有

∫ωσｊｉδｄｉｊｄω－∫ωｆｉδｖｉｄω－∫ａσ珔ｐｉδｖｉｄａ＝０ （１５６３ｂ）

以下为公式简洁起见，只考虑静力问题（增加惯性项不会引起任何困难）。

该虚功率方程要求在现时构形ω上积分，而现时构形是未知的且随变形而

不断变化，现时构形中的体力分量ｆｉ和面力分量珔ｐｉ也是未知的。因此，在固体

力学中，上述方程很少应用。由于在已知的参考构形上易于描述边界条件，故可

考虑将式（１５６３）转换为参考构形上的积分公式。为此，将式（１５３４），（１５４６）

分别写为

ｄｉｊ＝Ｆ－ＴｉｋＥ·

ｋｌＦ－１ｌｊ ， Ｓｉｊ＝ＪＦ－１ｉｋσｋｌＦ－Ｔｌｊ从而有

∫ωσｊｉｄｉｊｄω＝∫ΩＪＦ－１ｌｊσｊｉＦ－ＴｉｋＥ·

ｋｌｄΩ＝∫ΩＳｌｋＥ·

ｋｌｄΩ＝∫ΩＳｊｉＥ·

ｉｊｄΩ

７８２１５６ 微分方程弱形式

用许可的变形率δｄｉｊ及相应的应变率δＥ·

ｉｊ分别代替上式中的ｄｉｊ和Ｅ·

ｉｊ，上式自然

也是成立的，从而有

∫ωσｊｉδｄｉｊｄω＝∫ΩＳｌｋδＥ·

ｋｌｄΩ （ａ）

假定荷载是保守的，即在物体运动过程中荷载的大小和方向都不变。若在

参考构形Ω中，全部边界、面力边界和位移边界分别用Ａ，Ａσ 和Ａｕ 表示；体力

分量、面力分量分别用Ｆｉ，珚Ｐｉ表示，则有

ＦｉｄΩ＝ｆｉｄω， 珚ＰｉｄＡ＝珔ｐｉｄａ

从而

∫ωｆｉδｖｉｄω＝∫ΩＦｉδｖｉｄΩ， ∫ａσ珔ｐｉδｖｉｄａ＝∫Ａσ珚ＰｉδｖｉｄＡ （ｂ）

将式（ａ），（ｂ）代入式（１５６３），便得到用ＰＫ２应力Ｓ和Ｇｒｅｅｎ应变率Ｅ·

表示的虚

功率方程

∫ΩＳｊｉδＥ·

ｉｊｄΩ－∫ΩＦｉδｖｉｄΩ－∫Ａσ珚ＰｉδｖｉｄＡ＝０ （１５６４）

１５６２ 虚位移原理

式（１５６４）乘以时间微元ｄｔ，可得用ＰＫ２应力Ｓ和Ｇｒｅｅｎ应变Ｅ表示的虚

功方程

∫ΩＳｊｉδΔＥｉｊｄΩ－∫ΩＦｉδΔｕｉｄΩ－∫Ａσ珚ＰｉδΔｕｉｄＡ＝０ （１５６５ａ）

或

∫ΩＳｊｉδΔＥｉｊｄΩ＝δΔＷ （１５６５ｂ）

其中，δΔＷ 为外力虚功增量，即

δΔＷ ＝∫ΩＦｉδΔｕｉｄΩ＋∫Ａσ珚ＰｉδΔｕｉｄＡ可见，Ｃａｕｃｈｙ应力σ与变形率ｄ，ＰＫ２应力Ｓ与Ｇｒｅｅｎ应变率Ｅ

·在功率上

都是共轭变量；Ｓ与Ｅ在功上是共轭变量。事实上，能量的度量必定与参考框

架无关，即它是客观的。在实际问题分析中，为保证应变能密度的客观性，应力

８８２ 第１５章 几何非线性问题

和应变必须共轭，即无论应力和应变采取什么样的度量形式，它们必须使应变能

保持客观性，即两者之积给出功或功率（在功率上共轭的变量也可以说在功或能

量上是共轭的）的真实描述。

１５７ 有限元离散方程

１５７１ 两种格式

几何非线性有限元分析一般采用增量法，其任务是确定物体在一系列离散

时间点０，Δｔ，２Δｔ，⋯处于平衡状态的位移、应变、应力等力学参量。设物体ｔ时

刻以前的解均已得到，当前的任务是建立方程以求解时刻ｔ＋Δｔ的各未知量。

变形过程中的每一个时刻都对应一个构形。当求解ｔ＋Δｔ时刻的构形时，

前面各时刻０，Δｔ，２Δｔ，⋯，ｔ的构形是已知的。因此，这些构形都可以作为

Ｌａｇｒａｎｇｅ描述的参考构形。显然，把初始构形和ｔ时刻构形作为参考构形最方便。

因此，在固体力学分析中通常采用两种不同的表达格式，即完全的Ｌａｇｒａｎｇｅ格式（简

称ＴＬ格式）和更新的Ｌａｇｒａｎｇｅ格式（简称ＵＬ格式）。这两种格式可以互换，因此

本质上是相同的。究竟选择哪种格式，通常取决于本构方程的具体形式。

（１）ＴＬ格式

在ＴＬ格式中，以初始构形为参考构形，即场变量总是参考于初始构形；导

数是对于物质坐标Ｘｉ的；弱形式涉及初始构形Ω０上的积分，通常用虚功原理

导出有限元离散方程。

（２）ＵＬ格式

在ＵＬ格式中，以ｔ时刻的构形为参考构形，即场变量参考于每一荷载或

时间步长开始时的构形，观察从ｔ到ｔ＋Δｔ时的运动情况；导数是对于ｔ时刻构

形的物质坐标进行的，而此时的物质坐标等于ｔ时刻的空间坐标ｘｉ；弱形式涉及

在ｔ时刻构形Ω上的积分。在ＵＬ格式中，分析过程中参考构形将不断更新；

常采用率形式，由虚功率原理建立有限元离散方程。

实际中，经常采用ＴＬ格式；但在有些情况下，采用ＵＬ格式更为有效。

１５７２ ＴＬ格式

为了建立用于求解ｔ＋Δｔ时刻构形内各未知量的方程，需要应用与ｔ＋Δｔ时刻构形内物体平衡等效的虚功（率）原理。在ＴＬ格式中，以初始构形Ω０作

为参考构形Ω。因此，在ｔ＋Δｔ时刻列出虚功方程（１５６５），有

∫Ω０Ｓｔ＋Δｔｉｊ δΔＥｉｊｄΩ０＝δΔＷ （１５６６）

９８２１５７ 有限元离散方程

其中

Ｓｔ＋Δｔｉｊ ＝Ｓｔｉｊ＋ΔＳｉｊＥｔ＋Δｔｉｊ ＝Ｅｔｉｊ＋ΔＥｉｊｕｔ＋Δｔｉ ＝ｕｔｉ＋Δｕ

烍烌

烎ｉ

于是，虚功方程（１５６６）可写成

∫Ω０（Ｓｔｉｊ＋ΔＳｉｊ）δΔＥｉｊｄΩ０＝δΔＷ （１５６７）

根据Ｇｒｅｅｎ应变分量与位移之间的关系式（１５２１），即

Ｅｉｊ＝１２ｕｉＸｊ＋ｕｊＸｉ＋ｕｋＸｉｕｋＸ（ ）ｊ

有

ΔＥｉｊ＝Ｅｔ＋Δｔｉｊ －Ｅｔｉｊ＝ΔＥＬｉｊ＋ＥＮＬｉｊ （１５６８）

其中

ΔＥＬｉｊ＝１２ΔｕｉＸｊ

＋ΔｕｊＸ（ ）ｉ＋１２

ｕｔｋＸｉΔｕｋＸｊ

＋ｕｔｋＸｊΔｕｋＸ（ ）ｉ

（１５６９）

ΔＥＮＬｉｊ＝１２ΔｕｋＸｉ

ΔｕｋＸｊ

（１５７０）

这里待求量是位移增量Δｕ，而ｕｔ是已知的。可见，ΔＥＬｉｊ是线性项，而ΔＥＮＬｉｊ 是

非线性项。

（１）小应变

在小应变情况下，同线性弹性问题相比，非线性弹性或弹塑性问题原则上不

引入附加的复杂性。例如，线性弹性本构方程为

ΔＳｉｊ＝ＤｉｊｋｌΔＥｉｊ （１５７１）

只要用非线性弹性切线矩阵Ｄτｉｊｋｌ或弹塑性矩阵Ｄｅｐｉｊｋｌ代替上式中的Ｄｉｊｋｌ即可。因

此，以下推导只涉及到线性弹性。将式（１５６８）及上式代入式（１５６７）得

∫Ω０（Ｓｔｉｊ＋ＤｉｊｋｌΔＥＬｋｌ＋ＤｉｊｋｌΔＥＮＬｋｌ）（δΔＥＬｉｊ＋δΔＥＮＬｉｊ）ｄΩ０

＝∫Ω０ΔＥＬｋｌＤｉｊｋｌδΔＥＬｉｊｄΩ０＋∫Ω０ΔＥ

ＬｋｌＤｉｊｋｌδΔＥＮＬｉｊｄΩ０

＋∫Ω０ΔＥＮＬｋｌＤｉｊｋｌδΔＥＬｉｊｄΩ０＋∫Ω０ΔＥ

ＮＬｋｌＤｉｊｋｌδΔＥＮＬｉｊｄΩ０

０９２ 第１５章 几何非线性问题

＋∫Ω０ＳｔｉｊδΔＥＬｉｊｄΩ０＋∫Ω０Ｓ

ｔｉｊδΔＥＮＬｉｊｄΩ０

＝δΔＷ

即

∫Ω０ΔＥＬｋｌＤｉｊｋｌδΔＥＬｉｊｄΩ０＋∫Ω０ΔＥ

ＬｋｌＤｉｊｋｌδΔＥＮＬｉｊｄΩ０

＋∫Ω０ΔＥＮＬｋｌＤｉｊｋｌδΔＥＬｉｊｄΩ０＋∫Ω０ΔＥ

ＮＬｋｌＤｉｊｋｌδΔＥＮＬｉｊｄΩ０

＋∫Ω０ＳｔｉｊδΔＥＮＬｉｊｄΩ０

＝δΔＷ－∫Ω０ＳｔｉｊδΔＥＬｉｊｄΩ０ （ａ）

在有限元分析中，将区域Ω０划分成若干单元Ωｅ０。单元位移增量Δｕ用单

元节点位移增量Δａｅ表示，即

Δｕ＝ＮΔａｅ （１５７２）

代入式（１５６８）并写成矩阵形式

ΔＥ＝（ＢＬ＋ＢＮＬ）Δａｅ （１５７３）

其中，ＢＬ相应于式（１５６７）中的第一项，仅是坐标Ｘｉ 的函数，与Δａｅ 无关；而

ＢＮＬ相应于式（１５６８）中的第二项，是坐标Ｘｉ和Δａｅ的函数。

式（ａ）中右端第一项为体力和面力的虚功增量，按单元集成后可写成

δΔＷ＝（δΔａ）ＴＰ （ｂ）

其中，δΔａ为整体节点虚位移增量。式（ａ）右端第二项中的Ｓｔｉｊ可看作初始应力，

而该项即初始应力虚功增量，按单元集成后可写成

∫Ω０ＳｔｉｊδΔＥＬｉｊｄΩ０＝（δΔａ）ＴＲ

将上式及式（１５７３）及式（ｂ）代入式（ａ），并注意到δΔａ的任意性可得

（Ｋ０＋Ｋσ＋ＫＬ）Δａ＝Ｐ－Ｒ （１５７４ａ）

或

ＫＴΔａ＝Ｐ－Ｒ （１５７４ｂ）

ＫＴ＝Ｋ０＋Ｋσ＋ＫＬ称为切线矩阵，而

１９２１５７ 有限元离散方程

Ｋ０＝∑ｅ∫Ωｅ０Ｂ

ＴＬＤＢＬｄΩ０

Ｋσ＝∑ｅ∫Ωｅ０Ｂ

ＴＮＬＳｔｄΩ０

ＫＬ＝∑ｅ∫Ωｅ０（Ｂ

ＴＬＤＢＮＬ＋ＢＴＮＬＤＢＬ＋ＢＴＮＬＤＢＮＬ）ｄΩ

烍

烌

烎０

（１５７５）

其中，Ｋ０是线性刚度矩阵。Ｋσ 表示大变形情况下初应力对结构刚度的影响，

因其与初应力有关，故称为初应力刚度矩阵；又因其与材料常数无关，只与单元

的几何特征有关，故也称为几何刚度矩阵。ＫＬ称为初位移刚度矩阵或大位移

刚度矩阵，是由大位移引起的。

（２）大应变

在大应变情况下，超弹性材料的本构方程（１５５６）也可表示为ΔＳｉｊ与ΔＥｉｊ之间的关系，故只要将切线弹性张量（１５５７）代入式（１５７５）即可求得单元刚度

矩阵。然而，大应变情况下弹塑性材料的本构方程只能采取率形式。因此，需要

对式（１５５９）进行变换。将该式ｔ时刻的方程两边乘以Δｔ，可得增量形式的本

构方程

ΔσＪｉｊ＝ＤｉｊｋｌΔｄｋｌ （ｃ）

其中

Δｄｋｌ＝１２Δｕｌｘｋ

＋Δｕｋｘ（ ）ｌ

ΔσＪｉｊ＝Δσｉｊ－σｉｋ１２Δｕｊｘｋ

－Δｕｋｘ（ ）ｊ－σｋｊ

１２Δｕｉｘｋ

－Δｕｋｘ（ ）

烍

烌

烎ｉ

（ｄ）

为将式（ｃ）转换成ΔＳｉｊ与ΔＥｉｊ之间的关系，根据Ｓｉｊ与σｉｊ之间的关系式（１５４６）求

Ｓｉｊ的物质导数

Ｓ·

ｉｊ＝ＪＸｉｘｋＸｊｘｌ

σｋｌ－σｋｐｖｌｘｐ－σｐｌ

ｖｋｘｐ＋σｋｌ

ｖｐｘ（ ）ｐ

上式两边乘以Δｔ，得

ΔＳｉｊ＝ＪＸｉｘｋＸｊｘｌ

Δσｋｌ－σｋｐΔｕｌｘｐ

－σｐｌΔｕｋｘｐ

＋σｋｌΔｕｐｘ（ ）ｐ

（ｅ）

由式（ｃ），（ｄ）和（ｅ），可得

ΔＳｉｊ＝ＪＸｉｘｋＸｊｘｌ

（ＤｋｌｍｎΔｄｍｎ－σｋｐΔｄｐｌ－σｌｐΔｄｐｋ＋σｋｌΔｄｐｐ） （１５７６）

２９２ 第１５章 几何非线性问题

此外，根据式（１５３４），有

Δｄｉｊ＝ＸｋｘｉＸｌｘｊΔＥｋｌ （１５７７）

代入式（１５７６）得

ΔＳｉｊ＝ＤｅｐｉｊｒｓΔＥｒｓ

其中

Ｄｅｐｉｊｒｓ＝ＪＸｉｘｋＸｊｘｌＸｒｘｍ

（ＤｋｌｍｎＸｓｘｎ－σｋｍ

Ｘｓｘｌ－σｌｋ

Ｘｓｘｍ

＋σｋｌＸｓｘｍ

）

其中，σｉｊ是ｔ时刻的Ｃａｕｃｈｙ应力，可由ｔ时刻的ＰＫ２应力Ｓｉｊ变换得出。用Ｄｅｐｉｊｒｓ代替式（１５７５）中的弹性矩阵即可得到大应变情况下的刚度矩阵。可见，求解大

应变弹塑性问题时，采用ＴＬ格式是很复杂的。

１５７３ ＵＬ格式

在ＵＬ格式中，以ｔ时刻的构形为参考构形，即求解ｔ＋Δｔ时刻的构形时

不考虑ｔ时刻构形的变形，或者说ｔ时刻应变为零，故计算的应变增量就是

ｔ＋Δｔ时刻的应变。此外，ｔ时刻构形的Ｌａｇｒａｎｇｅ坐标就是Ｅｕｌｅｒ坐标。于是

Ｅｔ＋Δｔｉｊ ＝ΔＥｉｊ＝ΔＥＬｉｊ＋ΔＥＮＬｉｊ （１５７８）

其中

ΔＥＬｉｊ＝１２Δｕｉｘｊ

＋Δｕｊｘ（ ）ｉ

， ΔＥＮＬｉｊ＝１２Δｕｋｘｉ

Δｕｋｘｊ

（１５７９）

ｔ＋Δｔ时刻的ＰＫ２应力为

Ｓｔ＋Δｔｉｊ ＝Ｓｔｉｊ＋ΔＳｉｊ其中，Ｓｔｉｊ是ｔ时刻的ＰＫ２应力。因它以ｔ时刻构形为参考构形，故就是ｔ时刻

的Ｃａｕｃｈｙ应力σｔｉｊ，于是有

Ｓｔ＋Δｔｉｊ ＝σｔｉｊ＋ΔＳｉｊ虚功方程（１５６５）可写成

∫Ω（σｔｉｊ＋ΔＳｉｊ）δΔＥｉｊｄΩ＝δΔＷ （１５８０）

（１）小应变

在小应变情况下，将式（１５７１），（１５７８）代入式（１５８０）得

３９２１５７ 有限元离散方程

∫ΩΔＥＬｋｌＤｉｊｋｌδΔＥＬｉｊｄΩ＋∫ΩΔＥＬｋｌＤｉｊｋｌδΔＥＮＬｉｊｄΩ＋∫ΩΔＥＮＬｋｌＤｉｊｋｌδΔＥＬｉｊｄΩ＋∫ΩΔＥＮＬｋｌＤｉｊｋｌδΔＥＮＬｉｊｄΩ＋∫ΩσｔｉｊδΔＥＮＬｉｊｄΩ

＝δΔＷ－∫ΩσｔｉｊδΔＥＬｉｊｄΩ将单元位移增量Δｕ＝ＮΔａｅ代入式（１５７８）得

ΔＥ＝（ＢＬ＋ＢＮＬ）Δａｅ （１５８１）

经过与ＴＬ格式相似的过程，可得

（Ｋ０＋Ｋσ＋ＫＬ）Δａ＝Ｐ－Ｒ （１５８２ａ）

ＫＴΔａ＝Ｐ－Ｒ （１５８２ｂ）

其中，ＫＴ＝Ｋ０＋Ｋσ＋ＫＬ，而

Ｋ０＝∑ｅ∫ΩｅＢＴＬＤＢＬｄΩ

Ｋσ＝∑ｅ∫ΩｅＢＴＮＬσｔｄΩ

ＫＬ＝∑ｅ∫Ωｅ（ＢＴＬＤＢＮＬ＋ＢＴＮＬＤＢＬ＋ＢＴＮＬＤＢＮＬ）ｄ

烍

烌

烎Ω

（１５８３）

（２）大应变

在ＵＬ格式中，每个增量步的计算总是从ｔ时刻的构形出发，而且知道此

时的真实应力σｉｊ。显然，以ｔ时刻的构形为参考构形时，有Ｊ＝１和Ｘｉ＝ｘｉ。于

是，式（１５７６），（１５７７）变为

ΔＳｉｊ＝δｉｋδｊｌ（ＤｋｌｍｎΔｄｍｎ－σｋｐΔｄｐｌ－σｌｐΔｄｐｋ＋σｋｌΔｄｐｐ）

＝ＤｉｊｍｎΔｄｍｎ－σｉｐΔｄｐｊ－σｊｐΔｄｐｉ＋σｉｊΔｄｐｐ （ａ）

Δｄｉｊ＝ΔＥｉｊ （ｂ）

将式（ｂ）代入（ａ）得

ΔＳｉｊ＝ＤｅｐｉｊｍｎΔＥｍｎ （１５８４）

其中

Ｄｅｐｉｊｍｎ＝Ｄｉｊｍｎ－σｉｍδｎｊ－σｊｍδｎｉ＋σｉｊδｍｎ （１５８５）

用Ｄｅｐｉｊｒｓ代替式（１５８３）中的弹性矩阵可得大应变情况下的刚度矩阵。可见，采

４９２ 第１５章 几何非线性问题

用ＵＬ格式处理大应变弹塑性问题时较容易引入本构方程。

１５７４ 更新与变换

（１）构形更新

在ＵＬ格式中，积分与求导是在ｔ时刻构形上进行的。为此，必须在每一

增量步计算结束时计算各物质点的坐标，以便进行下一步增量的计算。在有限

单元法中，计算各节点的坐标，即

ｘｔ＋Δｔｉ ＝ｘｔｉ＋Δａｉ （１５８６）

为了进行下一步的计算，必须算出ｔ＋Δｔ时的Ｃａｕｃｈｙ应力，即

σｔ＋Δｔｉｊ ＝σｔｉｊ＋Δσｉｊ （１５８７）

在ＵＬ格式中，ｔ＋Δｔ结束时直接算出的是ＰＫ２应力增量ΔＳｉｊ。因此，须用式

（１５４６）将ΔＳｉｊ变换成Δσｉｊ。

（２）坐标变换

在ＴＬ格式中，积分在初始构形上进行；在ＵＬ格式中，积分在ｔ时刻构

形上进行。然而，当采用等参单元时，形函数均表示成母单元局部坐标的函数，

积分都将在母单元上进行。

例如，在４节点四边形单元中，形函数见式（５５），即

Ｎ１＝（１－ξ）（１－η）／４Ｎ２＝（１＋ξ）（１－η）／４Ｎ３＝（１＋ξ）（１＋η）／４Ｎ４＝（１－ξ）（１＋η）／

烍

烌

烎４

当然，两种格式的子单元在不同的构形上，坐标变换公式也有所不同（图１５７）。

图１５７ 坐标变换

５９２１５７ 有限元离散方程

１５７５ 线性化处理

几何非线性方程为

ＫＴΔａ＝Ｐ－Ｒ

其中，切线刚度矩阵ＫＴ＝Ｋ０＋Ｋσ＋ＫＬ依赖于位移增量Δａ。显然，Δａ＝０时

的ＫＴ就是当前增量步的初始刚度。此时，大位移刚度矩阵ＫＬ＝０，而

ＫＴ＝Ｋ０＋Ｋσ （１５８８）

在当前增量步内的计算中，可采用不同算法。若采用Ｅｕｌｅｒ?Ｎｅｗｔｏｎ法，则

每次迭代都要修改Ｋ０，Ｋσ 和Ｒ。若采用Ｅｕｌｅｒ?修正的Ｎｅｗｔｏｎ法，则在增量步

内ＫＴ保持不变，但每次迭代仍要根据前一次迭代所得的结果修改Ｒ。当然，该

增量步迭代结束时，也要修改ＫＴ以备下一增量步计算。如果在增量步内ＫＴ和Ｒ都认为是常数，则为Ｅｕｌｅｒ法。此时，只需根据当前增量步所得结果修改

ＫＴ和Ｒ，以备下一增量步计算。

１５８ 结 语

大变形理论也称为有限变形理论，它是连续介质力学的核心内容。深刻理

解这部分内容对于分析几何非线性问题和边界非线性问题至关重要，其中关键

是物质坐标、空间坐标、客观性等基本概念，以及应变和应力的度量。

几何非线性问题的难度比较大，关键问题是虚位移原理的推导及本构方程

的选择与引入。此外，对于大变形问题，变形过程中网格边界上的物质坐标是不

变的，因此物质坐标描述的网格将因变形而扭曲。高阶单元因扭曲而性能下降，

当扭曲过度时，Ｇａｕｓｓ积分点的Ｊ可能成为负值，从而使计算程序中止或者引入

显著的局部误差。因此在几何非线性分析中，必须像关注单元的原始形状一样

地注意单元扭曲后的形状（文献８）。

习 题

１５１ 何谓参考构形？为什么要用参考构形？在几何非线性分析中常用的参考

构形有哪几种？

１５２ 证明Ｇｒｅｅｎ应变张量和Ａｌｍａｎｓｉ应变张量为客观张量，即证明当发生刚

体转动ｘ＝ＲＸ（Ｒ为转动矩阵）时，Ｇｒｅｅｎ和Ａｌｍａｎｓｉ应变张量为零，从而

可以度量大变形物体的变形状态；而按小变形条件下的线性应变公式计

算的应变分量并不等于零。

６９２ 第１５章 几何非线性问题

１５３ 试证明Ｇｒｅｅｎ应变张量Ｅ和Ａｌｍａｎｓｉ应变张量ｅ之间下述关系式

Ｅ＝ＦＴｅＦ， ｅ＝Ｆ－ＴＥＦ－１

１５４ 试推导Ｇｒｅｅｎ应变率张量Ｅ·

与变形率张量ｄ之间的下述关系式

Ｅ·

＝ＦＴｄＦ， ｄ＝Ｆ－ＴＥ·

Ｆ－１

１５５ ＴＬ格式和ＵＬ格式各自具有怎样的特点？

１５６ 为什么要将在现时构形中建立的弱形式即虚功率原理转换到参考构形

上？

１５７ 试推导动力问题的几何非线性有限元方程。

１５８ 在几何非线性分析中，刚度矩阵由哪几部分组成？ＴＬ格式和ＵＬ格式

的刚度矩阵有何不同？

１５９ 设忽略阻尼影响，推导增量有限元方程

ＭΔ̈ａ＋ＫＴΔａ＝Ｐ－Ｒ

７９２习 题

第１６

章

边界非线性问题

物体间的接触和碰撞（以下简称接触问题）是现实中经常发生的现象，例如

列车轮轨接触、轴与轴承接触、汽车相互碰撞、飞行物撞击结构等。在接触问题

中，接触界面及接触状态是事先不知道的，且在物体运动与变形过程中不断地发

生变化。此外，接触问题常伴随材料非线性和大变形，从而使接触力学分析成为

难题，通常只能依靠数值方法求解。

本章介绍接触问题有限元分析的基本内容，包括：（１）接触问题的定义；（２）

接触分析原理；（３）接触问题算法。

１６１ 接触问题定义

１６１１ 接触界面定义

（１）名称与标记

设有两个物体Ａ和Ｂ，分别用ΩＡ 和ΩＢ 表示它们的构形，ΓＡ 和ΓＢ 表示其

边界；并用Ω＝ΩＡ＋ΩＢ 表示两个物体域的组合，Γ＝ΓＡ＋ΓＢ 表示两个物体边

界的组合（图１６１）。为研究方便起见，称物体Ｂ为目标体（ｔａｒｇｅｔ）或主控体，物

体Ａ为接触体（ｃｏｎｔａｃｔｏｒ）或从属体。

图１６１ 接触面和接触力

接触界面是两个物体表面的交界，用ΓＣ 表示，即

ΓＣ＝ΓＡ∩ΓＢ （１６１）

此界面在两个物体中分别用ΓＡＣ，ΓＢＣ 表示，其中ΓＢＣ 称为目标面（ｔａｒｇｅｔｓｕｒｆａｃｅ）

或主表面，ΓＡＣ 称为接触面（ｃｏｎｔａｃｔｓｕｒｆａｃｅ）或从表面。在接触问题中，接触界面

是时间的函数，即随加载过程而变化，这使得接触问题只能用增量法求解。

（２）接触坐标系

如果将ΓＡＣ，ΓＢＣ 分别视为物体Ａ，Ｂ的面力边界，即接触边界，则其上的面力

就是接 触 力。为 了 表 达 接 触 力，可 在 目 标 面 的 每 一 点 建 立 局 部 坐 标 系（图

１６１）。构造相切于目标体表面的单位矢量ｅＢ１和ｅＢ２，于是物体Ｂ的法线为

ｎＢ＝ｅＢ１×ｅＢ２ （１６２）

显然，两个物体的法线方向相反，即

ｎＡ＝－ｎＢ （１６３）

（３）接触物理量

两个相互接触的点Ｐ，Ｑ称为接触点对，其中主控体Ｂ上的点称为主接触

点，从属体Ａ上的点称为从接触点。接触处的物理量主要有接触力、速度、位移

等。例如，作用于Ｐ点和Ｑ点的接触力分别为ＦＡＰ 和ＦＢＱ（为简化起见，常略去点

号Ｐ，Ｑ）。每个接触力在局部坐标系中有三个分量，可表示为

ＦＡ＝ＦＡＮｎＡ＋ＦＡ１ｅ１＋ＦＡ２ｅ２＝ＦＡＮ＋ＦＡＴ （１６４ａ）

ＦＢ＝ＦＢＮｎＢ＋ＦＢ１ｅ１＋ＦＢ２ｅ２＝ＦＢＮ＋ＦＢＴ （１６４ｂ）

１６１２ 接触形式分类

在接触问题中，把加载前已经接触的边界和加载后可能接触的边界都看成

是接触边界；把已接触边界上的任意一个节点看成是属于两接触体的一对点，把

有可能接触的点也成对看待。

接触状态或接触形式可分为三种，即黏式接触、滑移接触和开式接触。所谓

黏式接触就是接触点对法向无间隙，切向不滑移；滑移接触是指接触点对法向无

间隙而切向发生滑移；当接触点对处于分离状态（尚未进入接触或已脱离接触）

时，称为开式接触。

我们也可把接触状态分为两种，即接触与非接触（即开式接触）。在实际计

算过程中，当判明点对处于非接触状态时，通常不需要做任何处理。之所以把开

式接触包括进来，是因为在接触问题中把可能接触的点对也视为接触边界点。

在接触问题中，关键是正确地表述接触界面条件并采用适当的方法将其引

入求解过程。接触界面条件可法向和切向来讨论。此外，接触条件可以全量形

式和增量形式给出，但因边界非线性问题采用增量法求解，故通常应用增量形式。

９９２１６１ 接触问题定义

１６１３ 法向接触条件

法向接触条件包括两个，一是不可贯入性条件，即接触体不可相互侵入；二

是接触力的法向分量只能是压力，即通常不考虑接触表面之间的黏性。

图１６２ 接触点对

（１）全量形式

在接触问题中，必须满足不可贯入性条件，它

是接触面之间运动学方面的条件，可表示为

ΩＡ∩ΩＢ＝０

对于ΓＡ 上 的 任 一 点Ｐ（ｘＡ）和ΓＢ 上 的 任 一 点

Ｑ（ｘＢ），不可贯入条件为

ｇＮ＝（ｘＡ－ｘＢ）·ｎＢ≥０ （１６５）

其中，ｎＢ 为物体Ｂ的外法向单位向量。

在不考虑接触面间的黏附或冷焊的情况下，法向接触力只可能为压力，即

ＦＢＮ≤０， ＦＡＮ＝－ＦＢＮ≥０ （１６６）

（２）增量形式

设ｔ时刻的解已求得，现求ｔ＋Δｔ时刻的解。ｔ＋Δｔ时刻的不可贯入条件

为

ｇｔ＋ΔｔＮ ＝（ｘＡｔ＋Δｔ－ｘＢｔ＋Δｔ）·ｎＢｔ＋Δｔ≥０ （ａ）

其中

ｘＡｔ＋Δｔ＝ｘＡｔ＋ΔｕＡ， ｘＢｔ＋Δｔ＝ｘＢｔ＋ΔｕＢ （ｂ）

代入式（ａ）得

ｇｔ＋ΔｔＮ ＝（ΔｕＡ－ΔｕＢ）·ｎＢｔ＋Δｔ＋（ｘＡｔ－ｘＢｔ）·ｎＢｔ＋Δｔ＝ΔｕＡＮ－ΔｕＢＮ＋ｇｔＮ≥０ （１６７）

其中

ΔｕＡＮ＝ΔｕＡ·ｎＢｔ＋Δｔ， ΔｕＢＮ＝ΔｕＢ·ｎＢｔ＋Δｔ， ｇｔＮ＝（ｘＡｔ－ｘＢｔ）·ｎＢｔ＋Δｔ

一般情况下，ｎＢｔ＋Δｔ是依赖于位移而变化的。在实际计算中，可采取近似的

方法加以处理，即在每次迭代过程中对ｇｔ＋ΔｔＮ 进行微分或变分时，假定ｎＢｔ＋Δｔ是

常量；而在迭代求解后，根据新的位移值计算出新的ｎＢｔ＋Δｔ来代替原有的数值，

以进行下次迭代的计算。

００３ 第１６章 边界非线性问题

１６１４ 切向接触条件

（１）全量形式

通常将切向接触力模型称为摩擦模型。如果两物体间的摩擦可忽略不计，

则切向接触力为零，此即无摩擦模型，切向接触条件为

ＦＡＴ＝ＦＢＴ＝０， 或 ＦＡｉ＝ＦＢｉ＝０ （ｉ＝１，２） （１６８）

如果需要考虑摩擦作用，则常采用Ｃｏｕｌｏｍｂ摩擦模型。在该模型中，摩擦力ＦＡＴ的数值不能超过其极限值μ｜ＦＡＮ｜（μ为摩擦系数）；当｜ＦＡＴ｜＜μ｜ＦＡＮ｜时，两个接

触面之间无切向相对滑动，即相对切向速度珔ｖＴ 为零，此时的接触条件为

珔ｖＴ＝ｖＡＴ－ｖＢＴ＝０ 或 珔ｖｉ＝ｖＡｉ－ｖＢｉ＝０ （ｉ＝１，２） 当｜ＦＡＴ｜＜μ｜ＦＡＮ｜ （１６９）

当｜ＦＡＴ｜＝μ｜ＦＡＮ｜时，滑动不受限制即相对滑动速度珔ｖＴ 不定；但珔ｖＴ 与ＦＡＴ 方向相

反。这样，滑动摩擦条件可写成

珔ｖＴ＝ｖＡＴ－ｖＢＴ≠０ 且 珔ｖＴ·ＦＡＴ＝（ｖＡＴ－ｖＢＴ）·ＦＡＴ＜０ 当｜ＦＡＴ｜＝μ｜ＦＡＮ｜（１６１０）

（２）增量形式

考虑从ｔ至ｔ＋Δｔ时间间隔内的切向条件。速度与Δｔ的积是位移增量，故

黏式接触时的无相对滑动位移条件（１６９）可改写为

Δ珔ｕＴ＝ΔｕＡＴ－ΔｕＢＴ＝０ 当｜ＦＡＴ，ｔ＋Δｔ｜＜μ｜ＦＡＮ，ｔ＋Δｔ｜ （１６１１ａ）

或

Δ珔ｕｉ＝ΔｕＡｉ－ΔｕＢｉ＝０ （ｉ＝１，２） 当｜ＦＡＴ，ｔ＋Δｔ｜＜μ｜ＦＡＮ，ｔ＋Δｔ｜（１６１１ｂ）

其中，ΔｕＡＴ，ΔｕＢＴ 分别为从、主接触点在ｔ至ｔ＋Δｔ时间间隔内的切向位移增量。

滑动接触时相对滑动条件（１６１０）可改写为

Δ珔ｕＴ＝ΔｕＡＴ－ΔｕＢＴ≠０ 当｜ＦＡＴ，ｔ＋Δｔ｜－μ｜ＦＡＮ，ｔ＋Δｔ｜＝０ （１６１２ａ）

或

Δ珔ｕｉ＝ΔｕＡｉ－ΔｕＢｉ≠０ （ｉ＝１，２） 当｜ＦＡＴ，ｔ＋Δｔ｜－μ｜ＦＡＮ，ｔ＋Δｔ｜＝０（１６１２ｂ）

且

（ΔｕＡＴ－ΔｕＢＴ）·ＦＡＴ，ｔ＋Δｔ＜０ （１６１３）

１０３１６１ 接触问题定义

（３）本构方程

在Ｃｏｕｌｏｍｂ摩擦模型中，摩擦力ＦＡＴ 与相对速度珔ｖＴ 之间的关系是高度非线

性的（图１６３），摩擦力的突然变化将造成数值计算中迭代的收敛困难，因此提

出了规则化的替代模型（图１６４），其表达式为

ＦＡＴ＝－μ｜ＦＡＮ｜２πａｒｃｔａｎ

珔ｖＴ（ ）Ｃ ｅＴ （１６１４）

其中，ｅＴ 是切向相对滑动的方向，即

ｅＴ＝珔ｖＴ｜珔ｖＴ｜

（１６１５）

而Ｃ是一个控制参数。Ｃ越小，规则化摩擦模型与Ｃｏｕｌｏｍｂ摩擦模型就越接

近。

图１６３ Ｃｏｕｌｏｍｂ摩擦模型 图１６４ 规则化摩擦模型

采用规则化摩擦模型意味着只要摩擦力存在，就伴随着相对滑动，这显然更

合理地描述了实际摩擦现象。事实上，规则化模型是一种界面本构方程，实际中

常为下述本构模型所代替

ΔＦＡＴ＝－ｋΔｕ （１６１６）

其中，ｋ为界面刚度；Δｕ为Δｔ时段内接触点Ｃ（ξＣ，ηＣ）滑移矢量，计算式为

Δｕ＝ｘｔ＋Δｔ（ξｔ＋ΔｔＣ ，ηｔ＋ΔｔＣ ）－ｘｔ（ξｔＣ，ηｔＣ） （１６１７）

接触点处的总的摩擦力为

ＦＡＴ，ｔ＋Δｔ＝ＦＡＴ，ｔ＋ΔＦＡＴ （１６１８）

显然，其大小应受到最大摩擦力的限制。

２０３ 第１６章 边界非线性问题

１６２ 接触分析原理

１６２１ 虚位移原理

采用ＵＬ格式时，几何非线性问题ｔ＋Δｔ时刻的弱形式或虚功方程见第

１５章式（１５８０），即

∫Ω（σｔｉｊ＋ΔＳｉｊ）δΔＥｉｊｄΩ－δΔＷＬ＝０ （１６１９）

其中，δΔＷＬ是外荷载的虚功增量。

对于接触问题，上式仍可采用，只是需进行必要的修改。首先须考虑接触界面

条件，包括接触边界上接触力的虚功增量δΔＷＣ和位移约束。其次在碰撞问题中，惯

性力通常不可忽略，故需增加惯性力的虚功增量δΔＷＩ。于是，接触问题的虚功方程为

δΠｕ＝∫Ω（σｔｉｊ＋ΔＳｉｊ）δΔＥｉｊｄΩ－δΔＷＬ－δΔＷＩ－δΔＷＣ＝０（１６２０）

其中

δΔＷＩ＝－∫Ωρｔ＋Δｔ̈ｕｔ＋Δｔｉ δΔｕｉｄΩ （１６２１）

δΔＷＣ＝∫ΓＡＣＦＡｉ，ｔ＋ΔｔδΔｕＡｉｄΓ＋∫ΓＢＣＦ

Ｂｉ，ｔ＋ΔｔδΔｕＢｉｄΓ

＝∫ΓＣＦＡｉ，ｔ＋Δｔ（δΔｕＡｉ －δΔｕＢｉ）ｄΓ （１６２２ａ）

或 δΔＷＣ＝∫ΓＡＣＦＡＪ，ｔ＋ΔｔδΔｕＡＪｄΓ＋∫ΓＢＣＦ

ＢＪ，ｔ＋ΔｔδΔｕＢＪｄΓ

＝∫ΓＣＦＡＪ，ｔ＋Δｔ（δΔｕＡＪ －δΔｕＢＪ）ｄΓ （１６２２ｂ）

其中，下标为Ｊ的量是沿整体坐标轴的分量；下标为ｉ的量是沿局部坐标轴的分

量；Δｕｉ是Δｔ时段内的位移增量；Ｆｉ，ｔ＋Δｔ是ｔ＋Δｔ时刻的接触力。

１６２２ 接触条件的引入

（１）等效节点荷载

很显然，接触问题的控制方程与非接触问题的相同，只是在接触边界上需要

增加接触界面条件。在位移法有限元分析中，接触边界上的位移约束作为强制

边界条件引入，而接触力则按照虚功等效原则转化为等效节点荷载。显然，式

３０３１６２ 接触分析原理

（１６２０）中的虚功增量δΔＷＣ也就是等效节点荷载的虚功增量。

（２）位移约束条件

对于非接触问题，引入位移边界条件很容易实现，具体形式是在形成整体刚度

方程后直接引入。而在接触问题中，增加了接触边界处的位移约束条件，即不可贯入

条件ΔｕＡＮ－ΔｕＢＮ＋ｇｔＮ≥０。这个条件不是给定边界位移值，其不等式形式表现为高度

非线性，难以简单地将其引入求解方程，需要结合具体算法通过迭代过程加以实现。

１６３ 接触问题算法

１６３１ 接触算法概述

（１）两种基本方式

在某些有限元程序（例如ＡＮＳＹＳ）中，运动物体之间的接触作用通过接触单

元来模拟。接触单元是覆盖在接触界面之上的一层单元。在变形过程中，一旦

确认可能的接触面，则通过接触单元来定义它们。通常考虑三种接触形式，即

点?点接触、点?面接触和面?面接触，相应地可构造三种单元。例如，在点?面接触

中，通过跟踪接触面上的点相对于目标面上线或面的位置，来跟踪两个面的相对

位置。点?面接触单元的形状为三角形（２Ｄ）、四面体（３Ｄ），其底面由目标面上的

节点组成，而顶点为接触面上的节点。这种单元主要用于模拟点?面接触行为。

如果通过一组节点来定义接触面，生成多个单元，则可通过点?面接触单元来模

拟面?面接触问题。使用点?面接触单元不需要预先知道确切的接触位置，接触

面之间也不需要保持一致的网格，并且允许有大变形和大的相对滑移。

在另一些程序（例如ＬＳ?ＤＹＮＡ）中则不用接触单元，只要定义可能接触的

接触表面、它们之间的接触类型，以及与接触有关的参数，在程序执行过程中就

能保证接触界面之间不发生穿透或发现穿透时做出处理，并在接触界面相对运

动时考虑摩擦作用。本章仅介绍后一种方式。

（２）基本计算步骤

接触范围和接触状态的未知性和变动性，决定了接触问题需要采用试探?校

核的方式。无论何种算法，每一增量步的试探?校核过程可归纳如下：

步骤１：根据前一步的结果和本步加载条件，假定本步第一次迭代求解时接

触面的区域和接触状态；

步骤２：根据上述假定，对于接触面上的每一点，将不等式约束改为等式约

束。然后将其作为定解条件引入方程，并进行求解；

步骤３：利用接触界面上的不等式约束作为校核条件对结果进行检查。如

果接触界面（包括假设中尚未进入接触的部分）上的每一点都不违反校核条件，

４０３ 第１６章 边界非线性问题

则结束本步的求解并转入下一增量步的计算。否则，回到步骤１再进行搜寻和

迭代求解，直至结果满足校核条件为止。

（３）接触点对搜寻

在接触问题中，目标面或主表面上的单元表面称为主片，主片上的节点称为

主节点；接触面或从表面上的单元表面称为从片，从片上的节点称为从节点。对

于刚体与柔体接触问题，总是将刚性面作为目标面，柔性面作为接触面。对于柔

体与柔体接触问题，当刚度不同时，以较硬的面为目标面；如果一个面上的网格

较细，另一个面上的网格较粗，可指定粗网格所在的面为目标面。

数值计算的核心内容之一是接触点对的搜寻。这项任务包括两种情况，其

一是未进入接触的从节点在下一次计算中是否和主表面接触。如果接触，则应

确定其具体接触位置；其二是已经处于接触状态的从节点在下一次计算时是否

仍和主表面保持接触。如果保持接触，则应确定新的接触位置。

１６３２ 对称罚函数法

发展了几种无接触单元算法，其中对称罚函数法的原理比较简单，也最为常

用。这里仅介绍这种方法。

对于每个时步，对称罚函数法可归纳为：检查接触体是否贯入目标体，也即

检查各从节点是否穿透主表面。当没有穿透时，对该从节点不做任何处理；如果

发生穿透，则在该从节点与被穿透主表面之间引入一个较大的界面接触力（称为罚函

数值），其大小与穿透深度、主片刚度成正比。罚函数值的物理意义相当于在从节点和

被穿透主表面之间放置一个法向弹簧，以限制从节点对主表面的穿透。若计算中发现

明显贯入，则可以增大罚函数值或减小时步来调节。在数值计算过程中，小量的贯入是

允许的，即不可贯入条件被近似地满足。对各个从节点处理完后，再用同样的算法对各

主节点处理一遍，这就是称为对称罚函数法的缘故。下面仅介绍从节点的处理方法。

对于任一从节点ｎｓ，计算步骤如下：

（１）从节点ｎｓ搜索

从节点ｎｓ搜索，确定与它最靠近的主节点ｍｓ。给定节点坐标后，这种搜索

图１６５ 接触搜索

５０３１６３ 接触问题算法

是件简单的事情。对于图１６５所示的情况，ｍｓ周围的主片是Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３，Ｓ４。

（２）确定接触主片

检查与主节点ｍｓ有关的所有主片，确定从节点ｎｓ穿透主表面时可能接触

的主片。在主节点ｍｓ与从节点ｎｓ不重合的情况下，若满足下列两个不等式，则

从节点ｎｓ可能与主片Ｓｉ接触

（ｃｉ×ｓ）·（ｃｉ×ｃｉ＋１）＞０， （ｃｉ×ｓ）·（ｓ×ｃｉ＋１）＞０ （１６２３）

其中，ｃｉ，ｃｉ＋１是主片Ｓｉ的两条边矢量，从主节点ｍｓ向外；ｓ是矢量ｇ在主表面上的

投影矢量；而ｇ是从主节点ｍｓ到从节点ｎｓ的矢量。根据矢量几何，有下列关系式

ｓ＝ｇ－（ｇ·ｍ）ｍ （１６２４）

其中，ｍ是主片Ｓｉ的外法线单位矢量，即

ｍ＝ｃｉ×ｃｉ＋１｜ｃｉ×ｃｉ＋１｜

（１６２５）

如果ｎｓ接近或位于两个主片的交线上，不等式（１６２３）可能不确定。在这

种情况下，即ｎｓ位于两个主片的交线ｃｉ上时，下述量为极大值

ｇ·ｃｉ｜ｃｉ｜

（１６２６）

（３）确定接触点位置

确定从节点ｎｓ在主片Ｓｉ上可能接触点Ｃ的位置。在整体坐标系中，主片

Ｓｉ上任一点的位置矢量ｒ可表示为（图１６６）

ｒ＝ｆ１（ξ，η）ｅ１＋ｆ２（ξ，η）ｅ２＋ｆ３（ξ，η）ｅ３ （１６２７）

其中

ｆｉ（ξ，η）＝∑４

ｊ＝１Ｎｊ（ξ，η）ｘｊｉ （１６２８）

图１６６ 接触点

６０３ 第１６章 边界非线性问题

Ｎｊ（ξ，η）＝１４（１＋ξｊξ）（１＋ηｊη） （１６２９）

而ｘｊｉ是单元第ｊ节点的ｘｉ坐标值。

设从节点ｎｓ在整体坐标系中的位置矢量为ｔ，则接触点Ｃ（ξＣ，ηＣ）的位置

必须满足下列两个方程

ｒ（ξＣ，ηＣ）

ξ·［ｔ－ｒ（ξＣ，ηＣ）］＝０

ｒ（ξＣ，ηＣ）

η·［ｔ－ｒ（ξＣ，ηＣ）］

烍

烌

烎＝０（１６３０）

上式联立求解，可得接触点Ｃ的坐标（ξＣ，ηＣ）。

（４）检查是否穿透主片

接触界面法向接触条件（１６５）可写成

ｇＮ＝［ｔ－ｒ（ξＣ，ηＣ）］·ｎｉ≥０ （１６３１）

其中，ｎｉ是在接触点Ｃ（ξＣ，ηＣ）处主片Ｓｉ的外法向单位矢量，其算式为

ｎｉ＝ｒ（ξＣ，ηＣ）

ξ×ｒ（ξＣ，ηＣ）

ηｒ（ξＣ，ηＣ）

ξ×ｒ（ξＣ，ηＣ）

η（１６３２）

如果式（１６３１）成立，则从节点ｎｓ没有穿透主表面。此时，不用作任何处

理，从节点ｎｓ 的搜索结束。如果ｇＮ＜０，则表示从节点ｎｓ 穿透包含接触点

Ｃ（ξＣ，ηＣ）的主片Ｓｉ。此时，须进行下一步的处理。

（５）施加法向接触力

如果从节点ｎｓ穿透主片Ｓｉ，则在从节点ｎｓ上施加法向接触力矢量ＦｓＮ，其

大小为

ＦｓＮ＝－ｇＮｋｉｎｉ （１６３３）

其中，ｋｉ为主片Ｓｉ的刚度因子，可按下式计算

ｋｉ＝ｆＫｉＡ２ｉＶｉ

（１６３４）

而Ｋｉ，Ｖｉ，Ａｉ分别是主片Ｓｉ所在单元的体积模量，体积，主片面积。ｆ是接触刚

度比例因子，例如可取０１０。取值过大时，可能造成不稳定，除非缩短时间步长。

根据作用反作用原理，在主片Ｓｉ上的接触点Ｃ（ξＣ，ηＣ）处作用一个反方向

的接触力即－ＦｓＮ。按照虚功等效原则，可计算出－ＦｓＮ 在主片Ｓｉ的４个主节点

上的等效节点接触力

Ｆｊｍ＝－Ｎｊ（ξＣ，ηＣ）ＦｓＮ＝Ｎｊ（ξＣ，ηＣ）ｇＮｋｉｎｉ （ｊ＝１，２，３，４） （１６３５）

７０３１６３ 接触问题算法

（６）摩擦力计算

从节点ｎｓ的法向接触力为ＦｓＮ，接触点的最大摩擦力值为

Ｆｙ＝μ｜ＦｓＮ｜ （１６３６）

设在前一时刻ｔ，从节点ｎｓ处的摩擦力为ＦＴ，ｔ，则ｔ＋Δｔ时刻可能产生的摩擦

力（试探摩擦力）为

ＦＴ，ｔ＋Δｔ＝ＦＴ，ｔ－ｋΔｕ （１６３７）

其中，ｋ是界面刚度；Δｕ为

Δｕ＝ｒｔ＋Δｔ（ξｔ＋ΔｔＣ ，ηｔ＋ΔｔＣ ）－ｒｔ（ξｔＣ，ηｔＣ） （１６３８）

由此，ｔ＋Δｔ时刻的摩擦力为

ＦＴ，ｔ＋Δｔ＝ＦＴ，ｔ＋Δｔ ｜ＦＴ，ｔ＋Δｔ｜≤ＦｙＦＴ，ｔ＋Δｔ＝ＦｙＦＴ，ｔ＋Δｔ／｜ＦＴ，ｔ＋Δｔ｜ ｜ＦＴ，ｔ＋Δｔ｜＞Ｆ

烍烌

烎ｙ（１６３９）

按作用反作用原理，计算对应主片Ｓｉ上的４个主节点摩擦力。

（７）等效节点荷载

将接触力矢量ＦｓＮ，Ｆｊｍ和摩擦力矢量投影到整体坐标轴方向，得到节点力

整体坐标方向的分量，将其组集到整体节点荷载向量Ｐ中。

按照上述算法，对所有从节点和主节点进行处理即为对称罚函数法。在这

种方法中，以本构方程表示接触界面上摩擦力与相对位移之间的关系，引入罚法

向接触力来消除贯入量（允许小量贯入）。

１６４ 结 语

接触和碰撞过程的数值模拟或仿真是有限单元法应用的前沿课题之一。在

设计与制造领域，计算机仿真显得越来越重要，因为它在很多情况下能代替昂贵

而困难的原型试验。

在接触问题的有限元分析中，关键问题是如何正确地表述接触界面条件并

将其引入计算过程。至于单元类型，原则上说，以前所讨论过的各种单元都可用

于接触分析，但是实际上通常采用低阶单元，例如离散实体结构的４节点四边形

等参单元、８节点六面体等参单元。此外，在接触问题中，大变形可能造成单元

过分扭曲，甚至使计算无法继续进行。因此，到一定程度可重新划分网格，然后

再继续分析。

８０３ 第１６章 边界非线性问题

习 题

１６１ 与通常的问题相比，接触和碰撞问题有何特点？试简要阐述其基本解题

思路。

１６２ 接触界面条件有哪几种类型？为什么在计算中必须采用增量形式的接触

条件？

１６３ 试简述对称罚函数法的基本思想。

９０３习 题

第１７

章

有限单元法旁系发展

在求解定解问题的各种数值方法中，较早发展的是有限差分法。现在，这种

方法在流体力学等领域仍有其优越性，但很少还有人将其用于结构分析，故本章

不予介绍。而成效最显著、应用最广泛的数值方法无疑是有限单元法，它对结构

形状、荷载形式、本构方程及边界条件的适应性极强，几乎可以求解任何结构分

析问题。

然而，有限单元法也有其固有的局限性，例如：完全离散化导致解的精度不

高；限于单元内部的插值限制了插值精度；单元和节点的紧密联系使其在处理需

要单元和节点变化的问题是缺乏灵活性等。因此，在有限单元法获得迅速发展

的同时，还提出了很多方法以弥补经典有限单元法的不足，例如边界单元法、有

限条法、有限元线法、无网格法等。目前，这些方法都已成为有特色的、独立的数

值方法。但是，它们都与有限单元法有某种联系，或者说它们都渗入了有限单元

法的思想，因而都可以看作有限单元法的发展。

本章简明地介绍上述吸收有限元技术而发展起来的数值方法，帮助读者纵

向地了解各种方法的特点，以便必要时做出合适的选择。

１７１ 边界单元法

１７１１ 基本思想

边界单元法（ＢｏｕｎｄａｒｙＥｌｅｍｅｎｔＭｅｔｈｏｄ，简称ＢＥＭ）是在经典边界积分方程

法的基础上吸收有限单元法离散技术而发展起来的一种数值方法。我们已经知

道定解问题有微分方程提法和泛函变分提法，此外还有边界积分提法。从本质

上讲，各种提法都是等价的；然而不同提法将导致不同的求解方法。例如，基于

泛函变分提法，发展了有限单元法；基于经典的边界积分方程法，并与有限单元

法相结合产生了边界单元法。

简单地说，边界单元法首先将所研究问题的微分方程转换为在边界上定义

的边界积分方程；然后将边界离散化使积分方程变为只含有边界节点未知量的

代数方程组；求解方程组得出边界节点上的未知量，并由此进一步求得区域内部

的未知量。

１７１２ 数值方法

（１）边界归化

在边界单元法中，关键步骤是将求解微分方程问题转化为求解边界积分方

程问题，这叫做边界归化。边界积分方程是通过基本解的叠加来建立的，而基本

解就是控制微分方程在无限区域内的点源影响场。例如，无限大弹性体内某点

受到集中力作用时的Ｋｅｌｖｉｎ解。

根据建立边界积分方程时利用基本解的方式不同，有多种边界归化途径。

换句话说，针对同一问题，采用不同的归化途径将得到不同的边界积分方程，从

而导致不同的边界单元法。经典的归化方法有直接归化法和间接归化法。在直

接归化法中，通过基本解直接把边界上的待求边界函数与已知边界条件联系起

来建立积分方程，从这个方程解出来的就是未知边界值。间接归化法则不用边

界的待求边界值作为未知函数，而是在无限区域内沿着该问题的计算边界配置

某种点源分布函数作为间接未知量，然后通过基本解的叠加来近似满足边界条

件。由于基本解自动满足控制方程，因此只要这些点源函数在边界处产生的影

响刚好与给定的边界条件一致，则根据定解问题解的唯一性原理，它们在计算区

域内和边界上的影响也就是该边值问题的特解。由于直接归化法不引入新的变

量，积分方程的未知量就是原问题的未知量，故该法易于理解且便于应用，很受

工程界欢迎。

在弹性力学边值问题中，可以用Ｂｅｔｔｉ功的互等定理推导积分方程。设某弹

性体受一组外力（面力和体力）作用，产生相应的应力、应变和位移；又设另一组

外力作用在该弹性体上，产生相应的应力、应变和位移，则联系这两个边值问题

的Ｂｅｔｔｉ定理可表述如下：第一组作用力在第二组位移上所做的功，等于第二组

作用力在第一组位移上所做的功。

现以实际问题中的作用力为第一组力系，包括作用在域Ω内的体力ｆ和Ω的边界Γ上的所有面力ｐ（给定的面力和支承处的边界反力）。这显然是一组平

衡力系，它引起的位移为ｕ。取某平衡力系作为第二组力系，它们以及它们产生

的位移分别为ｆ，ｐ，ｕ。根据Ｂｅｔｔｉ功的互等定理，即在任一线性弹性变形

系统中，第一组外力在由于第二组外力引起的位移上所做的功，等于第二组外力

在由于第一组外力引起的位移上所做的功，有

∫ΓｐｉｕｉｄΓ＋∫ΩｆｉｕｉｄΩ＝∫ΓｐｉｕｉｄΓ＋∫ΩｆｉｕｉｄΩ （１７１）

１１３１７１ 边界单元法

如果第二组边值问题的解已知，则上式就是利用已知解把实际问题的作用

力与待求位移联系起来的积分方程。在弹性力学问题中，第二组平衡力系及其

解答就是Ｋｅｌｖｉｎ问题及其解答，即以无限域内作用单位集中力时的解答。在无

限域内，沿着与实际问题完全相同的边界Γ取出部分弹性介质作为脱离体。设

点源即单位集中力作用在域内，则在脱离体边界上作用的面力ｐｉ（由边界应力

换算）与单位集中力保持平衡。于是，Ｂｅｔｔｉ互等定理的积分方程（１７１）成立。

设域内Ｐ１处点源为沿坐标轴ｘｊ方向的单位集中力，它在任意点Ｐ处沿ｘｉ方向

引起的位移和面力分别为ｕｉｊ（Ｐ１，Ｐ）和ｐｉｊ（Ｐ１，Ｐ）。物 理 上 常 用 狄 拉 克

（Ｄｉｒａｃ）函数，即δ函数来描述集中分布的量，例如集中质量、集中电荷、集中荷

载等。当ｒ１处作用集中荷载时，域内体力分量可用δ函数表示

δ（ｒ－ｒ１）＝０ 当ｒ≠ｒ∞ 当ｒ＝｛ ｒ

（１７２）

δ函数具有如下性质

∫Ωδ（ｒ－ｒ１）ｄΩ＝１ （１７３）

∫Ωｆ（ｒ）δ（ｒ－ｒ１）ｄΩ＝ｆ（ｒ１） （１７４）

因此，式（１７１）成为

ｕｊ（Ｐ１）＝∫Γｐｉ（Ｐ）ｕｉｊ（Ｐ１，Ｐ）ｄΓ－∫Γｐｉｊ（Ｐ１，Ｐ）ｕｉ（Ｐ）ｄΓ

＋∫Ωｆｉ（Ｐ）ｕｉｊ（Ｐ１，Ｐ）ｄΩ （１７５）

式（１７５）称为Ｓｏｍｉｇｌｉａｎａ公式，它通过基本解直接把域内点上的位移值与

边界点上的边界值（位移和面力）以及体力的影响联系起来。由于其中包含了未

知的边界值和域内位移，故只靠边界上给定的条件还不足以解出所有未知数。

只有在求得边界值以后，才能用该式计算域内点的位移。

图１７１ 边值问题

为了求解未知的边界值，需把点源由域内移到边界上，使其位移成为边界位

移，从而得到边界积分方程。当点源位于平滑边界上的Ｐ０点时，可推导出如下

２１３ 第１７章 有限单元法旁系发展

边界积分方程

１２ｕｊ

（Ｐ０）＝∫Γｐｉ（Ｐ）ｕｉｊ（Ｐ０，Ｐ）ｄΓ－∫Γｐｉｊ（Ｐ０，Ｐ）ｕｉ（Ｐ）ｄΓ

＋∫Ωｆｉ（Ｐ）ｕｉｊ（Ｐ０，Ｐ）ｄΩ （１７６）

当不计体力时，上式成为

１２ｕｊ

（Ｐ０）＝∫Γｐｉ（Ｐ）ｕｉｊ（Ｐ０，Ｐ）ｄΓ－∫Γｐｉｊ（Ｐ０，Ｐ）ｕｉ（Ｐ）ｄΓ （１７７）

显然，上式中的所有量均为边界值。

（２）数值求解

一般情况下，边界积分方程（１７６）没有解析解。采用边界单元法求解时，需

要把边界Γ离散为边界单元并在其节点之间插值，从而将边界积分方程转变为

线性代数方程组。由此解出各单元节点处的待定边界值，再利用把边界值与域

内函数联系起来的解析公式（１７５），可求得域内任一点的函数值。为说明简便

起见，考虑不计体力的弹性力学问题。

将边界划分成ｎ个边界单元，单元内任一点的位移和面力通过插值函数用

单元节点位移和节点面力表示。边界单元可分为常数单元、线性单元、二次单元

和高阶单元。例如，常数单元假定单元的位移和面力均为常量，且等于单元中间

节点处的值。将单元位移和面力表示为

ｕ＝Ｎｕｅ， ｐ＝Ｎｐｅ （１７８）

其中，ｕｅ，ｐｅ分别为单元节点位移和节点面力向量。若令

ｕ＝

ｕ１１ ｕ１２ ｕ１３ｕ２１ ｕ２２ ｕ２３ｕ３１ ｕ３２ ｕ

熿

燀

燄

燅３３

， ｐ＝

ｐ１１ ｐ１２ ｐ１３ｐ２１ ｐ２２ ｐ２３ｐ３１ ｐ３２ ｐ

熿

燀

燄

燅３３

（１７９）

则式（１７７）成为

１２ｕ＝∑ｅ∫Γｅｕ

ｐｄΓ－∫Γｅｐｕｄ（ ）Γ （１７１０）

将式（１７８）代入上式，整理并集成后得

ＨＵ＝ＧＰ （１７１１）

其中，Ｕ为整体节点位移向量；Ｐ为整体节点面力向量。

根据边界条件，在边界单元上，要么节点面力是已知的，要么节点位移是已

知的。因而，对式（１７１１）作适当处理后，总可得到以未知节点位移和未知节点

３１３１７１ 边界单元法

面力为未知量的代数方程组

ＡＸ＝Ｆ （１７１２）

从而问题得解。

１７１３ 简单讨论

边界单元法引入基本解，具有解析与离散相结合的特点；只在域的边界上划

分单元，从而使问题的维数降低，所得线性代数方程组的未知数显著减少；离散

误差只发生在边界，且应力与位移具有同样的精度，因而计算精度高。实践表

明，边界单元法在处理单一介质问题，特别是无限域问题、空间问题或带有奇异

性的问题中显示了突出的优越性。

边界单元法的缺点是对非线性问题较难适应；线性代数方程组的系数矩阵

是满阵且不对称；当计算区域包括有多种不同性质的介质时，要划分为若干个分

区，从而增加了各分区交界面上的未知数。

有限单元法与边界单元法在很多方面具有优势互补性，因此两者耦合方法

越来越受到人们的重视，即对于需要进行非线性分析的区域采用有限单元法，对需

要进行线弹性分析或具有无限域或半无限域边界的区域采用边界单元法，充分发挥

各自的长处，从而使计算效率和计算精度得到提高（文献４１，８８）。

１７２ 有 限 条 法

１７２１ 基本思想

张佑启于１９６８提出有限条法（ＦｉｎｉｔｅＳｔｒｉｐＭｅｔｈｏｄ，简称ＦＳＭ），其基本思路

和解题过程与有限单元法极为相似。该法以子域代替单元，以节线或界面位移

参数为基本未知量。子域的位移函数构造出来以后，有限条法的其他列式与传

统有限元的完全相同。显然，可将这里的子域称为单元，将有限条法看作有限单

元法的分支。有限条法的具体分析步骤如下（文献１５）：

（１）结构离散：有限条法将结构划分成若干个子域即单元（条、棱柱或层），单

元间通过节线或界面相连接；

（２）单元分析：选择单元位移函数并用节线或界面位移表示单元位移场。用势能变

分原理求出单元刚度矩阵，并按等效原则进行荷载移置，求得节线或界面荷载向量；

（３）整体分析：就节线或界面建立平衡方程，或将势能变分原理应用于整个

结构，从而得到整体刚度方程；

（４）数值求解：引入边界条件，求解整体刚度方程，并进而计算单元的应力和变形。

４１３ 第１７章 有限单元法旁系发展

１７２２ 数值方法

（１）结构离散

将结构沿某一或两个维度划分成子域，它们是条、棱柱或层（图１７２）。这

些子域类似于有限单元法中的单元，只不过单元间通过节线或界面相连接。

图１７２ 结构离散

（２）位移函数

在有限条法中，假定单元在节线方向的位移分布形式。通常，单元位移函数

取一维或二维多项式与谐和级数的组合，而谐和级数的选择应满足端部的边界

条件。例如，对于薄板弯曲问题中的矩形条，位移函数可选为

ｗ＝∑ｒ

ｍ＝１ｆｍ（ｘ）Ｙｍ（ｙ） （１７１３）

其中，ｆｍ（ｘ）为对应于第ｍ 项的具有待定常数项的多项式，应能反映ｘ方向的

常应变；Ｙｍ（ｙ）是沿ｙ方向满足端部边界条件的函数，用于表示结构沿ｙ方向

的变形形式。对于棱柱，位移函数可选为

ｗ＝∑ｒ

ｍ＝１ｆｍ（ｘ，ｚ）Ｙｍ（ｙ） （１７１４）

为简明起见，现以一对边简支的薄板横向弯曲问题为例说明有限条法的基

本步骤。沿薄板跨向划分为若干矩形条，即有限条法中的单元。每个单元有两

个节线（节线局部码为１，２），而每根节线有两个位移自由度，即沿ｚ方向的挠度

和绕ｙ轴的转角。这样，每个单元有４个位移分量ｗ１，θ１，ｗ２，θ２（图１７３）。

图１７３ 薄板弯曲与板条

５１３１７２ 有 限 条 法

现讨论位移函数的具体形式。当板的两端边界为简支时（图１７３），有

ｗ＝０， ２ｗｙ２＝０

从而要求

Ｙ（０）＝Ｙ″（０）＝０， Ｙ（ｂ）＝Ｙ″（ｂ）＝０

此时可选

Ｙｍ（ｙ）＝ｓｉｎｍπｙｂ（ａ）

对于条来说，位移函数的形函数为与节线位移参数有关的多项式。对于图

１７３所示的板条，取节线１，２的挠度幅值ｗ１ｍ，ｗ２ｍ和转角幅值θ１ｍ，θ２ｍ作为

基本未知量。显然，形函数可取ｘ的三次多项式。定义局部坐标

ｘ＝ｘ１＋ａξ （１７１５）

其中，ｘ１为节线１的ｘ坐标。这样，单元位移函数可表示为

ｗ＝∑ｒ

ｍ＝１（α１＋α２ξ＋α３ξ２＋α４ξ３）ｓｉｎ

ｍπｙｂ

（ｂ）

注意到

ｗ１＝∑ｒ

ｍ＝１ｗ１ｍｓｉｎ

ｍπｙｂ

， θ１＝ｗ（ ）ｘ １

＝∑ｒ

ｍ＝１θ１ｍｓｉｎ

ｍπｙｂ

， 当ξ＝０

（ｃ）

ｗ２＝∑ｒ

ｍ＝１ｗ２ｍｓｉｎ

ｍπｙｂ

， θ２＝ｗ（ ）ｘ ２

＝∑ｒ

ｍ＝１θ２ｍｓｉｎ

ｍπｙｂ

， 当ξ＝１

（ｄ）

将上式与坐标代入式（ｂ）可确定４个待定系数，再代回式（ｂ）得

ｗ＝∑ｒ

ｍ＝１Ｎｍａｅｍ ＝Ｎａｅ （１７１６）

其中形函数矩阵和单元节线位移向量为

Ｎ＝［Ｎ１ Ｎ２ ⋯ Ｎｒ］， ａｅ＝

ａｅ１…

ａｅ烅烄

烆烍烌

烎ｒ

（１７１７）

而

６１３ 第１７章 有限单元法旁系发展

Ｎｍ＝［Ｎ１（ξ） Ｎ２（ξ） Ｎ３（ξ） Ｎ４（ξ）］ （１７１８）

Ｎ１＝１－３ξ２＋２ξ３

Ｎ２＝ａ（ξ－２ξ２＋ξ３）

Ｎ３＝３ξ２－２ξ３

Ｎ４＝ａ（－ξ２＋ξ３

烍

烌

烎）

（１７１９）

ａｅｍ＝［ｗ１ｍ θ１ｍ ｗ２ｍ θ２ｍ］Ｔｓｉｎｍπｙｂ（１７２０）

（３）刚度方程

有了单元的位移模式后，单元应力和应变、单元刚度矩阵、单元等效节点荷

载向量、整体刚度矩阵和整体节点荷载向量的集成等和薄板有限元的计算相似。

现用最小势能原理建立刚度方程。

根据第８章的分析，薄板应变为

ε＝

εｘ

εｙ

γｘ

烅

烄

烆

烍

烌

烎ｙ

＝

－ｚ２ｗｘ２

－ｚ２ｗｙ２

－２ｚ２ｗｘ

烅

烄

烆

烍

烌

烎ｙ

＝ｚ

κｘ

κｙ

κｘ

烅

烄

烆

烍

烌

烎ｙ

＝ｚκ （１７２１）

其中，κ称为广义应变。薄板应力为

σ＝Ｄ′ε＝ｚＤ′κ （１７２２）

其中，Ｄ′为平面应力问题的弹性矩阵。薄板内力或称广义应力为

Ｍ＝

Ｍｘ

Ｍｙ

Ｍｘ

烅

烄

烆

烍

烌

烎ｙ

＝－ｈ３

１２Ｄ′

２ｗｘ２

２ｗｙ２

２２ｗｘ

烅

烄

烆

烍

烌

烎ｙ

＝Ｄκ （１７２３）

其中

Ｄ＝ｈ３

１２Ｄ′＝Ｄ１ ν ０ν １ ００ ０ （１－ν）／

熿

燀

燄

燅２

（１７２４）

将最小势能原理用于整个薄板

７１３１７２ 有 限 条 法

Πｐ＝∑ｅΠｅｐ＝∑

ｅ

１２ΩεＴσｄｘｄｙｄｚ－Γσ

ｗｑｄ（ ）Γ＝∑

ｅ

１２∫

ｂ

０∫ａ

０κＴＭｄｘｄｙ－∫

ｂ

０∫ａ

０ｗｑｄｘｄ（ ）ｙ

＝∑ｅ

１２∫

ｂ

０∫ａ

０κＴＤκｄｘｄｙ－∫

ｂ

０∫ａ

０ｗｑｄｘｄ（ ）ｙ （１７２５）

将式（１７１６）代入广义应变计算式，可得

κ＝∑ｒ

ｍ＝１Ｂｍａｅｍ ＝Ｂａｅ （１７２６）

代入式（１７２５）得

Πｐ＝∑ｅ

１２ａ

ｅＴＫｅａｅ－ａｅＴＰ（ ）ｅ （１７２７）

其中单元刚度矩阵为

Ｋｅ＝∫ｂ

０∫ａ

０ＢＴＤＢｄｘｄｙ＝

ｋ１１ ｋ１２ ⋯ ｋ１ｒｋ２１ ｋ２２ ⋯ ｋ２ｒ

… … … …

ｋｒ１ ｋｒ２ ⋯ ｋ

熿

燀

燄

燅ｒｒ

（１７２８）

其中

ｋｍｎ＝∫ｂ

０∫ａ

０ＢＴｍＤＢｎｄｘｄｙ （１７２９）

式（１７２７）中的单元等效节线荷载向量为

Ｐｅ＝∫ｂ

０∫ａ

０ＮＴｑｄｘｄｙ＝∫

ｂ

０∫ａ

０

ＮＴ１ＮＴ２…

ＮＴ

熿

燀

燄

燅ｒ

ｑｄｘｄｙ （１７３０）

对于级数的第ｍ 项，有

Ｐｅｍ＝∫ｂ

０∫ａ

０ＮＴｍｑｄｘｄｙ （１７３１）

由于级数各项互不耦合，故可以先就每项计算，然后叠加。对于第ｍ 项，有

Πｐｍ＝∑ｅ

１２ａ

ｅＴｍＫｅｍａｅｍ－ａｅＴｍＰｅ（ ）ｍ ＝１２ａＴｍＫｍａｍ－ａＴｍＰｍ （１７３２）

８１３ 第１７章 有限单元法旁系发展

令上述泛函变分为零，可得整体刚度方程

Ｋｍａｍ＝Ｐｍ （１７３３）

其中，Ｋｍ，ａｍ，Ｐｍ 分别为对应第ｍ 项的整体刚度矩阵、整体节线位移向量、整

体节线荷载向量。

１７２３ 简单讨论

有限条法是一种半离散结构分析方法，其基本思路和解题过程与有限单元

法相似。两者相比，有限条法具有下述优点：由于维数的降低，输入数据量大大

减少；子域数目远小于单元数，节线或界面数目远小于节点数目，因此整体刚度

矩阵的阶数与带宽大为减少。有限条法特别适用于有规则几何形状与简支边界

条件的结构，例如板式、肋梁式结构。

当然，有限条法的适应性不如有限单元法那样强，例如难以处理边界条件非

简支和沿跨方向为变截面的结构问题。

１７３ 有限元线法

１７３１ 基本思想

有限元线法（ＦｉｎｉｔｅＥｌｅｍｅｎｔＭｅｔｈｏｄｏｆＬｉｎｅｓ，简称ＦＥＭＯＬ）是一种以常微

分方程求解器为支撑软件的半解析数值方法，是经典的线法与有限元技术相结

合的产物（文献８９，２６）。

线法是一种古老的结构分析方法，其基本思想是利用差分技术将结构的控

制微分方程半离散成定义在节线上的常微分方程组，然后利用解析法或数值法

求解该方程组。经典的线法有两个缺陷，即求解区域限于规则区域和求解常微

分方程组比较困难，因而长期没有得到发展。有限元技术的引入使有限元线法

可以求解任意区域的问题；高效常微分方程求解器的应用克服了常微分方程组

求解的困难。有限元线法的具体分析步骤如下（文献２６）：

（１）结构离散：将结构划分为由节线和端边组成的单元，并用单元集合体代

替结构；

（２）单元分析：以单元节线位移函数为基本未知函数，并通过插值用节线位

移函数表示单元内的位移；求出单元应力和应变，进而写出单元用节线位移函数

表示的半离散势能泛函；

（３）整体分析：将各单元的势能泛函集成，得到结构的总势能泛函；利用势能

变分原理推导出用节线位移表示的一组常微分方程及其相应的边界条件，即有

９１３１７３ 有限元线法

限线法的ＯＤＥ（ＯｒｄｉｎａｒｙＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕａｔｉｏｎ）体系；

（４）数值求解：采用高效求解器求解ＯＤＥ体系，得到节线位移；然后进一步

求解其他未知量。

可见，有限元线法的基本原理（即变分原理）与有限单元法的相同，解题的基

本步骤也是完全相似的。

１７３２ 数值方法

（１）结构离散

现以图１７４所示的薄板弯曲问题为例，对有限元线法加以阐释。采用

ＦＥＭＯＬ矩形单元对板进行离散，每个单元有两个节线和两个端边。与有限条

法相同，每根节线有两个位移自由度，即沿ｚ方向的挠度和绕ｙ轴的转角。这

样，每个单元有４个节线位移ｗ１，θ１，ｗ２，θ２。

图１７４ ＦＥＭＯＬ矩形单元

（２）位移函数

设单元中心的整体坐标为（ｘ０，ｙ０）。定义局部坐标

ｘ＝ｘ０＋ａξ， ｙ＝ｙ０＋ｂη （１７３４）

单元位移函数可表示为

ｗ＝Ｎａｅ （１７３５）

其中形函数矩阵为

Ｎ＝［Ｎ１（ξ） Ｎ２（ξ） Ｎ３（ξ） Ｎ４（ξ）］ （１７３６）

而

Ｎ１＝（ξ３－３ξ＋２）／４

Ｎ２＝ａ（ξ３－ξ２－ξ＋１）／４

Ｎ３＝（－ξ３＋３ξ＋２）／４

Ｎ４＝ａ（ξ３＋ξ２－ξ－１）／

烍

烌

烎４

（１７３７）

０２３ 第１７章 有限单元法旁系发展

单元节线位移向量为

ａｅ＝［ｗ１（η） θ１（η） ｗ２（η） θ２（η）］Ｔ （１７３８）

（３）刚度方程

将式（１７３５）代入广义应变计算式得

κ＝

κｘ

κｙ

κｘ

烅

烄

烆

烍

烌

烎ｙ

＝

－２ｗｘ２

－２ｗｙ２

－２２ｗｘ

烅

烄

烆

烍

烌

烎ｙ

＝

－１ａ２Ｎ″ａｅ

－１ｂ２Ｎａ″ｅ

－２ａｂＮ′ａ′

烅

烄

烆

烍

烌

烎ｅ

（１７３９）

将最小势能原理应用于整个薄板结构，并将上式代入得

Πｐ＝∑ｅΠｅｐ＝∑

ｅ

１２Ａｅ

κＴＤκｄｘｄｙ－Ａｅｗｑｄｘｄ（ ）ｙ

＝１２∫１

－１［ａ″ＴＡａ″＋２νａＴＢ１ａ″＋２（１－ν）ａ′ＴＢ２ａ′＋ａＴＣａ］ｄη－∫

１

－１ａＴＰｄη

上式经过分部积分，并令其变分为零，可得用节线位移函数表示的常微分方程组

Ａａ（４）＋Ｂａ″＋Ｃａ＝Ｐ （１７４０）

以及相应的边界条件（略）。其中，Ａ，Ｂ等为系数矩阵；ａ为整体节线位移向量。

１７３３ 简单讨论

在有限条法中，为了避免求解节线方向的常微分方程组，假定了节线方向位

移的分布形式。在有限元线法中，由于对节线位移函数不做任何事先假定，而是

通过求解常微分方程来优选，因而较有限条法更为方便灵活且能得到较高的精

度。因此，有限元线法可以看成通过求解节线方向的常微分方程组从而得到节

线方向最优解的有限条法。

在有限元线法中，由于采用有限元技术进行半离散化，因而较传统的线法对

求解区域的适应能力为高。由于取节线位移而不是节点位移作为基本未知量，

因而网格划分及数据输入较有限单元法简单。采用节线和单元映射等技术，有

限元线法可以求解任意区域的问题，在最大程度上实现有限单元法对结构形状、

荷载形式及边界条件的良好适应性，并克服有限单元法的某些不足之处。目前，

有限元线法已经成功地应用于求解平面问题、空间问题、板壳结构等各种结构分

析领域。

１２３１７３ 有限元线法

１７４ 无 网 格 法

１７４１ 基本思想

有限单元法在处理网格大变形、裂纹扩展等问题时遇到困难，其主要原因是

网格的存在妨碍了处理与原始网格不一致的不连续面。因此，学者们从２０世纪

７０年代开始，广泛研究不用单元和网格的数值方法。到目前为止，已经提出了

十多种这类方法（文献６３，１３），可以统称为无网格法（ＭｅｓｈｌｅｓｓＭｅｔｈｏｄ）。

为简洁起见，阐述中以标量场问题为例。各种无网格法均在求解域Ω内取

一组离散节点，节点ｉ的坐标为ｘｉ（ｉ＝１，２，⋯，ｎ），把与节点ｉ相关联的场变量

记为ｕｉ，并采用数值方法求ｕｉ的近似解。具体做法是采用有紧支域（也称为影

响域）的权函数，使近似解在某区域内更好地逼近真实解。在二维情况下，常用

的紧支域为圆或矩形（图１７５）。图中的粗线是全域的边界线，细线为与节点ｉ相关联的紧支域，标记为Ωｉ。权函数在紧支域上非零，在紧支域外的剩余域为

零。紧支域之间相互有重叠部分，实际计算中通常可取５～１０个紧支域重叠在

一个节点上。

图１７５ 紧支域

无单元法（Ｅｌｅｍｅｎｔ?ｆｒｅｅＭｅｔｈｏｄ，ＥＦＭ）属于无网格法（文献５５，８），其数学基

础是移动最小二乘法（ｍｏｖｉｎｇｌｅａｓｔ?ｓｑｕａｒｅａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ，ＭＬＳ）。本节只以该法

为例说明无网格法的具体步骤（文献７６）。

１７４２ 数值方法

（１）移动最小二乘法

移动最小二乘法是用加权最小二乘法来近似场函数的一种方法。下面以定

义于二维域内的标变量场问题为例，来说明移动最小二乘法的基本思想。

设给定场函数ｕ（ｘ）在ｎ个节点ｘｉ（ｘ，ｙ）上的值ｕ（ｘｉ）＝ｕｉ（ｉ＝１，２，⋯，

ｎ），场函数ｕ（ｘ）可以近似为

ｕ（ｘ）＝∑ｍ

ｊ＝１ｐｊ（ｘ）ａｊ（ｘ）＝ｐＴ（ｘ）ａ（ｘ） （１７４１）

２２３ 第１７章 有限单元法旁系发展

其中，ｐ（ｘ）为ｍ 维基向量。基向量可以采用一般多项式基、正交多项式基、小

波基函数等。一般多项式基取自完全多项式，例如平面问题中的一次基和二次

基分别为

ｐ（ｘ）＝［１ ｘ ｙ］Ｔ， ｐ（ｘ）＝［１ ｘ ｙ ｘ２ ｘｙ ｙ２］Ｔ

式（１７４１）中的ａ（ｘ）为ｍ 维待定系数向量，它是坐标ｘ的函数，可由下式

在任意点ｘ取极小而得到

Ｊ＝∑ｎ

ｉ＝１ｗｉ（ｘ）［ｐＴ（ｘｉ）ａ（ｘ）－ｕｉ］２＝∑

ｎ

ｉ＝１ｗ（ｘ－ｘｉ）［ｐＴ（ｘｉ）ａ（ｘ）－ｕｉ］２

（１７４２）

其中，ｗ（ｘ）为权函数，ｗｉ（ｘ）＝ｗ（ｘ－ｘｉ）为节点ｉ的权函数；ｎ为ｘ点影响域

内的节点数，这些节点成为点ｘ的临近节点。

Ｊａ＝２∑

ｎ

ｉ＝１ｗｉ（ｘ）ｐ（ｘｉ）［ｐＴ（ｘｉ）ａ（ｘ）－ｕｉ］＝０

即

∑ｎ

ｉ＝１ｗｉ（ｘ）ｐ（ｘｉ）ｐＴ（ｘｉ）ａ（ｘ）＝∑

ｎ

ｉ＝１ｗｉ（ｘ）ｐ（ｘｉ）ｕｉ

写成矩阵形式

Ａ（ｘ）ａ（ｘ）＝Ｂ（ｘ）ｕ （１７４３）

其中，Ａ（ｘ）为ｍ×ｍ 阶矩阵，Ｂ（ｘ）为ｍ×ｎ阶矩阵，ｕ为ｎ维向量，它们的表

达式为

Ａ（ｘ）＝∑ｎ

ｉ＝１ｗｉ（ｘ）ｐ（ｘｉ）ｐＴ（ｘｉ）

Ｂ（ｘ）＝［ｗ１（ｘ）ｐ（ｘ１） ⋯ ｗｎ（ｘ）ｐ（ｘｎ）］

ｕ＝［ｕ１ ｕ２ ⋯ ｕｎ］Ｔ， ｗｉ（ｘ）＝ｗ（ｘ－ｘｉ

烍

烌

烎）

（１７４４）

由式（１７４３）可解得

ａ（ｘ）＝Ａ－１（ｘ）Ｂ（ｘ）ｕ （１７４５ａ）

即

ａｊ（ｘ）＝∑ｎ

ｉ＝１［Ａ－１（ｘ）Ｂ（ｘ）］ｊｉｕｉ （１７４５ｂ）

将式（１７４５）代入式（１７４１）得

３２３１７４ 无 网 格 法

ｕ（ｘ）＝∑ｍ

ｊ＝１ｐｊ（ｘ）ａｊ（ｘ）＝∑

ｎ

ｉ＝１∑ｍ

ｊ＝１ｐｊ（ｘ）［Ａ－１（ｘ）Ｂ（ｘ）］ｊｉｕｉ （１７４６）

定义形函数

ｉ（ｘ）＝∑ｍ

ｊ＝１ｐｊ（ｘ）［Ａ－１（ｘ）Ｂ（ｘ）］ｊｉ （１７４７）

则式（１７４６）可写成有限单元法中熟悉的表达式

ｕ（ｘ）＝∑ｎ

ｉ＝１ｉ（ｘ）ｕｉ （１７４８）

（２）权函数的选取

权函数在无网格法中具有非常重要的作用。就数值逼近而言，使用权函数

可以使近似解和精确解在某一划定区域上拟合得更好。选取节点ｉ的权函数

ｗｉ（ｘ）＝ｗ（ｘ－ｘｉ）时，要满足下列条件：

非负；保证ａ（ｘ）的唯一性；在自身节点ｘｉ处取值最大，并随ｘ与ｘｉ的距离

增加而逐渐减小，在某距离外取零值；具有一定阶次的连续性，以保证插值函数

从而近似解连续可导。

通常将权函数表达为两点距离的函数，即

ｗｉ（ｘ）＝ｗｉ（ｒｉ） （１７４９）

其中，ｒｉ＝‖ｘ－ｘｉ‖表示两点ｘ与ｘｉ之间的距离。例如，获得广泛应用的有理

式权函数为

ｗｉ（ｒｉ）＝ｒ２ｍｉ

ｒ２ｉ＋ε２ｒ２ｍｉ１－ｒ２ｉｒ２（ ）ｍｉ

ｋ

ｒｉ≤ｒｍｉ

０ ｒｉ＞ｒ烅烄

烆 ｍｉ

（１７５０）

其中ε为参数。

（３）离散化方法

在无单元伽辽金法中，从微分方程在局部子域上的弱形式出发来建立离散

方程。局部子域Ωｓ完全在整体域Ω的内部，通常为球（三维）和圆（二维）。球

或圆的中心为所研究点的位置ｘ。为说明问题简单起见，以下列控制方程和边

界条件为例

Δ

２ｕ＝ｆ 在Ω内

ｕ（ｘ）＝珔ｕ（ｘ） 在Γｕ 上

ｕ，ｎ（ｘ）≡ｔ＝珋ｔ 在Γｔ烍烌

烎上

（１７５１）

其中，ｎ为边界的外法线。上述问题在局部子域上伽辽金方程为

４２３ 第１７章 有限单元法旁系发展

∫Ωｓ（

Δ

２ｕ－ｆ）ｖｄΩ－α∫Γｓｕ（ｕ－珔ｕ）ｖｄΓ＝０ （１７５２）

其中，ｕ是近似函数；ｖ是试探函数；Γｓｕ 是子域Ωｓ的边界Γｓ中有基本边界条件

的边界。如果子域完全位于整体域内，那么Γｓ与整体边界Γ不相交，在Γｓｕ 上的

边界积分自然也就为零。

用移动最小二乘法近似变量ｕ时，不容易直接预先满足基本边界条件。因

此式（１７５２）中引入的罚参数α（α１），用来满足基本边界条件。用散度定理，

容易将式（１７５２）化为

∫Γｓｎｉｕ，ｉｖｄΓ－∫Ωｓ（ｕ，ｉｖ，ｉ＋ｆｖ）ｄΩ－α∫Γｓｕ（ｕ－珔ｕ）ｖｄΓ＝０

子域的全部边界为Γｓ＝Γｓｕ＋Γｓｔ＋Γｓｒ，其中Γｓｒ＝Γｓ∪Γ为局部边界的其他部

分。注意到问题的边界条件，上式可写为

∫ΓｓｒｔｖｄΓ＋∫ΓｓｕｔｖｄΓ＋∫Γｓｔ珋ｔｖｄΓ－∫Ωｓ（ｕ，ｉｖ，ｉ＋ｆｖ）ｄΩ－α∫Γｓｕ（ｕ－珔ｕ）ｖｄΓ＝０

（１７５３）

为简化方程（１７５３），可特别选择试探函数，使其在边界Γｓｒ 上等于零。在

移动最小二乘法中，将权函数作为试探函数，那么上述要求很容易满足，即只要

将局部子域Ωｓ的半径作为权函数的紧支域半径ｒｍｉ即可。采用这种试探函数，

重新排列式（１７５３）得

∫Ωｓｕ，ｉｖ，ｉｄΩ＋α∫ΓｓｕｕｖｄΓ－∫ΓｓｕｔｖｄΓ＝∫Γｓｔ珋ｔｖｄΓ＋α∫Γｓｕ珔ｕｖｄΓ－∫ΩｓｆｖｄΩ（１７５４）

对于任意一点ｘ，方程（１７５４）就像在Ωｓ上处理局部边值问题。子域的半

径将影响方程的解。对于一个点（因而是对一个局部域）应用式（１７５４），将得到

一个含有未知量的线性方程。对于整个域应用该式，可以得到与节点数相同的

线性代数方程组。因此，在整个域中就需要有节点数相同的局部域。将移动最

小二乘法的近似式（１７４８）代入式（１７５４），得到离散方程组

Ｋｕ＝Ｆ （１７５５）

其中

Ｋｉｊ＝∫Ωｓｊ，ｋ（ｘ）ｖ，ｋ（ｘ，ｘｊ）ｄΩ＋α∫Γｓｕｊ（ｘ）ｖ（ｘ，ｘｉ）ｄΓ－∫Γｓｕｊ，ｎ（ｘ）ｖ（ｘ，ｘｉ）ｄΓ

（１７５６）

５２３１７４ 无 网 格 法

Ｆｉ＝∫Γｓｔ珋ｔ（ｘ）ｖ（ｘ，ｘｉ）ｄΓ＋α∫Γｓｕ珔ｕ（ｘ）ｖ（ｘ，ｘｉ）ｄΓ－∫Ωｓｆ（ｘ）ｖ（ｘ，ｘｉ）ｄΩ

（１７５７）

１７４３ 简单讨论

无单元法与有限单元法一样，也是利用形函数构造近似解来逼近真实解；但

在两种方法中形成形函数的数学基础不同。无单元伽辽金法以移动最小二乘法

为基础，从微分方程的弱变分形式出发，导出求解问题的代数方程。

采用无网格法建立代数方程组时仅需要对节点和边界条件进行描述，从而

避免了单元网格划分工作，前处理极为简单。在无网格法中，场函数及其梯度在

整个求解域内是高次连续的，故可得到高次连续的应变场和应力场等，计算精度

高且不需要有限单元法中的应力处理，从而克服了有限单元法中由于场函数的

局部近似所引起的误差。

有限单元法依赖于网格，因此在处理裂纹扩展问题时，需要不断地重新划分

网格，这使得工作量激增从而限制了应用；在大变形情况下，网格发生畸变将使

精度降低甚至求解失败。无网格法只需要节点信息而不需要网格，故只要预先

沿着裂纹可能扩展的方向布置节点就可以方便地跟踪裂纹扩展过程；因不需要

网格，也就没有网格畸变问题（文献１４）。

目前，无网格法的计算效率不如有限单元法；由于无网格法中的近似函数不

通过节点变量值，因此要满足基本边界条件（指已知函数值得边界条件即第一类

边界条件）就比较困难，这也是无网格法的一个难点。

１７５ 结 语

本章只是简要地介绍了与有限单元法密切相关的几种数值方法，包括边界

单元法、有限条法、有限元线法和无网格法，目的是帮助读者大致了解各种方法

的基本思想与特点。

习 题

１７１ 试简要叙述边界单元法、有限条法、有限元线法、无网格法的基本思想与

特点。

６２３ 第１７章 有限单元法旁系发展

参考文献

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