Finanční matematika Finanční matematika 2. část2. část

Matematika – 9. ročníkMatematika – 9. ročník

Základní škola Jakuba Jana Ryby Rožmitál pod TřemšínemEfektivní výuka pro rozvoj potenciálu žáka

projekt v rámci Operačního programuVZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

ObsahObsah Jednoduché úrokováníJednoduché úrokování

opakování vzorcůopakování vzorců úvěry – půjčkyúvěry – půjčky procvičeníprocvičení půjčky Exprespůjčky Expres

Složené úrokováníSložené úrokování vzorcevzorce procvičeníprocvičení

Finanční slovníčekFinanční slovníček

Jednoduché úrokování -Jednoduché úrokování - vzorce pro výpočet (opakování) vzorce pro výpočet (opakování)

úrok – u úrok – u (procentová část)

jistina – j (základ)

up = j

uj = p

u = p . j

u = 2 % z 15 000 Kč = 0,02 . 15 000

úroková sazba – púroková sazba – p úroková míra (%) – 100 . p(počet procent)

j + uj = 1 + p

u = p . j

ut = p . j . t

uz = 0,85 . p . jvýpočet úroku uvýpočet úroku uzz

po 15% zdaněnípo 15% zdanění

výpočet úroku uvýpočet úroku uza 1 rokza 1 rok

výpočet úroku uvýpočet úroku utt

za úrokovou dobu tza úrokovou dobu t

výpočet celkové částky - jvýpočet celkové částky - jcc

jc= vklad (jistina) + úrok po zdanění

jc = j + 0,85 . p . j

jjcc = j . (1 + 0,85 . p) = j . (1 + 0,85 . p)

Úvěry - půjčkyÚvěry - půjčky Peněžní ústavy nejen přijímají vklady, Peněžní ústavy nejen přijímají vklady,

ale také poskytují úvěry (půjčky).ale také poskytují úvěry (půjčky). Z úvěru platí dlužník úroky v pravidelných Z úvěru platí dlužník úroky v pravidelných

splátkách.splátkách. Úrokové sazby z úvěrů jsou značně vyšší než z Úrokové sazby z úvěrů jsou značně vyšší než z

vkladů. Peněžní ústavy pracují na zisk.vkladů. Peněžní ústavy pracují na zisk. Kdo si chce z peněžního ústavu půjčit peníze, Kdo si chce z peněžního ústavu půjčit peníze,

požádá ústav písemně o úvěr.požádá ústav písemně o úvěr. Smlouvou o půjčce se stanoví konkrétní Smlouvou o půjčce se stanoví konkrétní

podmínky – výše úvěru, způsob úročení, doba podmínky – výše úvěru, způsob úročení, doba splácení, počet splátek a jejich výše.splácení, počet splátek a jejich výše.

Banka poskytla podnikateli Malému úvěr 270 000 Kč s Banka poskytla podnikateli Malému úvěr 270 000 Kč s úrokovou mírou 15,8%. Vypočítejte úrok z tohoto úvěru úrokovou mírou 15,8%. Vypočítejte úrok z tohoto úvěru po uplynutí 10 měsíců téhož roku, kdy byl poskytnut.po uplynutí 10 měsíců téhož roku, kdy byl poskytnut.

Úrok z úvěru po uplynutí 10 měsíců je 35 550 Kč.

ut = 0,158 . 270 000 . 5 : 6

ut = 35 550 Kč

ut = p . j . t

j = 270 000 Kčp = 0,158t = 10/12 roku = 5/6 rokuut = ? Kč

Poštovní spořitelna poskytla podnikateli Holému úvěr 780 000 Poštovní spořitelna poskytla podnikateli Holému úvěr 780 000 Kč s úrokovou mírou 16,5%. Vypočítejte úrok z tohoto úvěru Kč s úrokovou mírou 16,5%. Vypočítejte úrok z tohoto úvěru po uplynutí 9 měsíců téhož roku, kdy byl poskytnut. po uplynutí 9 měsíců téhož roku, kdy byl poskytnut.

Úrok z úvěru po uplynutí 9 měsíců je 96 525 Kč.

ut = 0,165 . 780 000 . 0,75

ut = 96 525 Kč

ut = p . j . t

j = 780 000 Kčp = 0,165t = 9/12 roku = 3/4 rokuut = ? Kč

Půjčky Expres – výše měsíčních splátekPůjčky Expres – výše měsíčních splátek

Počet Počet měs. měs.

spláteksplátek

Půjčka Půjčka

30 000 Kč30 000 Kč

Půjčka Půjčka

40 000 Kč40 000 Kč

Půjčka Půjčka

50 000 Kč50 000 Kč

Půjčka Půjčka

60 000 Kč60 000 Kč

2424 1 5121 512 2 0162 016 2 5202 520 3 0243 024

3030 1 2631 263 1 6851 685 2 1062 106 2 5272 527

4040 1 0101 010 1 3471 347 1 6841 684 2 0202 020

5050 849849 1 1321 132 1 4151 415 1 6981 698

6060 737737 983983 1 2291 229 1 475 1 475

pokračuj

Půjčky ExpresPůjčky Expres

Půjčíš si 50 000 Kč na splátky ve 30 Půjčíš si 50 000 Kč na splátky ve 30 měsících, zaplatíš:měsících, zaplatíš:30 . 2 106 = 30 . 2 106 = 63 180 Kč63 180 Kč

Půjčíš si 50 000 Kč na splátky v 60 Půjčíš si 50 000 Kč na splátky v 60 měsících, zaplatíš:měsících, zaplatíš:60 . 1 229 = 60 . 1 229 = 73 740 Kč73 740 Kč

Jednoduché a složené úrokováníJednoduché a složené úrokování Jednoduché úrokováníJednoduché úrokování

úroky se počítají stále z počátečního vkladu úroky se počítají stále z počátečního vkladu (nepočítají se úroky z úroků)(nepočítají se úroky z úroků)

užívá se v praxi, je-li úrokovací doba menší užívá se v praxi, je-li úrokovací doba menší nebo rovna jednomu úrokovacímu obdobínebo rovna jednomu úrokovacímu období

Složené úrokováníSložené úrokování na konci 1. úrokovacího období se úrok na konci 1. úrokovacího období se úrok

počítá z vložené částky; na konci dalších počítá z vložené částky; na konci dalších úrokovacích období se úrok vypočítává z úrokovacích období se úrok vypočítává z částky, která se skládá z původního vkladu částky, která se skládá z původního vkladu a již dříve připsaných úrokůa již dříve připsaných úroků

Složené úrokováníSložené úrokování

úroky se připočítávají k počátečnímu úroky se připočítávají k počátečnímu vkladu a spolu s ním se dále úročívkladu a spolu s ním se dále úročí

při výpočtu úroku za období, které je delší při výpočtu úroku za období, které je delší než 1 roknež 1 rok

j = 35 000 Kčp = 0,049n ....3 rokyj + u = ?

Pan Červený si chce uložit v bance 35 000 Kč na termínovaný vklad na 3 roky s roční úrokovou mírou 4,9%. Kolik korun banka vyplatí panu Červenému za 3 roky po odečtení 15% daně při složeném úrokování?

jjcc = j . (1 + 0,85 . p) = j . (1 + 0,85 . p)

jjcc = 35 000.(1 + 0,85.0,049) = 35 000.(1 + 0,85.0,049)

jjcc = 36 457,75 = 36 457,75

po 1. roce

jjcc = j . (1 + 0,85 . p) = j . (1 + 0,85 . p)

jjcc = 36 457,75.(1 + 0,85.0,049) = 36 457,75.(1 + 0,85.0,049)

jjcc = 37 976,22 = 37 976,22

po 2. roce

jjcc = j . (1 + 0,85 . p) = j . (1 + 0,85 . p)

jjcc = 37 976,22.(1 + 0,85.0,049) = 37 976,22.(1 + 0,85.0,049)

jjcc = 39 557,93 = 39 557,93

po 3. roce

Banka vyplatí panu Červenému po 3 letech 39 557,90 Kč.

Výpočet celkové částky po Výpočet celkové částky po nn letech letech

jjc ...... c ...... celková částkacelková částka

jjcc = j . (1 + 0,85 . p) = j . (1 + 0,85 . p)nn

jc= vklad (jistina) + úrok po zdanění

jc = j + 0,85 . p . j

jjcc = j . (1 + 0,85 . p) = j . (1 + 0,85 . p)

za 1 rokza 1 rok

za za n n roků roků

nn ...... ...... počet let úročenípočet let úročení

j = 35 000 Kčp = 0,049n ....3 rokyj + u = ?

Pan Červený si chce uložit v bance 35 000 Kč na termínovaný vklad na 3 roky s roční úrokovou mírou 4,9%. Kolik korun banka vyplatí panu Červenému za 3 roky po odečtení 15% daně při složeném úrokování?

jjcc = j . (1 + 0,85 . p) = j . (1 + 0,85 . p)nn

jjcc = 35 000 . (1 + 0,85 . 0,049) = 35 000 . (1 + 0,85 . 0,049)33

jjcc = 35 000 . 1,130228419 = 35 000 . 1,130228419

jjcc = 39 557,90 Kč = 39 557,90 Kč

Banka vyplatí panu Červenému po 3 letech 39 557,90 Kč.

Výpočet celkové částky po Výpočet celkové částky po nn letech letechv jednoduchém a složeném úrokovánív jednoduchém a složeném úrokování

jjcc = j . (1 + 0,85 . p) = j . (1 + 0,85 . p)nn

jjcc = j . (1 + 0,85 . p . n) = j . (1 + 0,85 . p . n)

jjcc ..... celková částka ..... celková částka

j ...... jistinaj ...... jistinap ....roční úroková míra vyjádřená deset. číslemp ....roční úroková míra vyjádřená deset. číslemn ..... počet let úročenín ..... počet let úročenídaň z úroku je 15%daň z úroku je 15%

Jednoduché úrokováníJednoduché úrokování

Složené úrokováníSložené úrokování

j = 300 000 Kčp = 0,05n = 3 rokyj + u = jc =?

Pan Malý šetřil na koupi bytu a uložil si částku 300 000 Kč na 3 roky s úrokovou mírou 5%. Na jakou hodnotu v Kč vzroste jeho vklad při složeném úrokování?

jjcc = j . (1 + 0,85 . p) = j . (1 + 0,85 . p)nn

jjcc = 300 000 . (1 + 0,85 . 0,05) = 300 000 . (1 + 0,85 . 0,05)33

jjcc = 300 000 . 1,132995516 = 300 000 . 1,132995516

jjcc = 339 898,70 Kč = 339 898,70 KčPanu Malému vzroste vklad po 3 letech na 339 898,70 Kč.

Příklad:

Př. 1: Na kolik korun vzroste vklad 9 000 Kč za 10 let při úrokové míře 8,4%?

Procvičení

Př. 2: Pan Tomášek prodal horskou chatu za 480 000 Kč. Tuto částku si 1.1. 2003 uložil u banky jako termínovaný vklad s pětiletou výpovědní lhůtou. Určete hodnotu této jistiny po uplynutí smluvené doby, jestliže úroková míra byla 9,9%.

17 937,40 Kč

718 932,50 Kč718 932,50 Kč

řešení

řešenídalší

j = 9 000 Kčp = 0,084n = 10 letjc =?

jjcc = j . (1 + 0,85 . p) = j . (1 + 0,85 . p)nn

jjcc = 9 000 . (1 + 0,85 . 0,084) = 9 000 . (1 + 0,85 . 0,084)1010

jjcc = 9 000 . 1,99304186 = 9 000 . 1,99304186

jjcc = 17 937,40 Kč = 17 937,40 Kč

Za 10 let vzroste vklad na 17 937,40 Kč.

Př. 1: Na kolik korun vzroste vklad 9 000 Kč za 10 let při úrokové míře 8,4%? Jedná se o složené úrokování.

zpět

j = 480 000 Kčp = 0,099n = 5 letjc =?

jjcc = j . (1 + 0,85 . p) = j . (1 + 0,85 . p)nn

jjcc = 480 000 . (1 + 0,85 . 0,099) = 480 000 . (1 + 0,85 . 0,099)55

jjcc = 480 000 . 1,497776012 = 480 000 . 1,497776012

jjcc = 718 932,50 Kč = 718 932,50 Kč

Po 5 letech bude mít jistina hodnotu 718 932,50 Kč.

Př. 2: Pan Tomášek prodal horskou chatu za 480 000 Kč. Tuto částku si 1.1. 2003 uložil u banky jako termínovaný vklad s pětiletou výpovědní lhůtou. Určete hodnotu této jistiny po uplynutí smluvené doby, jestliže úroková míra byla 9,9%. zpět

Finanční slovníčekFinanční slovníček KlientKlient

zákazník, odběratel službyzákazník, odběratel služby AkontaceAkontace

zálohová úhrada části, případně celé zálohová úhrada části, případně celé dodávky zbožídodávky zboží

Manipulační poplatekManipulační poplatek poplatek za odborné zacházení s něčímpoplatek za odborné zacházení s něčím

Cenný papírCenný papír

obecné označení zejména pro akcie, podílové obecné označení zejména pro akcie, podílové listy, dluhopisy, směnky, šeky, které jsou listy, dluhopisy, směnky, šeky, které jsou písemným vyjádřením určitého práva, písemným vyjádřením určitého práva, pohledávky, majetkupohledávky, majetku

AkcieAkcie

cenný papír, který představuje cenný papír, který představuje podíl na jmění a zisku akciové podíl na jmění a zisku akciové společnostispolečnosti

BurzaBurza

místo, kde se uzavírají obchody s cennými místo, kde se uzavírají obchody s cennými papírypapíry

LeasingLeasing

- prodej na splátky- prodej na splátky

Akontace 30%Akontace 30% 90 000 Kč90 000 Kč

Manipulační poplatekManipulační poplatek 0 Kč0 Kč

Měsíční splátkaMěsíční splátka 7 193 Kč7 193 Kč

DoplatekDoplatek 122 Kč122 Kč

Klient celkem zaplatíKlient celkem zaplatí 349 070 Kč349 070 Kč

Automobil za 300 000 Kč, délka splácení 36 měsíců

Hypoteční úvěr, hypotékaHypoteční úvěr, hypotéka

půjčka poskytnutá se zástavním právem půjčka poskytnutá se zástavním právem k nemovitostik nemovitosti

Finanční matematika – 9. ročník ZŠFinanční matematika – 9. ročník ZŠ

Použitý software: držitel licence - ZŠ J. J. Ryby v Rožmitále p.Tř.Použitý software: držitel licence - ZŠ J. J. Ryby v Rožmitále p.Tř. Windows XP ProfessionalWindows XP Professional MS Office MS Office Zoner - České kliparty 1, 2, 3Zoner - České kliparty 1, 2, 3 učebnice matematikyučebnice matematikyObrázky z internetuObrázky z internetu

Autor: Mgr. Bohumila ZajíčkováAutor: Mgr. Bohumila ZajíčkováZŠ J. J. Ryby v Rožmitále p.Tř. (ZŠ J. J. Ryby v Rožmitále p.Tř. (www.www.zsrozmitalzsrozmital..czcz))