1

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FILTROS Como temos visto, quando temos elementos reativos nos

circuitos, as tenses sobre os elementos de um circuitos em CA so dependentes da frequncia. Este comportamento em circuitos montados como divisores de tenso permite que quando alimentados com tenses de diferentes frequncias, sobre os elementos do circuito possamos ter tenses significativas em algumas frequncias e em outras no. Esta a caracterstica destes circuitos que permite a sua utilizao como filtros de frequncia.

Na terminologia destes circuitos teremos ento uma tenso de alimentao (Vi) do gerador e uma tenso de sada (Vo), a tenso sobre um elemento escolhido do circuito. Estaremos interessados na anlise do comportamento desta tenso de sada Vo para diferentes frequncias da fonte de alimentao Vi.

Esta anlise se d basicamente na identificao de intervalos de frequncia onde a tenso no elemento escolhido tem valores significativos (sinais que passam) ou significativamente atenuados (sinais que so rejeitados). Como a variao destas tenses com a frequncia contnua, necessrio a definio de um valor limite para o qual se considera que elas sejam significativas ou no. Por conveno, toma-se como referncia o valor da potncia dissipada num elemento resistivo. Se esta potncia superior metade da potencia mxima (circuito resistivo), temos um sinal que passou, se inferior temos um sinal rejeitado. A frequncia para o qual temos o elemento dissipando metade da potncia mxima chamada de frequncia de meia potncia ou frequncia de corte c. Esta relao entre potncia fornecida e potncia dissipada medida em termos de Ganho (g), uma grandeza positiva, adimensional definida por:

= =

Assim, para a frequncia de corte c temos que quando g=1/2

() = 12

() = 12()

e quando

() = 12 ||||

= 12

2

2

Filtros passa-baixa So utilizados para permitir valores significativos de tenso no

elemento quando o circuito alimentado por uma tenso senoidal de baixa frequncia, enquanto que tenses senoidais de alta frequncia so atenuadas. A frequncia de corte c usada para distinguir a banda passante (c ). Dois circuitos elementares so exemplos de um filtro passa-baixa. So eles o circuito RC, na tenso sobre o capacitor e o circuito RL, na tenso sobre o resistor, como podemos ver a seguir:

= ( )

= ( + )

= ( )

= ()

=

( )( )

= 1(1 + )

(1)

=

( + ) =

1(1 + )

= |||| = 1!1 + ()"#/

(2)

= |||| = 1%1 + & '(#/

E a defasagem da tenso na sada :

) = *+,- 1 = *+,-() (3) ) = *+,-

= *+,-( )

Na frequncia de corte c teremos:

3

3

= 1

(4) =

c = - 45

c = - 45

A razo |Vo/Vi| chamada de funo de transferncia H(), e os

grficos de ganho versus frequncia e ngulo de fase versus frequncia que vemos abaixo so chamados de resposta em frequncia do circuito.

Filtros passa-alta So utilizados para permitir valores significativos de tenso no

elemento quando o circuito alimentado por uma tenso senoidal de alta frequncia, enquanto que tenses senoidais de baixa frequncia so atenuadas. A frequncia de corte c usada para distinguir a banda passante (c>) da banda rejeitada (c

4

4

= ( )

= ( + )

= ()

= ()

= ( ) =

( )

= ( + ) =

( )

= |||| = !1 + ()"#/

= |||| =

%1 + & '(#/

E a defasagem da tenso na sada :

) = *+,- 1 = *+,-( 1) ) = *+,- = *+,-( )

Na frequncia de corte c teremos:

= 1

=

c = 45

c = 45

E a resposta em frequncia para ao ganho e o ngulo de fase

mostrado abaixo:

5

5

Filtro passa-banda (a) RLC paralelo na ressonncia

Um circuito est em ressonncia

quando a voltagem e a corrente esto nos terminais de entrada esto em fase (circuito resistivo). Nos circuitos com associaes em paralelo, mais confortvel trabalharmos com admintncias e condutncias em vez de reatncias e

resistncias. Assim temos que a admitncia do circuito :

. = 1/ = 1 + ( 1)

Na ressonncia Y(o) puramente resistiva e C=1/L ,ento o=(1/LC)1/2. A admitncia do circuito mnima, ou a impedncia Z(o)=R mxima. Ento, a tenso de sada mxima e dada por Vo(o)=RIi.

As frequncias 1 e 2 para as quais a potncia de sada cai pela metade so as frequncia de corte. Nestas frequncias |Vo(c)|=0.707|Vo(o)|.Como podemos ver no grfico acima, este circuito deixa passar todas as frequncias dentro de um intervalo limitado pelas frequncias de corte (1

6

6

|()| = %&1' + & 1'(#/ = 12

Cujas solues so:

# = 12 + 01 122

+ 1

e

= 12 + 01 122

+ 1

De onde obtemos que a largura de banda do circuito :

= 1 = 3

As frequncias de corte ser escritas em funo de o e como:

# = 32 + 01322

+ 4

e

= 32 + 01322

+4

De onde vemos que a frequncia de ressonncia

= 5#

a mdia geomtrica das frequncias de corte. Note que a largura de banda inversamente proporcional a R,

ou seja, menores valores de R resultam em maiores largura de bandas. A frequncia de ressonncia o uma funo de L e C e portanto, ajustando seus valores obtemos a frequncia de ressonncia desejada, enquanto que ajustando o valor de R a largura de banda e a intensidade da resposta so ajustadas.

A largura da curva de ressonncia quantitativamente determinada pelo Fator de Qualidade Q, definido como a razo entre a frequncia de ressonncia e a largura de banda.

7

7

6 = 43 =1 71 7 = 4 =

4 = 0

Na frequncia de ressonncia as correntes reativas so:

8 = 4 = 67 = 6 e

= 4 = 6 = 6

Como pode ser visto, dependendo do fator de qualidade Q, IL e IC podem ser muitas vezes superior corrente fornecida pela fonte (amplificao de corrente).

(b) RLC srie na ressonncia.

A impedncia do circuito :

/ = + ( 1

Na ressonncia Z puramente resistiva e novamente C=1/L,

logo o=(1/LC)1/2. A impedncia do circuito Z(o)=R mnima e a corrente mxima. Ento, a tenso de sada mxima e dada por Vo(o)=RI(o).

8

8

Novamente temos as frequncias de corte 1 e 2 determinadas como antes. Como podemos ver no grfico acima temos um circuito passa-faixa no intervalo de frequncias (1

9

9

# = 32 + 01322

+ 4

e

= 32 + 01322

+4

De onde vemos que a frequncia de ressonncia

= 5#

a mdia geomtrica das frequncias de corte.

Note que proporcional a R, ou seja, maiores valores de R correspondem a maiores larguras de banda. A frequncia de ressonncia o uma funo de L e C e, portanto, ajustando seus valores obtemos a frequncia de ressonncia desejada, enquanto que ajustando o valor de R a largura de banda e a intensidade da resposta so ajustadas.

A largura da curva de ressonncia quantitativamente determinada pelo fator de Qualidade Q, definido como a razo entre a frequncia de ressonncia e a largura de banda.

6 = 43 =1 7 7 = 4

= 14 = 10

Na frequncia de ressonncia as tenses reativas so: 8 = 4(4) = 6 e

= 14 (4) = 6

Como pode ser visto, na ressonncia,

dependendo do valor do fator de qualidade Q, VL e VC podem ser muitas vezes maior do que a tenso de alimentao (amplificao de voltagem).

10

10

Para circuitos com fator de qualidade muito alto, as frequncias de corte podem ser aproximadas para 1=0-/2 e 2=0+/2

Filtro corta-faixa.

Um filtro corta-faixa destinado a

rejeitar todas as frequncias dentro de uma determinada banda de frequncias (1

11

11

Como podemos ver na figura acima temos aqui um circuito que rejeita as frequncias no intervalo (1