Filtros espaciais - Departamento de Computação e...
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1Processamento de Imagens Médicas
Processamento e Recuperaçãode Imagens Médicas
Filtros espaciais
Prof. Luiz Otavio Murta Jr.Depto. De Computação e Matemática
(FFCLRP/USP)
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2Processamento de Imagens Médicas
Propriedades
• Operadores de suavização
▪ os elementos da máscara são positivos e somam um, de modo a que a saída é igual à entrada em regiões de constante intensidade
▪ A quantidade de suavização e remoção de ruído é proporcional à dimensão da máscara
▪ Transições abruptas (step edges) são tanto mais espalhadas (blurred) quanto maior for a dimensão da máscara
• Operadores diferenciais
▪ as coordenadas das máscaras tem sinais opostos para que se obtenha uma resposta máxima quando existem transições de intensidade (contraste)
▪ A soma dos valores é zero para que a resposta seja zero quando a região é constante
▪ As máscaras de primeira derivada produzem valores absolutos elevados em pontos de grande contraste
▪ As máscaras de segunda derivada produzem cruzamentos por zero em pontos de grande contraste
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3Processamento de Imagens Médicas
• Suavização (filtragem passa-baixas) de imagem
▪ filtro de média (box filter)
▪ filtro gaussiano
Suavização de imagem
2),(),( NjcirIcrON
Ni
N
Nj
++=
−= −=
2
2
2
2
1),(
d
eyxg−
=
( ) ( )22cc yyxxd −+−=
−= −=
++=N
Ni
N
Nj
jcirIjigcrO ),(),(),(
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4Processamento de Imagens Médicas
•Suavuzação (borramento)
Filtros espaciais
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5Processamento de Imagens Médicas
Filtros espaciais
•Suavuzação (borramento)
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6Processamento de Imagens Médicas
Filtros espaciais
•Suavuzação (borramento)
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7Processamento de Imagens Médicas
Filtros espaciais
•Suavuzação (borramento)
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8Processamento de Imagens Médicas
Filtros espaciais
•Suavuzação (borramento)
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9Processamento de Imagens Médicas
•Convolução 2D (bidimensional)
Filtros espaciais
ou
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10Processamento de Imagens Médicas
•Convolução 2D (bidimensional)
Filtros espaciais
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11Processamento de Imagens Médicas
Filtros espaciais
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12Processamento de Imagens Médicas
Filtros espaciais
•Convolução 2D (bidimensional)
sendo
Por exemplo:
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13Processamento de Imagens Médicas
Filtros espaciais
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14Processamento de Imagens Médicas
Filtros espaciais
Tratamento de fronteiras
, caso geral:
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15Processamento de Imagens Médicas
Filtros espaciais
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16Processamento de Imagens Médicas
Filtros espaciais
Mascaras (H):
a) quadrada; b) gaussiana; c) LoG
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17Processamento de Imagens Médicas
Filtros espaciais
Mascaras (H):
De fato, a equação pode assumir a forma geral:
;
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18Processamento de Imagens Médicas
Filtros espaciais
Propriedades da convolução 2D
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19Processamento de Imagens Médicas
Filtros espaciais
Propriedades da convolução 2D
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20Processamento de Imagens Médicas
Filtros espaciais
]11111[1 =H
Separabilidade da convolução 2D
Sejam:
e
dada a propriedade:
Podemos considerar:
=
1
1
1
2H
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21Processamento de Imagens Médicas
Filtros espaciais
]11111[1 =H
Separabilidade da convolução 2D
Sejam:
e
Podemos considerar:
Então:
=
1
1
1
2H
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22Processamento de Imagens Médicas
Filtros gaussianos
)(1
)(''
)()('
2
1)(
24
2
2
22
2
xgx
xg
xgx
xg
exgx
−=
−=
=−
22 yxr +=
Caso 2D:
)(),( rgyxh =
Caso 1D:
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23Processamento de Imagens Médicas
Filtros espaciais
Separabilidade da convolução 2D (H Gaussiano)
Seja:
Podemos considerar:
Então:
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24Processamento de Imagens Médicas
Filtros espaciais
Kernel Gaussiano (H Gaussiano)
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25Processamento de Imagens Médicas
Filtros espaciais
Convolução 2D (Função Delta)
Seja:
Sabemos que:
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26Processamento de Imagens Médicas
Filtros espaciais
Convolução 2D (Função Delta)
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27Processamento de Imagens Médicas
Filtros espaciais
Convolução 2D (Função Delta e Kernel Gaussiano)
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28Processamento de Imagens Médicas
Filtros espaciais
Filtro de mediana
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29Processamento de Imagens Médicas
Filtragem de mediana
• Seja uma lista ordenada de números reais. A mediana do conjunto A é o valor A[(n-1)/2]
▪ Exemplos
1,,0][ −= nii A
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30Processamento de Imagens Médicas
Filtros espaciais
Filtro de mediana
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31Processamento de Imagens Médicas
Filtros espaciais
Filtro de mediana
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32Processamento de Imagens Médicas
Filtros espaciais
Filtro de mediana
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33Processamento de Imagens Médicas
Filtragem temporal com filtro de mediana
Filtragem de Mediana da Sequência
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34Processamento de Imagens Médicas
Filtros espaciais
Filtro de mediana
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35Processamento de Imagens Médicas
Filtros espaciais
Filtro de mediana ponderada
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36Processamento de Imagens Médicas
Filtros espaciais
Tratamento de fronteiras
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37Processamento de Imagens Médicas
Filtros espaciais
Implementação dos filtros
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38Processamento de Imagens Médicas
Filtros espaciais
Tratamento de fronteiras
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39Processamento de Imagens Médicas
Propriedades
• Operadores de suavização
▪ os elementos da máscara são positivos e somam um, de modo a que a saída é igual à entrada em regiões de constante intensidade
▪ A quantidade de suavização e remoção de ruído é proporcional à dimensão da máscara
▪ Transições abruptas (step edges) são tanto mais espalhadas (blurred) quanto maior for a dimensão da máscara
• Operadores diferenciais
▪ as coordenadas das máscaras tem sinais opostos para que se obtenha uma resposta máxima quando existem transições de intensidade (contraste)
▪ A soma dos valores é zero para que a resposta seja zero quando a região é constante
▪ As máscaras de primeira derivada produzem valores absolutos elevados em pontos de grande contraste
▪ As máscaras de segunda derivada produzem cruzamentos por zero em pontos de grande contraste
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40Processamento de Imagens Médicas
Operadores diferenciais 2D
Derivada em relação a x:
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41Processamento de Imagens Médicas
Máscaras 1D
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42Processamento de Imagens Médicas
Detecção de transições (bordas)
• Operadores diferenciais de sinais 1D
1
1)()()('−
−
−
−
ii
iii
xx
xfxfxf
Máscara 1D centrada
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43Processamento de Imagens Médicas
• Gradiente duma função
Operadores diferenciais 2D
( )y
f
x
ff
= ,
( )
( )
( ) ]2/)1,1()1,1(
2/)1,1()1,1(
2/),1(),1([3
1
+−−+++
−−−−++
−−+
yxIyxI
yxIyxI
yxIyxIfx
fx
( )
( )
( ) ]2/)1,1()1,1(
2/)1,1()1,1(
2/)1,()1,([3
1
−+−+++
−−−+−+
−−+
yxIyxI
yxIyxI
yxIyxIfy
fy
Exemplo:
22
yx fff +
)/(tan 1 xy ff−
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44Processamento de Imagens Médicas
Operadores diferenciais 2D
Derivada em relação a x:
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45Processamento de Imagens Médicas
Operadores diferenciais 2D
( )vuu
I,
Derivada em relação a x:
Estendendo:
e
Então o gradiente é:
( )vuu
I,
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46Processamento de Imagens Médicas
Operadores diferenciais 2D
Gradiente:
Módulo do gradiente:
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47Processamento de Imagens Médicas
Operadores diferenciais 2D
Calculo do gradiente:
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48Processamento de Imagens Médicas
Operadores diferenciais 2D
Calculo do gradiente:
•em x
•em y
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49Processamento de Imagens Médicas
Operadores diferenciais 2D
101*1
1
1
−
=PxH
Kernels diferenciais (H) Prewitt:
e
e
−
=
1
0
1
*111PxH
−
−
−
=
101
101
101P
xH
−−−
=
111
000
111P
xH
-
50Processamento de Imagens Médicas
Operadores diferenciais 2D
Kernels diferenciais (H) Sobel:
e
O gradiente é:
Lembrando que:
−
−
−
=
101
202
101S
xH
−−−
=
121
000
121S
xH
),)(*(
),)(*(
8
1),(
vuHI
vuHIvuI
S
y
S
x
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51Processamento de Imagens Médicas
Operadores diferenciais 2D
O mesmo vale para Prewitt:
e ,
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52Processamento de Imagens Médicas
Operadores diferenciais 2D
−=
01
101
RH
O mesmo vale ainda para Roberts:
e
−=
10
012
RH
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53Processamento de Imagens Médicas
Operadores diferenciais 2D
−=
01
101
RH
O mesmo vale ainda para Roberts:
e
O detector:
−=
10
012
RH
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54Processamento de Imagens Médicas
Detectores de bordas
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55Processamento de Imagens Médicas
Detectores de bordas
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56Processamento de Imagens Médicas
Detectores de bordas
Algoritmo de Canny:
•Redução de ruídos
•Filtro Gaussiano
•Detecção do gradiente
•Magnitude e direção
•Supressão de não-máximos
•Busca por máximos efetivos na direção do gradiente
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57Processamento de Imagens Médicas
Detectores de bordas
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58Processamento de Imagens Médicas
Detector de bordas de Canny
Canny ( = 1) Canny ( = 4)
Canny ( = 1) Roberts (20%)
Original
Original
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59Processamento de Imagens Médicas
Detectores de bordas
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60Processamento de Imagens Médicas
Filtros espaciais
Filtro LoG:
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61Processamento de Imagens Médicas
Detector de bordas baseado na função Laplaciana – filtro LOG
),( yxg
2
2
2
2 ),(),(),(
y
yxg
x
yxgyxL
+
=
),( yxL− Chapéu mexicano
Máscara 11x11 (2=2)