11FILTRES DE FREQUENCES ACTIFS PASSE-BAS DE BUTTERWORTH

1re PARTIE : ETUDE THEORIQUE

On appelle filtre de frquences passe-bas idal (figure 1), un dispositifexcit par une tension dentre ve = Vem sin ( t) avec variable dont lemodule de la fonction de transfert est telle que :

T (j) =v

s

ve

= 1 pour < 1

T (j) = 0 pour > 1

Afin d'tablir des rsultats valables quelle que soit la valeur de 1, on effectue le changement devariable :

x =1

et s = j 1 soit : s = j xCe filtre idal est physiquement irralisable. Butterworth dans les annes 30 imagine un filtrepasse-bas d'ordre n (n entier > 1) capable d' approcher le filtre idal. Ce filtre passe-bas dordre npossde une fonction de transfert :

Tn(j x) = 1P

n(j x)

o Pn (jx) est un polynme complexe de degr n tel que le module de la fonction de transfertsatisfasse lquation :

T n (j x) =1

1 + x 2n

Les polynmes Pn (s) sont donns dans le tableau suivant pour un ordre n variant de 1 6.

1.1) Calculer pour n =1, 2 et 3 le module des polynmes Pn (s) en fonction de x. Vrifier la propritdu module de la fonction de transfert |Tn (jx)|.1.2) Exprimer en dcibels la fonction |Tn (jx)| du filtre et montrer que la pulsation de coupure 1 - 3 dB est indpendante du degr n du polynme.

1.3) Tracer le graphe asymptotique de Bode de |Tn (jx)| pour n = 1, 2, 3 et 4. A cet effet, ondterminera le coefficient directeur des asymptotes et lon montrera que pour n -> , on serapproche du filtre idal.

1 Ph.ROUX2006 philippe.roux.7@cegetel.net

n Polynmes : Pn (s)1 s +12 s 2 + 2 s + 13 ( 1 + s) ( s 2 + s + 1)4 ( s 2 + 0,765 s + 1) ( s 2 + 1,848 s + 1)5 ( 1 + s) ( s 2 + 0,618 s + 1) ( s 2 + 1,618 s + 1)6 ( s 2 + 0,518 s + 1 ) ( s 2 + 1,414 s + 1) ( s 2 + 1,932 s + 1)

| T(j)|

1

1

0

Figure 1

2dB

x

2 me PARTIE : REALISATION DES FONCTIONS DU 1 ET DU 2 ORDRE

Il est possible de raliser les fonctions de transfert d'ordre 1 et 2 des filtres de Butterworth avec lesmontages suivants qui utilisent des amplificateurs oprationnels idaux fonctionnant en rgimelinaire.

R

Cve

Figure 2: filtre passe-bas 1ordre

R

C2ve

Figure 3: filtre passe-bas 2ordre

R

C1

vsvs

2.1) Montrer que le montage de la figure 2 ralise la fonction du premier ordre (n = 1) : T1 (jx).

2.2) Dterminer la pulsation de coupure 1 ( -3 dB) du filtre du 1 ordre en fonction de R et C.

On utilise le montage de la figure 3 pour raliser la fonction du deuxime ordre T2 (jx) donne sousla forme gnrale :

T jxx jmx2 2

11 2

( ) = +

m reprsentant le coefficient d'amortissement et x = /1.

2.3) Dterminer l'expression de la fonction de transfert T2 (jx) du montage de la figure 3 en fonctionde , R, C1 et C2.

2.4) En dduire par comparaison avec la forme gnrale de T2 (jx) indique plus haut, l'expression :

a) de la pulsation de coupure 1 en fonction de R, C1 et C2.

3b) du coefficient damortissement m en fonction de C1 et C2.

2.5) En remarquant que les filtres de Butterworth du 1 et du 2 ordre ont la mme pulsation decoupure 1 (question 2 de la 1 partie), exprimer les capacits C1 et C2 en fonction du coefficientdamortissement m et de la capacit C du filtre du 1 ordre (figure 2).

3 me PARTIE : REALISATION D'UN FILTRE PASSE-BAS DE BUTTERWORTH

On dsire raliser un filtre actif passe-bas dont le graphede Bode est compris l'intrieur du gabarit donn enfigure 4 sachant que les zones hachures sont interdites.

La frquence de coupure f1 ( -3 dB) du filtre est gale 2 KHz et lon dsire qu' la frquence f2 gale 5KHz,l'attnuation soit au moins gale -39dB.

3.1) En utilisant le rsultat de la question 2 de la 1partie.Montrer que l'ordre n du filtre satisfaisant au gabarit doittre gal 5 (on rappelle que n est un entier).

L'analyse du tableau donnant l'expression des polynmesde Butterworth Pn (s) montre que la ralisation d'un filtred'ordre n est obtenue par la mise en cascade de filtres :

Du 1 ordre et du 2 ordre pour n impair suprieur 1 Du 2 ordre uniquement lorsque n est pair.

Pour raliser le filtre passe-bas propos d'ordre n = 5, on doit donc mettre en cascade un filtre du1 ordre =et deux filtres du 2 ordre comme indiqu en figure 5.Chaque cellule utilise des rsistances R = 5,3 k (srie E 192)

R

Cve

R

C2

R

C1R

C2

R

C1

+

-

vs1 vs2 vs

Figure 5

3.2) Calculer la valeur donner aux capacits du montage afin que la courbe de rponse du filtresoit conforme au gabarit de la figure 4.Quelle contrainte technique est impose pour le choix des capacits du montage?

- 3dB

- 39 dB

f1 f2dB 20 log | T(j f )|0

Figure 4

f

4CORRECTION

1re PARTIE : ETUDE THEORIQUE

1.1) Il est facile de vrifier la proprit du module de la fonction de transfert, en effet :1 1 2 = +jx x soit : T jx

x1 2

11

( ) =+

1 2 1 2 12 2 2 2 4 + = + = +x j x x x x( ) soit T jx

x2 4

11

( ) =+

Et ainsi de suite

1.2) Expression en dciBel du module de la fonction de transfert.T jx

xxn dB n

n( ) log log( )=+

= +20

11

10 12

2

La pulsation de coupure -3 dB correspond x n2 1= qui a pour solution : x =1 soit = 1quelle que soit la valeur du polynme n.

1.3) Graphe asymptotique de Bode.

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

n = 5

dB

x

T jx xn dB n( ) log( )= +10 1 2Un filtre dordre n conduit une asymptote de (20.n) dciBels par dcade. Pour nimportant, on se rapproche du filtre idal.

52 me PARTIE : REALISATION DES FONCTIONS DU 1 ET DU 2 ORDRE

2.1) Filtre passe-bas du premier ordre.

R

Cvevs

e

vs

La tension vs est recopie aux bornes du condensateur C (e = 0V).

Diviseur de tension : v v j CR j C

v j RCs e e= +=

+

1

11

1

v

v j RC js

e

=

+=

+

11

1

11

2.2) Frquence de coupure : 11

=

RC

2.3) A nouveau, la tension vs est recopie sur lentre + de LAOP.

R

C2ve vs

R

C1

vsu

N

Equation au nud N : v uR

v u

Rv u j Ce s s

+

+ =( ) 1 0 (1)

Diviseur de tension : v u j CR j C

u j RCs = +=

+

1

11

12

2

2

(2) soit : u v j RCs= +( )1 2

On reporte lexpression de la tension u dans lquation (1) :

v

v R C C j C Rs

e

=

+

11 22 2 1 2 2

(3)

2.4) La comparaison de la relation (3) avec T jxx jmx2 2

11 2

( ) = +

permet dobtenir :

a) La pulsation de coupure : 11 2

1=

R C C

b) Le coefficient damortissement : m CC=2

1

62.5) Lidentit de la pulsation de coupure permet dcrire : 11 2

1 1= =

R C C RC soit : C C C2 1 2=

Sachant que : m CC

2 2

1

= , on obtient finalement : C mC CCm

2 1= =

3 me PARTIE : REALISATION D'UN FILTRE PASSE-BAS DE BUTTERWORTH

3.1) Pour la frquence rduite : x ff= =2

1

2 5, , on doit obtenir : T jx dBn ( ) = 39 . On a donc la

relation : = +[ ]39 10 1 2 52log , n qui a pour solution : n = 4,9 soit n = 5.3.2) Avec R = 5,3 k, calculons la valeur des capacits.

Exprimons le polynme dordre 5 : P jx jx x jx x jx5 2 21 1 0 618 1 1 618( ) ( )( , )(( , ))= + + +

La frquence de coupure 3 dB du filtre du 1 ordre est : fc = 2 kHz. Sachant que :

fRCc

=1

2, on en dduit la valeur de la capacit C = 15 nF.

Le coefficient damortissement m1 du 1 filtre du 2 ordre est gal 0,309. On endduit alors : C2 = 4,63 nF et C1 = 48,5 nF.

Le coefficient damortissement m2 du 2 filtre du 2 ordre est gal 0,809. On endduit alors : C2 = 12 nF et C1 = 18,5 nF.

Les capacits doivent possder une valeur proche de la valeur normalise habituelle.