Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I
-
Upload
tomuta-gabriel -
Category
Documents
-
view
218 -
download
0
Transcript of Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 1/55
Mărimi Fizice
Cuvântul fizică este de origine greacă și provine de la phisis care înseamnă natură, deci
fizica este știința naturii care studiază structura materiei, proprietățile generale și legile de
mișcare a acesteia (mecanice, termice, electromagnetice, atomice și nucleare) precum și
transformările reciproce ale acestor forme de mișcare care se numesc fenomene fizice. Fizica
propunându-și să studieze cele mai simple structuri ale lumii, să examineze legăturile
elementare și profunde ale armonicii universale se bazează pe concepte ce sunt extrem deabstracte și puțin accesibile demonstrării simple. Conceptele fizice sunt cantitative, ceea ce
necesită transcrierea matematică a legăturilor. Studiul se efectuează de obicei asupra unor
regiuni finite din univers, de dimensiuni variabile, delimitate astfel încât să interacționeze cu
exteriorul ca un întreg, numite sisteme fizice. Caracteristica fundamentală a sistemelor fizice
este materialitatea lor precum și existența lor obiectivă în timp și spațiu, ceia ce implică
mișcarea acestora. În fizica clasică, nerelativistă spațiul și timpul au un caracter absolut
(universal), sunt independente de distribuția materiei în univers. Spațiul se consideră 3D, omogen (are aceleași proprietăți în orice punct din spațiu), izotrop (proprietățile lui sunt
independente de direcții). Timpul ca formă de existență a materiei exprimând simultaneitate
sau succesiune este un continuum unidimensional și uniform (diferite momente de timp suntechivalente, egale), iar metrica este independentă de procesele fizice. În unele domenii ale
fizicii moderne (Teoria Relativității Restrânse, Teoria Gravitației, etc.) sunt analizate și reliefate
legăturile dintre spațiu și timp precum și dintre spațiu și distribuția în timp a materiei. Ca
exemplu: în fizica cuantică (care este cea de a doua parte a fizicii, prima fiind cea clasică) nu se
poate face o distincție clară între obiectul de cercetat, fenomen și instrumentul cu care se
observă. Aceasta face ca rezultatele observațiilor efectuate în condiții experimentale diferite să
nu poată fi unite într-o imagine unică. Numai daca (constanta lui Planc) tinde către 0 (zero) se
poate justifica descrierea obiectului de cercetat și a instrumentului de observat ca entități
distincte. Cercetările experimentale efectuate până acum au scos în evidență un număr mare de
particule elementare care sunt constituenți fundamentali ai materiei. Fenomenele care au loc în
natură pot fi descrise prin forțe ce se manifestă între aceste particule. Până în prezent seconsideră că exista 4 tipuri fundamentale de forțe:
Forța Gravitațională;
Forța Electromagnetică;
Forța Slabă;
Forța Tare.
Acestea intervin în diferite nivele de organizare a materiei:
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 2/55
Nivelul Cosmologic(108 m);
Nivelul Macroscopic(de ordinul metrilor);
Nivelul Molecular (10-8 m);
Nivelul Atomic(10-10 m);
Nivelul Nuclear (10-15 m);
Nivelul Particulelor Elementare (10-18 m).
Practic în urma studiilor teoretice și elementare efectuate în ultimii trei sute de ani, mai
mult în ult ima suta de ani, s-a ajuns la concluzia că la baza materiei din univers stă o structură
fundamentală de materie formată din 12 particule elementare și aceste 4 forțe fundamentale.
Cercetările efectuate asupra particulelor și asupra 3 forțe au condus la elaborarea Modelu lui
Standard (MS) în perioada anilor ‘70 valabil pentru particule și forțe. Model ce a fost foarte bine
testat atât teoretic cât și experimental și care a condus la prezicerea unor noi fenomene fizice
care și ele au fost verificate foarte bine din punct de vedere experimental. Forța rămasă în afara
MS este cea gravitațională. Introducerea ei din punct de vedere matematic sa dovedit extrem de
dificilă deoarece particula care se presupune a fi purtătoarea acestei forte (gravitonul) nu a fost
pusă în evidentă prin experiment, la fel ca și undele gravitaționale. Practic mecanica cuantică ce
exprimă și studiază comportarea lumii microscopice, subatomice și teoria generală a relativităţii
ce tratează lumea macroscopică sunt ca doi copii gemeni care nu reuşesc să se joace frumos împreună. Matematicienii nu au reuşit să facă aceste 2 teorii compatibile în cadrul MS, totuşi
lucrurile se simplifică mult deoarece particulele elementare având masa extrem de mică sau
deloc face ca această gravitaţie să fie neglijabilă sau să dispară. Numai când există materie mai
multă, cum suntem noi sau planetele, gravitaţia devine dominantă. Cu toate că forţa
gravitațională a rămas în afara MS totuşi acest model rămâne teoria cea mai perfectă verificată
şi experimental ce tratează comportamentul şi forța ce se manifestă între particulele
elementare. Dacă în urma experimentului de la Geneva bozonul Higgs nu va fi pun în evidenţă,
practic va trebui să se renunţe la această teorie şi să se elaboreze alta pentru a se putea explica
originea masei particulelor din univers.
For ța Gravitațională – este cea mai slabă dintre toate, iar ea este cea care menținepământul ca un întreg, leagă soarele şi planetele în sistemul solar şi stelele în galaxii. Această
forță este singura care dă atracţie între toate particulele la distanţe mari. Purtătorul acestei
forțe este gravitonul care până în prezent nu a putut fi pus în evidență experimental. Prin aceste
experimente de la Geneva se caută existenţa unor extra dimensiuni, adică conform teoriei
string-urilor (corzilor) pe lângă cele 4 dimensiuni și timpul ar mai exista încă 6, dar
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 3/55
datorită dimensiunilor lor extrem de mici ele nu pot fi sesizate, dar exista în lumea noastră. Ele
se manifestă cu precădere în lumea microparticulelor elementare. Pentru a întări existenţa lor,
fizicienii sau legat de gravitație care este cea mai slabă dintre toate forțele ori aceasta forță
familiară noua cu care ne întâlnim zi de zi nu are un efect complet asupra noastră, noi simţind-oca o forţă mult redusă. Fizicienii explică aceasta prin faptul că o parte din efectul ei este preluat
de aceste extra-dimensiuni, acest lucru se va putea verifica prin aceste experimente realizate laenergii foarte mari când este posibil să se deschidă porțile către alte dimensiuni. Astfel oparticulă existentă la un moment dat în spațiu 3D sa dispară şi să treacă în altă dimensiune sau o
particulă să vina din alta dimensiune și să apară în experiment pentru o scurtă perioadă.
For ța Electromagnetică – asigura existența atomilor, moleculelor și sistemelor cristaline
ca edificii stabile. Această forţă este de câteva ori mai puternică decât fora slabă, iar purtătorul
acestei forțe este fotonul. Domeniul de existenta sau acțiune fiind infinit la fel ca la cea
gravitațională. Forța ce apare între particule identice este de respingere.
For ța Slabă – este una de contact, apare la distanțe de ordinul 10-17 metri, pareinferioara dimensiunilor nucleare care este de ordinul 10-15 metri, iar intensitatea ei intr-unvolum elementar de dezintegrare este de 109 ori mai mica decât intensitatea forței tari, dar este
mult mai puternică decât forța gravitațională. Această forță nu poate forma stări stabile în
sensul în care forța gravitațională poate forma un sistem solar. Purtătorii acestei forțe sunt
bosonii Z şi W pentru a căror descoperire în anul 1983 sa acordat premiul Nobel.
For ța Tare sau Nucleară – leagă nucleonii împreună pentru a forma nucleele tuturor
elementelor din sistemul Mendeleev. Ea se manifestă între quarci, iar purtătorul acestei forțe
sunt gluonii. Practic în scara tăriei aleasă forței tari i se atribuie valoarea 1, iar gluonul este
particula ce mediază această forță. În experimentul de la Geneva se urmărește crearea plasmei
quarc – gluon care înseamnă temperaturi de aproximativ 100 mii ori mai mari decât cele dinsoare. Adică la asemenea temperaturi protonii se vor „topi” descompunându-se în quarci și
gluonii care mediază legătura dintre ei. În anul 2004 premiul Nobel pentru fizică a fost acordat
unor trei fizicieni pentru descoperirile lor remarcabile făcute la sfârșitul anilor ‘70 în domeniulforțelor tari. Practic ei au demonstrat că protonii sunt formaţi din doi quarci ce nu pot fi liberi iar
intre ei se manifestă această forţă tare care creste ca valoare dacă se depărtează quarcii, putândfi aproape nula daca ei sunt foarte apropiați. Este ca și cum masa noastră ar creste daca neam
depărta de pământ sau șansele de electrocutare cresc dacă ne depărtăm de o priză. Este normalsă fie aşa deoarece quarcii nu pot fi liberi iar ei sunt cei care pun bazele materiei.
<__>
Sistemele fizice prezintă proprietăți mecanice electrice, magnetice, cuantice etc. care pot
fi studiate în diverse etape:
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 4/55
Primă etapă este simplă, constă din observarea sau descrierea calitativă a sistemului saua fenomenului.
Cea de a doua etapă este reprezentată de către experiment care este provocat în modconștient cu scopul reliefării trăsăturilor esențiale ale interacțiunilor care determină procesul
fizic. Pe parcursul acestei etape se realizează o abordare cantitativă ainforma
țiilor prin
introducerea unor mărimi fizice caracteristice trăsăturilor, proprietăților, forțelor și
transformărilor sistemului.
Mărimile pot fi împărțite după mai multe criterii:
După scara la care se consideră fenomenele – macroscopică sau microscopică – avem mărimi
microscopice și respectiv macroscopice. În cadrul macrofizicii intervin de obicei mărimi
macroscopice: scalare, vectoriale si tensoriale în timp ce în microfizică intervin, în plus, specii
de mărimi complexe.
Din punct de vedere al introducerii lor într-un anumit domeniu al fizicii deosebim mărimi primitive si mărimi derivate. Mărimile primitive nu pot fi definite cu ajutorul altor mărimi,
introducerea lor se face fie nemijlocit prin experiență, fie prin postularea existenței unor
proprietăți fizice ce pot fi evidențiate ulterior în urma unor experiențe. Mărimile primitive sunt
în număr de 4 și cu toate că se introduc în cadrul mecanicii ele intervin în toate domeniile fizicii
deoarece reflectă proprietățile generale ale materiei. Ele sunt lungimea, timpul, forța și masa.
Mărimile derivate se definesc în funcție de cele primitive printr-o formulă sau relație de
definiție. În funcție de modul în care intervin în caracterizarea sistemelor fizice deosebim mărimi
de stare și mărimi de proces. Un grup de mărimi de stare al unui sistem fizic poate ficomplet sau incomplet.
Din punct de vedere al localizării în spațiu există mărimi globale și respectiv locale. În sfârșit putem deosebi mărimi fundamentale și secundare.
Unități de măsură
În studiul fizicii trecerea de la observarea calitativă a unui sistem sau fenomen la
cercetarea sa cantitativă (experiment) impune determinarea mărimilor fizice care caracterizează
sistemul sau procesul, adică efectuarea unor măsurători. A măsura o mărime înseamnă a o
compara pe cale fizică, directă cu o altă mărime de aceiași natură considerată ca unitate demăsură. Realizarea unei măsurători implică și existența unor instrumente de măsură precum și
o interacțiune între acestea și sistemul considerat. În sistemul internațional de unități (SI) există
3 clase de unități:
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 5/55
1. Unități fundamentale – unitățile a căror mărime și procedeu de măsură se alege
arbitrar, acestea corespund de regulă unor mărimi fizice reprezentând proprietăți
fundamentale în cadrul unui anumit domeniu. Ele sunt în număr de șapte: Mărimea Denumirea Simbol
Lungimea metru
Timpul secunda
Masa kilogram
Intensitatea curentului electric amper
Temperatura termodinamică Kelvin
Cantitatea de substanță molIntensitatea luminoasa candelă
2. Unități derivate – unitățile a căror mărime este definită cu ajutorul celor fundamentale;
3. Unitățile suplimentare sunt în număr de două:
Mărimea Denumirea Simbol
Unghiul Plan Radian
Unghiul Solid Steradian
Analiza dimensională a mărimilor fizice
Trecerea de la formula matematica la cea fizică impune înlocuirea mărimilor fizice prin
valorile lor măsurate. În urma acestei operații legile fizicii nu variază, adică își păstrează aceiași
formă. De regulă unitățile derivate se exprimă prin 2 sau 3 din unitățile fundamentale sausuplimentare, astfel toate mărimile derivate întâlnite în mecanică se pot exprima prin 3 mărimi
fundamentale: Lungimea L, Masa M și Timpul T. Exemplu energia cinetica ,
, astfel o marime din mecanică se poate scrie dimensional
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 6/55
unde este o funcție. O altă mărime fizică se poate scrie ca
, o formula fizică ce implică egalitatea mărimilor si va implica
egalitatea și între unitățile de măsura, adică .
Dacă în loc de unitățile avem altele atunci formula se va
putea scrie astfel . Dacă între cele 2
clase de unități există relațiile unde sunt numere
oarecare întregi sau fracționare atunci relația 2 devine
.
Matematic se poate arata că funcțiile și din relația 3 pot avea aceiași formă dacă
atât funcția cât și se scriu ca un produs de timpul
;
unde , pot fi fracționare, pozitive sau negative.
Ținând seama de ult imele 2 relații, relația 3 devine
sau ult imele 2 expresii sunt identice și astfel
se respectă principiul invarianței legilor fizicii față de schimbarea unităților de măsură numai
dacă sunt satisfăcute egalitățile ; ; . Aceste egalități
respect condiția de omogenitate a formulelor fizice.
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 7/55
Măsurarea mărimilor fizice. Concordanţa dintre teorie și rezultatele
experimentale.
Măsurarea unor mărimi fizice reprezintă în principiu compararea directă sau indirectă
a mărimii respective cu etalonul , în urma căreia se obține valoarea . Dacă se efectuează
masurători atunci se obțin valori diferite, dar apropiate între ele. Aceasta se datorează
faptului că fiecare măsurătoare experimental este afectată de erori. Valoarea cea mai”adevărată”, ”exactă” este dată de media aritmetică a setului de măsurători
pe de altă parte este afectată de o eroare absoluta definită astfel
.
Obs: nu este valoarea adevarata, ci o aproximare a acesteia.
Necunoscând valoarea exactă noi nu cunoaștem exact nici eroarea absoluta
dar putem întotdeauna evalua marginea superioară a erorii absolute.
Astfel se definește valoarea relativă deoarece
în practică se definește eroarea relativă, aparentă
deoarece în
expresia mediei aritmetice intervin valorile măsurătorilor ce sunt afectate de erori rezultă că și
această medie are o eroare. O măsură a erorii mediei aritmetice este eroarea pătratică a mediei
aritmetice ce are expresia astfel în
urma efectuării unei măsurători putem afirma cu un anumit grad de incertitudine că valoarea
mărimii este cuprinsă în intervalul .
Exemplu de calcul dimensional: ne propunem să deducem expresia energiei cinetice. Pe cale
experimentală s-a obținut că energia cinetică, dimensional, este proporțională cu masa și cu
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 8/55
viteza , deoarece s-a obținut că
pe de altă parte în SI unitatea de măsură în
același timp , iar astfel pe calea unității de
măsură s-a găsit că . Cum ambele relații
dimensionale reflectă aceeași mărime rezultă egalitatea lor:
Prin experiență: .
Vectori
Vectorul reprezintă o mărime caracterizată prin 4 elemente:
1. Direcție; 2. Sensul;3. Modulul (Valoarea numerică a lungimii sale); 4. Originea sau punctul de aplicație, asociată unei mărimi fizice;
Noțiunea de vector provine din latină și înseamnă purtător. Vectorii se notează:
(sau cu ) iar modulul se notează cu vectorii se pot
reprezenta, exprima în următoarele 2 forme:
1. Sintetică sau grafică, printr-un segment de dreapta orientată: Direcția; Sensul; Modulul; Originea.
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 9/55
2. Analitică, prin componentele vectorului după axele unui sistem cartezian
ortogonal de coordonate .
Proprietățile vectorului pe cele trei axe sunt date de componentele .
Vectorii a căror module sunt egale cu unitatea se numesc vectori unitate sau versori.
=1. Considerând că versorii celor trei axe: sunt , atunci
putem scrie că , prin urmare prin
compunerea acestor trei componente rezultă vectorul:
. Această relație este
numită expresia analitică a vectorului .
Modulul vectorului se exprimă prin relația: .
Proiecția unui vector pe o axă.
Fie axa și un vector care face unghiul cu aceasta
Proiecția vectorului pe axa se obține ducând perpendiculara din vârful vectorului pe
axa , se obține astfel vectorul și are următoarele caracteristici:
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 10/55
a. Direcția este dată de axa
b. Sensul:
a. Daca sensul pozit iv
b. Daca sensul negativ
c. Modulul
d. Punctul de aplicație este
Operații cu vectori.
2.1. Compunerea vectorilor.
A compune doi sau mai mulți vectori înseamnă a găsi un alt vector, numit vector
rezultant, care să înlocuiască, în efect, vectorii dați. Compunerea vectorilor se poate realiza
folosind fie metoda paralelogramului f ie metoda poligonului.
2.1.1. Compunerea vectorilor prin metoda paralelogramelor.
Adunarea vectorilor.
Compunerea vectorilor implică operații de adunare și respectiv de scădere a acestora.
Fie doi vectori și reprezentați geometric în spațiu și a caror direcții fac unghiul intre ele.
Într-un punct oarecare se vor construi vectorii echivalenți cu și , adică doi
vectori de același modul, sens și direcție ce au originea comună și care se obțin printr-o operațiede translație.
Vectorul rezultant sumă este vectorul și este definit prin și corespunde
diagonalii mari a paralelogramului. Acest vector are următoarele caracteristici:
1. Direcția este diagonala mare a paralelogramului;
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 11/55
2. Sensul de la la ;
3. Modulul ;
4.
Punctul de aplicație este originea .
Scăderea vectorilor.
Prin definiție diferența vectorilor și este un vector . Diferența a
doi vectori se poate considera ca fiind adunarea primului vector cu opusul celui de al doilea
vector, folosind de asemenea regula paralelogramului .
Vectorul diferența are urmatoarele caracteristici:
1. Direcția este dată de diagonala mică a paralelogramului;
2. Sensul este de la la ;
3. Modulul ;
4. Originea este punctul
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 12/55
2.1.2. Compunerea vectorilor prin metoda poligonului.
Fie vectorii ce au diferite direcții în spațiu.
Metoda poligonului constă în obținerea unui poligon ale cărui laturi sunt vectorii
ce se obțin prin construirea în vârful vectorului precedent a unui
vector paralel la următorul, de același modul, direcție și sens, iar fectorul rezultant se obține
unind originea primului vector cu vârful ult imului vector.
Această metodă este mai simpla decât regula paralelogramului, deoarece evită
încărcarea figurii cu paralelograme. Prin ambele metode vectorul rezultant obținut are aceiași direcție sens și modul.
Fie vectorul ;
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 13/55
Înmulțirea vectorului cu un scalar.
Fie vectorul și un scalar . Produsul dintre vectorul și scalarul
Caracteristicile acestui vector sunt:
1. Directia estea ceiasi ca a lui
2. Daca >0 acelasi sens cu
Daca <0 sens contrar lui
3. Modulul
4. Punctul de alpicatie este acelasi la a lui [11]
Produsul scalar a doi vectori.
Produsul scalar a doi vectori și care fac între ei un unghi este un produs scalar și
este egal cu expresia .
Din punct de vedere analitic, acest produs scalar se poate exprima astfel
Produsul vectorial.
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 14/55
Fie doi vectori ce fac intre ei un unghi . Produsul vectorial este un vector ce are următoarele
caracteristici:
1. Direcția este perpendiculara pe planul vectorilor și .
2. Sensul este dat de regula burghiului, rotind primul vector peste al doilea pe drumul celmai scurt
3. Modulul este dat de relația
4. Punctul de aplicație este același cu cel al vectorilor și [13]
Se poate vedea ca ).
Din punct de vedere analitic acești vectori pot f i exprimați ca un determinant
Dublul produs vectorial.
Fie trei vectori având originea comună în punctul . Prin definiție acest produs este un
vector . Vectorul este ortogonal pe vectorii și și este
coplanar cu vectorii și . Acest produs se poate scrie și altfel:
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 15/55
Produsul mixt.
Este definit astfel:
3. Elemente de analiză vectorială.
Fie un parametru oarecare și un vector a cărui valoare variază în funcție de acest
parametru. Prin urmare putem considera că vectorul este o funcție vectorială de parametrul
ce se poate exprima prin relația
Poziția în spațiu a unui punct oarecare aflat pe o curbă poate fi determinată prin
intermediul unui vector numit vector de poziție notat cu și care are expresia analitică
În cazul de fată pentru a putea introduce aparatul matematic, considerăm că acest vector este
vectorul cu ajutorul caruia indicam pozitiile sucesive a unui punct pe o curba oarecare C
Derivata unui vector.
Curba descrisa de vectorul se numeste hodograful vectorului . Creșterea
a vectorului este dată de expresia: , iar raportul
este un vector coliniar vectorului . Limita acestui raport, dacă există, se numește
derivata vectorului în raport cu parametrul , adică .
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 16/55
Dacă parametrul este timpul, atunci derivata se notează cu . Derivata vectorului în
raport cu parametrul este paralel cu tangenta în punctul la curba și se notează cu
(viteza). Modulul derivatei vectorului este:
Diferențiala unui vector.
Daca vectorul este o functie de mai multe variabile , atunci
diferențiala totală a vectorului are expresia:
, este derivata parțială a
vectorului în raport cu
Elementul de arc infinitezimal se notează cu și are expresia
și este introdus pentru deplasările infinitezimale unde este
elementul de arc și este versorul tangent la o curba oarecare .
Elementul de suprafață infinitezimală se notează cu si egal cu .
– aria unui element de suprafață infinitezimal de mică, iar este versorul normalei la
suprafața într-un punct al acesteia.
Elementul de volum infinitezimal este și la fel face parte sintrunvolum mai mare.
Integrarea unui vector.
Se realizează in mod analog ca și integrarea unei funcții.
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 17/55
1. Integrarea curbilinie (circulația vectorului ) are expresia:
dacă curba este deschisă, iar dacă curba este închisă, această integrală are expresia:
2. Integrala dublă (de suprafață) se mai numește fluxul vectorului prin suprafața
notat cu
Dacă suprafața este deschisă, atunci:
Dacă suprafața este închisă, atunci:
3. Integrarea triplă (de volum).
a. Operatori vectoriali diferențiali de ordinul
1. Operatorul sau Hamiltonian (operatorul lui Hamilton) are expresia:
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 18/55
2. Gradientul unei func ții este produsul dintre operatorul și
funcția și este, în final, un vector :
3. Divergen ța vectorului este produsul scalar dintre operatorul
și vector. Se notează cu:
4. Rotorul vectorului este produsul dintre operatorul și
funcția vectorială . Se notează cu:
5. Operatorul lui Laplace sau laplacian se notează cu
Relații utile:
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 19/55
a. Teorema Green – Gaus – Ostrogradski. Fluxul vectorului prin suprafața închisă
este egal cu integrala pe volumul limitat de suprafața din divergența vectorului
b. Teorema lui Stokes – Amper afirmă că circulația vectorului de-a lungul unui contur
închis este egală cu fluxul rotorului vectorului prin suprafața limitată de conturul
.
Mecanica
Mecanica este domeniul din fizică care studiază mișcarea mecanică a corpurilor, precum
și condițiile de echilibru ale acestora. Deplasarea unui corp are loc tot timpul în raport cu alte
corpuri. Fără aceste corpuri nu se poate vorbi de deplasare, care este totdeauna relativă .Mișcarea mecanică reprezintă fenomenul de schimbare a poziției unui corp, în timp, în raport cu
un sistem de referință ales. Prin sistem de referință (SR) se înțelege un ansamblu constituitdintr-un reper geometric și un ansamblu de ceasornice pentru măsurarea timpului. Reperul
geometric indică spațiul în care evoluează fenomenul, având dimensiuni și permite fixarea
poziției unui corp. În mod curent se folosește un reper ortogonal , constituit din
3 axe perpendiculare între ele, care se întâlnesc intr-un punct numit originea reperului. De
obicei cele 3 axe se notează cu . Sistemul de referință considerat fix (în
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 20/55
repaus) și sistemul de referință care are o mișcare de translație rectilinie și uniformă cu viteza
față de un sistem de referință fix, se numesc sistem de referință inerțial (SRI). Mișcarea unui
corp față de un sistem de referință fix se numește absolută, iar față de un sistem de referință
mobil (SRM) se numește relativă. De obicei se studiază mai întâi mișcarea unui corp ale cărui
dimensiuni și rotații proprii sunt neglijate, acest corp se numește punct material (P) și se
caracterizează doar prin masa sa.
Se numește traiectorie linia curbă descrisă de un mobil în timpul mișcării sale, adică locul
geometric al punctelor prin care trece mobilul. Traiectoria poate fi rectilinie sau curbilinie.
Poziția mobilului sau a unui punct material la un moment dat este determinată de
coordonatele sale, de exemplu într-un sistem de coordonate cartezian (SC) și
ortogonal sau astfel de vectorul de poziție ale cărui proiecții pe axele sunt
tocmai coordonatele .
Dacă poziția mobilului (PM) variază în timp asta înseamnă că și coordonatele punctului material
sunt funcții finite uniforme și continue în timp, adică:
va fi o funcție de timp.
Din punct de vedere al condițiilor în care se studiază mecanica putem spune că mișcarea
mecanică se împarte în 3 subdomenii:
1. Mecanica clasică – studiază mișcarea corpurilor având viteze mici în comparație cu viteza
luminii în vid în acest caz corpul se aproximează cu un punct material,
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 21/55
spațiul fizic este cartezian, omogen, izotrop și absolut, iar timpul este unidimensional,
uniform și absolut. 2. Mecanica relativistă – studiază mișcarea corpurilor ce au viteze comparabile cu viteza
luminii în vid. Spațiul și timpul sunt relative. 3. Mecanica cuantică – studiază mișcarea microparticulelor.
Mărimi fizice cinematice.
Cinematica studiază legile de mișcare a corpurilor fără să țină cont de cauzele care o
determină. Fie și pozițiile succesive a mobilului la momentele și , mobil ce se află pe
o traiectorie oarecare.
Vectorul deplasare este prin definiție și coincide ca direcție și lungime cu
secanta . Arcul reprezintă deplasarea curbilinie a mobilului în
intervalul de timp ea poate fi pozitivă sau negativă și nu coincide în general
cu distanța parcursă de mobil în intervalul . Cunoașterea mișcării pe traiectorie implică
cunoașterea direcției și sensului de mișcare a mobilului. Direcția este dată de tangenta la
traiectorie (de exemplu în ), iar sensul este dat de creșterea sau descreșterea arcului când
timpul crește. Astfel se definesc:
Viteza medie și are direcția vectorului deplasare.
Viteza instantanee sau momentană la limită când se obține
viteza instantanee care reprezintă limita raportului adică
. Deci vectorul viteză, prin
definiție, este derivata vectorului de poziție în raport cu timpul. După cum se vede,
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 22/55
vectorul vitezei momentane are direcția tangentei la traiectorie. Dacă se notează cu
sau versorul tangentei (în sensul creșterii lui ), atunci
prin urmare vectorul viteză poate fi scris astfel:
– viteza instantanee pe traiectorie.
Dacă – constat .
Deci vectorul viteză este tangent la traiectorie și este îndreptat în sensul mișcării. Într-un sistem
ortogonal cartezian vectorul viteza poate fi exprimat și în funcție de componentele sale pe
cele trei axe
.
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 23/55
În cazul mișcării rectilinii și uniforme direcția vectorului viteza este fixa.
Accelerația
Într-o mișcare curbilinie oarecare vectorul viteză poate varia atât ca direcție cât și ca
sens (respectiv mărime). O măsură a acestei variații este vectorul accelerație.
17* analog vectorului vitezei medii se definește vectorul accelerației medii
care are direcția vectorului variației .
Vectorul accelera ției instantanee sau momentană
Accelerația instantanee sau momentană reprezintă derivata de ordinul întâi a vitezei
sau derivata a doua a vectorului de poziție în raport cu timpul, iar prin definiție este:
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 24/55
În sistemul de coordonate cartezian ortogonal accelerația poate fi exprimată prin componentele
sale pe cele trei axe de coordonate
Modulul:
Se poate vedea că în timp ce viteza este totdeauna tangenta la traiectorie și orientată în sensul
mișcării, accelerația în mișcarea curbilinie este totdeauna orientată spre interiorul traiectoriei,
adică spre partea concavă a traiectoriei.
Daca se tine cont de expresia:
atunci accelerația instantanee devine:
adică este suma a doi vectori ce au același versor cu viteza și este orientat după tangenta la
traiectorie, se numește componenta tangențială a accelerației. Iar modulul
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 25/55
se datorează variației modulului vitezei. Cel de-al doilea vector este perpendicular pe tangentă,
se notează cu 26* și se numește componenta normală a accelerației având versorul
al normalei la tangenta în punctul al traiectoriei.
Dacă se notează cu – raza de curbură a traiectoriei în punctul atunci se demonstrează că:
și de asemenea se observa că:
Legile de mișcare (cinematice)
1. Legea spa țiului se numește legea generala a spațiului (în general este o integrala
nedefinită) și se determină din relația:
- legea generală a spațiului.
2. Legea vitezei
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 26/55
și se numește legea generală a vitezei.
Observații:
În cazul mișcării curbilinii generale cu vectorul accelerației constant se obține
pentru viteză expresia
Deoarece
În cazul mișcării rectilinii și uniforme, adică constant și
În cazul mișcării uniform variate, adică constant și constant
În cazul mișcării variate propriu-zisă 37*????
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 27/55
Mișcarea circulara
În cazul aceste mișcări, traiectoria mobilului este circulară și are raza constantă.
Mișcarea se caracterizează prin următoarele mărimi:
1. Unghiul la centru și se măsoară în radiani
2. Raza de curbură și se măsoară în metri
3. Arcul de curbură și se măsoară în metri - pentru unghiuri mici 39*.
4. Perioada se măsoară în secunde și este timpul necesar pentru a efectua o rotație
completă.
5. Frecventa reprezintă numărul de rotații efectuate de punctul material în unitatea de
timp
6. Viteza unghiulară și se mai numește viteza instantanee sau
momentană și se măsoară în
7. Viteza tangentă la traiectorie . Se
poate constata că legătura dinte și este
8. Accelerația tangențială , se mai
numește accelerația unghiulară sau instantanee. Vectorial se poate vedea că:
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 28/55
9. Accelerația normală sau centripetă. ;
.
în mișcarea circulară uniformă , iar expresia legii de mișcare se obține din
.
În mișcarea circulară uniform variată .
Elemente de dinamica punctului material
Dinamica este capitolul din mecanică care studiază mișcarea corpurilor ținând cont de
forțele care acționează și de masa acestora. Pe cale experimentală s-a ajuns la concluzia că toate
corpurile din natură prezintă doua proprietăți mecanice fundamentale:
Iner ția
Interac țiunea
Inerția este proprietatea unui corp de ași menține starea de repaus sau de mișcare
rectilinie uniformă, respectiv de a se opune la o acțiune exterioară care caută sa -i schimbe
starea de repaus sau de mișcare rectilinie și uniformă în care se află. Interacțiunea este proprietatea corpurilor de a acționa unu asupra altuia. Mărimea ce
măsoară această interacțiune este vectorul forță. Interacțiunea, respectiv forța se transmite de
la un corp la altul prin legături în mod direct sau la distanță prin intermediul câmpului fizic.
Mărimi dinamice
1. Impulsul
Reprezintă produsul dintre masa corpului și viteza sa:
este o mărime vectorială ce are aceiași direcție și același sens cu vectorul viteză și caracterizează
starea dinamică a unui corp.
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 29/55
2. For ța
Legea fundamentală a mecanicii afirmă că forța rezultantă aplicată punctului material
este egală cu derivata impulsului punctului material în raport cu timpul:
Această lege a doua a lui Newton este considerată atât ca principiu fundamental al mecanicii cât
și ca relație de definiție pentru noțiunea de masă și respectiv de forță. Aplicând regulile
derivatei
În mecanica clasică se presupune că masa punctului material nu variază în timp
este principiul fundamental al dinamicii clasice enunțat de către Newton.
Se definește impulsul forței:
În mecanica clasică este constant, rezultă:
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 30/55
Acțiunea forței asupra unui corp are doua efecte:
Efect dinamic, de modificare a stării de mișcarea a corpului (de accelerare sau încetinire)
Efect static, de modificare a formei sau dimensiunilor sale.
Forțele se pot clasifica în doua categorii
Forțe primare
Forțe secundare
Forțele primare sunt forțele existente în natură și sunt caracterizate prin anumite legi.
Exemple:
Forța de atracție gravitațională este forța ce se exercită de-a lungul liniei ce unește
cele două corpuri de masa și și care se află la distanța unu față de altul.
Greutatea unui corp Este definită ca și este forța cu care un corp de masa
este atras de către pământ. – accelerația gravitațională.
For ța de interac ție dintre două corpuri punctiforme cu sarcinile electrice și
aflate la distanța unu de celalalt:
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 31/55
și poate fi de respingere sau de atracție.
- permitivitatea electrică a mediului
For ța electromagnetică
For ța nucleară
Forțe secundare sunt forțele ce apar ca urmare a exercitării acțiunii forțelor primare.
Exemple:
For ța de inerție este forța cu care corpul se opune accelerării sale.
și are sensul opus vectorului accelerației.
For ța elastică. Dacă sub acțiunea unei forțe exterioare deformatoare un corp își
modifică forma și dimensiunile sale, atunci în interiorul său apar niște forțe interne a
căror rezultantă este egală în modul cu forța deformatoare și este de sens opus
acesteia
– alungirea
În conformitate cu legea lui Hoocke
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 32/55
– constanta de elasticitate a materialului.
– modulul lui Young
– deformarea elastică (alungirea sau comprimarea)
forța elastică este proporțională cu valoarea deformației și este orientată în sens
opus a creșterii acesteia , .
determină ca toate corpurile solicitate să revină sub acțiunea ei laforma inițială.
For ța de frecare. Frecarea este fenomenul de opunere a mediului înconjurător la
deplasarea relativă a unui corp. Acest fenomen conduce la apariția unei forțe de frecare
care este orientată în sens opus vitezei corpului. Această forță determină un lucrul
mecanic rezistent care se transformă în căldura, ceea ce determină micșorarea
randamentului mișcării. Expresia ei este
– Coeficientul de frecare la alunecare
- Forța normală de apăsare pe suprafața de contact dintre doua corpuri.
3. Presiunea
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 33/55
Presiunea raportul dintre mărimea forței exercitată normal și uniform pe
o suprafață și aria a acestei suprafețe. Dimensional
4. Momentul forței în raport cu un pol
Dacă un corp are o articulație fixă (un punct ) în jurul căreia se poate roti liber atunci
aplicând forța corpului el se va roti în jurul unei axe ce trece prin articulație, axă ce
este perpendiculară pe planul definit de articulație și corp.
Efectul de rotație al forței se exprimă prin mărimea fizică numită momentul forței în raport
cu polul și notată cu și este o mărime vectorială definită ca .
Momentul forței este egal cu produsul vectorial dintre vectorul de poziție și vectorul forță.
– brațul forței.
Brațul forței este perpendiculara coborâtă din pe dreapta suport a forței.
Obs: Dacă forța trece prin articulație, atunci momentul forței este egal cu
5. Momentul cinetic (sau momentul impulsului )
Dacă un punct material oarecare , are impulsul , iar poziția sa pe traiectorie se
exprimă față de un pol prin vectorul de poziție
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 34/55
atunci momentul cinetic se exprimă ca fiind produsul vectorial dintre vectorul de poziție și
impuls
sau
6. Lucrul mecanic L
Presupunem că punctul de aplicație a unei forțe oarecare (ce învinge o forțărezistentă) care acționează asupra unui punct material se deplasează de-a lungul unei traiectorii
curbilinii între două puncte și infinitezimal de apropiate. În general forța
.
lucrul mecanic elementar efectuat de această forță este egal cu produsul scalar dintre vectorul
și vectorul de deplasare infinitezimală .
– arată că depinde în general de drumul pe care se deplasează punctul de
aplicație a forței, adică și în nici un caz , ceea
ce înseamnă ca lucrul mecanic nu este o funcție de stare, numai în cazul lucrului mecanic vom
înțelege . Considerăm că are vectorul și are prin integrare obținem
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 35/55
lucrul mecanic total efectuat între punctele și este
și arată ca depinde de drumul pe care se deplasează punctul de aplicație a forței între cele
doua puncte. Dacă constant rezultă
– reprezintă variația vectorului de poziție a punctului de
aplicație.
forțele care au proprietatea că lucrul mecanic efectuat de ele între două puncte de ele nu
depinde de drumul (curba) pe care se deplasează punctele lor de aplicație se numesc forțe
conservative. Aceasta implică următoarea condiție matematică
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 36/55
rezultă că lucrul mecanic efectuat pe un contur închis de această forță este nul,
– afirmație valabilă doar în cazul forțelor conservative. Pe de altă parte folosind
teorema lui Stokes – Amper avem:
7. Puterea mecanică
Puterea mecanică reprezintă raportul dintre lucrul mecanic efectuat întrun interval
de timp și intervalul respectiv de timp . . Puterea instantanee (momentana)
prin definiție este:
sau
Energia mecanică
Energia mecanică este o mărime fizică ce exprimă capacitatea unui corp de a efectua
lucru mecanic când trece dintr-o stare în alta. Energia poate varia, ceea ce înseamnă că se
efectuează un lucru mecanic de către forțele exterioare ce determină această variație. Dacă
energia sistemului crește, adică lucrul mecanic efectuat este motor, daca
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 37/55
energia sistemului scade, ceea ce înseamnă că lucrul mecanic efectuat este rezistent. Energia
mecanică se exprimă sub două forme
Energia cinetică
Energia potențială
Energia cinetică este o mărime ce caracterizează starea de mișcare a unui punct material
și se notează cu sau expresia este
. Dacă asupra unui corp
acționează o forță ce determină o variație a vitezei pe distanța atunci pentru egal
constant
- teorema de variație a energiei cinetice. Această teorie afirmă ca lucrul mecanic efectuat
de către forța rezultantă aplicată punctului material este egala cu variația energieicinetice a punctului material.
Energia potențială. Relația a sugerat posibilitatea definirii unei funcții
astfel încât
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 38/55
se numește energia potențială a punctului de vector de poziție
prin urmare:
sau
Energia potențiala a punctului material într-un punct reprezinta lucrul mecanic cu sens
schimbat efectuat de catre fortele câmpului pentru a aduce punctul material din pucntul de
referința (infinit) în punctul considerat
- teorema de variație a energiei potențiale afirmă că lucrul mecanic efectuat de forțele din
sistem este egal și de semn opus cu variația energiei potențiale a acestuia.
În câmpul gravitațional
În câmpul forțelor elastice
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 39/55
Deoarece energia totală este formată de către suma dintre energia cinetica și cea potențială
rezultă:
- teorema de conservare a energiei mecanice. Când asupra unui punct material acționează
numai forțe conservative suma dintre energia cinetică si cea potențială rămâne constantă.
Oscilații
În general, prin oscilații înțelegem variația în timp și spațiu a mărimilor caracteristice
unui sistem fizic însoțit de o transformare a energiei dintr-o forma în alta. În funcție de natura
mărimilor caracteristice și a formelor de care se transformă distingem: oscilații mecanice,
electromagnetice, electromecanice, termice, nucleare, etc. Oscilațiile în care o anumită mărime
caracteristică revine la aceiași valoare după intervale egale de timp (perioada de
oscilație) se numesc oscilații periodice. Aceste oscilații satisfac relațiapentru oricare ar fi momentul considerat. În
funcție de numărul de parametri independenți ce caracterizează un corp sau un sistem de
corpuri distingem oscilații cu un număr finit de grade de libertate și cu un număr infinit de grade
de libertate. În fiecare clasă putem avea oscilații libere și oscilații întreținute (forțate).
Oscila țiile libere sunt oscilațiile apărute în urma acțiunii unui impuls inițial. Ele pot fi:
neamortizate, când asupra corpului de masă acționează doar forța elastică
, amortizate când pe lângă forțele elastice acționează și o forță de frânare
propoțională cu modulul vitezei corpului.
1*
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 40/55
Oscilațiile întreținute sunt oscilațiile rezultate în urma acțiunii din exterior asupra
corpului sau a sistemului fizic și a unei forțe periodice , pe lângă forța
elastică și forța de frânare .
Oscilațiile mecanice libere cu un singur grad de libertate. Mișcarea oscilatorie armonică.
Oscilațiile mecanice cu un singur grad de libertate reprezintă mișcarea unui corp de masa
(PM) deoparte și de alta a unui punct fix numit centrul de oscilație (centrul mișcării)
însoțită de o transformare a energiei potențiale în energie cinetică și reciproc.
Punctul material de masă se numește oscilator. Mărimile ?????:
1. Elongația (sau ) reprezintă distanța la un moment dat a oscilatorului față de
oscilație.
2. Amplitudinea reprezintă elongația maximă.
3. Perioada reprezintă timpul după care mișcarea se repetă identic
, iar este intervalul de timp ??
4. Frecvența este numărul de oscilații complete întro unutate de timp
5. Pulsația
Dacă asupra oscilatorului liber acționează numai o forță de tip elastic de tipul
avem oscilații libere neamortizate periodice, iar mișcarea se numește oscilatorie
armonică. În acest caz oscilatorul se numește oscilator armonic.
Dacă corpul de masă ce este prins de un arc cu alungirea absolută egală și este
lăsat liber, atunci în absența frecării el va efectua o mișcare oscilatorie între punctele
și . Forța elastică ce este orientată spre originea de oscilație va
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 41/55
imprima corpului o mișcare oscilatorie astfel încât asupra acestuia va acționa și o forță de inerție
orientată în sensul opus forței elastice. Ca urmare principiul fundamental al
dinamicii se va scrie . Mărimea caracteristică ce
variază în timp este elongația 4* k
constanta de elasticitate. 4*?? ecuația cinematică a osc armonic. Această ecuație fiind liniară și
omogenă. Matematica demonstrează că ea admite soluții de tipul ceia ce
face ca prin derivarea acestei funcții de două ori 5* și introducerea ei in (2) cu eliminarea 6* se
obține 7* care generează un sistem de doua ecuații f undamentale descrise de funcțiile 8*
soluția generală a ecuației ??? va fi o combinația a acestor 2 funcții 9* folosint relaiile de
transformare a lui Euler 10* ESTE MAI COMOD SĂ EXPRIMĂM soluția generală sub firmă
trigonometrică folosind funcțiile sinus și cosinus adică 11. Dacă se noteaza 12* dacă fi egal pi/2
oscilatorul se gaseste la depărtarea maximă de pozitia sa de echilibru atunci 13*. Viteza
respectiv accelerația oscilatorului se exprimă prin relațiile 14*valoarea maima a vitezei este 15*
respectv a acceleratiei 16* , energia oscilatorului este egală cu suma dintre energia cinetica si
potentiala la un moment dat 17* această relație ne demonstrează că
energia mecanică a oscilatorului armonic se conservă că și și ca și variază în
opoziție de fază. Aceasta se poate vedea din figura următoare: 18*
Reprezentarea fazorială a oscilațiilor sinusoidale.
Obținerea expresiilor de anumite mărimi ce caracterizează oscilațiile este adesea multușurată dacă se recurge la reprezentarea grafică. Una dintre metodele de reprezentare grafică a
oscilațiilor sinusoidale este metoda fazorială. Prin fazor se înțelege un vector de poziție care se
rotește în jurul originii, în planul cu o anumită viteză unghiulară . Pentru
reprezentarea fazorială a oscilațiilor de forma
se consideră drept fazor
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 42/55
un vector de modul egal cu amplitudinea care se roteşte în jurul originii cu viteza unghiulară
egală cu sau și care face la momentul inițial un unghi cu abscisa.
Compunerea a două oscilații paralele cu aceiași frecventă
Dacă PM este supus concomitent acțiunii a două sau mai multe forțe, acesta va efectua omișcare mai complicată, care rezultă din compunerea mișcărilor pe care le-ar avea punctul
material dacă asupra lui ar acționa numai câte una dintre forțele considerate. Dacă asupra
punctului materia de masă acționează succesiv forțele și după aceeași direcție,
atunci mișcările oscilatorii ale punctului material vor fi:
. Dacă cele
două forțe acționează concomitent atunci mișcarea oscilatorie a punctului material se scrie sub
forma unde este
amplitudinea mișcării oscilatorii rezultante iar este faza mișcării oscilatorii
rezultante și este faza inițială a mișcării oscilatorii rezultante. Prin reprezentarea fazorială a
celor două oscilații și compunerea vectorială a celor doi fazori după regula
paralelogramului de obține vectorul fazor rezultant de modul și faza inițială ce
caracterizează oscilația rezultantă. Cele două oscilați pot fin considerate ca proiecții ale
vectorilor și pe axa , iar vectorii și se rotesc în jurul punctului cu
viteza unghiulară .
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 43/55
Se poate vedea că amplitudinea rezultantă nu depinde numai de amplitudinile
oscilațiilor componente dar și de diferența de fază dintre fazele
inițiale ale oscilației. Astfel distingem trei cazuri particulare:
1. Dacă , adică cele două oscilații sunt în fază, în acest caz amplitudinea
rezultantă are valoarea maximă .
2. Dacă , adică oscilațiile sunt în opoziție de fază, iar
amplitudinea rezultantă are valoarea minimă .
3. Dacă cele două oscilații sunt perpendiculare, iar
amplitudinea rezultantă
Daca , atunci
Deoarece fazorul are modulul constant și se rotește cu viteza unghiulară rezultă
că mișcarea oscilatorie rezultantă este armonică ca și oscilațiile componente.
Compunerea oscilațiilor armonice perpendiculare. Figurile Lissajous.
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 44/55
Considerăm un corp de masă supus acțiunii concomitente a două forțe elastice
perpendiculare ca în figură.
Dacă sub acțiunea uni forțe elastice care acționează după
axa , corpul de masă efectuează o mișcare oscilatorie
, iar sub acțiunea forței elastice orientată după
axa elongația corpului este dată de , atunci, prin
eliminarea timpului (după calcule matematice laborioase), între cele două relații se obține
traiectoria corpului de oscilație ca fiind care
reprezintă ecuația unei elipse înscrise într-un dreptunghi cu laturile și respectiv , ca în
figură: elipsă defazată (axele sale nu coincid cu axele ) diferența de fază luând valori
arbitrare.
În acest caz distingem următoarele situații:
1. Dacă , adică , atunci oscilațiile și sunt în
fază şi ecuația elipsei ( devine un pătrat perfect.
În acest caz traiectoria corpului devine o dreaptă cu panta pozitivă
înscrisă într-un dreptunghi cu laturile și .
2. Dacă:
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 45/55
3. Dacă: , atunci
și traiectoria punctului material este o elipsă centrată (axele sale coincid cu axele )
4. Dacă: și , atunci traiectoria este un cerc
Dacă cele două pulsații ale oscilațiilor sunt diferite, adică , atunci traiectoria
rezultantă este mult mai complicată, iar traiectoria se închide numai dacă raportul pulsațiilor
este egal cu raportul a două numere întregi, adică . În funcție de valorile lui
și se obțin diverse curbe ce se numesc curbele lui Lissajous.
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 46/55
Mișcarea oscilatorie amortizată
Din cauza frecării sistemului oscilant cu mediul exterior, energia totală a oscilațiilor
descrește cu timpul și în consecință amplitudinea acestor oscilații va scădea treptat. Se spune că
în acest caz oscilațiile sunt amortizate sau disipatile. Ca urmare, în condiții reale, asupra corpului
de masa în afara forței elastice și a forței de inerție
acționează și o forță de frecare proporțională cu modulul vitezei
corpului pentru o mare clasa de fenomene fizice, unde este
constanta de elasticitate, iar reziztența mecanică a mediului, ambele constante fiind pozit ive.
Legea fundamentală a dinamicii și respectiv ecuația diferențială corespunzătoare va fi
. Înmulțind relația cu și notând – pulsația armonică proprie corpului oscilatoric
și se obține relația
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 47/55
relație ce reprezintă ecuația diferențială a oscilațiilor amortizate efectuate de punctul material
de masa . Soluția generală a acestei ecuații conform teoriei ecuațiilor diferențiale din
matematică este de forma , - constante ce
se determină pe baza condițiilor inițiale, iar - soluțiile ecuațiilor caracteristice:
În funcție de valorile numerice ale parametrilor și se disting următoarele 3
situații:
1. Daca , adică forța de frecare este mai mare decât forța elastică, în acest caz
rădăcinile ecuației caracteristice sunt reale și soluția ecuației diferențiale are forma
ambele rădăcini fiind reale și negative, soluția nu-și schimbă semnul, iar
mișcarea este amortizată aperiodic. Iar tinde asimptotic către cu creșterea timpului
conform f igurii
2. Dacă , adică forța de frecare și cea elastică se echilibrează. În acest caz
rădăcinile ecuației caracteristice fiind reale, negative și egale, soluția ecuației diferențiale
este de forma mișcarea punctului material este de
asemenea aperiodică, iar scade tot expenențial la o data cu creșterea timpului, dar
mai pronunțat decât în cazul precedent, fiind numită mișcare aperiodică critică.
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 48/55
Dacă în acest caz forța de frecare este mai mică de cât cea elastică, iar mișcarea
este oscilatorie (radicalul fiind negativ), adică
rădăcinile ecuației
caracteristice sunt complex conjugate respectiv unde
. Soluția generala a ecuației diferențiale poate să fie scrisă astfel sub
următoare formă
Deoarece oricare ar f i constantele complexe și putem găsi două constante
și , astfel încât și și folosind de asemenea
relațiile de transformare a lui Euler pentru expresia din paranteză și utilizând aceleași
notații ca cazul oscilatorului armonic, soluția generală a ecuației diferențiale ia forma
, deci ea indică cum are loc o oscilație în
mod real, adică o oscilație amortizată. Se poate vedea că amplitudinea mișcării
oscilatorie este monoton descrescătoare, adică scade exponențial cu creșterea timpului
conform relației .
Pulsația mișcării oscilatorii amortizate se peate vedea că este diferită de pulsația
proprie a mișcării oscilator armonice. Această oscilație amortizată se mai numește și
pseudo oscilație.
Distanța dintre 2 maxime reprezentând perioada . Perioada mișcării oscilatorii amortizate
este dată de relația și se numește pseudo perioadă. Se observă că
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 49/55
această perioadă este mai mare decât perioada proprie a unui corp ce efectuează
o mișcare oscilator armonică și asupra căruia acționează numai forța elastică (nefiind supus
frecării).
Există câteva mărimi caracteristice amortizării :
Timpul de relaxare a oscilațiilor amortizate, notat cu reprezintă timpul după care
amplitudinea oscilațiilor scade de ori fată de momentul inițial, adică dacă
Decrementul logaritmic al amortizării notat reprezintă logaritlul natural al raportului
dintre două amplitudini succesive ale oscilațiilor amortizate.
Dacă se notează cu numărul de oscilații complete efectuate de oscilator în
perioada , în care amplitudinea mișcării scade de ori atunci rezultă că .
Mărimea se numește atenuare și caracterizează mișcarea amortizatorie.
Dacă atunci mișcarea este aperiodică, iar dacă , atunci mișcarea
este periodică.
Unde elastice.
Definim mediul elastic ca reprezentând un sistem de particule legate (molecule, atomi,ioni, etc.) care interacționează între ele. Dacă într-un punct al mediului elastic se produce operturbație (adică oscilează o particulă), aceasta se propagă din aproape în aproape în întreg
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 50/55
mediu sub formă de undă elastica, deci unda reprezintă o perturbație care se propagă din
aproape în aproape într-un mediu elastic prin intermediul unui câmp. Acest câmp poate fi uncâmp electromagnetic, un câmp al forțelor elastice, un câmp determinat de forțele de presiune
dintr-un gaz, etc.
Perturbația care se propagă în spațiu este în general o funcție de locul din spațiu și de
timp și dacă se notează cu mărimea perturbată, atunci
. Această mărime se numește funcția de undă,
acest poate fi o mărime vectorială (deplasarea mecanică, intensitatea câmpului electric sau
magnetic, etc.) sau o mărime scalară (presiunea, diferența de potențial, etc.). Locul geometric al
punctelor mediului până la care sa propagat unda la un moment dat , iar are aceiași
valoare constantă și se numește suprafață de undă sau front de undă. Adică:
Punctele unui front de undă oscilează în fază. În cazul unui mediu omogen și izotrop suprafețele
de undă generate de un punct sunt sferice, concentrice având centrul comun în sursa
perturbătoare. Dacă toate particulele situate într-un plan perpendicular pe direcția de
propagare a undei oscilează în fază, unda se numește plană. Undele reprezintă un transport de
energie nu și de substanță.
Ecuația undei plane monocromatice.
Presupunem că într-un punct a unui mediu elastic se afla o sursă de vibrații
cosinusoidale sau sinusoidale de forma
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 51/55
unde reprezintă viteza de propagare a undei, – elongația oscilației surse, –
amplitudinea oscilației, iar – pulsația. În cazul undelor plane energia se conservă
de-a lungul direcției de propagare ceea ce înseamnă ca amplitudinea ramâne constantă.
Punctul aflat la distanța va reproduce oscilațiile sursei după un timp necesar
undei pentru a parcurge distanța din în , fiind viteza de propagare a undei, deci punctul
va oscila după legea
, unde
reprezinta lungimea de undă, adică spațiul străbatut de undă timp de o perioadă.
Marimea se numește număr de undă, iar prin introducerea lui în ultima expresie
ecuația undei plane monocromatice divine . Notând
cu versorul directiei de propagare, iar prin vectorul de pozit ie al punctelor spațiului în care
se propagă unda plană, atunci se definește vectorul de undă având modulul ce
este orientat în direcția și sensul de propagare a undei prin relația , în acest caz
ecuația undei plane monocromatice ce se propagă în spațiu în direcția și sensul vectorului de
unda se scrie . Argumentul cosinusului se numește
faza undei și se notează . Suprafețele de undă sunt suprafețe de fază
constantă și sunt perpendiculare în medii izotrope pe direcția de propagare a undei. Într-adevăr
ecuația reprezintă ecuația undei plane sau a unui plan, în
fiecare moment, vectorul fi ind perpendicuar pe acest plan.
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 52/55
Ecuația diferențială a undei plane monocromatice.
În general ecuația diferențială a undelor se poate obține din ecuația fundamentală a
dinamicii scrisă pentru un element de masă infinitezimal, adică ceea ce
înseamnă că ecuația undelor este echivalentă cu ecuația fundamentală a dinamicii. Deoarece
pentru unda plană este mai comod sa obținem această ecuație diferențială, vom efectua mai
întâi derivata de ordin unu și doi a funcției de undă în raport cu timpul, iar apoi derivata de
ordin unu și doi a lui în raport cu . Astfel vom obține:
Raportând relația la relația
și reprezintă ecuația diferențială a undei plane care se propagă după axa . Această ecuație
admite soluția generală de forma , unde
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 53/55
reprezintă unda progresivă, iar se numește unda regresivă. Pentru
unda progresivă suprafețele echifazice (de fază constantă) date de constant se propagă cu
viteza dinspre sursă spre exterior, iar pentru unda regresiva suprafețele echifazice
se propagă cu viteza din exterior înspre sursa de undă aflată în punctul .
Ecuația undelor sferice.
În condiții reale unda se propagă în toate direcțiile și deci elongația punctelor materiale
ale mediului elastic la un moment dat depinde nu numai de ci și de și , adică
. Ecuația diferențială de propagare a undelor elastice în medii
omogene și izotrope, adică a undelor sferice se poate deduce prin generalizarea ecuației
diferențiale după celelalte două direcții și , astfel obținem:
Introducând operatorul lui Laplace , numit și adesea Laplacian,
ecuația diferențială a undelor sferice devine . Această ecuație diferențială
mai poate fi exprimată și prin introducerea operatorului lui D′ Alambert
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 54/55
Ceea ce ne permite sa scrie ca operatorul D′ Alambertian este , adică , unde:
Operatorul lui D′ Alambert numit și adesea D′ Alambert ian este un operator de ordinul doi ceacționează în spațiu cvadridimensional numit și spațiu lui Minkovski, idee care a fost preluată de
Einstein care a intuit că cea de a patra dimensiune este (energia sufletului), - viteza
luminii.
Tipuri de unde elastice. Viteza de propagare a undelor.
După orientarea direcției de oscilație a particulelor unui mediu elastic în raport cu
direcția de propagare a undei distingem două tipuri de unde elastice:
Unde longitudinale la care oscilațiile particulelor au loc în lungul direcției de propagare a
undei (ex: unda sonoră). Undele longitudinale se propagă sub forma unor dilatări și
comprimări succesive ale mediului elastic pe direcția de propagare a undei. Ele sepropagă atât în medii solide cât și în lichide sau gaze.
Unde transversale la care oscilațiile particulelor sunt perpendiculare pe direcția de
propagare a undei (ex: propagarea undei intr-o coardă vibrantă). Ele se propagă doar în
medii solide.
Viteza de propagare a undelor longitudinale în diferite medii are expresiile:
În solide , unde – modulul de elasticitate, – densitatea mediului.
În lichide expresia este asemănătoare, doar că în locul modulului de elasticitate trebuie
introdus modulul de compresibilitate: , unde – modulul de
compresibilitate.
5/17/2018 Fileshare.ro_cursuri Fizica, Sem I - Automatic A Anul I - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/filesharerocursuri-fizica-sem-i-automatic-a-anul-i 55/55
În cazul gazelor modulul de elasticitate se înlocuiește cu presiunea : .
Expresia vitezei undelor transversale este asemănătoare cu cea de propagare a undelor
longitudinale în solide numai că în locul modulului de elasticitate trebuie luat modulul de
forfecare care este egal cu modulul de torsiune : . Deoarece
.