Fibonacijevi brojevi
description
Transcript of Fibonacijevi brojevi
FRAKTALNA MEHANIKA
1
LEKCIJA 7 Prof.dr Đuro Koruga
7.1 FIBONAČIJEVI BROJEVI
Fibonači (Leonardo de Pisa, Fibonacci, 1170-1250)
posmatrajući prirodni proces, raznožavanje zečeva, došao je do
otkrća jedne posebne klase brojeva, koji pripadaju skupovima
brojeva (1.61803....) i (0.61803....). Ovo svoje saznanje
publikovao je 1202. godine u knjizi Liber Abaci.
Brojevi se mogu dobiti na i mogu se dobiti na više
načina , a mi ćemo ovde pokazati dva. Prvi je preko niza
brojeva : 0,0!,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144........tako što se ovi
brojevi satavljaju u odnos:
0
!0 0
!0
0
1!0
1 1
1
!0
21
2 5.0
2
1
5.12
3 666.0
3
2
666.13
5 6.0
5
3
6.15
8 625.0
8
5
625.18
13 615.0
13
8
615.113
21 619.0
21
13
619.121
34 617.0
34
21
........ ........
61803.12
15
61803.0
2
15
Drugi pristup je preko kvadratnih jednačina. Prva kvadratna
jednačina
012 xx ,
daće rešenja, x1= -1.61803 i x2=0.61803..., dok će kvadratna
jednačina
012 xx
dati rešenja x1= 1.61803 i x2= -0.61803... što daje četiri rešenja:
-,, -, što se može grafički predstaviti
-
-
Leonardo de Pisa
Fibonacci
Fig.7.1: Shematski prikaz razmnožavanja
zečeva i generisanje Fibonačijevih brojeva
na bazi para brojeva (primena ovog zakona
najedekvatnija je kod procesa i/ili sistema
koji generišu parove.
2
Medjutim, Binet je uopštio Fibonačijev niz u formi
što je predstavljeno na Fg. 7.2 .
Fig.7.2 : Binetovo uopšteneo rešenje Fibonačijevijeve serije
Ovo uopštenje daje rešenje i za vrednosti x 0, u formi:
Pored uočavanja fenomena razmnožavanja zečeva i formiranje
potpuno novog sistema brojeva Fibonači je deo veliki doprinos
matematici time što je indijsko-arabski system brojeva uveo u
matematiku zapadne civilizacije.
Od mnoštva primera primene i realizacije zlatnog preseka na
bazi Fibonačijevih brojeva ( raspored lišća na granama drveća-
princip minimum metanja,
pirmida u Egiptu, hramova u
antičkoj Grčkoj, proporcija
ljudskog tela, periodnog
sistema elementa, genetkog
koda i dr. ) Paskalov trougao i
šah su dava najelegantnija
primera primene Fibonačijevih
brojeva u matematicii i nuci
generalno.
“Leonard of Pisa or Fibonacci played an important role in
reviving ancient mathematics and made significant
contributions of his own. Liber abaci introduced the Hindu-
Arabic place-valued decimal system and the use of Arabic
numerals into Europe”.
3
Da to pokažemo na šahovskoj ploči, polazimo od opšte poznate
činjenice da snaga svake figure zavisi od njene pokretljivosti po
šahovskoj tabli.
Dama je zato najjača šahovska figura, jer može sa svakog
polja učiniti više poteza nego bilo koja druga figura.
Da bi se dobio numerički
izraz za snagu svake pojedine
figure, može se ovom
problemu prići na sledeći
način, sl.7.4:
Slova , , ,S L T D
označavaju redom: Skakača,
Lovca, Topa, Damu.
Za svaku od tih figura
iskorišćena je samo četvrtina
dijagrama, jer pozicije su iste
u sva četri polja pa su isti
brojevi u ostale tri četvrtine
dijagrama simetrično
raspoređeni.
Ako sad sumu svih brojeva na čitavoj tabli nazovemo
potencijom figure kojoj ta suma pripada i označimo je
odgovarajućim slovom, dobija se:
S 336 , L 560 , T 896 , D 1456 .
Lako se ouočava da je: D T L . što nije ništa neobično, jer
dama sadrži u svom kretanju i poteze topa i poteze lovca.
Međutim, više iznenađuje relacija T L S , koja
omaogućava da se formiraju odnosi:
: :D T T L i : :T L L S .
Ako se ima u vidu da je:
D T L i T L S ,
Tada se dolazi do saznanja da su veličine , ,D T L i , ,T L S u
relaciji preko ZLATNOG PRESEKA, jer
D:T 1456:896 1.6...,
T:L 896:560 1.6...,
L:S 560:336 1.6..., .
Sva tri odnosa podudaraju se tačno na jednu decimalu,
jer nisu uzeti u obzir pešaci i kralj. Kada se sve to uzme u obzir i
uvede korekcioni faktor za odnos Dama = Top-Lovac ( dama je
jedna figura i stoji na jednom polju, a top i lovac su dve figure i
4
stoje na dva odvojena polja- situacija nije ista) dobija se da je
potencija šaha data kao rešenje zlatnog preseka.
Dodelite sada pojedinim organima ili funkcijama
ljudskog organizma šahovsku figuru sa spekta fizioloških
aktivnosti, imajui u vidu da biomolekuli i organizam kao celina
trebaju biti u harmoniji kao deo-celina.
Tabela 7.2: Staja biomolekula (klatrina,mikrotubula i dr ) koji na
osnovu svoje strukture imaju energetski zakon zlatnog preseka
Pored toga treba imati u vidu da se svi brojevi
dekadnog sistema mogu generisati iz i na sledeći (ili neki
drugi) način: - = 1
+ 2 = 2
2 + 2 = 3
3 - 3 = 4
( +)2 = 5
2(2 + 2) = 6
4 + 4 = 7
2(3 - 3) =8
3(2 + 2)= 9
2(( +)2) = 10
5 - 5 = 11
...........
6 +6 = 16
.............
(3 +3)2 = 20
...........
što postavlja uzročno-posledično pitanje dekadnog sistema: da
li se zlatni presek generiše iz prirodnih brojeva, ili priroda koja
radi po zakonu zlatnog preseka u našem umu generiše dekadni
broji sistem?
Harmonizovani sitem na
bazi I .
Suncokret kao prirodno
rešenje harmonizacije
strukturalno-energetsko-
informacionih procesa
koji daju (obezbeđuju)
harmnizovan odnos dela i
celine.
5
7.2 SAVRŠENI BROJEVI
Neki broj je savršen ako je zbir njegovih činioca jednak
njemu samom. Ovo je veoma važno prilikom izučavanja
sistema, a još važnije u inženjerskoj praksi prilikom određivanja
ustrojstva sistema. Stari Grci znali su za četiri savršena broja: 6,
28, 496 i 8128. Čnioci ova četiri broja su:
Primećujemo da kod drugog, trećeg i četvrtog savršenog
broja postoji mesto asimetrije. Tako naprimer kod drugog
savršenog broja posle 4 trebalo bi očekivati 8, ali to nije slučaj
jer 8 nije činilac broja 28. Isto je kod trećeg savršenog broja,
posle 16 je 31 (a ne 32), odnosno kod četvrtog 64 i 127. Posle
ovog jediničnog pomaka na datim mestima sistem se simetrično
udvostručava.
Računanje savršenih brojeva može se vršiti po dve formule
2n-1(2n-1)
2n (2n+1-1),
a vrednosti su sistematizovane u tabeli 7.2.
6 = 1 + 2 + 3
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064
Računanje po formuli
2n-1
(2n-1)
Pro
izvo
d
čin
ilac
a
Sav
ršen
og
bro
ja
Računanje po formuli
2n (2
n+1-1) P
roiz
vo
d
čin
ilac
a
Sav
ršen
og
bro
ja
0
20-1
(20-1)=1/2 x 0= 0
?
20 (2
0+1-1)=1 x 1= 1
1(!)
1
21-1
(21-1)=1 x 1= 1
1
1
21 (2
1+1-1)=2 x 3= 6
61
6
2
22-1
(22-1)=2 x 3= 6
61
6
22 (2
2+1-1)=4 x 7= 28
282
784
3
23-1
(23-1)=4 x 7= 28
282
784
23 (2
3+1-1)=8 x15=120
1207
3,583 1014
4
24-1
(24-1)=8 x 15= 120
1207
3,583
1014
24 (2
4+1-1)=16x31= 496
4964
6,052 1010
5
25-1
(25-1)=16 x 31= 496
4964
6,052
1010
25 (2
5+1-1)=32 x 63= 2016
201617
1,5 1056
6
26-1
(26-1)=32 x 63=2016
201617
1,5 1056
26 (2
6+1-1)=64x127= 8128
81286
2,88 1023
7
27-1
(27-1)=64x127= 8128
81286
2,88 1023
27 (2
7+1-1)=127x = 32512
....
...................................
..........
....................................
........
6
Do danas najveći poznati savršeni broj otkriven je 2001
godine i glasi:
213466916(213466917 – 1),
a broj ima 4 miliona cifara, što znači da bi nam trebala 1000
stranica knjige da ispišemo njegovu vrednost!
7.3 SAVRŠENO-HARMONIZOVANI BROJNI
SISTEMI
Genetski kod je harmonizovani sistem (Lekcija 8) po
zakonu zlatnog preseka. Ali, da li je on kao prirodan kod i
savršen? (potražite odgovor samostalno, a ako ne uspete
naći će te rešenje u Lekciji 13).
Videli smo u poglavlju 7.2 da se svi brojevi dekadnog
sistema mogu generisati na bazi i , što znači da je
dekadni sistem harmonizovan sistem po zakonu zltnog
preseka. Od svih do sada poznaih brojnih sistema jedino je
Sumerski brojni sistem
(heksadekadni) sinergetski
savršeno-harmonizovani. To je
sistem po kome smo odredili
skalu vremena i računamo
vrednosti vremena.
Jedan obrt je podelje na
24 jedinice, tako da 1/24
jedinica u sebi sadrži manju
7
jedinicu koja je 60 puta manja, a zatim ova jedinica koja je
1/1440 manja od obrta (spina Zemlje) je podeljena na 60 manjih
jedinica 1/86400. Očigledno je da je spin Zemlje podeljen na par
dan-noć koji imaju 12 + 12 = 24 jedinice koje nazivamo čas
(toliko ima simetrijskih elementa ose 5-og reda u ikosaderaskom
sistemu). Manja jedinica, ovako dobijene jedinice je 60 puta
manja od časa i nazivamo je minut, a 60 puta manja od nje je
sekund.
Broj 60 je najmanji mogući sinergetski savršeno-
harmonizovani broj dekadnog i heksagonalnog sistema: prvi je
savršen, a drugi harmonizovan.
Kakao su stari Sumerani mogli da dođu do ovako
genijalnog sistema (koga mi ne menjamo i ako istorija pokušava
seve da promeni)? Jedan od mogućih, i najverovatniji, je da je
ovaj sistem utkan u nas preko bioloških ritmova i da su oni u
ono vreme samo reprodukovali (verovatno na bazi nesvesnog)
sistem na bazi koga smo ustrojeni. Sa tog aspekta interesantno
je posmatrati koji to prirodni fenomeni (ritmovi) mogu
proizvesti. Najbliži objašnjenju je gravitacono dejstvo Zemlja-
Mesec.
Ne kruži Mesec oko Zemlje, kako mi
obično kažemo u svakodnevnom životu, nego se
Sistem Zemlja –Mesec kreću oko zajedničkog
centra. Zbog toga postoji baricentar sistema
Zemlja – Mesec je udaljen od centra Zemlje
(4467 460) km, ili od površine (1904 460)
km, kada je Mesec u zenitu mesta.
Kako su centripetalne sile F1 (Zemlje), F2
(Meseca) jednake sa gravitacionim silama
između Zemlje i Meseca (F) to važi relacija F1 +F2 = F,
odnosno m1r12= m1r12 = F. Imajući u vidu da je
centripetalno ubrzanje Meseca isto ono koje daje Mesecu
sila gravitacije, to je F = m2g2, što na karaju dovodi do
rešenja da je
gg22
60
1 ,
gde je g ubrzanje teže na površini Zemlje. Ovo proizilazi iz
činjenice da je rastojanje između Zemlje i Meseca oko 60
puta veće od poluprečnika Zemlje. Drugim rečima, ritam
prirode ugradio je svoju vremensku skalu i svoj vremenski
sistem u nas.
8
Videli smo da se savršeni brojevi zasnivaju na binarnom
sistemu, pa kako karakteristika sistema (logika) zavisi od
osnove na kojoj je sistem zasnovan, to i logika sistema zavisi od
broja stanja te logike. Posle binarnog sistema i njegove logike,
slededeća logika je ternarna sa tri stanja. Medjutim, nas
interesuje takav brojni sistem u kome se za predstavljanje broja
koristi što manje simbola i razreda. Kako je veličina
informacione aparature K proporcionalana sledećim
veličinama: K = anR, gde je n broj razreda, R broj simbola u
datom brojnom sistemu i a je koeficijent proporcionalnosti, to
je broj simbola primenjenih u datom brojnom sistemu jednak
osnovi sistema R. Maksimalan broj Nmax koji se može zapisati
u n razreda sistema je: Nmax=Rn-1. Pri dovoljno velikom n:
Nmax Rn i dobija se:
R
Nn
ln
ln max
Ako uvrstimo n u jednačinu K=anR dobijamo:
eR
RR
K
R
NaK
1ln0
ln
ln max
Iz jednačina vidimo da dobijamo da sa aspekta brojnog
sistema i broja mesta za registrovanje informacije,
najekonomičnije bi bilo raditi u sistemu sa osnovom “e”.
Posmatrajmo rotaciju Zemlje oko svoje ose i njeno
kretanje oko Sunca. Da bi promenila položaj u prostoru za
jedinicu (svoj prečnik) zemlji je potreno 7.247 jedinica koja je 60
puta manja od jedinice ikosadarskog temporalnog sistema. Ako
optimalnu osnovu sistema stepnujemo ovom vrednosti
dobijamo
1440247.7 e
9
što predstavlja broj minuta koji ima sistem (spin Zemlje,
odnosno dan-noć).
Sun
Earth
RE
VE
Moon
Fig.7.5: Prosečni jedinični, „kvantni”, pomeraj Zemlje (za jedan njen
prečnk) u proecsu kretanja oko Sunca se desi za 7.247 minuta
7.4 ZAKON VELIKIH BROJEVA
Statističke raspodele (Maksvelova, Bolcmanova, Bose-
Ajnšajnova, Fermijeva i dr) koriste zakone velikih brojeva i u
njihovoj osnovi se nalazi broj e , koji kao što smo videli
predstavlja optimalnu osnovu sistema. U zavisnosti po kojoj
raspodeli se ponaša sistem možemo zaključiti o karakteru
sistema. Ponašanje sistema po datoj raspodeli je njen zakon i to
je ono što s eočuvava, dok pojedi elementi koji čine sistem
mogu imati preturabacije, ali ukupnost preturbaija ostaje
nepromenjena (ili jako bliska). Zato se sa aspekta sistema „dragi
Bog ne kocka”, kako kaže Ajnštajn, ali sa aspekta elementa
sistema „baca kockice”.
Sa aspekta prirodnih fenomena za nas su interesantni
oni sistemi velikih brojeva koji odražavaju zakone odnosa
električne i magnetne sile valentnih elektrona (104), i onaj koji
usaglašava odnos električne i gravitacione sile u nama (na
površini Zemlje), a on je reda veličine 108.
Interesato je da su oba ta sistema anticipirali stari
Kinezi, koji su kao i Sumerani, imali privilegiju da „osete” ritam
prirode i ono što je u nama pojimaju u mentalnom svetu našeg
bića.
10
Iz tabele 7.5. vidimo da su stari Kinezi imali četri
sistema velikih brojeva: na bazi 103, 104, 108 i na sistemu
kvadrata.
Tabela 7.3: Sarokineski sistem velikih brojeva koji je u saglasnosti sa
prirodnim fenomenima.
LITERATURA
1. Posamentier,S.S., Lehmann, I., The Fibonacci Numberss,
Prometheus Books, Amherst, 2007.
2. Dunlap,A.R., The Golden ratio and Fiboncci numbers,
World Scientific, Sngapore, 1997.
Sistem 亿
yì
兆
zhào
京
jīng
垓
gāi
秭
zǐ
穰
ráng
沟
gōu
涧
jiàn
正
zhēng
载
zài Faktor povećanja
Alternativni
sistem 經/经 杼 壤
1 105 10
6 10
7 10
8 10
9 10
10 10
11 10
12 10
13 10
14
Svaki broj je 10 (十
shí) puta veći od
prethodnog.
2 108 10
12 10
16 10
20 10
24 10
28 10
32 10
36 10
40 10
44
Svaki broj je 10,000
(万 wàn) puta veći od
prethodnog.
3 108 10
16 10
24 10
32 10
40 10
48 10
56 10
64 10
72 10
80
Svaki boj je108 (万万
wànwàn) puta veći
od prethodnog.
4 108 10
16 10
32 10
64 10
128 10
256 10
512 10
1024 10
2048 10
4096
Svaki broj je za
kvadrat veći od
prethodnog.