Fiabilidad de Sistemas
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2014
MMVIIIM1C02: Mtodos Cualitativos y
Cuantitativos en Fiabilidad
Captulo 1: Fiabilidad de sistemas
Nieves Martnez Alzamora
* Departamento de Estadstica e Investigacin Operativa Aplicadas y Calidad Universidad Politcnica de Valencia
Espaa
U L P G C S I A N I C E A N I
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CURSO: MAESTRA EN INGENIERA DE CONFIABILIDAD Y RIESGO VIII EDICIN
MDULO: 1. Ingeniera de Fiabilidad
ASIGNATURA: Mtodos Cualitativos y Cuantitativos en Fiabilidad I
CAPTULO: Fiabilidad de sistemas
PROFESOR: Nieves Martnez Alzamora
Pg. 2 de 35
NDICE
1 Introduccin .................................................................................................................................................... 3
2 Diagramas de bloques ..................................................................................................................................... 3
3 Sistemas serie.................................................................................................................................................. 5
4 Sistemas paralelo ............................................................................................................................................ 7
5 Sistemas compuestos ...................................................................................................................................... 9
5.1 Paralelo-serie .......................................................................................................................................... 9
5.2 Serie-paralelo ........................................................................................................................................ 10
5.3 Mixto-paralelo ....................................................................................................................................... 10
5.4 Asignacin ptima de unidades en un sistema serie-paralelo .............................................................. 11
6 Sistemas complejos ....................................................................................................................................... 13
6.1 Mtodo de la descomposicin .............................................................................................................. 13
6.2 Mtodo de los pasos mnimos .............................................................................................................. 15
6.3 Mtodo de los cortes mnimos ............................................................................................................. 16
6.4 Mtodo tabla booleana y mtodo de la reduccin ............................................................................... 17
7 Redundancia ................................................................................................................................................. 20
7.1 Sistemas que toleran k-1 fallos ............................................................................................................. 20
7.2 Redundancia en un sistema serie .......................................................................................................... 21
7.3 Medidas de importancia de las componentes ...................................................................................... 22
8 Fiabilidad dependiente del tiempo ............................................................................................................... 24
8.1 Sistemas serie ........................................................................................................................................ 25
8.2 Sistemas paralelo .................................................................................................................................. 28
8.3 Sistemas complejos ............................................................................................................................... 32
8.4 Sistemas redundantes ........................................................................................................................... 32
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MDULO: 1. Ingeniera de Fiabilidad
ASIGNATURA: Mtodos Cualitativos y Cuantitativos en Fiabilidad I
CAPTULO: Fiabilidad de sistemas
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1. INTRODUCCIN
En la asignatura anterior Fiabilidad, se vieron las definiciones de funcin de fiabilidad, funcin de riesgo y de
medidas de la fiabilidad como MTTF. Estas definiciones son aplicables a componentes y a sistemas como se
coment al finalizar la asignatura anterior y se ver con ms amplitud en el presente tema.
Un sistema es una coleccin de componentes especficas establecidas de acuerdo con un diseo especfico con
el propsito de lograr el cumplimiento de unas determinadas funciones con una fiabilidad aceptable. El tipo de
componentes, su cantidad, su calidad y el modo en que estn dispuestas tienen un efecto directo sobre la
fiabilidad del sistema. Puede utilizarse por ejemplo un nmero reducido de componentes de alta calidad,
configurados de modo que el sistema resulte altamente fiable o puede utilizarse un nmero elevado de
componentes de baja calidad configurados de modo que se obtenga la misma fiabilidad.
El principal objetivo del anlisis de fiabilidad en un sistema es determinar la distribucin del tiempo hasta el
fallo aunque en algunos casos se desee nicamente conocer la fiabilidad de un sistema para un tiempo dado.
La configuracin de un sistema puede ser tan simple como un sistema serie o un sistema paralelo o tan
complejo como una red. Una vez est configurado un sistema, se evaluar su fiabilidad y se comparar con un
nivel considerado como aceptable. En caso de no alcanzarse este nivel se modificar el sistema y se evaluar de
nuevo su fiabilidad.
En esta asignatura se vern mtodos para evaluar la fiabilidad de sistemas con distintas configuraciones y
mtodos para evaluar la importancia de una componente en una estructura compleja.
2. DIAGRAMAS DE BLOQUES
La fiabilidad de un sistema depende tanto de la fiabilidad individual de cada una de sus componentes como del
modo lgico en que estn conectadas dichas componentes.
Se supone que el estado de funcionamiento o fallo de las componentes determina el estado de funcionamiento
o fallo del sistema.
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Figura 1
Un diagrama de bloques (RBD) es una representacin grfica de los componentes o subsistemas de un sistema
y de cmo se relacionan desde el punto de vista de la fiabilidad (Figura 2). En algunos casos est relacin es
distinta de la relacin fsica.
Figura 2
Un RBD est formado por una serie de bloques unidos por un grfico de fiabilidades. Los bloques son
rectngulos que no muestran ningn detalle sobre las componentes o subsistemas que representa. Cada
bloque del diagrama podra ser representado a su vez por su propio diagrama de bloques. Por ejemplo en el
RBD de un coche, el nivel superior de bloques podra representar los principales sistemas del coche. Cada uno
de estos sistemas podra tener sus propios RBD. El grfico de fiabilidades proporciona una representacin
visual del modo en que los bloques se relacionan y muestra el efecto que el funcionamiento o fallo de una
componente tiene sobre el funcionamiento o fallo del sistema
Los RBD resultan tiles para determinar la funcin de fiabilidad de un sistema a partir de las fiabilidades de
cada uno de los bloques.
FIABILIDAD SISTEMAFIABILIDAD
SISTEMA
Dise o del sistema
Dise o del sistema
Fiabilidad de las componentes
Fiabilidad de las
componentesNmero de
componentesNmero de
componentes
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3. SISTEMAS SERIE
Un sistema serie es aquel que funciona si y solo si funcionan todos y cada uno de los componentes que lo
forman.
Si suponemos que el sistema est formado por n componentes: C1,...Cn, la probabilidad de funcionamiento de
cada componente en el momento en que es evaluado el sistema es conocida y asumimos la notacin,
iX = la unidad Ci funciona
iX = la unidad Ci no funciona
( )ii XPR = = probabilidad de que la unidad Ci funcione correctamente ( )if XPP i = = probabilidad de que la unidad Ci no funcione
XS = el sistema funciona
SX = el sistema no funciona
( )Ss XPR = = fiabilidad del sistema ( )Sf XPP s = = probabilidad de fallo del sistema
El diagrama de bloque correspondiente a este tipo de sistemas ser el de la Figura 3:
Figura 3
No hay que olvidar que el grfico de fiabilidades proporciona una representacin visual del modo en que los
bloques se relacionan aunque esto no significa necesariamente que esta sea la relacin fsica entre los bloques
como se puede ver en los siguientes ejemplos:
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EJEMPLO.- Un coche tiene varios subsistemas conectados en serie, como el subsistema de arranque, el
subsistema de direccin y el subsistema de frenos. El fallo de cualquiera de estos subsistemas hace que
el coche no realice su funcin y se considera que ha ocurrido un fallo del sistema.
EJEMPLO.- Una linterna est formada por 3 componentes en serie, interruptor, batera y bombilla.
La fiabilidad del sistema ser la probabilidad de que funcionen todas las componentes, es decir, la probabilidad
de que funcione la primera componente, multiplicada por la probabilidad de que, funcionando la primera,
funcione tambin la segunda y as sucesivamente
( ) ( ) ( ) ( )12112121 ......./.........../........ == nnnS XXXXPXXPXPXXXPR
En el caso de que las componentes sean independientes,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ==
====
n
ii
n
iinnS RXPXPXPXPXXXPR
112121 ...................
La fiabilidad de un sistema serie siempre es menor o igual que la fiabilidad de la componente con menor
fiabilidad
{ }nS RRRR ,.....,,min 21
Por lo tanto el componente de mayor influencia en la fiabilidad del sistema ser el componente de menor
fiabilidad
EJEMPLO.- Dado un sistema serie formado por 3 componentes cuya fiabilidad, para un tiempo t, es 09, 08 y
075 respectivamente, la fiabilidad del sistema para dicho tiempo t ser
54'075'08'09'0 ==SR
Si representamos la fiabilidad del sistema (ordenada) en base a la fiabilidad de la componente ms dbil
(abcisa) podemos comprobar que, como hemos comentado antes, en sistemas serie la influencia de la fiabilidad
del componente de menor fiabilidad en la fiabilidad del sistema es muy fuerte, ya que podemos hacer que la
fiabilidad del sistema oscile entre 0 y 072 en base a la fiabilidad de la tercera componente (Figura 4)
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Figura 4
Ejercicio 1
Estimar la fiabilidad de un sistema serie formado por 150 componentes idnticas de fiabilidad 099. Sol: R=022
4. SISTEMAS PARALELO
Un sistema paralelo es aquel que funciona mientras funcione al menos una de sus componentes. En un sistema
paralelo el fallo de una componente permite que el resto de las componentes funcionen. El diagrama de
bloque correspondiente a este tipo de sistemas ser el de la Figura 3.
Figura 5
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La fiabilidad de un sistema paralelo ser, por lo tanto, la probabilidad de que funcione alguna de las
componentes.
( )
)........(11)........(
.......
21
21
21
nfS
nf
nS
XXXPPR
XXXPPXXXPR
S
S
==
=
+++=
Si las componentes son independientes,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )==
===
n
ii
n
iinS RXPXPXPXPR
1121 111......1
La fiabilidad de un sistema paralelo siempre es mayor o igual que la fiabilidad de la componente con mayor
fiabilidad:
{ }nS RRRR ,.....,,max 21 Por lo tanto el componente de mayor influencia en la fiabilidad de un sistema paralelo ser la componente de
mayor fiabilidad
EJEMPLO.- Si conectamos las componentes del ejemplo anterior cuya fiabilidad era 09, 08 y 075 en paralelo, la
fiabilidad del sistema ser
( ) ( ) ( ) 995'075'018'019'011 ==SR Si representamos la fiabilidad del sistema en base a la fiabilidad de la componente ms dbil podemos
observar que en un sistema paralelo la influencia de la fiabilidad del componente de menor fiabilidad en la
fiabilidad del sistema es mucho menor (Figura 6). En este caso el componente de mayor influencia ser el
componente de fiabilidad 09
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Figura 6
5. SISTEMAS COMPUESTOS
Hay muchas situaciones en las cuales un sistema est compuesto por una combinacin de subsistemas serie o
paralelo
5.1 Paralelo-serie
Un sistema paralelo-serie est formado por m caminos paralelos, cada uno de los cules tiene n unidades
conectadas en serie, como se recoge en el siguiente RBD (Figura 7) :
Figura 7
La fiabilidad de este tipo de sistemas es,
= =
=
m
i
n
jjS RR
1 111
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5.2 Serie-paralelo
Un sistema serie-paralelo est formado por n subsistemas colocados en serie, cada uno de los cuales tiene m
unidades colocadas en paralelo, como se recoge en el siguiente RBD (Figura 8):
Figura 8
La fiabilidad de este tipo de sistemas es,
( ) = =
=
n
i
m
jjS RR
1 111
Los sistemas serie-paralelo tienen mayor fiabilidad que los sistemas paralelo-serie cuando ambos tienen igual
nmero de unidades y cada unidad tiene la misma fiabilidad
5.3 Mixto-paralelo
Un sistema mixto paralelo tiene como nica restriccin que las componentes estn colocadas en
configuraciones serie y paralelo, como se ve en los siguientes RBD:
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Ejercicio 2
Dadas 6 unidades idnticas, cada una de ellas con fiabilidad 085, determinar la fiabilidad de los 3 sistemas
siguientes (Figura 9 ). Cmo se denomina cada configuracin?cul es la configuracin ptima?. Sol: a) 08511
b) 09340 c) 09022
Figura 9
Ejercicio 3
Calcular la fiabilidad del siguiente sistema Sol. 09852
5.4 Asignacin ptima de unidades en un sistema serie-paralelo
La fiabilidad de un sistema depende de cmo se han asignado las unidades a la configuracin del sistema.
Cuando las componentes no son idnticas el problema es complicado.
Basndose en el hecho de que la fiabilidad de un sistema serie-paralelo es mxima cuando la fiabilidad de los
subsistemas sea tan igual como sea posible, Baxter y Harche propusieron (1992) el algoritmo TDH (top down
heuristic) para conseguir una asignacin que maximice la fiabilidad en este tipo de sistemas.
0.80
0.90 0.80
0.80
0.80 0.95
0.90
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Los pasos son los siguientes,
Paso 1.- Ordenar las componentes por orden decreciente de fiabilidad
Paso 2.- Colocar las n componentes ms fiables, una en cada subsistema
Paso 3.- Colocar las n componentes siguientes en orden inverso
Repetir hasta que se coloquen todas las componentes,
Paso 4 .- Evaluar la fiabilidad de cada subsistema
Paso 5.- Colocar las n componentes siguientes. En este caso se colocar la componente ms fiable en el
subsistema de menor fiabilidad y as sucesivamente.
Existe tambin un algoritmo semejante BUH (bottom up heuristic) que empieza asignando las n unidades de
menor fiabilidad.
EJEMPLO Un ingeniero desea disear un sistema redundante que incluye seis resistencias. Sus fiabilidades son
095, 075, 085, 065, 040 y 055. El espacio donde las resistencias son instaladas limita al diseador a colocar
los resistencias en un arreglo (3,2), es decir, dos subsistemas en serie de 3 resistencias conectadas en paralelo.
Usar el TDH para colocar las unidades y calcular la fiabilidad del sistema resultante. Sol : 0972802
Si ordenamos las fiabilidades de las componentes tendremos
095>085>075>065>055>040
Si realizamos los pasos 1,2 y 3 tendremos (Figura 10)
Figura 10
Si evaluamos la fiabilidad de cada subsistema (Paso 4) tendremos
R1= 1-(1-095) (1-065) = 09825
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R2= 1-(1-085) (1-075)= 09625
Por lo tanto la asignacin definitiva de las componentes ser (Figura 11)
Figura 11
y la fiabilidad definitiva del sistema 09728
6. SISTEMAS COMPLEJOS
No todos los sistemas pueden descomponerse como combinaciones de subsistemas serie/paralelo, por ello es
necesario otros mtodos de anlisis.
La fiabilidad de estos sistemas puede ser determinada por distintos mtodos: mtodo de la descomposicin,
mtodo de los pasos, mtodo de los cortes, mtodo de la particin, etc. Los sistemas de telecomunicaciones,
redes de ordenadores, sistemas de energa elctrica o sistemas de distribucin de aguas son ejemplos tpicos
de redes complejas.
Algunas de estas redes se denominan redes dirigidas cuando el flujo de un nodo a otro es unidireccional.
Cuando el flujo es bidireccional la red se denomina no-dirigida. Los problemas y mtodos discutidos en este
apartado son vlidos para redes dirigidas o no-dirigidas.
6.1 Mtodo de la descomposicin
Este mtodo se basa en seleccionar una componente clave, Ci, que consideramos bsica para la fiabilidad del
sistema. Por el teorema de la particin la fiabilidad del sistema puede expresarse como:
( ) ( ) ( ) ( )iiii XfuncionesistemaPXPXfuncionesistemaPXPR // +=
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EJEMPLO: Suponiendo que todas las componentes del sistema de la Figura 12 tienen la misma fiabilidad, p,
determinar la fiabilidad de la red cuando la componente B es seleccionada como componente clave.
Figura 12 SOLUCIN:
En este sistema se verifica que
P(XB)=p
pXP B =1)(
Si consideramos que la componente B funciona con seguridad, el RBD del sistema de la Figura 12 ser
equivalente al de la Figura 13
Figura 13
y ( ) ( ) 22 211/ pppXXP BS ==
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Si consideramos que la componente B no funciona con seguridad, el RBD del sistema de la Figura 12
ser equivalente al de la Figura 14
Figura 14
y ( ) ( ) 4222 211/ pppXXP BS ==
Por lo tanto, aplicando el mtodo de la descomposicin, la fiabilidad del sistema ser,
( ) ( )( )422 212 ppppppRS +=
6.2 Mtodo de los pasos mnimos
El mtodo de los pasos se basa en buscar subconjuntos de componentes del sistema tales que su
funcionamiento implica el funcionamiento del sistema, independientemente del estado del resto de los
componentes.
Estos subconjuntos se denominan pasos o caminos. Un paso se dice que es minimal si ningn subconjunto
propio es a su vez paso. Dicho de otro modo, un paso minimal es aquel que verifica que cuando se elimina
cualquier componente deja de ser paso.
Si las componentes son independientes, la probabilidad de que funcione un paso, por ejemplo el
formado por tres componentes ACD ser,
P(XAXCXD)= P(XA)P(XC)P(XD) Al intersectar 2 pasos el paso resultante est formado por aquellas componentes que aparecen al
menos una vez en cualquiera de los pasos intersectados (regla de absorcin).
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(AD )(BD)= ABD
Un sistema funcionar siempre y cuando funcione al menos uno de los pasos minimales. En base a esto, el
mtodo de los caminos para calcular la fiabilidad de un sistema complejo consiste en localizar todos los pasos
minimales de un sistema, P1,...Pp , y calcular la probabilidad de la unin de todos los pasos minimales,
( )pPPS XXPR ++= .......1
EJEMPLO: Considerar el sistema de la Figura 15 y usar el mtodo de los pasos y el mtodo de los cortes para
estimar la fiabilidad del sistema, suponiendo que todas las componentes tienen una fiabilidad de 085.
Figura 15
SOLUCIN:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 9368'0=+
++=++=
EDCBABACDCBEACDEA
CBACDEACBACDEAS
XXXXXPXXXXPXXXXPXXXXP
XXXPXXPXXPXXXXXXXPR
6.3 Mtodo de los cortes mnimos
Este mtodo funciona de modo similar al anterior, pero en lugar de buscar subconjuntos de componentes del
sistema tales que su funcionamiento implica el funcionamiento del sistema, se buscan subconjuntos de
componentes cuyo fallo implica el fallo del sistema.
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Se llama corte (cut-set) a un grupo de componentes tal que su fallo implica el fallo del sistema. Un corte
minimal ser aquel que verifica que ningn subconjunto suyo es un corte. De modo similar a los pasos, un
corte minimal ser aquel que verifica que cuando se elimina cualquier componente deja de ser corte.
La probabilidad de fallo de un sistema vendr dada por la probabilidad de que falle al menos un corte mnimal.
En base a esto, el mtodo de los cortes para calcular la fiabilidad de un sistema complejo consiste en localizar
todos los cortes minimales de un sistema, K1,...Kp , y calcular,
( )pS KKfS XXPPR ++== .......11 1
Ejercicio 4:
Considerar el sistema de la Figura 15 y usar el mtodo de los cortes para estimar la fiabilidad del sistema,
suponiendo que todas las componentes tienen una fiabilidad de 085. Sol: cortes ECCAEDBDA ,,,
6.4 Mtodo tabla booleana y mtodo de la reduccin
El mtodo de la tabla booleana se basa en la construccin de una tabla de verdad para el sistema. Es tedioso si
se realiza a mano pero sencillo si se programa. En una tabla de verdad se lista cada posible estado del sistema.
Se crea una columna para cada componente y se asigna un valor de 1 0 indicando si la componente funciona
o no funciona. Cada fila de la tabla representar uno de los posibles estado del sistema. Estas filas son
examinadas para determinar si el sistema funciona o no y se crea una columna para el estado del sistema en la
cual se asigna 1 0 segn que el sistema funcione o no funcione. Se calcula la probabilidad de cada fila y la
fiabilidad del sistema se obtiene sumando las probabilidades de todos los estados en los cuales funciona el
sistema.
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EJEMPLO: Usar el mtodo de la tabla booleana para estimar la fiabilidad del sistema anterior.
XA XB XC XD XE Estado sistema
Probabilidad estado
1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 585'0=EDcBA XPXPXPXPXP 1 1 1 1 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 15'085'0 4 =EDcBA XPXPXPXPXP 1 1 1 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 15'085'0 4 =EDcBA XPXPXPXPXP 1 1 1 0 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 23 15'085'0 =EDcBA XPXPXPXPXP 1 1 0 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 15'085'0 4 =EDcBA XPXPXPXPXP 1 1 0 1 0 0
1 1 0 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 23 15'085'0 =EDcBA XPXPXPXPXP 1 1 0 0 0 0
1 0 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 15'085'0 4 =EDcBA XPXPXPXPXP 1 0 1 1 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 23 15'085'0 =EDcBA XPXPXPXPXP 1 0 1 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 23 15'085'0 =EDcBA XPXPXPXPXP 1 0 1 0 0 0
1 0 0 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 23 15'085'0 =EDcBA XPXPXPXPXP 1 0 0 1 0 0
1 0 0 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 32 15'085'0 =EDcBA XPXPXPXPXP 1 0 0 0 0 0
0 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 15'085'0 4 =EDcBA XPXPXPXPXP 0 1 1 1 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 23 15'085'0 =EDcBA XPXPXPXPXP 0 1 1 0 1 0
0 1 1 0 0 0
0 1 0 1 1 0
0 1 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 23 15'085'0 =EDcBA XPXPXPXPXP 0 0 1 1 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 32 15'085'0 =EDcBA XPXPXPXPXP 0 0 1 0 1 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 1 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0
Sol: RS=09368
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El mtodo de la reduccin se basa en el mtodo de la tabla de verdad y la aplicacin de la suma de productos
(Case, 1977).
Se construye una tabla de verdad de orden 2n (n =nmero de componentes).
Se examina el estado del sistema para cada fila y se identifican las filas en las cuales el sistema funciona correctamente.
Se construye una tabla de reduccin localizando las filas que difieren en el estado de una componente.
La fiabilidad del sistema ser la probabilidad de la unin de todos los trminos que ya no pueden ser comparados
EJEMPLO: Usar el mtodo de la tabla booleana para estimar la fiabilidad del sistema anterior.
Estados sistema funciona Nivel reduccin 1 Nivel reduccin 2
EDCBA XXXXX
DCBA XXXX
CBA XXX
EDCBA XXXXX
EDCBA XXXXX
DCBA XXXX EDCBA XXXXX
EDCBA XXXXX
ECBA XXXX
ECA XXX EDCBA XXXXX
EDCBA XXXXX
DCBA XXXX
EDCBA XXXXX
EDCBA XXXXX
EDCBA XXXXX
ECBA XXXX
EDCBA XXXXX
EDCBA XXXXX
DCBA XXXX
DCA XXX EDCBA XXXXX
EDCBA XXXXX
DCBA XXXX EDCBA XXXXX
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( )( )
9368'015'0*85'015'0*85'02*15'0*85'085'0()()()()
23323=+++
=++++
=++++=
EDCBADCBADCAECACBA
EDCBADCBADCAECACBAS
XXXXXPXXXXPXXXPXXXPXXXPXXXXXXXXXXXXXXXXXXPR
7. REDUNDANCIA
La redundancia es el uso de componentes adicionales en el diseo de un sistema con objeto de mejorar su
fiabilidad.
Existen dos tipos de redundancia: activa o pasiva. En una redundancia activa todas las componentes
redundantes funcionan simultneamente desde el inicio. En una redundancia no activa (stand-by), las
componentes redundantes empiezan su trabajo solo cuando falla alguna de las componentes operativas.
Por ejemplo, un avin que requiere 3 de sus 4 motores para poder volar, tendr sus motores en redundancia
activa, mientras que un ordenador tendr una fuente de alimentacin en redundancia inactiva, para
proporcionar energa cuando ocurra algn fallo en la fuente de alimentacin principal.
Ejercicio 5:
Un procesador de seales tiene una fiabilidad de 090. Debido a su poca fiabilidad, se estudia la posibilidad de
aadir un procesador redundante (redundancia activa). Sin embargo, si se aade un procesador redundante
debe aadirse antes un distribuidor de seal y despus un comparador. Cada una de estas unidades tiene una
fiabilidad de 095. Aumenta la fiabilidad del sistema aadir un procesador redundante? Sol: No
7.1 Sistemas que toleran r-1 fallos
Un sistemas tolerante a r-1 fallos es un sistema con n componentes en activo, cuyo fallo se produce si y solo si
fallan r o ms de las n componentes.
EJEMPLOS:
Grandes aviones que, aunque solo requieren 2 motores, tienen 3 o 4 por motivos de seguridad
Sistemas que, aunque solo requieren un generador para proveer las necesidades de potencia, tienen 2 o 3 generadores por motivos de seguridad
Cables de gras o puentes que contienen miles de hilos aunque solo una fraccin de ellos es necesaria para sostener la carga deseada.
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MDULO: 1. Ingeniera de Fiabilidad
ASIGNATURA: Mtodos Cualitativos y Cuantitativos en Fiabilidad I
CAPTULO: Fiabilidad de sistemas
PROFESOR: Nieves Martnez Alzamora
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Si un sistema tolerante a r-1 fallos tiene n componentes idnticas, todas ellas con probabilidad de
funcionamiento p, la fiabilidad del sistema ser la probabilidad de que funcionen correctamente k=n-(r-1) o
ms componentes,
( )=
=
n
kj
jnjS ppj
nR 1
ntecorrectamefuncionecomponenteunaquedeadprobabilidprnsistemadelentofuncionamiel
garantizanquentecorrectameofuncionandscomponentedenumeromnimoksistemadelscomponentedenmeron
=
=
=
)1(
sistemadelfiabilidadR S =
Si el sistema est formado por n componentes diferentes, para determinar la fiabilidad del sistema debern
evaluarse todas las posibles combinaciones operacionales.
EJEMPLO: Un sistema de telecomunicaciones consta de 4 canales paralelos diferentes. El sistema es operacional
si funcionan 3 canales. Determinar la fiabilidad del sistema en el caso en que las componentes sean diferentes y
en el caso en que las componentes sean idnticas
( ) 4343
4 3414
ppppjR jjj
S =
=
=
7.2 Redundancia en un sistema serie
Se puede aumentar la fiabilidad de un sistema serie replicando las componentes principales con componentes
redundantes.
Es interesante conocer el mnimo nmero de componentes redundantes que deben ser colocadas en una
estructura serie para conseguir una determinada fiabilidad
El mtodo de bsqueda secuencial propuesto por Barlow y Proschan (1965) se basa en el hecho de que se
maximiza el aumento en la fiabilidad de un sistema serie si se replica la componente de menor fiabilidad
EJEMPLO: Un sistema serie est formado por 3 componentes con fiabilidades 070, 075 y 085 respectivamente.
Determinar el mnimo nmero de componentes que deben ser aadidas en paralelo (redundancia activa) a las
componentes iniciales. para que la fiabilidad llegue a ser superior a 07. Se supone que las componentes usadas
en las rplicas son idnticas a las componentes originales del sistema
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7.3 Medidas de importancia de las componentes
Una vez realizado el diseo de un sistema que permite asegurar una fiabilidad determinada, es interesante
identificar aquellas componentes que son cruciales para el correcto funcionamiento del sistema. De este modo,
es posible mejorar la fiabilidad del sistema replicando estas componentes.
Existen distintos mtodos para medir la importancia de cada componente en trminos de fiabilidad que son
aplicables en un sistema serie, paralelo, mixto o complejo. La mayor parte de los mtodos se basan en estudiar
la fiabilidad del sistema cuando la componente funciona y cuando no lo hace.
( ) nixPpppp iin ,...,1)(...,,.........1 === funcionenosistemaelquedeadprobabilidpG =)(
07 075 085
85'0*75'0*7'0=R
07
075 085
07
( )( ) 5801'085'0*75'0*7'011 2 ==R07 075
085
07 075
( )( ) ( )( ) 7251'085'0*75'011*7'011 22 ==R
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La medida de importancia de Birnbaum, de la componente i-sima, ( )tI iB es la probabilidad de que esta componente sea crtica para el sistema,
( ) ( )( ) ( )( )tpGtpGtI iiiB ,1,0 =
( )( )( )( ) funcionaicomponentelacuandofuncionenosistemaelquedeadprobabilidtpG
funcionanoicomponentelacuandofuncionenosistemaelquedeadprobabilidtpGi
i
=
=
,1,0
EJEMPLO: Uno de los mtodos ms simples para medir la resistencia consiste en transmitir un voltaje por una
resistencia desconocida y medir la intensidad de la corriente con un galvanmetro. Un fabricante de estos
galvanmetros necesita bateras para proporcionar el voltaje necesario. Si coloca en serie 4 bateras con tasas
de fallo constantes 1=0005, 2=0009, 3=0003 y 4=005 fallos por hora cul ser la medida de importancia de Birnbaum de cada batera a las 40 horas?
( ) ( ) ( ) ( ) 135'040;887'040;698'040;819'040 40*440*340*240*1 4321 ======== epepepep
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )40404040140 4321 pppppG =
( )( )( )( )( )( )( )( ) 10*887'0*698'0*819'0140;0
1135'0*0*698'0*819'0140;01135'0*887'0*0*819'0140;01135'0*887'0*698'0*0140;0
4
3
2
1
==
==
==
==
pGpGpGpG
0698 0887 0135 0819
-
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( )( )( )( )( )( )( )( ) 4929'01*887'0*698'0*819'0140;1
9228'0135'0*1*698'0*819'0140;19019'0135'0*887'0*1*819'0140;19614'0135'0*887'0*698'0*1140;1
4
3
2
1
==
==
==
==
pGpGpGpG
( )( )( )( ) 507'04929'0140
077'09228'0140098'09019'0140084'09614'0140
4
3
2
1
==
==
==
==
B
B
B
B
I
I
I
I
La componente de mayor importancia en este sistema es la componente 4, lo cual resulta lgico ya que hemos visto que la fiabilidad de un sistema serie es siempre menor que la de su componente ms dbil. Si el sistema es complejo, esta medida resultara muy til para saber que componentes debemos replicar con mayor prioridad.
Ejercicio 6:
Si en el ejerci anterior el fabricante tiene las siguientes opciones para colocar las 4 bateras
- Bateras 1 y 2 conectadas en serie con bateras 3 y 4 conectadas en paralelo
- Las 4 bateras en paralelo
Cul ser la medida de importancia de Birnbaum de cada batera en las configuraciones anteriores a las 40
horas? Comentar los resultados. Sol: 0629, 0739, 0495, 0065; 0029,0018, 0047,0006. Deben ser replicadas
la 2 y la 3.
8. FIABILIDAD DEPENDIENTE DEL TIEMPO
Hasta ahora se ha considerado que la fiabilidad de las componentes en un instante concreto y no se ha
intentado obtener la distribucin del tiempo de vida del sistema en base a la distribucin del tiempo de vida de
las componentes. Es decir se ha realizado un estudio instantneo de la fiabilidad del sistema y no se ha
observado su variacin a travs del tiempo. En este apartado, estudiaremos como obtener la funcin de
fiabilidad de un sistema en base a las funciones de fiabilidad de las componentes..
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8.1 Sistemas serie
Razonando del mismo modo que vimos en la pregunta 1, la fiabilidad de un sistema serie formado por n
componentes independientes en un instante t, es decir la probabilidad de que la duracin del sistema sea
superior a t, ser la probabilidad de que todas las componentes tengan una duracin superior a t, es decir:
( ) [ ] ( )( ) ( )[ ][ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( )tRtRtRtTPtTPtTP
tTtTtTPtTPtR
nn
nSs
......................
.............
2121
21
=>>>
=>>>=>=
Por lo tanto,
( ) ( )=
=
n
iis tRtR
1
Si cada componente tiene una funcin de riesgo constante, i, la fiabilidad del sistema en el instante ser,
( ) == = =
n
ii
itn
i
ts eetR 1
1
La duracin del sistem seguir por tanto un modelo exponencial, cuya tasa de fallo ser la suma de las
tasas de fallo de las componentes
Para componentes con funcin de riesgo linealmente creciente ( ) tth ii = la fiabilidad del sistema ser,
( ) = =
n
i
it
s etR 12
2
En este caso, la duracin del sistema seguir por tanto un modelo Rayleigh, cuya tasa de fallo ser la
suma de las tasas de fallo de las componentes
Para componentes con tasa de fallo Weibull ( )1
=
i
ii
ii
tth
la fiabilidad del sistema ser,
( )
=
=
n
i is
it
tR1
exp
Si el parmetro de forma, , es idntico para todas las componentes la duracin del sistema seguir un modelo Weibull con parmetro de forma y parmetro de escala
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=
=
1
1
1'
n
i i
.
Si ambos parmetros, y , son idnticos para todas las componentes, la duracin del sistema seguir un modelo Weibull con parmetro de forma y parmetro de escala
= 1' n
Si r componentes presentan tasa de fallo constante y n-r presentan tasa de fallo de Weibull, la fiabilidad del sistema ser,
( )
=
+==
n
ri i
r
iis
it
ttR11
exp
EJEMPLO: Un sistema serie est formado por 5 componentes, tres de las cuales tienen tasa de fallo constante
1=5x10-6, 2=3x10-6 y 3=9x10-6. Las otras 2 componentes presentan tasa de fallo de Weibull con parmetros 1=765010, 1=22, 2=1452371 y 2=21. Determinar la fiabilidad del sistema a las 1000 horas.
( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) 9685'01000 2211321 100010001000*1000*1000* == eeeeeRS Si utilizamos el software ICR, como se vio en la asignatura anterior, podemos verificar utilizando la opcin Show
Point Values, el resultado anterior.
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Como se vio anteriormente, el valor medio del tiempo hasta el fallo puede obtenerse a partir de la funcin de
fiabilidad mediante la siguiente expresin
( ) ( ) ( )
===
00
dttRdtttfTEMTTF
En la siguiente tabla se recoge el MTTF para sistemas serie con n componentes,
Configuracin
sistema
Tasa de fallo
Componentes
MTTF componente MTTF sistema
Serie Constante
i i
dtte i
=
1
0
=
=
=
n
ii
dttn
ii
e
1
0
11
Lineal crec.
i t pi
=
2022 dte /ti
=
pin
ii
12
Weibull ( cte) 1
ii
t
+
11i
+
=
111
1
1
n
i i
.
EJEMPLO: Un sistema serie est formado por 6 componentes que tienen el mismo parmetro forma de una
distribucin Weibull. El parmetro forma es 175 y el parmetro escala de las componentes son 218804,
239509, 172132, 209732,215210 y 180532. Determinar el MTTF del sistema. Sol: 647143horas
( )727'726
32'18051
10'21521
32'20971
32'17211
09'23951
04'21881
'
75'1175'175'175'175'175'175'1
=
+
+
+
+
+
=
( ) 143'64789049'0*727'7265714'1' === MTTF Ejercicio 7:
Una fuente de alimentacin tiene 3 rectificadores colocados en serie. El tiempo de vida de todos los
rectificadores sigue una distribucin Weibull con =2.1. La vida caracterstica es diferente para cada rectificador: 12.000 h, 18.500h y 21.500h. Qu tiempo de vida alcanzar la fuente de alimentacin con una
probabilidad del 90%? Cul ser el tiempo medio hasta el fallo? Sol: t=3194792; MTTF=826267
(Si obtenis el grfico siguiente con ICR, y utilizis la opcin Show Point Values, podis verificar el valor del
percentil
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Ejercicio 8:
10 componentes Weibull, cada una de ellas con parmetro de forma 08, deben trabajar en serie.
Determinar una vida caracterstica comn para estas componentes de modo que el sistema supere un
tiempo de vida de 1 ao con una fiabilidad de 099. Sol: =558823
8.2 Sistemas paralelo
La fiabilidad de un sistema paralelo formado por n componentes independientes en un instante t ser la
probabilidad de que alguna de las componentes tenga una duracin mayor de t,
[ ] ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]tXtXtXP
tXtXtXPtTP
n
ns
==>>>=>
.........1.........
21
21
Por lo tanto,
( ) ( )( )=
=
n
iis tRtR
111
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En el caso de componentes independientes con tasa de fallo constante, i, la fiabilidad del sistema ser.
y no se ajustar a un modelo concreto.
Para componentes con tasa de fallo linealmente creciente ( ) tth ii = la fiabilidad del sistema ser, ( ) ( )
=
=
n
i
/ts
ietR1
2211
no ajustndose, al igual que en el caso anterior a un modelo concreto.
Para componentes con tasa de fallo Weibull ( )1
=
i
ii
ii
tth
la fiabilidad del sistema ser,
( ) =
=
n
i
t
s
i
ietR1
11
ocurriendo lo mismo que en los dos casos anteriores
EJEMPLO: Dado un sistema paralelo con 2 componentes con tasa de fallo constante 1=05x10-6 y 2=03x10-6 fallos por hora. Cul es la fiabilidad a las 1000 horas de funcionamiento?
( ) ( )( ) 999'011000 1000*1000* 21 == eeRS Si utilizamos el software ICR,
( ) ( )=
=
n
i
ts
ietR1
11
-
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El clculo del MTTF para sistemas paralelos es similar al clculo para sistemas serie,
Configuracin
sistema
Tasa de fallo
Componentes
MTTF sistema
Paralelo Constante
i ( )( )
=
+=
=
= +=
+
dt.......eedttRn
i
n
i
n
ij
tt jii
0 1
1
1 10
( ) =
= +=
=
+
++
+
=
n
i
n
i
n
ijn
ii
n
jii.............
1
1
1 1
1
1 1111
Constante Componentes idnticas
()
+++
n.......
12111 (1)
Lineal crec.
i t ( )( )
=
+=
=
= +=
+
dt.......eedttRn
i
n
i
n
ij
t/t/ jii
0 1
1
1 1
2121
0
22
( ) =
= +=
++
pi
pi
=
n
i
n
i
n
ij jii1
1
1 1.............
22
Lineal crec. Componentes idnticas
t
+
...........
31
321
22nn
npi
-
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La ecuacin (1) implica que en el caso de redundancia activa (todas las componentes estn activas de modo
contnuo) con el mismo tipo de fallo, el MTTF del sistema es mayor que el MTTF de una componente y la
contribucin de la segunda componente y otras adicionales irn disminuyendo cuando n se incrementa. Esto
implica que existe un valor ptimo de n a partir del cual el coste de aadir una componente al sistema es
mayor que el beneficio obtenido.
EJEMPLO: Un sistema con redundancia activa est formado por 4 componentes con tasa de fallo creciente, kt,
con k=35x10-6
fallos por hora. Determinar el MTTF del sistema
611'104941
44
31
34
21
24
42
=
+
=
kMTTF pi
Ejercicio 9:
Tres canales de comunicacin en paralelo tienen tasas de fallo independientes de 01 fallos por hora. Estos
canales deben compartir un transmisor comn. Determinar el MTTF del transmisor para que el sistema tenga
una fiabilidad de 085 para una misin de 5 horas. Considerar tasas de fallo constantes. Sol: 501455 horas
Ejercicio 10:
Para cada uno de los siguientes sistemas redundantes, determinar el MTTF de las componentes necesario para
conseguir una fiabilidad del sistema de 09 a las 100 horas de funcionamiento. Considerar que todas las
componentes tienen la misma tasa de fallo constante. Sol: 78928 hr ; 4865 hr
8.3 Sistemas complejos
La estimacin del MTTF de un sistema complejo requiere la obtencin previa de la funcin de fiabilidad del
sistema. Para obtener esta funcin puede utilizarse cualquiera de los mtodos vistos anteriormente, siendo la
funcin obtenida integrada para t variando de 0 a .
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8.4 Sistemas redundantes
En la pregunta 7, hemos comentado que existen dos tipos de redundancia: activa o pasiva. En una redundancia
activa todas las componentes trabajan simultneamente. En una redundancia pasiva (stand-by), las
componentes redundantes empiezan su trabajo solo cuando falla alguna de las componentes operativas.
8.4.1 Redundancia activa: sistemas que admiten k-1 fallos
Siguiendo el mismo razonamiento del punto 7, la fiabilidad en el instante t de un sistema, cuyas componentes
son independientes e idnticas, que admite r-1 fallos, es
( ) ( )( ) ( )( )=
=
n
kj
jnjs tRtRj
ntR 1
ntecorrectamefuncionecomponenteunaquedeadprobabilidprnsistemadelentofuncionamiel
garantizanquentecorrectameofuncionandscomponentedenumeromnimoksistemadelscomponentedenmeron
=
=
=
)1(
donde R(t) es la fiabilidad de una componente en el instante t.
No existe una expresin general para MTTF.
EJEMPLO: Determinar la fiabilidad a las 2.000 de un sistema de 4 componentes que tolera 2 fallos, con
componentes idnticas e independientes con tasa de fallo constante de 27x10-4
fallos por hora. Sol: 08
( ) 5827'0000.2 54'02000*10*7'2 4 === eeR
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 8'05827'05827'01*5827'0*45827'01*5827'0*614000.2 432242
4=++=
=
=
j
jjs tRtRjR
Si utilizamos el software ICR. Sistemas PareleloParalelo k de n, y la opcin Show Point Values, podemos
obtener esta fiabilidad
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Ejercicio 11:
Determinar la fiabilidad a las 500 horas de un sistema de 5 componentes que tolera 2 fallos, con componentes
idnticas e independientes cuyo tiempo hasta el fallo sigue una distribucin Weibull de parmetros =46521 y =21. Sol: 01798
8.4.2 Redundancia pasiva: sistemas stand-by
En un proceso de Poisson homogneo, en el cual el tiempo entre fallos sea exponencial con parmetro , el tiempo hasta el fallo k-esimo sigue una distribucin de Erlang con parmetros =k y =1/. Por lo tanto,
( ) ( )
=
=
1
0 !
k
i
it
it
etR
/kMTTF =
-
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En base a esto, si un sistema con redundancia pasiva est formado por N equipos trabajando simultneamente y n en stand-by, tendremos
( ) ( )=
=
n
i
itN
itN
etR0 !
( ) ( )NnMTTF /1+=
EJEMPLO: Un sistema de achique est formado por 3 bombas idnticas, las cuales deben operar en paralelo, aunque las bombas estn en stand-by. Calcular la fiabilidad del sistema a las 1.000 horas de funcionamiento, si
la tasa de fallos de cada bomba es =2*10-3 fallos/hora y el MTTF.
( ) ( ) 67'02221
!2 2213
0
2=
++==
=
eietR i
i
( ) horasMTTF 150010*2/3 3 == Si utilizamos el software ICR, entramos en SistemasStand-by3 componentes iguales tendremos,
-
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