ბათუმის შოთა რუსთაველის სახელმწიფო უნივერსიტეტი

ფიზიკის დეპარტამენტი

ლექციების მოკლე კურსი მექანიკაში

ფიზიკის დეპარტამენტის ასოც. პროფ. ლალი კალანდაძე

2013 წ

2

შ ე ს ა ვ ა ლ ი

ლექცია I

საბუნებისმეტყველო მეცნიერებათა შორის ფიზიკას ერთ-ერთი ცენტრალური

ადგილი უკავია. მის ამოცანას შეადგენს ბუნების მოვლენების შესწავლა და მათი

ძირითადი კანონების ჩამოყალიბება.

თავისი თეორიების ჩამოყალიბებისას ფიზიკა ფართოდ სარგებლობს

მათემატიკური ანალიზით და ამ მხრივ ის ყველა სხვა საბუნებისმეტყველო

მეცნიერებაზე უფრო მჭიდროდ არის დაკავშირებული მათემატიკასთან, არანაკლებ

არის დაკავშირებული ფიზიკა ადამიანის პრაქტიკულ საქმიანობასა და

ტექნიკასთან. ფიზიკის განვითარების ისტორია გვიჩვენებს, რომ ტექნიკის

განვითარება ფიზიკის წინაშე აყენებს სულ ახალ და ახალ პრობლემებს, რაც იწვევს

ფიზიკის ახალი დარგებისა მნიშვნელოვანი ფიზიკური თეორიების წარმოშობას,

მეორე მხრივ, ფიზიკიაც მნიშვნელოვან როლს ასრულებს ტექნიკის განვითარების

საქმეში.

ძირითადი ცნებები, რომელებსაც ემყარება ფიზიკა, არის მატერია, სივრცე და

დრო. მატერია არის ობიექტური რეალობა, რომელიც არსებობს ადამიანისაგან

დამოუკიდებლად და აისახება მის მიერ. არსებობს მატერიის ორი სახე-

ნივთიერება და ველი. მატერია მუდმივ, განუწყვეტელ მოძრაობაში იმყოფება.

მოძრაობა გულისხმობს ყველა პროცესს დაწყებულს მექანიკური მოძრაობით და

გათავებულს აზროვნებით. ყველა მოვლენა, მატერიის ყოველი ცვლილება

წარმოებს სივრცესა და დროში. სივრცე და დრო არ არსებობს მატერიის გარეშე,

ისე როგორც მატერიის არსებობა შეუძლებელია სივრცისა დროის გარეშე. სივრცე

და დრო მატერიის არსებობის ფორმებია.

ფიზიკური კანონების მათემატიკური ფორმიულირების დროს ვამყარებთ

დამოკიდებულებას ფიზიკურ სიდიდეთა რიცხვით მნიშვნელობებს შორის. ვიდრე

ფიზიკურ კანონზომიერებათა შესწავლას დავიწყებთ, საჭიროა გავეცნოთ ფიზიკური

სიდიდეების გაზომვას და უმნიშვნელოვანესი ფიზიკური სიდიდეების ერთეულებს.

ფიზიკური სიდიდის გაზომვა ნიშნავს შედარებას მისივე გვარის მეორე ფიზიკურ

სიდიდესთან, რომემელიც პირობით ერთეულად არის მიღებული. მაგალითად

სხეულის სიგრძის გაზომვისას ჩვენ ვიგებთ რამდენჯერ მეტია ან ნაკლები მისი სიგრძე

მეორე სხეულის სიგრძეზე, რომელიც ერთეულად გვაქვს შერჩეული. ჩვენ შეგვიძლია

შევადაროთ ერთმანეთს მხოლოდ ერთგვაროვანი სიდიდეები; სიგრძე- სიგრძეს; მასა-

მასას და სხვა.

განვიხილოთ რამდენიმე მნიშვნელოვანი ფიზიკური სიდიდის ერთეულები:

3

სიგრძის ერთეული - მეტრი არის სიგრძე, რომელიც ტოლია სიცარიელეში

კრიპტონ 86-ის მიერ გამოსხივებული ნარინჯისფერი ტალღის სიგრძისა აღებული

1650763,73-ჯერ, როდესაც ის 2p10 დონიდან გადის 5d5 დონეზე. (Kr86) 1960წ.

მასის ერთული - მასის ერთეულად მიღებულია კილოგრამი.. კილოგრამი არის

კილოგრამის საერთაშორისო პროტოტიპის მასა. ეს პროტოტიპი წარმოადგენს

პლატინისა და ირიდიუმის შენადნობისაგან დანზადებულ ცილინდრს, რომლის

სიმაღლე მისი დიამეტრის ტოლია.

წამი - არის დროის ინტერვალი (შუალედი), რომლის განმავლობაში Cs133

ცეზიუმ 133-ის მიერ გამოსხივებული ტალღა ასრულებს 9192631770 რხევას,როდესაც

ცეზიუმი ერთი ზენაზი დონიდან გადადის მეორე ზენაზ დონემზე.

ერთეულთა სისტემები. ფიზიკური სიდიდეების რიცხვი ძალიან დიდია და

თითოეული მათგანისათვის არსებობს რამდენიმე საზომი ერთეული. ამიტომ,

ჩვეულებრივ რამდენიმე ფიზიკური სიდიდის ერთეულს არჩევენ როგორც ძირითადს,

ყველა დანარჩენი ფიზიკური სიდიდის ერთეულები კი განისაზღვრება ძირითადი

ერთეულებიდან განმსაზღვრელი განტოლებების საშუალებით.რადგან ყველა მოვლენა

წარმოებს სივრცეში და დროში, ამიტომ ბუნებრივია ძირითად ერთეულად შევარჩიოთ

სიგრძისა და დროის ერთეულები. ამასთან ყოველ ნივთიერ სხეულს აქვს გარკვეული

მასა, ამიტომ მესამე ძირითად ერთეულად ირჩევენ მასის ერთეულს.

ფიზიკაში მიღებულია ე. წ. აბსოლიტური ერთეულების ლათინური

სახელწოდება პირველი ასოების მიხედვით CGS სისტემა, რომელიც ემყარება l

(სირძე), m (მასა), t (დრო), ერთეულებს: სმ, გრ, წმ, მაგრამ ამ სისტემის ერთეულები

მცირეა და ის სიდიდეები, რომლებიც ყოველდღიურ ცხოვრებაში გხვდება, ამ

სისტემაში ძალიან დიდი რიცხვებით გამოისახება.

ამ მხრივ უფრო მოსახერხებელია ერთეულების ე. წ. პრაქტიკული MKS

სისტემა, რომელშიც ძირითად ერთეულად მიღებულია მ, კგ, წმ,

1960 წ. ზომა- წონის მე-11 გენერალურმა კონფერენციამ შემოიღო საერთაშორისო

სისტემა SI (System International). ამ სისტემას საფუძვლად უდევს შვიდი ერთეული:

1. სიგრძის ერთეული- მეტრი

2. მასის ერთეული - კგ

3. დროის - წმ

4. ტემპერატურის - კელვინი

4

5. დენის ძალის - ამპერი

6. სინათლის ძალის ერთ. - კანდელა

7. ნივთიერების რაოდენობის - მოლი

ამ შვიდი ერთეულის საშუალებით (რადიანისა-ბრტყელი კუთხის და სტრადიანის-

სხეულოვანი კუთხის დამატებით) შეიძლება განისაზღვროს ყველა დანარჩენი

ფიზიკური სიდიდეების ერთეულები. MKS სისტემა შევიდა SI- ში, როგორც მისი

შემადგენელი ნაწილი. მექანიკის შესწავლისას ჩვენ ძირითადად ვიყენებთ ამ შვიდი

ერთეულიდან მხილოდ სამს: მ, კგ, წმ. მექანიკაში შემავალი ყველა სხვა ფიზიკური

სიდიდეების ერთეულები არის მიღებული ამ სამი ერთეულიდან ფორმულების

შესაბამისად და მათ წარმოებულ ერთეულებს უწოდებენ.

ათვლის სისტემა და კორდინატთა სისტემები. სხეულების ურთიერთქმედებისა

და მოძრაობის შესწავლა მოითხოვს მათი მდებარეობის განსაზღვრას დროის მოცემული

მომენტისათვის, როდესაც ვლაპარაკობთ სხეულის მდებარეობაზე სივრცეში,

აუცილებლად უნდა მიუთითოთ, თუ რომელი სხეულის ან სხეულთა სისტემის მიმართ

განისაზღვრება მისი მდებარეობა, რადგან სივრცის სხვადასხვა წერტილი

ერთმანეთისგან რაიმე ნიშნით არ განირჩევა.

იმ სხეულს ან სხეულთა სისტემის, რომლის მიმართაც განიხილება ნივთიერი

წერტილის ან სხეულის მდებარეობა და მოძრაობა, ეწოდება ათვლის სისტემა.

იმის შემდეგ რაც არჩეულია ათვლის სისტემა, უნდა განისაზღვროს ნივთიერი

წერტილის მდებარეობა ამ ათვლის სისტემის მიმართ. დავიწყოთ მარტივი შემთხვევის

განხილვით. ვთქვათ, საჭიროა A ნივთიერი წერტილის მდებარეობის განსაზღვრა

რაიმე სწორ ხაზზე ( ნახ.1). საჭიროა ამ სწორ ხაზზე ავირჩიოთ ათვლის სისტემის სათავე

- O წერტილი; A წერტილის მდებარეობის განსაზღვრისათვის საკმარისია ვიცოდეთ

OA მანძილი და მიმართულება, რომლის გასვწრივადაც უნდა გადავზომოთ ეს

მანძილი.

ნახ.1. ერთგანზომილებიანი მოძრაობა

ვუწოდოთ სწორ ხაზს OX ღერძი, ხოლო OA მანძილს, აღებულს სხვადასხვა ნიშნით

იმისდა მიხედვით, თუ რა მიმართულებით არის იგი გადაზომილი O წერტილიდან, X

კორდინატი. როგორც ვხედავთ ამ შემთხვევაში წერტილის მდებარეობის

5

განსაზღვრისათვის საკმარისია X კორდინატის ცოდნა, ამიტომაც ამბობენ, რომ სწორი

ხაზი ერთგანზომილებიანია.

ახლა ვთქვათ, ნაწილაკი სიბრტყეზე მდებარეობს.

ნახ.2. ორგანზომილებიანი მოძრაობა დეკარტეს კოორდინატთა სისტემაში

OX და OY ღერძების სისტემას დეკარტეს მართკუთხა სისტემას უწოდებენ, ხოლო

x და y სიდიდეებს - დეკარტეს კორდინატებს (ნახ.2).

ასეთი წესი, წერტილის მდებარეობის განსაზღვრისა სიბრტყეზე, ერთადერთი

არ არის.

ნახ.3. პოლარული კოორდინატთა სისტემა

OA მონაკვეთის სიგრძეს R ასოთი აღნიშნავენ (ყოველთვის დადებითია) φ

კუთხე დადებითია თუ იგი გადაზომილია OX ღერძიდან ზევით (საათის ისრის

საწინაღმდეგო მიმართულებით) და უარყოფითი , თუ იგი გადაზომილია ქვევით

(საათის ისრის მიმართულებით). კუთხე მოთავსებულია -π და + π შორის. R და

φ კორდინატებს პოლარული კორდინატები ეწოდებათ. კავშირი დეკარტესა და

პოლარულ კორდინატებს შორის ადვილად მიიღება ნახაზიდან:

cos sinX R Y R

მაშასადამე, სიბრტყეზე წერტილის მდებარეობის განსაზღვრისათვის ყველა

შემთხვევაში საჭიროა ორი კორდინატი, ამიტომაც ამბობენ სიბრტყე

ორგანზომილებიანია.

განვსაზღვროთ ახალა მდებარეობა სივრცეში

6

ნახ.4. მდებარეობის განსაზღვრა სივრცეში

ათვლის სისტემის O სათავიდან ავლებენ სამ ურთიერთმართობ OX, OY და OZ

ღერძებს და წერტილის მდებარეობას საზღვრავენ x, y, z სამი კოორდინატით.

გარდა დეკარტისა არსებობს სფერული ( , ,r ) და ცილინდრული( , ,z )

კორდინატთა სისტემები (დამოუკიდებლად).

მიუხედავად იმისა, თუ რომელი კორდინატთა სისტემა იქნება არჩეული, სივრცეში

მდებარეობის განსაზღვრისათვის საჭიროა სამი კოორდინატი, ამიტომაც ამბობენ

სივრცე სამგანზომილებიანია.

შევნიშნოთ, რომ დეკარტეს კოორდინატთა სისტემის შემთხვევაში შესაძლებელია

ღერძების ორნაირი განლაგება: მარჯვენა და მარცხენა კოორდინატთა სისტემები.

მარჯვენას შემთხვევაში ღერძები ისეა განლაგებული, რომ როდესაც OZ ღერძის

დადებითი მიმართულებიდან დავხედავთ XOY სიბრტყეს OX ღერძის

დამთხვევისთვის OY ღერძზე უმცირესი კუთხით საჭირო იქნება მისი მობრუნება

საათის ისრის მოძრაობის მიმართულების საწინაღმდეგო მიმართულებით. მარცხენა

სისტემის შემთხვევაში პირიქით.

ა) ბ)

7

ნახ.5. მარჯვენა (ა) და მარცხენა (ბ) კოორდინატთა სისტემები

ჩვენ თითქმის ყოველთვის გამოვიყენებთ მარჯვენა სისტემას. მარჯვენა იმიტომ

ეწოდება, რომ ბურღის წვერის გადასანაცვლებლად OZ ღერძის გასწვრივ საჭიროა

ბურღის ტარის ბრუნვა OX-დან OY-სკენ.

ცხადია, რომ სხეულის მოძრაობის შესწავლისათვის, გარდა მდებარეობისა, საჭიროა

ვიცოდეთ რომელ მომენტში აქვს ნაწილაკს ესა თუ ის მდებარეობა. დროის მომენტის

განსაზღვრაც მოითხოვს დროის რაღაც საწყისი მომენტის არჩევას. ეს იყოს ნულოვანი

დროის მომენტი. დროის სხვა მომენტების განსაზღვრისათვის საჭიროა ვიცოდეთ, რა

დრო გავიდა განსახილველ მომენტამდე საწყისი მომენტიდან. გავლილ დროს

აღნიშნავენ t ასოთი და თვლიან მას დადებითად, თუ განსახილველი მომენტი საწყისი

მომენტის შემდეგ არის და უარყოფითად, თუ იგი საწყის მომენტამდეა. ის ერთი t

სიდიდე სავსებით საკმარისია დროის მომენტის განსაზღვრისათვის, ამიტომაც ამბობენ,

რომ დრო ერთგანზომილებიანია.

ჩვენ განვიხილეთ ნივთიერი წერტილის მდებარეობის განსაზღვრა სივრცეში, მაგრამ

სხეულის მდებარეობის განსაზღვრისათვის სამი კოორდინატი უკვე აღარ არის

საკმარისი, მაგრამ ზოგჯერ გამარტივების მიზნით შეიძლება მთელი სხეული

განხილულ იქნეს როგორც ერთი წერტილი. ამისთვის შემოაქვთ მატერიალური, ანუ

ნივთიერი წერტილის ცნება, რომელიც ეწოდება ისეთ სხეულს, რომლის ზომა შეიძლება

უგულებელვყოთ მიცემული ამოცანის განხილვის დროს.

მექანიკის კურსს დავიწყებთ ნივთიერი წერტილების მოძრაობის შესწავლით და ამ

მოძრაობის კანონების დადგენით. ფიზიკის იმ დარგს, რომელიც შეისწავლის ნივთიერი

წერტილის და მათგან შემდგარი სისტემების მოძრაობას მექანიკა ეწოდება.

მექანიკის უპირველესი ამოცანაა ნივთიერი წერტილის ან სხეულის მოძრაობის

აღწერა სივრცეში, მოძრაობის დამახასიათებელი სიდიდეების შემოღება, კავშირის

დამყარება მათ შორის და კერძო სახის მოძრაობების განხილვა. ამ ამოცანას წყვეტს

მექანიკის დარგი - კინემატიკა. იგი არ ეხება საკითხს, თუ რა ურთიერთქმედებამ

გამოიწვია ესა თუ ის მოძრაიბა და არ არკვევს კავშირს მიძრაობას და

ურთიერთქმედებას შორის, ამ უკანასკნელს განიხილავს მექანიკის მეორე დარგი -

დინამიკა. ზოგჯერ გამოყოფენ კიდევ ერთ დარგს - სტატიკას, რომელიც შეისწავლის

ნივთიერ წერტილისა და სხეულების წონასწორობის პირობებს. თუმცა წონასწორობა

არის მოძრაობის კერძო შემთხვევა, ამიტომ სტატიკა წარმოადგენს დინამიკის კერძო

შემთხვევას.

8

ლექცია II

მატერიალური წერტილისა და მყარი სხეულის კინემატიკა

მოძრაობის დამახასიათებელ სიდიდეებს წარმოადგენს ნივთიერი წერტილის

კოორდინატები (რადიუს-ვექტორი), სიჩქარე და აჩქარება. ჩვენ ვიცით, რომ ნივთიერი

წერტილის მდებარეობა სივრცეში განისაზღვრება ან კოორდინატთა სათავიდან

გავლებული r რადიუს-ვექტორით ან x, y, z, კოორდინატებით. თუ ნაწილაკი

მოძრაობს, მაშინ როგორც რადიუს-ვექტორი, ისე კოორდინატები იქნებიან დროის

გარკვეული ფუნქციები და მოძრაობა დახასიათდება სრულად, თუ მოცემულია

ფუნქციების სახე, კერძოდ, განტოლებებს:

1 2 3( ); ( ); ( )x f t y f t z f t ან ( )r F t

(1)

ეწოდებათ მოძრაობის კინემატიკური განტოლებები. მათი საშუალებით შეიძლება

ვიპოვოთ ნივთიერი წერტილის მდებარეობა დროის ყოველი მომენტისათვის.

მოძრაობის განტოლებანი საზღვრავენ როგორც მრუდ წირს, რომელსაც შემოწერს

ნაწილაკი მოძრაობის დროს, ისე ნაწილაკის მოძრაობას ამ წირზე. წირს, რომელსაც

შემოწერს ნივთიერი წერტილი მოძრაობის დროს, ეწოდება ტრაექტორია; მისი

განტოლება მიიღება მოძრაობის განტოლებებიდან დროის გამორიცხვით და

კოორდინატების დაკავშირებით ერთმანეთთან.

წრფივი მოძრაობის სიჩქარე. ვთქვათ, ნივთიერი წერტილი მოძრაობს OX

ღერძის გასწვრივ , ამ შემთხვევაში მისი მდებარეობა განისაზღვრება x კორდინატით,

რომელიც ნივთიერი წერტილის მოძრაობის შენთხვევაში იქნება დროის ფუნქცია და

შეიძლება გამოისახოს ( )x f t ფორმულით. f ფუნქციის სახე დამოკიდებულია

მოძრაობის ხასიათზე. ჩვენ განვიხილავთ მარტივ შემთხვევას, ე. წ. თანაბარ მოძრაობას,

ეს მოძრაობა ხასიათდება თვისებით; გავლილი x მანძილის შეფარდება დროის

t შუალედთან ყოველთვის ერთი და იგივეა:

xconst

t

. (2)

9

ამ სიდიდეს ე.ი. გავლილი მანძილის შეფარდებას სათანადო დროის შუალედთან,

თანაბარი მოძრაობის სიჩქარე ეწოდება, იგი მუდმივი სიდიდეა. სიჩქარე აღინიშნება v

ასოთი x

vt

, ხშირად გავლილ მანძილს s -ით აღნიშნავენ, ხოლო მის გასავლელად

საჭირო დროს t , ამიტომ

sv

t

(3)

თანაბარი მოძრაობის დროს გავლილი მანძილი

x v t ან s vt (4)

ან თუ t=0 მომენტში ნაწილაკის კორდინატი იყო 0x , ხოლო t მონენტში x , მაშინ

0x x vt (5)

მოძრაობა გამოვხატოთ გრაფიკის საშუალებით. ნახ.6-ზე მოცემულია გზის

გრაფიკი.

ნახ.6. ნაწილაკის კოორდინატის დროზე დამოკიდებულება თანაბარი მოძრაობის დროს

აბსცისათა ღერძთან დახრილობის კუთხის ტანგენსი მოძრაობის v სიჩქარის

ტოლია.

ნახ 7-ზე მოცემულია სიჩქარის გრაფიკი.

10

ნახ.7. სიჩქარის გრაფიკი თანაბარი მოძრაობის დროს

0x x vt , მაშასადამე მოცემული მომენტისათვის 0x x მანძილი გეომეტრიულად

გამოიხატება O1ABC მართკუთხედის ფართობით, რომლის ფუძე არის 1O C t , ხოლო

სიმაღლე 1O A v

ბუნებაში ნაწილაკები ან სხეულები უმეტეს შემთხვევაში მოძრაობენ არათანაბრად.

არათანაბარი მოძრაობისას სიჩქარე ცვლადი სიდიდეა. არათანაბარი მოძრაობა

შეიძლება იყოს როგორც სწორხაზოვანი ასევე მრუდხაზოვანიც.

ჯერ განვიხილოთ ცვლადი სწორხაზოვანი მოძრაობა:

m

xv

t

(6)

რომელსაც უწოდებენ საშუალო სიჩქარეს. არათანაბარი მოძრაობის დროს

მატერიალური წერტილის სიჩქარე სხვადასხვაა გზის x მონაკვეთის სხვადასხვა

წერტილში, ამიტომ მანძილის შეფარდება დროის t შუალედთან მოგვცემს ისეთი

თანაბარი მოძრაობის სიჩქარეს, რომლითაც უნდა ემოძრავა ნაწილაკს t დროში x

მანძილი რომ გაევლო. სიჩქარის იმ მნიშვნელობის მისაღებად, რომელიც ნაწილაკს

ექნება ერთ მოცემულ წერტილში ან დროის მოცემულ მომენტში, საჭიროა ვიპოვოთ mv

გამოსახულების შეფარდების ზღვარი, როცა t დროის შუალედი მიისწრაფვის 0-

საკენ:

0limt

x dxv

t dt

(7)

ამრიგად, წრფივი მოძრაობის სიჩქარე დროის მოცემულ მომენტში არის

კოორდინატის წარმოებული დროით:

dxv

dt (8)

11

ცვლადი მოძრაობის სიჩქარე არის დროის ფუნქცია ( )v v t . თუ წერტილი

მოძრაობს ( )s s t ტრაექტორიაზე და t დროში გადის s მანძილს, მაშინ სიჩქარის

სიდიდე (სკალარული სიჩქარე) განისაზღვრება

dsv

dt (9)

(8) და (9) - დან ვღებულობთ:

0 0( ) ( )x x v t dt s s v t dt (10)

მრუდწირული მოძრაობის სიჩქარე. განვიხილთ ზოგადი შემთხვევა წერტილის

მრუდწირული მოძრაობა სივრცეში.

ნახ.8. მრუდწირული მოძრაობა

ვთქვათ, რომელიმე t მომენტში ნივთიერ წერტილს A მდებარეობა ეკავა და მისი

რადიუს-ვექტორი იყო r

. მცირე t დროის შემდეგ წერტილი დაიკავებს ახალ B

მდგომარეობას და მისი რადიუს-ვექტორი იქნება r r

, სადაც r

იქნება A-დან B-

მდე გავლებული ვექტორი - რადიუს-ვექტორის ნაზრდი.

m

rv

t

(11)

ეწოდება ნივთიერი წერტილის საშუალო სიჩქარე t შუალედში. იგი წარმოადგენს

ვექტორს, რომელიც მიმართულია A-დან B-სკენ. ნამდვილი სიჩქარისთვის

0limt

r d rv

t dt

(12)

12

მისი მიმართულება ემთხვევა A წერტილში გავლებული მხების მიმართულებას.

კავშირი სიჩქარესა და წერტილის მიერ დროის ერთეულში გავლილ მანძილს შორის

dsv

dt (13)

ვიპოვოთ სიჩქარის პროექციები კოორდინატთა ღერძებზე. ამისათვის დავუბრუნდეთ

ისევ საშუალო სიჩქარეს. ვინაიდან r

-ის პროექციები ღერძებზე არის , x y და z ,

ამიტომ

, , x y z

dx dy dzv v v

dt dt dt ; (14)

სიჩქარის სიდიდისთვის 2 2 2

x y zv v v v . (15)

სიჩქარის რადიალური და ბრუნვითი ნდგენელები. კუთხური სიჩქარე

ხშირად ხელსაყრელია სიჩქარის დაშლა არა მდგენელებად კოორდინატთა ღერძების

მიმართ, არამედ თვით ტრაექტორიის დამახასიათებელი მიმართულებების მიმართ.

განვიხილოთ მრუდწირული მოძრაობა.

ნახ.8. სიჩქარის რადიალური და ბრუნვითი მდგენელები

A წერტილში v

გვიჩვენებს თუ როგორ იცვლება r

რადიუს-ვექტორი დროის

განმავლობაში. მაგრამ r რადიუს-ვექტორმა დროის განმავლობაში შეიძლება

შეიცვალოს როგორც სიდიდე, ისე მიმართულება. ამიტომ სიჩქარე ორი მდგენელისგან

უნდა შედგებოდეს. განვიხილოთ ეს მდგენელები. r წარმოვადგინოთ როგორც

ერთეულოვანი 0r

ვექტორისა და მისი სკალარული სიდიდის ნამრავლი r = 0r r

;

გავაწარმოთ

13

0od rdr

v r rdt dt

. (16)

პირველი შესაკრები ავღნიშნოთ rv

, რომელიც მიმართულია რადიუს-ვექტორის

გასწვრივ, და გვიჩვენებს რადიუს-ვექტორის სიდიდის ცვლილებას დროის ერთეულში.

მას რადიალური სიჩქარე ეწოდება 0r

drv r

dt

; მეორე შესაკრები დაკავშირებულია

რადიუს-ვექტორის მიმართულების ცვლილებასთან 0d r

dt

ე.ი 0r

ერთეულოვანი

ვექტორის ცვლილება დროის ერთეულში; 0r

კი მხოლოდ მიმართულებით შეიძლება

იცვლებოდეს. ეს მდგენელი ახასიათებს რადიუს-ვექტორის შემობრუნებას O სათავის

ირგვლივ. მას v

აღნიშნავენ

0d rv r

dt

, v r

(17)

ბრუნვითი სიჩქარის სიდიდის დასადგენად შემოვიღოთ კუთხური სიჩქარის ცნება

d

dt

, (18)

კუთხის წარმოებულს დროით ან უფრო მარტივად დროის ერთეულში მობრუნების

კუთხეს, კუთხური სიჩქარე ეწოდება. v r ვინაიდა rv

და v

ერთმანეთის

მართობია, სიჩქარის სიდიდე შეიძლება გამოვსახოთ

2 2( ) ( )dr

v rdt

(19)

თუ მოძრაობა წრეხაზზე წარმოებს, 0rv და v r

აჩქარება. ცვლადი მოძრაობის დასახასიათებლად მარტო სიჩქარის ცნება

საკმარისი არ არის. უნდა ვიცოდეთ აგრეთვე სიჩქარის ცვლილების სისწრაფე, რადგან

სხვადასხვა შემთხვევაში დროის ერთსა და იმავე შუალედში სიჩქარის ცვლილება

შეიძლება სხვადასხვა იყოს.

ასეთი მოძრაობის დასახასიათებლად შემოღებულია აჩქარება. განვიხილოთ

ზოგადი შემთხვევა, ნაწილაკი მოძრაობს სივრცეში ნებისმიერ მრუდ წირზე.

14

ნახ.9. ნაწილაკის მოძრაობა მრუდ წირზე

v

არის სიჩქარის ნაზრდი. 1 1A B

არის v

შეფარდებას m

va

t

ვუწოდოთ საშუალო აჩქარება t შუალედში, გვიჩვენებს

როგორ იცვლება სიჩქარე დროის ერთეულში, ნამდვილი აჩქარების გასაგებად

0limt

v d va

t dt

(20)

ე.ი. ნამდვილი აჩქარება არის სიჩქარის წარმოებული დროის მიმართ.

აჩქარება ისეთივე კავშირშია სიჩქარესთან, როგორც სიჩქარე - რადიუს-ვექტორთან.

სიჩქარე გვიხასიათებს რადიუს-ვექტორის ცვლილებას დროის ერთეულში, ხოლო

აჩქარება გვიხასიათებს სიჩქარის ცვლილებას დროის ერთეულში

2

2

d r d v d rv a

dt dt dt

(21)

ე.ი. აჩქარება შეიძლება განისაზღვროს როგორც რადიუს-ვექტორის მეორე წარმოებული

დროის მიმართ. აჩქარების პროექციები:

2

2

xx

dv d xa

dt dt

2

2

y

y

dv d ya

dt dt

2

2

zz

dv d za

dt dt , (22)

2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

yx zx y z

dvdv dv d x d y d za a a a

dt dt dt dt dt dt

თუ ნაწილაკი OX ღერძის გასწვრივ მოძრაობს:

2

2

xdv d xa

dt dt (23)

15

წირის სიმრუდე. მრუდი წირის დამახასიათებელი გეომეტრიული თვისებაა -

სიმრუდე. როდესაც ვუყურებთ სხვადასხვა მრუდ წირს ან იმავე წირის სხვადასხვა

ნაწილს, ვამჩნევთ, რომ ერთი მათგანი უფრო მეტადაა გამრუდებული, მეორე კი

ნაკლებად. საჭიროა შემოვიღოთ სიდიდე, რომელიც დაგვიხასიათებს წირის სიმრუდეს.

შევადაროთ ამისთვის წრფე და მრუდი წირი, ავიღოთ ერთეულოვანი

ვექტორი

(მგეზავი).

ნახ.10. სიმრუდის განსაზღვრა

თუ გადავიტანთ A-დან B წერტილში, იგი არ შეიცვლის მიმართულებას. იგი

გვიჩვენებს რომ წრფე არ არის გამრუდებული. ახლა მრუდ წირზე ავიღოთ AB

რკალი. გავატაროთ A და B წერტილის მხების გასწრივ ერთეულოვანი

ვექტორი.

ცხადია, მათ სხვადასხვა მიმართულებები ექნებათ. მხებისა და მაშასადამე,

ერთეულოვანი ვექტორის ეს მობრუნება წირის გასწვრივ გადანაცვლების დროს არის

სწორედ ამ წირის გამრუდების დამახასიათებელი. ამასთან

მობრუნების კუთხე

დამოკიდებულია არა მარტო გამრუდების სიდიდეზე, არამედ მანძილზეც, რომლის

გასწვრივ ხდება გადანაცვლება. სიმრუდე K -თი ავღნიშნოთ, მაშინ

K საშ =

S

(24)

ეს სიდიდე გვიჩვენებს, თუ რა კუთხით მობრუნდება მხები ერთეულოვანი ვექტორი

წირის გასწვრივ მანძილის ერთეულზე გადანაცვლების დროს. თუ გვსურს გავიგოთ

სიმრუდე წირის აღებულ წერტილში:

0lims

dK

s ds

(25)

16

განვიხილოთ კერძო შემთხვევა. წრფის შემთხვევაში სიმრუდე 0-ის ტოლია. მხები

ერთეულოვანი ვექტორი არ იცვლის მიმართულებას 0 და სიმრუდე 0-ია.

წრეხაზის შემთხვევაში

0 0

1 1lim lims

Ks R R

(26)

რადგან s R .

მაშასადამე, წრეხაზის სიმრუდე მისი რადიუსის შებრუნებული სიდიდეა.

შევნიშნოთ, რომ წრეხაზის ყველა წერტილში სიმრუდე ერთი და იგივეა. წრეხაზისთვის

მიღებული შედეგი, რომ სიმრუდე რადიუსის შებრუნებული სიდედეა, შედეგ საკითხს

სვამს: ხომ არ შეიძლება ნებისმიერი წირისათვის შემოვიღოთ რადიუსის მსგავსი

სიდიდე, რომელიც დაგვეხმარება წირის სიმრუდის დახასიათებაში?

ნახ.11. წირის სიმრუდის გამოთვლა

თუ გვსურს გამოვთვალოთ სიმრუდე A წერტილში უნდა დავუახლოვოთ B და C

წერტილები A წერტილს. ამ დაახლოებით შეიცვლება მათზე გავლებული წრეხაზი,

მისი ცენტრი და სათანადო რადიუსი 1

, K

-ს ეწოდება სიმრუდის რადიუსი.

სიმრუდე შეიძლება გამოვსახოთ არა კუთხის, არამედ ერთეულოვანი მხები ვექტორის

საშუალებით:

1 dK

ds

(27)

აჩქარების მხები და ნორმალური მდგენელები. ისევ როგორც სიჩქარის შემთხვევაში,

აჩქარებაც შეიძლება დაიშალოს ორ მდგენელად, რომელთაგან ერთი მიმართული

იქნება რადიუს-ვექტორის გასწვრივ, ხოლო მეორე ტანგენციალური - რადიუს-

ვექტორის მართობულად.

უკვე აღვნიშნეთ, რომ აჩქარება ახასიათებს სიჩქარის ცვლილებას, სიჩქარე კი

ხასიათდება სიდიდით და მიმართულებით. ამის შესაბამისად, აჩქარება ორი

17

მდგენელისგან უნდა შედგებოდეს. ამ მდგენელების შესწავლისათვის წარმოვადგინოთ

სიჩქარის ვექტორი შემდეგი სახით: v v

, სადაც v სიჩქარის აბსოლუტური

სიდიდეა, ხოლო - მისი მიმართულების მაჩვენებელი მხები ერთეულოვანი ვექტორი:

d v dv dv

dt dt dt

(28)

შესაკრების პირველი წევრი dv

dt

ახასიათებს სიჩქარის სიდიდის ცვლილებას და

მიმართულია ერთეული ვექტორის გასწვრივ.

ნახ.12. აჩქარების დაშლა ტანგენციალურ და ნორმალურ მდგენელებად

dva

dt

(29)

მას უწოდებენ მხებ ანუ ტანგინციალურ აჩქარებას. იგი შეიძლება მიმართული იყოს

როგორც სიჩქარის გასწვრივ, ისე მის საწინაღმდეგოდ, იმის და მიხედვით თუ როგორია

dv

dt-ს ნიშანი, ე.ი. იზრდება თუ კლებულობს სიჩქარის სიდიდე. განვიხილოთ მეორე

შესაკრები n

da v

dt

. გადავწეროთ ეს გამოსახულება შემდეგი სახით

n

d dsa v

ds dt

2 a n

ds dv v

dt ds

(30)

გავარკვიოთ, თუ როგორია აჩქარების ამ მდგენელის სიდიდე და მიმართულება.

ჩავწეროთ სკალარულად 2

n

da v

ds

, მაგრამ

21

n

d va

ds

(31)

18

d

ds

ვექტორი ყოველთვის r ვექტორის, ე.ი. მხების მართობულად არის

მიმართული. აჩქარების na

მდგენელს ნორმალური აჩქარება ეწოდება.

2

n

va n

მიმართულია ნორმალის გასწვრივ სიმრუდის ცენტრისკენ (ყოველთვის

წირის ჩაზნექილობისაკენ). სრული აჩქარება:

2

n

dv va a a n

dt

2

2 2( ) ( )dv v

adt

(32)

წრიული მოძრაობის შემთხვევაში r , ამასთან სრული სიჩქარე v r და

2na r n

(33)

ნორმალურ აჩქარებას ხშირად უწოდებენ ცენტრისკენულ აჩქარებას.

მოძრაობის კერძო სახეები. განვიხილოთ კერძო სახის მოძრაობები,

რომელთათვისაც დამოკიდებულება გავლილ გზას, სიჩქარესა და აჩქარებას შორის

უფრო მარტივ სახეს ღებულობს.

1) მოძრაობა მუდმივი სიჩქარით. 0a

, ამიტომ . v const

, რაც იმას ნიშნავს, რომ

ტრაექტორია სწორ ხაზს წარმოადგენს.

dxv const

dt ინტეგრირებით x vt c 0t ; 0 0 0x x c x x x vt ე.ი.

წრფივი მოძრაობის შემთხვევაში კოორდინატი განისაზღვრება

0x x vt (34)

2) სწორხაზოვანი მოძრაობის ზოგადი შემთხვევა: წინა შემთხვევაში ნულის

ტოლი იყო სრული აჩქარება. ახლა ვთქვათ ნულის ტოლია მხოლოდ ნორმალური

აჩქარება, რომელიც ახასიათებს სიჩქარის მიმართულების ცვლილებას. განსახილველ

შემთხვევაში მოძრაობა სწორხაზოვანი იქნება. მიძრაობის განტოლებისათვის ( )x f t .

ამ ფუნქციის სახე დამოკიდებული იქნება მხები აჩქარების

მნიშვნელობაზე.dv

a constdt

dv

a constdt

ინტეგრირებით

0v v at (35)

19

ov სიჩქარეა 0t მომენტში. კორდინატის გამოსათვლელად

2

0 0 0 2

dx atv v at x x v t

dt , ე. ი.

2

0 0 2

atx x v t (36)

3) თანაბარი მრუდწირული მოძრაობა. პირობის თანახმად 0dv

adt

,

საიდანაც v const . ვინაიდან ds

vdt

სადაც s არის ტრაექტორიის რკალის სიგრძე

0s s vt

ნახ. 13. თანაბარი მრუდწირული მოძრაობა.

მივიღეთ ისეთივე განტოლება, როგორც სწორხაზოვანი და თანაბარი მოძრაობისათვის,

მხოლოდ არა X კოორდინატისთვის, არამედ რკალის სიგრძისთვის. თუ დავუშვებთ,

რომ na მუდმივი სიდიდეა 2

n

va const

, რადგან სიჩქარის სიდიდე მუდმივია,

მუდმივი იქნება სიმრუდის რადიუსიც. ასეთი მრუდი არის წრეხაზი, ე.ი. წერტილი

მოძრაობს წრეხაზზე, ამ შემთხვევაში d

s r v r rdt

, ვინაიდან

მოძრაობა თანაბარია, კუთხის ცვლაც თანაბარი იქნება და გვექნება:

0 t (37)

4. წრეხაზზე მოძრაობის ზოგადი შემთხვევა. კუთხური აჩქარება

წრეხაზზე მოძრაობის დროს r c o n s t და s r v r 2

na r

da r

dt

(

dva

dt

). d

dt

სიდიდე წარმოადგენს კუთხური სიჩქარის

წარმოებულს დროით. მას ეწოდება კუთხური აჩქარება და აღინიშნება ასოთი:

d

dt

(38)

20

ამასთან (38) ფორმულის გათვალისწინებით a r და კუთხური აჩქარებისთვის

ვღებულობთ:

2

2

d=

dt

(39)

ლექცია III

მყარი სხეულის კინემატიკა

აბსოლიტურად მყარი ეწოდება ისეთ სხეულს, რომლის წერტილებს შორის

მანძილები არ იცვლება. მყარი სხეულის ნებისმიერი მოძრაობა დაიყვანება ორ მარტივ

მოძრაობაზე: გადატანითზე და ბრუნვითზე. გადატანითი ეწოდება ისეთ

მოძრაობას, რომლის დროსაც სხეულში გავლებული ყოველი წრფე რჩება თავისი

თავის პარალელური. გადატანითი მოძრაობის დროს მყარი სხეულის წერტილი

აღწერს პარალელურ და ტოლ ტრაექტორიებს, ყველა წერტილს აქვს ერთი და იგივე

სიჩქარე და აჩქარება და მაშასადამე ერთნაირ მოძრაობას ასრულებენ. ამიტომ მყარი

სხეულის გადატანითი მოძრაობის დასახასიათებლად საკმარისია მისი ერთ-ერთი

წერტილის მოძრაობის შესწავლა, ე.ი. მოცემული შემთხვევა დაიყვანება ნივთიერი

წერტილის მოძრაობაზე, რომელიც უკვე განვიხილეთ.

ხშირად, განსაკუთრებით მყარი სხეულის ბრუნვის განხილვის დროს, ბრუნვის

სრული დახასიათებისათვის ხელსაყრელია განვიხილოთ კუთხური სიჩქარე და

აჩქარება როგორც ვექტორები.

21

ნახ.14. კუთხური სიჩქარის მიმართულების განსაზღვრა.

v

არის ტრაექტორიისადმი მხები ვექტორი, v r . თუ გვსურს განვიხილოთ ეს

ტოლობა როგორც ვექტორული, კუთხური სიჩქარეც უნდა განვიხილოთ,როგორც

ვექტორი, წინააღმდეგ შემთხვევაში v r

,

მიმართული უნდა იყოს OZ ღერძის

გასწვრივ, მაშინ [ ]v r

კუთხური სიჩქარე მიმართულია ბრუნვის ღერძის

გასწვრივ ისე, რომ მარჯვენა ბურღის წესის თანახმად, ბრუნვა მოძრაობის

მიმართულებით ბურღს გადაანაცვლებს

ვექტორის გასწვრივ.

კუთხური აჩქარებაც შეიძლება განვიხილოთ როგორც ვექტორი, მიმართული

ღერძის გასწვრივ. თუ 0d

dt

,

, წინააღმდგ შემთხვევაში მათ ექნებათ

ერთმანეთის საწინააღმდეგო მიმართულება. კავშირი მხებ და კუთხურ აჩქარებებს

შორის გამოისახება ტოლობით:

[ ]a r

(40)

ამ საკითხის განხილვისას სტუდენტებმა უნდა გაიხსენონ ორი ვექტორის ვექტორული

ნამრავლი. ( დამოუკიდებლად)

მყარ სხეულზე მოქმედი ძალების დაყვანა ერთ ძალაზე და ერთ ძალთა წყვილზე.

უმრავლეს შემთხვევაში მყარ სხეულზე მოქმედებს რამდენიმე ძალა, რომლებიც

სხვადასხვა წერტილზეა მოდებული. საჭიროა მათი შეკრება. განვიხილოთ რამდენიმე

მაგალითი:

1) გადამკვეთი ძალები: 1 2F F F

(დამოუკიდებლად)

ნახ. 15. ერთ სიბტყეში მდებარე და გადამკვეთი ძალების შეკრება

22

2) პარალელური ძალების შეკრება. (დამოუკიდებლად)

ნახ.16. პარალელური ძალების შეკრების წესი

მოვდოთ ტოლი და ურთიერთსაწინაღმდეგო Q და Q ძალები.

21 2 1R F F R R

2

1

FAO

BO F

3) არატოლი და ანტიპარალელური ძალების შეკრება

ნახ. 17. არატოლი და ანტიპარალელური ძალების შეკრება

1F

ძალა იშლება ორ პარალელურ ძალად - 2 ( )F B

და ( )F C

C წერტილი

მოიძებნება ფორმულიდან: 2

1 2

FAC

BA F F

, ხოლო 1 2F F F

მაშასადამე ორი

23

ანტიპარალელური ძალის ტოლქმედი მოდებულია მათი შემაერთებელი მონაკვეთის

გარეთ და ამ ძალების სხვაობის ტოლია. მიმართულია უდიდესი ძალის მხარეს.

4) ტოლ და ანტიპარალელურ ძალას ტოლქმედი არ აქვს. ე. ი. მისი შეცვლა

ერთი ძალით შეუძლებელია. ძალების ასეთ სისტემას ძალთა წყვილი ეწოდება.

ძალთა წყვილს აქვს მომენტი. ვიპოვოთ ძალთა წყვილის მომენტი რაიმე O

წერტილის მიმართ

ნახ. 18. ძალთა წყვილის მომენტის განსაზღვრა

1 2 12( )M r F r F r r F r F

,

სადაც r

არის რადიუს-ვექტორი, მიმართული B წერტილიდან A წერტილისაკენ.

ძალთა წყვილის მომენტი დამოკიდებულია O წერტილის არჩევაზე იგი არის

ვექტორული ნამრავლი ძალების მოდების წერტილებს შორის გავლებული r

რადიუს-ვექტორის ერთ-ერთ რკალზე. მოდების წერტილებს შორის გავლებულ

r

-ს ძალთა წყვილის მხარი ეწოდება. ორი ძალთა წყვილი ექვივალენტურია,

ერთნაირად მოქმედებენ მყარ სხეულზე, თუ მათი მომენტები ტოლია.

ლექცია IV

დინამიკა. ნიუტონის კანონები - ინერცული სისტემები.

24

კლასიკური მექანიკა. მისი გამოყენების საზღვრები. ინერციის კანონი. ათვლის

ინერციული სისტემები.

კლასიკური მექანიკის საფუძველს შეადგენს ნიუტონის კანონები,რომლებიც

მართებულია მაკროსკოპული სხეულებისათვის იმ შემთხვევაში, როცა მათი მოძრაობის

სიჩქარე სინათლის სიჩქარესთან შედარებით გაცილებით მცირეა. სხეულების

მოძრაობას, როცა სიჩქარე სინათლის სიჩქარის რიგისაა, სწავლობს ფარდობითობის

თეორია.

კლასიკური დინამიკა არის მექანიკის ნაწილი, რომელიც შეისწავლის v c

სიჩქარით მოძრავ სხეულების მოძრაობის კანონებს - მათი ურთიერთქმედებების

გათვალისწინებით.

თანამედროვე ფიზიკა შეიძლება დავყოთ შემდეგ ნაწილებად:

კლასიკური მექანიკა, რომელიც სწავლობს მაკროსკოპული სხეულების

მოძრაობას v c სიჩქარის შემთხვევაში;

რელატივისტური მექანიკა, რომელიც სწავლობს მაკროსკოპული სხეულების

მოძრაობას v c სიჩქარის შემთხვევაში;;

კვანტური მექანიკა, რომელიც სწავლობს მიკროსკოპული სხეულების მოძრაობას

v c სიჩქარის შემთხვევაში;;

რელატივისტური კვანტური ფიზიკა, რომელიც სწავლობს მიკროსკოპული

სხეულების მოძრაობას v c სიჩქარის შემთხვევაში;;

ნიუტონის პირველი კანონი, რომელსაც აგრეთვე ინერციის კანონს უწოდებენ,

შემდეგში მდგომარეობს: ყოველი სხეული ინარჩუნებს უძრაობას ან წრფივი თანაბარი

მოძრაობის მდგომარეობას, სანამ სხვა სხეულების მოქმედება არ შეუცვლის მას

მდგომარეობას (ან იზოლირებული სხეული იქნება უძრავი ან იმოძრავებს მუდმივი

სიჩქარით).

ნიუტონის პირველი კანონის თანახმად, იზოლირებული სხეული ან უძრავია ან

მოძრაობს წრფივად და თანაბრად. მაგრამ მოძრაობა შეიძლება განხილულ იქნეს

მხოლოდ რაიმე ათვლის სისტემის მიმართ, ამასთან სხვადასხვა ათვლის სისტემაში

მოძრაობა სხვადასხვანაირია.

ნიუტონის პირველი კანონი არ სრულდება ყველა ათვლის სისტემაში. ისეთ

სისტემას,რომელშიც სრულდება ნიუტონის პირველი კანონი, ინერციული სისტემები

ეწოდება. ამის გათვალისწინებით პირველი კანონი შეიძლება ჩამოვაყალიბოთ:

25

არსებობს ისეთი ათვლის სისტემა, რომლის მიმართ იზოლირებული სხეული

მოძრაობს მუდმივი სიჩქარით.

სხეულის თვისებას შეინარჩუნოს უძრაობის ან სწორხაზოვანი მოძრაობის

მდგომარეობა უწოდებენ ინერციას. აქედან წარმოსდგება კანონის სახელწოდება -

ინერციის კანონი.

გალილეის გარდაქმნის ფორმულები

ცხადია, რომ ყოველი სისტემა უძრავი ინერციული სისტემის მიმართ აგრეთვე

ინერციული იქნება. ამასთან, ინერციული სისტემის მიმართ მუდმივი სიჩქარით

მოძრავი ყოველი ათვლის სისტემა აგრეთვე ინერციული იქნება. გავარკვიოთ კავშირი

მოძრაობის ელემენტებს შორის სხვადასხვა ინერციული სისტემების მიმართ (როგორია

გადასვლა ერთი ინერციული სისტემიდან მეორე ინერციულ სისტემაზე).

განვიხილოთ ორი ათვლის სისტემა; K და 'K . ჩავთვალოთ, K სისტემა უძრავია,

ხოლო 'K სისტემა მოძრაობს მის მიმართ მუდმივი 0v

სიჩქარით. კოორდინატთა

სისტემები ისე შევარჩიოთ, რომ ' 'O X ღერძი დაემთხვეს OX ღერძს, ხოლო ' 'O Y და

' 'O Z შესაბამისად OX და OZ ღერძების პარალელური იყოს.

ნახ.19. ფარდობითობის მექანიკური პრინციპი

ვთქვათ, K სისტემა ინერციულია, მაშინ იზოლირებული A წერტილის სიჩქარე ამ

სისტემის მიმართ ( )v მუდმივი იქნება. განვიხილოთ როგორ იმოძრავებს K 'A -ის

მიმართ.

26

აღვნიშნოთ A წერტილის კოორდინატები K -ში ( , , )x y z , ხოლო ' ( ', ', ')K x y z

როგორც ნახაზიდან ვხედავთ ' 'OC OO O C ან 0' ', y=y', z=z'x x v t

კლასიკურ (ნიუტონის) მექანიკაში მიღებულია, რომ დრო ყველა სისტემაში

ერთნაირად მიმდინარეობს ე.ი. 't t ე.ი. დრო აბსოლუტურია. კლასიკური

ფიზიკის მეორე ძირითადი დაშვება, რომლის საშუალებითაც იგი აკავშირებს x -სა

და 'x -ს შემდეგია: მონაკვეთის სიგრძე აბსოლუტურია (არ არის დამოკიდებული

ათვლის სისტემაზე). მაშასადამე კოორდინატებისა და დროის გარდაქმნის

ფორმულები ინერციული სისტემებისათვის ყოფილა:

0' '

'

'

'

x x v t

y y

z z

t t

(41)

ამ ფორმულებს გალილეის გარდაქმნის ფორმულები ეწოდება. უფრო ზოგადი

შემთხვევისთვის:

' '

' '

' '

'

ox

oy

oz

x x v t

y y v t

z z v t

t t

(42)

სადაც, oy, voxv და ozv არის 'K სისტემის სიჩქარის გეგმილები სათანადო

ღერძებზე.

ჩვენ გამოვიყვანეთ კოორდინატთა გარდაქმნის ფორმულები. მათზე დაყრდნობით

ადვილად ვიპოვით სიჩქარისა და აჩქარების გარდაქმნის ფორმულებს.

0

0

0 0

0

0

'

''

'

''

x

x x x

y y y y

z z z

z

dx dxv

dt dt v v vdy dy

v v v vdt dt

v v vdz dzv

dt dt

(43)

ან ვექტორულად 0'v v v

- ნაწილაკის სიჩქარე K სისტემის ნინართ არის ჯამი

ნაწილაკის სიჩქარისა 'K სისტემის მიმართ და 'K სისტემის სიჩქარისა K სისტემის

მიმართ. ამ შედეგს სიჩქარეთა შეკრების კანონი ეწოდება. მიღებული ფორმულების

კიდევ ერთხელ გაწარმოება გვაძლევს 'a a

სადაც a

და 'a

წარმოადგენს

27

ნაწილაკის აჩქარებებს K და 'K სისტემების მიმართ. 0v

-ის წარმოებული 0-ია,

რადგან იგი პირობის თანახმად მუდმივი სიდიდეა. ე.ი. ნაწილაკის აჩქარება ერთი

და იგივეა ყველა ინერციული სისტემის მიმართ.

ზემოთ მოყვანილი მსჯელობიდან ნათელია, რომ ზოგი სიდიდე არ იცვლება; ერთი

ინერციული სისტემიდან მეორეზე გადასვლის დროს, ზოგი კი - იცვლება. რომლებიც

არ იცვლება ასეთი გადასვლის დროს უწოდებენ ინვარიანტულ სიდიდეებს,

რომლებიც იცვლებიან - ვარიანტული. გალილეის გარდაქმნების მიმართ

ინვარიანტულ სიდიდეებს წარმოადგენენ - მონაკვეთის სიგრძე, მოვლენის

ხანგრძლივობა (დრო) და აჩქარება. ვარიანტული სიდიდეებია კოორდინატები და

სიჩქარე.

ყველა ინერტულ სისტემაში მექანიკის კანონებს ერთნაირი სახე აქვთ და

მაშასადამე, მექანიკური მოვლენები ერთნაირად წარმოებს ყველა ინერციულ სისტემაში.

ამ დებულებას ეწოდება ფარდობითობის მექანიკური პრინციპი ანუ გალილეის

ფარდობითობის პრინციპი.

მასა.

ნიუტონის პირველი კანონიდან გამომდინარეობს, რომ სხეულის სიჩქარე

შეიცვლება იმ შემთხვევაში, თუ მასზე იმოქმედებს სხვა სხეული. ვთქვათ A წერტილი

მიძრაობს 1v

სიჩქარით, B წერტილში 2v

სიჩქარით. ნაწილაკების

ურთიერთქმედების გამო მათი სიჩქარეები არ იქნება მუდმივი. ე.ი. ნაწილაკების

ურთიერთქმედება იწვევს სიჩქარეების ცვლილებას, ე.ი. აჩქარებას. 1a

და 2a

აჩქარებები ყოველთვის წერტილთა ურთიერთქმედებისას ურთიერთსაწინაღმდეგოდაა

მიმართული, ამასთან აჩქარებათა სიდიდეების შეფარდება მუდმივი სიდიდეა

2

1

aconst

a . აჩქარებათა შეფარდება არ არის დამოკიდებული ურთიერთქმედების

ხასიათზე(დაჯახება, გრავიტაციული, ელექტროული.....) ხასიათზე.

აჩქარებათა შეფარდება მხოლოდ ნაწილაკებზეა დამოკიდებული. რაც უფრო

ნაკლებია ნაწილაკის მიერ აჩქარება, მით უფრო ძნელია ამ ნაწილაკის გამოყვანა

ინერტული მდგომარეობიდან, ე.ი. მით უგრო მეტია ამ ნაწილაკის ინერცია.

სხეულების ინერციის საზომად შემოღებულია სიდიდე, რომელსაც მასა ეწოდება ( m ).

2 1

1 2

m a

m a (44)

28

ე. ი. აჩქარება სხეულის მასის უკუპროპორციულია.

ჩვენ ავღნიშნეთ, რომ მასა ახასიათებს სხეულის ინერტულობის თვისებას, შემდგომში

გრავიტაციული ურთიერთქმედების დროს სხეულების ურთიერთმიზიდვას

დავახასიათებთ სიდიდით, რომელსაც მასა ეწოდება, ამიტომ ინერციის თვისების

დამახასიათებელ მასას ინერტულ მასას უწოდებენ, ხოლო გრავიტაციული

ურთიერთმიზიდვის დამახასიათებელ მასას კი გრავიტაციულ მასას.

იმპულსი. იმპულსის მუდმივობის კანონი.

ურთიერთმოქმედ ნაწილაკთა აჩქარებების შესახებ გვქონდა

2 1

1 2

m a

m a 1 1 2 2 m a m a ვექტორულად 1 21 2m a m a

ან

1 21 2m a m a

=0 1 2

1 2 0d vd v

m mdt dt

ინტეგრების შედეგად

1 21 2m v m v const

(45)

როგორც ვხედავთ ორი ურთიერთქმედი ნაწილაკისგან შემდგარი იზოლირებული

სისტემის შემთხვევაში სიჩქარეებისა და სათანადო მასების ნამრავლთა ჯამი

მუდმივია. ჩვენ აქ გვაქვს ახალი სიდიდე - ნაწილაკის მასისა და სიჩქარის

ნამრავლი. ამ სიდიდეს ვუწოდებთ მოძრაობის რაოდენობას ანუ იმპულსს

p m v

(46)

იგი ვექტორული სიდიდეა და მიმართულია სიჩქარის გასწვრივ, რადგანაც მასა

დადებითი სიდიდეა.

ფორმულა (45) 1 21 2m v m v const

გამოხატავს კანონს: იზოლირებული სისტემის

ნაწილაკთა იმპულსების ჯამი მუდმივი სიდიდეა. ეს კანონი მართებულია

ნაწილაკთა ნებისმიერი რიცხვისაგან შემდგარი იზოლირებული სისტემისათვისაც

1 1

n n

ii i

i i

m v p const

. (მოგვიანებით განვიხილავთ).

შემადგენელ ნაწილაკთა იმპულსების ჯამს ეწოდება სისტემის იმპულსი.

იმპულსის მუდმივობის კანონი წარმოადგენს სხეულთა ურთიერთქმედების ერთ-

ერთ ძირითად კანონს.

29

ძალა. ნაწილაკთა ურთიერთქმედება მჟღავნდება მათი იმპულსების

ცვლილებაში, რაც მეტია ერთი ნაწილაკის იმპულსის ცვლილება გამოწვეული მასზე

მეორე ნაწილაკის მოქმედებით, მით მეტია მათ შორის ურთიერთქმედების სიდიდე.

ან იტყვიან, რომ მით მეტი ძალით მოქმედებს ერთი ნაწილაკი მეორეზე.

მაშასადამე, ძალა შეიძლება განვიხილოთ, როგორც სხეულთა ურთიერთქმედების

სიდიდე.

ნიუტონის მეორე კანონი

ნიუტონმა ცდების მონაცემების განზოგადების გზით დაადგინა კავშირი ნაწილაკის

იმპულსის ცვლილებასა და ურთიერთქმედების სიდიდეს - ძალას შორის. ეს კანონი

ასე გამოითქმის: ნაწილაკის იმპულსის ცვლილების სიჩქარე მასზე მოქმედი ძალის

პროპორციულია და აქვს მოქმედების მიმართულება. ამ კანონს დინამიკის მეორე

კანონს უწოდებენ, რომელიც საფუძვლად უდევს მთელ კლასიკურ დინამიკას. ძალა

აღინიშნება F

ასოთი

d p

Fdt

ან ( )

m ad m v

F Fdt

, მაშასადამე

=m aF

(47)

ძალის ერთეული: 1კგ.1მ/წმ2=კგ.მ/წმ2=1ნ.

1 ნ არის ძალა, რომელიც 1კგ. მასის სხეულს ანიჭებს 1მ/წმ2 აჩქარებას.

ნიუტონის მესამე კანონი

როცა ერთი ნაწილაკი მოქმედებს მეორე ნაწილაკზე, აუცილებლად მეორე

ნაწილაკმაც უნდა იმოქმედოს პირველზე, წინააღმდეგ შემთხვევაში არავითარ

ურთიერთქმედებაზე ლაპარაკი არ შეიძლება. არსებობს ურთიერთქმედება და არა

ცალმხრივი ქმედება. ნიუტონმა ცდებისა და დაკვირვების შედეგები, სხეულთა

ქმედებასა და უკუქმედებაზე, განაზოგადა და ჩამოაყალიბა შემდეგი კანონი: ორი

სხეული ერთი მეორეზე მოქმედებს ტოლი სიდიდის და საპირისპიროდ მიმართული

ძალებით. ეს ძალები ამ სხეულების შემაერთებელ წრფეზე მდებარეობენ, ან ქმედების

ძალა ტოლია უკუქმედების ძალისა მოპირდაპირე ნიშნით და ისინი ერთ წრფეზე

მდებარეობენ:

30

1 2F F

(48)

ნიუტონის მესამე კანონით სარგებლობის დროს უნდა გვახსოვდეს, რომ ქმედებისა

და უკუქმედების ძალები ყოველთვის სხვადასხვა სხეულზეა მოდებული და

ამიტომ ისინი ერთმანეთს ვერ გააბათილებენ

ნახ.20. სხეულთა ურთიერთქმედება

1F B მოქმედებს A -ზე , 2F A მოქმედებს B -ზე.

იმპულსის შენახვის კანონიდან ნიუტონის კანონების მიღება

იმპულსის მუდმივობის კანონი შეიძლება განხილულ იქნეს როგორც ინერციის

კანონის განზოგადება. მართლაც, ერთი ნაწილაკის შემთხვევაში იმპულსის

მუდმივობის კანონი m v const

ე.ი. v const , რაც წარმოადგენს ინერციის კანონს.

ნიუტონის მეორე კანონის მიღება: n

i

ri

pp m v const

. თუ სისტემა

განიცდის გარე ზემოქმედებას იმპულსი შეიცვლება

Fd p dv

m m adt dt

ნიუტონის მესამე კანონი:

1 21 2 1 20

d p d pF F F F

dt dt

მაშასადამე, იმპულსის შენახვის კანონიდან მივიღეთ ნიუტონის სამივე კანონი.

ძალები მექანიკაში

31

ერთი შეხედვით, შეიძლება მოგვეჩვენოს, რომ სხეულთა სხვადასხვაგვარი

ურთიერთქმედება და მაშასადამე, სხვადასხვა სახის ძალაც ძალიან ბევრია. სხეულთა

მექანიკური მოძრაობის განხილვისას გხვდება მხოლოდ სამი სახის ძალა: დრეკადობის,

ხახუნის და მიზიდულობის, მაგრამ ეს სამი ძალაც გამოვლინებაა მხოლოდ ორი

ძირითადი ძალის: ელექტომაგნიტურისა და მსოფლიო მიზიდულობის ძალებისა.

გრავიტაციული ურთიერთქმედება. (გრავიტას ლათინურად სიმძიმეს ნიშნავს)

მას ხშირად მსოფლიო მიზიდულობასაც უწოდებენ. ამ ურთიერთქმედებებით

გამოწვეული მოვლენებია: სხეულის ვარდნა დედამიწაზე, გასროლილი სხეულის

მოძრაიბა, პლანეტებისა და სხვა ციური სხეულების მოძრაობა, ზღვების მიმოქცევა

და მრავალი სხვა.

ნიუტონის მიერ აღმოჩენილ მსოფლიო მიზიდულობის კანონს შემდეგი შინაარსი

აქვს: ყველა სხეული ურთიერთმიიზიდება ძალით, რომლის მოდულიც

პირდაპირპროპორციულია მათი მასების ნამრავლისა და უკუპროპორციულია მათ

შორის მანძილის კვადრატისა:

2

MmF G

r (49)

G კოეფიციენტს მსოფლიო მიზიდულობის მუდმივას ან გრავიტაციულ მუდმივას

უწოდებენ. ცდების საფუძველზე დადგენილი იქნა 116,67 10G ნ.მ2/კგ2. ეს ძალიან

მცირე რიცხვია. სწორედ მისი სიმცირის გამოა, რომ ვერ ვამჩნევთ გარემომცველ

სხეულებს შორის მიზიდულობას.

მსოფლიო მიზიდულობის ძალის ერთ-ერთი გამოვლინებაა სიმძიმის ძალა, ე.ი.

დედამიწისადმი სხეულთა მიზიდულობის ძალა. შემოვიტანოთ აღნიშვნები: M -

დედამიწის მასა, m - სხეულის მასა, რადიუსი - R (დედამიწის), მაშინ დედამიწის

ზედაპირის მახლობლად

2

MmF G

R (50)

- ეს არის სიმძიმის ძალა, მიმართულია დედამიწის ცემტრისაკენ. თუ სხეულზე

მხოლოდ ეს ძალა მოქმედებს, მაშინ იგი თავისუფლად ვარდება. თავისუფალი

ვარდნის აჩქარება შეიძლება ვიპოვოთ ნიუტონის მეორე კანონის დახმარებით:

2 2

F Mm Mg G

m R m R თავისუფალი ვარდნის აჩქარება დამოკიდებული არ არის

სხეულის m მასაზე და ყველა სხეულისათვის ერთი და იგივეა.

32

F

სიმ m g

(წონა, უწონობა, აჩქარებულად მოძრავი სხეულის წონა -

დამოუკიდებლად).

დეფორმაციის სახეები. დრეკადობის ძალები. ჰუკის კანონი. სიხისტე

რეალურ სხეულში გარეგანი ძალების მოქმედების შედაგად იცვლება მათი

შემადგენელი ნაწილაკების ურთიერთგანლაგება და ამიტომ იცვლება სხეულის

ფორმა და მოცულობა. სხეულის გაჭიმვისას ატომებს შორის მანძილი რამდენადმე

იზრდება და მათ შორის მოქმედებას იწყებენ მიზიდვის ძალები. ეს ძალები

ატომებს აიძულებენ კვლავ დაბრუნდნენ საწყის მდგომარეობაში. თუ სხეულს

შევკუმშავთ, ატომებს შორის აღიძვრება განზიდვის ძალები, რომლებიც მათ კვლავ

პირვანდელ მდგომარეობაში აბრუნებენ. ე.ი. აღიძვრება ელექტრული ძალები,

რომლებიც სხეულს პირვანდელ მდგომარეობაში აბრუნებს.

სხეულის ფორმის ან მოცულობის შეცვლას დეფორმაცია ეწოდება. არსებობს

სხვადასხვა სახის დეფორმაციები: გაჭიმვის ან კუმშვის, ძვრის, ღუნვის, გრეხის და

სხვა, მაგრამ ნებისმიერი რთული დეფორმაცია შეიძლება დავიყვანოთ ორ მარტივ

დეფორმაციაზე - სიგრძივი გაჭიმვისა და ძვრის დეფორმაციაზე.

თუ დეფორმაციის გამომწვევი ძალის მოქმედების შეწყვეტის შემდეგ

დეფორმაცია მთლიანად ისპობა, ე.ი. სხეული აღიდგენს საწყის ფორმას და

მოცულობას, ამბობენ, რომ დეფორმაცია არის დრეკადი, ხოლო სხეულს დრეკად

სხეულს უწოდებენ.

დეფორმაციას ეწოდება პლასტიკური, თუ გარეგანი ზემოქმედების შეწყვეტა არ

სპობს დეფორმაციას.

ნებისმიერი სახის დეფორმაციისას აღიძვრება ძალა, რომელიც სხეულის საწყის

მდგომარეობაში აბრუნებს. ამ ძალას დრეკადობის ძალა ეწოდება. დრეკადობის ძალა

არის ის ძალა, რომელიც სხეულის დეფორმაციისას, აღიძვრება და მიმართულია

სხეულის ნაწილაკების გადაადგილების საწინაღმდეგოდ.

დრეკადი დეფორმაციებისათვის ადგილი აქვს ჰუკის კანონს: სხეულის

დაფორმაციისას აღრძრული დრეკადობის ძალა პროპორციულია სხეულის

წაგრძელებისა და მიმართულია დეფორმაციისას სხეულის ნაწილაკების

გადაადგილების მიმართულების საწინაღმდეგოდ.

F დრ kx (51)

33

k არის პროპორციულობის კოეფიციენტი, რომელსაც სხეულის სიხისტე ეწოდება,

დამოკიდებულია სხეულის ზომებსა და მასალაზე, რისგანაც სხეულია

დამზადებული. სიხისტის ერთეულია ნ/მ.

თუ დეფორმაცია ერთგვაროვანია, მაშინ ძალა თანაბრად იქნება განაწილებული

მისი განივკვეთის ფართობზე. ამ შემთხვევაში ძალის შეფარდებას განივკვეთის

ფართობთან ეწოდება ძაბვა.

F

PS

(52)

თუ ძალა არათანაბრადაა გადანაწილებული dF

dPdS

. P ფართობის ერთეულზე

ნორმალურად მოქმედი ძაბვაა და ნორმალური ძაბვა ეწოდება.

თუ გაჭიმვისას F ძალის მოქმედებით სხეულის სიგრძე გაიზარდა l -ით, მას

აბსოლუტურ წაგრძელებას უწოდებენ. ცდა გვიჩვენებს, რომ

Fll

S (53)

- პროპორციულობის კოეფიციენტია, ანუ სიგრძივი გაჭიმვის კოეფიციენტი. იგი

დამოკიდებულია ნივთიერების გვარობაზე. ფორმულის l -ზე გაყოფით ,l F

l S

l

l

- ფარდობითი წაგრძელებაა და აღიმიშნება ასოთი:

,l

l

(54)

მაშინ P : ფარდობითი დეფორმაცია პირდაპირპროპორციულია დეფორმაციის

გამომწვევი ძაბვისა. 1

,P

1

- საგრძივი გაჭიმვის კოეფიციენტის შებრუნებულ

სიდიდეს ეწოდება დრეკადობის მოდული ანუ იუნგის მოდული. აღინიშნება E -

თი,

,P E (55)

როცა 1l

l

,P E ე.ი. იუნგის მოდული რიცხობრივად უდრის იმ ძაბვას,

რომელიც სხეულის სიგრძის გაორკეცებას გამოიწვევდა, რომ სხეული მანამდე არ

გაწყვეტილიყო, სინამდვილეში თითქმის ყველა სხეული წყდება უფრო ადრე,

ვიდრე გამჭიმავი ძალა მისი სიგრძის გაორმაგებას გამოიწვევს.

34

მიღებული ფორმულა სამართლიანია მცირე დეფორმაციის შემთხვევაში, ანუ

დრეკად დეფორმაციისათვის. ღეროს კუმშვის შემთხვევაში l

l

ექნება

შებრუნებული ნიშანი. იუნგის მოდულის ერთეულია ნ/მ2=პა.

ხახუნის ძალები. ხახუნის კოეფიციენტი.

ხახუნის ძალები წარმოიშობიან ერთმანეთის მიმართ რაიმე სიჩქარით მოძრავი

მყარი სხეულების შეხების ზედაპირზე, ან სხეულების გარემოში (სითხეში, აირებში)

მოძრაობის შედეგად და თავისი ბუნებით მნიშვნელოვნად განსხვავდებიან

მექანიკური ძალებისგან (გრავიტაციის, დრეკადი და სხვა).

წინააღმდეგობის F

ძალას, რომელიც მიმართულია სხეულების მოძრაობის

საწინააღმდეგოდ, ეწოდება ხახუნის ძალა. ხახუნი არის დისიპაციური პროცესი,

რომლის დროსაც ადგილი აქვს სითბოს გამოყოფას, სხეულთა დაელექტროებას და

სხვა. განიხილება სრიალის ხახუნი და გორვის ხახუნი.

ჯერ განვიხილოთ უძრაობის ხახუნი.

ნახ.21. უძრაობის ხახუნის განხილვა

A სხეულის მოძრაობაში მოსაყვანად ვიმოქმედოთ მხები tF ძალით. (ზედაპირის

მხების გასწვრივ). tF -ს გარკვეული მნიშვნელობისათვის სხეული იწყებს

მოძრაობას, რადგან სხეულზე მოქმედებს tF საწინაღმდეგოდ მიმართული f

ძალით, რომელსაც უძრაობის ხახუნის ძალა ეწოდება. ცდების შედეგად,

დადგინდა, რომ

f მაქს 0 .nF (56)

0 - ს უწოდებენ უძრაობის ხახუნის კოეფიციენტს, რომლის სიდიდე

დამოკიდებულია შემხები სხეულების გვარობაზე და მათი ზედაპირების

35

დამუშავების მდგომარეობაზე. 0 - ს შემდეგნაირად საზღვრავენ: სხეულს ათავსებენ

ჰორიზონტალურ ზედაპირზე (ნახ. 22) და თანდათანობით აძლევენ დახრილობას,

მანამ სანამ სხეული სიმძიმის ძალის გავლენით არ დაიწყებს თანაბარ მოძრაობას.

ნახ.22. სხეული დახრილ სიბრტყეზე

n t 0sin F cos Ft nF P P F

00 0

0

sin

costg

(57)

0 - ს განსაზღვრა საშუალებას იძლევა ვიპოვოთ 0 სხვადასხვა სხეულისათვის.

როცა tF ძალა უტოლდება ხახუნის ძალას, სხეული იწყებს თანაბარ მოძრაობას,

სრიალს. ამ შემთხვევაში (მოძრაობის დროს) f მაქს nF , სადაც სრიალის ხახუნის

კოეფიციენტია და უფრო მცირეა, ვიდრე 0 . სრიალის ხახუნის სიჩქარისგან

დამოკიდებულების მრუდი გვიჩვენებს, რომ მცირედ იცვლება სიჩქარის

მიხედვით.

ნახ.23. სრიალის ხახუნის სიჩქარისაგან დამოკიდებულების მრუდი

სხეულის გორვის შემთხვევაში

1t

n

F r

F , (58)

სადაც tF - ხახუნის ძალაა, ხოლო r მყარი სხეულის რადიუსი.

36

გარემოს წინაღმდეგობის ძალა და მისი დამოკიდებულება მოძრავი სხეულის

სიჩქარეზე. სითხეში ან აირში მოძრაობისას წინაღობის ძალა დამოკიდებულია

სხეულისა და სითხის ან აირის ფარდობითი სიჩქარის არა მარტო მიმართულებაზე,

არამედ მოდულზეც. მცირე სიჩქარით მიძრაობისას წინაღობის ძალა სიჩქარის

პროპორციულია, დიდი სიჩქარით მიძრაობისას - სიჩქარის კვადრატის. გარდა ამისა

წინაღობის ძალა მნიშვნელოვნადაა დამოკიდებული სხეულის ფორმაზე ( გარსედინი

ფორმა ).

1) გარემოში მცირე სიჩქარეებით მოძრავ სხეულებზე მოქმედი ხახუნის ძალები,

როგორც ამას ცდები აჩვენებენ, სიჩქარის პირველი ხარისხის პროპორციულნი

არიან და აქვთ სიჩქარის საწინააღმდეგო მიმართულება:

f v , (59)

სადაც α გარემოს წინააღმდეგობის ხახუნის კოეფიციენტია, რომელიც

დამოკიდებულია სხეულის ფორმისა და ზომებისაგან.

2) სხეულების გარემოში მოძრაობის მეორე შემთხვევაა, როცა ხახუნის ძალა

სიჩქარის კვადრატის პროპორციული სიდიდეა, ე.ი.

f v 2 (60)

რადგან დედამიწის ზედაპირის მახლობლობაში ჰაერში ვარდნილ სხეულებზე

მოქმედი ხახუნის ძალები სიჩქარის წრფივი ან კვადრატული ფუნქციებია, ამიტომ

განხილულ შემთხვევებს აქვს მნიშვნელობა პარაშუტის ან სხვა ვარდნილი სხეულების

მოძრაობის კანონების დასადგენად.

ძალების შეკრების (სუპერპოზიციის) კანონი.

ძალების შეკრების კანონი საშუალებას გვაძლევს გამოვარკვიოთ, როგორ

გამოითვლება ნაწილაკზე მოქმედი საერთო ძალა, როდესაც ის ნაწილაკი

ურთიერთქმედებს არა ერთ არამედ რამდენიმე n ნაწილაკთან და როდესაც ამ

ნაწილაკებთან მოქმედი ცილკეული ძალები ცნობილია.

37

ნახ. 24. ძალების სუპერპოზიციის კანონი

ნივთიერი წერტილის დინამიკის ძირითად კანონებს ავსებს კიდევ ერთი ფრიად

მნიშვნელოვანი კანონი, რომელიც ცნობილია ძალების სუპერპოზიციის ანუ ძალების

მოქმედების დამოუკიდებლობის კანონის სახელწოდებით. ამ კანონის მიხედვით თუ

ნაწილაკზე ერთდროულად რამდენიმე ძალა მოქმედებს, თითოეული ძალა მას ანიჭებს

ისეთივე აჩქარებას, როგორსაც ის მიანიჭებდა დამოუკიდებლად მოქმედების

პირობებში; ამ ნაწილაკზე მოქმედი საერთო ძალა უდრის ცალკეული ძალების ჯამს.

1 2 3

h

n i

in

F F F F F F

(61)

ფიზიკაში ამჟამად მოქმედი ყველა ძალები, გარდა ბირთვული ძალებისა,

ემორჩილებიან სუპერპოზიციის პრინციპს.

ლექცია V

არაინერციული სისტემები

ფარდობითობის პრინციპის თანახმად, მექანიკური მოვლენები ერთნაირად

წარმოებს ყველა ინერციულ სისტემაში. ინერციული სისტემების გარდა არსებობს

არაინერციული სისტემები. სისტემებს, რომლებიც ინერციული სისტემის მიმართ

აჩქარებულად მოძრაობენ, არაინერციული სისტემები ეწოდებათ. არაინერციული

სისტემების მაგალითია აჩქარებულად მოძრავი მატარებელი, ლიფტი და სხვა.

38

ჩვენი მიზანია გამოვარკვიოთ, როგორ მიმდინარეობს მექანიკური მოვლენები და

როგორი სახე აქვს მექანიკის კანონებს არაინერციული სისტემების მიმართ. ჩვენ

განვიხილავთ ორ შემთხვევას: 1) როდესაც არაინერციული სისტემა მოძრაობს

ინერციული სისტემის მიმართ მუდმივი აჩქარებით a const

და 2) როდესაც

არაინერციული სისტემა ბრუნავს ინერციული სისტემის მიმართ მუდმივი კუთხური

სიჩქარით const

.

განვიხილოთ პირველი შემთხვევა.

ნახ. 25. არაინერციული სისტემა მოძრაობს ინერციული სისტემის მიმართ მუდმივი

აჩქარებით

განვიხილოთ ნივთიერი M წერტილი ( , , )x y z K სისტემაშიში . M წერტილზე

მოქმედებს F ძალა. ნიუტონის მეორე კანონის თანახმად F m a

, a

არის M

წერტილის აჩქარება K -ს მიმართ. ყველა ინერციულ სისტემაში ასეთი სახე ექნება.

განვიხილოთ როგორ გამოისახება ნიუტონის მეორე კანონი K ’ სისტემაში.

0 0' '

y'=y '

' '

x x

y y

z z

x x x v v v

v v

z z v v

(62)

სადაც ' ', x yv v და '

zv M წერტილის სიჩქარის გეგმილურია K 1 სისტემის

მიმართ, , ,x y zv v v სიჩქარის გეგმილურია K სისტემის მიმართ, ხოლი 0

odxv

dt

არის K ’ სისტემის სიჩქარე K სისტემის მიმართ, იგი არ არის მუდმივი, რადგან K ’

სისტემა აჩქარებულად მოძრაობს. მეორეჯერ ვაწარმოებთ:

39

'

0

'

'

x x

y y

z z

a a a

a a

a a

ან '0a a a

(63)

ამ განტოლებაში a

არის M წერტილის აჩქარება K -სისტემის მიმართ, 'a

M

წერტილის აჩქარება K ’ სისტემის მიმართ. გავამრავლოთ M - ის მასაზე

0'ma m a m a

ან 0'ma F m a

(64)

m a F

არის ძალა, რომლითაც გარეშე სხეულები მოქმედებს M წერტილზე.

'm a

ის ძალაა რომელიც M წერტილზე მოქმედებს K ’ სისტემაში მყოფი

დამკვირებლის თვალსაზრისით.

მიღებული განტოლება გვიჩვენებს, რომ არაინერციულ სისტემაში ნიუტონის

კანონები აღარ არის დაცული. როდესაც 0F

, მაშინ ' 0a

ე.ი. სხეულმა

შეიძლება მიიღოს აჩქარება სხვა სხეულების ზემოქმედების გარეშე.

მაგრამ არაინერციულ სისტემებში შეგვიძლია შევინარჩუნოთ ნიუტონის პირველი

და მეორე კანონების ჩვეულებრივი სახე, თუ 0( )m a

განვიხილავთ როგორც

დამატებით ძალას, რომელიც სხეულზე მოქმედებს არაინერციულ სისტემაში მყოფი

დამკვირებლის თვალსაზრისით. აღვნიშნოთ inF

-ით, მაშინ

' inm a F F

(65)

ეს დამატებითი ძალა წარმოიშვა იმის გამო, რომ K ’ აჩქარებულად მოძრაობს

ინერციული სისტემის მიმართ.

დამატებით ძალას, რომელიც სხეულზე მოქმედებს არაინერციულ სისტემაში

მყოფი დამკვირებლის თვალსაზრისით, ინერციის ძალა ეწოდება

inF

= 0m a

(66)

უარყოფითი ნიშანი იმის მაჩვენებელია, რომ ინერციის ძალა მიმართულია

არაინერციული სისტემის აჩქარების საწინააღმდეგოდ.

40

მბრუნავი არაინერციული სისტემა

მბრუნავი არაინერციული სისტემის მაგალითს წარმოადგენს მბრუნავი დისკო.

ნახ.26. არაინერციული სისტემის განხილვა მბრუნავი დისკოს მაგალითზე

ვთქვათ დისკო ბრუნავს მის ცენტრზე გამავალი ვერტიკალური ღერძის გარშემო.

დისკოზე დგას ადამიანი, რომელსაც ქვა უჭირავს ხელში. განვიხილოთ რა ძალები

მოქმედებს ქვაზე დისკოს გარეთ (ე.ი. ინერციული სისტემა) და თვით დასკოზე

(არაინერციული სისტემაში) მყოფი დამკვირებლის თვალსაზრისით. ინერციული

სისტემის მიმართ, ქვა ადამიანთან ერთად მოძრაობს წრეწირზე. წრეწირზე

მიძრაობისათვის სხეულზე უნდა მოქმედებდეს ცენტრისკენული ძალა. ამ

შემთხვევაში ქვაზე მოქმედებს ადამიანის ხელი, იგი სწევს ქვას თავისკენ. ეს ძალა

დისკოს ცენტრისკენ არის მიმართული: 2

2mvF m r

r , სადაც არის დისკოს

ბრუნვის კუთხური სიჩქარე, r - მანძილი ქვიდან ბრუნვის ღერძამდე. ნიუტონის

მესამე კანონის თანახმად, ქვაც მოქმედებს ხელზე ამ ძალის ტოლი და

საწინაღმდეგო ცენტრიდანული ძალით:

2

cF m r (67)

მაშასადამე ინერციულ სისტემაში მყოფი დამკვირებლისათვის ქვაზე მოქმედებს

ცენტრისკენული ძალა, ადამიანის ხელზე კი - ცენტრიდანული.

დისკოზე მყოფი დამკვირებელი დისკოს ბრუნვას ვერ ამჩნევს. მისი აზრით ისიც

და ქვაც უძრავია. მაგრამ ის გრძნობს რომ ქვა ეწევა მის ხელს გარეთ - ამიტომ იგი

თვლის, რომ ქვაზე მოქმედებს ცენტრიდან გარეთ მიმართული ძალა, ე.ი.

ცენტრიდანული ძალა nF

. მაგრამ ეს დამკვირებელი ვერ მიუთითებს იმ სხეულზე,

რომელიც ამ ძალით მოქმედებს ქვაზე, რადგან ასეთი სხეული არ არსებობს. იმ

ფიქტიურ ძალას, რომელიც სხეულზე მოქმედებს მბრუნავ სისტემაში მყოფი

დამკვირებლის თვალსაზრისით ინერციის ცენტრიდანული ძალა ეწოდება.

ადამიანმა ქვა წონასწორობაში რომ გააჩეროს, მან უნდა მოსწიოს იგი თავისკენ cF

41

ძალის ტოლი და საწინააღმდეგო ძალით ე.ი. ცენტრისკენული ძალით. ე.ი.

მბრუნავ არაინერციულ სისტემაში მყოფი დამკვირებლის თვალსაზრისით ქვაზე

ორი ძალა მოქმედებს და ეს ძალები აწონასწორებენ ერთმანეთს. ამიტომ მის

მიმართ ქვა უძრავია.

თუ მბრუნავი დამკვირებელი ქვას დისკოზე დადებს, მაშინ ქვა გადმოვარდება

დისკოდან. მისი აზრით დისკოზე დადების შემდეგ ქვაზე ცენტრისკენული ძალა

აღარ მოქმედებს, ამიტომ ცენტრიდანული cF

ძალის გავლენით იგი ვარდება

დისკოდან.

ინერციულ სისტემაში მყოფი დამკვირებლის თვალსაზრისით, დისკოზე დადების

შემდეგ ქვაზე არავითარი ძალა აღარ მოქმედებს (ხახუნი უგულებელყოფილია),

ამიტომ იგი მოძრაობს იმ სიჩქარით v r , რომელიც დასკოზე დადების მომენტში

ჰქონდა, ამ მომენტში ქვის სიჩქარე მიმართული იყო დისკოს მხების გასწვრივ,

ამიტომ იგი ვარდება დისკოდან.

კორიოლისის ძალა

მბრუნავი ათვლის სისტემის მიმართ მოძრავ სხეულზე ცენტრიდანული ძალის

გარდა მოქმედებს დამატებითი ძალა, რომელიც დამოკიდებულია როგორც

სისტემის ბრუნვის კუთხურ სიჩქარეზე, ისე სხეულის სიჩქარეზე ამ სისტემის

მიმართ. ამ ძალას კოროლისის ძალა ეწოდება. მის არსებობაში შეიძლება

დავრწმუნდეთ შემდეგი ცდით:

ნახ.27. მბრუნავ დისკოზე მოძრავი სფერო

განვიხილოთ მბრუნავი დისკო. ამ დისკოზე MO დახრილი სიბრტყიდან მოგორავს

სფერო. დავუშვათ, დისკოზე სფერო უხახუნოდ იმოძრავებს. დისკოს გარეთ მყოფი

42

დამკვირებლისათვის დახრილი სიბრტყიდან ჩამოგორების შემდეგ სფერო

იმოძრავებს წრფივად იმ v სიჩქარით, რომელიც მან მიიღო დახრილი სიბრტყის

ქვედა O წერტილში. დამკვირებელი ხედავს, რომ სფერო O -დან წრფივად

მოძრაობს მისკენ. დისკო რომ უძრავი ყოფილიყო სფერო O -დან A -ში მივიდოდა,

მაგრამ დისკო ბრუნავს და სფეროს დახვდება არა A არამედ B წერტილი.

დისკოზე მყოფი დამკვირებლის თვალსაზრილით დახრილი სიბრტყიდან

ჩამოგორების შემდეგ სფერო მოძრაობს OB წირზე. რადგან იგი დისკოს ბრუნვას

ვერ ამჩნევს, ამიტომ მისი აზრით სფეროზე მოქმედებს OA რადიუსისადმი KF

ძალა, რომელიც ხრის მას მოძრაობის მიმართულებიდან. მაშასადამე მბრუნავი

სისტემის მიმართ მოძრავ სხეულზე ინერციის ცენტრიდანული ძალის გარდა

მოქმედებს კიდევ KF ძალა. დამატებით ფიქტიურ ძალას, რომელიც მოქმედებს

მბრუნავ სისტემაში მყოფი დამკვირებლის თვალსაზრისით ამ სისტემის მიმართ

მოძრავ სხეულზე, კორიოლისის ძალა ეწოდება.

დაუშვათ ახლა, რომ დისკოზე ამოჭრილია ღარი OA რადიუსის გასწვრივ, მაშინ

ნახ. 28. მბრუნავ დისკოზე ღარში მოძრავი სფერო

დახრილი სიბრტყიდან ჩამოგორების შემდეგ სფერო ამ ღარში იმოძრავებს. დისკოს

გარეთ მყოფი დამკვირებლისთვის სფერო მონაწილეობს ორ მოძრაობაში; იგი

მოძრაობს OA გასწვრივ v სიჩქარით, რომელიც მან მიიღო ჩამოგორების მომენტში

და ბრუნავს დისკოსთან ერთად, ე.ი. ხაზოვანი სიჩქარე dv dr - იზრდება r -ის

ზრდასთან ერთად. ავღნიშნოთ ძალა, რომლითაც ღარის კედელი მოქმედებს სფეროზე

F . იგი მართობულია სფეროს მოძრაობის მიმართულებისადმი და ამ

მიმართულებისადმი მიმართულია მარცხვნივ. ნიუტონის მესამე კანონის თანახმად

სფეროც მოქმედებს ღარის მარჯვენა კედელზე ამ ძალის ტოლი და საწინააღმდეგო

KF ძალით.

43

დისკოზე მყოფი დამკვირებლისთვის სფეროზე მოქმედებს ინერციის KF ძალა,

ღარის კედელი კი მოქმედებს KF ძალის ტოლი და საწინააღმდეგო ძალით. ეს

ძალები აწონასწორებენ ერთმანეთს ამიტომ სფერო მოძრაობს მუდმივი სიჩქარით

რადიუსის გასწვრივ.

გამოვიანგარიშოთ კორიოლისის ძალის სიდიდე მოცემულ შემთხვევისათვის.

ნახ.29 კორიოლისის ძალის განსაზღვრა

t დროში OA რადიუსი მობრუნდება კუთხით. t . განვიხილოთ OA

რადიუსზე C წერტილი. OC r , v r ხაზოვანი სიჩქარე ამ წერტილში. დისკო,

რომ უძრავი ყოფილიყო, სფერო იმოძრავებდა მხოლოდ OA რადიუსის გასწვრივ და

t დროში მივიდოდა C -დან D -ში. CD v t , მეორეს მხრივ, სფერო რომ უძრავი

ყოფილიყო დისკოს მიმართ, მაშინ დისკოს ბრუნვის გამო ის იმოძრავებდა 1CC რკალზე

და იგივე t დროში გადავიდოდა C -დან 1C წერტილში. ორივე მოძრაობის

შედეგად სფერო უნდა მისულიყო 'D წერტილში, მაგრამ იგი ღარიდან ვერ გამოდის,

ამიტომ რჩება OA რადიუსზე და t დროში 1D წერტილში. ამგვარად t დროში

სფერომ გაიარა დამატებითი გზა 1'D D იმის გამო რომ ღარის კედელი მოქმედებს

მასზე ბრუნვის მიმართულებით. აღვნიშნოთ s :

1 1' 's D D C D , მაგრამ 1 'C D CD v t , ხოლო t , ამიტომ

22 2 ( )

( )2

v ts v t t v t

; შევადაროთ ეს ფორმულა თანაბარადაჩქარებული

მოძრაობის დროს გავლილ გზის ფორმულასთან 2( )

22

a ts a v

გავამრავლოთ m -ზე

2F mv (68)

იგი მიმართულია OA რადიუსის პერპენდიკულარულად მიძრაობის

მიმართულებისადმი მარცხნივ. თავის მხრივ, სფერო მოქმედებს ღარის კედელზე

ამ ძალის ტოლი და საწინაღმდეგო ძალით F კ 2mv . ეს ფორმულა მივიღეთ

44

კერძო შემთხვევისათვის, როცა სხეული მოძრაობს რადიუსის გასწვრივ. ზოგადი

შემთხვევისთვის

2 sinsF mv (69)

კუთხეა ბრუნვის ღერძსა და სიჩქარეს შორის.

ნახ. 30. კორიოლისის ძალის მიმართულების განსაზღვრა

თუ 0 , 0Kv F , კორილიოსის ძალა მოქმედებს მხოლოდ მბრუნავი სისტემის

მიმართ მოძრავ სხეულზე. თუ 0 , 0KF ე.ი. თუ სხეულის სიჩქარე

ბრუნვის ღერძის პარალელურია. 090 , 2KF mv . KF

ძალას იგივე

მიმართულება აქვს, როგორც v და ვექტორების ვექტორულ ნამრავლს:

2KF m v

(70)

მარჯვენა ბურღის ტარი დავაბრუნოთ v

დან

- სკენ, მაშინ მისი წვეტი

გადაადგილდება KF

მიმართულებით.

დედამიწა, როგორც არაინერციული სისტემა

დედამიწა წარმოადგენს მბრუნავ არაინერციულ სისტემას და დედამიწაზე მყოფი

დამკვირებლის თვალსაზრისით ყოველ უძრავ სხეულზე მოქმედებს ინერციის

ცენტრიდანული ძალა, ხოლო მოძრავ სხეულზე - როგორც ცენტრიდანული, ასევე

კორიოლისის ძალა.

45

ნახ.25. დედამიწა არის მბრუნავი არაინერციული სისტემა

დავუშვათ დედამიწას სფეროს ფორმა აქვს. იგი ბრუნავს დასავლეთიდან

აღმოსავლეთსაკენ, ამიტომ კუთხური სიჩქარე მიმართულია სამხრეთიდან

ჩრდილოეთისაკენ. A წერტილში მოთავსებულია m მასის სხეული. დედამიწაზე

მყოფი დამკვირებლის თვალსაზრისით ამ სხეულზე ორი ძალა მოქმედებს:

დედამიწის მიზიდულობის ძალა 0p , რომელიც მიმართულია დედამიწის

ცენტრისაკენ და ინერციის ცენტრიდანული ძალა CF რადიუსის გასწვრივ. ამ ორი

ძალის ტოლქმედი P წარმოადგენს სხეულის წონას A წერტილში. OP კი არის ის

წონა, რომელიც სხეულს ექნებოდა დედამიწა რომ უძრავი ყოფილიყო. არის

გეოგრაფიული განედი. ცხადია, სხეულის წონა დამოკიდებულია გეოგრაფიულ

განედზე, კერძოდ 2

0

1(1 cos )

289P P . ეკვატორზე r =0 და P უმცირესია, ხოლო

პოლუსზე P = OP და სიმძიმის ძალა უდიდესია. სიმძიმის ძალის აჩქარებისთვის

2

0

1(1 )

289g g COS . ამ ფორმულით შეიძლება გამოვთვალოთ სიმძიმის ძალის

აჩქარება ნებისმიერ განედზე. ცდით განსაზღვრული სიმძიმის ძალის აჩქარების

მნიშვნელობები მცირედ განსხვავდება ფორმულით მიღებული მნიშვნელობებისგან,

რაც იმით აიხსნება, რომ დედამიწას აქვს არა სფეროს არამედ გეოიდის ფორმა, იგი

პოლუსებთან შებრტყელებულია, ეკვატორზე კი გამოწეულია. მამრავლად ამიტომ

1

191 ღებულობენ, უფრო მეტი სიზუსტისათვის. პოლუსებზე 9,83g ; ეკვატორზე -

9,78...

46

ლექცია VI

მექანიკური მუშაობა და სიმძლავრე

თუ ძალის მოქმედების შედეგად სხეული გადაადგილდება, ვამბობთ, რომ ძალა

ასრულებს მუშაობას. მუშაობა არის ფიზიკური სიდიდე, რომელიც უდრის ძალისა

და გადაადგილების ვექტორების სკალარულ ნამრავლს.

ნახ. 26. ძალა მოდებულია სხეულზე გადაადგილებისადმი α კუთხით.

როგორც ნახაზიდან ვხედავთ:

A F s

ან cosA Fs (71)

ან შეიძლება ჩავწეროთ შემდეგი სახით:

SA F s (72)

როცა კუთხე მახვილია, მაშინ cos 0 და F ძალის მუშაობა დადებითია,

როცა კუთხე ბლაგვია, მაშინ cos 0 და მუშაობა უარყოფითია. 1) როცა

0a , მაშინ A Fs . 2) თუ 2

, მაშინ 0A (წრეწირზე მოძრაობისას

ცენტრისკენული ძალა არ ასრულებს მუშაობას). 3) 0180 , A Fs (ხახუნის

ძალა ასრულებს უარყოფით მუშაობას).

SI - ძალის ერთეულია ნ , მანძილის - მ 1ჯ=1ნ 1მ ; 1000ჯ=1კჯ

SGS - 1ერგი=1დნ 1სმ 1ნ=105დინი, 1მ=102სმ, 1ჯ=107ერგი.

ზოგად შემთხვევაში, როცა ძალა არ არის მუდმივი და ცვლად კუთხეს ადგენს

გადაადგილებასთან, მუშაობის გამოსაანგარიშებლად მთელ გზას ვყოფთ

47

ელემენტარულ 1 2, ,......., ns s s მონაკვეთებად, რომლებიც ისე მცირეა, რომ

თითოეულ მათგანზე შესაძლებელია F -სა და -ს მუდმივად ჩათვლა

ნახ. 27. ელემენტარული გადაადგილების დროს შესრულებული მუშაობა

A F r

მთელი მუშაობა 1 1

n n

ii

i i

A A F r

dA F dr

(73)

მთელ გზაზე

C

B

A F d r

(74)

ან C

S

B

A F ds , (75)

რადგან d r

როცა ზღვარში შესაბამისი რკალის სიგრძის ტოლია d r ds

მუშაობა შეიძლება გრაფიკულად გამოვსახოთ:

ნახ. 28. მუშაობის გრაფიკული გამოსახვა

48

აბსცისათა ღერძზე გადაზომილია გავლილი გზა, ხოლო ორდინატთა ღერძზე - ძალის

მდგენელები. ნახ.28- დან sA F s , მაშასადამე sA F ds .

არსებობენ ძალები, რომელთა მუშაობა არ არის დამოკიდებული გზის ფორმაზე და

სიგრძეზე და დამოკიდებულია, მხოლოდ სხეულის საწყის და საბოლოო

მდებარეობაზე. ისეთ ძალებს, რომელთა მუშაობა არ არის დამოკიდებული გზაზე,

კონსერვატულ ანუ პოტენციალურ ძალებს უწოდებენ. ასეთი ძალებია: სიმძიმის

ძალა, დრეკადობის ძალა, ელექტროსტატიკური ძალები.

დავამტკიცოთ, რომ სიმძიმის ძალის მუშაობა არ არის დამოკიდებული გზაზე.

ნახ.29. სხეული თავისუფლად ვარდება h სიმაღლიდან დედამიწაზე

სხეული ატანილია h სიმაღლეზე ნახ.29. ( h მცირეა დედამიწის რადიუსთან

შედარებით, მაშინ სიმძიმის ძალა h გზაზე მუდმივია)

1) სხეული თავისუფლად ვარდება h სიმაღლიდან A Ph mgh (ნახ. 29)

2) სხეული მოძრაობს დახრილ BC გზაზე (უხახუნოდ) c o sA P s , ხოლო

cos h A Ph mgh (ნახ.29)

3) დავუშვათ, სხეული მოძრაობს ნებისმიერ მრუდწირულ BC გზაზე. დაყოთ ეს

გზა მცირე s მონაკვეთებად. (ნახ.30)

ნახ.30. სხეულის მოძრაობა ნებისმიერ მრუდწირულ გზაზე

cosA P s P h mg h , ხოლო მთელი მუშაობა 1 1

n n

i i

i i

A P h P h Ph mgh

ე.ი. სიმძიმის ძალის მუშაობა არ არის დამოკიდებული გზაზე. ის კონსერვატიულ

49

ძალას წარმოადგენს. კონსერვატიული ძალების მუშაობა შეკრულ გზაზე ნულის

ტოლია.

ნახ.31 ძალების მუშაობა შეკრულ გზაზე

BDCEB BDC CEB BDC BECA A A A A , რადგან კონსერვატიული ძალის მუშაობა გზაზე არ

არის დამოკიდებული, ამიტომ BDC BECA A ე.ი. BDCEBA O .

სიმძლავრე

ხშირად საჭიროა ვიცოდეთ არა მარტო შესრულებული მუშაობის სიდიდე, არამედ

ასევე, თუ რა დროშია ეს მუშაობა შესრულებული. მუშაობის შესრულების სისწრაფის

დასახასიათებლად შემოაქვთ ფიზიკური სიდიდე - სიმძლავრე. საშუალო სიმძლავრე

A

Nt

(76)

ხოლო ნამდვილი ანუ მყისი მნიშვნელობა

dAN

dt (77)

ვიცით, რომ (73) ფორმულიდან dA F d r

, ამიტომ

d r

N F FVdt

(78)

ე.ი. სიმძლავრე უდრის ძალისა და სიჩქარის ვექტორების სკალარულ ნამრავლს.

თუ მუშაობა თანაბრად სრულდება, დროის ნებისმიერ ტოლ შუალედში ერთნაირი

მუშაობა სრულდება, მაშინ

A

Nt

, (79)

თუ 1t წმ N A , სიმძლავრე რიცხობრივად უდრის დროის ერთეულში

შესრულებულ მუშაობას . სიმძლავრის ერთეულია: 1ვტ=1ჯ/1წმ.

50

1 კვტ=1კჯ/წმ=103 ჯ/წმ=103 ვტ.

ენერგია

მატერიის განუყოფელ თვისებას წარმოადგენს მოძრაობა. მატერიის მოძრაობის

ფორმები სხვადასხვანაირია - მექანიკური, სითბური, ელექტრული და სხვა. არსებობს

მატერიის მოძრაობის და ურთიერთქმედების სხვადასხვა ფორმის ერთიანი ზომა -

ენერგია. ენერგიის გადაცემა ერთი სხეულიდან მეორისადმი წარმოადგენს მუშაობის

შესრულებას პროცესში, ამიტომ ენერგიის ცვლილება შეიძლება გაიზომოს

შესრულებული მუშაობით.

მექანიკაში განიხილავენ ორი სახის ენერგიას - კინეტიკურსა და პოტენციალურს.

განვიხილოთ ჯერ კინეტიკური ენერგია: ე.ი. მოძრავი სხეულის ენერგია. კინეტიკური

ენერგია იზომება იმ მუშაობით, რომელსაც მოძრავი სხეული შეასრულებს, სანამ

გაჩერდება ან იმ მუშაობით, რომელიც გარეშე ძალამ უნდა შეასრულოს იმისთვის, რომ

უძრავმა სხეულმა მიიღოს გარკვეული v სიჩქარე. გამოვიანგარიშოთ სხეულის

კინეტიკური ენერგია. ვთქვათ, უძრავი სხეულის მასაა 0, 0m v , მასზე მოქმედებს

მუდმივი F ძალა, რის შედეგადაც მისი სიჩქარე იზრდება v -მდის. მაშინ ამ

სხეულის კინეტიკური ენერგია F ძალის მიერ შესრულებული მუშაობის ტოლი

იქნება, ე.ი. 2

, 2

k

atE Fs s , რადგან 0 0v ,

2 2( )

2 2k

at m atE ma , at არის

სხეულის სიჩქარე t მომენტში

2

2k

mvE (80)

არათანაბარი ძალის შემთხვევაშიც იგივეს ვღებულობთ:

dv

dt Fds ma vdt m vdt mvdvdt

,

სრული მუშაობის მისაღებად 2

2

v

o

mvA mvdv ე.ი.

2

2k

mvE .

თუ სიჩქარე იზრდება v 0 -დან v - მდის

22

2 2

ok

mvmvE (81)

51

კინეტიკური ენერგიის გარდა არსებობს მექანიკური ენერგიის მეორე სახე -

პოტენციალური ენერგია. თუ სხეულთა სისტემის განლაგება (კონფიგურაცია)

იცვლება სიჩქარეების შეუცვლელად, მაშინ მათი კინეტიკური ენერგია არ

შეიცვლება, მაგრამ შესრულდება მუშაობა, ე.ი. სისტემის ენერგია იცვლება. ენერგიას,

რომელიც დამოკიდებულია სხეულების ურთიერთმდებარეობაზე პოტენციალური

ენერგია ეწოდება. პოტენციური ენერგია გააჩნია დედამიწიდან ზევით ატანილ

სხეულს, დეფორმირებულ სხეულს (ზამბარა) და სხვა.

ნახ. 32. სიმძიმის ძალის მუშაობა

A Ph mgh , სხეულის პოტენციური ენერგია იზომება იმ მუშაობით, რომელსაც

სიმძიმის ძალა ასრულებს სხეულის ვარდნის დროს, ან იმ მუშაობით, რომელიც გარეშე

ძალამ დახარჯა სხეულის ასატანად E პოტ mgh . თუ მუშაობას თვით სისტემაში

მოქმედი ძალები ასრულებენ, მაშინ პოტენციური ენერგია შემცირდება. მაშასადამე,

შინაგანი ძალების მიერ შესრულებული მუშაობა უდრის სისტემის პოტენციალური

ენერგიის შემცირებას.

არსებითი მნიშვნელობა აქვს იმ გარემოებას, რომ სიმძიმის ძალის მუშაობა გზაზე არ

არის დამოკიდებული; რა გზითაც არ უნდა ავიდეს სხეული h სიმაღლეზე (ნახ.32),

მუშაობა ყოველთვის ერთი და იგივე იქნება; პოტენციური ენერგია კი ყოველთვის ერთი

და იგივე სიდიდით mgh -ით გაიზრდება.

კავშირი ძალასა და პოტენციალურ ენერგიას შორის

იმ შემთხვევაში, როცა ორ წერტილს შორის შესრულებული მუშაობა

გადაადგილების გზისაგან არ არის დამოკიდებული და განისაზღვრება ამ წერტილის

მდებარეობით, მუშაობის ინტეგრალის ქვეშ მყოფი გამოსახულება ყოველთვის

წარმოგვიდგება რაღაც ( )U r

ფუნქციის სრული დიფერენციალის სახით და შეიძლება

დავწეროთ: ( )dA dU r

, სადაც ( )U r

ფუნქციას, რომელიც წერტილის კორდინატების

52

ფუნქციაა, ნაწილაკის პოტენციალურ ენერგიას უწოდებენ. მეორეს მხრივ

x y zdA F d r F dx F dy F dz

U U U

dU dx dy dzx y z

ამ ფორმულების შედარება გვაძლევს

y, F , x z

U U UF F

x y z

ან ვექტორულად

( )F gradU r

(82)

(U ფუნქციის გრადიენტი არის ვექტორი ოპერატორი). მივიღეთ მნიშვნელოვანი

ფორმულები ძალასა და მისი მდგენელებისათვის. ძალა შეიძლება განვსაზღვროთ

როგორც პოტენციური ენერგიის გრადიენტი შებრუნებული ნიშნით.

მოძრაობის დინამიკური განტოლებები შეიძლება გამოვსახოთ

( )d p

gradU rdt

(83)

ან

2

2

2y

2

2

z

2

dp d U=m =-

dt

dp d U=m =-

dt

xdp d x Um

dt dt x

y

dt y

z

dt z

(84)

თუ ( )U r

მხოლოდ კოორდინატების ფუნქციაა, ეს ნიშნავს რომ სივრცის მოცემულ

წერტილში მისი მნიშვნელობა განისაზღვრება ამ წერტილის მდებარეობით და დროის

ყოველ მომენტში ამ წერტილში აქვს ერთი და იგივე მნიშვნელობა - დროის

მიხედვით არ იცვლება, იცვლება წერტილიდან წერტილამდე, ამ შემთხვევაში

სტაციონარული მდგომარეობაა. ( , )U r t

- გვაქვს არასტაციონარული მდგომარეობა.

ლექცია VII

კეპლერის კანონები

53

ნიუტონის მსოფლიო მიზიდულობის კანონის აღმოჩენას წინ უსწრებდა

მოსაზრებანი მზის სისტემის აგებულებასა და პლანეტების მოძრაობის შესახებ

დაკვირებებისა და გაზომვების საფუძველზე კეპლერმა აღმოაჩინა შემდეგი სამი

კანონი:

1. ყოველი პლანეტა მოძრაობს ელიფსზე, რომლის ერთ - ერთ ფოკუსში მზე

იმყოფება.

2. მზიდან პლანეტისკენ გავლებული რადიუს-ვექტორი დროის ტოლ შუალედებში

თანასწორ ფართობებს აღწერს.

3. პლანეტების გარშემოვლის დროის კვადრატები ისე შეეფარდება ერთმანეთს,

როგორც მათი ორბიტების დიდი ნახევარღერძების კუბები.

თუ მზის ირგვლივ გარშემოვლის დროს ერთი პლანეტისათვის აღვნიშნოთ 1T ,

მეორესათვის 2T , ხოლო ელიფსების დიდ ნახევრადღერძების 1r -ით და 2r -ით

მაშინ

2 3

1 1

2 3

2 2

T r

T r (85)

ანუ 3 3

2 1

2 2

2 1

r r

T T ,

2 2

1 2

3 3

1 2

T T

r r . მაშასადამე

3

2

r

T მუდმივია ყველა

პლანეტისათვის

3

2

rC

T (86)

მსოფლიო მიზიდულობის კანონი

ნიუტონმა კეპლერის კანონების საფუძველზე გამოიანგარიშა ძალა,

რომლითაც უნდა ყოფილიყო გამოწვეული პლანეტების მოძრაობა. მიახლოებით

შეიძლება ჩავთვალოთ, რომ პლანეტები წრიულ ორბიტაზე მოძრაობს, მაშინ

კეპლერის კანონის თანახმად, პლანეტის მოძრაობა თანაბარი იქნება. თანაბარი

წრიული მოძრაობებისას სხეულს აქვს მხოლოდ ცენტრისკენული აჩქარება 2v

ar

სადაც r პლანეტის ორბიტის რადიუსია (ელიფსური ორბიტის შემთხვევაში -

დიდი ნახევარღერძი) v - ორბიტაზე მოძრაობის სიჩქარე. 2v

F ma mr

. თუ

54

მზის ირგვლივ ბრუნვის პერიოდს T -თი აღნიშნავთ, მაშინ 2 r

vT

მაშასადამე 2 2

2 2

4 4m r mrF

T r T

კეპლერის მესამე კანონის თანახმად (86): 2 2

r C

T r

3

2(r

CT

ან 2 2

)r C

T r

2 2

2 2

4 4mC mF C

r r

(87)

ეს ფორმულა გვიჩვენებს, რომ პლანეტაზე მოქმედი მიზიდულობის ძალა

პირდაპირპროპორციულია ამ სხეულის მასისა და უკუპროპორციულია სხეულებს

შორის მანძილის კვადრატისა. მსგავსად გამოვსახოთ ძალა, რომლითაც პლანეტა

მოქმედებს მზეზე:

2

2

4 Mf c

r

(88)

c -პროპორციულობის კოეფიციენტი, M - მზის მასა.

ნიუტონის მესამე კანონის თანახმად F f ანუ

2 2

2 2

4 4 Cm=cM

m M C cC c

r r M m

. აქ C მუდმივია ყველა პლანეტისათვის,

M - მზის მასა, შეფარდებაც მუდმივი სიდიდე იქნება. მარჯვენა მხარეც ერთი და

იგივეა ყველა პლანეტისათვის. ავღნიშნოთის K -თი. C KM , c km C

კოეფიციენტის ჩასმა v -ში გვაძლევს:

22

2 2

44

m MmF KM K

r r

იგივე ფორმულას მივიღებთ, თუ c -ს შევიტანთ f -ში.

შემოვიტანოთ აღნიშვნა 24 k G , მაშინ

2

MmF G

r (89)

ამგვარად, ძალა, რომელითაც მზე და პლანეტა მოქმედებენ ერთმანეთზე,

პირდაპირპროპორციულია მათი მასების ნამრავლის და უკუპროპორციულია მათ

შორის მანძილის კვადრატის.

ნიუტონის აღმოჩენილ კანონს საყოველთაო ხასიათი აქვს. ის სამართლიანია

ნებისმიერი სხეულისათვის 1 2

2

M mF G

r . ზოგადად მსოფლიო მიზიდულობის

55

კანონი ასე გამოითქმის: ყოველი ორი სხეული იზიდავს ერთმანეთს ძალით,

რომელიც პირდაპირპროპორციულია ამ სხეულების მასების ნამრავლის და

უკუპროპორციულია მათ შორის მანძილის კვადრატის. ფორმულაში შემავალ

პროპორციულობის კოეფიციენტს გრავიტაციული მუდმივა ეწოდება.

გრავიტაციული მუდმივა ცდოთ განსაზღვრა კევენდიშმა =6,67 1110 მ3(კგ•წმ2)

ნ•მ2/კგ2=კგ·მ/წმ2·მ2/კგ2=მ3/კგ·წმ2

ინერტული და გრავიტაციული მასა

მსოფლიო მიზიდულობის კანონში შედის მასა. მასა არის აგრეთვე დინამიკის

მეორე კანონში. ეს მასები სხეულების ორ სხვადასხვა თვისებასთანაა დაკავშირებული.

დინამიკის მეორე კანონში შემავალი მასა, ჩვენ განვსაზღვრეთ, როგორც სხეულის

ინერციულობის ზომა: რაც უფრო დიდია მასა, მით უფრო ნაკლებ აჩქარებას მიიღებს

სხეული ერთი და იგივე ძალის გავლენით. მსოფლიო მიზიდულობის კანონში რაც

უფრო მეტია 1m და 2m მასები მით უფრო დიდი ძალით იზიდავენ ერთმანეთს

სხეულები ე. ი. აქ მასა ახასიათებს სხეულების მიზიდვას ანუ გრავიტაციას. იმ

მასას, რომელიც შედის ნიუტონის მეორე კანონში ეწოდება ინერტული მასა, ხოლო

მსოფლიო მიზიდულობის კანონში შემავალ მასას - გრავიტაციულ მასას. სხეულის

აწონვისას ჩვენ ვზომავთ გრავიტაციულ მასას, ხოლო ინერტული მასის

განსაზღვრისათვის - გავზომოთ სხეულზე მოქმედი ძალა და ამ ძალით გამოწვეული

აჩქარება F

ma

.

გრავიტაციული და ინერტული მასები ერთმანეთის პროპორციულია. მართლაც

m იყოს ინერტული მასა, 'm - გრავიტაციული. 2

'm MF

R . M -დედამიწის

გრავიტაციული მასა, R - დედამიწის რადიუსი. ამ ძალის გავლენით სხეული

მიიღებს აჩქარებას F

am

2

'M ma

R m

. დედამიწის მიზიდულობის ძალის გავლენით a ყველა სხეულისთვის

ერთი და იგივეა ( a g ). , M და R მუდმივი სიდიდეებია, მაშასადამე 'm

m

შეფარდება ყველა სხეულისთვის ერთი და იგივეა. '

m'm

c cmm

. თუ 'm და

m ერთი და იგივე ერთეულებით გავზომავთ, მაშინ 'm = m

56

გრავიტაციული ველი

ფიზიკის განვითარების პროცესში წაროიშვა ორი განსხვავებული თეორია სხეულების

ურთიერთქმედებაზე - ახლოქმედებისა და შორსქმედების თეორია.

შორსქმედების თეორიით ერთი სხეულის მოქმედება მეორეზე წარმოებს მანძილზე

ყოველგვარი გადამცემი გარემოს გარეშე და ის მოქმედება მყისიერად, გადაეცემა ერთი

სხეულიდან მეორეს, მოქმედება უსასრულოდ დიდი სიჩქარით გადაეცემა ერთი

სხეულიდან მეორეს.

მეორე თეორია, რომელიც ამჟამად არის მიღებული, წარმოადგენს

ახლოქმედების თეორიას. ამ თეორიის თანახმად, მოქმედება გადაეცემა ერთი

სხეულიდან მეორეს მატერიალური გარემოს - ველის საშუალებით. ეს გადაცემა

წარმოებს არა მყისიერად, არამედ სასრული სიჩქარით. ყოველი სხეული

გარშემორტყმულია გრავიტაციული (მიზიდულობის) ველით, რომელიც მოქმედებს

მასში შეტანილ მეორე სხეულზე. თავის მხრივ, მეორე სხეულიც გარშემორტყმულია

თავისი ველით და ეს ველი მოქმედებს პირველ სხეულზე, ე.ი. სხეულები მოქმედებენ

ერთმანეთზე გრავიტაციული ველის საშუალებით. პირველად ველის ცნება ფარადეიმ

შემოიღო დამუხტული სხეულების ურთიერთქმედებების ასახსნელად.

გრავიტაციულ ველის თვისებაა ერთნაირი აჩქარების მინიჭება ყველა

სხეულისათვის. თუ ველში შეტანილ სხეულზე მოქმედ ძალას გავყოფთ სხეულის

მასაზე F

m , მაშინ ეს ფარდობა არ იქნება დამოკიდებული სხეულის მასაზე. იგი

დამოკიდებულია ბხოლოდ ველის თვისებებზე. ამ შეფარდებას ველის დაძაბულობა

ეწოდება ( ).

ისეთ ველს, რომლის დაძაბულობა ყველა წერტილში ერთნაირია ერთგვარივანი

ველი ეწოდება. მაგალითად, სიმძიმის ძალთა ველი დედამიწის ზედაპირის

მახლობლად ერთგვაროვანია.

გავიანგარიშოთ გრავიტაციულ ველში სხეულების გადაადგილების დროს

შესრულებული მუშაობა. ვთქვათ, გვაქვს ორი სხეული A და B (ნახ.33). მათ შორის

მოქმედებს ნიზიდულობის ძალა 1 2

2

m mF G

r . A სხეული უძრავია, ხოლო B მოძრაობს

მის გრავიტაციულ ველში და გადაადგილდება B -დან C წერტილში. F ძალა ცვლადია,

ამიტომ დავყოთ მთელი გზა უსასრულოდ მცირე ds ელემენტებად.

57

ნახ.33. გრავიტაციულ ველში სხეულის გადაადგილება

ds -ზე შესრულებული მუშაობა cos cosdA Fds Fds

cosds dr ამიტომ 1 2

2

m mdA Fdr dA G dr

r მთელ BC გზაზე

შესრულებული მუშაობა

2

1

1 2 1 22

2 1

1 1 ( )

r

r

drA Gm m Gm m

r r r ; (90)

მაშასადამე, გრავიტაციული ძალების მუშაობა არაა დამოკიდებული გზაზე ე.ი.

იგი კონსერვატიული ძალებია. ვიცით, რომ კონსერვატიული ძალების მიერ

შესრულებული მუშაობა უდრის სისტემის პოტენციური ენერგიის შემცირებას,

ამიტომ Eპ1-Eპ2= A = 1 2

2 1

1 1( )Gm mr r ;

პირობითად თვლიან, რომ პოტენციური ენერგია ნულია, როცა სხეულები

უსასრულოდ დიდი მანძილითაა დაშორებული ერთმანეთისგან. თუ დავუშვებთ,

რომ 2r , მაშინ Eპ2=0, მაშინ Eპ1= 1 2

1

1 1( )Gm m

r

ან

Eპ1=- 1 2

1

m mG

r (91)

როგორც ვხედავთ, ურთიერთმიმზიდველი სხეულების პოტენციური ენერგია

უარყოფითია. ეს გასაგებია, რადგან როცა სხეულები უსასრულობიდან (Eპ=0)

დახლოების დროს მიზიდულობის ძალები დადებით მუშაობას ასრულებს, ამიტომ

პოტენციური ენერგია მცირდება ე.ი. უარყოფითი ხდება.

58

ლექცია VIII

მატერიალურ წერტილთა სისტემის დინამიკა

იმპულსის შენახვის კანონი მატერიალურ წერტილთა სისტემისათვის

ვთქვათ, სისტემა შედგება N ნაწილაკისგან. ვთქვათ, ამ სისტემის სხეულები

ურთიერთქმედებენ როგორც ერთმანეთთან, ისე სისტემის გარეშე სხეულებთან. ამის

გამო სისტემის სხეულებზე მოქმედი ძალები შეიძლება დავყოთ შინაგან და გარეგან

ძალებად. შინაგანი ძალები ეწოდება იმ ძალებს რომლითაც ერთმანეთზე მოქმედებენ

სისტემის შემადგენელი სხეულები. ხოლო გარეგანი ძალები ის ძალებია რომლითაც

გარეშე სხეულები მოქმედებს სისტემის შემადგენელ სხეულებზე. პირველ სხეულზე

იმოქმედებს სისტემის ყველა N -1 ნაწილაკი. აღვნიშნოთ 12f -ით ის ალა, რომლითაც

მეორე სხეული მოქმედებს პირველზე. 13f -ით - ძალა, რომლითაც მესამე სხეულუი

მოქმედებს პირველძე და ა.შ., 1nf არის ის ძალა, რომლითაც მე- n სხეული მოქმედებს

პირველზე. 1F -ით აღვნიშნოთ იმ ძალების ტოლქმედი, რომლითაც გარეშე სხეულები

მოქმედებს სისტემის პირველ სხეულზე. მაშინ ნიუტონის მეორე კანონის თანახმად,

პირველი სხეულისთვის

1 112 13 1 1

( ).... n

d m vf f f F

dt (92)

ანალოგიური განტოლებები შეიძლება დავწეროთ დანარჩენი 1n სხეულისათვის:

2 221 23 2 2

1 2 , 1

( )....

.....................................................

( )....

n

n nn n n n n

d m vf f f F

dt

d m vf f f F

dt

(93)

შევკრიბოთ ეს განტოლებები; ამასთან გავითვალისწინოთ, რომ ნიუტონის მესამე

კანონის საფუძველზე სისტემაში მოქმედი შიგა ძალების ჯამი ნულის ტოლია. იმ

შემთხვევაში როცა სისტემაზე მოქმედებს გარე სხეულები, მაშინ მთელ სისტემაზე

მოქმედი ძალების გეომეტრიული ჯამი ტოლი აღმოჩნდება გარე ძალების ჯამის.

სისტემაში მოქმედი ძალების ჯამისთვის გვექნება:

1 1

n ni

i

i i

d pF F

dt

, (94)

59

რადგან, სისტემის მთელი p

იმპულსი სისტემის ნაწილაკების იმპულსების ჯამის

ტოლია 1

n

i

i

p p

, ამიტომ

1

n

i

i

d pF

dt

(95)

მიღებული განტოლება გამოსადეგია ნებისმიერი მექანიკური სისტემისათვის, რადგან

ყოველი მექანიკური სისტემა შეიძლება განვიხილოთ, როგორც ნივთიერ წერტილთა

ერთობლიობა. იგი გვიჩვენებს, რომ სისტემის იმპულსის ცვლილება დროის ერთეულში

უდრის გარეგანი ძალების გეომეტრიულ ჯამს.

თუ გარე ძალები არ გვაქვს

0 d p

p constdt

(96)

ე.ი. იზოლირებული სისტემის ნაწილაკების იმპულსები ისე იცვლება, რომ მათი

გეომეტრიული ჯამი ყოველთვის ერთი და იგივეა. ამ დებულებას უწოდებენ

სისტემის იმპულსის შენახვის და გარდაქმნის კანონს. იგი წარმოადგენს ფიზიკის

ერთ-ერთ ძირითად კანონს. იმპულსის მუდმივობის კანონიდან გამომდინარეობს, რომ

შინაგანი ძალების გავლენით სისტემის სრული იმპულსი ვერ შეიცვლება, შეიძლება

მოხდეს მხოლოდ იმპულსის გაცვლა სისტემის სხეულებს შორის.

მექანიკური ენერგიის მუდმივობის კანონი

განვიხილოთ n სხეულისგან შემდგარი სისტემა, რომლის სხეულებს შორის

მოქმედებს მხოლოდ კონსერვატიული ძალები ( ikf

) გარდა ამისა, სისტემის

შემადგენელ სხეულებზე მოქმედებს გარეშე ძალები 1 2, , .nF F F

დავწეროთ

ნიუტონის მეორე კანონის გამომსახველი განტოლება თითოეული სხეულისთვის

60

11 12 13 1 1

22 21 23 2 2

1 2 , 1

. . . . . . . . . . . .

n

n

nn n n n n n

d vm f f f F

dt

d vm f f f F

dt

d vm f f f F

dt

(97)

ვთქვათ, მოქმედი ძალების გავლენით სისტემის სხეულები dt დროში გადაადგილდნენ

შესაბამისად 1 2, , :ndr dr dr

11 11 1 12 13 1 1( ) ( ....... )n

d vm d r f f f dr F d r

dt

22 22 2 21 23 2 2( ) ( ....... )n

d vm d r f f f dr F d r

dt

(98)

. ....................................................................................

11 2 1( ) ( ....... )nn nn n n n n n n

d vm d r f f f dr F d r

dt

2

111 2 11 1

1( )

2

d v d rd r dv d v v d v

dt dt

, მაშინ

22

11 111 1 1

1( ) ( ) ( )

2 2

d v m vm d r m d v d

dt

შევკრიბოთ სისტემის განტოლებები

2

1 2

1 1 1

( ) ( ....... )2

n n nii

i i in i i i

i i i

m vd f f f dr F dr

(99)

მარცხენა მხარე წარმოადგენს მთელი სისტემის კინეტიკური ენერგიის

უსასრულოდ მცირე ნაზრდს:

2 2

1

1 1

( )2 2

n nii i

K

i i

m v m vd d dE

მარჯვნივ, პირველი შესაკრები შინაგანი ძალების

მიერ შესრულებული ელემენტალური მუშაობაა და უდრის პოტენციური ენერგიის

შემცირებას.

61

1 2

1

( ....... )n

i i in i P

i

f f f dr dE

, ხოლო მეორე შესაკრები წარმოადგენს გარეშე

ძალების მიერ შესრულებულ მუშაობას. 1

n

i i

i

F dr dA

, ამიტომ

K kdE dE dA ან ( )k pd E E dA (100)

სადაც ( )k pE E სისტემის მექანიკური ენერგიაა.

მაშასადამე, სისტემის მექანიკური ენერგიის ნაზრდი უდრის გარეშე ძალების მიერ

შესრულებულ მუშაობას dE dA , სადაც k pE E E . თუ სისტემაზე გარეშე

ძალები არ მოქმედებენ მაშინ ( )k pd E E dA - დან

k pE E const (101)

ეს განტოლება გამისახავს მექანიკური ენერგიის მუდმივობის კანონს.

იზოლირებული სისტემის სრული მექაქნიკური ენერგია მუდმივი სიდიდეა.

ამ კანონის გამოყვანის დროს ჩვენ ვთვლიდით, რომ სისტემაში მოქნედებს ნხოლოდ

კონსერვატიული ძალები. იმ შემთხვევაში თუ სისტემის სხეულებს შორის მოქმედებს

არაკონსერვატიული ძალები, მაგ. ხახუნის ძალა, სისტემის მექანიკური ენერგია აღარ

იქნება მუდმივი, რადგან ხახუნის ძალების მიერ შესრულებული მუშაობა გადადის

სითბოდ. მაგრამ თუ მექანიკურ ენერგიას მივუმატებთ სითბურ ენერგიას, სრული

ენერგია ისევ მუდმივი იქნება.

ზოგადი სახით ენერგიის მუდმივობის კანონი შეიძლება ჩამოვაყალიბოთ:

იზოლირებული სისტემის სრული ენერგია მუდმივი სიდიდეა. ამ კანონის კერძო

შემთხვევაა მექანიკური ენერგიის მუდმივობის კანონი, რომელიც გამოვიყვანეთ

მექანიკის ძირითადი კანონებიდან.

მასათა ცენტრი. მასათა ცენტრის მოძრაობა.

იმპულსის მუდმივობის კანონი საშუალებას გვაძლევს შემოვიღოთ სისტემის

მასათა ცენტრის ან ინერციის ცენტრის ცნება. ნაწილაკთა დიდი რიცხვისაგან

შემდგარი სისტემისათვის უფრო საინტერესოა დავადგინოთ არა ცალკეული

ნაწილაკის, არამედ სისტემის მოძრაობის კანონი.

62

1 1

n n

i i i c

i i

p p m v M v

, (102)

სადაც, M მთელი სისტემის მასაა, რომელსაც წარმოვიდგენთ როგორც

კონცენტრირებულს, რომელიმე ერთ წერტილში. cv არის ამ წერტილის სიჩქარე,

რომელიც მუდმივი სიდიდეა, რადგან M მუდმივია და მას (წერტილს) მასების ან

ინერციის ცენტრს უწოდებენ.

i i i ic

i

m v m vv

m M

, (103)

თუ ამ წერტილის რადიუს - ვექტორს აღვნიშნავთ cR

, მაშინ

c R

i

ii ic

d rm m rd R dt

dt M M

(104)

კოორდინატებისთვის

i i

c

m xX

M

i i

c

mYY

M

i i

c

m ZZ

M

(105)

სადაც , ,c c cX Y Z არის ინერციის ცენტრის კოორდინატები.

თუ სისტემაზე მოქმედებს გარე ძალები cdvdpM F

dt dt

, სადაც F

არის გარე

ძალების გეომეტრიული ჯამი, სისტემის ინერციის ცენტრი ისე მოძრაობს,

როგორც ნაწილაკი, რომლის მასა სისტემის მთელი მასის ტოლია და რომელზედაც

მოდებულია სისტემაზე მოქმედი ყველა ძალა. შიგა ძალები არავითარ მოქმედებას

არ ახდენენ ინერციის ცენტრის მოძრაობაზე და როცა გარე ძალების ჯამი უდრის

ნულს, მაშინ ინერციის ცენტრი იმოძრავებს მუდმივი სიჩქარით.

იმპულსის მომენტი

განვიხილოთ ნივთიერი წერტილი, რომლის მასა არის m სიჩქარე v

. მისი

მდებარეობა განისაზღვრება r

რადიუს-ვექტორით. ამ წერტილის იმპულსის

მომენტი O სათავის მიმართ განისაზღვრება როგორც რადიუს-ვექტორის

ვექტორული ნამრავლი იმპულსზე.

63

ნახ.34. წერტილის იმპულსის მომენტის განსაზღვრა

L r m v m r v

, (106)

, r m v

და L

ვექტორები შეადგენენ მარჯვენა სისტემას.

sinL mrv mv , (107)

არის კუთხე r

და v

ვექტორებს შორის.

იმპულსის მომენტიდან ჩანს, რომ იგი დამოკიდებულია არა მარტო ნაწილაკის

იმპულსზე, არამედ იმ წერტილის (სათავის) არჩევაზე, რომელის მიმართაც იგი

განისაზღვრება.

იმპულსის მომენტის გეგმილებია

( )

( )

( )

x z y

y x z

z y x

L m yv zv

L m zv xv

L m xv yv

(108)

რამდენიმე ნაწილაკისაგან შემდგარი სისტემის იმპულსის მომენტი განისაზღვრება,

როგორც ჯამი ცალკეული ნაწილაკების იმპულსების მომენტებისა

1 1

n n

i i i i

i i

L L m r v

, (109)

64

ძალის მომენტი.

იმპულსის მომენტის ანალოგიურად განისაზღვრება ძალის მომენტი.

ნახ.35. ძალის მომენტის განსაზღვრა

ძალის მომენტი O სათავის მიმართ განისაზღვრება, როგორც r

რადიუს-

ვექტორის ვექტორული ნამრავლი F ძალაზე. ძალის მომენტი M

-ით ავღნიშნოთ:

M r F

(110)

ან სკალარულად

sinM r F ე.ი. M F (111)

არის ძალის მხარი, რომელიც წარმოადგენს O -დან ძალის მოქმედების

წრფემდე დაშვებულ მართობს.

ძალის მომენტი მართობია ძალასა და რადიუს-ვექტორზე გამავალი სიბრტყისა

და მიმართულია მარჯვენა ბურღის წესის მიხედვით.

მრავალი ნაწილაკისაგან შემდგარი სისტემის შემთხვევაში მოქმედი ძალების საერთო

მომენტი მიიღება ცალკეულ ნაწილაკებზე მოქმედი ძალების მომენტების შეკრებით

1 1

[ ]n n

i i i

i i

M M r F

(112)

სადაც ir

და iF

არის i -ური ნაწილაკის რადიუს- ვექტორი და მასზე მოქმედი ძალა.

65

იმპულსის მომენტსა და ძალის მომენტს შორის ისეთივე კავშირია, როგორც

თვით იმპულსსა და ძალას შორის.

d L

Mdt

(113)

მიღებულ განტოლებას ეწოდება მომენტების განტოლება; ნაწილაკის იმპულსის

მომენტის წარმოებული დროით ძალის მომენტის ტოლია. თუ ნაწილაკზე

მოქმედი ძალის მომენტი ნულის ტოლია იმპულსის მომენტი რჩება მუდმივი

L const

(114)

ე.ი. მივიღეთ იმპულსის მომენტის შენახვის კანონი. ძალის მომენტი ნულია, როცა

0F

ან როცა F

ძალას ყოველთვის აქვს r

რადიუს-ვექტორის მიმართულება.

ლექცია IХ

მყარი სხეულის იმპულსი, ენერგია და იმპულსის მომენტი. ინერციის მომენტი

გამოვთვალოთ მბრუნავი მყარი სხეულის იმპულსი. თუ i -ური ნაწილაკის სიჩქარე

არის iv

, მისი იმპულსი იქნება iim v

, ხოლო მთელი სხეულის იმპულსისათვის

1

n

ii

i

P m v

(115)

იმ შემთხვევაში, როდესაც მყარი სხეული განიხილება როგორც უწყვეტი, იმპულსის

ფორმულა შემდეგ სახეს მიიღებს:

P v dm

(116)

ამ ფორმულებს შეიძლება მივცეთ სხვა სახე, თუ შემოვიტანთ ინერციის ცენტრს და მის

სიჩქარეს. განსაზღვრის თანახმად

66

iic

m vv

m

ან

c

v dmv

m

, (117)

ამიტომ მყარი სხეულის იმპულსისთვის მივიღებთ:

cP m v

(118)

კინეტიკური და პოტენციური ენერგიები, როგორც ვიცით წერტილთა სისტემისთვის 2

1 2

ni i

k

i

m vE

, ხოლო უწყვეტი სხეულისთვის:

2 21 1

2 2kE v dm v dv (119)

ღერძის ირგვლივ მბრუნავი მყარი სხეულისთვის ამ ფორმულებს სხვა სახე

შეიძლება მივცეთ: v R (კუთხური სიჩქარე), სადაც R არის აღებული

წერტილიდან ღერძზე დაშვებული მართობის სიგრძე 2 21

2kE R dm . მყარი

სხეულის ყველა წერტილისთვის ერთი და იგივეა (უწყვეტი სხეულისთის):

2

2

2kE R dm

(120)

თუ სხეული ნივთიერი წერტილების ერთობლიობაა :

22

12

n

k i i

i

E R m

. (121)

ამ ფორმულებში შემავალ სიდიდეს 2R dm ან 2

1

n

i i

i

R m

ეწოდება მყარი სხეულის

ინერციის მომენტი ღერძის მიმართ და აღინიშნება I ასოთი :

2I R dm ან 2

1

n

i i

i

I R m

(122)

ინერციის მომენტის საშუალებით კინეტიკური ენერგია შემდეგი სახით დაიწერება:

2

2k

IE

(123)

67

- ღერძის ირგვლივ მბრუნავი მყარი სხეულის კინეტიკური ენერგია არის ინერციის

მომენტისა და კუთხური სიჩქარის კვადრატის ნამრავლის ნახევარი. ინერციის

მომენტი მყარი სხეულებისათვის ისეთივე მახასიათებელია, როგორც

ნაწილაკებისათვის მასები.

განვიხილოთ ახლა მბრუნავი მყარი სხეულის პოტენციური ენერგია.

პოტენციური ენერგია დაკავშირებულია მყარი სხეულის გარეშე სხეულების

ურთიერთქმედებასთან და დამოკიდებულია მყარი სხეულის ორიენტაციაზე

ბრუნვის დროს( ). სრული ენერგია:

2

( )2

k

IE U

(124)

დინამიკის მეორე კანონი უძრავი ღერძის გარშემო მბრუნავი მყარი სხეულისათვის

უძრავი ღერძის გარშემო მბრუნავი სხეულისთვის ძალის მომენტი M r F

ნახ.36. ნივთიერი წერტილის მოძრაობა წრეწირზე

A წერტილზე მოქმედებს F ძალა. nF ბრუნვის ღერძზე გადის და მისი მომენტი

0-ია.

2 t tF ma m r M mr I (125)

( კუთხური აჩქარებაა) . მყარი სხეულის შემთხვევაში I არის მთელი სხეულის

ინერციის მომენტი ბრუნვის ღერძის მიმართ, M სხეულზე მოქმედი ძალების

მომენტის ჯამი.

68

განტოლება გამოსახავს დინამიკის მეორე კანონს უძრავი ღერძის გარშემო მბრუნავი

მყარი სხეულისათვის (შევადაროთ დამოუკიდებლად: F ma )

მყარი სხეულის იმპულსის მომენტი.

ფორმულებიდან (108) და (122) ვღებულობთ:

2L r m v r m r m r I

(126)

ვიცით, რომ იზოლირებული სისტემისათვის 0 dL

L constdt

მაშასადამე

I const (127)

მივიღეთ იმპულსის მომენტის მუდმივობის კანონი მბრუნავი სხეულისათვის.

თუ I არ იცვლება -ც არ იცვლება. თუ I იზრდება, კუთხური

სიჩქარე მცირდება და პირიქით.

ზოგიერთი სხეულის ინერციის მომენტის გამოთვლა: ერთგვაროვანი ღერო, წრიული

რგოლი, დისკო, სფერო. (დამოუკიდებლად)

შტეინერის თეორემა

მბრუნავი მყარი სხეულის ენერგიის გამოსათვლელად საჭიროა ვიცოდეთ მყარი

სხეულის ინერციის მომენტი ამ ღერძის მიმართ. ავიღოთ კოორდინატთა სათავედ

მყარი სხეულის რომელიმე O წერტილი და გავატაროთ ამ სხეულთან

დამაგრებული , ox oy და oz ღერძები, მაშინ ინერციის მომენტისათვის მივიღებთ.

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

x

y

x

I z y dm z y dv

I x z dm x z dv

I y x dm y x dv

(128)

69

ხშირად საჭიროა სხეულის ინერციის მომენტის გამოთვლა ისეთი ღერძის მიმართ,

რომელიც არ გადის ბრუნვის ღერძზე. ამ შემთხვევაში საკმარისია ვიცოდეთ ინერციის

მომენტი ინერციის ცენტრზე გამავალ და განსახილველი ღერძის პარალელური ღერძის

მიმართ და მანძილი ამ ღერძებს შორის.

ნახ.37. შტეინერის თეორემის მიღება

2

0I I md (129)

ინერციის მომენტი რაიმე ღერძის მიმართ არის ჯამი ინერციის ცენტრზე გამავალი

და ღერძის პარალელური ღერძის მიმართ ინერციის მომენტისა და სხეულის მასის

ნამრავლსა ღერძებს შორის მანძილის კვადრატზე. ამ თეორემას ეწოდება შტეინერის

თეორემა.

უძრავი წერტილის ირგვლივ ბრუნვის დინამიკა. ეილერის განტოლებები.

70

მყარი სხეულისთვის გვაქვს d L

Mdt

ეს განტოლება დაწერილია ინერციული

სისტემის მიმართ. დავწეროთ ეს განტოლება თვით მყარ სხეულთან დაკავშირებული

ათვლის სისტემისათვის, რომელიც ბრუნავს ინერციული სისტემის მიმართ

კუთხური სიჩქარით

'

d L d L

L Mdt dt

(130)

აქ 'd L

dt

არის იმპულსის მომენტის წარმოებული არაინერციული სისტემის მიმართ.

L I

ინერციის ღერძების მიმართ: x x xL I , y y yL I , z z zL I .

(130) -თვის

'

'

'

xx y z y z x

y

y z x z x y

zz x y x y z

dI I I M

dt

dI I I M

dt

dI I I M

dt

(131)

ამ განტოლებებს ეწოდება ეილერის განტოლებები. ისინი გვიჩვენებენ, თუ როგორ

იცვლება ბრუნვის კუთხური სიჩქარე სხეულის მიმართ.

ლექცია Х

ნივთიერი წერტილისა და მყარი სხეულის წონასწორობა.

ნივთიერი წერტილი იმყოფება წონასწორობის მდგომარეობაში, თუ მასზე მოქმედი

ძალების ჯამი არის ნულის ტოლი. წონასწორობის მდგომარეობაში სხეულის

(წერტილის) აჩქარება 0a . არჩევენ სამი სახის წონასწორობას: მდგრადს,

არამდგრადს და განურჩეველს (ნახ.38).

71

ნახ.38. წონასწორობის სახეები

მდგრადი ეწოდება ისეთ წონასწორობის მდგომარეობას, რომლიდან მცირედ

გადახრილი სხეული კვლავ უბრუნდება ამ მდებარეობას. არამდგრადია - რომლიდან

გამოყვანილი სხეული უფრო მეტად შორდება მას. განურჩეველი ისეთ

წონასწორობას, რომლის მახლობელი მდებარეობებიც წონასწორობის მდებარეობებს

წარმოადგენენ.

სანამ წონასწორობის პირობების განსაზღვრაზე გადავიდოდეთ გავიხსენოთ, რომ

სისტემა მუშაობას ასრულებს პოტენციალური ენერგიის ხარჯზე dr გზაზე

შესრულებული მუშაობა პოტენციური ენერგიის შემცირების ტოლია

0p

P

dEFdr dE F

dr (132)

თუ სხეული წონასწორობაშია 0pdE

dr ეს იმას ნიშნავს, რომ წონასწორობის

მდებარეობაში პოტენციური ენერგია ექსტრემალურია (მინიმალური ან მაქსიმალური)

ან წონასწორობის მდგომარეობის მახლობლად პოტენციური ენერგია მუდმივია.

ნახ.39. პოტენციალური მრუდი: პოტენციალური ენერგიის დამოკიდებულება

მანძილზე

თუ A წერტილიდან გადავინაცვლებთ მარჯვნივ, მაშინ პოტენციური ენერგია

გაიზრდება, გაიზრდება r -იც , ამიტომ 0pdE

dr, მაშინ 0F ე.ი. მიმართულია

r -ის საწინააღმდეგოდ და დააბრუნებს სხეულს წონასწორობის მდებარეობაში. იგივე

მოხდება A წერტილის მარცხნივ გადაადგილებისას. ე. ი. A წერტილს

შეესაბამება მდგრადი წონასწორობა. თუ B -დან გადავინაცვლებთ მარჯვნივ, მაშინ

72

პოტენციური ენერგია შემცირდება ( B მაქსიმალურია) 0pdE

dr, ხოლო 0F

სხეულზე იმოქმედებს ძალა, რომელიც უფრო დააშორებს მას წონასწორობის

მდებარეობას ე.ი. B -ს შეესაბამება არამდგრადი წონასწორობა. თუ C -დან

გადავანაცვლებთ მარჯვნივ ან მარცხვნივ პოტენციური ენერგია არ შეიცვლება და

მაშასადამე არ წარმიოშობა ძალა, რომელიც მას დაუბრუნებს წონასწორობის

მდგომარეობას ან დააშორებს მას. ე.ი. C შეესაბამება განურჩეველ წონასწორობას.

განვიხილოთ ახლა მყარი სხეულის შემთხვევა. მყარი სხეულის შემთხვევაში ვიცით,

რომ მასზე მოქმედი ძალები შეოძლება დავიყვანოთ ერთ ძალაზე ან ერთ ძალთა

წყვილზე. cm a F

(მთლიანი F ) და d L

Mdt

(მთლიანი M ) წონასწორობის

მდგომარეობაში 0ca

და 0d L

dt

(იმპულსის მომენტი L

) . ამისთვის საჭიროა

0F

და 0M

. ასეთია წონასწორობის პირობები მყარი სხეულისათვის.

პირველი პირობა 0F

ისეთივეა, როგორიც წონასწორობის პირობა ნივთიერი

წერტილისათვის და ამიტომ მის მიმართ შეიძლება გავიმეოროთ ყველაფერი, რაც

ზემოთ იყო ნათქვამი. უფრო მნიშვნელოვანი და საინტერესოა მეორე პირობა, რომელიც

კრძალავს უძრავი მყარი სხეულის ბრუნვის დაწყებას.

ბერკეტის წონასწორობის პირობის განხილვა (დამოუკიდებლად)

ლექცია ХI

ჰიდროდინამიკა

დენის წირები და მილები. სითხის ჭავლის უწყვეტობის განტოლება

სითხის მოძრაობის შესწავლის გამარტივების მიზნით დავუშვათ, რომ სითხე

უკუმშვადია და მისი ფენების ურთიერთგადანაცვლების დროს ხახუნს არა აქვს

ადგილი. უკუმშვად, უბლანტო სითხეს იდეალური სითხე ეწოდება.

73

ჩვენ განვიხილავთ სითხეების მოძრაობას, მაგრამ მიღებული შედეგები გამოსადეგი

იქნება აირებისათვისაც, თუ მათი სიჩქარე მცირეა ბგერით სიჩქარესთან შედარებით.

სითხის მოძრაობის დასახასიათებლად უნდა განვსაზღვროთ სითხის თითოეული

ნაწილაკის ტრაექტორია, მისი სიჩქარე და აჩქარება დროის ყოველ მომენტში. მაგრამ ეს

რთულია, ამიტომ შეიძლება გამოვყოთ სითხის ნაკადში გარკვეული წერტილი და

განვიხილოთ რა სიჩქარე და აჩქარება აქვს ყველა ნაწილაკს, რომელიც ამ წერტილზე

გაივლის. სითხის დინების სრული დახასიათებისათვის უნდა ვიცოდეთ სიჩქარეებისა

და აჩქარებების განაწილება ნაკადში და ამ განაწილების დამოკიდებულება დროსგან.

სიჩქარეთა განაწილება შეიძლება დავახასიათოთ ე.წ. დენის წირების საშუალებით.

დენის წირი (ნახ. 40) ეწოდება ისეთ წირს, რომლის ყოველ წერტილში გავლებულ მხებს

აქვს სიჩქარის მიმართულება. ისეთ დინებას, რომლის დროსაც სითხის ყოველ

წერტილში v არ არის დამოკიდებული დროზე, სტაციონალური ანუ დამყარებული

დინება ეწოდება. ამ დროს დენის წირების ფორმა არ იცვლება დროში.

ნახ. 40. დენის წირი

გამოვყოთ სითხის შიგნით შეკრული კონტური და მისი თითოეული წერტილიდან

გავავლოთ დენის წირები. ამ წირების ერთობლიობა შემოსაზღვრავს სითხის ნაწილს,

ნახ.41. დენის მილაკი

74

რომელსაც დენის მილაკი (ნახ.41) ეწოდება. სტაციონალური დინებისას სითხის ვერც

ერთი ნაწილაკი ვერ გამოვა დენის მილიდან და ვერც შევა მასში, რადგან სიჩქარის

განაწილება არ იცვლება დროში.

ნახ.42.უწყვეტობის განტოლების მიღება

გამოვყოთ სითის შიგნით დენის მილის ნაწილი 1s და 2s კვეთებს შორის (ნახ.42).

სითხის სიჩქარეები კვეთებში შესაბამისად აღვნიშნოთ 1v და 2v . პირველ

განივკვეთში დროის ერთეულში შესული სითხის მოცულობა იქნება 1 1s v , ხოლო

მეორე განივკვეთში 2 2s v რადგან სითხე უკუმშვადია, ამიტომ

1 1 2 2s v s v ან s v const (133)

ამ განტოლებას ჭავლის უწყვეტობის განტოლება ეწოდება, რომელიც გვიჩვენებს,

რომ დენის მილის განივკვეთის ნამრავლი სითხის სიჩქარეზე მუდმივი სიდიდეა.

ბერნულის განტოლება

განვიხილოთ იდეალური სითხის სტაციონარული დინება. გამოვყოთ სითხეში

დენის მილის AB ნაწილი( ნახ.43). A და B კვეთებს შორის მოთავსებული სითხე არ

არის იზოლირებული. A კვეთზე წნევას აწარმოებს მის მარცხნივ მყოფი სითხე. ეს წნევა

აღვნიშნოთ 1p -ით. მაშინ კვეთზე მოქმედი სრული წნევის ძალა იქნება 1 1 1f p S . ასევე

75

ნახ.43. ბერნულის განტოლების მიღება

B კვეთზე მის წინ მყოფი სითხე აწარმოებს 2p წნევას და 2 2 2f p S . t დროის შემდეგ

ჩვენს მიერ შემოსაზღვრული სითხის ნაწილი მოთავსებული იქნება 1 1A B კვეთში. ამ

გადაადგილების დროს ენერგია შეიცვლება და ენერგიის მუდმივობის კანონის

თანახმად E A . ენერგიის ცვლილების გასაგებად B კვეთიდან t დროში გამოსული

სითხის ენერგიას უნდა გამოვაკლოთ A კვეთში ამავე დროში შესული სითხის ენერგია.

A და B კვეთებისათვის უწყვეტობის განტოლების თანახმად:

1 1 2 2s v t s v t ან 1 1 2 2V s v t s v t , (134)

სადაც V არის კვეთებში შესული და გამოსული სითხის მოცულობა; სიმკვრივეზე

( ) გამრავლებით ვღებულობთ: 1 2m m m . კვეთებში სრული ენერგია

2

11 1

2

mvE mgh

;

2

22 2

2

mvE mgh

, ხოლო ენერგიის ცვლილება

2 2

2 12 1 2 1

2 2

mv mvE E E mgh mgh

(135)

A კვეთაზე მოქმედებს წნევა 1 1 1f p s ამიტომ 1 1 1 1 1A p s v t p v

B კვეთზე - 2 2 2 2 2A p s v t p v ; სულ მუშაობა 1 2A p v p v მაშინ

2 2

2 12 1

2 2

mv mvmgh mgh

1 2p v p v ანუ

2 2

2 12 2 1 1

2 2

mv mvmgh p v mgh p v

გავყოთ v -ზე

m

v

2 2

2 12 2 1 1

2 2

v vgh p gh p

(136)

ამ განტოლებას ბერნულის განტოლება ეწოდება. იგი გამოსახავს ენერგიის

მუდმივობის კანონს სითხისათვის.

ზოგადად:

2

2

vgh p const

(137)

ბერნულის განტოლება საშუალებას გვაძლევს განვსაზღროთ ჭურჭლის

ხვრელიდან სითხის გამოდინების სიჩქარე. განვიხილოთ ორი კვეთი AB და dc

O O საფარდი სიბრტყის მიმართ (ნახ.44).

76

ნახ. 44. ტორიჩელის ფორმულის მიღება

დავწეროთ ბერნულის განტოლება ამ კვეთებისათვის

2 2

1 21 1 2 2

2 2

v vgh p gh p

1 2p p p ატმ . AB კვეთი გაცილებით მეტია dc , ამიტომ 1 2v v ანუ

ჭურჭელში სითხის დაწევის 1v სიჩქარე მცირე იქნება ნახვრეტიდან სითხის

გამოდინების სიჩქარესთან შედარებით. ყოველივეს გათვალისწინებით მივიღებთ: 2

21 2

2

vgh gh

ან 2

2 1 22 ( ) 2v g h h gh და

2v gh (138)

ამ ფორმულას ტორიჩელის ფორმულა ეწოდება. მაშასადამე ნახვრეტიდან

გამოდენილ სითხეს ისეთი სიჩქარე აქვს, როგორიც ექნებოდა სითხის ზედაპირიდან

ხვრელამდე თავისუფლად ვარდნილ სხეულს.

ლამინარული და ტურბულენტური დინება.

რეინოლდსმა შეისწავლა სითხის დინების ხასიათი სხვადასხვა სიჩქარის დროს.

მცირე სიჩქარეების დროს სითხის ფენები მისრიალებენ ერთმანეთზე, ისე რომ მათი

შერევა არ ხდება. ასეთ დინებას ლამინარული დინება ეწოდება. როდესაც სიჩქარე

გადააჭარბებს გარკვეულ ზღვრულ მნიშვნელობას, დინების ხასიათი მკვეთრად

იცვლება. ფენები აირევა ერთმანეთში, დინება მოუწესრიგებელი ხდება. ასეთ დინებას

ტურბულენტური დინება ეწოდება. რეინოლდსმა ცდებით დაადგინა, რომ სითხის

დინების დასახასიათებლად მარტო სიჩქარის ცოდნა არ არის საკმარისი. ერთი და

იგივე სიჩქარის დროს ვიწრო მილში დინება შეიძლება ტურბულენტური იყოს

განიერში კი ლამინარული. ე.ი. დინების ხასიათი განისაზღვრება როგორც დინების

77

სიჩქარით v , ასევე რადიუსით. აგრეთვე დამოკიდებულია სითხის სიბლანტეზე

( ) და სიმკვრივეზე ( )

Revr

(139)

ამ რიცხვს რეინოლდსის რიცხვი ეწოდება. რეინოლდსის რიცხვის გაზრდით

ლამინარული დინება გადადის ტურბულენტურში. წრიული კვეთის მილში დინების

შემთხვევაში Reკრ 1000 2000 ე.ი თუ Re 1000 დინება ლამინარულია Re 2000

დინება ტურბულენტურია

ლექცია ХII

რხევითი მოძრაობა

ჰარმონიული რხევის განტოლება

რხევითი მოძრაობის უმარტივესი სახეა ჰარმონიული რხევა, რომლის დროსაც

მერხევი სიდიდე დროის სინუსოიდურ ან კოსინუსოიდურ ფუნქციას წარმოადგენს.

რხევითი მოძრაობის რამდენიმე მაგალითი. ნახ.44-ზე ნაჩვენებია სფეროს რხევა.

ნახ.44. ორ ზამბარას შორის დამაგრებული ლითონის სფეროს რხევა

78

სფეროს რხევა გამოწვეულია დრეკადი ძალით, რომელიც გადახრის პროპორციულია და

მის საწინააღმდეგოდ არის მიმართული; რხევითი მოძრაობა შეიძლება არადრეკადი

ძალითაც იყოს გამოწვეული (ნახ.45).

ნახ.45 ძაფზე ჩამოკიდებული სფეროს რხევა

ნახაზიდან ვხედავთ, რომ 1F ბათილდება ძალის დაჭიმულობით, ხოლო F იწვევს

საგანის რხევას. მცირე გადახრების დროს F პროპორციულია x (სფეროს გადახრა)

ანალოგიურად ჰუკის კანონისა. ასეთ ძალას კვაზიდრეკად ძალას უწოდებენ.

გამოვიყვანოთ დრეკადი (კვაზიდრეკადი) ძალით გამოწვეული რხევის განტოლება.

, F ma a არის მერხევი სხეულის აჩქარება.

2 2

2 2

d x d xa F m

dt dt ან

2

2

d xm kx

dt ორივე მხარე გავყოთ m -ზე და

შემოვიღოთ აღნიშვნა 2k

m

2

2

2

d xx

dt (140)

ეს არის ჰარმონიული რხევის დიფერენციალური განტოლება. ამ განტოლების

ამონახსნს აქვს სახე:

sin( )x A t (141)

ეს არის ჰამონიული რხევის განტოლება. ის გვიჩვენებს, რომ სხეულის გადახრა x

დროის სინუსოიდური ფუნქციაა. A არის უდიდესი გადახრაა წონასწორობის

79

მდგომარეობიდან - რხევის ამპლიტუდა. ( )t რხევის ფაზა, 0t , ფაზა=

საწყისი ფაზა ეწოდება.

იმ დროს , რომლის განმავლობაშიც სხეული ასრულებს ერთ სრულ რხევას,რხევის

პერიოდი ეწოდება. ერთი რხევა სრულდება ,როცა 2

2 t T

(პერიოდი)

რხევის სიხშირე ანუ რხევათა რიცხვი ერთ წამში 1

T

22

T

(142)

ე.ი. არის რიცხვი 2 წამში. მას წრიულ სიხშირეს უწოდებენ.

ნახ.46.ჰარმონიული რხევა, როცა საწყისი ფაზა ნულია

sin( )x A t ჰარმონიული რხევის გრაფიკი, როცა =0, იგი სინუსოიდას

წარმოადგენს. თუ არ უდრის ნულს, მაშინ მრუდი გადაწეული იქნება აბსცისთა

ღერძის გასწვრივ მარცხნივ (თუ დადებითია) ან მარჯვნივ ( თუ უარყოფითია).

სიჩქარე და აჩქარება ჰარმონიული რხევის დროს.

სიჩქარის საპოვნელად გავაწარმოოთ cos( )dx

v A tdt

, როცა ( ) 0t

cos( ) 1t

vმაქს=Aω (143)

აჩქარების საპოვნელად

2 2= sin( )dv

a a t xdt

(144)

80

ე.ი. აჩქარება პროპორციულია გადაადგილებისა და მიმართულია მის

საწინააღმდეგოდ, ე.ი. წონასწორობის მდებარეობისაკენ.

ენერგია ჰარმონიული რხევის დროს

იმისათვის რომ სხეულმა რხევა დაიწყოს, მას უნდა მივანიჭოთ პოტენციური

ენერგია წონასწორობის მდებარეობიდან გადახრით ან კინეტიკური ენერგია ბიძგის

მიცემით. თუ რხევა წარმოებს დანაკარგების გარეშე , მაშინ კინეტიკური ენერგია

გადადის პოტენციურში და პირიქით. ვიცით, რომ მაქსიმალური გადახრის

წერტილში სხეულის 0v , ამიტომ ამ მდებარეობაში კინეტიკური ენერგია=0.

სხეულს აქვს მხოლოდ პოტენციური ენერგია. წონასწორობის მდებარეობაზე

გავლის დროს პირიქით კინეტიკური ენერგია უდიდესია, პოტენციური კი 0-ის

ტოლი.

2 2 2

maxmax

2 2

mv mAE E

(145)

ე.ი. ენერგია ამპლიტუდის კვადრატის პროპორციულია.

მათემატიკური საქანი

მათემატიკური საქანი ეწოდება ნივთიერ წერტილს, რომელიც ჩამოკიდებულია

უწონად და უჭიმარ ძაფზე. განვიხილოთ ნახაზი 47:

81

ნახ.47. მათემატიკური საქანი

sin sin ,F p mg თუ მცირე AB რკალი შევცვალოთ CB -თი.

CB = x OBC -დან sin x mgx

Fl l

რადგან ძალა ყოველთვის

მიმართულია გადაადგილების საწინააღმდეგოდ mgx

Fl

მეორეს მხრივ

2

2

d x mgm x

dt l ანუ

2

2

d x gx

dt l (146)

მივიღეთ ჰარმონიული რხევის დიფ. განტოლება, რომელშიც 2 -ის მაგივრობას

ასრულებს g

l სიდიდე; მაშასადამე

g

l , ხოლო საქანის რხევის პერიოდი

2

2 l

Tg

(147)

მათემატიკური საქანის რხევის პერიოდი დამოკიდებულია მხოლოდ საქანის

სიგრძესა და სიმძიმის ძალის აჩქარებაზე, იგი არ არის დამოკიდებული საქანის

მასასა და მის რხევის ამპლიტუდაზე. შედეგი სამართლიანია მცირე გადახრების

დროს.

მილევადი რხევები

ისეთ რხევას, რომლის ამპლიტუდა მცირდება, მილევადი რხევა ეწოდება.

გამოვიყვანოთ მილევადი რხევის განტოლება. დავუშვათ, სხეულის რხევა წარმოებს

რაიმე გარემოში: სითხეში ან აირში, მაშინ კვაზიდრეკადი ძალის გარდა

იმოქმედებს გარემოს წინააღმდეგობის ძალა, რომელიც მიმართულია სიჩქარის

საწინააღმდეგოდ. ამგვარად მერხევ სხეულზე ორი ძალა მოქმედებს 1f kx და

2

dxf r

dt , სადაც r არის წინააღმდეგობის კოეფიციენტი, ხოლო

dx

dt - მერხევი

სხეულის სიჩქარე. ნიუტონის ІІ კანონის თანახმად.

2

2

d x dxm kx r

dt dt ორივე მხარე გავყოთ m -ზე და შემოვიღოთ აღვნიშვნა

82

2

o

k

m 2

r

m

22

022

d x dxx

dt dt

ეს განტოლება წამოადგენს მილევადი რხევის დიფ. განტოლებას. ამ

განტოლების ამოხსნისათვის შემოვიღოთ ახალი ცვლადი z , რომელიც

შემდეგნაირადაა დაკავშირებული x -თან: atx ze . გავაწარმოოთ:

t tdx dze ze

dt dt

,

2 2 22 2

2 2 22t t t t t t td x d z dz dz d z dz

e e e ze e e zedt dt dt dt dt dt

22 2 2

022

d zz z z

dt

22 2

02( )

d zz

dt

ვთქვათ, გარემოს წინაღმდეგობის ძალა მცირეა 2 2

0 a , მაშინ 2 2

0 a დადებითი

სიდიდეა. ავღნიშნოთ 2 -ით , მაშინ 2

2

2

d zz

dt

მივიღეთ ჰარმონიული რხევის დიფ. განტოლება, მისი ამოხსნით

0 sin( )z a t

ჩავსვათ tz x ze ში 0 sintx a e t , სადაც 2 2

0 a არის

მილევადი რხევის სიხშირე. 0 ta e -ს ნილევადი რხევის ამოლიტუდა ეწოდება,

-ს მილევის კოეფიციენტი ეწოდება t და t T მომენტისათვის 1 0 = ta a e

ერთი პერიოდის შემდეგ ( )

2 0 = t Ta a e

1

2

1 T

T

ae

a e

გალოგარითმებით: 1

2

lna

Ta

აღვნიშნოთ

1

2

lna

Ta

(148)

- ლოგარითმული დეკრემენტი ეწოდება.

83

ნახ. 48.ამპლიტუდის ცვლილება დროის მიხედვით.

იძულებითი რხევები. რეზონანსი.

თუ სხეულს გამოვიყვანთ წონასწორობის მდებარეობიდან და შემდეგ

მივანებებთ თავს, სხეული დაიწყებს რხევას, რომელსაც თავისუფალი ან საკუთარი

რხევა ეწოდება.

თუ სხეულების რხევა გამოწვეულია გარე პერიოდული ძალის მოქმედებით -

იძულებითი ეწოდება.

იძულებითი რხევის ამპლიტუდა

2 2

0

bA

, (149)

სადაც B

bm

B - გარეშე ძალის ამპლიტუდაა ; 0 - სხეულის საკუთარი

რხევის სიხშირე, გარეშე ძალის წრიული სიხშირე.

იძულებითი რხევის ამპლიტუდის მკვეთრ გაზრდას, როდესაც გარეშე ძალის

სიხშირე უახლოვდება საკუთარ სიხშირეს რეზონანსის მოვლენა ეწოდემა.

84

ნახ.49. რეზონანსის მოვლენა

იძულებითი რხევის ამპლიდუდა დამოკიდებულია გარეშე ძალის სიხშირეზე. როცა

0 მაშინ 2

0

bA

, როცა 0 მაშინ იძულებითი რხევის ამპლიტუდა

იზრდება და როცა გაუტოლდება 0 ამპლიტუდა უსასრულოდ დიდი ხდება.

(რეზონანსის მოვლენის გამოყენება - დამოუკიდებლად)

ლექცია ХIII

ტალღები

თუ რხევა წარმოებს რაღაც გარემოში, მაშინ გარემოში გავრცელდება რხევითი

მოძრაობა. რხევითი მოძრაობის გავრცელებას ტალღა ეწოდება.

ნახ.50. ტალღის სიგრძის განსაზღვრა

იმ მანძილს, რომელზედაც ტალღური მოძრაობა ვრცელდება ერთ პერიოდში ტალღის

სიგრძე ეწოდება. ( ) მეორენაირად ტალღის სიგრძე შეიძლება განვსაზღვროთ

როგორც უმოკლესი მანძილი ისეთ ორ წერტილს შორის, რომლებიც ერთნაირ ფაზაში

ირხევიან. ტალღის სიჩქარე:

85

vT

ან v . (150)

ჩვენს მიერ განხილულ ტალღაში რხევა წარმოებს Y ღერძის მიმართულებით,

ხოლო ტალღის გავრცელება X ის მიმართულებით ე.ი. რხევის მიმართულება

გავრცელების მიმართულების პერპენდიკულარულია. ასეთ ტალღას განივი

ეწოდება. სიგრძივი ეწოდება ისეთ ტალღას, რომელშიც ეხევა წარმოებს ტალღის

გავრცელების მიმართულებით. ამ დროს გარემოში წარნოიშვება კუმშვისა და

შეთხელების ადგილები. სიგრძივი ტალღა შეიძლება გავრცელდეს როგორც მყარ

სხეულში, ისე სითხეებში და გაზებშიც. ხოლო განივი ტალღა მხოლოდ მყარ

სხეულებში. (სადაც ძვრის დეფორმაციის დროს წარმოიშვება დრეკადი ძალები,

რომლებიც ეწინააღმდეგებიან ძვრას.)

ტალღის განტოლება

ტალღის განტოლების მისაღებად უნდა ვიპოვოთ y , როგორც x -ის და t -ს

ფუნქცია. დროის ათვლა დავიწყოთ იმ მომენტიდან , როცა O წერტილი იწყებს

რხევას.

ნახ.51. ტალღის გავრცელება აბსცისათა ღერძის მიმართულებით

0 siny a t . ტალღის გავრცელების მიმართულებაზე განვიხილოთ ნებისმიერი A

წერტილში. რომელიც რხევის ცენტრიდან x -ით არის დაშორებული. იგი

გაირხევა იმავე ამპლიტუდით და სიხშირით, რაც O წერტილი, მაგრამ

დაიგვიანებს O -სთან შედარებით იმ დროით, რომელიც საჭიროა რომ რხევითი

მოძრაობა გავრცელდეს O -დან A წერტილამდე. აღვნიშნოთ ეს დრო 1t . A

წერტილისთვის რხევის განტოლებას ექნება სახე : 1sin ( ).y a t t 1t დროში

86

რხევითი მოძრაობა ვრცელდება OA x მანძილზე. მაშინ 1

xt

v v - რხევის

გავრცელების სიჩქარე. მაშინ

sin ( )x

y a tv

(151)

ეს არის ტალღის განტოლება, რომელსაც შეიძლება სხვა სახე მივცეთ:

sin( )x

y a tv

, ამასთან

2

T

და vT

2 2x x x

v vT

.

შემოვიღოთ ტალღური რიცხვი 2

K

, რომელიც გვიჩვენებს რამდენი ტალღის

სიგრძე თავსდება 2 მონაკვეთზე. მაშინ

sin( )y a t kx , (152)

თუ ტალღა OX ღერძის საწინაღმდეგოდ ვრცელდება მაშინ

sin( )y a t kx (153)

ფარდობითობის სპეციალური თეორია. ეინშტეინის პოსტულატები.

როგორც ვიცით კლასიკურ მექანიკაში გალილეის გარდაქმნები სამართლიანია,

როცა დრო ყველა ინერციულ სისტემაში ერთნაირად მიმდინარეობს, აგრეთვე

მონაკვეთის სიგრძე და სხეულის მასა ყველა ინერციულ სისტემაში რჩება

ერთნაირი. ნიუტონის პოსტულატების თანახმად დრო და სივრცე აბსოლუტურია.

მაიკელსონმა და მორლიმ მრავალი ექსპერიმენტის ჩატარებით დაამტკიცეს, რომ

დედამიწის მოძრაობა არ ახდენს გავლენას სინათლის გავრცელების სიჩქარეზე.

სინათლის სიჩქარე ერთნაირია დედამიწის მოძრაობის ნებისმიერი

მიმართულებისადმი. აქედან გამომდინარე სიჩქარეთა შეკრების კანონი, რომელიც

გვაქვს კლასიკურ მექანიკაში არასამართლიანია მოცემულ შემთხვევაში.

საჭირო გახდა ახალი თეორიის შემოღება, რომელიც შექმნა XX საუკუნის

დასაწყისში ეინშტეინმა, ახალი მექანიკის კანონები მცირე სიჩქარეების შემთხვევაში

უნდა გადავიდეს ნიუტონის მექანიკაში. ამ ახალ მექანიკას ეწოდება

87

რელატივისტური მექანიკა. ამრიგად რელატივისტური მექანიკა არ უარყოფს

კლასიკურ მექანიკას, უბრალოდ უწესებს მას გამოყენების საზღვრებს.

ახალ თეორიას საფუძვლად უდევს ეინშტეინის პოსტულატები.

1) სინათლის სიჩქარის მუდმივობის პრინციპი. სინათლის სიჩქარე

ერთნაირია ყველა ინერციულ სისტემაში ყველა მიმართულებით და არ არის

დამოკიდებული სინათლის წყაროსა და დამკვირებლის მოძრაობაზე.

2) ფარდობითობის პრინციპი: ფიზიკური მოვლენები აბსოლიტურად

ერთნაირია ყველა ინერციულ სისტემაში. ეს პოსტულატი აზოგადებს გალილეის

ფარდობითობის პრინციპს, რომელიც მოცემულია მხოლოდ მექანიკური

მოვლენებისადმი. ეინშტეინის ფარდობითობის პრინციპი ამყარებს ყველა

ინერციული სისტემის თანასწორობას და უარყოფს სივრცის აბსოლუტურობის

ნიუტონის იდეას.

ეინშტეინის თეორიას, ინერციულ სისტემებში მოვლენების აღწერისათვის ამ ორ

პოსტულატზე დაყრდნობით უწოდებენ ფარდობითობის სპეციალურ თეორიას.

ფარდობითობის სპეციალურ თეორიაში დროისა და სივრცის აბსოლიტურობა

უარყოფილია, რადგან ისინი ეწინააღმდეგება სინათლის სიჩქარის მუდმივობას,

რომელიც დადგინდა ექსპერიმენტალურად. შემდეგში აღმოჩნდა, რომ არა მარტო

დრო და სივრცე, არამედ სხეულთა ზომებიც ფარდობითია და დაკავშირებულია

ათვლის სისტემასთან.

განვიხილოთ შემდეგი მაგალითი: როცა მოძრავი მატარებელის ბოლო ვაგონი

უსწორდება ტელეგრაფის ბოძს, ამ ვაგონიდან მემანქანეს უგზავნიან სინათლის

სიგნალს 't დროის შემდეგ მემანქანე მას არეგისტრირებს. მაშინ '

'

lc

t

.

'l მატარებლის სიგრძეა. ამ მოვლენას აგრეთვე აკვირდება მეისრე ტელეგრაფის

ბოძთან, მან რომ იპოვოს სინათლის სიჩქარე, გავლილი მანძილი უნდა გაყოს

დროზე. სინათლის გავლილი გზა მეისრისათვის შედგება მატარებლის l

სიგრძისაგან და მანძილისაგან, რომოლსაც ბოლო ვაგონი გაივლის t დროში. t

არის დრო რომელსაც აითვლის მეისრე. თუ მატარებლის სიჩქარეა v მაშინ

გავლილი მანძილი იქნება v t . მასასადამე მეისრისთვის .l v t l

c vt t

ცხადია '

'

l lv

t t

იმ პირობებისთვის, როცა 'l l და 't t

მიღებულიდან 'l l ე.ი. მეისრისთვის გახდა მოკლე ან დრო მოძრავ სისტემაში

88

უფრო ნელა მიდის ვიდრე უძრავში. ჩვენ ვნახეთ რომ ორივე დაშვებას აქვს

ადგილი.

თუ დროის შუალედი ორ მოვლენას შორის უძრავ საათში არის t , მაშინ

მოძრავ საათში ის იქნება უფრო მცირე და ტოლი

' 21 ( )v

t t tc

(154)

სადაც v მოძრავი საათის სიჩქარეა უძრავის მიმართ. ეს ფორმულა გვიჩვენებს,

რომ დროის მიმდინარეობა არ არის აბსოლუტური და დამოკიდებულია

მოძრაობაზე.

განვიხილოთ ასეთი მაგალითი

ნახ.52. დროის შუალედის ფარდობითობა

სინათლე ირეკლება სარკეებს შორის. სარკეებს შორის მანძილი 'c t . K

სისტემაში მყოფი დამკვირებელისათვის:

ნახ.53. დროის შუალედის ფარდობითობის მიღება

' 2 2 2 ' 2( ) ( ) ( ) 1 ( )v

c t v t c t t tc

სხეულთა ზომები მოძრაობის მიმართულებით მცირდება.

89

' 21 ( )v

l l lc

; (155)

l უძრავი სხეულის სიგრძე, v სხეულის მოძრაობის სიჩქარე.

ნახ. 53. სხეულთა ზომების ფარდობითობა

'( )

2

c tl

'

1 1c t l v t '

2 2c t l v t ვიპოვოთ 1t და 2t , მაშინ 1 2t t t

'

1

lt

c v

'

2

lt

c v

' '

2 2 2 2

( ) 2l c v c v clt

c v c v

გავყოთ 2c - ზე

'

2

2

2

1

lt

vc

c

, რადგან ' 2lt

c

2' '

2 2

2

1 1

1

vt t t t

v c

c

უძრავ საათში ათვლილ დროს უწოდებენ საკუთარს. ათვლის სისტემაში უძრავი

სხეულის ზომებსაც უწოდებენ საკუთარს.

დავადგინოთ კოორდინატებისა და დროის გარდაქმნის სახე უძრავი ინერციული

სისტემიდან მოძრავ ინერციულ სისტემაში გადასვლის დროს. მხედველობაში

მივიღოთ ეინშტეინის პოსტულატები.

90

ნახ. 54. კოორდინატებისა და დროის გარდაქმნა უძრავი ინერციული სისტემიდან

მოძრავ ინერციულ სისტემაში გადასვლის დროს

' 'K x K 2

'

21

vx x

c

2'

21

vx x vt

c

დამკვირვებელი 'K სისტემაში 't მომენტში აფიქსირებს მოვლენებს წერტილში

რომლის კოორდინატები ' ' 'x y z . იმავე მოვლენას K სისტემაში მყოფი

დამკვირვებელი ხედავს წერტილში , ,( )x y z t მომენტში. '

2

21

x vtx

v

c

'y და 'z კოორდინატები შეესაბამება მოძრაობის მართობულ მდგომარეობას,

ამიტომ ' ' y y z z

განვსაზღვროთ ახლა დროის მომენტების გარდაქმნის სახე t და 't . ამისთვის

განვიხილოთ პირიქით გადასვლა 'K -ის K . ფორმალურად ეს გამოისახება

, , ,x y z t შეცვლით ' ' ' 'x y z t და vსი v .

' '

2

21

x vtx

v

c

2

'

2

21

vt x

ctv

c

' '

2

21

x vtx

v

c

2 2

' '

2 22

2

1 1

1

v x vt vvt x t x

c cv

c

2 2

2 2 2' '

2 2 2

2 2 2

(1 ) ( 1 1 )

1 1 1

v v vx vt x x vt t x

c c cvt tv v v

c c c

თუ გავაერთიანებთ მიღებულ შედეგებს

'

2

21

x vtx

v

c

' ' y y z z

91

2

'

2

21

vt x

ctv

c

მიღებულ ფორმულებს უწოდებენ ლორენცის გარდაქმნებს.

გამოყენებული ლიტერატურა

1. მ. მირიანაშვილი. ზოგადი ფიზიკის კურსი. ნაწილი . თსუ, 1985

2. გ. ვეფხვაძე. ზოგადი ფიზიკის კურსი. ნაწილი . თსუ, 1995.

3. А. Н. Матвеев. Механика и теория относительности; М, 2003

4. მ. გობეჯიშვილი. ზოგადი დიზიკის კურსი. ნაწილი . განათლება, 1975

5. http://www.sparknotes.com/testprep/books/sat2/physics/

6. http://www.splung.com/

92