アンテナ設計のための FDTD 法

FDTD Technologies for Antenna Design

有馬 卓司

Takuji ARIMA

東京農工大学 工学部 電気電子工学科 概要

電波の応用範囲はますます広がっており，これまで使用されていなかった分野への応用も広がっている．

このような背景より，電波の送信および受信に必要不可欠なアンテナの高性能化が望まれている．高性

能なアンテナを設計するには，カットアンドトライによる開発よりも，電磁界シミュレータを活用した

開発が効率的である．電磁界シミュレーション手法の一つとして FDTD 法があり広く利用されている．この手法は，時間領域のマクスウエルの方程式を直接差分し，電界と磁界について求める手法である．

この手法の一番の利点としてはアルゴリズムがシンプルであり複雑な問題も比較的容易に解析出来る

点にある．FDTD 法のデメリットとしては，計算時間が多く必要であり場合によっては実用的な計算時間で終わらない点であるが，現在 GPU などの高速計算技術が発達してきておりデメリットが解消されつつある．本基礎講座においては，電波の送信および受信を担うアンテナの設計を，FDTD 法を用いて行う手法について講義する．アンテナにおいてその特性を示す代表的な量は，入力インピーダンス，指

向性，放射効率などである．一方，FDTD 法においては上述した通り電界と磁界を求める手法である．よって，FDTD 法により求まった電界・磁界よりアンテナの性能を示す量を求める必要がある．本基礎講座では，この手法について説明する．図 1 に本講座で解説する FDTD 法を用いたアンテナ設計のイメージ示す．

図１ 本基礎講座のイメージ

Abstract The range of application of radio waves is expanding, and the application that has not been used so far is also expanding. From this background, high-performance antennas are desired, because of the antenna act as interface of radio waves. Development using an electromagnetic simulator is more efficient than designing by cutting and trying to design a high-performance antenna. The FDTD method is widely used to analyze antenna problem. In this lecture, the FDTD method for antenna design is introduced.

MWE 2019 FR2B-1

1. はじめに 電波を用いた電子機器が増えている．これら機器

は，人体の近傍など複雑な環境で使用されることが

一般的である．このような複雑な環境で安定して電

波を使用するには，電磁界解析を用いた設計が不可

欠である．電磁界解析手法は，積分方程式に基礎を

置くモーメント法や，マクスウエルの方程式の微分

形を差分法を用いて定式化する FDTD (Finite Difference Time Domain) 法[1][2][3][4][5]などが代表的な手法である．本稿では，FDTD 法を用いてアンテナを設計する際の注意点などを解説する． FDTD法は電界および磁界が基本量となっている．一方，

アンテナの評価には入力インピーダンス，遠方界な

どが必要となる．本稿では FDTD 法を用いてこれらを求める方法を述べる．

2. マクスウエルの方程式とその意味

本節では，FDTD 法で定式化に用いるマクスウエルの方程式[1]について述べる．次式に時刻を t，位置ベクトルを r とした際の微分形のマクスウエルの方程式を示す．

ここで，Eおよび Hはそれぞれ電界ベクトル，磁界ベクトルであり，Dおよび Bはそれぞれ電束密度，磁束密度である．電界・磁界と電束密度・磁束密度

の間には，D= Eおよび B=Hの関係がある．ここで，，はそれぞれ誘電率，透磁率と呼ばれる．また，Jは導電電流ベクトルでありは電荷密度である．マクスウエルの方程式を理解することで，電界およ

び磁界が空間にどのように存在するかが理解でき，

さらには電波の振る舞いも理解できるようになると

考えるので簡単に説明する．式はファラデーの法則と呼ばれ，磁束密度が時間で変化するとその空間

には回転する電界が発生することを表している．こ

れは磁界から電界が発生することを表している．ま

た，時間で磁界が電荷しない静磁界においては，磁

界から電界が発生することはない．次に，式はアンペアの法則と呼ばれ，電流が流れるとその周りに

は回転する磁界が発生することを示している．この

現象は大変有名であり，中学校などの理科の実験で

経験した事があるかもしれない．一方式の右辺には電束密度の時間微分の候が現われている．これは，

電束密度が時間で変化すると，電流と同様な振る舞

いをし，電流が流れたのと同様に回転する磁界が発

生する事を示している．この電束密度の時間微分の

項は変位電流と呼ばれ，マクスエルが発見した．変

位電流の意味は，空間に導電電流Jが存在せずとも，時間で電束密度が変化していれば空間に磁界が発生

することを意味している．式より，磁界が電界の源となり，同様に電界が磁界の源となることが

分かる．図にそのイメージを示す．およびは，ガウスの法則とよばれる．FDTD 法において(3)(4)式は明示的には用いないので説明は省略する．

図 2 アンテナ上の導電電流と電界・磁界

3. FDTD 法と差分近似 FDTD 法において(1)(2)式を定式化する手順を説明する．FDTD 法を日本語に訳すと時間領域有限差分法となる．すなわち時間領域でのマクスウエルの方

程式を有限差分法で解くという事である．まず本節

では微分方程式の差分近似について説明する．まず

微分の定義は

(5)

である．一般的にコンピュータにおいては，上式に

あるΔx →のような極値をとる操作は非常に不得意である．一方，差分近似においては，この極値を

とる操作をしない．これはΔxが十分小さければ，微分した値に近い解が得られるためである．極値を取

る操作をしない差分近似において差分は次の３種類

が考えらる．は前進差分，式は後進差分，式は中心差分と呼ばれる．直感的に式の中心差分を用いたほうが精度が良いと推測され，実際にも中

心差分が最も精度が良い．FDTD 法においてもこの中心差分が用いられる．図 3 にそれぞれの差分の精度を示す．図は横軸が 1/Δx であり右に行けば行くほど離散間隔が細かいことを表す．中心差分は比較的

離散間隔が荒い状況でも，微分値と近い値を示して

いる．

(6)

(7)

(8)

図 3 差分の精度

次に，式の差分近似を示す．式は次元の式であり，ここでは FDTD 法の原理を示すことが目的であるので次元問題を考える．式を z方向にのみ変化する次元で表すと，

と表される．では式右辺に中心差分を適用すると次式となる．

この式は計算機が計算しやすい形となっている．FDTD 法における電界配置が図であるとするし，z(k)Δzの位置で評価すると式右辺は

と表される．図から分かるように FDTD 法においては同様に離散間隔ごとに電界が配置される．次に

FDTD 法の時間配置を図に示す．このよう FDTD 法においては時間においても電界・磁界は離散的に配

置される．

図 4 FDTD 法の電界配置（1 次元）

図 5 FDTD 法の電界配置（1 次元）

最終的に式を差分化し整理した式を次に示す

このように，左辺を未来の時間の値として式を整理

すると，右辺はすべて過去の時間の値となる．よっ

て，FDTD 法では過去の値から未来の値を求める作業をしている．FDTD 法における計算の流れを図に示す．本節では次元空間を例にとって説明しているが，この計算の流れは次元問題においても同じである．また式には導電率が現われている．これは，式中の電流を Jxx と表している．この表現を用いると導電率が現われ，金属などの導電性媒質な

どをモデル化するのに好都合である．また，電流が

現われなくなるために，電流を求める必要がなくな

る．

図 6 FDTD 法における計算の流れ

4. FDTD 法の電磁界配置 前節では，1 次元空間を例にとって FDTD 法の概

念を説明した．アンテナ問題は一般的に 3 次元空間となるため本節では，3 次元空間における FDTD 法の電磁界配置を示す．

図 7 3 次元 FDTD 法における電磁界配置

図に 3次元空間における FDTD法の電磁界配置を

示す．このように図に示した次元電界配置を次元的に配置する．電界に注目するとそれぞれは離散的

に配置されていることが分かり，立方体を形成する．

この立方体の事をセルと呼ぶ．図において青い立方体を電界セル，赤い立方体を磁界セルと呼ぶ．FDTD法においてどのようにアンテナをモデル化する際は

このセル単位でモデル化される．そのために一般的

には，立方体の組み合わせでモデル化されるため，

滑らかな曲線を持つ構造は階段状にモデル化される

ことになる．

5. FDTD 法におけるアンテナの設計方法 本節以降において，FDTD 法を用いたアンテナの

設計方法を述べる．FDTD 法を用いてアンテナを設計する流れは大きく分けて次の 3 つのステップである．

１．アンテナのモデル化 ２．FDTD 法による電磁界の計算 ３．求まった電磁界よりアンテナ特性の評価

本節においては上記 3ステップそれぞれに分けて解説する． 5.1. アンテナのモデル化 ここでは，FDTD 法におけるアンテナのモデル化手法について述べる．一般的にアンテナを構成する材

料は金属などの導体と誘電体である．そしてアンテ

ナには特有の構造として給電部がある．それぞれの

モデル化手法を述べる．ここでは，簡単のため

(13)(14) 式に示す 1 次元の式を用いて説明するが，3次元でも同様な手法でモデル化できる． まず金属のモデル化手法について述べる．金属の電

機的特性は導電率が非常に大きい事である．銅の導

電率は 108 [S/m]オーダーである．導電率は式で表される電界の更新式に現れる．よって FDTD 法において金属をモデル化する際は図 7 の電界セルにおいてモデル化される．また，金属中の電界は 0 であるので，単に式の左辺をとおく事でも金属を

モデル化する事が出来る．この手法は完全導体近似

と呼ばれる．このように金属のモデル化は非常に簡

単である． 次に FDTD 法において誘電体をモデル化する手法を述べる．損失性媒質を含む誘電体のモデル化は，

完全導体とはやや異なる．図に示す誘電体を FDTD 法でモデル化する手法を述べる

図 8 FDTD 法における誘電体のモデル化

図の濃い色で塗られている部分が誘電体であり白い部分が自由空間である．まず図中の，zaは誘電体中にあるので，式に現れる誘電率を誘電体の値とすればよい．一方，誘電体の表面では特別な

扱いが必要である．本稿においては微分形のマクス

ウエルの方程式を用いて FDTD 法の定式化を示した．一方，式に示す積分形のマクウエルの方程式を用いても同様に定式化できる．

ここでは，(15)式の線積分において経路を図 8 のFDTD セル内の Cb に適用する．すると式右辺は次式のように表される．

このように，誘電体の表面において FDTD 法では誘電率が面積比で表されることが分かる．また，損

失媒質おいては上述したように誘電率をモデル化し，

あとは金属のモデル化と同じように導電率を用いてモデル化する事が出来る．

続いて給電部のモデル化手法について述べる．ア

ンテナはダイポールアンテナなどの不平衡給電とマ

イクロストリップアンテナなどの平衡給電がある．

まず，ダイポールアンテナの給電例を示す．ここで

は，簡単のためにダイポールアンテナは完全導体と

する．すると図に示すように給電部以外は電界をとすることでモデル化できる．また，このモデルで

はダイポールアンテナの太さは考慮していない．こ

のモデル化手法は細線近似と呼ばれる．

図 9 ダイポールアンテナの給電

そして図に示すように給電部の電界に電源を与える．FDTD 法は時間領域の解法であるために，ここではパルスを与えることになる．FDTD 法ではパルスをアンテナに与えその結果をフーリエ変換する

ことにより広い周波数応答を得る事が出来る．ここ

で用いるパルスは一般的には次式で表されるガウス

パルスが用いられる．

式中のはパラメータでありこのパラメータを調整することによりパルスの周波数成分が変化する．

また，広い周波数応答を求める際は広い周波数成分

が含まれるパルスを用いる必要がある．

5.2. ２． FDTD 法による電磁界の計算 上述しているように FDTD 法は時間領域の解法であるために，電磁界の過渡応答を容易に求める事が

出来る．一方，アンテナの評価においてはおおむね

周波数領域の結果が重要である．そこで，FDTD 法で求めた過渡応答をフーリエ変換することにより周

波数領域の結果を得る．まず，フーリエ変換にいて

周波数分解能f は

f =1/(Nt) (17)

で表される．ここで，N は FDTD 法の計算ステップ数であり，時間離散間隔を何回計算するかであり，

図 6 のフローチャートの繰り返し数に相当する．このように FDTD 法で長く計算すればするほど細かな周波数分解能が得られる．しかし FDTD 法は計算時間が多くかかり，N は少なくしたいのが一般的である．そこで周波数分解能と計算時間はトレードオフ

の関係である．また，フーリエ変換を正しく行うに

は信号が０になるまで収束しないといけない．パッ

チアンテナなどの Q 値の高いアンテナにおいては，電磁界の収束が遅く妥当な結果を得るのに多くの時

間が必要であることが知られている．一般的にフー

リエ変換は最大値の 1/1000 程度に信号が小さくなるまで計算する必要がある．

5.3. 求まった電磁界よりアンテナ特性の評価 FDTD 法では，電界と磁界を求めている．アンテ

ナの評価において代表的な指標は・入力インピーダンス・指向性・放射効率

があげられる．ここでは，FDTD 法においてどのように上記指標を求めるか説明する．

まず入力インピーダンスは

のように給電部の電流と電圧の比である．電圧は直

接与えているのでここでは，給電部の電流の求め方

について述べる．FDTD 法において電流を求めるには，次式で示す積分形のアンペアの法則を用いる．

このように，給電部周りの磁界を周回積分すること

により給電部の電流を求める事が出来る．なお式の電流には変位電流も含まれるためその影響を最

小限にするためには周回路ｃをなるべく小さくとる

必要がある．次に FDTD 法において指向性を求める手法につい

て述べる．指向性は十分遠方での電界より求める事

が出来るが，FDTD 法において計算時間が莫大となるために解析領域を十分遠方まで取ることができな

い．そこでアンテナの近傍で求めた電界・磁界より

遠方での電界の値を求める．この手法は測定などで

用いられる近傍界遠方界変換と同じ手法である．指

向性を求めるには近傍界の等価電流 Js と等価時流Ms より指向性関数 D を求めることにより求める事が出来る．それぞれは次式で求める事が出来る．

(20)

(21)

(22)

(23)

ここで，Js と Ms は図 10 に示すアンテナを囲むような等価面を設定し等価面上で求める．このようにす

るとアンテナの複雑な形状は必要なくなり簡易に求

める事が出来る．これは一般的な近傍界遠方界変換

の測定と同様である．また，(22)(23)式には時間微分の項が現われている．この計算は差分近似を用いて

行う事が出来る．

図 10 等価電磁流を求める仮想閉曲面

放射効率の求め方について説明する．アンテナ

の放射効率はアンテナに入力される入力電力 Pin と損失電力 Ploss を用いて

(23)

より求める事が出来る．ここで，アンテナに入力さ

れる入力電力 Pin はアンテナの入力 Zin が分かっていれば

より求める事が出来る．また，損失電力 Plossは

と計算できる．

6. FDTD 法におけるアンテナの解析例 ここではダイポールアンテナを例にとってその解

析例を示す．ダイポールアンテナは図 11 に示すような全長 10 mm一辺が 0.4mmの角柱ダイポールアンテナの解析例を示す．

図 11 角柱ダイポールアンテナ

また，FDTD 法のセルサイズは 0.05mm～0.1mm とした．入力インピーダンスの解析結果を図 12 に示す．この結果より，共振周波数付近ではセルサイズ

0.1mm 程度でほぼ解が収束していることが分かる．また，これは，解析最大周波数のGHz において，λGHzに相当する．完全導体で構成されるダイポールアンテナではこの程度で収束すると推測され

る．

図 入力インピーダンスの解析例

このように FDTD 法ではセルサイズを細かくとることによりより正確な結果を得る事が出来る．これ

は差分法の特徴である． 7. まとめ 本稿では FDTD 法を用いたアンテナ設計について

解説した．FDTD 法で求めるているのは電界磁界であり，そこから入力インピーダンスの計算に必要な

電流や，指向性，放射効率の求め方を説明した．最

後にダイポールアンテナの解析結果を示した．この

結果より FDTD 法でより高精度に解析するには細かなセルを持ちる必要があることが理解できる．一方

細かなセルを用いるとおのずと計算量が大きくなり，

計算時間とのトレードオフになる．ぜひ自身で解析

を行い，精度と必要なセルサイズの間隔を身に着け

てほしい． 文 献

[1] K. S. Yee, ” Numerical solution of initial boundary value

problems involving Maxwell’s equations,”IEEE tansaction on Antennas and Propagation, vol. 14, pp. 302-207, 1966.

[2] 宇野亨 ”FDTD 法による電磁界およびアンテナ解析”，コロナ社，1998

[3] A. Taflove, S. C. Hagness, ”Computatinal electrodynamics the Finite-difference time-domain method 3rd ed.”,Artech House, 2005

[4] K. S. Kunz and R. J. Luebbers, The finite difference time domain method for electromagnetics:CRC press, 1993

[5] 何一偉, 宇野亨，有馬卓司，“数値電磁界解析のためのFDTD 法: 基礎と実践”，コロナ社，2016

著者紹介

有馬 卓司

東京農工大学工学部，准教授，t-arima@cc.tuat.ac.jp

x

yz

L=10 mm

a a=0.4 mma

5 10 15 20−200

−100

0

100

200

Impe

danc

e [

周波数[GHz]

0.1 mm0.2 mm

0.05mm

Reactance

Resistance