ベクトル大きさと方向を持つ量（少なくとも２つ以上の成分を持つ量）表記例（位置座標）直交座標：

�

(x, y, z) , 極座標：

�

(r, θ, ϕ) , 記号：V,

�

! V , ˜ V

ベクトルの基準点は任意の位置に置いて良い．単位ベクトル：長さが１のベクトル。

�

(x, y, z)の各軸の単位ベクトルを (i, j, k) と表す。

ベクトルの種類極性ベクトルと軸性ベクトル本来方向を持つ量を表すベクトルを極性ベクトルと呼ぶ例）変位ベクトル、速度ベクトル、力ベクトル

本来方向はないが、適当な約束でその方向を定めたベクトルを軸性ベクトルと呼ぶ例）面積ベクトル、角速度ベクトル

ベクトルの和と差a = ax i + ay j + az k、b = bx i + by j + bz k

和、差

a±b= (ax ±bx)i+(ay ±by)j+(az ±bz)k

ベクトルのかけ算内積（スカラー積、積はベクトルではない）a•b=ab cosθ, i, j, k を直交座標の x, y, z 各軸の３つの単位ベクトルとすると、直交する場合は 0 なので、i•i = j•j = k•k = 1, i•j = j•k = k•i = 0

となる．従って、平行なベクトルの内積のみが残り、a•b=(axi+ayj+azk)•(bxi+byj+bzk)=axbx+ayby+azbz

が得られる．ベクトルの長さ：

�

a= a•a = ax2 +ay

2 +az2

外積（ベクトル積、積はベクトル）|a×b|=ab sinθ, 方向は右図の通り．従って、平行なベクトルの外積はゼロになり、i×i = j×j = k×k = 0, i×j = –j×i = k, j×k = –k×j = i, k×i = –i×k = j

が成り立つ．従って、直交ベクトル間の外積のみが残り、a×b = (axi+ayj+azk) × (bxi+byj+bzk)

=(aybz– azby)i+(azbx– axbz)j+(axby– aybx)k

が得られる．

4/23/17

a

b

a × b (= S)

θ 面積 S=absinθ

外積

ê

aからb（小角の方）、右ネジを回す方向に取る．êは a×b方向の単位ベクトル

z

y

x

直交座標 (Cartesian cordinate)

面積ベクトル

S

S

r

θ

φ

極座標 (Polar cordinate)

x

y

a cosθ

a

b

θ

外積の別の表記

�

i j kAx Ay Az

Bx By Bz

= i Ay Az

By Bz− j

Ax Az

Bx Bz+ k

Ax Ay

Bx By

外積の応用例外積を用いて三角関数の加法定理を求める．a=a(i cosα + j sinα )、b=b(i cos β - j sin β) とすると、b×a=ab (i cos β - j sin β) ×(i cosα + j sinα) =ab(i×i cos β cosα+i×j cos β sinα- j×isin β cosα-j×j sin β sinα) =ab(sinα cos β + cosα sin β)k外積の定義から、b×a = kabsin(α+ β) なので、sin(α+ β) = sinα cos β + cosα sin βが得られる．

ベクトル三重積a×(b×c) = [a[bc]] = b(a•c) – c(a•b)

(a×b)×c = –c×(a×b) = –a(c•b) + b(c•a)

ベクトルの微分

�

drdt

= limΔt→0

ΔrΔt

= limΔt→0

ΔxΔt

, ΔyΔt

, ΔzΔt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ =

dxdt

, dydt

, dzdt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

ベクトルの微分の成分は、成分の微分．円運動の場合は、半径の長さr は一定なのでその２乗（内積、r•r=C）も一定．それを時間で微分すると、

�

ddt

(r•r)= dCdt

=0, ∴drdt

•r+ r• drdt

=2r• drdt

=2r•v=0, ∴r⊥v

が得られ、半径ベクトルと速度ベクトルは常に直交していることが分かる．等速円運動の場合は速さv も一定なので、全く同様に v•a=0 が得られ、速度と加速度が直交していることが示される．

4/23/17

b×c は並行６面体の底面積に等しく底面に垂直。aとの内積を取ると[abc]=hS=V と体積を与える．

β

α

b

S=b×c高さ

h= a•cosβ

c

底面積 S

a

i j k

Ax Ay Az

Bx By Bz– +

a

b

x

y

α

β

a

b

スカラー三重積a•(b×c)= a•S=Sa cosβ=V=(a×b)•c=[abc],

ここで、a cosβ はベクトル abc で作る平行６面体のbc で張る底面から測った高さ h に等しい．[abc]は、グラスマンの記号と呼ばれ、abc を cab、bcaと順番に入れ替えても結果は変わらない事を意味する．しかし、交換するとマイナスがつく．

ベクトルの積分１）スカラー変数による積分：例：移動量（ベクトル量）

�

vdt∫ = vx∫ dt, vy∫ dt, vz∫ dt( )２）内積の積分（接線線積分）

例：仕事量（スカラー量．）点AからBまでの接線線積分

�

F•drAB∫ = FxdxAB∫ + FydyAB∫ + FzdzAB∫

３）面 積分（スカラー量）

面S の上の面積分

�

A•dSS∫ = A• ndSS∫

S は面積ベクトル、n は面の法線（面積）単位ベクトル．

４）体 積分（スカラー量）

�

ϕdr = ϕdV =∫ ϕdxdydz∫∫∫∫ = ϕr 2sinθdrdϕdθ∫∫∫

体積要素：

�

dV =dxdydz=r2 sinθdrdϕdθ

＊ガウスの発散定理：

�

div AdvV∫ = A•dS

S∫ （体積分 =＞ 面積分）

＊ストークスの定理：

�

rot A•dSS∫ = A•ds

C∫ （面積分 =＞ 線積分）

問１）スカラー三重積とベクトル三重積の成分を書き下し、ベクトル三重積の(A)式を確認せよ．２）cos(α+ β) = cosα cos β – sinα sin β　をベクトルを使って証明せよ．　

座標の回転

�

a =axi+ay j =ax'i'+ay' j' に i, j のスカラー積をとると

�

ax =a ′ x ′ i •i+a ′ y ′ j •i=a ′ x cosϕ−a ′ y sinϕ

ay =a ′ x ′ i • j+a ′ y ′ j • j =a ′ x sinϕ+a ′ y cosϕ

�

ax

ay

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

cosϕ −sinϕsinϕ cosϕ

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

a ′ x

a ′ y

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

ハミルトンの演算子・ナブラ

�

∇

�

∇=i∂∂x

+ j∂∂y

+ k∂∂z

勾配 (Gradient)

�

gradϕ=∇ϕ=i∂ϕ∂x

+ j∂ϕ∂y

+ k∂ϕ∂z

=(∇ xϕ, ∇ yϕ, ∇ zϕ)

4/23/17

ji’

a

x

y

φ

a’x

ax

ay

a’y

i'•i=cosφ, j'•j=cosφj'•i=cos(φ+ π/2)=-sinφi'•j=cos(φ-π/2)=sinφ

i

j’

x’

y’

θ

φ rdφ

dr

rdθ

rsinθdφ

dφ

rsinθ

x

y

z

例）保存力

U を重力や電場などのスカラーポテンシャルとすると、働く力 F は

�

F =−∇U(r)= − ∂U∂x

, − ∂U∂y

, − ∂U∂z

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ =(Fx, Fy, Fz)

で与えられる．例）z=h(x, y) 、U=mgz とすると、

�

F =−∇U(x,y) =−mg i∂h∂x

+ j∂h∂y

+ k∂h∂z

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

�

=−mg i∂h∂x

+ j∂h∂y

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ =−mg itanθx + j tanθy( )

任意の方向 s（単位ベクトル）の力の成分は力との内積を取って、

�

Fs =−s•F =−mg s•itanθx + s• j tanθy( )で得られる．右図の様に x-z 面内で s が h(x, y) の接線になっている場合は s•i=cosθx 、s•j=0

なので（一般的には方向余弦になる）、

�

Fs =−mgsinθx が得られる．これは、直接求めた

�

Fs =− ∂U∂s

=−mgsinθxに等しい．

ベクトルの方向微係数・発散 (Divergence)

divA=∇•A=∂Ax∂x

+∂Ay∂y

+∂Az∂z

発散の意味は、微少体積 (Δx, Δy , Δz) から出てくる湧き出しを表す．

�

∂Ax

∂x⇒ lim

Δx→0

Ax(x+Δx)−Ax(x)ΔV

ΔSx

�

=∂Ax

∂VΔSxと書くと、

�

Ax(x+Δx)ΔSxが

�

x+Δxの位置の微少面積

�

ΔSx =ΔyΔzから出ていく量で、

�

xの位置の微少面積

�

ΔSxから入る

�

Ax(x)ΔSxを引き、体積

�

ΔVで割っているので、ゼロにならない分が単位体積から湧き出す量になる．他の成分も同様に理解できる．ガウスの法則（電荷から出る電気力線）の場合は、湧き出し divE が電荷密度 ρ/ε0 に等しくなる。ガウスの法則の積分形とはガウスの定理 、

�

divEdV∫ = E•dS∫ で結ばれる。

gradient の発散

�

div∇ϕ=∇•∇ϕ=∇2ϕ=Δϕ= ∂2ϕ∂x2

+ ∂2ϕ∂y2

+ ∂2ϕ∂z2、（φ の例：電位の V=

�

E•dr∫ 、これを r で微分する

と単位電荷 q=1 に働く力、 F = − grad V = ∇V = −

∂V∂r

= −E = −qE が得られる。）

ナブラの発散

�

∇•∇= ∇2 = Δ は、ラプラス演算子、ラプラッシアンと呼ばれる．（参考）ラプラ

ス方程式：

�

∇2ϕ =Δϕ = 0、ポアッソン方程式：

�

∇2ϕ = −divE = −ρε0（ρ は電荷密度）

ベクトルの回転 (Rotation, Curl)

�

rot A=∇×A= ∂Az

∂y−∂Ay

∂z, ∂Ax

∂z− ∂Az

∂x, ∂Ay

∂x− ∂Ax

∂y

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

Ax Ay Az

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

また、

�

B=rot Aの時、A を B のベクトルポテンシャルと呼ぶ．（スカラーポテンシャルと比較）

4/23/17

�

x

�

x+Δx

�

Ax(x)ΔS

�

Ax(x+Δx)ΔS

Fx = -∂U/∂s = -mgsinθx z

x

h(x, y)mg

�

θx

s