FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika
-
Upload
afrodite-ballas -
Category
Documents
-
view
62 -
download
1
description
Transcript of FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika
![Page 1: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/1.jpg)
04. 11. 2013 1
FFZS-04 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika
a hydrodynamika
http://stein.upce.cz/msfzs13.html
http://stein.upce.cz/lectcz/ffzsn_04.html
Doc. Miloš Steinhart, UPCE 06 036, ext. 6029
![Page 2: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/2.jpg)
04. 11. 2013 2
Hlavní body• Gravitace
• Gravitační pole v blízkosti Země• Planetární pohyby• Potenciál a potenciální energie
• Nauka o pružnosti a pevnosti• Hydrostatika a hydrodynamika
• Hydrodynamika krevního oběhu
![Page 3: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/3.jpg)
04. 11. 2013 3
Gravitační pole v blízkosti Země I
• Gravitační pole v těsné blízkosti Země lze charakterizovat intenzitou. Její velikost nazýváme gravitačním zrychlením.
• Po korekcích gravitačního zrychlení ag = 9.83 ms-2 na různé vlivy, zvláště rotaci Země, dostáváme měřitelné tíhové zrychlení. Jeho střední hodnota je g = 9.81 ms-2.
0021 )( rar
R
MrE g
![Page 4: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/4.jpg)
04. 11. 2013 4
Gravitační pole v blízkosti Země II
• Ve vztahu vystupuje součin M. Gravitační konstanta se musí určit z nezávislého měření v laboratoři. Například na torzních vahách. Díky tomu je možné v laboratoři ‘vážit‘ nebeská tělesa.
• Tíhové zrychlení vykazuje drobné odchylky v důsledku nepřesně kulového tvaru Země a nehomogenit její hmotnosti a polohy na ní. Toho se využívá při geologickém průzkumu
![Page 5: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/5.jpg)
04. 11. 2013 5
Gravitační pole v blízkosti Země III
• Zemi je možné vážit z gravitačního zrychlení nebo z pohybu Měsíce.
• Příklad : Určete M a M z a g.
kgRa
M g 242
1098.5
333
2
105.54
3 mkgR
RagM
![Page 6: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/6.jpg)
04. 11. 2013 6
Konzervativní pole • Gravitační pole se řadí mezi takzvaná pole
konzervativní.• Celková práce potřebná na přenesení hmotnosti
po libovolné uzavřené dráze je nulová.• Práce potřebná na přenesení hmotnosti m z
bodu A do bodu B nezávisí na cestě, ale jenom na nějaké skalární vlastnosti pole v těchto bodech = potenciálu .
W(A->B) = m(B) - m(A)
![Page 7: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/7.jpg)
04. 11. 2013 7
Potenciál I • Je třeba správně chápat rozdíl mezi
potenciálem, což je vlastnost pole a potenciální energii, což je vlastnost určitého hmotného tělesa v tomto poli.
• Výhody popisu pole pomocí potenciálu :• Skalární• Princip superpozice vede na aritmetické sčítání• Lépe konverguje
![Page 8: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/8.jpg)
04. 11. 2013 8
Potenciál II• Potenciál v jistém bodě centrosymetrického
pole získáme rozdělením potenciální energie na vlastnost pole a vlastnost částice:
• Potenciál v kalibraci c=0 :
crM
mrmrEp )()(
r
Mr
)(
![Page 9: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/9.jpg)
04. 11. 2013 9
Potenciál III• Obecně je pohodlnější popisovat gravitační
pole pomocí potenciálu, ale na jeho základě je nutné umět vypočítat intenzitu a sílu :
• V centrosymetrickém případě :
))(())(()( rrgradrE
dr
rdrE
)()(
![Page 10: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/10.jpg)
04. 11. 2013 10
Gradient I• Gradient skalární funkce je vektor, který má
• směr největšího růstu funkce v daném bodě
• velikost danou přírustku funkce v jednotkové vzdálenosti od daného bodu v tomto směru :
rdz
df
dy
df
dx
dfrfgrad
);;())((
![Page 11: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/11.jpg)
04. 11. 2013 11
*Gradient II• Gradient je trojrozměrnou obdobou
diferenciálu :
• Význam gradientu vyplývá z faktu, že skalární součin bude maximální, když jsou jeho činitelé paralelní.
))((.)()( rfgradldrfldrf
))((a rfgradld
![Page 12: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/12.jpg)
04. 11. 2013 12
Zákon zachování energie I
• Práce dodaná do systému se rovná přírůstku jeho celkové energie, který je roven součtu přírůstku kinetické a přírůstku potenciální energie.
• Jak se přírůstky konkrétně rozdělí závisí na dalších podmínkách problému. Je-li práce kladná může se kinetická energie i snížit, ale její pokles musí být vykompenzován odpovídajícím vzrůstem energie potenciální
pk EEEW
![Page 13: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/13.jpg)
04. 11. 2013 13
Zákon zachování energie II
• Je-li práce dodaná do systému nulová zachovává se celková energie, tedy součet energie kinetické a potenciální. (Zatím uvažujeme jen tyto dva druhy energie).
• Jeden druh energie se ale může měnit v druhý.
• V těsné blízkosti Země :
0 pk EEE
mghmv
2
2
![Page 14: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/14.jpg)
04. 11. 2013 14
Pohyb satelitů I• Obecně se tělesa otáčejí kolem společného těžiště.
• Je-li satelit podstatně lehčí než centrální těleso lze společné těžiště ztotožnit s těžištěm centrálního tělesa.
• Uvažujme pro jednoduchost kruhovou dráhu. V prvním přiblížení je dostředivá síla realizována silou gravitační a platí :
2
2
r
mM
r
mv
![Page 15: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/15.jpg)
04. 11. 2013 15
Pohyb satelitů II• Můžeme například vyjádřit rychlost
oběhu :
• Nyní chápeme 3. Keplerův zákon pro satelity obíhající stejné centrální těleso:
rMv
MrTr
Tv
rT
rM
2
3
2222 442
![Page 16: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/16.jpg)
04. 11. 2013 16
Pohyb satelitů III• Jsou-li hmotnosti těles srovnatelné, musí se
uvažovat pohyb kolem jejich společného těžiště. Čili dochází i k pohybu centrálního tělesa.
• Takto lze vysvětlit příliv a odliv nebo odhalit exoplanety u vzdálených hvězd.
• Používá se přímého pozorování a moderněji spektroskopických metod (136).
![Page 17: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/17.jpg)
04. 11. 2013 17
*1. Kosmická rychlost • 1. Kosmická rychlost je rychlost oběhu
těsně u povrchu vesmírného tělesa. • Tedy zakřivení dráhy vodorovného vrhu akorát
kopíruje povrch tělesa.
• Takový pohyb je možný pouze, když těleso nemá atmosféru, jinak je zbržděno (a shoří).
• V případě Země se jedná o hodnotu fiktivní :
16.7 skmaRv gRM
I
![Page 18: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/18.jpg)
04. 11. 2013 18
*2. Kosmická rychlost• 2. Kosmická neboli úniková rychlost je taková, při
které má těleso kinetickou energii dostatečnou k tomu, aby se dostalo z dosahu Země do nekonečna • Opět nesmí dojít ke ztrátám průletem atmosférou
• Rozdíl od rychlosti potřebné k dosažení např. Měsíce je ale nepatrný.
122
2.112
skmvR
MmmvRM
II
![Page 19: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/19.jpg)
04. 11. 2013 19
*3. Kosmická rychlost• 3. Kosmická neboli úniková rychlost je taková, při
které má těleso kinetickou energii dostatečnou k tomu, aby se dostalo ze Země z dosahu Slunce do nekonečna • Úniková rychlost z oběžné dráhy Země je
• Ms je hmotnost Slunce, rsz je poloměr dráhy Země.• Při vypuštění sondy ve směru obíhání Země lze ale odečíst
obvodovou rychlost Země, tedy cca 30 km/s.
122
2.422
skmvr
mMmvsz
s
rM
IIsz
s
![Page 20: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/20.jpg)
04. 11. 2013 20
*Proč shořela Columbie I• Celková energie satelitu :
• Kde jsme použili dříve odvozený vztah pro rychlost satelitu:
r
mM
r
mM
r
mM
r
mMmvE
222
2
rMv
![Page 21: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/21.jpg)
04. 11. 2013 21
*Proč shořela Columbie II• Podle předchozího se celková energie satelitu
musí zvětšit dodáme-li práci. Přitom :• se zvětší její vzdálenost
• její rychlost se zmenší(!)
• Když naopak satelit vstupuje do atmosféry a je bržděn atmosférou nebo svými motory, klesá jeho výška, ale roste rychlost. Musí tedy (v určité fázi letu, například než může letět jako letadlo nebo být bržděno padáky) vydržet obrovské teploty.
![Page 22: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/22.jpg)
04. 11. 2013 22
*Moderní teorie gravitace• Albert Einstein se zabýval ekvivalencí gravitační a
setrvačné hmotnosti na ní a na předpokladu, že fyzikální zákony musí v každé (i neinerciální) soustavě být stejné vybudoval obecnou teorii relativity. • Podle ní hmotnost zakřivuje časoprostor ve svém okolí. • Experimentálními potvrzeními této teorie jsou
například ohyb elektromagnetických vln v blízkosti velkých těles (Slunce, Jupiter) a stáčení roviny oběhu Merkura.
![Page 23: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/23.jpg)
04. 11. 2013 23
Atomová hypotéza I• Richard Feynman – jeden z největších fyziků 20.
století a autor výborné a nadčasové učebnice “Feynmanovy kurzy fyziky“ – tvrdí, že pokud bychom směli zanechat budoucím generacím jedinou větu, měla by znít : Svět je složen z atomů, malých částic, které jsou v neustálém pohybu, když se přiblíží, přitahují se, ale když se přiblíží ještě více, naopak se odpuzují.
• Rozměry atomů se měří v (SI) zakázaných, ale velice praktických jednotkách - angströmech 1Ǻ = 10-10 m
![Page 24: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/24.jpg)
04. 11. 2013 24
Atomová hypotéza II• Kdybychom zvětšili jablko na rozměr Země (asi 108 krát),
atomy by měly rozměr jablka.
~ 6 cm = 6 .10-2.108 m = 6 .106 m = 6 .103 km ~ 6 Ǻ.108 = 6 .10-10 .108 m = 6 .10-2 m = 6 cm
Je zajímavé, že i při tomto zvětšení :by atomové jádro nebylo vidět pouhým okem. Mělo by totiž
průměr jen řádově jednotky m !poloměr Země by nedosáhl k nejbližší hvězdě. Musel by se
ještě 60 krát vynásobit!
![Page 25: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/25.jpg)
04. 11. 2013 25
Dalekodosahové síly ICherchez le puits (de potential)
• Součástky hmoty - atomy nebo molekuly na sebe vzájemně působí dalekodosahovými silami, které mají následující vlastnosti:• na velké vzdálenosti jsou zanedbatelné
• při menších vzdálenostech jsou přitažlivé
• při ještě menších vzdálenostech jsou odpudivé
• existuje alespoň jedna rovnovážná vzdálenost,
v níž se přitažlivé a odpudivé síly kompenzují
![Page 26: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/26.jpg)
04. 11. 2013 26
Dalekodosahové síly II• Dalekodosahové síly lze zjednodušeně vystihnout
průběhem potenciální energie částice, která se blíží k částici, umístěné do počátku – tzv. potenciálovou jámou.• v blízkosti minima ji lze aproximovat parabolou
• lze pomocí ní kvalitativně vysvětlit například:• existenci a pravidelnost kondenzovaného stavu
• elastické chování látek
• teplotní roztažnost
• mechanické vlastnosti sedlin
![Page 27: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/27.jpg)
04. 11. 2013 27
Pružnost I• Z vzájemného působení součástek hmoty,
které jsme si přiblížili pomocí potenciálové jámy, je patrné, že tělesa nemohou být dokonale tuhá. Jejich tvar v každé situaci odpovídá jisté rovnováze vnějších a vnitřních sil.
• Změnou působení vnějších sil se mění síly uvnitř. Snaží se vyrovnat účinek této změny. Výsledkem je nová rovnováha odpovídající stavu napjatosti.
![Page 28: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/28.jpg)
04. 11. 2013 28
Pružnost II• Vzájemné působení může být velmi složité a
existují látky s bizardními vlastnostmi.• Naše potenciálová jáma je zjednodušení,
zhruba fungující pro velké množství látek.• Zatím přijměme tvrzení, že při velmi malých
deformacích se při vymizení vnějších sil, vrátí i těleso do původní rovnováhy.
• Zaveďme si vhodně veličiny, které jsou ve hře:
![Page 29: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/29.jpg)
04. 11. 2013 29
Napětí I• Experiment ukazuje, že pro deformační
účinek je rozhodující veličinou působící síla, vztažená na jednotku plochy, na kterou působí tzv. mechanické napětí
• Jednotkou napětí je 1 Pascal [Pa]=Nm-2
S
F
dS
Fd
![Page 30: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/30.jpg)
04. 11. 2013 30
Napětí II• Odezva látek může být komplikovaná, ale i
u nejjednodušších látek (homogenních a izotropních) je rozdílná nejméně v tečném a normálovém směru. Proto má význam rozkládat napětí alespoň na normálové a tečné:
dS
dFnn
dS
dFtt
![Page 31: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/31.jpg)
04. 11. 2013 31
Deformace• Odezva látek je vždy úměrná rozměru před
deformací, proto je užitečné ji k tomuto původním rozměru vztáhnout. Podle typu deformace používáme například relativní• prodloužení
•
• Střih dx
dy
• stlačení
0ldl
dydx
0VdV
v
![Page 32: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/32.jpg)
04. 11. 2013 32
Závislost napětí na deformaci
• Průběh namáhání látek se obvykle (ale ne vždy) zobrazuje jako závislost napětí na deformaci. Má následující oblasti a meze:• úměrnosti ... zde platí Hookův zákon• elasticity ... návrat do původního tvaru• plasticity ... zůstává trvalá deformace• kluzu ... velká změna chování• pevnosti ... porušení materiálu
![Page 33: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/33.jpg)
04. 11. 2013 33
Závislost napětí na deformaci
oblast tečenímez pevnosti
elastická oblast plastická oblast
oblast proporcionality – zde platí Hookův zákon
p
r
![Page 34: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/34.jpg)
04. 11. 2013 34
Hookův zákon I• Pro velmi malé (přesně nekonečně malé)
deformace potom například platí :
Veličiny E, G a K jsou tzv. moduly, vyjadřují odpor vůči deformaci a u pevných látek mají značně velké hodnoty ~1010 Pa.
VdV
Kp
G
E
v
![Page 35: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/35.jpg)
04. 11. 2013 35
Hookův zákon II• Moduly se nazývají :
• E …Youngův modul pružnosti v podélném prodloužení
• G … Youngův modul pružnosti ve smyku
• K … modul objemové pružnosti
• Často se používají i reciproké hodnoty modulů. Vyjadřují samozřejmě poddajnost (compliance) materiálů a jsou typicky velmi malé.
![Page 36: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/36.jpg)
04. 11. 2013 36
*Hookův zákon III• Mezi ději ve směru namáhání a ve směru kolmém existuje
souvislost. Například protahujeme-li drát, dochází v kolmém směru ke zužování. Popisujeme jej relativním příčným zkrácením, které je úměrné normálovému napětí :
• Míru změny v příčném směru popisujeme novým materiálovým parametrem Poissonovým číslem (ný) nebo (jeho reciprokou) Poissonovou konstantou m :
nka
aa
a
a 1
,
nn mEmEkk 11
11
![Page 37: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/37.jpg)
04. 11. 2013 37
*Hookův zákon IV• Podélný a příčný rozměr po deformaci lze vyjádřit :
• Budeme-li krychli V = aaa namáhat hydrostatickým tlakem p = n, projeví se ve změně k každého rozměru i příčné vlivy a objem po deformaci bude :
)1()1(,
Elll n
)1()1(,
mEaaa n
)]2(31[)]2(1[ 3, VVV
![Page 38: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/38.jpg)
04. 11. 2013 38
*Hookův zákon V• Čili po zanedbání kvadratických a vyšších členů
můžeme vyjádřit relativní změnu objemu:
• a srovnáním dostáváme součinitel objemové stlačitelnosti γ nebo modul objemové pružnosti K :
pmEm
VVV )2(3
)2(3,
KEmEm
pVV 1)21(3)2(31
![Page 39: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/39.jpg)
04. 11. 2013 39
*Hookův zákon VI• Poissonova konstanta nebo Poissonovo
číslo se také uplatní ve vztahu mezi modulem ve smyku a v tahu, takže jednoduché materiály lze charakterizovat jen dvěma materiálovými parametry :
)1(2)1(2
E
m
mEG
![Page 40: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/40.jpg)
04. 11. 2013 40
*Deformace neizotropních látek I
• V obecném případě neizotropních těles je nutné napětí i deformaci vyjádřit pomocí symetrických tenzorů druhého řádu a .ij je j-tá složka napětí působící na plošku
kolmou k ose i.
pq je výchylka plošky kolmé k ose p ve směru osy q.
![Page 41: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/41.jpg)
04. 11. 2013 41
*Deformace neizotropních látek II• Zobecněný Hookův zákon je možné vyjádřit jako:
ij = Cijpq pq • Cijpq je obecně 36 nezávislých elastických parametrů.• Každá symetrie materiálu znamená i symetrií v C, tedy
nějakou vzájemnou relaci, čili i snížení počtu nezávislých materiálových parametrů.
• Nejtriviálnější je symetrie vůči záměně dvojic ij a pq. Ta snižuje počet nezávislých parametrů na 21. Tento počet odpovídá monokrystalům v triklinické soustavě.
• Amorfní nebo polykrystalické látky se chovají jako izotropní a zůstávají u nich jen dva parametry E a G.
![Page 42: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/42.jpg)
04. 11. 2013 42
Úvod do mechaniky tekutin I• Tekutiny je společný název pro kapaliny a plyny.
Přitažlivé síly v nich jsou kohézního charakteru. • Mají společný téměř nulový modul ve smyku. Díky tomu
snadno mění tvar.
• Relativně lehce se rozdělují.
• Na rozdíl od plynů jsou kapaliny téměř nestlačitelné.
• V případě, že se neprojevují efekty, které souvisí s existencí atomové struktury, lze tekutiny, podobně jako pevné látky považovat za tak zvané kontinuum – spojité prostředí.
![Page 43: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/43.jpg)
04. 11. 2013 43
Tekutiny II
• Z hlediska elastických vlastností lze tekutiny definovat následovně:• kapaliny ... K velmi veliké, G malé
• plyny ... K konečné dané EOS, G malé
![Page 44: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/44.jpg)
04. 11. 2013 44
Tekutiny III
• Pro odhalení základních mechanických vlastností kapalin a plynů je vhodné začít od ideální kapaliny a později zavádět korekce, popisující reálnější chování například viskozitu a stlačitelnost.
• Ideální kapalina má K nekonečné a G nulové. Čili ideální kapalina je nestlačitelná, ale neexistují v ní smyková napětí ani deformace.
![Page 45: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/45.jpg)
04. 11. 2013 45
Hydrostatika ideální kapaliny I
• Hydrostatika se zabývá kapalinami nebo plyny v rovnováze, bez ohledu na to, jak a za jak dlouho k ní dojde (např. smůla na stromě není v rovnováze).
• Budeme nejprve uvažovat ideální a tedy dokonale nestlačitelnou kapalinu, navíc homogenní a izotropní.
• Je pohodlné charakterizovat kapalinu fyzikálními veličinami vztaženými na jednotku objemu, tedy hustotami fyzikálních veličin.
![Page 46: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/46.jpg)
04. 11. 2013 46
Hydrostatika ideální kapaliny II
• Nejběžnější jsou :• hustota je hmotnost na jednotku objemu :
= m/V, [] = kg m-3
• hustota působících sil , tedy síla na jednotku
objemu : , [f] = N m-3
• tlak p lze chápat jako hustotu tlakové energie : [p] = N/m2 = J/m3
dV
Ff
f
![Page 47: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/47.jpg)
04. 11. 2013 47
*Základní rovnice hydrostatiky I
• Pro tenzor napětí u ideální kapaliny platí jednoduše Pascalův zákon :
ij=-pij.
ij je tzv. Croneckerovo delta. Nabývá dvou hodnot: ij=1 pro i=j nebo ij=0 pro ij.
• p = F/S [Pa] je tlak - normálové napětí. • Budeme upravovat základní vztah pro
rovnováhu kontinua : 0
ji
ij fx
![Page 48: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/48.jpg)
04. 11. 2013 48
*Základní rovnice hydrostatiky II
• Po dosazení za tenzor napětí platí :
• Síla působí ve směru největší změny tlaku nebo naopak největší změna tlaku je ve směru působící síly.
• Jde-li speciálně o sílu vytvořenou polem majícím potenciál
fpgradfxp
jj
0
gradf
![Page 49: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/49.jpg)
04. 11. 2013 49
Základní rovnice hydrostatiky III
• Tedy:
• A konečně po integraci obdržíme :
• Tuto rovnici lze iterpretovat tak, že místa stejného tlaku leží na ekvipotenciálních plochách a s poklesem potenciálu = růstem hloubky se tlak zvětšuje.
ddp
gradpgrad
![Page 50: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/50.jpg)
04. 11. 2013 50
Základní rovnice hydrostatiky IV • Všechna rozhraní kapalin, samozřejmě včetně
hladiny, která je rozhraním kapaliny a plynu, jsou tedy ekvipotenciální plochy.
• Hladiny nejsou ve skutečnosti zcela vodorovné :• kopírují například zemský povrch a sledují i jemnější
změny potenciálu v důsledku rotace Země, její nehomogenity i společné působení Měsíce a Slunce.
• také se zakřivují v blízkosti okrajů nádoby.
![Page 51: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/51.jpg)
04. 11. 2013 51
Tlak v kapalině I Pascalův zákon
• V důsledku neexistence tečných napětí působí v každém bodě pouze tlak (=normálové napětí) a je stejný ze všech směrů.
• Na tomto principu je založena např. hydraulika. Můžeme-li zanedbat vlastní tíhu kapaliny, je tlak v ní všude stejný a na různě velké plochy tedy působí různě velká síla:
F1/S1 = p1 = p2 = F2/S2
![Page 52: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/52.jpg)
04. 11. 2013 52
Tlak v kapalině II
• Předpokládejme • gravitační pole v blízkosti povrchu Země.
= gz
• svislá osa je z, její kladná část míří vzhůru.
• Obecně musíme připustit závislost hustoty na z, potom :
gzdz
dp)(
![Page 53: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/53.jpg)
04. 11. 2013 53
Tlak v kapalině III Průběh tlaku v kapalině je lineární
• U těžko stlačitelných kapalin lze hustotu považovat za konstantní a tedy :
• Integrace vede na lineární pokles tlaku s výškou (např. ode dna z = 0, kde je p = p0) :
• Častěji uvažujeme naopak vzrůst s hloubkou pod hladinou (z = 0, kde je barometrický tlak p = b0) :
gdzdp
gzpzp 0)(
ghbhp 0)(
![Page 54: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/54.jpg)
04. 11. 2013 54
Tlak v kapalině IVPrůběh tlaku v atmosféře je
exponenciální• Předpokládejme izotermickou atmosféru,
stlačitelnou podle Boyle-Marriotova zákona
• Potom :
• Diferenciální rovnici řešíme integrací po separaci proměnných a po odlogaritmování:
pgpdz
dp
0
0
0
000 p
pVppV
)exp()(0
00 p
gzpzp
![Page 55: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/55.jpg)
04. 11. 2013 55
Archimédův zákon I• Těleso ponořené do tekutiny je nadlehčováno
silou, která se rovná tíze tekutiny tělesem vytlačené.
• Nadlehčování je způsobeno tlakovými silami, které se snaží tekutinu “vrátit”, do míst, odkud byla tělesem vytlačena nebo kam se může alespoň principiálně dostat.
• Protože tlak roste s hloubkou, lze očekávat, že výslednice sil bude směřovat vzhůru.
![Page 56: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/56.jpg)
04. 11. 2013 56
Archimédův zákon II• Archimédův zákon
• úzce souvisí s růstem tlaku s hloubkou • lze ilustrovat na tělese speciálního tvaru nebo• dokázat obecně jako rovnováhu objemových a
povrchových sil. Druhý důkaz nepožaduje konstantní hustotu, čili nezávisí na možné stlačitelnosti tekutiny a platí tedy i pro plyny a také tělesa, která mohou být v několika prostředích, např. neúplně ponořená.
![Page 57: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/57.jpg)
04. 11. 2013 57
Archimédův zákon III• Mějme rotační válec o výšce h a podstavě S
v ideální kapalině o hustotě 0.• Tlakové síly na plášť se v každé hloubce
vyrovnají.• Nevykompenzovaná zůstane pouze tlaková síla
působící na spodní podstavu a tedy vzhůru, protože tato podstava je hlouběji o výšku válce než podstava horní: F = Sh0g.
• To je ale přesně tíha vytlačené kapaliny.
![Page 58: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/58.jpg)
04. 11. 2013 58
Archimédův zákon IV
• V kapalině, která je v rovnováze si mysleme její určitý objem libovolného tvaru.• Tento objem má svoji hmotnost, a tíha směřuje
svisle dolů.• Na povrch objemu působí tlakové síly. Protože
je objem v rovnováze, musí jejich výslednice vykompenzovat tíhu, čili musí směřovat svisle vzhůru a její velikost se musí rovnat tíze myšleného objemu.
![Page 59: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/59.jpg)
04. 11. 2013 59
Povrchové napětí I
• Částice kapaliny blízko rozhraní mají ve svém okolí prostředí dvojího druhu. To obecně vede k nesymetrii působících sil, jak dovedeme vysvětlit opět pomocí potenciálové jámy.
• Takový efekt existuje i na rozhraní dvou pevných látek. Jak jsme poznali, rozhraní kapaliny se vyznačuje tím, že zaujímá v každém bodě směr kolmo k působící síle.
![Page 60: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/60.jpg)
04. 11. 2013 60
*Povrchové napětí II
Δx
lF
Práce vykonaná při zvětšení blány o plochu ΔS:
Mýdlová blána
(2 povrchy)Proč se mince položená opatrně na povrch vody nepotopí?
ΔW = 2σlΔx
Energie na jednotku plochy = povrchové napětí:
ΔW/2lΔx = σ
[σ] = N.m-1 = J.m-2
![Page 61: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/61.jpg)
04. 11. 2013 61
Povrchové napětí III
• Například na rozhraní kapalina – plyn působí síly směřující do kapaliny.• Výsledkem je, že se rozhraní snaží zaujímat
minimální povrch, např. se tvoří kapky.
• Na rozhraní kapalina – pevná látka mohou síly směřovat : • do kapaliny - kapalina látku nesmáčí
• z kapaliny ven - kapalina látku smáčí.
![Page 62: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/62.jpg)
04. 11. 2013 62
Kapilární elevace a deprese
![Page 63: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/63.jpg)
04. 11. 2013 63
Úvod do hydrodynamiky
• Popsat tekutiny v pohybu patří mezi nejobtížnější problémy, které v klasické fyzice existují.
• Pro jednoduchost vyjdeme ze zákonů zachování, které platí pro pomalé proudění neviskózní a nestlačitelné kapaliny.
• Později podrobněji popíšeme chování nejjednodušší viskózní, tzv. Newtonovské kapaliny a ukážeme příklady chování některých ne-Newtonovských kapalin.
![Page 64: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/64.jpg)
04. 11. 2013 64
Hydrokinematika I
• Proudící kapalinu lze popsat pomocí :• Trajektorií, křivek, po nichž se částice pohybují
v čase. Částicí se zde rozumí makroskopicky malý ale mikroskopicky velký objem kapaliny.
• Proudnic, křivek tečných v každém bodě k vektorům rychlosti. Proudnice tvoří proudové trubice, jejichž stěnami kapalina neprochází. Jejich vnitřek se nazývá proudová vlákna.
![Page 65: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/65.jpg)
04. 11. 2013 65
Zákony zachování
• U ideálních kapalin lze jednoduše využít zákonů zachování. Zachovávají se :• Množství – rovnice kontinuity
• Hybnost
• Energie – Bernoulliho rovnice
![Page 66: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/66.jpg)
04. 11. 2013 66
Rovnice kontinuity
• Časový objemový průtok Q kapaliny určitou proudovou trubicí se zachovává. Jinak by se kapalina musela někde objevovat nebo mizet.
• Má-li proudová trubice u nestlačitelné kapaliny v jednom místě průřez S1 a v druhém S2, platí :
S1v1 = Q1 = Q2 = S2v2
• U stlačitelných tekutin je konstantní průtok hmotnostní a platí : S1v11 = S2v22
![Page 67: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/67.jpg)
04. 11. 2013 67
Zachování hybnosti
• Ke změně směru proudové trubice může dojít jen v případě existuje-li impuls síly, který příslušnou změnu hybnosti umožní v čase :
• Proudnice musí zpravidla podpírat i síly tlakové.
• Např. změna rychlosti vody v hadici vede ke změně jejího tvaru a nové rovnováze.
tvvQptF )( 12
![Page 68: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/68.jpg)
04. 11. 2013 68
Zachování energie
• Bernoulliho rovnice vyjadřuje zákon zachování hustoty energie :
• V praxi se vyjadřuje několika způsoby, například v rozměrech délkových :
.2
2
konstV
Epgh
v
.2
2
konstg
ph
g
v
![Page 69: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/69.jpg)
04. 11. 2013 69
Odvození Bernoulliho rovnice I
• Uvažujme dvě různá místa, ohraničující určitý úsek jedné proudové trubice, která jsou popsána rychlostí vi, tlakem pi a výškou hi.
• Působením tlakových sil se určitý objem V se přemístí za čas t z prvního místa do druhého.
• Na oba objemy působí z vnějšku úseku tlakové síly opačné orientace o velikosti Fi = Si pi.
• Práce, kterou vykonají tyto síly za t se musí rovnat přírůstku celkové energie daného objemu.
![Page 70: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/70.jpg)
04. 11. 2013 70
Odvození Bernoulliho rovnice II
• Tedy :
• Dosadíme za síly a energie :
• Aplikujme rovnici kontinuity a dělíme ΔV :
)()( 11222211 pkpk EEEEvFvFt
)(2
)()( 12
21
22
222111 hhmgvvm
vSpvSpt
)(2
)()( 12
21
22
21 hhmgvvm
ppV
![Page 71: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/71.jpg)
04. 11. 2013 71
Odvození Bernoulliho rovnice III• Tento vztah, vyjadřující zachování energie, bývá
zvykem vztáhnout ke jednotkovému objemu, tedy vydělit V a přeskupit podle uvažovaných míst :
• Rci odvodil Švýcar Daniel Bernoulli 1700-1783
• Celková energie proudící kapaliny má tedy tři složky : tlakovou, kinetickou a potenciální.
2
22
21
21
1 22gh
vpgh
vp
![Page 72: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/72.jpg)
04. 11. 2013 72
Použití Bernoulliho rovnice I
• Bernoulliho rovnice lze použít jako prvního přiblížení při řešení řady praktických problémů.
• Uvažujme například výtok kapaliny ze široké (nebo doplňované) nádoby malým otvorem umístěným v hloubce h pod hladinou. V Bernoulliho rovnici můžeme udělat několik úprav a zanedbání :
![Page 73: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/73.jpg)
04. 11. 2013 73
Použití Bernoulliho rovnice II
• Oba tlaky jsou atmosférické : p1= p2.
• Vyjádříme hloubku: h = z1 – z2
• Rychlost v1 můžeme zanedbat.
• Po zkrácení a úpravě :Je zajímavé, že tento tzv. Torrichellio vzorec byl
znám již sto let před Bernoullim.
2
22
21
21
1 22gz
vpgz
vp
ghv 22
![Page 74: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/74.jpg)
04. 11. 2013 74
Použití Bernoulliho rovnice III
• Není-li možné rychlost v1 zanedbat, použijeme rovnici kontinuity v1 = v2S2/S1 :
• Po zkrácení , zavedení hloubky a úpravě :
(výraz má zjevně smysl jen pro S1 > S2)
2
22
121
22
22
22gz
vgz
S
Sv
22
21
12
2
SS
ghSv
![Page 75: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/75.jpg)
04. 11. 2013 75
Použití Bernoulliho rovnice IV• Uvažujeme-li místa o stejné výšce je z Bernoulliho
rovnice patrná zajímavá vlastnost proudících tekutin a to, že v místech s větší rychlostí je nižší tlak. Na tomto principu je založena řada jevů od bouchání dveří v průvanu, přes střílení rohového kopu ve fotbale, po létání letadel. Protože jsou důsledky na první pohled překvapivé, je tento jev znám jako hydrodynamický paradoxon.
• Významné je jeho využití při měření rychlosti.
![Page 76: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/76.jpg)
04. 11. 2013 76
Použití Bernoulliho rovnice V• Pitotova trubice (fajfka) :
• do měřené kapaliny jsou vnořeny dvě trubice, ústí jedné je kolmo, ústí druhé rovnoběžně s jejím proudem (fajfka) v2 = 0.
• v každé trubici vystoupí kapalina do výšky zi podle odpovídající tlaku pi = gzi při jejím ústí
• ve vztahu vystupuje pouze rozdíl výšek zi
)(22 1212
21
1 zzgvgzv
gz
![Page 77: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/77.jpg)
04. 11. 2013 77
*Použití Bernoulliho rovnice VI
• Venturiho trubice (potřebuje zúžení) :• do měřené kapaliny jsou kolmo vnořeny dvě
trubice, jedna v místě s průřezem S1, druhá S2.
• v každé trubici vystoupí kapalina do výšky zi podle odpovídající tlaku pi = gzi při jejím ústí
2211
22
2
21
1 22vSvS
vgz
vgz
![Page 78: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/78.jpg)
04. 11. 2013 78
*Použití Bernoulliho rovnice VII
• Z obou rovnic :
• Pro rychlost v1 a průtok Q platí po úpravě :
22
21
2121
)(2
SS
zzgSv
22
21
21
21
21 22)(
S
Svvzzg
22
21
212111
)(2
SS
zzgSSvSQ
![Page 79: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/79.jpg)
04. 11. 2013 79
Viskózní kapaliny I
• Při proudění reálných tekutin se sousední vrstvy ovlivňují tečným napětím, které závisí na vzájemné rychlosti vrstev a viskozitě tekutiny.
• Mějme tekutinu proudící ve směru osy x. Potom pro tečné napětí, čili napětí působící ve směru proudění, platí Newtonův zákon:
dtd
dydtdx
Ddydv
x
![Page 80: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/80.jpg)
04. 11. 2013 80
Viskózní kapaliny II• dynamická viskozita (éta) – míra odporu tečení
• [] = kg m-1s-1 = Nm-2s = Pa s
• Starší jednotka Poise [P]=gcm-1s-1=0.1 Pa s
• Převrácená hodnota viskozity se nazývá tekutost:
= 1/• Často se používá viskozita vztažená na hustotu, tzv.
kinematická viskozita (ný) = /• D je gradient rychlosti rovný časové změně
deformace ve střihu .
![Page 81: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/81.jpg)
04. 11. 2013 81
Viskózní kapaliny III
• Fyzikální význam viskozity : • Snažme se například táhnout desku jistou rychlostí v po
hladině kapaliny hloubky y nad stojícím dnem. Od něj k desce tedy vytváříme gradient rychlosti :
Musíme táhnout tím větší silou• čím větší je viskozita kapaliny nebo
• čím větší rychlosti chceme dosáhnout
• Analogicky s Ω zákonem lze viskozitu chápat jako tečné napětí potřebné na jednotkový gradient rychlosti :
Ddydv
y
v
dy
dvD
D )(
I
UR
![Page 82: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/82.jpg)
04. 11. 2013 82
Viskózní kapaliny IV
• Dynamická a kinematická viskozita některých kapalin:
[Pa s] (ný) [m2/s]• ETOH 1.2 10-3 1.51 10-6
• benzín 2.9 10-4 4.27 10-7
• rtuť 1.5 10-3 1.16 10-7
• olej 0.26 2.79 10-4
• voda 1.005 10-3 0.804 10-6
![Page 83: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/83.jpg)
04. 11. 2013 83
Viskózní kapaliny V
• Viskozita : • snižuje průtok kapaliny (za daných podmínek)
• způsobuje, že rychlost v protékaném průřezu není konstantní, ale má určité rozložení, u krajů je minimální (nulová) a uprostřed maximální.
• Ukážeme, že v (proudové) trubici kruhového průřezu je rozložení rychlosti na vzdálenosti od osy parabolické.
![Page 84: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/84.jpg)
04. 11. 2013 84
*Viskózní kapaliny VI
• Mysleme si v laminárně a rovnoměrně proudící kapalině váleček o poloměru y. Na• podstavy působí tlakové síly (p1 > 0, p2 < 0)
• plášť síla způsobená třením okolních vrstev.
• Pohybuje-li se válec rovnoměrně, musí být všechny síly na něj působící, tedy síly působící na podstavy plus na plášť v rovnováze :
02)( 212
dydv
lyppy
![Page 85: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/85.jpg)
04. 11. 2013 85
Výpočet objemu proteklé tekutiny potrubím při laminárním proudění
r
Směr pohybu tekutiny
F1 F2
Ft
2yp1 p2
![Page 86: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/86.jpg)
04. 11. 2013 86
*Viskózní kapaliny VII
• Předpokládejme, že p1 > p2 a tedy kapalina se pohybuje ve směru růstu souřadnice x.
• Znaménko + znamená, že třecí sílu bychom považovali (jako obvykle) za kladnou, kdyby měla směr rychlosti.
• Protože první člen je kladný, musí být třecí síla záporná, čili brzdící a rychlost klesá směrem od osy.
![Page 87: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/87.jpg)
04. 11. 2013 87
*Viskózní kapaliny VIII
• Po zavedení p = p1 – p2 a úpravě :
• Po integraci :
dyyl
pdv
2
1
kyl
pyv
2
4
1)(
![Page 88: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/88.jpg)
04. 11. 2013 88
*Viskózní kapaliny IX
• Uvažujeme-li trubici o poloměru r. Obdržíme hodnotu integrační konstanty k z okrajové podmínky v(r) = 0 :
• a celkově dostáváme parabolickou závislost :
2
4
1r
l
pk
)(4
1)( 22 yr
l
pyv
![Page 89: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/89.jpg)
04. 11. 2013 89
*Viskózní kapaliny X
• Důležitou a snadněji měřitelnou veličinou je průtok. Celkový průřez musíme rozdělit na mezikruží o poloměru y, v nichž je vždy rychlost konstantní:
• Celkový průtok obdržíme integrací :
• To je známá Hagen-Poiseuillova rovnice.
dyyyrlp
yydyvydQv )(21
)(2)( 22
l
prdyyyr
l
pQ
r
v
8)(
2
1 4
0
22
![Page 90: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/90.jpg)
04. 11. 2013 90
Rozložení rychlosti při laminárním proudění potrubím kruhového průřezu
)(41
);( 22 yrlp
ryv
ryv(y)
vmax
)(41 2
max rlp
v
![Page 91: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/91.jpg)
04. 11. 2013 91
Elegantní měření- pád kuličky ve viskózní kapalině
grG 3
34
G
FVFS
Působící síly: tíha, vztlak, odpor
Koule nerovnoměrně zrychluje až do vyrovnání působících sil:
GFF SV
grFV 03
34
rvFS 6
![Page 92: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/92.jpg)
04. 11. 2013 92
Viskózní kapaliny XI
• Stokesův zákon:• Na kuličku o poloměru r, která se pohybuje
malou rychlostí v v kapalině působí brzdící síla
F = 6rv• Kulička o hustotě bude po ustálení rovnováhy
padat v kapalině 0 konstantní rychlostí vt :
)(9
20
2
gr
vt
![Page 93: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/93.jpg)
04. 11. 2013 93
Viskózní kapaliny XII
• Laminární proudění• brzdící síla je úměrná rychlosti• rychlost je úměrná r2
• střední rychlost vyplývající z H-P rovnice <v>=Qv/S je také úměrná r2 a tlakovému spádu
• Za mezí Stokesova zákona :• Často je brzdící síla úměrná v2 : Fd = CdSv2
• Cd je parametr, který závisí na tvaru
![Page 94: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/94.jpg)
04. 11. 2013 94
Viskózní kapaliny XIII• Pro posouzení, zda je proudění ještě laminární se
používá tzv. Reynoldsovo číslo. • pro kuličku o poloměru r, pohybující se rychlostí v• pro kapalinu pohybující se střední rychlostí <v> v trubici
o poloměru r platí :
• Pro R >1000 se považuje proudění za turbulentní(ve jmenovateli posledního výrazu je řecké (ný), tedy kinematická viskozita!)
vrvr
R
![Page 95: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/95.jpg)
04. 11. 2013 95
Dynamika krevního oběhu INa základě práce Dr. J. Tulky
• Krevní oběh je udržován srdcem. Levá část síň -> komora pumpuje krev do velkého (tělního) oběhu a pravá část do malého oběhu (plic).
• Krev v aortě :• <v> = 0.3 ms-1
• r = 0.01 m = 1060 kg m-3
= 3.3 10-3 Pa s
• R 970 proudění je ještě těsně laminární.
![Page 96: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/96.jpg)
04. 11. 2013 96
Dynamika krevního oběhu II
• Ve velkých žilách proudí krev pomaleji, jen rychlostí <v> = 0.1 ms-1 a ve vlásečnicích dokonce jen rychlostí <v> = 0.001 ms-1. Pomocí rovnice kontinuity můžeme odhadnout, že celkový průřez• velkých žil je 3 krát větší než průřez aorty
• vlásečnic je 300 krát větší než průřez aorty
![Page 97: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/97.jpg)
04. 11. 2013 97
Dynamika krevního oběhu III• Podle H-P zákona je tlakový spád nepřímo
úměrný čtvrté mocnině poloměru trubice. K největšímu spádu tedy musí docházet v arteriální sekci :• aorta plicnice
• systola 16 kPa (120 torr) 3.3 kPa
• diastola 10.5 kPa (80 torr) 1.3 kPa
![Page 98: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/98.jpg)
04. 11. 2013 98
Dynamika krevního oběhu IV
• Práce srdce bývá vyjadřována jako součet • statické – objemové dodávající tlakovou energii
• kinetické – dodávající kinetickou energii odpovídající příslušné střední rychlosti :
• Pro střední hodnoty V = 70 ml a p = 13.3 kPa je WS= 0.93 J a WK = 0.003 J, tedy W = 0.94 J
VvVpWWW KS 221
![Page 99: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/99.jpg)
04. 11. 2013 99
Dynamika krevního oběhu V
• Práce pravé komory je asi jedna pětina práce komory levé. Celková mechanická práce srdce při jedné systole je tedy asi 1.13 J.
• Při tepové frekvenci 70 min-1 je výkon srdce přibližně 1.3 W.
• Tato hodnota představuje jen asi jednu desetinu celkového mechanického výkonu srdce. Převažující část se spotřebuje na udržování stálého napětí (tonusu) srdeční svaloviny.
![Page 100: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/100.jpg)
04. 11. 2013 100
Dynamika krevního oběhu VI
• Celkový srdeční výkon je tedy asi 13 W, což představuje přibližně 13% celkového klidového výkonu organismu.
• Srdce ale funguje nepřetržitě řadu let. Za 60 let života vykoná práci 2.5 GJ, což je :• 3 s výkonu Chvaletické elektrárny
• Vyzdvižení 30 t břemene na Mt. Everest
![Page 101: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/101.jpg)
Příklad - potenciál I• Spočítejme práci, kterou musíme (jako
vnější činitel) dodat pro přemístění hmotnosti m z rA do rB v centrálním poli jisté hmotnosti M.• Závisí jen na vzdálenostech od tělesa a práci
musíme dodávat jen při zvětšování r, protože působíme proti přitažlivé síle.
B
A
r
r
B
A
B
A
BA drrFrdrFdWW )()(
![Page 102: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/102.jpg)
Příklad - potenciál II
Tuto práci chápeme jako přírůstek potenciální energie
srovnáním
)11
(2AB
r
r
BA rrmMdr
rmM
WB
A
)()( AEBEW ppBA
rmM
rEp
)(
![Page 103: FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062308/56812dda550346895d9328df/html5/thumbnails/103.jpg)
Příklad - potenciál III• Práce dodaná tělesu vnějším činitelem zvýší
jeho potenciální energii. Tu obecně definujeme včetně integrační konstanty c, dané kalibrací:
• Často předpokládáme, že potenciální energie v nekonečnu je nulová, což odpovídá c=0 :
crM
mrEp )(
rmM
rEp
)(^