1. Macroscpico .4~t0.tY~ifd;.R_-:::srr()~ ...... TUlo: f'en;en()s de transporte. 11~111~1wll~l~~lllllt11Hlllll~li 10101949 .A.136884 . Ex.R.UF;s. ~lCEN

2. FE T SEGUNDA EDIO R. Byron Bird Warren E. Stewart Edwin N. Lightfoot Chemical Engineering Department University ofWisconsin-Madison Equipe de Traduo Affonso Silva Telles1 Ph.D. Departamento de Engenharia Qumica Escola de Qumica/UFRJ (Captulos9, 10, 11, 12, 13, 14, 16e24) Carlos Russo, Ph.D. Departamento de Tecnologia de Processos Bioqumicos - Instituto de Quimica/UERJ (Captulos 17, 18, 19, 20, 21 e22) Ricardo Pires Peanha, Ph.D. Departamento de Engenharia Qumica Escola de Qumica/UFRJ (Captulos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 8} Vernica Calado1 D.Se. Departamento de Engenharia Qumica - Escala de Qumica/UFRJ (Captulos Zero, 7, 15, 23, Apndices A a F, Notao e ndice) LTC EDITORA By W. S. 3. COMPRA /() No interesse de difuso da cultura e do conhecimento, os autores e os editores envidaram o mximo esforo para localizar os detentores dos direitos autorais de qualquer material utilizado, dispondo-se a possveis acertos posteriores caso, inadvertidamente, a identificao de algum deles tenha sido omitida. Biblioteca Central Fenmenos de transporte. Ac. 136884- R. 10101949 Ex. 8 Compra - xito Nf.: 004459 R$ 51,75 - 15/09/2009 ENGENHARIA QUfMICA Editorao Eletrnica: {ja6i e .lucns Servio; < 1Jatilo9rajia '.E.~1. ijnificn. Lta.-ME Capa: Norm Christiansen. Usada com pemsso de John Wiley & Sons, Inc. TRANSPORT PHENOMENA, Second Edition Copyright 2002, John Wley & Sons, Inc. All Rights Reserved. Authorized translation from the English language edition published by John Wiley & Sons, Inc. Direitos exclusivos para a lngua portuguesa Copyright 2004 by LTC-Livros Tcnicos e Cientficos Editora S.A. Travessa do Ouvidor, l l Rio de Janeiro, RJ - CEP 20040-040 Tel.: 21-2221-9621 Fax: 21-2221-3202 Reservados todos os direitos. proibida a duplicao ou reproduo deste volume, no todo ou em parte, sob quaisquer formas ou por quaisquer meios (eletrnico, mecnico, gravao, fotocpia, distribuio na Web ou outros) sem permisso expressa da Editora. 4. PREFCIO Embora as transferncias de momento, de calor e de massa tenham sido desenvolvidas independentemente como ramos da fsica clssica h tempos, seu estudo unificado encontrou lugar como uma das cincias fundamentais de engenharia. Esse desenvolvimento, por sua vez, com menos de meio sculo de idade, continua a crescer e a encontrar aplicaes em novas reas, tais como biotecnologia, microeletrnica, nanotecnologia e cincia de polmeros. A evoluo dos fenmenos de transporte tem sido to rpida e extensa que no possvel abord-los em sua tota- lidade. Ao incluir muitos exemplos representativos, nossa principal nfase, por uma questo de necessidade, diz res- peito a aspectos fundamentais dessa rea. Alm disso, cons- tatamos, em discusses com colegas, que o tema fenme- nos de transporte ensinado de diversas maneiras e em n- veis diferentes. Foi includo material suficiente para dois cursos: um introdutrio e um avanado. O curso elementar, por sua vez, pode ser dividido em um de transferncia de momento e um outro de transferncia de calor e de massa, fornecendo assim mais oportunidades para demonstrar a utilidade desse material em aplicaes prticas. Com o ob- jetivo de ajudar estudantes e professores, algumas sees tm os smbolos (O) significando opcionais, e (9) significando avanadas. Embora considerado h muito tempo como um tema ma- temtico, os fenmenos de transporte so mais importantes por seu significado fsico. Sua essncia a formulao cui- dadosae compacta dos princpios de conservao,juntamen- te com as expresses de fluxo com nfase nas semelhanas e diferenas entre os trs processos de transporte considera- dos. Freqentemente, conhecer as condies de contorno e as propriedades fsicas em um problema especfico pode levar a conhecimentos teis, com um esforo mnimo. Con- tudo, a linguagem dos fenmenos de transporte matemti- ca e, neste livro, supusemos familiaridade com equaes diferenciais ordinrias e anlise vetorial elementar. Introdu- ziremos o uso de equaes diferenciais parciais com expli- caes suficientes de modo que o estudante interessado possa dominar o material apresentado. A fim de poder se concen- trar no entendimento fundamental, as tcnicas numricas no so utilizadas, apesar de sua bvia importncia. Citaes literatura publicada so enfatizdas em todo o livro, tanto para colocar os feriinenos de trarisporte em seu contexto histrico adequado, quanto para conduzir o leitor a extenses dos fundamentos e outras aplicaes. Foi uma preocupao nossa, em particular, apresentar os pionei- ros aos quais devemos muito e dos quais podemos ainda obter inspirao til. Esses foram seres humanos no to diferentes de ns, e talvez alguns de nossos leitores sejam inspirados a fazer contribuies semelhantes. Obviamente, as necessidades de nossos leitores e as fer- ramentas disponveis para eles tm mudado grandemente desde que a primeira edio foi escrita, cerca de quarenta anos atrs. Fizemos um srio esforo para tomar nosso texto atualizado, dentro dos limites de espao e de nos- sas habilidades, e tentamos antecipar mais desenvolvimen- tos. As maiores mudanas em relao primeira edio incluem: propriedades de transporte de sistemas bifsicos; o uso de "fluxos combinados" para estabelecerbalan- os e equaes de variaes em cascas; conservao de momento angular e suas conseqn- cias; deduo completa do balano de energia mecnica; tratamento expandido da teoria da camada limite; disperso de Taylor; discusses melhoradas do transporte turbulento; anlise de Fourier do transporte turbulento a altos valores de Pr ou Se; mais sobre os coeficientes de transferncia de calor e de massa; discusses estendidas de anlise dimensional e mudan- a de escala; mtodos matriciais para transferncia de massa multicomponente; sistemas inicos, separaes por membranas e meios porosos; a relao entre a equao de Boltzmann e as equaes do contnuo; o uso da conveno "Q + W" nas discusses de ener- gia, em conformidade com os principais livros de f- sica e de fsico-qumica. 5. vi PREFCIO No entanto, sempre a gerao de profissionais maisjovens que v ofuturo mais claramente e que deve edific-lo sobre heranas imperfeitas. Ainda h muito por ser feito, mas espera-se que a utili- dade dos fenmenos de transporte cresa em vez de dimi- nuir. Cada uma das novas tecnologias entusiasmantes flo- rescendo ao nosso redor governada, no nvel detalhado de interesse, pelas leis de conservao e pelas expresses de fluxo, juntamente com informao sobre os coeficientes de transporte. A adaptao de equacionamentos de problemas e de tcnicas de soluo para essas novas reas manter, indubitavelmente, engenheiros ocupados por um longo tem- po e podemos apenas esperar ter fornecido uma base til a partir da qual comear. Cada novo livro depende, para seu sucesso, demuito mais pessoas do que aquelas cujos nomes aparecem na pgina do ttulo. A dvida mais bvia certamente com os estudantes aplicados e talentosos que, coletivamente, ensinaram-nos muito mais do que temos ensinado a eles. Alm disso, os professores que revisaram omanuscrito merecem agradeci- mentos especiais por suas numerosas correes e coment- rios perspicazes: Yu-Ling Cheng (Universidade de Toron- to), Michael D. Graham (Universidade de Wisconsin), Susan J. Muller (Universidade da Califrnia-Berkeley), William B. Russel (Universidade de Princeton), Jay D. Schieber (Insti- tuto de Tecnologiade Illinois) eJohn F. Wendt (Instituto Von Krrnn de Fluidodinmica). Entretanto, em um nvel mais profundo, beneficiamo-nos da estrutura e tradio departa- mentais, providas por nossos antecessores aqui emMadison. Omais importante entre eles foi OlafAndreas Hougen e sua memria que essa edio dedicada. Madison, Wisconsin R. B. B. W.E.S. E.N.L. 6. SUMRIO Prefcio v Captulo O O Assunto Fenmenos de Transporte 1 PARTE I TRANSPORTE DE MOMENTO Captulo 1 Viscosidade e os Mecanismos de Transporte de Momento 11 1.1 Lei de Newton da Viscosidade (Transporte Molecular de Momento) 11 Exemplo 1.1-1 Clculo do Fluxo de Momento 15 1.2 Generalizao da Lei de Newton da Viscosidade 15 1.3 Dependncia da Viscosidade com a Presso e a Temperatura 20 Exemplo 1.3-1 Estimao da Viscosidade a Partir de Propriedades Crticas 22 1.4 Teoria Molecular da Viscosidade de Gases a Baixas Densidades 22 Exemplo 1.4-1 Clculo da Viscosidade de um Gs Puro a Baixas Densidades 26 Exemplo 1.4-2 Previso da Viscosidade de uma Mistura Gasosa a Baixas Densidades 26 1.5 Teoria Molecular da Viscosidade de Lquidos 27 Exemplo 1.5-1 Estimao da Viscosidade de um Lquido Puro 29 1.6 Viscosidade de Suspenses e Emulses 30 1.7 Transporte Convectivo de Momento 32 Questes para Discusso 34 Problemas 35 Captulo 2 Balanos de Momento em Cascas e Distribuio de Velocidades em Regime Laminar 39 2.1 Balanos de Momento em Cascas e Condies de Contorno 40 2.2 Escoamento de um Filme Descendente 41 Exemplo 2.2-1 Clculo da Velocidade de um Filme 45 Exemplo 2.2-2 Filme Descendente com Viscosidade Varivel 45 2.3 Escoamento Atravs de um Tubo Circular 46 Exemplo 2.3-1 Detenninao da Viscosidade, a Partir de Dados de Escoamento Capilar 50 Exemplo 2.3-2 Escoamento Compressvel em um Tubo Circular Horizantal 51 2.4 Escoamento Atravs de um nulo 51 2.5 Escoamento de Dois Fluidos Imiscveis e Adjacentes 53 2.~ Escoamento Lento em Tomo de uma Esfera 55 Exemplo 2.6-1 Detenninao da Viscosidade, a Partir da Velocidade Terminal de uma Esfera em Queda 58 Questes para Discusso 58 Problemas 59 Captulo 3 As Equaes de Balano para Sistemas Isotrmicos 71 3.1 A Equao da Continuidade 72 Exemplo 3.1-1 Tenses Nonnais em Supeifcies Slidas para Fluidos Newtonianos lncompressveis 73 3.2 A Equao do Movimento 74 3.3 A Equao da Energia Mecnica 76 3.4 A Equao do Momento Angular 77 3.5 As Equaes de Balano, em Termos da Derivada Substantiva 78 Exemplo 3.5-1 A Equao de Bernoulli para o Escoamento Permanente de Fluidos lnvscidos 80 3.6 Uso das Equaes de Balano para Resolver Problemas de Escoamento 81 Exemplo 3.6-1 Escoamento Permanente em um Tubo Circular e Longo 82 Exemplo 3.6-2 Pelcula Descendente com Viscosidade Varivel 83 Exemplo 3.6-3 Operao de um Viscosmetro Couette 84 Exemplo 3.6-4 Forma da Supe1ficie de um Lquido em Rotao 88 Exemplo 3.6-5 Escoamento Prximo a uma Esfera Girando Vagarosamente 89 7. viii SUMRIO ' 3.7 Anlise Dimensional das Equaes de Balano 91 Exempl 3.7-1 Escoamento Transversal a um Cilindro Circular 93 Exemplo 3.7-2 Escoamento Pemanente em um Tanque Agitado 95 Exemplo 3.7-3 Queda de Presso para Escoamento Lento em um Tubo Recheado 97 Questes para Discusso 98 Problemas 98 Captulo 4 Distribuies de Velocidades com Mais de Uma Varivel Independente 113 4.1 Escoamento de Fluidos Newtonianos Dependentes do Tempo 113 Exemplo 4.1-1 Escoamento Prximo a uma Parede Abntptamente Posta em Movimento 114 Exemplo 4.1-2 Escoamento Laminar Transiente entre Duas Placas Paralelas 116 Exemplo 4.1-3 Escoamento Laminar Transiente Prximo a uma Placa Oscilante 119 4.2 Resolvendo Problemas de Escoamento Usando a Funo de Corrente 120 Exemplo 4.2-1 Escoamento Lento em Tomo de uma Esfera 122 4.3 Escoamento de Fluidos Invscidos e Potencial de Velocidade 123 Exemplo 4.3-1 Escoamento Potencial em Tomo de um Cilindro 126 Exemplo 4.3-2 Escoamento para Dentro de um Canal Retangular 127 Exemplo 4.3-3 Escoamento Prximo a Paredes em ngulo 128 4.4 Escoamento Prximo a Superfcies Slidas e Teoria da Camada Limite 131 Exemplo 4.4-1 Escoamento Laminarao Longo de uma Placa Plana (Soluo Aproximada) 133 Exemplo 4.4-2 Escoamento Laminar ao Longo de uma Placa Plana (Soluo Exata) 134 Exemplo 4.4-3 Escoamento Prximo a Paredes em ngulo 136 Questes para Discusso 137 Problemas 138 Captulo 5 Distribuies de Velocidades no Escoamento Turbulento 149 5.1 Comparaes entre Escoamentos Laminar e Turbulento 150 5.2 Mdias Temporais das Equaes de Balano para Fluidos Incompressveis 153 5.3 Mdia Temporal do Perfil de Velocidades Prximo a uma Parede 155 ~ 5.4 Expresses Empricas para o Fluxo Turbulento de Momento 158 Exemplo 5.4-1 Desenvolvimento de uma Expresso para a Tenso de Reynolds nas Vizinhanas de uma Parede 159 5.5 Escoamento Turbulento em Tubos 160 Exemplo 5.5-1 Estimativa da Velocidade Mtdia em um Tubo Circular 160 Exemplo 5.5-2 Aplicao da Frmula de Pranltl para o Compn'mento de Mistura no Escoamento Turbulento em um Tubo Circular 161 Exemplo 5.5-3 Magnitude Relativa da Viscosidade e da Viscosidade Turbulenta 163 5.6 Escoamento Turbulento em Jatos 163 Exemplo 5.6-1 Mdias Temporais da Distribuio de Velocidades em um Jato Circular Proveniente de uma Parede 164 Questes para Discusso 167 Problemas 167 Captulo 6 Transporte entre Fases em Sistemas Isotrmicos 172 6.1 Definio de Fatores de Atrito 172 6.2 Fatores de Atrito para Escoamento em Tubos 174 Exemplo 6.2-1 Queda de Presso Necessria para uma Dada Vazo 177 Exemplo 6.2-2 Vazo para uma Dada Queda de Presso 177 6.3 Fatores de Atrito para o Escoamento em Torno de Esferas 179 Exemplo 6.3-1 Dete1minao do Dimetro de uma Esfera em Queda 181 6.4 Fatores de Atrito para Colunas Recheadas 182 Questes para Discusso 186 Problemas 186 Captulo 7 Balanos Macroscpicos para Sistemas Isotrmicos em Escoamento 192 7.1 Balano Macroscpico de Massa 193 Exemplo 7.1-1 Drenagem de um Tanque Esfrico 194 7.2 Balano Macroscpico de Momento 195 Exemplo 7.2-1 Fora Exercida por um Jato (Parte a) 196 7.3 Balano Macroscpico de Momento Angular 197 Exemplo 7.3-1 Torque em um Tanque de Mistura 197 7.4 Balano Macroscpico de Energia Mecnica 198 Exemplo 7.4-1 Fora Exercida por um Jato (Parte b) 200 7.5 Estimao da Perda Viscosa 205 8. Exemplo 7.5-1 Potncia Requerida para Escoamento em uma Tubulao 202 7.6 Uso de Balanos Macroscpicos para Problemas em Regime Permanente 203 Exemplo 7.6-1 Aumento de Presso e Perda por Atrito em uma Expanso Repentina 204 Exemplo 7.6-2 Desempenho de um Ejetor Lquido-Lquido 205 Exemplo 7.6-3 Fora sobre um Tubo Curvo 206 Exemplo 7,6-4 O Jato Colidente 208 Exemplo 7.6-5 Escoamento Isotrmico de um Lquido Atravs de um Orifcio 209 7.7 O Uso dos Balanos Macroscpicos para Problemas Transientes 211 Exemplo 7.7-1 Efeitos de Acelerao no Escoamento Transiente em um Tanque Cilndrico 211 Exemplo 7.7-2 Oscilaes em Manmetros 213 7.se Deduo do Balano Macroscpico de Energia Mecnica 215 Questes para Discusso 217 Problemas 218 Captulo 8 Lquidos Polimricos 225 8.1 Exemplos de Comportamento de Lquidos Polimricos 226 8.2 Reometria e Funes Materiais 230 8.3 Viscosidade No-newtoniana e Modelos Newtonianos Generalizados 234 Exemplo 8.3-1 Escoamento Laminar de um Fluido Lei de Potncia, Incompressvel, em um Tubo Circular 236 Exemplo 8.3-2 Escoamento de um Fluido Lei de Potncia em uma Fenda Estreita 236 Exemplo 8.3-3 Escoamento Anular Tangencial de um Fluido Lei de Potncia 237 8.4 Elasticidade e Modelos Viscoelsticos Lineares 238 Exemplo 8.4-1 Movimento Oscilatrio de Pequena Amplitude 240 Exemplo 8.4-2 Escoamento Viscoelstico Transiente Prximo a uma Placa Oscilante 241 8.59 Derivadas Co-rotacionais e Modelos Viscoelsticos No-lineares 242 Exemplo 8.5-1 Funes Materiais para o Modelo de Oldroyd com 6 Constantes 243 8.69 Teorias Moleculares para Lquidos Polimricos 245 Exemplo 8.6-1 Funes Materiais para o Modelo FENE-P 247 Questes para Discusso 250 Problemas 250 SUMRJO ix PARTEUTRANSPORTE DE ENERGIA Captulo 9 Condutividade Trmica e os Mecanismos de Transporte de Energia 257 9.1 Lei de Fourier da Conduo de Calor (Transporte Molecular de Energia) 257 Exemplo 9.1-1 Medida da Condutividade Trmica 262 9.2 Dependncia da Condutividade Trmica com a Temperatura e a Presso 263 Exemplo 9.2-1 Efeito da Presso sobre a Condutividade Tnnica 264 9.3 Teoria da Condutividade Trmica de Gases a Baixas Densidades 264 E'xemplo 9.3-1 Clculo da Condutividade Trmica de Gs Monoatmico a Baixa Densidade 268 Exemplo 9.3-2 Estimativa da Condutividade Trmica de um Gs Poliatmico a Baixa Densidade 268 Exemplo 9.3-3 Previso da Condutividade Trmica de uma Mistura de Gases a Baixa Densidade 269 9.4 Teoria da Condutividade Trmica de Lquidos 269 Exemplo 9.4-1 Previso da Condutividade Trmica de um Lquido 270 9.5 Condutividade Trmica de Slidos 270 9.6 Condutividade Trmica Efetiva de Slidos Compsitos 271 9.7 Transporte Convectivo de Energia 273 9.8 Trabalho Associado aos Movimentos Moleculares 274 Questes para Discusso 276 Problemas 276 Captulo 10 Balanos de Energia em Cascas e Distribuies de Temperaturas em Slidos e em Escoamento Laminar 281 10.l Balanos de Energia em Cascas; Condies de Contorno 281 10.2 Conduo de Calor com uma Fonte Eltrica de Calor 282 Exemplo I0.2-1 Voltagem Necessria para um Aumento Especificado de Temperatura em um Fio Aqiiecido por uma Corrente Eltrica 285 Exemplo 10.2-2 Fio Aquecido com Coeficiente de Transferncia de Calor e Temperatura do ArAmbiente Especificados 285 10.3 Conduo de Calor com Fonte Nuclear de Calor 286 9. X SUMRIO 10.4 Conduo de Calor com Fonte Viscosa de Calor 288 10.5 Conduo de Calor com Fonte Qumica de Calor 290 10.6 Conduo de Calor Atravs de Paredes Compostas 293 Exemplo 10.6-1 Paredes Cilndricas Compostas 294 10.7 Conduo de Calor em Aleta de Resfriamento 296 Exemplo 10.7-1 Erro nas Medidas com Termopares 298 10.8 Conveco Forada 299 10.9 Conveco Natural 304 Questes para Discusso 306 Problemas 307 Captulo 11 As Equaes de Balano para Sistemas No-isotrmicos 320 11.1 A Equao da Energia 320 11.2 Formas Especiais da Equao da Energia 322 11.3 A Equao de Boussinesq do Movimento para Conveco Forada e Natural 324 11.4 O Uso das Equaes de Balano para Resolver Problemas em Regime Permanente 325 Exemplo 11.4-1 Transferncia de Calor, em Regime Permanente, por Conveco Forada em Escoamento Laminar em um Tubo Circular 327 Exemplo 11.4-2 Escoamento Tangencial em uma Regio Anular com Gerao de Calor por Atrito 327 Exemplo 11.4-3 Escoamento Permanente em Filme No-isotrmico 329 Exemplo 11.4-4 Resfriamento por Transpirao 330 Exemplo 11.4-5 Transferncia de Calor por Conveco Natural a Partir de uma Placa Vertical 332 Exemplo 11.4-6 Processos Adiabticos, Livres de Atrito, em um Gs Ideal 334 Exemplo 11.4-7 Escoamento Compressvel Unidimensional: Perfis de Velocidades, de Temperaturas e de Presses em uma Onda Estacionria de Choque 335 11.5 Anlise Dimensional das Equaes de Balanco para Sistemas No-isotrmicos 338 , Exemplo 11.5-1 Distribuio de Temperatura em Tomo de um Cilindro Lonvo 341 Exemplo 11.5-2 Conveco Natu;al em uma Camada Horizontal de Fluido; Formao de Clulas de Bnard 342 Exemplo 11.5-3 Temperatura de Superfcie de uma Serpentina Eltrica de Aquecimento 344 Questes para Discusso 345 Problemas 345 Captulo 12 Distribuies de Temperaturas com Mais de Uma Varivel Independente 357 12.l Conduo Transiente de Calor em Slidos 357 Exemplo 12.1-1 Aquecimento de uma Placa Semi-infinita 357 12.2 12.3 Exemplo 12.1-2 Aquecimento de uma Placa Finita 358 Exemplo 12.1-3 Conduo Permanente de Calor Prxima a uma Parede com Fluxo Trmico Senoidal 361 Exemplo 12.1-4 Resfriamento de uma Esfera em Contato com um Fluido bem Agitado 362 Conduo Permanente de Calor em Escoamento Laminar e Incompressvel 364 Exemplo 12.2-1 Escoamento Laminar em um Tubo, com Fluxo Constante de Calor na Parede 365 Exemplo 12.2-2 Escoamento Laminar em um Tubo, com Fluxo Constante de Calor na Parede: Soluo Assinttica para a Regio de Entrada 366 Escoamento Potencial Permanente de Calor em Slidos 367 Exemplo 12.3-1 Distribuio de Temperatura em uma Parede 368 12.4 Teoria da Camada Limite para Escoamento No-isotrmico 369 Exemplo 12.4-1 Transferncia de Calor por Conveco Forada Laminar, ao Longo de uma Placa Plana Aquecida (Mtodo Integral de von Krmn) 370 Exemplo 12.4-2 Transferncia de Calor por Conveco Forada Laminar, ao Longo de uma Placa Plana Aquecida (Soluo Assinttica para Nmeros Grandes de Prandtl) 373 Exemplo 12.4-3 Conveco Forada no Escoamento Permanente Tridimensional para Nmeros Grandes de Prandtl 374 Questes para Discusso 376 Problemas 376 Captulo 13 Distribuies de Temperaturas em Escoamentos Turbulentos 388 13.1 Mdia Temporal das Equaes de Balano para Escoamento Incompressvel No-isotrmico 388 10. 13.2 Perfil de Tempera~ra Mdia Prximo a uma Parede 390 13.3 Expresses Empricas para o Fluxo Trmico Turbulento 391 Exemplo 13.3-1 Uma Relao Aproximada para o Fluxo Trmico na Parede para o Escoamento Turbulento em um Tubo 391 13.4 Distribuio de Temperaturas para o Escoamento Turbulento em Tubos 392 13.5 Distribuio de Temperatura para Escoamento Turbulento em Jatos 395 13.6 Anlise de Fourier do Transporte de Energia no Escoamento em Tubos, para Altos Nmeros de Prandtl 397 Questes para Discusso ~00 Problemas 401 Captulo 14 Transferncias entre Fases em Sistemas No-isotrmicos 402 14.l Definies de Coeficientes de Transferncia de Calor 403 Exemplo 14.1-1 Clculo de Coeficientes de Transferncia de Calor a Partir de Dados Experimentais 405 14.2 Clculos Analticos de Coeficientes de Transferncia de Calor para Conveco Forada em Tubos e Fendas 407 14.3 Coeficientes de Transferncia de Calor para Conveco Forada em Tubos 412 Exemplo 14.3-1 Projeto de um Aquecedor Tubular 415 14.4 Coeficientes de Transferncia de Calor para Conveco em Torno de Objetos Submersos 416 14.5 Coeficientes de Transferncia de Calor para Conveco Forada Atravs de Meios Porosos 419 14.6 Coeficientes de Transferncia de Calor para Conveco Natural e Mista 420 Exemplo 14.6-1 Calor Perdido por Conveco Natural de Tubo Horizontal 422 14.7 Coeficientes de Transferncia de Calor para Condensao de Vapores Puros sobre Superfcies Slidas 424 Exemplo 14.7-1 Condensao de Vapor sobre Superfcie Vertical 425 Questes para Discusso 427 Problemas 427 Captulo 15 Balanos Macroscpicos para Sistemas No-isotrmicos 433 15.1 Balano Macroscpico de Energia 434 15.2 Balano Macroscpico de Energia Mecnica 435 SUMRIO X 15.3 Uso dos Balanos Macroscpicos para Resolver Problemas em Regime Permanente com Perfis Planos de Velocidades 436 Exemplo 15.3-1 O Resfriamento de um Gs Ideal 437 Exemplo 15.3-2 Mistura de Duas Correntes de Gs Ideal 438 15.4 As Formas d dos Balanos Macroscpicos 439 Exemplo 15.4-1 Trocadores de Calor com Escoamento Concorrente ou Contracorrente 440 Exemplo 15.4-2 Potncia Requerida para Bombear um Fluido Compressvel Atravs de um Tubo Longo 442 15.5 Uso dos Balanos Macroscpicos para Resolver Problemas em Regime Transiente e Problemas com Perfis No-planos de Velocidades 444 Exemplo 15.5-1 Aquecimento de um Lquido em um Tanque Agitado 444 Exemplo 15.5-2 Operao de um Controlador Simples de Temperatura 446 Exemplo 15.5-3 Escoamento de Fluidos Compressveis Atravs de Medidores de Carga 449 Exemplo 15.5-4 Expanso Livre em Batelada de um Fluido Compressvel 450 Questes para Discusso 452 Problemas 452 Captulo 16 Transporte de Energia por Radiao 464 16.1 O Espectro da Radiao Eletromagntica 465 16.2 Absoro e Emisso em Superfcies Slidas 466 16.3 Lei da Distribuio de Planck, Lei do Deslocamento de Wien e Lei de Stefan-Boltzmann 469 Exemplo 16.3-1 Temperatura e Emisso de Energia Radiante do Sol 472 16.4 Radiao Direta entre Corpos Negros no Vcuo a Diferentes Temperaturas 472 Exemplo 16.4-1 Estimativa da Constante Solar 476 Exemplo 16.4-2 Transferncia de Calor Radiante entre Discos 476 16.5 Radiao entre Corpos No-negros, a Temperaturas Diferentes 477 Exemplo 16.5-1 Escudos de Radiao 478 Exemplo 16.5-2 Perda de Calor de uma Tubulao Horizontal por Radiao e por Conveco Natural 479 Exemplo 16.5-3 Radiao e Conveco Combinadas 480 16.6 Transporte de Energia Radiante em Meios Absorventes 480 11. X SUMRJO Exemplo 16.6-1 Absoro de Feixe de Radiao Monocromtica 482 Questes para Discusso 482 Problemas 483 PARTE UITRANSPORTE DE MASSA Captulo 17 Difusividade e os Mecanismos de Transporte de Massa 489 17.1 Lei de Fick da Difuso Binria (Transporte Molecular de Massa) 489 Exemplo 17.1-1 Difuso de Hlio Atravs de Vidro Pirex 494 Exemplo 17.1-2 A Equivalncia de ,,, paraFluidos Newtonianos 806 B.8 Equao da Energia em Termos de q 806 B.9 Equao da Energia para Fluidos Newtonianos Puros com p e k Constantes 807 B.10 Equao da Continuidade para a Espcie a em Termos de j,, 807 B.11 Equao da Continuidade para a Espcie A em Termos de wA para p'ZiJA8Constante 808 Apndice C Tpicos Matemticos 809 C. l Algumas Equaes Diferenciais Ordinrias e Suas Solues 809 / SUMRIO XV C.2 Expanses de Funes em Srie de Taylor 810 C.3 Diferenciao de Integrais (Frmula de Leibniz) 811 C.4 Funo Gama 811 C.5 Funes Hiperblicas 812 C.6 Funo Erro 813 Apndice D Teoria Cintica dos Gases 814 D.l Equao de Boltzmann 814 D.2 Equaes de Balano 815 D.3 Expresses Moleculares para os Fluxos 815 D.4 Soluo da Equao de Boltzmann 815 D.5 Fluxos em Termos das Propriedades de Transporte 816 D.6 Propriedades de Transporte em Termos das Foras Intermoleculares 816 D.7 Comentrios Finais 817 Apndice E Tabelas para Previso de Propriedades de Transporte 818 E. l Parmetros Fora Intermolecular e Propriedades Crticas 818 E.2 Funes para a Previso de Propriedades de Transporte de Gases a Baixas Densidades 818 Apndice F Constantes e Fatores de Converso 822 F.l Constantes Matemticas 822 F.2 Constantes Fsicas 822 F.3 Fatores de Converso 823 Notao 827 ndice 832 15. 0.1 QlJE SO OS FENMENOS DE TRANSPOR.TE? 0.2 TRS NVElS NOS QlJAIS OS FENMENOS DE TRANSPORTE PODEM SER ESTUDADOS 0.3 As LEIS DE CONSERVAO: UM EXEMPLO 0.4 COMENTRlOS FINAIS A finalidade deste captulo introdutrio descrever o escopo, objetivos e mtodos do assunto fenmenos de transporte. importante ter alguma idia sobre a estrutura do tema antes de entrar em detalhes; sem essa perspectiva no possvel apreciar os princpios de unificao do assunto e a inter-relao dos vrios tpicos individuais. O grande alcance dos fe- nmenos de transporte essencial para o entendimento de muitos processos em engenharia, agricultura, meteorologia, fisiologia, biologia, qumica analtica, cincia de materiais, farmcia e outras reas. Fenmenos de transporte um ramo bem desenvolvido da fsica e eminentemente til que permeia muitas reas da cincia aplicada. 0.1 O Ql}E SO OS FENMENOS DE TRANSPORTE? O assunto fenmenos de transporte inclui trs tpicos intimamente relacionados: dinmica dos fluidos, transferncia de calor e transferncia de massa. A dinmica dos fluidos envolve o transporte de momento, a transferncia de calor lida com o transporte de energia e a transferncia de massa diz respeito ao transporte de massa de vrias espcies qumicas. Esses trs fenmenos de transporte devem, em um nvel introdutrio, ser estudados juntos pelas seguintes razes: Eles em geral ocorrem simultaneamente em problemas industriais, biolgicos, agrcolas e meteorolgicos; na verdade, a ocorrncia de qualquer um dos processos de transporte isoladamente uma exceo em vez de uma regra. As equaes bsicas que descrevem os trs fenmenos de transporte esto intimamente relacionadas. A similarida- de das equaes, sob condies simples, a base para resolver problemas "por analogia". As ferramentas matemticas necessrias para descrever esses fenmenos so muito similares. Embora no seja o objetivo deste livro ensinar matemtica, ser necessrio o estudante rever vrios tpicos matemticos como desdo- bramentos do desenvolvimento. Aprender como usar a matemtica pode ser um subproduto muito valioso do estudo de fenmenos de transporte. Os mecanismos moleculares por trs dos vrios fenmenos de transporte esto bastante relacionados. Todos os materiais so compostos de molculas e os mesmos movimentos moleculares e interaes so responsveis pela viscosidade, pela condutividade trmica e pela difuso. O principal objetivo deste livro dar uma viso balanceada da rea de fenmenos de transporte, apresentar as equaes fundamentais do assunto e ilustrar como us-las para resolver problemas. Existem muitos tratados excelentes sobre dinmica dos fluidos, transferncia de calor e transferncia de massa. Alm disso, h muitas pesquisas e revises em peridicos especializados em cada um desses assuntos e mesmo em subreas especializadas. O leitor que dominar os contedos deste livro deve poder consultar os tratados e peridicos e se aprofundar mais em outros aspectos da teoria, das tcnicas experimentais, das correlaes empricas, dos mtodos de planejamento e das aplicaes. Ou seja, este livro no deve ser considerado como a apresentao completa do assunto, mas sin1 como um ponto de pa1tida para uma vasta gama de conhecin1entos existentes. 16. 2 CAPTULO ZERO 0.2 TRS NVEIS NOS Q!JAIS OS FENMENOS DE TRANSPORTE PODEM SER ESTUDADOS Na Fig. 0.2-1, mostramos um diagrama esquemtico de um sistema de grande porte -por exemplo, um equipamento gran- de, atravs do qual uma mistura fluida est escoando. Podemos descrever o transporte de massa, de momento, de energia e de momento angular em trs rveis diferentes. Fig. 0.2-1 (a) Um sistema de escoamento macroscpico que contm N2 e 02; (b) urna regio microscpica dentro do siste- ma macroscpico, contendo N2 e 02, que esto escoando; (e) urna coliso entre uma molcula de N2 eurna molcula de 02. Em nvel macroscpico (Fig. 0.2-la), escrevemos uma srie de equaes chamadas de "balanos macroscpicos", que descrevem como a massa, o momento, a energia e o momento angular no sistema variam por causa da introduo e retira- da dessas grandezas atravs.das correntes de entrada e de sada e devido a vrias outras entradas no sistema provenientes do ambiente. Nenhuma tentativa feita para entender todos os detalhes do sistema.No estudo de um sistema de engenha- ria ou biolgico, uma boa idia comear com tal descrio macroscpica para fazer uma anlise global do problema; em alguns exemplos somente essa viso global necessria. Em nvel microscpico (Fig. 0.2-lb), examinamos o que est acontecendo com a mistura fluida em uma pequena re- gio dentro do equipamento. Escrevemos um conjunto de equaes chamadas "equaes de balano", que descrevem como a massa, o momento, a energia e o momento angular variam dentro dessa pequena regio. O objetivo aqui conseguir informao acerca dos perfis de velocidades, temperaturas, presses e concentraes dentro do sistema. Essa informao mais detalhada pode ser necessria para o entendimento de alguns processos. Em nvel molecular (Fig. 0.2-lc), procuramos por uma compreenso fundamental dos mecanismos de transporte de massa, de momento, de energia e de momento angular, em termos da estrutura molecular e das foras intermoleculares. Geralmente, esse o domnio dos fsicos tericos ou dos fsico-qumicos, porm, ocasionalmente, engenheiros e cientistas prticos tm de se envolver nesse rvel. Isso particularmente verdade se os processos em estudo envolverem molculas complexas, faixas extremas de temperatura e presso ou sistemas que reagem quimicamente. Deve ser evidente que esses trs rveis de descrio envolvem diferentes "escalas de comprimento": por exemplo, em um problema industrial tpico, em rvel macroscpico, as dimenses dos sistemas de escoamento podem ser da ordem de centmetros ou metros; o nvel microscpico envolve o que est acontecendo na faixa do mcron ao centmetro e no rvel molecular os problemas envolvem faixas de cerca de 1 a 1.000 nanmetros. Este livro est dividido em trs partes que lidam com: Escoamento de fluidos puros a temperatura constante (com nfase nos transportes viscoso e convectivo de momen- to) - Caps. 1 a 8 Escoamento de fluidos puros com temperatura variando (com nfase nos transportes condutivo, convectivo e radi- ante de energia)- Caps. 9 a 16 Escoamento de misturas de fluidos com composio variando (com nfase nos transportes difusivo e convectivo de massa) - Caps. 17 a 24 ~ 17. oAssumo FENMENOS DE TRANSPORTE 3 Ou seja, passamos dos problemas mais simples aos mais difceis. Dentro de cada uma dessas partes, comeamos com um captulo inicial que lida com alguns resultados da teoria molecular das propriedades de transporte (viscosidade, conduti- vidade trmica e difusividade). Prosseguimos ento para o nvel microscpico e aprendemos como determinar os perfis de velocidades, de temperaturas e de concentraes em vrios tipos de sistemas. A discusso se conclui com o nvel macros- cpico e a descrio de sistemas grandes. medidaque adiscusso se desenrola, oleitorperceberque h muitas conexes entre os nveis de descrio. As proprieda- des de transporte que so descritas pela teoria molecularso usadas em nvel microscpico. Alm disso, as equaes desenvol- vidas nestenvel so necessrias parafornecer informaes que sero utilizadas pararesolverproblemas no nvel macroscpico. Existem tambm muitas conexes entre as trs reas de transporte de momento, de energia e de massa. Ao se aprender como resolver problemas em uma rea, aprende-se tambm as tcnicas para resolver problemas em outra rea. As simila- ridades das equaes nas trs reas significam que, em muitos casos, os problemas podem ser resolvidos "por analogia" - isto , adotando-se diretamente uma soluo de uma rea, mudando ento os smbolos nas equaes e escrevendo a solu- o para um problema em outra rea. Oestudante ver que essas conexes- entre nveis eentre os vrios fenmenos de transporte-reforam oprocesso de apren- dizado. medida que se vai da primeira parte do livro (transporte de momento) para a segunda parte (transporte de energia) e ento para a terceira parte (transporte de massa), a metodologia ser bem similar mas os "nomes dos atores" iro variar. A Tabela 0.2-1 mostra o arranjo dos captulos na forma de uma "matriz" 3 X 8. Uma olhada rpida na matriz tomar bastante claro que tipos de interconexes podem ser esperadas durante o estudo do livro. Recomendamos que o livro seja estudado por colunas, particularmente nos cursos de graduao. Para estudantes de ps-graduao, por outro lado, o estu- do dos tpicos por linhas pode dar uma chance para reforar as conexes entre as trs reas de fenmenos de transporte. Tipo de transporte Momento Energia Massa Transporte por movi..mento Viscosidade e o tensor 9 Condutividade trmica e 17 Difusividade e os vetores molecular tenso (fluxo de momento) o vetor fluxo de calor fluxos de massa Transporte em uma dimenso 2 Balanos de momento em 10 Balanos de energia em 18 Balanos de massa erri (mtodos ds balanos em cascas e distribuies de cascas e distribuies de cascas e distribuies de cascas) velocidades temperaturas concentraes Transporte em contnuos 3 Equaes de balano e seu 11 Equaes de balano e seu 19 Equaes de bala.11o e arbitrrios (uso de equaes uso [isotrmico! uso [no-isotrmico] seu uso [misturas] gerais de transporte) Transporte com duas 4 Transporte de momento 12 Transporte de energia 20 Transporte de massa variveis L11dependentes com duas variveis com duas variveis com duas variveis (mtodos especiais) ndependentes independentes independentes Transporte em escoamento 5 Transporte turbulento de 13 Transporte turbulento de 21 Transporte turbulento de turbulento e propriedades momento; vi..scosidade energia; condutividade massa; difusividade de transporte turbilhonar turbilhonar trmica turbilhonar turbilhonar Transporte atravs de 6 Fatores de atrito; o uso de 14 Coeficientes de 22 Coeficientesde transferncia fronteiras de fases correlaes empricas transferncia de calor; ouso de massa; o uso de de correlaes empfricas correlaes empricas Transporte em sistemas de 7 Balanos macroscpicos 15 Balanos macroscpicos 23 Balanos macroscpicos grande porte, tais como [isotrmico] [no-isotrmico] [misturas] equipamentos ou partes deles Transporte por outros 8 Transporte de momento 16 Transporte de energia por 24 Transporte de massa em mecanismos em lquidos polirnricos i:adiao sistemasmulticomponentes; efeitos cruzados 18. 4 CAPITULO ZERO Em todos os trs nveis de descrio -molecular, microscpico e macroscpico -as leis de conservao desempenham um papel-chave. A deduo das leis de conservao para sistemas moleculares direta e instrutiva. Com fsica elementar e um mnimo de matemtica, podemos ilustrar os principais conceitos e rever quantidades fsicas chaves que sero encon- tradas ao longo de todo este livro. Esse ser o tpico da prxima seo. 0.3 AS LEIS DE CONSERVAO: UM EXEMPLO O sistema que consideramos se refere quele com duas molculas diatmicas colidindo. Por simplicidade, supomos que as molculas no interagem quimicamente e que cada molcula sejahomonuclear - ou seja, que seus ncleos atmicos sejam idnticos. As molculas esto em um gs de baixa densidade, de.modo que no precisamos considerar interaes com outras molculas em volta. Na Fig. 0.3-1 mostramos a coliso entre as duas molculas diatmicas homonucleares, A e B. Na Fig. 0.3-2 mostramos a notao para especificar as localizaes dos dois tomos de uma molcula, por meio dos vetores de posio desenhados a partir de uma origem arbitrria. Na verdade, a descrio de eventos em nvel atmico e molecular deveria ser feita usando a mecnica quntica. Entre- tanto, exceto para as molculas mais leves (H2 e He), a temperaturas menores que 50 K, a teoria cintica dos gases pode ser desenvolvida bastante satisfatoriamente pelo uso da mecnica clssica. ~....,,,,.--.... ~ 1 Molcula A antes da coliso } I I I / / ./ / jJD ef Molcula A depois da coliso / .-- --!/'' CD { Molcula Bantes da coliso '' ' ....~:-:?.:...~.!!"""'"'......-b Molcula B depois da coliso Fig. 0.3-1 Uma coliso entre molculas diatmicas homonucleares, tais como N2 e 02 A molcula A composta por dois tomos A1 e A2. A molcula B composta por dois tomos B1 e B2. Antes e depois de uma coliso, vrias relaes devem ser verificadas entre as grandezas. Presume-se que tanto antes quanto depois da coliso as molculas estejam suficientemente afastadas de modo que duas molculas no possam "sen- tir" a fora intermolecular; alm de uma distncia de cerca de 5 dimetros moleculares, sabe-se que a fora intermolecular negligencivel. Grandezas depois da coliso so indicadas com aspas simples. (a) De acordo com a lei de conservao de massa, a massa total das molculas antes e depois da coliso tem de ser igual a: mA + m8 = m~ + m~ (0.3-1) Nessa equao, mA e m8so as massas das molculas A e B. Uma vez que no h reaes qumicas, as massas das espcies individuais sero conservadas, de modo que mA == m~ e m8 == m~ (0.3-2) (b) De acordo com a lei de conservao de momento, a soma dos momentos de todos os tomos antes da coliso tem de ser igual quela depois da coliso, de modo que (0.3-3) em que rA1 o vetor posio para o tomo 1.~a molcula A e rA: a sua velocidade. Escrevemos agora rA1 = rA + R,H, de modo que rA 1 escrito como a soma do vetor posio para o centro de massa e o vetor posio do tomo em relao ao 19. 0 ASSUNTO FENMENOS DE TRANSPORTE 5 o Origem arbitrria fixa no espao tomoA2 Centro de massa da molcula A Fig. 0.3-2 Vetores de posio para os tomos A1 eA2 na molcula A. centro de massa, e reconhecemos que RA2 = - RA1; escrevemos tambm as mesmas relaes para os vetores das velocida- des. Podemos ento reescrever a Eq. 0.3-3 como (0.3-4) Ou seja, o princpio de conservao pode ser escrito em termos das massas moleculares e das velocidades em que foram eliminadas as correspondentes grandezas atmicas. Ao obtermos a Eq. 0.3-4 usamos a Eq. 0.3-2 e o fato de que para mo- lculas diatmicas homonucleares mA1 =mA2 = ~ mA- (e) De acordo com a lei de conservao de energia, a energia do par colidente de molculas tem de ser a mesma antes e depois da coliso. A energia de uma molcula isolada a soma das energias cinticas dos dois tomos e da energia po- tencial interatmica, >,i, que descreve a fora da ligao qumica ligando os dois tomos 1 e 2 da molcula A, e uma funo da distncia interatmica IrAi - rAI1. Por conseguinte, a conservao de energia conduz a Gm.;;1i"1 + ~mAib + A) + GmBif-~1 + ~mBi~2 + ~) (0.3-5) Note que usamos a notao padro abreviada que 0i1 = (rAl iA1). Escrevemos agora a velocidade do tomo 1 da molcu- la A como a soma da velocidade do centro de massa de A e a velocidade de 1 em relao ao centro de massa; isto , iA1 = iA + :R41 Ento a Eq. 0.3.5 se toma GmAr~ + u.;;) + Gmi + u8) = Gm~r~2 + u~) + Gm~r~2 + u~) (0.3-6) em que u.4 = ~mA1R~1 + ~mA2R~2 + 'JA a soma das energias cinticas dos tomos, referidas ao centro de massa da mol- cula A, e do potencial interatmico da molcula A. Ou seja, dividimos a energia de cada molcula na sua energia cintica em relao s coordenadas fixas e na energia interna da molcula (que inclui suas energias vibracional, rotacional e poten- cial). A Eq. 0.3-6 toma claro que as energias cinticas das molculas colidentes podem ser convertidas em energia interna ou vice-versa. Essa idia de um intercmbio entre a energia cintica e interna aparecer novamente quando discutirmos as relaes de energia nos nveis microscpicos e macroscpicos. (d) Finalmente, a lei de conservao de momento angular pode ser aplicada a uma coliso para dar ([rA1 X 111A1iA1l + [rA2 X mA2IA2D + ([rBl X 11lB1iBil + [rB2 X mB2iB2D = ([r~1 X m~1i:.~il + [r~2 X m~2r~2]) + ([r~1 X m~1r~1] + [ra2 X m~zi:~2]) (0.3-7) em que X usado para indicar o produto vetorial de dois vetores. A seguir, introduziremos o centro de massa, os vetores de posio relativa e os vetores de velocidade como antes e obtemos ([rA X mAiA] + IA) + ([r8 X m8i 8] + 18) = (0.3-8) em que lA = [RA1 X mA1RA,J + [RA2 X 11lt1zRt12l a soma dos momentos angulares dos tomos em relao a urna origem de coordenadas no centro de massa da molcula- ou seja, o "momento angular interno". O ponto importante que h a possibilidade para intercmbio entre o momento angular das molculas (em relao origem das coordenadas) e seu 20. 6 CAPTULO ZERO momento angular interno (em relao ao centro de massa da molcula). Mais adiante, isso ser referido em conexo com a equao de balano para o momento angular. As leis de conservao quando aplicadas a colises de molculas monoatmicas podem ser obtidas a partir dos resul- tados anteriores como segue: as Eqs. 0.3-1, 0.3-2 e 0.3-4 so diretamente aplicveis; a Eq. 0.3-6 ser aplicvel se as con- tribuies da energia interna forem omitidas e a Eq. 0.3-8 poder ser usada se os termos do momento angular interno fo- rem descartados. Muito deste livro dir respeito ao estabelecimento das leis de conservao em nveis microscpico e macroscpico e aplicao delas em problemas de interesse na engenharia e na cincia. A discusso anterior deve fornecer uma boa base para essa aventura. Para se ter uma idia das leis de conservao de massa, de momento e de energia nos nveis microsc- picos e macroscpicos veja as Tabelas 19.2-1 e 23.5-1. 0.4 COMENTRlOS FINAIS Com a finalidade de usar inteligentemente os balanos macroscpicos, necessrio usar informaes sobre o transporte entre fases que seja proveniente das equaes de balano. Para usar as equaes de balano, necessitamos das proprieda- des de transporte, que so descritas por vrias teorias moleculares. Portanto, de um ponto de vista de ensino, parece me- lhor comear em nvel molecular e trabalhar em direo a sistemas maiores. Todas as discusses de teoria so acompanhadas por exemplos para ilustrar como a teoria aplicada soluo de pro- blemas. Ento, no final de cada captulo, h problemas que daro experincia extra para usar as idias dadas no captulo. Os problemas so agrupados em quatro classes: Classe A: Problemas numricos, que so planejados para realar equaes importantes no texto e para dar um senti- mento s ordens de magnitude. Classe B: Problemas analticos que requerem dedues elementares usando idias principalmente do captulo. Classe C: Problemas analticos mais avanados que podem trazer idias de outros captulos ou de outros livros. Classe D: Problemas em que habilidades matemticas intermedirias so requeridas. Muitos dos problemas e e~emplos ilustrativos so elementares, uma vez que eles envolvem sistemas muito simplificados ou modelos muito idealizados. No entanto, necessrio comear com esses problemas elementares para entender como a teoria funciona e para desenvolver confiana em us-la. Alm disso, alguns desses exemplos elementares podem ser mui- to teis para se fazer estimativas de ordem de grandeza em problemas complexos. Aqui esto algumas sugestes para o estudo do assunto fenmenos de transporte: Sempre leia o texto com lpis e papel na mo; trabalhe os detalhes dos desenvolvimentos matemticos e complemente qualquer etapa esquecida. Sempre que necessrio, volte aos livros-texto de matemtica para rever um pouco de clculo, equaes diferenciais, vetores, etc. Essa uma excelente oportunidade para rever a matemtica que foi ensinada anteriormente (porm, possivelmente no da maneira cuidadosa como deveria ter sido feito). Faa a interpretao fsica dos resultados-chave ser um ponto importante; ou seja, crie o hbito de relacionar as idi- as fsicas s equaes. Sempre se pergunte se os resultados parecem razoveis. Se os resultados no concordam com a intuio, impor- tante encontrar qual no est correto. Torne um hbito verificar as dimenses de todos os resultados. Essa uma maneira muito boa de localizar erros nas dedues. Esperamos que o leitor partilhe do nosso entusiasmo em relao ao assunto fenmenos de transporte. Um certo esforo para aprender o material ser necessrio, mas valero a pena o tempo e a energia requeridos. QESTES PARA DISCUSSO 1. Quais so as definies de momento, momento angular e energia cintica para uma nica partcula? Quais so as di- menses dessas grandezas? ~ 21. oAssumo FENl-lENOS DE TRANSPORTE 7 2. Quais so as dimenses de velocidade, velocidade angular, presso, densidade, fora, trabalho e torque? Quais so al- gumas das unidades comuns usadas para essas grandezas? 3. Verifique que possvel ir da Eq. 0.3-3 Eq. 0.3-4. 4. Entre em todos os detalhes necessrios para obter a Eq. 0.3-6 a partir da Eq. 0.3-5. 5. Suponha que a origem das coordenadas seja deslocada para urna nova posio. Qual o efeito que isso teria na Eq. 0.3.7? A equao mudou? 6. Compare e contraste velocidade angular e momento angular. 7. O que se entende por energia interna? E por energia potencial? 8. A lei de conservao de massa sempre vlida? Quais so as limitaes? 22. 1.1 LH DE NEWTON DA VISCOSIDADE (TRANSPORTE MOLECULAR DE MOMENTO) 1.2 GENERALIZAO DA LEI DE NEWTON DA VISCOSIDADE 1.3 EPENDNClA DA VISCOSIDADE COM A PRESSO E A TEMPERATURA 1.4 TEORIA MOLECULAR DA VISCOSIDADE DE GASES A BAIXAS DENSIDADES 1.5 TEORIA MOLECULAR DA VISCOSIDADE DE LQ!}IDOS 1.6 VtSCOSIDADE DE SUSPENSES E EMULSES 1.7 TRANSPORTE CONVECTlVO DE MOMENTO A primeira parte deste livro trata do escoamento de fluidos viscosos. Para fluidos de baixo peso molecular, a propriedade fsica que caracteriza a resistncia ao escoamento a viscosidade. Qualquer um que j tenha comprado leo para motor est a par do fato de que alguns leos so mais "viscosos" que outros e que a viscosidade uma funo da temperatura. Comeamos na Seo 1.1 com o escoamento cisalhante simples entre placas planas paralelas e discutimos como o momento1 transferido atravs do fluido pela ao viscosa. Este um exemplo elementar de transporte molecular de momento e serve para introduzir a "lei de Newton da viscosidade" juntamente com a definio de viscosidade, ,. A se- guir, na Seo 1.2 mostramos como as leis de Newton podem ser generalizadas para configuraes arbitrrias de escoa- mento. Os efeitos da temperatura e da presso sobre a viscosidade de gases e lquidos so resumidos na Seo 1.3 por meio de um grfico com grandezas adimensionais. Ento a Seo 1.4 mostra como as viscosidades de gases podem ser calcula- das a partir da temia cintica dos gases, e na Seo 1.5 uma discusso semelhante feita para lquidos. Na Seo 1.6 faze- mos alguns comentrios sobre a viscosidade de suspenses e emulses. Finalmente, mostramos na Seo 1.7 que o momento tambm pode ser transferido pelo movimento macroscpico do fluido e que esse transporte convectivo de momento proporcional densidade do fluido, p. 1.1 LEI DE NEWTON DA VISCOSIDADE (TRANSPORTE MOLECULAR DE MOMENTO) Na Fig. 1.1-1 mostramos um par de placas grandes paralelas, cada urna com rea A, separadas por uma distncia Y. No espao entre elas existe um fluido, gs ou lquido. Este sistema est inicialmente em repouso, mas no instante t =Oa placa inferior posta em movimento na direo positiva de x a uma velocidade constante V. Conforme o tempo passa, o fluido ganha momento at que finalmente se estabelece o perfil linear e permanente de velocidades mostrado na figu- ra. Impomos que o escoamento seja laminar (escoamento "laminar" um tipo ordenado de escoamento comumente observado quando se entorna um xarope, ao contrrio do escoamento "turbulento", que o e~coamento irregular e catico que se v em um liqidificador em alta velocidade). Quando o estado final de movimento permanente for atingido, uma fora constante F necessria para manter o movimento da placa inferior. O senso comum sugere que esta fora pode ser expressa como segue: (1.1-1) 1 Denominao relativamente recente na lngua portuguesa para agrandeza fsica tradicionalmente conhecida como quantidade de movimento. (N.T.) 23. 12 CAPTULO UM iy 1 I V vr(y, t) V y V ~ 1 1 tsica e contribuiu tambm para outros campos da fsica. Na verdade aEq. 1.1-2 no aparece nos Princpios Matemticos da Filosofia Natural, mas o germe da idia est l. Para comentrios esclarecedores, veja D.J.Acheson, Eleme11tary Fluid Dynamics, Oxford Universiry Press, 1960, 6.1. ' Uma relao com amesma forma da Eq.1.1-2 aparece na teoria cintica dos gases simplificada (Eq.1.4-7). Todavia, uma teoria cintica dos gases rigorosa delineada no Apndice Ddei.~a claro que aEq.1.1-2 aparece como oprimeiro termo em uma expanso, eque termos adicionais (de ordem superior) devem ser esperados. Alm disso, mesmo uma teoria cintica de lquidos elementar tambmprev comportamento no-newtoniano (Eq.1.5-6). 24. VISCOSIDADE E OS MECANISMOS DE TRANSPORTE DE MOMENTO 13 do fluido na direo positiva de y. Ento T,._, pode tambm ser interpretado como umflm:o de momento de direo x na direo positiva de y, onde o termo "fluxo'; significa "escoamento por unidade de rea". Essa interpretao consistente com o modelo de transporte molecular de momento bem como com as teorias cinticas dos gases e lquidos. Ela tambm est em harmonia com o tratamento anlogo dado posteriormente aos transportes de calor e massa. A idia do ltimo pargrafo pode ser parafraseada dizendo-se que o momento vai "morro abaixo" de uma regio de alta velocidade para uma regio de baixa velocidade, da mesma maneira que um esquiador vai morro abaixo de uma regio mais elevada para outra menos elevada, ou da mesma maneira que o calor transferido de uma regio de alta temperatura para outra de baixa temperatura. O gradiente de velocidade pode portanto ser pensado como a "fora motriz" para o trans- porte de momento. No que se segue faremos algumas vezes referncia lei de Newton da Eq.1.1-2 em termos de foras (que enfatiza a natureza mecnica da questo) e algumas vezes em termos de transporte de momento (que enfatiza as analogias com trans- porte de calor e de massa). Estes dois pontos de vista vo se mostrar de grande ajuda em interpretaes fsicas. Freqentemente, estudiosos da dinmica dos fluidos usam o smbolo li para representar a viscosidade dividida pela densidade (massa por unidade de volume) do fluido, assim: li= ,/p (l.l-3) Essa grandeza chamada de viscosidade cinemtica. Adiante so feitos comentrios sobre as unidades das grandezas que foram definidas. Se o smbolo [=] for usado para dizer "tem unidades de", ento no sistema SI r1 ..[= ]N/m2 = Pa, vJ= ]m/s, e y[= ]m, de modo que ( dv )-1, = -ryx d; [=1(Pa)[(m/s)(rn-1 )t1 =Pa s (1.1-4) j que as unidades em ambos os lados da Eq.1.1-2 tm que ser as mesmas. Um resumo disso e tambm as unidades para o sistema c.g.s e para o sistema Britnico se encontra na Tabela 1.1-1. As tabelas de converso no Apndice F vo se mos- trar muito teis para resolver problemas numricos envolvendo diferentes sistemas de unidades. SI c.g.s Britnico Tyx Pa dyn/cm2 poundals/ ft2 v,, m/s cm/s ft/s y m cm ft , Pas gm/cm s = poise lbm/ft S i' m2 /s cm2 /s ft2 /s Nata: Pascal, Pa, omesmo que N/rn2, e Newton, N, omesmo que kgm/ s2 A abreviao para"centipoise" "cp". As viscosidades dos fluidos podem diferir por muitas ordens de grandeza, com a viscosidade do ar a 20C sendo 1,8 X 10-5 Pa s e a do glicerol sendo aproximadamente 1 Pas, com alguns leos de silicone sendo at mais viscosos. Nas Ta- belas 1.1-2, 1.1-3 e 1.1-4 dados experin1entais5 so fornecidos para fluidos puros presso de 1 atm. Note que para gases em baixa densidade, a viscosidade aumenta com o aumento da temperatura, enquanto para lquidos a viscosidade geral- 5 Uma abordagem mais completa de tcnicas para medir propriedades de transporte pode ser encontrada em W.A.Wakeham, A.Nagashima, eJ.V.Sengers, Measurement afthe Transpart Praperties ofFluids, CRC Press, Boca Raton, Fia. (1991). So fontes para dados experimentais: Landolt-Bmstein, Zahle11werte wulFw1ktio11e11, Vol. II, 5, Springer(l968-1969); lnternatianal Critica/Tables, McGraw-Hill, New York (1926); Y.S.Touloukian, P.E. Liley, and S.C. Saxena, Tlzermoplzysical Praperties af Matter, Plenum Press, New York (1970); e tambm vrios manuais de qumica, fsica, dinmica dos fluidos, e transferncia de calor. 25. 14 CAPTIJLO UM mente diminui com o aumento da temperatura. Nos gases o momento transportado pelas molculas em vo livre entre colises, mas nos lquidos o transporte se d predominantemente devido s foras intermoleculares que os pares de mol- culas experimentam conforme transitam entre seus vizinhos. Nas Sees 1.4 e 1.5 so apresentados alguns argumentos elementares da teoria cintica para explicar a dependncia da viscosidade com a temperatura. Temperatura Viscosidade Viscosidade cinemtica Viscosidade Viscosidade cinemtica T(C) . (m.Pa s) v(cm2!s) .(rnPa s) v(cm2/s) o 1,787 1,787 0,01716 13,27 20 1,0019 1,0037 0,01813 15,05 40 0,6530 0,6581 0,01908 16,92 60 0,4665 0,4744 0,01999 18,86 80 0,3548 0,3651 0,02087 20,88 100 0,2821 0,2944 0,02173 22,98 Calculado apartir dos resultados de R. C. Hardy and R. L. Cottington, J. Research Nat. Bur. Standards, 42, 573-578 (1949); eJ. F. Swidells, J. R. Coe, Jr.. e T. B. Godfrey, J. Research Nat. Bur. Standards, 48, 1-31 (1952). bCaJculado a partir de "Tables ofThermal Properties of Gases," National Bureau ofStandards Circular 464 (1955), Chapter 2. Temperatura Viscosidade Temperatura Viscosidade Gases T(C) J.L (mPa s) Lquidos T(C) ,(mPas) i-C4H10 23 0,0076c (C2HshO o 0,283 SF6 23 0,0153 25 0,224 CH4 20 0,0109b C5H5 20 0,649 HP 100 0,01211d Br2 25 0,744 C02 20 0,0146b Hg 20 1,552 N2 20 0,0175b C2HsOH o 1,786 02 20 0,0204 25 1,074 Hg 380 0,0654d 50 0,694 H2504 25 25,54 Glicerol 25 934, 'Valores obtidos de N. A. Lange, Hndbook of Chemistry, McGraw-Hill, New York, 15th edition (1999), Tables -5.16and5.18. bH. L. Johnston and K. E. McK!oskey, J. Phys. Chem.. 44, 1038-1058 (1940). CRCHandbook ofChemistry andPhysics, CRC Press, Boca Raton, Fla. (1999). dLando/t-Bmstein Z8hlenwerte und Funktionen, Springer (1969). 26. VISCOSIDADE E OS MECANISMOS DE TRANSPORTE DE MOMENTO 15 Temperatura Viscosidade Metal T(C) ,(mPas) Li 183,4 0,5918 216,0 0,5406 285,5 0,4548 Na 103,7 0,686 250 0,381 700 0,182 K 69,6 0,515 250 0,258 700 0,136 Hg -20 1,85 20 1,55 100 1,21 200 1,01 Pb 441 2,116 551 1,700 844 l,185. Dadosobtidosde TheReactorHandbook, Vol 2,AtornicEiiergyCo~sfon AECD-3646, U.S. GovernmentPrintingOffice, Washington, D.C. (May1955), pp. 258 etseq. EXEMPLO 1.1-1 e( ~'j.JJ-X~ 01~..J~L~ -... ~ ,,pk.,t(l_:) -, . 1 ' ~'' ..-, C") -Torl&=arsena drd> Fig. 1.2-2 (a) Alguns elementos de superfcie e tenses cisalhantes tpicos no sistema de coordenadas cilndricas. (b) Alguns elementos de superfcie e tenses cisalhantes tpicos no sstema de coordenadas esricas. 31. 20 CAPTULO UM e elasticidade, as palavras "menor"e "maior" so permutadas e aEq. 1.1-2 escrita como rY, =+, (dvJdy). As vantagens da conveno de sinais usada neste livro so: (a) a conveno de sinais usada na lei de Newton da viscosidade corrente com aquela usada na lei de Fourier da conduo de calor e lei de Fick da difuso; (b) a conveno de sinais para rij a mesma que a do fluxo convectivo de momento pvv (ver Seo 1.7 e Tabela 19.2-2); (c) na Eq. 1.2-2, os termos poij e Tij aparecem com o mesmo sinal e os termos p e r;1 so ambos positivos na compresso (concordando com o uso comum em termodinmica); (d) todos os termos da produo de entropia na Eq. 24.1-5 tm o mesmo sinal. Claramente a conveno de sinais para as Eqs. 1.1-2 e 1.2-6 arbitrria, e uma ou outra conveno pode ser usada, desde que o significado fsico da conveno de sinais seja claramente compreendido. Escoamento Fig. 1.2-3 Oescoamento emlliD duto convergente um exemplo de situao na qualas tenses normais no so zero. Como v, lliDafun- o der e z, a componente normal de tenso -rzz = - 2.(av/az) no-nula. Como v1 depende der e z, a componente normal de tenso -r,, = - 2.(av,/ar) tambm no-nula. Na parede, todavia, todas as tenses normais desaparecem para os fluidos descritos pela Eq. 1.2-7, desde que adensidade seja constante (verExemplo 3.1-1 e Pro- blema 3C.2). 1.3 DEPENDNCIA DA VISCOSIDADE COM A PRESSO EA TEMPERATURA Uma grande quantidade de dados sobre a viscosidade de gases puros e lquidos est disponvel em vrios manuais de ci- ncia e engenharia.1 Quando dados experimentais no esto disponveis e se no h tempo para obt-los, a viscosidade pode ser estimada por mtodos empricos, fazendo uso de outros dados para a mesma substncia. Apresentamos aqui a correlao dos estados correspondentes que facilita tais estimativas e ilustra as tendncias gerais de variao da viscosi- dade com temperatura e presso para fluidos comuns. O princpio dos estados correspondentes, que tem uma base cientfi- ca slida,2 largamente utilizado para correlacionar dados termodinmicos e equao de estado. Discusses acerca deste princpio podem ser encontradas em livros-texto de fsico-qumica e termodinmica. O grfico da Fig. 1.3-1 d uma viso global da dependncia da viscosidade com a presso e a temperatura. A viscosi- dade reduzida,, = ,/.: plotada versus a temperatura reduzida T, =T/T, para vrios valores de presso reduzida p, = pfpc Uma grandeza "reduzida" aquela que tomada adimensional dividindo-a pela correspondente grandeza no ponto crtico. O grfico mostra que a viscosidade de um gs se aproxima de um limite (o limite de baixa densidade) conforme a presso se toma pequena; para a maioria dos gases, este limite quase atingido a 1 atrn de presso. A viscosidade de um 1 J. A. Schetz and A. E. Fuhs (eds.), Handbook ofFluidDynamics andF/cdd Machinery, Wiley-Interscience, New York (1966), Vol. l, Chapter 2; W. M. Rohsenow, J. P. Hartnett, and Y. I. Cho, Ha11dbook ofHeat Transfer, McGraw-Hill, New York, 3rd edition (1998), Chapter 2. Outras fontes so mencionadas na nota 5 da Seo 1.1. 'J. Millat, J. H. Dymond, and C. A. Nieto de Castro (etls.), Tra11sport Properties ofFluids, Cambridge University Press (1996), Chapter 11, by E. A. Mason and F. J. Uribe, and Chapter 12, by M. L. Huber and H. M. M. Hanley. 32. :l :i. 20 10 9 8 7 li 3 :l "'"O ' '"O e "~ 3 .~ 1 o > 0:9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 VISCOSIDADE E OS MECANISMOS DE TRANSPORTE DE MOMENTO 211 , ~Lqu~dc ~~ ~ '~ ' Gs denso ~ 1 ' ~ ' p =_E_ f. r Pc ~25"' ~ ~ .....Regio de ~ '-~ - .pJ - duasfases "Z "!'--... ~~........r-- _,~9 'z "'-..... - ~ /V r--- 2li ,2 / 'A?' - - Ponto - ~...-/A -- crtico "./ 0,,9 ' o,~ 1 .......:;:: 'v Limite de baixas densidades - Pr=0,2 / 1 V j/0,2 0,4 0,5 0,6 0,8 1,0 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,8 10 Fig. 1.3-1 Viscosidade reduzida , = /J.Lc como urna funo da temperatura reduzida para diversos valores da presso reduzida. [O. A. Uyehara and K. M. Watson, Nat. Petroleum News, Tech. Section, 36, 764 (Oct. 4, 1944); revisada por K. M. Watson (1960). Uma verso em larga escala desse grfico est disponvel em O. A. Hougen, K. M. Watson, and R. A. Ragatz, C. P. P. Charts, Wiley, New York, 2nd edition (1960)1.Temperatura reduzida Tr = T/T, gs a baixas densidades aumenta com o aumento da temperatura, enquanto a viscosidade de um lquido diminui com o aumento da temperatura. Valores experimentais da viscosidade crtica, ,e, raramente esto disponveis. Todavia, P..c pode ser estimada de uma das seguintes maneiras: (i) se um valor de viscosidade conhecido a dadas presso e temperatura reduzi- das, preferivelmente em condies prximas daquela de interesse, ento P..c pode ser calculada a partir de P..c = ,/,r; ou (ii) se dados de p-V-T crticos esto disponveis, ento P..c pode ser estimada com as seguintes relaes empricas: (1.3-la, b) Nessas equaes JLc est em micropoises, p, em atm, Te em K, e V,, em cm3 /g-mol. Uma tabela de viscosidades crticas3 calculadas pelo mtodo (i) dada no Apndice E. A Fig. 1.3-1 tambm pode ser usada para estimativas grosseiras da viscosidade de misturas. Para uma mistura de N componentes, faz-se uso das propriedades "pseudocrticas"4 definidas como N N N p; :L X,,Pca r; = :L xaTca ,; = :L Xaca (1.3-2a, b, c) a=l a=l a=1 3 O.A. Hougen and K. M. Watson, Chemical Process Principies, Partlll, Wiley, New York(l947), p. 873. Olaf Andreas Hougen (l893-1986) foi um lder no desen- volvimento da engenharia qumica durante quatro dcadas; junto com K. M. Watson eR. A. Ragatz, ele escreveu livros que influenciaram atermodinmica e acintica. 'O. A. Hougen and K. M. Watson, Chemica/ Process Principies, Part II, Wiley, New York (l947), p. 604. 33. 22 CAPITULO UM Isto , usa-se o diagrama exatamente como para lquidos puros, porm com as propriedades pseudocrticas em vez das propriedades crticas. Esse procedimento emprico funciona razoavelmente bem a menos que existam na mistura substn- cias quimicamente muito diferentes ou quando as propriedades crticas dos componentes diferirem muito. Existem muitas variantes do mtodo mencionado anteriormente, bem como diversas regras empricas. Essas podem ser encontradas na extensa compilao de Reid, Prausnitz, and Poling. 5 EXEMPLO 1.3-1 Estimao da Viscosidade a Partir de Propriedades Crticas Estime a viscosidade do N2 a 50C e 854 atm, dados M = 28,0 g/g-mol, Pc = 33,5 atm e Te= 126,2 K. SOLUO Usando aEq. 1.3-lb, obtemos /J.c = 7,70(2,80)112(33,5)213(126,2)-l/6 = 189 rnicropoises = 189 X 10-6 poise A temperatura e presso reduzidas so T = 273,2 + 50 = 256. r 126,2 ' ' 854 p, = 33,5 = 25,5 Da Fig. 1.3-1, obtemos,,= J,e= 2,39. Ento, o valor previsto para a viscosidade . =././ /J.c) = (189 X 10-6 )(2,39) =452 X 10-6 poise O valor medido 455 X 1o-6 poise. 6 Essa excelente concordncia no usual. 1.4 TEORIA MOLECULAR DA VISCOSIDADE DE GASES A BAIXAS DENSIDADES (l.3-3) (1.3-4a, b) (1.3-5) Para termos uma melhor apreciao do conceito de transporte molecular de momento, examinaremos este mecanismo de transporte do ponto de vista da teoria cintica dos gases. Consideremos um gs puro composto de molculas esfricas, no-atrativas e rgidas, com dimetro d e massa m, e com densidade numrica (nmero de molculas por unidade de volume) igual a n. Presume-se que a concentrao de molcu- las do gs suficientemente pequena de modo que a distncia mdia entre as molculas igual a muitas vezes o seu di- metro d. Em um tal gs sabe-se 1 que, em equilbrio, as velocidades das molculas so orientadas aleatoriamente e tm uma magnitude dada por (ver Problema lC.l) u = Is;([y7im (l.4-1) na qual K a constante de Boltzmann (ver Apndice F). A freqncia de bombardeio molecular por unidade de rea em uma das faces de qualquer superfcie estacionria exposta ao gs z =~nu 5 R. C. Reid, J. M. Prausnitz, and B. E. Poling, T/ie Praperties afGases and Liquids, McGraw-Hill, New York, 4th edition (1987), Chapter 9. 6 A. M. J. F. Michels and R. E. Gibson, Prac. Roy. Soe. (London), A134, 288-307 (1931). (1.4-2) 1 As primeiras quatro equaes nesta seo so dadas sem demonstrao. Justificativas detalhadas so dadas em livros sobre energia cintica - por exemplo, E. H. Kennard, Kinetic Theary o/Gases, McGraw-Hill, New York (1938), Chapters II and III. Tambm E. A. Guggenheim, Elements afKinetic Thcary a/Gases, Pergamon Press, New York (1960), Chapter 7, apresenta uma verso resumida da teoria elementar da viscosidade. Pararesumos de fcil leitura da teoria cintica dos gases, veja R. J. Silbey and R. A. Alberty, Physica/ Chemistry, Wile]!. New York, 3rd edition (2001), Chapter 17, ou R. S. Berry, S. A. Rice, and J. Ross, Physica/ Chemistry, Oxford University Press, 2nd edition (2000), Chapter 28. 34. VISCOSIDADE E OS MECANISMOS DE TRANSPORTE DE MOMENTO 23 A distncia mdia percorrida por uma molcula entre duas colises sucessivas o livre percurso mdio , dado por (1.4-3) Na mdia, as molculas sobre um dado plano tero sofrido sua ltima coliso a uma distncia a do plano, e, numa aproxi- mao grosseira, a dada por (1.4-4) O conceito de livre percurso mdio tem apelo intuitivo, mas s tem significado quando grande comparado ao alcance das foras intennoleculares. O conceito apropriado ao modelo molecular de esferas rgidas considerado aqui. Para determinar a viscosidade de um gs em termos dos parmetros do modelo molecular, consideramos o comporta- mento do gs quando ele escoa paralelo ao plano xz com um gradiente de velocidade dv)dy (ver Fig. 1.4-1). Admitimos que as Eqs. 1.4-1 a 4 permanecem vlidas nessa situao de no-equilbrio, uma vez que todas as velocidades moleculares so calculadas relativamente velocidade mdia v na regio na qual a molcula considerada sofreu sua ltima coliso. O fluxo de momento de direo x atravs de qualquer plano de y constante calculado admitindo-se os momentos de direo x das molculas que o atravessam na direo positiva de y e dele subtraindo-se o momento de direo x daquelas que o atravessam na direo oposta, como segue: (1.4-5) Ao escrever essa equao, supomos que todas as molculas tm velocidades representativas da regio em que elas por ltimo colidiram e que o perfil de velocidades v,(y) essencialmente linear para uma distncia de vrios livres percursos mdios. Em vista dessa ltima hiptese podemos escrever adicionalmente (l.4-6) Combinando-se as Eqs. 1.4-2, 5 e 6 obtemos para o fluxo lquido de momento de direo x na direo positiva de y 1 _ dvr Tyz = -yzmu, dy (1.4-7) Essa equao tem a mesma forma que a lei de Newton da viscosidade dada na Eq. 1.1-2. Comparando as duas equaes obtemos uma expresso para a viscosidade . = tmnuA = tpuA ou, combinando-se as Eqs. 1.4-1, 3 e 8 /Perfil de velocidade v, (y) componente x de velocidade v., 1,.-a X Fig. 1.41 Transporte molecular de momento de di reox a partirdo plano em (y - a) para opla'lo emy. (l.4-8) (1.4-9) 35. 24 CAPTULO UM Essa expresso para a viscosidade foi obtida por Maxwell 2 em 1860. A grandeza 1Td2 chamada de seo transversal de coliso (ver Fig. 1.4-2). A deduo anterior, que d uma imagem qualitativamente correta da transferncia de momento em um gs a baixas densidades, toma claro por que desejvamos introduzir o tenno "fluxo de momento" para designar T,.x na Seo 1.1. A previso da Eq. 1.4-9 de que , independente da presso concorda bem com dados experimentais at cerca de 10 atm para temperaturas acima da temperatura crtica (ver Fig. 1.3-1). A dependncia prevista com a temperatura bem menos satisfatria; dados para vrios gases indicam que , aumenta mais rapidamente do que Vr. Para descrever melhor a dependncia de , com a temperatura, necessrio substituir o modelo de esfera rgida por um que considere foras atrativas e repulsivas mais acuradamente. tambm necessrio abandonar as teorias de livre percurso mdio e utilizar a equao de Boltzmann de modo a se obter mais precisamente a distribuio de velocidades moleculares em sistemas fora do equilbrio. Deixando os detalhes para o Apndice D, apresentamos aqui os principais resultados. 3 4 5 Uma rigorosa teoria cintica de gases monoatmicos a baixas densidades foi desenvolvida no incio do sculo vinte por Chapman na Inglaterra e independentemente por Enskog na Sucia. A teoria de Chapman-Enskog fornece expresses para as propriedades de transporte em termos da energia potencial intermolecular cp(r), em quer a distncia entre duas mo- lculas em processo de coliso. A fora intermolecular ento dada por F(r) = - dcp/dr. A forma funcional exata de cp(r) no conhecida; todavia, para molculas no-polares uma expresso emprica o potencial de Lennard-Jones 6 (6-12) dado por (1.4-10) na qual o- um dimetro caracterstico das molculas, freqentemente denominado dimetro de coliso, e e uma energia caracterstica, na verdade a energia mxima de atrao entre duas molculas. Essa funo, mostrada na Fig. 1.4-3, descre- ve o comportamento caracterstico das foras intermoleculares: atraes fracas para separaes grandes e repulses fortes para separaes pequenas. Para muitas substncias os valores dos parmetros "13 so. As molculas se repelem mutuamente para separaes r < rm cp(r) = _J_ ( M)-112[ (,")112(M,s)1;4]2

r,. Fig. 1.4-3 Funo energia potencial rpl,r) descrevendo a in- terao de duas molculas esfricas no-polares. Opoten- cial de Lennard-Jones (6-12) dado na Eq. 1.4-10 uma de muitas equaes empricaspropostasparaajustar essa cur- va. Parar rm as molculas se atraem mutuamente. 7 C.R. Wilke,J. Chem. Plzys., 18, 517-519 (1950); veja tambm}. W.Buddenberg and C. R. Wilke, lnd. Eng. Chem., 41, 1345-1347 (1949). 37. 26 CAPTULO UM Nessa equao o nmero de espcies qumicas na mistura N, x" a frao molar das espcies a, a viscosidade das espcies puras ana temperatura e presso do sistema e M" o peso molecular das espcies a. Mostrou-se que aEq. 1.4-16 reproduz valores medidos das viscosidades de misturas com um desvio mdio de cerca de 2%. A dependncia da viscosi- dade de misturas com a composio extremamente no-linear para algumas misturas, particularmente para misturas de gases leves e pesados (ver Problema lA.2). Resumindo, as Eqs. 1.4-14, 15 e 16 so frmulas teis para o clculo de viscosidades de gases no-polares e misturas de gases a baixas densidades a partir de valores tabelados dos parmetros de foras intermoleculares ti X Fig. 1.5-1 Ilustrao de um processo de escape no escoamento de um lquido. A molcula 1 deve pas- sar atravs de um "gargalo" para atingir ostio vago. por suas vizinhas mais prximas. Essa "gaiola" representada por uma barreira de energia de altura G/N,, na qual 6.G6 a energia livre molar de ativao para o escape da gaiola para o fluido estacionrio (ver Fig. 1.5-1). De acordo com Eyring, um lquido em repouso sofre contnuos rearranjos, nos quais uma molcula de cada vez escapa de sua "gaiola" para um "buraco" vizinho, e que as molculas movem-se assim em cada uma das direes coordenadas em saltos de com- primento a a uma freqncia n por molcula. A freqncia dada pela equao de taxa KT - v =hexp(-6.Gt/RD (1.5-1) na qual K eh so, respectivamente, as constantes de Boltzmann e Planck, N o nmero de Avogadro e R =NK a cons- tante dos gases (ver Apndice F). Para um fluido qu~ escoa na direo x com um gradiente de velocidade dvxfdy, a freqncia de rearranjos moleculares aumentada. O efeito pode ser explicado considerando a barreira de energia potencial como sendo distorcida sob a tenso 'Tyx (ver Fig. 1.5-1) de modo que (l.5-2) onde V o volume de um molde lquido e (a/o)('TY'V/2) uma aproximao para o trabalho realizado sobre as mol- culas conforme elas se deslocam para o topo da barreira de energia movendo-se com a tenso cisalhante aplicada (sinal de mais) ou contra a tenso cisalhante aplicada (sinal de menos). Definimos agora V+ como sendo a freqncia de saltos para a frente e v_ como a freqncia de saltos para trs. Ento, das Eqs. 1.5-1e1.5-2 encontramos ~ - - v;, = h exp(-G/ RD exp(aTY"V/20RD (1.5-3) O excedente de velocidade com que as molculas da camada A se movem em relao s da camada B (Fig. 1.5-1) exa- tamente a distncia percorrida por salto (a) vezes o saldo de freqncia dos saltos para a frente (v+ - v_); isto d (1.5-4) O perfil de velocidades pode ser considerado linear para distncias muito pequenas, o,entre as camadas A e B, de modo que dv" ()- dy = 8 (v+ - v_) (l.5-5) Combinando as Eqs.1.5-3 e 5, obtemos finalmente -~t:: = (~)(KhT exp(-iCci/RT) )cexp(+aTyJl/2RT)-exp(-aTy)/28RD) = (~)(~;exp(-iGci/1ff) )(2senh;~v~~.) (1.5-6) 40. VISCOSIDADE E OS MECANISMOS DE TRANSPORTE DE MOMENTO 29 Essa equao prev uma relao no-linear entre a tenso cisalhante (fluxo de momento) e o gradiente de velocidade - isto , escoamento no-newtoniano. Tal comportamento no-linear mais bem discutido no Cap. 8. A situao usual, todavia, que a'yxV/28RT z:c = 'f:rr + PVxVx =P+ 'rxx + PV:::Vx c/>xy = 'fxy + PV:::Vy = TnJ + PVxVy e assim por diante, conforme as entradas nas Tabelas 1.2-1e1.7-1. O importante lembrar que (1.7-3a) (1.7-3b) = fluxo combinado de momento de direo y atravs de uma superfcie perpendicular direo x, por mecanismos molecular e convectivo. O segundo ndice d o componente do momento que transportado e o primeiro d a direo do transporte. Os vrios smbolos e a nomenclatura para os fluxos de momento so dados na Tabela 1.7-2. A mesma conveno de sinais usada para todos os fluxos. Smbolo pvv 'l" r.=p+-r =r.+pvv Significado Tensorfluxo convectivode momento Tensor fluxo. viscoso de momento Tensor fluxo molecular de momentob Tensor fluxo combinado de momento Referncia Tabela 1.7-1 .Tabela 1.2-1 Tabela 1.2-1 Eq.1.7-2 Para fluidos viscoelsticos (ver Cap. 8), adenominao deveria ser tensor fluxo viscoels- tico de momento ou tensor tenso viscoelstica. hEsse pode ser referido como tensor tenso molecular. QESTES PARA DISCUSSO 1. Compare a lei de Newton da viscosidade e a lei de Hooke da elasticidade. Qual a origem dessas leis? 2. Mostre que o "momento por unidade de rea por unidade de tempo" tem as mesmas dimenses que a "fora por uni- dade de rea". 3. Compare e diferencie os mecanismos molecular e convectivo de transporte de momento. 4. Quais os significados fsicos dos parmetros de Lennard-Jones e como eles podem ser determinados a partir de dados de viscosidade? A determinao nica? 5. Como as viscosidades de lquidos e gases a baixas densidades dependem de temperatura e presso? 6. O potencial de Lennard-Jones depende apenas da separao intermolecular. Para que tipos de molculas voc espera- ria ser inapropriado esse tipo de potencial? 7. Esboce um grfico da funo energia potencial

Oatingiro uma rea S do ulano yz em um intervalo de tempo curto, se elas estiverem no volume Sux .t. O nmero de colises com a parede por unidade de rea por unidade de tempo ser f+> f+oo f+> (Su/1t)f(uv Uy1 u,)du,.u,;IUz z= -oo -oo o SM =nfif=~nu (lC.2-1) Verifique o desenvolvimento acima. lC.3 Presso de um gs ideal. 4 Deseja-se calcular a presso exercida por um gs ideal sobre uma parede a partir da taxa de transferncia de momento das molculas para a parede. (a) Quando uma molcula transladando com velocidade v colide com uma parede, suas componentes de velocidade de aproximao so u", uJ" u, e aps uma reflexo especular na parede suas componentes so - uv uY, u,. Assim, o momento "lquido" transmitido parede 2mux. As molculas que tm uma componente x de velocidade igual a ux e que colidiro com a parede durante um pequeno intervalo de tempo L1t devem estar no interior do volume Supt. Quantas molculas com componentes de velocidade na faixa de u", uY, u. a ux +.u,, uY + .uY, u, + b.u, atingiro a rea S da parede com uma velocidade ux no intervalo de tempo b.t? Sero f(u" uY' u,) du.f.uydu, vezes Supt. Ento a presso exercida pelo gs sobre a parede ser (lC.3-1) Explique cuidadosamente como essa expresso foi obtida. Verifique que essa relao est dimensionalmente correta. (b) Insira a Eq. lC.1-1 para a distribuio de equilbrio de Maxwell-Boltzmann na Eq. lC.3-1 e efetue a integrao. Verifique que esse procedimento leva a p = nKT, a equao dos gases ideais. lD.l Rotao uniforme de um fluido (a) Verifique que a distribuio de velocidades em um fluido em um estado de rotao pura (i.e., em rotao como um corpo rgido) v = [w X r], em que w a velocidade angular (uma constante) e r o vetor posio, com com- ponentes x,y, z. (b) O que so Vv +('Vv)t e (V v) para o campo de escoamento em (a)? (e) Interprete a Eq. 1.2-7 em termos dos resultados de (b). lD.2 Fora sobre uma superfcie com orientao arbitrria. 5 (Fig. 10.2) Considere o material no interior de um ele- mento de volume OABC em um estado de equilbrio tal que a soma das foras que agem nas faces triangulares OBC, OCA, OAB e ABC deve ser nula. Seja dS a rea de ABC e n,. o vetor fora por unidade de rea que o material do lado menos de dS faz sobre o material do lado mais. Mostre que n 11 = [n n]. (a) Mostre que a rea do OBC igual rea projetada do ABC no plano yz; isto (n x)dS. Escreva expresses similares para as reas do OCA e OAB. (b) Mostre que de acordo com a Tabela 1.2-1 a fora por unidade de rea sobre o OBC /rrxx + ynxy + z7r:: Escreva expresses similares para as foras sobre OCA e OAB. (e) Mostre que o balano de foras para o elemento de volume OABC fornece "'~ = 44(D. ;)(/IJij) = [n 4_2: ;j7Tij] (lD.2-1) 1 1 1 1 4 R. J. Silbey and R. A. Alberty, Plzysical Clzernistry, Wiley, New York, 3rd edition (2001), pp. 639-640. 'M. Abraham and R. Becker, The Classical Tlzeory ofElectricity ond Magnetisrn, Blackie and Sons, London (1952), pp. 44-45. 49. 38 CAPTULO UM em que os ndices i, j assumem os valores x, y, z. O somatrio duplo na ltima expresso o tensor tenso 'lT escrito como a soma de produtos de dadas unitrias e componentes. z B X y Fig. 1D.2 Elemento de volume OABCsobre oqual aplicado oequilbrio de foras. Ovetor 'iT" = [n r.] a fora por unidade de rea exercida pelo material menos (material no in- terior de OABC) sobre o material mais (material no exterior de OABC). Ovetor n ovetor unitrio normal face ABC, dirigido para fora do volume elementar. 50. 2.1 BALANOS DE MOMENTO EM CASCAS E CONDIES DE CONTORNO 2.4 ESCOAMENTO ATRAVS DE UM NULO 2.5 ESCOAMENTO DE DOIS FLUIDOS IMISCVEIS E ADJACENTES2.2 ESCOAMENTO DE UM FILME DESCENDENTE 2.3 ESCOAMENTO ATRAVS DE UM TUBO CIRCULAR 2.6 EscoAJvtENTO LENTO EM TORNO DE UMA ESFERA Neste captulo mostramos como obter os perfis de velocidades paraescoamentos laminares de fluidos em sistemas simples de escoamento. Tais dedues fazem uso da definio de viscosidade, das expresses paraos fluxos molecular e convectivo de momento e do conceito de balano de momento. Uma vez conhecidos os perfis de velocidades, podemos obter outras grandezas tais como a velocidade m'