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Fenômeno de Transportes 1Capítulo 2
Luis Fernando AzevedoLaboratório de Engenharia de Fluidos
DEM/PUC-Rio
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A hipótese do meio contínuo• Uma teoria completa para o movimento de fluidos deveria
levar em consideração a estrutura molecular do fluido.
• A formulação das equações básicas para o movimento de cadamolécula produziria um número muito grande de equações, tornando a solução do problema impraticável.
• Para condições normais de temperatura de pressão, existe umaformulação simplificada que produz excelentes resultados: modelo de fluido como um meio contínuo
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A hipótese do meio contínuo
• neste modelo assume-se que: o fluido é um meio contínuo, no qual qualquer propriedade local do fluido permaneceinalterada, não importando o tamanho da amostra examinada.
• Considere, por exemplo, a propriedade massa específica, ρ, definida como,
∀∆∆
→∀∆≡ Mlim
0ρ
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A hipótese do meio contínuo
• A hipótese do contínuo falha quando ∆∀ é da ordem do caminholivre médio entre colisões moleculares
• Uma idéia de ordem de grandeza destes volumes:– considere um pequeno volume de gás nas CNTP de 10-6 cm3 (cubo de
0,1 x 0,1 x 0,1mm).– este volume é da ordem dos menores sensores disponíveis em
laboratório– Este volume contém cerca de 1016 moléculas, o que possibilita a
utilização da hipótese do contínuo
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A hipótese do meio contínuo
• Algumas situações onde espera-se que a hipótese do meio contínuo falhe:– movimento de materiais particulados em suspensão
no ar (aerossóis)– determinação da força de arrasto sobre satélites em
órbita– número de Knudsen
escoamentodoticacaracterísensãodimcolisõesentremédiolivrehominca
LKn ==
λ
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A hipótese do meio contínuo
• Quando utilizamos a hipótese do meio contínuo
– Qualquer propriedade é definida em todo espaço
– Não há vazios no fluido
– As propriedades podem ser representadas por funçõescontínuas do espaço e do tempo
– Um ponto no escoamento passa a ser uma região muitopequena no escoamento, porém grande o suficiente para nãoviolar a hipótese do meio contínuo
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Conceito de campo
• Podemos descrever as propriedades do escoamento em termos do conceito de campo e utilizar todo o ferramentalmatemático existente
• Seja o vetor posição e t o tempo,é um campo descrevendo o valor
de uma dada propriedade
– Coordenadas cartesianas,
xr
)t,x(f r
kzjyixx ++=r
)t,,,r(f)t,z,,r(f)t,z,y,x(f φθθ ==
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Exemplos de alguns campos de interesse• Campos escalares
– Massa específica,
– Temperatura,
– Pressão,
• Campos vetoriais
– Velocidade,
– Aceleração,
– Força,
• Campos tensoriais
– Tensão,
– Gradiente de velocidade,
– Taxa de deformação,
)t,x( rρ
)t,x(T r
)t,x(p r
)t,x(V rr
)t,x(a rr
)t,x(T r
)t,x(V rrv∇
)t,x(F rr
)t,x(D r
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O campo de velocidade: casos particulares
• De uma maneira geral, o campo de velocidade é tri-dimensional e dependente do tempo,
)t,x(V rrescoamento transiente, tri-dimensional
• No caso de não haver dependência do tempo, tem-se o escoamento em regime permanente,
)x(V rrescoamento permanente, tri-dimensional
• O escoamento é uni, bi ou tri-dimensional, dependendodo número de coordenadas espaciais necesárias paradescrevê-lo,
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O campo de velocidade: casos particulares
• escoamento 1-D,
zzrr eVeVeV)z,,r(V ++= θθθr
zz e)r(V)r(V =r
• escoamento 2-D,
j)y,x(vi)y,x(u)y,x(V +=r
k)z,y,x(wj)z.y,x(vi)z,y,x(u)z,y,x(V ++=r
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Trajetória, linha de corrente e linha de tinta
São linhas que auxiliam a visualização e interpretação do escoamento,
• Trajetória: é a curva que descreve o caminho percorrido poruma partícula de fluido ao longo do tempo
Para torná-la visível no laboratório, é necessário “marcar” umadeterminada partícula e acompanhar seu movimento através de múltiplasfotografias
A equação da trajetória pode ser obtida pela solução simultânea das 3 equações diferenciais representadas por:
)t,x(Vdtxd rrr= com condições iniciais: 00 == temxx rr
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• Linha de corrente: são curvas, passando por um dado ponto no espaço, que, para um dado instante de tempo fixo, são tangentes ao vetor velocidade em todos os pontos
Imagine um escoamento no plano xy
θ v
u
Vr
x
ylinha de corrente
dxdy
uvtan ==θ
wdz
vdy
udx,assim ==
Obs: 1) não há fluxo de massa através de uma linha de corrente2) linhas de corrente não se cruzam
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• Linha de tinta (linha de emissão)
Suponha que injetamos um corante continuamente emum ponto do escoamento com coordenadas , começandoem t = T1 e observamos a linha de corante em um tempo posterior t= T2>T1
A linha de tinta é a curva formada por todas as partículas de fluido que no intervalo T1< t < T2 passaram por
Em regime permanente, trajetória, linha de corrente e linhade tinta coincidem
1xr
1xr
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Campo de Tensão
As forças que agem em um elemento de fluido podemser de dois tipos:- Forças de corpo (ou de campo): forças devido à ação de
campos que agem igualmente em todo o elemento à distância. Por exemplo, forças devido à ação do campo gravitacional, campos eletromagnéticos
d∀, elemento de volume
aceleração local da gravidade
∀= dgFd Brr
ρ
massa específica
BFdr
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Campo de Tensão
- Forças de superfície: forças devido ao contato do elemento com o material que o envolve. Esta força pode existir na fronteira com uma superfície sólida, ou quando se separa um elemento de fluidopara estudo.
força por unidade de área
∀d
∀dgρ
)t,n,r(tnrrndA
Princípio de Cauchy das tensões: em torno de qualquer superfícieimaginária no material existe uma distribuição do vetor cujaresultante e momento são equivalents àquelas causadas pelomaterial que envolve a superfície.
)n(tr
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Campo de Tensão
Pode-se mostrar que o elemento de fluido está em equilíbrio estáticosob a ação das forças de superfície, mesmo quando em movimento
n )n(tr
)n(t −r
n−
dA)n(t)n(tdA)n(tdA)n(t −−=∴−−=
rrrr
x
)n(tr
n
y
z
ab
c
o
dA
face normal área força/áreaabc n dA )n(t
r
oac j− dAjn ⋅ )j(t −r
obc i− dAin ⋅ )i(t −
r
oab k− dAkn ⋅ )k(t −r
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Para termos equilíbrio estático,
x
)n(tr
n
y
z
ab
c
o
dA
face normal área força/áreaabc n dA )n(t
r
oac j− dAjn ⋅ )j(t −r
obc i− dAin ⋅ )i(t −
r
oab k− dAkn ⋅ )k(t −r
[ ])k(tk)j(tj)i(tin)n(t
)in)(i(t)kn)(k(t)jn)(j(t)n(t
)n(t)n(t,usando
)dAkn)(k(t)dAin)(i(t)dAjn)(j(tdA)n(t
rrrr
rrrr
rr
rrr
++⋅=
⋅+⋅+⋅=
−−=
=⋅−+⋅−+⋅−+ 0
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[ ])k(tk)j(tj)i(tin)n(trrrr
++⋅=
tensõesdastensoroéTTn)n(t ⋅=r
,direçõesnasscomponentedostermosemescrevendoe,kej,iscoordenadoeixosdosdireçãonanPara
33
[ ] [ ] [ ])i(tkk)i(tjj)i(tii)i(trrrr⋅+⋅+⋅=
[ ] [ ] [ ])j(tkk)j(tjj)j(tii)j(trrrr⋅+⋅+⋅=
[ ] [ ] [ ])k(tkk)k(tjj)k(tii)k(trrrr⋅+⋅+⋅=
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)k(tk)j(tj)i(tiTrrr
++=
[ ] [ ] [ ]+⋅+⋅+⋅= )i(tkki)i(tjji)i(tiiiTrrr
[ ] [ ] [ ]+⋅+⋅+⋅+ )j(tkkj)j(tjjj)j(tiijrrr
[ ] [ ] [ ])k(tkkk)k(tjjk)k(tiikrrr⋅+⋅+⋅+
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=)k(tk)k(tj)k(ti)j(tk)j(tj)j(ti)i(tk)i(tj)i(ti
T
éTdematrizaolog
rrr
rrr
rrr
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[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=)k(tk)k(tj)k(ti)j(tk)j(tj)j(ti)i(tk)i(tj)i(ti
Trrr
rrr
rrr
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
kkjkik
kjjjij
kijiiiT
,usualnotação
σττ
τστ
ττσ
+++
++++
+++=
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[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=)k(tk)k(tj)k(ti)j(tk)j(tj)j(ti)i(tk)i(tj)i(ti
Trrr
rrr
rrr
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
Tστττστττσ
ou seja, na notação xyxx ,τσ , etc, o primeiro índice indica a face do cubo onde a tensão atua, o segundo índice indica a direção da tensão
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xxσ
xyτ
xzτzzσ zxτ
zyτ
yyσ
yxτyzτ
xxσ
xyτ
xzτ
x
y
z
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
Tστττστττσ
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Os planos são considerados positivos de acordo com a sua normal
Convenção de sinais para a tensão:
Tensão positiva quando seu sentido e o plano onde atua são ambos positivos ou ambos negativos
nτ
+
τn
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É importante conhecermos a relação entre a tensão aplicada e a taxade deformação produzida no fluido.
Considere o elemento de fluido entre 2 placas paralelas infinitas
Força dFxVelocidade du
dy
N O
y
x
M M’ P P’
dL
dx
dα
elemento de fluidoem t+dt
elemento de fluidoem t
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Força dFxVelocidade du
dy
N O
y
x
M M’ P P’
dL
dx
dα
elemento de fluidoem t+dt
elemento de fluidoem t
y
xyx dA
dF=τA tensão cisalhante aplicada é:
dtdαDurante o intervalo de tempo dt, o elemento é deformado de
MNOP para M’NOP’. A taxa de deformação do fluido é dada por:
dtdudL ⋅= αα d)dtan( ≈)dtan(dydL α⋅= αddydL ⋅=Da figura,
dydu
dtd
=ααddydtdu ⋅=⋅
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Qual a relação entre a tensão de cisalhamento e a taxa de deformação?
Hipótese: Fluido Newtoniano: taxa de deformação é linearmente proporcional à tensão cisalhante.
ensionaldimuniescoamentopara,dydu
yx −= µτ
µ : viscosidade dinâmica ou viscosidade absoluta
[ ] [ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⋅=⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ ⋅
=sm
kgsPam
sN2µUnidade SI:
scmg:cpcentiPoise⋅
−210scmg:Poise ⋅1Outra unidade:
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A viscosidadee varia com a temperatura e com a pressão
↑↓ Tµ Forças intermoleculares de curto alcanceLíquidos:
↑↑ TµGases: Troca de quantidade de movimento entre moléculas em regiões adjacentes
É comum no estudo de mecânica dos fluidos aparecer a razão:ρµυ =
Viscosidade cinemática:
[ ] SInosm2
=ν
Outra unidade:
scm:cStStokescenti
2210−
scm:Stokes
2
1
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Exemplos numéricos….
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Fluidos não Newtonianos• fluidos que não obdecem à lei de Newton da viscosidade
– a lei de Newton só se aplica a gases e líquidos de micro-estrutura simples
– para materiais de micro-estrutura mais complexa o comprotamento mecânico é qualitativamente diferente
• ocorrência na indústria– Petróleo: fluidos de perfuração, pertóleos pesados, emulsões,
soluções poliméricas, etc.– Plásticos: polímeros fundidos, soluções poliméricas, etc– Extrativa: lama, argilas, suspensões de minérios, etc.– Alimentos: manteiga, ketchup, maionese, massasm pastsa,
iogurte, etc..
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a função viscosidade• a definição da função viscosidade é
γτ
η&
=
τ é a tensão cisalhante. No escoamento simples de cisalhamento é
xyτ
xyτ
dydu
=γ&
• principais tipos de desvio do comportamento newtoniano– dependência com a taxa de cisalhamento– dependência com o tempo de cisalhamento– viscoelasticidade
no mesmo escoamento
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dependência com a taxa de cisalhamentoxy
• Modelo power law
τ
nKγτ &=
• Modelo de Bingham
K: índice de consistênciaN: índice de comportamento
γµττ &Po +=
tensão limite de escoamento
P viscosidade plásticaµoτ
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• Fluido newtoniano
• Modelo de Bingham
µη =
1−= nKγη &
• Modelo power law
Po µγτη +=&
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dependência com o tempo de cisalhamento
Fluidos tixotrópicos• Viscosidade cai com o
tempo de cisalhamento• Exemplos: tintas,
suspensões coloidais, emulsões
xyτ
Fluidos reopéticos• Viscosidade cresce com o
tempo de cisalhamento• Exemplo:suspensões conc.
de amido.
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Tensão Interfacial Uma assimetria entre forças intermoleculares gera uma tensão nainterface líquido-gás ou líquido-sólido-gás
é devida a diferenças entre os níveis de forças de atração entremoléculas similares (coesão) e dissimilares (adesão)
GásForças coesivas > forças adesivas
Líquido
Forças coesivas se cancelam
Filme: tension in soap film(306) (390)
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Tensão Interfacial Uma força por unidade de comprimento é gerada na superíficie quedefine a interface: tensão interfacialage ortogonalmente a uma curva cortando a superfície
:σ Tensão interfacial [N/m]
Considere uma gota de líquido imersa em um gás
tensãointerfacial
pressão interna,pi
2R
No equilíbrio:
022 =+− σππ RRp ii
Rpi
π2=
pressão acima da externa
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exemplo: cálculo da pressão interna em uma gota de água com 0,5 mm de diâmetro imersa no ar.
σ = 0,0730 N/m para água no ar (é função da temperatura e presença de substâncias químicas)
atm,Pamm
Nx,,pi 002902921050073002
3 ==⋅
⋅= −
Considere agora o caso de uma bolha. Cortando a bolha, vemos que a tensão interfacial age em duas superfícies: interna e externa.
Assumindo o raio interno aproximadamente igual ao externo,
2R
[ ] 0222 =+− RRp ii πσπ
Rpi
π4=
Pressão manométrica (acima da pressão externa)
Filme duasbolhas(320)
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Considere agora o caso onde o líquido esta em contato com um sólido
O comportamento da superfície depende das forças de adesão ao sólido comparadascom as forças de coesão no líquido
Ângulo de contato
θ θ
Molha Não molha
Angulo (308)