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FEM 2010, Roma 13 dicembre 2010
S. Ventre et all, Calcolo Elettromagnetico Intensivo per la soluzione di problemi basati su formulazione integrale
Calcolo Elettromagnetico Intensivo per la soluzione di problemi basati
su formulazione integrale
Antonello Tamburrino, Salvatore VentreAss. EURATOM/ENEA/CREATE, DAEIMI, Università di
Cassino, ItalyFlavio Calvano, Guglielmo Rubinacci
Ass. EURATOM/ENEA/CREATE, DIEL, Università di Napoli Federico II, Italy
FEM 2010, Roma 13 dicembre 2010
S. Ventre et all, Calcolo Elettromagnetico Intensivo per la soluzione di problemi basati su formulazione integrale
Sommario
• Introduzione • Il problema di riferimento• Velocizzazione del calcolo• Risultati• Conclusioni e prospettive
FEM 2010, Roma 13 dicembre 2010
S. Ventre et all, Calcolo Elettromagnetico Intensivo per la soluzione di problemi basati su formulazione integrale
Introduzione
FEM 2010, Roma 13 dicembre 2010
S. Ventre et all, Calcolo Elettromagnetico Intensivo per la soluzione di problemi basati su formulazione integrale
Il Problema di riferimento
Calcolo degli sforzi elettrodinamici in un turbo generatore
Fig. 5.1: spaccato parte terminale lato camera ad anelli (l'avvolgimento rotorico di eccitazione e la gabbia smorzatrice non sono rappresentati) fornita da Ansaldo Energia.
Ferro (laminato) statorico
Ferro (massiccio)
rotorico
Carcassa in ferro
massiccio
Avvolgimento statorico
in rame
R. Albanese, F. Calvano, G. Dal Mut, F. Ferraioli, A. Formisano, F. Marignetti, R. Martone, G. Rubinacci, A. Tamburrino, S. Ventre, “Electromechanical Analysis of End Windings in Turbo Generators”, presented at the 14th IGTE Symposium, Graz (Austria), 2010.
FEM 2010, Roma 13 dicembre 2010
S. Ventre et all, Calcolo Elettromagnetico Intensivo per la soluzione di problemi basati su formulazione integrale
33
03
00 Rin ,'
'
''ˆ'
4'
'
'''
4
ff VV
S dSdVrr
rrrnrM
rr
rrrMrMrBrB
Formulazione Integrale del problema magnetostatico
BS è l’induzione magnetica prodotta correnti (imposte) sul rotore e sullo statore
Vf è la regione dello spazio occupata dal materiale magnetico (di statore e rotore)
Vf rappresenta la frontiera di Vf
fVin rBrM G
Equazione costitutiva non lineare (senza memoria)
(1)
(2)
Sostituendo la (2) nella (1)
fVin MM GT (3)
M magnetizzazione incognita
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Modello numerico
GT è una contrazione
kk MM GT1
La soluzione della (3) come convergenza a punto fisso
fj
jj VM in rPrMIncognita M jP Shape function
Galerking
i
dV
dV
dV
dV
f
f
f
f
V
ii
V
ki
V
ii
V
k-i
,
11
PP
MP
PP
MP TG
Il termine dVfV
ki MP T diventa WMED 1 k
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Definizione delle matrici
dVW
dVD
dSdSDE
f
f
i j
V
Sii
V
jiij
V V
jiijij
BP
PP
rr
rPrnrPrn'
'
''ˆˆ
40
0
Matrici Numeriche
;
1. k=0, 2. calcola usando 3. applica la relazione caratteristica per il calcolo di4. Se la differenza tra e è piccola ci si ferma, altrimenti
si ritorna al punto 1.
0M0 kB
1kM
1kMkM
WMED 1 k
Ciclo
Matrice Piena
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Problematiche numeriche nello schema di calcolo
1.Calcolo dell’induzione prodotta dalle sorgenti imposte 2.assemblaggio della matrice piena3.calcolo del prodotto matrice piena per vettore
EkME
W
Il passo 3. va ripetuto per ogni passo del ciclo
Per il punto 2. due la memoria e il calcolo cresce come O(n2) dove n è il numero di incognite pari a 3 volte il numero di elementi Il tempo di calcolo del passo 3. cresce come O(n2)
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Velocizzazione del calcolo
Miglioramenti proposti
1. La matrice W calcolata suddividendo in maniera equilibrata il carico sui processori
2. La matrice E trattata efficacemente a) Assemblaggio equilibratob) Compressionec) Distribuzione equilibrata della memoriad) Calcolo E*M equilibrato
Parallelizzazione del codice•Le macchine multicore sono poco costose•Sono presenti strumenti e librerie parallele collaudate•Utilizzo di architetture parallele (ad esempio Grid computing )
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Trattamento della matrice E Una parallelizzazione semplice è inefficaceIl costo computazionale dipende quadraticamente dalle incognite
Usando p processori (ideale)
Tp(N)=O(N2/p)
T(Ns)= T(Np) pNN sp
Velocizzazione del calcolo
E’ necessario Algoritmo lineare per avere uno speedup lineare
Sparsificazione della matrice E
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Assembly balancing
Memory balancing
Computation balancing
Fattori determinanti le prestazioni
Velocizzazione del calcolo
OBIETTIVO Integrare in maniera efficiente il metodo di compressione in una implementazione parallela
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Metodo Veloce
Introduzione di una griglia multilivello che include tutta la mesh Decomposizione in parte vicina e lontana
Calcolo e compressione della parte lontana, ottenuta secondo una tolleranza assegnata (precisione)
Calcolo esatto della parte vicina
Sparsificazione di E (con complessità quasi lineare)
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Introduzione Griglia Multilivello
Metodo Veloce
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nearfar EEE Calcolata senza errori
Nfar
i
ibibfar
1
2,1EE
.
Matrice di interazione locale tra due box lontane ib1 e ib2
Basso rango
2,1E ibib
# totale di interazioni lontane
approssimata
Decomposizione in parte vicina e lontana
Metodo Veloce
Nfar
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Siano me and m (ne and n) rispettivamente il numero degli elementi e delle incognite in ib1 (in ib2).
Compressione QR approssimata della matrice di interazione
2,1E ibib≈ Q R m×n
m×r
r×n
EFFICIENTE (m+n) × r << m×n.
Si osservi che Memory Required e ComputationTime sono uguali a (m+n) × r
r rango che dipende dalla errore richiesto (Modified Gram-Schmidt QR)
Metodo Veloce
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Implementazione Parallela di EFAR
2,1E ibibee nm * Costo assemblaggio della matrice di interazione locale
Nfar
i
Nfar
iiitot CnmC
11
*Costo Totale assemblaggio
Assembly balancing Distribuire il carico di in maniera equilibrata su p processori
2,1E ibib
Metodo Veloce
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Prestazioni dell’algoritmo sub-ottimo
Problema con complessità esponenziale risolto usando algoritmo sub-ottimo
end
Ki
CCC
CK
Nfarifor
pkC
descendentCsortedC
Si
kk
k
k
k
isi
min
min
)(
min
,..,1
,..,1,0
),(
Int2Proc
In uscita Int2proc(i) fornisce il processore a cui compete l’interazione i
Algoritmo di distribuzione dei carichi
kC Costo di assemblaggio del k-simo processore
Metodo Veloce
0 5 10 15 20 25 30 350
0.5
1
1.5
2
2.5x 10
6
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Sono automaticamente verificati se la dimensione del problema è sufficientemente grande (problemi di interesse per il parallelo)
Memory /Computation balancing di Lfar
Memory/Computation balancing ottenuti automaticamente
Non c’è bisogno di ulteriori comunicazioni
Metodo Veloce
0 5 10 15 20 25 30 350
0.5
1
1.5
2
2.5x 10
6
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Contract AenGe_CiFe10 CREATE-Ansaldo Energia 2009/10
Risultati
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MMFs in phase
MMFs in quadrature
MMFs opposite No. of elements: 11038
No. of unknows: 33114No. of iterations: 500Iteration time: 0.39sPreproc. time: 2792sMachine: ALTIX 4700N proc.: 32CPU: Dual Core Montecito (IA-64) @1,6 GHz, 8MB L3 cache and 533 MHz Bus
Computational Cost
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Risultati
Radial component of the magnetic induction Br (in Tesla) in function of the angular coordinate (in deg): comparison between the 3D integral formulation (--) and the 2D commercial code (continuous line) calculated at z=2.4.
Validazione del metodo con codice commerciale
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S. Ventre et all, Calcolo Elettromagnetico Intensivo per la soluzione di problemi basati su formulazione integrale
• Utilizzando la sparsificazione SVD e la sua parallelizzazione è possibile studiare strutture la cui una complessità computazione non è altrimenti affrontabile dai codici attualmente disponibili:
dettagliata descrizione della geometria Validazione con codice commerciale
•Attività corrente: estensione del metodo (sparsificazione + parallelizzazione) al problema delle eddy-current
Conclusioni e prospettive
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Grazie per l’attenzione ……