1 Hyperbili computerprogramma Dr. C.R.W. Korver, kinderarts Kennemer Gasthuis, Haarlem.
Feige - Mathematisches Institut Universität zu Köln€¦ · (a) Be Stimme den Korver genz radius...
Transcript of Feige - Mathematisches Institut Universität zu Köln€¦ · (a) Be Stimme den Korver genz radius...
Feige ,dass fiir alle ne IN gilt
Iz . Z,
. . o . . 2hz ( ¥+1 '
Li sung Tnduktion nach h E IN.
Tnduhtionanfang : n =L.
I
Kfz⇐ s
Be2 ⇐ > 3<4 v
Jndvhtionschritt : n mints.
Ange nom men I . I,
.
. . .
. 2n s tZnti
2- uzeigen : I . Z .
. . . 22ft . ZITI! IntNach Tnduktionannah.me ist ( da Zznntfz > o )
I . I,
.
. . .. 2ft .
Zntt c 1-2mHzht 2 Tnt.
Zntz
also geniigt es zu Zeiger ,dass
r¥ . IIITk¥+3Da bei de Sei ten position sind
,ist dies
⇒ I . s I
2 htt ( Zn t2)2 2h t 3
⇒ Grit1) ( 2n t 3) s Gnt25
⇐ 4 n 't 8h t 3 C 4 n 't 8h t 4
Da dies offenbarstimmt ,is A die Behauptungbewiesen .
Zeige mit Hilfe der E - 8 Definition :
(a) f , g stetig in xo ⇒ ft g stetig in no
(b) f : IR - i IR, fix ) = at LW nicht stetig in a E I .
(a)
Sei e > o.
Da f , g stetig sind, gibt es Sa
, Sz mit
If Cx ) - fi xD I s E fiir KED,
K - x ok 8,
I gcx) - g Coco) I s E fiir KED,
I x - Kok 82
Sette S -
- min { Sa, 823 .
Dann giltI f Get t g Cx) - f Coco) - g Geo ) I E
I fed - f Coco ) I t I g Cx ) - g Coco) I s 2 E.
(b) Behan p tung :
F e > o V-8 > o Fx mit Ioc - at a S und I fed - f (a) It E.
Fiir a E 7L gilt f Ca) = at Las = 2 a.
Iii r x E Ca - I,a) gilt f Go) = x t Loc I = x t a - I
→ IfGo) - f (a) I = txt a - i - 2 at = I x - a - I I =
= a th - x 71
Iii r E =L und S > o belie big wahle x E Ca - a, a)
mit be - at s s → Behanp thing .
.5
. 4 .
. 3
:. .' . . . . .
-3 -2 - n 7 2 3
. - y
. . - 2
. - 3
. . - 4
. - 5
. . - G
(a) Be Stimme den Korver genz radius R der Pote nzreihe
n? III , ,z Ea
.
(b) Feige ,class die Reihe auf Bp ( o ) normal konvergiert
and ihre Sum me auf For I o ) stetig ist.
Lis sung (a) Die Koeffitienten der P R sind an = hent,to
.
Es giltI I = = → a
,n - so
also R = nfima I III. 1=1 .
^und we gen in -7 I
,Alternative
,R =
him sup Fantn → a
Tnt → I,
n → a gilt finsgyp = nhjm.FI =L → R -- I
.
(b) fifty Big= nine, ⇐
I El = nine ,→
n I ,Inti
pyo,
= ¥,
net , konvergiat
also konvergiert die Fvnktionenreihe normal auf Bio).
Da Bjco ) -71C,
z → fifty, stetig sind,
ist die Sum me
der normal kenversenten Rei he stetig.
Bestimme die Grenzwerte :
lim eat"
und lim ectX -7N ex - e
- K x -70 xz
Lii sung
ex + e-a
e"
( rt e-2 " )
=At e- 2 "
I,
x a⇒ ' '
=
ex ( a - e- 2x ) n - e- 2x
da e- Y- so , y → a
.
Es gilt
e"
=
E.tn?--st#thIItIIE?undEiz2npy=x3EI=x3'oz!,
ochh =3 h !
wobei die Reihe ; }g ,och Konvergenz radius a hat
.
Insbesondere ist f : IR -7 IR, fed = ; }g ,
och stetig .
Esfolgt
e"
= 1+2×+2×2
toffee)
3
eZK¥tD=1t2xt2xtxfGc) - 1 - 2x - of
22
=x' txfcx )
= A txfcx ) I,
x -70.
ze2
Sans t kann man zwei mal l'
Hospital an Wenden :
Sei f , g : IR -7 IR,
f Cx ) = E "- Get it
, g Cx) = x'
.
f, g sind zweimd differ en zier bar und
f'
Cx ) = 2 EZ"- 2 ( x th )
,f
"Cx ) = 4572
g'
c x ) = 2x, g
"C x ) = 2
Is gilt flo ) = O, g Co) = o und f
'
Co ) = O, g
' Col = o.
Au per dem g'C x ) to
, g"C x ) to fiir x to .
Die Hypotheses bei l '
Hospital sind erfiillt also
gilt
align,
e" th
'
= align,
2e" '
- 2 Get D23C
= him 2 of "- y
K - so7=1 .
Sei f : [ o, a) → IR
,f Cx ) = ( x - 2) x
" ?
(a) Feige ,das s f Zwei mal differentials our auf ( o
, a) ist und
bestim me f'
Gd und f"
C x ) .Eris tier en f
'
Gd , f"
Go) fiir x = o ?
(b) Bestim me die Inter valle, auf de hen f mo not on ist
und die lo hole n und glo balen Extremism stellar von f .
Lii sung Ca) Die Funk tian ( 0, a) 3 x → SEE E ist zwei mal
diff bar fiir alle z E Cl also ist f auf ( 0,0 ) zweimol diff bar
als Pro dukt von x A x - 2 und act > x" ?
f- ( x ) = X5k
- 2×312 →
f'
( x ) = Ez x3k- 2 - Zz x
" 2= 52×312 - 3×1/2
f"
Cx) = I . Z x" '
- Z x
- " 2= Z si
" 2
( Ex - 1).
f'
Co) exisliert und f'Co) = o
,da
= f = ( x - z ) x" '
→ o,
x -70
f"C o) existiert nicht
,daftogyzfoto
=
EE "- 3 x
" '
= Ez sik- 3 I
" 2→ - a
,x - so
.
x - -
→ o → a
(b) f'
Gc) = od k (
Ex- 3) fiir x > o
.
Nulls tellers und Vor, zeichen der Abteilung :
Da sik > o fiir x > o,
so gilt
f'
Gc) so ⇒ 5×-3 so ⇒ x a Es ,
f'
C x ) = o ⇒ x = Es oder x = o,
f-'Cx ) > o ⇒ 5 x - 3 > O ⇒ x > § .
x = 615 ist der ein zig kritis cheer Punkt ( O lie gt am Rand )
Monotone - Inter valle
Also ist f strong mono ton fallen d auf [ 0, Es ] ,
streng mo not on wack send auf ( Es , a) .
3ns be son dere gilt :
V x E [0,6/5] : f I 0 ) Z f ( x ) Z f (6/5)
the E C 615,
o ) : f ( 615) E f Gc )
Extremist ellen
Daheristx = Es das globule Minimum von f
und x -
- o ein lo holes Maximum.
( das sieht man auch dire ht : f Co) = o und f Gc) so
fiir x E C o,
2 ) ) .
Es gibt Reine an dere lo hole Extrema auf ( o, a) da x = 615
der, ein zig kritis cheer Punkt ist.
Variations tabelle :
x O 6/5
ft C x ) O - - - - O t t t t
f GD o fl 45 )
6. Aufgabe (8 Punkte)
Entscheide durch Ankreuzen, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind.
Dabei sind (an)n∈N, (bn)n∈N Folgen reeller Zahlen, a < b reelle Zahlen undD ⊂ R eine Teilemenge.
w f
1.� X Falls (an)n∈N und (bn)n∈N divergieren, so divergiert auch (an + bn)n∈N.
2. X � Falls (an + bn)n∈N und (an − bn)n∈N konvergieren, so konvergierenauch (an)n∈N und (bn)n∈N.
3.� X Hat eine Potenzreihe den Konvergenzradius R ∈ [0,∞), so ist sieauch im Punkt R konvergent.
4. X � Seien f, g : D → R stetig. Dann ist auch max{f, g} stetig.
5.� X Ist f : (a, b)→ R stetig, so ist f beschankt.
6.� X Sei f : D → R differenzierbar mit f ′(x) > 0 fur alle x ∈ D.Dann ist f streng monoton wachsend.
7.� X Ist f : (a, b)→ R differenzierbar und streng monoton wachsend,so gilt f ′(x) > 0 fur alle x ∈ (a, b).
8.� X Ist f : (x0 − δ, x0 + δ)→ R differenzierbar und f ′(x) < 0 fur allex ∈ (x0 − δ, x0) ∪ (x0, x0 + δ), so ist x0 ein Sattelpunkt.
1. Falsch. Betrachte an = n, bn = −n.
2. Wahr. Addiere und subtrahiere (an + bn), (an − bn).
3. Falsch. Betrachte die geometrische Reihe.
4. Wahr. max{f, g} = 12(f + g + |f − g|).
5. Falsch. Betrachte f : (0, 1)→ R, f(x) = 1x.
6. Falsch. f : R\π2Z→ R, f(x) = tan x
7. Falsch. f : R→ R, f(x) = x3, f ′(0) = 0.
8. Falsch. Es fehlt die Hypothese f ′(x0) = 0. Gegenbeispiel: f(x) = −x,x0 ∈ R beliebig.
Viel Erfolg! (Gesamtpunktzahl: 64 Punkte)