Kapitel 2

Fehlerrechnung

1

Messungen => quantitative Aussagen • Messungen müssen zu jeder Zeit und an jedem Ort zu den gleichen Ergebnissen führen

• Messungen sind immer mit Fehler behaftet. => Angabe des Fehlers! Bespiel (Medizin):

Bestimmung der Körpertemperatur mittels eines Thermometers.

Kapitel 2

Ziele: • Fehler möglichst klein halten • korrekte Angabe des Fehlers

Was für Fehler gibt es? • systematische Fehler • zufällige Fehler

3

Kapitel 2

Systematische Fehler: – treten bei wiederholter Messung immer in bestimmter Richtung auf, z.B. falscher Nullpunkt am Messgerät, Abhängigkeit von der Raumtemperatur,… Zufällig (statistisch): – bei wiederholter Messung streuen die Messwerte zufällig um den wahren Wert. => N-malige Wiederholung der Messung (Stichprobe) und anschließende Mittelwertbildung

(arithmetischer) Mittelwert:

Kapitel 2

Nüsse, Blutdruck

Thermometer, Blutdruck

Wie kann ich Fehler klein halten? • mehrfaches Messen (eventuell auch durch verschiedene Personen) & Mittelwertbildung • über die Messmethode/verfahren nachdenken • regelmäßige Eichung der Messgeräte (z.B. pH-Meter)

5

Kapitel 2 Messungen

Ist der absolute Fehler Δx der Messung abgeschätzt, so wird das Messergebnis angegeben:

x = x ± Δx

Sehr häufig wird auch der relative Fehler angegeben:

Die Angabe des relativen Fehlers erfolgt üblicherweise in % des Messergebnisses.

Kapitel 2 Messungen

Bei der Vermessung eines Grundstücks ergibt sich eine Fläche von:

Absoluter Fehler:

Relativer Fehler:

Relativer prozentualer Fehler:

Kapitel 2 Fehlerrechnung

= A ΔA

Blutbilder

Gesunder Mensch Kranker Mensch

http://www.vitalblutbild.de/3.html

http://www.sciencephoto.com/images/download_lo_res.html?id=771320892

Kapitel 2 Fehlerrechnung

Krebszellen

9

Kapitel 2 Fehlerrechnung

Wie kann ich den Fehler bestimmen?

1. Mittelwert

N: Anzahl Messungen

xi: Wert der Stichprobe

Andere Notationen: x = <x>

mit i = 1 ... N

10

Kapitel 2 Fehlerrechnung

Wie kann ich den Fehler bestimmen?

Histogramm

Häu

figk

eit

2.0 3.0 2.5 0

1

2

3

4

5

6

Häufigkeit: Anzahl Messwerte mit Wert x zwischen xi und xi+1

(z.B.: Anzahl Zellen mit Durchmesser zwischen 9.0 µm und 10.0 µm)

1. Mittelwert

2. Varianz

3. Standardabweichung

Häu

figk

eit

Kapitel 2 Fehlerrechnung

s

Reaktionszeiten

mit i = 1 ... N

10) Zur Untersuchung des Stresses von Medizinstudenten vor der Physikklausur wird der mittlere systolische Blutdruck von fünf Studenten zu Beginn der Klausur gemessen. Gemessen werden folgende Werte: Bestimmen Sie den mittleren systolischen Blutdruck und seine Standardabweichung. Lösung:

Mittelwert: 𝑝 =1

5125 + 129 + 140 + 121 + 127 𝑚𝑚𝐻𝑔 = 128,4 𝑚𝑚𝐻𝑔

Standardabweichung:

s = 1

4( 125 − 128.4 2 + 129 − 128.4 2 + 140 − 128.4 2 + 121 − 128.4 2 + 127 − 128.4 2) 𝑚𝑚𝐻𝑔

= 7,1 mmHg

Kapitel 2 Zur Übung

Aus Klausur SS2011

1. Mittelwert

3. Standardabweichung

Kapitel 2 Fehlerrechnung

Häu

figk

eit s

4. Standardfehler (Standardabweichung des Mittelwerts. Wie sicher ist der Mittelwert)

Dx = m + |w| 5. absoluter Messfehler

systematische Fehler

(Anmerkung: oft wird nur der Betrag angegeben, d.h. das weggelassen.)

5) Bei einem Patienten wird 6 mal hintereinander die Körpertemperatur gemessen. Dabei wurden folgende Werte erhalten: T = 37,4°C; 36,9°C; 37,0°C; 37,1°C; 37,4°C; 37,1°C Berechnen Sie a) den Mittelwert, b) die Standardabweichung c) die Standardabweichung des Mittelwerts dieser Messreihe und d) den relativen Fehler dieser Messung der Körpertemperatur. Lösung:

a) Mittelwert: 𝑇 =1

637.4 + 36.9 + 37.0 + 37.1 + 37.4 + 37.1 °𝐶 =37.15°C

b) Standardabweichung:

s= 1

5( 37.4 − 37.15 2 + 36.9 − 37.15 2 + 37.0 − 37.15 2 + 37.1 − 37.15 2 + 37.4 − 37.15 2 + 37.1 − 37.15 2) °𝐶 = 0.21°C

c) Standardabweichung des Mittelwerts: 𝑚 =𝑠

𝑁=

0.21°𝐶

6= 0.085°𝐶

d) (prozentualer) relativer Fehler: 𝑚

𝑇 = 0.23%

Kapitel 2 Zur Übung

Aus Klausur SS2006

Kapitel 2 Zur Übung

Aus Klausur SS2007

3) Die Bestimmung der mittleren Größe von 25 Erythrozythen lieferte einen Mittelwert von 2,3 mm bei einer Standardabweichung von 0,3 mm. Die Größe von wievielen Erythrozythen müssten Sie bestimmen, um einen Fehler des Mittelwertes von 0,02 mm zu erhalten? (Nehmen Sie an, dass die Standardabweichung unabhängig von der Anzahl der Messungen ist.) N = 225

10) Die Reaktionszeit t eines Probanden wurde mehrfach gemessen. Die Ergebnisse sind: [0,6s / 0,3s / 0,4s / 0,3s / 0,4s / 0,5s / 0,4s / 0,3s / 0,4s]. Bestimmen Sie den Mittelwert und die Standardabweichung. (Geben Sie den Rechenweg an!) Mittelwert: tmittel = 0,4s Standardabweichung: s = 0,1s Aus Klausur SS2008

Kapitel 2 Gauß-Verteilung

Gauß-Verteilung

Häu

figk

eit

f(x) bezeichnet die Häufigkeit von x (Messwert) falls die Breite des Intervals [xi, xi+1] -> 0 geht.

Kapitel 2 Gauß-Verteilung

Standardabweichung

Gaußsche Glockenkurve (symmetrisch um den Mittelwert)

Kapitel 2 Gauß-Verteilung

68,3 % statistische Sicherheit

95,5 % statistische Sicherheit

Häu

figk

eit

-2σ σ σ 2σ

2 2 Standardabweichung besagt, wie sehr die Messwerte um den Mittelwert streuen.

Kapitel 2

Fehlerfortpflanzung

Kapitel 2

20

Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz

partielle Ableitungen der Größe R nach x, y, …

Die zu messende Größe ist das Ergebnis anderer zu messenden Größen,

z.B. ω: Kreisfrequenz ( ) T: Periode

g: Ergbeschleunigung

l Fadenlänge

=> Allgemein: R = R(x, y, z,..) z.B.

Mittlerer absoluter Fehler (unabhängige Fehler)

Pendel

Kapitel 2

Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz

Beispiel: Fadenpendel

Kapitel 2

Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz

Beispiel: Fadenpendel

= ±

Kapitel 2

Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz

Beispiel: Fadenpendel

Beispiel:

l = 1 m Δl = 5·10-2 m T = 2 s ΔT = 0.2 s

Messung der Erdbeschleunigung weist Fehler von ± 2 m/s2 auf. => Reduzierung des Fehlers durch wiederholtes Messen der Periode u. Länge

Kapitel 2

Zur Übung

11) Bei der Bestimmung einer Niederschlagsmenge S=V/A (Volumen pro Fläche) wurde in einem Regenmesser (Größe der Öffnung A = πr2; Radius r = 0,1m) eine Wassermenge von V = 0,5l gesammelt. Der Fehler der Volumenmessung beträgt ΔV = 0,002l ; der Radius ist auf Δr = 0,001m genau bekannt. a) Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen ∂S/∂V und ∂S/∂r. b) Berechnen Sie unter Verwendung der partiellen Ableitungen aus a) den absoluten Größtfehler der Niederschlagsmenge ΔS. a) ∂S/∂V = 1/(πr2)

∂S/∂r = 𝜕

𝑉

𝜋𝑟2

𝜕𝑟 = (-2V)/(πr3)

b) ΔS = 0,38ℓ/m2

Aus Klausur SS2008

3) Der Flächeninhalt A eines Quadrates soll bestimmt werden. Die Strecke h ist 50,0cm 1,0cm, die Strecke s ist 170,0cm 2,0cm lang. a) Wie groß ist der Flächeninhalt A? b) Welchen absoluten Fehler hat A nach Gauß’scher Fehlerfortpflanzung?

Kapitel 2

Zur Übung

Aus Klausur

Lösung: Schreiben sie A als Funktion von h und s auf (a2 = s2 + h2). => Berechung der partiellen Ableitungen ∂A/∂h und ∂A/∂s .