FARK DENKLEMLERİNİN ÇÖZÜMLERİ ÜZERİNE BİR...
87
KIRGIZİSTAN TÜRKİYE MANAS ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI FARK DENKLEMLERİNİN ÇÖZÜMLERİ ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA Hazırlayan Burak OĞUL Danışman Yrd.Doç. Dr. Dağıstan ŞİMŞEK Yüksek Lisans Tezi Haziran 2015 KIRGIZİSTAN/BİŞKEK Yüksek Lisans Tezi Tezi Tezi Hazırlayan Burak OĞUL Anabilim Dalı Matematik 2015
Transcript of FARK DENKLEMLERİNİN ÇÖZÜMLERİ ÜZERİNE BİR...
KIRGIZİSTAN TÜRKİYE MANAS ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
FARK DENKLEMLERİNİN ÇÖZÜMLERİ ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA
Hazırlayan Burak OĞUL
Danışman Yrd.Doç. Dr. Dağıstan ŞİMŞEK
Yüksek Lisans Tezi
Haziran 2015 KIRGIZİSTAN/BİŞKEK
Yüksek Lisans Tezi Tezi H
azırlayanını Adı Soyadı …
……
… A
nabilim D
alı ……
….. 20…
Tezi Tezi H
azırlayan Burak O
ĞU
L Anabilim
Dalı M
atematik 2015
KIRGIZİSTAN TÜRKİYE MANAS ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
FARK DENKLEMLERİNİN ÇÖZÜMLERİ ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA
Hazırlayan
Burak OĞUL
Danışman
Doç. Dr. Dağıstan ŞİMŞEK
Yüksek Lisans Tezi
Haziran 2015
KIRGIZİSTAN/BİŞKEK
BİLİMSEL ETİĞE UYGUNLUK
Bu çalışmadaki tüm bilgilerin, akademik ve etik kurallara uygun bir şekilde elde edildiğini beyan ederim. Aynı zamanda bu kural ve davranışların gerektirdiği gibi, bu çalışmanın özünde olmayan tüm materyal ve sonuçları tam olarak aktardığımı ve referans gösterdiğimi belirtirim.
Burak OĞUL
İmza :
ii
YÖNERGEYE UYGUNLUK
“Fark Denklemlerinin Çözümleri Üzerine Bir Çalışma ” adlı Yüksek Lisans Tezi, Kırgızistan Türkiye Manas Üniversitesi Lisansüstü Tez Önerisi ve Tez Yazma Yönergesi’ne uygun olarak hazırlanmıştır.
Tezi Hazırlayan
Burak OĞUL
İmza:
Danışman
Doç.Dr. Dağıstan ŞİMŞEK
İmza:
Matematik ABD Başkanı
Prof.Dr. Avıt ASANOV
İmza:
iii
Doç.Dr Dağıstan ŞİMŞEK danışmanlığında Burak OĞUL tarafından hazırlanan “Fark Denklem
Sisteminin Çözümleri Üzerine Bir Çalışma ” adlı bu çalışma, jürimiz tarafından Kırgızistan
Türkiye Manas Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalında Yüksek Lisans
tezi olarak kabul edilmiştir.
………. /……../ ………
JÜRİ: Danışman :Doç.Dr Dağıstan ŞİMŞEK ……………. Üye :Prof.Dr Muratalı CAMANBAYEV ……………. Üye :Prof.Dr Asan ÖMÜRALİEV ……………. Üye :Prof.Dr Avıt ASANOV …………….
Üye :Yrd.Doç.Dr Ahmet DOĞAN …………….
ONAY : Bu tezin kabulü Enstitü Yönetim Kurulunun ………....… tarih ve …………..…… sayılı kararı ile onaylanmıştır.
………. /……../ ………
Prof. Dr. Zafer GÖNÜLALAN
Enstitü Müdürü
iv
ÖNSÖZ / TEŞEKKÜR
Çalışmalarım boyunca farklı bakış açıları ve bilimsel katkılarıyla beni aydınlatan, yakın
ilgi ve yardımlarını esirgemeyen ve bu günlere gelmemde en büyük katkı sahibi sayın
hocam Doç. Dr. Dağıstan ŞİMŞEK’e sonsuz teşekkürü bir borç bilirim.
Ayrıca, çalışmalarım süresince sabır göstererek beni daima destekleyen aileme sonsuz
teşekkürlerimi sunarım.
Burak OĞUL
Bişkek, Haziran 2015
v
FARK DENKLEM SİSTEMİNİN ÇÖZÜMLERİ ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA
Burak OĞUL
Kırgızistan Türkiye Manas Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü
Yüksek Lisans Tezi, Haziran 2015
Danışman: Doç. Dr. Dağıstan ŞİMŞEK
KISA ÖZET
Bu çalışma üç bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, maksimumlu fark
denklemleri ile ilgili bazı çalışmalar hakkında bilgi verdik. Bu bölümde kaynaklarda yer
alan 16 adet makale ve doktora tezlerinde yapılan çalışmalar hakkında kısa bilgiler
verildi.
İkinci bölümde, fark denklemleri ile ilgili 7 tane genel tanım ve 1 tane teorem
verildi.
Üçüncü bölümde, maksimumlu fark denklem sisteminin çözümleri ve
çözümlerin davranışları incelendi. İnceleme aşamasında 2 Lemma, 4 Teorem ve son
olarak da nümerik örnekler verildi. Lemmalar da maksimumlu fark denklem sisteminin
çözüm davranışları incelendi. Teoremlerin 2 tanesinde değişik başlangıç şartlarına göre
maksimumlu fark denklem sisteminin çözümleri tümevarım yöntemiyle incelendi. Diğer
2 teoremde ise maksimumlu fark denklem sisteminin çözümlerinin limit değerleri
incelendi. Ayrıca; maksimumlu fark denklem sistemi için 4 farklı başlangıç değerine
karşılık 4 tane örnek ve çözümleri verildi.
Dördüncü bölümde ise tez çalışmamız hakkındaki sonuç ve önerilere yer verildi.
Anahtar Kelimeler: Maksimumlu Fark Denklem Sistemi, Çözümlerin Davranışları
vi
АЙЫРМА ТЕНДЕМЕЛЕР СИСТЕМАСЫНЫН ЧЫГАРЫЛЫШЫШТАРЫ ТУУРАЛУУ ИШ
Бурак ОГУЛ
Kыргыз-Турк Манас Университети, Табигий илимдер институту
Магистрдык иш, Июнь 2015
Илимий жетекчи: Доцент. Док. Дагыстан ШИМШЕК
КЕҢИРИ АННОТАЦИЯ
Бул диссертация 3 бөлүмдөн турат. Биринчи бөлүмдө максимумдуу
айырма тендемелер менен байланыштуу илимий иштер жөнүндө маалымат
берилген. Бул бөлүмдө адабияттарда бар болгон 16 макала жана доктордук
диссертацияларда жасалган илимий иштер жөнүндө кыскача маалымат берилген.
Экинчи бөлүмдө, айырма тендемелер менен байланыштуу 7 жалпы
аныктама жана 1 теория берилген.
Үчүнчү бөлүмдө максимумдуу айырма тендемелер системасынын
чыгарылыштары изилденген. Изилдөө боюнча 2 Лемма, 4 Теорем жана сандык
мисалдер берилген. Леммаларда максимумдуу айырма тендемелер системасынын
чыгарылыштары изилденген. Теоремдердин экөөсүндө башкача башталуу
шарттарына карата максимумдуу айырма тендемелер системасынын
чыгарылыштары математикалык индукция методу менен изилденген. 2 теоремде
болсо максимумдуу айырма тендемелер системасынын чыгарылыштарын лимит
маанилери изилденген. Мындан сырткары максимумдуу айырма тендемелер
системасы үчүн 4 башкача башталуу мааниси үчүн 4 мисал жана чыгарылыштары
берилген.
Төртүнчү бөлүмдө болсо диссертация жөнүндө жыйынтык берилген.
Aчкыч сѳздѳр: Максимум айырма тендемеси, чыгарылыштарын изилдөөсү
vii
ИССЛЕДОВАНИЕ О РЕШЕНИЯХ СИСТЕМЫ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Бурак Огул
Кыргызско-Турецкий Университет Манас, Институт Естественных наук
Магистерская работа, июнь 2015
Научный руководитель: Доц Док. Дагыстан ШИМШЕК
Эта диссертация состоит из 3 разделов. В первом разделе предоставляется
информация о научных работах связанных с максимумами разностных уравнений.
В этом разделе предоставлена краткая информация о проделанных работах из
имеющихся литератур 16 статей и докторских диссертациях.
Во втором разделе дано 7 общих определений и 1 теория связанная со
разностными уравнениями.
В третьем разделе были исследованы решения систем максимумных
разностных уравнений. По исследованиям даны 2 Леммы, 4 Теоремы и числовые
примеры. В леммах исследованы решения систем макмимумных разностных
уравнений. В двух теоремах с учетом иных начальных условий решения систем
максимумных разностных уравнений были исследованы методом математической
индукции. А в двух теоремах были исследованы значения лимита решений систем
максимумных разностных уравнений. Кроме этого, даны для 4 с иной началом
значений 4 примера с решениями для системы максимумных разностных
уравнений.
В четвертом разделе предоставлено заключение о диссертации.
Ключевые слова: Максима разностного уравнения системы, поведение решений
viii
A STUDY ON THE SOLUTİON OF THE DİFFERENCE EQUATİON OF
SYSTEM
Burak OGUL
Kyrgyzstan-Turkey Manas University, Institute of Natural and Applied Sciences
M.Sc. Thesis, June 2015
Supervisor: Assoc.Prof. Dagıstan SHIMSHEK
This study consists of three parts. In the first section, we gave information about
some of the work which are related to the maximal of difference equations. This
resource is located in part of Article 16 and were given a brief description of the work
which was done in the doctoral thesis.
In the second part we give seven general definitions of difference equations and
one theorem.
In the third section, we examine the solution of the maximal difference equations
and their behavior. In this work we gave 2 Lemmas, four theorems and numerical
examples. In lemmas were examined behavior of solutions system of maximal
difference equations. In two theorems according to the different initial conditions
solutions of the maximal difference equations were examined by the induction method.
Also for system of maximal difference equations was given: For 4 different starting
values 4 examples.
In the fourth part was given conclusions and recommendations of our thesis.
Keywords: System of maximal difference equations, Behavior of Solutions
ix
İÇİNDEKİLER
FARK DENKLEMLERİNİN ÇÖZÜMLERİ ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA
Sayfa
BİLİMSEL ETİĞE UYGUNLUK SAYFASI ............................................................. ii
YÖNERGEYE UYGUNLUK SAYFASI .................................................................... iii
KABUL VE ONAY SAYFASI ................................................................................... iv
ÖNSÖZ / TEŞEKKÜR ................................................................................................ v
KISA ÖZET ................................................................................................................. vi
GENİŞ ÖZET (Kırgızça) ............................................................................................. vii
ÖZET (Rusça) ............................................................................................................. viii
ÖZET (İngilizce) .......................................................................................................... ix
İÇİNDEKİLER ............................................................................................................ x
1. BÖLÜM
GİRİŞ ............................................................................................................................... 1
1.1. Maksimumlu Fark Denklemleri İle İlgili Yapılmış Çalışmalar………………...1
2. BÖLÜM
FARK DENKLEMLERİ İLE İLGİLİ ÇALIŞMADA KULLANILAN TANIM VE
TEOREMLER………………………………………………………………………….6
3. BÖLÜM
MAKSİMUMLU FARK DENKLEM SİSTEMİNİN ÇÖZÜMÜ...…………………9
x
4. BÖLÜM
SONUÇ VE ÖNERİLER……………………………………………………………..72
KAYNAKLAR ............................................................................................................. 73
ÖZGEÇMİŞ…………………………………………………………………………...75
xi
1. BÖLÜM
GİRİŞ
Bu çalışmada, maksimumlu fark denklem sisteminin çözümleri ve çözüm
davranışları incelenmiştir.
Maksimumlu fark denklemleri ve denklem sistemleri ile ilgili literatürde var
olan çalışmalardan büyük bir kısmı incelenmiştir. Bu kapsamlı araştırmanın ışığında,
0123401234 ;;;;;;;;; yyyyyxxxxx −−−−−−−− başlangıç şartları sıfırdan farklı reel sayılar olmak
üzere,
=
=−
−
−+
−
−
−+
4
4
41
4
4
41 ,1max;,1max
n
n
nn
n
n
nn y
xy
yxy
xx maksimumlu fark
denklem sisteminin çözümleri incelenmiştir. Çözümleri incelemek için dört orijinal
teorem ve iki tane Lemma ifade ve ispat edilmiştir.
Öncelikle çalışmada kullanılan literatür özeti ele alınmıştır.
1.1. Maksimumlu Fark Denklemleri İle İlgili Yapılmış Çalışmalar
Amleh (1998), G. Ladas yönetiminde yaptığı doktora tezinde; fark denklemlerinin üç
farklı konusunu ele almıştır. İlk bölümde,
=−
+1
1 ,maxnn
n xB
xAx fark denkleminin
çözümlerinin sıfırdan farklı reel sayılar olan BA , parametreleri ve 01 , xx− başlangıç
şartları için periyodik olduğunu göstermiştir. İkinci bölümde, 21
211
−−
−−+ +
+=
nnn
nnnn xxx
xxxx
rasyonel fark denkleminin global asimptotik kararlılığını incelemiş ve son bölümde ise,
Plant-Herbivore sisteminin çözümlerinin sınırlılığı üzerine çalışmıştır.
1
Janowski ve arkadaşları (1998), yaptıkları çalışmada; =+1nx { }1
,max
−n
kn
xAx
maksimumlu rasyonel fark denkleminin çözümlerinin sınırlılık ve salınımlılık
özelliklerini incelemişlerdir. Bu fark denkleminde A , k parametreleri ve başlangıç
şartlarının pozitif sayı değerleri aldıklarını varsaymışlar ve çalışma sonucunda bu
denklemin çözümlerinin sınırlı ve salınımlı olma şartlarını A , k parametreleri ile
başlangıç şartlarına bağlı olarak elde etmişlerdir.
Valicenti (1999), yaptığı doktora tezinde; 1
1−
+
+=
n
nnnn x
bxax otonom olmayan
Lyness fark denklemi ile { }
11
,max
−+ =
n
nnnn x
bxax maksimumlu fark denkleminin
çözümlerinin periyodikliği ve global asimptotik kararlılığı üzerine çalışmıştır.
Teixeria (2000), yaptığı doktora tezinde; ilk olarak A herhangi bir reel
sayı ve başlangıç şartları sıfır olmayan reel sayılar olmak üzere, { }
11
,max
−+ =
nn
nn xx
Axx fark
denkleminin çözümlerinin periyodikliğini incelemiştir. Daha sonra, nn
n yb
xax +=+1 ,
nnn y
dxcy +=+1 fark denklem sisteminin çözümlerini analiz etmiş ve son olarak ta
1
11
−
−+ +
+=
nn
nn yqy
ypy fark denkleminin pozitif parametreler ve başlangıç şartları altında
global asimptotik kararlı olduğunu göstermiştir.
Papaschinopoulos ve Hatzifilippidis (2001), katsayılarını pozitif sayı dizileri ve
başlangıç şartlarını pozitif sayı olarak aldıkları ∏
∏
−=
+−=+
= n
knii
n
n
kniin
n
x
bxax
),(max1
1 fark
denkleminin pozitif çözümlerinin süreklilik, sınırlılık ve periyodiklik özelliklerini
incelemişlerdir.
2
Mishev ve arkadaşları (2002),
=−
+2
1 ,maxnn
n xB
xAx fark denkleminin
periyodikliği üzerine yaptıkları çalışmada; BA , parametreleri ile başlangıç şartlarını
pozitif sayı değerleri olarak kabul ederek denklemin bütün pozitif çözümlerinin er geç
periyodik olduğunu ispat etmişlerdir.
Voulov (2002), yaptığı iki çalışmadan birincisinde; G. Ladas tarafından verilen
bir açık problemi çözmüştür. Bu çalışmada, CBA , , parametreleri negatif olmayan reel
sayılar olmak üzere 0>++ CBA için
=−−− 531
,,maxnnn
n xC
xB
xAx fark denkleminin
bütün çözümlerinin periyodik olduğunu göstermiştir. İkincisinde ise, A ile B
parametreleri pozitif reel sayılar ve k ile m parametreleri pozitif tam sayılar olmak
üzere,
=−−
+mnkn
n xB
xAx ,max1 maksimumlu fark denkleminin pozitif çözümlerinin
periyodiklik özelliğini incelemiştir. A , B , k ve m parametrelerine bağlı olarak
denklemin bütün pozitif çözümlerinin er geç periyodik olduğunu ispat etmiştir.
Papaschinopoulos ve arkadaşları (2003), yaptıkları çalışmada daha önce Feuer
tarafından çalışılmış olan { }
11
,max
−+ =
nn
nn xx
Axx fark denkleminin çözümleri, çözümlerinin
periyodikliği ve sabit aralığı üzerine çalışmışlardır.
Feuer (2003), { }
11
,max
−+ =
nln
kn
n xxAx
x maksimumlu Lyness fark denklemi üzerinde
yaptığı çalışmada; A ’nın pozitif bir reel sayı, k , l ve başlangıç şartlarının da keyfi reel
sayı değerleri olduğunu kabul ederek denklemin çözümlerinin periyodiklik özelliğini
incelemiştir.
3
Patula ve Voulov (2004), yaptıkları çalışmada; nA , nB pozitif terimli ve 3
periyotlu diziler olmak üzere,
=−
+2
1 ,maxn
n
n
nn x
BxA
x fark denkleminin çözümlerinin
periyodikliğini incelemişlerdir.
Çinar ve arkadaşları (2005), yaptıkları çalışmada; 0 , >BA olmak üzere, sıfırdan
farklı başlangıç şartları için
=−
+2
1 ,minnn
n xB
xAx fark denkleminin pozitif
çözümlerinin periyodikliğini incelemişlerdir. Ayrıca, bu denklemi genelleştirerek elde
ettikleri
=+−+−−
+)22()2(1
1 ...,
...min
knknknnnn xx
Bxxx
Ax fark denkleminin pozitif
çözümlerinin periyodikliğini incelemişlerdir.
Simsek ve arkadaşları (2006), yaptıkları çalışmada;
= −−
+ 11
1 ,1max nn
n xx
x fark
denkleminin pozitif başlangıç şartları altında çözümlerinin periyodikliğini
incelemişlerdir.
Simsek (2007), Bazı Fark Denklemlerinin Çözümleri Ve Periyodikliği Üzerine
Bir Çalışma adlı doktora tezinde maksimumlu fark denkleminin çözümlerini
incelemiştir.
Yan ve arkadaşları (2006), yaptıkları çalışmada; ,1,0,10 ≤><< AAα 1>A ve
),0(,, 012 ∞∈− xxx- başlangıç şartları için
=−− 21
,1maxnn
n xA
xx α fark denkleminin
çözümlerinin 4 periyotlu olduğunu göstermişlerdir
4
Simsek ve arkadaşları (2009), yaptıkları çalışmada; x{n+1}=max{1/x{n}, y{n}/x{n}} ; y{n+1}=max{1/y{n}, x{n}/y{n}} maksimumlu fark denklem sisteminin başlangıç şartlarını pozitif seçerek çözümlerini incelemişlerdir.
Simsek ve arkadaşları (2009), yaptıkları çalışmada; x{n+1}=max{A/x{n},y{n}/x{n}}, y{n+1}=max{A/y{n},x{n}/y{n}}, maksimumlu fark denklem sisteminde A yı ve başlangıç şartlarını pozitif seçerek çözümünü incelemişlerdir.
5
2. BÖLÜM
FARK DENKLEMLERİ İLE İLGİLİ ÇALIŞMADA KULLANILAN TANIM VE
TEOREMLER
Bu bölümde fark denklemleri ile ilgili literatürde var olan ve tezde kullanılan
genel tanım ve teoremler verilmiştir.
x bağımsız değişkeninin sürekli olduğu durumlarda, )(xy bağımlı değişkeninin
değişimi ... ),( ..., ),( ),( )(''' xyxyxy n türevleri yardımıyla açıklanabilmektedir. Ancak x
’in kesikli değerler alması durumunda değişim türevler yardımıyla açıklanamaz. Bu
bölümde x ’in tamsayı değerler aldığı durumlarda ortaya çıkan ve içinde sonlu farkların
bulunduğu denklemler üzerinde duracağız.
Tanım 2.1. n bağımsız değişken ve buna bağımlı değişkende y olmak üzere, bağımlı
değişken ve bağımsız değişken ile bağımlı değişkenin ),( ),( 2 yEyE
... ),( ..., ),(3 yEyE n gibi farklarını içeren bağıntılara Fark Denklemi denir. Dikkat
edilirse, fark denklemlerinin n ’in sürekli olduğu durumda diferansiyel denklemler ile
arasında büyük benzerlikler vardır.
Birinci mertebeden fark denklemi;
)()1()( 10 nfnyanya =++
şeklindedir.
6
İkinci mertebeden fark denklemi;
)()1()()1( 210 ngnyanyanya =+++−
şeklindedir. Denklemin mertebesinin belirlenmesinde, y ’nin hesaplanabilmesi için
gerekli olan başlangıç şartı sayısı göz önüne alınmaktadır.
Teorem 2.1. I reel sayıların herhangi bir alt aralığı olmak üzere, IIxIf → : sürekli
diferensiyellenebilen bir fonksiyon olsun. Her Ixx ∈− 01 , başlangıç şartları için
,...2,1,0 ),,( 11 == −+ nxxfx nnn (2.1)
denklemi bir tek { }∞ −= 1nnx çözümüne sahiptir.
Tanım 2.2. Eğer { }nx dizisi için npn xx =+ ise, { }nx dizisi p periyotludur denir ve p
bu şartı sağlayan en küçük pozitif tam sayıdır.
Tanım 2.3. Eğer { }nx dizisinde sonlu sayıda terim hariç tutulduğunda, geriye kalan
sonsuz sayıdaki terim için npn xx =+ ise, { }nx dizisine er geç p periyotludur denir ve
p bu şartı sağlayan en küçük pozitif tam sayıdır.
Tanım 2.4. ),...,(1 knnn xxfx −+ = n=0,1,2,… (2.1) fark denkleminde ),...,( xxfx =
oluyorsa x ye denge noktası denir.
Tanım 2.5. x (2.1) denkleminin pozitif bir denge noktası olsun. (2.1) denkleminin bir { }nx çözümünün bir pozitif yarı dönmesi { }mll xxx ,...,, 1+ terimlerinin bir dizisinden
oluşur ve bunların hepsi x denge noktasına eşit veya büyük bütün terimlerdir. Öyle ki ∞≤≥ m ve0l olur ve burada
7
Ya xxll l <>= −1 ve0 da ya 0
ve
Ya xxmm m <∞<∞= +1 ve da ya dir.
Tanım 2.6. x (2.1) denkleminin negatif bir denge noktası olsun. (2.1) denkleminin bir { }nx çözümünün bir negatif yarı dönmesi { }mll xxx ,...,, 1+ terimlerinin bir dizisinden
oluşur ve bunların hepsi x denge noktasından daha küçük terimlerdir. Öyle ki ∞≤≥ m ve0l olur ve burada
Ya xxll l ≥>= −1 ve0 da ya 0
ve
Ya xxmm m ≥∞<∞= +1 ve da ya dir.
Tanım 2.7. 3n ve1,1 21 ≥== ff için 21 −− += nnn fff şeklinde tanımlanan sayılara Fibonacci sayıları denir.
8
3. BÖLÜM
MAKSİMUMLU FARK DENKLEM SİSTEMİNİN ÇÖZÜMÜ
=
=−
−
−+
−
−
−+
4
4
41
4
4
41 ,1max;,1max
n
n
nn
n
n
nn y
xy
yxy
xx (3.1)
Şimdi (3.1) denkleminin pozitif denge noktasını bulalım.
=
=yx
yy
xy
xx ,1max;,1max olur. Buradan
yxy
yy
xyx
xx veya1; veya1
==== elde edilir. ( ) ( ) 1 ve122== yx bulunur.
Buradan da
1=x ve 1=y elde edilir. Şimdi (3.1) denkleminin çözümlerini inceleyelim.
𝑿𝒏 ÇÖ𝐙Ü𝐌𝐋𝐄𝐑İ
1 < X−4 < Y−4 1 < Y−4 < X−4
𝑋10𝑛+1 = �𝑌−4𝑋−4
�𝑓(2𝑛+2)
𝑋10𝑛+1 = �𝑌−4𝑋−4
�𝑓(2𝑛+1)
. .
. .
. .
𝑋10𝑛+6 = �𝑋−4𝑌−4
�𝑓(2𝑛+2)
𝑋10𝑛+6 = �𝑋−4𝑌−4
�𝑓(2𝑛+3)
9
1 < X−3 < Y−3 1 < Y−3 < X−3
𝑋10𝑛+2 = �𝑌−3𝑋−3
�𝑓(2𝑛+2)
𝑋10𝑛+2 = �𝑌−3𝑋−3
�𝑓(2𝑛+1)
. .
. .
. .
𝑋10𝑛+7 = �𝑋−3𝑌−3
�𝑓(2𝑛+2)
𝑋10𝑛+7 = �𝑋−3𝑌−3
�𝑓(2𝑛+3)
1 < X−2 < Y−2 1 < Y−2 < X−2
𝑋10𝑛+3 = �𝑌−2𝑋−2
�𝑓(2𝑛+2)
𝑋10𝑛+3 = �𝑌−2𝑋−2
�𝑓(2𝑛+1)
. .
. .
. .
𝑋10𝑛+8 = �𝑋−2𝑌−2
�𝑓(2𝑛+2)
𝑋10𝑛+8 = �𝑋−2𝑌−2
�𝑓(2𝑛+3)
1 < X−1 < Y−1 1 < Y−1 < X−1
10
𝑋10𝑛+4 = �𝑌−1𝑋−1
�𝑓(2𝑛+2)
𝑋10𝑛+4 = �𝑌−1𝑋−1
�𝑓(2𝑛+1)
. .
. .
. .
𝑋10𝑛+9 = �𝑋−1𝑌−1
�𝑓(2𝑛+2)
𝑋10𝑛+9 = �𝑋−1𝑌−1
�𝑓(2𝑛+3)
1 < X0 < Y0 1 < Y0 < X0
𝑋10𝑛+5 = �𝑌0𝑋0�𝑓(2𝑛+2)
𝑋10𝑛+5 = �𝑌0𝑋0�𝑓(2𝑛+1)
. .
. .
. .
𝑋10𝑛+10 = �𝑋0𝑌0�𝑓(2𝑛+2)
𝑋10𝑛+10 = �𝑋0𝑌0�𝑓(2𝑛+3)
𝒀𝒏 ÇÖ𝐙Ü𝐌𝐋𝐄𝐑İ
1 < X−4 < Y−4 1 < Y−4 < X−4
11
𝑌10𝑛+1 = �𝑋−4𝑌−4
�𝑓(2𝑛+1)
𝑌10𝑛+1 = �𝑋−4𝑌−4
�𝑓(2𝑛+2)
. .
. .
. .
𝑌10𝑛+6 = �𝑌−4𝑋−4
�𝑓(2𝑛+2)
𝑌10𝑛+6 = �𝑌−4𝑋−4
�𝑓(2𝑛+2)
1 < X−3 < Y−3 1 < Y−3 < X−3
𝑌10𝑛+2 = �𝑋−3𝑌−3
�𝑓(2𝑛+1)
𝑌10𝑛+2 = �𝑋−3𝑌−3
�𝑓(2𝑛+2)
. .
. .
. .
𝑌10𝑛+7 = �𝑌−3𝑋−3
�𝑓(2𝑛+3)
𝑌10𝑛+7 = �𝑌−3𝑋−3
�𝑓(2𝑛+2)
1 < X−2 < Y−2 1 < Y−2 < X−2
𝑌10𝑛+3 = �𝑋−2𝑌−2
�𝑓(2𝑛+1)
𝑌10𝑛+3 = �𝑋−2𝑌−2
�𝑓(2𝑛+2)
. .
12
. .
. .
𝑌10𝑛+8 = �𝑌−2𝑋−2
�𝑓(2𝑛+3)
𝑌10𝑛+8 = �𝑌−2𝑋−2
�𝑓(2𝑛+2)
1 < X−1 < Y−1 1 < Y−1 < X−1
𝑌10𝑛+4 = �𝑋−1𝑌−1
�𝑓(2𝑛+1)
𝑌10𝑛+4 = �𝑋−1𝑌−1
�𝑓(2𝑛+2)
. .
. .
. .
𝑌10𝑛+9 = �𝑌−1𝑋−1
�𝑓(2𝑛+3)
𝑌10𝑛+9 = �𝑌−1𝑋−1
�𝑓(2𝑛+2)
1 < X0 < Y0 1 < Y0 < X0
𝑌10𝑛+5 = �𝑋0𝑌0�𝑓(2𝑛+1)
𝑌10𝑛+5 = �𝑋0𝑌0�𝑓(2𝑛+2)
. .
. .
. .
𝑌10𝑛+10 = �𝑌0𝑋0�𝑓(2𝑛+3)
𝑌10𝑛+10 = �𝑌−1𝑋−1
�𝑓(2𝑛+2)
13
𝑿𝒏 ÇÖ𝐙Ü𝐌𝐋𝐄𝐑İ
10 44 <<< −− yx 10 44 <<< −− xy
0=n için
=
−+
4110
1x
x n 0=n için
=
−+
4110
1x
x n
,...3,2,1 )12(
4
4110 =
=
+
−
−+ n
xyx
nf
n
)2(
4
4110
nf
n xyx
=
−
−+
. .
. .
. .
,...3,2,1.0)12(
4
4610 =
=
+
−
−+ n
yxx
nf
n )22(
4
4610
+
−
−+
=
nf
n yxx
10 33 <<< −− yx 10 33 <<< −− xy
0=n için
=
−+
3210
1x
x n 0=n için
=
−+
3210
1x
x n
,...3,2,1 )12(
3
3210 =
=
+
−
−+ n
xy
xnf
n
)2(
3
3210
nf
n xy
x
=
−
−+
. .
. .
. .
,...3,2,1.0)12(
3
3710 =
=
+
−
−+ n
yx
xnf
n )22(
3
3710
+
−
−+
=
nf
n yx
x
14
10 22 <<< −− yx 10 22 <<< −− xy
0=n için
=
−+
2310
1x
x n 0=n için
=
−+
2810
1x
x n
,...3,2,1 )12(
2
2310 =
=
+
−
−+ n
xyx
nf
n
)2(
2
2810
nf
n xyx
=
−
−+
. .
. .
. .
,...3,2,1.0)12(
2
2810 =
=
+
−
−+ n
yxx
nf
n )22(
1
1910
+
−
−+
=
nf
n yxx
10 11 <<< −− yx 10 11 <<< −− xy
0=n için
=
−+
1410
1x
x n 0=n için
=
−+
1410
1x
x n
,...3,2,1 )12(
1
1410 =
=
+
−
−+ n
xyx
nf
n
)2(
1
1410
nf
n xyx
=
−
−+
. .
. .
. .
,...3,2,1.0)12(
1
1910 =
=
+
−
−+ n
yxx
nf
n )22(
1
1910
+
−
−+
=
nf
n yxx
15
10 00 <<< yx 10 00 <<< xy
0=n için
=+
0510
1x
x n 0=n için
=+
0510
1x
x n
,...3,2,1 )12(
0
0510 =
=
+
+ nxy
xnf
n
)2(
0
0510
nf
n xy
x
=+
. .
. .
. .
,...3,2,1.0)12(
0
01010 =
=
+
+ nyx
xnf
n )22(
0
01010
+
+
=
nf
n yx
x
𝒀𝒏 ÇÖ𝐙Ü𝐌𝐋𝐄𝐑İ
0 < X−4 < Y−4 < 1 0 < Y−4 < X−4 < 1
𝑌10𝑛+1 = �𝑋−4𝑌−4
�𝑓(2𝑛)
𝑌10𝑛+1 = �𝑋−4𝑌−4
�𝑓(2𝑛+1)
. .
. .
. .
𝑌10𝑛+6 = �𝑌−4𝑋−4
�𝑓(2𝑛+2)
𝑌10𝑛+6 = �𝑌−4𝑋−4
�𝑓(2𝑛+1)
16
0 < X−3 < Y−3 < 1 0 < Y−3 < X−3 < 1
𝑌10𝑛+2 = �𝑋−3𝑌−3
�𝑓(2𝑛)
𝑌10𝑛+2 = �𝑋−3𝑌−3
�𝑓(2𝑛+1)
. .
. .
. .
𝑌10𝑛+7 = �𝑌−3𝑋−3
�𝑓(2𝑛+2)
𝑌10𝑛+7 = �𝑌−3𝑋−3
�𝑓(2𝑛+1)
0 < X−2 < Y−2 < 1 0 < Y−2 < X−2 < 1
𝑌10𝑛+3 = �𝑋−2𝑌−2
�𝑓(2𝑛)
𝑌10𝑛+3 = �𝑋−2𝑌−2
�𝑓(2𝑛+1)
. .
. .
. .
𝑌10𝑛+8 = �𝑌−2𝑋−2
�𝑓(2𝑛+2)
𝑌10𝑛+8 = �𝑌−2𝑋−2
�𝑓(2𝑛+1)
0 < X−1 < Y−1 < 1 0 < Y−1 < X−1 < 1
𝑌10𝑛+4 = �𝑋−1𝑌−1
�𝑓(2𝑛)
𝑌10𝑛+4 = �𝑋−1𝑌−1
�𝑓(2𝑛+1)
17
. .
. .
. .
𝑌10𝑛+9 = �𝑌−1𝑋−1
�𝑓(2𝑛+2)
𝑌10𝑛+9 = �𝑌−1𝑋−1
�𝑓(2𝑛+1)
0 < X0 < Y0 < 1 0 < Y0 < X0 < 1
𝑌10𝑛+5 = �𝑋0𝑌0�𝑓(2𝑛)
𝑌10𝑛+5 = �𝑋0𝑌0�𝑓(2𝑛+1)
. .
. .
. .
𝑌10𝑛+10 = �𝑌0𝑋0�𝑓(2𝑛+2)
𝑌10𝑛+10 = �𝑌0𝑋0�𝑓(2𝑛+1)
Lemma 1 : (3.1) denklemi için 441 −− << yx , 331 −− << yx , 221 −− << yx , 111 −− << yx ve
001 yx << başlangıç şartlarına göre ,
Aşağıdaki ifadeler doğrudur:
a) Her pozitif yarı dönme beş terimden oluşur. b) Her negatif yarı dönme beş terimden oluşur. c) Beş uzunluğundaki her pozitif yarı dönmeyi beş uzunluğundaki negatif yarı
dönme takip eder. d) Beş uzunluğundaki her negatif yarı dönmeyi beş uzunluğundaki pozitif yarı
dönme takip eder.
18
İspat :
441 −− << yx , 331 −− << yx , 221 −− << yx , 111 −− << yx ve 001 yx << başlangıç şartlarına göre
xxy
xy
xx >=
=−
−
−
−
− 4
4
4
4
41 ,1max
yyx
yx
y<=
=−
−
−
−
− 4
4
4
4
41 ,1maxy
xxy
xy
xx >=
=−
−
−
−
− 3
3
3
3
32 ,1max
yyx
yx
y<=
=−
−
−
−
− 3
3
3
3
32 ,1maxy
xxy
xy
xx >=
=−
−
−
−
− 2
2
2
2
23 ,1max
yyx
yx
y<=
=−
−
−
−
− 2
2
2
2
23 ,1maxy
xxy
xy
xx >=
=−
−
−
−
− 1
1
1
1
14 ,1max
yyx
yx
y<=
=−
−
−
−
− 1
1
1
1
14 ,1maxy
xxy
xy
xx >=
=0
0
0
0
05 ,1max
yyx
yx
y<=
=0
0
0
0
05 ,1maxy
xyx
xy
xx >=
=−
−
4
4
1
1
16 ,1max
yxy
yx
y<
=
=−
−
2
4
4
1
1
16 ,1maxy
xyx
xy
xx >=
=−
−
3
3
2
2
27 ,1max
19
yxy
yx
y<
=
=−
−
2
3
3
2
2
27 ,1maxy
xyx
xy
xx >=
=−
−
2
2
3
3
38 ,1max
yxy
yx
y<
=
=−
−
2
2
2
3
3
38 ,1maxy
xyx
xy
xx >=
=−
−
1
1
4
4
49 ,1max
yxy
yx
y<
=
=−
−
2
1
1
4
4
49 ,1maxy
xyx
xy
xx >=
=0
0
5
5
510 ,1max
y
xy
yx
y<
=
=2
0
0
5
5
510 ,1maxy
xxy
xy
xx >
=
=−
−
3
4
4
6
6
611 ,1max
y
yx
yx
y<
=
=−
−
2
4
4
6
6
611 ,1maxy
xxy
xy
xx >
=
=−
−
3
3
3
7
7
712 ,1max
y
yx
yx
y<
=
=−
−
2
3
3
7
7
712 ,1maxy
xxy
xy
xx >
=
=−
−
3
2
2
8
8
813 ,1max
y
yx
yx
y<
=
=−
−
2
2
2
8
8
813 ,1maxy
20
xxy
xy
xx >
=
=−
−
3
1
1
9
9
914 ,1max
y
yx
yx
y<
=
=−
−
2
1
1
9
9
914 ,1maxy
xxy
xy
xx >
=
=3
0
0
10
10
1015 ,1max
y
yx
yx
y<
=
=2
0
0
10
10
1015 ,1maxy
.
.
.
elde edilir.
xx >1 , xx >2 , xx >3 , xx >4 , xx >5 , xx <6 , xx <7 , xx <8 , xx <9 , xx <10 ,
… buradan da görüldüğü gibi n x çözümleri PPPPPNNNNNPPPPPNNNNN… şeklindedir.
y<1y , y<2y , y<3y , y<4y , y<5y , y>6y , y>7y , y>8y , y>9y ,
y>10y , … buradan da görüldüğü gibi n x çözümleri NNNNNPPPPPNNNNNPPPPP… şeklindedir.
Her pozitif yarı dönmenin beş terimden oluştuğu görülmektedir.
Her negatif yarı dönmenin beş terimden oluştuğu görülmektedir.
Beş uzunluğundaki her pozitif yarı dönmeyi beş uzunluğundaki negatif yarı dönmenin takip ettiği n x çözümlerinden görülmektedir.
Beş uzunluğundaki her negatif yarı dönmeyi beş uzunluğundaki pozitif yarı dönmenin takip ettiği ny çözümlerinden görülmektedir.
Böylece Lemmanın ispatı gösterilmiştir.
21
Lemma 2 : (3.1) denklemi için 10 44 <<< −− yx , 10 33 <<< −− yx , 10 22 <<< −− yx , 10 11 <<< −− yx ve 10 00 <<< yx başlangıç şartlarına göre ,
Aşağıdaki ifadeler doğrudur:
a) n x çözümleri için her pozitif yarı dönme beş terimden oluşur. ny çözümleri için 5n ≥ için her pozitif yarı dönme beş terimden oluşur.
b) nx çözümleri için her negatif yarı dönme beş terimden oluşur. ny çözümleri için 5n ≥ için her negatif yarı dönme beş terimden oluşur.
c) nx çözümleri için beş uzunluğundaki her pozitif yarı dönmeyi beş uzunluğundaki negatif yarı dönme takip eder. ny çözümleri için 5n ≥ için beş uzunluğundaki her pozitif yarı dönmeyi beş uzunluğundaki negatif yarı dönme takip eder.
d) nx çözümleri için beş uzunluğundaki her negatif yarı dönmeyi beş uzunluğundaki pozitif yarı dönme takip eder. ny çözümleri için 5n ≥ için beş uzunluğundaki her negatif yarı dönmeyi beş uzunluğundaki pozitif yarı dönme takip eder
İspat
10 44 <<< −− yx , 10 33 <<< −− yx , 10 22 <<< −− yx , 10 11 <<< −− yx ve 10 00 <<< yx
Başlangıç şartlarına göre
xxx
yx
x >=
=−−
−
− 44
4
41
1,1max
yyy
xy
>=
=−−
−
− 44
4
41
1,1maxy
xxx
yx
x >=
=−−
−
− 33
3
32
1,1max
yyy
xy
>=
=−−
−
− 33
3
32
1,1maxy
xxx
yx
x >=
=−−
−
− 22
2
23
1,1max
yyy
xy
>=
=−−
−
− 22
2
23
1,1maxy
22
xxx
yx
x >=
=−−
−
− 11
1
14
1,1max
yyy
xy
>=
=−−
−
− 11
1
14
1,1maxy
xxx
yx
x >=
=00
0
05
1,1max
yyy
xy
>=
=00
0
05
1,1maxy
xyx
xy
xx <=
=−
−
4
4
1
1
16 ,1max
yxy
yx
y>=
=−
−
4
4
1
1
16 ,1maxy
xyx
xy
xx <=
=−
−
3
3
2
2
27 ,1max
yxy
yx
y>=
=−
−
3
3
2
2
27 ,1maxy
xyx
xy
xx <=
=−
−
2
2
3
3
38 ,1max
yxy
yx
y>=
=−
−
2
2
3
3
38 ,1maxy
xyx
xy
xx <=
=−
−
1
1
4
4
49 ,1max
yxy
yx
y>=
=−
−
1
1
4
4
49 ,1maxy
xyx
xy
xx <=
=0
0
5
5
510 ,1max
23
yxy
yx
y>=
=0
0
5
5
510 ,1maxy
xxy
xy
xx >
=
=−
−
2
4
4
6
6
611 ,1max
yyx
yx
y<=
=−
−
4
4
6
6
611 ,1maxy
xxy
xy
xx >
=
=−
−
2
3
3
7
7
712 ,1max
yyx
yx
y<=
=−
−
3
3
7
7
712 ,1maxy
xxy
xy
xx >
=
=−
−
2
2
2
8
8
813 ,1max
yyx
yx
y<=
=−
−
2
2
8
8
813 ,1maxy
xxy
xy
xx >
=
=−
−
2
1
1
9
9
914 ,1max
yyx
yx
y<=
=−
−
1
1
9
9
914 ,1maxy
xxy
xy
xx >
=
=2
0
0
10
10
1015 ,1max
yyx
yx
y<=
=0
0
10
10
1015 ,1maxy
.
.
.
24
elde edilir.
xx >1 , xx >2 , xx >3 , xx >4 , xx >5 , xx <6 , xx <7 , xx <8 , xx <9 ,
xx <10 , … buradan da görüldüğü gibi n x çözümleri PPPPPNNNNNPPPPPNNNNN… şeklindedir.
y>1y , y>2y , y>3y , y>4y , y>5y , y>6y , y>7y , y>8y ,
y>9y , y>10y , y<11y , y<12y , y<13y , y<14y , y<15y … buradan
da görüldüğü gibi ny çözümleri 5n ≥ için PPPPPNNNNNPPPPPNNNNN … şeklindedir.
n x çözümleri için her pozitif yarı dönmenin beş terimden oluştuğu görülmektedir.
ny çözümleri 5n ≥ için her pozitif yarı dönmenin beş terimden oluştuğu görülmektedir
n x çözümleri için her negatif yarı dönmenin beş terimden oluştuğu görülmektedir.
ny çözümleri 5n ≥ için her negatif yarı dönmenin beş terimden oluştuğu görülmektedir
Beş uzunluğundaki her pozitif yarı dönmeyi beş uzunluğundaki negatif yarı dönmenin takip ettiği n x çözümlerinden görülmektedir.
Beş uzunluğundaki her negatif yarı dönmeyi beş uzunluğundaki pozitif yarı dönmenin takip ettiği 5n ≥ şartı altındaki ny çözümlerinden görülmektedir.
Böylece Lemmanın ispatı gösterilmiştir.
Teorem 1 : );(x n ny (3.1) denkleminin 441 −− << yx 331 −− << yx , 221 −− << yx ,
111 −− << yx 001 yx << şartları altındaki çözümü olsun. , n = 0,1,2 ,… için
25
)22(
0
01010
)22(
1
1910
)22(
2
2810
)22(
3
3710
)22(
4
4610
)22(
0
0510
)22(
1
1410
)22(
2
2310
)22(
3
3210
)22(
4
4110
;
;;;;
; ;;;
+
+
+
−
−+
+
−
−+
+
−
−+
+
−
−+
+
+
+
−
−+
+
−
−+
+
−
−+
+
−
−+
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
nf
n
nf
n
nf
n
nf
n
nf
n
nf
n
nf
n
nf
n
nf
n
nf
n
yx
xyxx
yxx
yx
xyxx
xy
x
xyx
xyx
xy
xxyx
)32(
0
01010
)32(
1
1910
)32(
2
2810
)32(
3
3710
)32(
4
4610
)12(
0
0510
)12(
1
1410
)12(
2
2310
)12(
3
3210
)12(
4
4110
;
;;;;
;;;;
+
+
+
−
−+
+
−
−+
+
−
−+
+
−
−+
+
+
+
−
−+
+
−
−+
+
−
−+
+
−
−+
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
nf
n
nf
n
nf
n
nf
n
nf
n
nf
n
nf
n
nf
n
nf
n
nf
n
xy
yxyy
xyy
xy
yxyy
yx
y
yxy
yxy
yx
yyxy
İspat
Bu teoremin ispatını tümevarım yöntemiyle gösterelim.
xxy
xy
xx >=
=−
−
−
−
− 4
4
4
4
41 ,1max
yyx
yx
y<=
=−
−
−
−
− 4
4
4
4
41 ,1maxy
xxy
xy
xx >=
=−
−
−
−
− 3
3
3
3
32 ,1max
yyx
yx
y<=
=−
−
−
−
− 3
3
3
3
32 ,1maxy
xxy
xy
xx >=
=−
−
−
−
− 2
2
2
2
23 ,1max
yyx
yx
y<=
=−
−
−
−
− 2
2
2
2
23 ,1maxy
xxy
xy
xx >=
=−
−
−
−
− 1
1
1
1
14 ,1max
26
yyx
yx
y<=
=−
−
−
−
− 1
1
1
1
14 ,1maxy
xxy
xy
xx >=
=0
0
0
0
05 ,1max
yyx
yx
y<=
=0
0
0
0
05 ,1maxy
xyx
xy
xx >=
=−
−
4
4
1
1
16 ,1max
yxy
yx
y<
=
=−
−
2
4
4
1
1
16 ,1maxy
xyx
xy
xx >=
=−
−
3
3
2
2
27 ,1max
yxy
yx
y<
=
=−
−
2
3
3
2
2
27 ,1maxy
xyx
xy
xx >=
=−
−
2
2
3
3
38 ,1max
yxy
yx
y<
=
=−
−
2
2
2
3
3
38 ,1maxy
xyx
xy
xx >=
=−
−
1
1
4
4
49 ,1max
yxy
yx
y<
=
=−
−
2
1
1
4
4
49 ,1maxy
xyx
xy
xx >=
=0
0
5
5
510 ,1max
y
xy
yx
y<
=
=2
0
0
5
5
510 ,1maxy
27
xxy
xy
xx >
=
=−
−
3
4
4
6
6
611 ,1max
y
yx
yx
y<
=
=−
−
2
4
4
6
6
611 ,1maxy
xxy
xy
xx >
=
=−
−
3
3
3
7
7
712 ,1max
y
yx
yx
y<
=
=−
−
2
3
3
7
7
712 ,1maxy
xxy
xy
xx >
=
=−
−
3
2
2
8
8
813 ,1max
y
yx
yx
y<
=
=−
−
2
2
2
8
8
813 ,1maxy
xxy
xy
xx >
=
=−
−
3
1
1
9
9
914 ,1max
y
yx
yx
y<
=
=−
−
2
1
1
9
9
914 ,1maxy
xxy
xy
xx >
=
=3
0
0
10
10
1015 ,1max
y
yx
yx
y<
=
=2
0
0
10
10
1015 ,1maxy
.
.
.
n = 0 için doğrudur. n = k için doğru olduğunu kabul edelim.
28
)22(
0
01010
)22(
1
1910
)22(
2
2810
)22(
3
3710
)22(
4
4610
)22(
0
0510
)22(
1
1410
)22(
2
2310
)22(
3
3210
)22(
4
4110
;
;;;;
; ;;;
+
+
+
−
−+
+
−
−+
+
−
−+
+
−
−+
+
+
+
−
−+
+
−
−+
+
−
−+
+
−
−+
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
kf
k
kf
k
kf
k
kf
k
kf
k
kf
k
kf
k
kf
k
kf
k
kf
k
yx
xyxx
yxx
yx
xyxx
xy
x
xyx
xyx
xy
xxyx
)32(
0
01010
)32(
1
1910
)32(
2
2810
)32(
3
3710
)32(
4
4610
)12(
0
0510
)12(
1
1410
)12(
2
2310
)12(
3
3210
)12(
4
4110
;
;;;;
;;;;
+
+
+
−
−+
+
−
−+
+
−
−+
+
−
−+
+
+
+
−
−+
+
−
−+
+
−
−+
+
−
−+
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
kf
k
kf
k
kf
k
kf
k
kf
k
kf
k
kf
k
kf
k
kf
k
kf
k
xy
yxy
y
xy
yxy
yxy
yyx
y
yx
yyx
yyx
yyx
y
n = k+1 için doğru olduğunu gösterelim.
)42(
4
4
)42(
4
4)22(
4
4
)22(
4
4)32(
4
4)22(
4
4
)22(
4
4
)32(
4
4)22(
4
4
610
610
6101110
,max
,max
,max,1max
+
−
−
+
−
−+
−
−
+
−
−+
−
−+
−
−
+
−
−
+
−
−+
−
−
+
+
++
=
=
=
=
=
kf
kfkf
kfkfkf
kf
kf
kf
k
k
kk
xy
xy
xy
xy
xy
xy
yx
xy
xy
xy
xx
29
)32(
4
4
)42(
4
4)32(
4
4
)32(
4
4)22(
4
4)32(
4
4
)32(
4
4
)22(
4
4)32(
4
4
610
610
6101110
,max
,max
,max,1maxy
+
−
−
+
−
−+
−
−
+
−
−+
−
−+
−
−
+
−
−
+
−
−+
−
−
+
+
++
=
=
=
=
=
kf
kfkf
kfkfkf
kf
kf
kf
k
k
kk
yx
yx
yx
yx
yx
yx
xy
yx
yx
yx
y
)42(
3
3
)42(
3
3)22(
3
3
)22(
3
3)32(
3
3)22(
3
3
)22(
3
3
)32(
3
3)22(
3
3
710
710
7101210
,max
,max
,max,1max
+
−
−
+
−
−+
−
−
+
−
−+
−
−+
−
−
+
−
−
+
−
−+
−
−
+
+
++
=
=
=
=
=
kf
kfkf
kfkfkf
kf
kf
kf
k
k
kk
xy
xy
xy
xy
xy
xy
yx
xy
xy
xy
xx
30
)32(
3
3
)42(
3
3)32(
3
3
)32(
3
3)22(
3
3)32(
3
3
)32(
3
3
)22(
3
3)32(
3
3
710
710
7101210
,max
,max
,max,1maxy
+
−
−
+
−
−+
−
−
+
−
−+
−
−+
−
−
+
−
−
+
−
−+
−
−
+
+
++
=
=
=
=
=
kf
kfkf
kfkfkf
kf
kf
kf
k
k
kk
yx
yx
yx
yx
yx
yx
xy
yx
yx
yx
y
)42(
2
2
)42(
2
2)22(
2
2
)22(
2
2)32(
2
2)22(
2
2
)22(
2
2
)32(
2
2)22(
2
2
810
810
8101310
,max
,max
,max,1max
+
−
−
+
−
−+
−
−
+
−
−+
−
−+
−
−
+
−
−
+
−
−+
−
−
+
+
++
=
=
=
=
=
kf
kfkf
kfkfkf
kf
kf
kf
k
k
kk
xy
xy
xy
xy
xy
xy
yx
xy
xy
xy
xx
31
)32(
2
2
)42(
2
2)32(
2
2
)32(
2
2)22(
2
2)32(
2
32
)32(
2
2
)22(
2
2)32(
2
2
810
810
8101310
,max
,max
,max,1maxy
+
−
−
+
−
−+
−
−
+
−
−+
−
−+
−
−
+
−
−
+
−
−+
−
−
+
+
++
=
=
=
=
=
kf
kfkf
kfkfkf
kf
kf
kf
k
k
kk
yx
yx
yx
yx
yx
yx
xy
yx
yx
yx
y
)42(
1
1
)42(
1
1)22(
1
1
)22(
1
1)32(
1
1)22(
1
1
)22(
1
1
)32(
1
1)22(
1
1
910
910
8101410
,max
,max
,max,1max
+
−
−
+
−
−+
−
−
+
−
−+
−
−+
−
−
+
−
−
+
−
−+
−
−
+
+
++
=
=
=
=
=
kf
kfkf
kfkfkf
kf
kf
kf
k
k
kk
xy
xy
xy
xy
xy
xy
yx
xy
xy
xy
xx
32
)32(
1
1
)42(
1
1)32(
1
1
)32(
1
1)22(
1
1)32(
1
1
)32(
1
1
)22(
1
1)32(
1
1
910
910
9101410
,max
,max
,max,1maxy
+
−
−
+
−
−+
−
−
+
−
−+
−
−+
−
−
+
−
−
+
−
−+
−
−
+
+
++
=
=
=
=
=
kf
kfkf
kfkfkf
kf
kf
kf
k
k
kk
yx
yx
yx
yx
yx
yx
xy
yx
yx
yx
y
)42(
0
0
)42(
0
0)22(
0
0
)22(
0
0)32(
0
0)22(
0
0
)22(
0
0
)32(
0
0)22(
0
0
1010
810
10101510
,max
,max
,max,1max
+
++
+++
+
+
+
+
+
++
=
=
=
=
=
kf
kfkf
kfkfkf
kf
kf
kf
k
k
kk
xy
xy
xy
xy
xy
xy
yx
xy
xy
xy
xx
33
)32(
0
0
)42(
0
0)32(
0
0
)32(
0
0)22(
0
0)32(
0
0
)32(
0
0
)22(
0
0)32(
0
0
1010
1010
10101510
,max
,max
,max,1maxy
+
++
+++
+
+
+
+
+
++
=
=
=
=
=
kf
kfkf
kfkfkf
kf
kf
kf
k
k
kk
yx
yx
yx
yx
yx
yx
xy
yx
yx
yx
y
)42(
4
4
)52(
4
4)42(
4
4
)42(
4
4)32(
4
4)42(
4
4
)42(
4
4
)32(
4
4)42(
4
4
1110
1110
11101610
,max
,max
,max,1max
+
−
−
+
−
−+
−
−
+
−
−+
−
−+
−
−
+
−
−
+
−
−+
−
−
+
+
++
=
=
=
=
=
kf
kfkf
kfkfkf
kf
kf
kf
k
k
kk
yx
yx
yx
yx
yx
yx
xy
yx
yx
xy
xx
34
)52(
4
4
)52(
4
4)32(
4
4
)32(
4
4)42(
4
4)32(
4
4
)32(
4
4
)42(
4
4)32(
4
4
1110
1110
11101610
,max
,max
,max,1maxy
+
−
−
+
−
−+
−
−
+
−
−+
−
−+
−
−
+
−
−
+
−
−+
−
−
+
+
++
=
=
=
=
=
kf
kfkf
kfkfkf
kf
kf
kf
k
k
kk
xy
xy
xy
xy
xy
xy
yx
xy
xy
yx
y
)42(
3
3
)52(
3
3)42(
3
3
)42(
3
3)32(
3
3)42(
3
3
)42(
3
3
)32(
3
3)42(
3
3
1210
1210
12101710
,max
,max
,max,1max
+
−
−
+
−
−+
−
−
+
−
−+
−
−+
−
−
+
−
−
+
−
−+
−
−
+
+
++
=
=
=
=
=
kf
kfkf
kfkfkf
kf
kf
kf
k
k
kk
yx
yx
yx
yx
yx
yx
xy
yx
yx
xy
xx
35
)52(
3
3
)52(
3
3)32(
3
3
)32(
3
3)42(
3
3)32(
3
3
)32(
3
3
)42(
3
3)32(
3
3
1210
1210
12101710
,max
,max
,max,1maxy
+
−
−
+
−
−+
−
−
+
−
−+
−
−+
−
−
+
−
−
+
−
−+
−
−
+
+
++
=
=
=
=
=
kf
kfkf
kfkfkf
kf
kf
kf
k
k
kk
xy
xy
xy
xy
xy
xy
yx
xy
xy
yx
y
)42(
2
2
)52(
2
2)42(
2
2
)42(
2
2)32(
2
2)42(
2
2
)42(
2
2
)32(
2
2)42(
2
2
1310
1310
13101810
,max
,max
,max,1max
+
−
−
+
−
−+
−
−
+
−
−+
−
−+
−
−
+
−
−
+
−
−+
−
−
+
+
++
=
=
=
=
=
kf
kfkf
kfkfkf
kf
kf
kf
k
k
kk
yx
yx
yx
yx
yx
yx
xy
yx
yx
xy
xx
36
)52(
2
2
)52(
2
2)32(
2
2
)32(
2
2)42(
2
2)32(
2
2
)32(
2
2
)42(
2
2)32(
2
2
1310
1310
13101810
,max
,max
,max,1maxy
+
−
−
+
−
−+
−
−
+
−
−+
−
−+
−
−
+
−
−
+
−
−+
−
−
+
+
++
=
=
=
=
=
kf
kfkf
kfkfkf
kf
kf
kf
k
k
kk
xy
xy
xy
xy
xy
xy
yx
xy
xy
yx
y
)42(
1
1
)52(
1
1)42(
1
1
)42(
1
1)32(
1
1)42(
1
1
)42(
1
1
)32(
1
1)42(
1
1
1410
1410
14101910
,max
,max
,max,1max
+
−
−
+
−
−+
−
−
+
−
−+
−
−+
−
−
+
−
−
+
−
−+
−
−
+
+
++
=
=
=
=
=
kf
kfkf
kfkfkf
kf
kf
kf
k
k
kk
yx
yx
yx
yx
yx
yx
xy
yx
yx
xy
xx
37
)52(
1
1
)52(
1
1)32(
1
1
)32(
1
1)42(
1
1)32(
1
1
)32(
1
1
)42(
1
1)32(
1
1
1410
1410
14101910
,max
,max
,max,1maxy
+
−
−
+
−
−+
−
−
+
−
−+
−
−+
−
−
+
−
−
+
−
−+
−
−
+
+
++
=
=
=
=
=
kf
kfkf
kfkfkf
kf
kf
kf
k
k
kk
xy
xy
xy
xy
xy
xy
yx
xy
xy
yx
y
)42(
0
0
)52(
0
0)42(
0
0
)42(
0
0)32(
0
0)42(
0
0
)42(
0
0
)32(
0
0)42(
0
0
1510
1510
15102010
,max
,max
,max,1max
+
++
+++
+
+
+
+
+
++
=
=
=
=
=
kf
kfkf
kfkfkf
kf
kf
kf
k
k
kk
yx
yx
yx
yx
yx
yx
xy
yx
yx
xy
xx
38
)52(
0
0
)52(
0
0)32(
0
0
)32(
0
0)42(
0
0)32(
0
0
)32(
0
0
)42(
0
0)32(
0
0
1510
1510
15102010
,max
,max
,max,1maxy
+
++
+++
+
+
+
+
+
++
=
=
=
=
=
kf
kfkf
kfkfkf
kf
kf
kf
k
k
kk
xy
xy
xy
xy
xy
xy
yx
xy
xy
yx
y
Böylece teoeremin doğruluğu ispatlanmış oldu.
Teoerem2 );(x n ny (3.1) denkleminin 10 44 <<< −− yx , 10 33 <<< −− yx , 10 22 <<< −− yx , 10 11 <<< −− yx ve 10 00 <<< yx başlangıç şartları altındaki çözümü
olsun. , n = 0,1,2 ,… için
)12(
0
01010
)12(
1
1910
)12(
2
2810
)12(
3
3710
)12(
4
4610
)12(
0510
)12(
1410
)12(
2310
)12(
3210
)12(
4110
;
;;;;1
;1 ;1;1;1
+
+
+
−
−+
+
−
−+
+
−
−+
+
−
−+
+
+
+
−+
+
−+
+
−+
+
−+
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
nf
n
nf
n
nf
n
nf
n
nf
n
nf
n
nf
n
nf
n
nf
n
nf
n
yxx
yxx
yxx
yxx
yxx
xx
xx
xx
xx
xx
)22(
0
01010
)22(
1
1910
)22(
2
2810
)22(
3
3710
)22(
4
4610
)2(
0510
)2(
1410
)2(
2310
)2(
3210
)2(
4110
;
;;;;1
;1;1;1;1
+
+
+
−
−+
+
−
−+
+
−
−+
+
−
−++
−+
−+
−+
−+
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
nf
n
nf
n
nf
n
nf
n
nf
n
nf
n
nf
n
nf
n
nf
n
nf
n
xyy
xyy
xyy
xyy
xyy
yy
yy
yy
yy
yy
39
İspat
Bu teoremin ispatını tümevarım yöntemiyle gösterelim.
xxx
yx
x >=
=−−
−
− 44
4
41
1,1max
yyy
xy
>=
=−−
−
− 44
4
41
1,1maxy
xxx
yx
x >=
=−−
−
− 33
3
32
1,1max
yyy
xy
>=
=−−
−
− 33
3
32
1,1maxy
xxx
yx
x >=
=−−
−
− 22
2
23
1,1max
yyy
xy
>=
=−−
−
− 22
2
23
1,1maxy
xxx
yx
x >=
=−−
−
− 11
1
14
1,1max
yyy
xy
>=
=−−
−
− 11
1
14
1,1maxy
xxx
yx
x >=
=00
0
05
1,1max
yyy
xy
>=
=00
0
05
1,1maxy
xyx
xy
xx <=
=−
−
4
4
1
1
16 ,1max
yxy
yx
y>=
=−
−
4
4
1
1
16 ,1maxy
40
xyx
xy
xx <=
=−
−
3
3
2
2
27 ,1max
yxy
yx
y>=
=−
−
3
3
2
2
27 ,1maxy
xyx
xy
xx <=
=−
−
2
2
3
3
38 ,1max
yxy
yx
y>=
=−
−
2
2
3
3
38 ,1maxy
xyx
xy
xx <=
=−
−
1
1
4
4
49 ,1max
yxy
yx
y>=
=−
−
1
1
4
4
49 ,1maxy
xyx
xy
xx <=
=0
0
5
5
510 ,1max
yxy
yx
y>=
=0
0
5
5
510 ,1maxy
xxy
xy
xx >
=
=−
−
2
4
4
6
6
611 ,1max
yyx
yx
y<=
=−
−
4
4
6
6
611 ,1maxy
xxy
xy
xx >
=
=−
−
2
3
3
7
7
712 ,1max
yyx
yx
y<=
=−
−
3
3
7
7
712 ,1maxy
xxy
xy
xx >
=
=−
−
2
2
2
8
8
813 ,1max
41
yyx
yx
y<=
=−
−
2
2
8
8
813 ,1maxy
xxy
xy
xx >
=
=−
−
2
1
1
9
9
914 ,1max
yyx
yx
y<=
=−
−
1
1
9
9
914 ,1maxy
xxy
xy
xx >
=
=2
0
0
10
10
1015 ,1max
yyx
yx
y<=
=0
0
10
10
1015 ,1maxy
.
.
.
n = 0 için doğrudur. n = k için doğru olduğunu kabul edelim.
)12(
0
01010
)12(
1
1910
)12(
2
2810
)12(
3
3710
)12(
4
4610
)12(
0510
)12(
1410
)12(
2310
)12(
321
)12(
4110
;
;;;;1
;1 ;1;1;1
+
+
+
−
−+
+
−
−+
+
−
−+
+
−
−+
+
+
+
−+
+
−+
+
−+
+
−+
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
kf
k
kf
k
kf
k
kf
k
kf
k
kf
k
kf
k
kf
k
kf
kn
kf
k
yxx
yxx
yxx
yxx
yxx
xx
xx
xx
xx
xx
42
)22(
0
01010
)22(
1
1910
)22(
2
2810
)22(
3
3710
)22(
4
4610
)2(
0510
)2(
1410
)2(
2310
)2(
3210
)2(
4110
;
;;;;1
;1;1;1;1
+
+
+
−
−+
+
−
−+
+
−
−+
+
−
−++
−+
−+
−+
−+
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
kf
k
kf
k
kf
k
kf
k
kf
k
kf
k
kf
k
kf
k
kf
k
kf
k
xyy
xyy
xyy
xyy
xyy
yy
yy
yy
yy
yy
n = k+1 için doğru olduğunu gösterelim.
)32(
4
4
)32(
4
4
)12(
4
4
)12(
4
4
)22(
4
4
)12(
4
4
)12(
4
4
)22(
4
4)12(
4
4
610
610
6101110
,max
,max
,max,1max
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−+
−
−
+
+
++
=
=
=
=
=
kf
kfkf
kfkfkf
kf
kf
kf
k
k
kk
xy
xy
xy
xy
xy
xy
yx
xy
xy
xy
xx
)22(
4
4
)32(
4
4
)22(
4
4
)22(
4
4
)12(
4
4
)22(
4
4
)22(
4
4
)12(
4
4)22(
4
4
610
610
6101110
,max
,max
,max,1maxy
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−+
−
−
+
+
++
=
=
=
=
=
kf
kfkf
kfkfkf
kf
kf
kf
k
k
kk
yx
yx
yx
yx
yx
yx
xy
yx
yx
yx
y
43
)32(
3
3
)32(
3
3
)12(
3
3
)12(
3
3
)22(
3
3
)12(
3
3
)12(
3
3
)22(
3
3)12(
3
3
710
710
7101210
,max
,max
,max,1max
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−+
−
−
+
+
++
=
=
=
=
=
kf
kfkf
kfkfkf
kf
kf
kf
k
k
kk
xy
xy
xy
xy
xy
xy
yx
xy
xy
xy
xx
)22(
3
3
)32(
3
3
)22(
3
3
)22(
3
3
)12(
3
3
)22(
3
3
)22(
3
3
)12(
3
3)22(
3
3
710
710
7101210
,max
,max
,max,1maxy
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−+
−
−
+
+
++
=
=
=
=
=
kf
kfkf
kfkfkf
kf
kf
kf
k
k
kk
yx
yx
yx
yx
yx
yx
xy
yx
yx
yx
y
44
)32(
2
2
)32(
2
2
)12(
2
2
)12(
2
2
)22(
2
2
)12(
2
2
)12(
2
2
)22(
2
2)12(
2
2
810
810
8101310
,max
,max
,max,1max
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−+
−
−
+
+
++
=
=
=
=
=
kf
kfkf
kfkfkf
kf
kf
kf
k
k
kk
xy
xy
xy
xy
xy
xy
yx
xy
xy
xy
xx
)22(
2
2
)32(
2
2
)22(
2
2
)22(
2
2
)12(
2
2
)22(
2
2
)22(
2
2
)12(
2
2)22(
2
2
810
810
8101310
,max
,max
,max,1maxy
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−+
−
−
+
+
++
=
=
=
=
=
kf
kfkf
kfkfkf
kf
kf
kf
k
k
kk
yx
yx
yx
yx
yx
yx
xy
yx
yx
yx
y
45
)32(
1
1
)32(
1
1
)12(
1
1
)12(
1
1
)22(
1
1
)12(
1
1
)12(
1
1
)22(
1
1)12(
1
1
910
910
9101410
,max
,max
,max,1max
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−+
−
−
+
+
++
=
=
=
=
=
kf
kfkf
kfkfkf
kf
kf
kf
k
k
kk
xy
xy
xy
xy
xy
xy
yx
xy
xy
xy
xx
)22(
1
1
)32(
1
1
)22(
1
1
)22(
1
1
)12(
1
1
)22(
1
1
)22(
1
1
)12(
1
1)22(
1
1
910
910
9101410
,max
,max
,max,1maxy
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−+
−
−
+
+
++
=
=
=
=
=
kf
kfkf
kfkfkf
kf
kf
kf
k
k
kk
yx
yx
yx
yx
yx
yx
xy
yx
yx
yx
y
46
)32(
0
0
)32(
0
0
)22(
0
0
)12(
0
0
)22(
0
0
)22(
0
0
)12(
0
0
)22(
0
0)12(
0
0
1010
810
10101510
,max
,max
,max,1max
+
++
+++
+
+
+
+
+
++
=
=
=
=
=
kf
kfkf
kfkfkf
kf
kf
kf
k
k
kk
xy
xy
xy
xy
xy
xy
yx
xy
xy
xy
xx
)22(
0
0
)32(
0
0
)22(
0
0
)22(
0
0
)12(
0
0
)22(
0
0
)22(
0
0
)12(
0
0)22(
0
0
1010
1010
10101510
,max
,max
,max,1maxy
+
++
+++
+
+
+
+
+
++
=
=
=
=
=
kf
kfkf
kfkfkf
kf
kf
kf
k
k
kk
yx
yx
yx
yx
yx
yx
xy
yx
yx
yx
y
47
)32(
4
4
)42(
4
4
)32(
4
4
)32(
4
4
)22(
4
4
)32(
4
4
)32(
4
4
)22(
4
4)32(
4
4
1110
1110
11101610
,max
,max
,max,1max
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−+
−
−
+
+
++
=
=
=
=
=
kf
kfkf
kfkfkf
kf
kf
kf
k
k
kk
yx
yx
yx
yx
yx
yx
xy
yx
yx
xy
xx
)42(
4
4
)42(
4
4
)22(
4
4
)22(
4
4
)32(
4
4
)22(
4
4
)22(
4
4
)32(
4
4)22(
4
4
1110
1110
11101610
,max
,max
,max,1maxy
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−+
−
−
+
+
++
=
=
=
=
=
kf
kfkf
kfkfkf
kf
kf
kf
k
k
kk
xy
xy
xy
xy
xy
xy
yx
xy
xy
yx
y
48
)32(
3
3
)42(
3
3
)32(
3
3
)32(
3
3
)22(
3
3
)32(
3
3
)32(
3
3
)22(
3
3)32(
3
3
1210
1210
12101710
,max
,max
,max,1max
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−+
−
−
+
+
++
=
=
=
=
=
kf
kfkf
kfkfkf
kf
kf
kf
k
k
kk
yx
yx
yx
yx
yx
yx
xy
yx
yx
xy
xx
)42(
3
3
)42(
3
3
)22(
3
3
)22(
3
3
)32(
3
3
)22(
3
3
)22(
3
3
)32(
3
3)22(
3
3
1210
1210
12101710
,max
,max
,max,1maxy
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−+
−
−
+
+
++
=
=
=
=
=
kf
kfkf
kfkfkf
kf
kf
kf
k
k
kk
xy
xy
xy
xy
xy
xy
yx
xy
xy
yx
y
49
)32(
2
2
)42(
2
2
)32(
2
2
)32(
2
2
)22(
2
2
)32(
2
2
)32(
2
2
)22(
2
2)32(
2
2
1310
1310
13101810
,max
,max
,max,1max
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−+
−
−
+
+
++
=
=
=
=
=
kf
kfkf
kfkfkf
kf
kf
kf
k
k
kk
yx
yx
yx
yx
yx
yx
xy
yx
yx
xy
xx
)42(
2
2
)42(
2
2
)22(
2
2
)22(
2
2
)32(
2
2
)22(
2
2
)22(
2
2
)32(
2
2)22(
2
2
1310
1310
13101810
,max
,max
,max,1maxy
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−+
−
−
+
+
++
=
=
=
=
=
kf
kfkf
kfkfkf
kf
kf
kf
k
k
kk
xy
xy
xy
xy
xy
xy
yx
xy
xy
yx
y
50
)32(
1
1
)42(
1
1
)32(
1
1
)32(
1
1
)22(
1
1
)32(
1
1
)32(
1
1
)22(
1
1)32(
1
1
1410
1410
14101910
,max
,max
,max,1max
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−+
−
−
+
+
++
=
=
=
=
=
kf
kfkf
kfkfkf
kf
kf
kf
k
k
kk
yx
yx
yx
yx
yx
yx
xy
yx
yx
xy
xx
)42(
1
1
)42(
1
1
)22(
1
1
)22(
1
1
)32(
1
1
)22(
1
1
)22(
1
1
)32(
1
1)22(
1
1
1410
1410
14101910
,max
,max
,max,1maxy
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−+
−
−
+
+
++
=
=
=
=
=
kf
kfkf
kfkfkf
kf
kf
kf
k
k
kk
xy
xy
xy
xy
xy
xy
yx
xy
xy
yx
y
51
)32(
0
0
)42(
0
0
)32(
0
0
)32(
0
0
)22(
0
0
)32(
0
0
)32(
0
0
)22(
0
0)32(
0
0
1510
1510
15102010
,max
,max
,max,1max
+
++
+++
+
+
+
+
+
++
=
=
=
=
=
kf
kfkf
kfkfkf
kf
kf
kf
k
k
kk
yx
yx
yx
yx
yx
yx
xy
yx
yx
xy
xx
)42(
0
0
)42(
0
0
)22(
0
0
)22(
0
0
)32(
0
0
)22(
0
0
)22(
0
0
)32(
0
0)22(
0
0
1510
1510
15102010
,max
,max
,max,1maxy
+
++
+++
+
+
+
+
+
++
=
=
=
=
=
kf
kfkf
kfkfkf
kf
kf
kf
k
k
kk
xy
xy
xy
xy
xy
xy
yx
xy
xy
yx
y
Böylece teoeremin doğruluğu ispatlanmış oldu.
52
Teorem 3 :
(3.1) denklem sistemi, 441 −− << yx , 331 −− << yx , 221 −− << yx , 111 −− << yx ve 001 yx <<
başlangıç şartlarına göre
a) 0lim;0lim;0lim;0lim ;0lim
;lim;lim;lim ;lim ;lim
1010n
910n
810n
710n
610n
510n
410n
310n
210n
110n
=====
∞=∞=∞=∞=∞=
+∞→
+∞→
+∞→
+∞→
+∞→
+∞→
+∞→
+∞→
+∞→
+∞→
nnnnn
nnnnn
xxxxx
xxxxx
b) ∞=∞=∞=∞=∞=
=====
+∞→
+∞→
+∞→
+∞→
+∞→
+∞→
+∞→
+∞→
+∞→
+∞→
1010n
910n
810n
710n
610n
510n
410n
310n
210n
110n
lim ;lim ;lim ;lim ;lim
;0lim;0lim;0lim;0lim ;0lim
nnnnn
nnnnn
yyyyy
yyyyy
olur.
İspat: a)
44 −− < yx olduğu için
lim lim 4
4)(
4
4)22(
4
4n
110n
∞=
=
=
=
∞
−
−∞
−
−+
−
−
∞→+
∞→ xy
xy
xy
xfnf
n
elde edilir.
33 −− < yx olduğu için
lim lim 3
3)(
3
3)22(
3
3n
210n
∞=
=
=
=
∞
−
−∞
−
−+
−
−
∞→+
∞→ xy
xy
xy
xfnf
n
elde edilir.
22 −− < yx olduğu için
53
lim lim 2
2)(
2
2)22(
2
2n
310n
∞=
=
=
=
∞
−
−∞
−
−+
−
−
∞→+
∞→ xy
xy
xy
xfnf
n
elde edilir.
11 −− < yx olduğu için
lim lim 1
1)(
1
1)22(
1
1n
410n
∞=
=
=
=
∞
−
−∞
−
−+
−
−
∞→+
∞→ xy
xy
xy
xfnf
n
elde edilir.
00 yx < olduğu için
lim lim 0
0)(
0
0)22(
0
0n
510n
∞=
=
=
=
∞∞+
∞→+
∞→ xy
xy
xy
xfnf
n
elde edilir.
44 −− < yx olduğu için
0lim lim 4
4)(
4
4)22(
4
4n
610n
=
=
=
=
∞
−
−∞
−
−+
−
−
∞→+
∞→ yx
yx
yx
xfnf
n
elde edilir.
33 −− < yx olduğu için
0lim lim 3
3)(
3
3)22(
3
3n
710n
=
=
=
=
∞
−
−∞
−
−+
−
−
∞→+
∞→ yx
yx
yx
xfnf
n
elde edilir.
22 −− < yx olduğu için
54
0lim lim 2
2)(
2
2)22(
2
2n
810n
=
=
=
=
∞
−
−∞
−
−+
−
−
∞→+
∞→ yx
yx
yx
xfnf
n
elde edilir.
11 −− < yx olduğu için
0lim lim 1
1)(
1
1)22(
1
1n
910n
=
=
=
=
∞
−
−∞
−
−+
−
−
∞→+
∞→ yx
yx
yx
xfnf
n
elde edilir.
00 yx < olduğu için
0lim lim 0
0)(
0
0)22(
0
0n
1010n
=
=
=
=
∞∞+
∞→+
∞→ yx
yx
yx
xfnf
n
elde edilir.
b)
44 −− < yx olduğu için
0lim lim 4
4)(
4
4)12(
4
4n
110n
=
=
=
=
∞
−
−∞
−
−+
−
−
∞→+
∞→ yx
yx
yx
yfnf
n
elde edilir.
33 −− < yx olduğu için
0lim lim 3
3)(
3
3)12(
3
3n
210n
=
=
=
=
∞
−
−∞
−
−+
−
−
∞→+
∞→ yx
yx
yx
yfnf
n
elde edilir.
55
22 −− < yx olduğu için
0lim lim 2
2)(
2
2)12(
2
2n
310n
=
=
=
=
∞
−
−∞
−
−+
−
−
∞→+
∞→ yx
yx
yx
yfnf
n
elde edilir.
11 −− < yx olduğu için
0lim lim 1
1)(
1
1)12(
1
1n
410n
=
=
=
=
∞
−
−∞
−
−+
−
−∞→
+∞→ y
xyx
yx
yfnf
n
elde edilir.
00 yx < olduğu için
0lim lim 0
0)(
0
0)12(
0
0n
510n
=
=
=
=
∞∞+
∞→+
∞→ yx
yx
yx
yfnf
n
elde edilir.
44 −− < yx olduğu için
lim lim 4
4)(
4
4)32(
4
4n
610n
∞=
=
=
=
∞
−
−∞
−
−+
−
−
∞→+
∞→ xy
xy
xy
yfnf
n
elde edilir.
33 −− < yx olduğu için
lim lim 3
3)(
3
3)32(
3
3n
710n
∞=
=
=
=
∞
−
−∞
−
−+
−
−
∞→+
∞→ xy
xy
xy
yfnf
n
elde edilir.
56
22 −− < yx olduğu için
lim lim 2
2)(
2
2)32(
2
2n
810n
∞=
=
=
=
∞
−
−∞
−
−+
−
−
∞→+
∞→ xy
xy
xy
yfnf
n
elde edilir.
11 −− < yx olduğu için
lim lim 1
1)(
1
1)32(
1
1n
910n
∞=
=
=
=
∞
−
−∞
−
−+
−
−
∞→+
∞→ xy
xy
xy
yfnf
n
elde edilir.
00 yx < olduğu için
lim lim 0
0)(
0
0)32(
0
0n
1010n
∞=
=
=
=
∞∞+
∞→+
∞→ xy
xy
xy
yfnf
n
elde edilir.
00 yx < olduğu için
lim lim 0
0)(
0
0)32(
0
0
n44n∞=
=
=
=
∞∞+
∞→+∞→ xy
xy
xy
yfnf
n
elde edilir.
57
Teorem 4 (3.1) denklem sistemi 10 44 <<< −− yx , 10 33 <<< −− yx , 10 22 <<< −− yx , 10 11 <<< −− yx ve 10 00 <<< yx başlangıç şartlarına göre
c) 0lim;0lim;0lim;0lim ;0lim
;lim;lim;lim ;lim ;lim
1010n
910n
810n
710n
610n
510n
410n
310n
210n
110n
=====
∞=∞=∞=∞=∞=
+∞→
+∞→
+∞→
+∞→
+∞→
+∞→
+∞→
+∞→
+∞→
+∞→
nnnnn
nnnnn
xxxxx
xxxxx
d) ∞=∞=∞=∞=∞=
=====
+∞→
+∞→
+∞→
+∞→
+∞→
+∞→
+∞→
+∞→
+∞→
+∞→
1010n
910n
810n
710n
610n
510n
410n
310n
210n
110n
lim ;lim ;lim ;lim ;lim
;0lim;0lim;0lim;0lim ;0lim
nnnnn
nnnnn
yyyyy
yyyyy
olur.
İspat:
c)
10 44 <<< −− yx olduğu için
111lim lim 4
)(
4
)12(
4n110
n∞=
=
=
=
∞
−
∞
−
+
−∞→+
∞→ xxxx
fnf
n
elde edilir.
10 33 <<< −− yx olduğu için
111lim lim 3
)(
3
)12(
3n210n
∞=
=
=
=
∞
−
∞
−
+
−∞→+∞→ xxx
xfnf
n
elde edilir.
58
10 22 <<< −− yx olduğu için
111lim lim 2
)(
2
)12(
2n310n
∞=
=
=
=
∞
−
∞
−
+
−∞→+∞→ xxx
xfnf
n
elde edilir.
10 11 <<< −− yx olduğu için
111lim lim 1
)(
1
)12(
1n410n
∞=
=
=
=
∞
−
∞
−
+
−∞→+∞→ xxx
xfnf
n
elde edilir.
10 00 <<< yx olduğu için
111lim lim 0
)(
0
)12(
0n510n
∞=
=
=
=
∞∞+
∞→+∞→ xxxx
fnf
n
elde edilir.
10 44 <<< −− yx olduğu için
0lim lim 4
4
)(
4
4
)12(
4
4
n610n=
=
=
=
∞
−
−
∞
−
−
+
−
−
∞→+∞→ yx
yx
yxx
fnf
n ,
elde edilir.
10 33 <<< −− yx olduğu için
0lim lim 3
3
)(
3
3
)12(
3
3
n710n=
=
=
=
∞
−
−
∞
−
−
+
−
−
∞→+∞→ yx
yx
yx
xfnf
n ,
elde edilir.
59
10 22 <<< −− yx olduğu için
0lim lim 2
2
)(
2
2
)12(
2
2
n810n=
=
=
=
∞
−
−
∞
−
−
+
−
−
∞→+∞→ yx
yx
yxx
fnf
n ,
elde edilir.
10 11 <<< −− yx olduğu için
0lim lim 1
1
)(
1
1
)12(
1
1
n910n=
=
=
=
∞
−
−
∞
−
−
+
−
−
∞→+∞→ yx
yx
yxx
fnf
n ,
elde edilir.
10 00 <<< yx olduğu için
0lim lim 0
0
)(
0
0
)12(
0
0
n1010n=
=
=
=
∞∞+
∞→+∞→ yx
yx
yx
xfnf
n .
elde edilir.
d)
10 44 <<< −− yx olduğu için
0lim lim 4
4
)(
4
4
)2(
4
4
n110n=
=
=
=
∞
−
−
∞
−
−
−
−
∞→+∞→ yx
yx
yxy
fnf
n ,
elde edilir.
10 33 <<< −− yx olduğu için
0lim lim 3
3
)(
3
3
)2(
3
3
n210n=
=
=
=
∞
−
−
∞
−
−
−
−
∞→+∞→ yx
yx
yxy
fnf
n ,
60
elde edilir.
10 22 <<< −− yx olduğu için
0lim lim 2
2
)(
2
2
)2(
2
2
n310n=
=
=
=
∞
−
−
∞
−
−
−
−
∞→+∞→ yx
yx
yxy
fnf
n ,
elde edilir.
10 11 <<< −− yx olduğu için
0lim lim 1
1
)(
1
1
)2(
1
1
n410n=
=
=
=
∞
−
−
∞
−
−
−
−
∞→+∞→ yx
yx
yxy
fnf
n ,
elde edilir.
10 00 <<< yx olduğu için
0lim lim 0
0
)(
0
0
)2(
0
0
n510n=
=
=
=
∞∞
∞→+∞→ yx
yx
yx
yfnf
n ,
elde edilir.
10 44 <<< −− yx olduğu için
lim lim 4
4
)(
4
4
)22(
4
4
n610n∞=
=
=
=
∞
−
−
∞
−
−
+
−
−
∞→+∞→ xy
xy
xyy
fnf
n ,
elde edilir.
10 33 <<< −− yx olduğu için
lim lim 3
3
)(
3
3
)22(
3
3
n710n∞=
=
=
=
∞
−
−
∞
−
−
+
−
−
∞→+∞→ xy
xy
xy
yfnf
n ,
61
elde edilir.
10 22 <<< −− yx olduğu için
lim lim 2
2
)(
2
2
)22(
2
2
n810n∞=
=
=
=
∞
−
−
∞
−
−
+
−
−
∞→+∞→ xy
xy
xyy
fnf
n ,
elde edilir.
10 11 <<< −− yx olduğu için
lim lim 1
1
)(
1
1
)22(
1
1
n910n∞=
=
=
=
∞
−
−
∞
−
−
+
−
−
∞→+∞→ xy
xy
xyy
fnf
n ,
elde edilir.
10 00 <<< yx olduğu için
lim lim 0
0
)(
0
0
)22(
0
0
n1010n∞=
=
=
=
∞∞+
∞→+∞→ xy
xy
xyy
fnf
n .
elde edilir.
ÖRNEK 1.
𝑋−4 = 2 , 𝑋−3 = 3 , 𝑋−2 = 4 , 𝑋−1 = 5, 𝑋0 = 6,
𝑌−4 = 8 , 𝑌−3 = 9 , 𝑌−2 = 12 , 𝑌−1 , = 15 , 𝑌0 , = 18 başlangıç şartları kabul edersek
𝑋1 = 4 𝑌1 = 0,25
𝑋2 = 3 𝑌2 = 0,3333333
62
𝑋3 = 3 𝑌3 = 0,3333333
𝑋4 = 3 𝑌4 = 0,3333333
𝑋5 = 3 𝑌5 = 0,3333333
𝑋6 = 0,25 𝑌6 = 16
𝑋7 = 0,3333333 𝑌7 = 9
𝑋8 = 0,3333333 𝑌8 = 9
𝑋9 = 0,3333333 𝑌9 = 9
𝑋10 = 0,3333333 𝑌10 = 9
𝑋11 = 64 𝑌11 = 0,0625
𝑋12 = 27 𝑌12 = 0,1111111
𝑋13 = 27 𝑌13 = 0,1111111
𝑋14 = 27 𝑌14 = 0,1111111
𝑋15 = 27 𝑌15 = 0,1111111
𝑋16 = 0,015625 𝑌16 = 1024
𝑋17 = 0,0370370370 𝑌17 = 243
𝑋18 = 0,0370370370 𝑌18 = 243
𝑋19 = 0,0370370370 𝑌19 = 243
𝑋20 = 0,0370370370 𝑌20 = 243
𝑋21 = 65526 𝑌21 = 0,000976562500
𝑋22 = 6561 𝑌22 = 0,00411522633
𝑋23 = 6561 𝑌23 = 0,00411522633
𝑋24 = 6561 𝑌24 = 0,00411522633
63
𝑋25 = 6561 𝑌25 = 0,00411522633
𝑋26 = 0,0000152587890 𝑌26 = 6,7108864107
𝑋27 ∶= 0,000152415790 𝑌27 ∶= 1,594323002106
𝑋28 ∶= 0,000152415790 𝑌28 ∶= 1,594323002106
𝑋29 ∶= 0,000152415790 𝑌29 = 1,594323002106
𝑋30 = 0,000152415790 𝑌30 = 1,594323002106
𝑋31 = 4,39804651210 𝑌31 = 1,49011611910
𝑋32 = 1,0460353231010 𝑌32 = 6,272254736110−7
𝑋33 = 1,0460353231010 𝑌33 = 6,272254736110−7
𝑋34 = 1,0460353231010 𝑌34 = 6,272254736110−7
𝑋35 = 1,0460353231010 𝑌35 = 6,272254736110−7
𝑋36 = 2,27373675410−13 𝑌36 = 2,9514790531020
𝑋37 = 9,55990661110−11 𝑌37 = 1,6677181761016
𝑋38 = 9,55990661110−11 𝑌38 = 1,6677181761016
𝑋39 = 9,55990661110−11 𝑌39 = 1,6677181761016
𝑋40 = 9,55990661110−11 𝑌40 = 1,6677181761016
𝑋41 = 1,2980742151033 𝑌41 = 3,3881317881016
. .
. .
. .
elde edilir.
64
ÖRNEK 2.
𝑋−4 = 8 , 𝑋−3 = 9 , 𝑋−2 = 12 , 𝑋−1 = 15, 𝑋0 = 18,
𝑌−4 = 2 , 𝑌−3 = 3 , 𝑌−2 = 4 , 𝑌−1 = 5 , 𝑌0 = 6 başlangıç şartları kabul edersek
𝑋1 = 0,25 𝑌1 = 4
𝑋2 = 0,3333333 𝑌2 = 3
𝑋3 = 0,3333333 𝑌3 = 3
𝑋4 = 0,3333333 𝑌4 = 3
𝑋5 = 0,3333333 𝑌5 = 3
𝑋6 = 16 𝑌6 = 0,25
𝑋7 = 9 𝑌7 = 0,3333333
𝑋8 = 9 𝑌8 = 0,3333333
𝑋9 = 9 𝑌9 = 0,3333333
𝑋10 = 9 𝑌10 = 0,3333333
𝑋11 = 0,0625 𝑌11 = 64
𝑋12 = 0,1111111 𝑌12 = 7
𝑋13 = 0,1111111 𝑌13 = 7
𝑋14 = 0,1111111 𝑌14 = 7
𝑋15 = 0,1111111 𝑌15 = 7
𝑋16 = 1024 𝑌16 = 0,015625
𝑋17 = 243 𝑌17 = 0,0370370370
65
𝑋18 = 243 𝑌18 = 0,0370370370
𝑋19 = 243 𝑌19 = 0,0370370370
𝑋21 = 0,000976562500 𝑌21 = 65536
𝑋22 = 0,00411522633 𝑌22 = 6561
𝑋23 = 0,00411522633 𝑌23 = 6561
𝑋24 = 0,00411522633 𝑌24 = 6561
𝑋25 = 0,00411522633 𝑌25 = 6561
𝑋26 = 6,7108864107 𝑌26 = 0,0000152587890
𝑋27 = 1,594323002106 𝑌27 = 0,000152415790
𝑋28 = 1,594323002106 𝑌28 ∶= 0,000152415790
𝑋29 = 1,594323002106 𝑌29 = 0,000152415790
𝑋30 = 1,594323002106 𝑌30 = 0,000152415790
𝑋31 = 1,49011611910−8 𝑌31 = 4,3980465121012
𝑋32 = 6,27225473610−7 𝑌32 = 1,0460353231010
𝑋33 = 6,27225473610−7 𝑌33 = 1,0460353231010
𝑋34 = 6,27225473610−7 𝑌34 = 1,0460353231010
𝑋35 = 6,27225473610−7 𝑌35 = 1,0460353231010
𝑋36 = 2,9514790531020 𝑌36 = 2,27373675410−13
𝑋37 = 1,6677181761016 𝑌37 = 9,55990661110−11
𝑋38 = 1,6677181761016 𝑌38 = 9,55990661110−11
𝑋39 = 1,6677181761016 𝑌39 = 9,55990661110−11
66
𝑋40 = 1,6677181761016 𝑌40 = 9,55990661110−11
𝑋41 = 3,38813178810−21 𝑌41 = 1,2980742151033
. .
. .
. .
elde edilir.
ÖRNEK 3.
𝑋−4 = 0,2 , 𝑋−3 = 0,3 , 𝑋−2 = 0,4 , 𝑋−1 = 0,5, 𝑋0 = 0,6,
𝑌−4 = 0,8 , 𝑌−3 = 0,9 , 𝑌−2 = 0,8 , 𝑌−1 = 0,9 , 𝑌0 = 0,9 başlangıç şartları kabul edersek
𝑋1 = 5 𝑌1 = 1,25
𝑋2 = 3,3333333 𝑌2 = 1,11111111
𝑋3 = 2,5 𝑌3 = 1,25
𝑋4 = 2 𝑌4 = 1,11111111
𝑋5 = 1,6666666 𝑌5 = 1,11111111
𝑋6 0,25 𝑌6 = 4
𝑋7 = 3,3333333 𝑌7 = 3
𝑋8 = 0,5 𝑌8 = 2
𝑋9 = 0,5555555 𝑌9 = 1,8
𝑋10 = 0,6666666 𝑌10 = 1,5
𝑋11 = 16 𝑌11 = 0,25
67
𝑋12 = 9 𝑌12 = 0,33333333
𝑋13 = 4 𝑌13 = 0,5
𝑋14 = 3,240 𝑌14 = 0,55555555
𝑋15 = 2,250 𝑌15 = 0,66666666
𝑋16 = 0,0625 𝑌16 = 16
𝑋17 = 0,1111111 𝑌17 = 27
𝑋18 = 0,25 𝑌18 = 8
𝑋19 = 0,08641975 𝑌19 = 5,832
𝑋20 = 0,44444444 𝑌20 = 3,375
𝑋21 = 1024 𝑌21 = 0,015625
𝑋22 = 243 𝑌22 = 0,0370370370
𝑋23 = 32 𝑌23 = 0,125
𝑋24 = 18,8956800 𝑌24 = 0,171467764
𝑋25 = 7,59375000 𝑌25 = 0,296296296
𝑋26 = 0,000976562500 𝑌26 = 665536
𝑋27 = 0,00411522633 𝑌27 = 6561
𝑋28 = 0,03125 𝑌28 = 256
𝑋29 = 0,0529221494 𝑌29 = 110,199605
𝑋30 = 0,131687242 𝑌30 = 25.6289062
𝑋31 = 6,7108864107 𝑌31 = 0,0000152587890
𝑋32 = 1,594323002106 𝑌32 = 0,000152415790
𝑋33 = 8192 𝑌33 = 0,00390625000
68
𝑋34 = 2082,29648 𝑌34 = 0,00907444263
𝑋35 = 194,619507 𝑌35 = 0,0390184422
𝑋36 = 1,49011611910−8 𝑌36 = 4,3980465121012
𝑋37 = 6,27225473610−7 𝑌37 = 1,0460353231010
𝑋38 = 0,000122070312 𝑌38 = 2,097152106
𝑋39 = 0,000480239008 𝑌39 = 2,294682516105
𝑋40 = 0,00513823107 𝑌40 = 4987,88511
𝑋41 = 2,9514790531020 𝑌41 = 2,27373675410−13
. .
. .
. .
elde edilir.
ÖRNEK 4.
𝑋−4 = 0,8 , 𝑋−3 = 0,9 , 𝑋−2 = 0,8 , 𝑋−1 = 0,9, 𝑋0 = 0,7,
𝑌−4 = 0,2 , 𝑌−3 = 0,3 , 𝑌−2 = 0,4 , 𝑌−1 = 0,5 , 𝑌0 = 0,6 başlangıç şartları kabul
edersek
𝑋1 = 1,25 𝑌1 = 5
𝑋1 = 1,1111111 𝑌2 = 3,3333333
𝑋3 = 1,25 𝑌3 = 2,5
𝑋4 = 1,11111 𝑌4 = 2
𝑋4 = 1,11111 𝑌4 = 2
69
𝑋5 = 1,4428571429 𝑌5 = 1,6666666
𝑋6 = 4 𝑌6 = 0,25
𝑋7 = 3 𝑌7 = 0,3333333
𝑋8 = 2 𝑌8 = 0,5
𝑋9 = 1,8 𝑌9 0,55555555
𝑋10 = 1,16666666 𝑌10 = 0,857142857
𝑋11 = 0,25 𝑌11 = 16
𝑋12 = 0,3333333 𝑌12 = 9
𝑋13 = 0,5 𝑌13 = 4
𝑋14 = 0,5555555 𝑌14 = 3,24
𝑋15 = 0,857142856 𝑌15 = 1,36111111
𝑋16 = 64 𝑌16 = 0,0625
𝑋17 = 27 𝑌17 = 0,1111111
𝑋18 = 18 𝑌18 = 0,25
𝑋19 = 5,832 𝑌19 = 0,308641975
𝑋20 = 1,58796296 𝑌20 = 0,734693877
𝑋21 = 0,015625 𝑌21 = 1024
𝑋22 = 0,0370370370 𝑌22 = 243
𝑋23 = 0,125 𝑌23 = 32
𝑋24 = 0,171467764 𝑌24 = 18,89568
𝑋25 = 0,629737609 𝑌25 = 2,16139403
𝑋26 = 65536 𝑌26 = 0,000976562500
70
𝑋27 = 6561 𝑌27 = 0,00411522633
𝑋28 = 256 𝑌28 = 0,03125
𝑋29 = 110,199605 𝑌29 = 0,0529221494
𝑋30 = 3,43221367 𝑌30 = 0,462664366
𝑋31 = 0,0000152587890 𝑌31 = 6,7108864107
𝑋32 = 0,000152415790 𝑌32 = 1,594323002106
𝑋33 = 0,00390625000 𝑌33 = 8192
𝑋34 = 0,00907444263 𝑌34 = 2082,29648
𝑋35 = 0,291357151 𝑌35 = 7,41836615
𝑋36 = 4,3980465121012 𝑌36 = 1,49011611910−8
𝑋37 = 1,0460353231010 𝑌37 = 6,27225473610−7
𝑋38 = 2,097152106 𝑌38 = 0,000122070312
𝑋39 = 2,294682516105 𝑌39 = 0,000480239008
𝑋40 = 2,097152106 𝑌40 = 0,000122070312
𝑋40 = 25,4614177 𝑌40 = 0,134800571
𝑋41 = 2,27373675410−13 𝑌41 = 2,9514790531020
. .
. .
. .
elde edilir.
71
4. BÖLÜM
SONUÇ VE ÖNERİLER
Bu çalışmada, 0123401234 ;;;;;;;;; yyyyyxxxxx −−−−−−−− başlangıç şartları sıfırdan
farklı reel sayılar olmak üzere,
=
=−
−
−+
−
−
−+
4
4
41
4
4
41 ,1max;,1max
n
n
nn
n
n
nn y
xy
yxy
xx
maksimumlu fark denklem sisteminin çözümlerinin davranışları incelenmiştir. Bu fark
denklem sisteminde katsayılar değiştirilerek yeni maksimumlu fark denklem sistemleri
oluşturulabilir. Oluşturulacak yeni maksimumulu fark denklem sisteminin çözüm
davranışları incelenebilir.
72
KAYNAKLAR
[1] Amleh A. M., Hoag J. and Ladas G. ‘‘A Difference Equation With Eventualy
Periodic Solutions’’, Comput. Math. Appl., 36(10-12), 401-404, 1998.
[2] Janowski, E. J., Kocic, V. L., Ladas, G. and Tzanetopoulos, G., ‘‘Global behaviour
of solutions of ,’’, Journal of Difference Equations and
Applications, 3, 297-310, 1998.
[3] Valicenti, S., ‘‘Periodicity and Global Attractivity of Some Difference Equations’’,
University of Rhode Island, (PhD Thesis), 1999
[4] Teixeria, C. T., ‘‘Existence Stability Boundedness and Periodicity of Some Difference Equations’’, University of Rhode Island, (PhD Thesis), 2000,
[5] Papaschinopoulos, G. and Hatzifilippidis, V., ‘‘On a max difference equation’’, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 258, 258-268, 2001.
[6] Mishev D. P. and Patula W. T., ‘‘A Reciprocal Difference Equation With Maximum’’, Comput. Math. Appl., 43, 1021-1026, 2002.
[7] Voulov, H. D.,‘‘On the periodic character of some difference equations’’, Journal of Difference Equations and Applications, 8, 799-810, 2002.
[8] Papaschinopoulos, G., Schinas, J. and Hatzifilippidis, V., ‘‘Global behaviour of the solutions of a max-equation and of a system of two max-equation’’, Journal of Computational Analysis and Applications, 5, 2, 237-247, 2003.
[9] Feuer, J., ‘‘Periodic solutions of the Lyness max equation’’, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 288, 147-160, 2003.
[10] Patula, W. T. and Voulov, H. D., ‘‘On a max type recursive relation with periodic coefficients’’, Journal of Difference Equations and Applications, 10, 3, 329-338, 2004.
[11] Cinar C., Stevic S. and Yalcinkaya I. ‘‘On The Positive Solutions Of A Reciprocal Difference Equation With Minumum’’, J. Appl. Math. Computing, 17, 307-314, 2005.
[12] Simsek, D., Cinar, C. and Yalcinkaya, I., ‘‘On the solution of the difference
equation
= −
−+ 1
11 ,1max n
nn xxx ’’, Int. J. Math. Sci., 1, 10, 481-487, 2006.
{ }1
1,max
−+ =
n
kn
n xAx
x
73
[13] Yan, X., Liao, X. and Li, C., ‘‘On a difference equation with maximum’’, Applied Mathematics and Computation, 181, 1-5, 2006.
[14] Simsek, D., ‘‘ Bazı Fark Denklemlerinin Çözümleri ve Periyodikliği Üzerine Bir Çalışma’’, Doktora Tezi, 2007.
[15] Simsek D., Demir B. and Cinar C., ‘‘On the Solutions of the System of Difference Equations x{n+1}=max{A/x{n},y{n}/x{n}}, y{n+1}=max{A/y{n},x{n}/y{n}}, Discrete Dynamics in Nature and Society, Volume 2009, Article ID 325296, 11 pages, 2009.
[16] Simsek, D., Demir B. and Kurbanlı A.S., ‘‘x{n+1}=max{1/(x{n},y{n}/x{n}}; y{n+1}=max{1/y{n},x{n}/y{n}} Denklem Sistemlerinin Çözümleri Üzerine’’, Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, 28, 91-104, 2009.
74
ÖZGEÇMİŞ
KİŞİSEL BİLGİLER Adı, Soyadı: Burak OĞUL Uyruğu: Türk Doğum Tarihi ve Yeri: 10.07.1990 Türkiye-Elazığ Medeni Durumu: Bekar Tel: +996 (550) 100439 Fax: - email: [email protected] Yazışma Adresi: EĞİTİM Derece Kurum Mezuniyet Tarihi Yüksek Lisans Kırgızistan-Türkiye Manas Ü. …….. Lisans Kırgızistan-Türkiye Manas Ü. 2013 Lise Avcılar Süleyman Nazif Lisesi 2007 İŞ DENEYİMLERİ Yıl Kurum Görev 2014- Kırgızistan-Türkiye Manas Ü. Araştırma Görevlisi YABANCI DİL Kırgızca Rusça
75
