FARK DENKLEMLERİNİN ÇÖZÜMLERİ ÜZERİNE BİR...

87
KIRGIZİSTAN TÜRKİYE MANAS ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI FARK DENKLEMLERİNİN ÇÖZÜMLERİ ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA Hazırlayan Burak OĞUL Danışman Yrd.Doç. Dr. Dağıstan ŞİMŞEK Yüksek Lisans Tezi Haziran 2015 KIRGIZİSTAN/BİŞKEK Yüksek Lisans Tezi Tezi Tezi Hazırlayan Burak OĞUL Anabilim Dalı Matematik 2015

Transcript of FARK DENKLEMLERİNİN ÇÖZÜMLERİ ÜZERİNE BİR...

KIRGIZİSTAN TÜRKİYE MANAS ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

FARK DENKLEMLERİNİN ÇÖZÜMLERİ ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA

Hazırlayan Burak OĞUL

Danışman Yrd.Doç. Dr. Dağıstan ŞİMŞEK

Yüksek Lisans Tezi

Haziran 2015 KIRGIZİSTAN/BİŞKEK

Yüksek Lisans Tezi Tezi H

azırlayanını Adı Soyadı …

……

… A

nabilim D

alı ……

….. 20…

Tezi Tezi H

azırlayan Burak O

ĞU

L Anabilim

Dalı M

atematik 2015

KIRGIZİSTAN TÜRKİYE MANAS ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

FARK DENKLEMLERİNİN ÇÖZÜMLERİ ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA

Hazırlayan

Burak OĞUL

Danışman

Doç. Dr. Dağıstan ŞİMŞEK

Yüksek Lisans Tezi

Haziran 2015

KIRGIZİSTAN/BİŞKEK

BİLİMSEL ETİĞE UYGUNLUK

Bu çalışmadaki tüm bilgilerin, akademik ve etik kurallara uygun bir şekilde elde edildiğini beyan ederim. Aynı zamanda bu kural ve davranışların gerektirdiği gibi, bu çalışmanın özünde olmayan tüm materyal ve sonuçları tam olarak aktardığımı ve referans gösterdiğimi belirtirim.

Burak OĞUL

İmza :

ii

YÖNERGEYE UYGUNLUK

“Fark Denklemlerinin Çözümleri Üzerine Bir Çalışma ” adlı Yüksek Lisans Tezi, Kırgızistan Türkiye Manas Üniversitesi Lisansüstü Tez Önerisi ve Tez Yazma Yönergesi’ne uygun olarak hazırlanmıştır.

Tezi Hazırlayan

Burak OĞUL

İmza:

Danışman

Doç.Dr. Dağıstan ŞİMŞEK

İmza:

Matematik ABD Başkanı

Prof.Dr. Avıt ASANOV

İmza:

iii

Doç.Dr Dağıstan ŞİMŞEK danışmanlığında Burak OĞUL tarafından hazırlanan “Fark Denklem

Sisteminin Çözümleri Üzerine Bir Çalışma ” adlı bu çalışma, jürimiz tarafından Kırgızistan

Türkiye Manas Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalında Yüksek Lisans

tezi olarak kabul edilmiştir.

………. /……../ ………

JÜRİ: Danışman :Doç.Dr Dağıstan ŞİMŞEK ……………. Üye :Prof.Dr Muratalı CAMANBAYEV ……………. Üye :Prof.Dr Asan ÖMÜRALİEV ……………. Üye :Prof.Dr Avıt ASANOV …………….

Üye :Yrd.Doç.Dr Ahmet DOĞAN …………….

ONAY : Bu tezin kabulü Enstitü Yönetim Kurulunun ………....… tarih ve …………..…… sayılı kararı ile onaylanmıştır.

………. /……../ ………

Prof. Dr. Zafer GÖNÜLALAN

Enstitü Müdürü

iv

ÖNSÖZ / TEŞEKKÜR

Çalışmalarım boyunca farklı bakış açıları ve bilimsel katkılarıyla beni aydınlatan, yakın

ilgi ve yardımlarını esirgemeyen ve bu günlere gelmemde en büyük katkı sahibi sayın

hocam Doç. Dr. Dağıstan ŞİMŞEK’e sonsuz teşekkürü bir borç bilirim.

Ayrıca, çalışmalarım süresince sabır göstererek beni daima destekleyen aileme sonsuz

teşekkürlerimi sunarım.

Burak OĞUL

Bişkek, Haziran 2015

v

FARK DENKLEM SİSTEMİNİN ÇÖZÜMLERİ ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA

Burak OĞUL

Kırgızistan Türkiye Manas Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü

Yüksek Lisans Tezi, Haziran 2015

Danışman: Doç. Dr. Dağıstan ŞİMŞEK

KISA ÖZET

Bu çalışma üç bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, maksimumlu fark

denklemleri ile ilgili bazı çalışmalar hakkında bilgi verdik. Bu bölümde kaynaklarda yer

alan 16 adet makale ve doktora tezlerinde yapılan çalışmalar hakkında kısa bilgiler

verildi.

İkinci bölümde, fark denklemleri ile ilgili 7 tane genel tanım ve 1 tane teorem

verildi.

Üçüncü bölümde, maksimumlu fark denklem sisteminin çözümleri ve

çözümlerin davranışları incelendi. İnceleme aşamasında 2 Lemma, 4 Teorem ve son

olarak da nümerik örnekler verildi. Lemmalar da maksimumlu fark denklem sisteminin

çözüm davranışları incelendi. Teoremlerin 2 tanesinde değişik başlangıç şartlarına göre

maksimumlu fark denklem sisteminin çözümleri tümevarım yöntemiyle incelendi. Diğer

2 teoremde ise maksimumlu fark denklem sisteminin çözümlerinin limit değerleri

incelendi. Ayrıca; maksimumlu fark denklem sistemi için 4 farklı başlangıç değerine

karşılık 4 tane örnek ve çözümleri verildi.

Dördüncü bölümde ise tez çalışmamız hakkındaki sonuç ve önerilere yer verildi.

Anahtar Kelimeler: Maksimumlu Fark Denklem Sistemi, Çözümlerin Davranışları

vi

АЙЫРМА ТЕНДЕМЕЛЕР СИСТЕМАСЫНЫН ЧЫГАРЫЛЫШЫШТАРЫ ТУУРАЛУУ ИШ

Бурак ОГУЛ

Kыргыз-Турк Манас Университети, Табигий илимдер институту

Магистрдык иш, Июнь 2015

Илимий жетекчи: Доцент. Док. Дагыстан ШИМШЕК

КЕҢИРИ АННОТАЦИЯ

Бул диссертация 3 бөлүмдөн турат. Биринчи бөлүмдө максимумдуу

айырма тендемелер менен байланыштуу илимий иштер жөнүндө маалымат

берилген. Бул бөлүмдө адабияттарда бар болгон 16 макала жана доктордук

диссертацияларда жасалган илимий иштер жөнүндө кыскача маалымат берилген.

Экинчи бөлүмдө, айырма тендемелер менен байланыштуу 7 жалпы

аныктама жана 1 теория берилген.

Үчүнчү бөлүмдө максимумдуу айырма тендемелер системасынын

чыгарылыштары изилденген. Изилдөө боюнча 2 Лемма, 4 Теорем жана сандык

мисалдер берилген. Леммаларда максимумдуу айырма тендемелер системасынын

чыгарылыштары изилденген. Теоремдердин экөөсүндө башкача башталуу

шарттарына карата максимумдуу айырма тендемелер системасынын

чыгарылыштары математикалык индукция методу менен изилденген. 2 теоремде

болсо максимумдуу айырма тендемелер системасынын чыгарылыштарын лимит

маанилери изилденген. Мындан сырткары максимумдуу айырма тендемелер

системасы үчүн 4 башкача башталуу мааниси үчүн 4 мисал жана чыгарылыштары

берилген.

Төртүнчү бөлүмдө болсо диссертация жөнүндө жыйынтык берилген.

Aчкыч сѳздѳр: Максимум айырма тендемеси, чыгарылыштарын изилдөөсү

vii

ИССЛЕДОВАНИЕ О РЕШЕНИЯХ СИСТЕМЫ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Бурак Огул

Кыргызско-Турецкий Университет Манас, Институт Естественных наук

Магистерская работа, июнь 2015

Научный руководитель: Доц Док. Дагыстан ШИМШЕК

Эта диссертация состоит из 3 разделов. В первом разделе предоставляется

информация о научных работах связанных с максимумами разностных уравнений.

В этом разделе предоставлена краткая информация о проделанных работах из

имеющихся литератур 16 статей и докторских диссертациях.

Во втором разделе дано 7 общих определений и 1 теория связанная со

разностными уравнениями.

В третьем разделе были исследованы решения систем максимумных

разностных уравнений. По исследованиям даны 2 Леммы, 4 Теоремы и числовые

примеры. В леммах исследованы решения систем макмимумных разностных

уравнений. В двух теоремах с учетом иных начальных условий решения систем

максимумных разностных уравнений были исследованы методом математической

индукции. А в двух теоремах были исследованы значения лимита решений систем

максимумных разностных уравнений. Кроме этого, даны для 4 с иной началом

значений 4 примера с решениями для системы максимумных разностных

уравнений.

В четвертом разделе предоставлено заключение о диссертации.

Ключевые слова: Максима разностного уравнения системы, поведение решений

viii

A STUDY ON THE SOLUTİON OF THE DİFFERENCE EQUATİON OF

SYSTEM

Burak OGUL

Kyrgyzstan-Turkey Manas University, Institute of Natural and Applied Sciences

M.Sc. Thesis, June 2015

Supervisor: Assoc.Prof. Dagıstan SHIMSHEK

This study consists of three parts. In the first section, we gave information about

some of the work which are related to the maximal of difference equations. This

resource is located in part of Article 16 and were given a brief description of the work

which was done in the doctoral thesis.

In the second part we give seven general definitions of difference equations and

one theorem.

In the third section, we examine the solution of the maximal difference equations

and their behavior. In this work we gave 2 Lemmas, four theorems and numerical

examples. In lemmas were examined behavior of solutions system of maximal

difference equations. In two theorems according to the different initial conditions

solutions of the maximal difference equations were examined by the induction method.

Also for system of maximal difference equations was given: For 4 different starting

values 4 examples.

In the fourth part was given conclusions and recommendations of our thesis.

Keywords: System of maximal difference equations, Behavior of Solutions

ix

İÇİNDEKİLER

FARK DENKLEMLERİNİN ÇÖZÜMLERİ ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA

Sayfa

BİLİMSEL ETİĞE UYGUNLUK SAYFASI ............................................................. ii

YÖNERGEYE UYGUNLUK SAYFASI .................................................................... iii

KABUL VE ONAY SAYFASI ................................................................................... iv

ÖNSÖZ / TEŞEKKÜR ................................................................................................ v

KISA ÖZET ................................................................................................................. vi

GENİŞ ÖZET (Kırgızça) ............................................................................................. vii

ÖZET (Rusça) ............................................................................................................. viii

ÖZET (İngilizce) .......................................................................................................... ix

İÇİNDEKİLER ............................................................................................................ x

1. BÖLÜM

GİRİŞ ............................................................................................................................... 1

1.1. Maksimumlu Fark Denklemleri İle İlgili Yapılmış Çalışmalar………………...1

2. BÖLÜM

FARK DENKLEMLERİ İLE İLGİLİ ÇALIŞMADA KULLANILAN TANIM VE

TEOREMLER………………………………………………………………………….6

3. BÖLÜM

MAKSİMUMLU FARK DENKLEM SİSTEMİNİN ÇÖZÜMÜ...…………………9

x

4. BÖLÜM

SONUÇ VE ÖNERİLER……………………………………………………………..72

KAYNAKLAR ............................................................................................................. 73

ÖZGEÇMİŞ…………………………………………………………………………...75

xi

1. BÖLÜM

GİRİŞ

Bu çalışmada, maksimumlu fark denklem sisteminin çözümleri ve çözüm

davranışları incelenmiştir.

Maksimumlu fark denklemleri ve denklem sistemleri ile ilgili literatürde var

olan çalışmalardan büyük bir kısmı incelenmiştir. Bu kapsamlı araştırmanın ışığında,

0123401234 ;;;;;;;;; yyyyyxxxxx −−−−−−−− başlangıç şartları sıfırdan farklı reel sayılar olmak

üzere,

=

=−

−+

−+

4

4

41

4

4

41 ,1max;,1max

n

n

nn

n

n

nn y

xy

yxy

xx maksimumlu fark

denklem sisteminin çözümleri incelenmiştir. Çözümleri incelemek için dört orijinal

teorem ve iki tane Lemma ifade ve ispat edilmiştir.

Öncelikle çalışmada kullanılan literatür özeti ele alınmıştır.

1.1. Maksimumlu Fark Denklemleri İle İlgili Yapılmış Çalışmalar

Amleh (1998), G. Ladas yönetiminde yaptığı doktora tezinde; fark denklemlerinin üç

farklı konusunu ele almıştır. İlk bölümde,

=−

+1

1 ,maxnn

n xB

xAx fark denkleminin

çözümlerinin sıfırdan farklı reel sayılar olan BA , parametreleri ve 01 , xx− başlangıç

şartları için periyodik olduğunu göstermiştir. İkinci bölümde, 21

211

−−

−−+ +

+=

nnn

nnnn xxx

xxxx

rasyonel fark denkleminin global asimptotik kararlılığını incelemiş ve son bölümde ise,

Plant-Herbivore sisteminin çözümlerinin sınırlılığı üzerine çalışmıştır.

1

Janowski ve arkadaşları (1998), yaptıkları çalışmada; =+1nx { }1

,max

−n

kn

xAx

maksimumlu rasyonel fark denkleminin çözümlerinin sınırlılık ve salınımlılık

özelliklerini incelemişlerdir. Bu fark denkleminde A , k parametreleri ve başlangıç

şartlarının pozitif sayı değerleri aldıklarını varsaymışlar ve çalışma sonucunda bu

denklemin çözümlerinin sınırlı ve salınımlı olma şartlarını A , k parametreleri ile

başlangıç şartlarına bağlı olarak elde etmişlerdir.

Valicenti (1999), yaptığı doktora tezinde; 1

1−

+

+=

n

nnnn x

bxax otonom olmayan

Lyness fark denklemi ile { }

11

,max

−+ =

n

nnnn x

bxax maksimumlu fark denkleminin

çözümlerinin periyodikliği ve global asimptotik kararlılığı üzerine çalışmıştır.

Teixeria (2000), yaptığı doktora tezinde; ilk olarak A herhangi bir reel

sayı ve başlangıç şartları sıfır olmayan reel sayılar olmak üzere, { }

11

,max

−+ =

nn

nn xx

Axx fark

denkleminin çözümlerinin periyodikliğini incelemiştir. Daha sonra, nn

n yb

xax +=+1 ,

nnn y

dxcy +=+1 fark denklem sisteminin çözümlerini analiz etmiş ve son olarak ta

1

11

−+ +

+=

nn

nn yqy

ypy fark denkleminin pozitif parametreler ve başlangıç şartları altında

global asimptotik kararlı olduğunu göstermiştir.

Papaschinopoulos ve Hatzifilippidis (2001), katsayılarını pozitif sayı dizileri ve

başlangıç şartlarını pozitif sayı olarak aldıkları ∏

−=

+−=+

= n

knii

n

n

kniin

n

x

bxax

),(max1

1 fark

denkleminin pozitif çözümlerinin süreklilik, sınırlılık ve periyodiklik özelliklerini

incelemişlerdir.

2

Mishev ve arkadaşları (2002),

=−

+2

1 ,maxnn

n xB

xAx fark denkleminin

periyodikliği üzerine yaptıkları çalışmada; BA , parametreleri ile başlangıç şartlarını

pozitif sayı değerleri olarak kabul ederek denklemin bütün pozitif çözümlerinin er geç

periyodik olduğunu ispat etmişlerdir.

Voulov (2002), yaptığı iki çalışmadan birincisinde; G. Ladas tarafından verilen

bir açık problemi çözmüştür. Bu çalışmada, CBA , , parametreleri negatif olmayan reel

sayılar olmak üzere 0>++ CBA için

=−−− 531

,,maxnnn

n xC

xB

xAx fark denkleminin

bütün çözümlerinin periyodik olduğunu göstermiştir. İkincisinde ise, A ile B

parametreleri pozitif reel sayılar ve k ile m parametreleri pozitif tam sayılar olmak

üzere,

=−−

+mnkn

n xB

xAx ,max1 maksimumlu fark denkleminin pozitif çözümlerinin

periyodiklik özelliğini incelemiştir. A , B , k ve m parametrelerine bağlı olarak

denklemin bütün pozitif çözümlerinin er geç periyodik olduğunu ispat etmiştir.

Papaschinopoulos ve arkadaşları (2003), yaptıkları çalışmada daha önce Feuer

tarafından çalışılmış olan { }

11

,max

−+ =

nn

nn xx

Axx fark denkleminin çözümleri, çözümlerinin

periyodikliği ve sabit aralığı üzerine çalışmışlardır.

Feuer (2003), { }

11

,max

−+ =

nln

kn

n xxAx

x maksimumlu Lyness fark denklemi üzerinde

yaptığı çalışmada; A ’nın pozitif bir reel sayı, k , l ve başlangıç şartlarının da keyfi reel

sayı değerleri olduğunu kabul ederek denklemin çözümlerinin periyodiklik özelliğini

incelemiştir.

3

Patula ve Voulov (2004), yaptıkları çalışmada; nA , nB pozitif terimli ve 3

periyotlu diziler olmak üzere,

=−

+2

1 ,maxn

n

n

nn x

BxA

x fark denkleminin çözümlerinin

periyodikliğini incelemişlerdir.

Çinar ve arkadaşları (2005), yaptıkları çalışmada; 0 , >BA olmak üzere, sıfırdan

farklı başlangıç şartları için

=−

+2

1 ,minnn

n xB

xAx fark denkleminin pozitif

çözümlerinin periyodikliğini incelemişlerdir. Ayrıca, bu denklemi genelleştirerek elde

ettikleri

=+−+−−

+)22()2(1

1 ...,

...min

knknknnnn xx

Bxxx

Ax fark denkleminin pozitif

çözümlerinin periyodikliğini incelemişlerdir.

Simsek ve arkadaşları (2006), yaptıkları çalışmada;

= −−

+ 11

1 ,1max nn

n xx

x fark

denkleminin pozitif başlangıç şartları altında çözümlerinin periyodikliğini

incelemişlerdir.

Simsek (2007), Bazı Fark Denklemlerinin Çözümleri Ve Periyodikliği Üzerine

Bir Çalışma adlı doktora tezinde maksimumlu fark denkleminin çözümlerini

incelemiştir.

Yan ve arkadaşları (2006), yaptıkları çalışmada; ,1,0,10 ≤><< AAα 1>A ve

),0(,, 012 ∞∈− xxx- başlangıç şartları için

=−− 21

,1maxnn

n xA

xx α fark denkleminin

çözümlerinin 4 periyotlu olduğunu göstermişlerdir

4

Simsek ve arkadaşları (2009), yaptıkları çalışmada; x{n+1}=max{1/x{n}, y{n}/x{n}} ; y{n+1}=max{1/y{n}, x{n}/y{n}} maksimumlu fark denklem sisteminin başlangıç şartlarını pozitif seçerek çözümlerini incelemişlerdir.

Simsek ve arkadaşları (2009), yaptıkları çalışmada; x{n+1}=max{A/x{n},y{n}/x{n}}, y{n+1}=max{A/y{n},x{n}/y{n}}, maksimumlu fark denklem sisteminde A yı ve başlangıç şartlarını pozitif seçerek çözümünü incelemişlerdir.

5

2. BÖLÜM

FARK DENKLEMLERİ İLE İLGİLİ ÇALIŞMADA KULLANILAN TANIM VE

TEOREMLER

Bu bölümde fark denklemleri ile ilgili literatürde var olan ve tezde kullanılan

genel tanım ve teoremler verilmiştir.

x bağımsız değişkeninin sürekli olduğu durumlarda, )(xy bağımlı değişkeninin

değişimi ... ),( ..., ),( ),( )(''' xyxyxy n türevleri yardımıyla açıklanabilmektedir. Ancak x

’in kesikli değerler alması durumunda değişim türevler yardımıyla açıklanamaz. Bu

bölümde x ’in tamsayı değerler aldığı durumlarda ortaya çıkan ve içinde sonlu farkların

bulunduğu denklemler üzerinde duracağız.

Tanım 2.1. n bağımsız değişken ve buna bağımlı değişkende y olmak üzere, bağımlı

değişken ve bağımsız değişken ile bağımlı değişkenin ),( ),( 2 yEyE

... ),( ..., ),(3 yEyE n gibi farklarını içeren bağıntılara Fark Denklemi denir. Dikkat

edilirse, fark denklemlerinin n ’in sürekli olduğu durumda diferansiyel denklemler ile

arasında büyük benzerlikler vardır.

Birinci mertebeden fark denklemi;

)()1()( 10 nfnyanya =++

şeklindedir.

6

İkinci mertebeden fark denklemi;

)()1()()1( 210 ngnyanyanya =+++−

şeklindedir. Denklemin mertebesinin belirlenmesinde, y ’nin hesaplanabilmesi için

gerekli olan başlangıç şartı sayısı göz önüne alınmaktadır.

Teorem 2.1. I reel sayıların herhangi bir alt aralığı olmak üzere, IIxIf → : sürekli

diferensiyellenebilen bir fonksiyon olsun. Her Ixx ∈− 01 , başlangıç şartları için

,...2,1,0 ),,( 11 == −+ nxxfx nnn (2.1)

denklemi bir tek { }∞ −= 1nnx çözümüne sahiptir.

Tanım 2.2. Eğer { }nx dizisi için npn xx =+ ise, { }nx dizisi p periyotludur denir ve p

bu şartı sağlayan en küçük pozitif tam sayıdır.

Tanım 2.3. Eğer { }nx dizisinde sonlu sayıda terim hariç tutulduğunda, geriye kalan

sonsuz sayıdaki terim için npn xx =+ ise, { }nx dizisine er geç p periyotludur denir ve

p bu şartı sağlayan en küçük pozitif tam sayıdır.

Tanım 2.4. ),...,(1 knnn xxfx −+ = n=0,1,2,… (2.1) fark denkleminde ),...,( xxfx =

oluyorsa x ye denge noktası denir.

Tanım 2.5. x (2.1) denkleminin pozitif bir denge noktası olsun. (2.1) denkleminin bir { }nx çözümünün bir pozitif yarı dönmesi { }mll xxx ,...,, 1+ terimlerinin bir dizisinden

oluşur ve bunların hepsi x denge noktasına eşit veya büyük bütün terimlerdir. Öyle ki ∞≤≥ m ve0l olur ve burada

7

Ya xxll l <>= −1 ve0 da ya 0

ve

Ya xxmm m <∞<∞= +1 ve da ya dir.

Tanım 2.6. x (2.1) denkleminin negatif bir denge noktası olsun. (2.1) denkleminin bir { }nx çözümünün bir negatif yarı dönmesi { }mll xxx ,...,, 1+ terimlerinin bir dizisinden

oluşur ve bunların hepsi x denge noktasından daha küçük terimlerdir. Öyle ki ∞≤≥ m ve0l olur ve burada

Ya xxll l ≥>= −1 ve0 da ya 0

ve

Ya xxmm m ≥∞<∞= +1 ve da ya dir.

Tanım 2.7. 3n ve1,1 21 ≥== ff için 21 −− += nnn fff şeklinde tanımlanan sayılara Fibonacci sayıları denir.

8

3. BÖLÜM

MAKSİMUMLU FARK DENKLEM SİSTEMİNİN ÇÖZÜMÜ

=

=−

−+

−+

4

4

41

4

4

41 ,1max;,1max

n

n

nn

n

n

nn y

xy

yxy

xx (3.1)

Şimdi (3.1) denkleminin pozitif denge noktasını bulalım.

=

=yx

yy

xy

xx ,1max;,1max olur. Buradan

yxy

yy

xyx

xx veya1; veya1

==== elde edilir. ( ) ( ) 1 ve122== yx bulunur.

Buradan da

1=x ve 1=y elde edilir. Şimdi (3.1) denkleminin çözümlerini inceleyelim.

𝑿𝒏 ÇÖ𝐙Ü𝐌𝐋𝐄𝐑İ

1 < X−4 < Y−4 1 < Y−4 < X−4

𝑋10𝑛+1 = �𝑌−4𝑋−4

�𝑓(2𝑛+2)

𝑋10𝑛+1 = �𝑌−4𝑋−4

�𝑓(2𝑛+1)

. .

. .

. .

𝑋10𝑛+6 = �𝑋−4𝑌−4

�𝑓(2𝑛+2)

𝑋10𝑛+6 = �𝑋−4𝑌−4

�𝑓(2𝑛+3)

9

1 < X−3 < Y−3 1 < Y−3 < X−3

𝑋10𝑛+2 = �𝑌−3𝑋−3

�𝑓(2𝑛+2)

𝑋10𝑛+2 = �𝑌−3𝑋−3

�𝑓(2𝑛+1)

. .

. .

. .

𝑋10𝑛+7 = �𝑋−3𝑌−3

�𝑓(2𝑛+2)

𝑋10𝑛+7 = �𝑋−3𝑌−3

�𝑓(2𝑛+3)

1 < X−2 < Y−2 1 < Y−2 < X−2

𝑋10𝑛+3 = �𝑌−2𝑋−2

�𝑓(2𝑛+2)

𝑋10𝑛+3 = �𝑌−2𝑋−2

�𝑓(2𝑛+1)

. .

. .

. .

𝑋10𝑛+8 = �𝑋−2𝑌−2

�𝑓(2𝑛+2)

𝑋10𝑛+8 = �𝑋−2𝑌−2

�𝑓(2𝑛+3)

1 < X−1 < Y−1 1 < Y−1 < X−1

10

𝑋10𝑛+4 = �𝑌−1𝑋−1

�𝑓(2𝑛+2)

𝑋10𝑛+4 = �𝑌−1𝑋−1

�𝑓(2𝑛+1)

. .

. .

. .

𝑋10𝑛+9 = �𝑋−1𝑌−1

�𝑓(2𝑛+2)

𝑋10𝑛+9 = �𝑋−1𝑌−1

�𝑓(2𝑛+3)

1 < X0 < Y0 1 < Y0 < X0

𝑋10𝑛+5 = �𝑌0𝑋0�𝑓(2𝑛+2)

𝑋10𝑛+5 = �𝑌0𝑋0�𝑓(2𝑛+1)

. .

. .

. .

𝑋10𝑛+10 = �𝑋0𝑌0�𝑓(2𝑛+2)

𝑋10𝑛+10 = �𝑋0𝑌0�𝑓(2𝑛+3)

𝒀𝒏 ÇÖ𝐙Ü𝐌𝐋𝐄𝐑İ

1 < X−4 < Y−4 1 < Y−4 < X−4

11

𝑌10𝑛+1 = �𝑋−4𝑌−4

�𝑓(2𝑛+1)

𝑌10𝑛+1 = �𝑋−4𝑌−4

�𝑓(2𝑛+2)

. .

. .

. .

𝑌10𝑛+6 = �𝑌−4𝑋−4

�𝑓(2𝑛+2)

𝑌10𝑛+6 = �𝑌−4𝑋−4

�𝑓(2𝑛+2)

1 < X−3 < Y−3 1 < Y−3 < X−3

𝑌10𝑛+2 = �𝑋−3𝑌−3

�𝑓(2𝑛+1)

𝑌10𝑛+2 = �𝑋−3𝑌−3

�𝑓(2𝑛+2)

. .

. .

. .

𝑌10𝑛+7 = �𝑌−3𝑋−3

�𝑓(2𝑛+3)

𝑌10𝑛+7 = �𝑌−3𝑋−3

�𝑓(2𝑛+2)

1 < X−2 < Y−2 1 < Y−2 < X−2

𝑌10𝑛+3 = �𝑋−2𝑌−2

�𝑓(2𝑛+1)

𝑌10𝑛+3 = �𝑋−2𝑌−2

�𝑓(2𝑛+2)

. .

12

. .

. .

𝑌10𝑛+8 = �𝑌−2𝑋−2

�𝑓(2𝑛+3)

𝑌10𝑛+8 = �𝑌−2𝑋−2

�𝑓(2𝑛+2)

1 < X−1 < Y−1 1 < Y−1 < X−1

𝑌10𝑛+4 = �𝑋−1𝑌−1

�𝑓(2𝑛+1)

𝑌10𝑛+4 = �𝑋−1𝑌−1

�𝑓(2𝑛+2)

. .

. .

. .

𝑌10𝑛+9 = �𝑌−1𝑋−1

�𝑓(2𝑛+3)

𝑌10𝑛+9 = �𝑌−1𝑋−1

�𝑓(2𝑛+2)

1 < X0 < Y0 1 < Y0 < X0

𝑌10𝑛+5 = �𝑋0𝑌0�𝑓(2𝑛+1)

𝑌10𝑛+5 = �𝑋0𝑌0�𝑓(2𝑛+2)

. .

. .

. .

𝑌10𝑛+10 = �𝑌0𝑋0�𝑓(2𝑛+3)

𝑌10𝑛+10 = �𝑌−1𝑋−1

�𝑓(2𝑛+2)

13

𝑿𝒏 ÇÖ𝐙Ü𝐌𝐋𝐄𝐑İ

10 44 <<< −− yx 10 44 <<< −− xy

0=n için

=

−+

4110

1x

x n 0=n için

=

−+

4110

1x

x n

,...3,2,1 )12(

4

4110 =

=

+

−+ n

xyx

nf

n

)2(

4

4110

nf

n xyx

=

−+

. .

. .

. .

,...3,2,1.0)12(

4

4610 =

=

+

−+ n

yxx

nf

n )22(

4

4610

+

−+

=

nf

n yxx

10 33 <<< −− yx 10 33 <<< −− xy

0=n için

=

−+

3210

1x

x n 0=n için

=

−+

3210

1x

x n

,...3,2,1 )12(

3

3210 =

=

+

−+ n

xy

xnf

n

)2(

3

3210

nf

n xy

x

=

−+

. .

. .

. .

,...3,2,1.0)12(

3

3710 =

=

+

−+ n

yx

xnf

n )22(

3

3710

+

−+

=

nf

n yx

x

14

10 22 <<< −− yx 10 22 <<< −− xy

0=n için

=

−+

2310

1x

x n 0=n için

=

−+

2810

1x

x n

,...3,2,1 )12(

2

2310 =

=

+

−+ n

xyx

nf

n

)2(

2

2810

nf

n xyx

=

−+

. .

. .

. .

,...3,2,1.0)12(

2

2810 =

=

+

−+ n

yxx

nf

n )22(

1

1910

+

−+

=

nf

n yxx

10 11 <<< −− yx 10 11 <<< −− xy

0=n için

=

−+

1410

1x

x n 0=n için

=

−+

1410

1x

x n

,...3,2,1 )12(

1

1410 =

=

+

−+ n

xyx

nf

n

)2(

1

1410

nf

n xyx

=

−+

. .

. .

. .

,...3,2,1.0)12(

1

1910 =

=

+

−+ n

yxx

nf

n )22(

1

1910

+

−+

=

nf

n yxx

15

10 00 <<< yx 10 00 <<< xy

0=n için

=+

0510

1x

x n 0=n için

=+

0510

1x

x n

,...3,2,1 )12(

0

0510 =

=

+

+ nxy

xnf

n

)2(

0

0510

nf

n xy

x

=+

. .

. .

. .

,...3,2,1.0)12(

0

01010 =

=

+

+ nyx

xnf

n )22(

0

01010

+

+

=

nf

n yx

x

𝒀𝒏 ÇÖ𝐙Ü𝐌𝐋𝐄𝐑İ

0 < X−4 < Y−4 < 1 0 < Y−4 < X−4 < 1

𝑌10𝑛+1 = �𝑋−4𝑌−4

�𝑓(2𝑛)

𝑌10𝑛+1 = �𝑋−4𝑌−4

�𝑓(2𝑛+1)

. .

. .

. .

𝑌10𝑛+6 = �𝑌−4𝑋−4

�𝑓(2𝑛+2)

𝑌10𝑛+6 = �𝑌−4𝑋−4

�𝑓(2𝑛+1)

16

0 < X−3 < Y−3 < 1 0 < Y−3 < X−3 < 1

𝑌10𝑛+2 = �𝑋−3𝑌−3

�𝑓(2𝑛)

𝑌10𝑛+2 = �𝑋−3𝑌−3

�𝑓(2𝑛+1)

. .

. .

. .

𝑌10𝑛+7 = �𝑌−3𝑋−3

�𝑓(2𝑛+2)

𝑌10𝑛+7 = �𝑌−3𝑋−3

�𝑓(2𝑛+1)

0 < X−2 < Y−2 < 1 0 < Y−2 < X−2 < 1

𝑌10𝑛+3 = �𝑋−2𝑌−2

�𝑓(2𝑛)

𝑌10𝑛+3 = �𝑋−2𝑌−2

�𝑓(2𝑛+1)

. .

. .

. .

𝑌10𝑛+8 = �𝑌−2𝑋−2

�𝑓(2𝑛+2)

𝑌10𝑛+8 = �𝑌−2𝑋−2

�𝑓(2𝑛+1)

0 < X−1 < Y−1 < 1 0 < Y−1 < X−1 < 1

𝑌10𝑛+4 = �𝑋−1𝑌−1

�𝑓(2𝑛)

𝑌10𝑛+4 = �𝑋−1𝑌−1

�𝑓(2𝑛+1)

17

. .

. .

. .

𝑌10𝑛+9 = �𝑌−1𝑋−1

�𝑓(2𝑛+2)

𝑌10𝑛+9 = �𝑌−1𝑋−1

�𝑓(2𝑛+1)

0 < X0 < Y0 < 1 0 < Y0 < X0 < 1

𝑌10𝑛+5 = �𝑋0𝑌0�𝑓(2𝑛)

𝑌10𝑛+5 = �𝑋0𝑌0�𝑓(2𝑛+1)

. .

. .

. .

𝑌10𝑛+10 = �𝑌0𝑋0�𝑓(2𝑛+2)

𝑌10𝑛+10 = �𝑌0𝑋0�𝑓(2𝑛+1)

Lemma 1 : (3.1) denklemi için 441 −− << yx , 331 −− << yx , 221 −− << yx , 111 −− << yx ve

001 yx << başlangıç şartlarına göre ,

Aşağıdaki ifadeler doğrudur:

a) Her pozitif yarı dönme beş terimden oluşur. b) Her negatif yarı dönme beş terimden oluşur. c) Beş uzunluğundaki her pozitif yarı dönmeyi beş uzunluğundaki negatif yarı

dönme takip eder. d) Beş uzunluğundaki her negatif yarı dönmeyi beş uzunluğundaki pozitif yarı

dönme takip eder.

18

İspat :

441 −− << yx , 331 −− << yx , 221 −− << yx , 111 −− << yx ve 001 yx << başlangıç şartlarına göre

xxy

xy

xx >=

=−

− 4

4

4

4

41 ,1max

yyx

yx

y<=

=−

− 4

4

4

4

41 ,1maxy

xxy

xy

xx >=

=−

− 3

3

3

3

32 ,1max

yyx

yx

y<=

=−

− 3

3

3

3

32 ,1maxy

xxy

xy

xx >=

=−

− 2

2

2

2

23 ,1max

yyx

yx

y<=

=−

− 2

2

2

2

23 ,1maxy

xxy

xy

xx >=

=−

− 1

1

1

1

14 ,1max

yyx

yx

y<=

=−

− 1

1

1

1

14 ,1maxy

xxy

xy

xx >=

=0

0

0

0

05 ,1max

yyx

yx

y<=

=0

0

0

0

05 ,1maxy

xyx

xy

xx >=

=−

4

4

1

1

16 ,1max

yxy

yx

y<

=

=−

2

4

4

1

1

16 ,1maxy

xyx

xy

xx >=

=−

3

3

2

2

27 ,1max

19

yxy

yx

y<

=

=−

2

3

3

2

2

27 ,1maxy

xyx

xy

xx >=

=−

2

2

3

3

38 ,1max

yxy

yx

y<

=

=−

2

2

2

3

3

38 ,1maxy

xyx

xy

xx >=

=−

1

1

4

4

49 ,1max

yxy

yx

y<

=

=−

2

1

1

4

4

49 ,1maxy

xyx

xy

xx >=

=0

0

5

5

510 ,1max

y

xy

yx

y<

=

=2

0

0

5

5

510 ,1maxy

xxy

xy

xx >

=

=−

3

4

4

6

6

611 ,1max

y

yx

yx

y<

=

=−

2

4

4

6

6

611 ,1maxy

xxy

xy

xx >

=

=−

3

3

3

7

7

712 ,1max

y

yx

yx

y<

=

=−

2

3

3

7

7

712 ,1maxy

xxy

xy

xx >

=

=−

3

2

2

8

8

813 ,1max

y

yx

yx

y<

=

=−

2

2

2

8

8

813 ,1maxy

20

xxy

xy

xx >

=

=−

3

1

1

9

9

914 ,1max

y

yx

yx

y<

=

=−

2

1

1

9

9

914 ,1maxy

xxy

xy

xx >

=

=3

0

0

10

10

1015 ,1max

y

yx

yx

y<

=

=2

0

0

10

10

1015 ,1maxy

.

.

.

elde edilir.

xx >1 , xx >2 , xx >3 , xx >4 , xx >5 , xx <6 , xx <7 , xx <8 , xx <9 , xx <10 ,

… buradan da görüldüğü gibi n x çözümleri PPPPPNNNNNPPPPPNNNNN… şeklindedir.

y<1y , y<2y , y<3y , y<4y , y<5y , y>6y , y>7y , y>8y , y>9y ,

y>10y , … buradan da görüldüğü gibi n x çözümleri NNNNNPPPPPNNNNNPPPPP… şeklindedir.

Her pozitif yarı dönmenin beş terimden oluştuğu görülmektedir.

Her negatif yarı dönmenin beş terimden oluştuğu görülmektedir.

Beş uzunluğundaki her pozitif yarı dönmeyi beş uzunluğundaki negatif yarı dönmenin takip ettiği n x çözümlerinden görülmektedir.

Beş uzunluğundaki her negatif yarı dönmeyi beş uzunluğundaki pozitif yarı dönmenin takip ettiği ny çözümlerinden görülmektedir.

Böylece Lemmanın ispatı gösterilmiştir.

21

Lemma 2 : (3.1) denklemi için 10 44 <<< −− yx , 10 33 <<< −− yx , 10 22 <<< −− yx , 10 11 <<< −− yx ve 10 00 <<< yx başlangıç şartlarına göre ,

Aşağıdaki ifadeler doğrudur:

a) n x çözümleri için her pozitif yarı dönme beş terimden oluşur. ny çözümleri için 5n ≥ için her pozitif yarı dönme beş terimden oluşur.

b) nx çözümleri için her negatif yarı dönme beş terimden oluşur. ny çözümleri için 5n ≥ için her negatif yarı dönme beş terimden oluşur.

c) nx çözümleri için beş uzunluğundaki her pozitif yarı dönmeyi beş uzunluğundaki negatif yarı dönme takip eder. ny çözümleri için 5n ≥ için beş uzunluğundaki her pozitif yarı dönmeyi beş uzunluğundaki negatif yarı dönme takip eder.

d) nx çözümleri için beş uzunluğundaki her negatif yarı dönmeyi beş uzunluğundaki pozitif yarı dönme takip eder. ny çözümleri için 5n ≥ için beş uzunluğundaki her negatif yarı dönmeyi beş uzunluğundaki pozitif yarı dönme takip eder

İspat

10 44 <<< −− yx , 10 33 <<< −− yx , 10 22 <<< −− yx , 10 11 <<< −− yx ve 10 00 <<< yx

Başlangıç şartlarına göre

xxx

yx

x >=

=−−

− 44

4

41

1,1max

yyy

xy

>=

=−−

− 44

4

41

1,1maxy

xxx

yx

x >=

=−−

− 33

3

32

1,1max

yyy

xy

>=

=−−

− 33

3

32

1,1maxy

xxx

yx

x >=

=−−

− 22

2

23

1,1max

yyy

xy

>=

=−−

− 22

2

23

1,1maxy

22

xxx

yx

x >=

=−−

− 11

1

14

1,1max

yyy

xy

>=

=−−

− 11

1

14

1,1maxy

xxx

yx

x >=

=00

0

05

1,1max

yyy

xy

>=

=00

0

05

1,1maxy

xyx

xy

xx <=

=−

4

4

1

1

16 ,1max

yxy

yx

y>=

=−

4

4

1

1

16 ,1maxy

xyx

xy

xx <=

=−

3

3

2

2

27 ,1max

yxy

yx

y>=

=−

3

3

2

2

27 ,1maxy

xyx

xy

xx <=

=−

2

2

3

3

38 ,1max

yxy

yx

y>=

=−

2

2

3

3

38 ,1maxy

xyx

xy

xx <=

=−

1

1

4

4

49 ,1max

yxy

yx

y>=

=−

1

1

4

4

49 ,1maxy

xyx

xy

xx <=

=0

0

5

5

510 ,1max

23

yxy

yx

y>=

=0

0

5

5

510 ,1maxy

xxy

xy

xx >

=

=−

2

4

4

6

6

611 ,1max

yyx

yx

y<=

=−

4

4

6

6

611 ,1maxy

xxy

xy

xx >

=

=−

2

3

3

7

7

712 ,1max

yyx

yx

y<=

=−

3

3

7

7

712 ,1maxy

xxy

xy

xx >

=

=−

2

2

2

8

8

813 ,1max

yyx

yx

y<=

=−

2

2

8

8

813 ,1maxy

xxy

xy

xx >

=

=−

2

1

1

9

9

914 ,1max

yyx

yx

y<=

=−

1

1

9

9

914 ,1maxy

xxy

xy

xx >

=

=2

0

0

10

10

1015 ,1max

yyx

yx

y<=

=0

0

10

10

1015 ,1maxy

.

.

.

24

elde edilir.

xx >1 , xx >2 , xx >3 , xx >4 , xx >5 , xx <6 , xx <7 , xx <8 , xx <9 ,

xx <10 , … buradan da görüldüğü gibi n x çözümleri PPPPPNNNNNPPPPPNNNNN… şeklindedir.

y>1y , y>2y , y>3y , y>4y , y>5y , y>6y , y>7y , y>8y ,

y>9y , y>10y , y<11y , y<12y , y<13y , y<14y , y<15y … buradan

da görüldüğü gibi ny çözümleri 5n ≥ için PPPPPNNNNNPPPPPNNNNN … şeklindedir.

n x çözümleri için her pozitif yarı dönmenin beş terimden oluştuğu görülmektedir.

ny çözümleri 5n ≥ için her pozitif yarı dönmenin beş terimden oluştuğu görülmektedir

n x çözümleri için her negatif yarı dönmenin beş terimden oluştuğu görülmektedir.

ny çözümleri 5n ≥ için her negatif yarı dönmenin beş terimden oluştuğu görülmektedir

Beş uzunluğundaki her pozitif yarı dönmeyi beş uzunluğundaki negatif yarı dönmenin takip ettiği n x çözümlerinden görülmektedir.

Beş uzunluğundaki her negatif yarı dönmeyi beş uzunluğundaki pozitif yarı dönmenin takip ettiği 5n ≥ şartı altındaki ny çözümlerinden görülmektedir.

Böylece Lemmanın ispatı gösterilmiştir.

Teorem 1 : );(x n ny (3.1) denkleminin 441 −− << yx 331 −− << yx , 221 −− << yx ,

111 −− << yx 001 yx << şartları altındaki çözümü olsun. , n = 0,1,2 ,… için

25

)22(

0

01010

)22(

1

1910

)22(

2

2810

)22(

3

3710

)22(

4

4610

)22(

0

0510

)22(

1

1410

)22(

2

2310

)22(

3

3210

)22(

4

4110

;

;;;;

; ;;;

+

+

+

−+

+

−+

+

−+

+

−+

+

+

+

−+

+

−+

+

−+

+

−+

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

nf

n

nf

n

nf

n

nf

n

nf

n

nf

n

nf

n

nf

n

nf

n

nf

n

yx

xyxx

yxx

yx

xyxx

xy

x

xyx

xyx

xy

xxyx

)32(

0

01010

)32(

1

1910

)32(

2

2810

)32(

3

3710

)32(

4

4610

)12(

0

0510

)12(

1

1410

)12(

2

2310

)12(

3

3210

)12(

4

4110

;

;;;;

;;;;

+

+

+

−+

+

−+

+

−+

+

−+

+

+

+

−+

+

−+

+

−+

+

−+

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

nf

n

nf

n

nf

n

nf

n

nf

n

nf

n

nf

n

nf

n

nf

n

nf

n

xy

yxyy

xyy

xy

yxyy

yx

y

yxy

yxy

yx

yyxy

İspat

Bu teoremin ispatını tümevarım yöntemiyle gösterelim.

xxy

xy

xx >=

=−

− 4

4

4

4

41 ,1max

yyx

yx

y<=

=−

− 4

4

4

4

41 ,1maxy

xxy

xy

xx >=

=−

− 3

3

3

3

32 ,1max

yyx

yx

y<=

=−

− 3

3

3

3

32 ,1maxy

xxy

xy

xx >=

=−

− 2

2

2

2

23 ,1max

yyx

yx

y<=

=−

− 2

2

2

2

23 ,1maxy

xxy

xy

xx >=

=−

− 1

1

1

1

14 ,1max

26

yyx

yx

y<=

=−

− 1

1

1

1

14 ,1maxy

xxy

xy

xx >=

=0

0

0

0

05 ,1max

yyx

yx

y<=

=0

0

0

0

05 ,1maxy

xyx

xy

xx >=

=−

4

4

1

1

16 ,1max

yxy

yx

y<

=

=−

2

4

4

1

1

16 ,1maxy

xyx

xy

xx >=

=−

3

3

2

2

27 ,1max

yxy

yx

y<

=

=−

2

3

3

2

2

27 ,1maxy

xyx

xy

xx >=

=−

2

2

3

3

38 ,1max

yxy

yx

y<

=

=−

2

2

2

3

3

38 ,1maxy

xyx

xy

xx >=

=−

1

1

4

4

49 ,1max

yxy

yx

y<

=

=−

2

1

1

4

4

49 ,1maxy

xyx

xy

xx >=

=0

0

5

5

510 ,1max

y

xy

yx

y<

=

=2

0

0

5

5

510 ,1maxy

27

xxy

xy

xx >

=

=−

3

4

4

6

6

611 ,1max

y

yx

yx

y<

=

=−

2

4

4

6

6

611 ,1maxy

xxy

xy

xx >

=

=−

3

3

3

7

7

712 ,1max

y

yx

yx

y<

=

=−

2

3

3

7

7

712 ,1maxy

xxy

xy

xx >

=

=−

3

2

2

8

8

813 ,1max

y

yx

yx

y<

=

=−

2

2

2

8

8

813 ,1maxy

xxy

xy

xx >

=

=−

3

1

1

9

9

914 ,1max

y

yx

yx

y<

=

=−

2

1

1

9

9

914 ,1maxy

xxy

xy

xx >

=

=3

0

0

10

10

1015 ,1max

y

yx

yx

y<

=

=2

0

0

10

10

1015 ,1maxy

.

.

.

n = 0 için doğrudur. n = k için doğru olduğunu kabul edelim.

28

)22(

0

01010

)22(

1

1910

)22(

2

2810

)22(

3

3710

)22(

4

4610

)22(

0

0510

)22(

1

1410

)22(

2

2310

)22(

3

3210

)22(

4

4110

;

;;;;

; ;;;

+

+

+

−+

+

−+

+

−+

+

−+

+

+

+

−+

+

−+

+

−+

+

−+

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

kf

k

kf

k

kf

k

kf

k

kf

k

kf

k

kf

k

kf

k

kf

k

kf

k

yx

xyxx

yxx

yx

xyxx

xy

x

xyx

xyx

xy

xxyx

)32(

0

01010

)32(

1

1910

)32(

2

2810

)32(

3

3710

)32(

4

4610

)12(

0

0510

)12(

1

1410

)12(

2

2310

)12(

3

3210

)12(

4

4110

;

;;;;

;;;;

+

+

+

−+

+

−+

+

−+

+

−+

+

+

+

−+

+

−+

+

−+

+

−+

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

kf

k

kf

k

kf

k

kf

k

kf

k

kf

k

kf

k

kf

k

kf

k

kf

k

xy

yxy

y

xy

yxy

yxy

yyx

y

yx

yyx

yyx

yyx

y

n = k+1 için doğru olduğunu gösterelim.

)42(

4

4

)42(

4

4)22(

4

4

)22(

4

4)32(

4

4)22(

4

4

)22(

4

4

)32(

4

4)22(

4

4

610

610

6101110

,max

,max

,max,1max

+

+

−+

+

−+

−+

+

+

−+

+

+

++

=

=

=

=

=

kf

kfkf

kfkfkf

kf

kf

kf

k

k

kk

xy

xy

xy

xy

xy

xy

yx

xy

xy

xy

xx

29

)32(

4

4

)42(

4

4)32(

4

4

)32(

4

4)22(

4

4)32(

4

4

)32(

4

4

)22(

4

4)32(

4

4

610

610

6101110

,max

,max

,max,1maxy

+

+

−+

+

−+

−+

+

+

−+

+

+

++

=

=

=

=

=

kf

kfkf

kfkfkf

kf

kf

kf

k

k

kk

yx

yx

yx

yx

yx

yx

xy

yx

yx

yx

y

)42(

3

3

)42(

3

3)22(

3

3

)22(

3

3)32(

3

3)22(

3

3

)22(

3

3

)32(

3

3)22(

3

3

710

710

7101210

,max

,max

,max,1max

+

+

−+

+

−+

−+

+

+

−+

+

+

++

=

=

=

=

=

kf

kfkf

kfkfkf

kf

kf

kf

k

k

kk

xy

xy

xy

xy

xy

xy

yx

xy

xy

xy

xx

30

)32(

3

3

)42(

3

3)32(

3

3

)32(

3

3)22(

3

3)32(

3

3

)32(

3

3

)22(

3

3)32(

3

3

710

710

7101210

,max

,max

,max,1maxy

+

+

−+

+

−+

−+

+

+

−+

+

+

++

=

=

=

=

=

kf

kfkf

kfkfkf

kf

kf

kf

k

k

kk

yx

yx

yx

yx

yx

yx

xy

yx

yx

yx

y

)42(

2

2

)42(

2

2)22(

2

2

)22(

2

2)32(

2

2)22(

2

2

)22(

2

2

)32(

2

2)22(

2

2

810

810

8101310

,max

,max

,max,1max

+

+

−+

+

−+

−+

+

+

−+

+

+

++

=

=

=

=

=

kf

kfkf

kfkfkf

kf

kf

kf

k

k

kk

xy

xy

xy

xy

xy

xy

yx

xy

xy

xy

xx

31

)32(

2

2

)42(

2

2)32(

2

2

)32(

2

2)22(

2

2)32(

2

32

)32(

2

2

)22(

2

2)32(

2

2

810

810

8101310

,max

,max

,max,1maxy

+

+

−+

+

−+

−+

+

+

−+

+

+

++

=

=

=

=

=

kf

kfkf

kfkfkf

kf

kf

kf

k

k

kk

yx

yx

yx

yx

yx

yx

xy

yx

yx

yx

y

)42(

1

1

)42(

1

1)22(

1

1

)22(

1

1)32(

1

1)22(

1

1

)22(

1

1

)32(

1

1)22(

1

1

910

910

8101410

,max

,max

,max,1max

+

+

−+

+

−+

−+

+

+

−+

+

+

++

=

=

=

=

=

kf

kfkf

kfkfkf

kf

kf

kf

k

k

kk

xy

xy

xy

xy

xy

xy

yx

xy

xy

xy

xx

32

)32(

1

1

)42(

1

1)32(

1

1

)32(

1

1)22(

1

1)32(

1

1

)32(

1

1

)22(

1

1)32(

1

1

910

910

9101410

,max

,max

,max,1maxy

+

+

−+

+

−+

−+

+

+

−+

+

+

++

=

=

=

=

=

kf

kfkf

kfkfkf

kf

kf

kf

k

k

kk

yx

yx

yx

yx

yx

yx

xy

yx

yx

yx

y

)42(

0

0

)42(

0

0)22(

0

0

)22(

0

0)32(

0

0)22(

0

0

)22(

0

0

)32(

0

0)22(

0

0

1010

810

10101510

,max

,max

,max,1max

+

++

+++

+

+

+

+

+

++

=

=

=

=

=

kf

kfkf

kfkfkf

kf

kf

kf

k

k

kk

xy

xy

xy

xy

xy

xy

yx

xy

xy

xy

xx

33

)32(

0

0

)42(

0

0)32(

0

0

)32(

0

0)22(

0

0)32(

0

0

)32(

0

0

)22(

0

0)32(

0

0

1010

1010

10101510

,max

,max

,max,1maxy

+

++

+++

+

+

+

+

+

++

=

=

=

=

=

kf

kfkf

kfkfkf

kf

kf

kf

k

k

kk

yx

yx

yx

yx

yx

yx

xy

yx

yx

yx

y

)42(

4

4

)52(

4

4)42(

4

4

)42(

4

4)32(

4

4)42(

4

4

)42(

4

4

)32(

4

4)42(

4

4

1110

1110

11101610

,max

,max

,max,1max

+

+

−+

+

−+

−+

+

+

−+

+

+

++

=

=

=

=

=

kf

kfkf

kfkfkf

kf

kf

kf

k

k

kk

yx

yx

yx

yx

yx

yx

xy

yx

yx

xy

xx

34

)52(

4

4

)52(

4

4)32(

4

4

)32(

4

4)42(

4

4)32(

4

4

)32(

4

4

)42(

4

4)32(

4

4

1110

1110

11101610

,max

,max

,max,1maxy

+

+

−+

+

−+

−+

+

+

−+

+

+

++

=

=

=

=

=

kf

kfkf

kfkfkf

kf

kf

kf

k

k

kk

xy

xy

xy

xy

xy

xy

yx

xy

xy

yx

y

)42(

3

3

)52(

3

3)42(

3

3

)42(

3

3)32(

3

3)42(

3

3

)42(

3

3

)32(

3

3)42(

3

3

1210

1210

12101710

,max

,max

,max,1max

+

+

−+

+

−+

−+

+

+

−+

+

+

++

=

=

=

=

=

kf

kfkf

kfkfkf

kf

kf

kf

k

k

kk

yx

yx

yx

yx

yx

yx

xy

yx

yx

xy

xx

35

)52(

3

3

)52(

3

3)32(

3

3

)32(

3

3)42(

3

3)32(

3

3

)32(

3

3

)42(

3

3)32(

3

3

1210

1210

12101710

,max

,max

,max,1maxy

+

+

−+

+

−+

−+

+

+

−+

+

+

++

=

=

=

=

=

kf

kfkf

kfkfkf

kf

kf

kf

k

k

kk

xy

xy

xy

xy

xy

xy

yx

xy

xy

yx

y

)42(

2

2

)52(

2

2)42(

2

2

)42(

2

2)32(

2

2)42(

2

2

)42(

2

2

)32(

2

2)42(

2

2

1310

1310

13101810

,max

,max

,max,1max

+

+

−+

+

−+

−+

+

+

−+

+

+

++

=

=

=

=

=

kf

kfkf

kfkfkf

kf

kf

kf

k

k

kk

yx

yx

yx

yx

yx

yx

xy

yx

yx

xy

xx

36

)52(

2

2

)52(

2

2)32(

2

2

)32(

2

2)42(

2

2)32(

2

2

)32(

2

2

)42(

2

2)32(

2

2

1310

1310

13101810

,max

,max

,max,1maxy

+

+

−+

+

−+

−+

+

+

−+

+

+

++

=

=

=

=

=

kf

kfkf

kfkfkf

kf

kf

kf

k

k

kk

xy

xy

xy

xy

xy

xy

yx

xy

xy

yx

y

)42(

1

1

)52(

1

1)42(

1

1

)42(

1

1)32(

1

1)42(

1

1

)42(

1

1

)32(

1

1)42(

1

1

1410

1410

14101910

,max

,max

,max,1max

+

+

−+

+

−+

−+

+

+

−+

+

+

++

=

=

=

=

=

kf

kfkf

kfkfkf

kf

kf

kf

k

k

kk

yx

yx

yx

yx

yx

yx

xy

yx

yx

xy

xx

37

)52(

1

1

)52(

1

1)32(

1

1

)32(

1

1)42(

1

1)32(

1

1

)32(

1

1

)42(

1

1)32(

1

1

1410

1410

14101910

,max

,max

,max,1maxy

+

+

−+

+

−+

−+

+

+

−+

+

+

++

=

=

=

=

=

kf

kfkf

kfkfkf

kf

kf

kf

k

k

kk

xy

xy

xy

xy

xy

xy

yx

xy

xy

yx

y

)42(

0

0

)52(

0

0)42(

0

0

)42(

0

0)32(

0

0)42(

0

0

)42(

0

0

)32(

0

0)42(

0

0

1510

1510

15102010

,max

,max

,max,1max

+

++

+++

+

+

+

+

+

++

=

=

=

=

=

kf

kfkf

kfkfkf

kf

kf

kf

k

k

kk

yx

yx

yx

yx

yx

yx

xy

yx

yx

xy

xx

38

)52(

0

0

)52(

0

0)32(

0

0

)32(

0

0)42(

0

0)32(

0

0

)32(

0

0

)42(

0

0)32(

0

0

1510

1510

15102010

,max

,max

,max,1maxy

+

++

+++

+

+

+

+

+

++

=

=

=

=

=

kf

kfkf

kfkfkf

kf

kf

kf

k

k

kk

xy

xy

xy

xy

xy

xy

yx

xy

xy

yx

y

Böylece teoeremin doğruluğu ispatlanmış oldu.

Teoerem2 );(x n ny (3.1) denkleminin 10 44 <<< −− yx , 10 33 <<< −− yx , 10 22 <<< −− yx , 10 11 <<< −− yx ve 10 00 <<< yx başlangıç şartları altındaki çözümü

olsun. , n = 0,1,2 ,… için

)12(

0

01010

)12(

1

1910

)12(

2

2810

)12(

3

3710

)12(

4

4610

)12(

0510

)12(

1410

)12(

2310

)12(

3210

)12(

4110

;

;;;;1

;1 ;1;1;1

+

+

+

−+

+

−+

+

−+

+

−+

+

+

+

−+

+

−+

+

−+

+

−+

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

nf

n

nf

n

nf

n

nf

n

nf

n

nf

n

nf

n

nf

n

nf

n

nf

n

yxx

yxx

yxx

yxx

yxx

xx

xx

xx

xx

xx

)22(

0

01010

)22(

1

1910

)22(

2

2810

)22(

3

3710

)22(

4

4610

)2(

0510

)2(

1410

)2(

2310

)2(

3210

)2(

4110

;

;;;;1

;1;1;1;1

+

+

+

−+

+

−+

+

−+

+

−++

−+

−+

−+

−+

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

nf

n

nf

n

nf

n

nf

n

nf

n

nf

n

nf

n

nf

n

nf

n

nf

n

xyy

xyy

xyy

xyy

xyy

yy

yy

yy

yy

yy

39

İspat

Bu teoremin ispatını tümevarım yöntemiyle gösterelim.

xxx

yx

x >=

=−−

− 44

4

41

1,1max

yyy

xy

>=

=−−

− 44

4

41

1,1maxy

xxx

yx

x >=

=−−

− 33

3

32

1,1max

yyy

xy

>=

=−−

− 33

3

32

1,1maxy

xxx

yx

x >=

=−−

− 22

2

23

1,1max

yyy

xy

>=

=−−

− 22

2

23

1,1maxy

xxx

yx

x >=

=−−

− 11

1

14

1,1max

yyy

xy

>=

=−−

− 11

1

14

1,1maxy

xxx

yx

x >=

=00

0

05

1,1max

yyy

xy

>=

=00

0

05

1,1maxy

xyx

xy

xx <=

=−

4

4

1

1

16 ,1max

yxy

yx

y>=

=−

4

4

1

1

16 ,1maxy

40

xyx

xy

xx <=

=−

3

3

2

2

27 ,1max

yxy

yx

y>=

=−

3

3

2

2

27 ,1maxy

xyx

xy

xx <=

=−

2

2

3

3

38 ,1max

yxy

yx

y>=

=−

2

2

3

3

38 ,1maxy

xyx

xy

xx <=

=−

1

1

4

4

49 ,1max

yxy

yx

y>=

=−

1

1

4

4

49 ,1maxy

xyx

xy

xx <=

=0

0

5

5

510 ,1max

yxy

yx

y>=

=0

0

5

5

510 ,1maxy

xxy

xy

xx >

=

=−

2

4

4

6

6

611 ,1max

yyx

yx

y<=

=−

4

4

6

6

611 ,1maxy

xxy

xy

xx >

=

=−

2

3

3

7

7

712 ,1max

yyx

yx

y<=

=−

3

3

7

7

712 ,1maxy

xxy

xy

xx >

=

=−

2

2

2

8

8

813 ,1max

41

yyx

yx

y<=

=−

2

2

8

8

813 ,1maxy

xxy

xy

xx >

=

=−

2

1

1

9

9

914 ,1max

yyx

yx

y<=

=−

1

1

9

9

914 ,1maxy

xxy

xy

xx >

=

=2

0

0

10

10

1015 ,1max

yyx

yx

y<=

=0

0

10

10

1015 ,1maxy

.

.

.

n = 0 için doğrudur. n = k için doğru olduğunu kabul edelim.

)12(

0

01010

)12(

1

1910

)12(

2

2810

)12(

3

3710

)12(

4

4610

)12(

0510

)12(

1410

)12(

2310

)12(

321

)12(

4110

;

;;;;1

;1 ;1;1;1

+

+

+

−+

+

−+

+

−+

+

−+

+

+

+

−+

+

−+

+

−+

+

−+

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

kf

k

kf

k

kf

k

kf

k

kf

k

kf

k

kf

k

kf

k

kf

kn

kf

k

yxx

yxx

yxx

yxx

yxx

xx

xx

xx

xx

xx

42

)22(

0

01010

)22(

1

1910

)22(

2

2810

)22(

3

3710

)22(

4

4610

)2(

0510

)2(

1410

)2(

2310

)2(

3210

)2(

4110

;

;;;;1

;1;1;1;1

+

+

+

−+

+

−+

+

−+

+

−++

−+

−+

−+

−+

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

kf

k

kf

k

kf

k

kf

k

kf

k

kf

k

kf

k

kf

k

kf

k

kf

k

xyy

xyy

xyy

xyy

xyy

yy

yy

yy

yy

yy

n = k+1 için doğru olduğunu gösterelim.

)32(

4

4

)32(

4

4

)12(

4

4

)12(

4

4

)22(

4

4

)12(

4

4

)12(

4

4

)22(

4

4)12(

4

4

610

610

6101110

,max

,max

,max,1max

+

+

+

+

+

+

+

+

−+

+

+

++

=

=

=

=

=

kf

kfkf

kfkfkf

kf

kf

kf

k

k

kk

xy

xy

xy

xy

xy

xy

yx

xy

xy

xy

xx

)22(

4

4

)32(

4

4

)22(

4

4

)22(

4

4

)12(

4

4

)22(

4

4

)22(

4

4

)12(

4

4)22(

4

4

610

610

6101110

,max

,max

,max,1maxy

+

+

+

+

+

+

+

+

−+

+

+

++

=

=

=

=

=

kf

kfkf

kfkfkf

kf

kf

kf

k

k

kk

yx

yx

yx

yx

yx

yx

xy

yx

yx

yx

y

43

)32(

3

3

)32(

3

3

)12(

3

3

)12(

3

3

)22(

3

3

)12(

3

3

)12(

3

3

)22(

3

3)12(

3

3

710

710

7101210

,max

,max

,max,1max

+

+

+

+

+

+

+

+

−+

+

+

++

=

=

=

=

=

kf

kfkf

kfkfkf

kf

kf

kf

k

k

kk

xy

xy

xy

xy

xy

xy

yx

xy

xy

xy

xx

)22(

3

3

)32(

3

3

)22(

3

3

)22(

3

3

)12(

3

3

)22(

3

3

)22(

3

3

)12(

3

3)22(

3

3

710

710

7101210

,max

,max

,max,1maxy

+

+

+

+

+

+

+

+

−+

+

+

++

=

=

=

=

=

kf

kfkf

kfkfkf

kf

kf

kf

k

k

kk

yx

yx

yx

yx

yx

yx

xy

yx

yx

yx

y

44

)32(

2

2

)32(

2

2

)12(

2

2

)12(

2

2

)22(

2

2

)12(

2

2

)12(

2

2

)22(

2

2)12(

2

2

810

810

8101310

,max

,max

,max,1max

+

+

+

+

+

+

+

+

−+

+

+

++

=

=

=

=

=

kf

kfkf

kfkfkf

kf

kf

kf

k

k

kk

xy

xy

xy

xy

xy

xy

yx

xy

xy

xy

xx

)22(

2

2

)32(

2

2

)22(

2

2

)22(

2

2

)12(

2

2

)22(

2

2

)22(

2

2

)12(

2

2)22(

2

2

810

810

8101310

,max

,max

,max,1maxy

+

+

+

+

+

+

+

+

−+

+

+

++

=

=

=

=

=

kf

kfkf

kfkfkf

kf

kf

kf

k

k

kk

yx

yx

yx

yx

yx

yx

xy

yx

yx

yx

y

45

)32(

1

1

)32(

1

1

)12(

1

1

)12(

1

1

)22(

1

1

)12(

1

1

)12(

1

1

)22(

1

1)12(

1

1

910

910

9101410

,max

,max

,max,1max

+

+

+

+

+

+

+

+

−+

+

+

++

=

=

=

=

=

kf

kfkf

kfkfkf

kf

kf

kf

k

k

kk

xy

xy

xy

xy

xy

xy

yx

xy

xy

xy

xx

)22(

1

1

)32(

1

1

)22(

1

1

)22(

1

1

)12(

1

1

)22(

1

1

)22(

1

1

)12(

1

1)22(

1

1

910

910

9101410

,max

,max

,max,1maxy

+

+

+

+

+

+

+

+

−+

+

+

++

=

=

=

=

=

kf

kfkf

kfkfkf

kf

kf

kf

k

k

kk

yx

yx

yx

yx

yx

yx

xy

yx

yx

yx

y

46

)32(

0

0

)32(

0

0

)22(

0

0

)12(

0

0

)22(

0

0

)22(

0

0

)12(

0

0

)22(

0

0)12(

0

0

1010

810

10101510

,max

,max

,max,1max

+

++

+++

+

+

+

+

+

++

=

=

=

=

=

kf

kfkf

kfkfkf

kf

kf

kf

k

k

kk

xy

xy

xy

xy

xy

xy

yx

xy

xy

xy

xx

)22(

0

0

)32(

0

0

)22(

0

0

)22(

0

0

)12(

0

0

)22(

0

0

)22(

0

0

)12(

0

0)22(

0

0

1010

1010

10101510

,max

,max

,max,1maxy

+

++

+++

+

+

+

+

+

++

=

=

=

=

=

kf

kfkf

kfkfkf

kf

kf

kf

k

k

kk

yx

yx

yx

yx

yx

yx

xy

yx

yx

yx

y

47

)32(

4

4

)42(

4

4

)32(

4

4

)32(

4

4

)22(

4

4

)32(

4

4

)32(

4

4

)22(

4

4)32(

4

4

1110

1110

11101610

,max

,max

,max,1max

+

+

+

+

+

+

+

+

−+

+

+

++

=

=

=

=

=

kf

kfkf

kfkfkf

kf

kf

kf

k

k

kk

yx

yx

yx

yx

yx

yx

xy

yx

yx

xy

xx

)42(

4

4

)42(

4

4

)22(

4

4

)22(

4

4

)32(

4

4

)22(

4

4

)22(

4

4

)32(

4

4)22(

4

4

1110

1110

11101610

,max

,max

,max,1maxy

+

+

+

+

+

+

+

+

−+

+

+

++

=

=

=

=

=

kf

kfkf

kfkfkf

kf

kf

kf

k

k

kk

xy

xy

xy

xy

xy

xy

yx

xy

xy

yx

y

48

)32(

3

3

)42(

3

3

)32(

3

3

)32(

3

3

)22(

3

3

)32(

3

3

)32(

3

3

)22(

3

3)32(

3

3

1210

1210

12101710

,max

,max

,max,1max

+

+

+

+

+

+

+

+

−+

+

+

++

=

=

=

=

=

kf

kfkf

kfkfkf

kf

kf

kf

k

k

kk

yx

yx

yx

yx

yx

yx

xy

yx

yx

xy

xx

)42(

3

3

)42(

3

3

)22(

3

3

)22(

3

3

)32(

3

3

)22(

3

3

)22(

3

3

)32(

3

3)22(

3

3

1210

1210

12101710

,max

,max

,max,1maxy

+

+

+

+

+

+

+

+

−+

+

+

++

=

=

=

=

=

kf

kfkf

kfkfkf

kf

kf

kf

k

k

kk

xy

xy

xy

xy

xy

xy

yx

xy

xy

yx

y

49

)32(

2

2

)42(

2

2

)32(

2

2

)32(

2

2

)22(

2

2

)32(

2

2

)32(

2

2

)22(

2

2)32(

2

2

1310

1310

13101810

,max

,max

,max,1max

+

+

+

+

+

+

+

+

−+

+

+

++

=

=

=

=

=

kf

kfkf

kfkfkf

kf

kf

kf

k

k

kk

yx

yx

yx

yx

yx

yx

xy

yx

yx

xy

xx

)42(

2

2

)42(

2

2

)22(

2

2

)22(

2

2

)32(

2

2

)22(

2

2

)22(

2

2

)32(

2

2)22(

2

2

1310

1310

13101810

,max

,max

,max,1maxy

+

+

+

+

+

+

+

+

−+

+

+

++

=

=

=

=

=

kf

kfkf

kfkfkf

kf

kf

kf

k

k

kk

xy

xy

xy

xy

xy

xy

yx

xy

xy

yx

y

50

)32(

1

1

)42(

1

1

)32(

1

1

)32(

1

1

)22(

1

1

)32(

1

1

)32(

1

1

)22(

1

1)32(

1

1

1410

1410

14101910

,max

,max

,max,1max

+

+

+

+

+

+

+

+

−+

+

+

++

=

=

=

=

=

kf

kfkf

kfkfkf

kf

kf

kf

k

k

kk

yx

yx

yx

yx

yx

yx

xy

yx

yx

xy

xx

)42(

1

1

)42(

1

1

)22(

1

1

)22(

1

1

)32(

1

1

)22(

1

1

)22(

1

1

)32(

1

1)22(

1

1

1410

1410

14101910

,max

,max

,max,1maxy

+

+

+

+

+

+

+

+

−+

+

+

++

=

=

=

=

=

kf

kfkf

kfkfkf

kf

kf

kf

k

k

kk

xy

xy

xy

xy

xy

xy

yx

xy

xy

yx

y

51

)32(

0

0

)42(

0

0

)32(

0

0

)32(

0

0

)22(

0

0

)32(

0

0

)32(

0

0

)22(

0

0)32(

0

0

1510

1510

15102010

,max

,max

,max,1max

+

++

+++

+

+

+

+

+

++

=

=

=

=

=

kf

kfkf

kfkfkf

kf

kf

kf

k

k

kk

yx

yx

yx

yx

yx

yx

xy

yx

yx

xy

xx

)42(

0

0

)42(

0

0

)22(

0

0

)22(

0

0

)32(

0

0

)22(

0

0

)22(

0

0

)32(

0

0)22(

0

0

1510

1510

15102010

,max

,max

,max,1maxy

+

++

+++

+

+

+

+

+

++

=

=

=

=

=

kf

kfkf

kfkfkf

kf

kf

kf

k

k

kk

xy

xy

xy

xy

xy

xy

yx

xy

xy

yx

y

Böylece teoeremin doğruluğu ispatlanmış oldu.

52

Teorem 3 :

(3.1) denklem sistemi, 441 −− << yx , 331 −− << yx , 221 −− << yx , 111 −− << yx ve 001 yx <<

başlangıç şartlarına göre

a) 0lim;0lim;0lim;0lim ;0lim

;lim;lim;lim ;lim ;lim

1010n

910n

810n

710n

610n

510n

410n

310n

210n

110n

=====

∞=∞=∞=∞=∞=

+∞→

+∞→

+∞→

+∞→

+∞→

+∞→

+∞→

+∞→

+∞→

+∞→

nnnnn

nnnnn

xxxxx

xxxxx

b) ∞=∞=∞=∞=∞=

=====

+∞→

+∞→

+∞→

+∞→

+∞→

+∞→

+∞→

+∞→

+∞→

+∞→

1010n

910n

810n

710n

610n

510n

410n

310n

210n

110n

lim ;lim ;lim ;lim ;lim

;0lim;0lim;0lim;0lim ;0lim

nnnnn

nnnnn

yyyyy

yyyyy

olur.

İspat: a)

44 −− < yx olduğu için

lim lim 4

4)(

4

4)22(

4

4n

110n

∞=

=

=

=

−∞

−+

∞→+

∞→ xy

xy

xy

xfnf

n

elde edilir.

33 −− < yx olduğu için

lim lim 3

3)(

3

3)22(

3

3n

210n

∞=

=

=

=

−∞

−+

∞→+

∞→ xy

xy

xy

xfnf

n

elde edilir.

22 −− < yx olduğu için

53

lim lim 2

2)(

2

2)22(

2

2n

310n

∞=

=

=

=

−∞

−+

∞→+

∞→ xy

xy

xy

xfnf

n

elde edilir.

11 −− < yx olduğu için

lim lim 1

1)(

1

1)22(

1

1n

410n

∞=

=

=

=

−∞

−+

∞→+

∞→ xy

xy

xy

xfnf

n

elde edilir.

00 yx < olduğu için

lim lim 0

0)(

0

0)22(

0

0n

510n

∞=

=

=

=

∞∞+

∞→+

∞→ xy

xy

xy

xfnf

n

elde edilir.

44 −− < yx olduğu için

0lim lim 4

4)(

4

4)22(

4

4n

610n

=

=

=

=

−∞

−+

∞→+

∞→ yx

yx

yx

xfnf

n

elde edilir.

33 −− < yx olduğu için

0lim lim 3

3)(

3

3)22(

3

3n

710n

=

=

=

=

−∞

−+

∞→+

∞→ yx

yx

yx

xfnf

n

elde edilir.

22 −− < yx olduğu için

54

0lim lim 2

2)(

2

2)22(

2

2n

810n

=

=

=

=

−∞

−+

∞→+

∞→ yx

yx

yx

xfnf

n

elde edilir.

11 −− < yx olduğu için

0lim lim 1

1)(

1

1)22(

1

1n

910n

=

=

=

=

−∞

−+

∞→+

∞→ yx

yx

yx

xfnf

n

elde edilir.

00 yx < olduğu için

0lim lim 0

0)(

0

0)22(

0

0n

1010n

=

=

=

=

∞∞+

∞→+

∞→ yx

yx

yx

xfnf

n

elde edilir.

b)

44 −− < yx olduğu için

0lim lim 4

4)(

4

4)12(

4

4n

110n

=

=

=

=

−∞

−+

∞→+

∞→ yx

yx

yx

yfnf

n

elde edilir.

33 −− < yx olduğu için

0lim lim 3

3)(

3

3)12(

3

3n

210n

=

=

=

=

−∞

−+

∞→+

∞→ yx

yx

yx

yfnf

n

elde edilir.

55

22 −− < yx olduğu için

0lim lim 2

2)(

2

2)12(

2

2n

310n

=

=

=

=

−∞

−+

∞→+

∞→ yx

yx

yx

yfnf

n

elde edilir.

11 −− < yx olduğu için

0lim lim 1

1)(

1

1)12(

1

1n

410n

=

=

=

=

−∞

−+

−∞→

+∞→ y

xyx

yx

yfnf

n

elde edilir.

00 yx < olduğu için

0lim lim 0

0)(

0

0)12(

0

0n

510n

=

=

=

=

∞∞+

∞→+

∞→ yx

yx

yx

yfnf

n

elde edilir.

44 −− < yx olduğu için

lim lim 4

4)(

4

4)32(

4

4n

610n

∞=

=

=

=

−∞

−+

∞→+

∞→ xy

xy

xy

yfnf

n

elde edilir.

33 −− < yx olduğu için

lim lim 3

3)(

3

3)32(

3

3n

710n

∞=

=

=

=

−∞

−+

∞→+

∞→ xy

xy

xy

yfnf

n

elde edilir.

56

22 −− < yx olduğu için

lim lim 2

2)(

2

2)32(

2

2n

810n

∞=

=

=

=

−∞

−+

∞→+

∞→ xy

xy

xy

yfnf

n

elde edilir.

11 −− < yx olduğu için

lim lim 1

1)(

1

1)32(

1

1n

910n

∞=

=

=

=

−∞

−+

∞→+

∞→ xy

xy

xy

yfnf

n

elde edilir.

00 yx < olduğu için

lim lim 0

0)(

0

0)32(

0

0n

1010n

∞=

=

=

=

∞∞+

∞→+

∞→ xy

xy

xy

yfnf

n

elde edilir.

00 yx < olduğu için

lim lim 0

0)(

0

0)32(

0

0

n44n∞=

=

=

=

∞∞+

∞→+∞→ xy

xy

xy

yfnf

n

elde edilir.

57

Teorem 4 (3.1) denklem sistemi 10 44 <<< −− yx , 10 33 <<< −− yx , 10 22 <<< −− yx , 10 11 <<< −− yx ve 10 00 <<< yx başlangıç şartlarına göre

c) 0lim;0lim;0lim;0lim ;0lim

;lim;lim;lim ;lim ;lim

1010n

910n

810n

710n

610n

510n

410n

310n

210n

110n

=====

∞=∞=∞=∞=∞=

+∞→

+∞→

+∞→

+∞→

+∞→

+∞→

+∞→

+∞→

+∞→

+∞→

nnnnn

nnnnn

xxxxx

xxxxx

d) ∞=∞=∞=∞=∞=

=====

+∞→

+∞→

+∞→

+∞→

+∞→

+∞→

+∞→

+∞→

+∞→

+∞→

1010n

910n

810n

710n

610n

510n

410n

310n

210n

110n

lim ;lim ;lim ;lim ;lim

;0lim;0lim;0lim;0lim ;0lim

nnnnn

nnnnn

yyyyy

yyyyy

olur.

İspat:

c)

10 44 <<< −− yx olduğu için

111lim lim 4

)(

4

)12(

4n110

n∞=

=

=

=

+

−∞→+

∞→ xxxx

fnf

n

elde edilir.

10 33 <<< −− yx olduğu için

111lim lim 3

)(

3

)12(

3n210n

∞=

=

=

=

+

−∞→+∞→ xxx

xfnf

n

elde edilir.

58

10 22 <<< −− yx olduğu için

111lim lim 2

)(

2

)12(

2n310n

∞=

=

=

=

+

−∞→+∞→ xxx

xfnf

n

elde edilir.

10 11 <<< −− yx olduğu için

111lim lim 1

)(

1

)12(

1n410n

∞=

=

=

=

+

−∞→+∞→ xxx

xfnf

n

elde edilir.

10 00 <<< yx olduğu için

111lim lim 0

)(

0

)12(

0n510n

∞=

=

=

=

∞∞+

∞→+∞→ xxxx

fnf

n

elde edilir.

10 44 <<< −− yx olduğu için

0lim lim 4

4

)(

4

4

)12(

4

4

n610n=

=

=

=

+

∞→+∞→ yx

yx

yxx

fnf

n ,

elde edilir.

10 33 <<< −− yx olduğu için

0lim lim 3

3

)(

3

3

)12(

3

3

n710n=

=

=

=

+

∞→+∞→ yx

yx

yx

xfnf

n ,

elde edilir.

59

10 22 <<< −− yx olduğu için

0lim lim 2

2

)(

2

2

)12(

2

2

n810n=

=

=

=

+

∞→+∞→ yx

yx

yxx

fnf

n ,

elde edilir.

10 11 <<< −− yx olduğu için

0lim lim 1

1

)(

1

1

)12(

1

1

n910n=

=

=

=

+

∞→+∞→ yx

yx

yxx

fnf

n ,

elde edilir.

10 00 <<< yx olduğu için

0lim lim 0

0

)(

0

0

)12(

0

0

n1010n=

=

=

=

∞∞+

∞→+∞→ yx

yx

yx

xfnf

n .

elde edilir.

d)

10 44 <<< −− yx olduğu için

0lim lim 4

4

)(

4

4

)2(

4

4

n110n=

=

=

=

∞→+∞→ yx

yx

yxy

fnf

n ,

elde edilir.

10 33 <<< −− yx olduğu için

0lim lim 3

3

)(

3

3

)2(

3

3

n210n=

=

=

=

∞→+∞→ yx

yx

yxy

fnf

n ,

60

elde edilir.

10 22 <<< −− yx olduğu için

0lim lim 2

2

)(

2

2

)2(

2

2

n310n=

=

=

=

∞→+∞→ yx

yx

yxy

fnf

n ,

elde edilir.

10 11 <<< −− yx olduğu için

0lim lim 1

1

)(

1

1

)2(

1

1

n410n=

=

=

=

∞→+∞→ yx

yx

yxy

fnf

n ,

elde edilir.

10 00 <<< yx olduğu için

0lim lim 0

0

)(

0

0

)2(

0

0

n510n=

=

=

=

∞∞

∞→+∞→ yx

yx

yx

yfnf

n ,

elde edilir.

10 44 <<< −− yx olduğu için

lim lim 4

4

)(

4

4

)22(

4

4

n610n∞=

=

=

=

+

∞→+∞→ xy

xy

xyy

fnf

n ,

elde edilir.

10 33 <<< −− yx olduğu için

lim lim 3

3

)(

3

3

)22(

3

3

n710n∞=

=

=

=

+

∞→+∞→ xy

xy

xy

yfnf

n ,

61

elde edilir.

10 22 <<< −− yx olduğu için

lim lim 2

2

)(

2

2

)22(

2

2

n810n∞=

=

=

=

+

∞→+∞→ xy

xy

xyy

fnf

n ,

elde edilir.

10 11 <<< −− yx olduğu için

lim lim 1

1

)(

1

1

)22(

1

1

n910n∞=

=

=

=

+

∞→+∞→ xy

xy

xyy

fnf

n ,

elde edilir.

10 00 <<< yx olduğu için

lim lim 0

0

)(

0

0

)22(

0

0

n1010n∞=

=

=

=

∞∞+

∞→+∞→ xy

xy

xyy

fnf

n .

elde edilir.

ÖRNEK 1.

𝑋−4 = 2 , 𝑋−3 = 3 , 𝑋−2 = 4 , 𝑋−1 = 5, 𝑋0 = 6,

𝑌−4 = 8 , 𝑌−3 = 9 , 𝑌−2 = 12 , 𝑌−1 , = 15 , 𝑌0 , = 18 başlangıç şartları kabul edersek

𝑋1 = 4 𝑌1 = 0,25

𝑋2 = 3 𝑌2 = 0,3333333

62

𝑋3 = 3 𝑌3 = 0,3333333

𝑋4 = 3 𝑌4 = 0,3333333

𝑋5 = 3 𝑌5 = 0,3333333

𝑋6 = 0,25 𝑌6 = 16

𝑋7 = 0,3333333 𝑌7 = 9

𝑋8 = 0,3333333 𝑌8 = 9

𝑋9 = 0,3333333 𝑌9 = 9

𝑋10 = 0,3333333 𝑌10 = 9

𝑋11 = 64 𝑌11 = 0,0625

𝑋12 = 27 𝑌12 = 0,1111111

𝑋13 = 27 𝑌13 = 0,1111111

𝑋14 = 27 𝑌14 = 0,1111111

𝑋15 = 27 𝑌15 = 0,1111111

𝑋16 = 0,015625 𝑌16 = 1024

𝑋17 = 0,0370370370 𝑌17 = 243

𝑋18 = 0,0370370370 𝑌18 = 243

𝑋19 = 0,0370370370 𝑌19 = 243

𝑋20 = 0,0370370370 𝑌20 = 243

𝑋21 = 65526 𝑌21 = 0,000976562500

𝑋22 = 6561 𝑌22 = 0,00411522633

𝑋23 = 6561 𝑌23 = 0,00411522633

𝑋24 = 6561 𝑌24 = 0,00411522633

63

𝑋25 = 6561 𝑌25 = 0,00411522633

𝑋26 = 0,0000152587890 𝑌26 = 6,7108864107

𝑋27 ∶= 0,000152415790 𝑌27 ∶= 1,594323002106

𝑋28 ∶= 0,000152415790 𝑌28 ∶= 1,594323002106

𝑋29 ∶= 0,000152415790 𝑌29 = 1,594323002106

𝑋30 = 0,000152415790 𝑌30 = 1,594323002106

𝑋31 = 4,39804651210 𝑌31 = 1,49011611910

𝑋32 = 1,0460353231010 𝑌32 = 6,272254736110−7

𝑋33 = 1,0460353231010 𝑌33 = 6,272254736110−7

𝑋34 = 1,0460353231010 𝑌34 = 6,272254736110−7

𝑋35 = 1,0460353231010 𝑌35 = 6,272254736110−7

𝑋36 = 2,27373675410−13 𝑌36 = 2,9514790531020

𝑋37 = 9,55990661110−11 𝑌37 = 1,6677181761016

𝑋38 = 9,55990661110−11 𝑌38 = 1,6677181761016

𝑋39 = 9,55990661110−11 𝑌39 = 1,6677181761016

𝑋40 = 9,55990661110−11 𝑌40 = 1,6677181761016

𝑋41 = 1,2980742151033 𝑌41 = 3,3881317881016

. .

. .

. .

elde edilir.

64

ÖRNEK 2.

𝑋−4 = 8 , 𝑋−3 = 9 , 𝑋−2 = 12 , 𝑋−1 = 15, 𝑋0 = 18,

𝑌−4 = 2 , 𝑌−3 = 3 , 𝑌−2 = 4 , 𝑌−1 = 5 , 𝑌0 = 6 başlangıç şartları kabul edersek

𝑋1 = 0,25 𝑌1 = 4

𝑋2 = 0,3333333 𝑌2 = 3

𝑋3 = 0,3333333 𝑌3 = 3

𝑋4 = 0,3333333 𝑌4 = 3

𝑋5 = 0,3333333 𝑌5 = 3

𝑋6 = 16 𝑌6 = 0,25

𝑋7 = 9 𝑌7 = 0,3333333

𝑋8 = 9 𝑌8 = 0,3333333

𝑋9 = 9 𝑌9 = 0,3333333

𝑋10 = 9 𝑌10 = 0,3333333

𝑋11 = 0,0625 𝑌11 = 64

𝑋12 = 0,1111111 𝑌12 = 7

𝑋13 = 0,1111111 𝑌13 = 7

𝑋14 = 0,1111111 𝑌14 = 7

𝑋15 = 0,1111111 𝑌15 = 7

𝑋16 = 1024 𝑌16 = 0,015625

𝑋17 = 243 𝑌17 = 0,0370370370

65

𝑋18 = 243 𝑌18 = 0,0370370370

𝑋19 = 243 𝑌19 = 0,0370370370

𝑋21 = 0,000976562500 𝑌21 = 65536

𝑋22 = 0,00411522633 𝑌22 = 6561

𝑋23 = 0,00411522633 𝑌23 = 6561

𝑋24 = 0,00411522633 𝑌24 = 6561

𝑋25 = 0,00411522633 𝑌25 = 6561

𝑋26 = 6,7108864107 𝑌26 = 0,0000152587890

𝑋27 = 1,594323002106 𝑌27 = 0,000152415790

𝑋28 = 1,594323002106 𝑌28 ∶= 0,000152415790

𝑋29 = 1,594323002106 𝑌29 = 0,000152415790

𝑋30 = 1,594323002106 𝑌30 = 0,000152415790

𝑋31 = 1,49011611910−8 𝑌31 = 4,3980465121012

𝑋32 = 6,27225473610−7 𝑌32 = 1,0460353231010

𝑋33 = 6,27225473610−7 𝑌33 = 1,0460353231010

𝑋34 = 6,27225473610−7 𝑌34 = 1,0460353231010

𝑋35 = 6,27225473610−7 𝑌35 = 1,0460353231010

𝑋36 = 2,9514790531020 𝑌36 = 2,27373675410−13

𝑋37 = 1,6677181761016 𝑌37 = 9,55990661110−11

𝑋38 = 1,6677181761016 𝑌38 = 9,55990661110−11

𝑋39 = 1,6677181761016 𝑌39 = 9,55990661110−11

66

𝑋40 = 1,6677181761016 𝑌40 = 9,55990661110−11

𝑋41 = 3,38813178810−21 𝑌41 = 1,2980742151033

. .

. .

. .

elde edilir.

ÖRNEK 3.

𝑋−4 = 0,2 , 𝑋−3 = 0,3 , 𝑋−2 = 0,4 , 𝑋−1 = 0,5, 𝑋0 = 0,6,

𝑌−4 = 0,8 , 𝑌−3 = 0,9 , 𝑌−2 = 0,8 , 𝑌−1 = 0,9 , 𝑌0 = 0,9 başlangıç şartları kabul edersek

𝑋1 = 5 𝑌1 = 1,25

𝑋2 = 3,3333333 𝑌2 = 1,11111111

𝑋3 = 2,5 𝑌3 = 1,25

𝑋4 = 2 𝑌4 = 1,11111111

𝑋5 = 1,6666666 𝑌5 = 1,11111111

𝑋6 0,25 𝑌6 = 4

𝑋7 = 3,3333333 𝑌7 = 3

𝑋8 = 0,5 𝑌8 = 2

𝑋9 = 0,5555555 𝑌9 = 1,8

𝑋10 = 0,6666666 𝑌10 = 1,5

𝑋11 = 16 𝑌11 = 0,25

67

𝑋12 = 9 𝑌12 = 0,33333333

𝑋13 = 4 𝑌13 = 0,5

𝑋14 = 3,240 𝑌14 = 0,55555555

𝑋15 = 2,250 𝑌15 = 0,66666666

𝑋16 = 0,0625 𝑌16 = 16

𝑋17 = 0,1111111 𝑌17 = 27

𝑋18 = 0,25 𝑌18 = 8

𝑋19 = 0,08641975 𝑌19 = 5,832

𝑋20 = 0,44444444 𝑌20 = 3,375

𝑋21 = 1024 𝑌21 = 0,015625

𝑋22 = 243 𝑌22 = 0,0370370370

𝑋23 = 32 𝑌23 = 0,125

𝑋24 = 18,8956800 𝑌24 = 0,171467764

𝑋25 = 7,59375000 𝑌25 = 0,296296296

𝑋26 = 0,000976562500 𝑌26 = 665536

𝑋27 = 0,00411522633 𝑌27 = 6561

𝑋28 = 0,03125 𝑌28 = 256

𝑋29 = 0,0529221494 𝑌29 = 110,199605

𝑋30 = 0,131687242 𝑌30 = 25.6289062

𝑋31 = 6,7108864107 𝑌31 = 0,0000152587890

𝑋32 = 1,594323002106 𝑌32 = 0,000152415790

𝑋33 = 8192 𝑌33 = 0,00390625000

68

𝑋34 = 2082,29648 𝑌34 = 0,00907444263

𝑋35 = 194,619507 𝑌35 = 0,0390184422

𝑋36 = 1,49011611910−8 𝑌36 = 4,3980465121012

𝑋37 = 6,27225473610−7 𝑌37 = 1,0460353231010

𝑋38 = 0,000122070312 𝑌38 = 2,097152106

𝑋39 = 0,000480239008 𝑌39 = 2,294682516105

𝑋40 = 0,00513823107 𝑌40 = 4987,88511

𝑋41 = 2,9514790531020 𝑌41 = 2,27373675410−13

. .

. .

. .

elde edilir.

ÖRNEK 4.

𝑋−4 = 0,8 , 𝑋−3 = 0,9 , 𝑋−2 = 0,8 , 𝑋−1 = 0,9, 𝑋0 = 0,7,

𝑌−4 = 0,2 , 𝑌−3 = 0,3 , 𝑌−2 = 0,4 , 𝑌−1 = 0,5 , 𝑌0 = 0,6 başlangıç şartları kabul

edersek

𝑋1 = 1,25 𝑌1 = 5

𝑋1 = 1,1111111 𝑌2 = 3,3333333

𝑋3 = 1,25 𝑌3 = 2,5

𝑋4 = 1,11111 𝑌4 = 2

𝑋4 = 1,11111 𝑌4 = 2

69

𝑋5 = 1,4428571429 𝑌5 = 1,6666666

𝑋6 = 4 𝑌6 = 0,25

𝑋7 = 3 𝑌7 = 0,3333333

𝑋8 = 2 𝑌8 = 0,5

𝑋9 = 1,8 𝑌9 0,55555555

𝑋10 = 1,16666666 𝑌10 = 0,857142857

𝑋11 = 0,25 𝑌11 = 16

𝑋12 = 0,3333333 𝑌12 = 9

𝑋13 = 0,5 𝑌13 = 4

𝑋14 = 0,5555555 𝑌14 = 3,24

𝑋15 = 0,857142856 𝑌15 = 1,36111111

𝑋16 = 64 𝑌16 = 0,0625

𝑋17 = 27 𝑌17 = 0,1111111

𝑋18 = 18 𝑌18 = 0,25

𝑋19 = 5,832 𝑌19 = 0,308641975

𝑋20 = 1,58796296 𝑌20 = 0,734693877

𝑋21 = 0,015625 𝑌21 = 1024

𝑋22 = 0,0370370370 𝑌22 = 243

𝑋23 = 0,125 𝑌23 = 32

𝑋24 = 0,171467764 𝑌24 = 18,89568

𝑋25 = 0,629737609 𝑌25 = 2,16139403

𝑋26 = 65536 𝑌26 = 0,000976562500

70

𝑋27 = 6561 𝑌27 = 0,00411522633

𝑋28 = 256 𝑌28 = 0,03125

𝑋29 = 110,199605 𝑌29 = 0,0529221494

𝑋30 = 3,43221367 𝑌30 = 0,462664366

𝑋31 = 0,0000152587890 𝑌31 = 6,7108864107

𝑋32 = 0,000152415790 𝑌32 = 1,594323002106

𝑋33 = 0,00390625000 𝑌33 = 8192

𝑋34 = 0,00907444263 𝑌34 = 2082,29648

𝑋35 = 0,291357151 𝑌35 = 7,41836615

𝑋36 = 4,3980465121012 𝑌36 = 1,49011611910−8

𝑋37 = 1,0460353231010 𝑌37 = 6,27225473610−7

𝑋38 = 2,097152106 𝑌38 = 0,000122070312

𝑋39 = 2,294682516105 𝑌39 = 0,000480239008

𝑋40 = 2,097152106 𝑌40 = 0,000122070312

𝑋40 = 25,4614177 𝑌40 = 0,134800571

𝑋41 = 2,27373675410−13 𝑌41 = 2,9514790531020

. .

. .

. .

elde edilir.

71

4. BÖLÜM

SONUÇ VE ÖNERİLER

Bu çalışmada, 0123401234 ;;;;;;;;; yyyyyxxxxx −−−−−−−− başlangıç şartları sıfırdan

farklı reel sayılar olmak üzere,

=

=−

−+

−+

4

4

41

4

4

41 ,1max;,1max

n

n

nn

n

n

nn y

xy

yxy

xx

maksimumlu fark denklem sisteminin çözümlerinin davranışları incelenmiştir. Bu fark

denklem sisteminde katsayılar değiştirilerek yeni maksimumlu fark denklem sistemleri

oluşturulabilir. Oluşturulacak yeni maksimumulu fark denklem sisteminin çözüm

davranışları incelenebilir.

72

KAYNAKLAR

[1] Amleh A. M., Hoag J. and Ladas G. ‘‘A Difference Equation With Eventualy

Periodic Solutions’’, Comput. Math. Appl., 36(10-12), 401-404, 1998.

[2] Janowski, E. J., Kocic, V. L., Ladas, G. and Tzanetopoulos, G., ‘‘Global behaviour

of solutions of ,’’, Journal of Difference Equations and

Applications, 3, 297-310, 1998.

[3] Valicenti, S., ‘‘Periodicity and Global Attractivity of Some Difference Equations’’,

University of Rhode Island, (PhD Thesis), 1999

[4] Teixeria, C. T., ‘‘Existence Stability Boundedness and Periodicity of Some Difference Equations’’, University of Rhode Island, (PhD Thesis), 2000,

[5] Papaschinopoulos, G. and Hatzifilippidis, V., ‘‘On a max difference equation’’, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 258, 258-268, 2001.

[6] Mishev D. P. and Patula W. T., ‘‘A Reciprocal Difference Equation With Maximum’’, Comput. Math. Appl., 43, 1021-1026, 2002.

[7] Voulov, H. D.,‘‘On the periodic character of some difference equations’’, Journal of Difference Equations and Applications, 8, 799-810, 2002.

[8] Papaschinopoulos, G., Schinas, J. and Hatzifilippidis, V., ‘‘Global behaviour of the solutions of a max-equation and of a system of two max-equation’’, Journal of Computational Analysis and Applications, 5, 2, 237-247, 2003.

[9] Feuer, J., ‘‘Periodic solutions of the Lyness max equation’’, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 288, 147-160, 2003.

[10] Patula, W. T. and Voulov, H. D., ‘‘On a max type recursive relation with periodic coefficients’’, Journal of Difference Equations and Applications, 10, 3, 329-338, 2004.

[11] Cinar C., Stevic S. and Yalcinkaya I. ‘‘On The Positive Solutions Of A Reciprocal Difference Equation With Minumum’’, J. Appl. Math. Computing, 17, 307-314, 2005.

[12] Simsek, D., Cinar, C. and Yalcinkaya, I., ‘‘On the solution of the difference

equation

= −

−+ 1

11 ,1max n

nn xxx ’’, Int. J. Math. Sci., 1, 10, 481-487, 2006.

{ }1

1,max

−+ =

n

kn

n xAx

x

73

[13] Yan, X., Liao, X. and Li, C., ‘‘On a difference equation with maximum’’, Applied Mathematics and Computation, 181, 1-5, 2006.

[14] Simsek, D., ‘‘ Bazı Fark Denklemlerinin Çözümleri ve Periyodikliği Üzerine Bir Çalışma’’, Doktora Tezi, 2007.

[15] Simsek D., Demir B. and Cinar C., ‘‘On the Solutions of the System of Difference Equations x{n+1}=max{A/x{n},y{n}/x{n}}, y{n+1}=max{A/y{n},x{n}/y{n}}, Discrete Dynamics in Nature and Society, Volume 2009, Article ID 325296, 11 pages, 2009.

[16] Simsek, D., Demir B. and Kurbanlı A.S., ‘‘x{n+1}=max{1/(x{n},y{n}/x{n}}; y{n+1}=max{1/y{n},x{n}/y{n}} Denklem Sistemlerinin Çözümleri Üzerine’’, Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, 28, 91-104, 2009.

74

ÖZGEÇMİŞ

KİŞİSEL BİLGİLER Adı, Soyadı: Burak OĞUL Uyruğu: Türk Doğum Tarihi ve Yeri: 10.07.1990 Türkiye-Elazığ Medeni Durumu: Bekar Tel: +996 (550) 100439 Fax: - email: [email protected] Yazışma Adresi: EĞİTİM Derece Kurum Mezuniyet Tarihi Yüksek Lisans Kırgızistan-Türkiye Manas Ü. …….. Lisans Kırgızistan-Türkiye Manas Ü. 2013 Lise Avcılar Süleyman Nazif Lisesi 2007 İŞ DENEYİMLERİ Yıl Kurum Görev 2014- Kırgızistan-Türkiye Manas Ü. Araştırma Görevlisi YABANCI DİL Kırgızca Rusça

75