Fakulta stavební VUT v Praze Katedra hydrauliky a...
Transcript of Fakulta stavební VUT v Praze Katedra hydrauliky a...
K141 Hydraulika 0
Základy hydrodynamiky
Fakulta stavební ČVUT v Praze
Katedra hydrauliky a hydrologie
Předmět HYA2
K141 FSv ČVUT
Doc. Ing. Aleš Havlík, CSc., Ing. Tomáš Picek PhD.
K141 Hydraulika 1
POHYB TEKUTINY
popis pohybu tekutiny - je třeba znát vlastnosti ve všech
bodech prostoru, který zaujímá.
vlastnosti tekutiny proměnné v prostoru a čase:
- rychlost, tlak, hustota, viskozita, teplota,
stlačitelnost, vnitřní energie, entropie,
tepelná vodivost...
chování proudu popisují 3 složky rychlosti v jakémkoliv bodě i čase.
charakteristické bilanční veličiny pro tekutinu jako fyzikální systém:
hmotnost, hybnost a mechanická energie
K141 Hydraulika 2
Fyzikální systémy
- uzavřený:
hmotnost, hybnost i mechanická energie hranicemi neprocházejí
platí zákony (věty) o jejich zachování
- otevřený:
pro tyto veličiny lze sestavit rovnice bilance
Popis pohybu
- kinematický: neuvažuje se působení sil
- dynamický: kromě kinematických charakteristik
se uvažuje s působením sil
K141 Hydraulika 3
Síly uplatňující se při pohybu tekutin:
síla tlaková
síla objemová
síla setrvačná
síla třecí
t
uV
t
umF
aVamF
SpF
působí za klidu a
pohybu tekutin
působí výhradně
za pohybu tekutin SF
síla kapilární LF
K141 Hydraulika 4
EULEROVY POHYBOVÉ ROVNICE
platí pro ideální kapalinu
( =0 )
dxx
pp
dzz
pp
dyy
pp
p
p
p
x
z
dy
dz
dx
a
az
ay
ax
z
xdz
dydx
K141 Hydraulika 5
y
z
uy
uz
u ux
x
uy
dy
dz
dx
p – tlak [Pa]
a – zrychlení [m.s-2]
ax, ay, az – složky zrychlení
ve směru os x, y, z
u – rychlost proudění [m.s-1]
ux, uy, uz – složky rychlosti
ve směru os x, y, z
dx, dy, dz – rozměry elementárního
hranolu
Význam použitých veličin
K141 Hydraulika 6
dt
dudzdydx x
Působení sil ve směru osy x
dzdydxx
pp,dzdyp
tlakové síly:
dzdydxax objemová síla:
setrvačná síla:
D´Alembertův princip – setrvačné síly jsou v rovnováze
s ostatními silami a mají opačný smysl.
K141 Hydraulika 7
Rovnováha sil ve směru osy x
0dt
du
x
pa xx
0dt
dudzdydxdzdydx
x
pdz.dy.dxa x
x
dt
du
x
p1a xx
pro substanciální derivace funkce f (x,y,z,t) dle času
z
fu
y
fu
x
fu
t
f
dt
dfzyx
z
uu
y
uu
x
uu
t
u
dt
du xz
xy
xx
xx
pro f = ux:
z
uu
y
uu
x
uu
t
u
x
p.1
a xz
xy
xx
xx
(rov. 1a)
(rov. 1b)
(dosazením 1a do 1b)
K141 Hydraulika 8
Eulerovy pohybové rovnice pro ideální kapalinu:
Výsledný tvar – soustava 3 diferenciálních rovnic
z
uu
y
uu
x
uu
t
u
z
p.1
a
z
uu
y
uu
x
uu
t
u
y
p.1
a
z
uu
y
uu
x
uu
t
u
x
p.1
a
zz
zy
zx
zz
y
z
y
y
y
x
y
y
xz
xy
xx
xx
K141 Hydraulika 9
ROVNICE SPOJITOSTI
ux, uy, uz – složky rychlosti
ve směru os x, y, z
dx, dy, dz – rozměry elementárního
hranolu
- měrná hmotnost elem.hranolu
ux
uy
dxx
uu xx
dy
dx
dzz
uu zz
dyy
uu y
y
x
y
z
uz
dz
K141 Hydraulika 10
dzdydxz
udzdydx
y
udzdydx
x
u zyx
změna hmotnostního průtoku ve směru os x, y, z
změna měrné hmotnosti v čase dtt
dtt
celková změna hmotnostního průtoku protékajícího hranolem
dzdydxz
udydxdz
z
uudydxu
dzdydxy
udzdxdy
y
uudzdxu
dzdydxx
udzdydx
x
uudzdyu
zzzz
yy
yy
xxxx
K141 Hydraulika 11
změna hmotnosti elementárního hranolu vlivem změny
hmotnostního průtoku za čas
0tz
u
y
u
x
u zyx
Rovnice spojitosti (kontinuity)
Vyjadřuje zákon zachování hmoty.
musí být vyvážena změnou hmotnosti hranolu vlivem změny jeho
měrné hmotnosti
dtdzdydxt
dm
dtdzdydxz
udzdydx
y
udzdydx
x
udm zyx
K141 Hydraulika 12
VĚTA O HYBNOSTI PROUDU TEKUTINY
z mechaniky hmotného bodu
12i
i
u
u
uuQFd
udQFd
udQFd
dt
uddtQFd
dtQdm,dt
uddmadmFd
2
1
12
ii
vvQF
vuFFd
pro celý proud
umHHybnost hmotného bodu
K141 Hydraulika 13
FFi
1v
12 vvQF
AR FF
A21 FGFFF
FR
1
2
F
F
v
v
G F
1
1
2
2
A
x
y
K141 HYA Základy hydrodynamiky
vnější síly na vymezený
objem kapaliny:
F1 = p1S1 ... tlaková síla na vstupním profilu
F2 = p2S2 ... tlaková síla na výstupním profilu
FA ... síla stěny na kapalinu
FR ... síla kapaliny na stěnu
- vstupní
rychlost
- výstupní 2v
K141 Hydraulika 14
MOŽNOSTI ZJEDNODUŠENÍ OBECNÝCH ROVNIC
• proudění nestlačitelné kapaliny 0t
konst
• ustálené proudění 0t
u
• jednorozměrné (1D) proudění
0u,0uuu,uu zyzxyx
• dvourozměrné (2D) proudění
0uuu,uu zzyzx
• kapalina v klidu 0uuu zyx
• při výsledném zrychlení = g ga,0aa zyx
K141 Hydraulika 15
hgpp.konstg.
ph e
0uuu,ga,0a,0a zyxzyx
h
0
p
p
dhgdpdhgdpe
kapalina v klidu v gravitačním poli
z
uu
y
uu
x
uu
t
u
z
p.1
a
z
uu
y
uu
x
uu
t
u
y
p.1
a
z
uu
y
uu
x
uu
t
u
x
p.1
a
zz
zy
zx
zz
y
z
y
y
y
x
y
y
xz
xy
xx
xx
ZJEDNODUŠENÍ EULEROVY HYDRODYNAM. ROVNICE
K141 Hydraulika 16
ZJEDNODUŠENÍ ROVNICE
SPOJITOSTI
• nestlačitelná tekutina (kapalina)
0
tkonst 0
z
u
y
u
x
u zyx
Rovnice spojitosti pro 1D proudění
změna průtoku v trubici délky dL
dtdll
Q
dl
l
QQQ
změna objemu vody
změna průtočné plochy trubice za čas dt
dtt
SSS
změna objemu vody dldt
t
S
0t
S
l
Q
Aplikace : výpočet neustáleného
proudění v otevřených korytech
0tz
u
y
u
x
u zyx
K141 Hydraulika 17
• 1D ustálené proudění
0t
S.konstS.konstD
0
l
Q0
t
S
proudění v potrubí
průtočná plocha dána stálými vnitřními rozměry potrubí
.konstSvQ
proudění v otevřených korytech
průtočná plocha dána konstantní úrovní hladiny vody
v profilu konstantní hloubka vody
0t
S.konstS.konstH
K141 Hydraulika 18
ROVNICE ENERGIE (BERNOULLIHO)
Neustálené proudění ideální kapaliny v proudové trubici (1D)
v gravitačním poli.
dldz
dll
pp
p
a
g
0,ga,0a,0a zyx
dl
dzgcosga
K141 Hydraulika 19
Tlaková síla
Objemová síla
Setrvačná síla
Sdll
pS.dl
l
ppSp
dt
dudlS
dlSdl
dzg
2
u
lt
u
dt
du 2
t
u
g
1
g.2
u
g.
pz
l
2
dt
du
l
p1
dl
dzg
l
z
dl
dz
Rovnováha sil
K141 Hydraulika 20
Integrace podle „l“ od profilu 1 do profilu 2
L
0
L
0
2
dl.t
u
g
1dl
g.2
u
g.
pz
l
L
0
2
111
2
222 dl
t
u
g
1
g2
u
g
pz
g2
u
g
pz
Bernoulliho rovnice
pro neustálené
proudění
hs – setrvačná výška
s
2
111
2
222 h
g2
u
g
pz
g2
u
g
pz
Vyjadřuje zákon zachování mechanické energie
K141 Hydraulika 21
0t
u,0,ga,0a,0a zyx
g2
u
g
pz
g2
u
g
pz
2
222
2
111
E
2
h.konstg2
u
g
pz
energetická výška hE g
p
g2
u2
Ustálené proudění ideální kapaliny v proudové trubici (1D) v
gravitačním poli.
Bernoulliho rovnice pro
ustálené proudění ideální
kapaliny
polohová výška z
tlaková výška
rychlostní výška
K141 Hydraulika 22
E
2
it
u
g
1
g2
u
g
pz
l
iE – sklon čáry mechanické energie proudu
Neustálené proudění skutečné kapaliny v proudové trubici
(1D) v gravitačním poli.
0t
u,0,ga,0a,0a zyx
zs
2
222
2
111 hh
g2
v
g
pz
g2
v
g
pz
LiZh Ez
hs – setrvačná výška
hZ – ztrátová výška
L
0s dl
l
u
g
1h
l
hi EE
K141 Hydraulika 23
0t
u,0,ga,0a,0a zyx
E
2
ig2
u
g
pz
l
Ustálené proudění skutečné kapaliny v proudové trubici (1D) v
gravitačním poli.
zE
2
222
2
111 hLi
g2
u
g
pz
g2
u
g
pz
Bernoulliho rovnice pro
ustálené proudění
skutečné kapaliny
K141 Hydraulika 24
ROVNICE ROVNOMĚRNÉHO PROUDĚNÍ
rovnoměrné proudění - zvláštní případ ustáleného proudění
podmínky v podélném směru S = konst, v = konst.
výskyt proudění s volnou hladinou v prizmatických korytech
(sklon čáry energie iE rovnoběžný se skonem i0 dna a hladiny)
tlakové proudění v přímém úseku potrubí o konst. průměru
(sklon čáry energie iE rovnoběžný se sklonem tlakové čáry)
Rovnoměrné proudění v potrubí
S
Qvv.konstS.konstD 21
K141 Hydraulika 25
aplikace věty o hybnosti v podélném směru
vnější síly :
• tíha kapaliny ve směru osy proudu
• rozdíl hydrostatických sil působících v profilech 1 a 2
• síla třením
Et
0 iRgL
ZRg
21 hhSgsinLSgsinG
SppFF 2121
LOF 0t
rovnováha sil LOppShhSg 02121
S
LO
gg
ph
g
ph 02
21
1
Pro v1=v2 vyjadřuje levá
strana rovnice ztráty Zt
O
SR hydraulický poloměr
K141 Hydraulika 26
Rovnoměrné proudění v otevřených korytech
složka váhy vody ve směru proudění musí být v rovnováze s
třecí silou
dLi0
dL
g2
v2
y
0i
Ei
G
hF
hF
sinG
dLO0
aplikace věty o hybnosti
v podélném směru
y=konst. Fh=konst.
Fh – tlakové síly
y=konst. i0=iE
v=konst. ·Qv=konst.
dlOsindlSg 0
0isin pro malé úhly E0 iRg
K141 Hydraulika 27
LAMINÁRNÍ A TURBULENTNÍ PROUDĚNÍ
laminární proudění
- částice se pohybují po hladkých souběžných drahách
- nedochází k fluktuacím rychlostí
turbulentní proudění
- bodová rychlost tekutiny i tlak se nepravidelně mění
(fluktuace rychlostí z hlediska času i prostoru)
- pohyb má náhodný (stochastický) charakter
- zvětšuje vnitřní tření, difuzi a vodivost tepla
K141 Hydraulika 28
LAMINÁRNÍ PROUDĚNÍ
výskyt laminárního proudění :
• pohyb vody v potrubí, ve štěrbinách a kapilárách (Poiseuilleovo
proudění).
• proudění způsobené relativním pohybem stěn (Couetteovo
proudění).
K141 Hydraulika 29
Laminární proudění v přímé kruhové trubici
kruhové potrubí přechod na polární souřadnice
symetrické proudění vzhledem k ose u=f(r), u≠f()
D
r
u
2
uv max
maxu
or
r
dS
dr
parabola
K141 Hydraulika 30
TURBULENTNÍ PROUDĚNÍ
výskyt turbulentního proudění
• obtékání tuhých těles
• pohyb tekutiny v omezeném prostoru (tuhé stěny, hladina)
K141 Hydraulika 31
Turbulentní proudění v přímé kruhové trubici
2*E0E0 virg
2
1iRg tečné napětí
třecí rychlost
0EiRgv
tečné napětí dvojího druhu
t0
- vazké napětí
t - turbulentní napětí
δr
or
r
δu
u dy
δ
du
ypřechodná částturbulentní mezní vrstvy
vazká podvrstva
δ
jádro turbulentního proudu
K141 Hydraulika 32
Prandtlova teorie turbulence a mezní vrstvy
• vazká podvrstva – uplatňuje se vliv vazkosti tekutiny
0 , t0
částice jsou vedeny tuhým povrchem, proudění je laminární
• přechodná oblast – fluktuace a turbulentní víry nejsou
plně vyvinuty
• jádro turbulentního proudu – uplatňuje se vliv turbulentního
tečného napětí
0t 0
plně se projevují turbulentní fluktuace a probíhají
přenosové jevy
K141 Hydraulika 33
Porovnání rozdělení rychlostí v jednotlivých oblastech
• laminární proudění
• přechodná oblast proudění
Re=2700
• turbulentní proudění
Re=106 Re=108
maxu5.0v
max
maxu75.0v
maxu86.0v
maxu90.0v
K141 Hydraulika 34
PŘECHOD Z PROUDOVÉ TRUBICE NA PROUD
KONEČNÉHO ROZMĚRU
potrubí
bilance průtoku S
dSuQ SvdSvdSvQSS
S
dSu
v S
bilance kinetické energie
m
22
dm2
uEdm
2
udE dldSdVdm
dtudSdmdtudldt
dlu
S koryto
v
umax
K141 Hydraulika 35
S S
33
dSu2
dtdSdt
2
uE
Sv2
dtdSv
2
dtdSdt
2
vE 3
S S
33
Sv2
dt
dSu2
dt
E
E
3
S
3
Coriolosovo číslo
EE
Sv
dSu
3S
3
proudění v kruhové trubici
laminární proudění = 2 turbulentní proudění = 1.05
proudění mezi dvěma deskami
laminární proudění = 1.54 turbulentní proudění = 1.045
Altšul 1+2.65