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FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA PROGRAMA DE DOCTORADO EN INGENIERÍA ELÉCTRICA

AVANCES EN EL MODELAMIENTO Y EXPERIMENTACIÓN

DE TENSIONES INDUCIDAS EN REDES DE DISTRIBUCIÓN

Tesis Presentada para obtener el título de Doctor en Ingeniería

por:

ERNESTO PÉREZ GONZÁLEZ

Director:

HORACIO TORRES SÁNCHEZ Profesor Titular - UN

Bogotá D..C. - Colombia 2006

Agradecimientos

Deseo expresar mi agradecimiento:

• A toda mi familia que de uno u otro modo me han apoyado para seguir adelante con mis metas propuestas

• A Horacio Torres Sánchez quien como compañero, profesor, guía y amigo ha confiado en mi y me ha apoyado para lograr mis metas

• Al Prof. Carlo Alberto Nucci por su colaboración como guía para el desarrollo como investigador

• A. Prof. Mario Paolone, por sus valiosos aportes y colaboración con las simulaciones del LIOV

• A todos mis compañeros del grupo PAAS que más que compañeros son amigos incondicionales con los que he podido contar en los buenos y malos ratos

• A Andrés Delgadillo por su valiosa colaboración en la programación computacional con algoritmos genéticos

• A mis amigos de Italia y Austria

• A Daniel Aranguren por su ayuda en la construcción y calibración del sistema de medición de tensiones inducidas

• A José Manuel, por su igualmente generosa colaboración

• A Leidy por su apoyo incondicional en el último año de doctorado

• A la UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA y al DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA.

• AL DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA ELETTRICA DELLA UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BOLOGNA – ITALIA

• A COLCIENCIAS

• AL Ministerio de Relaciones Internacionales de Italia

• A ECOPETROL, en especial a Wilson Morales

• A todos aquellos que de una u otra forma me ayudaron a llevar a cabo este Proyecto

Tabla de Contenidos

INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................ 5

CAPITULO 1: REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA....................................................................................... 6 1.1 Introducción ............................................................................................................................... 7 1.2 Metodología para la Estimación de Tensiones Inducidas.................................................. 8 1.3 Modelamiento de la Descarga de Retorno y Cálculo del Campo Electromagnético..... 8 1.3.1 Modelos para describir la corriente de retorno.......................................................................... 8 1.3.2 Campo electromagnético producido por la descarga de retorno ........................................... 9 1.4 Desarrollos en la Interacción del Campo Electromagnético en las Líneas de

Distribución Aérea .................................................................................................................. 11 1.5 Mediciones de Tensiones Inducidas a Nivel Mundial ...................................................... 15

CAPITULO 2: METODOLOGÍAS DE CÁLCULO DE TENSIONES INDUCIDAS....................................19 2.1 Metodología de Cálculo 1....................................................................................................... 22 2.1.1 Solución modelo de acople por diferencias finitas.................................................................. 22 2.1.2 Cálculo del Campo eléctrico e inclusión del efecto de la conductividad en el dominio del

tiempo 23 2.1.3 VINCULACIÓN del LIOV en EMTP/MATLAB ............................................................................. 24 2.1.4 Vinculo de YALUK en ATP - Implementación propuesta........................................................ 25 2.2 Metodología de Cálculo 2....................................................................................................... 29 2.2.1 Método de solución por método de las características .......................................................... 29 2.2.2 Cálculo del campo eléctrico e inclusión del efecto de la conductividad en el dominio del

tiempo 30 2.2.3 Implementación en ATP................................................................................................................. 31 2.3 Comparación de Resultados.................................................................................................. 32 2.3.1 Línea aérea sobre un suelo perfectamente conductor ............................................................ 32 2.3.2 Línea aérea sobre un suelo con conductividad finita.............................................................. 33 2.3.3 Comparación para redes complejas............................................................................................ 35

ii

2.3.4 Comparación con resultados experimentales para redes complejas ...................................37 2.3.5 Validación con otros resultados experimentales......................................................................39 2.4 Aportes del Trabajo de Doctorado en Modelamiento ......................................................40

CAPITULO 3: TENSIONES INDUCIDAS PARA DIFERENTES TOPOLOGÍAS...................................... 43 3.1 Introducción..............................................................................................................................43 3.2 Influencia de las Ramificaciones en el Cálculo de Tensiones Inducidas......................45 3.2.1 Descripción de Casos......................................................................................................................45 3.2.2 Conductividad infinita....................................................................................................................46 3.2.3 Conductividad finita .......................................................................................................................47 3.3 Simplificación de la Red por Medio de Líneas “no-iluminadas” .....................................49 3.3.1 Descripción de Casos......................................................................................................................49 3.3.2 Caso conductividad Infinita...........................................................................................................50 3.3.3 Caso conductividad Finita..............................................................................................................52 3.3.4 Consideraciones para despreciar la iluminación en las ramas de una red........................55 3.4 Efecto de los componentes de la red y la topología en el cálculo del desempeño de

las líneas de distribución en redes complejas ...................................................................56 3.4.1 Efecto de las Componentes ...........................................................................................................58 3.4.2 Efecto de la Topología de la red ...................................................................................................59 3.5 Aplicaciones en Ingeniería.....................................................................................................62 3.5.1 Planteamiento del Problema..........................................................................................................63 3.5.2 Algoritmo Genético Implementado para la solución del Problema......................................63 3.5.3 Ejemplo de Aplicación ....................................................................................................................65 3.5.4 Resultados .........................................................................................................................................66 3.6 Aporte Realizado en Modelamiento de Tensiones Inducidas.........................................67

CAPITULO 4: ESTUDIO DE MEDICIONES DE TENSIONES INDUCIDAS EN COLOMBIA, COMPARACIÓN DE RESULTADOS TEÓRICOS Y EXPERIMENTALES......................... 69

4.1 Introducción..............................................................................................................................69 4.2 Sistemas de Medición de Tensiones Inducidas en Colombia..........................................69 4.2.1 Descripción del Sistema de Medición Instalado en “Samaná” ...............................................69 4.2.2 Descripción del Diseño y Construcción del Nuevo Sistema de Medición............................71 4.3 Análisis de Mediciones de Tensiones Inducidas ...............................................................76 4.3.1 Características Mediciones Registradas......................................................................................76 4.4 Comparación Teórico-Experimental.....................................................................................79 4.4.1 Descripción de la simulación ........................................................................................................80 4.4.2 Estimación de la localización y la amplitud del rayo...............................................................81 4.4.3 Descripción del modelamiento .....................................................................................................81

iii

4.4.4 Análisis de resultados .................................................................................................................... 81 4.5 Aportes del Trabajo Doctoral en Experimentación .......................................................... 84

CAPITULO 5: CONCLUSIONES .....................................................................................................87

ANEXO A: SOLUCIÓN MÉTODO DE LAS CARACTERÍSTICAS ...................................................90

ANEXO B: FOREIGN MODELS EN ATP .................................................................................95

ANEXO C: ANÁLISIS SENSIBILIDAD PASO DE INTEGRACIÓN..................................................98

ANEXO D: ALGORITMOS GENÉTICOS ...................................................................................101 D.1 Metodología de Implementación ........................................................................................102 D.2 Métodos de Codificación......................................................................................................102 D.3 Proceso de Evaluación y Selección ....................................................................................102 D.3.1 Proceso de Reproducción ............................................................................................................102 D.3.2 Proceso de Adaptación.................................................................................................................103 D.3.3 Proceso de Finalización................................................................................................................104

REFERENCIAS ............................................................................................................................105

Introducción

Una de las causas principales de las fallas en las líneas de distribución de energía son las descargas eléctricas atmosféricas, las cuales afectan este tipo de líneas tanto por impactos directos como por impactos indirectos, siendo estos últimos los más frecuentes. En general, este tipo de fallas son fase-fase o fase tierra, generando salidas de líneas que a su vez pueden causar en muchos casos, dependiendo del tiempo de re-cierre de la línea, caídas de tensión (sags). Otro efecto importante ocasionado por los rayos es el deterioro y falla de equipos, como consecuencia de los transitorios producidos que superan los niveles de aislamiento de los dispositivos, conectados tanto al circuito primario de alta tensión como al circuito secundario de baja tensión, causando así un evidente deterioro en la calidad de la energía eléctrica.

Uno de los mayores motivos para el desarrollo de esta tesis doctoral es la gran actividad eléctrica atmosférica en Colombia [1;2] y las consecuencias que ha traído sobre dispositivos, equipos y sistemas eléctricos; los rayos en Colombia, por ejemplo, son causantes de más del 60% de la salidas de líneas de transmisión de 230kV y daños en equipos [3]. Las zonas de mayor impacto son las rurales con alta densidad de rayos a tierra, especialmente en las líneas de distribución ramificadas de gran extensión.

Como trabajo previo a los desarrollos acá presentados, el autor ha venido estudiando desde 1998 el tema de tensiones inducidas. Inicialmente se analizaron tres modelos de acople que fueron implementados en un programa computacional para el cálculo de tensiones inducidas para líneas sencillas con varias aproximaciones de cálculo [4]. Posteriormente se analizaron estadísticamente algunos parámetros involucrados en el cálculo de tensiones inducidas, con los cuales se logró desarrollar una ecuación aproximada para su máxima estimación, incluyendo parámetros como la conductividad del terreno y el ángulo de incidencia [5].

Con el fin de enfocarse en redes más complejas, fue necesario el uso de programas computacionales que permitieran tener en cuenta los dispositivos conectados a la red; por ello los primeros estudios realizados por el autor en este tema, utilizaron una metodología basada en el modelo de Agrawal [6] e implementada en ATP por Hoidalen [7] para conductividad de suelo infinita.

El trabajo de doctorado que se presenta en este documento realizó un estudio enfocado en el modelamiento de redes de distribución largas y complejas, con el objetivo de hacer aportes en aplicaciones para mejorar el desempeño de las líneas. Para tal fin, se realizó una revisión bibliográfica exhaustiva para apropiar conocimiento en el tema y adoptar una metodología adecuada para el análisis de tensiones inducidas en redes complejas. Este estudio permitió realizar una innovación en la metodología existente para la vinculación del programa de cálculo de tensiones inducidas con uno de análisis transitorio como el ATP. Esta innovación fue implementada en un software llamado YALUK-ATP con lo cual se logra obtener autonomía en la investigación para desarrollos futuros.

Con el apoyo incondicional del Grupo de Potencia de la Universidad de Bolonia-Italia, se logró hacer la comparación de tres programas computacionales, partiendo del análisis de las metodologías de implementación usadas, al igual que por simulaciones y comparaciones con las

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mediciones de un circuito experimental realizado por Piantini y Janiszewski [8;9], de dicho trabajo se realizó una publicación conjunta [10]. Los programas analizados fueron el LIV-ATP, desarrollado por Hoidalen [11-13], el LIOV-EMTP, desarrollado en conjunto por varios grupos de trabajo de la Universidad de Bologna-Italia, la Universidad de la Sapienza de Roma–Italia y el Instituto de Tecnología de Laussane–Suiza, [14-17] y el programa YALUK, desarrollado por el autor, el cual innova tecnológicamente la metodología de vinculación entre el EMTP/ATP y el programa de cálculo de tensiones inducidas.

Esta vinculación permite reducir los errores en las reflexiones para líneas complejas, ya que evita la adición de una línea sin pérdidas que hace que las reflexiones tengan un retraso asociado directamente al número de líneas simuladas y al paso de tiempo seleccionado para la simulación.

A partir de la comparación de los diferentes programas, se estableció que tanto el LIOV-EMTP como el YALUK-ATP estiman de manera similar las tensiones inducidas, siendo el YALUK más confiable cuando se considera una red compleja con muchos nodos o pasos de tiempo mayores a 0.01 µs. Estos dos programas fueron usados para la segunda parte de este proyecto, descrita en el capítulo 3, en donde se enfocó el estudio en redes de distribución complejas, haciendo un aporte importante en determinar los efectos de las ramificaciones en la magnitud y forma de onda de las tensiones inducidas para diferentes configuraciones e impactos de rayo. Como aporte adicional, se propone y comprueba la simplificación en los cálculos de tensiones inducidas en redes ramificadas mediante el uso de líneas “no-iluminadas”. Esta simplificación permite reducir el tiempo de cálculo sin afectar los resultados para redes extensas de longitud mayor a 5 km.

Otro aporte realizado por esta tesis doctoral, para aplicaciones en ingeniería, esta enfocada en el efecto de las ramificaciones y de las terminaciones de la línea asociado a la estimación de fallas/100km-año mediante el método de Monte Carlo.

En la parte experimental, este trabajo doctoral aporta al diseño y construcción de un nuevo sistema de medición de tensiones inducidas en redes de distribución energizadas, el cual fue diseñado teniendo en cuenta la compatibilidad electromagnética, aprovechando tecnologías a base de fibra óptica y energía solar. Este sistema de medición se implementó en una estación experimental que consta de una torre de medición directa de rayos y de una red de distribución energizada, con el fin de obtener datos tanto de corriente directa de rayos como de tensiones inducidas. El análisis de más de 200 señales registradas en la estación experimental desde el año 2000, permitió en este trabajo doctoral establecer algunas características en cuanto a la forma de onda de las tensiones inducidas y aplicar los modelos implementados en los programas.

Como parte final de este trabajo se desarrolló una nueva herramienta computacional basada en algoritmos genéticos aplicando el programa YALUK para el cálculo de tensiones inducidas, con la cual se puede, de una manera novedosa, ubicar los descargadores de sobretensión para líneas complejas.

Este documento está dividido en 5 capítulos, el primer capítulo describe la teoría básica de las tensiones inducidas por rayo hecha a partir de la revisión bibliográfica y plantea los principios teóricos usados en el modelamiento realizado en esta tesis doctoral. El capítulo 2 describe el modelamiento de tensiones inducidas presentando una propuesta para la vinculación del programa de tensiones inducidas con el ATP, adicionalmente se comparan tres programas basados en las metodologías estudiadas a partir de simulaciones y resultados experimentales. En el capítulo 3 se realiza un estudio del efecto de la topología de las líneas en el cálculo de las tensiones inducidas, utilizando dos de los programas analizados en el capítulo anterior; finalmente, en este capítulo, se presenta una aplicación basada en algoritmos genéticos cuyo objetivo principal es la ubicación óptima de descargadores de sobretensión para disminuir el impacto de las tensiones inducidas en la línea. El capítulo 4 presenta el desarrollo de un nuevo sistema de medición de tensiones inducidas para una red de distribución energizada y se realiza un análisis de 200 mediciones. El último capítulo se presentan las conclusiones y trabajos futuros.

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Capitulo 1: Revisión Bibliográfica

1.1 Introducción

Las tensiones inducidas debidas a rayos cercanos es un fenómeno que afecta enormemente el desempeño que tienen las líneas de distribución aérea, dado que pueden producir fallas fase-tierra u operación de los dispositivos que están conectados a ella, con posibilidad de causar disrupción en la línea o efectos que pueden afectar la continuidad del servicio de la energía eléctrica. Esta perturbación ha sido ampliamente estudiada tanto teórica como experimentalmente a nivel mundial desde principios del siglo XX.

Luego de una exhaustiva revisión bibliográfica se presentan a continuación las principales investigaciones llevadas a cabo mundialmente en este tema y las metodologías más utilizadas en el análisis de tensiones inducidas. Esta revisión que se realizó durante la elaboración de la tesis doctoral permitió, junto con la pasantía de 1 año en el grupo de investigación del Profesor C.A. Nucci en la Universidad de Bolonia, plantear una modificación a la tecnología existente y que se presenta en el ítem II.1.4.

Los primeros estudios teóricos en este tema plantearon que las tensiones inducidas en redes de distribución asociadas a rayos, estaban relacionadas principalmente por la inducción electrostática de las nubes de tormenta [18] cuando desaparece instantáneamente una carga importante en la nube después de ocurrir el rayo. Las siguientes investigaciones estuvieron basadas en los aportes de Wagner y fueron introduciendo un modelamiento más realista y complejo en donde se consideró inicialmente que la variación en la carga no es instantánea [19] y luego se empezó a tener en cuenta la influencia del canal vertical asociado principalmente al campo magnético [20].

Uno de los aportes principales en este estudio ha sido dado por las investigaciones de Wagner y MacCann [21] en la década del 40 quienes basados en las investigaciones sobre la descarga de retorno de Schonland [22], muestran que las tensiones inducidas son producidas principalmente por el campo producido por el canal del rayo. En esta misma línea otros autores mejoraron las investigación en la descripción física de la descarga de retorno y establecieron que ésta es la componente principal en el efecto de inducción de las líneas aéreas [23-25].

En la actualidad esta teoría es la más aceptada por la comunidad académica internacional y por ello gran parte de los estudios en el tema de tensiones inducidas se han enfocado en describir y modelar la descarga de retorno y el campo electromagnético producido por este; sin embargo, existen algunos estudios que muestran que para rayos muy cercanos, del orden de 30m, el líder ascendente en la formación del canal también tiene influencia [26]. En la sección 1.3 se describirán los modelos y metodologías más usados en la actualidad para este fin.

Otra parte del estudio en tensiones inducidas ha sido enfocado hacia el acople del campo electromagnético producido por el rayo y las líneas aéreas. Existen dos metodologías principales para la solución de este problema: la primera está soportada en la teoría de antenas usando de una manera rigurosa las ecuaciones de Maxwell y la segunda a partir de una aproximación de la línea de transmisión. En la sección 1.4 se realizará una descripción más detallada sobre estos

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modelos enfocándose en el modelo más usado a nivel mundial y el mismo que se usa en el desarrollo de esta tesis.

Paralelamente a los estudios teóricos, desde 1979 se han venido realizando una serie de mediciones en redes experimentales energizadas, no energizadas y modelos a escala, los cuales han servido para realizar comparaciones con los resultados teóricos con el fin de mejorar en la descripción de estos modelos. En la sección 1.5 se describen los diversos experimentos realizados a nivel mundial.

A continuación se describe la teoría básica más aceptada y utilizada en la actualidad para el análisis de tensiones inducidas debidas a descargas cercanas y con la cual está basado el modelamiento realizado en esta tesis doctoral.

1.2 Metodología para la Estimación de Tensiones Inducidas

En la actualidad el cálculo de las tensiones inducidas se lleva a cabo mediante la realización de los siguientes tres pasos:

• Adoptar un modelo para describir el frente de onda de la corriente de la descarga de retorno, en función de la altura y el tiempo a lo largo del canal de la descarga.

• A partir de la descripción de la corriente de retorno en el canal de la descarga se calcula el campo electromagnético producido por esta corriente a lo largo de la línea de distribución.

• Con el campo electromagnético calculado a lo largo de la línea, se usa un modelo de acople para calcular la inducción de este campo en la línea.

1.3 Modelamiento de la Descarga de Retorno y Cálculo del Campo Electromagnético

Para determinar el campo electromagnético que incide en las líneas de transmisión es necesario representar de una manera adecuada la distribución de la corriente de la descarga de retorno a lo largo del canal, para así determinar el campo electromagnético producido por este.

1.3.1 Modelos para describir la corriente de retorno

Existen varios modelos que son utilizados para describir la distribución espacio-temporal de la corriente de la descarga de retorno a lo largo del canal del rayo. Se han desarrollado un gran número de modelos para la descarga de retorno los cuales se pueden clasificar en modelos de ingeniería, de dinámica de gases, de parámetros distribuidos y modelos electromagnéticos los cuales están recopilados y descritos en los trabajos de Rakov y Uman [27] y por Gomes y Cooray [28]. Adicionalmente paralelo a esta tesis de doctorado se está desarrollando otra enfocada en tortuosidad del canal de la descarga de retorno aplicado a tensiones inducidas [29].

En este capítulo se presentan algunos de los modelos que por su simplicidad son fácilmente calculables y que son comúnmente llamados modelos de ingeniería “engineering return-stroke models”. Estos modelos son: el modelo de Bruce Golde (BG) [30], el modelo de línea de transmisión (TL) [31;32], el modelo de Corriente Viajera (TCS) [33], el modelo Modificado de Línea de Transmisión (MTL por sus siglas en ingles) [14;34], el modelo de Diendorfer y Uman (DU) [35] y el modelo de Cooray [36]]. Los dos últimos modelos están orientados principalmente a la física de la descarga teniendo un análisis más complicado con variables más difíciles de medir.

En todos los modelos de ingeniería se interpreta la corriente a lo largo del canal de la descarga i(z,t) relacionándola con la corriente en la base del canal i(0,t), debido a que desde el punto de vista de ingeniería la corriente en la base del canal es la única que puede ser medida y de la cual existen datos experimentales.

No todos los modelos mencionados anteriormente han sido usados para el cálculo de las tensiones inducidas; los modelos más utilizados para este fin han sido el modelo TL, el TCS, el

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MTL y el DU. De acuerdo con comparaciones realizadas entre estos modelos y mediciones de campo electromagnético producidos por rayos iniciados artificialmente (triggered lightning) [37], los modelos TL y MTL presentan menores errores absolutos que DU y TCS.

El modelo TL supone que la corriente en la base del canal asciende por este como si estuviera en una línea de transmisión sin pérdidas a una velocidad v .

( ) ( )', 0, ' '

( ', ) 0 '

i z t i t z v z v t

i z t z v t

= − ≤ ⋅

= > ⋅ (1.1)

Donde:

λ : es la constante de decaimiento la cual permite que la magnitud de la corriente decrezca con la

altura, su constante tiene un valor entre 1-2 km [38]. v : velocidad de la descarga de retorno.

En el modelo MTL se hace una pequeña modificación en donde la magnitud de la corriente disminuye a medida que la corriente se propaga por el canal para considerar el efecto de la distribución vertical de la carga producida por el corona del líder; esta disminución se ha planteado que puede ser lineal (MTLL) [34] o exponencial (MTLE) [14]. En la actualidad el modelo más usado para este fin es el MTLE [38]

( ) ( ) ( )'

', 0, ' '

( ', ) 0 '

zi z t e i t z v z v t

i z t z v t

λ= ⋅ − > ⋅

= > ⋅ (1.2)

Donde:

λ : es la constante de decaimiento

v : Velocidad de la descarga de retorno.

La expresión matemática más utilizada para representar la corriente en la base del canal, es la propuesta por Heidler [39], en la cual su amplitud, tiempo de frente y de cola son colocados directamente en la ecuación, adicionalmente tiene la propiedad de tener su derivada en t=0 igual a cero, representando de una mejor manera la corriente real medida.

( )( )

( )210

1

(0, )1

n

tn

tIi t et

ττη τ

=+

(1.3)

Donde:

η: Factor de corrección de la amplitud

I0 : Amplitud de la corriente en la base del canal

τ1: Constante del tiempo de frente

τ2: Constante del tiempo de cola

n : factor de corrección, su valor oscila entre 2 y 10

1.3.2 Campo electromagnético producido por la descarga de retorno

A partir de la descripción espacio temporal de la corriente de la descarga de retorno es posible calcular el campo electromagnético a lo largo de la línea asumiendo la tierra como un conductor plano y perfectamente conductor mediante las expresiones de Master y Uman [40]. En este caso es considerado un dipolo finito de longitud 'dz a una altura 'z (Figura 1-1) el cual es integrado a lo largo del canal del rayo, distribuyendo la corriente como se representó con el modelo de la corriente de la descarga de retorno.

10

La ecuación de campo eléctrico tiene tres componentes: el campo electrostático, el campo inducido y el campo eléctrico radiado, como se muestra en (1.4) y (1.5). El campo magnético esta compuesto por el campo magnético inducido y el campo radiado como se muestra en (1.6).

Figura 1-1: Geometría para el cálculo del campo electromagnético

5

0

0

4 2 3

3 ( ') ( ', )'( , , , )

4 ( ', )3 ( ') ( ')( ', )

t

r

r z z i z R c dRdzdE r z t

i z R cr z z r z zi z R ccR c R t

τ τφ

πε ττ

⎡ ⎤−⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥∂ −⎢ ⎥− −+ − −⎢ ⎥⎢ ⎥∂⎣ ⎦

∫ (1.4)

2 2

50

2 2 20

4 2 3

2( ') ( ', )'( , , , )

4 ( ', )2( ') ( ', )

t

z

z z r i z R c dRdzdE r z t

i z R cz z r ri z R ccR c R t

τ τφ

πε ττ

⎡ ⎤− −⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥∂ −⎢ ⎥− −+ − −⎢ ⎥⎢ ⎥∂⎣ ⎦

∫ (1.5)

03 2

( ', )'( , , , ) ( ', )4

i z R cdz r rdB r z t i z R cR cR tφ

τµφ τπ

⎡ ⎤∂ −⎢ ⎥= − +⎢ ⎥∂⎢ ⎥⎣ ⎦ (1.6)

donde: z : altura del punto de medición del campo

'z : altura de la fuente de corriente

R : Distancia entre la fuente y el punto de observación

r : Distancia entre la base del canal y el punto de observación

0ε = permitividad en el vacío 10-9 / 36π [A·s/V·m]

0µ = permeabilidad en el vacío 4π·10-7 [H/m]

c = velocidad de la luz en el vacío 3·108 [m/s]

( ', )i z R cτ − : Corriente a lo largo del canal

Suponer la tierra como un conductor perfecto es una aproximación razonable para la componente vertical del campo eléctrico y la componente horizontal del magnético en distancias menores a unos cuantos kilómetros [41], para distancias mayores la conductividad del terreno no puede ser despreciada [42]. La componente del campo eléctrico horizontal es fuertemente

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afectada por la conductividad del terreno, por tal motivo algunas consideraciones deben ser tenidas en cuenta para conductividades bajas.

Cuando la conductividad del terreno es considerada, las ecuaciones de campo electromag-nético son más complejas y contienen integrales con una convergencia muy baja (integrales Sommerfeld) [43]. Estas ecuaciones requieren tiempos de computo demasiado grandes haciendo que sea muy difícil trabajar con estas, por tal razón, es mucho más conveniente usar una aproximación para este cálculo. Existen dos aproximaciones para este propósito, una la formula de wave-tilt [44] que estima adecuadamente la influencia de la conductividad para distancias lejanas y la aproximación planteada independientemente por Cooray y Rubinstein [45;46] la cual ha mostrado calcular de una manera adecuada y representar los cambios de polaridad para el campo calculado a distancias pequeñas, intermedias y lejanas [47].

La ecuación de Cooray-Rubinstein, mostrada en (1.7), supone que la conductividad del terreno gσ es mucho mayor que el producto entre la permitividad del terreno rgε y la frecuencia de la

ondaw ; adicionalmente se considera que tanto la componente vertical de campo eléctrico como la componente horizontal del campo magnético son iguales que para el caso donde la conductividad del terreno es infinita.

(1 )( , , ) ( , , ) ( , 0, )r rp p

jE r z j E r z j H r z jφω ω ωσδ+= − = ⋅ (1.7)

Donde: p: el subindice representa el cálculo considerando la conductividad infinita µ

g: es la permeabilidad del terreno

δ: Es el factor de penetración, = 2 gωµ σ ,

1.4 Desarrollos en la Interacción del Campo Electromagnético en las Líneas de Distribución Aérea

Para considerar la interacción del campo electromagnético producido por el rayo es posible hacerlo usando la teoría de antenas a partir de un desarrollo riguroso de las ecuaciones de Maxwell [48]. Sin embargo, el uso de esta metodología es muy compleja y requiere una gran cantidad de tiempo de computo teniendo en cuenta la longitud de las líneas de distribución. La otra metodología para representar la interacción del campo electromagnético del rayo en la línea se puede realizar mediante una aproximación de línea de transmisión con fuentes distribuidas.

Para utilizar la aproximación de línea de distribución es necesario considerar que la dimensión de la sección transversal de la línea es eléctricamente pequeña, de tal manera que se pueda asumir que la propagación ocurre únicamente a lo largo del eje de la línea. Por lo tanto es posible representar la línea por parámetros distribuidos.

En la aproximación anteriormente mencionada se asumen dos aspectos fundamentales: el primero es suponer que la respuesta de la línea es de modo cuasi-transversal electromagnético (quasi-TEM), y que la sección transversal de la línea es más pequeña que la longitud de onda más significante; esto último produce que la suma de todas las corrientes en cualquier sección transversal sea igual a cero, o en otras palabras que por el terreno y por los conductores de referencia se regresa la corriente de los n-conductores.

Cabe notar que una respuesta en la línea puramente transversal solo podría ocurrir en el caso que no hubiera pérdidas a lo largo de la línea sobre un suelo perfectamente conductor y cuando el campo electromagnético no tiene una componente tangencial a los conductores de la línea. Sin embargo, es importante destacar que para líneas iluminadas por un campo electromagnético producido por rayos, la aproximación de respuesta cuasi-Transversal en la línea es aceptable [48].

Uno de los primeros modelos desarrollados con ésta teoría fue el realizado por Rusck [49] quien introdujo por primera vez un modelo de acople basado en la aproximación de línea de transmisión para describir la inducción en la línea producida por el campo electromagnético

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asociado a la descarga de retorno. Adicionalmente Rusck dedujo una expresión analítica para calcular la tensión inducida máxima en la línea despreciando la conductividad del terreno, aproximando la línea a un conductor infinito sin pérdidas y asumiendo el canal del rayo totalmente vertical. Esta ecuación en la actualidad es muy usada por su simplicidad; sin embargo, dadas sus aproximaciones esta ecuación es muy limitada para redes de distribución complejas en donde se pueden obtener estimaciones erróneas.

Diversos modelos de acople fueron desarrollados posteriormente, de los cuales algunos de los más conocidos son los desarrollados por: Agrawal, Price y Gurbaxani [6], Taylor, Scatterwhite y Harvison (1965) [50], Rachidi (1993) [51] y Chowdhuri (1969) [52].

De acuerdo con estudios [15;47;53;54] que compararon los diferentes modelos se ha mostrado que el modelo de Agrawal, et al., el de Taylor et. al y Rachidi describen de manera idéntica el acople electromagnético del campo producido por el rayo y la línea y su diferencia esta dada principalmente en la manera en que las ecuaciones de línea de transmisión son expresadas. El modelo de Agrawal et al. se expresa en función de tensión dispersa (scattered) y corriente inducida total y considera como única fuente de inducción en la línea la componente de campo eléctrico horizontal; el modelo propuesto por Taylor et al. se expresa en función de tensión total y corriente total con fuentes de inducción del campo eléctrico vertical y la componente transversal del campo magnético y el modelo de Rachidi esta expresado en función de la tensión total y corriente dispersa (scattered) y como única fuente de inducción la componente del campo magnético tangencial a la línea.

El modelo de Rusck estima valores idénticos a los modelos anteriormente mencionados cuando se considera un canal vertical y recto; el modelo de Chowdhuri, de acuerdo con los estudios anteriormente mencionados, establece que éste no incluye una componente del campo electromagnético, lo que produce una estimación no adecuada en el estudio de tensiones inducidas.

En la actualidad el modelo de Agrawal et al. es el más utilizado a nivel mundial. Este modelo está expresado mediante dos ecuaciones de línea de transmisión, expresada mediante la tensión inducida dispersa (scattered voltage) y como única fuente de inducción la componente de campo eléctrico horizontal, como se muestra en las ecuaciones (1.8) y (1.9) descritas en función de la frecuencia.

[ ] [ ] [ ]( )

' ( ) ( , )s

x

d V xZ I x E x h

dx+ = (1.8)

( ) ' ( ) 0sdI x Y V x

dx+ = (1.9)

Donde

Vs: es la tensión dispersa

I : es la corriente en la línea

Z’ : es la impedancia en la línea

Y’ : es la admitancia en la línea

Para un suelo perfectamente conductor la impedancia en la línea está asociada a la inductancia, la admitancia y a la capacidad. Cuando la conductividad del terreno es finita, la propagación de la onda electromagnética tiene una atenuación y se presentan componentes complejas. Para este caso la impedancia y la admitancia de la línea se puede se puede expresar como las ecuaciones (1.10) y (1.11) [48;55].

13

' ' '' w gZ jwL Z Z= + + (1.10)

( )' ' '

'' ' '

g

g

G jwC YY

G jwC Y+

=+ +

(1.11)

Donde 'L (1.12), 'C (1.13) y 'G (1.14) son: la inductancia longitudinal, la capacidad transversal

y la conductancia transversal por unidad de longitud, 'wZ es la .impedancia interna del conductor

y 'gZ (1.15) es la impedancia de tierra (ground impedance) y '

gY la admitancia de tierra.

0

422 ln ln 14

Inductancia propia Inductancia Mutua

i jii ij

ij

h hhL Lr s

µπ µπ

⎛ ⎞⋅⎛ ⎞⋅ ⎟⎜⎟ ⎟⎜ ⎜= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ +⎟ ⎟⎜ ⎜⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎟⎜⎝ ⎠ (1.12)

1C Lµε −= ⋅ (1.13)

' '

0

aireG Cσε

= (1.14)

donde: h

i: Altura de cada conductor

r: Radio del conductor (para todos los casos se asumió 0.006m) s

ij : Separación entre conductores

De acuerdo con los estudios presentados en [55;56] se encuentra que 'gZ es del mismo orden

de magnitud que la impedancia de la inductancia y que 'wZ , es mucho menor que '

gZ , 'gY es

despreciable comparado con el aporte de '1 jwC tal como se observa en las figuras 1-3 y 1-4.

( )'

,h

sy

g

jw B x z dxZ jwL

I−∞= −∫

(1.15)

Donde By es la componente transversal del campo magnético disperso

2

'g

gg

YZγ

≅ (1.16)

Teniendo en cuenta lo anteriormente expuesto es posible despreciar la influencia de la resistencia del conductor al igual que la admitancia del suelo sin perder exactitud en el modelo. Las ecuaciones de acople de acuerdo con el modelo de Agrawal en el dominio del tiempo se podrían expresar como en (1.17) y (1.18):

14

Figura 1-2: - Relación entre la magnitud de la impedancia de tierra y la del cable en función de la

frecuencia. Realizado para un conductor de Cobre de radio 10mm a una altura de 10m sobre el suelo ( σg

=0.01 [S/m], εrg =10). (Tomado de [55])

Figura 1-3: Comparación entre el inverso de la admitancia de tierra y 1/C jω . para un conductor de cobre de

radio 10 mm ubicado a 10m sobre el suelo ( σg =0.01 S/m, εrg=10). (Tomado de [55])

[ ] [ ] ( ) [ ]0

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , , )i

ts ii ij i g i i xv x t L i x t z i x t R i x t E x h t

x tτ τ∂ ∂ ⎡ ⎤⎡ ⎤+ + ⋅ − + ⋅ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∂ ∂ ∫ (1.17)

[ ] [ ] [ ]( , ) ( , ) ( , ) 0s sij i ij ii x t G v x t C v x t

x t∂ ∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦∂ ∂

(1.18)

Donde: ixE : es la componente del campo eléctrico horizontal incidente a lo largo del eje x, a la altura del

conductor.

( ),i x y es la corriente inducida a lo largo de la línea

zg : es la transformada inversa de Fourier por unidad de longitud.

, , ,L G C R : son las matrices de inductancia, capacidad conductividad de la línea por unidad de

longitud, respectivamente

( ),su x t : es la tensión inducida dispersa (scattered) a lo largo de la línea

La resistencia transitoria de tierra puede ser evaluada usando la expresión analítica (1.19) presentada por Rachidi et al [55;56].

15

( )

0

0

0

1 ,2

min1 1 1exp

2 4 4

rg

gg g

gg

hz

t erfct t

µπ ε ε

τ τµ τπτ π

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞⎪ ⎪⎢ ⎥⎟⎜⎪ ⎪+ −⎟⎜⎢ ⎥⎪ ⎪⎟⎟⎜⎝ ⎠⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

(1.19)

donde, ε

0 y ε

r son la permitividad del vacío y del terreno respectivamente.

µ0 es la permeabilidad del vacío

τg=h2µ

0σ

g (donde σ

g es la conductividad del terreno) y erfc es la función de error complementaria.

La tensión total inducida en la línea es calculada por medo de la suma de la tensión inducida dispersa vs y la tensión inducida incidente vi, como se muestra en (1.20) y (1.21)

( , ) ( , ) ( , )t i si iv x t v x t v x t= + (1.20)

0

( ) ( , )ih

i ii zv x E x z dz= −∫ (1.21)

Las condiciones de frontera para una terminación resistiva pueden ser escritas como en (1.22) y (1.23).

0(0, ) (0, ) (0, )S iv t R i t v t= − − (1.22)

( , ) ( , ) ( , )S iLv L t R i L t v L t= − (1.23)

Las ecuaciones de Agrawal (1.17) y (1.18) se pueden representar por el circuito mostrado en la Figura 1-4

Figura 1-4: Circuito equivalente para el modelo de Agrawal

1.5 Mediciones de Tensiones Inducidas a Nivel Mundial

Desde 1979 una serie de estudios experimentales han sido llevados a cabo al igual que metodologías para implementar los diversos modelos en programas computacionales capaces de reproducir las tensiones inducidas en redes de distribución. A continuación se describen algunos de los trabajos más importantes en este tema y se resalta la importancia que tienen las mediciones experimentales tanto para validar modelos como para obtener datos estadísticamente confiables del fenómeno.

Una de los primeras evaluaciones experimentales se desarrolló en Sur África en (1979-1982) por Erikson [57] en una línea de 10km d longitud; como resultado principal de este trabajo se concluyo que el 95% de las tensiones inducidas eran positivas y algunas pocas excedieron los 300kV.

16

En Wimauna (Florida) [58] fueron realizadas mediciones simultáneas de campo magnético, eléctrico y tensiones inducidas en una línea desenergizada de 460m de longitud. Más de 100 mediciones fueron obtenidas con una media de 23.9 kV para la primera descarga y de 10.8 kV para las descargas subsecuentes. La máxima tensión medida fue de 150 kV. En este trabajo se encontró que la polaridad podía ser tanto positiva como negativa, para el mismo valor de campo eléctrico vertical, lo cual fue atribuido al ángulo de incidencia y al punto de medición.

En Chiapas (México) De la Rosa et al. [59] construyó una línea trifásica de configuración horizontal, con una longitud de 2.8 km y 9 m de altura. Más de 70 mediciones se obtuvieron con una media de 21.1 kV. Este trabajo contribuyo enormemente en el conocimiento que la componente de campo eléctrico horizontal tiene en la magnitud de la tensión inducida.

En 1983 Yokoyama et al. [60] experimentaron en Japón con una línea de 820 m de longitud. Este trabajo mostró que los conductores de apantallamiento aterrizados reducen las tensiones inducidas de las líneas de distribución.

Otras mediciones experimentales se han realizado con rayos iniciados artificialmente (triggered) en el Centro Espacial Kennedy en donde se utilizó una línea de 448 m de longitud. Se midieron simultáneamente 11 señales de tensiones inducidas y descargas de retorno, las cuales mostraban formas de onda oscilatoria y tipo impulso. La comparación entre las mediciones y los cálculos hechos por medio del modelo de Agrawal mostraron un ajuste aceptable con la onda de tipo oscilatorio, pero no con la de tipo impulso. Esto, tal vez, debido a problemas en la medición. Mediciones más recientes [61] han mejorado esta comparación, incluyendo además la influencia del líder dardo (dart leader).

En California fueron medidos simultáneamente rayos disparados (triggered lightning) y tensiones inducidas en una línea con dos fases desenergizada de 682 m de longitud y 7.5 m de altura [62]. En esta investigación las mediciones fueron comparadas con la ecuación planteada por Rusck, mostrando que las mediciones eran 63% mayores que aquellas predichas por la fórmula de Rusck.

Un modelo a escala para el estudio de tensiones inducidas fue configurado en Sao Paulo – Brazil por Piantini y Janiszewiski [8]. Este modelo tiene una relación 1:50, con una línea de distribución de 28 m de longitud y un línea vertical de 12 m de altura hecha en cobre para simular un canal de rayo de 600 m. Las mediciones de este modelo fueron usadas por Nucci et al. [9] para compararlas con cálculos realizados teóricamente usando el modelo de Agrawal en el EMTP [16] (código LIOV-EMTP); esta comparación tuvo resultados acertados.

En cercanías al municipio de la Palma en Colombia se realizaron mediciones de la corriente inducida por descargas eléctricas atmosféricas en una línea de distribución experimental [63]. Está línea estaba compuesta por 4 conductores en configuración horizontal aterrizados en sus extremos a través de resistencias iguales a la impedancia de la línea. Las mediciones se realizaron a través de bobinas de Rogowski y digitalizadas por medio de un osciloscopio. Con base en estas señales se realizaron análisis de la energía disipada en dispositivos de protección, particularmente en descargadores de sobretensión o varistores. Recientemente se desarrolló un proyecto de grado en el cual se incluía el cálculo de tensiones inducidas dentro del ATP/EMTP y se analizaban los pulsos transferidos a través de transformadores de distribución [64].

Dentro del trabajo de investigación llevado a cabo por el autor y presentados en esta tesis de doctorado, por primera vez a nivel mundial fueron realizadas mediciones en una red de distribución energizada [65]. En este estudio se midieron más de 200 señales, medidas simultáneamente en tres puntos diferentes, obteniendo como tensión máxima una señal de 47 kV. En estudios posteriores [66] en donde se consideraron las ramificaciones y los transformadores conectados a la línea se obtuvieron ajustes mucho mejores para toda la tensión inducida. En este trabajo también se logró observar que las tensiones inducidas pueden durar más de 100 µs.

Recientemente en el 2002 en Brasil, Piantini et al. [67] construyeron un sistema experimental el cual permite medir directamente la corriente de la descarga de retorno y la tensión inducida en una línea de distribución- Este experimento esta encaminado principalmente para evaluar la

17

efectividad de los descargadores de sobretensión como dispositivos de protección en las líneas de distribución.

Algunos de estos experimentos han servido para validar los modelos existentes en el cálculo de tensiones inducidas, como los realizados mediante rayos iniciados artificialmente[68].

A pesar de los grandes logros en el estudio experimental de este fenómeno aún los resultados son muy pocos para obtener datos estadísticos más confiables, lo que hace necesario realizar un mayor número de experimentos especialmente para rayos naturales.

Capitulo 2: Metodologías de Cálculo de Tensiones Inducidas

Dado el interés por obtener datos más reales en el cálculo de desempeño de líneas debidos a rayos, varios estudios en la solución de los modelos de acople se han llevado a cabo para lograr estimar de una manera adecuada las tensiones inducidas. Una de las principales ecuaciones desarrolladas analíticamente para este fin, fue la de Rusck [49], y en la actualidad es una de las más usadas normativamente como por ejemplo en la guía IEEE 1410[69].

[ ]0 00 2 2

1 kV2

Z I h vVy c v

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ⋅ +⎨ ⎬⎪ ⎪⋅ −⎪ ⎪⎩ ⎭ (2.1)

donde:

Ω≅= 3041

0

00 ε

µπ

Z

h : Altura de la línea [m]

0I : Amplitud máxima de la corriente de la Descarga de retorno [kA]

y : Distancia desde la línea al punto de impacto del rayo [m]

v :Velocidad de la descarga de retorno [m/µs] c : velocidad de la luz = 300[m/µs]

Existen otras ecuaciones realizadas a partir de un análisis multivariado, y utilizando técnicas de regresión; una de estas ecuaciones es la de Jankov en 1997 [70], quien por primera vez propone esta nueva metodología para encontrar una ecuación aproximada, posteriormente otra ecuación es encontrada y fue desarrollada por el autor de esta tesis doctoral en estudios anteriores en los cuales se realizó un análisis estadístico de los parámetros más influyentes en el cálculo de las tensiones inducidas. Esta nueva ecuación adiciona parámetros como la conductividad del terreno y el ángulo de incidencia en la línea [5], los cuales no eran contemplados en la ecuación de Jankov.

La ecuación de Jankov está basada en el modelo TCS para representar la descarga de retorno del rayo, la ecuación de Heidler para simular la corriente en la base del canal y finalmente usó el modelo de Agrawal como modelo de acople. En este caso se asumió una conductividad infinita y una línea unifilar sin pérdidas. Las variables de entrada de este modelo es el tiempo de frente, el tiempo de cola, la distancia del rayo a la línea, la magnitud pico de la corriente y la altura de la línea.

20

( ) [ ]kV 5

510 lnln0max

DkDkku eIkV ⋅+⋅+⋅⋅= (2.2)

Donde:

( )

( )( ) sTTk

sTek

kkk

ek

hThk

T

T

u

µ

µ

τ

τ

1.0,10)02.05.79.0

1.0,1015.1667.0118.04.0

45.3

25.325.2

410333.38.00187510100

45

485.2885.28

19.019.0

5

001

55.01.0

0

6.04

4.1

45.1

≤⋅−⋅+−=

>⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅+⋅=

−−=

⋅+=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅⋅−−⋅−⋅=

−

−−⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −−

−

D: Distancia al punto de impacto de la línea [m]

La ecuación desarrollada por el autor y que a lo largo de este documento se llamará como ecuación de Pérez et al. fue obtenida a partir de un análisis estadístico multivariado con el fin de observar la influencia de varios parámetros en el cálculo de las tensiones inducidas. Este estudio fue realizado mediante la simulación de más de 400 casos para una línea de 1 km de largo, usando una variación aleatoria de siete parámetros. Los parámetros analizados que se tuvieron en cuenta fueron: la conductividad del terreno, el ángulo de incidencia del punto de impacto del rayo a la línea (Figura 2-1), la amplitud de la corriente, el tiempo de frente y de cola y finalmente la velocidad de la descarga del canal. Para este caso se usó el modelo MTL para la descripción de la descarga de retorno, la ecuación de Heidler para representar la corriente en la base del canal, y el modelo de Agrawal como modelo de acople

Lightning strike zone

Measurements Points

R

α

Lightning strike point

Figura 2-1 Área de evaluación para el análisis de una línea Configuración para el análisis multivariado,

La ecuación realizada por Pérez et al., incluye como variables de entrada, el tiempo de frente de la onda, la conductividad del terreno, el ángulo de incidencia en la línea, la amplitud de la corriente, la velocidad del canal de la descarga y la altura de la línea.

[ ]0.755 0.98 0.4

max 0.89 0.1 0.885 0.185.08 kVf

h I vVR tα σ

⋅ ⋅= ⋅⋅ ⋅ ⋅

(2.3)

donde: h: altura de la línea [m] R: Distancia entre el punto de impacto y el inicio de la línea [m] α : Angulo de incidencia [rad] o: Conductividad del terreno [S/m] I: Corriente pico en la base del canal [kA] tf: tiempo de frente de la onda de corriente de la descarga de retorno [µs]

Este estudio incluyó la comparación de formula de Rusck (2.1) y la ecuación de Jankov (2.2) con más de 400 casos simulados a una línea de 1km de longitud y 10m de altura. Las simulaciones se hicieron utilizando el modelo de Agrawal como modelo de acople y el modelo

21

MTLE para describir la corriente de la descarga de retorno en el canal. Como se puede apreciar en la Figura 2-2 las ecuaciones Jankov (2.2) y Perez et al. (2.3) presentaron un error medio del 16% la ecuación propuesta por Rusck presentó un error relativo medio mayor que las otras dos ecuaciones. La varianza de la ecuación de Rusck y Jankov fue mucho mayor que (2.3), alcanzando errores relativos superiores al 100%. Adicionalmente fueron analizadas estas ecuaciones teniendo en cuenta la conductividad del terreno, lo que produjo que los errores de la ecuación de Rusck se mantuvieran en 20% y la de Jankov aumentaran al 30%.

Cumulative Probabiity for Relative Error

0,0%

10,0%

20,0%

30,0%

40,0%

50,0%

60,0%

70,0%

80,0%

90,0%

100,0%

0% 20% 40% 60% 80% 100%Error [%]

Prob

abili

ty [%

]

Ec. (2)Rusck1Janckov

Figura 2-2: Comparación de las ecuaciones a partir curva de distribución de probabilidad para los errores

relativos, de las diferentes ecuaciones comparada con la solución del modelo de Agrawal por medio de métodos numéricos. (línea continua: Perez (2.3), línea punteada: Rusck (2.1), línea sombreada: Jankov(2.2)

A pesar de que para algunos casos los resultados de todas las ecuaciones son aceptables, los errores no dejan de ser despreciables y no permiten considerar redes complejas con elementos conectados a ella, por lo tanto, realizar la estimación del desempeño de la línea para líneas complejas con estas ecuaciones no es adecuado.

En la actualidad se ha mostrado que para tener datos confiables en el cálculo de las tensiones inducidas es necesario que tales cálculos se hagan para sistemas complejos en donde se pueda introducir componentes propios de los circuitos de distribución y tener en cuenta las ramificaciones del sistema [54].

Es por esto que se hace indispensable usar software especializado que permita un estudio más profundo para redes complejas, los cuales además del cálculo de la inducción en la línea permitan incluir elementos como transformadores, descargadores de sobretensión, etc. Existen algunas programas computacionales los cuales solucionan las ecuaciones de acople a partir de métodos numéricos: el LIV-ATP [7;11;12] y el LIOV-EMTP [16;17]. El programa LIV-ATP es de acceso libre para los usuarios de ATP y el programa LIOV-EMTP es limitado y se debe adicionalmente tener la licencia de EMTP.

En este capítulo se discuten las ventajas y desventajas de dos de las implementaciones más conocidas que están desarrolladas para ser utilizadas en programas de análisis transitorio como el ATP/EMTP la cual está implementada en tres diferentes programas computacionales, LIOV-EMTP, LIV-ATP y el YALUK1-ATP, este último es un desarrollo que se ha venido haciendo desde hace más de 8 años por el autor [4;71;72] el cual esta basado en la metodología del programa usado por el LIOV-EMTP y está implementado en el ATP. Este nuevo programa computacional diverge en el esquema de vinculación con el programa de análisis transitorio ATP presentando así una nueva propuesta.

1 Programa computacional llamado YALUK en honor al jefe de los dioses del rayo según la cultura Maya

22

Existen otras metodologías para la implementación de algoritmos para el cálculo de tensiones inducidas las cuales algunas de ellas están descritas en la tesis de doctorado que se está realizando paralelamente a esta por Herrera [29]

2.1 Metodología de Cálculo 1

Uno de los programas más conocidos que utiliza esta técnica es el LIOV (Lightning Induced Overvoltages) desarrollado por una serie de investigadores de Italia y Suiza y que está descrito en varios artículos [16;17;38], el cual también está vinculado con el programa para análisis transitorio EMTP utilizando TACS y MATLAB recurriendo a la Toolbox de Power Systems. El programa desarrollado en este trabajo doctoral2 presenta una metodología diferente a la del LIOV para vincular el programa con el software de análisis transitorio ATP por medio de foreign models.

Esta metodología se basa en el modelo de Agrawal et al. para considerar el acople electromagnético, teniendo en cuenta la conductividad del terreno tal como se describió en el capitulo 1. Dado que para solucionar las ecuaciones del modelo de acople se usa el método de diferencias finitas, entonces, es necesario dividir la línea en segmentos de tamaño x∆ y asignar un valor de t∆ que cumpla con la condición de Courant [73] para obtener estabilidad como se expone en el numeral 2.1.1. Conociendo las divisiones de la línea se calcula la componente de campo eléctrico horizontal en todos los segmentos de línea y el campo eléctrico vertical en las fronteras y en los puntos donde se quiera hacer una evaluación de la tensión total. El acople de la línea se hace utilizando el modelo de Agrawal et al. el cual es solucionado por medio del método de diferencias finitas.

2.1.1 Solución modelo de acople por diferencias finitas

Existen dos variaciones del método de diferencias finitas para solucionar las ecuaciones de línea de transmisión: el método de punto central [6;73] y el método de diferencias finitas de segundo orden basado en el algoritmo de Lax-Wendroff[74] e implementado para las ecuaciones de línea de transmisión por Paolone [75] y por Omock [76]. Los dos esquemas de discretización de la línea son mostrados en la Figura 2-3. Estos dos métodos se basan en las expansiones de la serie de Taylor en donde es posible reemplazar las ecuaciones diferenciales por ecuaciones de diferencia que se solucionan recursivamente.

Este tipo de implementación permite tener en cuenta las pérdidas en la línea y efectos de no linealidad en los parámetros de la línea como por ejemplo variaciones en la capacidad de la línea debido a variaciones de altura y adicionalmente fenómenos como efecto corona [77;78]. La estabilidad de este método depende principalmente de que tan pequeño sea el t∆ y el x∆ cumplan con la condición de Courant, t x v∆ ≤∆ [73], sin embargo de acuerdo con Omick y

Castillo [76], el método de segundo orden obtiene mejores resultados para. 2t x v∆ ≤ ⋅∆

En el desarrollo del método de diferencias de segundo orden se hace mediante un truncamiento a las expansiones de la serie de Taylor en el segundo orden y se desprecia las derivadas de tercer orden en adelante. Esto hace que se obtenga información de más puntos de tensión y corriente pasadas para calcular el valor futuro; de tal manera que el método es numéricamente más estable y más preciso que el primero, sin aumentar de manera considerable el tiempo de cálculo [75]; adicionalmente, éste método calcula la tensión y la corriente inducida en el mismo punto, evitando tener que extrapolar la solución al final de la línea, como se tiene que hacer en el método de primer orden. (Figura 2-3).

2 Al cual se le ha dado el nombre de YALUK

23

I kmax-1/2

V kmax-1 V kmaxV 2V1V 0

I 1/2 I 1/2

n+1/2

n

n-1

n-1/2

n+1

-

+ +

0

E dzh

z

0 kmax

E dzh

z

0

I 0R0

I i

V i

I kmax-3/2

V kmax-2

I kmaxRkmax

n-1

n

n+1

n-1/2

n+1/2

(V1,I 1)

n-1/2

n-1

n

n+1

n+1/2 n+1/2

n

n-1

n-1/2

n+1

(V2,I 2) (V 3,I 3) (Vkmax-2,I kmax-2) (Vkmax-1,I kmax-1) (Vkmax,I kmax)

-

R0

+

I 0

0

E dz0

z

h

0

kmax

+z

h

Rkmax

Vi

I i

a) b) Figura 2-3: Esquema de discretización para una línea mediante el método de diferencias finitas a) de punto

central b) segundo orden

[ ]

[ ][ ] [ ]

211 1 1 1 1 1

1 1 1 1 12

2 2 2

22 2

n nn n

g gn n k k k kk k

n n n n nx xk k k k k

v vi i tv v t C' LCx x

E E v v vt LCx x

−+ − + − + −

− + − + −

⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤− ⎟⎛ ⎞− ⎜∆ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟= −∆ ⋅ + −⎟ ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎝ ⎠∆ ∆⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎛ ⎞− + −∆ ⎟⎜ ⎟⎜− − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∆ ∆⎝ ⎠

(2.4)

[ ] [ ] ( )[ ] [ ] [ ] [ ]( )

111 1 1 1

21 11 11 1

2

'2 2

2' ' '

2 4

n nn n nnn n k k

k k x g g gk k k k

n n nn nk k k

x xk k

v v ti i t L' E v L v vx

i i it tL C L E Ex

−−+ − + −

+ −− −+ −

⎛ ⎞− ∆⎟⎜ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= −∆ ⋅ − + − −⎟⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎟⎜⎝ ⎠∆⎛ ⎞+ −∆ ∆⎟⎜− + −⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠∆

(2.5)

( ) [ ]0

( , )t

g gv z i x tτ τ= ⋅ −∫ (2.6)

Donde,

x∆ : es el paso de integración especial

dt : es el paso de integración en el tiempo

k : indica la posición en el espacio [1,2,…, kmax] n : indica la posición en el tiempo [1,2,…, nmax] v : Es la tensión inducida dispersa (scattered)

i : Corriente inducida en la línea

C : Es la capacidad por unidad de longitud

L : Inductancia por unidad de longitud

2.1.2 Cálculo del Campo eléctrico e inclusión del efecto de la conductividad en el dominio del tiempo

Las ecuaciones diferenciales de campo electromagnético para conductividad infinita planteadas en el capítulo anterior (1.4)-(1.6), son calculadas utilizando un método de integración numérica lo que permite calcular el campo electromagnético utilizando cualquier forma de onda y cualquier “modelo de ingeniería” para describir la descarga de retorno del rayo.

Para considerar la conductividad del terreno se usa la aproximación de Cooray-Rubinstein (1.7) la cual está expresada en el dominio de la frecuencia. Para obtener una solución en el dominio se usa la metodología planteada por Thomson en [79] lo que permite encontrar una solución

24

analítica a estas ecuaciones. Esta metodología se basa en representar la onda por medio de una sumatoria de rampas tal como se expresa en (2.7) lo que permite obtener la transformada inversa de Fourier analíticamente a la función que considera la conductividad como se muestra en (2.8).

( ) ( )1

( )n

p ii

H t m t ti u t tiφ=

= − ⋅ −∑ (2.7)

Donde mi es la variación de la pendiente de la función H(t), u(t) es la función escalón, y ti es el

retardo en tiempo.

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )0 11

in

p t tir i i

i rg

mE t t ti I p t t I p t t e u tσ ε− ⋅ −

=

⎡ ⎤= − ⋅ − + ⋅ − ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦∑ (2.8)

Donde: E

rs : es la corrección para la componente de campo eléctrico horizontal considerando la

conductividad del terreno I

0 e I

1 son las funciones de Bessel de la primera clase

02g rgp σ ε ε=

2.1.3 VINCULACIÓN del LIOV en EMTP/MATLAB

El programa LIOV se ha desarrollado para que calcule la inducción en la línea para el primer paso de tiempo y luego la tensión en la frontera es calculada por el EMTP o el Toolbox de Power Systems en MATLAB. Los datos calculados en la frontera son introducidos al programa LIOV como datos de entrada para calcular el siguiente paso de tiempo. La unión en el extremo de la línea se hace por medio de un tramo ∆x sin pérdidas adicional a la línea analizada, el cual no está afectado por ningún campo electromagnético como se muestra en la Figura 2-4.

ZLoad

h

zE dz0

0

E dz0

z

hL

-

+

I0'

Vkmax'

I0

V0 V 1 Vkmax

I 1

L

I 0

ZLoad

-

+

I 0'

∆x2 ∆x

línea con inducción Electromagnética

Tramo de línea sin inducción Electromagnética

V0'

Campo Electromagnético Incidente

Figura 2-4: Conexión de una impedancia Zload en una línea aérea por medio de una línea sin Pérdidas

adaptado de [16]

A partir del método de Bergeron para la línea representada en la Figura 2-4, se pueden escribir las ecuaciones según la representación Thevenin obteniendo así las ecuaciones (2.9) y (2.10); el circuito equivalente se muestra en la Figura 2-5.

El LIOV/EMTP se implementó de manera tal que el EMTP calcule las condiciones de frontera a partir de los datos que envía el LIOV (programado en TACS/EMTP o en S-function en MATLAB) a una fuente; la tensión y la corriente del circuito en EMTP es enviado al LIOV para que este calcule la inducción en la línea y la propagación del transitorio por el método de diferencias finitas y envíe la información calculada en su frontera para continuar con el siguiente paso de tiempo. La solución se hace paso a paso a un t∆ determinado. El esquema de esta implementación esta presentado en la Figura 2-6.

25

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

' '0 0 0 0

' '0 0 0( )

c c

c

v t Z i t v t t Z i t t

v t Z i t U t t

⎡ ⎤= ⋅ + −∆ − ⋅ −∆⎣ ⎦= ⋅ + −∆

(2.9)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

' '0 0 0 0

'0 0 0( )

c c

c

v t Z i t v t t Z i t t

v t Z i t U t t

⎡ ⎤= ⋅ + −∆ − ⋅ −∆⎣ ⎦= ⋅ + −∆

(2.10)

Donde: Z

c : Es la Impedancia Característica

∆t : es el tiempo de propagación de la tensión y de la corriente a lo largo del tramo.

0sv vs

1v'0

0 0

0i' i

0

E dzz

h0

0

Línea sin Pérdidas

U'

Zc

-+

-+U

Zc

I1

+-

Zload

Figura 2-5: Representación del final del circuito para la línea aérea, utilizando el método de Bergeron

adaptado de [17]

a

Solución Método Diferencias

Finitas + línea Bergeron

LIOV/EMTP

Va Vb

R=Zc

+_ ZL Ur0

Fuente TAC –EMTP

Ukmax

Impedancia de Carga

TACS / S-Function EMTP/MATLAB-SPS EMTP/MATLAB-SPS

+_

Ia Ib

b

Figura 2-6: Esquema de interfase entre el código de cálculo de tensiones inducidas y el EMTP/MATLAB

mediante TACS/S-Function adaptado de [17]

2.1.4 Vinculo de YALUK en ATP - Implementación propuesta

En esta tesis doctoral se realizó una modificación a la metodología anterior en donde no se añade un segmento de línea sin pérdidas, evitando de esta manera errores por la adición de este segmento cuando se simulan redes complejas con un gran número de nodos en ella.

Para implementar esta solución fue necesario buscar otro método el cual permitiera poder enviar la información al ATP de manera nodal para que este solucione las condiciones de frontera. Teniendo en cuenta esto se propone remplazar el último segmento de línea por un segmento de línea iluminada por el campo electromagnético producido por el rayo cercano.

Con el método comúnmente llamado “método de las características” originalmente atribuido a Branin [80], se halló una solución analítica a las ecuaciones de línea de transmisión con fuentes distribuidas, si se supone que el campo electromagnético se propaga homogéneamente por la línea a una velocidad constante sin pérdidas. Este método busca transformar una ecuación

26

hiperbólica de derivadas parciales en el plano x y− en ecuaciones diferenciales ordinaria. Las

dos ecuaciones ordinarias llevan la información de propagación, una de la onda incidente y la otra de la onda reflejada. Esto conlleva a que existan 2 ecuaciones que definen las curvas características (2.11)

1

2

1 Característica hacia adelante' '1 Característica hacia atras' '

p

p

dxvdt L Cdxvdt L C

= =

= = − (2.11)

Donde

pv : es la velocidad de propagación, el subíndice indica la dirección

'L : Es la inductancia por unidad de Longitud de la línea

'C : Es la Capacidad por unidad de Longitud de la línea

Con la utilización de este método se obtienen unas ecuaciones similares a las ecuaciones de línea ideal sin fuentes, propuesta por Dommel [81], en donde se introduce adicionalmente un término fuente que representa la inducción producida por el campo electromagnético.

Utilizando las ecuaciones de línea de transmisión de Agrawal y asumiendo las funciones de tensión, corriente y las componentes de campo electromagnético se puede obtener (Ver Anexo A) la ecuación diferencial para la característica hacia adelante y hacia atrás es escrita en (2.12).

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

1

2

, , , Característica hacia adelante

, , , Característica hacia atras

sc p x

sc p x

dv x y Z di x y v E x y dt

dv x y Z di x y v E x y dt

+ =

− = (2.12)

Donde

cZ L C= : Es la impedancia Característica

A partir de (2.11) se tiene que 1 ' 'pdx v dt dx L C= ⋅ = y sustituyendo en (2.12) se obtiene

(2.13):

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

, , , ,

, , , ,

sc x

sc x

dv x y Z di x y E t x y dx

dv x y Z di x y E t x y dx

+ =

− = − (2.13)

Reorganizando e integrando a lo largo de la característica hacia adelante, de 0x = a x L= , donde L es la longitud de la línea se obtiene (2.14)

El resultado de la integración (2.14) representa la tensión dispersa y la corriente total en un extremo de la línea en función de la tensión y la corriente retrasados un tiempo τ del otro extremo de la línea y la integral a lo largo de la línea de la fuente de campo eléctrico horizontal.

En esta tesis doctoral se propone combinar los dos métodos de solución de las ecuaciones de línea de transmisión, en donde el método de diferencias finitas calcule la gran mayoría de inducción en la línea y todas las componentes transitorias existentes, como por ejemplo la resistencia transitoria del terreno, efecto corona, etc. Y el método de las características remplace el último segmento de línea con el cual se envíe la información a un programa de análisis transitorio para que calcule las condiciones de frontera para un dispositivo cualquiera instalado en el final de la línea.

27

( )

( )

( )

( )

00,

0

,

( , ) ( , ) (0, ) (0, ) , ,

(0, ) (0, ) ( , ) ( , ) , ,

r

r

Ls s

c c x

U t

Ls s

c c x

U L t

v L t Z i L t v t Z i t E t x y dx

v t Z i t v L t Z i L t E t x y dx

τ τ

τ τ

= − + − + − +

= + − − − −

∫

∫ (2.14)

Donde τ : Es el tiempo de viaje de la onda de un extremo al otro

rU : fuente que representa la inducción en ese punto y la información del punto opuesto

La línea se procede a dividir en segmentos de tamaño x∆ , tal como se hace en el método de diferencias descrito en 2.1.1. Los segmentos a los extremos de la línea tienen un tamaño 2x∆ (donde, 2 px v dt∆ = ⋅ ). El segmento de línea 2x∆ es menor o igual que x∆ . Los segmentos a

los extremos de la línea son solucionados a partir del método de las características, haciendo que L sea igual 2x∆ y τ sea igual a dt , donde dt es el paso de integración escogido para el método de diferencias finitas. Con este método es posible expresar las tensiones en forma nodal lo que hace factible la inclusión de estas en el programa ATP.

El esquema mostrado en la Figura 2-7 representa la unión de los dos métodos de cálculo para la solución de las ecuaciones modificadas de Agrawal, en donde se ha discretizado la línea y el subíndice de la tensión y la corriente indican la división en el espacio, la cual varía desde 0 hasta kmax. Éste esquema representa la tensión dispersa calcula de manera adecuada esta tensión en los extremos, sin embargo, para incluirlo en el ATP es necesario expresar las ecuaciones al final de la línea en términos de la tensión total y al extremo interior de la línea en términos de la tensión dispersa.

La Figura 2-8 representa el esquema de solución de la línea de transmisión usando los dos métodos de solución expresando los extremos de la línea en función de la tensión total y los puntos internos a la línea en función de la tensión dispersa. Las ecuaciones del último segmento de línea son expresadas, de acuerdo a las direcciones de corriente mostradas en la Figura 2-8, una en términos de la tensión dispersa y el otro en términos de la tensión total para que puedan ser solucionadas en ATP como se muestran en (2.15) a (2.18), en donde las ecuaciones (2.16) y (2.18) representan las nuevas ecuaciones de frontera para la solución del método de diferencias finitas y las ecuaciones (2.15) y (2.17) son solucionadas por el ATP.

Cálculo método de Diferencias Finitas

skmaxkmax-1

svkmax-2sv2

sv1sv0

sv

1 kmax-1

ikmaxi0

E dz0

h

z

0

+zE dz

0

h

-

kmax

ZLoad

v

∆x2∆x2

-

+

Zload

L


i

Cálculo método de Características

∆x

i i

Figura 2-7: Esquema de discretización de la línea para el cálculo de las tensiones inducidas calculando la

tensión dispersa

28


L

Zc

∆x2

+

-

0i

vt0

∆x

v1 v2 kmax-2v


kmax-1v kmaxvt

-

+

i1Zc

Z load

Ur0 Ur1-

Urkmax-1

+

i Zckmax-1

Z load

ikmax

∆x2

kmaxUr

Zc

Figura 2-8: Esquema de discretización de la línea para el cálculo de las tensiones inducidas con vínculo en

ATP

0

21 1

0 0 1 1 00 0

i

n

hxn n n n n n

t c c x z

Ur

v Z i v Z i E dx E dz∆

− −= + − ⋅ − −∫ ∫ (2.15)

1

21 1 1

1 1 0 0 00 0

i

n

hxn n n n n n

c t c x z

Ur

v Z i v Z i E dx E dz∆

− − −= − + + ⋅ + +∫ ∫ (2.16)

max

1 1max max max 1 max 1 max

2 0

i

nk

hLn n n n n n

tk c k k c k x zkL x

Ur

v Z i v Z i E dx E dz− −− −

−∆

= + + ⋅ − −∫ ∫ (2.17)

max 1

1 1 1max 1 max 1 max max max

2 0

i

nk

hLn n n n n nk c k tk c k x zk

L x

Ur

v Z i v Z i E dx E dz

−

− − −− −

−∆

= + + ⋅ + +∫ ∫ (2.18)

Donde,

k : indica la posición en el espacio [1,2,…, kmax] n : indica la posición en el tiempo [1,2,…, nmax] v : Es la tensión inducida dispersa (scattered)

vt : Es la tensión inducida dispersa (scattered)

i : Corriente inducida en la línea

cZ : Es la impedancia característica de la línea

El procedimiento de vinculación con el al programa de análisis transitorio similar al desarrollado por LIOV en donde se solucionan inicialmente los datos de frontera en ATP y luego la tensión de la frontera es enviada al YALUK para solucionar las ecuaciones de la línea de transmisión, luego de solucionada la línea para un intervalo de tiempo dt , el YALUK envía la la tensión obtenida en sus fronteras a una fuente tipo TAC 60 en ATP. La inclusión de este programa se hizo usando foreign-MODELS de ATP, mediante una librería dinámica dll, la cual está descrita en el Anexo 2 y que además de brindar mayor velocidad permite mayor versatilidad, ya que en una librería dll puede usar todo el potencial de los programas de desarrollo computacional.

29

0 Solución por

Diferencias Finitas y Método Características

YALUK

R=Zc kmax

V0

+_ +_

Vkmax

R=Zc

ZL ZL Ur0 Ukmax

Fuente Type60 –ATP Impedancia de

Carga

Foreign MODELS ATP ATP

Figura 2-9: Esquema de interfase entre el código de cálculo de tensiones inducidas y el ATP mediante Foreign Models

2.2 Metodología de Cálculo 2

Esta metodología se basa en el modelo de Agrawal et al. para una línea sin pérdidas y sin tener en cuenta la resistencia transitoria del suelo. Las ecuaciones de línea de transmisión son solucionadas a partir del método de las características para una línea con fuentes distribuidas. Esta solución logra representar la línea con inducción electromagnética como una línea Bergeron con una fuente modificada que incluye la inducción electromagnética.

2.2.1 Método de solución por método de las características

Hφidalen [7;11-13] implementó este modelo en el ATP en donde soluciona las ecuaciones de línea de transmisión por el método de las características para la tensión total, como se describió en 2.1.4, lo que se puede representar como un circuito desacoplado como se muestra en la Figura 2-10, el cual se asemeja a la representación de una línea Bergeron con una fuente de inducción adiconal _0indv y _ind Lv , que están en función del campo electromagnético radiado por el rayo.

Las fuentes de inducción son calculadas a partir de las ecuaciones de campo electromagnético presentadas en el capitulo 1 y siguiendo la metodología planteada por Rusck como se describe en la siguiente sección.

Z0

-+

vr_L

ZL

+ vind_L-vind_0 -

+

+

-vr_0

i_Li_0

vLv0

++

--

Figura 2-10: Configuración del modelo de Hφidalen. Las expresiones de Dommel se pueden planear como se

muestran el la ecuación 3. Adaptado de [7]

30

_0 _0

_ _ 0

( ) ( ) ( ) ' ( )

( ) ( ) ( ) ' ( )r ind L L

r L ind L L

v t v t v t Z i t

v t v t v t Z i t

τ τ

τ τ

= + − + ⋅ −

= + − + ⋅ − (2.19))

Donde,

_0/ind Lv : es el término de inducción de la línea

Z’: es la impedancia característica de la línea

2.2.2 Cálculo del campo eléctrico e inclusión del efecto de la conductividad en el dominio del tiempo

Esta metodología calcula las ecuaciones de campo electromagnético con conductividad infinita (1.4)-(1.6) a partir de una solución analítica así como la propuesta por Rusck [49]. Esta solución se obtiene a partir de la respuesta que tienen las ecuaciones de campo electromagnético cuando se considera el modelo de Línea de Transmisión (TL) para describir la descarga de retorno. A partir de esta solución y usando el método de convolución es posible transformar esta respuesta en función de cualquier forma de onda [7;11;13].

Para considerar el efecto de la conductividad del terreno en la inducción de campo electromagnético se utiliza de igual manera que en la metodología anterior la aproximación de Cooray-Rubinstein (1.7).

La fuente de inducción esta representada por la suma de los campos electromagnéticos de componente horizontal y vertical, como se presenta en (2.20).

Es claro que el término fuente de inducción contiene el cálculo de una doble convolución, una usada para tener en cuenta la conductividad del terreno y la otra para tener en cuenta la forma de onda de la corriente. Dado que esto implica un gran tiempo de cálculo, esta ecuación en la metodología planteada en [12] calculó inicialmente la convolución entre 1g y 0g usando una forma

de onda triangular obteniendo así, para este caso, una solución analítica expresada por las ecuaciones de Bessel.

Para la solución de las ecuaciones de Bessel es usado un término de aproximación (2.25) el cual es comparado en la Figura 2-11.

31

( ) ( ) ( )

( )

0

0

00

0

, , ( , , ) ( , , )

,

L

L

x h

ind x z z Lx

x

xx

v x y E x t dx E x z t E x z t dz

g B x t dx

τ∞

∞

⎛⎜⎜= ⋅ − − −⎜⎜⎜⎝⎞⎟⎟+ ∗ ⋅ ⎟⎟⎟⎟⎠

∫ ∫

∫ (2.20)

( ) ( ) ( )1 inf 1 0, ( ) , ( ) ,indv x y g t v x y g t g v x yσ∆= ∗ + ∗ ∗ (2.21)

Donde

indv : Fuente para considerar componente de inducción en la línea

infv : Fuente calculada a partir del campo electromagnético para conductividad infinita

v σ∆ : Fuente calculada para tener en cuenta la conductividad del terreno

g1: Función que representa la función

∗ : Denota convolución

01( )

2r

sg ss aε

=+

(2.22)

0/(2 )ra σ ε ε= ⋅ (2.23)

( )0

,Lx

xx

U B x t dxσ∞

∆ = ⋅∫ (2.24)

12f a tπ= ⋅ ⋅ (2.25)

1 0 -1 1 0 0 10 10

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

1

1 .2

1 .4

1 .6

1 .8

2

at Figura 2-11: Comparación entre la función de Bessel y el argumento de aproximación, adaptado de [13]

Cabe notar que la función presentada obtiene resultados aceptables cuando 1 2a t π⋅ ≥ esto

hace que exista una restricción al hacer que ∆t sea mayor a ( )1 2t aπ∆ ≥ ⋅

2.2.3 Implementación en ATP

La metodología anteriormente mencionada se implementa en ATP por medio de MODELS, el cual calcula las fuentes de inducción 0rU y maxrkU para luego enviarlas al ATP a cada intervalo de

tiempo dt por medio de fuentes TAC tipo 60. La información de la tensión calculada en la

32

P0 P1 P0 P0

P1

frontera es calculada por ATP y luego es enviada al código LIV implementado en MODELS. Este proceso se realiza para cada intervalo de tiempo hasta llegar al tiempo total de simulación.

a Solución Método Características

LIV/ATP

R=Zc b

Va

+ _ +_

Vb

R=Zc

ZL ZL Ur0 Ukmax

Fuente Type60 –ATP Impedancia de

Carga

MODELS ATP ATP

Figura 2-12: Esquema representativo de la interfase del LIV-ATP para una línea sencilla. adaptado de [7]

2.3 Comparación de Resultados

En esta sección se presenta la comparación numérica de los tres programas computacionales descritos en este capítulo para poder evidenciar por medio de simulaciones sus ventajas y/o desventajas en la estimación de tensiones inducidas para diferentes casos. La comparación de las metodologías es realizada para diferentes configuraciones de línea, diferentes puntos de impacto y el efecto de considerar la conductividad del suelo. Adicionalmente, se realiza un análisis para redes de distribución complejas que incluyen ramificaciones y componentes en sistemas de potencia basado en las mediciones y comparaciones hechas a un circuito piloto en Brasil [8;9]. Este análisis aporta información en cuanto a las ventajas y desventajas de cada programa al igual que muestra su validez en una red compleja para un circuito experimental.

2.3.1 Línea aérea sobre un suelo perfectamente conductor

La comparación entre las diferentes metodologías se realizó para línea sin pérdidas sobre un terreno perfectamente conductor. El esquema de la línea con los puntos de impacto se muestra en la Figura 2-13, la línea tiene una altura de 10 m y un conductor de 1 cm de diámetro. La línea en sus dos extremos está puesta a tierra por medio de una resistencia de valor igual a la impedancia característica. Teniendo en cuenta que el programa LIV-ATP está limitado a utilizar el modelo TL para describir la descarga de retorno, entonces, para todos los casos se hace una comparación utilizando éste modelo. Para la forma de onda en la base del canal se utilizó una corriente de rayo tipo doble Heidler3. 12kA y di/dt = 40 kA/µs .

500m

50m

500m

50m

Punto de Impacto

Punto de Observación

Línea de Distrubución Aérea

A1 A2

B2

B1

500m

250m

Figura 2-13: Esquema de los casos de prueba

3 La forma de onda tipo Heidler en el programa LIV-ATP como está implementado en la actualidad, solo se puede usar únicamente para conductividad infinita

33

Las líneas en ATP fueron simuladas por medio de la composición de 4 segmentos de líneas monofásicas de 250m, mientras que en LIOV-EMTP, se consideró una sola línea y los valores intermedios fueron calculados internamente por el programa con el método de diferencias finitas.

Con esta comparación se obtuvieron resultados casi idénticos, como se muestra en las figuras II-15 y II-16.

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Tiempo [us]

Am

pli

tud

Máx

ima

[kV

]

LIOV-EMTP

YALUK-ATP

LIV-ATP

P1 P2 P3 P4 P5

500m

Figura 2-14: Comparación de la tensión inducida en una línea de 1km para un rayo ubicado a 500m del lado

de la línea, para una forma de onda de la corriente del rayo tipo doble Heidler con una amplitud 12kA y di/dt = 40 kA/µs y conductividad infinita

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

10.0

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Tiempo [µ s]

Ind

uce

d v

olt

age

[kV

]

LIOV-EMTP YALUK-ATP LIV-ATP

P1 P2 P3 P4 P5

500m

Figura 2-15: Comparación de la tensión inducida en una línea de 1km para un rayo ubicado a 500m del centro de la línea, para una forma de onda de la corriente del rayo tipo doble Heidler con una amplitud

12kA y di/dt = 40 kA/µs y conductividad infinita

Para todos los casos simulados con diferentes puntos de impacto y formas de onda e incluyendo líneas trifásicas se obtuvieron resultados prácticamente idénticos mostrando que para conductividad infinita y una línea sin ramificaciones los programas evaluados pueden considerarse equivalentes.

2.3.2 Línea aérea sobre un suelo con conductividad finita

En esta sección se analizan los tres programas para el caso de conductividad finita de 0.001 S/m en una línea recta de 1km de longitud y punto de observación P1 tal como se muestra en la Figura 2-13. Teniendo en cuenta que el código LIV-ATP está basado con una línea perfectamente conductora, los casos iniciales se basan para una línea sin pérdidas y luego se hace un análisis sobre la influencia que tiene la impedancia transitoria del terreno en los cálculos, para analizar sus diferencias. Para los casos de conductividad finita fue usada una corriente de rayo con forma de onda triangular con un valor máximo de 12 kA a 1.2 µs y de 6 kA a 50 µs.

34

En la Figura 2-16 se muestra que, en términos generales, todos los códigos presentan resultados similares, en donde su diferencia máxima es menor al 5%. Las diferencias entre los códigos están dadas principalmente en la solución de la aproximación de Cooray-Rubinstein para considerar la conductividad del terreno, en donde la aproximación hecha en LIV-ATP las integrales de Bessel son solucionadas a partir de una aproximación como fue descrito anteriormente. La diferencia en los otros dos programas puede estar asociada principalmente al método numérico utilizado para solucionar la convolución y las integrales que son necesarias realizar para encontrar la solución.

Cuando se tienen en cuenta la conductividad del terreno se obtienen resultados muy similares para los tres programas, siendo el LIV-ATP el que presenta mayores diferencias. Los casos donde existe mayor diferencia son para aquellos donde el impacto del rayo es cercano a la línea en alguno de sus extremos.

-10.0

-5.0

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

25.0

30.0

35.0

40.0

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20Tiempo [µ s]

Ten

sión

In

du

cid

a [k

V]

LIOV-EMTP YALUK-ATP LIV-ATP

P1 P2 P3 P4

50 m

Figura 2-16: Comparación entre LIOV-EMTP, LIV-ATP y YALUK-ATP para una línea de 1km, incluyendo una

conductividad del suelo de 0.001 S/m, sin tener en cuenta la impedancia transitoria del suelo, para el punto de observación P1.

-80.0

-60.0

-40.0

-20.0

0.0

20.0

40.0

60.0

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20Time [us]

Indu

ced

volta

ge [k

V]

LIV-ATP LIOV-EMTP YALUK-ATP

P1 P2 P3 P4 P5

50m

1km

Figura 2-17: Comparación entre LIOV-EMTP, LIV-ATP y YALUK-ATP para una línea de 1km, incluyendo una

conductividad del suelo de 0.001 S/m, sin tener en cuenta la impedancia transitoria del suelo, para el punto de observación P1 y P5

2.3.2.1 Efecto de la impedancia transitoria del suelo

A continuación se presenta en la Figura 2-18 la influencia que tiene la impedancia transitoria en una línea aérea de 5 km de longitud sobre un suelo con una conductividad de .001 S/m. Es evidente que para distancias mayores a 1km la impedancia transitoria del suelo tiene un efecto apreciable en la tensión inducida haciéndola que se atenué a lo largo de ella.

35

Cuando no se considera la impedancia transitoria del suelo se presentan diferencias importantes si la línea es mayor a 1km. Los programas LIOV-EMTP y YALUK-ATP presentan resultados similares, con diferencias menores al 5%. El programa LIV-ATP, donde no se considera esta impedancia, presenta diferencias muy superiores a 5% como se muestra en la Figura 2-18.

-100.0

-80.0

-60.0

-40.0

-20.0

0.0

20.0

40.0

60.0

80.0

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20Tiempo [µs]

Tens

ión

Indu

cida

[kV]

LIOV-EMTP LIV-ATP YALUK-ATP

0m 1km 2km 3km 4km

50m

5km

Figura 2-18: Comparación entre LIOV-EMTP LIV-ATP y YALUK considerando una impedancia transitoria para una línea de 5 km; Ubicación del rayo a 50 m del extremo izquierdo para una corriente triangular 1.2/50 µs

de 12 kA de amplitud, conductividad del suelo 0.001 S/m, Observación cada km

2.3.3 Comparación para redes complejas

Inicialmente se analiza las diferencias que existen entre las implementaciones para vincular el YALUK y el LIOV al programa de análisis transitorio, cuando se consideran las reflexiones. En este análisis se simularon dos casos: uno para una línea de 500m y el segundo para una línea de 1 km compuesta por dos segmentos de línea de 500 m. En los extremos de las líneas se colocaron transformadores representados por una capacidad de 453 pF en serie a una resistencia de 15 Ω. El punto de impacto del rayo se localizó a 50 m de un extremo de la línea. La corriente de rayo simulada tiene una forma de onda a partir de una onda doble Heidler con amplitud de 12kA y con un di/dt = 40kA. La conductividad del suelo se asumió infinita.

0.000

10.000

20.000

30.000

40.000

50.000

60.000

70.000

80.000

0 5 10 15 20 25

Tiempo [µs]

Ten

sión

[k

V]

LIOV

YALUK

retraso = 4dt retraso = 8dt

retraso = 1dt

retraso = 12dt

P2

50500m

PLinea 1

dt= 3E-8

0.000

10.000

20.000

30.000

40.000

50.000

60.000

70.000

80.000

0 5 10 15 20 25

Tiempo[µs]

Ten

sión

[k

V]

LIOV

YALUK

retraso = 1dt

retraso = 16dt

retraso = 8dt

P2

501000m

PLinea 1 Linea 2

dt= 3E-8

a) b) Figura 2-19 Efecto de la inclusión de una línea adicional sin pérdidas: Comparación entre la implementación

del LIOV y el YALUK. a) línea de 500m y b) línea de 1km

A partir de los resultados obtenidos se puede concluir que la implementación del LIOV, adiciona un retraso en la onda reflejada. Este retraso esta asociado al número de líneas, en donde por cada línea simulada la onda llega a tener un retraso de 4 veces el paso de tiempo dt y el retraso total se duplica cada vez que una onda es reflejada completamente. Este retraso en la onda puede producir errores apreciables mayores al 5% en la amplitud máxima si el paso de tiempo escogido para la simulación es mayor a 0.01µs (ver Anexo C).

36

Para una red más compleja se analizan los tres programas mediante la evaluación de un caso de una red ramificada como la mostrada en la Figura 2-20, la cual está compuesta por 5 segmentos de diferentes longitudes y terminada con transformadores trifásicos.

500m

700m

600m

500m

400m

0 1 2 3

4

5

S1 S4

S2

S3

50m

Figura 2-20: Esquema de una red de distribución compleja con transformadores

A B C

10m

0.66m1.66m CBA

CtCtCt

L

R

Ct=456pFCm=0.65nF

L=22µH

R=50ΩRnl Ir [A]

036543601620

Vr [kV]027.27.929.732.22

Lsa=1µH

L LL

RnlRnlRnl

r = 0.77 cm

Figura 2-21: Configuración Vertical de la red presentada en la Figura 2-20 y características de los

transformadores conectados

Los resultados para esta red compleja son muy similares a los mostrados en los casos anteriores. Sin embargo el LIV-ATP, por no considerar la impedancia transitoria del suelo, en algunos casos sobreestima la tensión inducida máxima. Algunos de los resultados se presentan en las siguientes figuras. El LIOV ATP muestra nuevamente el retraso sin embargo no es tan evidente debido a que el dt asumido es 0.01 µs.

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Time [µs]

Indu

ced

volta

ge [k

V]

LIV-ATP

LIOV-EMTP

P0

P1

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Time [µs]

Indu

ced

volta

ge [k

V]

LIV-ATPLIOV-EMTP

P5

P2

a) b) Figura 2-22: Figura 2-23: Comparación entre las tensiones inducidas para el conductor No 1 calculadas con

LIV-ATP y LIOV-EMTP para la red de distribución mostrada en la Figura 2-20. Ubicación del rayo S1; a) Punto de observación P0 y P1. b) Punto de observación P2 y P5.

37

2.3.4 Comparación con resultados experimentales para redes complejas

Teniendo en cuenta que la configuración de los sistemas de distribución en términos generales es ramificado, se analiza el problema para sistemas complejos tomando como base el circuito a escala montado por Piantini y Janischewskyj en 1992 [8], y en donde el programa LIOV-EMTP había sido utilizado en años anteriores para comparar las mediciones realizadas [9;82].

El circuito a escala simula una red de distribución compuesta por varias ramas, transformadores, descargadores y el neutro puesto a tierra. El circuito contenía un conductor vertical que representaba el canal del rayo de una altura de 600m. La velocidad de la corriente de la descarga de retorno por el canal para este experimento fue de 0.33m/s. Este circuito se considera que tienen un suelo de conductividad infinita.

Los casos utilizados para la comparación con los tres programas fueron dos casos para una red compuesta por 39 líneas de dos conductores (fase y neutro) con varios transformadores y algunos con descargadores. Los descargadores de sobretensión fueron realizados por medio de una combinación de diodos y resistencias; los transformadores fueron simplificados a una capacidad. Los elementos del sistema de distribución para las simulaciones son representados por capacidades, inductancias y resistencias no-lineales como se muestra en la Figura 2-25; las líneas son simuladas por segmentos de línea usadas en cada uno de los programas.

Figura 2-24: Curva Tensión-Corriente para los descargadores de sobretensión, tomado de [8]

r = 1 cm

N

B

8m

10

m

Lsa=1µH

Vr [kV]027.27.929.732.22

Ir [A]036543601620

RnlR=50Ω

L=22µH

Lsa

Rnl

L

R

L

R

L

Csa

Cm=0.65nF

Csa=13.2nF

CtCm

Ct=0.5nF N

NN

AA

M

A

Ct

L

R

Figura 2-25 Componentes del sistema y configuración vertical del circuito a escala, adaptado de [82]

Caso 1: La red en este caso se simula con 2 transformadores con descargadores y con la medición realizada en un punto cercano al impacto del rayo, el cual está a 70m de distancia del circuito. El rayo tiene una forma de onda triangular con una amplitud máxima de 70kA a 2 µs y de 35 kA a 80 µs

38

15

0

75

70

764628

594

478

384

326

174

658602

568452

358

304

148

42

L13 L14

L7

L34

L28L15 L16

L35

L29

L8

L17 L18 L19 L20 L21 L25 L26 L27L24L23L22

L37

L31

L38

L32

L39

L33

L9 L11 L12

L6L5L3L2L1

M

L4

L10

L30

L36Lightning

Circuito Fase-Neutro - Experimental

Figura 2-26 Esquema de la red experimental adaptado para el caso 1, adaptado de [82]

-100

-50

0

50

100

150

200

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Tiempo [ms]

Ten

isió

n

[kV

]

LIOV-EMTP96MediciónLIV-ATPYaluk-ATP

Figura 2-27: Comparación entre las mediciones de Piantini y Janischewskyj y los diferentes software

analizados para el punto de medición del caso 1, para una corriente de 70kA, con una onda triangular de frente 2 µs y 50 µs de cola.

Caso 2: La red en este caso se simula con un solo transformador con descargador y el resto sin descargadores; la medición en un extremo de una de las ramificaciones se realiza en un punto cercano al impacto del rayo, el cual está localizado a 70m de distancia del circuito. La corriente de rayo para este caso se aproxima a una onda triangular con amplitud máxima de 50 kA que ocurre a 2µs y 25 kA a 85µs

L36

L30

L10

L4

M

L1 L2 L3 L5 L6

L12L11L9

L33

L39

L32

L38

L31

L37

L22 L23 L24 L27L26L25L21L20L19L18L17

L8

L29

L35

L16L15L28

L34

L7

L14L13

42

148

304

358

452568

602658

174

326

384

478

594628

764

70

75

150

Circuito Fase-Neutro - Experimental

Figura 2-28: Esquema de la red experimental adaptado para el caso 2, adaptado de [82]

39

0

10

20

30

40

50

60

70

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Tiempo [µ s]

Ten

sió

n [

kV

]

LIOV-EMTP96

Medición

LIV-ATP

YALUK-ATP

Figura 2-29: Figura 2-30: Comparación entre las mediciones de Piantini y Janischewskyj y los diferentes

software analizados para el punto de medición del caso 2, para una corriente de 50kA, con una onda triangular de frente 2 µs y 50 µs de cola.

2.3.5 Validación con otros resultados experimentales

El programa LIOV-EMTP ha sido validado mediante varios resultados experimentales diferentes a los mostrados anteriormente en el circuito a escala y se describen a continuación. Una de estos experimento fue realizado por el grupo de investigación de sistemas de Potencia de la Universidad de Bolonia y el Instituto federal de tecnología en Lausana – Suiza [17;82]. En este experimento se construyó una red compuesta por 24 líneas como se muestra en la Figura 2-31, la cual fue sometida a un campo electromagnético producido por un simulador electromagnético EMP. Los resultados experimentales y teóricos para algunos de los casos realizados se muestran en Figura 2-32.

Figura 2-31: Red experimental sobre una placa metálica usada para la comparación entre las mediciones y el

programa LIOV. Gráfica tomada de [17]

40

Figura 2-32: Comparación para las corrientes inducidas entre las mediciones y simulaciones para los puntos de observación P1 y P4 teniendo terminaciones de 50 Ω en los punto P1,P2,P3 y P4 a) Punto P1, b) punto P2).

Gráfica tomadas de [17]

Resultados más recientes son lo realizados realizados por Petrache et al [68] en el Centro Internacional para la investigación y Prueba de Rayos (ICLRT) [83-85] a partir de rayos iniciados artificialmente (triggered lightning) en donde el sistema es a escala real compuesto por una línea de 4 conductores configurados verticalmente con una longitud de 750 m. La línea tiene conectados varios descargadores de sobretensión a lo largo de la línea y el conductor de neutro está aterrizado en varios puntos. Algunos resultados obtenidos por este grupo d einvestigaroes es mostrado en la Figura 2-33.

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

0.E+00 2.E-06 4.E-06 6.E-06 8.E-06 1.E-05

Time [s]

Indu

ced

Cur

rent

[A]

IB6 Simulated

IB6 Measured

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

0.E+00 2.E-06 4.E-06 6.E-06 8.E-06 1.E-05

Time [s]

Indu

ced

Cur

rent

[A]

IN6 SimulatedIN6 Measured

a) b) Figura 2-33: Comparación de mediciones de corrientes inducidas por rayos iniciados artificialmente en

experimentos realizados en Camp Blanding .

Las comparaciones realizadas tanto en laboratorio como en campo han mostrado resultados satisfactorios con errores menores al 15%

Teniendo en cuenta que el LIOV-EMTP ha sido validado en varios experimentos se puede asumir que el YALUK-ATP también será valido para los mismos experimentos, ya que su metodología de implementación es similar a la del LIOV incluyendo una mejora adicional en el vínculo con el ATP.

2.4 Aportes del Trabajo de Doctorado en Modelamiento

El principal aporte realizado en este trabajo doctoral y presentado en este capítulo es la innovación tecnológica a la metodología para la vinculación del programa de cálculo de tensiones inducidas basado en diferencias finitas con un programa de análisis transitorio como el ATP. Esta innovación mejora a la metodología implementada por el LIOV y permite simular las líneas sin introducir errores en las ondas reflejadas por los retrasos producidos por los segmentos de línea sin perdidas usado por la metodología usada por el LIOV. Esta innovación permite poder simular

41

redes con un gran número de nodos y variar el paso de tiempo a valores mayores 0.01µs sin perder exactitud en la estimación. Esta metodología permitirá realizar modificaciones a los programas basados con la metodología del LIOV para hacerlos más robustos en cuanto a simulaciones de redes complejas.

El estudio realizado en el tema de tensiones inducidas y la revisión de los programas de cálculo de tensiones inducidas, permitió apropiarse de la tecnología realizada por diversos investigadores y así poder desarrollar un programa para el cálculo de tensiones inducidas vinculado con el ATP mediante una librería dinámica dll. Este nuevo software permite avanzar en la investigación autónomamente para posteriores estudios.

Así mismo en este capitulo se presentaron 3 ecuaciones simplificadas para calcular la tensión máxima en una línea de distribución, en donde a partir del trabajo de Perez [5] se puede concluir que estas ecuaciones son válidas en ingeniería únicamente para estimar las tensiones inducidas para líneas sencillas, teniendo en cuenta que los errores medios de esta ecuación es mayor al 15%, siendo la de Perez la que asocia más parámetros y tiene menos errores relativos con respecto al modelo de Agrawal.

Para el análisis de redes complejas se recomienda usar un programa de cálculo de tensiones inducidas que permita incluir elementos propios de una red de distribución para líneas multiconductoras.

Con base en las metodologías expuestas en este capitulo se analizaron 3 programas (LIV, LIOV y YALUK) que fueron comparados por medio de diferentes casos en donde se consideró la conductividad del suelo, impedancia transitoria del suelo, diferentes puntos de impacto y redes ramificadas. A partir de este estudio se puede concluir que dependiendo de la complejidad de la red a analizar y de la conductividad del suelo, los tres programas son válidos y estiman de manera equivalente las tensiones inducidas.

El LIV ATP es adecuado para el cálculo de tensiones inducidas en líneas sencillas y en redes complejas para una conductividad del suelo infinita. Cuando se considera un suelo no perfectamente conductor es recomendable que las simulaciones sean para redes menores a 2 km debido que al no considerar la impedancia transitoria del suelo los errores en la estimación aumentan a medida que la longitud crece, como se mostró en la Figura 2-18.

Los programas LIOV-EMTP y YALUK-ATP calculan las tensiones inducidas con diferencias entre ellos menores a 5%. El programa YALUK-ATP tiene una ventaja con respecto al LIOV, ya que al no agregar un segmento de línea a la longitud original evita errores en los retrasos de la reflexión como se mostró en la Figura 2-19. Sin embargo, si el paso de integración para el LIOV-EMTP es menor o igual 0.01µs el error producido por el retraso en las reflexiones puede considerarse despreciable.

Las otras diferencias en la estimación entre el LIOV-EMTP y el YALUK-ATP son debidos principalmente a las diferentes metodologías de implementación numérica usadas por cada programa, como por ejemplo el método de integración y tolerancia y los métodos de convolución usados.

Los tiempos de cálculo de los programas fueron evaluados mostrando que LIV-ATP puede ser dos y hasta tres veces más rápido que el YALUK-ATP y hasta 10 veces más rápido que LIOV-EMTP. El tiempo de cálculo para el LIV-ATP aumenta a medida que el número de nodos se incrementa, en cambio para los otros don programas el tiempo de simulación esta asociado principalmente al paso de tiempo dt escogido para la simulación y el número de divisiones de la línea. La comparación entre los diferentes códigos es resumida en la Tabla 2-1.

42

TABLA 2-1: RESUMEN DE LAS PRINCIPALES CARACTERÍSTICAS DE LIV-ATP, LIOV-EMTP Y YALUK-ATP

Descripción LIV-ATP LIOV-EMTP YALUK-ATP

Representación de la forma de onda en la base del canal

A partir de la función paso se transforma a la respuesta de Cualquier onda analítica por medio de convolución. Para conductividad finita únicamente forma triangular.

Cualquier forma de onda posible

Cualquier forma de onda posible

Modelo para la descarga de retorno y efectos del Líder

Modelo de Línea de Transmisión (TL) . No tiene en cuenta efectos del líder

Cualquier modelo de ingeniería tal como (TL, BG, TCS, MTLL, MTLE, DU) para la descarga de retorno. El modelo de Schonland [25] para la fase del líder.

Cualquier modelo de ingeniería tal como (TL, BG, TCS, MTLL, MTLE, DU) para la descarga de retorno. No considera la fase del líder.

Cálculo del Campo Eléctrico Vertical

Solución analítica asumiendo el suelo perfectamente conductor

Solución numérica asumiendo el suelo perfectamente conductor

Solución numérica asumiendo el suelo perfectamente conductor

Cálculo del Campo Eléctrico Horizontal

Formula Cooray-Rubinstein [45;46], solucionada por medio de una aproximación y método convolución

Fórmula Cooray-Rubinstein [45;46] solucionada por medio del método de segmentación de línea y método de la convolución

Fórmula Cooray-Rubinstein [45;46] solucionada por medio del método de segmentación de línea y método de la convolución

Modelo de Acople Agrawal et al. [6] Agrawal et al. [6] Agrawal et al. [6] Resistencia Transitoria del Suelo

Despreciada Rachidi et al. [56] Rachidi et al. [56]

No-linealidades a lo largo de la línea, tales como efecto corona.

No se tienen en cuenta Si Si

Vinculación con el EMTP-ATP

Ambiente ATP-MODELS (método de las características)

EMTP – TACS utilizando método de diferencias finitas y vinculado con EMTP por medio de una línea Bergeron adicional.

ATP–Foreign MODELS utilizando método de diferencias finitas y método de las características.

Aplicaciones en Ingeniería

Líneas multiconductoras para redes complejas de cualquier longitud, para conductividad del terreno infinita. Para conductividad de terreno finita máximo 2 km

Para redes multiconductoras sobre un suelo con cualquier conductividad. En redes complejas se debe evaluar el error producido por el número de líneas y el dt

Para redes multiconductoras complejas sobre un suelo con cualquier conductividad. Es independiente del número de nodos y el dt

Tiempo de Cálculo para un caso común en valor por unidad. Base a partir de LIV-ATP45

1 5-10 2-3

4 Para un caso de una línea de 1km, con impacto de rayo a 50m de la línea, con conductividad del terreno 0.001S/m. Para LIV-ATP a partir de una onda triangular, simulación con 4 líneas de 250m cada una, para LIOV y YALUK onda Heidler simulación con 0.01dt sµ= , 5dx m= 5 Este tiempo depende principalmente del número de nodos y los parámetros dt y dx

Capitulo 3: Tensiones Inducidas para diferentes topologías

3.1 Introducción

Las tensiones inducidas en redes de distribución tienen un gran impacto en parámetros de la calidad de la energía eléctrica. Algunos estudios estiman que los rayos son los causantes del 50% de la generación de perturbaciones electromagnéticas como los sags en los sistemas de distribución, y entre el 70 y el 80% de todos los problemas de la calidad de energía eléctrica [86]. Adicionalmente, estudios llevados a cabo en Colombia han mostrado que gran parte de las fallas de transformadores, principalmente en zona rural, son atribuidas también a los rayos y los costos en las empresas de distribución colombiana se estiman en mas de 6 millones de dólares (ver Figura 3-1) [3].

U$1,489,000

U$466,000

U$384,000

U$486,000

U$319,000

U$2,908,000 CODENSAEEPPMCHECELECARIBEEPSAOTRAS

Figura 3-1: Costo Anual de Reposición de Transformadores Fallados (Total: USD 6'052.000) tomado de

Fuentes: DANE censo de 1993, Santander Investments (1997), CREG 1999. y Rodríguez [3]

Los impactos indirectos en las líneas de distribución son más frecuentes que los impactos directos, por lo tanto el fenómeno de las tensiones inducidas en zonas de alta actividad atmosférica es un fenómeno de investigación y modelamiento continuo como se ha presentado en el capitulo 1 de la presente tesis doctoral.

Uno de los principales objetivos del modelamiento de las tensiones inducidas es poder determinar de manera precisa el número de fallas que éstas pueden causar a la línea y el efecto que podría causar en los dispositivos conectados a ella.

Diversos estudios han sido realizados para calcular el número de salidas por año en las líneas de distribución. Uno de los primeros fue realizado por Rusck [87] hecho para una línea infinita sobre un suelo perfectamente conductor a partir de una expresión analítica aproximada.

44

Chowdhuri, Martinez y Jankov [52;88;89], utilizan métodos estadísticos en donde consideran la probabilidad de ocurrencia tanto para la amplitud de la corriente como para el tiempo de frente. Adicionalmente, consideran el terreno perfectamente conductor y el radio de impacto a la línea lo asumen en función a la amplitud de la corriente por medio del método electrogeométrico.

Algunos otros trabajos sobre este tema han sido desarrollados utilizando el método de Monte Carlo a partir de una simulación de más de 10.000 casos, como el de Hermosillo y Cooray [90], quienes empiezan a trabajar casos con conductividad finita utilizando el modelo de Agrawal. Trabajos más recientes utilizan la misma metodología de Monte Carlo para casos en donde se tiene en cuenta, además de la conductividad del terreno, líneas multiconductoras con cable de guarda aterrizado en ciertos puntos y descargadores de sobretensión [91;92]; además, tienen en cuenta la influencia de la tensión de estado estacionario de la red [82], estos dos últimos estudios utilizan el programa de cálculo LIOV-EMTP descrito en el capítulo 2.

Los estudios basados en el método de Monte Carlo, los cuales muestran ser una buena herramienta para estimar el desempeño de la línea de distribución, han sido realizados para una línea recta y sin ramificaciones.

Las redes de distribución de energía eléctrica reales están construidas de forma radial con un gran número de ramificaciones, haciéndolas muy complejas. Las redes de distribución, dependiendo su ubicación, pueden tener extensiones que pueden varían entre unos cuantos kilómetros hasta algunas decenas de kilómetros. Para este tipo de construcción es de interés estudiar el modelamiento de redes de distribución de energía eléctrica con topologías complejas.

Para este trabajo doctoral se ha considerado una topología compleja como aquella que contiene más de una ramificación, con elementos del sistema (transformadores, descargadores de sobretensión) conectados a ella, multiconductor y longitudes superiores a 2km.

A nivel mundial se han realizado algunos estudios sobre este tema, como los realizados por Nucci et al. [16;17] en donde se utiliza el LIOV-EMTP para el estudio de casos particulares sin profundizar en el efecto de las ramificaciones. Un trabajo realizado por Piantini et al. [93] estudia la influencia de la topología en la red para redes urbanas a partir de las mediciones realizadas en circuito a escala [8]. En este trabajo analiza, adicionalmente, el efecto que tienen los edificios en las tensiones inducidas en la red experimental.

Uno de los primeros estudios realizados por el autor en este tema, dentro de la actividad del trabajo doctoral, estuvo enfocado en el estudio de algunos parámetros que influyen en el cálculo de las tensiones inducidas en redes ramificadas, para las cuales es fundamental el efecto que producen las reflexiones. [66]

Este capítulo está enfocado a estudiar con más profundidad el tema de la topología de las líneas de distribución en el cálculo de las tensiones inducidas con el fin de obtener resultados útiles para su modelamiento. En la primera parte se presentan los aportes en el conocimiento enfocado a los efectos que tiene la topología de una red de distribución en el cálculo de este fenómeno. En una segunda parte se estudian las simplificaciones para una red ramificada de tal manera que no se pierda exactitud en el cálculo del transitorio inducido y permita disminuir el tiempo de cálculo de las simulaciones, cuando se realiza un análisis estadístico a redes complejas y muy grandes en extensión.

Adicionalmente, se muestra el efecto que tienen algunos componentes, como los transformadores y los descargadores de sobretensión en el cálculo del desempeño de la línea en líneas de distribución. Finalmente se muestran las diferencias que existen para calcular el índice de fallas por 100 km/año en diferentes topologías de la red en una misma zona.

Los cálculos de tensiones inducidas en esta capítulo fueron realizados en Colombia e Italia con el apoyo del departamento de Ingeniería Eléctrica de la Universidad de Bolonia (Italia), cuyos resultados están publicados en [94;95]. A partir de los análisis realizados en el capitulo anterior se decidió utilizar los programas YALUK-ATP y LIOV-EMTP. Para las simulaciones del programa

45

LIOV-EMTP se utilizó un paso de integración de 0.01 µs de tal manera que los retrasos en las reflexiones fueron despreciables.

3.2 Influencia de las Ramificaciones en el Cálculo de Tensiones Inducidas

Para analizar la influencia de las ramificaciones se realizó una serie de simulaciones a una red sencilla con conductividad del terreno infinita y finita.

3.2.1 Descripción de Casos

Para todos los casos evaluados en esta sección se consideró una red de forma H compuesta por 5 segmentos de línea de 500 m cada uno, que se denominarán ramas y están representados en la Figura 3-2. A partir de esta configuración de línea se realizaron 6 casos, los cuales están presentados en la Tabla 3-1.

Punto de Impacto Rayo Punto de Observación

Zt

50 m

S1

Ramal C

Ramal B

50

0 m

500 m

P2 P1

S2

P

Ramal A

500 m

Ramal D

Ramal E

Figura 3-2: Topología de la Red, compuesta por 5 segmentos de de línea sencilla de 500m de longitud cada

uno y a una altura de 10m (diámetro del conductor = 1cm) Conductividad del suelo 0.001 S/m.

Para todos los casos se evaluaron dos puntos de impacto, uno asimétrico S1 y otro simétrico S2. Los puntos de observación para la tensión inducida se ubicaron en los extremos de la rama A indicados con puntos P1 y P2 de la Figura 3-2. En los extremos de la línea, en el caso de que ninguna otra línea esté conectada en este punto, fue conectada una resistencia a tierra de valor igual a la impedancia característica de la línea; esto principalmente para evitar las reflexiones. La forma de onda de la corriente en la base del canal fue realizada a partir de una onda triangular con forma 1.2/50 µs y 12 kA amplitud, para todos los casos.

TABLA 3-1: DESCRIPCIÓN DE LA TOPOLOGÍA PARA LOS DIFERENTES CASOS Caso Configuración de La Red Forma Esquemática

1 A, B, C, D, E

2 A, B, C

3 A, B

4 A, D, E

5 A, D

6 A

46

3.2.2 Conductividad infinita

Los resultados concernientes al punto de ubicación S1 y los puntos de observación P1 y P2 (Figura 3-2) para conductividad del suelo infinita son presentados en las Figuras III-3 y III-4. Para el punto P1 la forma de onda de la tensión inducida es fuertemente afectada por la configuración de la red. Los casos con mayor diferencia en cuanto a la forma de onda y amplitud máxima, son los casos 2, 3 y 6 siendo el 6 el más crítico, donde la diferencia alcanza a ser cinco veces con respecto al caso 1. Esto es debido principalmente a que gran parte de la inducción esta dada en las ramas D y E. En los casos 4 y 5 la amplitud máxima es mayor que para el caso 1, que considera todas las ramas, este efecto es producido principalmente por la impedancia vista en el punto P2 que disminuye al adicionarse las ramas A y B.

Para el otro punto de observación ubicado en P2 se ve que los casos 4 y 5 estiman una tensión inducida muy similar al caso 1 lo que significa que el aporte para las ramificaciones B y C no son significativas. Adicionalmente, es evidente que los casos restantes estiman un valor pico menor que para el caso con todas las ramificaciones debido a que no incluyen las ramificaciones con mayor contribución en la inducción, ramas D y E.

0

5

10

15

20

25

30

0 2 4 6 8 10Tiempo [µs]

Tens

ión

[kV

]

Caso 1

Caso 4

Caso 5

Caso 2

Caso 3

Caso 6

Punto de Observación P1 - Impacto S1

Figura 3-3: Tensiones inducidas para el punto de observación P1 y el punto de impacto del rayo en S1

(Figura 3-2). Conductividad del terreno Infinita; forma de onda triangular para la corriente del rayo 1.2/50 µs y 12 kA amplitud

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Tiempo [µs]

Tens

ión

[kV

]

Caso 1

Caso 4

Caso 5Caso 2

Caso 3

Caso 6


Figura 3-4: Tensiones inducidas para el punto de observación P2 y el punto de impacto del rayo en S1(Figura 3-2). Conductividad del terreno Infinita; forma de onda triangular para la corriente del rayo 1.2/50 µs y 12

kA amplitud

Para el punto de impacto S2, el cual es simétrico en la línea, los puntos de observación P1 y P2 presentan los mismos resultados, ver Figura 3-5. El caso 6 estima una tensión inducida 10% menor que el caso 1 y en caso opuesto el caso 3 calcula una tensión inducida 25% mayor. Esta

47

diferencia entre la magnitud que existe en el caso 1 y 3 está dada principalmente por la impedancia vista en el punto P1 por la unión de la ramificación C. Las ramificaciones D y E en este caso influyen en la cola de la señal haciendo que ésta sea más energética.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Tiempo [us]

Tens

ión

[kV

]

Caso 1


Caso 2

Caso 5

Caso 3

Caso 6

Caso 4

Figura 3-5: Tensiones inducidas para el punto de observación P2 y el punto de impacto del rayo en S2(Figura 3-2). Conductividad del terreno Infinita; forma de onda triangular para la corriente del rayo 1.2/50 µs y 12

kA amplitud

3.2.3 Conductividad finita

En esta sección se evalúa el efecto de las ramificaciones, cuando es considerada una conductividad de 0.001 S/m. Los resultados concernientes a un rayo ubicado en S1 y el punto de observación P1 son presentados en la Figura 3-6. A partir de los resultados obtenidos para esta conductividad se puede inferir que la configuración de la red tiene un mayor efecto sobre la tensión inducida con respecto a los casos de la red sobre un suelo con conductividad infinita.

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Tiempo [µs]

Tens

ión[

kV]

Caso 1

Caso 4

Caso 5

Caso 2

Caso 3

Caso 6

Figura 3-6: Tensiones inducidas para el punto de observación P1 y el punto de impacto del rayo en S1(Figura

3-2). Conductividad del Terreno igual a 0.001 S/m; Forma de onda triangular para la corriente del rayo 1.2/50 µs y 12 kA amplitud

Analizando inicialmente el caso número 6 donde la red es compuesta por una sola rama, la tensión inducida es totalmente negativa con un pico máximo de -42 kV. Esta polaridad negativa es debida principalmente al efecto de la propagación del campo eléctrico horizontal cuando está afectado por una baja conductividad del suelo, como se expone claramente en algunas investigaciones [54;55]. En el caso 3 cuando se adicionan la rama B la magnitud de la onda disminuye un 10% aproximadamente del valor absoluto y su área bajo la curva disminuye considerablemente. Esta reducción se atribuye a la contribución que aporta la ramificación B, la cual es de polaridad positiva dada su posición relativa con respecto al punto de impacto, un aporte adicional a este fenómeno se encuentra en [94].

48

Cuando se adiciona la rama C se tiene una reducción de aproximadamente un 50% en la magnitud, en este caso, esta reducción se atribuye principalmente a la disminución de impedancia característica vista en el punto P1. En los casos 1, 4 y 5 existe una señal bipolar en donde es evidente el gran aporte que proporcionan las ramas D y E dada su cercanía al punto de impacto del rayo.

En el punto de observación P2, como se muestra en la Figura 3-7, para los casos 1, 4 y 5 la amplitud máxima de la tensión inducida es igual en estos casos, su principal diferencia esta en la cola de la señal, en donde para el caso 1 es de mayor amplitud, la diferencia es atribuida principalmente a la contribución que las ramas B y C aportan.

Para los casos 2, 3 y 6 donde las ramificaciones D y E no son tenidas en cuenta, la tensión inducida es aproximadamente un 50% menor que para los casos 1, 4 y 5. Nuevamente, esto confirma la importancia que tiene las ramificaciones D y E dada la proximidad que tienen con el punto de impacto.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 2 4 6 8 10Tiempo [µs]

Tens

ión

[kV]

Caso 1

Caso 4

Caso 5

Caso 2

Caso 3

Caso 6


(Figura 3-2). Conductividad del Terreno igual a 0.001 S/m; Forma de onda triangular para la corriente del rayo 1.2/50 µs y 12 kA amplitud

-10

0

10

20

30

40

50

0 2 4 6 8 10Tiempo [µs]

Teni

són

[kV

]

Punto de Medición P1

Caso 1

Caso 2

Caso 5

Caso 3Caso 6

Caso 4


(Figura 3-2). Conductividad del Terreno igual a 0.001 S/m; Forma de onda triangular para la corriente del rayo 1.2/50 µs y 12 kA amplitud. Para el punto de observación P2 las formas de onda son iguales pero los

casos 2 y 3 se convertirían en 4 y 5 respectivamente

Para el punto de impacto localizado en S2 es diferente que en el caso anterior debido a que por la ubicación del rayo, la forma de onda de la inducción no cambia de polaridad en ninguno de los puntos de observación. La reducción más grande en la tensión inducida sucede cuando las ramas son removidas del nodo que se está observando. Para los otros casos el valor máximo se reduce en un 10% aproximadamente como se muestra en la Figura 3-8.

49

Se puede concluir que las ramificaciones cercanas a los puntos de impacto S1 y S2, son fundamentales ya que ellas contribuyen a gran parte de la inducción en la red y a la impedancia equivalente en los puntos de observación de la línea.

3.3 Simplificación de la Red por Medio de Líneas “no-iluminadas”6

Como aporte presentado en esta tesis doctoral se propone realizar una simplificación de la red con líneas “no-iluminadas”. Esta metodología pretende que cuando sea necesario analizar redes de distribución muy complejas y extensiones se pueda reducir el tiempo de cálculo en la estimación de tensiones inducidas sin perder mayor exactitud. En esta sección se describe las posibilidades de simplificación de red cuando se calculan tensiones inducidas, mediante el uso de líneas “iluminadas”, líneas “no-iluminadas” o por resistencias con un valor igual a la impedancia característica de la línea.

3.3.1 Descripción de Casos

La red usada para este fin tiene una configuración con forma de T y está compuesta por 3 ramificaciones como se muestra en Figura 3-9, dos de 1km (rama A y C) y otra de 500 m (rama B). En este caso se tienen 6 puntos de observación y 3 puntos de impacto diferentes. A partir de esta se observa la posibilidad de reemplazar parte del circuito por líneas “no-iluminadas” para diferentes casos en donde se considera inicialmente un terreno perfectamente conductor y luego con conductividad finita. Teniendo en cuenta que en los sistemas reales se tienen conectados dispositivos y uno de los efectos más importantes se da por las reflexiones que se presentan. Para este caso se considera que la red tiene conectados transformadores en sus extremos que se representan como una capacidad de 453 pF en serie con una resistencia de 10 Ω.

Zt

1 km

50 m S1

Punto de Impacto Rayo Observation point

Ztt

Zt

S3Rama C

Rama B

50

0 m

1 km

500 m

P3 P2 P1

S2

P

P4 P5

P6

Rama A

Figura 3-9: Esquema de la línea con forma de T para la evaluación del reemplazo de líneas “no-iluminadas”

Se realizaron 7 casos, descritos en la Tabla 3-2, para determinar el efecto de las líneas “no-luminadas” y la impedancia característica; el primer caso considera que los tres segmentos de línea son iluminados por el campo electromagnético y luego las ramas B y C son remplazadas ya sea por una impedancia característica o por una línea “no-iluminada”.

TABLA 3-2: CONFIGURACIÓN TOPOLÓGICA DE LA RED Caso Rama A Rama B Rama C 1 Iluminada Iluminada Iluminada

2 Iluminada Iluminada Impedancia Característica (Zc)

3 Iluminada Impedancia Característica (Zc) Iluminada

4 Iluminada Impedancia Característica (Zc) Impedancia Característica (Z

c)

5 Iluminada Iluminada Línea” no-Iluminada” 6 Iluminada Línea “no-Iluminada” Iluminada 7 Iluminada Línea “no-Iluminada” Línea “no-Iluminada”

6 Línea no-iluminada: Segmento de línea en el cual no se considera la interacción del campo electromagnético producido por el rayo sobre ella.

50

3.3.2 Caso conductividad Infinita

Diversos efectos se producen cuando se hacen los reemplazos de las líneas. Los efectos son diferentes dependiendo del punto de impacto del rayo, de los puntos donde se observa la tensión inducida y del tipo de reemplazo realizado.

Con respecto al punto de impacto S1 los efectos de las tensiones inducidas en los puntos de observación más significativos, P1 y P3 se muestran en las Figuras 3-10 y 3-11. En el punto P1 y P3 se ve que la contribución de inducción es principalmente de la rama A y sus reflexiones. Los casos 5, 6 y 7, donde se usan reemplazos con líneas “no iluminadas” concuerdan razonablemente con el caso 1, donde su error en la amplitud de los picos de las reflexiones no es mayor a un 10%. Se puede concluir que en todos los casos la inducción es equivalente hasta antes de que ocurra la primera reflexión. A pesar de que el punto 3 se encuentra en el nodo donde se hacen los reemplazos, las tensiones inducidas calculadas para los casos simplificados producen un resultado razonable, principalmente debido a que la mayor contribución de inducción se da cerca al punto de impacto, es decir en P1.

-40

-20

0

20

40

60

80

0 5 10 15 20Tiempo [µs]

Tens

ión

[kV

]

caso 1caso 2caso 3caso 4caso 5caso 6caso 7

Límite antes de observarse reflexiones para este punto de observación

Caso 3

Caso 1

Caso 6

Caso 7

Observación P1 - Impacto S1

Caso 2

Figura 3-10: Tensiones inducidas para el punto de observación P1 y el punto de impacto del rayo en S1 de la

Figura 3-9. Conductividad Infinita; forma de onda triangular para la corriente del rayo 1.2/50 µs y 12 kA amplitud

-20

-10

0

10

20

30

40

50

0 5 10 15 20Tiempo [µs]

Tens

ión

[kV

]



Caso 3

Caso 1 Caso 6

Caso 7


Caso 2 Caso 4

Caso 5

Figura 3-11 : Tensiones inducidas para el punto de observación P3 y el punto de impacto del rayo en S1 de la Figura 3-9. Conductividad Infinita; forma de onda triangular para la corriente del rayo 1.2/50 µs y 12 kA

amplitud

Para el punto de impacto S2, en los puntos de observación P1, P2 y P3 y como se muestra en las Figuras 3-12 y 3-13 se siguen teniendo resultados con errores menores al 10% para los casos 5, 6 y 7; esto es debido a que la inducción en la rama A sigue siendo la más importante en comparación a las ramas B y C.

51

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

120

0 5 10 15 20Tiempo [µs]

Teni

són

[kV

]



Caso 3

Caso 1

Caso

Caso 7


Caso 2Caso 4

Caso 5



Para el punto de impacto P3, es evidente que ninguna de las aproximaciones realizadas es válida para cualquier punto de observación, debido a que se presenta una subestimación de la amplitud máxima de la tensión inducida en un 50% aproximadamente, debido a que no se considera la inducción en los puntos cercanos de las ramas B y C.

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

0 5 10 15 20Tiempo [µs]

Tens

ión

[kV]



Caso 3

Caso 1

Caso 6

Caso 7


Caso 2

Caso 4

Caso 5



52

-20

0

20

40

60

80

100

120

0 5 10 15 20Tiempo [µs]

Tens

ión

[kV

]



Caso 3

Caso 1

Caso

Caso 7


Caso 2Caso 4

Caso 5



-20

0

20

40

60

80

100

0 5 10 15 20Tiempo [µs]

Tens

ión

[kV

]



Caso 3

Caso 1

Caso 6

Caso 7


Caso 2 Caso 4

Caso 5



3.3.3 Caso conductividad Finita

Para los casos presentados en esta sección se realizaron las simulaciones teniendo en cuenta una conductividad del terreno de 0.001 S/m. Los efectos cuando se considera la conductividad del terreno finita, son más evidentes que en el caso de conductividad finita y dependen al igual que en los casos anteriores principalmente de la ubicación del rayo.

Con respecto al punto de impacto en S1, los efectos de las tensiones inducidas para todos los casos en los puntos de observación más significativos P1 y P3 son mostrados las Figuras 3-16 y 3-17. Para los puntos de observación P1 sobre la rama A, los casos del 5 al 7 presentan una estimación razonable con respecto al caso 1, siendo la mejor aproximación el caso 6 donde se incluye la inducción de la rama C. Es posible obtener resultados equivalentes para todos los casos hasta 10 µs dado que en este intervalo de tiempo no se presenta ninguna reflexión como se ve en la Figura 3-16.

En los puntos de observación P2 y P3 los resultados no son tan satisfactorios ya que para los mejores casos que son 5, 6 y 7 las diferencias pueden llegar hasta un 40%; esto es atribuido principalmente a que con la conductividad del terreno las ramas B y C tienen un gran aporte en la señal total, siendo la B la que más aporta después de la rama A.

53

-40

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 5 10 15 20Tiempo [µs]

Tens

ión

[kV

]


Límite antes de observarse reflexiones para este punto de

Caso 3

Caso 1

Caso 2

Caso 7

Caso 4

Observación P1 - Impacto


Figura 3-9. Conductividad del Terreno igual a 0.001 S/m; Forma de onda triangular para la corriente del rayo 1.2/50 µs y 12 kA amplitud

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

0 5 10 15 20Tiempo [µs]

Tens

ión

[kV

]



Caso 3

Caso 1

Caso 2

Caso 7 Caso 4

Caso 6

Observación P3 - Impacto



Los resultados con respecto al punto de observación P1 y el punto de impacto en S2 son mostrados en la Figura 3-18. En todos los casos se obtiene un resultado equivalente en los primeros 5 µs antes de ocurrir la primera reflexión de la onda. Las menores diferencias en comparación al caso 1 se obtienen para el caso 6, en donde hay una aproximación razonable para todos los picos, con un error menor al 10%. El caso 6 obtiene mejores resultados principalmente por la cercanía que tiene la rama B en la cual su aporte de inducción es bastante fuerte. En el punto de observación P3 (Figura 3-20) el primer pico no es estimado con diferencias menores al 10 % en ningún caso, sin embargo el segundo pico en el cual se obtiene el máximo de la señal de la tensión inducida, es prácticamente igual al estimado por el caso 2, mostrando nuevamente que la contribución de la rama B es la más significativa.

54

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 5 10 15 20Tiempo [µs]

Tens

ión

[kV

]



Caso 3

Caso 1

Caso 6

Caso 7

Caso 4


Caso 5

Caso 2



0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 5 10 15 20Tiempo [µs]

Tens

ión

[kV

]



Caso 3

Caso 1Caso 5

Caso 7

Caso 4


Caso 5

Caso 2



-10

0

10

20

30

40

50

60

0 5 10 15 20Tiempo [µs]

Tens

ión

[kV

]



Caso 3

Caso 1

Caso 6

Caso 7 Caso 4


Caso 5

Caso 2



Con respecto al punto de impacto S3 como se muestra las Figuras 3-21 y 3-22 ninguno de los casos se asemeja al caso inicial, ni siquiera para antes de que empiecen las reflexiones. Esto es atribuido a que se está omitiendo gran parte de la inducción que sucede en líneas cercanas como

55

la B y la C, haciendo que para este punto de observación no sea viable remplazar las ramas por líneas “no iluminadas”.

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

0 5 10 15 20Tiempo [us]

Tens

ión

[kV

]caso 1caso 2caso 3caso 4caso 5caso 6caso 7


Caso 3

Caso 1

Caso 5

Caso 7Caso 4




-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 5 10 15 20Tiempo [us]

Tens

ión

[kV

]



Caso 2

Caso 1

Caso 6

Caso 7

Caso 4


Caso 3

Caso 5



3.3.4 Consideraciones para despreciar la iluminación en las ramas de una red

En esta sección se propuso reemplazar algunas líneas de una red por líneas “no-iluminadas” para poder reducir el tiempo de cálculo en sistemas complejos sin afectar la exactitud en la estimación de la tensión inducida. Con los resultados obtenidos se puede concluir:

• Una vez es establecida la ventana de tiempo de interés, es factible que a partir de una evaluación preliminar de ondas viajeras, establecer la porción de la red que es necesaria evaluar para las simulaciones.

• Los casos que presentan mayor complejidad son indudablemente los casos en donde la conductividad del terreno es baja y las ondas tienen un cambio de polaridad que hace que las líneas lejanas tengan una gran contribución en la tensión inducida total.

• Se puede establecer que las líneas más importantes en la inducción son las más cercanas al punto de impacto, por lo tanto para conductividad finita es recomendable tener en cuenta la inducción electromagnética de las líneas que están en un rango de 1 a 2 km del punto de impacto de rayo, siempre y cuando el rayo esté a menos de 200 m de la línea

56

más cercana. Para distancias superiores un mayor rango debe ser tenido en cuenta para realizar esta simplificación.

• Cuando existen conductividades bajas se debe tener en cuenta líneas que se encuentren aún más lejos, esto debido a que líneas lejanas tienen aún un gran aporte en la forma de onda de la tensión inducida. Para este caso es recomendable tener en cuenta al menos un rango entre 3 y 4 km.

• Nuevamente se evidencia que los parámetros que más afectan el cálculo de tensiones inducidas son el punto de impacto y la conductividad del terreno [5].

3.4 Efecto de los componentes de la red y la topología en el cálculo del desempeño de las líneas de distribución en redes complejas

En esta sección se muestran las diferencias que existen para el cálculo del desempeño de las líneas considerando diferentes terminaciones en la línea, como por ejemplo transformadores, resistencias con el valor de la impedancia característica de la línea, circuito abierto o descargadores de sobretensión. Adicionalmente y teniendo en cuenta los análisis presentados en las secciones anteriores se determinó la influencia de la topología en el cálculo del desempeño de las líneas.

Para realizar este estudió se escogió una red compleja localizada en el municipio de Samaná en Colombia y que se ha utilizado como red experimental energizada. Esta línea tiene un alimentador principal (main feeder) de aproximadamente 4 km, con 3 ramificaciones de diferentes longitudes, como se muestra en la Figura 3-23. La línea está compuesta por 20 nodos y su configuración es horizontal, en donde los conductores están separados 1.3m y su altura media es de 10m.

0 m 500 m 1 km

N14

N13

N12

N20

N17

N18

N19

N09N11

N10

N08

N15

N16

N07 N06

N05 N04

N03

N02

N01

1.3 m 1.3 m

10

m

CBA

Alimentador Principal

Rama 2

Rama 3

Rama 1

Figura 3-23: Configuración de la red de prueba para el análisis del desempeño de la línea

Para calcular el desempeño de las líneas de distribución se utilizó el método de Monte Carlo de forma similar que Paolone y Borghetti [91;92] en los cuales se realizaron entre 10.000 y 40.000 simulaciones para tener resultados muy confiables.

Dado que la red escogida contiene varias ramificaciones y su longitud total es de 7 km sumando todas los segmentos de línea, se buscó reducir el número de simulaciones para reducir el tiempo de cálculo. De acuerdo con Cogan [96] en el método de Monte Carlo a medida que aumenta el número de casos el resultado tiende a un valor determinado y observando esta tendencia se puede determinar un número adecuado de simulaciones. Analizando la media y la desviación estándar de la amplitud máxima de la tensión inducida observada en los nodos como se muestra en la Figura 3-24, a partir de 1000 casos la curva empieza a estabilizarse, la diferencia de la media y la desviación estándar entre 1000 y 1200 casos es de 2% aproximadamente.

57

0

10

20

30

40

50

60

70

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

Número de Casos

Ten

sió

n [

kV

]

Mediadev Stda

Figura 3-24:Valor de la media y la desviación estándar variando el número de casos de simulación.

Teniendo en cuenta que el error para 1000 casos es del orden del 2% se escogió este número de casos para realizar las simulaciones. El área escogida para la ubicación de los impactos de rayo fue hecha haciendo un cuadrado con límites de 700m alrededor de los puntos más extremos de la red, como se muestra en la Figura 3-25; los impactos fueron escogidos aleatoriamente con una probabilidad uniforme en toda el área.

1

2

3

4

5

6

7

8

15

16

9

19

18

17

20

12

1110

1314

0 m 500 m 1 km

N14

N13

N12

N20

N17

N18

N19

N09N11

N10

N08

N15

N16

N07 N06

N05 N04

N03

N02

N01


Rama 2

Rama 3

Rama 1

Figura 3-25: Distribución de Rayos para la Red Simulada

La distribución de corriente escogida para realizar estas simulaciones está basada en las mediciones directas realizadas en el monte do Cachimbo en Brasil [97;98], las cuales tienen una semejanza a la distribución de probabilidad realizada por Torres et al. utilizando mediciones indirectas en Colombia [2;99]. Esta curva de probabilidad se aproxima a una distribución tipo log-normal.

• Media de la corriente: 45.3 kA y logσ = 0.39

• Tiempos de frente: 5.6 logσ = 0.36

• Factor de correlación entre la corriente y el tiempo de frente es de 0.47

La conductividad del terreno fue considerada finita con un valor de 0.001 S/m, teniendo en cuenta que este es un valor que afecta enormemente el desempeño de la línea.

Los parámetros para el cálculo del número de fallas /100 km-año se presentan en la Tabla 3-3. La longitud total de la línea se consideró como la suma de las longitudes de todos los segmentos que la componen.

58

TABLA 3-3: CARACTERÍSTICAS DE LA ZONA Parámetro Magnitud

Longitud de la Red completa 7 km

Densidad de rayos a Tierra 1 rayo/km2-año

Área de la zona 25 km2

Número Total de Simulaciones 1000

Años para que ocurran 1000 rayos 40

3.4.1 Efecto de las Componentes

Generalmente los cálculos del desempeño de la línea han sido realizados para líneas con terminaciones iguales a la impedancia característica [88;90;100] y en estudios más recientes teniendo en cuenta descargadores [91;92]. Los estudios realizados en esta tesis de doctorado muestra la importancia de establecer que tipo de impedancia es colocada en los extremos de la línea.

En este estudio se usaron cuatro tipos diferentes de terminaciones, el primero considera un transformador trifásico el cual se representó mediante una capacidad por cada fase, el segundo fue la impedancia resistiva con igual valor que la impedancia característica de la línea, para el tercero se usaron descargadores de sobretensión y en el ultimo caso consideró el circuito abierto. Los esquemas y valores utilizados en los extremos se muestran en la Figura 3-26.

Terminación con Transformadores

CBACBA

R

Zc Zc Zc

Lsa = 1µH

Vr [kV]027.27.929.732.22

Ir [A]036543601620

RnlR = 15Ω

L = 22µHCt = 456pF

Rnl

Terminación con Descargadores

Terminación con Impedancia Característica (Zc)

A B C

CtCtCt

L

R

Figura 3-26: Configuración de los elementos conectados en los extremos de todas las líneas

Con respecto al promedio de las tensiones máximas para cada nodo las terminaciones con transformadores o con circuito abierto son prácticamente equivalentes, siendo las terminaciones los nodos más críticos en la línea (nodos 1,14, 19 y 20) debido a las reflexiones. Cuando las terminaciones son descargadores de sobretensión o una impedancia característica, las sobretensiones en la línea son mucho menores (menores al 50%) que en los dos casos anteriores y en este caso los nodos con menor sobretensión son los nodos de los extremos y los más críticos son los nodos intermedios (nodos 6,7 y 8), como se muestra en la Figura 3-27.

59

0.00

10.00

20.00

30.00

40.00

50.00

60.00

70.00

80.00

90.00

N01 N02 N03 N04 N05 N06 N07 N08 N09 N10 N11 N12 N13 N14 N15 N16 N17 N18 N19 N20

NODO

Ten

sión

[k

V]

Zc_ExtremosTrafo_Extremos

Abierto_ExtremosDesc_Extremos


Figura 3-27: Valor medio de la amplitud máxima observada en los 20 nodos para diferentes terminaciones

de la línea

A partir de la tensión máxima de la línea, evaluada en los nodos, se determina el número de fallas de la línea escalada a 100 km/año. Cuando las terminaciones son transformadores sin descargadores o circuitos abiertos, el número de fallas para la misma tensión es mucho mayor, por ejemplo si la tensión de flameo de la red es de 200 kV el número de fallas para terminaciones con transformador o circuito abierto es 36 mientras que cuando las terminaciones son los descargadores de sobretensión o la impedancia característica el numero de fallas es 10. El peor desempeño se presenta para el circuito abierto y el mejor cuando se usan descargadores en los extremos.

0.1

1

10

100

1000

50 100 150 200 250 300 350

Tensión de Flameo (CFO) [kV]

Nu

mero

de

Ten

sion

es

Ind

uci

das

qu

e s

up

eran

el

val

or

de t

ensi

ón

, es

cala

do a

10

0k

m/a

ño

Abierto Extremos

Zc Extremos

Trafo Extremos

Desc Extremos

Figura 3-28: Comparación del número de salidas de una línea en función del la tensión de Flameo (Critical

Flash Over) para diferentes terminaciones de la línea

3.4.2 Efecto de la Topología de la red

Cuando se realizan análisis individuales de las tensiones inducidas, es claro el efecto que tienen las ramificaciones en la red; sin embargo, es importante conocer el comportamiento que se tiene cuando se calcula el desempeño completo de la línea ante impactos indirectos de rayo, en esta sección se presentan nuevos aportes en el análisis del desempeño de líneas ramificadas. Adicionalmente, se presenta la validez que se tiene en determinar el número de fallas en líneas ramificadas a partir del parámetro comúnmente usado en la literatura para mostrar el desempeño de líneas de transmisión de número de fallas /100 km - año.

A partir de la red mostrada en la Figura 3-23, se obtuvieron 4 casos diferentes tal como se muestra en la Figura 3-29. Las simulaciones se realizaron para dos tipos de terminaciones en las

60

líneas, el primero a partir de la impedancia característica y el segundo a partir de transformadores.

Alimentador Principal + Rama 1

Alimentador Principal + Rama 1 y 2

Red Completa


1 km500 m0 m

Figura 3-29: Configuraciones con diferentes topologías basadas a partir de la red completa.

Realizando el análisis de los valores medios de la magnitud máxima en cada nodo para el caso de una impedancia característica en los extremos, cuando son consideradas las ramificaciones se presenta una reducción de hasta el 30% en la tensión inducida promedio (Figura 3-30). Esto es debido a que al conectar una línea nueva, la impedancia vista por la onda en el punto de unión se reduce a la mitad y afecta el valor global en todos los nodos, siendo el nodo de intersección el más influenciado.

En el caso en que las terminaciones son transformadores, el efecto es diferente como se muestra en la Figura 3-31. Cuando las ramificaciones son conectadas al alimentador principal los valores medios aumentan su valor, encontrándose los valores más altos en los extremos. Este comportamiento se debe a que las reflexiones envían el aporte de inducción producido en la ramificaciones.

Teniendo en cuenta que la longitud de la red de distribución varía a medida que se conectan ramificaciones, entonces el parámetro de fallas/100km-año debe ser estimado de manera proporcional a su longitud.

0.00

5.00

10.00

15.00

20.00

25.00

30.00


NODO

Ten

sión

[k

V]

Alimentador principal

Alimentador principal + Rama 1

Alimentador principal + Rama 1 y 2

Red Completa

Figura 3-30: Valor medio de la amplitud máxima observada en los 20 nodos para diferentes topologías

conectada en los extremos por la impedancia característica

61

0.00

10.00

20.00

30.00

40.00

50.00

60.00

70.00

80.00

90.00


NODO

Ten

sión

[k

V]

Alimentador principalAlimentador principal + Rama 1Alimentador principal + Rama 1 y 2Red Completa

Figura 3-31: Valor medio de la amplitud máxima observada en los 20 nodos para diferentes topologías

conectada en los extremos por la impedancia característica

Para obtener el parámetro de fallas por 100 km –año, se escalaron los resultados obtenidos en las simulaciones, teniendo en cuenta la densidad de rayos a tierra, el número de casos evaluados, y la longitud total de la línea; los factores de conversión se muestran en la Tabla 3-4.

TABLA 3-4: FACTORES DE CONVERSIÓN PARA EL CÁLCULO DEL PARÁMETRO DE FALLAS POR 100KM-AÑO

Configuiración Parámetro Magnitud

Longitud de la Red 4.25 km Alimentador principal

Factor de Conversión a fallas por 100km-año 0.594

Longitud de la Red 5.5 km Alimentador principal + Línea 1


Longitud de la Red 6.3 km Alimentador principal + Línea 1 y 2


Longitud de la Red 7km Red Completa


Respecto al caso donde son conectadas impedancias características en los extremos, los resultados muestran, al igual que en el análisis nodal, que el caso más crítico se presenta cuando el alimentador principal no tiene conectadas ramas. Para los otros casos el número es muy similar dentro del rango de la tensión de flameo, que se encuentra entre 20 y 220kV como se muestra en la Figura 3-32.

0.1

1

10

100

1000

20 70 120 170 220 270 320

Tensión [kV]

Nu

mer

o d

e T

ensi

on

es

Ind

uci

das

qu

e s

up

era

n e

l v

alor

de t

en

sión

, esc

alad

o a

100k

m/a

ño

Red Completa





Flash Over) para diferentes topologías para una red con impedancias característica conectadas en los extremos

62

Para el caso donde son conectados transformadores en los extremos, los resultados muestran que prácticamente el número de fallas es la misma para todas las configuraciones de la red, cuando la tensión de flameo se encuentra entre 70 y 220kV como se aprecia en la Figura 3-33.

0.1

1

10

100

1000

20 70 120 170 220 270 320

Tensión de Flameo (CFO) [kV]

Nu

mero

de

Ten

sion

es

Ind

uci

das

qu

e s

up

eran

el

val

or

de t

ensi

ón

, es

cala

do a

10

0k

m/a

ño

Red Completa





Flash Over) para diferentes topologías para una red con transformadores conectados en los extremos

Cuando se hace un análisis para un impacto de rayo particular, se observan como las tensiones inducidas se ven afectadas con las ramificaciones, especialmente si estas están cerca al punto de impacto, cuando se hace un análisis estadístico el efecto de la topología de la red depende principalmente de los elementos conectados en las ramificaciones, siendo los más críticos cuando se conectan transformadores o se dejan circuitos abiertos. Esto evidencia un aspecto fundamental para las líneas de distribución, las cuales es recomendable que sus terminaciones tengan descargadores de sobretensión que disminuirán considerablemente el número de fallas de la línea.

3.5 Aplicaciones en Ingeniería

El uso de descargadores en líneas de distribución ha mostrado que tiene un impacto significativo en la disminución del número de fallas con respecto a los impactos indirectos de rayo [91]. La disminución de fallas en el sistema está relacionada principalmente con el número de descargadores que se utilicen y la ubicación de éstos [92]. Estos estudios han estado basados en redes sin ramificaciones a excepción de Piantini et al. [8;93] quienes mediante experimentación consideraron circuitos complejos.

El caso ideal para reducir adecuadamente el impacto de las tensiones inducidas es instalando descargadores de sobretensión en todos los nodos (postes) [101], sin embargo, esto llega a ser impráctico por problemas económicos y de gestión de mantenimiento, si una se considera una red bastante extensa, por ejemplo en redes rurales como la analizada en el capitulo 4, que cubre un área de 200 km2 y tiene una longitud de más de 30 km. Por esto es importante poder determinar la mejor ubicación de un cierto número de descargadores de sobretensión que disminuyan el impacto de las descargas cercanas por rayos.

Utilizando el programa de cálculo de tensiones inducidas YALUK se realizó una herramienta computacional innovadora basada en el uso de algoritmos genéticos (ver Anexo D) con el fin de estudiar la búsqueda de una solución óptima para la localización de un número determinado de descargadores para una red compleja compuesta por varias ramificaciones y espaciamiento entre postes desiguales.

Esta herramienta computacional combina el programa YALUK-ATP desarrollado por el autor con una librería de algoritmos genéticos llamada UNGenetico V. 2.0 [102] desarrollada en C++ dentro por un proyecto de pregrado de Delgadillo et al. de la Universidad Nacional de Colombia.

63

3.5.1 Planteamiento del Problema

El problema inicial es obtener una ubicación adecuada para un número determinado de descargadores de sobretensión para disminuir el número de salidas de una línea debida a tensiones inducidas por rayo. La línea de distribución objetivo es una línea compleja con ramificaciones y separación entre postes no homogénea.

3.5.2 Algoritmo Genético Implementado para la solución del Problema

La aplicación desarrollada en este trabajo doctoral realiza los siguientes pasos de cálculo: primero calcula las posiciones de los descargadores de sobretensión de manera aleatoria, para un número de individuos determinado. Con la ubicación de los descargadores determinada se modifica el archivo ATP actualizando la ubicación de los descargadores para cada individuo. Luego se ejecuta el YALUK-ATP, en donde se ejecuta para cada individuo o caso las tensiones inducidas máximas en cada nodo producidas por un número de rayos determinado. Con las tensiones máximas para cada nodo en los diferentes casos de rayo se evalúa la función objetivo, asignando la probabilidad de reproducción a cada individuo.

Luego son creados nuevos individuos a partir de los “padres” y nuevamente se corre el programa YALUK-ATP para todos los individuos. Los resultados que se obtienen a evaluar la función objetivo sirven para compararlos con los resultados de los individuos iniciales y escoger los mejores individuos. Este proceso se realiza continuamente hasta llegar a cumplir un número de generaciones determinado. El esquema simplificado del proceso se muestra en la Figura 3-34

Generación aleatoria de

individuos

Selección de parejas

Ejecución de YALUK-ATP Población

Lectura de Datos Archivos de Salida

Evaluación Función Objetivo

Asignación de Probabilidad

Cruce de Parejas y Mutación

Envío Casos

Resultados para cada caso

Cromosomas de la población

Comparación entre padres e hijos

Resultados para cada caso

Cromosomas de la población de hijos

Ejecución de YALUK-ATP

Archivos de Salida

Evaluación Función Objetivo

Lectura de Datos

Envío Casos

Cambio generación

Figura 3-34: Esquema representativo de la herramienta computacional que usa algoritmos genéticos y el

YALUK

3.5.2.1 Proceso de Codificación

El esquema de codificación usado en este programa está dado por un numero determinado de genes que conforman el cromosoma de cada individuo. El número de genes esta asociado al número de descargadores a ubicar donde cada gen identifica el nodo donde el descargador de sobretensión se va a localizar. En otros términos podemos decir que un cromosoma

1 2 1, , ,n n nC g g g g−= … donde ig identifica el nodo de ubicación y representa el cromosoma del

problema para n nodos.

64

3.5.2.2 Proceso de Evaluación y Selección

Para el proceso de evaluación y selección se escogió un operador que asigna a cada individuo una probabilidad de supervivencia proporcional al resultado de la función objetivo. Con la probabilidad asignada se utiliza el operador selección estocástica, el cual actúa similar a una ruleta en donde los individuos con mayor probabilidad tienen mayor factibilidad de ser escogidos para cruzarse con otros.

3.5.2.3 Proceso de Cruce y Mutación

El cruce entre dos individuos se hace por medio de un operador de cruce entero el cual asigna un valor aleatorio entre los valores de los dos genes a recombinar, por ejemplo si tenemos dos

individuos en donde el individuo uno en el primer gen es 11g =5 y en el segundo individuo en el

primer gen es 2

1g =18; la recombinación de estos dos genes obtendrá un valor aleatorio entre 5 y

18. Otro aspecto importante en el cruce de individuos es la probabilidad de mutación, la cual en este código es de 0.5% y aumenta en 0.5% hasta obtener un máximo de 10%, El aumento el la probabilidad de mutación se realiza cuando el promedio de la función objetivo de los mejores individuos en las últimas 5 generaciones varía menos del 10%. Los dos hijos obtenidos se comparan con los dos padres y se escogen los dos mejores entre ellos para conformar la nueva generación.

3.5.2.4 Función Objetivo

Un aspecto importante en la ubicación óptima de los descargadores está asociada principalmente a la función objetivo escogida. Para obtener una función objetivo adecuada se escogieron se escogieron 2 funciones diferentes, las cuales son descritas a continuación.

Tensión del valor medio cuadrático (RMS) más tensión máxima:

Con la función (1.1) tiene en cuenta dos aspectos, uno busca reducir las tensiones máximas en todos los nodos dándole mayor relevancia a las tensiones más altas y la tensión máxima del sistema.

2 2 2

1 2 maxnmedia

V V VV V

n+ + +

= +…

(1.1)

Donde:

iV : es la tensión máxima en el nodo i

n : es el número de nodos

Percentil de la curva de distribución de las tensiones máximas:

En este caso la función objetivo es una curva de probabilidad en donde se busca disminuir el valor de tensión asociado a un valor de percentil asociado, para la aplicación de desarrollada se escogieron dos valores 60% o 90%. La Figura 3-35 muestra una curva de probabilidad con las señalizaciones para el percentil 90% (curva roja) y 60% (línea azul) y la dirección en la cual esta curva que debe tender para ser mejor.

65

0%

20%

40%

60%

80%

100%

120%

10 100 1000

Tensión Inducida [kV]

Pro

bab

ilid

ad [

%]

Dirección para buscar el óptimo

12648

Figura 3-35 Figura de distribución de probabilidad acumulada

3.5.3 Ejemplo de Aplicación

Como ejemplo se usará la red de distribución utilizada en la sección 3.4 (ver Figura 3-23) y el cálculo de el número de salidas de la línea se hará de la misma manera. La característica de los descargadores de sobretensión mostrada en la Figura 3-36. En este ejemplo se usan 4 descargadores de sobretensión para ubicarlos óptimamente en la red de tal manera que la curva de probabilidad acumulada de las tensiones inducidas máximas se disminuya. Para este caso se analizan las diferentes funciones objetivo propuestas y con los resultados se calcula el número de salidas año para cada solución.

Rnl

R

L

CBA

R = 15ΩRnl Ir [A]

036543601620

Vr [kV]027.27.929.732.22

L = 22µH

Figura 3-36: Curva y configuración de los descargadores a utilizar

3.5.3.1 Número de casos

Una de las limitaciones actuales de este programa es el tiempo de cálculo; esto es debido a que si se desea estimar de manera adecuada el número de salidas en la línea para una ubicación de descargadores de sobretensión es necesario realizar un análisis estadístico como se presentó en el capítulo 3. Para cada ubicación calculada por el algoritmo genético es necesario hacer la evaluación estadística, y el algoritmo genético puede obtener más de 500 individuos para analizar a lo largo de las generaciones. Este proceso sería engorroso si para cada ubicación de descargadores se simulan 1000 casos.

Por tanto, teniendo en cuenta lo anterior, se busca disminuir el tiempo de cálculo; para esto se aprovecha la ventaja que tiene el programa YALUK, en donde se puede aumentar el dt considerablemente sin obtener errores en los tiempos de retraso de las reflexiones. Al aumentar el paso de tiempo, también es necesario aumentar el dx en la discretización de la línea, lo que hace que se produzcan errores menores al 5%, que para efectos de la aplicación no son relevantes.

Adicionalmente, para reducir el número de casos, lo primero que se hizo fue calcular el desempeño de la línea para 1000 rayos, variados aleatoriamente, de igual manera a como se hizo en el capítulo 3. A partir de esta curva se escogieron tres diferentes grupos de rayos: el primer

66

grupo se escogió a partir de los 20 rayos que produjeron la mayor sobretensión en el sistema. Para el segundo se escogieron los 40 rayos que produjeron la mayor sobretensión en el sistema. Y para el tercer grupo se escogieron aleatoriamente los 100 rayos que generaron una sobretensión mayor a 100 kV en algún punto del sistema.

3.5.4 Resultados

Se realizaron varios casos para obtener los resultados de las diferentes funciones objetivos y de los diferentes grupos de rayos seleccionados. Los resultados de la ubicación de los descargadores son comparados para el desempeño de la línea sin descargadores y circuito abierto y para una línea con 4 descargadores escogidos aleatoriamente.

Para el caso en donde se escogieron 20 rayos y se evalúa la función objetivo del valor medio cuadrático RMS más el máximo, no se tienen resultados muy buenos ya que el caso aleatorio escogido es mucho mejor que los resultados para este caso como se muestra en la Figura 3-37.

0.1

1

10

100

1000

10 60 110 160 210 260 310 360

Tensión [kV]

Nu

mero

de T

en

sion

es I

nd

uci

das

qu

e su

per

an e

l v

alor

de

ten

sió

n, es

cala

do a

10

0k

m/a

ño

Abierto Extremos

Caso Aleatorio

Genetico_20_max+RMS

Figura 3-37: Numero de tensiones Inducidas que superan el valor de tensión de flameo escalado a

fallas/100km-año para el caso de la función de valor medio cuadrático

Para el grupo de 40 rayos se evaluó la función objetivo asociada a la curva de probabilidad en donde se minimizó en el primer caso, el percentil 90% y en el segundo caso el 60%. Para estos casos se obtuvo un resultado mucho mejor en donde el mejor resultado se obtuvo para el minimizar el percentil 60%.

0.1

1

10

100

1000

10 60 110 160 210 260 310 360

Tensión [kV]

Nu

mer

o d

e T

en

sion

es I

nd

uci

das

qu

e su

pera

n e

l v

alor

de

ten

sión

, es

cala

do a

10

0k

m/a

ño

Abierto ExtremosCaso AleatorioGenetico_40_perc_90_verGenetico 40_Perc_60

Figura 3-38: Numero de tensiones Inducidas que superan el valor de tensión escalado a fallas/100km-año

para los casos de percentil 60 y 90, para el caso en donde se consideran 40 rayos.

67

Teniendo en cuenta que los mejores resultados se obtuvieron para el percentil 60, se realizó un último caso con 100 rayos y en donde se obtuvo un mejor resultado que para el grupo de 40 rayos, como se muestra en la Figura 3-39.

0.1

1

10

100

1000

10 60 110 160 210 260 310 360

Tensión [kV]

Nu

mero

de

Ten

sion

es

Ind

uci

das

qu

e s

up

era

n e

l v

alor

de

ten

sión

, es

cala

do a

10

0k

m/a

ño

Abierto Extremos

Genetico 40_Perc_60

Genetico Perc_60_100_rayos

Figura 3-39: Numero de tensiones Inducidas que superan el valor de tensión escalado a fallas/100km-año

para los casos de percentil 60, para el caso en donde se consideran 40 rayos y 100 rayos.

La ubicación de los descargadores para los diferentes casos se muestran en la Tabla 3-5, en donde se puede analizar que los mejores resultados se obtuvieron cuando los descargadores están a los extremos de las ramificaciones.

TABLA 3-5: UBICACIÓN DE DESCARGADORES

Descargador 1 Descargador 2 Descargador 3 Descargador 4

Caso Aleatorio 2 14 9 6

20 rayos RMS + max 10 3 4 20

40 rayos percentil 90 9 7 14 2



Es importante notar que a pesar de encontrar una buena solución para 4 descargadores no necesariamente es la mejor solución, dado que se necesitan un mayor número de rayos para verificar la eficiencia de cada ubicación que es analizada.

3.6 Aporte Realizado en Modelamiento de Tensiones Inducidas

En este capítulo se describieron diversos análisis realizados a diferentes topologías de las redes de distribución, utilizando programas de cálculo adecuados para este fin.

Por medio de la identificación de los efectos de de las ramificaciones se propuso simplificar una red compleja por medio de líneas “no-iluminadas” sin sacrificar la exactitud en los resultados. Para obtener resultados con errores menores al 10%, las líneas se deben reemplazar, si y solo si, se encuentran a más de 1 km de distancia cuando se considera conductividad infinita y más 3 km para conductividad de 0.001 S/m.

Cuando es calculado el número de salidas año para una red ramificada, se obtiene que las ramificaciones tienen un efecto diferente dependiendo del tipo de terminación en la línea, siendo el caso más crítico cuando son considerados transformadores en los extremos o en circuito abierto.

Para aplicaciones reales en ingeniería se propone que en los circuitos de distribución se coloque descargadores de sobretensión al final de la línea. Igualmente es recomendable que en el punto donde exista seccionadores en la línea, se coloquen este tipo de dispositivos ya que en

68

eventos en el que actué el seccionador no se produzca recierre, la línea estará expuesta a transitorios con mayor amplitud debido a las descargas eléctricas atmosféricas.

Adicionalmente como aplicación en ingeniería se realizó una herramienta para la ubicación de descargadores de sobretensión basada en algoritmos genéticos para la ubicación óptima en una red compleja.

Capitulo 4: Estudio de Mediciones de Tensiones Inducidas en Colombia, Comparación de Resultados Teóricos y Experimentales

4.1 Introducción

Cada vez en el mundo existe un mayor interés para conocer mucho mejor el fenómeno de tensiones inducidas en su parte experimental, diversos estudios han sido llevados a acabo para implementar sistemas de medición en diferentes tipos de redes, como se presentó en el capítulo 1. Para los propósitos específicos de esta tesis de doctorado se han venido realizando mediciones en redes rurales en Colombia en las regiones de Samaná (Departamento de Caldas - Colombia) y Puerto Olaya (Departamento de Boyaca - Colombia) [65].

Como aporte en este documento se presenta el diseño y construcción de una red de medición de tensiones inducidas instalada recientemente en Puerto Olaya. Este sistema mejoró algunas características del sistema anterior y se ubicó en una red energizada localizada cerca de la estación experimental de medición directa del rayo. Actualmente se cuenta con más de 200 señales, algunas de las cuales fueron correlacionadas con el sistema de localización directa de descargas y comparadas con estudios teóricos [66]. En este capítulo se describen inicialmente los dos sistemas de medición usados y luego se analizan todas las señales medidas por los dos sistemas obteniendo características en su forma de onda, como amplitud, tiempo de ocurrencia del primer pico y duración de la señal. Adicionalmente se presenta el análisis comparativo entre dos mediciones hechas simultáneamente y resultados teóricos.

4.2 Sistemas de Medición de Tensiones Inducidas en Colombia

4.2.1 Descripción del Sistema de Medición Instalado en “Samaná”

La red de distribución de energía eléctrica rural, donde fue instalado este sistema, tenía como característica un gran número de fallas en la línea y equipos conectados a ella atribuidas a descargas eléctricas atmosféricas. Esta red es muy extensa ya que cubre una zona de aproximadamente 200 km2 en una región en donde la densidad de rayos a tierra es muy alta, cercana a los 30 rayos/km2-año [103]. En este circuito fueron instalados tres dispositivos de medición para obtener mediciones simultáneas y por medio de la red Colombiana de localización de rayos [1] obtener información de los que se produjeron.

El sistema evaluado es una línea de distribución aérea de 11.4 kV trifásica con conductor de neutro y configuración horizontal con 4 conductores tipo ACSR 2/0 AWG (12mm de diámetro), con postes metálicos, aisladores de porcelana y una altura media de 10m sobre un terreno con una conductividad medida de 0.001 S/m.

Esta línea tiene diferentes tipos de transformadores conectados a ellas, algunos trifásicos y otros monofásicos conectados en una o dos fases. Cada transformador está conectado con descargadores de sobretensión en cada una de las fases y con el neutro puesto a tierra;

70

adicionalmente la línea tiene varias conexiones del neutro a tierra en otros puntos del sistema. El diagrama unifilar y la configuración geométrica del circuito es mostrado en la Figura 4-1.

Experimental Line - Samaná, Colombia, Induced Induced Voltage Comparison

S/E

AC

AN

AB

AN

AN

AB

AB

AB

AB

AB

AC

AC

AC

AC

ABC

ABCBNCN

AB

BN

AB

CN

AC

BC

BN

BC

AB

AB

AN

CN

AN

AC

AC

AC

AC

AC

AC

AN

Lightning Strike Location

2

3

4

Distribution Line

0 1km 3km2km

CBA N

Figura 4-1: Esquema unifilar de la línea de distribución y configuración de la distribución de conductores

4.2.1.1 Sistema de Medición

En la red de distribución se localizaron 3 dispositivos de medición de tensiones inducidas separados aproximadamente entre ellos 3km. Cada dispositivo de medición estaba compuesto por un divisor capacitivo marca Pearson (Modelo VD305A), embebido en aceite de transformador con una nivel de aislamiento de 300 kV y un ancho de banda de 4Mhz y un osciloscopio digital FLuke con un ancho de banda 25Mhz como se muestra en la Figura 4-2.

El divisor capacitivo está unido al osciloscopio con un cable coaxial de 50 Ω apantallado por un

tubo metálico externo, para reducir el ruido electromagnético.

Energized Distribution Line

Fuse

Capacitive Divider

Osciloscope

Equipotential Mesh

External Shield

Spark Gaps

C3Guard

C1

C2

Figura 4-2: Esquema eléctrico del medidor de tensiones inducidas

71

S/E

30 6km

A

BC

Measurement Point

Figura 4-3: Puntos de medición (A, B y C) de tensiones inducidas para el circuito energizado

4.2.2 Descripción del Diseño y Construcción del Nuevo Sistema de Medición

En el año 2005 fue diseñado un nuevo sistema de medición de tensiones inducidas, construido e instalado en otra zona de Colombia con alta actividad de rayos a tierra: Puerto Olaya.

El sistema de tensiones inducidas que se implementó, se instaló en una línea de distribución cercana a la estación de medición directa de rayos Ilyapa. La estación esta localizada en Puerto Olaya, Colombia – Sur América (-74.398º de longitud y 6.471º de latitud). Esta zona tiene una densidad de rayos a tierra promedio7 de 15 strokes/km2-año, tiene una altitud sobre el nivel del mar alrededor de 150 m, con una temperatura promedio de 35ºC y una humedad relativa de aproximadamente 80%.

4.2.2.1 Configuración de la línea

La línea de distribución esta localizada en una instalación petrolera. Es una línea trifásica de un kilómetro de longitud aproximadamente y una tensión nominal fase-fase de 6.3kV. Tiene una altura de 11 m con configuración horizontal en una estructura metálica y con dos cable de guarda (shielding wire), sus conductores son ACSR 2/0 y tiene conectados tres transformadores. La estación de medición directa de rayos está localizada aproximadamente a 100 m de la línea, como se muestra en la Figura 4-4.

7 Obtenido a partir de los datos de los últimos 5 años del sistema Colombiano de localización de rayos a tierra

72

0.3 km

0.2 km

0,2 km0,1 km0

Transformador de Distribución

Punto de Medición de Tensiones Inducidas

0.1 km

Estación de Medición Directa de Rayos

Linea de Distribución de 6.4kV

Sistema de Medición de Tensiones Inducidas S/E

Figura 4-4: Sistema de medición de tensiones inducidas

4.2.2.2 Diseño y Construcción de Equipos

El sistema de medición de tensiones inducidas se diseño para poder lograr las siguientes características:

• Tensión Inducida Máxima: 250kV

• Distancia al Punto de medición: hasta 1km

• Bajo nivel de interferencia Electromagnética

• Ancho de Banda mínimo 1 Mhz

• Sincronización de las mediciones con la medición directa del rayo

Enfocándose principalmente en el nivel de interferencia electromagnética, se decidió disminuir al máximo la longitud del cable coaxial, y reemplazarlo por un sistema de fibra óptica que permite transmitir la onda hasta 1km de distancia, sin ser influenciado por la interferencia electromagnética del rayo.

El esquema de conexiones del sistema de medición diseñado se muestra en la Figura 4-5. La medición de alta tensión se realiza por medio de un divisor capacitivo de idénticas características del sistema instalado en Samaná (Pearson modelo VD305A). Adicionalmente, tiene un atenuador de 20X para poder transmitir la señal por el sistema de fibra óptica que admite una tensión máxima de +/- 2.5 V. Se diseñó, adicionalmente, un acople de impedancia para mantener un ancho de banda adecuado después de la salida del atenuador, dado que la impedancia de entrada del transductor de fibra óptica es muy baja. Los transductores de fibra óptica necesitan alimentación DC, la cual es suministrada por una fuente hecha a partir de energía solar [112].

73

Baterías 12V

+ --+

Acondicionamiento Señal de MediciónDivsor Capacitivo

FusibleCargador Baterías

C1

C2

C3Guard Emisor

Óptico

Fuente +/- 15V

ReceptorÓptico

Digitalizadora PCI

Fibra Optica 62.5µm

Atenuador 20x

Panel SolarPanel Solar

Figura 4-5: Esquema del sistema de medición de Tensiones Inducidas

Atenuador 20x

Dado que la entrada de tensión máxima para los transductores de fibra óptica es +/- 2.5 V, y teniendo en cuenta que el sistema se diseñó para medir tensiones inducidas hasta 250kV, entonces, fue necesario instalar un divisor con una relación de transformación mínima de 100.000:1.

Para este fin se tomo la decisión de adicionar al divisor netamente capacitivo con relación 5000:1, un atenuador capacitivo compensado con una atenuación de 20x.

El atenuador diseñado fue primero probado en simulación de ATP (ver Figura 4-6) para encontrar los valores óptimos compatibles con todo el sistema, obteniendo una relación de transformación homogénea para las frecuencias entre 60 y 10MHz.

1.32pF

VALTA

6.6nF

VBAJA18pF

U

100M Ohm

100G Ohm

470pF

10nF

1MOhm

47.5kOhm

Divisor Capacitivo

Div: Capacitivo Rel 5000:1

Atenuador Rel 20:1

Figura 4-6: Circuito Equivalente del sistema de medición 100.000:1

Figura 4-7: Imagen del Atenuador 20x construido

Acople de Impedancia

Debido a que la impedancia de salida de los divisores es de 450 kΩ y la impedancia de entrada del transductor de fibra óptica es 33kΩ, fue necesario construir un circuito de acople para adecuar la impedancia en el rango de frecuencias deseado.

74

El circuito utilizado para esta labor es un seguidor emisor de 15 MHz ancho de banda, el cual de acuerdo a los diseños trabaja bien hasta 5MHz. Con este dispositivo es posible cambiar la impedancia de salida de los divisores de 450kΩ a 50Ω.

Transductores de Fibra Óptica

Los transductores de fibra óptica son producidos por Analog Modules modelo T-732, estos dispositivos convierten la señal eléctrica en señal óptica y es usado con señales análogas hasta 10Mhz. Los transductores usan fibra óptica tipo multimodo de 62.5/125µm y puede tener una longitud máxima de 1km.

La ventaja de estos equipos es que trabajan análogamente, no incluyen errores en la digitalización de la señal y el retraso de la señal esta asociado directamente a la longitud de la fibra usada. Estos equipos son alimentados por una tensión de +/- 15V

4.2.2.3 Cargador de baterías

Teniendo en cuenta que los transductores de fibra óptica tienen que ser alimentados eléctricamente y con el fin de no incorporar perturbaciones eléctricas que se produzcan en la red en el sistema de medición, se diseñó un cargador de baterías sencillo que pudiera cargar las baterías por medio energía solar, ver Figura 4-8. En el caso de que existan nubes y los paneles solares no puedan cargar las baterías, el sistema utilizado para el transductor de fibra óptica tiene una capacidad de reserva de máximo de 48 horas.

Figura 4-8: Montaje final del sistema para envío de la señal medida por fibra óptica, incluyendo el cargador de baterías

4.2.2.4 Calibración Equipos

Se realizó una serie de pruebas que permiten conocer las características completas de los equipos adquiridos y diseñados. Las pruebas se realizaron principalmente para conocer la tensión máxima de medición y la relación de transformación de todo el sistema completo.

Cargador de Baterías

Transductor emisor

Acople de Impedancia

(2) Baterías 5Ah – 12V

75

4.2.2.5 Cálculo del BIL8

Mediante la prueba Up-and-Down se calculó el Basic Insulation Level (BIL) del divisor capacitivo. Las pruebas se realizaron en el laboratorio Industrial de la Universidad Nacional de Colombia con el generador de impulsos.

El BIL para polaridad positiva fue 143kV y para polaridad negativa: 154kV. Teniendo en cuenta que las pruebas se realizaron a una altura de 2600 m se corrigió su valor para la altura de Puerto Berrio donde finalmente se instaló el sistema de medición.

Realizando corrección por altura se tiene:

0

pkp

= (IV.1)

TABLA 4-1: PRESIÓN ATMOSFÉRICA Y FACTOR DE CALIBRACIÓN Presión Atmosférica Nivel de Mar 101.3 Presión Atmosférica en Bogotá 72.35

Factor de Corrección k1 0.714

BIL polaridad Positivo para puerto Berrío = 200kV

BIL polaridad Negativa ara puerto Berrío = 215kV

4.2.2.6 Relación de Transformación

La relación de transformación de los equipos diseñados y el ancho de banda se encontró mediante la realización de pruebas individuales para cada dispositivo, utilizando un generador de señales con capacidad de generar una onda hasta de 16 MHz. Como prueba final se realizó una prueba en el laboratorio industrial que permitió conocer la relación de transformación del sistema ante un impulso tipo rayo, la cual es una onda típica de medición.

Las pruebas mostraron que la relación aproximada del atenuador es de 22x, y su respuesta en frecuencia es constante para frecuencias entre 60Hz y más de 3MHz. La relación de transformación del Divisor Capacitivo es de 4930 operando satisfactoriamente entre 60 Hz y 1 MHz. Los diagramas de Bode de estos tres dispositivos se muestra en Figura 4-9.

El equipo fue probado con todas sus componentes conectadas en el laboratorio Industrial de la Universidad Nacional de Colombia, incluyendo los transductores de fibra óptica, en donde se le aplicaron impulsos de diferentes amplitudes, obteniendo resultados adecuados para la aplicación a la que fue diseñado. A continuación se presenta una prueba realizada presentando una relación de transformación de 122000:1.

Diagrama de Bode - de la Respuesta en frecuencia del atenuador de 20X

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

01.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07

Frecuencia [Hz]

Ate

nuac

ión

[dB

]

Diagrama de Bode de la Respuesta del Acople de Impedancia (Seguidor Emisor)

-20

-15

-10

-5

0

5

1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07

Frecuencia [Hz]

Ate

nuac

ión

[DB

]

8 BIL: Basic Impulse Level (Nivel básico de aislamiento)

76

a) b) Diagrama de Bode - de la Respuesta en frecuencia del Divisor Capacitivo con

relación 5000:1

-80

-78

-76

-74

-72

-70

-68

-66

-64

-62

-601.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06

Frecuencia [Hz]

Ate

nuac

ión

[DB

]

c)

Figura 4-9: a) Diagrama de Bode para el Atenuador 20x, b) Diagrama de Bode para el Acople de Impedancia, c) Diagrama de Bode para el Divisor Capacitivo con relación 5000:1

Impulso Tipo Rayo - Medición en el sistema de Medición de Tensiones Inducidas

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80

Tiempo [µs]

Mag

nitu

d [V

]

a) b)

Figura 4-10: a) Impulso Tipo rayo medido en el Laboratorio Universidad Nacional de Colombia, b) Impulso Tipo rayo medido con el sistema de medición de tensiones inducidas

4.3 Análisis de Mediciones de Tensiones Inducidas

En la actualidad existen más de 200 mediciones obtenidas en los dos circuitos de medición descritos anteriormente. La gran mayoría de mediciones obtenidas hasta el momento son la hechas en el circuito de medición de Samaná, realizadas entre 1999 y 2000. En el otro sistema de medición existen menos mediciones debido a que lleva muy poco tiempo en operación normal.

4.3.1 Características Mediciones Registradas

Tomando todas las mediciones realizadas se analizaron las mediciones que tuvieran una amplitud superior a 2 kV y con ruido en la señal despreciable, de esta manera se redujo el numero de señales a 160.

Las señales presentan varias oscilaciones principalmente debidas a las reflexiones en la línea, lo que producía que en la mayoría de los casos la máxima amplitud de la tensión inducida no ocurriera en el primer pico sino en los sucesivos. La otra característica fundamental de las señales es su duración máxima la cual en algunos casos llegó a algunos cientos de microsegundos con amplitudes de más de 5 kV.

De las formas de onda de las señales encontradas, se pueden dividir en tres grupos con formas de onda similares a las presentadas en la Figura 4-11.

77

-10

-5

0

5

10

0 50 100 150 200 250

Vol

tage

(kV

)

Time (us)

-20

-10

0

10

20

30

0 100 200 300 400 500

Vol

tage

(kV

)

Time (us) a) b)

-20

-15

-10

-5

0

5

200 300 400 500 600 700

Vol

tage

(kV

)

Time (us) c)

Figura 4-11: Mediciones realizadas en el circuito de Samaná con formas de Onda Característica, a) tipo A, b ) tipo B, c) tipo C

Todas las señales medidas en el nuevo sistema de medición son similares al tipo A mostradas en la Figura 4-12

-5

0

5

10

15

20

25

30

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Tiempo [ms]

Ten

sión

[kV

]

01_Nov_2005 2:27:12:03.76 (UTC)

-5

0

5

10

15

20

25

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Tiempo [ms]

Ten

sión

[kV

]

01_Nov_2005 2:25:23.393 (UTC)

78

-5

0

5

10

15

20

25

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Tiempo [ms]

Ten

sión

[kV

]

01_Nov_2005 2.33.03.08 (UTC)

Figura 4-12: Muestra de mediciones de Tensiones inducidas el Red Experimental de Rayos “Ilyapa” – Punto

de Medición A y tipo A a) 1ero Noviembre 2:27:12(UTC), b) Noviembre 2:25:23(UTC), c) 1ero Noviembre 2:33:23(UTC)

La mayor amplitud registrada fue 47 kV, con una duración de más de 100µs. En la Tabla 4-2 se clasifican las mediciones realizadas en los diferentes tipos de onda, tanto para polaridad positiva, como polaridad negativa. La gran mayoría de señales son de tipo A y más del 72% de las tensiones inducidas su amplitud máxima es positiva. Solo un 10% de las señales registradas no presentan cambio de polaridad.

TABLA 4-2: CLASIFICACIÓN INICIAL DE SEÑALES REGISTRADAS

Total de Señales 169 %

Ondas sin oscilaciones de polaridad negativa únicamente

3 1.8%

Ondas sin oscilaciones de polaridad positiva únicamente

14 8.3%

Ondas con máximo positivo 123 72.8% Tipo A (+) 83 49.1%

Tipo B (+) 31 18.3%

Tipo C (+) 9 5.3%

Ondas con máximo negativo 46 27.2%

Tipo A (-) 29 17.2%

Tipo B (-) 11 6.5%

Tipo C (-) 6 3.6%

El valor medio de las tensiones inducidas registradas es de 11.4kV su distribución de probabilidad se puede ajustar a una distribución log-normal (ver Figura 4-13)con una desviación estándar log 0.576σ = . El valor medio de ocurrencia del primer pico es de 8µs y su desviación

estándar para una distribución log-normal es log 0.853σ = , ver Figura 4-14.

79

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

0 10 20 30 40 50 60Magnitud [kV]

Prob

abili

dad

[%]

P. Acumulada RealAproximación P. Log-Normal

Figura 4-13: Probabilidad Acumulada para la Amplitud Máxima de las señales registradas

8.00

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00

Tiempo [µ s]

Prob

abili

dad

[%]

P. Acumulada RealLog-normal

Figura 4-14: Probabilidad Acumulada para el tiempo de ocurrencia del primer valor pico de las señales

registradas

4.4 Comparación Teórico-Experimental

Se realizó un ejercicio de comparación entre las mediciones de tensiones inducidas realizadas en un circuito rural y las simulaciones hechas por el programa de cálculo LIOV/EMTP. Esta comparación permitió aplicar los resultados obtenidos del capitulo anterior y establecer las diferentes contribuciones que pueden llegar a tener en un circuito tan complejo las ramificaciones o dispositivos desconectados.

Para la comparación entre mediciones y cálculos teóricos con el LIOV-EMTP se escogieron dos señales medidas simultáneamente que fueron correlacionadas con el sistema colombiano de localización de rayos y obtuvieron la amplitud más alta. Estas señales fueron medidas en el punto A y B y su amplitud máxima fue de -26 kV y -46 kV respectivamente con una duración mayor a 150 µs como se muestra en la Figura 4-15.

80

Lightning Induced Voltage on Distribution Line

-50.00

-40.00

-30.00

-20.00

-10.00

0.00

10.00

20.00

0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0 120.0 140.0 160.0 180.0 200.0

Time [us]

Mag

nitu

de [k

V]

Voltage point_AVoltage Point B

Figura 4-15: Medidas simultáneas de tensiones Inducidas

4.4.1 Descripción de la simulación

Teniendo en cuenta el análisis de topología del capítulo anterior se realizó una simplificación a la red de distribución. El tiempo máximo de simulación escogido fue de 30 µs lo que permitió restringir la longitud de la línea a 5km lineales desde cada punto de medición, y el resto de la red fue reemplazado con resistencias a tierra de igual valor a la impedancia característica de la línea. Adicionalmente, teniendo en cuenta que la conductividad del terreno es aproximadamente 0.001 S/m, se simularon las contribuciones de campo electromagnético en las líneas dentro de una distancia de 3km aproximadamente a partir del punto de impacto del rayo; el resto de las líneas fueron remplazadas por líneas no iluminadas.

Los transformadores conectados a la red fueron representados por una capacidad concentrada de 450 pF para cada fase y una resistencia no lineal que representa el descargador de sobretensión. El conductor de neutro se simuló como una resistencia concentrada de 20 Ω. Los

dispositivos de medición fueron considerados también como una capacidad de 18pF.

20Ω

AA

N N

N

0.453nF18pF

Rnl

20Ω

A

Figura 4-16: Descripción de Dispositivos conectados

81

Figura 4-17: Esquema de la línea de Distribución

4.4.2 Estimación de la localización y la amplitud del rayo

La localización del de rayo que causó la sobretensión en la línea y la amplitud de corriente fue estimado a partir del sistema de localización de rayos colombiano. El sistema de localización es de tipo LPATS y usa el método de tiempo de arribo para estimar la ubicación del rayo. Este sistema tiene un error en la estimación de la localización y de la amplitud tal como se muestra en algunas publicaciones [2;104;105].

4.4.3 Descripción del modelamiento

Los cálculos teóricos fueron realizados utilizando el programa LIOV/EMTP el cual se basa en los planteamientos mostrados en el Capitulo 2 utilizando un dt de 0.01 µs para poder despreciar el error producido en el retraso de las reflexiones. El modelo para describir la descarga de retorno fue hecho usando el modelo de línea de transmisión y se utilizó una forma de onda triangular en la base del canal. La conductividad del terreno se asumió en 0.001 S/m.

4.4.4 Análisis de resultados

Dado que varios de los parámetros necesarios para el cálculo de tensiones inducidas a partir de modelos teóricos no se tienen o su exactitud es incierta, se realizó un análisis de sensibilidad principalmente a la amplitud de la onda de corriente y la ubicación del rayo al igual que la conductividad del terreno.

Esta red rural no cuenta con un sistema que provea en tiempo real los datos de operación de dichos seccionadores y esto conlleva a que posiblemente durante el intervalo de medición parte de la red haya podido ser desconectada por las protecciones de falla de la línea. Inicialmente se asumió que todos los seccionadores estaban cerrados.

4.4.4.1 Análisis de sensibilidad a la ubicación y la amplitud del rayo

Teniendo en cuenta los errores en la ubicación del rayo, que pueden ser mayores a 500 m, se realizó una variación de la ubicación a partir del punto ubicado por el sistema de localización de rayos dentro de un radio de 600 m, como se muestra en la Figura 4-18. Con esto se pretendió

Capacitive Divider(Measurement Point)

Transformer

Grounding

AC

AN

AB

AN

AN

AB

AB

ABC

ABCBN

AB

BC

CN


Distribution Line

Node

1km0 0.5km

0.5km0 1km

Node

Distribution Line


AN

AN

CN

AN

AB

AB

AB

BN

BN

BC

BC

AC

CN

AB

BN

AB

CN BNABC

ABC

AC

AC

AC

AC

AB

AB

AB

AB

AB

AN

AN

AB

AN

AC

Grounding

Transformer


Experimental Line - Samaná-Colombia (System Simulated)

82

encontrar la ubicación más aproximada para que concordaran con las mediciones. La amplitud de la corriente en la base del canal también fue variada simultáneamente.

LLS - Striking Point Location

Distribution Line

Figura 4-18: Variación al Punto de Impacto

En la Figura 4-19 se muestra la comparación entre las señales medidas en el punto A y B y las simulaciones realizadas en donde no tienen ninguna semejanza los resultados; esto hace más valido realizar un análisis de sensibilidad en los parámetros.

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

0 5 10 15 20 25 30

Time [us]

Mag

nitu

de [k

V]

LIOV-EMTP-Simulation_A

Measured point_A

LIOV-EMTP-Simulation_B

Measured Point B

Figura 4-19: Simulación para la ubicación 1 con una amplitud de rayo de 12kA 1.2/50 µs

Después de realizar las simulaciones para todos los puntos escogidos se obtuvo que el mejor resultado fue para el punto 23, el cual está ubicado a 50m de la línea. Para las simulaciones en este punto existe una concordancia razonable para los primeros 15 µs. Sin embargo, sigue siendo

un resultado no satisfactorio.

83

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0 35.0 40.0Time [us]

Mag

nitu

de [k

V]

Punto de Medición_A

LIOV/EMTP Simulación_A 30 kA 2.25us Trap P23

Figura 4-20: Simulación para la ubicación 23 con una amplitud de rayo de 30kA 1.2/50 µs

4.4.4.2 Conductividad del terreno

Teniendo en cuenta que las mediciones de conductividad se realizaron en un solo punto, y en épocas diferentes donde las condiciones de humedad en el suelo pudieron ser diferentes, entonces, se realizó un análisis de sensibilidad con respecto a la conductividad del terreno. Los resultados muestran que la variación de este parámetro tiene un gran aporte en la doble polaridad, sin embargo, los mejores resultados se obtuvieron para el caso cuando la conductividad es de 0.001 S/m. Desafortunadamente el modelamiento actual utilizado no permite realizar estimaciones del campo electromagnético en suelos con conductividad variable, lo que en una red tan extensa podría ser útil observar su comportamiento.

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0 35.0 40.0Time [us]

Mag

nitu

de [k

V]

Measured point_A (cond 1)caso_p.i._23_I_30k_2.25u_0.0008s/m

caso_p.i._23_I_30k_2.25u_0.0005s/mcaso_p.i._23_I_30k_2.25u_0.001s/mcaso_p.i._23_I_30k_2.25u_0.002s/m

Figura 4-21: Simulación para la ubicación 23 variando la conductividad del terreno, entre 0.002 y 0.005 S/m,

con una amplitud de rayo de 30kA 1.2/50 µs

4.4.4.3 Topología de la red

Dado que al realizar las variaciones de magnitud e impacto en la ubicación del rayo únicamente se pudo obtener resultados razonables para los primeros microsegundos, se realizó un nuevo análisis de sensibilidad pero concerniente con la topología de la línea teniendo en cuenta que ésta pudo cambiar durante la tormenta eléctrica en la que se realizaron las mediciones, así como también pudieron dejar de operar algunos descargadores de sobretensión.

La red fue modificada quitando varios segmentos de línea para tener en cuenta una posible desconexión de las líneas por el accionamiento de interruptores y también por la desconexión de descargadores y transformadores. Con este análisis de sensibilidad se pudo obtener una mejor

84

comparación especialmente para los intervalos entre 10 y 20 µs. La mejor comparación se obtuvo

al desconectar el segmento de línea 25 el cual se muestra sombreado en la Figura 4-22.

0.5km0 1km

Node

Distribution Line


CN

BC

AB

BNABC

ABC

AB

AB

AN

AN

AB

AN

AC

Grounding

Transformer


Part omitted

Figura 4-22: Esquema de la Línea de distribución con la ramificación desconectada

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0Tiempo [µs]

Mag

nitu

d [k

V]

Punto de Medición_A

LIOV-EMTP

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0Tiempo [µs]

Mag

nitu

d [k

V]

Punto de Medición B

LIOV-EMTP

Figura 4-23: . Comparación entre el LIOV-EMTP y las mediciones para el punto de medición A en el punto de impacto 23 a 50m de la línea de distribución con una amplitud de corriente máxima de 30 kA, di/dt 10

kA/µs. No se consideró conectada la rama sombreada de la Figura 4-22.(izquierda, punto de medición A,

derecha, punto de medición B)

Una conclusión importante de las anteriores comparaciones es que a pesar de que los sistemas de localización de rayos son bastante adecuados para muchas aplicaciones en ingeniería, para el cálculo de tensiones inducidas su exactitud no es adecuada, pues generalmente están del orden de más de 500 m y este parámetro requiere de exactitudes mucho mejores con errores menores a 10 m. Por esto cuando se considere como parámetros de entrada los datos de sistema de localización de rayos es importante conocer los errores que este tiene y a partir de esto establecer un análisis de sensibilidad que conlleve a mejores resultados [5;106].

4.5 Aportes del Trabajo Doctoral en Experimentación

Este trabajo doctoral realiza un aporte importante en el diseño y construcción de un nuevo sistema de medición de tensiones inducidas en redes de distribución energizadas. La red se encuentra ubicada a 100 m de la estación de medición directa de rayos de Colombia y todas las mediciones están sincronizadas. Para este nuevo sistema se utilizó un sistema fibra óptica para el cual se construyó el acople de impedancia necesario para mantener el ancho de banda de los equipos, también se uso alimentación solar para disminuir la interferencia electromagnética sobre la señal registrada.

85

A partir de las mediciones realizadas en Colombia desde el 2000 se obtuvieron parámetros característicos de las ondas en donde se encontraron algunos aspectos característicos como las oscilaciones en las formas de onda, siendo las más características las de polaridad positiva.

Capitulo 5: Conclusiones y Trabajos Futuros

Esta tesis de doctorado presenta los trabajos realizados para el modelamiento de tensiones inducidas con aplicación al mejoramiento en el desempeño de redes de distribución largas y complejas, Los principales aportes se realizaron en tres aspectos fundamentalmente: el primero, propiamente dicho en el modelamiento de tensiones inducidas, el segundo en el desarrollo experimental y el tercero en aplicaciones para ingeniería eléctrica.

Modelamiento de Tensiones Inducidas

Uno de los principales aportes realizados en este trabajo doctoral ha sido el desarrollo del programa computacional YALUK para el cálculo de tensiones inducidas, innovando el esquema de vinculación con el programa de análisis transitorio ATP. Este nuevo esquema de vinculación integra dos técnicas de solución para las ecuaciones de línea de transmisión: el método de diferencias finitas y el método de las características. Esta implementación permite calcular las tensiones inducidas en una línea y enviar los datos de tensión de manera nodal al ATP para que éste calcule las condiciones de frontera. Esta metodología mejora las características del programa digital LIOV-EMTP ya que no es necesario adicionar una línea sin pérdidas para la vinculación con el ATP/EMTP que produce un retraso en las ondas reflejadas en la red, y el cual es más evidente en el momento que el paso de tiempo de simulación es mayor.

En la revisión bibliográfica para el cálculo de tensiones inducidas se destacan 3 ecuaciones simplificadas para el cálculo de la tensión máxima en una línea de distribución. A pesar de la utilidad de estas ecuaciones y que, por ejemplo, la ecuación de Rusck es una de las ecuaciones más usadas normativamente, estas ecuaciones solo sirven para dar un estimativo de la tensión máxima en un sistema para un rayo dado. A partir de un estudio para un caso sencillo en [5] se obtuvo que la ecuación de Perez presenta un menor error relativo con respecto con simulaciones realizadas utilizando el modelo de Agrawal.

Con base en los estudios comparativos realizados a tres programas computacionales (LIV-ATP, LIOV-EMTP y el YALUK-ATP) descritos en este documento se concluyó que, dependiendo de la complejidad del sistema a analizar y de la conductividad del suelo, los tres programas pueden ser utilizados de acuerdo con las siguientes recomendaciones:

• El programa LIV-ATP es adecuado para el cálculo de tensiones inducidas en líneas sencillas y en redes complejas para una conductividad del suelo infinita. Cuando se considera un suelo no perfectamente conductor es recomendable que las simulaciones sean para redes menores a 2 km debido que al no considerar la impedancia transitoria del suelo los errores en la estimación aumentan a medida que la longitud crece, como se describió en el capitulo 2.

• Los programas LIOV-EMTP y YALUK-ATP calculan las tensiones inducidas con diferencias máximas para algunos casos entre ellos menores a 5%. El programa YALUK-ATP tiene la ventaja con respecto al LIOV, de no agregar un segmento de línea a la longitud original de la red, evitando errores en el tiempo de viaje de las ondas como se mostró en el capítulo 2. El efecto de este retraso en la línea puede ser evaluado a priori para determinar la

88

influencia final en los cálculos de tensiones inducidas, sin embargo, si el paso de integración para el LIOV-EMTP es menor o igual 0.01µs el error producido por el retraso en las reflexiones puede despreciarse para la mayoría de casos.

Se hace un análisis de la topología de las redes de distribución eléctrica y se observan como las tensiones inducidas se ven afectadas con las ramificaciones, especialmente si estas están cerca al punto de impacto; un análisis estadístico muestra el efecto de la topología de la red, el cual depende principalmente de los elementos conectados en las ramificaciones, siendo los más críticos cuando se conectan transformadores o se dejan circuitos abiertos. Esto evidencia un aspecto fundamental para el comportamiento de las líneas de distribución ante tensiones inducidas, por lo cual es recomendable que en sus terminaciones tengan descargadores de sobretensión que disminuyen considerablemente el número de fallas de la línea.

Adicionalmente se propuso y se demostró que los sistemas de distribución extensos (mayores a 2 km) se pueden simplificar mediante el uso de líneas “no-iluminadas”. Esta propuesta permite reducir el tiempo de cálculo de tensiones inducidas, sin sacrificar precisión en los resultados, cuando se requieren hacer estudios estadísticos más complejos. Para poder realizar los reemplazos en los sistemas de distribución con líneas iluminadas se debe tener en cuenta las siguientes recomendaciones:

• Establecer la ventana de tiempo de interés, para así, por medio de evaluación preliminar por ondas viajeras, establecer la porción de red que es necesaria evaluar para las simulaciones.

• Se puede establecer que las líneas más importantes en la inducción son las más cercanas al punto de impacto, por lo tanto para conductividad del suelo infinita es recomendable tener en cuenta la inducción electromagnética de las líneas que están en un rango de 1 a 2km del punto de impacto de rayo, siempre y cuando el rayo esté a menos de 200m de la línea más cercana. Para distancias superiores un mayor rango debe ser tenido en cuenta para realizar esta simplificación.

• Cuando existen suelos con conductividades bajas se debe tener en cuenta líneas que se encuentren aún más lejos, esto debido a que líneas lejanas tienen aún un gran aporte en la forma de onda de la tensión inducida. Para este caso es recomendable tener en cuenta al menos un rango entre 3 y 5 km.

Desarrollo experimental

El aporte de esta tesis doctoral esta dado principalmente en el diseño y la construcción de un nuevo sistema de medición de tensiones inducidas en redes de distribución energizadas. Este nuevo sistema de medición se instaló en una red energizada que se encuentra muy cerca de la estación experimental de medición de rayos directos de Colombia, lo cual permite obtener un mayor número de mediciones incluyendo la medición de la corriente de un rayo natural. Estas nuevas mediciones servirán para obtener más características de las tensiones inducidas al igual que sirven para realizar nuevas comparaciones entre mediciones y simulaciones con programas de cálculo como el YALUK, realizado en esta tesis.

Este nuevo sistema fue diseñado con el fin de reducir la interferencia electromagnética, en las señales de medición utilizando tecnologías inmunes al campo electromagnético como fibra óptica y energización de los transductores de fibra óptica mediante energía solar.

Como aporte adicional en esta área se recopilaron las mediciones que se han hecho en Colombia desde el año 2000 incluyendo las nuevas mediciones del sistema construido. En esta parte se realizó un análisis de más de 200 señales registradas en dos sistemas de medición de tensiones inducidas logrando establecer algunas características de éstas, en cuanto a la amplitud, forma de onda y tiempos de duración. Como ejercicio adicional se realizó una comparación entre una de las mediciones y los programas de cálculo de tensiones inducidas, mostrando que la exactitud del sistema de localización de rayos no es suficiente para realizar comparaciones

89

adecuadas ya que es necesario exactitudes menores a 10m en la localización. Por esto es importante que cuando los datos del sistema de localización de rayos sean usados como parámetros de entrada para un caso de tensiones inducidas, se realice un análisis de sensibilidad para obtener resultados más precisos.

Aplicaciones en ingeniería

Teniendo en cuenta las necesidades de la ingeniería en cuanto a la disminución de salidas por año de una línea se realizó una nueva herramienta computacional basada en algoritmos genéticos y aplicando el programa computacional YALUK para cálculo de tensiones inducidas. Este programa, de una manera novedosa, permite estimar la ubicación de una manera óptima los descargadores de sobretensión para líneas complejas.

Es importante notar que para obtener resultados adecuados es importante simular un gran número de casos de rayo para cada ubicación de descargadores. Esta herramienta promete ser una buena aplicación para la ubicación de descargadores de sobretensión, sin embargo, es necesario realizar un mejor desarrollo en las técnicas de programación para optimizar la velocidad de los programas como el YALUK y la librería de algoritmos genéticos.

Trabajos Futuros

El haber logrado la apropiación del conocimiento en el tema de tensiones inducidas, resumido en la herramienta computacional YALUK y desarrollada en esta tesis doctoral, permite tener mayor autonomía al plantear proyectos de investigación o de aplicación en ingeniería eléctrica que permitan lograr mayores precisiones. Así mismo, es posible integrar los resultados obtenidos en la tesis doctoral de Herrera [29], que se realizó paralelamente a esta, con la consideración de los efectos de la tortuosidad del canal de la descarga en las tensiones inducidas.

El sistema de medición de tensiones inducidas construido y en operación en la estación experimental de medición de rayos directos (Ilyapa) permitirá realizar un mayor número de estudios comparativos con mediciones de rayos naturales. Con ello se podrá ajustar de una mejor manera los modelos de cálculo desarrollados a nivel mundial para ser aplicados en ingeniería.

El programa computacional de algoritmos genéticos es susceptible de ser mejorado con el objetivo de encontrar soluciones óptimas para mejorar el desempeño de líneas por efecto de tensiones inducidas, teniendo en cuenta otro tipo de variables, tales como, configuración geométrica de la línea y apantallamiento. Para ello es necesario profundizar en el campo de la programación paralela, lo cual puede reducir el tiempo de cálculo de las tensiones inducidas y así poder realizar estudios estadísticos más completos.

90

Anexo A: Solución Método de las Características

Las ecuaciones de línea de transmisión con fuentes propuesta por Agrawal [6], mostradas en (A.1), se pueden solucionar mediante el método comúnmente llamado “método de las características” originalmente atribuido a Branin [80]. En este anexo se presenta la solución detallada para estas ecuaciones en función de la tensión dispersa y finalmente su expresión para la tensión total.

[ ] [ ]

[ ] [ ]

( , ) ( , ) ( , , )

( , ) ( , ) 0

i

s ii ij i x

sij i

v x t L i x t E x h tx t

i x t C v x tx t

∂ ∂ ⎡ ⎤⎡ ⎤+ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∂ ∂∂ ∂⎡ ⎤+ =⎣ ⎦∂ ∂

(A.1)

Donde:

ixE : es la componente del campo eléctrico horizontal incidente a lo largo del eje x, a la altura

del conductor.

( ),i x y es la corriente inducida a lo largo de la línea

( ),sv x t : es la tensión inducida dispersa (scattered) a lo largo de la línea

L yC : son las matrices de inductancia, capacidad conductividad de la línea por unidad de longitud, respectivamente

Si se supone que el campo electromagnético se propaga homogéneamente por la línea a una velocidad constante sin pérdidas. Este método busca transformar una ecuación hiperbólica de derivadas parciales en el plano x y− en ecuaciones diferenciales ordinaria. Las dos ecuaciones

ordinarias llevan la información de propagación, una de la onda incidente y la otra de la onda reflejada. Esto conlleva a que existan 2 ecuaciones que definen las curvas características (A.2)

1

2

1 Característica hacia adelante' '1 Característica hacia atras' '

p

p

dxvdt L Cdxvdt L C

= =

= = − (A.2)

Donde

pv : es la velocidad de propagación, el subíndice indica la dirección

'L : Es la inductancia por unidad de Longitud de la línea

'C : Es la Capacidad por unidad de Longitud de la línea

91

Mediante la regla de la cadena se puede expresar las ecuaciones de diferencias parciales en ecuaciones diferenciales ordinarias

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

, ,,

, ,,

s sv x t v x tdv x t dx dt

x ti x t i x t

di x t dx dtx t

∂ ∂= +∂ ∂

∂ ∂= +∂ ∂

(A.3)

( , , ) ( , , )( , ) x x

xE x h t E x h tdE x t dx dt

x t∂ ∂= +

∂ ∂ (A.4)

Sustituyendo (A.2) en (A.3) se obtiene que

( , ) ( , )( , ) ' ( , , )

( , ) ( , )( , ) '

ss

x

s

i x t v x tdv x t L E x h t dx dtt t

v x t i x tdi x t C dx dtt t

⎛ ⎞∂ ∂⎟⎜= − + +⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∂ ∂⎛ ⎞∂ ∂⎟⎜= − +⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∂ ∂

(A.5)

Entonces para encontrar las ecuaciones para la característica hacia adelante donde

1 1 ' 'pdx v dt L C= ⋅ = , se obtiene:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1, ,

, ,

, ,1,

ss

c p x

s

c

i x t v x tdv x t Z v E x t dt

t t

v x t i x tdi x t dt

Z t t

⎛ ⎞∂ ∂ ⎟⎜= − + + ⋅ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∂ ∂⎛ ⎞∂ ∂ ⎟⎜ ⎟= − + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠

(A.6)

donde cZ es la impedancia característica de la línea y esta definida por (A.7)

1c p pZ v L v C= ⋅ = ⋅ (A.7)

Sumando estas dos ecuaciones de (A.6) se obtiene (A.8)

( ) ( ) ( )( ), , , ,sc p xdv x y Z di x y v E x h y dt+ = ⋅ (A.8)

A partir de la expresión para 1pv , entonces la ecuación (A.8) se puede rescribir así:

( ) ( ) ( ), , , ,sc xdv x y Z di x y E x h y dx+ = (A.9)

Reorganizando e integrando a lo largo de la característica hacia adelante, de 0x = a x L= , donde L es la longitud de la línea se obtiene que

( ) ( ) ( )

0 0

, ,,

L Ls

c xdv x y di x y

Z dx E x y dxdx dx

⎛ ⎞⎟⎜ + =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∫ ∫ (A.10)

El resultado de esta integración, es decir la relación de las tensiones y las corrientes en los puntos extremos de la línea a lo largo de la misma característica, da como resultado para la característica hacia adelante que:

92

( )0

( , ) (0, ) ( , ) (0, ) , ,L

s sc c xv L t v t Z i L t Z i t E x y t dxτ τ− − + − − = ∫ (A.11)

de donde se puede decir entonces que

( )0

( , ) ( , ) (0, ) (0, ) , ,L

s sc c xv L t Z i L t v t Z i t E x y t dxτ τ= − + − + − + ∫ (A.12)

donde L vτ = es el tiempo de viaje de la onda de un extremo al otro de la línea. El resultado

de la integración en este caso se debe a que a lo largo de la característica hacia adelante.

Similarmente, para la característica hacia atrás, la expresión que se encuentra es

( )0

(0, ) (0, ) ( , ) ( , ) , ,L

s sc c xv t Z i t v L t Z i L t E x y t dxτ τ= + − − − − ∫ (A.13)

Las ecuaciones (A.12) y (A.13) relacionan las tensiones dispersas y las corrientes de un extremo de la línea con las del otro extremo. Estas ecuaciones son independientes y se pueden reescribir com en (A.14) y (A.15).

_0(0, ) (0, ) ( )s sc rv t Z i t U t= + (A.14)

_( , ) ( , ) ( )s sc r Lv L t Z i L t U t= − + (A.15)

donde

( )_00

( ) ( , ) ( , ) ,L

r c xU t v L t Z i L t E x y dxτ τ= − + − − ∫ (A.16)

( )_0

( ) (0, ) (0, ) ,L

r L c xU t v t Z i t E x y dxτ τ= − − − − ∫ (A.17)

El circuito que representan las ecuaciones (A.14) y (A.15)se representa por el circuito mostrado en la figura A-1.

cZ cZ ( , )i L t (0, )i t

_0srU _

sr LU +

-+ -

( ),sv L t

+

-

( )0,sv t

+

-

Figura A-1: Esquema del circuito para las ecuaciones en función de la tensión dispersa

Para expresar las fuentes en términos de tensiones totales se usa la ecuación (1.20)

0

( , ) ( , ) ( , , )ih

s ii zv x t v x t E x z t dz= + ∫ (A.18)

Reemplazando (1.20) en (A.13) y (A.12) se obtiene (A.19) y (A.20):

93

( )0

0 0

(0, ) (0, ) ( , ) ( , ) ,

(0, , ) ( , , )i i

L

c c x

h hi iz z

v t Z i t v L t Z i L t E x y dx

E z t dz E L z t dz

τ τ

τ

= + − + − −

− + −

∫

∫ ∫ (A.19)

( )0

0 0

( , ) ( , ) (0, ) (0, ) ,

( , , ) (0, , )i i

L

c c x

h hi iz z

v L t Z i L t v t Z i t E x y dx

E L z t dz E z t dz

τ τ

τ

= − + − − − −

− + −

∫

∫ ∫ (A.20)

Al igual que para la tensión dispersa, las ecuaciones (A.19) y (A.20) pueden simplificarse como se muestra a continuación:

_0(0, ) (0, ) ( )c rv t Z i t U t= + (A.21)

_( , ) ( , ) ( )c r Lv L t Z i L t U t= − + (A.22)

donde

( )_00

0 0

( , ) ( , ) ,

(0, , ) ( , , )i i

L

r c x

h hi iz z

U v L t Z i L t E x y dx

E z t dz E L z t dz

τ τ

τ

= − + − −

− + −

∫

∫ ∫ (A.23)

( )_0

0 0

(0, ) (0, ) ,

( , , ) (0, , )i i

L

r L c x

h hi iz z

U v t Z i t E x y dx

E L z t dz E z t dz

τ τ

τ

= + − − − −

− + −

∫

∫ ∫ (A.24)

El circuito que representan las ecuaciones (A.21) y (A.22) se representa por el circuito mostrado en la figura A-2.

cZ cZ ( , )i L t (0, )i t

_0rU _r LU + -

+ -

( ),sv L t

+

-

( )0,sv t

+

-

Figura A-2: Esquema del circuito para las ecuaciones en función de la tensión total

Anexo B: Foreign MODELS en ATP

Los Foreign-MODELS son funciones o subrutinas externas programadas en algún lenguaje, no necesariamente igual al de ATP. Estas subrutinas tienen variables de entrada: F(X_var,X_in,X_out,X_data).

Donde:

X_in[]: Es la variable de los parámetros de entrada donde guarda los valores enviados por el modelo

X_out[]: Es la variable de los parámetros de salida donde guarda los valores enviados por el foreign-model

X_var:[]: Guarda las variables en memoria por MODELS entre ejecuciones

X_data:[]:Son las variables de datos que son pasados el foreign-MODEL

Los foreign-MODELS al igual que los MODELS tienen dos etapas, la primera es de inicialización, donde se definen las variables y se precalculan los datos necesarios para ejecutarse y la segunda es de ejecución donde se ejecuta propiamente el MODEL para para cada paso de tiempodt .

Para implementar un nuevo foreign-MODEL es necesario recompilar el ATP, ya que se debe modificar el archivo fgnmod.f, para incluir el nombre con el cual el modelo será llamado desde ATP y el nombre de las funciones o subrutinas programadas.

Por ejemplo para el para el foreign-MODEL de YALUK se debe modificar en nombre en refnam, con el nombre 'YALUK_DLL_MODEL ' y en iname con el nombre de las dos subrutinas, primero la de inicialización dll_yaluk_i, y luego la de ejecución dll_yaluk_e, como se muestra en el siguiente recuadro.

DATA refnam(4) / ’YALUK_DLL_MODEL ’ / −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ELSE IF ( iname.EQ.4 ) THEN IF (iniflg.EQ.1) THEN CALL dll_yaluk_i(xdata, xin, xout, xvar) ELSE CALL dll_yaluk_e(xdata, xin, xout, xvar) ENDIF

Debido a que ATP está programado en FORTRAN 77 no es posible llamar una función o subrutina que esté en una librería dinámica dll. Para solucionar esto es necesario utilizar una función puente que está programada en C++ que es llamada por fgnmod.f. El código usado para hacer este puente es suministrado por el grupo japones JAUG9 específicamente para una función. Para desarrollar el MODEL el código fue ligeremente modificado, para hacerlo más eficiente en MODELS.

Use_DLL.c

9 http://www.jaug.jp/mingw32/atplnch/atplnche.html#4_4

96

/************************************************************************************************** | Programa para que ATP ejecute un MODEL que este dentro de una librería Dinámica DLL | Nombre de la subrutina: ˆdll_yaluk_i__": modulo de iniciación, ˆdll_yaluk_e__": modulo de ejecución ***************************************************************************************************/ #undef RC_INVOKED #define _WINGDI_H #define _WINUSER_H #define _WINNLS_H #define _WINVER_H #define _WINNETWK_H #define _WINREG_H #define _WINSVC_H #define WIN32_LEAN_AND_MEAN #include <windows.h> typedef void (*DLLMOD)(double[],double[],double[],double[]); static HINSTANCE hDLL2; static DLLMOD Dllmod1; static DLLMOD Dllmod2; void dll_yaluk_i__(double xdata_ar[ ], double xin_ar[ ], double xout_ar[ ], double xvar_ar[ ]) static int nval=0; int end; if( (hDLL2)<=0) hDLL2=LoadLibrary("Atp_fortran.dll"); Dllmod1=(DLLMOD)GetProcAddress(hDLL2,"yaluk_init"); (Dllmod1)(xdata_ar, xin_ar, xout_ar, xvar_ar); end=0; if(end==1) FreeLibrary(hDLL2); Dllmod1=NULL; hDLL2 =NULL; return; void dll_yaluk_e__(double xdata_ar[ ], double xin_ar[ ], double xout_ar[ ], double xvar_ar[ ]) static int nval=0; int end; if( (hDLL2<=0)) hDLL2=LoadLibrary("Atp_fortran.dll"); if( (hDLL2>0&&Dllmod2<=0)) Dllmod2=(DLLMOD)GetProcAddress(hDLL2,"yaluk_exec"); if( Dllmod2!=NULL ) if(xin_ar[0]>=xdata_ar[1]) end=1; else end=0; (Dllmod2)(xdata_ar, xin_ar, xout_ar, xvar_ar); if(end==1) FreeLibrary(hDLL2); Dllmod2=NULL; hDLL2 =NULL; return;

97

El código implementado en MODELS de ATP para ejecutar el YALUK para una línea de 3 conductores es: MODEL Yaluk3 −− This model is link with ATP by means of a non−iluminated line −− It must have four inputs for one single line (Va,Ia,Vb,Ib) CONST cond VAL:3 −−num. phases INPUT Va[1..cond] Vb[1..cond] −− Idmy −− dummy −− dummy for AtpDraw VAR Vfa[1..cond],Vfb[1..cond] OUTPUT Vfa,Vfb DATA No_Lin MODEL mymodel FOREIGN YALUK_DLL_MODEL ixdata:4, ixin:7, ixout:6, ixvar:500 EXEC −− using the DLL subroutine USE mymodel AS mymodel DATA xdata[1..4]:=[timestep,stoptime,cond,No_Lin] INPUT xin[1..2*cond+1]:=[t,Va[1..cond],Vb[1..cond]] −− HISTORY histdef(xvar[1]):=0 OUTPUT Vfa[1..cond]:=xout[1..cond] Vfb[1..cond]:=xout[cond+1..2*cond] ENDUSE ENDEXEC ENDMODEL

98

Anexo C: Análisis Sensibilidad Paso de Integración

En este anexo se describen brevemente los problemas que se pueden llegar a tener con la implementación del LIOV

V0 V1 V kmax

I 1

L

I 0

ZLoad

-

+

I 0'

∆x2 ∆x

línea con inducción Electromagnética

Tramo de línea sin inducción Electromagnética

V0'


-

+

I0'

Vkmax'

I0

ZLoad

h

zE dz0

0

E dz0

z

hL

∆x2

-

+

Zload

L


i


∆x

i i

E dz0

h

z

0

+zE dz

0

h

-

kmax

ZLoad

v

∆x2


kmaxkmax-1vkmax-2v2v1v0v

1 kmax-1

ikmaxi0

a) b) Figura C-3: Esquemas de vinculación para EMTP. a) adicionando un segmento de línea sin pérdidas (metodología LIOV), b) Esquema de vinculación sin usar línea sin pérdidas (metodología YALUK)

La metodología de adicionar un segmento de línea a la línea iluminada incurre en algunos errores en el tiempo de viaje de las ondas, estos errores empiezan a ser importante con las reflexiones, siendo más crítico, cuando se asume un t∆ de simulación mayor grande mayor a 0.001µs cuando los tiempos de frente de la onda son del orden de 1 µs.

Las diferencias de tiempo y los errores causados en las reflexiones son analizados para dos casos. El primero asume una línea de un solo conductor de 500m de longitud, a 10 m de altura sobre un suelo perfectamente conductor. Y el segundo una línea de 1 km compuesta por dos líneas de 500m iguales al del caso 1. Para los dos casos el rayo se considera que impacta a 50 m de uno de los extremos de la línea y la corriente de rayo se simula con una onda tipo doble Heidler con 12kA de magnitud y un / 40 /di dt kA sµ= . Los casos se simulan para dos pasos

diferentes uno de 0.01 µs y el otro 0.03 µs.

En la figura C-4, muestra los efectos que produce esta adición de línea adicional en donde la onda reflejada tiene un error en el tiempo de arribo igual a 4dt , para la primera reflexión y por cada reflexión adicional es error aumenta en 4dt . En el caso en donde el paso de integración es 0.01 µs, el error en la magnitud es despreciable, menor a 1%. Para el caso en el que el valor del paso de integración es 0.03µs, el error en la magnitud va aumentando a medida que un mayor de reflexiones va llegando, en donde para el caso 1 el error máximo encontrado es de 5%.

En la figura C-5, muestra los resultados obtenidos para una línea de 1km compuesta por dos segmentos de 500m. En este caso el error es de 8dt , es decir que los retrasos de la línea se duplican con el caso anterior y por cada reflexión aumentan en 8dt nuevamente. Nuevamente se observa que para el paso de integración de 0.01 µs, el error en la magnitud es despreciable. Para el paso de integración igual a 0.03µs, el error es apreciable y el valor máximo es de 3%.

99

0.00

10.00

20.00

30.00

40.00

50.00

60.00

70.00

80.00

0 5 10 15 20 25

Tiempo [µs]

Ten

sión

[k

V]

LIOV YALUK

retraso = 4dt

retraso = 8 dtretraso = 1dt retraso = 12 dt

P2

50m500m

PLinea 1

0.000

10.000

20.000

30.000

40.000

50.000

60.000

70.000

80.000

0 5 10 15 20 25

Tiempo [µs]

Ten

sión

[k

V]

LIOV

YALUK

retraso = 4dt retraso = 8dt

retraso = 1dt

retraso = 12dtP2

50500m

PLinea 1

dt= 3E-8

a) b) Figura C-4: Comparación entre la implementación del LIOV y el YALUK, para una línea de 500m

a) paso de tiempo 0.001 µs, b) paso de tiempo 0.003 µs

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 5 10 15 20 25

Tiempo[µs]

Ten

sión

[k

V]

LIOV_dt=1.e-8_(N2)

YALUK_dt=1.e-8_(N2)

retraso = 1dt

retraso = 16dtretraso = 8dt

P2

50m1000m

PLinea 1 Linea 2

dt= 1E-8

0.000

10.000

20.000

30.000

40.000

50.000

60.000

70.000

80.000

0 5 10 15 20 25

Tiempo[µs]

Ten

sión

[k

V]

LIOV

YALUK

retraso = 1dt

retraso = 16dt

retraso = 8dt

P2

501000m

PLinea 1 Linea 2

dt= 3E-8

a) b) Figura C-5: Comparación entre la implementación del LIOV y el YALUK, para una línea de 1 km

a) paso de tiempo 0.001 µs, b) paso de tiempo 0.003 µs

Como resultado final se puede decir que el error que se comete al adicionar una línea sin pérdidas esta afectado principalmente por el paso de simulación dt . Por cada línea incluida en la simulación el retraso en el tiempo de viaje se incurre es de 4dt y el error aumenta cada vez que la onda cumple con todo el recorrido de la línea. También se puede decir que para un tiempo de simulación menor a 0.01µs, los errores que ocurren en la magnitud son despreciables.

Anexo D: Algoritmos Genéticos

Los técnica de algoritmos genéticos [107-109] es introducida inicialmente en 1975 por Holland, basándose en el proceso evolutivo biológico y se usa principalmente para solucionar problemas de optimización. Esta técnica dada su generalidad ha podido ser usada para la solución de múltiples tipos de problemas en diferentes áreas del conocimiento.

En la ingeniería eléctrica existen varios claros ejemplos de su utilización, como por ejemplo Altshuler y Linden en 1997 [110], quienes utilizaron un algoritmo genético para evolucionar antenas de alambre con propiedades especificadas a priori, con este algoritmo genético se especificaron las propiedades electromagnéticas de la antena, y el algoritmo sintetizó automáticamente una configuración eficiente, obteniendo como resultado una antena con muy buen patrón de radiación y alto ancho de banda con una geometría fuera de lo convencional.

Figura 5-6: Una antena genética de alambre doblado, tomado de [110]

El algoritmo genético es un proceso de búsqueda basado principalmente en las leyes de la selección natural y la genética. Esta técnica de programación está encaminada a resolver problemas de optimización. El algoritmo genético se puede dividir en tres operaciones principales, la primera de selección, la segunda de una operación genética y la tercera de reemplazo [111]. El algoritmo genético parte inicialmente de una generación aleatoria de una población como candidatos para la posible solución, esta población se compone por un número determinado de individuos, comúnmente llamados “padres”, los cuales son identificados por un cromosoma que los hace únicos. La información genética a partir de los cromosomas de los individuos padre es utilizada para generar nuevos individuos denominados “hijos” que son evaluados con respecto a una función objetivo. Los mejores individuos “hijos” se conservan y pasan a reemplazar a los individuos “padre” si sus características son mejores. Los individuos seleccionados son usados nuevamente para la reproducción en las generaciones futuras. Esta operación es repetida hasta que el criterio de finalización es encontrado..

102

Finalmente se puede decir que los algoritmos genéticos son métodos de optimización, los

cuales tratan de hallar para un problema determinado los valores en las variables ( )i nx x… tales

que ( )i nF x x… sea máximo o mínimo.

A.1 Metodología de Implementación

La metodología usada por un algoritmo genético esta basada en 5 etapas: primero una etapa de codificación para establecer los parámetros del problema para codificarlos en un cromosoma, el segundo aspecto está enfocado en la evaluación y la selección de los mejores individuos, la tercera etapa es la reproducción de los individuos mediante el cruce entre de ellos y/o mutación, la cuarta es etapa de adaptación a medida que el algoritmo va conociendo el problema que está solucionando y la última es la de finalización.

A.2 Métodos de Codificación

Este es el proceso más importante del algoritmo ya que determina las características de cada individuo para ser establecidas en un cromosoma. La población requerida para un problema específico se debe codificar de manera tal que se puedan representar sus propiedades o su información genética de una manera única para cada individuo. La representación más común, es la representación binaria, la cual el 1 representa la tenencia y el 0 la carencia de alguna característica particular, propiedad, etc. Por cada característica que se use en el algoritmo se debe interpretar una codificación que usualmente es llamada gen. La unión de los diversos genes cada individuo es llamada cromosoma. La codificación también se puede hacer mediante el uso de números reales o incluso letras. Esta codificación se debe realizar de una manera robusta de tal manera que los individuos generados no representen soluciones erróneas o imprácticas.

A.3 Proceso de Evaluación y Selección

Cuando una serie de individuos se ha generado se debe realizar la evaluación de estos en el problema para así obtener los resultados de la función objetivo a minimizar. A partir de esto se realiza la selección de algunos individuos de la población que continúen con la creación de las siguientes generaciones. Para realizar esto es indispensable que cada individuo tenga una probabilidad de supervivencia para permanecer y hacer parte en la creación de nuevos individuos a partir de este.

La probabilidad asignada a cada individuo puede realizarse de varias maneras, por ejemplo se puede obtener una probabilidad homogénea para todos los individuos, una probabilidad lineal de acuerdo a su ordenamiento en cuanto a la función objetivo, o proporcional a la función objetivo, entre otros.

A partir de la asignación de probabilidad de supervivencia a cada individuo se puede establecer un proceso de escogencia de los individuos a partir de un esquema aleatorio, o determinístico.

A.3.1 Proceso de Reproducción

Después de realizar de los individuos aptos para continuar se procede a realizar copias de los individuos a partir de una alteración de sus características para intentar mejorar sus resultados. Existen dos estrategias fundamentales en este proceso, la primera el apareamiento o cruce y la segunda a partir de la mutación de los individuos.

El proceso de cruce se basa en la escogencia de dos individuos, cuyas parejas pueden ser escogidos mediante diferentes métodos donde generalmente es un proceso aleatorio. Las parejas

103

escogidas son consideradas “padres” y a partir de estos se crean un o más nuevos individuos denominados “hijos” los cuales contienen información genética de los “padres”. De esta manera se espera que se transmitan las mejores características de los padres a los hijos. El intercambio de información genética de los padres a los hijos se puede realizar de muchas maneras

El intercambio genético entre padres e hijos se puede llevar a cabo de muchas formas, el cruce más común establece un do punto de intercambio establecido en un lugar aleatorio del cromosoma de los dos individuos. A partir de estos puntos se establece que un individuo contribuya con todo su código genético hasta este punto y el otro contribuye de este punto en adelante como se muestra en la Figura 5-7.

Figura 5-7: Ejemplo de intercambio del código genético de los padres a los hijos en un genoma binario

realizado el primero desde la posición 6ta del genoma y en el segundo a partir de la 3era posición.

El proceso de mutación basado en la naturaleza asume que un gen puede mutar a lo largo del tiempo, una mutación en el genoma puede ser letal, pero así mismo contribuye a la diversidad genética, una mutación en un algoritmo genético causa pequeñas alteraciones en puntos concretos del código de un individuo como se muestra en la Figura 5-8.

Figura 5-8: Ejemplo de Mutación de un individuo con un genoma binario realizado en la posición

5ta posición del genoma

La mutación en una población sucede de manera aleatoria y con una probabilidad determinada. Una vez establecida la probabilidad de mutación, por ejemplo, uno por mil, se examina cada bit de cada cadena cuando se vaya a crear la nueva criatura a partir de sus padres (normalmente se hace de forma simultánea al crossover). Si un número generado aleatoriamente está por debajo de esa probabilidad, se cambiará el bit (es decir, de 0 a 1 o de 1 a 0). Si no, se dejará como está. Dependiendo del número de individuos que haya y del número de bits por individuo, puede resultar que las mutaciones sean extremadamente raras en una sola generación. Si la probabilidad de mutación es muy alta el proceso de optimización se puede asemejar a un proceso de búsqueda aleatoria.

A.3.2 Proceso de Adaptación

El proceso de adaptación no necesariamente se usa en todos los problemas y en principio su variedad es infinita. Este proceso se usa para poder explorar el espacio de manera más ordenada y sistemática conforme se va conociendo el entorno para así adecuarse a las características del mismo. Existen muchos operadores de adaptabilidad entre ellos se encuentran algunos como el de elitismo, en donde obliga que el mejor individuo de la generación anterior se mantenga en la

1 0 0 0 1 1 0 1

1 0 0 0 0 1 0 1 Individuo con Mutación

Individuo Original

1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1

1 0 0 0 1 0 0 1

1 0 1 0 1 0 0 1

Hijos

Padres

104

nueva generación. Otros operadores hacen que la probabilidad de mutación sea variable dependiendo las condiciones que se vayan encontrando o otros pueden cambiar el tamaño de la población.

A.3.3 Proceso de Finalización

En este proceso se definen las condiciones para que el proceso del algoritmo genético finalice. La finalización puede estar dada por el número de generaciones establecido o mediante la evaluación de las variaciones promedio de la función objetivo en cada generación.

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