Factorisation de trinômes Remarque:Tu devrais visionner la présentation: Factorisation par double...
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Factorisation de trinômes
Remarque: Tu devrais visionner la présentation:
Factorisation par double mise en évidence.ppt
avant de visionner celle-ci.
ax2 + bx + c
?
Factoriser un trinôme de la forme ax2 + bx + c, c’est retrouver les facteurs qui l’ont produit.
Exemple:
x ( x + 3 ) + 2 ( x + 3 )
x2 + 3x + 2x + 6
x2 + 5x + 6
Termes semblables donc on les regroupe.
Ce terme est le regroupement de 2 termes,
mais lesquels ?
1x + 4x ?
7x – 2x ?
3x + 2x ?
Pour retrouver ces 2 termes, il faut une méthode.
( x + 2 ) ( x + 3 )
Développer
x2 + 5x + 6
Factoriser
Méthode
x2 + 5x + 6Appelons le premier terme : T1
T1
Appelons le deuxième terme : T2
T2
Appelons le troisième terme : T3
T3
Pour décomposer le terme du milieu,
il faut trouver 2 termes qui respectent, en même temps, les 2 conditions suivantes:
- les 2 termes multipliés doivent être égaux à T1 X T3 x2 X 6 = 6x2
- les 2 termes additionnés doivent être égaux à T2 5x
T1 X T3 = 6x2
T2 = 5x
3x
2x
3x 2xX
3x 2x+
= 6x2
= 5x
les 2 termes sont donc 3x et 2x .
Lorsque ces 2 termes sont déterminés, on remplace le terme du milieu par ceux-ci;
x2 + 5x + 6
x2 + 2x + 3x + 6
on termine par une double mise en évidence.
x ( )
x2 + 2x + 3x + 6
x x
x + 2
3 3
x + 2
( x + 2 )
( x + 2 )
( x + 3 )( x + 2 )
+ 3 ( )
+ 2 ( )
Exemple: Factorise x2 + 6x + 8
T1 X T3 = 8x2
T2 = 6x
4x
2x
x2 + 4x + 2x + 8
x ( )
x x
x + 4
2 2
x + 4
( x + 4 )
( x + 4 )
( x + 2 )( x + 4 )
+ 3 ( )
Exemple: Factorise x2 + 8x + 15
T1 X T3 = 15x2
T2 = 8x
5x
3x
x2 + 5x + 3x + 15
x ( )
x x
x + 5
3 3
x + 5
( x + 5 )
( x + 5 )
( x + 3 )( x + 5 )
- 3 ( )
Exemple: Factorise x2 + 3x - 18
T1 X T3 = - 18x2
T2 = 3x
+ 6x
-3x
x2 + 6x - 3x - 18
x ( )
x x
x + 6
-3 -3
x + 6
( x + 6 )
( x + 6 )
( x - 3 )( x + 6 )
Remarque: Connaître ses tables de multiplication et d’addition est, ici, un facteur important.
+ 2 ( )
Exemple: Factorise x2 - 5x - 14
T1 X T3 = - 14x2
T2 = - 5x
- 7x
+ 2x
x2 - 7x + 2x - 14
x ( )
x x
x - 7
2 2
x - 7
( x - 7 ) ( x - 7 )
( x - 7 )( x + 2 )
Démarche exigée : x2 - 5x - 14
x2 - 7x + 2x - 14
+ 2 ( )x ( )x - 7 x - 7
( x - 7 )( x + 2 )
- 4 ( )
Exemple: Factorise x2 - 11x + 28
T1 X T3 = 28x2
T2 = - 11x
- 7x
- 4x
x2 - 7x - 4x + 28
x ( )x - 7 x - 7
( x - 4 )( x - 7 )
+ 5 ( )
Exemple: Factorise 6x2 + 13x + 5
T1 X T3 = 30x2
T2 = 13x
10x
3x
6x2 + 3x + 10x + 5
3x ( )2x + 1
2x + 1
( 3x + 5 )( 2x + 1 )
- 5 ( )
Exemple: Factorise 6x2 - 17x + 10
T1 X T3 = 60x2
T2 = - 17x
- 12x
- 5x
6x2 - 12x - 5x + 10
6x ( )x - 2 x - 2
( 6x - 5 )( x - 2 )
+ 5 ( )
Exemple: Factorise 2x2 + 27x + 55
T1 X T3 = 110x2
T2 = 27x
22x
5x
2x2 + 22x + 5x + 55
2x ( )x + 11 x + 11
( 2x + 5 )( x + 11 )
Il n’est pas toujours facile de déterminer les deux termes.
Utiliser la technique des facteurs premiers peut aider :
1) Déterminer les facteurs premiers du terme obtenu par T1 X T3 :
2) Faire des regroupements par addition pour obtenir T2 :
Exemple: 110 = 2 X 5 X 11
Exemple: ( 2 X 5 ) + 11 = 21 ( 2 X 11 ) + 5 = 27
10 + 11 = 21
non
22 + 5 = 27
oui
+ 6 ( )
Exemple: Factorise 4x2 - 2x - 12
T1 X T3 = - 48x2
T2 = - 2x
- 8x
+ 6x
4x2 - 8x + 6x - 12
4x ( )x - 2 x - 2
( 4x + 6 )( x - 2 )
La simple mise en évidence est toujours la première étape d’une factorisation quand un même facteur se retrouve dans tous les termes.
Ce binôme n’est pas assez factorisé.
4x2 - 2x - 12 ce polynôme contient 3 facteurs : 2 ( 2x + 3) ( x – 2 )
La simple mise en évidence est toujours la première étape d’une factorisation quand un même facteur se retrouve dans tous les termes.
4x2 - 2x - 12 2 ( 2x2 - x – 6)
T1 X T3 = - 12x2
T2 = - x
- 4x
+ 3x
+ 3 ( )2 ( 2x ( )x - 2 x – 2 )
( 2x + 3 )( x - 2 )2
2 ( 2x2 - 4x + 3x - 6 )
Problème
3x2 + 11x + 6Sachant que le polynôme 3x2 + 11x + 6 représente l’aire de ce rectangle, détermine l’expression algébrique représentant son périmètre.
1) Factoriser le polynôme pour connaître les dimensions du rectangle:
+ 2 ( )
3x2 + 11x + 6
T1 X T3 = 18x2
T2 = 11 x
9x
2x3x2 + 9x + 2x + 6
3x ( )x + 3
x + 3
( x + 3 )( 3x + 2 )
2 ) Calculer le périmètre: P = 2 ( L + l )
P = 2 ( 3x + 2 + x + 3 )= 2 ( 4x + 5 ) = 8x + 10
Pour quelles valeurs de x , le polynôme x2 – 9x + 20 est – il égal à zéro ?
1) Factoriser le polynôme:
- 4 ( )
x2 - 9x + 20 = 0
T1 X T3 = 20x2
T2 = - 9x
- 5x
- 4x
x2 - 5x - 4x + 20 = 0
x ( )x - 5 x - 5
( x - 5 )( x - 4 )
2) Loi du produit nul: ( x - 5 )( x - 4 ) = 0
soit x - 4 = 0 donc x = 4
soit x - 5 = 0 donc x = 54 , 5
Problème
= 0
= 0
Un prisme à base rectangulaire a un volume représenté par l’expression algébrique ( 4x3 + 44x2 + 127x + 105 ) cm3.
Quelles expressions algébriques représentent les dimensions de la base si on sait que la hauteur du prisme est représentée par 2x + 3 ?
1) Déterminer l’expression algébrique représentant la base du prisme:
+ 57x
Volume = Aire base X hauteur Aire base = volumehauteur
4x3 + 44x2 + 127x + 105
2x + 3
4x3 + 44x2 + 127x + 105 2x + 32x24x3 + 6x2- -
-
+ 38x2
+ 127x + 105++ 19x
+ 38x2- --+
70x
+ 105
+ 35
+ 70x + 105- --+
0 0
L’expression algébrique représentant l’aire de la base est ( 2x2 + 19x + 35 ) cm2.
Problème
+ 5 ( )
2) Factoriser 2x2 + 19x + 35
T1 X T3 = 70x2
T2 = 19x
14x
5x
2x2 + 14x + 5x + 35
2x ( )x + 7
x + 7
( 2x + 5 )( x + 7 )
Les dimensions de la base du prisme sont ( 2x + 5 ) cm et ( x + 7 ) cm.
Problème
Pour quelle valeur de x , l’aire de ce rectangle est-elle égale à 684 cm2 ?
( 4x – 2 )
( 4x + 18 )
1) Déterminer l’expression algébrique représentant l’aire du rectangle.
Longueur X largeurAire =
( 4x – 2 )( 4x + 18 )Aire =
4x ( 4x – 2 ) + 18 ( 4x – 2 )Aire =
16x2 - 8x + 72x - 36 Aire =
16x2 + 64x - 36 Aire =
2) Déterminer l’équation:
16x2 + 64x - 36 684 =3) Ramener l’équation à 0:
- 684 - 684
16x2 + 64x - 720 0 =
16x2 + 64x - 36 Aire =
16x2 + 64x - 36 684 =
( 4x – 2 )
( 4x + 18 )
Pour quelle valeur de x , l’aire de ce rectangle est-elle égale à 684 cm2 ?
4) Déterminer les valeurs de x par factorisation et par la loi du produit nul.
16x2 + 64x - 720 0 =
0 = 16 ( x2 + 4x – 45 )
0 = 16 ( x + 9 ) ( x - 5 )
0 = ( x + 9 ) ( x - 5 )
si x + 9 = 0 alors x = - 9 à rejeter;
si x – 5 = 0 alors x = 5
Réponse: 5 cm
( 4x – 2 )
( 4x + 18 )
Pour quelle valeur de x , l’aire de ce rectangle est-elle égale à 684 cm2 ?
Le facteur 16 n’influence pas les valeurs de x, donc
en géométrie, on ne peut pas avoir une valeur négative.
( 4x – 2 )
( 4x + 18 )
Pour quelle valeur de x , l’aire de ce rectangle est-elle égale à 684 cm2 ?
Validation 16x2 + 64x - 36 684 =
Pour x = 5 16 X 52 + 64 X 5 - 36 684 =
400 + 320 - 36 684 =
720 - 36 684 =
684 684 =
Remarque : La factorisation et la loi du produit nul est une des méthodes permettant de résoudre une équation du second degré.