F1-P5.Dinámica Sistema de Partículas

Curso 2013-14 Dpto. Física Aplicada a la Ingeniería Aeronáutica

Dpto. Física y Química Aplicadas a la Técnica Aeronáutica

ESCUELA DE INGENIERÍAAERONÁUTICA Y DEL ESPACIO

Curso 2013-2014

PROBLEMAS DE FÍSICA I

Septiembre 2013


Dpto. Física y Química Aplicadas a la Técnica Aeronáutica 2



Capítulo 5

Dinámica de un sistema de partículas

PROBLEMA 5.1. Movimiento del centro de masas. Sistema centro de masas

Figura 5.1:

Un avión de masa M y cuyo tamaño puede despre-ciarse (gura 5.1), pasa por el origen O de un triedrode referencia inercial OXY Z con velocidad ~V0 = V0

~i,cuando, de repente, explota en dos fragmentos A y Bde masas MA = 2

3M y MB = 1

3M , respectivamente.

Inmediatamente después de la explosión la velocidaddel fragmento A es ~VA(0) = VA0

~j.Tomando como valor de la aceleración de la gravedad~g = −g~j, e ignorando el efecto de la resistencia delaire, determinar:

1. La posición ~rCM(t) del centro de masas del los fragmentos en función del tiempo.

2. Las posiciones ~rA(t) y ~rB(t) de los fragmentos respecto al sistema inercial mostrado.

3. Las posiciones ~rA ′(t) y ~rB ′(t) de los fragmentos respecto del sistema centro de masas.

4. La cantidad de movimiento del conjunto tanto en el sistema inercial, ~P , como en el sistemacentro de masas, ~P ′.

5. Representar la posición de los fragmentos en el sistema inercial una vez transcurridost = 10s desde la explosión, y tomando como datos: V0 = VA0 = 300 (m/s), g = 10 (m/s2).

SOLUCIÓN 5.1.

1.− ~rCM(t) = V0t~i−1

2gt2 ~j

2.− ~rA(t) =

(VA0 t −

1

2gt2)~j , ~rB(t) = 3~rCM(t)− 2~rA(t)

3.− ~r ′A(t) =(−V0

~i+ VA0~j)t , ~r ′B(t) = −2~r ′A(t)

4.− ~P (t) = M(V0~i− gt ~j) , ~P ′(t) = 0

♣

3



Capítulo 5: DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS 4

PROBLEMA 5.2. Conservación de la cantidad de movimiento

Un hombre de masa MH y una mujer de masa MM , están de pie, uno al lado del otro, enel mismo extremo de un bote de masa MB, listos para lanzarse al agua, cada uno con unavelocidad V ′ relativa al bote. Suponiendo despreciable el rozamiento de la barca con el agua,determínese la velocidad ~V ′B del bote después de que se hayan lanzado ambos al agua, si:

1. La mujer se lanza primero.

2. El hombre se lanza primero.

3. Hágase aplicación numérica para: MH = 80kg, MM = 60kg, MB = 150kg y ~V ′ = 5m/s.

Figura 5.2:

SOLUCIÓN 5.2.

1.− ~V ′B(1) = −~V ′

[MM

MM +MH +MB

+MH

MB +MH

]

2.− ~V ′B(2) = −~V ′

[MH

MM +MH +MB

+MM

MB +MM

]

3.− ~V ′B(1) = −2.77~i (m/s) , ~V ′B

(2) = −2.81~i (m/s)

♣





Se dispara una bala de masa MA, con una velocidad ~V0 = V0~i, contra un bloque B de masa

MB que apoya sobre una plataforma horizontal OC, de masa MC , la cual, a su vez, apoya sinrozamiento sobre un suelo horizontal como se muestra en la gura 5.3. Inicialmente tanto elbloque como la plataforma están en reposo.

Sabiendo que el coeciente de rozamiento dinámico entre el bloque y la plataforma es µ, yque el bloque se detiene antes de abandonar la plataforma al cabo de un tiempo t1, determinar:

1. La velocidad nal ~VF (t1) del conjunto en el instante t1.

2. El valor de t1.

3. La distancia L recorrida por el bloque sobre la plataforma.

4. Hágase aplicación numérica con los datos: MA = 30g, MA = 10kg, MC = 8kg,µ = 0.5, V0 = 600 (m/s) y g = 9.8 (m/s2)

Figura 5.3:

SOLUCIÓN 5.3.

1.− ~VF (t1) =MA

MA +MB +MC

~V0

2.− t1 =1

µg

MAMC

(MA +MB)(MA +MB +MC)V0

3.− L =1

2µg

(MA

MA +MB

)2MC

MA +MB +MC

V 20

4.− t1 = 0.16s , L = 14.6cm

♣





Dos esferas A y B de tamaño despreciable y masa M pueden deslizar sin rozamiento sobreuna supercie horizontal. La esfera A se está moviendo con una velocidad ~V0 = V0

~i cuandogolpea a la esfera B que está en reposo; como consecuencia del impacto, la esfera B se rompeen dos pedazos, cada uno de los cuales conserva una masa igual a M

2. Al cabo de un tiempo t1,

un pedazo alcanza el punto C de la gura 5.4; al cabo de un tiempo t2 el otro pedazo llega aD. Determinar:

1. La velocidad ~V ′A de la esfera A después del choque.

2. El ángulo θ y las velocidades ~V ′C y ~V ′D de los dos fragmentos después del choque.

Figura 5.4:

SOLUCIÓN 5.4.

1.− ~V ′A =

[V0 −

L

2

(1

t1+

1

t2

)]~i

2.− tan θ =t2t1

tan 30o

~V ′C =L

t1

(~i+ tan 30o ~j

), ~V ′D =

L

t2~i− L

t1tan 30o ~j

♣





Tres esferas A, B y C de tamaño despreciable, cada una de masa M , pueden deslizarlibremente sin rozamiento sobre una supercie horizontal. Las esferas A y B, unidas a unacuerda ideal de longitud L, están en reposo en la posición indicada en la gura 5.5, cuando laesfera C, que se mueve con velocidad ~V0, choca frontalmente con la esfera B. Si la cuerda noestá tensa cuando C choca con B, y se supone un impacto perfectamente elástico entre ellas-en el que la energía cinética se conserva-, determinar:

1. Las velocidades ~V ′′A, ~V ′′B y ~V ′′C de cada esfera inmediatamente después de que la cuerdase tense.

2. La fracción EC(1)−EC(2)EC(1)

de la energía cinética inicial del sistema que se disipa cuando lacuerda se tensa.

Figura 5.5:

SOLUCIÓN 5.5.

1.− ~V ′′A =1

6V0~j , ~V ′′B =

√8

3V0~i+

1

6V0~j , ~V ′′C = ~0

2.− EC(1)− EC(2)

EC(1)=

1

18

♣




PROBLEMA 5.6. Conservación de la cantidad de movimiento y de la energía

Una bola B de tamaño despreciable cuelga mediante una cuerda ideal de longitud L de uncarrito A, el cual puede moverse libremente sin rozamiento sobre un suelo horizontal. La bolay el carrito tienen la misma masa M .

Si a la bola se le imprime una velocidad horizontal ~V0, (V0 < 2gL), mientras el carrito estáen reposo (gura 5.6), determinar en función del ángulo θ que formará la cuerda con la vertical(supuesto positivo en sentido contrario al de las manecillas del reloj):

1. La velocidad relativa ~VBA(θ) de la bola respecto al carrito.

2. La velocidad ~VA(θ) del carrito.

3. Los valores máximo θmax y mínimo θmin del ángulo θ.

4. La velocidad ~VB(θ) de la bola para: θ = θmax, θ = 0 y θ = θmax.

Figura 5.6:

SOLUCIÓN 5.6.

1.− ~VBA(θ) = ±

√V 2

0 − 4gL(1− cos θ)

2− cos2θ~u(θ)

2.− ~VA(θ) =

(V0 − VBA cos θ

2

)~i

3.− θmax = −θmın = arc cos

(1− V 2

0

4gL

)4.− ~VB(θmax) = ~VB(θmın) =

V0

2~i , ~VB(0) = V0

~i ~VB(0) = ~0

♣




PROBLEMA 5.7. Conservación del momento cinético

Un sistema de partículas está formado por tres partículas idénticas A, B y C, de masaM = 3kg, cuya posición, con respecto a un triedro inercial OXY Z y en un cierto instante t, esla representada en la gura 5.7.

Las velocidades respectivas de las partículas en ese instante son ~VA = VA~j, ~VB = VB~i y~VC = VC~k, y el módulo de la cantidad de movimiento total del sistema es |~P | = 450 (kg.m/s).

Sabiendo que el momento cinético ~LCM del sistema alrededor del centro de masas coincideen ese instante con el momento cinético ~LO del sistema alrededor del punto jo O, determínense:

1. El módulo VA, VB y VC de las velocidades de las partículas.

2. El valor de ~LO.

Figura 5.7:

SOLUCIÓN 5.7.

1.− VA = VC = 100 (m/s) , VB = 50 (m/s)

2.− ~L0 = 90~i+ 45 ~j − 90 ~k

♣




PROBLEMA 5.8. Conservación del momento cinético y la energía cinética

En el plano horizontal XY de un triedro inercial de referencia OXY Z hay dos partículasde masas m1 y m2 unidas entre sí por un hilo ideal de longitud L. La masa m1, además, estáunida al origen O mediante otro hilo ideal de longitud L y la masa m2 está obligada a moversesiempre a lo largo del eje X (mediante un dispositivo no dibujado). Cualquier rozamiento seconsidera despreciable.

En el instante inicial, gura 5.8(a), ambas partículas están situadas sobre el eje X convelocidades ~v1(0) = v0

~j y ~v2(0) = ~0.Para un instante genérico t, gura 5.8(b), se pide:

1. Comprobar si se conserva el momento cinético del sistema respecto al origen jo O.

2. Comprobar si se conserva la energía cinética del sistema.

3. Calcular las velocidades de las partículas ~v1(θ) y ~v2(θ) en función del ángulo θ mostrado.

(a) (b)

Figura 5.8:

SOLUCIÓN 5.8.

1. No.

2. Sí.

3. ~v1(θ) = v0

√m1

m1 + 4m2 sen2 θ(−sen θ~i+ cos θ~j)

~v2(θ) = −2v0

√m1

m1 + 4m2 sen2 θ~i

♣




PROBLEMA 5.9. Conservación del momento cinético y la energía cinética

En el plano vertical Y Z de un triedro inercial de referencia OXY Z hay dos guías horizontales(1) y (2), jas y separadas una distancia H. Los abalorios m1 y m2 se pueden mover sinrozamiento sobre las guías (gura 5.9), mientras permanecen unidos por un muelle de constanteelástica k y longitud natural nula.

Inicialmente los abalorios están sobre el eje Z con velocidades ~v1(0) = v0~j y ~v2(0) = ~0.

Se pide:

1. Comprobar si se conserva el momento cinético del sistema respecto al origen jo O.

2. Comprobar si se conserva la energía cinética del sistema.

3. Determinar la velocidad ~vCM(t) del centro de masas del sistema.

4. Calcular el máximo alargamiento Lmax del muelle.

Figura 5.9:

SOLUCIÓN 5.9.

1. No.

2. No.

3. ~vCM(t) =m1

m1 +m2

v0~j

4. Lmax =

√H2 +

m1m2

m1 +m2

v20

k

♣




PROBLEMA 5.10. Conservación del momento lineal y el momento cinético

Dos esferas A y B, de pequeño tamaño, con masas MA y MB, respectivamente, se conectanmediante una varilla rígida de longitud l y masa despreciable. Las dos esferas descansan sobreuna supercie horizontal sin rozamiento.

En un cierto instante, que tomaremos como instante inicial, a la esfera A se le imprime unavelocidad ~V0 = V0

~i, como se muestra en la gura 5.10. Determinar:

1. La cantidad de movimiento ~P del sistema en el triedro inercial OXY Z mostrado.

2. El momento cinético ~LCM del sistema respecto al centro de masas.

3. Las velocidades ~VA(ϕ) y ~VB(ϕ) de las esferas después de que la varilla AB haya giradoun ángulo ϕ.

Figura 5.10:

SOLUCIÓN 5.10.

1.− ~P = MAV0~i

2.− ~LCM =

(MAMB

MA +MB

)lV0

(−~k)

3.− ~VA(ϕ) =

(MAV0

MA +MB

)~i+

MBV0

MA +MB

[cosϕ~i− sinϕ ~j

]

~VB (ϕ) =

(MAV0

MA +MB

)~i− MAV0

MA +MB

[cosϕ~i− sinϕ ~j

]♣




PROBLEMA 5.11. Teorema de conservación de la energía mecánica

Un bloque A de masa M puede moverse sin rozamiento sobre el plano horizontal del triedroinercial de referencia OXY Z mostrado en la gura 5.11. Simultáneamente, una partícula P dela misma masa M puede moverse sin rozamiento sobre el canal circular de radio R del bloque.

Sabiendo que en el instante inicial tanto el bloque como la partícula estaban en reposo enel triedro OXY Z, con la partícula situada en B, determinar, para un instante posterior:

1. La velocidad ~vA(θ) del bloque A, la velocidad ~vP (θ) de la partícula y la velocidad ~vCM(θ)del centro de masas del conjunto, todo ello en función del ángulo θ mostrado y de suvariación con el tiempo θ.

2. Valor de θ para un θ genérico.

3. Trabajo WN realizado por la fuerza ~N que ejerce el bloque sobre la partícula entre lasposiciones B y C ocupadas por ésta.

Figura 5.11:

SOLUCIÓN 5.11.

1.− ~vA =1

2Rθ sen θ~j , ~vP (θ) = −Rθ (

1

2sen θ~j + cos θ ~k )

~vCM(θ) = −1

2Rθ cos θ ~k

2.− θ2 =4gsen θ

R(1 + cos2 θ)

3.− WN = −MgR

2

♣




PROBLEMA 5.12. Teorema de conservación de la energía mecánica

Un bloque B, de masa M , se encuentra en reposo sobre una supercie horizontal sin roza-miento, como se indica en la gura 5.12.

En el punto A de la gura se suelta una partícula P , de la misma masa que el bloque, sinvelocidad inicial. Sabiendo que entre la partícula y el bloque no existe rozamiento, se pide:

1. Velocidad ~vB(θ) del bloque en función del ángulo θ.

2. Espacio ∆yB recorrido por el bloque cuando la partícula pasa por C.

3. Trabajo WN realizado por la fuerza ~N que ejerce la partícula sobre el bloque, entre elinstante inicial y el instante en el que la partícula llega a D.

Figura 5.12:

SOLUCIÓN 5.12.

1.− ~vB(θ) = −√gR

senθ

1 + cos2 θ~j

2.− ∆yB = −1

2R

3.− WN =1

2MgR

♣




PROBLEMA 5.13. Conservación del momento cinético. Colisión inelástica

Figura 5.13:

Dos patinadores "puntuales" de masaM se mue-ven sin rozamiento sobre una supercie horizon-tal con velocidad ~V0 = V0

~i cada uno, asidos auna cuerda inextensible y de masa despreciablecuya longitud, L = 2R, coincide con la separa-ción entre los dos patinadores.En un cierto instante, que se toma como origende tiempos, la cuerda hace contacto con un ár-bol O (obstáculo jo puntual), que dista en eseinstante una distancia R de cada patinador (vergura 5.13).

Transcurrido un tiempo t1 = πR6V0

la cuerda serompe. Se pide:

1. Indicar cuáles de las siguientes magnitudes físicas se conservan a lo largo del movimiento delsistema para t > 0, y por qué:

(a) Cantidad de movimiento de cada patinador y cantidad de movimiento del sistema.(b) Ídem para el momento cinético respecto al origen O.(c) Ídem para la energía cinética.

2. Calcular el vector de posición ~rCM(t) del centro de masas del sistema.

Tras la rotura de la cuerda, los patinadores continúan moviéndose y al cabo de un ciertotiempo t2 > t1, se produce un choque inelástico entre ellos, en el que la fracción de la energía

cinética que se disipa vale EantesC −Edesp.

C

EantesC

= 316

. Determinar:

3. Punto Q donde se produce el choque y tiempo t2 transcurrido hasta entonces.

4. Velocidades ~V ′1 y ~V ′2 de los patinadores tras el choque.

SOLUCIÓN 5.13.

2.− ~rCM(t) =

R sin

(V0

Rt

)~i , 0 6 t 6 t1[

R

2+

√3

2V0(t− t1)

]~i , t > t1

3.−−→OQ = 2R~i , t2 = t1 +

√3R

V0

4.− ~V ′1 = V0

(√3

2~i+

3

4~j

), ~V ′2 = V0

(√3

2~i− 3

4~j

)♣




PROBLEMA 5.14. Conservación del momento cinético. Colisión inelástica

En el plano horizontal OXY , dos partículas de masas m1 = m y m2 = 3m están unidaspor un muelle de constante elástica k y longitud natural despreciable. Las partículas se puedenmover sin rozamiento mientras permanecen ensartadas en un alambre circular jo de radio R(gura 5.14)

Sabiendo que en el instante inicial t = 0 las partículas están en reposo y situadas de formatal que θ1 = 60o y θ2 = 0o, se pide:

1. Relación entre θ1 y θ2 en cualquier instante.

2. Valor de θ1, θ1F , en el instante en el que las dos partículas chocan.

3. Velocidades ~v1F y ~v2F de las partículas inmediatamente antes de que se produzca elchoque.

4. Velocidades ~v ′1F y ~v ′2F de las partículas inmediatamente después de que se produzca elchoque, si se supone que éste es parcialmente elástico con coeciente de restitución e.

Figura 5.14:

SOLUCIÓN 5.14.

1.− θ1 =π

3+ 3θ2

2.− θ1F =5

6π

3.− ~v1F = −3~v2F , ~v2F =1

4

√k

mR(~i+√

3~j)

4.− ~v ′1F = −3~v ′2F , ~v ′2F = −1

4e

√k

mR(~i+√

3~j)

♣




PROBLEMA 5.15. Conservación del momento cinético respecto al CM

Dos partículas A y B, de la misma masa m, se pueden mover sin rozamiento sobre un planohorizontal y se atraen con una fuerza proporcional a su distancia, siendo k la constante deproporcionalidad, gura 5.15.

En el instante inicial, las partículas estan separadas una distancia l0 y se mueven convelocidades ~vA(0) = v0

~j y ~vB(0) =√

3v0~i, respecto al sistema jo OXY Z mostrado.

Supóngase que kl20 = 2mv20. En estas condiciones, se pide:

1. Determinar para cualquier instante t la velocidad ~vCM(t) y la posición ~rCM(t) del centrode masas de las dos partículas con respecto al sistema jo.

2. Calcular la distancia mínima Dmin y maxima Dmax entre las dos partículas.

Figura 5.15:

SOLUCIÓN 5.15.

1.− ~vCM(t) =v0

2

(√3~i+~j

)~rCM(t) =

v0

2t(√

3~i+~j)

2.− Dmin = l0

√1−√

3

2

Dmax = l0

√1 +

√3

2

♣




PROBLEMA 5.16. Conservación del momento cinético en el sistema CM

Sobre una mesa horizontal (el plano XY de la gura 5.16) hay dos partículas de masas M1

y M2 unidas por un hilo ideal de longitud l. El hilo permanece siempre tenso.En el instante inicial M1 está en reposo y M2 tiene una velocidad ~v2(0) = v0

~j.Considerando despreciable el rozamiento entre las partículas y la mesa, determinar:

1. La posición ~rCM(t) del centro de masas del sistema en todo instante.

2. Las posiciones ~s1(t) y ~s2(t) de las partículas respecto del triedro SCM .

3. La tensión T del hilo.

4. La posición ~r2(t∗) de M2 en el instante t∗ en el que su velocidad vuelve a tener el mismovalor inicial ~v2(0).

Figura 5.16:

SOLUCIÓN 5.16.

1.− ~rCM(t) =M2

M1 +M2

[l~i+ v0t~j

]2.− ~s1(t) = − M2

M1 +M2

l

(cos

v0t

l~i+ sin

v0t

l~j

)~s2(t) = +

M1

M1 +M2

l

(cos

v0t

l~i+ sin

v0t

l~j

)3.− T =

M1M2

M1 +M2

(v2

0

l

)4.− ~r2(t∗) = l~i+

M2

M1 +M2

(2πl)~j

♣




PROBLEMA 5.17. Teorema de la energía cinética en un sistema no inercial

En una varilla horizontal AB hay dos abalorios de masas m1 y m2 unidos por un muelle deconstant elástica k y longitud natural despreciable.

La varilla gira alrededor del eje vertical Z de un triedro (O;X;Y ;Z) jo, con velocidadangular constante ~Ω0 = Ω0

~k.No existe rozamiento e inicialmente los abalorios se encuentran jos a la varilla mediante

topes (no dibujados) en la posición mostrada en la gura 5.17(a).Una vez retirados los topes, en una posición genérica como la representada en la gura

5.17(b), se pide:

1. La velocidad ~vCM(R) del centro de masas del sistema, en el triedro OXY Z, en funciónde su distancia R al origen.

2. Mínimo valor de Ω0, Ω(1)0,min, para que m2 se aleje del eje Z en el instante inicial.

3. Mínimo valor de Ω0, Ω(2)0,min, para que la distancia entre los dos abalorios aumente con el

tiempo.

(a) (b)

Figura 5.17:

SOLUCIÓN 5.17.

1.− ~v = v′~i′ + Ω0R~j′ , donde v′ = Ω0

√R2 − m2

2

(m1 +m2)2l20

2.− Ω(1)0,min =

√k

m2

3.− Ω(2)0,min =

√m1 +m2

m1m2

k

♣




PROBLEMA 5.18. Junio 2011

Dos masas m y M , que consideraremos puntuales, están unidas entre sí por un muelle deconstante k, longitud natural l0 y masa despreciable. El conjunto descansa sobre una plataformaen forma de cuña, la cual permanece ja sobre un suelo horizontal (gura 5.18).

En el instante inicial t = 0, las dos masas se mantienen en reposo respecto al sistemade referencia OXY Z jado a la cuña, estando situadas, respectivamente, en los puntos decoordenadas xm(0) = 0 y xM(0) = 2l0.

Para t > 0 se libera el conjunto, y éste empieza a moverse sobre la plataforma libremente,sin rozamiento.

Determinar en función del tiempo t y los datos del problema m,M, l0, k, g y α :

1. La posición ~rCM(t) del centro de masas del conjunto.

2. Ecuaciones de movimiento para cada una de las dos masas.

3. La frecuencia angular Ω con la que el muelle oscila.

4. La separación ∆x(t) = xM(t)− xm(t) entre las dos partículas.

5. La energía potencial elástica EelP del muelle.

6. La energía cinética EC(t) del conjunto.

7. El tiempo t0 que tarda m en alcanzar a M por primera vez.

8. La velocidad ~Vm(t0) de la masa m en ese instante.

Figura 5.18:




SOLUCIÓN 5.18.

1.− ~rCM(t) =

[2l0M

m+M+

1

2gt2 senα

]~i

2.− d2xMdt2

= g senα− k

M[xM − xm − l0] ,

d2xmdt2

= g senα +k

m[xM − xm − l0]

3.− Ω =

√k(m+M)

mM

4.− ∆x(t) = l0(1 + cos Ωt)

5.− Eelp (t) =

1

2kl20 cos2 Ωt

6.− EC =1

2kl20 sen2Ωt+

1

2(m+M)g2t2 sen2α

7.− t0 =π

Ω

8.− ~Vm(t0) =πg

Ωsenα~i

♣




PROBLEMA 5.19. Julio 2013

Dos partículas A y B, de masas mA = m y mB = m/2, res-pectivamente, se mueven sobre una supercie horizontal sin

rozamiento, -plano XY de un triedro inercial S(O;X,Y, Z)-.Las dos partículas están unidas mediante una varilla ideal de

longitud L y masa despreciable.

En el instante inicial t = 0, -ver gura-, el centro de masas Cdel sistema pasa por el origen O de S, con velocidad:

~VC(0) =LΩ0

6~i

siendo Ω0 una constante positiva. En ese mismo instante, el conjunto gira en torno al eje Z con

velocidad angular ~Ω(0) = Ω0~k. Las partículas se mantienen unidas hasta que, transcurrido un tiempo

t1 = π/(3Ω0), la varilla se rompe.

A) ¾Cuáles de las siguientes magnitudes se conservan en el intervalo [0, t1]?

1.a) La velocidad del centro de masas del sistema, ~VC(t).

1.b) La velocidad angular de la varilla, ~Ω(t).

1.c) La energía cinética del sistema, EC(t).

1.d) La fuerza ~TA(t) que ejerce la varilla sobre la partícula A.

1.e) El módulo de la velocidad de la partícula A, |~vA ′|, con respecto a un triedro S′(C;X ′, Y ′, Z ′)con origen en C y que se traslada (sin girar) con la velocidad del centro de masas del sistema.

En función de los datos del problema: m,L,Ω0, y en el triedro S(O;X,Y, Z), determinar:

B) Inmediatamente antes de que la varilla se rompa:

2. La cantidad de movimiento del sistema, ~P (t1).

3. El vector de posición del centro de masas del sistema, ~rC(t1).

4. El momento cinético del sistema, ~LO(t1), con respecto al origen O de S.

5. La energía cinética del sistema, EC(t1).

6. Las velocidades de la partículas ~vA(t1) y ~vB(t1).

7. El módulo de la tensión |~T (t1)| en la varilla.

8. El trabajo W0→ t1 realizado por las fuerzas que actúan sobre A hasta que la varilla se

rompe.

C) En el instante t2, (t2 > t1), en el que la partícula B pasa por el punto P (b, 0, 0) del eje X:

9. La distancia a de la partícula A al eje Y .

10. El valor de b.




SOLUCIÓN 5.19.

1.-Se conserva No se conserva Explicación razonada

~VC X∑

i~F exti = ~0

~Ω X ~MC = ~0⇒ ~LC = IC ~Ω =−→Cte

EC X ∆EC =∫~T · d(~rA − ~rB) = 0

~TA, ~TB X Cambian de dirección.

|~VA ′|, |~VB ′| X ~TA y ~TB son fuerzas centrales en S′

2.- ~P (t1) = 14 mLΩ0

~i

3.- ~rC(t1) = π18 L

~i

4.- ~LO(t1) = 13 mL

2Ω0~k

5.- EC(t1) = 316 mL

2Ω20

6.- ~vA(t1) = −LΩ0

2√

3~j , ~vB(t1) = LΩ0

2

(~i+ 2√

3~j)

7.- |~T (t1)| = 13 mLΩ2

0

8.- W0→ t1 = 136 mL

2Ω20

9.- a = L6

(π3 −√

3)

10.- b = L2

(π9 +√

3)

♣

F1-P5.Dinámica Sistema de Partículas

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