第 2 回 の

数列 の 収束判定法- 単調 数列 (montane Sequence)

すべて の n について Gn th ⇒ 単調増加数列( an の Anti ) (減少)

「坐に有界 な単調 増加数列 は その 上限に 収束する(下 ) 1減少) (下限)

「器の は 上 に 有界 な集合 なので 、 実数の連続性公理より

span = メ < o

が定まるE を 任意 の 正数とする と 、

d-E は側 の 上界 でない のでd - E < a,

EX

と なる a が存在する、また数列 の単調性 より

n 7N なる すべて の n に対してd - E < an EX

が成り立つ.tn f.hn この g

活 単調数列 伝 4 が妹 泰 (al が有界

②{ an I : (単調 とは 限らない ) 有界数列

は 1 との 一 supfan.am 、

いい と名 9たと定義 する と

み られ て い の なら ない 3 . . . 7 gfhなので は 1 は単調減少数列.tn Th

.1-4 より 極限

が = 前 の _ Superior lint

が存在 する、

この 値 を 数列 Ial の 上 ナ嬰 といい

が 二 長 Gn または れた Ggpaと 表す

、

同様 に

print { an .h 、 、

い た がこんたと 定義 する と 、 単調 増加数列 であり

、極限が = だ。

の pinferior limit

が存在 する、これ を 数列 Cal の 大櫻 といい

が 二 器 a または がなさaと 表す

{al : 有界数列 ⇒ 必ず上極限、下極限 をもち

が e I が成立、

③Th

.

1.5

-_- a = Gda この ⇒ en = の

Prof.

1 ⇒ ) E を 任意 の正数とする 、

Gida これ よりM を 十分 大きく とれば M 3M の とき

d - E < の _た 9た くみ く、

特に d - c < an ( n 3M ) であり、

同様に GIG が より、

人に さ 十分 大きくとれば

Gn く dt E Cn の人に )

が成立 する よってMama {M .N ならば la - の 1 は

、

⇐ ) d - E < a < dt E ( nが ) とする2

MPH を みたす すべての n に対して

のとる器は Eが出て た と dt E

よ、て1 On - N < E

.1の 一 の KE mN)

y

④。 { an I が紐列 である

、

坳

k£70 ヨ人に NCE) St .

Y. q ,N ⇒ 1G -AqkE

五、 1.6fal が 収束 ⇒ 1al が Cauchy 列

pwf.cnに) ) 明らか⇐) Cauchy 列 の 定義 より

、

任意 の E > 0 に対して 、

N を 十分 大きく とれば 、 反.laN のとき

は - de I < Eと なる ので

、

an < Get E し た l が ) 4)

が成立 する。

特に、

l 二 人に おけば9たく a t E ( た が1)

なのでGhana {A .

9.

. ..

. alt E.h EN

となり.la 1 は 上 に 有界 である。

同様 に 下 に 有界であること も 示される。

⑤l 3N を 固定する と わ より

dm ここ 参りの 9た E Get E (m 。N)で あり

、

dm - E E Ge (m.laN)が成立 する

、

次に m を 固定 し

た = i。出 た ( na )

と おく との 一 E Epn cnn.noN) 姒)

が成立 する.

Ian I の 上極限、

下極限 を それぞれが

、 p z おけ ばが 二 f.am 、 べ点 の

なので 𤇾 より0 人 が、 p ETN

など は 明か

と なる.

E は 任意 の 正数 なので.

dとべ = 0 が成立 する以上 より

.

作がであり 、な 1.5 より 仏で は 収束 する

. y

数列 の最後 として、必ずしも極限値 をもって は 限ら ない

有界 な 無限数列 に関する定理 を 紹介 する

( ボルツァーノ ・ ワイエルシュトラス の 定理)巫 "有界 な無限数列 は 収束 する 無限部分列 を 含む

型 an = が 、 発散 (振動) するが有界 奇数番目だけ取れば-1 に 収束する

⑥S. 1.3 関数 の 極限 と 連続性A. 13 : 空でない集合

・ A から B へ の 写興琳

A の 各元 の EA に対して、

B の 1つ の 元扣 を対応 させる もの

f : A - B ; x 1-った)と 表す

.

. A : 写像 f の 定姜塰

.fi/t)=1ftx)IxtA1:Anf に よる盨の 関数 : 実数 の 部分集合 が 実数 の部分集合 へ の写像

写像f i A → B に対して

i) f が 1 対 1 (単生寸) で あるta.be A に対して

a # b ⇒ fa) # fib)いいかえれば (元がちがえば行き先も ちがう)

fla) = fib) ⇒ a = b.

(行き先が 同じ ならば、 元も 同じ )

⑦ii) f が上 へ の 写像 (全𦥯 である

。

嫥 fA ) = Bいいかえれば

、一一には 限らない

ky EB ヨル EA s.t.fm = y

( B の 全ての 元に対して そこが行き先となる A の 元が存在 する )

(ii) f が 金星身上 で ある樹 f が 全射 かつ 単射

f が 全単射 の 方 、磕"一意的 に存在する "

by EB ヨ !x EA st.fmな

よってft : B → A

をft 1の こと

によって 定義 できる。

この 写像f' を f の 逆_

写像という