F o Z g d Z 90 H I FZjbghr gdh H IZi `md F:L?F:LBQG:FH>?EV ... · \byf_`^mdhe_[Zl_evgufb...
Transcript of F o Z g d Z 90 H I FZjbghr gdh H IZi `md F:L?F:LBQG:FH>?EV ... · \byf_`^mdhe_[Zl_evgufb...
М е х а н і к а
90
УДК 629.75
О. П. Мариношенко, О. В. Папіжук
МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ДЕФОРМУВАННЯ КРИЛА
ЛІТАЛЬНОГО АПАРАТУ
В роботі виводиться повна математична модель коливальних процесів крила лі-
тального апарату під дією аеродинамічних навантажень. Приводиться готова для моде-
лювання система, що дає можливість подальшого визначення параметрів динамічної
взаємодії між коливальними процесами згину та кручення. Це дозволяє в подальшому
обчислити параметри навантаження кожного окремо виділеного силового елемента
(оболонки, стрингера, лонжерона), що дозволить виділити у профілі крила літального
апарату навантажені та ненавантажені зони.
В работе выводится полная математическая модель колебательных процессов
имеющих место в поперечном сечении крыла летательного аппарата под действием аэ-
родинамических нагрузок. В результате имеем готовую к моделированию систему, что
дает возможность дальнейшего определения параметров динамического взаимодейст-
вия между колебательными процессами изгиба и кручения. В дальнейшем это позволя-
ет вычислить параметры нагружения каждого отдельно выделенного силового элемента
(оболочки, стрингера, лонжерона), что позволит выделить в профиле крыла летательно-
го аппарата нагруженные и ненагруженные зоны.
In this paper a full model of oscillation processes of a wing under the aerodynamic
forces are deduced. Realized mathematic model makes a possibility to determine parameters
of the dynamic interaction between bend and torsion oscillation processes of the wing of air-
plane. In the future, the tension parameters of each element of construction (shell, stringer,
spar) can be calculated. It gives a possibility to detect heavy loaded and unloaded zones in
any cross-section of the wing.
Вступ
Розглядувана стаття є продовженням наукових досліджень викладе-
них в роботі [1], в якій наводиться новий підхід щодо визначення характе-
ристик напруженого і деформованого стану крила літака та обчисленню
приведених жорсткісних характеристик його конкретного поперечного пе-
рерізу.
У даній статті виводяться взаємозв’язані рівняння згінних, крутиль-
них та повздовжніх переміщень крила літального апарату (ЛА) з урахуван-
ням його внутрішньої структури та зовнішнього аеродинамічного наван-
таження, що діє на вказане крило. Це дозволяє в подальшому провести мо-
делювання взаємозв’язаних коливальних процесів, та дослідження явищ
втрати статичної та динамічної стійкості крила ЛА, відомих як флатер та
дивергенція.
М е х а н і к а
91
Постановка задачі
В роботі необхідно вивести математичну модель взаємозв’язаних по-
вздовжніх, згінних та крутильних коливальних процесів крила літального
апарату під дією аеродинамічних навантажень.
На основі отриманих результатів необхідно провести обчислення ха-
рактеристик напруженого і деформованого станів в конкретних попереч-
них перерізах крила ЛА.
Визначення приведених силових характеристик поперечного перері-
зу крила ЛА
Нагадуємо, що конфігурація описує недеформований стан систе-
ми, – деформований стан системи.
Розглянемо довільну точку перерізу в яка належить його ма-
теріальній частині, – вектор напруження, що прикладається в точці
довільного поперечного перерізу. Розкладемо вектор на наступні скла-
дові
.
Вказані напруження виразимо головним вектором і головним момен-
том від їх дії; за центр зведення обираємо центр мас перерізу (точку ).
Головний вектор і головний момент від дії вказаних напружень будуть ма-
ти наступний вигляд
, .
де – радіус вектор точки з початком в .
Повні вирази для головного вектора та головного моменту подано
у [1].
Головний вектор і момент можна представити і в такому вигляді
, .
Вирази для складових головного вектору і головного моменту наве-
дені в [1].
Для визначення шуканих функцій необхід-
но сформулювати граничні і початкові умови та скласти відповідні рівнян-
ня руху, в які будуть входити приведені інерційні та жорсткісні характери-
стики поперечного перерізу крила ЛА, що виражаються наступними фор-
мулами [1]:
0C
tC
*M tC
z *Mz
* * * * * *zzz z zx z zy zk i j
zC
z
z zzT d
z
z zz zM d
* *z z z z zx i y j
*M zC
* * * * * *2 1
zz z zT N k Q j Q i
* * * * * *1 2Cz K z z zM M k M i M j
0 0 1, , , , ,u z t w z t b z t
М е х а н і к а
92
(1)
(2)
(3)
(4)
Використання виразів (1)–(4) дає можливість виражати внутрішні
силові та моменті характеристики від дії напружень в конкретному попе-
речному перерізі крила.
У роботі [1] розглянуто методику розрахунку коефіцієнтів
, які виражаються виразами (1)–(4); наведемо лише їх чис-
лові значення:
[ н м2],
[ н м2],
[н м2],
[ н м2],
[ н м2].
Векторні рівняння руху крила літального апарату
В деформованому стані виділимо двома площинами , які
перпендикулярні лінії, що з’єднує центри ваги поперечних перерізів крила
ЛА, елементарну його частинку. Позначаємо через масу одиниці довжи-
ни крила ЛА; через , вектори зовнішніх силових і моментних наван-
тажень. Маємо ситуацію, зображену на рис.1.
2* 0 0
2
* * . . . . * . . . .. . . . . .
1 1
* * . . . . * . . . .. . . . . .
1 1
,
,
,
n lc c о в о в о н о н
z p z m z mp m
n lc c о в о в о н о нx p x m x m
p m
u wN A B
z z
A E E E
B E I E I E I
* 12
. . . . . . . .. . . . . .
1 1
,
,n l
c c о в о в о н о нy p y m y m
p m
bQ H
z
H I I I
* 1
. . . . . . . .. . . . . .
1 1
,
,
k
n lc c о в о в о н о н
y p y m y mp m
bM C
z
C J J J
2* 0 01 2
* * . . . . * . . . .. . . . . .
1 1
,
.n l
c c о в о в о н о нx p x m x m
p m
u wM B D
z z
D E J E J E J
, , , ,A B C D H
92.77 10A92.38 10B125.799 10C
111.232 10D103.644 10H
,z z dz
zq
zP
zm
М е х а н і к а
93
Рис. 1. Силові і моменті навантаження на елементі крила ЛА
Позначимо вектор інтенсивності поверхневого навантаження
, де – дугова координата контуру поперечного перерізу
крила ЛА при заданій координаті . Приведемо вказане зовнішнє наван-
таження до центру мас перерізу. Тоді головний вектор і головний момент
від дії зовнішнього навантаження будуть визначатися формулами:
,
де – радіус вектор від центру мас до точок, що знаходяться на контурі
поперечного перерізу крила ЛА.
Для виводу рівняння, що описує рух центру мас виділеного елемен-
та, застосуємо теорему про зміну кількості руху, маємо
,
де – головний вектор зусиль від дії напружень в конкретному попереч-
ному перерізі крила, – вектор переміщення точок виділеного попереч-
ного перерізу крила ЛА.
Застосовуючи теорему про зміну кінетичного моменту, одержуємо
друге векторне рівняння, що описує обертальний рух елемента навколо
центра мас
,f f z s
s zL
z
, , ,
z z
z z L
L L
P f z s ds m r f z s ds
Lr
20
2
z
z z
u Tq P
zt
zT
0u
М е х а н і к а
94
,
де – вектор кінетичного моменту виділеного елемента крила,
- головний момент від дії внутрішніх напружень, які розраховуються на
одиницю довжини балки, – орт вздовж осі локальної системи ко-
ординат в конфігурації .
В загальному, кінетичний момент виділеного елемента можна пред-
ставити у наступному вигляді:
.
Тут величини , , … – компоненти тензора інерції крила ЛА;
– вектор кутової швидкості обертання виділеного
елемента навколо миттєвої осі, що проходить через його центр мас .
В площині крило ЛА має велику жорсткість на згин відносно
осі , тому припускаємо , а та будемо визначати згідно на-
ступних формул
де , – кути повороту виділеного елемента крила ЛА навколо осей
та відповідно.
Вважаємо, що розглядуване крило ЛА має площину матеріальної си-
метрії – площину , тоді вираз для кінетичного моменту спрощується
до наступного виду
,
де , .
Остаточно отримаємо два векторних рівняння руху виділеного еле-
мента крила ЛА:
*z
z
C zC z
MK k T mt z
zCK
zCM
*zk
z zC z
tC
z
z z zz zx zy
z z zC xz x xy
z z zyz yx y
J J J
K J J J
J J J
zzJ
zxJ
zyJ
z x yk i j
xCz
Cy 0y z x
1z
b
t
21
x
w
z t
1b0w
z
C z C x
xCz
z zz zx
z z z zC C z C z z z zx x x x zx z zK K k K i J J k J J i
201z z
Czz z zx
wbK J J
t t z
20 1z z
Czx x zx
w bK J J
t z t
М е х а н і к а
95
(5)
Формулювання скалярних рівнянь руху
В рівняння (5) необхідно підставити вирази для визначення компо-
нент вектора переміщення і компонент зовнішніх і внутрішніх силових на-
вантажень у виділеному елементі крила ЛА в конфігураціях і , тоді ці
вирази приймуть наступний вигляд:
,
,
,
,
.
Приймаючи до уваги таблицю напрямних косинусів [2], отримаємо:
,
,
,
,
,
,
,
,
(
6)
Підставимо (6) в (5) і отримаємо систему нелінійних скалярних взає-
мозв’язаних рівнянь повздовжніх, згінних та крутильних переміщень кри-
ла ЛА
* *
2* 0
2
*
,
.z z
z
z
c czz
uTp
t t
M Km k T
z t
0C tC
0 0 0z zu u k w j
* * * * * *0 2 1 2 1z z z z z zT N k Q j Q i Nk Q j Q i
* * * *z zz z zy z zz z zy zP P k P j P k P j
* * * *z zz z zx z zz z zx zm m k m i m k m i
* * * * * *1 2 1 2Cz k z z z k z z zM M k M i M j M k M i M j
* *0 021
u wN N Q
z z
* *02 2 21
wQ N b Q
z
* *0 01zz zz zy
u wP P P
z z
* *021zy zz zy
wP P b P
z
* *01zz zz zz
um m m
z
* *11zx zx zxm m c m
* *01k k k
uM M M
z
* *1 1 1 11M M c M
М е х а н і к а
96
(7)
З формул (7) виключаємо величини :
Після проведення громіздких аналітичних перетворень та ряду
спрощень одержуємо наступні скалярні рівняння руху, при цьому не буде-
мо враховувати рівняння згінних переміщень в площині .
Рівняння крутильних переміщень
(8)
рівняння повздовжніх переміщень
(9)
рівняння прогинів в площині
20
, 2
20
2 , 2
20
1 , 2
0 0, 2 1
0 02 , 1
0 01 , 2
,
,
,
,
1 ,
1 .
z z
z y
z x
zk z z
yz y
xz x
uN pz t
wQ pz t
vQ pz t
v w KM m Q Qz z z t
Ku vM m Q Nz z z t
w u KM m N Qz z z t
1 2,Q Q
01 2 ,
02 1 ,
,
.
yz y
xz x
KvQ M m N
z z t
w KQ M m N
z z t
zCx
* * * * *0 0 0, 1 1 ,
3 32 2* 0 01 1, 1 2 2 2 2
,
k z z k z z
z z z zz x yx yz zx z
w w wM m M M b mz z z z z
w wb bm b J J J J
t z t t z t
2** * 0 0, , 2
,z z z y
w uNp p
z z t
zCy
М е х а н і к а
97
(10)
Для визначення зовнішнього навантаження використовуємо форму-
ли, що наведені в роботі [9]
, (11)
де – густина набігаючого незбуреного повітряного потоку, – дов-
жина хорди крила , – довжина крила, – початковий кут атаки крила.
Для проведення конкретних обчислень вибираємо апроксимації для
опису переміщень крила ЛА, які наведені в [8]
– для кручення: де: ,
(12, а)
– для прогину:
де , . (12, б)
Підставляючи вирази (1)-(4), (11), (12а), (12б) в (8)-(10), і нехтуючи
усіма зовнішніми навантаженнями як малими в порівнянні з та ,
після громіздких обчислень, проведення інтегрування по довжині крила, та
підстановки значень приведених жорсткостей, отримуємо рівняння згину
та кручення досліджуваного крила ЛА. При цьому були використані на-
ступні значення характеристик крила:
– площа крила 83,23 ,
– моменти інерції =118 , =48 , =2600 .
Остаточно маємо наступні рівняння згінно–крутильних переміщень
крила ЛА:
– рівняння кручення
,
– рівняння згину
** * * * 01, 1 , 2 0
3 22* * *0 0 01, , , 12 2 2
,
z y z x
z zx xz z z z y z x
wMm b m N Q w
z z z zz
w w wbJ J p p p b
z zt z t t
*1 0
* 21 0
2 sin ,2
sin .2
zy пов
zz пов
zp vb v b t v
l
zm vb v b t v
l
пов b
l 0
1 1 1( , ) ,b z t b t z 1 sin2
zz
l 1l
0 1 1( , ) ,w z t c t z
41 1 1 .z p z q z 1 1p 1q
*,z zm *
,z yp
S2м
zzJ
2кг м zzxJ
2кг м zxJ
2кг м
11 51 1 11052 6,51 10 ( ) 2,77 10 3578b t b t c t
6 131 1 1 14,36 10 4,35 10 672 29419 ( ) 2567.c t c t b t b t
М е х а н і к а
98
Розв’язком даної системи диференціальних рівнянь є функції
, які описують амплітудні коефіцієнти згинних та крутильних
переміщень. Використовуючи знайдені амплітудні коефіцієнти можна
проводити обчислення деформацій та напружень, які виникають в конкре-
тних поперечних перерізах крила ЛА. Як приклад обчислень на рис. 2
наведемо розподіл напружень та деформацій в поперечному перері-
зі при розмаху крила ЛА. При проведенні математичного моделю-
вання всі параметри системи були попередньо приведені до безрозмірного
виду, зокрема, розміри крила віднесені до довжини його хорди.
,t c
Рис. 2. Розподіл напружень zy та деформацій zy в крилі ЛА
Висновки
В роботі продовжено дослідження щодо виведення математичної
моделі деформування крила ЛА. Використовуючи приведені жорсткості на
розтяг згин і кручення для розглядуваних поперечних перерізів крила, які
були отримані в роботі [1], виведено математичну модель взаємозв’язаних
повздовжніх згінних та крутильних переміщень крила ЛА.
Проведене математичне моделювання отриманої системи диференці-
альних рівнянь, як результат, отримані параметри динамічної взаємодії між
коливальними процесами крила ЛА, та визначені напруження та деформа-
ції в точках конкретного поперечного перерізу.
В подальших роботах авторів буде проведене обчислення параметрів
навантаження кожного окремо виділеного конструктивно-силового елеме-
нта крила ЛА (оболонки, стрингера, лонжерона), що дозволить визначити
навантажені та ненавантажені ділянки поперечних перерізів та провести
більш детальний аналіз їх напружено-деформованого стану.
1 1, ( )c t b t
zy zy
0,5l
МПаzy ,
b
ct,
b
zy
М е х а н і к а
99
Список використаної літератури
1. Папіжук О.В., Мариношенко О.П. Розробка методу розрахунку інер-
ційних та приведених жорсткістних характеристик крила літального апара-
ту. Механіка гіроскопічних систем. К.: НТУУ “КПІ”, випуск №19 – 2008. –
С.65-76.
2. Мариношенко О.П. Каюк Я.Ф. Про один новий підхід до побудови
характеристик напруженого і деформованого стану крил літаків// ІV Між-
народна науково-технічна конференція. "Гіротехнології, навігація, керу-
вання рухом і конструювання авіаційно-космічної техніки”. – Тези допові-
дей. – 2007. – С.148-156.
3. Кан С.Н. Расчет самолета на прочность. – М.: Оборонгиз, 1958.-292с.
4. Галкина Н.С. Исследование НДС элементов авиационных конструк-
ций и их соединений.-М.: ЦАГИ,1979. –73с.
5. Феофанов А.Ф. Строительная механика авиационных конструкций. –
М.: Машиностроение, 1964. - 284с.
6. Ляховенко И.А. Расчет НДС неоднородных балок при динамическом
нагружении.-М.,1973. –27с.
7. Маркелов В.А. Исследование НДС натурных авиационных конструк-
ций методом фотоупругих покрытий. – Новосибирск,1986. – 16с.
8. Келдыш М.В. Избранные труды: Механика.-М.: Наука, 1985. 568с.
9. Theodore Teodorsen. General theory of aerodynamic instability and the
mechanism of flutter. NASA Report № 496, 1934.
10. Украинцев Г.В. Методика расчета на прочность тонкостенных конс-
трукций переменного поперечного сечения. – М.,1970.- 25с.
УДК 629.7.047
Є. А. Пахнюк, М. Т. Савченко, В. В. Сухов, О. Б. Туріщев
ДОСЛІДЖЕННЯ ДОЦІЛЬНОСТІ ЗАСТОСУВАННЯ СИСТЕМ
КОЛЕКТИВНОГО ЖИТТЄЗАБЕЗПЕЧЕННЯ ПАСАЖИРСЬ-
КИХ ЛА У СВІТЛІ СУЧАСНИХ ТЕНДЕНЦІЙ РОЗВИТКУ АВІ-
АІНДУСТРІЇ
У статті піднято питання доцільності застосування систем колективного спасін-
ня у світлі сучасних тенденцій зростання пасажиромісткості та обсягів пасажиропере-
везень авіатранспортом. Розглянуто питання порівняння безпеки двох літаків: нового
літака, безпека якого підвищена традиційними способами, і літака, обладнаного систе-