Φυσική Στερεάς Κατάστασης - 2 μέρος Παλούρα...

E. K. Παλούρα, Μάθημα 1ο 2008

Σελίδα 1 από 14

Φυσική Στερεάς Κατάστασης - 2ο μέρος

Ε. Κ. Παλούρα

Στόχος της διδακτικής ενότητας Να κατανοήσουμε τα φαινόμενα μεταφοράς σε μακροσκοπική

κλίμακα (ηλεκτρικές, θερμικές μαγνητικές ιδιότητες)

Να επιλέξουμε τα κατάλληλα πρότυπα και να διατηρήσουμε

τον μαθηματικό φορμαλισμό στο απλούστερο δυνατό επίπεδο

Μοντέλο του ελεύθερου ηλεκτρονίου- Drude (1900)

Απλούστερο δυνατό

Βασική υπόθεση : Τα e σθένους δεν αλληλεπιδρούν με άλλα e

ή ιόντα

Εξηγεί

Την ηλεκτρική αγωγιμότητα στα μέταλλα

Τη θερμοκρασιακή εξάρτηση της ειδικής αντίστασης

Αποτυγχάνει

Θερμοχωρητικότητα των ηλεκτρονίων αγωγιμότητας



Μοντέλο Sommerfeld ή jellium model : εισάγει την αρχή Pauli

Ορίζεται η ενέργεια Fermi (ΕF) & η επιφάνεια Fermi

Τα e διέπονται από την στατιστική Fermi-Dirac ή Boltzmann

ανάλογα με την ενέργειά τους

Το % των e που συμμετέχουν στα φαινόμενα μεταφοράς είναι

FEkT

Επίδραση του πλέγματος ?? Μοντέλο σχεδόν ελεύθερου e

Εξηγεί : αγωγιμότητα πολυσθενών μετάλλων, θετικό συντελεστή

Hall κλπ

Το θεώρημα Bloch είναι βασικό:

λύνεται η Schrödinger για το περιοδικό δυναμικό του κρυστάλλου

το e διαδίδεται σαν ελεύθερο σωματίδιο με k

2π=λ και kp h=

ενεργειακές ταινίες στα στερεά για κάθε k υπάρχουν πολλές

διακριτές ενέργειες



Γιατί ξεκινάμε τη μελέτη από τα μέταλλα??

Χαρακτηρίζονται από κοινές φυσικές ιδιότητες που

αποδεικνύεται ότι είναι αλληλένδετες:

• Υψηλή φυσική αντοχή

• Υψηλή πυκνότητα

• Υψηλή ηλεκτρική & θερμική αγωγιμότητα

• Υψηλή ανακλαστικότητα στο ορατό

Ερμηνεία

Τα μέταλλα περιέχουν μεγάλη συγκέντρωση σχεδόν ελεύθερων e

που είναι ελεύθερα να κινηθούν μέσα στον κρύσταλλο.



Ποια είναι τα ηλεκτρόνια αγωγιμότητας στα στερεά??

Τα ευκίνητα e που στα ελεύθερα άτομα είναι e σθένους, στα

στερεά γίνονται e αγωγιμότητας

Παράδειγμα: Νa με δομή bcc έχει 11 e :

• 10e →τροχιακά Bohr

• 1 e σθένους Χημικές ιδιότητες

Στο Νa υπάρχει υπερκάλυψη τροχιακών

τα e σθένους δεν είναι εντοπισμένα

μετατοπίζονται από άτομο σε άτομο

ανήκουν σε ολόκληρο τον κρύσταλλο

γίνονται e αγωγιμότητας

άγουν το ρεύμα

Άρα : Τα e σθένους (ελεύθερο άτομο) χημικές ιδιότητες

Τα e αγωγιμότητας (στερεό) ιδιότητες μεταφοράς

Πόσα e υπάρχουν σε ένα στερεό??

Am

v NM

ZN ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ρ=

Όπου Ζv το σθένος, ρm η πυκνότητα, Μ το ατομικό βάρος και ΝΑ ο

αριθμός Αvogadro.



Το αέριο των ελευθέρων e (μοντέλο Drude).

τα e κινούνται ελεύθερα στο στερεό,

δεν αλληλεπιδρούν με τα ιόντα ή άλλα e

Γιατί το e δεν αλληλεπιδρά με τα ιόντα??

Το e κινείται ταχύτατα στην γειτονία των ιόντων αλληλεπιδρά

για μικρούς χρόνους και τον περισσότερο χρόνο βρίσκεται σε

περιοχή όπου το δυναμικό είναι ασθενές.

Γιατί το e δεν αλληλεπιδρά με τα άλλα e??

Αρχή Pauli ηλεκτρόνια με ↑↑ spin τείνουν να είναι

απομακρυσμένα

Τα e περιβάλλονται από μία σφαιρική περιοχή κενή άλλων e

(οπή Fermi) με r≅1 Å μικρή αλληλεπίδραση e.

υπόκεινται μόνον στο φράγμα δυναμικού της επιφάνειας

ενίοτε υφίστανται ανακλάσεις στην επιφάνεια .

Περιληπτικά το αέριο του ελευθέρου e:

Tα θετικά μεταλλικά ιόντα κατανέμονται ομοιόμορφα στο στερεό

δημιουργώντας ένα θετικά φορτισμένο υπόβαθρο που συμβάλλει στην

ηλεκτρική ουδετερότητα και ασκεί μηδενικό πεδίο στα e.

Το αέριο των e είναι φορτισμένο και έχει μεγάλη πυκνότητα

1029e/m3 Συμπεριφέρεται σαν πυκνό plasma



Το μοντέλο Drude εξηγεί την ηλεκτρική αγωγιμότητα των

μετάλλων

Στόχος : να εκφράσουμε τον νόμο του Ohm έτσι ώστε να είναι

ανεξάρτητος του μήκους L και της διατομής Α του αγωγού.

Νόμος του Ohm: RVI =

Πυκνότητα ρεύματος AIJ =

Ηλεκτρικό πεδίο LVE =

Ειδική αντίσταση ρ (Ω cm) ρALR =

ενδεικτικές τιμές του ρ:

μέταλλα ≈ 2μΩcm ημιαγωγοί ≈ 1Ωcm μονωτές ≈ 1GΩcm

Αγωγιμότητα σ (Ω-1 cm-1) ρσ 1=

Ενδεικτικές τιμές των σ και ρ

για διάφορα υλικά.



Ισοδύναμη έκφραση του νόμου του Ohm: Εσ=J

Όπου το J δίνει το φορτίο που διέρχεται από τη μονάδα της

επιφάνειας στη μονάδα του χρόνου

Έκφραση του σ συναρτήσει μικροσκοπικών ιδιοτήτων

Παρουσία ηλεκτρικού πεδίου το ηλεκτρόνιο υφίσταται την επίδραση

του πεδίου και δύναμη επιβράδυνσης λόγω φαινομένων σκέδασης

από το υλικό μέσον ⇒ ο νόμος του Newton γράφεται :

τυ

−−=υ ** meE

dtdm όπου

m* η ενεργός μάζα του ηλεκτρονίου : η μάζα του ηλεκτρονίου

όπως διαμορφώνεται στο υλικό μέσον

τ ο χρόνος αφηρέμησης (relaxation time) : χρόνος μεταξύ 2

διαδοχικών σκεδάσεων. Ο τ είναι πολύ μικρός, π.χ. τ=10-14 sec

για σ=5x107 Ω-1cm-1.



Σε στάσιμη κατάσταση (steady state) : 0dtd

=υ E

me

*dτ

−=υ !!!!

Η υd ονομάζεται ταχύτητα ολίσθησης (drift velocity).

Η ταχύτητα ολίσθησης υd μηδενίζεται ταχύτατα μόλις μηδενιστεί

το ηλεκτρικό πεδίο:

Για Ε=0 ⇒ τυυ ** m

dtdm −= ⇒ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

τυυ tt dod exp)(

Ορισμός της αγωγιμότητας σ

Ε= σJ

Ε=−=*

2)(

μ

τυ NeNeJ d ⇒ *

2

me τσ Ν

=

Μέση ελεύθερη διαδομή των φορέων thτυ=l

όπου υth η ταχύτητα των φορέων λόγω άτακτης θερμικής κίνησης .

♦H υth δεν συνεισφέρει στην αγωγιμότητα.

♦Η ταχύτητα ολίσθησης υd είναι πολύ μικρότερη της υth : 8

thd 10−=

υυ

Επομένως : th*

2

*

2

me

mNe

υΝ

=τ=σl



Τυπικές τιμές της υth

• μέταλλα : /102 6 smmEυυ FFth ≅== όπου 2

F 21E Fυ=

• Ημιαγωγοί : m/s10 3 4* ≅=mkTυth , στους 300Κ και για m*=mo/5

Σχόλιο : μείωση των σκεδάσεων ⇔ αύξηση του l ⇔ αύξηση της

αγωγιμότητας σ.

Η κίνηση των

φορέων παρουσία

πεδίου και λόγω

θερμικής κίνησης



Η ειδική αντίσταση των μετάλλων συναρτήσει της θερμοκρασίας

Οπως είδαμε τσ

ρ 112

*

Nem

==

Όπου (τ1) η πιθανότητα να συμβεί σκέδαση στη μονάδα του

χρόνου.

Παράδειγμα: αν τ=10-14s ⇒ το e υφίσταται 1014 σκεδάσεις/sec.

Κυριότεροι μηχανιμοί σκέδασης

Φωνόνια → πιθανότητα σκέδασης phτ1

→ph

phNemτσ

ρ 2

*1==

Προσμείξεις & ατέλειες δομής →πιθανότητα σκέδασης impτ1

⇒imp

imp Nemτσ

ρ 2

*1==

Συνολική πιθανότητα σκέδασηςimpph τττ111

+= ⇒

impphmpph

Ne

m

Ne

miττ

ρρρ 112

*

2

*+=+= Νόμος του Mathiessen

όπου ρimp η παραμένουσα ειδική αντίσταση και ρph η ιδανική

ειδική αντίσταση που → σε ένα καθαρό δείγμα



Διερεύνηση

Τ<20 Κ⇒ πλάτος ταλάντωσης των ατόμων → 0 ⇒ τph →∞

και ρph→0 ⇒ ρ≅ρi≅0

T >300 K : ρph>>ρi και ρ≅ ρph≈ T

Η κανονικοποιημένη ειδική αντίσταση του Νa στην περιοχή των

χαμηλών & υψηλών θερμοκρασιών. ρ(290Κ)=2.10x10-8 Ωm.

Ενδεικτικές ιδιότητες μεταφοράς μετάλλων στους 300Κ

Μέταλλο l (Å) σ (Ω cm)-1 Ν (m-3) m*/mo

Li 110 1.07x107 4.6x1028 1.2

Na 350 2.11x107 2.5 x1028 1.2

Cu 420 5.8x107 8.4 x1028 1.0

~Τ



Το μοντέλλο Drude δεν εξηγεί την θερμοχωρητικότητα

των e αγωγιμότητας.

Κινητική θεωρία των αερίων =>

η μέση ενέργεια ενός ελεύθερου σωματιδίου είναι kT23

η μέση ενέργεια ενός mole είναι RT23kT

23NE A =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= όπου

ΝΑ ο αριθμός Avogadro και R=NAk.

Επομένως η συνεισφορά των e στην ειδική θερμότητα Ce αναμένεται

να είναι: [ ] Kmole/cal3R

23

TEC o

e ≅=∂∂

=

Η συνολική ειδική θερμότητα ενός μετάλλου θα αναμενόταν να

είναι:

C=Cph+Ce =3R +(3/2)R=4.5R≅ 9 cal mole-1 oK-1.

Όμως πειραματικές μετρήσεις απέδειξαν ότι

Cmetal≅Cinsulator≅3R

τα ελεύθερα e δεν συμβάλλουν σημαντικά στην ειδ.

θερμότητα και μάλιστα R23

1001Ce ×≅

Γιατί??



Την απάντηση δίνει η κβαντομηχανική –Θεωρία του Sommerfeld

ή jellium model.

Τα e καταλαμβάνουν ενεργειακές στάθμες σύμφωνα με την αρχή

του Pauli και η κατανομή τους για Τ=0 δίδεται από τη συνάρτηση

κατανομής f(E) :

1 για E<EF

f(E) T=0=

0 για Ε>ΕF

Η f(E) δίνει την πιθανότητα στάθμη ενέργειας E να είναι

κατειλημμένη.

Η ενέργεια της υψηλότερης κατειλημμένης στάθμης

ονομάζεται ενέργεια Fermi ή στάθμη Fermi ΕF.

Ο Enrico Fermi (1901-1954) και η σφαίρα Fermi. Η στατιστική Fermi προτάθηκε το 1926. Το 1927 έγινε καθηγητής στην Ρώμη. Το 1938 τιμήθηκε με το βραβείο Nobel το 1938 και την ίδια χρονιά πήγε στις ΗΠΑ για να γλυτώσει από τον Μουσολίνι.



Κάθε στάθμη γεμίζει με 2 e

Επίδραση της θερμοκρασίας στην κατανομή Fermi

Φυσική Στερεάς Κατάστασης - 2 μέρος Παλούρα...

Documents

Transcript of Φυσική Στερεάς Κατάστασης - 2 μέρος Παλούρα...