Συστήματα Αναφοράς στη ... · • Δορυφόροι GNSS: r ≈ 4R E ⇒ T ≈...
Transcript of Συστήματα Αναφοράς στη ... · • Δορυφόροι GNSS: r ≈ 4R E ⇒ T ≈...
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΑΤΤΙΚΗΣ
ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ & ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
Τομέας Γεωδαισίας-Φωτογραμμετρίας-Χαρτογραφίας
Συστήματα Αναφοράς και ΧρόνουΗ’ Εξάμηνο
Συστήματα Αναφοράς
στη Δορυφορική Γεωδαισία
ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ Γ. ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΥΔρ. Αγρονόμος & Τοπογράφος Μηχανικός Ε.Μ.Π.
https://demanasta.github.io/
WEB class, 26 Μάη 2020
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
Δομή μαθήματος
Οι νομοι του Kepler και η ελλειπτική τροχιά των δορυφόρων
Οι τροχιές των δορυφόρων στα συστήματα GNSS
2 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
Οι νομοι του Kepler και η ελλειπτική τροχιά των
δορυφόρων
3 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
Οι νόμοι του Kepler
Από την Νευτώνεια θεωρεία
’Ενα κεντρικό πεδίο δυνάμεων δημιουργείται:
• από ένα υλικό σημείο, ομογενή σφαίρα, ή
• από μία σφαίρα με ομογενείς στιβάδες
(η πυκνότητα συνάρτηση της απόστασης από το κέντρο της σφαίρας)
Η δύναμη ανά μονάδα μάζας
f = −GMr3 x
M : μάζα της γης
m : μάζα δορυφόρου
G : παγκόσμια σταθερά έλξης
x : διάνυσμα θέσης δορυφόρου
r =|x| ακτινική απόσταση
δορυφόρου
F = fm = GMmr2 (−x
r )⇒ (−x
r ) μοναδιαίο διάνυσμα από το
δορυφόρο προς το κέντρο της γης
4 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
Οι νόμοι του Kepler
Από τον νόμο της παγκόσμιας έλξης:
F = fm = GMmr2 (−x
r ) = −GMmr3 x
Από τις εξισώσεις κίνησης (2ος νόμος Νεύτωνα):
d2xdt2 = 1
mF = f = −GMr3 x
F : ελκτική δύναμη πλανήτη
f : ελκτική δύναμη πλανήτη
ανά μονάδα μάζας
M : μάζα ήλιου
m : μάζα πλανήτη
r : απόσταση ήλιου-πλανήτη
− xr : μοναδιαίο διάνυσμα
πλανήτη-ήλιου
Με την επίλυση των διαφορικών ξισώσεων
d2xdt2 = f = −GM
r3 x ⇒⇒ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ KEPLER
5 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
Οι νόμοι του Kepler
1ος Νόμος του Kepler
Η τροχιά κάθε πλανήτη είναι μία έλλειψη με τον ήλιο σε μία από τις εστίες
της.
2ος Νόμος του Kepler
Το ευθύγραμμο τμήμα από τον ήλιο σε οποιονδήποτε πλανήτη διαγράφει
ίσες επιφάνειες σε ίσα χρονικά διαστήματα
3ος Νόμος του Kepler
Οι κύβοι των μεγάλων ημιαξόνων των τροχιών των πλανητών είναι
ανάλογοι προς τα τετράγωνα των περιόδων περιστροφής τους γύρω από
τον ήλιο.
6 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
1ος νόμος του Kepler
1ος Νόμος του Kepler
Η τροχιά κάθε πλανήτη είναι μία έλλειψη με τον ήλιο σε μία από τις εστίες
της.
7 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
1ος νόμος του Kepler
στη δορυφορική γεωδαισία
1ος Νόμος του Kepler
Η τροχιά κάθε δορυφόρου είναι μία έλλειψη με τη γη σε μία από τις εστίες
της.
8 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
2ος νόμος του Kepler
2ος Νόμος του Kepler
Το ευθύγραμμο τμήμα από τον ήλιο σε οποιονδήποτε πλανήτη διαγράφει
ίσες επιφάνειες σε ίσα χρονικά διαστήματα
dS1dt = 1
2r21
df1dt = dS2
dt = 12r2
2df2dt
df1dt = r2
2r2
1
df2dt
dS = 12(rdf)r = 1
2r2df
9 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
2ος νόμος του Kepler
στη δορυφορική γεωδαισία
2ος Νόμος του Kepler
Το ευθύγραμμο τμήμα από την γη προς τον δορυφόρο διαγράφει ίσες
επιφάνειες σε ίσα χρονικά διαστήματα
dS1dt = 1
2r21
df1dt = dS2
dt = 12r2
2df2dt
df1dt = r2
2r2
1
df2dt
dS = 12(rdf)r = 1
2r2df
10 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
3ος νόμος του Kepler
3ος Νόμος του Kepler
Οι κύβοι των μεγάλων ημιαξόνων των τροχιών των πλανητών είναι
ανάλογοι προς τα τετράγωνα των περιόδων περιστροφής τους γύρω από
τον ήλιο.
T21
T22
= r31
r32
⇔ T2 = 4π2
GMr3 ήr3
T2 = G4π2 M
Πλανήτης Περίοδος (y) Μέση Απόσταση (au) 𝐓2𝐫3 (s2/au3)
Earth 1.00 1.00 1.00
Mars 1.88 1.52 1.01
1au=1.495 978 707×1011 m
11 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
3ος νόμος του Kepler
στη δορυφορική γεωδαισία
3ος Νόμος του Kepler
Οι κύβοι των μεγάλων ημιαξόνων των τροχιών των δορυφόρων είναι
ανάλογοι προς τα τετράγωνα των περιόδων περιστροφής τους γύρω από
τη γη.
T21
T22
= r31
r32
⇔ T2 = 4π2
GMr3 ήr3
T2 = G4π2 M
• Γεωστατικοί δορυφόροι: r ≈ 7RE ⇒ T ≈ 24h• Δορυφόροι GNSS: r ≈ 4RE ⇒ T ≈ 12h• LAGEOS: r ≈ 0.2RE ⇒ T ≈ 3.5h
12 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
Κεπλέρια στοιχεία τροχιών
𝐚: Μεγάλος ημιάξονας της ελλειπτικής τροχιάς
𝐞: Εκκεντρότητα της ελλειπτικής τροχιάς
𝐢: Κλίση της τροχιάς ως προς
τον ισημερινό
13 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
Κεπλέρια στοιχεία τροχιών
Ω: Ορθή αναφορά του Ανιόντος Δεσμού
• Ανοδικό Ισημερινό Σημείο
Το σημείο του ισημερινού επιπέδου
όπου ο δορυφόρος περνά κινούμενος
από νότο προς βορρά.
• Καθοδικό Ισημερινό Σημείο
Το σημείο του ισημερινού επιπέδου
όπου ο δορυφόρος περνά κινούμενος
από βορρά προς νότο.
• Ευθεία των συνδέσμων
Η ευθεία που ορίζεται από τον
ανιόντα και κατιόντα σύνδεσμο και
είναι η τομή του επιπέδου της
τροχιάς με το ισημερινό επίπεδο.
• 0∘ ⩽ Ω ⩽ 360∘
14 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
Κεπλέρια στοιχεία τροχιών
Ω: Ορθή αναφορά του Ανιόντος Δεσμού
• Ανοδικό Ισημερινό Σημείο
Το σημείο του ισημερινού επιπέδου
όπου ο δορυφόρος περνά κινούμενος
από νότο προς βορρά.
• Καθοδικό Ισημερινό Σημείο
Το σημείο του ισημερινού επιπέδου
όπου ο δορυφόρος περνά κινούμενος
από βορρά προς νότο.
• Ευθεία των συνδέσμων
Η ευθεία που ορίζεται από τον
ανιόντα και κατιόντα σύνδεσμο και
είναι η τομή του επιπέδου της
τροχιάς με το ισημερινό επίπεδο.
• 0∘ ⩽ Ω ⩽ 360∘
14 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
Κεπλέρια στοιχεία τροχιών
ω: Όρισμα του Περίγειου
• Η γωνία υπολογίζεται στο επίπεδο
της τροχιάς και προς την
κατεύθυνση της κίνησης.
• Για γωνία ω = 0∘ το περίγειο
βρίσκεται στην ίδια θέση με το
ανοδικό ισημερινό σημείο.
• Για γωνία ω = 180∘ το απόγειο
βρίσκεται στην ίδια θέση με το
ανοδικό ισημερινό σημείο.
• Ευθεία των αψίδων
Η ευθεία που ορίζεται από το
περίγειο και το απόγειο.
15 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
Κεπλέρια στοιχεία τροχιών
v: Αληθής Ανωμαλία
• Αληθής Ανωμαλία (f ή v)Η θέση του δορυφόρου στην τροχιά
ως προς το περίγειο.
• Η Αληθής Ανωμαλία εκφράζεται
εναλλακτικά από:
- την Μέση Ανωμαλία
- τη Έκκεντρη Ανωμαλία
16 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
Κεπλέρια στοιχεία τροχιών
Μ0: Μέση Ανωμαλία
• Έστω ότι ο δορυφόρος κινείται με
σταθερή ταχύτητα n σε μία κυκλική
τροχιά με εμβαδό ίσο μ’ αυτό της
πραγματικής ελλειπτικής τροχιάς
• Μέση Ανωμαλία
είναι γωνία κατά την οποία θα είχε
κινηθεί ο δορυφόρος από της στιγμή
της τελευταίας διέλευσης από το
περίγειο.
0∘ ⩽ M0 ⩽ 360∘
M(t) = n(t − tp) = 1πT (t − tp)
17 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
Κεπλέρια στοιχεία τροχιών
Μ0: Μέση Ανωμαλία
• Έστω ότι ο δορυφόρος κινείται με
σταθερή ταχύτητα n σε μία κυκλική
τροχιά με εμβαδό ίσο μ’ αυτό της
πραγματικής ελλειπτικής τροχιάς
• Μέση Ανωμαλία
είναι γωνία κατά την οποία θα είχε
κινηθεί ο δορυφόρος από της στιγμή
της τελευταίας διέλευσης από το
περίγειο.
0∘ ⩽ M0 ⩽ 360∘
M(t) = n(t − tp) = 1πT (t − tp)
17 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
Κεπλέρια στοιχεία τροχιών
E: Έκκεντρη Ανωμαλία
• Βοηθητική γωνία.
• Καθορίζεται φέρνοντας μια κάθετη
γραμμή από τον μεγάλο άξονα της
ελλειψης μέσω του σημείου S και
τον εντοπισμό της τομής S′ με τον
βοηθτικό κύκλο ακτίνας α.• Συνδέεται με την Μέση Ανωμαλία
μέσω της εξίσωσης του Kepler
Εξίσωση Kepler
M = E − e ⋅ sinE
18 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
Κεπλέρια στοιχεία τροχιών
E: Έκκεντρη Ανωμαλία
• Βοηθητική γωνία.
• Καθορίζεται φέρνοντας μια κάθετη
γραμμή από τον μεγάλο άξονα της
ελλειψης μέσω του σημείου S και
τον εντοπισμό της τομής S′ με τον
βοηθτικό κύκλο ακτίνας α.• Συνδέεται με την Μέση Ανωμαλία
μέσω της εξίσωσης του Kepler
Εξίσωση Kepler
M = E − e ⋅ sinE
18 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
Κεπλέρια στοιχεία τροχιών
v: Αληθής Ανωμαλία
• Είναι η πραγματική γωνία που
διέγραψε ο δορυφόρος από την
τελευταία του διέλευση από το
περίγειο.
• Ισούται με τη μέση ανωμαλία μόνο
κατά το περίγειο και το απόγειο.
• Συνδέεται με την έκκεντρη ανωμαλία
με τη σχέση
tanv2 = √1 − e
1 + etanE2
19 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
Κεπλέρια στοιχεία τροχιών
Συνοπτικά
Σχήμα της ελλειπτικής τροχιάς
α : Μεγάλος ημιάξονας
e : εκκεντρότητα
Προσανατολισμός της έλλειψης
i : Κλίση προς το ισημερινό
επίπεδο
Ω : Ορθή αναφορά ανιόντος δεσμού
ω : Όρισμα του περίγειου
Θέση του δορυφόρου στην τροχιά
v : Αληθής ανωμαλία
20 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
Τροχιακή θέση και ταχύτητα - Διάνυσμα κατάσταση
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣
Ωωiaev
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦T0
≡
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣
XYZXYZ
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦T0
⇒
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣
XYZXYZ
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦Ti
• Οι συντεταγμένες του δορυφόρου υπολογίζονται το τροχιακό επίπεδο
ως συνάρτηση του χρόνου.
• Θα πρέπει να μετασχηματιστούν στο επίγειο σύστημα αναφοράς για
τη γεωαναφορά των παρατηρήσεων των επίγειων δεκτών.
ΤΡΟΧΙΑΚΟ ⇒ ΟΥΡΑΝΙΟ ⇒ ΕΠΙΓΕΙΟ
21 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
Η κίνηση στο επίπεδο της τροχιάς
q1 : άξονας στο επίπεδο της τροχιάς
στην κατεύθυνση του περίγειου
q2 : άξονας στο επίπεδο της
τροχιάς κάθετος στον q1q3 : άξονας κάθετος στο επίπεδο
της τροχιάς
𝐪 = R ⎡⎢⎣
cosvsinv
0⎤⎥⎦
= ⎡⎢⎣
a cosE − ea √(1 − e2) sinE
0⎤⎥⎦
22 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
Θέση στο Ουράνιο Σύστημα Αναφοράς
𝐱CRS = R2(−Ω)R1(−i)R3(−ω)𝐪23 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
Θέση στο Επίγειο Σύστημα Αναφοράς
𝐱TRS = R3(GAST)𝐱CRS
𝐱TRS = R3(GAST − Ω)R1(−i)R3(−ω)𝐪
• GAST − Ω = Lεπίγειο μήκος του
συνδέσμου ανάβασης
• ω + v = uόρισμα του πλάτους
24 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
Διαταρακτικές δυνάμεις
Βασικές ελκτικές δυνάμεις
Fc : Έλξη του κεντρικού πεδίου
βαρύτητας της γης
Fnc : Παρέλξεις βαρύτητας
Fm, Fs : Έλξεις βαρύτητας σελήνης, ήλιου
Fr : Δύναμη ηλιακή ακτινοβολίας
Άλλες δυνάμεις
Fa : Ατμοσφαιρική τριβή
• Παλιρροιακές δυνάμεις
• Μαγνητικές δυνάμεις
25 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
Παρέλξεις βαρύτητας
Μέθοδος των παρέλξεων
Επειδή η διαφορά της πραγματικής γης από μία σφαίρα δεν είναι πολύ μεγάλη, η τροχιά τωνδορυφόρων μπορεί να υπολογιστεί με τη βοήθεια μιάς κεπλέριας τροχιάς στην οποίαεπιφέρουμε μικρές μεταβολές, που προέρχονται από την απόκλιση του πραγματικού πεδίουβαρύτητας της γης από το πεδίο βαρύτητας μιάς σφαίρας.
Το δυναμικό έλξης της γης στη μορφή σειράς σφαιρικών αρμονικών:
−V = GMr [1 +
∞∑n=2
n∑m=0
(a⨁r )
nJnmPnm(cosm(λ − λnm)]
−V = GMr [1 +
∞∑n=2
n∑m=0
(a⨁r )
nPnm(sinϕ)(Cnmcosmλ − Snmsinmλ)]
GMr : αντιστοιχεί στο δυναμικό της γης
J20: οφείλεται στην επιπλάτυνση (της τάξης 103(1.08263 ⋅ 103))26 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
Παρέλξεις βαρύτητας
Επίδραση στο επίπεδο της τροχιάς
Εξ αιτίας της επιπλάτυνσης της γης τοεπίπεδο της τροχιάς στρέφεται γύρω απότον άξονα Ζ με γωνιακή ταχύτητα πουδίνεται απο τη σχέση:
Ω = −32J20 ⋅ n (a
p)2
cosi + ...
όπου p = a(1 − e2)
Επομένως:
Ω = Ω0 + Ω(T − T0)
μερικές μοίρες τη μέρα
27 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
Παρέλξεις βαρύτητας
Επίδραση στη γραμμή των αψίδων
Εξ αιτίας της επιπλάτυνσης της γης ηευθεία των αψίδων στρέφεται γύρω απότο κέντρο της γης με γωνιακή ταχύτητα:
ω = −32J20 ⋅ n (a
p)2
(2 − 52sin2i) + ...
Επομένως:
ω = ω0 + ω(T − T0)
28 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
Παρέλξεις βαρύτητας
Επίδραση στη σχέση a3n2
Εξ αιτίας της επιπλάτυνσης της γηςμεταβάλλεται η σχέση που συνδέει τα aκαι n:
a3n2 = GM [1 − 32J20 (a
p)2
(1 − 32sin2i)
√1 − e2 + ...]
29 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
Πλανητικές επιδράσεις
Άμεση επίδραση
• Η βαρυτική έλξη της Σελήνης είναι η
σημαντικότερη πλανητική επίδραση.
• Η επίδραση του Ήλιου είναι
περίπου το μισό της επίδρασης της
Σελήνης
Έμμεση επίδραση
• Οι παλίρροιες από τον Ήλιο και την
Σελήνη προκαλούν μεταβολές στη
γήινη βαρύτητα
⇒ παρέλξεις στους δορυφόρους
30 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
Επίδραση της ηλιακή ακτινοβολίας και της ατμόσφαιρας
Ηλιακή ακτινοβολία
Η δύναμη Fr εξαρτάται από τη θέση του
δορυφόρου, εντός ή εκτός της σκιάς της
γης, τη μάζα, την επιφάνεια και την
γήινη αντανάκλαση της ακτινοβολίας.
GNSS satellites: Fr ≈ 2 − 10 m
Ατμόσφαιρα
Η ασκούμενη δύναμη Fa εξαρτάται από
την ατμοσφαιρική πυκνότητα, τη μάζα
και την ταχύτητας του δορυφόρου.
GNSS satellites: Fa ≈ 0
31 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
Οι τροχιές των δορυφόρων στα συστήματα GNSS
32 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
Τροχιακά επίπεδα των συστημάτων GNSS
GPS GLONASS GALILEO
Ελάχιστοι δορυφόροι 24 24 30
Τροχιακά επίπεδα 6 3 3
Κλίση Τροχιάς 55∘ 64∘ 8’ 56∘
Υψόμετρο Τροχιάς 20 180 km 19 140 km 23 222 km
Περίοδος περιστροφής 11h 58m 11h 15m 14h 22m
DATUM WGS84 PZ-90.11 GTRF
Satellite constellation map - ESRI
33 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
Η τροχιά των δορυφόρων GPS - εφημερίδες
• Τα δεδομένα των τροχιών των δορυφόρων περιέχονται στο
εκπεμπόμενο από τους δορυφόρους μήνυμα ναυσιπλοΐας.
• Τα δεδομένα περιέχουν πληροφορίες:
• για τη λειτουργία του δορυφόρου (health status)
• πληροφορία χρόνου από τον κώδικα C/A στο P.
• παραμέτρους για τις διορθώσεις χρονομέτρου
• τα τροχιακά στοιχεία του δορυφόρου
• διορθώσεις για την καθυστέρηση του σήματος λόγω ιονόσφαιρας
• Κάθε δορυφόρος εκπέμπει ένα μήνυμα κάθε 30 s.
• Οι εφημερίδες των δορυφόρων προσδιορίζονται από το τμήμα ελέγχου
στο έδαφος.
• Οι τροχιές υπολογίζονται και προεκτείνονται στο μέλλον και
φορτώνονται στη μνήμη των δορυφόρων κάθε 26 ώρες.
34 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
Παράμετροι εκπεμπόμενης εφημερίδας I
Παράμετροι χρόνου
toe : Χρόνος αναφοράς εφημερίδας(s)
toc : Χρόνος αναφοράς χρονομέτρων(s)
IODE : Εποχή αναφοράς των δεδομένων της εφημερίδας
a : Πολυονυμικοί συντελεστές διόρθωσης των χρονομέτρων (a0: bias(s),a1: drift(a/a), a3: drift rate (s/s2))
Κεπλέρια στοιχεία√Α : Τετραγωνική ρίζα του μεγάλου ημιάξονα (m1/2)
e : Εκκεντρότητα της ελλειπτικής τροχιάς
i0 : Κλίση στο χρόνο αναφοράς (rad)
35 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
Παράμετροι εκπεμπόμενης εφημερίδας II
Ω0 : Ορθή αναφορά ανιόντος δεσμού στο χρόνο αναφοράς (rad)
ω0 : Στοιχείο περιγείου (rad)
M0 : Mέση ανωμαλία στο χρόνο αναφοράς (rad)
Παράμετροι παρέλξεων
Δn : Αλλαγή στη μέση κίνηση του δορυφόρου από την υπολογισμένη τιμή
Ω : Γωνιακή ταχύτητα μετατόπισης του ανιόντος δεσμού
i : Γωνιακή ταχύτητα μεταβολής της κλίσης
36 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
Παράμετροι εκπεμπόμενης εφημερίδας III
cuc : Πλάτος αρμονικής διόρθωσης στο (cos) του εφαπτομενικού όρου της
τροχιάς (rad)
cus : Πλάτος αρμονικής διόρθωσης στο (sin) του εφαπτομενικού όρου της
τροχιάς (rad)
crc : Πλάτος αρμονικής διόρθωσης στο (cos) του ακτινικού όρου της
τροχιάς (m)
crs : Πλάτος αρμονικής διόρθωσης στο (sin) του ακτινικού όρου της
τροχιάς (m)
cic : Πλάτος αρμονικής διόρθωσης στο (cos) της κλίσης της τροχιάς (rad)
cis : Πλάτος αρμονικής διόρθωσης στο (sin) της κλίσης της τροχιάς (rad)
37 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
Παράμετροι εκπεμπόμενης εφημερίδας
38 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
Υπολογισμός της θέσης του δορυφόρου I
Στο σύστημα Αναφοράς WGS84
Σταθερές
• Παγκόσμια σταθερά του πεδίου βαρύτητας στο WGS84
GM = 3.986004418 ⋅ 1014 m3/s2
• Ταχύτητα περιστροφής της γης στο WGS84
Ωe = 7.2921151467 ⋅ 10−5 rad/s
Διαδικασία Υπολογισμού
1. Μεγάλος ημιάξονας της τροχιάς A = (√
A)2
2. Χρόνος απο την εποχή αναφοράς της εφημερίδας
tk = t − toe → tk > 302400 s ⇒ tk = tk − 604800 stk < −302400 s ⇒ tk = tk + 604800 s
39 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
Υπολογισμός της θέσης του δορυφόρου II
Στο σύστημα Αναφοράς WGS84
3. Υπολογισμένη μέση κίνηση του δορυφόρου
n0 = √GMA3
4. Διορθωμένη μέση κίνηση
n = n0 + Δn
5. Μέση Ανωμαλία
Mk = M0 + n ⋅ tk
6. έκκεντρη ανωμαλία (λύνεται με επαναλήψεις)
Ek = Mk + e ⋅ sinEk όπου E0 = Mk
40 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
Υπολογισμός της θέσης του δορυφόρου III
Στο σύστημα Αναφοράς WGS84
7. Αληθής Ανωμαλία
cosvk = cosEk − e1 − e ⋅ cosEk
sinvk =√
1 − e2sinEk1 − e ⋅ cosEk
vk = tan−1 ( sinvkcosvk
)
8. Στοιχείο (γωνία) του πλάτους
Φk = vk + ω
9. Διόρθωση στο στοιχείο του πλάτους (λόγω παρέλξεων)
δuk = cuc ⋅ cos2Φk + cus ⋅ sin2Φk
41 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
Υπολογισμός της θέσης του δορυφόρου IV
Στο σύστημα Αναφοράς WGS84
10. Διόρθωση στην ακτίνα (λόγω παρέλξεων)
δrk = crc ⋅ cos2Φk + crs ⋅ sin2Φk
11. Διόρθωση στην κλίση (λόγω παρέλξεων)
δik = cic ⋅ cos2Φk + cis ⋅ sin2Φk
12. Διορθωμένο στοιχείο του πλάτους
uk = Φk + δuk
13. Διορθωμένη ακτίνα
rk = A ⋅ (1 − ecosEk) + δrk
42 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
Υπολογισμός της θέσης του δορυφόρου V
Στο σύστημα Αναφοράς WGS84
14. Διορθωμένη κλίση
ik = i0 + i ⋅ tk + δik
15. Συντεταγμένη X του δορυφόρου στο τροχιακό επίπεδο
X′k = rk ⋅ cosuk
16. Συντεταγμένη Y του δορυφόρου στο τροχιακό επίπεδο
Y′k = rk ⋅ sinuk
17. Διορθωμένο μήκος του ανιόντος δεσμού
Ωk = Ω0 + (Ω − Ωe) ⋅ tk − Ωe ⋅ t0e
43 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
Υπολογισμός της θέσης του δορυφόρου VI
Στο σύστημα Αναφοράς WGS84
18. Συντεταγμένη X του δορυφόρου στο WGS84
Xk = X′k ⋅ cosΩk − Y′
k ⋅ sinΩk ⋅ cosik
19. Συντεταγμένη Y του δορυφόρου στο WGS84
Yk = X′k ⋅ sinΩk − Y′
k ⋅ cosΩk ⋅ cosik
20. Συντεταγμένη Z του δορυφόρου στο WGS84
Zk = Y′k ⋅ sinik
44 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
Εκπεμπόμενη εφημερίδα
45 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
Εκπεμπόμενη εφημερίδα
45 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
Εκπεμπόμενη εφημερίδα
45 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
Παράδειγμα υπολογισμού της θέσης του δορυφόρου I
Στο σύστημα Αναφοράς WGS84
Παράμετροι χρόνου
t =432015s
toe =0.432000000000 ⋅ 106 s
Κεπλέρια στοιχεία√Α =0.515368783379 ⋅ 104 √m
e =0.197334942641 ⋅ 10−01
i0 =0.959052938210 ⋅ 10−00 rad
Ω0 =−0.278529997650 ⋅ 1001 rad
ω0 =−0.163273237813 ⋅ 1001 rad
M0 =0.311547269309 ⋅ 1001 rad
Παράμετροι παρέλξεων
∆n =0.483412993234 ⋅ 10−08 rad/s
Ω =−0.816426864599 ⋅ 10−08 rad/si =0.278583032673 ⋅ 10−10 rad/s
cuc =−0.161491334438 ⋅ 10−05 rad
cus =0.268779695034 ⋅ 10−05 rad
crc =0.323468750000 ⋅ 10+03 m
crs =−0.345937500000 ⋅ 10+02 m
cic =0.366941094399 ⋅ 10−06 rad
cis =−0.614672899246 ⋅ 10−07 rad
46 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
Παράδειγμα υπολογισμού της θέσης του δορυφόρου II
Στο σύστημα Αναφοράς WGS84
Σταθερές
• Παγκόσμια σταθερά του πεδίου βαρύτητας στο WGS84
GM = 3.986004418 ⋅ 1014 m3/s2
• Ταχύτητα περιστροφής της γης στο WGS84
Ωe = 7.2921151467 ⋅ 10−5 rad/s
Διαδικασία Υπολογισμού
1. Μεγάλος ημιάξονας της τροχιάς A = (√
A)2 = 26560498.2881551 m2. Χρόνος απο την εποχή αναφοράς της εφημερίδας
tk = t − toe = 15 s47 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
Παράδειγμα υπολογισμού της θέσης του δορυφόρου III
Στο σύστημα Αναφοράς WGS84
3. Υπολογισμένη μέση κίνηση του δορυφόρου
n0 = √GMA3 = 1.45852729291050 ⋅ 10−04 rad/s
4. Διορθωμένη μέση κίνηση
n = n0 + Δn = 1.45857563420983 ⋅ 10−04 rad/s
5. Μέση Ανωμαλία
Mk = M0 + n ⋅ tk = 3.11766055654131 rad
48 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
Παράδειγμα υπολογισμού της θέσης του δορυφόρου IV
Στο σύστημα Αναφοράς WGS84
6. έκκεντρη ανωμαλία (λύνεται με επαναλήψεις)
Ek = Mk + e ⋅ sinEk όπου E0 = MkE0 = 3.11766055654131 radEk = 3.11813277536129 rad
7. Αληθής Ανωμαλία
cosvk = cosEk − e1 − e ⋅ cosEk
= −0.999735478251479
sinvk =√
1 − e2sinEk1 − e ⋅ cosEk
= 0.0229994244555577
vk = tan−1 ( sinvkcosvk
) = 3.11859120097031 rad
49 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
Παράδειγμα υπολογισμού της θέσης του δορυφόρου V
Στο σύστημα Αναφοράς WGS84
8. Στοιχείο (γωνία) του πλάτους
Φk = vk + ω = 1.48585882284031 rad
9. Διόρθωση στο στοιχείο του πλάτους (λόγω παρέλξεων)
δuk = cuc ⋅ cos2Φk + cus ⋅ sin2Φk = 2.04606481716781 ⋅ 10−06 rad
10. Διόρθωση στην ακτίνα (λόγω παρέλξεων)
δrk = crc ⋅ cos2Φk + crs ⋅ sin2Φk = −324.661100526309 m
11. Διόρθωση στην κλίση (λόγω παρέλξεων)
δik = cic ⋅ cos2Φk + cis ⋅ sin2Φk = −3.72050917916334 ⋅ 10−07 rad
50 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
Παράδειγμα υπολογισμού της θέσης του δορυφόρου VI
Στο σύστημα Αναφοράς WGS84
12. Διορθωμένο στοιχείο του πλάτους
uk = Φk + δuk = 1.48586086890513 rad
13. Διορθωμένη ακτίνα
rk = A ⋅ (1 − ecosEk) + δrk = 27084160.8422579 m
14. Διορθωμένη κλίση
ik = i0 + i ⋅ tk + δik = 0.959052566576957 rad
15. Συντεταγμένη X του δορυφόρου στο τροχιακό επίπεδο
X′k = rk ⋅ cosuk = 2297640.73357063 m
51 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
Παράδειγμα υπολογισμού της θέσης του δορυφόρου VII
Στο σύστημα Αναφοράς WGS84
16. Συντεταγμένη Y του δορυφόρου στο τροχιακό επίπεδο
Y′k = rk ⋅ sinuk = 26986526.5565751 m
17. Διορθωμένο μήκος του ανιόντος δεσμού
Ωk = Ω0 + (Ω − Ωe) ⋅ tk − Ωe ⋅ t0e = −34.2883313499800 rad18. Συντεταγμένη X του δορυφόρου στο WGS84
Xk = X′k ⋅ cosΩk − Y′
k ⋅ sinΩk ⋅ cosik = 3660563.16661 m19. Συντεταγμένη Y του δορυφόρου στο WGS84
Yk = X′k ⋅ sinΩk − Y′
k ⋅ cosΩk ⋅ cosik = 14329060.77863 m20. Συντεταγμένη Z του δορυφόρου στο WGS84
Zk = Y′k ⋅ sinik = 22092461.3700521 m
52 / 54
Νόμοι του Kepler GNSS orbits
Αναφορές
• Jekeli C. (2016). Geometric Reference Systems in Geodesy. Division of Geodetic Scienc,School of Earth Sciences, Ohio State University
• Δελικαράογλου Δ. (2012). Διδακτικό υλικό τουμαθήματος ”Δορυφορική Γεωδαισία”.
Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών / Τοπογράφων Μηχανικών και ΜηχανικώνΓεωπληροφορικής. Τεχνολογικό Πανεπιστήμιο Κύπρου.
• Δερμανης Α. (2012). Παρουσιάσεις του μαθήματος ”Συστήματα Αναφορας και Χρόνου”
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας, ΤΑΤΜ, ΑΠΘ• Παραδείσης Δ. (2000) Σημειώσεις δορυφορικής Γεωδαισίας. Κέντρο Δορυφόρων
Διονύσου, Τομές Τοπογραφίας ΕΜΠ• Torge W. (2000). Γεωδαισία. Πανεπιστημιακές εκδόσεις ΕΜΠ.• Seeber G. (2003). Satellite Geodesy (2nd Ed.). Walter de Gruyter, Berlin• https://gage.upc.edu/gFD/• https://www.glonass-iac.ru/en/• https://www.gps.gov/• https://www.gsc-europa.eu/
53 / 54