FF 分布分布 兩族群變方相等性檢定兩族群變方相等性檢定 變方分析變方分析 (ANOVA)(ANOVA) 試驗設計試驗設計

第十章第十章 ..FF 分布與變方分分布與變方分析析

F-Distribution and Analysis of VarianceF-Distribution and Analysis of Variance

10.1 F10.1 F 分布 分布 兩個族群變方的比值稱為兩個族群變方的比值稱為 FF 值值 即 即 若若 F=1F=1 ，即表示兩族群變方相等 。，即表示兩族群變方相等 。 而由而由 FF 值所組成之次數分布即為值所組成之次數分布即為 FF 分布。分布。 ＦＦ分布為紀念 分布為紀念 R.A. Fisher R.A. Fisher 而命名，故又稱費氏而命名，故又稱費氏

ＦＦ分布分布 (Fisher’s F distribution)(Fisher’s F distribution) 。。 若族群變方未知，而以樣品均方若族群變方未知，而以樣品均方 ( )( ) 作為變方作為變方

的估值，則的估值，則 FF 值亦可以兩樣品均方之比值表示為：值亦可以兩樣品均方之比值表示為：

2 21 2F

2 21 2( )

2 21 2F S S

2S

FF 分布分布 FF 分布曲線是根據 自由度 及 之自由分布曲線是根據 自由度 及 之自由

度 而定的一條分布曲線，故度 而定的一條分布曲線，故 FF 分布曲線分布曲線依 及 之不同而異。依 及 之不同而異。

FF 分布之機率求法，已製有右尾積分分布之機率求法，已製有右尾積分 10%10%、、 5%5%、、1%1% 之機率表之機率表 (( 附表七附表七 )) 。。

21S 2

2S1 1 1n

2 2 1n 1 2

FF 分布 分布 通常計算通常計算 FF 值時，常把值時，常把較大的均方放於分子較大的均方放於分子，而，而較小的均方放較小的均方放

於分母於分母，因此，因此 FF 值均大於值均大於 11 ，故，故 FF 值也就採用右單尾檢定。但值也就採用右單尾檢定。但若欲計算左單尾若欲計算左單尾 FF 值所發生的機率，可採用 換算。值所發生的機率，可採用 換算。

2 1

1 2

'1 , ,

, ,

1F

F

10.2 10.2 兩族群變方相等性檢定兩族群變方相等性檢定

(1)(1) 虛無假設 虛無假設 (2)(2) 對立假設 對立假設 (3)(3) 設定顯著水準 設定顯著水準 (( 單尾單尾 ) )

(4)(4) 計算 計算 ，若 表示兩變方不相等。，若 表示兩變方不相等。

0.05

2 20 1 2:H 2 2

1 1 2:H

例子例子 10.2 10.2 設下列為人工與儀器測定成年人血液中尿設下列為人工與儀器測定成年人血液中尿酸含量之記錄，是檢定兩種測定法之變異是否相同。酸含量之記錄，是檢定兩種測定法之變異是否相同。

人工人工 nn11=8=8 4.54.5 5.65.6 6.56.5 7.57.5 8.68.6 9.89.8 10.710.7 1212

儀器儀器 nn22=8=8 66 6.86.8 7.67.6 88 8.58.5 99 9.59.5 9.89.8

mg% / mlmg% / ml

mg% / mlmg% / ml

2 21 2F S S

1 2, ,F F

今實測 ，故拒絕今實測 ，故拒絕 HH00 的的假設，表示兩種尿酸測定法之變方不相等。假設，表示兩種尿酸測定法之變方不相等。

例子例子 10.210.2

0.05,7,73.883 3.787F F

2 2 2 21

1[4.5 12 (65.2) 8] 47.22 7 6.7457

8 1S

2 2 2 22

1[6 9.8 (65.2) 8] 12.16 7 1.7371

8 1S

2122

6.74573.883

1.7371

SF

S

10.4 10.4 變方分析變方分析(Analysis of Variance:ANOVA)(Analysis of Variance:ANOVA)

針對數個樣品針對數個樣品 (( 處理處理 )) 均值之比較檢定法，雖然均值之比較檢定法，雖然也可以採用兩樣品均值差異的也可以採用兩樣品均值差異的 tt 檢定檢定 (( 兩兩成對兩兩成對比較比較 )) ，但此種方式結果犯第一型錯誤機率，要，但此種方式結果犯第一型錯誤機率，要比我們設定的顯著水準比我們設定的顯著水準 ((0.050.05)) 高很多，也就是可高很多，也就是可靠性會降低。靠性會降低。

假設有四個樣品均值要互相比較，則共有 對假設有四個樣品均值要互相比較，則共有 對樣品均值差異的比較檢定，若設每對比較檢定的樣品均值差異的比較檢定，若設每對比較檢定的顯著水準為 ，即其信賴水準為 。顯著水準為 ，即其信賴水準為 。

故故 66 對樣品均值差異獨立比較結果之正確率為：對樣品均值差異獨立比較結果之正確率為：0.05

42 6C

1 0.95

6(0.95) 0.735 73.5% 26.5%，犯第一型錯誤率為 ，犯第一型錯誤率為 。 。

變方分析變方分析 (ANOVA)(ANOVA)

而採用變方分析法，可維持在 的顯著水準而採用變方分析法，可維持在 的顯著水準下，同時比較數個樣品均值的相等性問題。下，同時比較數個樣品均值的相等性問題。

應用變方分析的前提：應用變方分析的前提： 各樣品各樣品 (( 處理處理 )) 互相獨立。互相獨立。 各處理之試驗誤差應獨立各處理之試驗誤差應獨立 各處理之試驗誤差應同質各處理之試驗誤差應同質 ((homogeneityhomogeneity)) 。。 並且服從常態分佈。並且服從常態分佈。

0.05

變方分析之原理變方分析之原理 一般試驗結果難免會發生誤差一般試驗結果難免會發生誤差 ((errorerror)) ，有些誤差是，有些誤差是

可以控制，而有些則是不明原因所造成的。可以控制，而有些則是不明原因所造成的。 我們以下面的例子來說明試驗資料之成因、試驗誤差我們以下面的例子來說明試驗資料之成因、試驗誤差

以及變方分析之原理。以及變方分析之原理。 假設有一老祖父過假設有一老祖父過 9696 歲生日，他將美金歲生日，他將美金 9696 元分給元分給1212 位孫子當零用錢，為求公平所以每人得位孫子當零用錢，為求公平所以每人得 88 元，不元，不過分配後祖父覺得這樣不妥，因為過分配後祖父覺得這樣不妥，因為 1212 位孫子中，四位孫子中，四位為研究生、四位為大學生、另四位為中學生，根據位為研究生、四位為大學生、另四位為中學生，根據不同年齡層消費會不同，因此祖父決定再重新分配，不同年齡層消費會不同，因此祖父決定再重新分配，如下表所示：如下表所示：

組別組別(( 處處理理 ))

最初最初所得所得

再分配再分配所得所得

再分配得再分配得失失

賭博後賭博後所得所得

賭博時得賭博時得失失

最後與最初最後與最初所得之差所得之差

中中學學(A)(A)

生生

88888888

66666666

-2-2-2-2-2-2-2-2

7733

101044

+1+1-3-3+4+4-2-2

-1-1-5-5+2+2-4-4

大大學學(B)(B)

生生

88888888

77777777

-1-1-1-1-1-1-1-1

4410106688

-3-3+3+3-1-1+1+1

-4-4+2+2-2-200

研研究究(C)(C)

生生

88888888

1111111111111111

+3+3+3+3+3+3+3+3

1010141499

1111

-1-1+3+3-2-200

+2+2+6+6+1+1+3+3

合計合計 9696 9696 00 9696 0,0,00,0,0 00

x ix i it x x ijx ij ij ie x x ij ijd x x

觀測值觀測值

處處理理

總平總平均值均值

處理平處理平均值均值

處理處理效應效應

觀測觀測值值

試驗試驗誤差誤差

總總差異差異

AA

飼飼料料

88888888

66666666

-2-2-2-2-2-2-2-2

7733

101044

+1+1-3-3+4+4-2-2

-1-1-5-5+2+2-4-4

BB

飼飼料料

88888888

77777777

-1-1-1-1-1-1-1-1

4410106688

-3-3+3+3-1-1+1+1

-4-4+2+2-2-200

CC

飼飼料料

88888888

1111111111111111

+3+3+3+3+3+3+3+3

1010141499

1111

-1-1+3+3-2-200

+2+2+6+6+1+1+3+3

合計合計 9696 9696 00 9696 0,0,00,0,0 00

x ix i it x x ijxij ij ie x x ij ijd x x

今以三種飼料今以三種飼料 1212隻天竺鼠增重比較試驗結果代替隻天竺鼠增重比較試驗結果代替

( ) ( )ij i ij i ij ix x t e x x x x x

10.4.3 10.4.3 平方和劃分平方和劃分( ) ( )ij iij ix x xx xx

( ) ( )ij iij ix x x xx x

1,2, , ( )i m 處理數

1,2, , ( )j n 試驗單位數

兩邊取平方後總和為：兩邊取平方後總和為：2

1 1

2

1 1

1 1

2

2

1

( )

[( ) ( ) ( )

( )

]

m n

ij ii j

m

m n

iji j

i

m n

i ijj

i

ii

xx x

x x

x x

n xx

x

總平方和總平方和(total sum of squares)(total sum of squares)

SSt SSST S E 處理平方和處理平方和(treatment sum of (treatment sum of

squares)squares)

== ++ 誤差平方和誤差平方和(error sum of squares(error sum of squares))

各項平方和其均方之求法各項平方和其均方之求法2

1 1

( )

1 1

m n

iji j

x xSST

MSTmn mn

總均方總均方

2

1

( )

1 1

m

ii

n x xSSt

MStm m

2

1 1

( )

( 1) ( 1)

m n

ij ii j

x xSSE

MSEm n m n

處理均方處理均方

誤差均方誤差均方

FMSt

MSE

變方分析表變方分析表變因變因

(Source of (Source of Variation)Variation)

自由度自由度(DF)(DF)

平方和平方和(SS)(SS)

均方均方(MS)(MS)

實測實測 FF 值值 理論理論 FF值值

處理處理(t)(t)

誤差誤差(E)(E)

m-1m-1

m(n-1)m(n-1)

SStSSt

SSESSE

MStMSt

MSEMSE

F=Mst /MSEF=Mst /MSE

總和總和(T)(T)

mn-1mn-1 SSTSST實測實測 FF 值是以處理均方值是以處理均方 ((MStMSt)) 除以誤差均方除以誤差均方 ((MSEMSE))而得，根據自由度 及 查得顯著水而得，根據自由度 及 查得顯著水準 為準 為 0.050.05或或 0.010.01之之 FF 值，若實測 則表示值，若實測 則表示處理均值不相等，處理效應存在，反之則不存在。或處理均值不相等，處理效應存在，反之則不存在。或以以 PP 值表示，若值表示，若 PP 小於小於 0.050.05或或 0.010.01 ，則處理效應存，則處理效應存在。在。

1 1m 2 ( 1)m n

1 2, ,F F

查表

處理均方期望值與誤差均方期望值之比值處理均方期望值與誤差均方期望值之比值

若若 F=1, F=1,

若若 F>1F>1,, 至少有一對處理平均值不等至少有一對處理平均值不等

2 2

2

( ) /( 1)( )

( )i e

e

n mE MStF

E MSE

21 2( ) 0, ...i m 即 則

2( ) 0,i i j for i j 即 則

0 1 2: ... mH

例子例子 10.3 10.3 假設有假設有 AA 、Ｂ、Ｃ三種食品進行天竺鼠、Ｂ、Ｃ三種食品進行天竺鼠飼養，每種食品飼養四隻，經過兩週後每隻之增飼養，每種食品飼養四隻，經過兩週後每隻之增重重 (( 克克 )) 如下記錄，試以變方分析法檢定三種食如下記錄，試以變方分析法檢定三種食品品質是否有差異。品品質是否有差異。

食品食品 1 2 3 41 2 3 4 和和 平均值平均值AA

BB

CC

7 3 10 47 3 10 4

4 10 6 84 10 6 8

10 14 9 11 10 14 9 11

2424

2828

4444

66

77

1111

和和 9696

影響天竺鼠影響天竺鼠 22 週增重變異的原因週增重變異的原因 (( 變變因因 ))

已知變因已知變因 ((Known Variation)Known Variation) 飼料品牌飼料品牌

未知變因未知變因 ((Unknown Variation)Unknown Variation) 試驗誤差試驗誤差 ((Experimental Error)Experimental Error) 其他所有可能的原因其他所有可能的原因

天竺鼠起始體重天竺鼠起始體重 測量誤差測量誤差 試驗環境試驗環境……

(1)(1) 虛無假設 虛無假設 (2)(2) 對立假設 對立假設 (3)(3) 設定顯著水準 設定顯著水準 (( 單尾單尾 ) )

(4)(4) 計算計算 FF 值值首先求各效應平方和：首先求各效應平方和：

0.05 0 1 2 3:H 1 : i jH

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1

( ) 7 3 11 96 12

888 768 120

m n m n

ij iji j i j

S x x nT xS x m

2 2 2 2 2 2 2

1 1

1 1( ) (24 28 44 ) 96 12

4

824 768 56

m m

i ii i

n x x x x mSt nSn

120 56 64SStSSS TS E

三種食品對天竺鼠增重檢定變方分析表三種食品對天竺鼠增重檢定變方分析表

變因變因(S.V.)(S.V.)

自由度自由度(DF)(DF)

平方和平方和(SS)(SS)

均方均方(MS)(MS)

實測實測 FF值值

FF 值機率值機率0.05 0.010.05 0.01

食品食品 (t)(t)

誤差誤差 (E)(E)

3-1=23-1=2

11-2=911-2=9

5656

6464

2828

7.117.11

3.93753.9375 4.26 8.024.26 8.02

總和總和 (T)(T) 12-1=1112-1=11 120120

實測 實測 ，故接受，故接受 HH00 的假設，表的假設，表示三種食品品質相同。示三種食品品質相同。

0.05,2,93.9375 4.26F F

例子例子 10.4 10.4 假設有假設有 AA 、Ｂ、Ｃ三種食品進行天竺鼠、Ｂ、Ｃ三種食品進行天竺鼠飼養，每種食品飼養四隻，經過兩週後每隻之增飼養，每種食品飼養四隻，經過兩週後每隻之增重重 (( 克克 )) 如下記錄，試以變方分析法檢定三種食如下記錄，試以變方分析法檢定三種食品品質是否有差異。品品質是否有差異。

食品食品 1 2 3 41 2 3 4 和和 平均值平均值AA

BB

CC

7 8 5 47 8 5 4

9 8 6 59 8 6 5

10 13 11 10 10 13 11 10

2424

2828

4444

66

77

1111

和和 9696

(1)(1) 虛無假設 虛無假設 (2)(2) 對立假設 對立假設 (3)(3) 設定顯著水準 設定顯著水準 (( 單尾單尾 ) )

(4)(4) 計算計算 FF 值值首先求各效應平方和：首先求各效應平方和：

0.05 0 1 2 3:H 1 : i jH

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1

( ) 7 8 10 96 12

850 768 82

m n m n

ij iji j i j

SST x x x x mn

2 2 2 2 2 2 2

1 1

1 1( ) (24 28 44 ) 96 12

4

824 768 56

m m

i ii i

n x x x x mSt nSn

82 56 26SStSSS TS E

三種食品對天竺鼠增重檢定變方分析表三種食品對天竺鼠增重檢定變方分析表變因變因(S.V.)(S.V.)

自由度自由度(DF)(DF)

平方和平方和(SS)(SS)

均方均方(MS)(MS)

實測實測 FF 值值 FF 值機率值機率0.05 0.010.05 0.01

食品食品 (t)(t)

誤差誤差 (E)(E)

3-1=23-1=2

11-2=911-2=9

5656

2626

2828

2.92.9

9.6923**9.6923** 4.26 8.024.26 8.02

總和總和 (T)(T) 12-1=1112-1=11 8282

實測 實測 ，故拒絕，故拒絕HH00 的假設，表示三種食品品質不完全相同。記兩個的假設，表示三種食品品質不完全相同。記兩個星號星號 ****通常表示處理均值間之差異達通常表示處理均值間之差異達 1%1% 顯著水準，顯著水準，一個星號一個星號 **表示處理均值間之差異達表示處理均值間之差異達 5%5% 顯著水準。顯著水準。

0.01,2,9[ ( ) 0.0059.69 ]23 8.027F F FP

10.4.6 10.4.6 成對處理均值間差異比成對處理均值間差異比較較

一般一般 Fisher Fisher 的最小顯著差異法的最小顯著差異法 (LSD)(LSD) Duncan Duncan 的多變域檢定法的多變域檢定法 (DMRT)(DMRT) Scheffe Scheffe 的的 SS 值檢定法等多種值檢定法等多種 Scheffe Scheffe 之臨界值比之臨界值比 LSDLSD或或 DMRTDMRT都大，都大，

兩處理均值比較時，其差異值較不易達顯著兩處理均值比較時，其差異值較不易達顯著水準，適合於較嚴格之比較測驗。水準，適合於較嚴格之比較測驗。

S>DMRT>LSDS>DMRT>LSD

1. Fisher’s 1. Fisher’s 最小顯著差異最小顯著差異((Least Significance Least Significance Difference, LSD)Difference, LSD)

若實測處理若實測處理 ii 與與 i´i´ 之間的差異比理論的之間的差異比理論的LSDLSD 大大 ,, 表示處理表示處理 ii 與與 i´i´ 之平均值間有顯之平均值間有顯著差異著差異

2

1 1, i iE n ndfLSD t MSE

例：飼料與天竺鼠兩週增重例：飼料與天竺鼠兩週增重

0.05/ 2,9

1 1 1 10.05,9 4 4

9 0.05 2.262

2.262 2. 29 2.7 38i i

E

n n

df t

LSD t MSE

處理 均值處理 均值 實測差異值實測差異值C 11C 11 --B 7B 7 44** - -A 6A 6 55* * 1 - 1 -

鄧氏新多變域測驗法鄧氏新多變域測驗法Duncan’s New Multiple Range Test(DMRT)Duncan’s New Multiple Range Test(DMRT)

其臨界值之計算式如下其臨界值之計算式如下 :(:(見附表見附表 8)8)

r=2,r=2,

r=3,r=3,

, , /r rD Q MSE n

2 2,0.05/ 2,9 2.9 / 4 3.20 2.9 / 4 2.7247D Q

3 3,0.05/ 2,9 2.9 / 4 3.34 2.9 / 4 2.8439D Q

處理處理 均值 實測差異值均值 實測差異值 ------------------------------------------------------------------------------ C 11 -C 11 - B 7 4B 7 4** - - A 6 5A 6 5** 1 - 1 - --------------------------------------------------------------------------------

** 號表示兩處理均值間的差異達到號表示兩處理均值間的差異達到 5%5%顯著水準顯著水準

2 32.7247, 2.8439D D

雪菲雪菲 SS 法法 ((Scheffe’s S MethodScheffe’s S Method))

兩處理均值差之臨界值計算式兩處理均值差之臨界值計算式 ::

1 2, ,1 2

1 1( 1) ( )S m F MSE

n n

0.05 0.05,2,9

1 1(3 1) 2.9( )

4 4

2 4.26 2 2.9 / 4 3.5148

S F

處理處理 均值 實測差異值均值 實測差異值 ------------------------------------------------------------------------------ C 11 -C 11 - B 7 4B 7 4* * - - A 6 5A 6 5* * 1 - 1 - --------------------------------------------------------------------------------.05 3.5148S

BonferroniBonferroni 多重比較方法多重比較方法

顯著水準：顯著水準： αα，兩兩比較個數：，兩兩比較個數： kk 調整顯著水準： 調整顯著水準： αα*=*=αα/k/k Bonferroni(1-Bonferroni(1-αα)%)% 信賴區間信賴區間

決策方法：若處理決策方法：若處理 ii 與與 i´i´之之Bonferroni(1-Bonferroni(1-αα)%)% 信賴區間不包括信賴區間不包括 00　　處理處理 ii 與與 i´i´ 之平均值間有顯著差異之平均值間有顯著差異

1 1. . /2k, E i ii i df n nx x t MSE

補充

例：飼料與天竺鼠兩週增重例：飼料與天竺鼠兩週增重

1 1 1 10.05,9 0.0175,9 4 4

9 0.10 3 0.1/ 3 0.033

2.51 2.51 7.11 3.46i i

E

n n

df

t t MSE

比較比較A VS. BA VS. B (-5.73,3.73)(-5.73,3.73)A VS. CA VS. C (-9.73,-0.27)*(-9.73,-0.27)*B VS. CB VS. C (-8.73,0.73)(-8.73,0.73)

TukeyTukey 忠誠顯著差異值忠誠顯著差異值((Honest SignificanceHonest Significance

Distance,HSD)Distance,HSD) ＱＱ αα, m, dfE, m, dfE

決策方法：若處理決策方法：若處理 ii 與與 i´i´之之 HSDHSD 不包括不包括 00　　處理處理 ii 與與 i´i´ 之平均值間有顯著差異之平均值間有顯著差異

1 1. . , , E i ii i m df n nx x q MSE

補充

例：飼料與天竺鼠兩週增重例：飼料與天竺鼠兩週增重

0.1,3,9

1 1 1 10.1,3,9 4 4

3 9 0.10 3.32

3.32 7.11 6.26i i

E

n n

m df q

q MSE

比較比較 HSDHSD

A VS. BA VS. B (-7.26,5.26)(-7.26,5.26)A VS. CA VS. C (-11.26,1.26)(-11.26,1.26)B VS. CB VS. C (-10.26,2.26)(-10.26,2.26)

一個好的研究必須要有一個好的研究必須要有嚴謹的設計嚴謹的設計，，客觀的試驗過程客觀的試驗過程及及合理的推論合理的推論。。因此試驗時必須遵守下列三個原則因此試驗時必須遵守下列三個原則

•設置重複（ set up replication）•隨機排列（ random arrangement）•誤差控制（ error control）

10.510.5 試驗設計試驗設計 (experimental (experimental design)design)

設置重複設置重複 同一處理同一處理 (( 如食品、藥品、療法、品種如食品、藥品、療法、品種 )) 所使用所使用的試驗單位數即為重複。的試驗單位數即為重複。

主要作用是估算試驗誤差以備統計推論之用。主要作用是估算試驗誤差以備統計推論之用。 若試驗只做一次若試驗只做一次 (( 重複一次重複一次 )) ，則無法估算試驗，則無法估算試驗誤差，也就無法做統計推論。誤差，也就無法做統計推論。

重複次數愈多，理論上試驗誤差愈小，試驗結果重複次數愈多，理論上試驗誤差愈小，試驗結果會愈準確可靠。會愈準確可靠。

一般來說，計量資料，如果誤差控制得好，設計一般來說，計量資料，如果誤差控制得好，設計均衡，均衡， 10~2010~20 次即可，甚至還可小一些；而計數次即可，甚至還可小一些；而計數資料，即使誤差控制得好，也需要資料，即使誤差控制得好，也需要 30-10030-100 次次左左右。右。

隨機排列隨機排列 哪一個處理被安排於哪個試驗單位要機會均等，哪一個處理被安排於哪個試驗單位要機會均等，不能有人為的主觀偏見。不能有人為的主觀偏見。

隨機排列與重複相結合，試驗數據就能估算無偏隨機排列與重複相結合，試驗數據就能估算無偏的的 ((unbiasedunbiased)) 試驗誤差，統計推論才合理可靠。試驗誤差，統計推論才合理可靠。

隨機法有隨機法有 :: 拋硬幣拋硬幣 ,, 擲骰子擲骰子 ,, 抽籤抽籤 ,, 利用隨機數利用隨機數字表字表

誤差控制誤差控制

誤差來源有兩種誤差來源有兩種 (( 見見 2.72.7節節 ))系統誤差系統誤差（（ systematic errorsystematic error ）） (( 知道原因的知道原因的誤差誤差 ,, 有方向有方向 ))隨機誤差隨機誤差（（ random errorrandom error ）） (( 不知道原因的不知道原因的誤差誤差 ))

10.5.110.5.1 完全隨機設計完全隨機設計((CRDCRD)) ((one-way ANOVAone-way ANOVA))

採用本設計的條件採用本設計的條件 ((本設計只有隨機誤差本設計只有隨機誤差 )) 各處理各處理 (( 如以如以 AA 、、 BB 、、 CC 代表三種食品、藥品代表三種食品、藥品 ))所使用的試驗材料要所使用的試驗材料要同質同質 (( 或同時或同環境或同時或同環境 )) 進進行試驗行試驗

各處理要各處理要隨機排列隨機排列如圖：如圖：

本設計之優點：試驗最簡單，試驗結果效力最高，本設計之優點：試驗最簡單，試驗結果效力最高，適合任意處理數及重複數的試驗。適合任意處理數及重複數的試驗。

[[例例 ] ] 設今有設今有 A,B,CA,B,C三種營養食品三種營養食品 ,,以老鼠為試以老鼠為試驗材料驗材料 ,,每種食品飼養每種食品飼養 44 隻老鼠隻老鼠 (4(4重複重複 ),),其試驗其試驗

設計圖及一個月後之增重設計圖及一個月後之增重 (( 克克 )) 如下圖如下圖

B 2.0 B 2.0 A 1.4A 1.4 C 2.1C 2.1 A 2.0A 2.0

C 2.6C 2.6 B 1.8B 1.8 A 1.9A 1.9 C 2.8C 2.8

B 2.4B 2.4 C 2.5C 2.5 B 2.2B 2.2 A 1.5A 1.5

資料整理資料整理 -------------------------------------------------------------------------------------------- 處理 觀測值 處理 和 處理 觀測值 處理 和

處理均值處理均值 ---------------------------------------------------------------------------------------------- A 1.4 1.9 2.0 1.5 6.8 1.7A 1.4 1.9 2.0 1.5 6.8 1.7 B 2.0 2.4 1.8 2.2 8.4 2.1B 2.0 2.4 1.8 2.2 8.4 2.1 C 2.6 2.8 2.5 2.1 10.0 2.5C 2.6 2.8 2.5 2.1 10.0 2.5 ----------------------------------------------------------------------------------------------------

25.225.2ij i ijx 數學模式 1,2..., ( )

1,2,..., ( )

i a

j n

處理數重複數

各種平方和之計算各種平方和之計算

SST=SST=

SSt=SSt=

SSESSE=SST-SSt=2.00-1.28=.72=SST-SSt=2.00-1.28=.72

2 2 2 21.4 1.9 ... 2.1 25.2 /12 54.92 52.92 2.00

2 2 2 26.8 / 4 8.4 / 4 10.0 / 4 25.2 /12 54.20 52.92 1.28

變方分析表變方分析表

變 因 自由度 平方和 均方 實測變 因 自由度 平方和 均方 實測 FF 值 理論值 理論 FF 值值(0.05)(0.05)

-------------------------------------------------------------------------------------------------- 食品食品 ((t) 3-1=2 1.28 t) 3-1=2 1.28 0.64 8.0 4.26 0.64 8.0 4.26 誤差誤差 ((E) 11-2=9 .72 .08 E) 11-2=9 .72 .08 --------------------------------------------------------------------------------------------------

總計總計 ((T) 12-1=11 2.00T) 12-1=11 2.00

三種參試食品品質間有顯著差異三種參試食品品質間有顯著差異

*

處理均值間比較處理均值間比較

處理 均值 實測差異值處理 均值 實測差異值 ------------------------------------------------------------------------ C 2.5 -C 2.5 - B 2.1 .4 -B 2.1 .4 - A 1.7 .A 1.7 .8 8 .4 - .4 - ------------------------------------------------------------------------ 比較結果比較結果 CC 與與 B,BB,B與與 AA 無差異無差異 ,,但但 CC 與與 AA 則有差異則有差異

0.05/ 2 0.05/ 2,9 2 / 2.262 2 0.08 / 4 0.4524LSD t MSE n

*

10.5.210.5.2 隨機完全區集設計隨機完全區集設計((RCBDRCBD) ) ( (two-way ANOVAtwo-way ANOVA))

採用本設計條件採用本設計條件 試驗材料為試驗材料為異質異質 (( 或異時或異環境或異時或異環境 )) ，但可明顯分成幾，但可明顯分成幾

組，每組集合數個性質相同的試驗單位而成一組，每組集合數個性質相同的試驗單位而成一區集區集((blockblock)) 。。

各區集內之試驗單位數必須等於處理數各區集內之試驗單位數必須等於處理數 在各區集內參試處理要在各區集內參試處理要隨機排列隨機排列，，形成同源配對形成同源配對

隨機完全區集設計隨機完全區集設計 ((RCBDRCBD))

本設計優點：本設計優點： 可剔除試驗材料（或時間或環境）不同時之系可剔除試驗材料（或時間或環境）不同時之系統誤差，以減小試驗誤差。統誤差，以減小試驗誤差。

任意處理數及區集數均可任意處理數及區集數均可。。本設計缺點：本設計缺點： 若試驗材料為同質，其試驗效果不如完全隨機若試驗材料為同質，其試驗效果不如完全隨機設計設計 (CRD(CRD））。。

試驗結果資料有缺值時試驗結果資料有缺值時，資料分析比較複雜。，資料分析比較複雜。

例子例子 10.710.7 假設有假設有 AA 、Ｂ、Ｃ、、Ｂ、Ｃ、 DD 四種血液凝結處理方法，四種血液凝結處理方法，如選取五位健康成人，每人抽血後分成四份，並隨機分配如選取五位健康成人，每人抽血後分成四份，並隨機分配四種凝血處理方法，所得血液凝固時間如下圖，試比較何四種凝血處理方法，所得血液凝固時間如下圖，試比較何種處理方法較佳。種處理方法較佳。

試驗設計圖試驗設計圖

B 9.4B 9.4 C 9.9C 9.9 A 8.6A 8.6 C 8.9C 8.9 D 9.5D 9.5

A 8.4A 8.4 D D 14.414.4

C 10.2C 10.2 B 9.8B 9.8 B 9.2B 9.2

D D 12.212.2

A 10.8A 10.8 B 9.8B 9.8 D D 12.012.0

A 8.4A 8.4

C 9.8 C 9.8 B 15.2B 15.2 D D 9.89.8

A 8.8A 8.8 C 8.5C 8.5

I II III IV V

資料整理資料整理

區集區集處理處理

Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ 處理和處理和

AA

BB

CC

DD

8.4 10.8 8.6 8.8 8.48.4 10.8 8.6 8.8 8.4

9.4 15.2 9.8 9.8 9.29.4 15.2 9.8 9.8 9.2

9.8 9.8 10.2 8.9 8.59.8 9.8 10.2 8.9 8.5

12.2 14.4 9.8 12.0 9.512.2 14.4 9.8 12.0 9.5

45.045.0

53.453.4

47.347.3

57.957.9區集和區集和 39.8 50.3 38.4 39.5 35.639.8 50.3 38.4 39.5 35.6 203.6=203.6=

ijx

jx

ix

x

ij i j ijx 數學模式1,2,..., ( )

1, 2,..., ( )

i a

j n

處理數區集數

(1)(1) 虛無假設 虛無假設 (2)(2) 對立假設 對立假設 (3)(3) 設定顯著水準 設定顯著水準 (( 單尾單尾 ) (4)) (4) 計算計算 FF 值值首先求各效應平方和：首先求各效應平方和：

0.05 0 1 2 3 4:H 1 : i jH

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1

( ) 8.4 9.5 203.6 20

68.672

m n m n

ij iji j i j

x x xSST x mn

2 2 2

1 1

2 2 2

1( )

1(45.0 57.9 ) 203.6 20 20.604

5

m m

i ii i

n x x x x mnSSn

t

16.641SSB SStS TS SSE

2 2 2

1 1

2 2 2

1( )

1(39.8 35.6 ) 203.6 20 31.427

4

n m

j jj i

m x x x x mnSSm

B

雙向 雙向 變方分析表變方分析表變因變因(S.V.)(S.V.)

自由度自由度(DF)(DF)

平方和平方和(SS)(SS)

均方均方(MS)(MS)

實測實測 FF 值值 FF 值機率值機率0.05 0.010.05 0.01

區集區集 (B)(B)處理處理 (t)(t)誤差誤差 (E)(E)

5-1=45-1=44-1=34-1=3

19-7=1219-7=12

31.42731.42720.60420.60416.64116.641

7.85687.85686.86806.86801.38681.3868

5.665 4* *5.665 4* *4.9524* 4.9524*

3.26 5.41 3.26 5.41

3.49 5.953.49 5.95

總和總和 (T)(T) 20-1=1920-1=19 68.67268.672

實測 實測 ，故拒絕，故拒絕 HH00 的假設，的假設，表示四種凝血處理方法有差別。表示四種凝血處理方法有差別。

0.05,3,124.9524 3.49F F

成對處理均值間差異比較成對處理均值間差異比較

處理均值間差異比較表處理均值間差異比較表 處理 均值 實測差異值處理 均值 實測差異值 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- D 11.58 -D 11.58 - B 10.68 0.90 -B 10.68 0.90 - C 9.46 C 9.46 2.122.12 1.22 - 1.22 - A 9.00 A 9.00 2.58 1.682.58 1.68 0.46 - 0.46 - ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ DD 與與 B,AB,A與與 CC 無差異無差異 ,,但但 DD 與與 BB 比比 AA 與與 CC ,, 血液凝固時間血液凝固時間長長

0.05/ 2,12

2 2 1.38682.179 1.6229

5

MSELSD t

n

** *

若改為單向 若改為單向 變方分析變方分析 ((CRD)CRD)

變因變因(S.V.)(S.V.)

自由度自由度(DF)(DF)

平方和平方和(SS)(SS)

均方均方(MS)(MS)

實測實測 FF 值值 FF 值機率值機率0.05 0.010.05 0.01

處理處理 (t)(t)誤差誤差 (E)(E)

4-1=34-1=319-7=1619-7=16

20.60420.60448.06848.068

6.86806.86803.00423.0042

55

2.28612.2861 3.24 5.293.24 5.29

總和總和 (T)(T) 20-1=1920-1=19 68.67268.672

實測 實測 ，故接受，故接受 HH00 的假設，的假設，表示四種凝血處理方法無差別表示四種凝血處理方法無差別 ,,其原因是誤差均方太其原因是誤差均方太大之故。大之故。

0.05,3,162.2861 3.24F F

10.6 10.6 族群容許區間族群容許區間 ((ToleranceTolerance Interval)Interval)

2,X N 2 及 已知時

範圍範圍 信賴水準信賴水準((μμ-1.645-1.645σσ, , μμ+1.645+1.645σσ))

90%90%

((μμ-1.96-1.96σσ, , μμ+1.96+1.96σσ))

95%95%

((μμ-2.58-2.58σσ, , μμ+2.58+2.58σσ))

99%99%

族群中族群中 95%95%的觀測值會落在的觀測值會落在 ((μμ-1.96-1.96σσ, , μμ+1.96+1.96σσ)) 之間之間

族群均值及變方未知之容許區間族群均值及變方未知之容許區間

μμ及及 σσ22未知時必須修正為未知時必須修正為 κκ 值，替代標準常態百分位值，替代標準常態百分位

κκ 值隨樣品大小，信心水準值隨樣品大小，信心水準 (1-(1-γγ)) 與包含率與包含率 (1-(1-αα)) 而異，而異，見見 P.490-492 P.490-492 附表附表 1313

所得的容許區間：所得的容許區間： 吾人有吾人有 (1-(1-γγ)%)% 信心水準，族群中信心水準，族群中 (1-(1-αα)%)%觀測值介觀測值介於　　　　　　　之間於　　　　　　　之間

應用於品管方面： 應用於品管方面： (1-(1-γγ)%)% 信心保證信心保證 (1-(1-αα)%)%產品會在產品會在　　　　　　 　　　　　　

之間之間　　應用於生物特性正常值範圍應用於生物特性正常值範圍

;

, ,

x s

x s x s

所得 稱為容許區間

,x s x s

,x s x s

例：某醫院３０位新生兒血液中含鈣量例：某醫院３０位新生兒血液中含鈣量 ((mgmg%)%)

[[ 例例 10.12]10.12]

10.5 0.86

90% 95%

1 0.9 1 0.95 2.417

10.5 2.417 0.86 10.5 2.08

8.42,12.58

90% 95%

(8.42,12.58)

x s

x s

求有 信心族群中 新生兒血液含鈣量的範圍- -

吾人有 信心族群 新生兒血液中含鈣量在之間

~The End~~The End~