Институт ИВТИ Направление подготовки 27.04.04...

Институт ИВТИ

Направление подготовки 27.04.04 Управление в технических системах

Банк заданий по специальной части вступительного испытания в

магистратуру

Задание экзаменационного билета № 6 (5 баллов)

Тема 1 Основные понятия и принципы управления

Задание 6.1 (теоретическое)

Основные понятия теории управления: управление, автоматическое управление, объект

управления, цель управления, система управления. Типы воздействий на объект

управления.


Основные понятия теории управления. Классификация систем автоматического



Принципы автоматического управления: по возмущению и комбинированный; их

преимущества и недостатки.


Принцип автоматического управления по отклонению; его преимущества и недостатки.

Тема 2 Устойчивость линейных непрерывных систем автоматического управления

Задание 6.5 (задача)

Исследовать на устойчивость замкнутую линейную непрерывную систему

автоматического управления с помощью критерия Гурвица, если передаточная функция

разомкнутой системы имеет вид:

1) 4

1 2 3

(1 )( )

(1 )(1 )(1 )p

K T pW p

T p T p T p

, 10K ,

1 0,1T , 2 0,5T ,

3 1T , 4 0,01T ;

2) 2

100( )

(2 2 1)(1 )pW p

p p p

;

3) 2

10(1 )( )

(1 2 )p

pW p

p p

;

4) 1 2

10( )

(1 )(1 )pW p

p T p T p

,

1 1T , 2 0,1T ;

5) 2

1

(1 )( )

(1 )(1 )p

K T pW p

p p T p

, 50K ,

1 0,1T , 2 0,5T .


Критерий Льенара-Шипара устойчивости линейных непрерывных систем

автоматического управления.


Критерий Рауса устойчивости линейных непрерывных систем автоматического


Пример выполнения задания 6.5

Исследовать на устойчивость замкнутую линейную непрерывную систему

автоматического управления с помощью критерия Гурвица, если передаточная функция

разомкнутой системы имеет вид:

1 2 3

( )(1 )(1 )(1 )

p

KW p

pT pT pT

, 10K ,

1 2 3T T T .

Решение:

Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:

з

Определим передаточную функцию замкнутой системы и запишем по ней

характеристический полином замкнутой системы:

где , , , .

Для устойчивости системы 3-го порядка по Гурвицу необходимо и достаточно,

чтобы были положительны все коэффициенты характеристического полинома и

определитель Гурвица второго порядка.

Положительность коэффициентов выполняется.

Составим определитель Гурвица:

1 3

0 2

1 3

0

0 .

0

a a

a a

a a

Для устойчивости системы должно выполнятся условие:

2 1 2 0 3 0a a a a ,

что эквивалентно

1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 3(k 1)T T T T T T T T T T T T .

(*)

Предельным называется такой коэффициент усиления, при котором замкнутая

система находится на границе устойчивости – . Он находится из условия равенства

нулю определителя 2-го порядка (неравенство (*) обращается в равенство):

3 31 2

3 3 2 1

T TT Tk 1 1 1

T T T Tпред

.

В рассматриваемой задаче , а значит, k 8пред . Таким образом, система

неустойчива, так как k 10 kпред .

Ответ: система автоматического управления неустойчива.


Тема 1 Модели описания систем и их преобразование


Понятие математической модели системы автоматического управления. Формы

представления математических моделей: модель «вход-выход» и модель в форме

уравнений состояния. Связь между указанными формами представления моделей.

Тема 2 Характеристики линейных динамических звеньев и систем


Понятие динамического звена. Дифференциальные уравнения и передаточные функции

типовых динамических звеньев.


Временные характеристики линейных динамических звеньев и систем (переходная и

весовая функции). Примеры.


Построить асимптотическую ЛАЧХ и ЛФЧХ для системы с передаточной функцией:

1) 10(1 )

( )(1 5 )(1 0,1 )

pW p

p p

,

2) 2

10(1 3 )( )

2 1

pW p

p p

,

3) 2

10(1 )( )

( 5 6)(1 0,1 )

pW p

p p p

,

4) 100(1 )

( )(1 3 )(1 2 )

pW p

p p

,

5) 1000(1 )

( )(1 10 )(1 0,1 )

pW p

p p p

.


Построить АФХ (годограф) системы с заданной передаточной функцией

1) 10(1 )

( )(1 5 )(1 0,1 )

pW p

p p

,

2) 2

10(1 3 )( )

2 1

pW p

p p

,

3) 2

10(1 )( )

( 5 6)(1 0,1 )

pW p

p p p

,

4) 100(1 )

( )(1 3 )(1 2 )

pW p

p p

,

5) 1000(1 )

( )(1 10 )(1 0,1 )

pW p

p p p

.


Построить асимптотическую ЛАЧХ и ЛФЧХ для системы с передаточной функцией2

2

2 2

1 3 3

(1 )( )

(1 )( 2 1)

K T pW p

p T p T p T p

, 100K ,

1 2T , 2 0,5T ,

3 0,02T , 0,5 .

Решение:

Для построения частотных характеристик перейдем к комплексному коэффициенту

усиления, заменив p на j и представив каждый множитель в полярной системе координат

как амплитуду и соответствующую ей фазу:

0 2

34 1

222

0 22

2 2

1 3 3 4 1 3

1

1 1 2

j j

jj j

A e A eK( j T )W( j )

j ( j T ) ( T j T ) A e A e A e

Запишем выражения для амплитуды и фазы комплексного коэффициента усиления

системы:

2 2 2

2

2 2 2 2 2 2 2 2

1 3 3

( 1 )( )

1 (1 ) 4

K TA

T T T

2 122

( ) arctg T arctg T

где - задается выражением

3

2 2

3 3

3

2 2

3 3

2 1

1

2 1

1

Tarctg

T T

Tarctg

T T

.

100K , 1 2T ,

2 0,5T , 3 0,02T , 0,5 .

Строим ЛАЧХ, ЛФЧХ.

Запишем выражение для точной ЛАЧХ, прологарифмировав амплитудно-

частотную характеристику системы )(A в порядке включения звеньев:

2 2

1 2

2 2 2 2 2 2

3 3

( ) 20 lg ( ) 20 lg 20 lg 20 lg 1 ( ) 40 lg 1 ( )

20 lg (1 ) 4 ;

L A K T T

T T

Запишем частоты сопряжения в порядке их возрастания:

11

1 0.5T

22

1 2T

33

1 50T

и рассмотрим участки асимптотической ЛАЧХ, причем число участков равно числу

постоянных времени плюс 1, т.е равно 4-м:

0-й участок: 1111321

1 TTT

T

0( ) 20lg 20lgL K

1-й участок:

1 2

1 2 3

1 1 1

T T T

1 2 3

1 2 3

1 1 1; ;

1; 1; 1

T T T

T T T

1

11101

lg20lg40

lg20lg20lg20lg20lg20lg20lg20lg20)(

T

K

TKTKTLL

2-ой участок:

32

321

111

TTT

1;1;1 321 TTT

2

22 1 2 1 2

1

40 20 20 20 40 20 20KT

L ( ) L ( ) lg T lg K lg lg T lg T lg lgT

3-й участок:

2

23 2 3 2

1 3

40 20 40KT

L ( ) L ( ) lg T lg lgTT

.

Таким образом, видно, что асимптотическая ЛАЧХ состоит из 4-х прямолинейных

участков с наклонами, определенными для каждого участка в отдельности.

Для построения ЛФЧХ запишем выражение для фазочастотной характеристики:

1 2( ) 22

arctg T arctg T

,

где

3

2 2

3 3

3

2 2

3 3

2 1

1

2 1

1

Tarctg

T T

Tarctg

T T

Звенья записаны по порядку следования, т.е. 2

– нулевое,

1arctg T – первое и

т.д.

А( )

Асимптотические ЛАЧХ и ЛФЧХ.

Построим приближенную ЛФЧХ по асимптотической ЛАЧХ. Так как система

состоит из минимально-фазовых звеньев, имеем однозначную связь между амплитудно-

частотной и фазо-частотной характеристиками.

Ограничим горизонтальными линиями максимально возможное значение фазы на

всех четырех указанных участках с учетом их наклона. Например, если наклон участка

ЛАЧХ равен 0 дб/дек, то максимальное ограничение фазы равно нулю (см. участок от

до на рисунке ), который проходит по оси частот; при наклоне участка ЛАЧХ

±α*20дб/дек, где - целое число, максимальная фаза

.

Далее ординаты между участками делим пополам (точки: Т.1, Т.2, Т.3) и строим

приближенную ЛФЧХ. Наибольшие погрешности построения будут наблюдаться на

сопрягающих частотах.

Ответ: Построены асимптотическая ЛАЧХ и ЛФЧХ для непрерывной системы с заданной

передаточной функцией.


Построить АФХ (годограф) для системы с передаточной функцией, рассмотренной в

задании 7.4.

Решение:

Построение АФХ проводится по амплитудно-частотной характеристике и

логарифмической фазочастотной характеристике (ЛФЧХ, построена выше). Вид

амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) представлен на рисунке:

АЧХ системы

Определим значения АЧХ и ЛФЧХ в нуле и на бесконечности:

)(2

)0(

0)()0( AA

По построенным АЧХ и ЛФЧХ можно представить вид амплитудно-фазовой

характеристики:

АФХ системы

Ответ: В соответствии с заданной передаточной функцией системы автоматического

управления построена АФХ.


Тема 1 Анализ качества регулирования в линейных непрерывных системах

автоматического управления


Прямые показатели качества переходного процесса в линейной непрерывной системе


Задание № 8.2 (задача)

Найти статическую и кинетическую ошибки по управлению и возмущению для системы,

заданной структурной схемой:

Xв _

1) Xy + X0 + Xp

W1(p) W2(p)

_

j

,

Xв _

2) Xy + X0 + Xp

W1(p) W2(p)

_

,

Xв

3) Xy + X0 + Xp

W1(p) W2(p)

_

,

Xв _

4) Xy + X0 + Xp

W1(p) W2(p)

_

,

Xв _

5) Xy+ X0 + Xp

W1(p) W2(p)

_

,

Xв _

6) Xy + X0 + Xp

W1(p) W2(p)

_

,

.

Xв _

7) Xy + X0 + Xp W1(p) W2(p)

_

,


Найти статическую и кинетическую ошибки по управлению и возмущению для системы,

заданной структурной схемой:

Решение:

Рассчитаем ошибки системы, представленной структурной схемой:

Структурная схема САУ

Для вычисления ошибки по управляющему сигналу запишем передаточную

функцию ошибки по управлению:

00

( ) 1( )

( ) 1 ( )

yy

y

y p

X pW p

X p W p

2 2( )

(1 )(1 5 ) (1 )(1 5 )

y

p

pW p

p p p p p

.

Статическая ошибка по управлению:

,0

1lim

2 31

(1 )(1 5 )

y

o устp

a ax p

p

p p

.

Кинетическая ошибка по управлению:

, 20

1lim

21

(1 )(1 5 )

y

o устp

ax p

p

p p

.

Для вычисления ошибки по возмущающему сигналу запишем передаточную

функцию ошибки по возмущению:

00

( ) ( )( )

( ) 1 ( )

вв II

y

в p

X p W pW p

X p W p

, где ( )

1II

pW p

p

0

(1 5 )1( )

2 (1 )(1 5 ) 21

(1 )(1 5 )

в

p

p ppW p

p p

p p

.

Статическая ошибка по возмущению: ,0

(1 5 )lim 0

(1 )(1 5 ) 2

в

o устp

p p bx p

p p p

.

Кинетическая ошибка по управлению: , 20

(1 5 )lim .

(1 )(1 5 ) 2 2

в

o устp

p p b bx p

p p p

p

p

1

Xy X0 XВ

)51(

2

pp

XP

Таким образом, система является статической по управляющему воздействию и

астатической по возмущающему воздействию.

Ответ:

Статическая и кинетическая ошибки по управлению отличны от нуля и соответственно

равны а/3 и бесконечности.

Статическая и кинетическая ошибки по возмущению соответственно равны 0 и b/2

Тема 2 Метод фазовой плоскости исследования динамики нелинейных систем



Метод фазовой плоскости исследования динамики систем автоматического управления:

его возможности и ограничения, свойства фазовых траекторий.

Тема 3 Дискретные системы автоматического управления

Задание 8.4 (теоретическое)Виды квантования и модуляции сигналов. Классификация

дискретных систем управления. Эквивалентная структурная схема импульсной системы





Структурная схема системы автоматического управления и ее элементы. Способы

соединения звеньев. Соотношения между передаточными функциями для разомкнутых и

замкнутых систем. Правила преобразования структурных схем.


Используя правила структурных преобразований, найти передаточные функции

)(

)(,

)(

)(,

)(

)(,

)(

)(

pX

pX

pX

pX

pX

pX

pX

pX

B

o

y

o

B

p

y

p .

1)

2)

W1(p)

W2(p) W2(p)

W3(p)

W4(p)

W5(p)

W6(p)

Xy

Xo XB

Xp

W1(p)

W2(p)

W3(p)

W4(p) W5(p)

W6(p)

W7(p)

Xy

Xo XB

Xp

3)

4)

5)

6)


Xo Xy

XB

Xp

W1(p) W2(p) W3(p)

W4(p)

W5(p)

W6(p)

Xy

Xo XB

Xp

W1(p) W2(p) W3(p)

W4(p)

W5(p)

W6(p)

Xo

Xy

XB

Xp

W1(p)

W2(p)

W3(p) W4(p)

W5(p)

W6(p)

Xy

Xo

XB

Xp

W1(p) W2(p) W3(p)

W4(p)

W5(p)

Используя правила структурных преобразований, найти передаточные функции

)(

)(,

)(

)(,

)(

)(,

)(

)(

pX

pX

pX

pX

pX

pX

pX

pX

B

o

y

o

B

p

y

p.

Решение:

Обозначим сумматоры, узлы и контуры обратной связи, которые мы будем

использовать при структурных преобразованиях, и нанесем их на исходную схему.

Перенесем динамическое звено W1(p) через сумматор 3 по направлению передачи

сигнала. При этом в прямой цепи сигнал не изменится, а сигнал возмущения XВ пройдет

дополнительно через последовательно соединенные звенья W1(p) и W3(p). Для того

чтобысигнал не изменился, его надо пропустить через звено с передаточной функцией,

обратной, т.е. через 1/ W1(p). Объединив два последовательно стоящие сумматора 2 и 3,

получим:

Xo

Xy

XB

Xp

W1(p)

W2(p)

W3(p) W4(p)

W5(p)

W6(p)

I II

1 3 2

Xo

Xy

XB

Xp

W1(p)

W2(p)

W3(p) W4(p)

W5(p)

W6(p)

I II

1 2-3

1/W1(p)

Заменим последовательно стоящие звенья W1(p) и W3(p) эквивалентным звеном

W1(p)W3(p), соединение I и II - эквивалентными звеньями с передаточными функциями:

)(3)(2)(11

)(3)(1)(

pWpWpW

pWpWpWI

и

)(5)(41

)(4)(

pWpW

pWpWII

.

Изобразим полученную структурную схему:

Объединив последовательно соединенные звенья WI(p) и WII(p), получим

эквивалентное звено с передаточной функцией WI(p)WII(p) и изобразим структурную

схему в виде:

Xo

Xy

XB

Xp

WI(p) WII(p)

W6(p)

1 2-3

1/W1(p)

Xo

Xy

XB

Xp

WI(p)WII(p)

W6(p)

1 2-3

1/W1(p)

Для полученной схемы можно записать требуемые передаточные функции:

1( ) 3( ) 4( )

( ) ( ) 1 1( ) 2( ) 3( ) 1 4( ) 5( )

1( ) 3( ) 4( )1 ( ) ( ) 6( )1 6( )

1 1( ) 2( ) 3( ) 1 4( ) 5( )

1( ) 3( ) 4( ).

1 1( ) 3( ) 4( ) 6( )

p I II

y I II

W p W p W p

X W p W p W p W p W p W p W p

W p W p W pX W p W p W pW p

W p W p W p W p W p

W p W p W p

W p W p W p W p

( ) ( ) 1 3( ) 4( )( ) .

1 ( ) ( ) 6( ) 1( ) 1 1( ) 3( ) 4( ) 6( )

p I II

B I II

X W p W p W p W p

X W p W p W p W p W p W p W p W p

1

1 ( ) ( ) 6( )

(1 1( ) 2( ) 3( ))(1 4( ) 5( )).

(1 1( ) 2( ) 3( )) (1 4( ) 5( )) ( 1( ) 3( ) 4( ) 6( ))

o

y I II

X

X W p W p W p

W p W p W p W p W p

W p W p W p W p W p W p W p W p W p

( ) ( ) 6( ) 1 3( ) 4( ) 6( ).

1 ( ) ( ) 6( ) 1( ) 1 1( ) 3( ) 4( ) 6( )

o I II

B I II

X W p W p W p W p W p W p

X W p W p W p W p W p W p W p W p

Ответ: После преобразования многоконтурной системы к одноконтурной определены

передаточные функции замкнутой системы по управлению и возмущению и

передаточные функции ошибок по управлению и возмущению.



Понятие устойчивости системы автоматического управления. Необходимое и достаточное

условие устойчивости линейной непрерывной системы автоматического управления.


Критерий Найквиста устойчивости линейных непрерывных систем автоматического

управления для случаев устойчивой и неустойчивой разомкнутой системы.


Критерий Найквиста устойчивости линейных непрерывных систем автоматического

управления для случая нейтрально-устойчивой разомкнутой системы.




По заданной системе дифференциальных уравнений составить структурную схему и

определить передаточные функции разомкнутой и замкнутой системы по управлению и

передаточную функцию ошибки по управлению.

1)

1 1

22 2 2

33

4 2 3 5

5 5

1 2

1 2 3 4 5

( )

( )

0,01 0,1

5 10 0,5 7 3

вх вых

вых

вых

dT k х х

dt

dxT x k

dt

dxk

dt

dxk x x x

dt

х k х

T T

k k k k k

2)

1 1 4

22 3

3 3 2

4 4 2

4 2

1 4

1 2 3 4

( )

( )

0,01 0,25

5 10 0,5 7

вх

выхвых

вых

dT k х х

dt

dxk x

dt

x k x

dxT х k х

dt

х х х

T T

k k k k

3)

55,11021

5,02,01,01

2

54321

541

4555

5

444

4

32

133

122

111

12

1

22

1

5

kkkkk

TTT

xkxdt

dxT

хkxdt

dxT

xxх

xkx

xkx

kxdt

dxT

dt

xdT

xхx

вых

вых

выхвх

4)

11 1 1 2

2 2 1

22 3 3

3 3 3 3 12

4 5

5 5 3

44 4 4 3

1 3 4

1 2 3 4 5

( )

2

1 2 0,1 0,5

1 2 10 1,5 5

вх вых

вых

x х

dxT x k x

dt

x k x

d x dxT T x k x

dt dt

х x x

х k x

dxT x k х

dt

T T T

k k k k k

5)

131,075,052

5,0522,0

)(

)(

)(

865431

7641

6288

78

627

7

54666

6

1444

4

155

311

2

1

2

1

133

32

kkkkkk

TTTT

xxkx

xxx

xxdt

dxT

xxkxdt

dxT

xkxdt

dxT

xkx

xkdt

dx

dt

xdT

xkx

xdt

dx

XX

вых

выхвх


По заданной системе дифференциальных уравнений составить структурную схему и

определить передаточные функции разомкнутой и замкнутой системы по управлению и

передаточную функцию ошибки по управлению: 2

2

1 1 12

2 2

3 3

4 4 2 3 5

5 5

1 4

1 2 3 4 5

2 ( ) (1)

(2)

(3)

( ) (4)

(5)

0,1 1 0,5

2 3 0,75 0,5 1,5

вх вых

выхвых

вых

d dT T k х х

dt dt

x k

x k

dxT x k x х х

dt

x k х

T T

k k k k k

Решение:

Преобразуя уравнения (1) – (5) по Лапласу, получим:

2 2

1 1 1( 2 1) ( ) ( ( ) ( ))вх выхT p T p p k x p x p

(1a)

)()( 22 pkpx (2a)

)()( 33 pkpx (3a)

))()()(()()1( 53244 pxpxpxkpxpT вых (4a)

)()( 55 pxkpx вых (5a).

Вспоминая правило записи дифференциальных уравнений, описывающих

элементы систем автоматического уравнения (справа – входной сигнал с производными,

слева – выходной сигнал с производными), запишем передаточные функции элементов:

11 2 2

1 1

( )( )

( ) ( ) 2 1вх вых

kpW p

x p x p T p T p

(1b)

22 2

( )( )

( )

x pW p k

p (2b)

33 3

( )( )

( )

x pW p k

p (3b)

44

2 3 5 4

( )( )

( ) ( ) ( ) 1

выхx p kW p

x p x p x p T p

(4b)

55 5

( )( )

( )вых

x pW p k

x p (5b)

Строим структурную схему, имея в виду расположение входного сигнала слева, а

выходного – справа в системе. Таким образом, из уравнения (1а) следует, что на вход

звена (1b) поступает разность двух сигналов )( выхвх хх , получаемая на выходе первого

сумматора; сигнал с выхода звена (1b) подается на звено (2b) и (3b); сумма сигналов

532 ххx поступает на вход второго сумматора, с выхода сумматора снимается сигнал

выхx , подаваемый на вход первого сумматора и на вход звена (5b):

Используя правила замены соединений звеньев эквивалентными передаточными

функциями, запишем выражения для передаточных функций разомкнутой и замкнутой

системы по управлению и для передаточной функции ошибки по управлению.

Ответ:

=

.

вых

вх .

вх вых

вх .

W1(p) W2(p)

W3(p)

W4(p)

W5(p)

xвх(p)

(p)

xвых(p)

x5(p)

x3(p)

x2(p)



Принцип аргумента как математическая основа критериев устойчивости линейных

непрерывных систем автоматического управления.


Формулировка принципа аргумента. Критерий Михайлова устойчивости линейных

непрерывных систем автоматического управления. Пример.

Тема 3 Анализ качества регулирования в линейных непрерывных системах



Косвенные показатели качества линейных непрерывных систем автоматического

управления (корневые, частотные и интегральные).

Тема 4 Исследование периодических режимов в нелинейных системах методом

гармонического баланса


Метод гармонического баланса исследования периодических режимов в нелинейных

системах автоматического управления, его возможности и ограничения.


Определение автоколебаний в нелинейной системе управления методом гармонического

баланса, оценка их параметров, устойчивости. Пример.


Тема 1 Устойчивость линейных и нелинейных непрерывных систем



Определение устойчивости по Ляпунову. Первый метод Ляпунова.


Второй (прямой) метод Ляпунова.


Абсолютная устойчивость нелинейных систем. Критерий В.М. Попова.

Тема 2 Дискретные системы автоматического управления


Спектр сигнала на выходе идеального импульсного элемента в линейной импульсной

системе с амплитудно-импульсной модуляцией. Теорема Котельникова. Условия, при

которых импульсную систему можно исследовать как непрерывную.


Исследовать на устойчивость линейную импульсную систему автоматического

управления с помощью критерия Гурвица, если ее характеристический полином имеет

вид:

1) * 23 2 1,pT pTA p e e

2)

* 25 2 1,pT pTA p e e

3)

* 22 7,pT pTA p e e

4)

* 2 2 4,pT pTA p e e

5) * 2 5 3.pT pTA p e e


Оценка устойчивости линейной импульсной системы автоматического управления по

критерию Найквиста для случаев устойчивой, неустойчивой и нейтрально-устойчивой

разомкнутой системы.


Исследовать на устойчивость линейную импульсную систему автоматического

управления с помощью критерия Гурвица, если ее характеристический полином имеет

вид:

* 2 3 5.pT pTA p e e

Решение:

Запишем характеристическое уравнение рассматриваемой импульсной системы

автоматического управления (ИСАУ):

* 2 3 5 0.pT pTA p e e (*)

Чтобы применить формулировку критерия Гурвица, используемую для

непрерывных систем, необходимо выполнить отображение отрезка 0 0Im2 2

j p j

комплексной плоскости P на всю мнимую ось, поскольку критерий Гурвица предполагает,

что корни исследуемого характеристического уравнения лежат на всей комплексной

плоскости, а у импульсных систем основные корни характеристического уравнения лежат

в полосе 0 0Im2 2

j p j

. Для этого сделаем в уравнении (*) замену переменных

pTe z , а затем применим билинейное преобразование:

1

1

Vz

V

.

В результате характеристическое уравнение примет вид:

2

* 1 13 5 0.

1 1

V VA V

V V

(Легко проверить, что при изменении частоты от 0

2

до 0

2

значение переменной

1 1

1 1 2

j T

j T

z e TV j tg

z e

меняется от j до j , т.е. имеем всю мнимую ось на

плоскости V . )

После приведения к общему знаменателю будем иметь: 2

0 1 2 0,A V AV A (**)

где 0 9A ,

1 8A , 2 3A .

Для полученного уравнения (**) уже можно использовать формулировку критерия

Гурвица для непрерывных систем:

Для того чтобы ИСАУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы при 0 0A

все частные определители Гурвица до n-го порядка включительно были

положительны.

Частные определители Гурвица получаются из главного определителя Гурвица,

который для системы 2-го порядка имеет вид:

1

2

0 2

0 8 0.

9 3n

A

A A

Т.о. для устойчивости ИСАУ (необходимое и достаточное условие) должно

выполняться:

0 0A , 1 1 0A и

2 1 2 0A A

(с учетом второго неравенства последнее неравенство эквивалентно условию 2 0A , т.е.

для системы 2-го порядка необходимым и достаточным условием устойчивости является

положительность коэффициентов iA , 0,2i ).

В рассматриваемом примере 1 8 0A , а значит, ИСАУ неустойчива.

Ответ: ИСАУ неустойчива.

Институт ИВТИ Направление подготовки 27.04.04...

Documents

Transcript of Институт ИВТИ Направление подготовки 27.04.04...