Extremizálandó kifejezés Euler-egyenletek

I F x y y x

x

x

, ,

1

2

d0

d

d

'y

F

xy

F

xyyyyxFI n

x

x

n d,,,,,, 11

2

1

ni

y

F

xy

F'ii

,...,,2,1

0d

d

A variációszámítás alapjai

Keresendő azon y y x függvény, amely az I F x y y xx

x

, , d

1

2

kifejezést („funkcionált”) szélső értékké teszi.

Vagyis keresendő az I F x y y xx

x

, , d

1

2

= extrémum

követelményeknek eleget tevő függvény

A mechanika elvei

Az általános helykoordinátákkal a potenciális energia mindig kifejezhető.

,,,, 21pot fp qqqWW Az általános sebességkoordináták:

Az f szabadsági fokú rendszer általános helykoordinátái: fqqq ,...,, 21

az általános helykoordináták idő szerinti differenciálhányadosai

fqqq ,...,, 21

A kinetikus energia az általános koordináták és az általános sebességek függvénye:

W W q q q q q qf fk k 1 2 1 2, , , , , , , ,

Lagrange-függvény Általános impulzus

Hamilton-függvény

L W W k p , pL

qii

H q p Lii

i

Hamilton-elv ( legkisebb hatás elve)

extremumtLt

t

2

1

d 0d2

1

t

t

tL

Egyetlen tömegpont általános koordinátái legyenek q1=x, q2=y és q3=z, potenciális energiája Wp(x, y, z), kinetikus energiája pedig W m x y zk

1

22 2 2 .

A Lagrange-függvény L W W m x y z W x y z k p p1

22 2 2 , , .

L

xmx

L

ymy

L

zmz

,

,

,

L

x

W

x

L

y

W

y

L

z

W

z

p p p, , ,

Az Euler egyenletek

mxW

xmy

W

ymz

W

z , , ,

p p p

a Newton-mozgásegyenleteket kaptuk vissza.

Egyetlen tömegpont esetén a Hamilton elvből levezethető a Newton egyenlet

0d2

1

t

t

tLHamilton elv Euler-egyenletek

ni

y

F

xy

F'ii

,...,,2,1

0d

d

A Hamilton-féle variációs elv Euler egyenleteit Lagrange-féle mozgásegyenletekneknevezik.

A Hamilton-elvvel és a Newton mozgásegyenletekkel

.

,,

,

i

iii

i

iii p

qpHq

q

qpHp

egyenértékűek a Hamilton-egyenletek is:

fqqq ,...,, 21 fqqq ,...,, 21

,,,, 21pot fp qqqWW W W q q q q q qf fk k 1 2 1 2, , , , , , , ,

L W W k p , pL

qii

H q p Lii

i

Általános helykoordináták Általános sebességkoordináták

Potenciális energia Kinetikus energia

Lagrange fügvény Általános impulzuskoordináták

Hamilton függvény:

Hamilton-féle mozgásegyenletek

Egyetlen tömegpont esetén a Hamilton-egyenletekől levezethető a Newton egyenlet

LpqH ii

i

Egyetlen tömegpont általános koordinátái legyenek q1=x, q2=y és q3=z, potenciális energiája Wp(x, y, z), kinetikus energiája pedig W m x y zk

1

22 2 2 .

pk WWL ),,()(2

1 222 zyxWzyxm p

zmz

Lpym

y

Lpxm

x

Lp zyx

,,

),,()(2

1 222222 zyxWzyxmzmymxm p H

),,()(2

1 222 zyxWzyxmH p

Hamilton-féle mozgásegyenletek

y

W

y

Hympx

xm

Hx

x

W

x

Hxmp p

yp

x

;,

z

W

z

Hzmp p

z

Hamilton elv Lagrange-egyenletek

Hamilton egyenletek

Newton mozgásegyenletek

.0d tL

fi

q

L

q

L

t ii

, 2, ,1

,0d

d

.

,

,,

i

ii

i

ii

p

qpHq

q

qpHp

Több tömegpontból álló rendszer esetén is érvényesek !

Koordináták és energiák szerepelnek bennük

Bonyolult esetekben is könnyebb felirni őket.

Általános koordináta:

Kinetikus és pot. energia:

Lagrange függvény:

Általános impulzus:

Hamilton függvény:

Mozgásegyenletek

Írja fel az egydimenziós harmonikus oszcillátor Hamilton függvényét, és a Hamilton egyenleteket.

x22

22

1x

kWxmW pk

22

22

1x

kxmL

xmx

Lp

22

22x

k

m

pLxpH

kxx

Hp

m

p

p

Hx

,

Vízszintes tengely egy elhanyagolható tömegű rudat l1 és l2 hosszúságú részekre oszt. A rúd végére m1 és m2 tömeget ragasztunk. A rúd a vízszintes tengely körül függőlegesen, egyetlen síkban mozoghat. Írjuk fel a mozgásegyenletet és keressük meg az egyensúlyi helyzeteket. Melyik egyensúlyi helyzet stabil?

Általános koordináta: Kinetikus energia:

Potenciális energia:

Lagrange függvény:

Általános impulzus:

Hamilton függvény:

Mozgásegyenlet:

)(2

1 2222

2211 lmlmWk

cos)( 2211 lmlmgWp

pk WWL cos)( 2211 lmlmg )(2

1 2222

2211 lmlm

)( 222

211 lmlm

Lp

LpH cos)( 2211 lmlmg )(2 2

22211

2

lmlm

p

H

p )( 222

211 lmlm sin)( 2211 lmlmg

Egyensúly: const illetve0

Stabil egyensúly: Kis rezgések korlátosak

sin

sin0

korul

korul

.stabil0)(mha

,stabil00)(mHa

02211

01122

lml

lml

Általános koordináta:

Kinetikus és pot. energia:

Lagrange függvény:

Általános impulzus:

Hamilton függvény:

Mozgásegyenletek

Egy m tömegű pontszerű testet rugalmas gumiszálra akasztunk. A gumiszál hossza feszültségmentes állapotban l0, a rugóállandó k . Írjuk fel ennek az ingának a mozgásegyenleteit.

lhosszaingaazes

))((2

1 22 lmlmWk

φmlφ

Lplm

l

Lp

21 ,

LplpH 21

20

22 )(2

1cos))((

2

1llkφmglφlmlmL

20

22

21 )(

2

1cos)

22( llkφmgl

ml

p

m

p

20 )(cos φmlllkφmglm sin2 gll

20 )(

2

1cos llkφmglWp

.

,,

,

i

iii

i

iii p

qpHq

q

qpHp