Exploración numero aureo
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7/25/2019 Exploracin numero aureo
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El nmero ureo es un nmero cuyo origen remonta siglos atrs y que se encuentra presenteen pinturas, obras arquitectnicas y elementos cotidianos. Fue mientras investigaba paraArte, que descubr que los rostros siguen proporciones ureas, al igual que las tarjetas decrdito ya que stas son ms atractivas a la vista, y as al ir a la emana de la !atemtica en
la "niversidad de #uenos Aires, quede plenamente atrapada con el tema, tras acudir a unac$arla sobre las propiedades ureas dada por %abriela Armentano. &ecid entonces que mie'ploracin sera sobre el (nmero de oro) del que poco conoca pero tanta curiosidaddespertaba en mi, para ver a qu poda llegar.
Qu es el nmero ureo?
El nmero ureo o de oro *tambin llamado ra+n e'trema y media, ra+n urea, ra+ndorada, media urea, proporcin urea y divina proporcin representado por la letra griega*p$i-*en minscula- o */$i-, en $onor al escultor griego Fidias, es un nmero irracionali 0
Fue un $alla+go de los griegos en la poca clsica y 1ue el libro Elementos, de Euclides deAlejandra, el que desat la investigacin cuando escribi0 (e dice que un segmento estdividido en media y e'trema ra+n cuando la longitud de la lnea total es a la de la partemayor, como la de esta parte mayor es a la de la menor). Esto signi2cara que teniendo unsegmento ', si lo divido en media y e'trema ra+n de manera iique el segmento mayor me
quede 3 y el menor '43. &e manera que la particin en e'trema ra+n ser0x
1=
1
x1
i resuelvo la igualdad, multiplicando sus productos en cru+, obtengo una ecuacin desegundo grado o cuadrtica.
usando la 1rmula resolvente x=b b24 ac
2 a obtengo dos races siendo la positiva
y la que nos interesa0 =1+ 5
2
1,618
El resultado que obtenemos es un nmero decimal no peridico del que podemos conocertantas ci1ras como deseemos.Al reempla+ar en la ecuacin *ra+ de la misma- x
2x1=0 obtengo
2+1=0 y al despejar se produce la siguiente igualdad0 2=+1
Al multiplicar miembro a miembro sucesivamente por , obtengo
3=2+
4
=3
+2
5=4+3
6=5+4
7
=6
+5
8=7+6
1
1
1 =
x
x
x.(x1)=1
x2 x=1
x2 x1=0
3
http://es.wikipedia.org/wiki/Alfabeto_griegohttp://es.wikipedia.org/wiki/Phihttp://es.wikipedia.org/wiki/Phihttp://es.wikipedia.org/wiki/Phihttp://es.wikipedia.org/wiki/Fidiashttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Phihttp://es.wikipedia.org/wiki/Phihttp://es.wikipedia.org/wiki/Phihttp://es.wikipedia.org/wiki/Fidiashttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Alfabeto_griego -
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9=8+7
10=9+8
5o que signi2ca que cualquier potencia de es igual a la suma de las dos potenciasanteriores. i quisiera obtener 20 basta con que sume las dos potencias anteriores
19
y 18 .Al llegar a esta conclusin me di cuenta que as como $aba reempla+ado x con podra reempla+ar el
2 en la e'presin 3=2+ con la igualdad 2=+1
Entonces obtendra0
3=+1+ 3=2+1
4=3+2 (2+1)+(+1)
4=3 +2
5=4+3 (3 +2)+(2 +1) 5=5+3
6=5+4 (5+3 )+(3+2 ) 6=8+5
7=6+5 (8+5 )+ * 5+3 - 7=13+8
8=7+6 (13+8 )+(8+5) 8=21+13
9=8+7 (21+13 )+(13+8 ) 9=34+21
10=9+8 (34 +21)+(21+13) 10=55 +34
e obtienen la sucesin de Fibonacci0 3,6,7,8,9,37,63,7: en los trminos independientes astambin como en los coe2cientes que acompa;an a 6,7,8,9,37,63,7:,88. El valor del
trmino independiente corresponde a la del nmero que acompa;a a en la potenciaanterior.
7=13+8
8=21+13
i observamos el nmero 63 corresponde a la suma de los dos trminos anteriores en 7 .
/ara obtener cualquier potencia de podemos entonces multiplicar el nmero ureo porun nmero que es la suma de los coe2cientes de las potencias anteriores de y sumarleun nmero que es el coe2ciente de la potencia anterior.
e genera la siguiente 1rmula0
iendo A el nmero que acompa;a a A30 3 A603 A706 A:0 7 A808
!otivada por la conclusin anterior me pregunt que pasara si trabajo con la 1uncinasociada la ecuacin original y la trans1ormo multiplicando sucesivas veces por x ) paraobtener 1unciones polinmicas con un grado cada ve+ mayor.
&ecid investigar las 1unciones obtenidas y gra2qu en %eogebra las distintas 1unciones0
y=x2x1 y=x3x2x
6
n=an +an1
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y=x4x3x2 y=x5x4x3 y=x6x5x4 y=x7x6x5 y=x8x7x6 y=x9x8x7 y=x10x9x8
ucesivamente 4?.@39
>?
>3.@39. >
5a ra+ ? presenta di1erentes tipos de multiplicidad mientras las otras dos *4?.@39 y 3.@39-son simples.egn su multiplicidad en '>? sea de tipo par *curva (rebota)- o impar *curva (atraviesa)- segeneran dos grupos de 1unciones que siguen un patrn.!e propongo obtener las reas que las 1unciones determinan con el eje ' para luegoinvestigar si las mismas encierran alguna relacin especial u obedecen a algn patrnmatemtico .
5as reas obtenidas en cada caso 1ueron0
1 f(x)=x2x1
0
1.618
f(x ) dx=1.51503
f(x ) dx=0.34836
0,618
0
Brea total0 3.9@77
7
1x
2x
3x
-
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2g (x)=x3x2x
0.618
0
g (x ) dx=0.0758
0
1.618
g (x ) dx=1.00751
Brea total0 3.?9773
3h(x)=x4x3x2
0,618
0
h (x )dx=0,02
0
1,618
h(x )=0,908
Brea total0 ?.C69
4 p(x )=x5x4x3
0.618
0
p (x )dx=0.00915
0
1.618
p (x ) dx=0.94085
Brea total0 ?.C8
5
q(x )=x 6x5x4
:
-
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0,618
0
q (x ) dx=0,00382
0
1.618
q (x )dx=1.061
Brea total0 3.?@:96
6
r (x)=x
7
x6
x5
0.618
0
r (x ) dx=0.00171
0
1.618
r (x ) dx=1.266
Brea total0 3.6@DD3
7 s (x)=x8x7x6
0,618
0
s (x ) dx=0.0008
0
1.618
s (x ) dx=1.574 6
Brea total0 3.8D8
8
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8
T(X)=x9x8x7
0.618
0
T(x ) dx=0.00039
0
1.618
T(x )dx=2.019
Brea total0 6.?3C7C
9
u(x)=x10x9x8
0.618
0
u (x ) dx=0.00019
0
1.618
u (x ) dx=2.653
Brea total0 6.@873C
@
-
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3?- v (x )=x11x10x9
0.618
0
v (x ) dx=0.0001
0
1.618
v (x) dx=3.55748
Brea total0 7.88D89
11
w(x)=x 12x11x10
k1: 0.618
0
w (x ) dx=0.00005
l 1 :0
1.618
w (x ) dx=4.84737
Brea total0 :.9:D:6
12
z (x)=x 13x12x11
0.618
0
z (x ) dx=0.0003
0
1.618
z (x )dx=6.69594
D
-
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Brea total0 @.@C@6:
13(x )=x14x13x12
0.618
0
(x ) dx=0.00001
0
1.618
(x ) dx=9.35789
Brea total0 C.78DC
14
(x)=x 15x14x13
0.618
0
(x ) dx=0.00001
0
1.618
(x )dx=13.21011
Brea total0 37.63?36
9
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15
(x)=x 16x15x14
0.618
0
(x
)dx=
0
0
1.618
(x ) dx=18.81201
Brea total0 39.936?3
16
(x )=x17x16x15
0.618
0
(x ) dx=0
0
1.618
(x )dx=26.99632
Brea total0 [email protected]@76
17
(x)=x 18x17x16
0.618
0
(x ) dx=0
0
1.618
(x )dx=39.00619
Brea total0 7C.??@3C
C
-
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18
(x )=x19x18x17
0.618
0
(x ) dx=0
0
1.618
(x )dx=56.70263
Brea total0 [email protected]?6@7
19
!(x)=x20x19x18
0.618
0
! (x ) dx=0
0
1.618
! (x ) dx=82.87881
Brea total0 96.9D993
20
"(x)=x21
x20
x19
0.618
0
" (x ) dx=0
0
1.618
" (x ) dx=121.73743
Brea total0 363.D7D:7
3?
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A partir de las reas obtenidas constru la siguiente tabla con la suma de las reas obtenidasen cada caso *rea total-0
%rado de la
1uncin Brea total6 3,9@7 3,?9: ?,C78 ?,C8@ 3,?@D 3,6D9 3,89C 6,?6
3? 6,@833 7,8@36 :,9837 @,D?3: C,7@38 37,633@ 39,933D 6D,??39 7C,?33C 8@,D?6? 96,9963 363,D:
epresento, con %eogebra, las coordenadas obtenidas en un sistema cartesiano y observoque al ver gra2cados los puntos de ambas reas *rea total- me pareci que poda ajustarse auna 1uncin cuadrtica del tipo 0 y=ax2+bx+c
A-
1.8633=a# (1 )2+b#1+c $4.8474=a # (11 )2+b # 11+c% 1.0833=a#(2)2+b#2+c &6.696=a# (12)2+b#12+c
'0.9315=a #(3)2+b # 3+c (9.3579=a#(13)2+b#13+c
) 0.95=a #(4)2+b #4+c *13.2101=a # (14 )2+b# 14+c+1.2677=a # (6 )2+b # 6+c,18.812=a # (15 )2+b #15+c- 1.0648=a #(5)2+b #5+c . 26.9963=a # (16 )2+b# 16+c
33
0 Brea total determinada con
G0 grado de la1uncin
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/1.575=a #(7)2+b #7+c 0 39.0062=a# (17 )2+b#17+c
12.0194=a# (8)2+b#8+c 2 56.7026=a # (18 )2+b #18+c32.6552=a#(9)2+b # 9+c 4 82.8788=a # (19 )2+b# 19+c53.5575=a # (10 )2+b # 10+c T121.734=a # (20 )2+b # 20+c
Hon estas 6? ecuaciones se 1orma un sistema con 7 incgnitas *aIbIc- que para obtener suresultado aplicar resolucin matricial para buscar una 1uncin cuadrtica que modelice lasituacin0
!atri+ de coe2cientes *6?'7- !atri+ de incgnitas *7'3- !atri+ deresultados *6?'3-
36
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1 1 1
4 2 1
9 3 1
16 4 1
25 5 136 6 1
49 7 1
64 8 1
81 9 1
100 10 1
121 11 1
144 12 1
169 13 1
196 14 1
225 15 1
256 16 1
289 17 1
324 18 1
361 19 1
400 20 1
#
>
37
a
b
c
1.8633
1.0833
0.9315
0.95
1.0648
1.2677
1.575
2.0194
2.6552
3.5575
4.8474
6.969
9.3579
13.2101
18.812
26.9963
39.0062
56.7026
82.8788121.734
-
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5lam a la matri+ de coe2cientes (A)I a la matri+ de incgnitas (G) y a la matri+ de resultados(#) reali+ar 6 # 7=8
&ado que al multiplicar la matri+ de coe2cientes *llmese (A)- por la matri+ de incgnitas*llmese (G)- se debe obtener la matri+ de resultados, la matri+ (G), deber ser despejada.
!ultiplico por la matri+ transpuesta de A, es decir si A es del orden 6?'7, su transpuesta es7'6?, esto lo $ar con el 2n de poder obtener una matri+ cuadrada que puede tener inversa.
Jeniendo0 6 #X=8 la multiplico por la transpuesta de (A)9
( : # 9)# X=9:# %
la
multiplicacin de matrices es asociativa , adems puedo multiplicar por la matri+ inversa
999
( : # 9)1 # 9:# %
( : # 9)# X=( : # 9)1#
5o resaltado en colorado, tiene como resultado la matri+ identidad9
( : # 9)1 #(9 :# %)
(1 00 1)# X=es decir0
9
( : # 9)1#9:#%X=
Aplicndolo a mis datos, utilic la calculadora gr2ca en el modo de matrices siguiendo estos
procedimientospara obtener que el resultado de G es0
( 0.5978.33821.796
) iendo la primer 2la el valor de mi incgnita (a), el segundo (b) y la tercer 2la el valor de miincgnita (c).
Hon estos resultados reempla+o en la 1uncin polinmica y> a x2+bx+c resultando0
f(x )=0.597x28.338x+21.796
Al gra2carla observ que lo que $aba credo inicialmente no era cierto, ya que el ajustepolinmico no se ajusta de manera precisa a mis puntos
3:
0 Brea total determinada con
-
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Homo el resultado no es el que esperaba, observando este ltimo gr2co creo que la 1uncinaparenta crecer de manera e'ponencial.
5a 1uncin e'ponencial responde la 1orma f(x )=k#ax /ara averiguar las incgnitas K, a , tomar 6 puntos de mi gr2co correspondientes a uno delprincipio *punto H- y uno de la mitad *punto !-. 5as coordenadas que componen a estospuntos son (') e (y) .H> *7I ?.C738- !> *37I C.78DC-
5os puntos obtenidos tienen un dominio (discreto), incluido en , a pesar de esto busco unpatrn con );
H- 0.9315=k #a3
10.065=a10
1010.065=a
esultado 2nal0 1.26a
2=k 0.465k
38
G0 grado de la1uncin
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A$ora puedo reempla+ar en la 1uncin e'ponencial las incgnitas y podr gra2car0
f(x )=0.465 #(1.26)x
5o obtenido se muestra en el siguiente gr2co0
ealic una tabla con las reas comprendidas entre las races ?$asta con el eje x , luego ajust con %eogebra0
3@
0 Brea total determinada con
G0 grado de la1uncin
%rado Brea de ? a 6 3,838?77 3,??D83: ?,C?98 ?,C:?98@ 3,?@3D 3,6@@9 3,8D:6C 6,?3C
3? 6,@8733 7,88D:936 :,9:D7D37 @,@C8C:3: C,78D9C38 37,63?333@ 39,9363?33D 6D,??39 7C,?33C 8@,D?6? 96,9963 363,D:
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/rob sise llegaba a una progresin geomtrica pero comprob que no, ya que la e'ponencial no tiene
un ajuste per1ecto a los puntos.un=u
1#r n1
un=u
1#rn
r
un=
u1r#r
n
u1
r=0,465
u11.26
=0,465
u1=0,5859
Lo se veri2ca la obtencin de u1
porque el ajuste no es per1ecto, debiera $aber sido3,838?7, resultado obtenido recin al reali+ar un ajuste polinmico de grado 8.
Honclusin0
En un principio no encontr lo que an$elaba0 una cone'in con la serie de Fibonacci en lasucesin de reas obtenidas I de todas maneras me interes $aber investigado ms sobreeste nmero que me $aba llamado la atencin por su gran importancia.&e todos modos creo que 1ue un trabajo esperan+ador porque me 1ui encontrando conelementos geomtricos que pude trans1ormarlos en algebraicos e ir avan+ando.
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#ibliogra1a
3C
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ii Horbaln Fernando, (5a /roporcin Burea 0 El lenguaje matemtica de la belle+a),E&MJEH,6?3?, pg.6746D
ii %r2co obtenido en $ttp0NNes.OiKipedia.orgNOiKiNLPH7P#AmeroQPH7PA3ureo&isponible 6Cde julio 6?3:
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureo