Expériences et tentative de modélisation de la ligned’échouage des glaciers

Atas YasarEncadré par Laurent Limat

15 juin 2010

Laboratoire Matière et Systèmes Complexes, Université Paris Diderot, UMR7057

Master 1 Physique fondamentaleUniversité Pierre et Marie Curie

2009-2010

Y.Atas

Remerciements

Je voudrais commencer par remercier mon maitre de stage Laurent Limat. Même s’il est vraiqu’il ne fut pas très disponible, les fois où il était là ont été très productive. Je tiens aussi àremercier l’équipe DSHE pour son acceuil. En particulier Mathieu Receveur qui m’a beaucoupaidé pour la préparation du montage et Adrian Daerr pour le temps qu’il m’a accordé pourme montrer le fonctionnement des logiciels de traitement d’image. Je remercie aussi OlivierDevauchelle, avec qui j’ai entretenu une correspondance par mail, Julien Moukhtar pour l’aidequ’il m’a apporté en fin de stage et sa bonne humeur. Je n’oublie pas Stéphane Perrard, un autrestagiaire, qui s’est impliqué dans mon travail et m’a aidé pour certaines questions théoriques.

1 Présentation du laboratoire

Créé le 1er janvier 2005 et comportant actuellement plus d’une centaine de membres, lelaboratoire Matière et Systèmes Complexes (MSC), UMR 7057 de l’Université Paris-Diderot etdu CNRS, développe une activité de recherche interdisciplinaire autour des trois thématiquessuivantes :

– Physique non-linéaire et systèmes dynamiques,– Milieux complexes,– Interface Physique-biologie-médecine.

2 Equipe d’accueil

J’ai été accueilli au sein du groupe de recherche de Dynamique des systèmes hors-équilibre. L’activité du groupe Dynamique des systèmes hors équilibre est dédiée, de manièretransversale, à l’étude des problèmes de dynamique non-linéaire, de développement d’instabili-tés, de formation de motifs ou de singulatités, de comportement collectif d’oscillateurs, dans dessystèmes expérimentaux hors de l’équilibre. Ces problèmes apparaissent dans une multitude desituations physiques concrètes : hydrodynamique (turbulence, dynamique d’interfaces), écoule-ments de milieux complexes (mousses, granulaires) ou mettant en jeu une géométrie singulière(lignes et surfaces de contact, formation de singularités), vieillissement dans les systèmes vitreux...Le champ d’application des phénomènes non-linéaires est extrêmement large, et concerne nonseulement la physique des fluides complexes et des milieux hétérogènes, mais aussi la biologie(morphogenèse, auto-organisation), et la géophysique (avalanches, formation de dunes, figuresd’érosion).

3 Le sujet du stage

3.1 Un problème pour les géophysiciens, les climatologues...

L’étude et la modélisation des glaciers est d’un enjeu primordial afin de comprendre lesproblèmes auxquels l’Homme moderne est confronté : réchauffement climatique, élevation duniveau des océans... Les glaciers et la banquise sont les acteurs essentiels du système climatiquesur Terre que ce soit à l’échelle régionale où mondiale. Ceux-ci recouvrent pratiquement 9,6% dela surface terrestre. Les calottes glaciaires s’écoulent lentement sous l’effet de la gravité vers lesocéans, où la pression hydrostatique de l’eau remplace la résistance du sol pour soutenir le poidsde la glace, qui forme alors la banquise. La calotte glaciaire et la banquise sont séparés par laligne d’échouage : c’est la ligne triple entre glace, eau liquide et continent (Fig.1).

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Sur la dynamique des nappes flottantes et la modélisation de la ligne d’échouage des glaciers

L’Antarctique retient près de 25, 7 × 106 km3 de glace dans sa banquise. L’Antarctique Ouesta été l’objet d’investigation assez poussé depuis le début des années 70 de la part des géophysi-ciens [2]. La fonte de la calotte glaciaire de l’Antarctique Ouest (CGAO) causerait une montéedu niveau des mers de 3,3 m (Fig.2). Celle de tout l’Antarctique entrainerait une élevation de61,1 m du niveau global des mers ! Le taux de production de banquise et donc le flux de glace àtravers la ligne d’échouage (grounding line en anglais) pourrait jouer un rôle prépondérant dansl’élevation du niveau des mers.

Fig. 1 – Calotte glaciaire, ligne d’échouage et banquise Fig. 2 – Barrière de Ross (Google Map)

3.2 ... et pour les physiciens.

Une compréhension quantitative de la dynamique des glaciers est donc très importante pourl’étude de l’évolution climatologique de notre planète. Cependant, les modèles actuels ne per-mettent pas d’expliquer la dynamique de la ligne d’échouage de manière fiable. La ligne tripleest en effet le lieu de couplages extrêmement complexes. L’importance de la zone de transitioncalotte/banquise dans la dynamique des glacier a été pointée par Weertman il y a une trentained’année [3]. Weertman a suggéré en 1974 que la position de la ligne d’échouage pouvait êtresujette à une instabilité hydrodynamique.

En effet, la banquise n’est pas contrainte aux frictions basales ce qui autorise une épaisseurtrès faible de glace et un écoulement plus facile. Ainsi, le recul de la ligne d’échouage vers leglacier entrainera une décharge du glacier, et par là même une diminution de son épaisseur. Lepoids de la glace n’étant alors plus suffisant pour maintenir le contact avec le continent, le reculde la ligne d’échouage s’en trouve ainsi accentué... [1]

Il n’y a eu que très peu de tentatives serieuses afin de construire et résoudre des modèlesmathématiques de la ligne triple. Les principaux travaux ont été éffectué par Chugunov et Wil-chinsky en 2001. En 2007, Schoof met en évidence un comportement hystérétique de la ligned’échouage par rapport à un changement du niveau de la mer [1]. Malgré ces progrès théoriques,les scientifiques se posent toujours la question de savoir quelles conditions aux limites il fautimposer au niveau de la ligne triple.

En 2009, dans [4] les auteurs se limitent à une rhéologie newtonienne pas très réaliste pourde la glace [5]. La question des conditions aux limites pose donc un énorme problème pour lamise en place de modèle numérique susceptible de reproduire le comportement de la CGAO.

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Y.Atas

Il n’existe que très peu d’experiences de laboratoire ayant visé à reproduire la ligne d’échouagedes glaciers excepté les travaux récents de Robison [6]. Jusqu’à présent les modèles numériquesétaient comparés entre eux et aux données du terrain.

Le but du stage était donc de reproduire en laboratoire le comportement de la ligne d’échouagedes glaciers en utilisant un système mécanique simple. L’objectif du dispositif mis en place n’étaitpas de reproduire la complexité du système naturel (rhéologie, topographie...) mais d’ameliorernotre compréhension des mécanismes de base. Nous commencerons donc par donner nos résultasexpérimentaux puis nous confronterons ceux-ci avec un modèle théorique.

4 Le montage expérimental

Un fluide visqueux, représentant la glace, s’écoule sur un plan incliné à débit fixé vers unbain statique constitué d’un fluide de densité plus élevée modélisant l’océan. Nous avons utiliséune cuve parallèlepipédique de dimensions 85×25×15 cm3 (Fig.3, 4). Une rampe était installéeà l’intérieur de cette cuve. L’ensemble du dispositif était monté sur une charnière dont l’axe estparallèle à la direction transversale y : ceci permettait de faire varier l’inclinaison du plan.

Fig. 3 – L’experience. La cuve comporte une rampeinclinée. Le tuyau s’échappant à gauche permet defaire la vidange après chaque manipulation.

Fig. 4 – Le glycérol, ici en bleu s’écoule surun bain de carbonate de potassium. La ca-méra est dirigé suivant l’axe y.

4.1 La préparation de l’experience

L’océan était modélisé par une solution de carbonate de potassium K2CO3 de densité 1.5g/cm3. Nous avons aussi essayé de prendre une solution de chlorure de sodium pour modeliserl’océan mais les experiences préliminaires n’étaient pas convaincantes. Nous avions deux possibi-lités quant au choix du liquide visqueux : du miel ou bien du glycérol. Le miel étant trop lourd,nous avons choisi le glycérol de densité 1.26 g/cm3 afin qu’il puisse flotter sur notre bain.

Le rapport des densités entre la nappe visqueuse et le fluide porteur est du même ordre degrandeur que celui de la banquise et de l’océan. J’ai ensuite effectué des mesures rapides deviscosité du glycérol en faisant tomber une bille de rayon 0.8 cm et de masse 5.5 g sur unehauteur de 26.5 cm de glycérol. Le temps de chute permettait ensuite de remonter à la viscositédynamique du glycérol qui était d’environ 1.41±0.08 Pa.s dans mon expérience (Annexe A).

3

Sur la dynamique des nappes flottantes et la modélisation de la ligne d’échouage des glaciers

Au tout début de l’experience, nous avions décidé d’utiliser une pompe afin d’injecter le li-quide visqueux sur la pente mais celle-ci posait plusieurs problèmes. Tout d’abord, on ne pouvaitpas jouer sur le débit injecté de manière très précise. Ensuite, la pompe engendrait des vibrationsqui mettait en mouvement le bain. Nous avons donc décider de mettre la pompe hors-jeu puis-qu’elle créait bien plus de problème qu’elle n’en résolvait (en fait elle nous a quand même servia quelque chose : nettoyer le montage après chaque experience !). Nous avons ensuite construitune structure permettant de soutenir un réservoir gradué muni d’un robinet afin de jouer sur ledébit. Cette structure a ensuite été accollée au montage. Le réservoir, placé à 40 cm au dessusde la cuve, permettait ainsi d’obtenir des écoulements dont le débit variait entre 0.97 cm3.s−1 et9.79 cm3.s−1 (Annexe A).

Vient ensuite la préparation de la solution de carbonate de potassium. Celle-ci nécessitequelques précautions car le carbonate de potassium peut provoquer des irritations cutanées, unesévère irritation des yeux et des voies respiratoires. Il fallait donc enfiler des gants, mettre unmasque et des lunettes. La dissolution du carbonate de potassium dans de l’eau distillée est uneréaction exothermique : en partant d’une eau à 22̊ C la température est montée à 44̊ C aprèsdissolution complète !

Chaque experience commençait par le remplissage de la cuve par la solution de K2CO3. Ondécidait ensuite de l’angle de la pente et de la distance de dévalement du glycérol. Une simplecaméra dont l’objectif est dirigé selon l’axe y permettait d’enregistrer la géométrie de la nappeet son évolution. On pouvait éventuellement placer une caméra au dessus de la cuve pour obtenirdes images de l’étalement de glycérol sur le bain. Enfin, une étape importante qui permet defaciliter le travail d’analyse d’image par la suite est le réglage de l’éclairage. A cet effet, nousavons utilisé deux lampes de 150 W placé de part et d’autre de la cuve. Le glycérol a aussi étécoloré afin d’améliorer le contraste. Pour éviter les reflets sur la cuve nous avons fabriqué untableau noir que l’on placait juste derrière la caméra.

4.2 Les objectifs de l’experience

La dynamique de la ligne triple a récemment été étudiée dans [7]. Les premiers résultats quenotre modèle de ligne d’échouage devait reproduire étaient la position de la ligne de contactet l’épaisseur de la nappe visqueuse en fonction des paramètres de l’experience (pente, débit,viscosité...). Nous commencerons par présenter les résultats experimentaux relatifs à la positionde la ligne d’échouage. Nous nous intéresserons ensuite à un paramètre qui ne semble pas avoirété pris en compte à ma connaissance dans la littérature : l’angle de décollement apparent de lanappe au point triple θc. Enfin on construira un modèle théorique auquel nous confronterons nosrésultats.

5 La ligne d’échouage

Le but de l’experience n’était pas de reproduire la ligne d’échouage dans toute sa complexiténaturelle. La rhéologie de la glace est non-newtonienne. Les nombres de Reynolds et de Frouded’un glacier sont extrêmement faible. Les effets inertiels sont donc négligeables et il suffit quel’écoulement puisse être considéré comme très visqueux et très lent par rapport à la vitesse desondes de gravité. L’objectif de cette première série d’experience était de mesurer la position de laligne d’échouage en fonction du temps (Fig.5). Les premières experiences furent très convaincantescomme en témoignent les images de la figure 6 où on voit très bien l’évolution de la nappeflottante. Les mesures ont été effectuées grâce au logiciel de traitement d’images Image J. Nousavons relevé la position de la ligne d’échouage en fonction du temps pour différentes valeur de lapente de la rampe et de la distance d’écoulement avant la rencontre avec le bain (Fig.7).

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Fig. 5 – Le glycérol s’écoule à débit constant du résevoir à droite pour ensuite s’écouler surla pente, puis dans le bain de carbonate de potassium. α = 16̊ est fixé. Nous avons mesuré laposition d de la ligne d’échouage en fonction du temps ainsi que l’angle d’échouage θc

La ligne d’échouage semble tendre vers une valeur asymptotique (non visible sur la figure 7à gauche car nous n’avons pas attendu assez longtemps). Les mesures sont correctes au demi-centimètre près du fait qu’il était difficile, sur certaines images, d’identifier la position de décolle-ment du glycérol. Le travail d’analyse demande beaucoup de temps car il faut d’abord travaillerl’image pour permettre une mesure plus précise.

Fig. 6 – Evolution de la nappe visqueuse. Le débit imposé par le réservoir est de Q=9.79 cm3.s−1.L’origine du temps est prise à l’entrée du glycérol dans le bain. (De haut en bas t0 = 0 s, t1 = 3.797s, t2 = 8.393 s et t3 = 12.79 s)

Nous allons maintenant essayer de construire un modèle théorique qui puisse rendre comptedes comportements que nous avons observé.

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Sur la dynamique des nappes flottantes et la modélisation de la ligne d’échouage des glaciers

Fig. 7 – Evolution de la ligne d’échouage pour différentes pentes. Le reservoir délivre Q=9.79cm3.s−1.

6 L’angle de décollement

Notre attention s’est ensuite portée sur l’angle de décollement qui ne semble pas avoir étépris en compte dans les papiers récents [1], [7].

Fig. 8 – Comportement oscillatoire amorti de l’angle de décollement. La valeur asymptotiqueest telle que la banquise est parallèle au niveau de la mer. Le débit est toujours de 9.79 cm3.s−1.

Les mesures sont entachées d’une erreur de l’ordre du degré : le travail d’analyse d’imagesfut vraiment très difficile. L’origine de ces oscillations semble être dûe aux ondes de gravité à lasurface du bain. En effet, l’ordre de grandeur de la période des oscillations des ondes de gravitéde notre experience est de 1 seconde ce qui correspond à ce que l’on voit sur la figure 9.

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7 Confrontation expérience/théorie

On présente ici les résultats théoriques obtenus pour un modèle très simple. Les résultatsexpérimentaux sont ensuite confrontés à ce modèle. Nous avons négligé les échanges de matièreeau/glycérol ainsi que les oscillations éventuelles du bain dans ce modèle. Pour les détails decalculs voir appendices B et C. Nous nous sommes seulement intéressé à l’étude asymptotiqueen temps de la banquise (l’étude aux temps courts a été faite récemment dans [7]). Nous avonsécrit les équations dynamiques dans deux régions : sur le plan incliné et sur le bain. Nous avonsensuite raccordé ces solutions au niveau de la ligne triple en utilisant des conditions aux limitesqui tombent sous le bon sens. Ces conditions sont la continuité de l’épaisseur de fluide et lacontinuité de la pente au point triple (Fig.9, 10). Notre modèle nous donne de très bon résultats

Fig. 9 – En noir, la courbe théorique pour l’évolution de la position asymptotique de la ligned’échouage en fonction de l’angle de la pente (débit fixé). Les points rouges correspondent auxpoints expérimentaux, la flèche pour 5̊ indique que la position asymptotique n’est pas encoreatteinte.

Fig. 10 – En noir, la courbe théorique pour l’évolution de l’angle de décrochage θc en fonction del’angle de la pente α (débit fixé). Le point rouge correspond au seul point expérimental obtenupour l’instant. Remarquez que l’erreur n’est pas très grande.

bien qu’il s’agisse d’un modèle perturbatif1. Nous avons utilisé des relations de continuité aupoint triple qui semblent être très naturelles mais ces relations sont elles les bonnes ? Le pointtriple constitue une singularité du problème où on observe une transition entre un écoulementdemi-Poiseuille et un écoulement sur bain. Une étude de la zone de transition semble donc êtred’une importance considérable pour la compréhesion de la dynamique de la ligne triple.

1Mais quel modèle physique, de manière générale, est exact ? Comment un modèle peut-il être plus exact qu’unautre ? Cette discussion relève plus de la philosophie des sciences et nous nous y aventurerons pas même si il estvrai que c’est très intéressant.

7

8 Conclusion et bilan personnel

Nous avons donc réussi à construire un modèle simple qui pouvait expliquer de manièrequalitative la dynamique de la ligne triple, du moins à la limite asymptotique en temps. Jetiens encore à remercier Laurent Limat avec qui j’ai pu apprendre énormément, il m’a vraimentexpliquer de manière simple des concepts que je n’ avais encore pas eu l’occasion d’étudier. Eneffet, je n’avais jamais fait d’hydrodynamique avant ce stage et j’avoue que j’aime.

En perspective, je souhaite étudier la zone de transition ( j’ai encore le temps : mon stagecontinue encore après) en effectuant une analogie avec la diffusion. On peut en effet considérerque le point triple constitue une pôle répulsif (Fig.11).

Fig. 11 – Analogie avec la diffusion. Le point triple est une singularité répulsive.

Il s’agit là d’une piste à creuser plus en profondeur.Je tiens enfin à dire que je suis très content de ce stage et que j’ai appris vraiment beaucoup

de chose.

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Sur la dynamique des nappes flottantes et la modélisation de la ligne d’échouage des glaciers

A Appendice

A.1 Mesure de viscosité

Nous avons fait tomber une bille de rayon r=0.8 cm et de masse 5.5 g sur une hauteur deh=26.5 cm de glycrol. Après une phase de mouvement accéléré, la bille a un mouvement rectiligneuniforme car le poids P de la bille est égale à la somme de la poussée d’Archimède FA et de laforme de frottement FR (donnée par la formule de Stokes) :

P + FA + FR = 0

avecP = ρb

43πr3g FA = ρl

43πr3g FR = 6πµrv

ρb = 2.14.10−6 g.m−3 est la masse volumique de la bille.ρl = 1.29.10−6 g.m−3 est la masse volumique du glycérol.µ est la viscosité dynamique du glycérol.v la vitesse de la bille.

En supposant que la bille a atteint sa vitesse limite, on a :

h

δt=

2r2

9µg(ρb − ρl)

d’où

µ =2r2

9hg(ρb − ρl)δt (1)

On peut donc remonter à la viscosité dynamique du liquide en mesurant le temps de chute de labille. Nos résultats donnent µ = 1.41± 0.08 Pa.s

A.2 Mesure du débit

0 100 200 300 400 500 600 700 800

0

100

200

300

400

500

600

700

800

Variation du volume de glycerol

Temps (s)

Vo

lum

e (

cm

3)

Q= 0.97 cm3. s-1

Q= 2.83 cm3. s-1

Q= 5.32 cm3. s-1

Q= 6.78 cm3. s-1

Q= 8.51 cm3. s-1

Q= 9.79 cm3. s-1

Fig. 12 – Mesure du débit délivré par le réservoir. Les débits disponibles varient entre 0.97cm3.s−1 et 9.79 cm3.s−1

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B Une piste pour l’origine des oscillations de l’angle de décolle-ment

L’ordre de grandeur du temps d’amortissement des ondes de gravité dans notre cuve est :

T ' 2π

√H

g= 0.9s

avec H = 20cm la hauteur du bain et g l’accéleration de la pesanteur. Il est donc fort probable queles ondes de gravité crées par l’impact du glycérol sur le bain soient à l’origine de ces oscillationssurprenantes de l’angle de décrochage.

Nous avons aussi essayer d’introduire une force oscillante amorti dans les équations du mou-vements mais nous ne détaillerons pas les calculs qui ne sont qu’à l’état embryonnaire pourl’instant.

C Le modèle théorique

Fig. 13 – Un fluide de viscosité η et de masse volumique ρ s’écoule sur un plan incliné (à débitfixé Q) avant de se jeter dans un bain statique de masse volumique ρe. L’origine du repère estprise au point triple. On appelle α l’angle de la pente et −x0 l’abcisse du point d’intersectionmer/plan incliné en l’absence de glace.

On distingue trois zones :– x < −x0 : écoulement demi-Poiseuille,– −x0 < x < 0 est une zone de transition entre deux types d’écoulements,– x > 0 : écoulement sur bain où de manière plus imagée, écoulement type "bouchon" de la

banquise.

C.1 L’écoulement sur la pente

Pour x < 0, le film va obéir aux équations de lubrification. Soit e(y) l’épaisseur du film surla pente, y étant cette fois une coordonnée parallèle au plan incliné, la conservation du débitlinéique s’écrit :

Γ =ρge3(y)

3η(sin(α)− cos(α)

de(y)dy

)

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Sur la dynamique des nappes flottantes et la modélisation de la ligne d’échouage des glaciers

où encore :3ηΓe3(y)

= ρg(sin(α)− cos(α)de(y)dy

) (2)

avec Γ = Q/L le débit linéique et L la largeur de la cuve. La solution exacte sous forme desérie de ce type d’équation différentielle non linéaire fait appel à une généralisation des coeffi-cients binomiaux (voir plus loin) mais nous nous proposons de trouver la solution grâce à undéveloppement perturbatif. Ecrivons que :

e(y) = e0 + ζ(y)

où e30 = 3ηQ

ρg sin(α) est l’épaisseur d’équilibre pour un écoulement stationnaire. En reportantdans (2), et en ne gardant que les termes du premiers ordre, il vient :

dζ(y)dy

− 3tan(α)

e0ζ(y) = 0 (3)

dont la solution s’ecrit :ζ(y) = Ae

3e0

tan(α)y

L’identité géometrique : y = x cos(α) + cste entraine :

e(x) = e0 + Be3

e0sin(α)x

avec B une constante qui sera déterminée par les conditions de continuité au point triple. Ondéfinit l’épaisseur de liquide H−(x) projetée sur la verticale par :

H−(x) =e(x)

cos(α)

C.2 La banquise

Nous allons seulement nous intéresser au comportement asymptotique en temps de la banquise(x>0). Soit H+(x) l’épaisseur totale de la banquise, b(x) sa partie immergée et h(x) la partieémergée (Fig.10). L’équilibre hydrostatique se traduit par :

h(x) =ρe − ρ

ρeH+(x) (4)

On a [7] :

4νdu

dx=

g′

2H+(x) (5)

où ν = η/ρ est la viscosité cinématique, g′ = ρe−ρρe

g est la gravité réduite et u(x) la vitessehorizontale. Cette équation traduit l’équilibre entre la pression hydrostatique et la viscositéélongationnelle. Par ailleurs, la conservation du débit s’écrit :

Γ = H+u

En éliminant u de (5) il vient :

1H2

+(x)= C +

g′

4νΓx

La constante C est déterminée grâce aux conditions de continuité en x=0 (ligne triple).

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Y.Atas

C.3 Conditions de raccordements

Les conditions de raccordements à appliquer sont :

H−(x = 0) = H+(x = 0) (6)

dH−dx

∣∣∣x=0

=dh

dx

∣∣∣x=0

(7)

L’équation (6) traduit la continuité de l’épaisseur et l’équation (7) celle de la pente de la surfacelibre. On doit alors résoudre le système d’équations suivantes :

e0 + B =cos(α)√

C, 3 tan(α)B = −e0

ρe − ρ

ρe

g′

8νΓC3/2

Posons ξ = −e0ρe−ρ

ρeg′

24νΓ sin(α) cos2(α), notre système d’équation devient alors :

B = ξ(e0 + B)3, C =cos2(α)

(e0 + B)2

D’où :

B =q

6ξ+

2q− e0, C =

cos2(α)( q6ξ + 2

q )2

avec

q =(− 108e0 + 12

√3

√27ξe2

0 − 4ξ

)1/3ξ2/3

On a donc finalement :

H−(x) =e0

cos(α)+ (

q

6ξ+

2q− e0)e

3e0

sin(α)x (8)

1H2

+(x)=

cos2(α)( q6ξ + 2

q )2+

g′

4νΓx (9)

Des identités géometriques simples (Fig.12) nous permettent ensuite d’écrire la positionasymptotique de la ligne d’échouage et l’angle de décollement asymptotique en fonction desparamètres du problème :

x0 =ρ

ρe

q6ξ + 2

q

sinα

θc = α + arctan(g∆(1−∆)

8νΓ(

q

6ξ+

2q)3

)Nous avons tracé les courbes théoriques sur les figures 9 et 10.

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Références

[1] C.Schoof, 2007 Ice sheet grounding line dynamics : steady states, stability and hysteresis.J. Geophys. Res. 112 (F3), 1-19

[2] T.A. Scambos, C.Hulbe, M.Fahnestock, J.Bohlander, 2000 The link between climatewarming and break-up of ice shelves in the Antarctica Peninsula. J. Glaciol. 46, 516-530

[3] J.Weertman, 1974 Stability of the junction of an ice sheet and an ice shelf. J. Glaciol. 13,3-11

[4] R.F Katz and M.Grae Worster, 2009 Stability of ice-sheet grounding lines Submittedto the Royal Society

[5] J.W. Glen, 1958 The flow law of ice. A discussion of the assumptions made in glacier theory,their experimental foundations and consequences. Int. Assoc. Hydrol. Sci. Publ. 47, 171-183

[6] Rosalyn A.V, Robison, Herbert E. Huppert and M.Grae Worster, 2008 Expe-rimental and theoretical modelling of ice sheet-shelf grounding lines. In Proceedings XXIIInternational Congress of Theoretical and Applied Mechanics

[7] Rosalyn A.V, Robison, Herbert E. Huppert and M.Grae Worster, 2010 Dynamicsof viscous grounding lines. J. Fluid Mech. 648, 363-380

[8] William L. Ditto and Thomas J. Pickett, 1988 Nonperturbative solutions of nonlineardifferential equations using continued fractions. J. Math. Phys. 29(8), 1761-1770

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