2012/05/09 Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm 1phm – Observatoire Lyon - 2010

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L’orbite d’une planète ou d’un exoplanète autour de son étoile suit les lois de Kepler.

L’observation des vitesses radiales pour la découverte des exoplanètes est devenue classique.

Connaissant les caractéristiques du système, on peut simuler son mouvement ainsi que celui de l’étoile sous Geogebra.

Comment représenter sur notre simulation, les vitesses radiale ?

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Comment représenter sur notre simulation, les vitesses radiale ?

Démarche pour tracer le vecteur :

- calculer l’amplitude

- trouver son orientation

- et le tracer

Deux approches peuvent être utilisées :

- de façon dynamique par le calcul du vecteur vitesse et la dérivation de sa position.

- de façon géométrique à partir du module et de la tangente à l’ellipse qui porte le vecteur vitesse.

C’est celle qui sera envisagée ici.

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On part d’une simulation sous Geogebra

Ouvrir le fichier orbes_exopla0.ggb

Les curseurs permettent de faire varier les principaux paramètres

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Le curseur tps représente le temps. Il peut être animé.

u, u0, u1 … u4 servent à résoudre l’équation de Kepler par itérations et donnent v angle entre le rayon vecteur et le grand axe.

Le centre de gravité du système est au point origine (0,0).

Les paramètres variables de base sont :

- période de rotation PSYS

- excentricité e- masse de l’étoile (en masses solaires) ME

- masse de la planète (en masses de la Terre) MP

On en déduit le demi grand axe a du système et des corps aP et aE exprimés en millions de km.

Les 2èmes foyers F2P et F2E des deux orbites.

M : anomalie excentrique

Les objets de l’animation

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1 – Valeur de la vitesse d’une planète sur son orbite

La résolution du système képlérien permet d’expliciter la valeur de la vitesse d’une planète sur son orbite en fonction de son rayon vecteur.

VC

pe e 1 2 2cos

a demi grand axe, M masse de l’étoile, G constante de la gravitation.

vit=C/p*sqrt(1+2*e*cos(v)+e*e)/1000

Avec : p a e ( )1 2 C G M p G M a e2 21 ( )

Dans Geogebra , on crée les objets auxiliaires en unités légales (m, kg, s) :

m_S = 2E+30 masse du SoleilG = 6.672E-11 Cte de la Gravitationp = a*(1-e*e)*1E+06C = sqrt(G*m_S*M_E*p)

On calcule la vitesse exprimée en km/s

Que l’on affichera.

Référence équations : www.astrosurf.com/nitschelm/mecanique.pdf

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2 – Vecteur vitesse : direction

Il est sur la tangente à l’ellipse au point E :

tgp=Tangente[P, el_P ]

Il nous faut son angle avec l’axe des abscisses :

α=Angle[axeX,tgp]

Le sens de rotation choisi, fait que l’angle du vecteur vitesse avec l’axe des abscisses vaut :

+/- 180°

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3 – Vecteur vitesse : composantes

Le vecteur vitesse a pour origine le point P.

Son module vaut à un facteur près vit.

vit*cos (α+180°)

+/- 180°Direction :

Composante en x :

vit*sin (α+180°)Composante en y :

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3 – Vecteur vitesse : tracé

Vvit = Vecteur[P,(x(P)+vit*cos(α+180°),y(P)+vit*sin(α+180°))]

Construction du vecteur :

A l’échelle de notre graphique, sa longueur est trop grande.

Réécrire la formule de vit en la divisant par 40.

vit = sqrt(1 + 2(1 + e cos(v)) / (a (1 - e²)))/40

Ou en coordonnées polaires

Vvit=Vecteur[P, Translation[P,(vit;α+180°)]]

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3 – Vecteur vitesse : tracé

On peut cacher :

- la droite tangente tgp

- l’angle

Donner au curseur tps, une vitesse d’animation 0.05

Faire varier les paramètres.

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3 – Vitesse radiale

C’est la projection du vecteur vitesse sur le rayon vecteur.

P' = Intersection[Droite[(E,P],Perpendiculaire[(x(P)+vit*cos(α+pi),y(P)+vit*sin(α+pi)),E,P]]]

On crée le point P’, intersection de EP et de la perpendiculaire à EP depuis l’extrémité du vecteur vitesse.

Vecteur vitesse radiale :

Vr = Vecteur[P, P']

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3 – Vitesse radiale

P_V = ((tps - floor(tps / P_{SYS}) P_{SYS}) / P_{SYS} 150, vit)

P_{VR} = ((tps-floor(tps/P_{SYS})*P_{SYS})/P_{SYS}*150,longueur[Vr] *Si[Longueur[P]>Longueur[P'],-1,1])

Faire tracer les valeurs des vitesses en fonction de la période :

Dans les propriétés de PV et PVR, on cochera l’option « Trace ».

On pourra faire passer ces deux tracés dans la deuxième fenêtre graphique.

Remarque : avec les unités choisies, l’échelle des ordonnées donne les vitesses en km/s.

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Le choix des unités et des plages de variations des curseurs permet de simuler de nombreux systèmes : de l’orbite de la Terre où l’on retrouve les vitesses aux exoplanètes que l’on découvre actuellement.

Remarques : le tracé de la courbe des ellipses sous Geogebra est approximatif.

Si vous grossissez très fortement le tracé autour du point P, vous aurez la surprise de constater que le point P n’est pas exactement sur la courbe ellipse.

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FIN

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