Exercícios de exames e provas oficiais - matematica on-line · 2017-10-03 · matA12 assíntotas...
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Exercícios de exames e provas oficiais
1. Considere a função f, de domínio
, definida por ln x
f xx
.
Utilizando exclusivamente métodos analíticos, estude a função f quanto à existência de
assíntotas do seu gráfico paralelas aos eixos coordenados.
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2017
2. Sejam f e g duas funções de domínio
.
Sabe-se que a reta de equação y x é assíntota oblíqua do gráfico de f e do gráfico de g.
Qual é o valor de
limx
f x g x
x
?
(A) (B) 1 (C) 1 (D)
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2017
3. Seja f a função, de domínio 3
,2
, definida por
21 3cos 0
4 2
ln 0x
x x se xf x
e x se x
Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, determine limx
f x x
.
Interprete o valor obtido em termos de assíntotas do gráfico de f.
matemática A – 12º ano, exame 635, época especial, 2016
4. Seja f a função, de domínio ,2
, definida por
2 sin
0cos 2
x ln 0
xse x
f x x
x se x
Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, estude a função f quanto à
existência de assíntota oblíqua do seu gráfico.
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2016
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5. Seja f uma função de domínio
Sabe-se que:
•
lim 1
x
x
f x e x
x
• o gráfico de f tem uma assíntota oblíqua
Qual é o declive dessa assíntota?
(A) 2 (B) 1 (C) 1 (D) 2
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2016
6. Considere a função f, de domínio , 1 1, , definida por 1
ln1
xf x
x
Resolva o item seguinte, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.
Estude a função f quanto à existência de assíntotas verticais do seu gráfico.
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2016
7. Seja f a função, de domínio 0
, definida por 2 1 xf x x e .
Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, estude a função f quanto à
existência de assíntota horizontal.
matemática A – 12º ano, exame 635, época especial, 2015
8. Seja f a função, de domínio , definida por
1 3
ln 3 ln 3
xxe se xf x
x x se x
Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, estude a função f quanto à
existência de assíntotas horizontais do seu gráfico.
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2015
9. Seja f a função, de domínio , definida por
1
2 1 2
11 ln
2
xe ese x
xf x
x x se x
Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, averigue da existência de
assíntotas verticais do gráfico da função f.
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2015
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10. Seja f uma função de domínio
.
A reta de equação 2 5y x é assíntota do gráfico da função f.
Qual é o valor de
6 1limx
x
f x
?
(A) 0 (B) 2 (C) 3 (D)
matemática A – 12º ano, exame 635, época especial, 2014
11. Considere, para um certo número real k, a função f, de domínio ,e , definida por
2
2
2
sin 22
6
xxe se x
f x xk se x e
x x
Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, estude a função f quanto à
existência de assíntota horizontal do seu gráfico e, caso exista, indique uma equação dessa
assíntota.
matemática A – 12º ano, exame 635, época especial, 2014
12. Considere as funções f e g, de domínio ,0 , definidas por
ln
1x
f x xx
e g x x f x
Recorrendo a processos exclusivamente analíticos, estude a função f quanto à existência de
assíntotas do seu gráfico e, caso existam, indique as suas equações.
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2014
13. Considere a função f, de domínio , definida por
4
4
3 114
4
ln 2 4
x
x
e xse x
xf x
e e se x
O gráfico da função f tem uma assíntota oblíqua quando x tende para , de equação
y x b , com b .
Determine b recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2014
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14. Seja f uma função de domínio
Sabe-se que:
• lim 1x
f x
• lim 2 2x
f x x
Em qual das quatro opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função f?
(A)
(B)
(C)
(D)
matemática A – 12º ano, exame 635, época especial, 2013
15. Considere duas funções g e h, de domínio
Sabe-se que:
• a reta de equação 2 1y x é assíntota do gráfico da função g
• a função h é definida por
2
2
1 g xh x
x
Mostre que o gráfico da função h tem uma assíntota horizontal.
matemática A – 12º ano, exame 635, época especial, 2013
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16. Considere a função f, de domínio , definida por
3 2 1
1 sin 11
1
xxe x se x
f x x xse x
x
Mostre, recorrendo a métodos analíticos e sem utilizar a calculadora, que o gráfico da função
f admite uma assíntota oblíqua quando x tende para .
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2013
17. Seja f uma função de domínio
.
Sabe-se que ln
lim 13x
x f x
x
Qual das equações seguintes pode definir uma assíntota do gráfico da função f?
(A) 1
3y x (B)
2
3y x (C) y x (D) 3y x
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2013
18. Considere a função f, de domínio \ 0 , definida por
4
10
1
ln 0
x
x
ese x
f x e
x x se x
Recorrendo a processos exclusivamente analíticos, sem utilizar a calculadora, estude a
função f quanto à existência de assíntotas verticais do seu gráfico.
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2013
19. Seja f a função, de domínio , definida por
2
3 3se 4
9
ln 3 11se 4
4
xx
xf x
xx
x
Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, resolva a seguinte questão:
O gráfico da restrição da função f ao intervalo ,4 tem uma assíntota horizontal.
Determina uma equação dessa assíntota.
matemática A – 12º ano, teste intermédio, 28-02-2013
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20. Sejam f e g funções de domínio 0,
Sabe-se que:
• a reta de equação 3y é assíntota horizontal do gráfico de f;
• f não tem zeros
•
3xeg x
f x
Qual das opções seguintes define uma assíntota horizontal do gráfico de g?
(A) 3y (B) y e (C) 0y (D) 1y
matemática A – 12º ano, exame 635, época especial, 2012
21. Seja f uma função de domínio .
Sabe-se que:
• lim 2 1x
f x x
• lim 3x
f x
• 1
limx
f x
• 1
lim 2x
f x
Em qual das opções seguintes as duas equações definem assíntotas do gráfico da função f?
(A) 1x e 2 1y x (B) 1x e 2 1y x
(C) 3y e 2 1y x (D) 2y e 2 1y x
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2012
22. Considere a função f, de domínio , definida por
1
ln 1 ln 3 0
0x
x x x x x se xf x
xe se x
Estude a função f quanto à existência de assíntotas não verticais do seu gráfico, recorrendo a
métodos exclusivamente analíticos.
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2012
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23. Seja f uma função de domínio
, contínua em todo o seu domínio.
Sabe-se que:
• 0
limx
f x
• a bissetriz dos quadrantes ímpares é assíntota do gráfico de f
Em qual das opções seguintes pode estar representado o gráfico da função 1
f?
(A)
(B)
(C)
(D)
matemática A – 12º ano, teste intermédio, 24-05-2012
24. Para cada valor de k, a expressão
se 0
2 lnse 0
xk xe x
f x x xx
x
Define uma função, de domínio , cujo gráfico tem:
• uma assíntota horizontal, quando x
• uma assíntota horizontal, quando x
Existe um valor de k para o qual as duas assíntotas são coincidentes, ficando assim o gráfico
de f com uma única assíntota horizontal.
Determine esse valor de k, sem recorrer à calculadora.
matemática A – 12º ano, teste intermédio, 13-03-2012
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25. Considere uma função f, de domínio \ 3 , contínua em todo o seu domínio.
Sabe-se que:
• lim 1x
f x
• 3
lim 2x
f x
• lim 2 0x
f x x
Em qual das opções seguintes as equações definem duas assíntotas do gráfico de f?
(A) 2x e 1y (B) 3x e 2y x
(C) 2y x e 1y (D) 2y x e 1y
matemática A – 12º ano, exame 635, época especial, 2011
26. Considere a função f, de domínio 0, , definida por
2 1se 0 2
2
1se 2
ln 1
xex
xf x
xx
x
Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, estude f quanto à existência de assíntotas
verticais do seu gráfico.
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2011
27. Na figura, está representada, num referencial o.n. xOy,
parte do gráfico de uma função g, de domínio 3,
A reta de equação 2 4y x é assíntota do gráfico de g.
Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
(A) lim 2 4 0x
g x x
(B)
lim 2x
x
g x
(C) lim 2 4 0x
g x x
(D) lim 2 0x
g x x
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2011
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28. De uma função h, de domínio , sabe-se que:
• h é uma função par;
• lim 2 0x
h x x
Qual é o valor de limx
h x
?
(A) (B) 2 (C) 0 (D)
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2010
29. Considere a função f, de domínio 0, , definida por
3se 0 2
1ln se 2
5
xe xx
xf x
x x x
Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, estude a função f quanto à existência de
assíntotas oblíquas.
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2010
30. Na figura, está representada, num referencial o.n. xOy, parte do gráfico de uma função f,
contínua, de domínio ,1 .
Tal como a figura sugere, a reta de equação 1x é assíntota do gráfico de f.
Qual é o valor de 1
3limx
x
f x?
(A) (B) 3 (C) 0 (D)
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2010
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31. Considere a função f, de domínio ,1 , definida por
se 0
sin 2se 0 2
xax b e x
f x x xx
x
com ,a b
Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, prove que a reta de equação y ax b ,
com 0a , é uma assíntota oblíqua do gráfico de f.
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2010
32. Seja f a função, de domínio , definida por
2
se 0 22
1 se 2x
xx
f x x x
xe x x
O gráfico da função f tem uma assíntota oblíqua. Determine a equação reduzida dessa
assíntota, usando exclusivamente métodos analíticos.
matemática A – 12º ano, teste intermédio, 15-03-2010
33. Na figura, estão representadas parte do gráfico de uma função f, de domínio 3, , e parte
da reta r, que é a única assíntota do gráfico de f.
Qual é o valor de
limx
f x
x?
(A) 1 (B) 0 (C) 1 (D) 2
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2009
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34. Consider a função h, de domínio , definida por
2
2
4 se 0
2 se 0
1se 0
x
x x x
h x x
ex
x
Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, estude a função h quanto à existência de
assíntotas do seu gráfico paralelas aos eixos coordenados e, caso existam, escreva as suas
equações.
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2009
35. Sejam f e g duas funções, ambas de domínio
.
Sabe-se que:
• lim 2 0x
f x x
;
• a função g é definida por 2g x f x x .
Prove que o gráfico de g não tem assíntotas oblíquas.
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2009
36. De uma função g, de domínio
, sabe-se que:
0
limx
g x
e lim 0x
g x x
Em cada uma das quatro alternativas apresentadas abaixo, está representado, em referencial
o.n. xOy, o gráfico de uma função e, a tracejado, uma assíntota desse gráfico.
Em qual das alternativas pode estar representado o gráfico de g?
(A)
(B)
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(C)
(D)
matemática A – 12º ano, teste intermédio, 11-03-2009
37. Seja f a função de domínio , definida por
2
2
1
3 3se 1
2 1
ln se 1x
xx
f x x x
x e x
Sem recorrer à calculadora, estude a função f quanto à existência de assíntotas do seu gráfico,
paralelas aos eixos coordenados.
Indique uma equação para cada assíntota encontrada.
matemática A – 12º ano, teste intermédio, 11-03-2009
38. Na figura, está representada parte do gráfico de uma função f de domínio ,2 .
A reta t, de equação 1y x , é assíntota do gráfico de f quando x tende para .
Qual é o valor do lim 1x
f x x
?
(A) 1 (B) 0 (C) 1 (D)
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2008
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39. Na figura está representada parte do gráfico de uma função
f de domínio 0, . A reta r, de equação 1
23
y x , é
assíntota do gráfico de f.
Seja h a função definida em 0, por
xh x
f x . O
gráfico de h tem uma assíntota horizontal.
Qual das equações seguintes define essa assíntota?
(A) 1
3y (B)
1
2y (C) 2y (D) 3y
matemática A – 12º ano, teste intermédio, 29-04-2008
40. Na figura está parte da representação gráfica de uma
função f, de domínio .
Tal como a figura sugere, o eixo Ox e a reta de equação
1y são assíntotas do gráfico de f.
Seja g a função, de domínio , definida por
lng x f x .
Numa das opções seguintes está parte da representação
gráfica da função g.
Em qual delas?
(A)
(B)
(C)
(D)
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2007
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41. Admita que a intensidade da luz solar, x metros abaixo da superfície da água, é dada, numa
certa unidade de medida, por
0bxI x ae x
a e b são constantes positivas que dependem do instante e do local onde é efetuada a medição.
Sempre que se atribui um valor a a e um valor a b, obtemos uma função de domínio 0
.
Considere que 0,05b e 10a .
Estude essa função quanto à existência de assíntotas do seu gráfico e interprete os resultados
obtidos no contexto da situação descrita.
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2007
42. Seja g uma função de domínio
.
Sabe-se que a reta de equação 2 3y x é assíntota do gráfico de g.
Indique o valor de
lim 2
x
g xg x x
x
(A) 0 (B) 5 (C) 6 (D)
matemática A – 12º ano, teste intermédio, 15-03-2007
43. Considere a função f, de domínio 0, , definida por 1 ln x
f xx
(ln designa logaritmo
de base e).
Sem recorrer à calculadora, estude a função f quanto à existência de assíntotas do seu
gráfico, paralelas aos eixos coordenados.
matemática A – 12º ano, teste intermédio, 17-03-2006
44. De uma função g, de domínio 0, , sabe-se que:
• não tem zeros;
• a reta de equação 2y x é assíntota do seu gráfico.
Seja h a função, de domínio 0, , definida por
2xh x
g x .
Prove que a reta de equação 2y x é assíntota do gráfico de h.
matemática A – 12º ano, teste intermédio, 17-03-2006
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45. Considere uma função f, de domínio \ 5 , contínua em todo o seu domínio.
Sabe-se que:
• 5
lim 3x
f x
• lim 2x
f x
• lim 0x
f x x
Em cada uma das opções seguintes, estão escritas duas equações, representando cada uma
delas uma reta.
Em qual das opções as duas retas assim definidas são as assíntotas do gráfico da função f?
(A) y x e 2y (B) 2y e 5x
(C) y x e 5x (D) 3y e 2x
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 2005
46. Considere uma função f, de domínio \ 0 , definida por 1xe
f xx
.
Sem recorrer à calculadora, estude a função f quando à existência de assíntotas do seu gráfico,
paralelas aos eixos coordenados.
matemática A – 12º ano, exame 435, 2ª fase, 2004
47. Seja f uma função de domínio , e seja g a função definida por 1g x f x .
A reta de equação 2 4y x é a única assíntota do gráfico de f.
Qual das seguintes é uma equação da única assíntota do gráfico de g?
(A) 2 6y x (B) 2 4y x
(C) 2 4y x (D) 2 6y x
matemática A – 12º ano, exame 435, 2ª fase, 2003
48. Na figura junta está representada parte do gráfico de uma
função f de domínio , contínua em todo o seu domínio.
A bissetriz dos quadrantes pares e a bissetriz dos
qudrantes ímpares são assíntotas do gráfico de f.
Indique em qual das quatro figuras seguintes pode estar
representada parte do gráfico da função g definida por
f x
g xx
.
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(A)
(B)
(C)
(D)
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 2ª chamada, 2003
49. Considere uma função g, de domínio 0, , contínua em todo o seu domínio.
Sabe-se que:
• O gráfico de g tem uma única assíntota;
• 1
lim2x
g x
x .
Em qual das quatro alternativas seguintes podem estar representadas, em referencial o.n.
xOy, parte do gráfico da função g e, a tracejado, a sua assíntota?
(A)
(B)
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(C)
(D)
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 1ª chamada, 2003
50. Considere as funções f e g, de domínio , definidas por
112
3
xf x e 2sin cosg x x x
Utilizando métodos exclusivamente analíticos, estude a função f quanto à existência de
assíntotas paralelas aos eixos coordenados.
matemática A – 12º ano, exame 435, 2ª fase, 2002
51. De uma função h, de domínio
, sabe-se que a reta de equação 2y é assíntota do seu
gráfico.
Qual é o valor de
limxx
h x
e?
(A) (B) (C) 0 (D) 2
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 2ª chamada, 2002
52. De uma função f, de domínio , definida por 0,30,1 0,2 xf x e , tem uma única assíntota.
Qual das condições seguintes é uma equação dessa assíntota?
(A) 0y (B) 0,1y (C) 0,2y (D) 0,3y
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 1ª chamada, 2002
53. De uma função g, de domínio
, sabe-se que a bissetriz dos quadrantes ímpares é uma
assíntota do seu gráfico.
Seja h a função, de domínio
, definida por
2
g xh x
x .
Prove que o eixo Ox é uma assíntota do gráfico de h.
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 2ª chamada, 2001
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54. Considere a função f, de domínio
, definida por 3 2lnf x x x (ln designa logaritmo
de base e).
Utilizando métodos exclusivamente analíticos, estude f quanto à existência de assíntotas do
seu gráfico.
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 1ª chamada, 2001
55. Considere a função f, de domínio \ 1 , definida por 1
xef x
x
.
Recorrendo exclusivamente a processos analíticos, estude a função f quanto à existência de
assíntotas verticais e horizontais do seu gráfico.
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 2ª chamada, 2000
56. Na figura ao lado está representada
graficamente uma função f, de domínio
.
A reta s, que contém os pontos 2,0 e 0,1 ,
é assíntota do gráfico de f.
Indique o valor de
limx
f x
x.
(A) 2 (B) 0
(C) 1
2 (D) 1
matemática A – 12º ano, exame 135, 2ª fase, 1999
57. Na figura abaixo está parte da represtação gráfica de uma função s de domínio .
Indique qual das figuras seguintes pode ser parte da representação gráfica da função f
definida por
1t x
s x .
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(A)
(B)
(C)
(D)
matemática A – 12º ano, exame 135, 1ª fase, 1ª chamada, 1998
58. A atividade R, de qualquer substância radioativa, é dada, numa certa unidade de medida, pela
expressão
.B tR t A e
em que A e B são constantes reais positivas e t é o tempo em horas, com 0t .
Estude a função R quanto à existência de assíntotas.
matemática A – 12º ano, exame 135, 2ª fase, 1997
59. Numa pastelaria a temperatura ambiente é constante.
Admita que a temperatura, em graus centrígrados, de um café servido nessa pastelaria, t
minutos após ter sido colocado na chávena, é dada por:
0,04.t20 50 , 0,f t e t (e designa o número de Neper)
Estude a função f quanto à existência de assíntotas.
matemática A – 12º ano, exame 135, 1ª fase, 1ª chamada, 1997
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60. Na figura abaixo está a representação gráfica de uma
função f, da qual a reta t é assíntota.
O valor de lim 2x
f x x
é:
(A) (B) 0 (C) (D) 1
matemática A – 12º ano, exame 135, prova modelo, 1997
Bom trabalho!!
matA12
assíntotas
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Principais soluções
1. 0y e 0x
2. (A)
3. lim 0x
f x x
Assíntota oblíqua y x
4. Não tem assíntota oblíqua
5. (D)
6. 1x e 1x são assíntotas verticais de f
7. 0y
8. 1y quando x
0y quando x
9. A função não tem assíntotas verticais
10. (C)
11. 0y quando x
12. Assíntotas verticais:
0x Assíntotas não verticais:
1y x quando x
13. b ln 2
14. (A)
15. 4y
16. 2y x
17. (D)
18. Não tem assíntotas verticais.
19. 3y
20. (D)
21. (B)
22. Assíntota obliqua quando x
3 1y x
23. (D)
24. 2k
25. (C)
26. Não existem assíntotas verticais
27. (C)
28. (A)
29. Não existem assíntotas oblíquas
30. (C)
31. 32. 1y x
33. (C)
34. Assíntotas horizontais:
0y é assíntota quando x e quando
x
Assíntotas verticais:
Não existem
35. 36. (D)
37. Assíntotas verticais:
1x
Assíntotas horizontais:
3y quando x
38. (B)
39. (D)
40. (C)
41. 0y é assíntota horizontal quando x
42. (C)
43. Assíntotas verticais:
0x Assíntotas horizontais:
0y quando x
44. 45. (A)
46. Assíntotas verticais: Não tem
Assíntotas horizontais:
0y quando x
47. (A)
48. (A)
49. (D)
50. Assíntotas verticais: Não tem
Assíntotas horizontais:
1
3y quando x
51. (A)
52. (B)
53. 54. Assíntotas verticais:
0x
Assíntotas não verticais: Não tem
55. Assíntotas verticais:
1x
Assíntotas horizontais:
0y quando x
56. (C)
57. (D)
58. Assíntotas verticais: Não tem
Assíntotas horizontais:
0y quando t
59. Assíntotas verticais: Não tem
Assíntotas horizontais:
20y quando t
60. (B)