EXERCÍCIOS 1 - calculo.iq.unesp.br · 3. ≈ 7h, 42min. 4. Levará aproximadamente 82 seg para...
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Respostas dos Exercícios
CAPÍTULO 1
EXERCÍCIOS 1.1
a) 2 91 (2 3 )54
x C+ + b) 1/2 1/22( 3) 2arctg( 3)x x C+ − + +
C
c) d)
ln( 4)te + + 1 sen(5 2)5
x C− +
e)
7/2 5/2 3/22 4 2(1 ) (1 ) (1 )7 5 3
x x x+ − + + + +C f)
5/2 3/22 2( 1) ( 1)5 3
x x C+ − + +
g)
5/2 3/22 8( 4) ( 4)5 3
t t− + − +C h)
21 ln sec2
x C+
i)
14/3 1/6 2/33 18 614
x x x− + +C j) 2 2/3 23 ( 4) ( 6)10
x x C+ − +
k) 3 6 62 3 6 6ln( 1)x x x x− + − + +C l) 7/3 4/33 27( 9) ( 9)7 4
x x C+ − + +
m) 9/5 4/55 5(3 2) (3 2)81 18
x x+ − + +C n) 2 2arctg33
x C−+
o) 7/2 5/2 3/22 4 2(1 ) (1 ) (1 )7 5 3
x x xe e e+ − + + + +C
EXERCÍCIOS 1.2
1. a) (ln 1)x x − +C b) 1 (sen cos )2
xe x x C− +
c) cos sen x x x− + +C d) 3 1ln
3 3x x C⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠
e) ( )1 cossec cotg ln cossec cotg 2
x x x x C+− + − f) 21arctg ln(1 )2
x x x C− + +
g) 2(2 )cos 2 sen x x x x C− + + h) 2 1
2 2
xe x C−− ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟
⎝ ⎠
i) 3/22 (3ln 2)9
x x C− + j) cos (1 ln(cos ))x x C− +
k) sec ln sec tgx x x x− + C+ l) 3 23 2 1xe x x x C− ⎡ ⎤− + + + +⎣ ⎦
m) sen5 cos5125
x x x C+ n) ( )3
29 6 227
xe x x C− + +
o) 2( 2) sen 2 cosx x x x C− + +
2. 2 1 1( )
2 2
tep t t−− ⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎝ ⎠ 4+
EXERCÍCIOS 1.3
1. a) 5sen
5x C+ b) 31 1 1sen 4 sen 2
16 64 48x x x C− + +
c) 7 5cossec cossec
7 5x x C−+ + d) 3 5 71 2 1cos cos cos
3 5 7x x x− C+ − +
e) 4cos
4x C−+ f)
5 3tg tg tg5 3
x x x x C− + − +
g) 7 32 2cos cos7 3
x x C− + h) 9 7 51 2 1tg tg tg9 7 5
x x x C+ + +
i) 4tg4
x C+ j) tg cotgx x C− +
k) 31sen sen3
x x C− +
l) 31 1 1cossec cotg cossec cotg ln cossec cotg4 8 8
x x x x x x−+ − − C+
EXERCÍCIOS 1.4
1. a) 1 arctg2 2
x C+ b) 21 3 3ln
3x C
x x+
− +
c) 2 16ln
4 4x x C−+ + d) 29 arcsen 9
2 3 2x x x C+ − +
e) 2 2625 arcsen 25 (25 2 )8 5 8
x x x x C+ − − + f) 2
2 1ln 1 xx x Cx−
+ − − +
EXERCÍCIOS 1.5
a) 5 6ln | 2 |2
x Cx
+ + ++
b) 3ln | 1 | 5ln2
xx Cx−
− + +−
c) 3ln ln 3 2ln 1x x x− + + − +C d) 2 2 2ln 1x x x C− + + +
e) 2 1ln( 1) arctg 2ln 11
x x x Cx
+ + − − − +−
f) 219 ln( 1) 12arctg ln | |2
x x x x C− + − + +
g) 32 5ln | 33
|x xx
+ − + ++
C h) 3 2 1ln | 2 | ln5 5 2
x x C+ + − +
EXERCÍCIOS EXTRAS
1. 1) 107ln 11
x x Cx
+ − − +−
2) 2arcsen x C+
3) 3 23tt
− +C 4) 21 9 3ln
3x C
x x+
− +
5) 11 tg
Cx
−+
+ 6) tg x C+
7) 1 1 14 1 1
Cx x
⎡ − +⎢ + −⎣ ⎦⎤⎥ 8) 1ln
2 senC
x⎛ ⎞
+⎜ ⎟−⎝ ⎠
9) 1 arctg4 4
x C+ 10) 1 tg55
x x C− +
11) 2 arctg 3
t C+ 12) 3arcsen x C+
13) 31 (2 ) 23
y y− +C 14) 1xe C− +
15) 2 14ln ln( 4) arctg2 2
xx x x+ + + − +C 16) 2 2
3
(3 2 ) 327x x C
x+ −
+
17) 3 51 sen 2 sen 2
2 3 5Cθ θ⎡
−⎢⎣ ⎦
⎤+⎥ 18)
221 ln( 1) arctg
4 4x x x x C+ − + + +
19) 2
2 21 1 sen( 1) cos( 1)4 4
xx xe e e−
+ − − C+ 20) xxe C−− +
21) 5 31 2cotg cotg cotg5 3
x x x− − − C+ 22) 15ln 1 3ln 51
x x Cx
+ − − − ++
23) 26
1 1cos 3
xe Cx x
− − + 24) 2 24 ln 4x x x C− + + − +
25) 2
12(16 )
Cx
+−
26) 2 sen 2cos5 2 2
x x xe C⎡ ⎤+ +⎢ ⎥⎣ ⎦
27) 24
2 14
x xe x⎡ ⎤
− + +⎢ ⎥⎣ ⎦
C 28) 21 tg2
x C+
29) 2
2 2 1arctg2( 2 3) 4 2
x x Cx x− − +⎛ ⎞− +⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠
30) ( 1) tg ln cosx x x C− + +
2. a) ≈ 13,18 b) ≈ 7,4 c) ≈ 41,85 3. 5/2
4. 31 1( ) cos cos 109 3
p t t t t= − +29
+
5. ≈ 0,082
CAPÍTULO 2
EXERCÍCIOS 2.1
5. a) 3 31 ( )3
y y x C+ − + = 0 b) 2 xy e=
c) d) 2 3 22 2 2 3y y x x x− − − − − = 0 22ln(1 ) 4y x= − + +
e) 2ln sen 1 0y y x+ − − = f) 32 ln 13
y x C= ± + +
g) 2 21 ( )2
y xy x e e C−− + − + = 0 h) 22y
x C=
−
i) 1yx C−
=+
j) 2
42
xey C= ± +
k) 2y x= ± +C l) ( )2
2ln 02xy C− + =
6. a) b) tg( 1)y x= − 2 ( 1) 3tx e t= − + 7. k = -3 ou k = 3. 8. 2
24 2
yx x
−=
+ −
9. Considerando 0 temos 4y≤ <2
02
03
4 4( ) , onde 1
t
yy t Cy
Ce−
−= =
+
.
a) ( ) 4.t y t→+∞ ⇒ → b) unidades de tempo. 3,3T ≈ 10. 21 1( ) (1 ); ( ) quando .
8 8xy x e y x x−= − → →∞
EXERCÍCIOS 2.3
1. ( ) (1 )k tC t C e−= − , onde k é a constante de proporcionalidade.
2. t = 24 dias e meio 0,0282804 t−( ) 100C t e=
3. a) aproximadamente 13 anos; b) 29,58 mg
4. Aproximadamente 13.334 anos
5. 0
0( ) ,
1 p tp p xx t C −
xCe α−= =+
0
0
1 1( ) ,1 t
xx t CxCe β−−
= =+
6.
7. Q(0) = 160 bactérias
8. 29,3 gramas; ; 0 grama de A e 30 gramas de B. 60 quando x t→ →+∞
(10) 1834; ( ) 2000 quando C C t t= → → +∞
9.
EXERCÍCIOS 2.4
1. a) 21( ) (3 1)
2xy x e= − b) 2
sen ( ) xy xx
=
32( ) (
3x xy x e c) 2 31 1( )
3 3x xe Ce− −+ +y x x⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠)C= + d)
e) 3 cos(( ) sen(2 )2 2
xy x xx
⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦2 ) C+ 3 f) 2( ) 2 ( 1)x xe+y x e x= −
g) 3
2( )5x Cy x
x= + h) 2 21( ) ( 1)
2xy x e x−= −
2. a) b) → → 0,04 te− ndo t +∞
t
100( ) 0,3(1 ), ( ) 0,3 quando .te i t t−= − → →∞
( ) 500 400C t = − ( ) 500 gr quaC t 3. 7h, 42min≈ 4. Levará aproximadamente 82 seg para atingir 90ºC e 146 seg para atingir 98ºC. 5. Aproximadamente 25ºC. 6. i t 7. . 50 50( ) 0,01(1 ), ( ) 0,5t tq t e i t e− −= − = EXERCÍCIOS EXTRAS
1. a) a = 0 ou a = 2; b) a = 0 ou a = -1/3
2. a) 21 5( )
2 2x x xy x e e− −= − + b) 2 1/21( ) (1 )
2x= +y x
c) d) 3 3
( ) t t ty t e e− −= + 215( ) (2 )16
y x x 1= + +
e) 3 3( )
2t ty t e e−= −
3t− f) 5 54
5 51 4( )5 5
x x
y x e e−
= +
g) 2
15( )9
y xx
=+
h) 1( )y x xx
= −
3. 51 .xe−⎞
⎟01( )5 5
y x y⎛= + −⎜⎝ ⎠
a) A solução é decrescente para y0 > 1/5 e crescente para y0 < 1/5. b) y(x) → 1/5 quando x →¶ e independe do valor de y0.
4. 02
4( ) .9
yy xx
=−
a) x > 3 para e -¶ < x < ¶ para y0 = 0. 0 0y ≠ b) y(x) → 0 quando x →¶ e independe do valor de y0. 6. A solução do PVI é dada implicitamente por 3 23y y x x 0.− − − = A solução tem um extremo local
onde 0dydx
= , ou seja, em x = -1/2.
7. ≈ 50.200 anos. 8. 30/4 gramas.
9. a) 1
2100( ) ( 100)t
Q t e t−
= + b) 1
10(10) 2C e−
= gramas por litro. 10. y0 = 64 11. t ≈ 2,71 h 12. t ≈ 0,5 h 13. 760 14. 11 horas 15. T(1) = 31,67°F; Aproximadamente 0,06 min.
17. /10
2 /10
60(1 ), 0 20( )
60( 1) , 20
t
t
e ti t
e e t
−
−
⎧ − ≤⎪= ⎨− >⎪⎩
≤
18. 1( )/0( ) t t RCE t E e− −=
19. sen0( ) k tP t P e=
20. 276 estudantes infectados
CAPÍTULO 3
EXERCÍCIOS 3.2
(a) d = 5 (b) 86 9,27d = ≈
EXERCÍCIOS 3.4
1. a) b)
; ;
;
( )1,2 1f − = − ( ), 3f b x b x= +
c) d) ( ) ( ), ,
3f x x y f x y
x+ Δ −
=Δ
( ) ( ), ,1
f x y y f x yy
+ Δ −=
Δ
2. a) b) ( ){ }2 2 2, :D x y x y= ∈ + ≤ 4 ( ){ }2 2, :D x y y x= ∈ ≥
c) d) ( ){ }2, :D x y y x= ∈ ≠ ± ( ){ }2, : 4 2D x y x y= ∈ > −
3. a) b) c) ( )2,1 5f = ( ) 33 , 9 1f a a a= + ( ) ( )2 2, 1f ab a b a b a b− = − +
4. a) b) ( ) ( )( ) 2 1, 3 0f x t y t t t= + ( ) ( )( )0 , 0 0f x y =
5. ( ){ }2 2, :D x y x y= ∈ ≠
6. a) ( ) 2 3, :2xD x y y −⎧ ⎫= ∈ ≠⎨ ⎬
⎩ ⎭( ) 72,1
8f = ( )6, 4 0f − =
b) ; ( ){ }2, :D x y y x= ∈ ≥ ± ( )4,5 3f = ( )1,2 3f − =
CAPÍTULO 4
EXERCÍCIOS 4.1
2. a) b) 3 25 ; 15x yz y z xy= = ( )22
12 ; 3 ln 2 12 1
yy
x yxez z
c) d)
e xx
= = −−
x ; x yz ycosx z sen= = ( ) ( )2 27 1 2 ; 7 1 2xy xyx ye xy z xe xy= + = +z y
e) f) ( )
2 3
2
6 8 ; 1 4 1 4
x yx xz z
y y= =
− −
3 3 ; x yz zx y
−= =
g) ( ) ( )2 2 2 22 cos ; 9x yz x x ysen x y z x sen x y y⎡ ⎤= − = − +⎣ ⎦2
h) ( ) ( ) 11 ln ; lnxy xyx yz e y x y z e x x y
y⎡ ⎤
= ⎡ + − ⎤ = − −⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
i) ( ) ( )
2 2
2 2
2 ; x yx xy y x xz z
x y x+ − −
= =+ + y
j) ( ) ( ) ( )
2 3 2 2 2 3 3 2
2 22 2
1 1 3 2- + ; - + ; +2 2x y z
z y x yz z y x xz z y x zy x xyf f fx y x yxyz xyz xyzx z x z x z
− −= = =
+ ++ + +
k) 2 3 3 3 3 2 3 3 2 2 23
w2
2
3 2 3 ; 6 - - ; 3 ; 32 32 32w y x zw z w z xyz y z w z xy zf f xy f y f
y y w w y= = = − = −
4. 2 ; m m
P T
V VR RTT P P P
∂ ∂⎛ ⎞⎜ ⎟
⎛ ⎞= = −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
5. ( ) (3,2 12,2xf ≈ )3;2, 16,8xf ≈2
EXERCÍCIOS 4.2
1. dT V dP P dVdt R dt R dt
= +
2. 2
4
2( )dT dP abV aV dVR V b Pdt dt V dt
⎡ ⎤⎛ ⎞−= − + +⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎣ ⎦
3. a) b) 30,88 / mindV cmdt
π= 20,46 / mindA cmdt
π=
4. 20,07626 /dS cm anodt
=
5. a) A produção de trigo diminui a medida que a temperatura aumenta.
A produção de trigo aumenta a medida que a chuva aumenta.
b) (Nestas condições, a produção de trigo diminuirá cerca de 1,1 unidades por ano.) 1,1dWdt
= −
6. 53,1 10 /dI A sdt
−= − ×
7. 0,27dVdt
= −
8. ( 0)dw tdt
= = 4
10. 216
−
11. a) b) ( )2
6 3dz yt xdt x y
−
−= ( )2 29 6 1 18dz x y t
dt⎡ ⎤= + +⎣ ⎦
12. a) b)
( ) 2
' 2 t
y x
f f coste tx y
⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠G t ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' 0 1,0 1,0 1,0 1,0 5
y x
f dx f dyGx dt y dt
⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞= + =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟
EXERCÍCIOS 4.3
1. a) b)
3 4z x= − 25z y= −
2.
4z x= −
3. 2 53 3
z x= + 5 43 3
z y= +
4. (coeficiente angular da reta tangente à curva de nível gerada, no plano yz, quando se fixa x = 1) ( )1,2 8xf = −
(coeficiente angular da reta tangente à curva de nível gerada, no plano xz, quando se fixa y = 2) ( )1,2 4yf = −
5. (a) (b) 3
40 e 9
x x= = 0 e 1x x= =
6. (a partir do ponto (2,3) do plano xT, para cada uma unidade que você anda (aumenta), na
direção do eixo x, o valor de z diminui de 2,4 unidades)
( )2,3 2,4y
Tx
∂⎛ ⎞ = −⎜ ⎟∂⎝ ⎠
(a partir do ponto (2,3) do plano yT, para cada uma unidade que você anda (aumenta), na
direção do eixo y, o valor de z diminui de 9 unidades)
( )2,3 9x
Ty
⎛ ⎞∂= −⎜ ⎟∂⎝ ⎠
7. (a) axa de variação da temperatura aparente em relação a temperatura do ar,
mantendo a umidade relativa do ar como constante).
0,885 1,2h
I ht∂⎛ ⎞
⎜ ⎟ (t
; ;
= +∂⎝ ⎠
(taxa de variação da temperatura aparente em relação a umidade relativa do ar,
mantendo a temperatura do ar como constante).
22,4 1,2t
I th∂⎛ ⎞ = − +⎜ ⎟∂⎝ ⎠
(b) e 0,8
1,845h
It =
∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠ 32
16ot
Ih =
∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠
EXERCÍCIOS 4.4
1. a) ( ){ }2, : 0, D V T V V b= ∈ > ≠
b)
3.
4. a) Não satisfaz o teorema
b) Satisfaz o teorema
6. a)
b)
c)
d)
( )2 3
2
T
P RT aV VV b∂
= − +∂⎝ ⎠ −
⎛ ⎞⎜ ⎟ ( )V
P RT V∂⎛ ⎞
b⎜ ⎟∂ −⎝ ⎠=
( )
2
32 4
2 6
T
P RTV VV b
⎛ ⎞∂= +⎜ ⎟∂ −⎝ ⎠
a
2 2
2m mV VR
P T P T P⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂
= − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( )xy yxf f≠
( )xy yxf f=
2 22 8 ; 16 ; 16 ; 18 8xx xy yx yyf y f xy f xy f y x= = = − += +
2 21 1 ; 0 ; 0 ; xx xy yx yyf f f fx y
= − = = = −
2 2e ; +xy ; ; xy xy xy xy xyxx xy yx yy
xyf y f e e f e xye f x= = = + = e
)( )(( )
2 2 2 2
42 2
4 3 yx
x x y x yf
x y
+ − +=
+
e)
( )
2 2
32 2 2 2
1 1
zzx yfx y z
+ −=
− − − ( )3
2 2 2 2
=
1yx
xyfx y z
−
− − −
EXERCÍCIOS 4.5
1. a) (0,0,0) é um ponto de mínimo relativo
c) (0,0,5) é um ponto de sela
e) não existem pontos de máximo, mínimo ou sela
2. a) Máximo absoluto em b) Máximo absoluto em (3,‐2) 11,2
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
3. (0,0,0) é um ponto de sela
(‐1,1,1) é um ponto de máximo relativo
4. Os números são: x = y = z = 8
9. A antena deve ser instalada no ponto 5 1,4 4
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
EXERCÍCIOS 4.7
3. a)
b) Quando α = 0 e β = 0, tem‐se que V = cte (que significa que se trata de um fluido (líquido) incompressível.
c)
d)
dV dT dPV
α β= −
-124 bar C⋅
32 1,267 cmV =
4.
EXERCÍCIOS 4.9
2. Considere utilize derivação implícita. e( ) ( )2, , 0aF P T V P V b RTTV
⎛ ⎞= + − − =⎜ ⎟⎝ ⎠
( )
( )2 2
2 3
2P
a V bRV V T
T a V baPTV TV
−+⎛ ⎞∂
=⎜ ⎟∂ −⎝ ⎠+ −
EXERCÍCIOS EXTRAS
1. a) ( )4y
z xy sen x yx∂⎛ ⎞ = − +⎜ ⎟∂⎝ ⎠
; ( )22x
z x sen x yy
⎛ ⎞∂= − +⎜ ⎟∂⎝ ⎠
b) ( ) ( )cosx y
y
z e x y sen xx
−∂⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + +⎜ ⎟ ⎣ ⎦∂⎝ ⎠y+ ; ( ) ( )cosx y
x
z e x y sen xy
−⎛ ⎞∂ y⎡ ⎤= + −⎜ ⎟ +⎣ ⎦∂⎝ ⎠
2. a) 3 3 220 6 7y
f x y x yx∂⎛ ⎞ = +⎜ ⎟∂⎝ ⎠
− ; 4 2 315 2x
f x y xy
⎛ ⎞∂= +⎜ ⎟∂⎝ ⎠
b) 21 '
y
z xfx yy
⎛ ⎞∂⎛ ⎞ = ⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ; 2 3
1 'x
z x xf fy yy y
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
xy
c) 1 ' cos
y
z x xf senx y y y
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ; 2 ' cos
x
z x x xf seny yy
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠y
d) ( )
2
22
y
z x xyx x y∂ +⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠ +
y− ;
( )
2
2x
z x xy x y
⎛ ⎞∂ −=⎜ ⎟∂ +⎝ ⎠
e) ( )4
2 22
23 ln 22y
z xx x yx x y∂⎛ ⎞ = − − −⎜ ⎟∂ − −⎝ ⎠
; 3
22y
z xx x y∂⎛ ⎞ = −⎜ ⎟∂ − −⎝ ⎠
f) [ ]23 1 2xy
y
z ye xyx∂⎛ ⎞ = +⎜ ⎟∂⎝ ⎠
; [ ]23 1 2xy
x
z xe xy
⎛ ⎞∂= +⎜ ⎟∂⎝ ⎠
y
g) 3 1
y
z xsenx y y∂⎛ ⎞ = − +⎜ ⎟∂⎝ ⎠ x
; 23 1
x
z x xseny yy
⎛ ⎞∂= −⎜ ⎟∂⎝ ⎠ y
h) 7 lnx
y
w y yx
∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ; 17 x
x
w xyy
−⎛ ⎞∂=⎜ ⎟∂⎝ ⎠
3. ( )1,1 17y
wx
∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠
4. ( ) 4 2 21, 7 ln 12
f x y x y xy y K= − + + +
5. a) 66
x
y
f yf x=
= b)
62
x
y
f xf=
= c) 2
6
3
yx
yy
f xe
f x e
=
= d)
3 2
2
xyx
xyy
f ye
f xe
= +
=
e) 2
2
2x
y
xfy
xfy
=
= − f)
( )2
11
1
x y
y
yy
he
xehe
=+
= −+
g) ( )( )
6 3 4
2 3 4x
y
f x y
f x y
= − +
= − − +
h) ( )
( )
1 ln
ln
xy xx
xy xyy
yf e y x yex
f e y x xe
= − + −
= + − i)
( )
3
3 1
x y
y y
yfex y
fe
=
−=
j) 2 c
cos
x
y
y yf xsen y osx x
yf xx
= −
=
6. a) 32VRC = b) ( )
53223ln 2
RTPeS R mkT
Lhπ
⎛ ⎞⎜ ⎟
= ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
c) 25 3
2 2TR RR
P⎛ ⎞
+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
d) 5 13
P
V
C RTC P
= +
7. , ,
e 0P n T n
V VnRT P∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
8. 2
4,18I
H RIt
∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠ calorias/s
9. 0 02
760 760 e 1
273 273P T
TT P P P
ρ ρρ ρ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛= = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎞+ ⎟⎠
10. a) 21
58r
Ah
π∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠ b)
958h
Ar
π∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠
11. 1 1
1 T
T
PB VV V
V Pβ
∂⎛ ⎞= = − = − ⎜ ⎟∂ ∂⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎜ ⎟∂⎝ ⎠
⇒
2 T T
m mV V V V V
mV
μ μμ ⎡ ⎤∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
T
T
VV
V
μ μμ μ
⎛ ⎞∂= − = − ⎜ ⎟∂ ∂⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎜ ⎟∂⎝ ⎠
T TT T
V P V PBV V
μ μT
Pμμ μ μ
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − ⋅ = =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⇒
12. ⇒ H é função crescente da temperatura e que H é linear. Portanto, a
isóbara é uma reta com coeficiente angular positivo e igual a . Somente com a informação dada não é
possível saber se a reta passa pela origem ou não.
é uma constante positivaP
HT
∂⎛ ⎞⎜ ⎟∂⎝ ⎠
52
R
19. 0,3%
22. Escreva a diferencial total para U e divida a equação obtida por dV, com P constante.
23. (a) T
S nV T∂ R
=∂⎝ ⎠
⎛ ⎞⎜ ⎟
(b) Como n, R e V são grandezas positivas, segue que ⇒ as isotermas são curvas monótonas
crescentes. Calculando a derivada segunda de S em relação a V, concluímos que e, portanto, a curva
será côncava para baixo.
0T
SV∂⎛ ⎞ >⎜ ⎟∂⎝ ⎠
2
2 0T
SV
⎛ ⎞∂<⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠
⇒ 26.
∴
Como
segue que
CAPÍTULO 5
EXERCÍCIOS 5.1
1. 43,2 2.
3. 4.
1T U V
U V TV T U∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
−1 1 1
T U
U V U V
U TV T V TV VT U T U
∂ − ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − ⋅ = − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠V
UT
∂∂
U V
T U UV T V∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠T
J VU V
T UCV T
μ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
J Vμ ⋅ =T
UCV∂⎛ ⎞−⎜ ⎟∂⎝ ⎠
( ) 2
ab a b+
1 2
1 2
5. 2
3a
EXERCÍCIOS 5.2
1. 0,1 2. 448
3. a) b) ( )1 1
0,
yf x y dxdy∫ ∫ ( )2
1 1
1,
xf x y dydx
−∫ ∫
4. a) Para uma função contínua, a afirmação é falsa.
b) Verdadeira, pois 5 6 6 5
3 2 2 332xdydx xdxdy= =∫ ∫ ∫ ∫
5. a) ‐0,072 b) ‐0,359 c) d) ≈ 0,382 8 -7
6. a) 15,37 b) 1,27 c) 0,535 d) 0,57 e) 159,15
f) 2,25 g) 1,08 h) 0,125 i) 0,8 j) 2,66 k) 1,097
7. a) 2 2eπ
− b) 43 c) 4
3 d) 18
EXERCÍCIOS 5.3
EXERCÍCIOS 5.4
EXERCÍCIOS 5.5
3. a) VM = 16 b) VM = c) VM = 0 d) VM = 92
2 3e4−
EXERCÍCIOS 5.7
4. a) ( ){ , : 0 1 cos , 0 2 }R r rθ θ θ= ≤ ≤ + ≤ ≤ π
b) ( ){ , : 0 2cos , - }2 2
R r r π πθ θ= ≤ ≤ ≤θ ≤
5. A π=
EXERCÍCIOS EXTRAS
2. (a) (b) (c) ( )22 420 0
1 14
yye dxdy e= −∫ ∫
1
01
2y
e
e
eydxdy = +∫ ∫ ( )2 4 20 0
cos 0,38yy xy dxdy =∫ ∫
(a)
(b)
4. (a) 21,3 (b) 39,06 d) 1 cos64
3−
e) 0,54 f) 0,035 g) 1
5. (a) (b) 64
5π 5
2π
6. (a) (b) 3,46 ( )3 10
3
e −
7.
(a)
(b) 1,35
(c) 0,54
83
8. a) ( )0 2
,y
2 4f x y dxdy∫ ∫ b) ( )
31 y
0,
yf x y dxdy∫ ∫ c) ( ) ( )
0 1 ln, ,
e y
22 2 2ef x y dxdy f x y dxdy+∫ ∫ ∫ ∫
9. 94 10. 4V π= 11.
15. 16 32
3V π −= 16. e ‐1 17. Área= 27,87 18. (1 cos8
3− )1
19. 24 20. ‐25,5 21. 2 23 3
Re−−
23. kA
24. Falsa.
( )
2
.y dxdy1 1 2 20 0
8 1y
V x−
= − −∫ ∫
25. 83
CAPÍTULO 6
EXERCÍCIOS 6.5
1. a) ( )1 2,3 e 1 2,6v a= =
2. a) 0,87 6,93 e 0,5 86 6
v i j a i⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
jπ π
4. a) ( ) ( )1 1 1 2 j2 e 22 3 2 9
v i j a i= − − = + b) ( ) ( )0 2 e 0 4v i j a i j= − = +
( )2 0,v = 6 ( )0 2,2v 4=
5. a) ( ) ( ) (3
2 42 3 3 2 13tr t i t t j t k)⎛ ⎞
= + + + − + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
b) ( ) ( ) ( )2
3 47 2 12tr t t t i t t j t k3
⎛ ⎞= + + + − + + −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
6. b) ( )' 2 2r t i tj= +
7.
24 48 12
x ty tz t
= += += +