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Node examen:

NOMBRE:

C.I.:

Examen de Geometra y Algebra Lineal 122 de julio de 2014

Instituto de Matematica y Estadstica Rafael LaguardiaFacultad de Ingeniera

ESCRIBIR LAS RESPUESTAS AQUI1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Este examen consta de diezpreguntas tipo verdadero/falso y diezejerci-cios de multiple opcion.

1. Preguntas verdadero/falso.

Para cada una de las siguientes afirmaciones, escribir si es verdadera (V) ofalsa (F) en la casilla correspondiente. Cada respuesta correcta suma 2 puntos,y cada respuesta incorrecta resta 2 puntos.

1. Si A M44 es una matriz tal que det(2A2) = 0 entonces el sistemaAX= 0 es compatible determinado.

2. Sean A, B Mnn tales que rango(A) = rango(B) = n. Entoncesrango(AB) =n.

3. Si A,B, CMnn son matrices tales que AB = AC, entonces necesaria-mente B = C.

4. Sean A, B M33 matrices tales que det(A) = det(B) = 2, entoncesdet(2AtBA1) = 4.

5. Sean v , w R3. Entonces v + wv w ||v||=||w||.6. Si V es un espacio vectorial, B es una base de V y S es un subespacio

vectorial deV , entonces necesariamente al intersectarB conSse obtieneuna base de S.

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7. Sean V un espacio vectorial de dimension finita, A V un conjuntolinealmente independiente y B V un conjunto generador de V. Estoimpilca queAB .

8. Sean Vun espacio vectorial de dimension finita y B una base de V. SeaI :VV la transformacion identidad. Entonces la matriz B[I]B asociadaa Ien la base B es la matriz identidad.

9. Sean V un espacio vectorial de dimension finita y A V un generadorfinito deV . Entonces existe una base B deV tal que BA.

10. Si T : R2 R3 y S : R3 R2 son transformaciones lineales, no puedenser isomorfismos pero su composicion S T : R2 R2 s puede serlo.

2. Ejercicios de multiple opcionPara cada uno de los siguientes ejercicios, elegir la opcion correcta y escribirla

en la casilla correspondiente. Cada respuesta correcta suma 8 puntos, y cadarespuesta incorrecta resta 2 puntos.

Ejercicio 11

Sean

r:

3x z= 0x y=3 :

x= y = 3 3 z =

Indicar la opcion correcta

(A) La recta r esta incluida en el plano .

(B) La recta r es paralela al plano .

(C) La recta r corta a en un punto y el vector director de r es paralelo a(1, 1, 0).

(D) La recta r es perpendicular al plano .

(E) La recta r corta a en un punto y el vector director de r es paralelo a(1, 0, 1).

Ejercicio 12

Seanu y v dos vectores de R3 tales queu

v

u,

v

= 4 y el angulo que

forman ambos vectores es /6, entonces el area del paralelogramo formado porlos vectores u y v es

(A) 2

(B) 2

3

(C) 4

3

(D) 12

(E)

3

(Se recuerda que el seno de /6 es 1/2.)

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Ejercicio 13

Se consideran los planos

1 : mx + y + 2z = 1 2 : mx + my + 3z = 2 3 :mx y + mz= m + 1en donde m R es un parametro. Indicar la opcion correcta:

(A) Para todo m R, los tres planos tienen al menos un punto en comun.(B) Hay al menos dos valores de m para los cuales los tres planos no tienen

puntos en comun.

(C) Si los tres planos se intersecan entonces su interseccion es una recta.

(D) Si los tres planos se intersecan entonces su interseccion es un punto.

(E) Ninguna de las otras opciones es correcta.

Ejercicio 14

Consideremos el espacio vectorial V = R3[x] de los polinomios con coeficien-tes reales de grado menor o igual que 3. Sean S1 ={pV / p(0) =p(1) =p(1)}y S2 el subespacio de V generado por los polinomios ax x2 y a2 +ax+x2,dondea es un parametro real. Entonces:

(A)a R, dim(S2) = 2 y V =S1 S2.(B) Cuandoa= 0, dim(S2) = 2 y V =S1 S2. Cuandoa = 0, dim(S2) = 1 y

V =S1 S2.(C) Cuando a = 0, V=S1 S2.(D) Cuando a= 0, V = S1+ S2 pero la suma no es directa. Cuando a = 0,

V=S1+ S2.(E)a R, V =S1+ S2, pero la suma solo es directa cuando a = 0.

Ejercicio 15

Sea V ={AM22/ A= At}. Entonces:(A) dim(V) = 4, y si{v1, v2, v3, v4}es base de V,{v1 v2, v1 v3, v1 v4, v4}

tambien lo es.(B) dim(V) = 4, y si{v1, v2, v3, v4}es base de V ,

{v1 v2, v1 v3, v1 v4, v3 v4}tambien lo es.(C) dim(V) = 3, y si {v1, v2, v3} es base deV, {v1v2+v3, v1, v2v3} tambien

lo es.

(D) dim(V) = 3, y si{v1, v2, v3}es base deV,{v1v2 +v3, v1, v2 +v3, v1+ v2}es un generador de V .

(E) dim(V) = 3, y si{v1, v2, v3} es base de V,{v1 v2+ v3, v1, v2+ v3} eslinealmente dependiente.

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Ejercicio 16

Seaw R3 un vector fijo no nulo, y consideremos S={v R3/ v w= 0}(siendoel producto vectorial). Entonces:

(A) Sno es un subespacio vectorial de R3.

(B) Ses un subespacio de R3 de dimension 0.

(C) Ses un subespacio de R3 de dimension 1.

(D) Ses un subespacio de R3 de dimension 2.

(E) Ses un subespacio de R3, pero no es posible determinar su dimension sinconocerw.

Ejercicio 17

Sea T :M22 M22 tal que T(M) =

1 12 2

.M

Entonces:

(A) N(T) ={0}.

(B) dimN(T) = 1 y

0 10 2

Im(T).

(C) dimN(T) = 2 y 2 04 0 Im(T).

(D) dimN(T) = 3 y

1 12 2

Im(T).

(E)

1 12 2

N(T) y

0 10 2

Im(T).

Ejercicio 18

ConsidereT :M22(R) R3[x] tal que:T

1 11 1

= 2x3 + x2 + 1,

T

1 02 0

=x3 + 2x2,

T

1 00 1

=x3 + 1

y T

0 00 1

= 1.

Entonces:

(A) Tes un isomorfismo.

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(B) Tes inyectiva pero no sobreyectiva.

(C) dimIm(T) = 3.

(D) dimIm(T) = 2.

(E) La matriz

1 10 0

N(T).

Ejercicio 19

SeaV un R-espacio vectorial de dimension 3. ConsideremosB={v1, v2, v3}una base de V yT :VV una transformacion lineal que cumple:

2v1 v2N(T)T(v1+ v2+ v3) = 2v1 2v3T(v1+ v2+ v3) = 4v2

Entonces la matriz asociada a Tde la baseBen la baseBes:

(A)

1 2 12 4 6

1 2 1

(B) 0 0 2

0 0 40 0 2

(C)

2 4 00 0 4

2 4 0

(D)

1

2 1 3

12

1 61

2 1 3

(E) No se puede calcular con la informacion dada.

Ejercicio 20

Sea T :VW una transformacion lineal. Consideremos la siguientes afir-maciones:

(I) Si N(T) = 0, entonces existe un subespacioW deWtal que T :VWes un isomorfismo.

(II) Si dim(W)> dim(V), entoncesTno puede ser sobreyectiva.

(III) Si dim(W)> dim(V), entoncesTno puede ser inyectiva.

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(IV) Si dim(W) = dim(V), entoncesTes un isomorfismo.

Entonces:

(A) Solamente (I) y (II) son verdaderas.

(B) Solamente (I), (II) y (III) son verdaderas.

(C) Solamente (II) y (IV) son verdaderas.

(D) Solamente (I) y (III) son verdaderas.

(E) Solamente (III) y (IV) son verdaderas.

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