Examen Matemáticas II Universidad Autónoma de Madrid
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UNIVERSIDAD AUTNOMA DE MADRID
PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA MAYORES DE 25 AOS Convocatoria 2014
MATERIA: MATEMTICAS II
MODELO
INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIN
INSTRUCCIONES: Escoja entre una de las dos opciones A o B. Lea con atencin y detenimiento los enunciados de las cuestiones y responda de manera razonada a los puntos concretos que se preguntan en la opcin elegida. DURACIN DEL EJERCICIO: Una hora y treinta minutos. CALIFICACIN: Se indica en cada apartado
OPCIN A
EJERCICIO 1.
a) (1.5 Puntos) Analiza el siguiente sistema en funcin del parmetro a. En los casos en los que el sistema sea compatible, encuentra sus soluciones.
x + y + a z= - 1 , x + a2y z = 2a.
b) (1 Punto) Si a=1, dibuja la recta de R3 donde estn todas las soluciones del sistema lineal anterior (para a=1).
EJERCICIO 2. Dados los vectores u y v en el espacio eucldeo usual R3, denotaremos por u.v a su producto escalar y por u x v a su producto vectorial. El smbolo |u| denotar el mdulo del vector u.
a) (1 Punto) Considera los vectores de R3 de coordenadas
(1,1,-1) , (3,-1,2).
Calcula su producto escalar y su producto vectorial Son ortogonales?
b) (1.5 Puntos) Si u y v son dos vectores de R3 tales que |u|=4 y |v|=5 y su producto escalar u.v = 10, qu ngulos pueden formar entre los dos?
EJERCICIO 3. (1 Punto) Halla las ecuaciones paramtricas y la ecuacin continua de la recta de R3 que une los puntos A=(3,1,2) y B=(2,4,1) El punto C=(4,-2,3) est alineado con A y B?
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MATERIA: MATEMTICAS II
MODELO
EJERCICIO 4.
a) (1 Punto) Calcula el dominio de la funcin f(x) = ln ( x2-4 ). b) (1 Punto) Calcula la derivada de f(x) y halla su dominio. c) (1 Punto) Calcula justificadamente los siguientes lmites
)('lim2x
xf
)('limx
xf
d) (1 Punto) Calcula razonadamente el nmero
.)4(6
3
2 dxx Es este nmero positivo? Da una justificacin geomtrica de tu respuesta.
OPCIN B
EJERCICIO 1. (2.5 Puntos) Halla la matriz X de tamao 2x2 que satisface la ecuacin matricial:
AB - 2X=C, donde:
,20
02
11
A ,
202
030
B .
41
12
C
EJERCICIO 2. Considera los planos del espacio eucldeo R3 de ecuaciones
1 : 3x+4y+z-5=0 , 2 : x-ay+z-3=0. a) (1 Punto) Para qu valor de a son 1 y 2 perpendiculares? b) (1.5 Puntos) Calcula las ecuaciones paramtricas de la recta de corte de 1 y 2 para a=1.
EJERCICIO 3. (1 Punto) Encuentra los valores del parmetro b para los que la matriz tiene rango estrictamente menor que 3.
1
1
211
11 2
bb
b
bB
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MATERIA: MATEMTICAS II
MODELO
EJERCICIO 4. Considera la funcin
.41)( 2
2
xxxf
a) (1 Punto) Calcula el dominio de f(x). b) (1 Punto) Calcula los extremos de la funcin f(x). c) (1 Punto) Calcula todas las asntotas de f(x). d) (1 Punto) Calcula razonadamente el nmero:
.)(2/1
0 dxxf
Es este nmero positivo? Da una justificacin geomtrica de tu respuesta.
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MATERIA: MATEMTICAS II
MODELO
CRITERIOS ESPECFICOS DE CORRECCIN
OPCIN A
EJERCICIO 1. Apartado a) Planteamiento: 1 punto; Resolucin: 0.5 puntos. Apartado b) Planteamiento: 0.5 puntos; Resolucin: 0.5 puntos EJERCICIO 2. Apartado a) Planteamiento: 0.5 puntos; Resolucin: 0.5 puntos Apartado b) Planteamiento: 1 punto; Resolucin: 0.5 puntos EJERCICIO 3. Planteamiento: 0.5 puntos; Resolucin: 0.5 puntos. EJERCICIO 4. Apartado a) Planteamiento: 0.5 puntos; Resolucin: 0.5 puntos Apartado b) Planteamiento: 0.5 puntos; Resolucin: 0.5 puntos Apartado c) Planteamiento: 0.5 puntos; Resolucin: 0.5 puntos Apartado d) Planteamiento: 0.5 puntos; Resolucin: 0.5 puntos
OPCIN B
EJERCICIO 1. Planteamiento: 1.5 puntos; Resolucin: 1 punto. EJERCICIO 2. Apartado a) Planteamiento: 1 punto; Resolucin: 0.5 puntos Apartado b) Planteamiento: 0.5 puntos; Resolucin: 0.5 puntos EJERCICIO 3. Planteamiento: 0.5 puntos; Resolucin: 0.5 puntos. EJERCICIO 4. Apartado a) Planteamiento: 0.5 puntos; Resolucin: 0.5 puntos Apartado b) Planteamiento: 0.5 puntos; Resolucin: 0.5 puntos Apartado c) Planteamiento: 0.5 puntos; Resolucin: 0.5 puntos Apartado d) Planteamiento: 0.5 puntos; Resolucin: 0.5 puntos
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MATERIA: MATEMTICAS II
MODELO
SOLUCIONES
OPCIN A
N.1.
a) El sistema dado es equivalente al sistema:
x + y + a z= - 1 , (a2 -1) y (a+1)z = 2a+1.
Si el valor del parmetro es distinto de 1 o -1 podemos despejar la variable y en funcin de la variable z de la segunda ecuacin. Lo que da el conjunto de soluciones:
,11
122
2
2
taa
aaax
,
11
112
2 taaay ,tz
para t un nmero real arbitrario.
Por otro lado, si a=1 tenemos que resolver el sistema: x + y + z = - 1 , 2z = 3.
Lo que da el conjunto de soluciones:
x = -t+1/2 , y = t , z = -3/2 , para t un nmero real arbitrario.
Adems, si a=-1 tenemos que resolver el sistema: x + y - z= - 1 , 0z = 3.
Pero este sistema es incompatible, es decir, no tiene solucin.
b) La solucin del sistema para a=1 es la recta de ecuacin implcita
,2/1 xy ,2/3z Lo que da lugar a la siguiente representacin grfica de la misma:
en el plano de R3 de ecuacin .2/3z
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MATERIA: MATEMTICAS II
MODELO
N.2
a) Su producto escalar es: (1,1,-1) . (3,-1,2) = 1.3-1.1-1.2 = 3-1-2=0.
Su producto vectorial es: (1,1,-1) x (3,-1,2) = (1,-5,-4).
Los vectores u y v son ortogonales porque su producto escalar vale 0.
b) Como u . v=|u|.|v|. cos(), donde es el ngulo que forman u y v, entonces, cos()=10/(4.5)=1/2. Luego el valor de es 60 o -60.
N.3
Un vector director de la recta pedida es el vector w que une los puntos A y B cuyas coordenadas son:
w = (2,4,1) (3,1,2) = (-1,3,-1).
Luego la ecuacin paramtrica de la recta es:
r: A +t w = (3,1,2)+t(-1,3,-1)=(3-t,1+3t,2-t), para t un parmetro real.
De la ecuacin anterior podemos deducir la ecuacin en forma continua para r:
.12
31
13
zyx
Si el punto C estuviera en esta recta el sistema (en la variable t) dado por :
C = (4,-2,3) = (3-t,1+3t,2-t),
sera compatible determinado, lo que es cierto (basta tomar t=-1). Luego C est alineado con A y B.
N.4
a) La funcin real logaritmo neperiano est bien definida para valores reales estrictamente positivos por lo tanto, el dominio de la funcin pedida ha de ser formado por los valores de x tales que x2 - 4 > 0. Luego para los nmeros reales tales que |x|>2. Es decir en el conjunto (-,-2) y tambin en (2,+).
b) Segn la regla de derivacin del logaritmo neperiano se tiene que:
.4
2)(' 2 xxxf
c) Para calcular los lmites pedido procederemos e la siguiente manera:
a. .)/4(
1lim2)('lim2x2x
xxxf
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MODELO
b. .0
)/4(1lim2)('lim
xx xxxf
Tambin, para calcular los anteriores lmites, basta observar que los lmites pedidos son de una funcin que es cociente de dos polinomios, pongamos f=P/Q, con grado de P estrictamente menor que grado de Q.
d) Aplicando la regla de integracin:
.1
31
61
116
3
16
3
nnnxdxxnnn
n
Se tiene que
.51123
33
64)4(336
3
6
3
26
3
2 dxdxxdxx Este nmero es positivo pues la funcin integrando dada es positiva para x >2, y el nmero pedido es la medida del rea que queda entre la grfica de la curva y el eje horizontal desde el valor x=3 hasta el x=6.
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MODELO
OPCIN B
N.1
Pongamos la matriz X como
.
ty
zx
X
Entonces, como
62
06
AB y tambin ,22
22
2
ty
zx
X
Se tiene que:
,222
22
62
06
41
12
XABty
zx
C
Lo que da el sistema de ecuaciones:
,262 x ,221 y ,21 z ,264 t
En consecuencia: .12/1
2/12
X
N.2
a) Unos vectores normales son respectivamente:
)1,4,3(1 n , vector normal a 1, y )1,,1(2 an , vector normal a 2. Su producto escalar es nulo si y slo si 1a , ya que la ecuacin:
),1(4143)1,,1).(1,4,3(.0 21 aaann tiene por nica solucin 1a .
b) Para 1a la recta de corte de los planos dados es la solucin del sistema de ecuaciones lineales: ,543 zyx 3 zyx
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Luego, resolviendo el sistema anterior obtenemos la ecuacin paramtrica pedida, es decir:
tx75
717 , ty
72
74 , tz .
N.3
Para que la matriz B tenga rango estrictamente menor que 3 es necesario y suficiente que su determinante sea nulo. Luego, basta calcular el determinante de B, )det(B , e igualarlo a 0. As:
)1)(1(1
21
001
11det)1(
12
1
001
11det)det(0 222
bbbbb
bb
bb
bb
bB .
En consecuencia para los valores
,1b ,2
51b ,2
51b
obtenemos que el rango de B es estrictamente menor que 3.
N.4
a) La funcin f(x) dada est bien definida para cada nmero real x tal que x2-4 se distinto de 0. Luego su dominio se compone de tres intervalos de la recta real, a saber: (-,-2), (-2,2) y (2,).
b) Calculamos en primer lugar la derivada de la funcin f(x) segn la regla de derivacin del cociente de dos funciones. As tenemos que:
2222
22
)4(6
)4()1(2)4(2
)('
x
xx
xxxxxf
Luego el nico extremo se alcanza para x=0, ya que es el nico valor real que anula la derivada. Adems, como
,08/3)0('' f se tiene que x=0 es un mximo local de la funcin f(x), cuyo valor mximo local es f(0)=1/4.
c) Para calcular las asntotas de f(x) procedemos segn el tipo de asntota que estemos buscando:
Asntotas verticales. Son las rectas x=2 y x=-2 ya que: o ,)(lim,)(lim
2x2x xfxf
o ,)(lim,)(lim2x2x
xfxf
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MATERIA: MATEMTICAS II
MODELO
Asntotas horizontales. Es la recta y=1 puesto que
o ,1)(lim,1)(limxx
xfxf
Asntotas oblicuas. Buscaramos las rectas de ecuacin y= m x + n satisfaciendo las condiciones
o ,)(lim,)(limxx
mxxfm
xxf
o nmxxf )(limx
pero ya hemos visto que esta condicin se satisface para m=0 y n=1.
d) Descomponemos la fraccin que nos da la frmula de f(x) como suma de fracciones elementales:
24/3
24/31
431)( 2 xxxxf .
Entonces se tiene que
117.022ln
43
21
21
43
21
431)(
2/1
0
2/1
0
2/1
0
2/1
0
2/1
0
xxdxxdxxdxdxxf .
Este nmero es positivo pues la funcin f(x) dada es positiva para 0
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MATERIA: MATEMTICAS II
MODELO
OBJETIVOS GENERALES Y CONTENIDOS:
De acuerdo con la Resolucin de 29 de mayo de 2012, de la Direccin General de Universidades e Investigacin, por la que se da publicidad al Acuerdo de la Comisin Organizadora, por el que se dictan las normas e instrucciones reguladoras de la prueba de acceso a la universidad para mayores de veinticinco aos en el mbito de la Comunidad de Madrid, publicado en el BOCM el 21 de junio de 2012 (BOCM n 147, pg. 37 y siguientes), el currculo de los ejercicios para la materia de Matemticas ser el establecido para la materia Matemticas II de segundo curso de Bachillerato, conforme a lo determinado en el Real Decreto 1467/2007, de 2 de noviembre, por el que se establece la estructura del Bachillerato y se fijan sus enseanzas mnimas. Especficamente, los contenidos correspondientes para la materia Matemticas II de segundo curso de Bachillerato, conforme a lo determinado en el Real Decreto 1467/2007 de 2 de noviembre son: 1. lgebra lineal: Estudio de las matrices como herramienta para manejar y operar con datos estructurados en tablas y grafos. Operaciones con matrices. Aplicacin de las operaciones y de sus propiedades en la resolucin de problemas extrados de contextos reales. Determinantes. Propiedades elementales de los determinantes. Rango de una matriz. Discusin y resolucin de sistemas de ecuaciones lineales. 2. Geometra: Vectores en el espacio tridimensional. Producto escalar, vectorial y mixto. Significado geomtrico. Ecuaciones de la recta y el plano en el espacio. Resolucin de problemas de posiciones relativas. Resolucin de problemas mtricos relacionados con el clculo de ngulos, distancias, reas y volmenes. 3. Anlisis: Concepto de lmite de una funcin. Calculo de lmites. Continuidad de una funcin. Tipos de discontinuidad. Interpretacin geomtrica y fsica del concepto de derivada de una funcin en un punto. Funcin derivada. Clculo de derivadas. Derivada de la suma, el producto y el cociente de funciones y de la funcin compuesta. Aplicacin de la derivada al estudio de las propiedades locales de una funcin. Problemas de optimizacin. Introduccin al concepto de integral definida a partir del clculo de reas encerradas bajo una curva. Tcnicas elementales para el clculo de primitivas. Aplicacin al clculo de reas de regiones planas. Segn el mismo Real Decreto 1467/2007 de 2 de noviembre: Matemticas II requiere conocimientos de Matemticas I. En relacin con los bloques lgebra Lineal, Geometra y Anlisis correspondientes a los contenidos para la materia Matemticas II, los contenidos para la materia Matemticas I son: 1. Aritmtica y lgebra: Nmeros reales. Valor absoluto. Desigualdades. Distancias entre la recta real. Intervalos y entornos. Resolucin e interpretacin grfica de ecuaciones e inecuaciones. Utilizacin de las herramientas algebraicas en la resolucin de problemas. 2. Geometra: Medida de un ngulo en radianes. Razones trigonomtricas de un ngulo. Uso de frmulas y transformaciones trigonomtricas en la resolucin de tringulos y problemas geomtricos diversos. Vectores libres en el plano. Operaciones. Producto escalar. Mdulo de un vector. Ecuaciones de la recta. Posiciones relativas de rectas. Distancias y ngulos. Resolucin de problemas. Idea de lugar geomtrico en el plano. Cnicas. 3. Anlisis: Funciones reales de variable real: clasificacin y caractersticas bsicas de las funciones polinmicas, racionales sencillas, valor absoluto, parte entera, trigonomtricas, exponenciales y logartmicas. Dominio, recorrido y extremos de una funcin. Operaciones y composicin de funciones. Aproximacin al concepto de lmite de una funcin, tendencia y continuidad. Aproximacin al concepto de derivada. Extremos relativos en un intervalo. Interpretacin y anlisis de funciones sencillas, expresadas de manera analtica o grfica, que describan situaciones reales.