Exames Nacionais

Grupo I

1. Identifique o valor de .

(A) 0 (B) 1

(C) + ? (D) - ?

2. Sabendo que:

ln (x) - ln > 0 (ln designa logaritmo na base e)

um valor possível para x é:

(A) 0 (B) - 1

(C) 1 (D) 2

3. Na figura está parte da representação gráfica de uma função f , de domínio R .

Tal como a figura sugere, o eixo Ox e a recta de equação y = 1 são assimptotas do gráficode f .

Seja g a função, de domínio R , definida por g (x) = ln [f (x)] .

1e132

14 - x2lim

x " 2+

• Os sete itens deste grupo são de escolha múltipla.

• Para cada um deles, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta.

• Escreva na sua folha de respostas apenas a letra correspondente à alternativa que seleccionar

para responder a cada item.

• Se apresentar mais do que uma letra, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a

letra transcrita for ilegível.

• Não apresente cálculos, nem justificações.

EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO12.° Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n.° 286/89, de 29 de Agosto – Programas

novos e Decreto-Lei n.° 74/2004, de 26 de Março)

Duração da prova: 150 minutos 1.ª FASE2007 VERSÃO 1

PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA A / MATEMÁTICA

Cotações9

9

9

Numa das opções seguintes está parte da representação gráfica da função g .

Em qual delas?

(A) (B)

(C) (D)

4. Seja f uma função de domínio R .

Sabe-se que 3 é um zero da função f .

Seja g a função definida por g (x) = f (x - 1) + 4 , para qualquer número real x .

Qual dos seguintes pontos pertence garantidamente ao gráfico da função g ?

(A) (2 , 4) (B) (4 , 4)

(C) (4 , 8) (D) (1 , 7)

5. Escolhem-se, ao acaso, dois vértices diferentes de um paralelepípedo rectângulo.

Qual é a probabilidade de que esses dois vértices sejam extremos de uma aresta?

(A) (B)

(C) (D)

6. As cinco letras da palavra TIMOR foram pintadas, cada uma em sua bola.

As cinco bolas, indistinguíveis ao tacto, foram introduzidas num saco.

Extraem-se, aleatoriamente, as bolas do saco, sem reposição, e colocam-se em fila, daesquerda para a direita.

Qual é a probabilidade de que, no final do processo, fique formada a palavra TIMOR, sabendo-seque, ao fim da terceira extracção, estava formada a sucessão de letras TIM?

(A) 0 (B)

(C) (D) 1 12

13

88A2

88C2

1282

128C2

1.ª fase – 2007

9

9

9

7. Qual das opções seguintes apresenta duas raízes quadradas de um mesmo número com-plexo?

(A) 1 e i (B) - 1 e i

(C) 1 - i e 1 + i (D) 1 - i e - 1 + i

Grupo II

1. Em C , conjunto dos números complexos, considere z = cis a .

1.1. Na figura está representado, no plano complexo, o paralelogramo [AOBC] .

A e B são as imagens geométricas de z e , respectivamente.

C é a imagem geométrica de um número complexo, w .

Justifique que w = 2 cos a .

1.2. Determine o valor de para o qual é um número real.

2. Considere todos os números de três algarismos que se podem formar com os algarismos

1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 e 9 .

2.1. Escolhe-se, ao acaso, um desses números.

Sejam os acontecimentos:

A : «O número escolhido é múltiplo de 5 » ;

B : «O número escolhido tem os algarismos todos diferentes».

Averigúe se A e B são, ou não, acontecimentos independentes.

z3

ia å 40 , p

2 3

z

1a å 40 , p2 32

Nos itens deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos

que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias.

Atenção: quando não é pedida a aproximação de um resultado pretende-se sempre o valor

exacto.

Exames Nacionais

9

11

10

10

2.2. Considere o seguinte problema:

De entre todos os números de três algarismos diferentes que se podem formar com osalgarismos 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 e 9 , em quantos deles o produto dos seus alga-rismos é um número par?

Uma resposta correcta a este problema é: 9A3 - 5A3 .

Numa pequena composição explique porquê.

3. Seja W o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória.

Sejam A , B e C três acontecimentos (A ƒ W , B ƒ W e C ƒ W) tais que(A ∂ B) © C = O .

Sabe-se que P (A) = 0,21 e que P (C) = 0,47 .

Calcule P (A ∂ C) utilizando as propriedades das operações com conjuntos e a axiomáticadas probabilidades.

4. Seja f a função, de domínio [1 , 5] , definida por f (x) = ln x .

(ln designa logaritmo na base e )

Na figura está representado, em referencial ortonormado xOy , o gráfico da função f .

Considere que um ponto P se desloca ao longo do gráfico de f . Para cada posição doponto P , considere o rectângulo em que um dos lados está contido no eixo Ox , outro narecta de equação x = 5 e os outros dois nas rectas vertical e horizontal que passam peloponto P .

Exprima a área do rectângulo em função da abcissa de P e, recorrendo à calculadora gráfica,determine a abcissa de P (aproximada às centésimas) para a qual a área do rectângulo émáxima. Apresente os elementos recolhidos na utilização da calculadora:

– o gráfico obtido;

– o ponto de ordenada máxima e respectivas coordenadas.

1.ª fase – 2007

12

10

18

5. Considere as funções f e g , definidas em R por:

f (x) = ex - 1 e g (x) = sin x

Considere ainda a função h definida em R por h (x) = f ’(x) - g ’(x) .

Sem recorrer à calculadora, a não ser para efectuar eventuais cálculos numéricos, resolva osdois itens seguintes:

5.1. Mostre que a função h tem, pelo menos, um zero no intervalo .

5.2. Tendo em conta 5.1. , justifique que existe a å tal que as rectas tangentes aos grá-

ficos de f e g , nos pontos de abcissa a , são paralelas.

6. Admita que a intensidade da luz solar, x metros abaixo da superfície da água, é dada, numacerta unidade de medida, por:

I (x) = a e- bx (x ≥ 0)

a e b são constantes positivas que dependem do instante e do local onde é efectuada a medi-ção.

Sempre que se atribui um valor a a e um valor a b , obtemos uma função de domínio R0+ .

6.1. Medições efectuadas, num certo instante e em determinado local do oceano Atlântico,mostraram que, a 20 metros de profundidade, a intensidade da luz solar era metade dasua intensidade à superfície da água.

Determine o valor de b para esse instante e local. Apresente o resultado, arredondadoàs centésimas.

6.2. Considere agora b = 0,05 e a = 10 .

Estude essa função quanto à monotonia e existência de assimptotas do seu gráfico.

Interprete os resultados obtidos no contexto da situação descrita.

FIM

40 , p2 3

40 , p2 3

Exames Nacionais

16

18

16

16

Grupo I

1. = - ?

Resposta: (D)

2. ln (x) - ln > 0 § ln (x) > ln § x > § x > .

Dos valores apresentados apenas 2 > .

Resposta: (D)

3. Dado que g (x) = ln [ f (x)] :

• g (x) = ln [f (x)] = ln (0+) = - ? porque f (x) = 0+ ;

• g (0) > 0 porque g (0) = ln [f (0)] e f (0) > 1 .

Ora, apenas a função cuja representação gráfica é apresentada em (C) verifica as duas condições anterio-res: g (x) = - ? e g (0) > 0 .

Resposta: (C)

4. f (3) = 0 e g (x) = f (x - 1) + 4

x - 1 = 3 § x = 4

g (4) = f (4 - 1) + 4 = f (3) + 4 = 0 + 4 = 4

Logo, como g (4) = 4 , o ponto de coordenadas (4 , 4) pertence ao gráfico da função g .

Resposta: (B)

5. Número de casos possíveis: 8C2 (num conjunto de oito vértices é escolhido um subconjunto de dois);

Número de casos favoráveis: 12 (as doze arestas do paralelepípedo rectângulo);

Probabilidade pedida: .

Resposta: (A)

6. Se, ao fim da terceira extracção, estava formada a sucessão de letras TIM , restam no saco as letras O

e R . Então, nas duas extracções seguintes, só há duas possibilidades: sair OR ou RO . Destas duas

possibilidades apenas uma conduz à formação da palavra TIMOR pelo que a probabilidade pedida é .

Resposta: (C)

7. (1 - i)2 = (- 1 + i)2 dado que 1 - i e - 1 + i são simétricos. Logo, 1 - i e - 1 + i são raízes quadradasdo mesmo número complexo.

Resposta: (D)

12

128C2

limx " - ?

limx " - ?

limx " - ?

limx " - ?

œ3 e

œ3 ee131e

1321e

132

14 - x2 = 1

0-limx "2+

Sugestão de resolução

CA

ESM

A12

© P

orto

Edi

tora

Grupo II

1.

1.1. Se [AOBC] é um paralelogramo tem-se que .

Então, se A e B são as imagens geométricas de z e , respectiva-mente, e se C é a imagem geométrica do número complexo w , teráque ser w = z + .

Ora, se z = cis a então = cis (- a) pelo que:

w = z + = cis a + cis (- a) =

= cos a + i sin a + cos (- a) + i sin (- a) =

= cos a + i + cos a - i =

= cos a + cos a =

= 2 cos a

1.2.

é um número real se e só se 3a - = kp , k å Z

3a - = kp , k å Z § 3a = + kp , k å Z §

§ a = , k å Z .

Como a å , a = . i z å R § arg z = kp , k å Z › \z| = 0

2.

2.1. Dois acontecimentos, A e B , são independentes se e só se P (A © B) = P (A) * P (B) .

Vamos calcular sucessivamente P (A) , P (B) e P (A © B) .

Número de casos possíveis: 9 * 9 * 9 = 93 (há nove possibilidades para a escolha do primeiro alga-rismo, nove para a escolha do segundo e nove para a escolha do terceiro).

• Número de casos favoráveis a A : “O número escolhido é múltiplo de 5 ” .

Há 9 * 9 * 1 = 92 casos dado que o algarismo das unidades só pode ser 5 .

P (A) =

• Número de casos favoráveis a B : “O número escolhido tem os algarismos todos diferentes”.

Há 9 * 8 * 7 = 504 (ou 9A3) casos, pois trata-se da escolha ordenada de três elementos, sem osrepetir, num conjunto com nove elementos.

P (B) =

• Número de casos favoráveis a A © B : “O número escolhido é múltiplo de 5 e tem os algarismostodos diferentes”.

Há 8 * 7 * 1 = 56 ou 8A2 casos (o algarismo das unidades só pode ser o 5 , pelo que restamoito possibilidades para o algarismo das centenas e sete para o algarismo das dezenas).

9 * 8 * 793 = 56

92

92

93 = 19

p640 , p

2 3

p6+ kp

3

p2

p2

p2

z3

i

z3

i=

(cis a)3

cis p2

= cis (3a)

cis p2

= cis 13a - p22

sin asin a

z

z

z

z

OA«» + OB«» = OC«»

Exames Nacionais

CA

ESM

A12 ©

Porto E

ditora

cos (- a) = cos a

sin (- a) = - sin a

P (A © B) =

P (A) * P (B) = = P (A © B)

Dado que P (A © B) = P (A) * P (B) , podemos concluir que A e B são acontecimentos independentes.

Para tirar a mesma conclusão também se poderia ter verificado que P (A oB) = P (A) ou que P (B \A) = P (B) .

2.2 Com os algarismos 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 e 9 podem ser formados 9A3 números de trêsalgarismos diferentes, pois trata-se do número de sequências de três elementos diferentes que épossível definir num conjunto com nove elementos (há nove possibilidades para o primeiro alga-rismo, oito para o segundo e sete para o terceiro).

Por outro lado, para que o produto de três algarismos seja um número ímpar é necessário que ostrês algarismos sejam ímpares. Assim, como no conjunto considerado há cinco algarismos ímpares(1 , 3 , 5 , 7 e 9), podem ser formados, com aqueles elementos, 5A3 números com os três alga-rismos ímpares, ou seja, podem ser formados 5A3 números de três algarismos em que o produtodesses algarismos é um número ímpar.

Podemos finalmente concluir que a resposta ao problema é dada pela diferença entre os dois valo-res: 9A3 - 5A3 .

3. (A ∂ B) © C = O § (A © C) ∂ (B © C) = O ±

± A © C = O

Por um axioma das probabilidades tem-se que se A © C = O então P ( A ∂ C) = P (A) + P (C) .

Logo, P (A ∂ C) = P (A) + P (C) = 0,21 + 0,47 = 0,68 .

4.

As coordenadas do ponto P são (x , ln x) pelo que as dimensões do rectângulo são 5 - x e ln x e asua área é dada por A (x) = (5 - x) ln x , 1 ≤ x ≤ 5 .

Recorrendo à calculadora gráfica foi obtido o gráfico da função A no intervalo [1 , 5] .

Determinou-se o máximo da função, tendo-se obtido os valores indicados. Podemos, então, concluir que,com aproximação às centésimas, 2,57 é a abcissa do ponto P para a qual a área do rectângulo émáxima.

19* 56

92 = 5693

8 * 7 * 193 = 56

93

1.ª fase – 2007

CA

ESM

A12

© P

orto

Edi

tora

Propriedade distributiva da intersecção relativamenteà reunião.Se a reunião de dois conjuntos é um conjunto vazioentão os dois conjuntos são vazios.

5. f (x) = ex - 1 e g (x) = sin x

5.1. h (x) = f ' (x) - g' (x) = (ex - 1)' - (sin x)' = ex - 1 - cos x

h (x) = ex - 1 - cos x

(i) h é contínua em R por ser definida pela diferença de funções contínuas em R .

Logo, h é contínua em .

(ii) h (0) = e0 - 1 - cos (0) = ; h (0) < 0

h = - cos = ; h > 0

\ h (0) * h < 0

De (i) e (ii), pelo Teorema de Bolzano, podemos concluir que a função h admite pelo menos um

zero no intervalo .

5.2. Da alínea anterior resulta que existe um ponto a å tal que h (a) = 0 .

Ora, h (a) = 0 § f ' (a) - g' (a) = 0 § f ' (a) = g' (a) .

Atendendo a que a derivada de uma função derivável num ponto é igual ao declive da recta tangenteao gráfico da função nesse ponto, podemos concluir que existe um ponto onde as rectas tangentesaos gráficos de f e g têm o mesmo declive, ou seja, são paralelas.

6. I (x) = ae- bx , (x ≥ 0)

6.1. I (20) = I (0) § a * e- 20b = a * e0 §a > 0

§ e- 20b = § - 20b = ln § b = § b ) 0,03

6.2. I (x) = 10e- 0,05x , (x ≥ 0)

I ' (x) = (10e- 0,05x)'= 10 * (e- 0,05x)' = 10 * (- 0,05x)' * e- 0,05x = 10 * (- 0,05) * e- 0,05x = - 0,5e- 0,05x

Dado que I ' (x) < 0 , A x å R+0 , podemos concluir que a função I é estritamente decrescente.

Atendendo a que a função I é contínua em R+0 , o seu gráfico não admite assimptotas verticais.

I (x) = (10 * e- 0,05x) = 10 * 0 = 0 , porque ey = 0 e (- 0,05x) = - ? .

Logo, a recta de equação y = 0 é uma assimptota do gráfico da função quando x" + ? .

O facto de a função ser decrescente significa que, à medida que a profundidade aumenta, a luz vaiperdendo intensidade.

O facto de a recta de equação y = 0 ser uma assimptota do gráfico da função quando x " + ? significa que, quando a profundidade aumenta indefinidamente, a intensidade da luztende para zero.

limx " + ?

limy " - ?

limx " + ?

limx " + ?

ln 1122

- 201122

12

12

12

40 , p23

40 , p23

1p221p22e

p2-11p22e

p2-11p22

1e - 1 = 1 - e

e

30 , p24

Exames Nacionais

CA

ESM

A12 ©

Porto E

ditora