EVOLUCIÓN HISTÓRICA DEL CONCEPTO LÍMITE FUNCIONAL EN …

INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA

463ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1999, 17 (3), 463-476

EVOLUCIÓN HISTÓRICA DEL CONCEPTODE LÍMITE FUNCIONALEN LOS LIBROS DE TEXTO DE BACHILLERATOY CURSO DE ORIENTACIÓN UNIVERSITARIA(COU): 1940-19951*

SIERRA VÁZQUEZ, MODESTO, GONZÁLEZ ASTUDILLO, MARÍA TERESA yLÓPEZ ESTEBAN, CARMENDepartamento de Didáctica de la Matemática y de las Ciencias Experimentales. Universidad de Salamanca.

SUMMARY

In this paper, we study the historical development of the concept of functional limit in the textbooks of bachilleratoand COU during the last fifty years. We analyse twenty-seven books in three stages. In the last one, which gathers theresults from the others, we consider three dimensions: conceptual, cognitive and phenomenologic that show us a wideperspective of the changes experimented in this development.

INTRODUCCIÓN

Durante los últimos años se ha producido un interéscreciente hacia la historia de la educación matemática,motivada, entre otras razones, por el fracaso que haseguido a los proyectos de reforma curricular. Esteinterés se ha traducido en el ámbito de la investigaciónen publicaciones sobre la evolución de los programasoficiales, la formación de profesores, las corrientes di-dácticas dominantes y el análisis de los cambios que sehan producido. En este marco se ha puesto de manifiestola importancia del análisis del libro de texto como reflejode la actividad que se realiza en el aula. De acuerdo conSchubring (1987), si se parte del hecho de que la prácticade la enseñanza no está tan determinada por los decretosy órdenes ministeriales como por los libros de textoutilizados para enseñar, se llega a la necesidad de unanálisis de dichos libros de texto. La producción abun-dante de manuales, la variedad y riqueza de sus conteni-dos, la incidencia en el aula de este material, su función

como transmisor de contenidos socialmente aceptados,hace que resulte interesante estudiar la contribución quehan tenido en la historia de la educación matemática.

El análisis de libros de texto se ha llevado a cabo endiferentes ámbitos de investigación. Si bien los historia-dores de la educación han realizado aportaciones comotesis doctorales, exposiciones, coloquios, etc. relaciona-dos con los manuales escolares, son escasos los trabajosreferidos a las matemáticas. Esto se detecta, en el caso deFrancia, en el trabajo de Choppin (1993) en el que haceun balance bibliométrico de la investigación francesasobre la historia de los manuales escolares. Las razonesde dicha escasez se pueden deber, a juicio de Choppin,tanto a la falta de formación matemática de los historia-dores como al escaso interés de los matemáticos por estetema. Centrándonos en el campo de la educación mate-mática, Howson (1995) distingue entre investigaciones

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realizadas sobre textos a posteriori, es decir, la forma enque se ha usado un libro de texto, cómo ha contribuidoal proceso de aprendizaje y qué obstáculos se hanpresentado, que son escasas; y las realizadas a priorique son más numerosas. Entre estas últimas hay queseñalar los trabajos de Chevallard y sus colaboradores(Chevallard, 1985; Chevallard y Johsua, 1982), en losque aparece la noción de transposición didáctica, esdecir, la transformación de la matemática (savoir savant)en el contenido escolar (savoir enseigné), que se reflejafundamentalmente en los libros de texto. En la mismalínea está el trabajo de Tavignot (1993). Otras investiga-ciones se centran en los aspectos relativos al lenguaje yla legibilidad (Pimm, 1987, 1994). Por su parte, Otte(1986) pone el énfasis en lo que transmite el texto, lasrelaciones entre el conocimiento y su representacióntextual y las variaciones en las interpretaciones. EnDormolen (1986) se hace una clasificación de los ele-mentos que son imprescindibles en un libro de texto dematemáticas. Lowe y Pimm (1996) consideran que hayuna tétrada asociada a un libro de texto: el lector, elescritor, el profesor y el mismo libro, y que las caracte-rísticas de cada uno de ellos, así como sus interaccionesdeterminan el uso de este material en el aula. Tambiénse han llevado a cabo algunos estudios comparativoscomo el que aparece publicado en un monográfico deTIMSS (Third International Mathematic and ScienceStudy) realizado por Howson (1995) sobre libros detexto para niños de 13 años de ocho países diferentes.

Por último, resulta imprescindible destacar el trabajo, yamencionado, de Schubring (1987) sobre metodología deanálisis histórico de libros de texto, en el que se conside-ra necesaria una aproximación global que analice, enprimer lugar, los cambios en las sucesivas ediciones deun libro de texto, para pasar luego a buscar los cambiosen otros libros de texto y, por último, relacionar estoscambios con los que se han producido en el contexto, esdecir, cambios en los programas, en los decretos minis-teriales, en los debates didácticos, en la evolución de lasmatemáticas, en la epistemología, etc.

En nuestro trabajo hemos realizado un análisis de librosde texto estudiando los cambios que se han producido alo largo de más de cincuenta años en un concepto clavepara la enseñanza del análisis como es el de límitefuncional. El uso de diversas ediciones de algunos de loslibros analizados, su comparación con otros libros delmismo periodo y su relación con los programas oficialesen aquel momento nos proporcionarán los datos esencia-les para concretar cuál ha sido la evolución de dichoconcepto.

METODOLOGÍA

Hemos analizado libros publicados desde la terminaciónde la Guerra Civil hasta nuestros días. De acuerdo conSchubring (1987), la producción de libros de texto selleva a cabo dentro de un contexto determinado y respon-de a las corrientes epistemológicas y didácticas al uso;además, existiendo en el caso español disposiciones

legales sobre el currículo, los libros de texto tienden aadaptarse a ellas. Por esta razón, por un lado, se presen-tan sucintamente los planes de estudio vigentes durantela época analizada incluyendo el tratamiento del concep-to de límite en los mismos; por otro, los libros se hanagrupado por periodos que, en líneas generales, corres-ponden a los sucesivos planes de estudio:

1)Periodo comprendido entre 1940 y 1967. Este periodoabarca desde el final de la Guerra Civil hasta 1967 en quese publican los textos piloto para la introducción de lamatemática moderna en el bachillerato. Tiene un puntode inflexión en 1953, año en el que se publica un nuevoplan de estudios (modificado parcialmente en 1957). Sehan analizado cinco libros de este periodo.

2)Periodo comprendido entre 1967 y 1975. Este periodoabarca desde la introducción de la matemática modernahasta la implantación del bachillerato unificado y poli-valente (BUP) en 1975. Se han analizado nueve libros dediversos autores y editoriales, entre ellos los textospiloto publicados por la Comisión para el Ensayo Didác-tico sobre la Matemática Moderna en los Institutos deEnseñanza Media.

3)Periodo comprendido entre 1975 y 1995. Este periodocomprende desde la implantación del BUP hasta el iniciode los nuevos Bachilleratos derivados de la Ley deOrdenación General del Sistema Educativo (LOGSE).Se han analizado trece libros.

El criterio para la selección de los libros de texto ha sidoel de los autores más «famosos» o de las editoriales más«importantes» de cada uno de los periodos. También seha procurado que los autores elegidos tuvieran produc-ción en los distintos periodos, para estudiar la evolucióndel tratamiento del concepto de límite.

El análisis de libros de texto se ha llevado a cabo en tresetapas, cada una de las cuales profundiza el trabajorealizado en la etapa anterior.

En la primera etapa, se han elaborado fichas con losdatos fundamentales del libro: título, autor/es, editorial,año de edición, plan de estudios, y un resumen delcontenido de los capítulos relacionados con el límite.

En la segunda etapa se han hecho tablas comparativas delos libros correspondientes a cada periodo, que incluyen:

a) Modo de introducción del concepto: formal, heurísti-cos o constructivo.

b) Tipo de definición: topológica, métrica, geométrica opor sucesiones.

c) Secuenciación: se ha hecho un listado de las definicio-nes y propiedades relacionadas con el límite, numerán-dolas según su orden de aparición.

d) Tipos de ejercicios y problemas.

En la tercera etapa se han considerado tres dimensionesde análisis:


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1) Desde la terminación de la Guerra Civil hasta laintroducción de la matemática moderna en los institutosde bachillerato (1940-67)

Durante este periodo, estuvieron vigentes dos planes deestudios: el de 1938, que se promulga durante la GuerraCivil y se modifica en el de 1953.

El plan de 1938 organizaba los estudios de bachilleratoen siete cursos; se accedía superando una prueba deacceso a los diez años, estableciéndose un examen deestado al finalizar el mismo, requisito indispensablepara acceder a la universidad. Trataba de aunar losaspectos científicos y humanísticos en un solo tipo debachillerato. La asignatura de matemáticas formaba par-te de los programas de los siete cursos y se desarrollabade modo cíclico. En la distribución de materias noaparece explícitamente el cálculo diferencial e integral,aunque la costumbre de la época era introducir esta parteen los contenidos de álgebra o de álgebra superior.

Análisis conceptual Análisis didáctico-cognitivo Análisis fenomenológico

• Secuenciación de contenidos • Objetivos e intenciones del autor • En torno a las porpias matemáticas

• Definiciones: tipo y papel que juegan (expresadas habitualmente en el prólogo) • En torno a otras ciencias

en el texto • Teorías de enseñanza-aprendizaje • Fenómenos de la vida diaria

• Ejemplos y ejercicios subyacente

• Representaciones gráficas y simbólicas • Capacidades que se quieren desarrollar

• Aspectos materiales

Sin lugar a dudas, las concepciones epistemológicas delos autores acerca del conocimiento matemático estánrelacionadas con el modo de transmisión de dicho cono-cimiento y van a determinar qué tipo de capacidades sepretenden desarrollar en los alumnos, por lo que, a veces,es inevitable mezclar componentes epistemológicos ycognitivos en este análisis. Esto mismo sucederá con elanálisis cognitivo y fenomenológico.

RESULTADOS

Vamos a presentar los resultados de cada uno de losperiodos considerados, de acuerdo con el análisis con-ceptual, cognitivo y fenomenológico que hemos llevadoa cabo según el esquema anterior. No obstante, en lo quese refiere al conceptual, aunque en la investigaciónoriginal (Sierra, González y López, 1997) se cubrieronampliamente los cinco aspectos considerados, aquí, porrazones de extensión, nos limitaremos a las definicionesy a las representaciones gráficas y simbólicas.

En 1953 se estableció un nuevo plan de estudios para elbachillerato. La nueva organización rompió el carácterunitario que había tenido hasta entonces, estructurándo-se en bachillerato elemental (10-14 años) y bachilleratosuperior (14-16 años), teniendo este último dos especia-lidades denominadas ciencias y letras; además, se esta-bleció un curso puente con los estudios superiores deno-minado preuniversitario. Las finalidades declaradas enla presentación del nuevo plan de estudios fueron: des-congestionar las enseñanzas teóricas, evitar la excesivareiteración del método cíclico y garantizar el cultivo deasignaturas más importantes y formativas. La asignatu-ra de matemáticas era obligatoria en el bachilleratoelemental y en la especialidad de ciencias del bachille-rato superior.

Los conceptos de límite y continuidad aparecen en loscuestionarios (programas) de sexto curso dentro delbloque de análisis. En estos cuestionarios, el límiteaparece ligado al concepto de sucesión, que posterior-mente se aplica para definir la continuidad de funciones.Los cinco libros analizados se han agrupado en dosbloques:

a) Análisis conceptual, que se refiere a cómo se define yorganiza el concepto a lo largo del texto, representacio-nes gráficas y simbólicas utilizadas, problemas y ejerci-cios resueltos o propuestos, así como ciertos aspectosmateriales de los libros de texto que determinan lapresentación del concepto.

b) Análisis didáctico-cognitivo, que se refiere tanto a laexplicitación de los objetivos que los autores pretendenconseguir como al modo en el que se intenta que elalumno desarrolle ciertas capacidades cognitivas(Duval, 1995).

c) Análisis fenomenológico, que se caracteriza por losfenómenos que se toman en consideración con respectoal concepto en cuestión, en nuestro caso el de límitefuncional. Aquí se considera el análisis fenomenológicodidáctico, en el que intervienen los fenómenos que seproponen en las secuencias de enseñanza que aparecenen los libros analizados (Puig, 1997).



Bloque A Bloque B

• Fernández de Castro, M. y Jiménez Jiménez, J.L. • Ríos, S. y Rodríguez San Juan, A.Matemáticas. Preparación del examen de estado. Matemáticas. 6º curso de bachillerato. Los autores.Escelicer. Cádiz- Madrid. ( sin fecha, anterior a 1995). Madrid. 1950.

• Bruño. Matemáticas 6º curso. • Ríos, S. y Rodríguez San Juan, A. Matemáticas.Ediciones Bruño. Madrid. 1968. 5º curso de bachillerato. Los autores. Madrid, 1968a.

• Ríos, S. y Rodríguez San Juan A. Matemáticas.6º curso de bachillerato. Los autores. Madrid. 1968b.

El tratamiento del concepto de límite en los libros delbloque A va ligado a los conceptos de sucesión y varia-ble de un modo oscuro, mientras que en los libros deSixto Ríos y Rodríguez San Juan adquiere un estatuspropio que no aparece en los libros del bloque anterior.En estos dos últimos autores se observa, sin lugar adudas, la influencia de Julio Rey Pastor (1888-1962).Como es bien sabido, Rey Pastor se propuso elevar elnivel de la matemática española considerando su retraso«en medio siglo en la geometría y en análisis un pocomayor». Para ello se trazó un plan minucioso de modoque con el advenimiento de la segunda República, en1931, se puede considerar que en España existía ya unacultura matemática contemporánea. Pues bien, discípu-los suyos como Sixto Ríos y Rodríguez San Juan, contri-buyeron a dotar de esa contemporaneidad a nuestramatemática, no solamente en la enseñanza universitariasino también en la secundaria.

A continuación se presentan los resultados más destaca-bles en cada una de las tres dimensiones de análisis.

ANÁLISIS CONCEPTUAL

Definiciones

La definición de límite experimenta una evolución desdelos libros del bloque A a los del bloque B, aunque tienenelementos comunes como son la idea de infinitésimos yel lenguaje de incrementos. En particular, en el libro deFernández de Castro y Jiménez Jiménez (sin fecha),después de la definición de los conceptos de variable yde sucesión, aparece la definición de límite de variable,particularizando para el caso de sucesiones:

Se dice que una variable tiene un límite o tiende a unlímite si, en la sucesión de sus valores, se verificaque a partir de uno de ellos la diferencia entre losdemás y el límite es, en valor absoluto, tan pequeñacomo se quiera.

Es una definición donde se mezclan el concepto devariable y el de sucesión. Posteriormente, al identificar

función con variable se mantiene la definición anteriorde límite. Además, la idea de infinitésimo está implíci-tamente subyacente en ella y, efectivamente, el lenguajede infinitésimos se utiliza abundantemente a lo largo deltema.

En Bruño (1968), hay un cierto cambio; la definición delímite se da explícitamente utilizando el lenguaje desucesiones:

Una función f(x) tiene límite b cuando la variable xtiende a a cuando eligiendo cualquier sucesión devalores x

1, x

2,... ,x

n que tienen límite a; los corres-

pondientes valores de f(x): f(x1), f(x

2),...,f(x

n) tienen

por límite b.

En los libros de Sixto Ríos y Rodríguez San Juan (1950,1968a, 1968b), aunque el concepto de función se siguepresentando ligado al concepto de variable, el conceptode límite ya se empieza a definir a partir de las funciones,y se hace mediante sucesiones. La definición es:

El límite de la función f(x) cuando x tiende a a es elnúmero b, si se verifica que los valores de la funciónf(x) se aproximan tanto como queramos a b, toman-do los valores de la variable x convenientementepróximos a a (no se hace ninguna hipótesis sobre elvalor de la función en el punto a).

Esta definición se completa dando una interpretacióngeométrica del límite de una función en un punto utili-zando entornos simétricos. Se observa en estos dosautores una preocupación por los aspectos geométricos,que se traduce tanto en las interpretaciones de los con-ceptos como en los ejercicios propuestos, donde apare-cen problemas de límites en contextos geométricos; esuna característica que no se dará en el resto de losperiodos.

A nuestro juicio, durante este periodo se observa uncambio progresivo en la definición del concepto delímite, desde su presentación, ligado a la idea devariable, hasta la introducción del concepto de fun-ción, clarificándose el concepto de límite a partir delde función.



REPRESENTACIONES GRÁFICAS Y SIM-BÓLICAS

Representaciones gráficas

En los libros del bloque A, las representaciones gráficasson muy escasas. En el libro de Fernández de Castro yJiménez Jiménez (s.f.) hay un cuadro resumen de lasoperaciones con límites donde aparecen las indetermi-naciones.

En los libros del bloque B, hay un aumento notable derepresentaciones gráficas: se da una interpretación geomé-trica del límite y se ponen contraejemplos sobre laexistencia de límite, para lo cual se utiliza la representa-ción gráfica de la función E(x) (parte entera de x). Lasrepresentaciones gráficas empleadas son cartesianas.

Representaciones simbólicas

La notación que se usa para el límite en los libros delbloque A está orientada a la idea de variable. Las varia-bles se representan con las letras minúsculas del abece-dario y los infinitésimos con las letras griegas corres-pondientes a las utilizadas para las variables. Se utilizael símbolo (para representar el infinito, y esto ocurrirá deaquí en adelante en todos los libros analizados. Asimis-mo, se hace uso del valor absoluto (con la notaciónclásica de las barras) en las demostraciones. Además delas expresiones simbólicas, aparecen expresiones verba-les a lo largo de los textos como: «tienden a», «tanpequeño como se quiera», «n crece infinitamente», «ma-yor que cualquier número por grande que sea», «tiendea cero más rápidamente que». También se tratan órdenesde infinitésimos e infinitésimos equivalentes.

En los libros del bloque B aparece una simbolizaciónmás moderna del límite, los autores escriben:

lim ƒ(x) = b, o bien ƒ(x)→ b, cuando x→ a.x → a

que se lee: ƒ(x) tiende a b cuando x tiende a a.

Se usa mucho el lenguaje de ε. Así, cuando los autoresdemuestran que el límite de una función es un ciertovalor, a lo largo de dicha demostración afinan el valor deε (ε/2, ε/4...) de modo que al final salga en el segundomiembro de la desigualdad. También son frecuentesexpresiones que hemos mencionado anteriormente paralos libros del bloque A.

Aunque las representaciones gráficas y simbólicas sonmuy escasas, se observa una progresión notable, demodo que, en los libros de Sixto Ríos y Rodríguez SanJuan (1950,1968b), los tipos de representación son acor-des con su época, de acuerdo con la idea de contempora-neidad a que ya hemos hecho referencia.

Análisis didáctico-cognitivo

Como ya se ha señalado anteriormente, los prólogos olas introducciones a las diferentes lecciones nos ponen

sobre la pista de las capacidades que los autores preten-den desarrollar en los alumnos. Ahora bien, hay quetener en cuenta que la ordenación de la educación se-cundaria en España sólo permitía, en la práctica, que unnúmero limitado de españoles alcanzase este nivel edu-cativo, constituyendo una élite entre la población espa-ñola; precisamente, a este número reducido de alumnos,seleccionados primordialmente por criterios socioeco-nómicos, van dirigidos estos libros.

El único libro en el que aparece explicitado el objeto dela lección es en el de Fernández de Castro y JiménezJiménez (s.f.) donde los conceptos tienen un carácteresencialmente instrumental, ya que lo que se pretendees: «Hallar unas reglas sencillas que nos permitan calcu-lar con seguridad y rapidez el límite de variables compli-cadas en las que intervienen operaciones diversas alge-braicas y aun trascendentes.» Este carácter instrumentalestá presente también en los otros libros estudiados.

Una segunda característica es el carácter cíclico de loscontenidos que se repiten en sucesivos cursos amplián-dose y completándose en cada uno respecto del anterior.

En todos los libros, el desarrollo es secuencial y formal,aunque las demostraciones no son totalmente rigurosas,sino que tienen ciertos componentes intuitivos. La ideaque subyace es la de una matemática ya hecha que elalumno debe memorizar y practicar resolviendo ejerci-cios. En definitiva, las capacidades que se pretendendesarrollar en el alumno son: memorización de defini-ciones y propiedades y práctica algorítmica, con algunaexcepción en los ejercicios planteados.

Análisis fenomenológico

En el libro de Fernández de Castro y Jiménez Jiménez(s.f.), cuando trata el concepto de variable, hace algunareferencia a fenómenos naturales como: hora del día,estación del año y circunstancias meteorológicas. Hechaesta salvedad, el resto de los libros hace solamentereferencias a aspectos matemáticos cuando presentanlos conceptos de límite y continuidad y, en general, ellímite es concebido como una preparación para la deri-vada; aunque en algunos casos, como en el libro de SixtoRíos y Rodríguez San Juan (1950), hay un componentegeométrico importante referido al estudio de límites dependientes de rectas secantes a una curva, de longitudesde cuerdas, de áreas bajo ciertas condiciones, de suce-siones de circunferencias.

INTRODUCCIÓN DE LA MATEMÁTICAMODERNA (1967-75)

Como es bien conocido, a comienzos de los años sesentatriunfó en casi todo el mundo occidental la enseñanza delas llamadas «matemáticas modernas»; en el caso espa-ñol, se introdujo progresivamente en los programas debachillerato. Las razones de dicha introducción, estánrecogidas en Rico y Sierra (1994), y son las siguientes:



a)La matemática moderna proporciona esquemasmás sencillos para poder presentar la materia del bachi-llerato.

b)Con la matemática moderna se pueden organizar di-chas materias de modo más racional.

c) Los fines esenciales de la matemática en la enseñanzamedia son dos: formativo e instrumental.

d)Ambos fines pueden lograrse con más eficacia me-diante la matemática moderna.

e) Tanto en la teoría como en los algoritmos, el alumno,con la matemática moderna, puede llegar a discurrir conmás precisión y claridad.

f) Con la matemática moderna se estudiarán las materiasque tengan carácter fundamental, y las que no poseeneste carácter quedarán relegadas como simples ejerci-cios a desarrollar por los alumnos.

En 1962 se constituyó la Comisión para el EnsayoDidáctico sobre la Matemática Moderna en los InstitutosNacionales de Enseñanza Media, presidida por el profe-sor Abellanas. La Comisión editó, en los años 1967 y1969, textos piloto para el 5º y 6º curso de bachillerato,respectivamente, que se convirtieron, de hecho, en elnuevo programa de matemáticas que progresivamente sefue implantando en el bachillerato y cuyos cimientos sonla teoría de conjuntos y las estructuras de las matemáti-cas en sentido bourbakista, es decir, las estructurasalgebraicas, de orden y topológicas.

Por lo que se refiere al límite, en dichos textos piloto, en5º curso se hace una breve introducción a este conceptoen el capítulo dedicado a funciones de variable real y, en6º curso, dentro de un capítulo titulado de igual manera,se profundiza en ambos conceptos, primando el punto de

vista topológico. Los nueve libros analizados se hanagrupado en tres bloques.

Estos bloques representan tres tendencias observadas eneste periodo. Así, los libros del bloque A siguen elmodelo de la etapa anterior (representado en los libros deSixto Ríos y Rodríguez San Juan). Los del bloque B, quecomprenden los textos piloto y los que siguen sus orien-taciones e ideas, suponen una ruptura presentando lasnuevas ideas acerca de la enseñanza de las matemáticas.Finalmente, los del bloque C introducen la matemáticaestructural y axiomática, pero a la vez proponen activi-dades para el alumno y las explicaciones se apoyan enellas. Se observa que, junto al nuevo paradigma quesurge como una auténtica revolución, se mantiene, co-existiendo con él, el antiguo. Esto nos recuerda las ideaskuhnianas sobre la estructura de las revoluciones cientí-ficas.

Los resultados en cada una de las tres dimensiones sonlos que se exponen a continuación.

Análisis conceptual

Definiciones

La definición de límite va evolucionando hacia un mayorformalismo. Así, en el bloque A se enfatiza la definiciónpor sucesiones, aunque también aparece de modo resi-dual la definición topológica que les lleva a utilizarentornos generales. En los libros piloto (bloque B) apa-rece la siguiente definición:

Diremos que una función ƒ(x) = y tiene por límite bpara x = a, cuando para todo entorno Eb del punto b,se verifica ƒ—1(Eb) = Ea-a, o bien, ƒ—1(Eb) = Ea. En elsegundo caso, además de tener límite la función enx=a, diremos que es continua en dicho punto.

Bloque A Bloque B Bloque C

• Sin autores. Matemáticas sexto curso. • Abellanas, P., García Rúa, J., Rodríguez • Agustín, J.M. y Vila, A. Matemáticas 6ºEdelvives. Zaragoza. 1972 (aprobado por Labajo, A., Casulleras Regás, J. y Marcos Bachillerato. Vol. 2. Vicens-Vives.OM 23-2-68). de Lanuza, F. Matemática moderna: Barcelona, 1973.

Quinto curso. MEC. MADRID, 1967.• Segura, S. Matemáticas 6º curso. ECIR. • Marcos, C. y Martínez, J. MatemáticasValencia, 1974. • Abellanas, P., García Rúa, J., Rodríguez generales COU. SM. Valencia, 1973.

Labajo, A., Casulleras, Regás, J. y Marcos• Tuduri, J. y Casals, R. COU. de Lanuza, F. Matemática moderna.Matemáticas especiales. Vimasa. Terrasa, Sexto curso. MEC. Madrid, 1969.1974.

• Marcos de Lanuza, F. Matemáticas 5ºcurso. G. del Toro: Madrid, 1972a.

• Marcos de Lanuza, F. Matemáticas COUoptativa. G. del Toro. Madrid, 1972b.



En los libros del bloque C se utiliza preferentemente ladefinición topológica, aunque se quiere conducir pro-gresivamente al alumno a partir de ciertos ejemploshasta las definiciones.

Representaciones gráficas y simbólicas


Aparecen tablas, gráficas cartesianas y otras representa-ciones estrechamente ligadas al tipo de definición que seutiliza. En cuanto a las tablas, cuando los autores presen-tan el concepto de límite utilizando sucesiones, porejemplo, en el libro de la editorial Edelvives (1972)(bloque A), aparecen tablas con los valores de dichassucesiones y los correspondientes de f(x), mientras que,cuando se utiliza la definición topológica, en el libro deAgustí y Vila (1973) (bloque C), las tablas de valores dela función se usan para comprobar que se verifica dichadefinición en casos particulares.

Las gráficas cartesianas aparecen en todos los librosanalizados, algunas de ellas incluso realizadas a manoalzada presentando las características que interese resal-tar. Por ejemplo, cuando se da la definición en sentidotopológico, se representan entornos de un punto y de suimagen inversa, incluso cuando se trata del infinito.

En el bloque C, hay además otros tipos de representacio-nes gráficas como diagramas de Venn (Marcos y Martí-nez, 1973) y uso de la recta numérica (Agustí y Vila,1973).


Todos utilizan lim f(x) = l con las letras a, l u otrasx → a

diferentes, y también ƒ(x) → l. Las excepciones, lasx → a

constituyen los libros de Marcos de Lanuza (1972a,1972b) del bloque B con lim f(x) = l y el libro de Agustí

x → a

y Vila (1973) del bloque C con limaF = l.

Las notaciones evolucionan desde las correspondientesa la definición de límite por sucesiones hasta la defini-ción topológica, adaptándose a cada tipo de definición.En particular, el significado que se da al símbolo ε varíade unos a otros: mientras que en unos se considera comoalgo «arbitrariamente pequeño» (Segura, 1974, bloqueA), en otros se considera simplemente ε > 0 (Tuduri yCasals, 1974, bloque A; Marcos y Martínez, 1973,bloque C).

Como en los libros del bloque B se utiliza la definicióntopológica, aparecen referencias a entornos. En los tex-tos piloto se utilizan representaciones simbólicas dedichos entornos, bien utilizando subíndices como E

a y E

bo bien entornos centrados (b - ε, b + ε) y en otros textosse tratan de forma exclusivamente verbal. También enlos libros del bloque C, aparecen notaciones de entornos;por ejemplo, en Agustí y Vila (1973), se dice:

Diremos que l es el límite de F en a, si para todoentorno B de l se puede encontrar un entorno redu-cido de a A

0 = A - {a} de modo que ƒ(A

0) B.

También en este bloque se inicia el uso de los símbolosde los cuantificadores. Así, en Marcos y Martínez (1973),aparece la siguiente definición:

Se dice que la funciónƒ(x) tiende hacia L cuando xtiende hacia +∞ (o hacia -∞), si para todo ε > 0existe un real positivo A, tal que |x| > A implica|ƒ(x)-L| < ε;∀ ε > 0, ∃ A > 0 tal que |x| > A ⇒ |ƒ(x)-b| < ε.


Los libros del bloque A no tienen prólogos en dondelos autores expresen sus ideas acerca de la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas. No obstante, como ya seha señalado, siguen el modelo de la etapa anterior y lascapacidades que pretenden desarrollar son: aprendizajememorístico de las definiciones y aplicación de estasdefiniciones a la resolución de ejercicios.

Los libros del bloque B suponen una ruptura con elbloque anterior, ya que con ellos se introduce la matemá-tica moderna en el bachillerato. De acuerdo con Steiner(1987), las ideas acerca del conocimiento matemáticoinfluyen en las teorías de enseñanza-aprendizaje de eseconocimiento; por ello, para poder llevar a cabo esteanálisis cognitivo, tenemos que hacer referencia a cier-tos aspectos epistemológicos, máxime cuando estamosen un punto de ruptura con el pensamiento anterior.Siguiendo las ideas de la matemática moderna, en lostextos piloto, los conjuntos y las aplicaciones son loscimientos sobre los que se pretende construir el edificiode la matemática, y las estructuras, las herramientas paraconstruir dicho edificio. Estas ideas se ven reflejadas enel tratamiento del límite: la orientación topológica no escasual sino que es justamente la preconizada por lospioneros de la reforma de las matemáticas de acuerdocon las ideas bourbakistas. Por ello los conceptos deconjunto, número real y entorno se utilizan constante-mente. En los otros dos libros de este bloque se enfatizanlas ideas aparecidas en los textos piloto. En consonanciacon lo dicho hasta ahora, las capacidades que se preten-den desarrollar son: adquisición de las formas de hacerdel nuevo lenguaje de la matemática moderna, el cono-cimiento de la definición de límite en este lenguaje, elaprendizaje de las definiciones mediante actividadesdirigidas, la aplicación de las definiciones a la resolu-ción de ejercicios y el desarrollo de algoritmos para elcálculo de límites de expresiones algebraicas.

Los libros del bloque C se sitúan decididamente en lacorriente de la matemática moderna con las implicacio-nes cognitivas subyacentes. Esto se expresa claramenteen el prólogo del libro de Marcos y Martínez (1973), enel cual no sólo se ensalza a Bourbaki, sino que tambiénse hace mención explícita a Piaget, diciendo textualmen-te que «Piaget ha demostrado que las formas humanas depensamiento coinciden con las estructuras de la matemá-



tica moderna». Asimismo, el libro de Agustí y Vila(1973) tiene una clara influencia de las obras de Papy ysus colaboradores, con una preponderancia de los aspec-tos topológicos sobre los métricos según el espíritubourbakista, pero con numerosas actividades. Adverti-mos, por consiguiente, un cierto cambio en la visión deestos autores sobre la enseñanza de las matemáticas. Sihasta ese momento se miraba casi exclusivamente elcontenido de la materia, en estos libros se empieza aconsiderar al alumno como sujeto que aprende, tratandode explicar este aprendizaje desde las teorías piagetia-nas. Respecto a las capacidades que se pretenden desa-rrollar, en nuestra opinión, son muy diferentes de unlibro a otro, probablemente por los cursos distintos a losque se dirigen. Así, mientras que en el libro de Marcosy Martínez (1973) se pretende que el alumno aprendamemorísticamente las definiciones, que se acostumbreal mecanismo de las demostraciones deductivas y realicenumerosos ejercicios, en el libro de Agustí y Vila(1973), se pretende que el alumno vaya construyendode una manera dirigida los distintos conceptos, queentrevea algunas demostraciones y realice numero-sos ejercicios.


En los libros del bloque A no hay referencias a situacio-nes o fenómenos propios de otras ciencias distintas delas matemáticas y, en el caso de éstas, se reducen a casosde funciones polinómicas, radicales, logaritmos, co-cientes de polinomios y funciones trigonométricas. Laidea de límite funcional sólo aparece como ejemplo mássignificativo en Segura (1974), en el caso de un grifo quedeja caer una gota cada minuto. Dicha idea está basadaen el límite de sucesiones.

Respecto del bloque B, no hay referencias a fenómenosque puedan ser organizados mediante el límite y quesean exteriores a la propia matemática. La matemática seencierra en sí misma y se explica por ella misma. Inclusodesaparecen las interpretaciones y los problemas ensentido geométrico de la época anterior. Parece como siesta parte del análisis matemático fuera independientedel resto de las ramas de las matemáticas. Insistimos enla predominancia de la visión topológica en el caso dellímite. Incluso en el caso de la discontinuidad de unafunción, la idea de estar partida, más que una ideaintuitiva, es una idea que se utiliza para reafirmar el usode los entornos.

Tampoco en los libros del bloque C hay referencias afenómenos distintos de los de la propia matemática,aunque existen algunas peculiaridades. Así, el conceptode límite no sólo está ligado a funciones expresadas deforma algebraica, sino que aparece en relación con otrasramas de la matemática, como la geometría (en el caso deMarcos y Martínez, 1973) y las estructuras matemáticas(Agustí y Vila, 1973).

En definitiva, todos los libros analizados reflejan uncierto espíritu de la época en cuanto a la concepción delas matemáticas. Es interesante resaltar que, aunque los

promotores de la reforma, Papy y Dieudonné, entreotros, señalan que las matemáticas están por todas partesy que son un instrumento para comprender la realidad,en escasas ocasiones, en sus obras dedicadas a la ense-ñanza, aparecen las matemáticas para interpretar fenó-menos de otras ciencias. Igual sucederá en el caso espa-ñol, en los libros de texto de este periodo, lo que va amarcar toda una generación de profesores y alumnos,que transmitirán y asimilarán, respectivamente,unas matemáticas sin conexión con otras ciencias yfenómenos.

DESARROLLO DEL PLAN DE ESTUDIOS DEBACHILLERATO UNIFICADO POLIVA-LENTE (BUP) Y DEL CURSO DE ORIENTA-CIÓN UNIVERSITARIA (COU). 1975-95

A comienzos de la década de los setenta se emprende unareestructuración del sistema educativo español, que cul-mina con la aprobación de la Ley General de Educacióny Financiamiento de la Reforma Educativa, promulgadael 4 de agosto de 1970. Se estableció el bachilleratoUnificado y polivalente, BUP, y el curso de orientaciónuniversitaria, COU, necesario para acceder a estudiosuniversitarios. La duración del bachillerato se establecióen tres cursos (14-17 años). El plan de estudios seestructuraba en materias comunes, materias optativas yenseñanzas y actividades técnico-profesionales.

Las matemáticas aparecieron como una asignatura den-tro del área Ciencias Matemáticas y de la Naturaleza. Sinembargo, hasta el año 1975 no se estableció el currículopara el nuevo bachillerato (Decreto del 23 de enero de1975, desarrollado en el BOE del 18 de abril del mismoaño). Las matemáticas tenían un carácter de asignaturaobligatoria en cada uno de los tres cursos del bachillera-to, aunque posteriormente las del tercer curso pasaron aser opcionales.

El concepto de límite aparece en los documentos oficia-les en 2º curso, sugiriendo como orientación didácticaintroducirlo de forma métrica en contraposición con laorientación topológica del periodo anterior y, en cam-bio, reducir el cálculo de límites a casos sencillos.

En el mismo decreto en el que se aprobaba el plan deestudios de bachillerato, se reguló el curso de orienta-ción universitaria estableciendo un núcleo de materiascomunes y dos opciones; en cada opción aparecían a suvez, dos materias obligatorias y tres optativas, entre lascuales el alumno debía escoger dos de éstas. Las mate-máticas figuran como optativa en la opción A y comoobligatoria en la opción B. El programa contenía cuatrograndes temas, siendo uno de ellos: «Ampliación delcálculo diferencial e integral», sin pormenorizar su con-tenido.

Ambos programas mantienen una orientación formalistay estructuralista. Rico y Sierra (1997) señalan tres ideasque sustentan el convencimiento del carácter irreversi-ble dado al programa de las matemáticas modernas: en



primer lugar, el carácter científico, completo y avanzadodel nuevo programa de las matemáticas escolares. Estepunto de vista es parcial e incompleto, ya que se desco-nocen las dificultades de fundamentación y desarrollode la mayor parte de los temas de la matemática elemen-tal en base al programa bourbakista. La segunda idea fuela supuesta implantación de estos programas en la mayo-ría de los países, salvo raras excepciones, y su acepta-ción universal. La tercera razón fue la legitimacióndesde el punto de vista de la psicología, bajo la influen-cia de los grandes psicólogos cognitivos de la época,principalmente Piaget y Bruner. Sin mayor criterio,durante años se defendió que la enseñanza de las estruc-turas matemáticas a los niños y adolescentes estabafundada en argumentos cognitivos, respondía a unamoderna teoría del aprendizaje y tenía carácter evoluti-vo. «Tenemos, pues, que en los años setenta se produceen España una confluencia de intereses entre algunosprofesores universitarios, ciertos responsables adminis-trativos del diseño curricular y algunos psicólogos de laeducación, quienes con una considerable deficiencia deformación sobre el currículo de las matemáticas, susproblemas y limitaciones, establecen un programa deformación formalista desde preescolar hasta la universi-dad. La vigencia de este currículo, la ciframos en vein-tidós años y su periodo de influencia indiscutible se sitúa

en la década de los setenta.» (Rico y Sierra, 1997,pp. 46).

Salvo algunas excepciones, el programa de la matemáti-ca moderna se recibió acríticamente y se incorporó anuestro sistema educativo sin una reflexión propia sobrenuestras necesidades específicas.

Más tarde, en 1987 (OM de 3 de septiembre) se modificóla estructura del plan de estudios de COU. Se establecie-ron cuatro opciones, incorporando a las opciones C y Dorientadas hacia las ciencias humanas y sociales, unanueva asignatura llamada Matemáticas II con tres gran-des temas, uno de los cuales se titulaba: «Análisis des-criptivo de funciones y gráficas», en el que se indicabaque no es imprescindible la formalización del conceptode límite ni tampoco utilizar una notación rigurosa paradefinir un vocabulario básico. En nuestro trabajo nohemos analizado libros de texto de esta asignatura.

Durante la década de los ochenta, se produjo un ampliodebate sobre la reforma educativa en España que culmi-nó con la aprobación y promulgación en 1990 de laley de Ordenación General del Sistema Educativo(LOGSE), que ha supuesto una profunda transformaciónde dicho sistema. Esta ley establece una nueva etapa de

Bloque A Bloque B Bloque C Bloque D

• Marcos de Lanuza, F. • Guillén, J., Navarro, R., • Grupo Cero. Matemáticas de • Hernández, F., Lorenzo, F.,Matemáticas 2º BUP. G. del Peña, J.A. y Ferrer, S. bachillerato. Volumen 2. Martínez, A. y Valdés, J.Toro. Madrid, 1978. Matemáticas 2º Bachillerato. Teide. Barcelona. 1985. Signo II. Matemáticas 2º

Magisterio. Madrid, 1976. Bachillerato. Bruño.• Marcos de Lanuza, F. Madrid, 1989.Matemáticas especiales. COU. • Boadas, J., Romero, R.G. del Toro. Madrid, 1976. y Villalbí, R. Matemáticas • Colera, J. y Guzmán, M.

2º curso de BUP. Teide. Bachillerato. Matemáticas 2.• Agustí, J.M. y Vila, A. Barcelona, 1976. Anaya. Madrid, 1994.Matemáticas. Vectores, 2º BUP.Vicens Vives. Barcelona, 1976. • Etayo, J., Colera, J. • Guzmán, M. y Colera, J.

y Ruiz, A. Matemáticas 2º Matemáticas I COU.de BUP. Anaya. Anaya. Madrid, 1989.Salamanca, 1977.

• Anzola, M., Caruncho, J.y Gutiérrez, M. Matemáticas2º de Bachillerato. Santillana.Madrid, 1976.

• Lazcano, I. y Barolo, P.Matemáticas 2º BUP.Edelvives. Madrid, 1993.

• Álvarez, F., García C.,Garrido, L.M. y Vila, A.Matemáticas. Factor 2.Vicens Vives. Barcelona, 1992.



12 a 16 años denominada educación secundaria obliga-toria (ESO). El bachillerato se reduce a dos años deduración, que se cursarán como regla general entre los16 y los 18 años, suprimiéndose el COU. Se han estable-cido cuatro modalidades de bachillerato: artes, cienciasde la naturaleza y de la salud, tecnología y humanidadesy ciencias sociales. En el momento de llevar a cabo estainvestigación no está implantado, de forma general entodo el Estado español, el bachillerato LOGSE, y sonescasos los libros de texto dedicados al mismo, por loque no se ha realizado un análisis de esos manuales, queposponemos para una investigación posterior. No obs-tante, las orientaciones didácticas preconizadas para elnuevo bachillerato se ven reflejadas en algunos libros detexto que recogeremos a continuación, los cuales aunqueestán escritos para BUP, participan de las nuevas ideasmetodológicas derivadas de la LOGSE, en las que seresalta el papel de las matemáticas como un conjunto deconocimientos que nacen de la necesidad de resolverproblemas prácticos, y se remarca la idea de que partici-par en el conocimiento matemático consiste, más que enla posesión de los resultados finales de esta ciencia, en eldominio de su «forma de hacer».

Los libros analizados de este periodo son los siguientes:

Los libros del bloque A continúan en la línea iniciada enel periodo anterior, por lo que no exponemos los resul-tados. En los libros del bloque B se impone la tendenciade la matemática moderna. Una metodología diferentees la que presenta el Grupo Cero de Valencia (en lamisma línea que el Grup Zero de Barcelona) siguiendolas ideas de la fenomenología didáctica de Freudenthal(se ha hecho un análisis particular de este libro). Lainfluencia de los nuevos planteamientos se hará presenteen los libros del bloque D.


Definiciones

La definición de límite se da prioritariamente de formamétrica, aunque también se utilizan las definiciones porsucesiones y la topológica. Asimismo, se considerantodos los casos posibles de límite y se dan las correspon-dientes definiciones.

En los libros del bloque B se pone énfasis en los límiteslaterales en un intento de analizar el concepto de límitehasta llegar a su formalización. Así en el libro de Guillény otros (1976) se dice:

Diremos que una función ƒ(x) tiene por límite bcuando x tiende a a por la derecha, y lo simboliza-remos por

lim ƒ(x) = bx → a+

cuando, para todo número positivo ε (por pequeñoque sea) existe un número positivo δ, dependiente deε, tal, que se cumpla:

0 < x-a < δ ⇒ /ƒ(x) - b/ < ε

Análogamente, diremos que f(x) tiene por límite bcuando x tiende a a por la izquierda, y los simboli-zaremos por

lim ƒ(x) = bx → a–

cuando, en las mismas condiciones, se tenga:

0 < a-x < δ ⇒ /ƒ(x) - b/ <ε

Los límites por la derecha y por la izquierda sellaman conjuntamente límites laterales.

Claro está que, cuando existe lim ƒ(x), también existenx → a

lim ƒ(x) y lim ƒ(x), y los tres son iguales entre sí.x → a+ x → a–

En los libros del bloque D, el acento se pone en loslímites infinitos y en el infinito, ya que, al dar una visiónmás fenomenológica del concepto, éste se introduce através de las sucesiones que conducen de forma naturalhacia dichos tipos de límite. Así, en el libro de Guzmány Colera (1989) se introduce la definición de límite de lasiguiente manera: «El estudio de límites de funciones,cuando x → ∞, es similar al de sucesiones que se acaba derealizar en el tema anterior. Ahora la expresiónlim f(x) requiere, obligatoriamente, la notación x→ ∞,x → ∞

pues, a diferencia de n, x puede tender también a -∞ o acualquier número. El lim f(x) puede existir o no»,

x → ∞

dando a continuación la definición de límite de formamétrica.

Representaciones gráficas y simbólicas


Hemos detectado un aumento considerable de repre-sentaciones gráficas respecto del periodo anterior,manteniéndose la relación existente entre el tipo dedefinición presentada y la representación gráfica uti-lizada.

En los libros del bloque B aparecen tablas, aunque condistinto sentido. Así, por ejemplo, en el de Boadas yotros (1976) se utilizan para aproximarse al valor de lavariable estudiando los correspondientes valores de f(x),en Anzola y otros (1976) se utilizan para el trabajo en losvalores de δ de la definición del límite, y en el deHernández y otros (1989) se va calculando la diferenciaentre los valores de la función y el candidato al límite.Todo ello acorde con las definiciones que utilizan losdistintos autores. Por el contrario, en los libros delbloque D son escasas las tablas de valores de lafunción.



Gráficas cartesianas aparecen en todos los libros comoapoyo a las distintas definiciones de límites, aunquedifieren de unos libros a otros. En los del bloque D, elénfasis que los autores ponen en los límites infinitos setraduce en una proliferación de representaciones gráfi-cas de asíntotas por medio de líneas punteadas.

Otras representaciones gráficas son tablas-resumen tan-to de operaciones con límites como de expresionesindeterminadas y de síntesis de la unidad.


Las representaciones simbólicas son muy abundantes alcomienzo del periodo considerado, el lenguaje de ε y δestá consolidado y aparecen por doquier símbolos, su-bíndices, valores absolutos, flechas, etc., aunque enninguno de los libros aparecen los símbolos de loscuantificadores. Todos los libros utilizan la notaciónlim f(x) = l en que las letras a y l son sustituidas, ax → a

veces, por otras distintas. Como hemos señalado ante-riormente, los límites laterales son muy utilizados, loque se refleja en la aparición de la correspondientenotación simbólica en dos versiones:

lim lim En las editoriales Santillana, Teidey Magisterio.

lim lim En la editorial Anaya.x → a x → a

x < a x > a

Como ya se ha dicho, los límites infinitos se presentan entodos los textos; todos consideran, excepto Teide, loscasos +∞ y -∞, lo que se refleja en la notación simbólicacorrespondiente.

El uso del lenguaje de entornos o de valor absoluto vienedeterminado por el peso que los autores dan a las defini-ciones topológica o métrica en sus respectivos textos.En Anzola y otros (1976) y en Boadas y otros (1976), enlos que la definición topológica juega un papel prepon-derante, se utilizan los entornos aunque con distintanotación: E(l,ε), en el primero, y E

r(l), en el segundo.

Sin embargo, al final de periodo, los autores tienen unatendencia a la simplificación del simbolismo, existiendoun aumento en el uso de expresiones del tipo:«muy próximo a», «por grande que sea», «mayor quecualquier número real por grande que sea», «valoresmuy cercanos a», etc.


En los prólogos de los libros del bloque B, los respecti-vos autores expresan sus intenciones coincidentes entodos ellos. La idea predominante es presentar las mate-máticas desde la corriente de la matemática moderna,con rigor, pero, «al mismo tiempo evitar caer en unexcesivo rigorismo que harían ininteligibles las citadascuestiones para los alumnos de esta edad» (Anzola et al.,

1976) o «con el lenguaje y el rigor necesarios, pero almismo tiempo viables para los alumnos» (Boadas et al.,1976). Sin embargo, a nuestro juicio, el rigor se mantie-ne a lo largo de los textos; hay una disonancia entre lospropósitos expresados por los autores y su concreción alpresentar el concepto de límite.

Los autores presentan una lista de objetivos más o menosoperativos al comienzo de cada unidad o lección. Así, enGuillén y otros (1976), los objetivos que se pretendenalcanzar son:

1) Definir límite funcional finito. Definir límites latera-les por la derecha y por la izquierda.

2) Definir límite funcional infinito.

3) Definir límite funcional en el infinito.

El método predominante para alcanzar estos objetivosconsiste en presentar muchos y variados ejemplos yejercicios intercalados en el texto. Al final de cadacapítulo aparecen numerosos ejercicios de revisión, re-capitulación y ampliación. En algunos casos (Boadas etal., 1976) se dirigen a «aquellos alumnos más exigentesconsigo mismos o a aquéllos que necesiten de repeticio-nes o mayor práctica.» Por su parte, Anzola y otros(1976) presentan al final del libro una parte de comple-mentos y ampliación «concebidos para atender a lasdiferencias individuales». De acuerdo con las ideasexpresadas en los prólogos de los respectivos libros, lascapacidades que se pretenden desarrollar son las si-guientes: aprendizaje de las definiciones, no sólodesde el punto de vista verbal, sino desde el simbóli-co, manipulación de símbolos, reglas lógicas, cono-cimiento del método deductivo, adquisición de lasherramientas necesarias para la resolución de ejerci-cios y comprensión de algunas propiedades funda-mentales. Será en COU cuando estas habilidades seconsoliden.

Aunque en los libros del bloque D se sigue desarrollandoel plan de estudios de 1975, hay en ellos un enfoquedistinto, ya que, como se ha dicho anteriormente, parti-cipan de las ideas derivadas de la LOGSE. Así, en estoslibros observamos las siguientes características:

a) Importancia concedida a la motivación, ya que «losconceptos matemáticos surgen de modo natural del de-seo de explorar cuantitativamente la realidad» (Guzmány Colera, 1989, prólogo).

b) El apoyo en la historia de las matemáticas y en susaplicaciones.

c) La presentación intuitiva de los conceptos antes de sudesarrollo formal.

d) La actividad intensa de los alumnos a través de larealización de numerosos ejercicios y problemas, siendoéstos de diferentes tipos.

e) La conexión con la realidad y con otras ciencias, quese manifiesta en la presentación de diversos fenómenos

x → a+ x → a–



que se pueden organizar desarrollando los conceptosmatemáticos.

f) El énfasis puesto en los procedimientos de resoluciónde problemas.

g)La incorporación de apoyos didácticos como resúme-nes, utilización de la calculadora, orientación en el usode herramientas matemáticas y ejercicios de autoevalua-ción.

h)La presentación de anécdotas, hechos curiosos y lla-mativos para resaltar el aspecto social, lúdico y culturalde las matemáticas.

Las capacidades que se pretenden desarrollar son, entreotras: aprendizaje comprensivo de la definición partien-do de las intuiciones hasta llegar a su formalización,desarrollo de estrategias de pensamiento (experimentar,observar, buscar pautas y regularidades, formular conje-turas, demostrar), comprensión, interpretación y predic-ción de ciertos fenómenos y reconocimiento de la apli-cabilidad de las matemáticas a otras ciencias.

Todo esto configura una nueva generación de libros detexto, donde se notan las influencias de ciertas corrientesde la didáctica de las matemáticas, como la fenomenolo-gía didáctica, el aprendizaje por descubrimiento y laresolución de problemas.


En los libros del bloque B no hay referencias a fenóme-nos propios de otras ciencias distintas de las matemáti-cas, y dentro de la propia matemática se observa undeslizamiento hacia la manipulación de símbolos y as-pectos puramente formales, en los que se ha perdido elsignificado de los diferentes conceptos.

Sin embargo, en los libros del bloque D, son continuaslas referencia tanto a situaciones de la vida diaria comoa diversos fenómenos de la naturaleza en los cualesinterviene el concepto de límite, especialmente en ellibro de 2º de BUP de Colera y Guzmán (1994). Lassituaciones planteadas son las siguientes, referidas a larelación entre:

• El volumen de una caja y su lado

• El área de un cuadrado y su lado

• El peso de un depósito y los litros de agua que contiene

• La altura de rectángulos inscritos en un ángulo y subase

• El porcentaje de audiencia de la televisión y la hora deldía

• La altura del agua de un depósito y el tiempo que tardaen llenarse

• El aumento que proporciona una lupa y la distancia deésta al objeto

• La temperatura del agua que en el inicio está enebullición y el tiempo de enfriamiento a partir de ella

• El volumen de una esfera y su radio

• La intensidad del sonido y la distancia al foco

Por su parte, en el libro de COU de Guzmán y Colera(1989), al final del capítulo aparece un punto dedicado ala aplicabilidad de la matemática donde se presentan lasrelaciones entre las matemáticas y ciencias naturales yse argumenta sobre la aplicación de las matemáticas a lasmismas. Se observa, por consiguiente, que en estoslibros se produce una ruptura en la concepción de lasmatemáticas como ciencia en contraposición con lasideas bourbakistas. Las matemáticas, además de losaspectos formales, son un instrumento para comprender,interpretar y predecir diversos fenómenos; esta concep-ción se refleja a lo largo de ambos textos y, en particular,al tratar el concepto de límite.

Análisis del libro del Grupo Cero1: Matemáticas deBachillerato (Volumen 2)


En este libro no hay ningún capítulo especial dedicado allímite (ni a la continuidad), sólo hay un apéndice al finaldel mismo. Ambos conceptos están difuminados a lolargo de todo el libro.

La notación de límite aparece por primera vez al tratar lavelocidad instantánea en el capítulo dedicado a las deri-vadas, pero se trata solamente de una notación, enningún caso de una definición. Posteriormente en elmismo capítulo aparece la definición de derivada comoun límite. Más adelante, dentro del capítulo sobre elestudio sistemático de las gráficas trata sobre asíntotasverticales, utilizando términos y notación de tenderhacia infinito y de aproximación.

En un capítulo posterior, dedicado a sucesiones y lími-tes, se enfatiza la idea de sucesión como una función deN en R, tratando los límites de sucesiones como un casoparticular de límite funcional. Finalmente, dedica elapéndice a la formalización de los conceptos de límite ycontinuidad, llegando a la definición topológica de lími-te a partir de la idea de aproximación.


Según los planteamientos del Grupo Cero (1985), elaprendizaje debe predominar sobre la enseñanza. Lasteorías constructivistas del aprendizaje subyacen en lasideas de este grupo; además, estas ideas influirán en laconfiguración del currículo oficial actualmente vigente.Por ello se trata de que sea el alumno el que investigue,conjeture y rectifique, si es preciso, para alcanzar elconocimiento, siendo labor del profesor la de gestionarel aprendizaje. Por esto, el libro no busca señalar unprograma, sino aportar materiales para el trabajo de los



alumnos. En palabras de los autores: «en una clase activade matemáticas, la tarea primordial es hacer matemáti-cas, es decir, matematizar». Y entienden hacer matemá-ticas como la actividad intensa del alumno estudiandodiversos fenómenos, con los conceptos matemáticos quesirven para organizarlos e interpretarlos. A través deestos planteamientos se pretende desarrollar en los alumnoscapacidades inéditas hasta ese momento en los libros detexto como: inducir, conjeturar, experimentar, analizar,rectificar los propios errores, sintetizar, bajo la tutela delprofesor.


El texto se desarrolla de acuerdo con la aproximaciónfenomenológica de Freudenthal, incluso en el prólogodel libro se hace la siguiente cita de este autor: «lamentalidad matemática se expresa en la tendencia amatematizar las matemáticas. Por supuesto que los estu-diantes deben aprender a matematizar situaciones rea-les. Matematizar situaciones matemáticas puede ser elfinal, pero no el comienzo. Para muchos, el objetivo dela enseñanza de las matemáticas es introducir a losmuchachos en un sistema de matemáticas, sistema que,innegablemente irradia encanto estético, el cual, sinembargo, no puede ser captado por personas que notengan un profundo conocimiento de las matemáticas.»Hay, por consiguiente, a nuestro juicio, una diferenciaprofunda con el resto de los autores, todos hablan dehacer matemáticas, pero esta idea difiere esencialmentedesde la perspectiva que la considera el Grupo Cero y laperspectiva en que la consideran los demás. Mientrasque los autores anteriormente analizados se «encierran»en la misma matemática como ciencia y para ellos eso eshacer matemáticas, el Grupo Cero, siguiendo las ideasde Freudenthal, parte de una serie de fenómenos, de lafísica, economía, etc., que matematizan. En palabras delos mismos autores: «no tratan de desarrollar un cuerpode ideas matemáticas y sólo después introducir variasaplicaciones, sino que las aplicaciones deben surgir deun modo natural, alejando la posibilidad de toda separa-ción ficticia entre teoría y práctica». Por ello se rompe lasecuencia ejemplo - definición - propiedades - ejerci-cios, convirtiéndola en presentación de diversos fenó-menos - análisis de estos fenómenos - introducción delconcepto organizador - nuevos fenómenos - ejercicios.

CONCLUSIONES

Aunque, en este artículo, no se han presentado pormeno-rizadamente los planes de estudio, se puede, no obstante,hacer una breve consideración sobre los mismos.En general, y hasta la última reforma derivada de laLOGSE, el currículo oficial se caracteriza por ser cerra-do, con indicaciones precisas acerca del contenido, dis-persas sobre la metodología y prácticamente nulas sobrela evaluación. Además, han existido periodos caracteri-zados por el carácter experimental de los programas,como ha sido el caso de la matemática moderna o de lasideas constructivistas preconizadas en la última refor-

ma. Se puede afirmar, entonces, que hay como «puntosde transición» en el cambio de estos programas oficiales.Sin embargo, a pesar del carácter cerrado de los progra-mas, se observa que el currículo no ha sido uniforme encada una de las épocas; al analizar los libros de texto,hemos demostrado las diferencias notables existentesentre ellos, a pesar de que en cada época deberíanajustarse a las disposiciones oficiales.

También se observa, tanto en los programas oficialescomo en los libros de texto, la influencia de las corrientesinternacionales. Después de un primer periodo, donde laatención estaba puesta en el rigor de las definiciones, secontinuó con el de la matemática moderna, con el acentopuesto en la formalización. Superado este periodo, seobserva que los autores de los libros de texto tratan depresentar los conceptos conectados a situaciones con laintención de dotarlos de un sentido.

En los puntos de transición a los que hemos hechoreferencia anteriormente, aparecen libros de texto quemarcan diferencias con el periodo anterior; en particu-lar, nos referimos a los textos piloto elaborados por laComisión para el Ensayo Didáctico sobre la MatemáticaModerna en los institutos nacionales de enseñanzamedia y los libros del Grupo Cero de Valencia. Tambiénse constata el paso progresivo de los «libros de autor»,como los de Rodríguez San Juan, Sixto Ríos y Marcos deLanuza, a los «libros de editoriales», como MagisterioEspañol, SM, Anaya y Santillana, por citar las cuatromás importantes del mercado español, durante los últi-mos veinticinco años. Los libros de texto son productosde cada época, con su lenguaje y sus justificaciones;además, se observa que términos como intuición, aplica-ción de la matemática, matematización, rigor tienendistintos sentidos en cada uno de los periodos conside-rados, e incluso en cada periodo, de unos autores a otros.

Haciendo hincapié en el límite, tanto en los programasoficiales como en los libros de texto, se observa unaevolución desde su consideración ligado al concepto defunción (que se identifica en el primer periodo con el devariable), pasando por un largo periodo en el que tieneentidad propia, hasta las últimas reformas en las que seenfatiza el carácter instrumental del mismo. Hay unperiodo inicial (hasta los años cincuenta) en el que se dandefiniciones en las que se mezcla el concepto de variabley el concepto de función, seguido de un periodo en elque, aunque se clarifica el concepto de límite, esteconcepto se define mediante sucesiones. En el periodode la matemática moderna se pone el énfasis en lapresentación topológica del concepto, aunque hay unatraducción inmediata a la definición métrica; sin embar-go, esta tendencia no es general en todos los autores. Conla implantación del BUP derivado de la Ley General deEducación (LGE), se consolida la tendencia de la mate-mática moderna, considerando el concepto de límite ensí mismo, definiéndose como límites laterales y presen-tando todos los casos finitos e infinitos del límite y de lavariable. En los últimos libros, antes de la entrada envigor de los bachilleratos LOGSE, aparece una tenden-cia a presentar el concepto de límite en el marco defenómenos de la naturaleza o situaciones de la vida diaria.



NOTAS* Este artículo es parte de un proyecto de investigación financiadopor el Centro de Investigación y Documentación Educativa(CIDE) del MEC y por la Junta de Castilla y León.

1 Aunque el análisis del texto del Grupo Cero (1985) aparecedespués del de los bloques B y D por su carácter singular, hayque advertir que su publicación es anterior a todos los delbloque D. De hecho hay una influencia clara de este libro sobrelos libros posteriores.

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[Artículo recibido en mayo de 1998 y aceptado en marzo de 1999.]

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