Evolução da simbologia algébrica: Um passeio pela história evolutiva

do pensar matemático humano

Carlos Alexandre Ornelas Santos1

Marcos Francisco Borges2

RESUMO: Partindo da premissa de que alguns alunos tem dificuldade em absorver

certos conceitos matemáticos e que a Álgebra ocupa um lugar de destaque, tanto na sua

importância na estrutura curricular, bem como no fato de os alunos apresentam uma

singular dificuldade de assimilar o conteúdo, que muitas vezes se manifestam de forma

abstrata. Assim esse trabalho tem por objetivo facilitar o entendimento da Álgebra

através do seu desenvolvimento ao longo da história, em particular o desenvolvimento

da simbologia algébrica. Fazendo com que, através do conhecimento histórico, não só o

ensino se torne mais eficaz, como atrativo e de fácil contextualização. Através de

analises de autores que abordam a evolução da simbologia algébrica como Florian

Cajori, entre outros, observamos um relação direta e objetiva entre a Matemática e a

História e nessa perspectiva um valoroso recurso a ser usado como ponte entre o ensino

da Álgebra e seus aprendizes.

Palavras-chave: Álgebra, história, ensino.

1- Introdução

A Álgebra atual pode ser definida em dois grupos bem distintos: Álgebra

elementar que é o estudo das equações e o método de resolvê-las, e a Álgebra moderna

que é o estudo das estruturas matemáticas tais como grupos, anéis e corpos.

O que podemos observar no ensino de Álgebra elementar um excesso de

valorização pela “manipulação das letras e números”, onde decorar regras, fórmulas,

exercícios de repetições são o auge do ensino da matemática e nesse sistema o contexto

histórico não é apresentado deixando assim uma lacuna entre o conhecimento e como

ele foi adquirido através do tempo. Assim o desenvolvimento, que levou mais 3000

anos acaba sendo deixado de lado. Os alunos, principalmente no Ensino Básico,

desconhecem coisas como Álgebra Retórica, Álgebra Sincopada e pouco sabem sobre

como chegou até eles a famosa Álgebra Simbólica. Ou nas poucas vezes que a história

da matemática é abordada resume-se em não uma meia dúzia de “historiazinhas” ou

1Aluno de pós-graduação em educação pela Universidade do Estado de Matogrosso

carlos.ornelas.sud@gmail.com 2 Professor Doutor Universidade do Estado de Mato grosso

marcus.borges@unemat.br

parcas informações a respeito de uns poucos teoremas ou narrativas referentes a certos

momentos de um fazer matemático e que mais apareciam como apêndice em alguns

capítulos de certos livros didáticos.

Sabendo que a Matemática é tão antiga quanto à própria história da humanidade,

se levamos em conta que esta última se inicia a partir da descoberta da escrita. Não se

pode transmitir o esse conhecimento sem se dar a contextualização histórica, ou seja, ela

faz parte da própria evolução cultural do homem. E com isso dando espaço as

indagações, onde se constrói o conhecimento, não sendo ele apenas transmitido como

algo pronto e acabado. Para Caraça (1989), a Matemática é um grande capítulo da

História da Humanidade. A História da Matemática pode nos revelar isso.

Na busca da valorização, bem como na contextualização histórica da Álgebra é o

que propomos nosso trabalho. E tendo como motivador o clamor dos alunos,

principalmente por aqueles que dizem não gostar, ou não saber Matemática.

Para um melhor entendimento dessa evolução, dividimos o trabalho nas fases

evolutivas da Álgebra, ou seja, Retórica onde o conhecimento era totalmente verbal,

Sincopada caracterizada pela abreviação de palavras e Simbólico estado atual da

Álgebra. Sendo que nesse ultimo estágio a notação passou por diversas mudanças se

tornando razoavelmente estável ao tempo de Isaac Newton, porém percebemos que

mesmo hoje não há uma uniformidade sobre essa notação matemática. Um exemplo

disso é que os americanos escrevem “3.1416” como aproximação de π, e muitos

europeus escrevem “3,1416”. O símbolo “=’ é usado às vezes para “aproxima-se de um

limite” e em alguns países europeus o símbolo “÷” significa “menos”. (BAUMGART,

1992).

2- HISTÓRIA DA ÁLGEBRA

Quando o homem teria se utilizado, pela primeira vez, da Álgebra? Pois até a

própria origem da palavra "álgebra" é intrigante, pois não se sujeita a uma etimologia

nítida como, por exemplo, a palavra "aritmética", que deriva do

grego arithmos ("número"). Álgebra é uma variante latina da palavra árabe al-jabr (às

vezes transliterada al-jebr), usada no título de um livro, Hisab al-jabr w'al-muqabalah,

escrito em Bagdá por volta do ano 825 pelo matemático árabe Mohammed ibn-Musa al

Khowarizmi (Maomé, filho de Moisés, de Khowarizm). Este trabalho de álgebra é com

frequência citado, abreviadamente, como Al-jabr. Uma tradução literal do título

completo do livro é a "ciência da restauração (ou reunião) e redução", mas

matematicamente seria melhor "ciência da transposição e cancelamento". Assim, dada a

equação:

x2 + 5x + 4 = 4 - 2x + 5x

3

al-jabr fornece

x2 + 7x + 4 = 4 + 5x

3

e al-muqabalah fornece

x2 + 7x = 5x

3

Para que a Álgebra se encontre nos estágio que a vemos hoje, ela sofreu diversas

modificações ao longo dos séculos e para uma melhor compreensão dessa

modificação/evolução, foi dividida em três bem distintos estágios: Álgebra Retórica,

Álgebra Sincopada e Álgebra Simbólica.

2.2- ÁLGEBRA RETÓRICA

Um bom exemplo para se ilustrar de como era o desenvolvimento da Álgebra

Retórica, é vermos a abordagem de um problema, singularmente resolvido pelos

babilônicos, que, segundo Boyer (1991), foi na Babilônia provavelmente surgiu a

Álgebra. Segue um típico exemplo de problemas que encontramos em escrita

cuneiforme, em tábuas de argila ao tempo do rei Hammurabi. Para a explicação,

naturalmente, usaremos o português e, consequentemente a notação decimal indo-

arábica em vez da notação sexagesimal cuneiforme da época. A coluna à direita fornece

as passagens em notação moderna. Abaixo segue o exemplo que desenvolveremos em 5

etapas:

[1] Comprimento, largura. Multipliquei comprimento por largura, obtendo assim

a área: 252. Somei comprimento e largura: 32. Pede-se: comprimento e largura.

[2] [Dado] 32 soma; 252 área. x + y=k

xy = P

[3] [Resposta] 18 comprimento; 14 largura.

[4] Segue-se este método: Tome metade de 32

[que é 16]. k/2

16 x 16 = 256 (k/2)2

256 - 252 = 4 (k/2)2 - P = t

2

A raiz quadrada de 4 é 2.

16 + 2 = 18 comprimento. (k/2) + t = x.

16 - 2 = 14 largura (k/2) - t = y.

[5] [Prova] Multipliquei 18 comprimento por 14

largura.

18 x 14 = 252 área

((k/2) +t) ((k/2)-t)

= (k2/4) - t

2 = P = xy

Fonte: BAUMGART, pg 04 e 05

Na etapa [1] o problema é formulado, na [2] os dados são apresentados, na [3] a

resposta é dada, na [4] o método de solução é explicado com números e, finalmente,

na [5] a resposta é testada.

O que percebemos é uma elabora “receita”, onde os passos para resolução

seguem uma distinta e detalhada descrição, sendo empregada em semelhantes

problemas. Ou seja, o desenvolvimento da álgebra babilônica se caracterizada pela

forma verbalizada da resolução de seus problemas.

A "receita" acima é usada repetidamente em problemas semelhantes. Tem um

importante significado histórico porque a Álgebra grega seguia semelhante método de

resolução, porém em termos de retas e áreas, sendo ilustradas por figuras geométricas.

Diofanto, alguns séculos depois, também usou essa abordagem paramétrica, variável de

caráter secundário cuja finalidade é especificar os objetos de um conjunto ou de uma

família, dando início ao simbolismo moderno, introduzindo abreviações de palavras e

com isso evitando o estilo complexo da álgebra geométrica.

O que também se observa é que o desenvolvimento matemático dos babilônios

ia além da maneira puramente intuitiva, contando com algum raciocínio dedutivo não

formalizado.

O desenvolvimento da álgebra egípcia, apesar de ter surgido ao mesmo tempo,

faltava-lhe sofisticação da babilônica. Um dos mais famosos documentos matemáticos

egípcios o papiro de Ahmes (ou Rhind) datado cerca de 1650 a.C. é um ótimo exemplo

do conhecimento algébrico da época, onde um escriba ensina 85 solução de problemas

matemáticos em um descrição verbal. Um dos problemas de Ahmes diz: “Uma

quantidade, somada a seus 2/3, mais sua metade e mais uma sétima parte perfaz 33.

Qual é esta quantidade?” Com um sistema de numeração, consideravelmente primitivo

se comparado com o babilônico, nos ajuda a entender a falta de sofisticação algébrica

dos egípcios. Assim como os matemáticos europeus do século XVI tiveram de estender

a notação indo-arábica, para avançar de forma mais significativa além dos resultados

babilônicos de resolução de equações.

Já a álgebra grega, como já mencionada, era geométrica. E essa formulação

geométrica é de difícil compreensão se comparada com atual e até mesmo se comparada

com a babilônica. E o que levou a esse desenvolvimento, segundo Waerden (1956),

eram as dificuldades conceituais com frações e números irracionais. Mesmo possuindo

conhecimento pra contornar frações, como sendo a razão entre dois números inteiros,

porém quando se tratavam de numero do tipo √ existiam dificuldades insuperáveis. E

esse rigor os forçou a usar um conjunto de segmentos de reta como domínio

conveniente de elementos. Um exemplo de como era o desenvolvimento dessa álgebra

geométrica encontra-se em Elementos de Euclides, livro II, aqui simplificado, pois o

enunciado de Euclides é geral e denso. O que nós escrevemos hoje como:

(a + b)2

= a2 + 2ab + b

2

Era postulado pelos gregos como:

“Se uma linha reta é dividida em duas partes quaisquer, o quadrado sobre a linha toda

é igual aos quadrados sobre as duas partes, junto com duas vezes o retângulo que as

partes contêm.”

Assim podemos ter uma noção de quanto sofisticada, bem como de difícil

compreensão para aqueles de pouca intimidade com essa álgebra geométrica.

2.3- ALGEBRA SINCOPADA

Alguns séculos após a Euclides e seu Elementos, surge na Grécia o percussor do

uso da simbologia através da abreviação de palavras Diofanto, a melhor aproximação

que se tem do século que viveu é algo em torno de 250 d.C. Estudou e trabalhou na

Universidade de Alexandria, como fora sua vida pouco se sabe, exceto o enigmático

verso em Anthologia palatina:

“Aqui jaz Diofanto. Maravilhosa habilidade. Pela arte da álgebra a

lápide nos diz sua idade: Deus deu um sexto da vida como infante, um

duodécimo mais como jovem, de barba abundante; e ainda uma sétima

parte antes do casamento; em cinco anos nasce-lhe o rebento.

Lastima! O filho do mestre e sábio do mundo se vai. Morreu quando

da metade da idade final do pai. Quatro anos a mais de estudos

consolam-no do pesar; Para então, deixando a terra, também ele alívio

encontrar.”

Em Arithmetica, Diofanto apresenta um tratamento engenhoso para as equações

indeterminadas. Sendo estas chamadas de equações diofantinas, apesar dele não ser o

primeiro a resolver tais sistemas. Apesar de uma abordagem inteligente, segue as linhas

de sentido dos babilônicos, expressando suas incógnitas através de parâmetros.

Segue uma comparação de como expressamos hoje e como seria expressa, a

mesma equação por Diofanto: (x3 + 8x) – (5x

2 + 1) = x

КѵαςηѦδ

ѵεμ

οαισςα

Como se observa Diofanto fez uso da simbologia através da abreviação de

palavras, revolucionando o que hoje chamamos de Álgebra: a incógnita era designada

pela letra sigma minúscula (ς), última da palavra αριθμος (aritmos – número, em grego);

seu quadrado Δγ abreviação de δυναμις (dynamis – potência); seu cubo de К

ν,

abreviação de Кѵβος (kybos – cubo); a igualdade por ισ, abreviação de ισος ( isos –

igual) e a subtração por Ѧ. Para soma não existia um símbolo definido, sendo

representada pela justaposição das parcelas e os termos independentes eram indicados

pelo símbolo μο (monadei – unidade). Diofanto dava início à simbolização, porém como

ela é feita através da abreviação de palavras ficou conhecida como Álgebra Retórica.

Seguindo a linha cronológica, seguiremos para a Índia e a civilização árabe.

Sofrendo várias invasões romanas, na Índia, houve um intenso intercambio de ideias.

Matemáticos como Brahmagupta trabalharam em um estilo sincopado semelhante ao

grego (BAUMGART, 1992). O que a nossa simbologia escreveria hoje como sendo

5xy + √ – 12, era expressa da seguinte maneira (o significado é dado abaixo):

ya ka 5 bha k(a) 35 ru 12

x y 5 produto irracional 35 nο “puro” – 12

Dentre os algebristas hindus os que mais se destacaram foram Brahmagupta (628

d.C) e Bhaskara ( 1150 d.C) “o mais importante matemático do século doze” (BOYER,

1991). Os trabalhos dos hindus com as equações indeterminadas eram superiores ao de

Diofanto, aceitavam números negativos e raízes irracionais. Possuíam, também, o

conhecimento que uma equação quadrática (com raízes reais) possui duas raízes.

O ímpeto causado pelo advento do islamismo levou os árabes á conquista da

Índia, Pérsia, Mesopotâmia, Norte da África e Espanha. Obtendo assim, os escritos

científicos dos gregos e hindus que traduziram para árabe preservando-os ao longo da

Idade Média da Europa. De suas aquisições destaca-se o sistema de numerais hindus.

Nesse período, para notação algébrica, destaca-se, o já mencionado Al-Khowarizmi

porque seus livros Al-jabr e o Liber algorismi, forma posteriormente traduzidos o latim,

sendo de grande influencia na matemática europeia.

Assim que Toledo, na Espanha moura, foi tomada pelos cristãos textos como o

Al-jabr de Al-Khowarizmi, o Almagesto de Ptolomeu, os Elementos de Euclides, entre

outros árabes e gregos, foram traduzidos para o latim por eruditos cristãos. Porém, entre

os eruditos, o mais importante para Europa, principalmente para Itália foi o Liber abaci

(1202) de Fibonacci (Leonardo de Pisa), onde defendia veementemente o uso de

numerais indo-arábicos. Fibonacci era filho de um próspero encarregado de negócios

das cidades de Veneza, Pisa e Gênova, nasceu em Pisa em 1175 e passo parte da

juventude no norte da África, onde teve um intenso contato com a cultura Árabe. Logo

após, viajou pelo Mediterrâneo o que lhe permitiu estudar diversos sistemas aritméticos

então existentes, ficando convencido que o sistema indo-arábico era o melhor de todos.

No inicio de Liber Abaci estão essas palavras históricas: “Estes sãos os noves símbolos

dos hindus: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. Com eles, mais o símbolo 0, que em árabe é

chamado de ZÉFIRO, qualquer número pode ser escrito.”

Sendo o primeiro cristão a escrever sobre os algarismos, bem como a facilidade

de se manipular trabalhos numéricos foram uns dos motivos que levaram a ampla

aceitação dos hindu-arábicos. Lembrando que com a invenção da imprensa com tipos

móveis, aceleravam a padronização, pois facilitavam a comunicação baseada na ampla

divulgação.

2.4- ÁLGEBRA SIMBÓLICA

O simbolismo, tal qual conhecemos hoje, começou a despontar a partir de 1500.

Para uma melhor compreensão vejamos as metodologias de simbolização usadas por

alguns matemáticos.

Conforme afirma Baumgart (1992, p. 12):

Cardano (1545): cubus p 6 rebus aequalis 0.

x3 + 6x = 20

6 3

Bombelli (157 ): Ĭ . p . 8 . Equale à 20

x6

+ 8x3

= 20

Viéte (1591): I QC – 15 QQ + 85 C – 225 Q + 274 N aequatur 120

x5

– 15x4 + 85x

3 – 225x

2 + 274x = 120

Harriot (1631): aaa – 3bba +2 . ccc.

x3 – 3b

2a = 2c

3

Descartes (1631): x3 – 6xx + 13x – 10 ∞ 0

Wallis (1693): x4 + bx

3 + cxx + dx + e = 0

Descobrir exatamente quem inventou um respectivo simbolo requer um busca

muito detalhista, e, por vezes, se torna impossível afirmar quem o fez este ou aquele

simbolo. Mas dois simbolos muito usados são dignos de mensão, como no mostra

Baumgart (1992, p. 13):

O sinal de (igual) introduzido por Robert Recorde no seu

The Wheststone of witte (1557). Ele usava o símbolo por entender que

não havia coisas tão iguais quanto duas retas paralelas.

O simbolo √ , possivelmente uma alteração de r de radix (raiz)

introduzido por Christoff Rudoff em seu livro álgebra Die coss

(1525).

O matemático Girolamo Cardano (1501 – 15176) em ARTIS MAGNAE SIVE

REGULIS ALGEBRAICES, mais conhecida por Ars Magna foi pioneiro, pois como

segundo Garbi (2009, p.34 ) “este era sem dúvida o maior compêndio algébrico

existente.” Apesar de Ars Magna possuir um estilo simbólico pouco prático, seu papel

de destaque consiste na acumulo de informações sobre soluções para casos especiais de

equações cubícas e quadráticas.

O que podemos obeservar, até este ponto, é que o pensamento majoritário

matemático era a solução manipulativa de equações, o matemático que se torna um

divisor de águas por introduzir letras como coeficientes numéricos foi o frânces

François Viéte, em seu livro IN ARTEM ANALYTICAM ISAGOGE ( INTRODUÇÃO

A ARTE ANALÍTICA) como nos diz Garbi ( 009, p. 57), “ele utilizou

sistematicamente as letras não só para representar as quantiadades desconhecidas

(incognitas) mas, também, os coeficientes das equações”. Apesar de ser um progresso

ainda estava longe da simbologia que usamos hoje. Veja a comparação da equação que

denotamos hoje e como a mesma era expressa por Viéte:

3BA2 – DA + A3 = Z

B3 in A quad – D plano in A + A cubo aequator Z solido

Em outro trabalho, que foi publicado postumamente, intitulado DE

AEQUTIONUM RECOGNITIONE ET EMENDATIONE de 1615 ele faz

contribuições significativas.

Forneceu transformações para aumentar ou multiplicar as raízes de

uma equação por uma constante; demonstrou consciência das relações

entre raizes e coeficientes de uma equação polinomial; formulou uma

transformação que desembaraça um polinômio de seu termo vizinho

ao de maior grau. (BAUMGART, 1992, p. 14).

Apesar de o conhecimento matemático estar bem evoluído e sintetizado, é

curioso pensar que um ciência quase quatro milênios, ainda via os números complexos

com certa desconfiança, “como se os números positivos constituíssem um espécie de

cidadãos de primeira classe no país da matemática” (Garbi, 009, p. 74).

O responsável pela aceitação dos números complexos foi o matemático René

Descartes (1596 – 1650) a quem é dado o título de inventor da Geometria Analítica,

abordando em seu célebre livro DISCURSO SOBRE MÉTODO PARA BEM

CONDUZIR A RAZÃO E ENCONTRAR A VERDADE NAS CIÊNCIAS os números

complexos usando a expressão “Raizes imaginárias”, ali ele demonstra como a

geometria poderia ser estudada por meio da Álgebra. Utilizou uma simbologia muito

próxima da atual, pois segundo Boyer (1991, p. 232): “o texto matemático mais antigo

que um estudande posso seguir sem encontrar dificuldade de notação”. Dá inicio ao uso

de letras minúsculas para representar os números, ou seja, x, y e z, para as incognitas e

a, b, c, d, etc, para os parâmetros,também grafou as potencias da forma xn, porém vale

observar que ele utilizava o quadrado da incognita como xx e não x2, os sinais de soma

e subtração já foram os atuais e o símbolo de raiz passou a possuir um prolongamento

horizontal superior indcando claramente que era abrangido. Descreveu as equações da

forma canônica, ou seja, igualando as equações a zero, o que passou a ser padrão. E

apartir de então sua simbologia foi seguida pelos matemáticos, pois além de ser melhor

que as anteriores, foi divilgada em um livro lido com adimiração por toda comunidade

matemática da época. Na abertura desse Clássico livro diz:

Todos os problemas de geometria podem ser facilmente reduzidos a

tais termos que basta conhecer depois o comprimento de alguns

segmebtos de retas para construí-los. E como toda Aritmética é

composta de quatro ou cinco operações, que são a Adição, a

Subtração, a Multiplicação, a Divisão e a extração de Raizes, que

podemos tomar como um espécie de divisão, assim não precisamos

fazer outra coisa em Geometria relatvamente os segmentos que

procuramos, para prepará-los a ser conhecidos, além de a eles somar

ou subtrair outros;... (Garbi, 2006, p. 141).

Podemos dizer que o progresso final, no que diz respeito ao uso da notação,

consistiu em usar uma letra também para representar o grau de uma equação. A notação

moderna que utiliza expoentes negativos e fracionários foi introduzida por Isaac

Newton, numa carta dirigida a Oldenburg, então secretário da Royal Society, em 13 de

junho de 1676, onde diz: “Como os algebristas escrevem a2, a

3, a

4, etc., para aa, aaa,

aaaa, etc., também eu escrevo a1/2

, a2/3

, a5/4

para √ , √

√

e escrevo a−1

, a−

, a−3

,

etc., para

etc.” Sua fórmula para o binômio foi anunciada nesta carta,

usando letras para representar também os expoentes racionais.

Importantes matemáticos e suas contribuições para a simbolização algébrica:

Leonhard Euler criou vários símbolos entre eles Σ, f(x) e (

) que em simbologia

atual é ( ), estabeleceu um padrão que veio ser se seguido, o uso de expoentes

imaginários teve seu início com ele e foi o primeiro a utilizar a letra i na representação

dos números complexos. Ainda consagrou a letra π como constante geométrica.

Christian Kramp de Strasbourg, França, em 1808 criou o símbolo de n! para o

fatorial.

Em 1827 Carl Friedrich Gauss empregou a letra Π para representar certos

produtos. Com o tempo, esse símbolo passou a representar produtos em geral.

A Gottfried Wilhelm Leibniz se deve a criação do para integração e

para

derivação.

A representação de sucessivas derivações da função f(x) por f’(x), f’’(x), f’’’(x)

foi de Joseph Louis Lagrange (1736 – 1813), que apareceu pela primeira vez em seu

livro THÉORIE DES FONCTIONS ANALYTIQUES, de 1797.

Chegamos ao final de um passeio maravilhoso pela história do desenvolvimento

da simbologia algébrica. Estamos tão acostumados a lidar com o raciocínio matemático

que podemos chegar à conclusão equivocada de que a Matemática, tal como a

concebemos hoje, é algo inato ao ser humano. Porém o que se observa, ao estudar seu

desenvolvimento histórico, é que foi um longo e árduo caminho.

3 - CONSIDERAÇÕES FINAIS

E esse mesmo longo e árduo caminho tem sido abordado de forma satisfatória no

ensino atual?

Para resposta a pregunta acima podem surgir várias e várias respostas, mas o

objetivo deste trabalho não é o de questionar a forma como ele vem sendo feita e sim a

de proporcionar uma alternativa em que um ensino seja facilitado através do

conhecimento histórico evolutivo algébrico.

Um exemplo clássico é o de alguém que se depara pela primeira vez com a

possibilidade de expressar um número de valor desconhecido através de uma variável,

dificilmente ele é informado da enormidade de conceitos anteriores a esse, e que em a

Álgebra possibilita expressar o desconhecido.

A história está repleta de fatos, ou até mesmo curiosidades, que não só facilitam

a absorção de conhecimento como tornam a aula atrativa, saindo da tão desgastada

forma de ensino que se resume a “decorar formulas”.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

CARAÇA, B. de J. Conceitos Fundamentais da Matemática. Sá da Costa,

Lisboa,1989.

BAUMGART, John K. Tópico de história da matemática para uso em sala de

aula. São Paulo. ed: Atual, 1992.

BOYER, Carl B. Histórisa da Matemática. São Paulo. ed: Edgard Blucher,

1991.

GARBI, Gilberto G. O Romance das Equações Algébricas. São Paulo. ed: Editora

Livraria de Física, 2009

MIORIM, Maria Ângela. Introdução a História da Educação Matemática.

São Paulo. ed. Atual, 1998

WAERDEN, B. L. Álgebra moderna. Tradução: Hugo Batista Ribeiro. Lisboa,

1956.

_________, A history of Algebra – from Al-Khowarism to Emmy Noether. Berlin:

Springer Verlag,1985.