Evidence of a random multifractal turbulent structure in the Dow Jones Industrial Average

7
Evidence of a random multifractal turbulent structure in the Dow Jones Industrial Average Ioannis Andreadis a , Apostolos Serletis b, * a European University of the Hague, Center of Management Studies, Nassauplein 25, 2585 EC The Hague, Netherlands b Department of Economics, University of Calgary, Calgary, Alta., Canada T2N 1N4 Accepted 18 June 2001 Abstract This paper uses over 18,000 daily observations on the Dow Jones Industrial Average DJIA) from 3 January 1928 to 18 October 2000) and various tests from statistics and dynamical systems theory to support a random multifractal turbulent structure for the US stock market. In particular, this structure is supported by J.C. Vassilicos, A. Demos and F. Tata [Fractals, Chaotic Behavior in Systems, 1994, 249] multifractal structure test and S. Ghashghaie, W. Breymann, J. Peinke, P. Talkner, Y. Dodge [Nature 381 1996) 767] turbulent behavior test. Ó 2002 Elsevier Science Ltd. All rights reserved. 1. Introduction Stock prices have been extremely volatile. As Mishkin [12, p. 5] puts it, ``[t]hey climbed steadily in the 1950s, reached a peak in 1966, and then ¯uctuated up and down until 1973, when they fell sharply. Stock prices had recovered sub- stantially by the early 1980s when a major stock market boom began, sending the Dow Jones Industrial Average DJIA) to a peak of 2722 on 25 August 1987. After a 17% decline over the next month and a half, the stock market experienced the worst one-day drop in its entire history on `Black Monday', 19 October 1987, when the DJIA fell by more than 500 points, a 22% decline. The stock market then recovered, climbing to above the 11,000 level in 2000.'' What factors explain the signi®cant and unpredictable ¯uctuations in the stock market? In this regard, a voluminous literature has developed supporting the ecient markets hypothesis ± see, for example, [6]. Brie¯y stated, the hypothesis claims that asset prices are rationally related to economic realities and always incorporate all the available information, implying the absence of exploitable excess pro®t opportunities. However, despite the widespread allegiance to the notion of market eciency, a number of recent studies have suggested that certain asset prices are not rationally related to economic realities ± see, for example, [15]. In this paper we provide evidence of a random multifractal turbulent structure for the US stock market, using daily observations from 3 January 1928 to 18 October 2000 on the DJIA ± a total of 18,490 observations. The paper is organized as follows. Section 2 brie¯y discusses the ecient markets hypothesis and the notions connected with it, and Section 3 describes the data and investigates their statistical properties. In Sections 4 and 5 we provide support for a random multifractal structure, and in Section 6 for turbulent behavior. Section 7 provides a brief conclusion. 2. The ecient markets hypothesis The earliest asset pricing model is the `martingale,' according to which tomorrow's price is expected to be the same as today's price, given the asset's entire price history. Symbolically, a stochastic process fx t g follows a martingale if Chaos, Solitons and Fractals 13 2002) 1309±1315 www.elsevier.com/locate/chaos * Corresponding author. Tel.: +1-403-220-4092; fax: +1-403-282-5262. E-mail address: [email protected] A. Serletis). 0960-0779/02/$ - see front matter Ó 2002 Elsevier Science Ltd. All rights reserved. PII: S 0 9 6 0 - 0 7 7 9 0 1 ) 0 0 1 3 8 - 2

Transcript of Evidence of a random multifractal turbulent structure in the Dow Jones Industrial Average

Page 1: Evidence of a random multifractal turbulent structure in the Dow Jones Industrial Average

�������� � ����� � ������� � �� ���� ��� �� ���� ��� ��� ����� ��� ����� ������

������ �������� � ��������� �������� ���

�������� ����� � �� �� ������ ��� �� �� ��������� � ����� ���������� ��� ���� �� ��� ������ �� ��������� ����� ��� �� � ���� �� ����� � �� �������� �������� !� �"� ������ ��� #�$

�������� �� � �� � �

��������

!��� ���� ��� ���� ��� ���" ����������� �� ������ ����� ��� ����� ������ #����$ #���% �� �" �&�� �� ��

'������ � $ �� ���� � ����� ��� ��������� �� �"����� �"����� �����" �� � ����� ������ ������� � �� ����

��� �� �� �� ��� (� ����) ��)��* �� ����� ��� ���� ��� �� �� �� � ������� �" �*+* ,��������� �* ����� �� -* !�

.-������ +����� /������ �� �"������ �&&0� �0&1 � ������� ��� �� �� ���� �� �* 2��������3* /��"���� �* 4���)��

4* !�)���� 5* ����� .6� �� %�� #�&&7$ 8781 � �� ���� ������� ����* � � � �������� ������� 9��* ��� ������ ��������*

� ���� ������

����) ������ ��� ���� �:������" �������* �� ;���)�� .��� �* <1 � �� ��� ==.�1��" ������� ������" �� ��� �&< �� ������

��) �� �&77� �� ���� > �� ��� � �� ���� ���� �&8%� ���� ���" ��� �����"* ����) ������ �� ��������� � �?

�������" �" ��� ���" �&� � ���� �@�� ����) ��)�� ���� ����� ������� ��� ��� ����� ��� ����� ������

#����$ �� ��) � �8�� �� �< � � �� �&�8* ���� �8A ������� ���� ��� ��:� ����� �� ��� ��� ����) ��)��

�:��������� ��� ����� ���?�" ���� �� ��� ������ ������" �� =/��) ;���"B� �& '������ �&�8� ���� ��� ���� ��� �"

���� ��� < ������� ��A �������* !�� ����) ��)�� ���� ���������� �������� �� ���� ��� ��� ����� �� � *BB

3�� ����� �:���� ��� �����C��� �� ����������� > �� ����� �� ��� ����) ��)��D �� ���� ������ ��� ���� �

������ �� �� ��������� � �������� ��� �E����� ��)��� �"�������� F ���� �� �:����� .71* /���>" ������ ��� �"��������

����� ��� ���� ������ �� �������" ������ �� �������� �������� �� ��"� ���������� �� ��� ������ ����������

����"��� ��� ������ � �:�������� �:���� ���C� ������ ������* G������� ������� ��� ��������� �������� �� ���

������ � ��)�� �E�����"� � ���� � ������ �� ���� ��� � ������� ��� ������ ���� ������ �� ��� �������" ������

�� �������� �������� F ���� �� �:����� .�<1*

�� ���� ���� �� ������� �������� � ����� � ������� � �� ���� ��� �� �� �� ��� (� ����) ��)��� ���� ���"

����������� ��� % �� �" �&�� �� �� '������ � �� ��� ���� F ���� � ���0& �����������* !�� ���� ��

�����H�� � ������* ������� � ����>" ���� ���� ��� �E����� ��)��� �"�������� �� ��� ������� ��������� ���� ��� ��

������� % ��������� ��� �� �� ����������� ����� ��������� ����������* �� �������� 0 �� < �� ������� � ����� ��

����� � ������� ��� �� ��� �� �� ������� 7 �� � �� ���� �������* ������� 8 �������� ���� ����� ����*

� ��� ������� ������� ����������

!�� ������� ���� ������� ����� �� ��� =���������B �������� �� ����� ��������B� ����� �� �:������ �� �� ��� ��� �

���"B� ������ ����� ��� ����B� ������ ����� ������"* �"��������"� ��������� ������� ���� ������ �������� �

+���� �������� �� -����� �% #� �$ �% &F�%�<���*��������*���I�����I����

�+������������ ����* !��*J K�?0 %?�� ?0 &�L :J K�?0 %?���?<�7�*

�%��� �������& ��������M ����"*� #�* ��������$*

&7 ? 88&I �IN ? ��� ���� ����� � � � �������� ������� 9��* ��� ������ ��������*

4��J � & 7 ? 8 8 & # � $ � % � ? �

Page 2: Evidence of a random multifractal turbulent structure in the Dow Jones Industrial Average

������� ���� ����� � � �� � ���

�����������"� ��� �������� ����� ������� ��� ����� � ��� �� =�� ���B # ��� ����� �� ������� �� "� � ��� ���

"� � ��������B�$

������� � ��� ���� ����� � � � � �

+����"� �� �� �������� � �� ���" � ����� � ��� �� �� ���* �� �� �� ���� ����� ��� �� ���� �� ��������� �����

=�������� ��O�������*B

!�� �������� �"�������� ��� � ����B� ����� ��" ��>���� ��� ��������� �������� �� ��� ����B� ������ �����

������" �� ���� �� �� )���� � ��� =�E����� ��)��� �"��������B �� ��� �������� ��� ��������� ���� ����������

�� �� �������" ��������� �� � �E����� ���� ��)�� F ��� .71* !�� �������� ����� �� �� �������� �P ��?

�����"� �

���� � �� � ���

����� �� �� ��� �������� ��O������* 3��� ������� �� ���� ��� ��� �������� ���)� �������� �� ��� =����� ��)

�����B F ��� ���� ���� � ��� �����" � �E����� ����� ��)���*

�� �� �� �� ����� ��� ��� �������� �� ���� ����������� ��� ��� ����� ��)* �� ����� ��� ��� �������� ��O������

��P ���� ���" ������������ � ��� ���������� �:�������� � ����� ������ ��� ��� ������ ���������� ������ ���

#���� �����������$ ����� ��) ����� ��P ���� ���� �� ��� ������������ ��������� ��� ������ ���������� ������� �

��� ���������" ������� ���� � ����� ������* /" ��� ��P ����� ������������ ������������ ������� � �������� �����

������� ��� �������� ��O������ ����� �� �������" ���������� ���� ��� �� ��� ����� ������� ���� �� �����������

���� ��� �� �� ����������� ���� ���� � � �� ��� �� ����� � ��������" �� ���P ����" F ���������� ��������" �����

�� ����) ������ �" -� .<1 �� ;�������� .� 1*

� ���� �� ����������� ��������

!�� �� ������� � ���" ����������� �� ��� ����� ��� % �� �" �&�� �� �� '������ � # ���� � ���0&

�����������$ F ��� -��* � �� ������� ������������� � ��� ������* !� ���������� ��� ���� ������ ���������� � ����

������� �� �� ��� ���� �� ����� ���� �� ��������� F ��� .�01* 9�� � ������ �" � ���� � � �� �� � � � �� � ���� ������*

!�� ����� � ��� �������� � ��� ���� ������� �� ���� � � �� �� � � � ��� �� ������� �" �* 3� ������ �� ��P ���� � �����

�"������ ������� �" ��� � �� ��� ��������� �� ������� � ������� � ��� ���� ������ �� ���� ���� �P � ��� �� ������

��� �* 3� ������ �" �� ��� ��������" � ��� ��� � �������� ���� �� �" �� ��� � ��� ��� � �������� ����* 3��� '

�� ������ ��� ���� ���� ������ ��� ���� �� ����* !��� �� ���� ������� ��� ��P ����� � �������� �� �� �� ����"

2 ���� ������� ����*

�� ����� ��� �� ��� ��� ��� ��� �� � �� ��� ������ � ������� ������� ���� �� �� �� �� ����

�� � �����

�� � ��

� �� � ����������� � �� � ����� � ��� � �� � �� � �� � �

-��* �* !�� ��� ����� ��� ����� ������� �&��F� *

�%� (" !�������� !" ����� � ) ������ ��� ��� ��� *�� ��� #+ ,�--�. #+-/0#+#�

Page 3: Evidence of a random multifractal turbulent structure in the Dow Jones Industrial Average

�� ������ �� ������ 1 �������� 2 ���� ������� ���� ���� ��� �� � �� �� ������ ��

� � � ��

��

�� ��� ��� ����� ���&7� � ��&7 ����� �� ��������� ������� �� ��� ���� ������ � ���� ���C����� ������� �

&<A* ����"��� ���� ���� �� ��� ����� �� C�� ���� ���� �� � &� � �� � &� �� �� � � �8� � � �&&8�*

� � ������� ����� �� ��

�� ������ "���� �����C��� ��� �� � ������� � ������ ��� �:������� � �������� �"����� �� ���� �������� ��

C����� ���� ������* 6���������"� �������� �� �� �� ������ ������������� �� ��������� F ���� �� �:����� .01* �� ����

�������� �� ������� �������� ��� ��� ����������" �� ��� ��� ����� ������ �� ��������� ������*

$"#" ��� ��2�� ��� ���

�� �� ��� ���� ������ ���� C���� � ���� � �� ������� �� ����� 9� .&1 �� ��� ��� ��� ����� ������ � � �� �� ���� ��� �������� �������� -� ���� �������J

��� � � �� �� ���� �������� � �� �� �� ��� ��� �� � ��� ������: � ����

�� � � �

��

���

���������� � ���

3� ������� ��� ����� ������ � � ��� ���� �� -��* �* 3� C�� ������� � ��� �"�� ��� �� ����� � � ����* !���������� �� �������" ������ �� ��� ���?������� �������� �������� �" /) �� +��� .%1� �� �� ���������� ���� ���

�������� �������� �� .�1 �� ��� �Q4 < � �� �� .�1 �� ��� ����� ��� ��)��*

$"�" ��� � �� ��� ��� �� ��

6�:� �� ���" ��� ��� �� �� ������ ����� ��������� �" 4�����H�� �� �* .�%1� �� ����� �� � ����� �� �:���� ���

��� ��� ������� �� ��� ������ � � ��������* !�� ��� �� �� ������ ���� �� ��������" ��������� � ���� �� ������?

� ������ ������� ������������� �� ��������� ������ � ���� ������ ����� ����� ������ � �����"� ������ ��?

�����*

3� �������� ���� ������ � ���� C���� ������ �P � �� �* -�� ����" �� �� ��� � ��� ��� �� �� ������ ��������

���� � �� ��C��� � ������J

���� �����

���

� � �� � ����� � � ������� �%�

-��* �* !�� ����� ������ �*

(" !�������� !" ����� � ) ������ ��� ��� ��� *�� ��� #+ ,�--�. #+-/0#+#� �%��

Page 4: Evidence of a random multifractal turbulent structure in the Dow Jones Industrial Average

����� �� ������� ��� ������� ��� � �* ��������� �� ;�������� .��1� �� ���� ������ � ���� �����?

�� ������ � � �� � � � ��� ����� � �� �������� ���� ��� �:����� ������ ������� � ��� ��� ���� � ��� � ����

�� �� � �� ����� � �� ����� ��� ������ �:������* �� ��� ��� � ������� /������ ������� �� ����� #��� .�%1$

���

� � �� � �� �0�3��� ��� ����� �� ���� ������ ��� ���� � ��������� ���� � ������ �����"� � �:������ ������ ������ �� �� ��

������" ����:����� �" ������� ����* '� ��� ����� ���� � ��� ���� ������ ����������� �� ��� ������ � ������

������� ����� ���� ��� �� �� �� � � �� ����� ��� ��� �� ���� ����� ��� ���� � ��������� ���� � ������ �� ������"����:����� � ���� �� �� � �� �" ������� ���� ���� ����� �� � �* �� ����������� �� ���� �� � ���������"

�������� � � �� ����� ��� ������ �� ���� ����* -����"� �� ���� �� �� � �� ���� �������� �������� � � �� ���

������� ���� ���� ������� �" ��� �"����*

�� -��* %� �� ���� ��� ���� � ��������� ���� � ������ �� ��� ��� ����� ������* 3� C�� ��� � � �<7� ����� �����

�� � � � � �� � � � ����� ��������� ������� ��)� ���� �����*

� � ������������ ��� ��������

9�� � �������� ��� ���� ������ � ���� � � �� �� � � � �� * ,�������� �� �* .�71 �������� ��� P ������ � ������� ��� ��� �

������ � ���� � � �� �� � � � �� � �� ���� ��� �� ��� ���� :��� �� ��� ����� � ��� �������� � ������* � ��� ����� �� "���

���� ��� ��:� ����������� P ������ �� ������� ���� ���� ������� ���� �� ��������� � �� ������� �� �� � �������� ��

��� ����� ��� ��� ��O����� ���� ������� �" ���" �� ��O����� �����*

!� ����� ���� P ������ �� ��� �����:� � ��� ����� �� ��� ��� ��� �������H�� ���������� �� � ��� ���� � ���

���� ������ � ���* 9�� � ����>" ����� ���� ��������* !�� ���� :�� �� ������� �" ���� � ������ ������� ���� C:��

������� � ��� ��� �����* 3� ���� ��� ������� ������� ���� ������ ���� � ������� 3 �� ��� ��� ��� ���� � ����

� ��� ��������� ��� ��� ��� ������ ��� ������� 3* !��� �� ���� �� ��� P ����"

�� �� � ��

��� �

�� �� ���� � �������� �� �� � � � �� %� 0�3��� ��� ������� ���� � ��� ������ �� ���� �� ��� ����� � ,�������� �� G �� .�81� ����

�� �� � � ���

�� � ���� ��� �� �� � � � �* � �� ����� ��� ���� ��������� �� ��������H�� ��� ���� ��� �� �� � ��� ���* �

����� �:���� � ���� ����� ��� �:��� ������ �� � �� ���

�� �� � � ����

-��* %* !�� ��� �� �� ������ ����*

�%�� (" !�������� !" ����� � ) ������ ��� ��� ��� *�� ��� #+ ,�--�. #+-/0#+#�

Page 5: Evidence of a random multifractal turbulent structure in the Dow Jones Industrial Average

�� � ���� ��� �� �� �� ������� �� �� � 4* 6��� ��� �� � �� ��� �������H�� ��������� �� �� ��C��� �"

�� � ���� �

�� ��� ��� ��� � � �3� ������� ��� � ������ ��� ��� ������� �" ���"��� ��� ������ � �������� �� !��� �*

+����"� ����� ��� ��� � ����� ��� � ������� ��� �� �� � ��� ���� ������* �� -���* 0 �� < �� ������� ��� �����?

�������� ��� ������ �� � �� ��*

� � ��������� ����!���

R������"� 2������� �� �* .81 ��� ������ ��� �"�������� � � �� ���� ������� �� C����� ��)���* !����

�"��������� �������� �� ���� �������H�� �" ;����� �� �����" .��1* !� ������� ���� �������� �� ���� ��� �� ��

������ ������ ������� �� ��� ���� ����� ����� ���� ��� 2������� �� �* .81 �"�������� � � �� ���� �������*

!��� �

������ �������

4 �� ��

*�< *�<

� � *<7 *<7

% ��* % *<�

0 ��*07 *0�

-��* 0* /�: �� ����� #� � $*

-��* <* /�: �� ����� #� � �$*

(" !�������� !" ����� � ) ������ ��� ��� ��� *�� ��� #+ ,�--�. #+-/0#+#� �%�%

Page 6: Evidence of a random multifractal turbulent structure in the Dow Jones Industrial Average

9�� � ��C�� ��� ��� �� ���� � ���� ����� � ����� � �� �� � ��� � � ����� ����� � ��� �� � ����" � ��� ���� ������ ��

�� � � �� ��� ������� ����* 3� ��� � �� ��� ��� ������� � ��� ������� ���� ����� ���������� ������ ������� � ������ � �� �� �� �:������� �

����������� � ������

����� ���� �� ��� ���?E���" �:������* �� !��� �� �� ������� ��� �� �� ������� �� � � �� �� % �� ��� ���� ������ ��

������ ���� ���� ��� �� �� ���� � ��% �� � �� ���� >���*

+����"� ��� ������� � ��� ���� �" �� �:������ �� ��� ������) � ��� 2������� �� �* .81 �"�������� �

� �� ���� �������*

" #���������

3� ��� ��� ���" ����������� �� ��� ���� #��� % �� �" �&�� �� �� '������ � $ �� ������ ����� ���

�"����� �"����� �����" �� ������� ��� ������� ������������� �� ��������� ������ �� ��� ������* 3� ������� ��������

�� ����� � ������� � �� ���� ��� �� ��� ���������� ���� ��� �������� �������� �" ,�������� �� �* .�71� 2�������

�� �* .81� �� ����� �� � ����� .�1$*

�����$�� %������

�������� �)��������� � ����� ��� ��� ����� �������� �� G ������� R������ +� ���� � +��*

&���������

.�1 �������� �* ���?���������" �� �����������" � �Q4 < ����: ���� ������* +���� �������� Q -����� � L��J� 08F<&*

.�1 �������� �� �������� �* '� �����������" �� � �� ����� �� ��� ����� ��� ��)��* ��� � �"�� ��� � �L%�J0%F<�*

.%1 /) 4� +��� S* ���?�����H�� ���������"* �������C� ������� �&&�L�70J�7F%%*

.01 /����� 3�� �������� �* ;��������� ����������"� �� ����* � ���� �"� +������ � L�0J8 %F�0*

.<1 -� �-* !�� ������� � ����) ��)�� ������* � / ������ �&7<L%�J%0F� <*

.71 -� �-* �E����� ����� ��)���J ������ � �����" �� �������� ���)* � -����� �&8 L�<J%�%F0�8*

.81 2������� �� /��"��� 3� 4���)� �� !�)��� 4� ����� 5* ! �� ���� ������ �� ������ �:����� ��)���* 6� ��

�&&7L%��J878F8 *

.�1 ����� S� � ����� ;* 9�� 4?������ � ������� ��"��� � ���� ������ ��� ����� ��� ����� ������ �� /29F(��

�:����� ���* � � 4�"� � / �&&&L�J77<F&*

.&1 9� 3* ������� � ��� ������ �� ��� ����� ������* ��� � /� ������ +��� �&&�L�J<�%F&8*

.� 1 ;�������� //* !�� ������� � ������ ���� ����� ����) ������* � / ������ �&7%L%7J%&0F0�&*

.��1 ;����� R6� �����" G�* ! �� ����� �� C����� ��)���* 6� �� �&&&L%87J<�8F�*

.��1 ;���)�� -�* !�� ��������� � ����"� ��)���� �� C����� ��)���* 6�� 5��)J �������?3����"L � �*

.�%1 4�����H�� �� ����� 9�� ,�� R� ; ��� 2* ������� ������ ������� ���?���������� �"����� �� ��������� �� ��� �� ����

������* 4�"��� � �&&�L<�J0%�F&�*

.�01 ������� ;R* ���������* 6�� 5��)J ;�2��?G���L �&��*

.�<1 � ����� 9G* ���� ��� ����) ��)�� �������" ��>��� ������� �� ��* � -����� �&�7L0�J<&�F7 �*

.�71 ,�������� �+� ����� �� !� -* 6� �������� � ���� � � ���� �������� � � �������� �� ��� ������ �:����� �� ��� ����)

��)���* ��J +����" ��� ������ R�� ����� G� �������* -������ ������ ������� �� �"������ �&&0* �* �0&F7<*

!��� �

������ �������

�?;����� � ! �� ���� >��� ����

�?;����� � *%% *�%

�?;����� � *77 *7�

%?;����� � �* *&

0?;����� � �*%% �*��

<?;����� � �*77 �*

�%�0 (" !�������� !" ����� � ) ������ ��� ��� ��� *�� ��� #+ ,�--�. #+-/0#+#�

Page 7: Evidence of a random multifractal turbulent structure in the Dow Jones Industrial Average

.�81 ,�������� �+� G �� �+R* -���� ���������� �� ������ � �������� ���� ��������� �� � �� �����* 4��� R�" ��� 9����� ��� �

�&&�L0%<J< <F%0*

.��1 ;�������� //* !�� ���� �������" � �� ��* �� -�������� +�J -�����L �&��*

(" !�������� !" ����� � ) ������ ��� ��� ��� *�� ��� #+ ,�--�. #+-/0#+#� �%�<