Evaluacion de Columnas Como Elementos Estructurales
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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION
UNIVERSITARIAFUNDACION MISION SUCRE
ALDEA “ILDEFONZO NUÑEZ MARES”MATURÍN – ESTADO - MONAGAS.
Columnas como
Elementos
Estructurales
Profesor: Integrantes:
Franklin Cova Rosnelys Malave
Esthefany Medrano
Leide Pizarro
Alexis Álvarez
Maturín, Abril 2014
Introducción
En el análisis lineal de estructuras a un aumento de las cargas exteriores
corresponde un aumento proporcional de las deformaciones y de los
esfuerzos internos, con lo que es posible ir aumentando las cargas, y todas
las soluciones obtenidas son válidas (hasta alcanzar los límites del material)
Sin embargo, la experiencia demuestra que existen unos valores de las
cargas para los cuales la estructura se deforma de una manera excesiva,
mucho mayor que lo que correspondería para dichas cargas en el rango
lineal, y al producirse estas deformaciones excesivas se anula la capacidad
de la estructura para soportar las fuerzas exteriores, provocando su colapso,
todo ello sin que se supere el limite elástico del material Estos valores de las
cargas que provocan el colapso de la estructura se denominan cargas
criticas de pandeo o de colapso. Se dice también que la estructura es
inestable para dicho valor de las cargas, pues experimenta un crecimiento
sin límite de las deformaciones, aún sin un aumento de las cargas exteriores.
El estudio de la estabilidad estructural trata por lo tanto de determinar los
valores de las cargas críticas que provocan el colapso por grandes
deformaciones. Para este estudio es necesario suponer que las
deformaciones no son pequeñas, y en consecuencia la posición deformada
de la estructura no puede confundirse con la posición sin deformar. Por lo
tanto las ecuaciones de equilibrio se deben plantear ahora en la posición
deformada, y no en la inicial
1. Evaluación de columna como elementos estructurales
La columna es el elemento estructural vertical empleado para sostener la
carga de la edificación. Es utilizado ampliamente en arquitectura por la
libertad que proporciona para distribuir espacios al tiempo que cumple con la
función de soportar el peso de la construcción; es un elemento fundamental
en el esquema de una estructura y la adecuada selección de su tamaño,
forma, espaciamiento y composición influyen de manera directa en su
capacidad de carga.
Según el uso actual de la columna como elemento de un pórtico, no
necesariamente es un elemento recto vertical, sino es el elemento donde la
compresión es el principal factor que determina el comportamiento del
elemento. Hay que destacar que la columna es un elemento estructural de
gran importancia en una construcción civil ya que estas son las que trasmiten
las cargas de la estructura al suelo, y son el soporte de dicha estructura ante
fuerzas sísmicas, atmosféricas, etc. y por eso no se debe tomar la
construcción de este elemento a la ligera ya que si esta mal diseñada o mal
construida, fallara y ocasionando el colapso total de edificación, tales como
una casa y edificio.
En materia de construcción existen dos tipos de columnas las de acero y las
de concreto armado, las de acero la construcción de una edificación se
hacen más rápido ya que estas vienen prefabricadas de fábricas, por lo
contrario las de concreto armado son mas lentas de construir pero son mas
económicas y por eso son las mas comunes a la hora de construir.
Columna de concreto armado
Las columnas de concreto tienen como tarea fundamental transmitir las
cargas de las losas hacia los cimientos, la principal carga que recibe es la de
compresión, pero en conjunto estructural la columna soporta esfuerzos
flexionantes también, por lo que estos elementos deberán contar con un
refuerzo de acero que le ayuden a soportar estos esfuerzos de tal forma que
la combinación así generada se denomina flexocompresión.
Según el uso actual de la columna como elemento de un pórtico, no
necesariamente es un elemento recto vertical, sino es el elemento donde la
compresión es el principal factor que determina el comportamiento del
elemento. Es por ello que el predimensionado de columnas consiste en
determinar las dimensiones que sean capaces de resistir la compresión que
se aplica sobre el elemento así como una flexión que aparece en el diseño
debido a diversos factores1. Cabe destacar que la resistencia de la columna
disminuye debido a efectos de geometría, lo cuales influyen en el tipo de
falla.
2. Cargas Críticas
La deformación de la columna varía según ciertas magnitudes de cargas.
Para valores de P bajos se acorta la columna al aumentar la magnitud cesa
el acortamiento y aparece la deflexión lateral. Existe una carga límite que
separa estos dos tipos, de configuraciones y se conoce como carga critica P„
(véase Figura 2 y 3).
Coloquemos verticalmente una viga muy esbelta, articulémosla en sus
extremos mediante rótulas que permitan la flexión en todas sus direcciones.
Apliquemos una fuerza horizontal H en sus puntos medios, de manera que
produzca flexión según la dirección de máxima flexibilidad. Como los
esfuerzos de flexión son proporcionales a la deflexión, no experimentarán
variación alguna si se añade una fuerza axial P en cada extremo, y haciendo
que H disminuya simultáneamente con el aumento de P de manera que la
deflexión en el centro no varíe. Es estas condiciones, el momento flexionarte
en el centro es:
M = H/2*(L/2) + P
y, en el límite, cuando H ha disminuido hasta anularse,
M = (Pcr)*
Entonces, Pcr es la carga crítica necesaria para mantener la columna
deformada sin empuje lateral alguno. Un pequeño incremento de P sobre
este valor crítico hará que aumente la deflexión , lo que incrementará M, con
lo cual volverá aumentar y así sucesivamente hasta que la columna se
rompa por pandeo. Por el contrario, si P disminuye ligeramente por debajo de
su valor crítico, disminuye la deflexión, lo que a su vez hace disminuir M,
vuelve a disminuir , etc., y la columna termina por enderezarse por completo.
Así, pues, la carga crítica puede interpretarse como la carga axial máxima a
la que puede someterse una columna permaneciendo recta, aunque en
equilibrio inestable, de manera que un pequeño empuje lateral haga que se
deforme y quede pandeada.
Formula de Euler
En el año 1757, el gran matemático suizo Leonardo Euler realizó un análisis
teórico de la carga crítica para columnas esbeltas basado en la ecuación
diferencial de la elástica:
M = EI(d2y/dx2)
Ahora se sabe que este análisis es valido hasta que los esfuerzos alcanzan
el límite de proporcionalidad. En tiempo de Euler no se habían establecido
los conceptos de esfuerzo, ni de límite de proporcionalidad, por lo que él no
tubo en cuenta la existencia de una límite superior de la carga crítica.
Cuando una columna está sometida a una carga P. Se supone que la
columna tiene los extremos articulados (mediante rótulas o pasadores) de
manera que no pueden tener desplazamientos laterales. La deflexión
máxima es lo suficientemente pequeña para que no exista diferencia
apreciable entre la longitud inicial de la columna y su proyección sobre el eje
vertical. En estas condiciones, la pendiente dy/dx es pequeña y se puede
aplicar la ecuación diferencial aproximada de la elástica de una viga:
EI(d2y/dx2) = M = P(-y) = -Py
El momento M es positivo al pandear la columna en el sentido contrario al del
reloj, por lo que al ser la y negativa, ha de ir precedida del signo menos. Si la
columna se pandara en sentido contrario, es decir, en la dirección de y
positiva, el momento sería negativo, de acuerdo con el criterio de signos
adoptado.
La ecuación anterior no se puede integrar directamente, como se hacía
anteriormente ya que allí M solamente era función de x. Sin embargo,
presentamos dos métodos para resolverla. Conociendo algo de dinámica nos
damos cuenta que la ecuación anterior es semejante a la ecuación de un
cuerpo que vibra simplemente:
M(d2x/dx2) = -kx
para lo cual una solución general es:
x = C1sen(t"(k/m)) + C2cos(t"(k/m))
de aquí, por analogía, la solución de la ecuación viene dada por:
y = C1sen(x"(P/EI)) + C2cos(x"(P/EI))
Limitaciones de la formula de Euler
Una columna tiene a pandearse siempre en la dirección en la cual es mas
flexible. Como la resistencia a la flexión varia con el momento de inercia, el
valor de I en la formula de Euler es siempre el menor momento de inercia de
la sección recta. La tendencia al pandeo tiene lugar, pues, con respecto al
eje principal de momento de inercia mínimo de la sección recta.
La fórmula de Euler también demuestra que la carga crítica que puede
producir el pandeo no depende de la resistencia del material, sino de sus
dimensiones y del módulo de elástico. Por este motivo, dos barras de
idénticas dimensiones, una de acero de alta resistencia y otra de acero
suave, se pandearán bajo la misma carga crítica ya que aunque sus
resistencias son muy diferentes tienen prácticamente el mismo modulo
elástico. Así pues, para aumenta la resistencia al pandeo, interesa aumentar
lo más posible el momento de inercia de la sección. Para un área dada, el
material debe distribuirse tan lejos como sea posible del centro de gravedad
y de tal manera que los momentos de inercia con respecto a los ejes
principales sean iguales, o lo más parecidos posible ( como en una columna
hueca).
Para que la fórmula de Euler sea aplicable, el esfuerzo que se produzca en el
pandeo no debe exceder al límite de proporcionalidad. Para determinar este
esfuerzo, se sustituye en la fórmula el momento de inercia I por Ar2, donde A
es el área de la sección recta y r es el radio de giro mínimo.
3. Concepto de momento de inercia, rigidez, esbeltez y pandeo
Momento de inercia
El momento de inercia o inercia rotacional es una medida de la inercia
rotacional de un cuerpo. Más concretamente el momento de inercia es una
magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un
sistema de partículas en rotación, respecto al eje de giro. El momento de
inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de
giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.
El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial
en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del
momento angular longitudinal de un sólido rígido.
Rigidez
En ingeniería, la rigidez es la capacidad de un elemento estructural para
soportar esfuerzos sin adquirir grandes deformaciones y/o desplazamientos.
Los coeficientes de rigidez son magnitudes físicas que cuantifican la rigidez
de un elemento resistente bajo diversas configuraciones de carga.
Normalmente las rigideces se calculan como la razón entre una fuerza
aplicada y el desplazamiento obtenido por la aplicación de esa fuerza.
Para barras o vigas se habla así de rigidez axial, rigidez flexional, rigidez
torsional o rigidez frente a esfuerzos cortantes, etc.
Rigidez de prismas mecánicos
El comportamiento elástico de una barra o prisma mecánico sometido a
pequeñas deformaciones está determinado por ocho coeficientes elásticos.
Estos coeficientes elásticos o rigideces depende de:
1. La sección transversal, cuanto más gruesa sea la sección más fuerza
será necesaria para deformarla. Eso se refleja en la necesidad de usar
cables más gruesos para arriostrar debidamente los mástiles de los
barcos que son más largos, o que para hacer vigas más rígidas se
necesiten vigas con mayor sección y más grandes.
2. El material del que esté fabricada la barra, si se frabrican dos barras
de idénticas dimensiones geométricas, pero siendo una de acero y la
otra de plástico la primera es más rígida porque el material tiene
mayor módulo de Young (E).
3. La longitud de la barra elástica (L), fijadas las fuerzas sobre una barra
estas producen deformaciones proporcionales a las fuerzas y a las
dimensiones geométricas. Como los desplazamientos, acortamientos
o alargamientos son proporcionales al producto de deformaciones por
la longitud de la barra entre dos barras de la misma sección
transversal y fabricadas del mismo material, la barra más larga sufrirá
mayores desplazamientos y alargamientos, y por tanto mostrará
menor resistencia absoluta a los cambios en las dimensiones.
Funcionalmente las rigideces tienen la forma genérica:
Donde: Si es una magnitud puramente geométrica dependiente del tamaño y
forma de la sección transversal, E es el módulo de Young, L es la longitud de
la barra y αi y βi son coeficientes adimensionales dependientes del tipo de
rigidez que se está examinando.
Todas estas rigideces intervienen en la matriz de rigidez elemental que
representa el comportamiento elástico dentro de una estructura.
Rigidez axial
La rigidez axial de un prisma o barra recta, como por ejemplo una viga o un
pilar es una medida de su capacidad para resistir intentos de alargamiento o
acortamiento por la aplicación de cargas según su eje. En este caso la
rigidez depende sólo del área de la sección transversal (A), el módulo de
Young del material de la barra (E) y la longitud de la siguiente manera:
Rigidez flexional
La rigidez flexional de una barra recta es la relación entre el momento flector
aplicado en uno de sus extremos y el ángulo girado por ese extremo al
deformarse cuando la barra está empotrada en el otro extremo. Para barras
rectas de sección uniforme existen dos coeficientes de rigidez según el
momento flector esté dirigido según una u otra dirección principal de inercia.
Esta rigidez viene dada:
Donde son los segundos momentos de área de la sección transversal
de la barra.
Rigidez frente a cortante
La rigidez frente a cortante es la relación entre los desplazamientos
verticales de un extremo de un viga y el esfuerzo cortante aplicado en los
extremos para provocar dicho desplazamiento. En barras rectas de sección
uniforme existen dos coeficientes de rigidez según cada una de las
direcciones principales:
Rigidez mixta flexión-cortante
En general debido a las características peculiares de la flexión cuando el
momento flector no es constante sobre una barra prismática aparecen
también esfuerzos cortantes, eso hace al aplicar esfuerzos de flexión
aparezcan desplazamientos verticales y viceversa, cuando se fuerzas
desplazamientos verticales aparecen esfuerzos de flexión. Para representar
adecuadamente los desplazamientos lineales inducidos por la flexión, y los
giros angulares inducidos por el cortante, se define la rigidez mixta cortante-
flexión que para una barra recta resulta ser igual a:
Rigidez torsional
La rigidez torsional en una barra recta de sección uniforme es la relación
entre el momento torsor aplicado en uno de sus extremos y el ángulo girado
por este extremo, al mantener fijo el extremo opuesto de la barra:
Donde G el módulo elástico transversal, J es el momento de inercia torsional
y L la longitud de la barra.
Rigidez en placas y láminas
De manera similar a lo que sucede con elementos lineales las rigideces
dependen del material y de la geometría, en este caso el espesor de la placa
o lámina. Las rigideces en este caso tienen la forma genérica:
Donde:
son respectivamente el módulo de Young y el coeficiente de
Poisson.
es el espesor del elemento bidimensional.
es un entero y .
Rigidez de membrana
La rigidez de membrana es el equivalente bidimensional de la rigidez axial en
el caso de elementos lineales viene dada por:
Donde E es el módulo de Young, G es el módulo elástico transversal y ν el
coeficiente de Poisson.
Rigidez flexional
Para una placa delgada (modelo de Love-Kircchoff) de espesor constante la
única rigidez relevante es la que da cuenta de las deformaciones provocadas
por la flexión bajo carga perpendicular a la placa. Esta rigidez se conoce
como rigidez flexional de placas y viene dada por:
Donde: h espesor de la placa, E módulo de Young del material de la placa y
ν coeficiente de Poisson del material de la placa.
Esbeltez
La esbeltez mecánica, también denominada esbeltez, es una característica
mecánica de las barras estructurales o prismas mecánicos que relaciona la
rigidez de la sección transversal de una pieza prismática con su longitud
total. Se caracteriza por un parámetro adimensional que interviene en el
cálculo de las tensiones y predice las inestabilidades elásticas de las barras.
Además se distingue entre los valores de esbeltez natural dependientes sólo
de las propiedades geométricas y mecánicas de la barra y esbeltez efectiva
que contabiliza también las condiciones de enlace o sujeción en los extremos
de la barra.
Se entiende por efecto de esbeltez la reducción de resistencia de un
elemento sujeto a compresión axial o a flexo-comprensión.
Esbeltez flexional
Si sobre una barra esbelta recta se aplica un esfuerzo normal de compresión,
además de acortamiento de la misma aparece una deflexión desde la forma
recta, lo que se conoce como pandeo, la magnitud de cuyo efecto depende
de la llamada esbeltez mecánica flexional, o simplemente esbeltez mecánica
efectiva, que viene dada por:
(1)
Donde:
, es un valor adimensional que relaciona la esbeltez flexional natural
y la esbeltez flexional, depende de las condiciones de enlace en los
extremos (ver más abajo).
, es la longitud real de la barra.
, es el módulo de Young.
, son respectivamente el valor del área de la sección
transversal y del segundo momento de área o momento de inercia
mínimo de la sección transversal.
La fórmula (1) también puede escribirse como:
(2)
Donde L es la longitud natural de la barra, im el "radio de giro" mínimo (el
menor de los dos posibles), A el área de la sección de la barra, Im el menor
momento de área y α un coeficiente que dependiente del tipo de sujeción de
los extremos de la barra, por ejemplo:
α = 2.00 Empotrada-Libre
α = 1.00 Biarticulada
α = 0.71 Empotrada-Articulada
α = 0.50 Biempotrada
En ocasiones el producto es denominado longitud de pandeo ( ). Si se
prescinde del valor de α en las fórmulas (1) y (2) se obtiene la esbeltez
flexional natural de la barra.
Esbeltez flexional relativa (eurocódigo)
Algunas normas como la norma europea eurocódigo 3 usan la llamada
esbeltez relativa donde que se obtiene de comparar la esbeltez flexional
convencional un factor adimiensional que depende de las características de
la sección y el material dicha esbeltez relativa viene dada por:
(3)
Donde:
, esbeltez flexional convencional.
, longitud de pandeo.
, es el módulo de Young.
, es la tensión de límite elástico del material.
, son respectivamente el valor del área de la sección
transversal y del segundo momento de área o momento de inercia
mínimo de la sección transversal.
Esbeltez torsional
La esbeltez mecánica torsional, o simplemente esbeltez torsional, es un
parámetro adimensional que mide el grado de alabeo que presentará una
sección al ser sometida a esfuerzos de torsión que viene dado por:
Donde:
, es la longitud natural de la barra.
, es un valor adimensional que relaciona la esbeltez torsional natural
y la esbeltez torsional efectiva y toma los mismos valores para la
esbeltez flexional según sean las condiciones de enlace en los
extremos.
, es un parámetro relacionado con el esfuerzo cortante, que para
barras esbeltas es cercano a 1.
, son respectivamente el módulo de elasticidad transversal y el
módulo de elasticidad longitudinal.
, son respectivamente el módulo de torsión y el módulo de
alabeo.
Pandeo
El pandeo es una propiedad matemática que describe el efecto del exceso
de estrés o presión en una estructura. Esto ocurre a medida que el estrés
incrementa y una estructura ya no puede mantener el equilibrio. El resultado
final del pandeo es por lo general el colapso estructural, pero existen varios
tipos diferentes de pandeo que pueden ocurrir.
Pandeo inelástico
El pandeo inelástico ocurre en objetos como una columna de longitud
intermedia hecha de un material rígido. Este tipo de pandeo ocurre cuando la
carga de estrés sobre un objeto excede los límites proporcionales del
material (es decir la resistencia y rigidez). El pandeo inelástico puede ser
identificado cuando los objetos se deforman debido al exceso de fuerza. Por
ejemplo, una columna pasa a través de un proceso llamado arrodillamiento,
en el que la mitad de la columna se arquea hacia el exterior alejándose de la
fuerza normal.
Pandeo elástico
El pandeo elástico ocurre en columnas largas con soporte simple. Es similar
al pandeo inelástico en que las propiedades básicas de la columna, la
resistencia y rigidez, son las mismas pero el resultado final es muy diferente.
El pandeo elástico ocasiona que la columna u objeto cambie a una forma
incorrecta pero de una forma más grave en comparación con el pandeo
inelástico. Si bien el pandeo inelástico parece crear un efecto de
arrodillamiento, el pandeo elástico crea una apariencia completamente
arqueada en el objeto.
Conclusión
Las columnas cortas fallan por aplastamiento del material.
Las columnas largas fallan por pandeo. Las columnas intermedias
fallan por una combinación de pandeo y aplastamiento.
Las columnas cortas pueden analizarse y diseñarse con la formula
elemental a = P/ A.
En las columnas largas e intermedias debe que considerar el
fenómeno de pandeo.
La base de la teoría de las columnas es la formula de Euler, que fue
publicada en 1757 por Leonardo Euler, un matemático suizo.
La formula de Euler es valida solamente para columnas largas.La
carga critica de pandeo es la carga axial máxima que una columna
puede soportar cuando esta a punto de pandearse.
Bibliografía
http://www.buenastareas.com/ensayos/Columna/2086929.html
Resistencia de materiales Editorial, McWraw Hill Series Schaum.
http://es.wikipedia.org/wiki/Esbeltez_mec%C3%A1nica
http://www.ehowenespanol.com/efectos-del-pandeo-info_271431/