Universidad Estatal del Valle de Ecatepec

Calculo diferencial e Integral

Alumnas: Ramírez Arenas Judith Belen

Rodríguez López Clara Nayeli

Grupo: 1441

Tutorial: Evaluación de una función

Fecha de entrega: 02 – Junio – 2009

Profesor: Luis Gustavo García

Evaluación de una función

Objetivo: Definir el valor de una derivada

Introducción:

Para definir una función debe valorarse en un punto dado realizando una evaluación de la variable dependiente ya sea con un dominio unitario o utilizando un intervalo.

EJEMPLO 1:

Defina la siguiente derivada cuando x = 3.

Y= 3x2 – 4x + 2

Paso 1:

Se deriva cada termino de la función con la formula correspondiente.

• Formula a utilizar en todos los términos: nxn-1

Derivación primer término:

3x2

X= x ------- este es el valor de x

n= 3 ------- n es el exponente

n-1 = 2 ----- la resta del exponente - 1

Ya que tenemos definidos nuestros valores ahora sustituimos nuestra formula, que en este caso nos queda:

3 (valor que tenemos antes de la variable), por 3 (valor de n), por x (variable) a la 2 (n - 1).

El resultado de la derivada es: 6x

Y hacemos lo mismo con los siguientes términos.

Derivación segundo término:

4x

x= x

n= 1

n-1= 0 el resultado de la derivada es: 4

Derivación tercer término:

2

Este número es una constante, las derivadas de una constante siempre nos va a dar como resultado 0.

La derivada de nuestra ecuación quedo: Y= 6x – 4 + 0

Como cero no se toma en cuenta entonces el resultado de nuestra derivada es:

Y= 6x – 4

Paso 2:

En la ecuación que nos quedo sustituir en x. en este caso x=3

Y`= 6(3) – 4

Y`= 18 – 4

Y`= 14 el resultado de nuestro ejercicio es: 14

EJEMPLO 2:

Defina la siguiente derivada cuando x = 4

Y= 4x3 + ln 2x - √

Paso 1:

Se deriva cada termino de la función con la formula correspondiente.

Derivación primer término:

• Formula a utilizar: nxn-1

4x3

x= x

n= 3

n-1= 2 el resultado de la derivada es: 12x

Derivación segundo término: ln 2x

• Formula a utilizar: ln v =

Primero debemos localizar el valor de v y su derivada.

ln 2x

v= 2x

= 2

Nota: Para sacar la derivada de 2x utilizamos la formula: nxn-1

Ya que tenemos nuestros valores ahora sustituimos en nuestra formula:

Y´= . 2

Podemos aumentar un uno abajo del 2 y hacemos nuestra multiplicación de fracciones.

Y´= . =

Dos entre dos nos da como resultado 1. El resultado final de la derivada de nuestro segundo término es .Ahora sacamos la derivada de nuestro tercer y último término:

Derivación tercer término: √

Para hacer la raíz de x un término fácil de derivar, como lo contrario de la raíz es la potencia, pasamos la raíz cuadrada de x a potencia. Al pasar de raíz a exponente este siempre va a quedar negativo, el exponente se va a formar de acuerdo a la raíz.

Como x no está elevado, se le va a dar automáticamente el exponente 1, y este va a ser numerador de nuestra potencia. El denominador se toma con la raíz, si esta es raíz cuadrada nuestro denominador es 2, si es raíz cubica, nuestro denominador es 3 y así sucesivamente. Como nuestra raíz es cuadrada tomamos el 2 como denominador.

El termino que nos queda, el que vamos a derivar es:

x-1/2

ya que tenemos nuestro término, ahora vamos a utilizar la formula de nxn-1, donde:

n= ½

n – 1= -1/2

x= x El resultado de la derivada es: x-1/2

como no podemos dejar raíces negativas entonces la pasamos para abajo, para volverla positiva, y así mismo poder regresar a la raíz. El numerador es la potencia de la variable dentro de la raíz y el denominador es la raíz. En este caso nuestra derivada queda así:

√

Al final juntamos todas nuestras derivadas según los signos encontrados en las funciones. La derivada de nuestra función es la siguiente:

Y`= 12x2 +   - √

Paso 2:

Sustituimos x= 4 en nuestra derivada:

Y`= 12(4)2 +   - √

Y`= 12(16) +   - .

Y`= 192 + 4 – 4

Como 4 -4 es cero, entonces se elimina y nuestro valor final es:

Y`= 192