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AUTOMATIQUE PT
ETUDE DES
SYSTEMES ASSERVIS
COURS DE 2nde ANNEE
Promotion 120
ICAM DE NANTES
Systèmes Linéaires asservis F. HEMERY Ch. MARCHAND ICAM NANTES
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Chapitre 5 :
Système du 2nd ordre.
1. Définition, équations du système.
Un système du 2nd ordre est un système dont l’équation caractéristique est de la
forme :
)(.))(())((
.)(. 02
2
21 teEdt
tsdS
dt
tsdStsS 0 ou bien,
dt
tedE
dt
tedEteE
dt
tsdS
dt
tsdStsS
2
2
2102
2
21))(())((
.)(.))(())((
.)(. 0 dans le cas
d’un système du 2nd ordre généralisé.
Dans cette étude théorique, nous ne traiterons que les systèmes de la première
forme.
a. Transmittance en p.
La transformée de Laplace de l’équation caractéristique permet d’écrire :
0
22
0
1
0
0
2210
00
2210
S
Sp
S
Sp1
S
E
pSpSS
E
)p(E
)p(S)p(EE)p(SpS)p(SpS)p(SS
b. Forme canonique :
Il existe 2 formes canoniques pour les systèmes du 2nd ordre :
1ère forme (la plus courante) :
On écrit :
pp
K
pE
pSpH
nn
2
2
121
)(
)()(
2ème forme :
On écrit :pp
K
pE
pSpH
nn
n
22)(
)()(
2
2
o 0
0
S
EK : Gain statique du système
o 2
0
0
2
2
1
S
S
S
Sn
n
: pulsation naturelle du système
o 20
1
0
1
0
1
22
2
SS
SSS
SS n
n
: coefficient d’amortissement réduit
du système.
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2. Réponses indicielles d’un système du 2nd ordre.
La seule réponse temporelle étudiée sera la réponse d’un système du 2nd ordre à un
échelon d’Heaviside.
pppEtte
1)()()()(
pp
K
ppHpEpS
pp
K
pE
pSpH
nnnn
22
22
121
1)()()(
121
)(
)()(
Etude du régime établi.
0)12
1
1(lim))(((lim)0(
2
2
pp
K
pppSps
nn
pp
K
pp
K
pppSps
nn
pp
)12
1
1(lim))(((lim)(
200
2
Pente à l’origine.
0)p
1(lim)0)
p1
p2
1
K
p
1p((plim))0(s)p(S(p(plim
dt
))0(s(d
p2
nn
pp
2
La tangente à l’origine et horizontale, ce qui diffère des systèmes du 1er ordre.
Etude du régime transitoire.
pp
K
ppp
K
ppS
nn
n
nn
22 2
1
121
1)(
2
2
2
Pour étudier le régime transitoire, il faut replacer S(p) dans le domaine
temporel. Pour ce faire, il est nécessaire de faire une décomposition de S(p) en
éléments simples.
Cette décomposition est faisable si le dénominateur est un produit. Il faut
donc factoriser le dénominateur grâce à la recherche des pôles de S(p).
Nota : on appelle pôles les termes qui annulent le dénominateur.
o Calcul des pôles.
02012
122 2
2
pppp nn
nn
)1()('2222 nnn
o 1er cas 0'1
L’équation des pôles à deux racines réelles positives :
12
1 nnP
12
2 nnP
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On pose 1
11
P
et
2
21
P
, en remarquant que, malgré leurs
écriture, τ1 et τ2 sont des réels, non des constantes de temps.
S(p) devient :
)1
()1
(
1
)()(
1)(
21
2
21
2
pp
K
pPpPp
K
ppS
nn
21
21
2
2
2
1
1
2
1)1()1(
1
)1
()1
(
1)(
pp
K
ppp
K
ppS
nn
Remarque :
1
1
1
111
2221
21
nnnnPP
nnnnn
222222
222
211
)12(
1
n
221
1
D’où :
)1()1(
1
)1()1(
1)(
212
21
2
pp
K
ppp
K
ppS
n
n
La décomposition en éléments simples est de la forme :
))1()1(
()(21 p
C
p
B
p
AKpS
Calcul de A : On multiplie les deux termes par p
)1()1()1()1(
1
2121 p
Cp
p
BpA
pp
Si p=0,
Calcul de B : On multiplie les deux termes par (1+τ1p)
)1(
)1()1(
)1(
1
2
11
2 p
pCB
p
p
pp
Si 1
1
p
Calcul de C : On multiplie les deux termes par (1+τ2p)
Cp
pB
p
p
pp
)1(
)1()1(
)1(
1
1
22
1
Si 2
1
p
Donc :
))1(
1
)1(
11()(
221
22
112
12
pppKpS
1A
12
12
B
21
22
C
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D’où
o 2ème cas 0'1
L’équation des pôles à une racine réelle double nP 1
)1(
1
)(
1
)(
1)(
1
2
122
12
12
122
12
2
P
p
P
p
K
P
Pp
P
p
K
Pp
K
ppS
nnn
On pose nP
11
1
:
S(p) devient :
)1
11(
)1(
1
)(22
22
ppK
pp
KpS nn
Décomposition en éléments simples :
)
)1()1(()
1
11()(
22p
C
p
B
p
AK
ppKpS
1)()21(222
CpppBppA
C
B
A
B
CB
A 1
0
02
1
2
D’où ))1()1(
1()(
2ppp
KpS
On donne et
pL
t
22
1
))1(
1(
Ce qui permet d’écrire :
)()( 2211
12ee
KKts
tt
)et
e1(K)t(stt
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o 3ème cas 0'1
L’équation des pôles à deux racines complexes conjuguées.
)1(122
1 jjP nnn
)1(122
2 jjP nnn
Si on pose )cos( alors, )sin(12
donc,
eP jn
1 et eP jn
2 avec )1
(
2
arctg
))()(
())()(
11()(
21
2
21
2
Pp
C
Pp
B
p
AK
PpPppKpS nn
Calcul de A : On multiplie les deux termes par p
)()()()(
1
2121 Pp
Cp
Pp
BpA
PpPp
Si p=0, 21
1
PPA
)1())1(())1(( 22
2222221 nnnn jjPP
nnPP 2222
21 ))cos()sin((
D’où
Calcul de B : On multiplie les deux termes par (p-P1)
)(
)()(
)(
1
2
11
2 Pp
PpCB
p
PpA
Ppp
n
A
2
1
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Si 1Pp )()(
1
212
2
211 PP
PB
PPP n
D’où
Calcul de C : On multiplie les deux termes par (p-P2)
CPp
PpB
p
PpA
Ppp
)(
)()(
)(
1
1
22
1
Si 2Pp )()(
1
122
1
122 PP
PC
PPP n
D’où
On peut donc écrire :
))(
1
)()(
1
)(
1()(
212
1
121
2
PpPP
P
PpPP
P
pKpS
On en tire :
))()(
1()( 2
12
11
21
2
ePP
Pe
PP
PKts tPtP
On connaît :
212
221
2
1
12
12
n
n
jn
jn
jPP
jPP
eP
eP
)1212
1()( 2
2
1
2e
j
ee
j
eKts tP
n
jntP
n
jn
)1212
1()( )1(
2
)1(
2
22
ej
ee
j
eKts jtn
jjtn
j
)1212
1()( )1(
2
)1(
2
22
ej
ee
j
eKts tnj
tntnj
tn
eej
eKts tnjtnj
tn)1()1(
2
22
121)(
2
21sin2
121)( tj
j
eKts n
tn
La réponse temporelle comprend un terme en 2
1sin tn si 1 .
)(
1
21
2
2 PP
PB
n
)(
1
12
1
2 PP
PC
n
2
21sin
11)( t
eKts n
tn
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Dans ce cas, on parle de pseudo période, car le signal d’entrée n’est pas
périodique.
La pulsation de pseudo période est
Dépassement.
Si 1 , il y pseudo pulsation, et la valeur finale est dépassée au cours de
l’établissement du régime permanent.
On peut montrer (recherche des valeurs annulant la dérivée de s(t)), que D1,
premier dépassement :
o à lieu pour
2
1
1n
tt ,
o et sa valeur est eD
2
11
2
1 np
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Abaque donnant la valeur du premier dépassement D1 en fonction de pour K=1
Remarque :
On exprime souvent le dépassement en pourcentage de la valeur finale :
finale
finalemaxi1
Valeur
ValeurValeurD
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3. Réponse fréquentielle d’un système du 2nd ordre.
Dans ce paragraphe, nous allons étudier la réponse d’un système du 2nd ordre à une
sollicitation harmonique : e(t) = E0 sin(ωt).
Cet essai se fait à fréquence variable, et permet de mettre en évidence l’évolution des
caractéristiques en fonction de la pulsation ω. Il est fondamental dans l’étude des
filtres et dans l’analyse de la stabilité.
pp
K
pE
pSpH
nn
2
2
121
)(
)()(
et
22
0)(
p
EpE
))()((112
1
)()()(22
21
21
0
220
2
2ppppp
pp
KE
pE
pp
KpEpHpS
nn
))()((1
)(22
21
21
0
ppppppp
KEpS
Décomposition en éléments simples :
)()()()()/(1)(
2121
0
pp
D
pp
C
jp
B
jp
A
pp
KEpS
, on cherche donc A,
B, C et D tels que :
)()()()(
))()((1
1
21
2122
21
21
pp
D
pp
C
jp
B
jp
App
ppppppp
La recherche de solution est comparable à celle utilisée pour le 1er ordre, avec cette
fois 2 termes transitoires non étudiés en régime harmonique.
Les constantes A et B sont :
𝐴 = −𝐾𝐸0
2𝑗 𝐵 = +
𝐾𝐸0
2𝑗
Comme pour le 1er ordre, on retrouve :
s(t) = |H(jω)|.E0.sin (ωt+φ)
la réponse à une entrée sinusoïdale est une sortie sinusoïdale de même pulsation ω,
avec une amplitude |H(jω)| et un déphasage φ.
L’étude harmonique consiste donc à étudier |H(jω)| et φ(jω) en fonction de la pulsation
ω.
Calculons ||H(jω)||
)2()()(2)(
121
)(22
22
2
2
2
2
nn
n
nn
n
nn
j
K
jj
K
jj
KjH
2222
.
22
2
4)()(
nn
n KjH
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En dB, le module s’exprime :
)4)(log(20)log(20)( 2222.
222 nnndB
KjH
et l’argument )2
()(22
n
narctgjHArg
4. Résonance
L’extremum est obtenu pour ω tel que : 𝑑 )( jH
𝑑𝜔= 0
dBjH )( sera maximum pour )4)((
2222 22
nn minimum.
Recherche de l’extremum :
𝑑[(𝜔𝑛2 − 𝜔2)2 + 4𝜉2𝜔𝑛
2. 𝜔2]
𝑑𝜔= 0
−4 𝜔. (𝜔𝑛2 − 𝜔2) + 8 𝜉2. 𝜔𝑛
2. 𝜔 = 0
−4 𝜔. (𝜔𝑛2− 𝜔2 − 2 𝜉2. 𝜔𝑛
2) = 0
𝜔 = 0 ou 𝜔 = 𝜔𝑛√1 − 2𝜉2
Pulsation de résonance
Pour que ωr existe il faut que :
1 − 2𝜉2 ≥ 0
Donc
𝜉 ≤ √1
2= √2
2⁄
𝜔𝑟 = 𝜔𝑛√1 − 2𝜉2
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5. Représentation : Lieux de transfert.
Le lieu de transfert est la représentation graphique d’une fonction de transfert au moyen d’une
ou de deux courbes caractéristiques.
C’est une représentation fréquentielle ou harmonique. Il existe plusieurs représentations
graphiques conventionnelles mais toutes ont leurs avantages et leurs inconvénients.
Notation : le coefficient d’amortissement 𝜉 est noté z.
Lieu de BODE :
Pour z< 1
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Pour z > 1,
Lieu de NYQUIST :
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Lieu de BLACK :
6. BILAN :
En fonction de ξ, il est possible de définir différentes pulsations caractéristiques pour les
systèmes du second ordre :
Pulsation de cassure Pseudo pulsation Pulsation de résonance Réponse
impulsionnelle
ξ > 1 2 pulsations de cassure
𝜔𝑐1 = 1𝜏1
⁄ ; 𝜔𝑐2 = 1𝜏2
⁄
Apériodique
ξ = 1 𝜔𝑐 = 𝜔𝑛 =
1
𝜏
Apériodique
critique
1
√2< 𝜉 < 1 𝜔𝑐 = 𝜔𝑛 =
1
𝜏
𝜔𝑝 = 𝜔𝑛. √1 − 𝜉2
Oscillatoire
amortie
𝜉 <1
√2 𝜔𝑐 = 𝜔𝑛 =
1
𝜏
𝜔𝑝 = 𝜔𝑛. √1 − 𝜉2
𝜔𝑟 = 𝜔𝑛. √1 − 2𝜉2
Oscillatoire amortie (résonance)
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Chapitre 6 :
Systèmes linéaires asservis.
1. Modèle du système linéaire asservi 1. Définition
Les systèmes asservis sont conçus de manière à corriger par eux même les écarts de la
valeur réelle de la sortie et la valeur désirée (consigne).
2. Schéma fonctionnel
Ce modèle permet de valider le fait que le signal de sortie doit agir sur l’entrée du
processus afin de faire évoluer la sortie vers la valeur désirée.
3. Perturbations
Le système devient :
Un système perturbé est d’après le schéma bloc, assimilable à un système multi variable
d’entrée.
Pour résoudre ce problème on procède par étape :
1- s(t) fonction de e(t) avec la perturbation nulle p(t)=0 => s(t) = G1(e(t))
2- s(t) fonction de p(t) avec l’entrée nulle e(t) = 0 => s(t) = G2(p(t))
3- superposition s(t) = G1(e(t)) + G2(p(t))
E(p) S(p)
+ -
Chaine directe ou d’action
Chaine de retour ou de réaction ou de rétroaction
KA
KR
H1(p)
Entrée Sortie + - KA
KR
Processus
Perturbations
Entrée Sortie
+ - KA
KR
H2
Perturbations
H1
+
+
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E(p)
E(p) S(p)
2. Boucle ouverte / Boucle fermée
1. Fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO) Soit le schéma bloc suivant :
La FTBO est la fonction reliant R(p) à (p).
p
pRFTBO
C’est-à-dire :
)(.. pHKKp
pRFTBO AR
2. Fonction de transfert en boucle fermée (FTBF)
2.1 Cas du retour unitaire : Un système est à retour unitaire si R(p) = S(p)
S(p) = (p) H(p)
(p) = E(p) - S(p) => S(p) = (E(p) - S(p)) H(p) => pH
pH
pE
pS
1)(
)(
2.2 Cas du retour non unitaire :
S(p) = H1(p) (E(p) – H2(p) S(p))
=>
pHpHpH
pHpH
pHpH
pH
pE
pS
221
21
21
1 1.
.1
.
.1)(
)(
Ce système est équivalent à :
E(p) S(p)
+ - KA
KR
H(p)
R(p)
(p)
(p) H(p) S(p)
S(p)
- +
M(p)
+ -
(p) E(p)
H1(p)
H2(p)
S(p)
H2(p) 1/H2(p) + - H1(p)
Système à retour unitaire
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3. Etude du système du 1er ordre en BF
Le système en BF a de nouvelles caractéristiques :
D’après 2.
S(p) =
𝐾
1+ 𝜏𝑝
1 + 𝐾
1+ 𝜏𝑝
= 𝐾
1+ 𝜏𝑝+𝐾=
𝐾
𝐾+1
1+ 𝜏
𝐾+1 𝑝
Remarque : un système du 1er ordre en BO est toujours du 1er ordre en BF.
Gain statique en BF : 𝐾𝐵𝐹 = 𝐾
𝐾+1
Constante de temps en BF : 𝜏𝐵𝐹 = 𝜏
𝐾+1
Réponse temporelle :
Le système atteint plus rapidement la valeur finale (qui est d’autant moins importante)
4. Etude du système du 2nd ordre en BF
Fonction transfert en BO :
pp
K
pE
pSpH
nn
2
2
121
)(
)()(
En BO, la réponse à un échelon est fonction de ξ :
ξ > 1 𝑠(𝑡) = 𝐾E0 (1 −𝜏1
𝜏1−𝜏2 𝑒−𝑡 𝜏1⁄ −
𝜏2
𝜏2−𝜏1 𝑒−𝑡 𝜏2⁄ )
ξ = 1 𝑠(𝑡) = 𝐾E0 (1 − 𝑒−𝜔𝑛𝑡 − 𝜔𝑛 𝑡 𝑒−𝜔𝑛𝑡)
ξ < 1 𝑠(𝑡) = 𝐾E0 (1 −1
√1−𝜁2 𝑒−𝜉𝜔𝑛𝑡 − sin(𝜔𝑛√1 − 𝜁2 𝑡 + 𝜃))
Ces trois réponses font converger s(t) vers KE0 si t → ∞.
En BF ? Qu’en est-il ?
(p) E(p) 𝐾
1 + 𝜏𝑝
S(p)
- +
S(p)
En BO : si E(p) = 1 alors s(∞) ≈ K
En BF : si E(p) = 1 alors s(∞) = ??
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𝐻𝐵𝐹(𝑝) = 𝐻𝐵𝑂(𝑝)
1 + 𝐻𝐵𝑂(𝑝)=
pp
K
nn
2
2
121
1 +
pp
K
nn
2
2
121
𝐻𝐵𝐹(𝑝) = K
1+2𝜉
𝜔𝑛 𝑝+
1
𝜔𝑛2 𝑝2+𝐾
= K
𝐾+1
1+2𝜉
𝐾+1
𝑝
𝜔𝑛+
1
𝐾+1
𝑝2
𝜔𝑛2
Un 2nd ordre en BO reste un 2nd ordre en BF.
Pulsation naturelle : (𝜔𝑛𝐵𝐹)2 = (𝐾 + 1)𝜔𝑛2 ⇒ 𝜔𝑛𝐵𝐹 = 𝜔𝑛√𝐾 + 1
Coefficient d’amortissement : 2𝜉
𝐾+1
1
𝜔𝑛=
2𝜉𝐵𝐹
𝜔𝑛𝐵𝐹=
2𝜉𝐵𝐹
𝜔𝑛√𝐾+1 ⇒ 𝜉𝐵𝐹 =
𝜉
√𝐾+1
Le faite de boucler augmente ωn et diminue ξ.
Diagrammes :
équivalent à :
3. Représentation par le diagramme de Black
3.1 Rappel
Le diagramme de Black représente le module en dB en fonction de l’argument en °(degré). Cette courbe est
paramétrée en ω, la pulsation qui varie de 0 à +∞.
Pour trouver la réponse harmonique, on trace H(jω) qui évolue de la même manière que s(t) lorsque e(t) = sin(ωt).
On note le gain G, le module de H(jω)
le déphase φ, l’argument de H(jω)
1er ordre : GdB = 20 log K -20 log √(1 + 𝜏2𝜔2)
φ = -arctan(𝜔𝜏)
K
1 +2𝜉𝜔𝑛
𝑝 + 1
𝜔𝑛2 𝑝2
S(p) (p) E(p)
- +
S(p)
K𝐾 + 1
1 +2
𝜉
√𝐾 + 1𝜔𝑛√𝐾 + 1
𝑝 + 1
(𝜔𝑛√𝐾 + 1)2 𝑝2
S(p) E(p)
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2eme ordre : GdB = 20 log K -20 log √(1 −𝜔2
𝜔𝑛2)2 + (
2𝜉𝜔
𝜔𝑛)
2
φ = -arctan(
2𝜉𝜔
𝜔𝑛
1−𝜔2
𝜔𝑛2
)
3.2 Abaque de Black : Iso modules de Nichols.
Soit G une transmittance
G est un nombre complexe : G = G 𝑒−𝑗𝜑
Recherchons les couples (Gi ; φi) tels que 𝑆
𝐸= 𝑀𝑖
C’est-à-dire, on recherche pour un module donné la valeur du gain en dB et de la phase.
Rechercher les iso modules de Nichols, c’est :
pour un module et un gain, rechercher une phase.
pour un module et une phase, rechercher un gain
𝑀 = 𝑆
𝐸=
|G 𝑒−𝑗𝜑|
|1 + 𝐺𝑒−𝑗𝜑|=
𝐺
|1 + 𝐺 cos 𝜑 + 𝑗 𝐺 sin 𝜑|=
𝐺
√(1 + 𝐺 cos 𝜑)2 + (𝐺 sin 𝜑)2
𝑀2 = 𝐺2
1 + 2𝐺 cos 𝜑 + 𝐺2 cos 𝜑2 + 𝐺2 sin 𝜑2=
𝐺2
1 + 2𝐺 cos 𝜑 + 𝐺2
⟺ 𝑀2 (1 + 𝐺2 + 2 G cos 𝜑) − 𝐺2 = 0
⟺ 𝐺2(𝑀2 − 1) + 𝐺(2𝑀2 cos 𝜑) + 𝑀2 = 0
Pour M et φ donnés, on obtient 2 valeurs de G (racines).
Exemples : M = 2 ou M = 6 dB
φ cos 𝜑 G1 G2 G1dB G2dB
-180° -1 0.67 2 -3.32 6
-162° -0.95 0.75 1.79 -2.55 5.04
-154° -0.90 0.87 1.53 -1.18 3.67
-143° -0.8
E(p)
G(p) S(p)
- +
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Tracé :
- Pour un module donné M, on obtient ainsi
une courbe appelée iso module. Pour
différentes valeurs on obtient un réseau de
courbes ; iso modules de NICHOLS
- Pour une phase donnée φ, on obtient ainsi
une courbe appelée iso phase. Pour
différentes valeurs on obtient un réseau de
courbes ; iso phases de NICHOLS
3.3 Exploitations.
Soit H(p) une transmittance
Si le tracé de la fonction transfert en BO coupe un isomodule pour ωi alors :
|H(jωi)| = Gi et Arg(H(jωi)) = φi
Et de plus : |𝐻(𝑗𝜔𝑖)
1+𝐻(jω𝑖)| = 𝑀𝑖
Remarque : Un second ordre a une courbe de Black, pour la FTBO, qui vient tangenter un
isomodule et ensuite descendre vers le gain nul, sans couper l’asymptote -180°. La tangence à
l’isomodule donne ωr, et le module de l’isomodule donne l’amplitude maximum du gain en
BF à la résonance.
H(p) - +
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EXPLOITATION DE L’ABAQUE DE BLACK
L’abaque de Black est
constitué
d’un système d’axes
cartésiens (G et φ )
et de deux réseaux
curvilignes : Courbes à
Gain constant et Phase
constante.
On notera l’importance
d’une courbe particulière :
la courbe à gain constant
2.3dB, appelée contour de
HALL
Ce contour est utilisé comme
critère de réglage pour de
nombreux asservissements.
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Utilisation de l’abaque de Black :
Il permet de tracé le diagramme d’un système en BF par un retour unitaire à partir du
diagramme en BO.
Méthode : On trace la transmitance en boucle ouverte du système étudié (gain en dB et phase
en degré) en se reférant aux axes cartésiens. Ce lieu est paramétré en pulsation ω ou en
fréquence f. Le diagramme de Black permet de déduire la fonction de transfert en boucle
fermée par un retour unitaire, par lecture des gains et phases sur les courbes curvilignes.
Exemple :
Résonance :
La résonance est définie par ωr qui correspond à Hmax avec 𝑸 = 𝑯𝒎𝒂𝒙
𝑯𝟎
Comme l’abaque de Black permet de connaitre la transmittance en BF, il suffit de chercher la
tangente avec la courbe de gain constant le plus élevé pour avoir le gain maximum et ωr en
BF. Dans notre exemple :
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Bande passante :
La bande passante en BF est aussi donnée par la lecture du lieu de la fonction de transfert en
BO. Elle est donnée par l’intersection de H(p) avec la courbe à gain constant considéré.
Par exemple, on lit ωc pour la bande passante à -3dB.
Remarque : La tangence avec le contour de Hall (2.3dB) prise comme critère de réglage,
correspond, pour un système du deuxième dominant, à une surtension de 1,3, à un
amortissement d’environ 0,4 et à un dépassement d’environ 22% pour une réponse indicielle.
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Chapitre 7 :
Systèmes particuliers
7. Intégrateur pur.
Soit H(p) définie par )p(E
)p(S)p(H
H(p) est un intégrateur pur si p
KpH )(
Etudions H(jω) :
ω 0 K ∞
║H(jω)║ ∞ 1 0
Arg(H(jω)) -π/2 -π/2 -π/2
1.1. Représentation dans Bode
)log(20)Klog(20Klog20)j(Hlog20G
2
G coupe l’axe 0dB en ω =K, et suit une pente de –20dB/décade.
1.2. Représentation dans Black
H(p) E(p) S(p)
ω
ω
G(dB)
Arg(H(jω))
K
20log(K)
Arg(H(jω))
G(dB)
-90° -180°
ω croissant
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8. Dérivateur pur.
Soit H(p) définie par )p(E
)p(S)p(H
H(p) est un dérivateur pur si pK)p(H
Etudions H(jω) :
ω 0 1/K ∞
║H(jω)║ 0 1 ∞
Arg(H(jω)) +π/2 +π/2 +π/2
1.1. Représentation dans Bode
)log(20)Klog(20Klog20)j(Hlog20G
2
G coupe l’axe 0dB en K1 , et suit une pente de +20dB/décade.
2
1.2. Représentation dans Black
H(p)
E(p) S(p)
ω
ω
G(dB)
Arg(H(jω))
Arg(H(jω))
G(dB)
-90° +90°
ω croissant
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9. Remarques.
Il existe des montages intégrateurs ou dérivateurs différents :
Si )p1(K)p(H dd le système est dérivateur.
Si p1
K)p(Hi
i
le système est intégrateur.
Ces circuits sont dotés d’une constante de temps, ce qui permet de décalé l’effet
produit en ω de la valeur d
d
1. ou bien
i
i
1. .
10. Circuit à retard ou avance de phase.
4.1. Définition
Ces circuits sont des circuits de la forme d’un premier ordre généralisé tel que
pa1
p1)p(H
La valeur de a déterminera s’il s’agit d’un circuit à avance ou à
retard de phase. (plutôt dérivateur, ou plutôt intégrateur)
4.2. Circuit à avance de phase : a<1
𝐺 = 20 𝑙𝑜𝑔‖𝐻(𝑗𝜔)‖ = 10 log(1 + 𝜏2𝜔2) − 10 log (1 + 𝑎2𝜏2𝜔2)
𝜑 = arctan(𝜏𝜔) − arctan (𝑎𝜏𝜔)
ω
ω
G(dB)
Arg(H(jω))
ω
ω
G(dB)
Arg(H(jω))
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4.2.1. Représentation dans Bode
4.2.2. Représentation dans Black
4.3. Circuit à retard de phase : a>1
𝐺 = 20 𝑙𝑜𝑔‖𝐻(𝑗𝜔)‖ = 10 log(1 + 𝜏2𝜔2) − 10 log (1 + 𝑎2𝜏2𝜔2)
𝜑 = arctan(𝜏𝜔) − arctan (𝑎𝜏𝜔)
4.3.1. Représentation dans Bode
4.3.2. Représentation dans Black
Remarque : Dans Black ce type de circuit permet de faire dévier une courbe représentative.
ω
ω
G(dB)
Arg(H(jω))
1/τ 1/a.τ
π/2
Arg(H(jω))
G(dB)
-90° +90°
ω croissant
ω
ω G(dB)
Arg(H(jω))
1/τ 1/a.τ
-π/2
G(dB)
Arg(H(jω))
-90°
ω croissant
+90°
Qualités et Performances des Systèmes Particuliers F. HEMERY Ch. MARCHAND ICAM NANTES
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Chapitre 8 :
Qualités et performances
des systèmes continus asservis.
1. Définition. 1.1 Stabilité :
Un système est stable, si pour une entrée e(t) constante, la sortie du système
tend vers une constante.
1.2.Précision :
Un système est dit précis si la sortie suit l’entrée en toutes circonstances.
1.3.Rapidité :
Un système à une rapidité
satisfaisante s’il se stabilise
à un niveau souhaité et
constant en un temps jugé
satisfaisant.
5 = système lent
2 = système rapide
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Remarque : Dans le cas d’un régime oscillatoire amorti, il existe deux
éléments d’évaluation : tr1, le temps de réponse à 95%, et D1, la valeur du premier
dépassement exprimé en %.
1.4.Temps de réponse :
C’est le temps mis pour atteindre
x% de la valeur finale, sans s’en
écarter de plus de (100-x%).
Qualités et Performances des Systèmes Particuliers F. HEMERY Ch. MARCHAND ICAM NANTES
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1.5. Bande passante :
Lors de l’analyse harmonique, tous les systèmes physiques se comportent
comme des filtres passe-bas. Si la fonction de transfert H(p) ne contient pas
d’intégrateur pur (K/p), nous avons : H(0) = H(p) p=0 = K
K est appelé le gain statique du système.
Il est possible de définir une bande de pulsation pour laquelle le rapport
H(jω) / H(0) reste supérieur à une valeur donnée. C’est la bande passante à
l’intérieur de laquelle le signal n’est atténué au plus que de la valeur donnée.
On peut donc définir :
Une bande passante à 3 dB A(ω)/K > 0.707
Une bande passante à 6 dB A(ω)/K > 0.5
Remarque :
Dans le cas d’un système sans résonance, on définit une fréquence ou
pulsation de coupure à –3dB (fc ou ωc)
Qualités et Performances des Systèmes Particuliers F. HEMERY Ch. MARCHAND ICAM NANTES
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2. Stabilité.
2.1. Rappels :
Un système continu est régi par une équation différentielle avec second
membre reliant l’entrée à la sortie.
La sortie de ces systèmes est la solution de ce type d’équation. Elle est sous la
forme d’une somme de deux contributions :
)t(S)t(S)t(S 21 ,
où : S1(t) est la solution générale de l’équation sans second membre,
S2(t) est la solution particulière de l’équation avec second membre.
S1(t) est appelée réponse transitoire ou réponse libre du système.
Elle dépend des conditions initiales du système physique.
Pour que le système soit stable, il faut que cette contribution s’annule au bout
d’un certain temps.
0)t(Slim 1t
S2(t) est appelée réponse forcée ou régime permanent du système.
Le régime permanent est un signal de même nature que le signal d’entrée.
Si e(t) constante : K)t(S2
Si ta)t(e : taK)t(S2
Si e)t(e ta : eK)t(S ta2
Si )tsin(a)t(e : )tsin(aK)t(S2
Conclusion :
S1(t) ne dépend que du système et de ses conditions initiales ;
S2(t) est de même nature que e(t) ;
Dans les systèmes stables, le régime libre (S1(t)) s’annule au bout
d’un certain temps.
2.2. Définitions :
Stabilité interne :
Un système est stable si et seulement si sa réponse libre tend
vers 0 quand t tend vers l’infini.
Stabilité externe :
Un système est stable si et seulement si une entrée d’une
grandeur finie implique une sortie d’une grandeur finie.
Remarque : Pour un système linéaire, ces deux définitions sont équivalentes.
e(t) s(t) h(t)
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3. Conditions de stabilité.
Pour qu’un système soit stable, il faut que la
réponse libre tende vers 0.
Par définition, on peut écrire H(p) en faisant apparaître les pôles et les zéros.
)pp()pp()pp(
)zp()zp()zp()p(H
n21
n21
avec zi : zéros de H(p)
pi : pôles H(p)
S(p) = H(p).E(p) peut être mis sous la forme )p(D
)p(N)p(E
)p(D
)p(N)p(S
0
ce qui permet de faire apparaître :
)p(E)p(D
)p(N le régime forcé de S(p)
)p(D
)p(N0 le régime libre de S(p).
On peut donc écrire que le système est stable si )p(D
)p(N0est amorti. L’étude de D(p),
qui est le dénominateur de H(p) donne les conditions de stabilité.
Si a est un pôle de H(p), D(p)= (p-a).(……).
L-1()p(D
)p(N0)=L-1(
(........)
)p(N
)ap(1 0
) or, L-1()ap(
1
) = eat
De plus, 0elim
at
t si a<0.
On peut donc conclure que pour que L-1()p(D
)p(N0) tende vers 0, il faut
nécessairement que a soit négatif.
Remarque : cas d’un pôle complexe.
Soit p1=a+jb, pôle complexe de )p(D
)p(N0
On peut écrire : )jba(p
1)jba(p
1)pp(
11
Or, L-1 ()jba(p
1
) = e(a+jb)t = eat.ejbt = eat.(cos(bt)+j.sin(bt))
Cette grandeur tend vers 0 si a est négatif.
E(p) S(p) H(p)
Le système sera stable si la fonction de transfert ne comporte que
des pôles à partie réelle négative.
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Application au système bouclé.
Soit un système de transmittance H(p) en
boucle fermée.
On peut écrire :
)p(D
)p(N.K)p(H et
)p(Dbf
)p(N.K
)p(D)p(N.K
)p(N.K)p(Hbf
C’est l’étude de Dbf(p) qui indiquera les conditions de stabilité en boucle fermée.
Avec Dbf : dénominateur de la fonction de transfert en boucle fermée.
Il existe plusieurs méthodes d’analyse :
Méthode du critère de ROUTH : étudiées en ICAM
Méthode du lieu des pôles (ou lieu d’EVANS).
Méthode de la recherche de l’auto oscillation ou critère du revers.
4. Le critère du revers.
Le critère du revers est fondé sur l’étude
du comportement du système lorsque
l’entrée est nulle.
En effet, )p(D
)p(N)p(E
)p(D
)p(N)p(S
0 , et la stabilité est donnée par le terme
)p(D
)p(N0.
Si E(p) est nulle, S(p) est non nulle si )p(D
)p(N0est non nul.
Recherchons les conditions pour que S(p) soit non nulle lorsque E(p) est nulle :
S(p) = H(p).(p) et (p) = E(p)-S(p) = -S(p).
S(p) = -H(p).S(p) d’où H(p) = -1.
Donc, il y a auto oscillation en régime harmonique si H(j) = -1.
Or, H(j) = -1 si 1)j(H et ))j(Harg(
5. Interprétation graphique.
Pour chacune des représentations des systèmes (Bode, Black, Nyquist), on place le
point critique 1)( jH et ))(arg( jH .
Si le tracé de la réponse passe par ce point, le système est instable pour la pulsation
considérée.
On peut donc définir, à partir du critère du revers, des critères graphiques de stabilité
pour chaque diagramme ou représentation.
(Cf document joint).
+ -
E(p) H(p)
S(p)
E(p) S(p) Hbf(p)
+ -
E(p) H(p)
S(p) (p)
Ces deux conditions sont nécessaires à
l’existence de l’auto oscillation.
Ce sont les valeurs critiques de la stabilité.
Point critique :
1)j(H et
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Critère du revers : Application graphique
Dans le plan de Nyquist :
1 : Système instable
2 : Système juste stable
3 : Système stable.
Le système sera stable si, en parcourant le lieu de transfert de Nyquist dans le
sens des ω croissants, on laisse le point critique (-1) sur la gauche.
Dans le plan de Bode
1 : Système stable
2 : Système juste stable
3 : Système instable.
Le système sera stable si, pour la pulsation ωosc (qui correspond à Arg[H(jω)] = -180°), la
courbe d’amplitude passe en dessous du niveau 0dB.
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Dans le plan de Black
1 : Système stable
2 : Système juste
stable
3 : Système
instable.
6. Degré de stabilité.
Si l’équation d’un système le place à la limite de la stabilité, la réponse est très
oscillante, et à la moindre dérive d’un composant, il peut devenir instable.
On prévoit donc des marges de phase et de gain, qui écarte la réponse du système du
point critique d’une grandeur précisée dans le cahier des charges du système, afin de
garantir la stabilité.
Définition :
M : marge de phase :
M = 180° + Arg(H(j1) ;
avec 1 tel que
║H(jω1)║=1 (0dB)
Mg : marge de gain :
)(
1log20
0jHMg
avec 0 tel que
Arg(H(jω0)) = -180°
On adopte couramment comme réglage initial : M = 45° et Mg = 12 dB
Le système sera stable si,
en parcourant le lieu de transfert dans le sens des ω croissants, on laisse le point
critique (φ = -180°, G=0dB) sur la droite
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7. Précision.
Cas d’un système à retour unitaire
Dans le cas d’une étude d’identification, on
ne connais que E(p) et S(p), reliés par G(p).
On peut imaginer que G(p) est la fonction de transfert en boucle fermée d’un système à
définir.
On peut écrire : )(
)()(
pE
pSpG
S(p)=G(p).E(p), et ε(p) = E(p)-S(p)
On peut donc écrire : ε(p) = E(p)(1-G(p)).
ε(p) est l’écart entre la sortie et l’entrée du système. L’objectif est que ε(p) tende vers o
pour t tendant vers l’infini.
On appelle εn l’erreur due à une entrée d’ordre n. )))(1)(((lim)(lim)(lim
00pGpEpppt
pptn
Si G(p) est du second ordre,
p12
1
p12
1
p12
1
1)(12
2
2
2
2
2
nn
nn
nn
p
Kp
p
KpG
p12
1
p12
1
)(lim))(1)((lim2
2
00
2
2
nn
nn
ppp
Kp
ppEpGppEn
Si p
ApE )( (Echelon) )1(
p12
1
p12
)1(
lim2
2
01
2
2
KA
p
pK
p
Ap
nn
nn
p
Si p
)(2
ApE (rampe)
p12
1
p12
)1(
plim
2
2
202
2
2
nn
nn
p
p
pKA
p
Si K=1 A.2
n2
Si K<1 2
Si K>1 2
8.1. Influence de la structure du système sur la précision.
Soit )p(
)p(S)p(H
ε(p) = E(p)-S(p)
+ -
E(p) H(p)
S(p) (p)
+ -
E(p) S(p) (p) H(p)
G(p)
Qualités et Performances des Systèmes Particuliers F. HEMERY Ch. MARCHAND ICAM NANTES
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S(p) = H(p).ε(p) donc )p(H1
)p(E)p(
)p(H1
)p(Eplim
0pn
Soit p
A)p(En
, on peut écrire : ))(1(
1lim
))(1(
1lim
)1(00 pHp
A
pHp
Ap
npnpn
H(p) peut se mettre sous la forme ....)p'bp'a1(p
.....)pbap1(K)p(H
2u
2
Avec :
K : gain statique en boucle ouverte
u : nombre d’intégrateur (p1 ) dans la boucle ouverte.
Dans ces conditions, on peut écrire :
)1(
lim10
p
Kp
A
u
npn
car 1....)''1(
.....)1(lim
2
2
0
pbpa
pbap
p
La relation entre u et n va donc déterminer εn.
o n-1 > u : ⇒ εn → ∞
o n-1 = u : ⇒
n=1 K
An
1
n>1 K
An
o n-1 < u : ⇒ εn → 0
On peut résumer ces résultats dans un tableau, en appelant classe le nombre d’intégrateurs
dans la boucle (u).
Erreur en fonction de la classe du système et de l’entrée :
Classe
Entrée 0 1 2 3
Echelon
e(t) = A K
A
1 0 0 0
Rampe
e(t) = At ∞
K
A 0 0
Accélération
e(t) = At² ∞ ∞
K
A 0
e(t) = At3 ∞ ∞ ∞
K
A
Les conditions de précision nous imposent un nombre d’intégrateur dans la BO.
Les Correcteurs F. HEMERY Ch. MARCHAND ICAM NANTES
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Chapitre 9
Les Correcteurs
3. Mise en situation.
On a vu les performances des systèmes asservis, le concepteur fixera notamment :
La rapidité : sous forme d’un temps de réponse à 5% (ou autre),
La précision : sous forme relative (en% de l’entrée) ou absolue pour une entrée donnée,
Les dépassements : sous forme de limite admissible (souvent les dépassements sont interdits)
La stabilité : sous forme de marge de gain et marge de phase.
Ce dernier critère est toujours primordial.
Pour introduire la notion de correcteur, examinons la commande de cap d’un voilier.
Le cap réel est α, le cap à suivre est αc.
Pour permettre au voilier de suivre αc, le barreur établi un angle de gouvernail u, avec u(t) = f(ε (t)).
Commande en Tout ou Rien : u(t) = Umax . signe(ε(t))
Le barreur dispose la barre à l’une des extrémités sans nuance, très inconfortable pour les passagers !
Commande simple : u(t) = Kp.ε (t)
L’angle u(t) est proportionnel à l’écart, c’est une commande Proportionnelle (P).
Commande plus élaborée :
Pour essayer d’anticiper les variations de direction du navire, le barreur tient compte de l’écart ε (t)
mais aussi de la manière dont varie cet écart : dt
)t(dK)t(K)t(u dp
Cette commande est une commande Proportionnelle Dérivée (PD).
Commande sophistiquée :
Le pilote tient compte de l’écart ε (t), de la variation de l’écartdt
)t(d , mais aussi de la qualité du
suivi du cap (le cap, au cours de la commande, est plus souvent négatif ou positif) en ajoutant une
action intégrale : Σ des écarts.
T
0
idp dt)t(Kdt
)t(dK)t(K)t(u Cette commande est Proportionnelle Intégrale Dérivée (PID).
La construction de ce type de commande se fait par l’adjonction successive de correcteurs de type P,
D, ou I en prenant en compte l’action de chacun.
Les Correcteurs F. HEMERY Ch. MARCHAND ICAM NANTES
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4. Correction Proportionnelle.
Influence de Kp sur la stabilité : (critère essentiel)
Raisonnons sur le diagramme de Black de la fonction de transfert (H(p).
Correction
proportionnelle
Marges de
stabilité Précision Rapidité Dépassement
Si Kp ou
apparaissent
Le réglage de gain se fait à partir des performances recherchées :
Précision et rapidité maximales
Dépassement admissible
Stabilité définie par marge de gain MG ≥ 10dB et marge de phase Mφ ≥ 45°
5. Correction Dérivée.
C(p) = Td p
En statique, aucun effet !
En dynamique, l’exemple du barreur de voilier illustre que l’action dérivée est anticipatrice et donc
stabilisante.
Kp H(p)
- +
Si Kp augmente,
On augmente
la rapidité et
la précision statique
le dépassement
On diminue les marges
de phase et de gain.
donc
On diminue la stabilité !!
Td p H(p)
- +
Les Correcteurs F. HEMERY Ch. MARCHAND ICAM NANTES
Page 40 sur 45
Remarque : un dérivateur pur est un composant dont le gain tend vers l’infini lorsque la pulsation tend vers
l’infini ! Difficilement réalisable. L’action dérivée ne sera réalisée que dans une gamme de pulsations
uniquement, en utilisant un correcteur à avance de phase.
6. Correction intégrale.
Dans le chapitre 8, concernant les performances des systèmes asservis, nous avons vu que la présence
d’intégrateurs purs 1/p dans la FTBO améliore grandement la précision (statique).
Cependant en dynamique, l’argument constant et égal à -90° déstabilise énormément le système. De plus,
pour ω=0, le gain tend vers l’infini !
D’où, si le système est de classe 0, on peut utiliser un intégrateur pur, sinon on utilisera un correcteur à
retard de phase.
7. Circuit à avance ou à retard de phase
Définition : Circuit dont la
fonction transfert est de la forme
𝐶(𝑝) = 𝐾 1+ 𝜏𝑝
1+𝑎𝜏𝑝
Module : pour K = 1
‖𝐶(𝑗𝜔‖ = 10 log(1 + 𝜏2𝜔2) − 10log (1+ 𝑎2𝜏2𝜔2)
Argument :
𝐴𝑟𝑔(𝐶(𝑗𝜔)) = arctan(𝜏𝜔) − arctan (𝑎𝜏𝜔)
On note : 𝐴𝑟𝑔(𝐶(𝑗𝜔)) = 𝜑
Représentation dans Bode :
Représentation dans Black
pour τ = 1 et K = 1
4.4. Effets :
Si a<1 : Circuit à avance de phase (Action dérivée)
Si a>1 : Circuit à retard de phase (Action intégrale)
Les Correcteurs F. HEMERY Ch. MARCHAND ICAM NANTES
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Ces circuits permettent de « déformer » localement le lieu de transfert et ainsi s’il est bien placé, modifier la
marge de phase d’un système.
Ce déphasage maximum est obtenu en recherchant l’extremum de l’argument : 𝑑𝜑
𝑑𝜔=
𝑑 (arctan(𝜏𝜔) − arctan (𝑎𝜏𝜔))
𝑑𝜔=
𝜏
1 + (𝜏𝜔)2−
𝑎𝜏
1 + (𝑎𝜏𝜔)2= 0
𝜔𝑀 = 1
𝜏√𝑎
𝐶(𝑗𝜔) = (1 + 𝜏𝜔𝑗
1 + 𝑎𝜏𝜔𝑗) =
1 + 𝑎𝜏2𝜔2
1 + 𝑎2𝜏2𝜔2+ 𝑗
𝜏𝜔(1 − 𝑎)
1 + 𝑎2𝜏2𝜔2
Déphasage maximum :
tan(𝜑𝑀) = 𝜏𝜔𝑀(1 − 𝑎)
1 + 𝑎𝜏2𝜔𝑀2
= 1 − 𝑎
2√𝑎
On peut aussi exprimer sin(𝜑𝑀) = 1−𝑎
1+𝑎 ou même 𝑎 =
1−sin(𝑎)
1+sin(𝑎)
Correcteur à avance de phase (dérivé)
𝐶𝐷(𝑝) = 𝐾 1+ 𝜏𝑝
1+𝑎𝜏𝑝 ; avec a<1
Lieu dans Bode, a1 = ½ ; a2 = 1/3
Ce diagramme présente deux exemples de
correcteurs dérivés, appelés à avance de phase
(leur argument est positif).
La valeur ωc =1/τ sépare deux zones :
ω < ωc : le gain est peu modifié alors
que la phase présente un extremum
positif (avance de phase). On choisit
donc ωc pour que le point critique soit
dans cette zone, ce qui augmente la
marge de phase.
ω > ωc : le gain est augmenté
(20 log(a)), réduisant la marge de gain
si le point critique est dans cette zone,
à éviter donc !
On choisira ωc telle que 1/τ soit peu différent de ω0dB et a tel que sin(𝜑𝑀) = 1−𝑎
1+𝑎 donne l’augmentation de
marge de phase recherchée.
CD(p) H(p) -
+
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Sur le lieu de Bode ci-dessus, la courbe représente CD(p)H(p)
Augmentation sensible de la marge de phase & Réduction de la réserve de gain
Bilan : une bonne action dérivée a les effets suivant :
Correction Marges de
stabilité Précision Rapidité Dépassement
DERIVEE faiblement faiblement
Exemple : 𝐻(𝑝) = 20
𝑝(1+0.5𝑝) 𝐶𝐷(𝑝) = 𝐾
1+ 0.21𝑝
1+0.07𝑝
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Correcteur à retard de phase (intégral)
𝐶𝐼(𝑝) = 𝐾 1+ 𝜏𝑝
1+𝑏𝜏𝑝 ; avec b >1
Objectif : augmenter le gain en base fréquence sans modifier la stabilité
Lieu dans Bode, pour τ= 1 et b1 = 2 et b2 = 3
Ce diagramme présente deux exemples de correcteurs intégral, appelés à retard de phase (leur argument est
négatif).
La valeur ωc =1/τ sépare deux zones :
ω < ωc : le gain est peu
modifié alors que la phase
présente un extremum
négatif (retard de phase)
qui peut pénaliser la
stabilité si le point critique
de la FTBO du système
corrigé se trouve dans cette
zone.
ω > ωc : le gain est réduit
(20 log(b)), augmentant la
marge de gain si le point
critique est dans cette zone,
alors que la phase est nulle
et donc ne modifie pas la
phase de la FTBO corrigée.
Il est donc intéressant de
placer de telle sorte que le
correcteur intégral
augmente la réserve de
gain dans la zone critique
en évitant de placer le
déphasage supplémentaire
inévitable dans la zone du
point critique.
On choisira ωc telle que 1/τ soit très inférieur à ω0dB et b tel que 20log(b) soit égal à la variation de gain en
BO recherchée.
CI(p) H(p) -
+
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Bilan : une bonne action intégrale a les effets suivant :
Correction Marges de
stabilité Précision Rapidité Dépassement
INTEGRALE Peu d’influence
8. Correcteurs composés PID : Il est évidement intéressant de composer ces trois actions sur un correcteur. C’est de plus une solution
industriellement avantageuse. Les constructeurs créent une carte de commande paramétrable comprenant
ces trois actions PID adaptables à chaque application.
8.1. Expression d’un correcteur PID
𝜀𝑐(𝑝) = 𝐾𝑃 𝜀(𝑝) + 𝐾𝐼
𝑝 𝜀(𝑝)
+ 𝐾𝐷 𝑝 𝜀(𝑝) Fonction transfert du correcteur :
𝐶𝑃𝐼𝐷(𝑝) = 𝜀𝑐(𝑝)
𝜀(𝑝)=
𝐾𝑃 𝑝+ 𝐾𝐼 +𝐾𝐷 𝑝2
𝑝 Type 1 : théorique,
Dans la pratique on prendra : 𝐶𝑃𝐼𝐷(𝑝) = 𝐾𝑃 (1+ 𝜏𝑖𝑝
1+𝑏𝜏𝑖𝑝) . (
1+ 𝑎𝜏𝑑𝑝
1+𝜏𝑑𝑝) avec a>1 ; b>1 ;
τi et τd constantes de temps. Type 2
Exemple :
𝐻(𝑝) = 8
𝑝(1 + 0.5𝑝)
𝐶𝐼(𝑝) = 𝐾 1 + 7. 𝑝
1 + 70. 𝑝
Sur le lieu de Bode ci-contre,
la courbe représente
CI(p)H(p)
Augmentation de la
réserve de gain.
Augmentation de la
marge de phase à gain
constant qui passe de
35° à 60°.
CPID(p) H(p) + -
ε(p) εc(p)
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8.2. Diagramme de Bode d’un PID :
Diagramme de Bode d’un PID :
Exemple : KP = 1 ; τi = 10s ; τd = 0.1s ; et
a = 3 :
Dans ce cas τi > τd, la courbe de gain
présente un creux qui correspond à une
atténuation de gain aux pulsations
intermédiaires. Le réglage de KP permet
de modifier le niveau de ce palier de gain
intermédiaire.
zone où il est intéressant de
placer le point critique.
9. Conclusion :
La correction des systèmes asservis permet d’améliorer la qualité des systèmes bouclés. Les
performances recherchées peuvent être affinées par l’introduction d’un correcteur peu
couteux en énergie.
La technique consiste tout en maintenant des marges de stabilité satisfaisantes, à déformer
les courbes de transfert en augmentant le gain en basses fréquences afin d’améliorer la
précision et la rapidité. Il ne faut pas oublier les éventuels dépassements, surtout sur les
grandeurs mécaniques.
Il ne faut pas imaginer que le correcteur va palier les défauts
de conception ou de réalisation du processus !