Etude d'écoulement d'eau en conduite forcée à section …gerbi/comm/JERA2006.pdf · Motivations...
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Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Etude d’écoulement d’eau en conduite forcéeà section variable
Christian Bourdarias et Stéphane Gerbi
LAMA - Université de Savoie
JERA 2006, 17 Novembre 2006
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Sommaire
1 Motivations
2 Dérivation du modèle en chargeEquations d’Euler compressiblesUne dérivation possible
3 Schéma Volumes Finis décentréApproximation Volumes Finis décentréSchéma Volume Fini explicite décentré
4 Simulation numérique : coup de bélierValidation du modèleConduite déformableConduite à section variable
5 Conclusion et perspectives
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Sommaire
1 Motivations
2 Dérivation du modèle en chargeEquations d’Euler compressiblesUne dérivation possible
3 Schéma Volumes Finis décentréApproximation Volumes Finis décentréSchéma Volume Fini explicite décentré
4 Simulation numérique : coup de bélierValidation du modèleConduite déformableConduite à section variable
5 Conclusion et perspectives
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Motivations
Dimensionnement des installations hydrauliques où peuventco-exister deux types d’écoulement : à surface libre, en charge
conduites d’amenée, en aval des barrages
conduites reliant deux lacs ou deux rivières ou ...
égouts, évacuation des eaux de pluie (orages ...)
Tous les phénomènes associés peuvent être très violents
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Motivations
Dimensionnement des installations hydrauliques où peuventco-exister deux types d’écoulement : à surface libre, en charge
conduites d’amenée, en aval des barrages
conduites reliant deux lacs ou deux rivières ou ...
égouts, évacuation des eaux de pluie (orages ...)
Tous les phénomènes associés peuvent être très violents
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Quelques conduites
une conduite forcée un égout de Paris
l’Orange-Fish Tunnel
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Qu’est ce qu’un écoulement mixte ?
Zones à surface libre : la section de conduite n’est pas pleine.Liquide incompressible...
Zones en charge : la section de conduite est pleine. Liquidefaiblement compressible...
∆h =∆Pρ0 g
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Qu’est ce qu’un écoulement mixte ?
Zones à surface libre : la section de conduite n’est pas pleine.Liquide incompressible...
Zones en charge : la section de conduite est pleine. Liquidefaiblement compressible...
∆h =∆Pρ0 g
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Qu’est ce qu’un écoulement mixte ?
Zones à surface libre : la section de conduite n’est pas pleine.Liquide incompressible...
Zones en charge : la section de conduite est pleine. Liquidefaiblement compressible...
∆h =∆Pρ0 g
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Quel modèle ?
Ecoulements à surface libreéquations de Saint-Venant ...
Ecoulements en charge
Dans la littérature : les équations d’Allievi
∂P∂t
+c2
g A∂Q∂x
= 0
∂Q∂t
+ g A∂P∂x
= −α Q |Q|
Des termes sont négligés −→ elles ne permettent pas uneformulation conservativeModéliser les écoulements en charge par un systèmeconservatif "proche" des équations de Saint-Venant
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Quel modèle ?
Ecoulements à surface libreéquations de Saint-Venant ...
Ecoulements en charge
Dans la littérature : les équations d’Allievi
∂P∂t
+c2
g A∂Q∂x
= 0
∂Q∂t
+ g A∂P∂x
= −α Q |Q|
Des termes sont négligés −→ elles ne permettent pas uneformulation conservativeModéliser les écoulements en charge par un systèmeconservatif "proche" des équations de Saint-Venant
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Quel modèle ?
Ecoulements à surface libreéquations de Saint-Venant ...
Ecoulements en charge
Dans la littérature : les équations d’Allievi
∂P∂t
+c2
g A∂Q∂x
= 0
∂Q∂t
+ g A∂P∂x
= −α Q |Q|
Des termes sont négligés −→ elles ne permettent pas uneformulation conservativeModéliser les écoulements en charge par un systèmeconservatif "proche" des équations de Saint-Venant
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Quel modèle ?
Ecoulements à surface libreéquations de Saint-Venant ...
Ecoulements en charge
Dans la littérature : les équations d’Allievi
∂P∂t
+c2
g A∂Q∂x
= 0
∂Q∂t
+ g A∂P∂x
= −α Q |Q|
Des termes sont négligés −→ elles ne permettent pas uneformulation conservativeModéliser les écoulements en charge par un systèmeconservatif "proche" des équations de Saint-Venant
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Sommaire
1 Motivations
2 Dérivation du modèle en chargeEquations d’Euler compressiblesUne dérivation possible
3 Schéma Volumes Finis décentréApproximation Volumes Finis décentréSchéma Volume Fini explicite décentré
4 Simulation numérique : coup de bélierValidation du modèleConduite déformableConduite à section variable
5 Conclusion et perspectives
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Equations d’Euler compressibles
L’eau est compressible
Equations d’Euler compressibles
∂tρ + div(ρ ~U) = 0
∂t(ρ u) + div(ρ u ~U) = Fx − ∂xP
avec ~U = u~i + v~j + w~k = u~i + ~V .
Impermeabilité : ~U · ~N = 0 on ∂Ω
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Equations d’Euler compressibles
Loi d’état
Loi de pression de Boussinesq :
P = c2 (ρ− ρ0) c =
√1
β ρ0
Forces extérieures :Gravité : −ρ g ∂xzForce de frottement de Strickler : −Sf
~i = −K (A) u |u |~iVariation de section vs variation de pression :
A = A(x , t) = S(x , P(x , t))∂S∂P
=Sδ
e E cos φ
Equations d’Euler compressibles
∂tρ + ∂x(ρ u) + div(y,z)(ρ ~V ) = 0
∂t(ρ u) + ∂x(ρ u2) + div(y,z)(ρ u ~V ) = −ρg(∂xz + Sf )− c2 ∂xρ
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Equations d’Euler compressibles
Loi d’état
Loi de pression de Boussinesq :
P = c2 (ρ− ρ0) c =
√1
β ρ0
Forces extérieures :Gravité : −ρ g ∂xzForce de frottement de Strickler : −Sf
~i = −K (A) u |u |~iVariation de section vs variation de pression :
A = A(x , t) = S(x , P(x , t))∂S∂P
=Sδ
e E cos φ
Equations d’Euler compressibles
∂tρ + ∂x(ρ u) + div(y,z)(ρ ~V ) = 0
∂t(ρ u) + ∂x(ρ u2) + div(y,z)(ρ u ~V ) = −ρg(∂xz + Sf )− c2 ∂xρ
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Equations d’Euler compressibles
Loi d’état
Loi de pression de Boussinesq :
P = c2 (ρ− ρ0) c =
√1
β ρ0
Forces extérieures :Gravité : −ρ g ∂xzForce de frottement de Strickler : −Sf
~i = −K (A) u |u |~iVariation de section vs variation de pression :
A = A(x , t) = S(x , P(x , t))∂S∂P
=Sδ
e E cos φ
Equations d’Euler compressibles
∂tρ + ∂x(ρ u) + div(y,z)(ρ ~V ) = 0
∂t(ρ u) + ∂x(ρ u2) + div(y,z)(ρ u ~V ) = −ρg(∂xz + Sf )− c2 ∂xρ
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Equations d’Euler compressibles
Loi d’état
Loi de pression de Boussinesq :
P = c2 (ρ− ρ0) c =
√1
β ρ0
Forces extérieures :Gravité : −ρ g ∂xzForce de frottement de Strickler : −Sf
~i = −K (A) u |u |~iVariation de section vs variation de pression :
A = A(x , t) = S(x , P(x , t))∂S∂P
=Sδ
e E cos φ
Equations d’Euler compressibles
∂tρ + ∂x(ρ u) + div(y,z)(ρ ~V ) = 0
∂t(ρ u) + ∂x(ρ u2) + div(y,z)(ρ u ~V ) = −ρg(∂xz + Sf )− c2 ∂xρ
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Une dérivation possible
La démarche : prendre des valeurs moyennes
Valeurs moyennes de u et ρ sur Ω(x , t)
ρu ' ρ u et ρu2 ' ρ u2.
Q = Au.
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Une dérivation possible
1er stade : les équations
Conservation de la masse
∂t(ρA) + ∂x(ρ Q) =
∫∂Ω(x,t)
ρ(∂t ~m + u ∂x ~m − ~V
)· ~n
Conservation de la quantité de mouvement
∂t(ρ Q)+ ∂x
(ρ
Q2
A+ c2 ρ A
)= −g ρ A(∂xz + Sf )+
+c2 ρ ∂xA+
+
∫∂Ω(x,t)
ρ u(∂t ~m + u ∂x ~m − ~V
)· ~n
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Une dérivation possible
Le modèle
Variables conservatives : M = ρA , D = ρQVitesse du son au point x : a(x) dépend de la géométrie.Traitement astucieux du terme c2 ρ ∂xA utilisant la relation entre lavariation de la section et de la pression et expression du terme debord grâce à la condition d’imperméabilté
Conservation de la masse
∂t(M) + ∂x(D) = −14
∂tAA
(∂xδ0)2 M.
Conservation de la quantité de mouvement
∂t(D) + ∂x
(D2
M+ a2 M
)= −g M ∂xz − g K (A)
D|D|M
+ M ∂xa2
+a2 MA
∂xS0 −14
∂tAA
(∂xδ0)2 D
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Une dérivation possible
Le modèle
Variables conservatives : M = ρA , D = ρQVitesse du son au point x : a(x) dépend de la géométrie.Traitement astucieux du terme c2 ρ ∂xA utilisant la relation entre lavariation de la section et de la pression et expression du terme debord grâce à la condition d’imperméabilté
Conservation de la masse
∂t(M) + ∂x(D) = −14
∂tAA
(∂xδ0)2 M.
Conservation de la quantité de mouvement
∂t(D) + ∂x
(D2
M+ a2 M
)= −g M ∂xz − g K (A)
D|D|M
+ M ∂xa2
+a2 MA
∂xS0 −14
∂tAA
(∂xδ0)2 D
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Une dérivation possible
La dilatation de la conduite et les propriétés du système
Dilatation de la conduite
∂tA = k ∂tM k paramètre dépendant de la géométrie
Les propriétes du système
Le système précédent est hyperbolique.
Dans le cas d’une conduite uniforme infiniment rigide :
Entropie : E(M, D, z) =D2
2M+ gMz + c2M ln M
∂tE + ∂x [u(E + c2 ln M)] ≤ −g M K (A) u2 |u| .
Ψ =u2
2+ c2 ln M + g z charge totale.
Etats stationnaires :
D = D0 , u = u(x) etdΨ
dx= −g K (A) u |u| ,
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Une dérivation possible
La dilatation de la conduite et les propriétés du système
Dilatation de la conduite
∂tA = k ∂tM k paramètre dépendant de la géométrie
Les propriétes du système
Le système précédent est hyperbolique.
Dans le cas d’une conduite uniforme infiniment rigide :
Entropie : E(M, D, z) =D2
2M+ gMz + c2M ln M
∂tE + ∂x [u(E + c2 ln M)] ≤ −g M K (A) u2 |u| .
Ψ =u2
2+ c2 ln M + g z charge totale.
Etats stationnaires :
D = D0 , u = u(x) etdΨ
dx= −g K (A) u |u| ,
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Sommaire
1 Motivations
2 Dérivation du modèle en chargeEquations d’Euler compressiblesUne dérivation possible
3 Schéma Volumes Finis décentréApproximation Volumes Finis décentréSchéma Volume Fini explicite décentré
4 Simulation numérique : coup de bélierValidation du modèleConduite déformableConduite à section variable
5 Conclusion et perspectives
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Système sous forme conservative
Sans dilatation de la conduite
Système sous forme conservative
∂tU + ∂xF (x , U) = G(x , U)
Variable conservative et flux
U =
(MD
)F (x , U) =
DD2
M+ a2M
Terme source
G(x , U) =
0
−g M ∂xz − g K (A)D|D|
M+ M ∂xa2 + a2 M
S0∂xS0
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Principe de la discrétisation Volumes Finis d’après Gallouet et al.
Uni ' valeur moyenne de U sur mi au temps tn = n∆t .
Par intégration sur mi × (tn, tn+1) :
Schéma Volumes Finis classique
Un+1i = Un
i −∆thi
(F
(U∗
i+1/2(0−, Ui , Ui+1)
)− F
(U∗
i−1/2(0+, Ui−1, Ui)
))+∆t G(xi , Un
i )
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Principe de la discrétisation Volumes Finis d’après Gallouet et al.
Uni ' valeur moyenne de U sur mi au temps tn = n∆t .
Par intégration sur mi × (tn, tn+1) :
Schéma Volumes Finis classique
Un+1i = Un
i −∆thi
(F
(U∗
i+1/2(0−, Ui , Ui+1)
)− F
(U∗
i−1/2(0+, Ui−1, Ui)
))+∆t G(xi , Un
i )
U∗i+1/2(ξ = x/t , Ui , Ui+1) : solution exacte ou approchée du problème
de Riemann avec Ui et Ui+1 respectivement comme états gauche etdroit
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Principe de la discrétisation Volumes Finis d’après Gallouet et al.
Uni ' valeur moyenne de U sur mi au temps tn = n∆t .
Par intégration sur mi × (tn, tn+1) :
Schéma Volumes Finis classique
Un+1i = Un
i −∆thi
(F
(U∗
i+1/2(0−, Ui , Ui+1)
)− F
(U∗
i−1/2(0+, Ui−1, Ui)
))+∆t G(xi , Un
i )
Le schéma ne conserve pas les états d’équilibre et est très instable
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Approximation Volumes Finis décentré
Principe des schémas décentrés d’après Leroux et al.
Z = z − a2
gln S0 et Ψ(x) =
a2(x)
c2
On rajoute les deux équations : ∂tZ = 0 et ∂tΨ = 0
Nouvelle inconnue : W = (Z ,Ψ, M, D)t
Formulation non conservative
∂tW + ∂xΦ(x , W ) + g M ∂xZ + M (ln S0 − 1) c2 ∂xΨ = TS(W )
Φ(x , W ) =
00D
D2
M+ a2 M
TS(W ) =
000
−g K (A)D |D|
M
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Approximation Volumes Finis décentré
Principe des schémas décentrés d’après Leroux et al.
Z = z − a2
gln S0 et Ψ(x) =
a2(x)
c2
On rajoute les deux équations : ∂tZ = 0 et ∂tΨ = 0
Nouvelle inconnue : W = (Z ,Ψ, M, D)t
Formulation non conservative
∂tW + ∂xΦ(x , W ) + g M ∂xZ + M (ln S0 − 1) c2 ∂xΨ = TS(W )
Φ(x , W ) =
00D
D2
M+ a2 M
TS(W ) =
000
−g K (A)D |D|
M
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Approximation Volumes Finis décentré
Principe des schémas décentrés d’après Leroux et al.
Z = z − a2
gln S0 et Ψ(x) =
a2(x)
c2
On rajoute les deux équations : ∂tZ = 0 et ∂tΨ = 0
Nouvelle inconnue : W = (Z ,Ψ, M, D)t
Formulation non conservative
∂tW + ∂xΦ(x , W ) + g M ∂xZ + M (ln S0 − 1) c2 ∂xΨ = TS(W )
Φ(x , W ) =
00D
D2
M+ a2 M
TS(W ) =
000
−g K (A)D |D|
M
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Approximation Volumes Finis décentré
Principe des schémas décentrés d’après Leroux et al.
Formulation non conservative
W = (Z ,Ψ, M, D)t
∂tW + B(x , W )∂xW = TS(W )
B(x , W ) =
0 0 0 00 0 0 00 0 0 1
g M c2M ln S0(x) a(x)2 − u2 2 u
TS(W ) =
000
−g K (A)D |D|
M
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Approximation Volumes Finis décentré
Z et Ψ constant sur la maille mi
Par intégration sur mi × (tn, tn+1) :
Schéma Volumes Finis décentré
W n+1i = W n
i −∆thi
(Φ
(W ∗
i+1/2(0−, W n
i , W ni+1)
)−
Φ(W ∗
i−1/2(0+, W n
i−1, W ni )
))+
+∆t TSni
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Approximation Volumes Finis décentré
Z et Ψ constant sur la maille mi
Par intégration sur mi × (tn, tn+1) :
Schéma Volumes Finis décentré
W n+1i = W n
i −∆thi
(Φ
(W ∗
i+1/2(0−, W n
i , W ni+1)
)−
Φ(W ∗
i−1/2(0+, W n
i−1, W ni )
))+
+∆t TSni
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Approximation Volumes Finis décentré
Z et Ψ constant sur la maille mi
Par intégration sur mi × (tn, tn+1) :
Schéma Volumes Finis décentré
W n+1i = W n
i −∆thi
(Φ
(W ∗
i+1/2(0−, W n
i , W ni+1)
)−
Φ(W ∗
i−1/2(0+, W n
i−1, W ni )
))+
+∆t TSni
Problème de Riemann
W ∗i+1/2(ξ = x/t , W n
i , W ni+1) solution du problème de Riemann linéaire
∂tW + J ∂xW = 0
W = (Z ,Ψ, M, D) =
W n
i = (Zi ,Ψi , Mni , Dn
i )t si x < 0W n
i+1 = (Zi+1,Ψi+1, Mni+1, Dn
i+1)t si x > 0
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Approximation Volumes Finis décentré
Z et Ψ constant sur la maille mi
Par intégration sur mi × (tn, tn+1) :
Schéma Volumes Finis décentré
W n+1i = W n
i −∆thi
(Φ
(W ∗
i+1/2(0−, W n
i , W ni+1)
)−
Φ(W ∗
i−1/2(0+, W n
i−1, W ni )
))+
+∆t TSni
Les termes de pentes Z et de vitesse du son Ψ n’apparaissent pasdirectement dans le schéma mais dans la solution du problème deRiemann
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Approximation Volumes Finis décentré
Problème de Riemann linéaire aux interfaces
Problème de Riemann
∂tW + J ∂xW = 0
W = (Z ,Ψ, M, D) =
W n
i = (Zi ,Ψi , Mni , Dn
i )t si x < 0W n
i+1 = (Zi+1,Ψi+1, Mni+1, Dn
i+1)t si x > 0
J = J(W ni , W n
i+1) = B(
xi+1/2,W n
i + W ni+1
2
)de valeurs propres :
λ1 = λ2 = 0 , λ3 = uni+1/2 − ai+1/2 et λ4 = un
i+1/2 + ai+1/2 avec
uni+1/2 =
Di + Di+1
Mi + Mi+1, a2
i+1/2 =a2
i + a2i+1
2, et a2
i = c2Ψ(xi)
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Approximation Volumes Finis décentré
Problème de Riemann linéaire aux interfaces
Problème de Riemann
∂tW + J ∂xW = 0
W = (Z ,Ψ, M, D) =
W n
i = (Zi ,Ψi , Mni , Dn
i )t si x < 0W n
i+1 = (Zi+1,Ψi+1, Mni+1, Dn
i+1)t si x > 0
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Approximation Volumes Finis décentré
Décentrement des pentes et des termes de vitesse du son
Mn,−i+1/2 = Mn
i +g Mn
i+1/2
2 ai+1/2 (ai+1/2 − uni+1/2)
(Zi+1 − Zi)+
+Mn
i+1/2 ln(S0)i+1/2
2 ai+1/2 (ai+1/2 − uni+1/2)
(a2i+1 − a2
i )+
+un
i+1/2 + ai+1/2
2 ai+1/2(Mn
i+1 −Mni )−
− 12 ai+1/2
(Dni+1 − Dn
i )
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Schéma Volume Fini explicite décentré
Schéma final
Schéma Volumes Finis explicite décentré
Un+1i − Un
i
∆t+
F n,−i+1/2 − F n,+
i−1/2
hi= TSn
i 1 ≤ i ≤ N, n ≥ 0.
F n,±i+1/2 = F (U∗
i+1/2(0±, Un
i , Uni+1))
U∗i+1/2(0
±, Uni , Un
i+1) = (Mn,±i+1/2, Dn
i+1/2)t , TSn
i =
(0,−g K (Ai)
Dni |Dn
i |Mn
i
)t
.
Conditions aux limites ? Traitement proche de Kumbaro, Dubois.
Le schéma est soumis à une condition de CFL :
∆t ≤ 0.7 10−3 ∆x
=⇒ Ecrire un schéma Volumes Finis décentré linéairement implicite,
=⇒ Ecrire un schéma d’ordre 2 en espace : méthode MUSCL deVan-Leer avec limiteur de pentes.
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Schéma Volume Fini explicite décentré
Schéma final
Schéma Volumes Finis explicite décentré
Un+1i − Un
i
∆t+
F n,−i+1/2 − F n,+
i−1/2
hi= TSn
i 1 ≤ i ≤ N, n ≥ 0.
F n,±i+1/2 = F (U∗
i+1/2(0±, Un
i , Uni+1))
U∗i+1/2(0
±, Uni , Un
i+1) = (Mn,±i+1/2, Dn
i+1/2)t , TSn
i =
(0,−g K (Ai)
Dni |Dn
i |Mn
i
)t
.
Conditions aux limites ? Traitement proche de Kumbaro, Dubois.
Le schéma est soumis à une condition de CFL :
∆t ≤ 0.7 10−3 ∆x
=⇒ Ecrire un schéma Volumes Finis décentré linéairement implicite,
=⇒ Ecrire un schéma d’ordre 2 en espace : méthode MUSCL deVan-Leer avec limiteur de pentes.
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Schéma Volume Fini explicite décentré
Schéma final
Schéma Volumes Finis explicite décentré
Un+1i − Un
i
∆t+
F n,−i+1/2 − F n,+
i−1/2
hi= TSn
i 1 ≤ i ≤ N, n ≥ 0.
F n,±i+1/2 = F (U∗
i+1/2(0±, Un
i , Uni+1))
U∗i+1/2(0
±, Uni , Un
i+1) = (Mn,±i+1/2, Dn
i+1/2)t , TSn
i =
(0,−g K (Ai)
Dni |Dn
i |Mn
i
)t
.
Conditions aux limites ? Traitement proche de Kumbaro, Dubois.
Le schéma est soumis à une condition de CFL :
∆t ≤ 0.7 10−3 ∆x
=⇒ Ecrire un schéma Volumes Finis décentré linéairement implicite,
=⇒ Ecrire un schéma d’ordre 2 en espace : méthode MUSCL deVan-Leer avec limiteur de pentes.
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Sommaire
1 Motivations
2 Dérivation du modèle en chargeEquations d’Euler compressiblesUne dérivation possible
3 Schéma Volumes Finis décentréApproximation Volumes Finis décentréSchéma Volume Fini explicite décentré
4 Simulation numérique : coup de bélierValidation du modèleConduite déformableConduite à section variable
5 Conclusion et perspectives
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Validation du modèle
Cas tests : coup de bélier se produisant à l’aval
Caractéristiques de la conduite
Longueur de la conduite circulaire en béton : 2000 m.Section : 2 m2. Epaisseur : 20 cm. Module de Young E = 23 109 Pa.Angle : 5. Altitude du haut de la conduite z0 = 250 m.
Conditions aux limites
Charge totale constante à l’amont : Ψ =u2
0
2+ c2 ln M0 + g z0 = 300.
Débit initial à l’aval : Q = 10 m3/s.On coupe le débit linéairement en 5 secondes.
Débit et hauteur piezométrique au milieu de la conduite.
piezo = z + δ + p with p =c2 (ρ− ρ0)
ρ0 g.
On compare avec la solution des équations d’Allievi produite par lecode belier fourni par EDF-CIH.
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Validation du modèle
Ordre 1 vs ordre 2. Hauteur piezo et débit. Nx = 1000
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Validation du modèle
Ordre 1 vs ordre 2. Hauteur piezo et débit. Nx = 1000
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Validation du modèle
Ordre 1 vs ordre 2. Hauteur piezo et débit. Nx = 1000
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Validation du modèle
Ordre 1 vs ordre 2. Hauteur piezo et débit. Nx = 1000
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Validation du modèle
Influence de la CFL
Nx = 1000
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Validation du modèle
Influence de la CFL
Nx = 150
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Validation du modèle
Influence de la CFL
Nx = 1000
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Validation du modèle
Influence de la CFL
Nx = 150
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Validation du modèle
Influence de la CFL
Calcul de la plus forte hauteur piezométrique.Le calcul de belier donne Pmax = 688.442.
CFL 1 2 5 10
Nx = 1000 688 685 680 6730.04% 0.4% 1.2% 2.2%
Nx = 150 677 669 655 6381.7% 2.8% 4.9% 7.3%
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Conduite déformable
Variation de la section. CFL = 1 , Nx = 1000
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Conduite déformable
Variation de la section. CFL = 1 , Nx = 1000
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Conduite déformable
Variation de la section. CFL = 1 , Nx = 1000
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Conduite à section variable
Comparaison conduite équivalente CFL = 1 , Nx = 1000
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Sommaire
1 Motivations
2 Dérivation du modèle en chargeEquations d’Euler compressiblesUne dérivation possible
3 Schéma Volumes Finis décentréApproximation Volumes Finis décentréSchéma Volume Fini explicite décentré
4 Simulation numérique : coup de bélierValidation du modèleConduite déformableConduite à section variable
5 Conclusion et perspectives
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Cas d’un écoulement mixte : le cas test de Wiggert
Dispositif expérimental
Données
1 Canal rectangulaire horizontal
2 Etat initial : eau au repos
3 Le niveau amont croît : montée en charge par l’amont
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Cas d’un écoulement mixte : le cas test de Wiggert
Dispositif expérimental
Données
1 Canal rectangulaire horizontal
2 Etat initial : eau au repos
3 Le niveau amont croît : montée en charge par l’amont
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Conclusions et perspectives
Bilan
Modèle en adéquation avec les résultats attendus
Schéma implicite décentré d’ordre 2 robuste
Dilatation de la conduite prise en compte
Perspectives
Ecoulement mixte dans des conduites à sections variables etdéformables.
Ecoulement mixte dans des réseaux de conduites
Schéma cinétique
Entraînement d’air, mélange eau-air dans les écoulementsmixtes
Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion et perspectives
Conclusions et perspectives
Bilan
Modèle en adéquation avec les résultats attendus
Schéma implicite décentré d’ordre 2 robuste
Dilatation de la conduite prise en compte
Perspectives
Ecoulement mixte dans des conduites à sections variables etdéformables.
Ecoulement mixte dans des réseaux de conduites
Schéma cinétique
Entraînement d’air, mélange eau-air dans les écoulementsmixtes