Etude de deux systèmes chaotiques
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Etude de deux systèmes chaotiques
Bérut AntoineLopes Cardozo David
Pendule Double et Circuit de Chua
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Plan
I. Pendule doubleA) Dispositif expérimental
1) Problèmes mécaniques
2) Problèmes d’acquisition
B) Exploitation des données
II. Circuit de ChuaA) Trois circuits de Chua
B) Résultats escomptés
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Montage
Longueur des barres :• supérieure : 20 cm• inférieure 25 cm
Butées des potentiomètres : 10 tours maximum
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Principe de l’acquisition
Les potentiomètres varient entre :• 0 et 10 kΩ pour l’angle supérieur • 0 et 20 kΩ pour l’angle inférieur
Pont équilibré dans la position de repos du pendule.
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Choix de la position initiale
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Vidéo d’un lancé
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Premières acquisitions
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Tentative de traitement
Dérivée brute Avec 70 lissages numériques
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Amélioration du circuit d’acquisition
Filtre passe-bas à 45HzAmplification gain 10
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Résultats
Une des trois séries d’acquisitions (en haut l’angle inférieur, en bas l’angle supérieur)
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Traitement numérique
Portrait de phase avec un filtre numérique à 2Hz
Décalage entre modèle et courbe expérimentale
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Portraits de phase (angle 1)
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Portraits de phase (angle 2)
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Doublement de période (portrait de phase)
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Doublement de période (sur les courbes)Angle du portrait de phase précédent
Les trois autres angles
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Circuit de Chua non autonome
C1 = 10 nF, C2 = 100 nF, R = 2kΩ réglable, RN1 = 22 kΩ, RN2 = 22 kΩ, RN3 = 3,3 kΩ,RN4 = 220Ω, RN5 = 220Ω, RN1 = 2,2 kΩ,Deux AO AD712 alimentés à ± 12 V.
Source : article « A new non-autonomous version of Chua’s circuit » par Recai Kiliç,
Ö. Galip Saraçoglu et Fatma Yildirimb (Journal of the Franklin Institute 2006).
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Circuit de Chua simple
Source : article « The Double Hook » par Bartissol et Chua (IEEE Transactions on circuits and systems, vol 35, n° 12, décembre 1988).
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Circuit de Chua autonome
Source : article “ A simple circuit to demonstrate bifurcation and chaos” par Hobson et Landbury.
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Résistance négative non linéaire
Schéma d’une résistance négative d’impédance Z (a) et sa caractéristique attendue (b).Source : article « The Double Hook » par Bartissol et Chua (IEEE Transactions on circuits
and systems, vol 35, n° 12, décembre 1988).
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Résultats potentiellement atteignables
A period-4 attractor The single scroll attractor
A period-3 attractor The double scroll attractor
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Conclusions
Caractéristiques du chaos mises en évidence :• Sensibilité aux conditions initiales• Doublement de période
Données théoriques, non obtenues expérimentalement :
• Caractère déterministe du chaos• Attracteur étrange